Matemáticas 1

Presentacin

La obra Matemticas 1 fue elaborada por la Gerencia Editorial Textos de Ediciones Larousse, S.A. de C.V.

Direccin Editorial: Toms Garca CerezoGerencia Editorial Textos: Javier Anaya GonzlezEdicin: Salvador Mndez AlvaradoCorreccin de estilo: Luis Soriano BelloDiseo de interiores: Braulio MoralesDiagramacin y formacin: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.Diseo de portada: Eligge ConsultoresFoto: dados Latin Stock MxicoIlustracin: Ricardo Cabello, Alberto Morales, Alfredo Chavarra y Rodrigo LopezdelaraFotografa: Ablestock y sus cedentes de la licencia. Reservados todos los derechos.

Matemticas 1D.R. 2008, por Ediciones Larousse, S.A. de C.V.Londres 247, Col. Jurez, Delegacin CuauhtmocC.P. 06600, Mxico, [email protected]

Primera edicin

Esta obra no puede ser reproducida, total o parcialmente,sin autorizacin escrita del editor.

ISBN: 970-22-1620-6

Larousse y el logotipo Larousse son marcas registradas de Larousse, S.A.

Impreso en MxicoPrinted in Mexico

Presentacin

Maestra, maestro:

La propuesta didctica de Matemticas 1 que tiene en sus manos es fruto del esfuerzo editorial de muchas personas y de la larga experiencia de sus autores frente a grupo y en la educacin matemtica de vanguardia.

Aqu encontrar mltiples actividades de estudio que relacionan a las matemticas con la vida co-tidiana de los estudiantes: deportes, juegos, medios de comunicacin, uso de las tecnologas de la informacin y las comunicaciones que demanda el mundo moderno, cuidadosamente diseadas para que despierten el inters de sus alumnos y los inviten a reflexionar, a trabajar en equipo, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas, a formular argumentos que validen los resultados, a comunicar verbalmente, a investigar y presentar por escrito sus hallazgos, en un ambiente de confianza y de respeto por las ideas de los dems.

Las actividades de Matemticas 1 estn agrupadas en cinco bloques. Cada uno de ellos inicia con entradas a doble pgina que muestran los propsitos que se esperan logren desarrollar los estudiantes y los relacionen con su vida cotidiana o con otras disciplinas.

El desarrollo de cada uno de los 38 subtemas est organizado en lecciones que corresponden a tres momentos metodolgicos fundamentales que se relacionan entre s y se reciclan continuamente.

Qu sabemos de... Plantea situaciones problemticas iniciales vinculadas con algn con-texto que motive el inters de los estudiantes para ser trabajadas en equipo.

Para saber ms de... Este momento se destina para que los y las alumnas construyan y amplen los conocimientos y habilidades a partir de sus conocimientos previos; esto se logra a travs de secuencias problemticas e informacin matemtica bsica.

Al final de esta seccin se recomienda hacer una pausa en el estudio de los temas para que los estu-diantes revisen los problemas que no hayan podido resolver en lecciones anteriores y, en su caso, los corrijan o resuelvan.

Por tu cuenta... En este momento se plantean preguntas y problemas matemticos que sintetizan los conocimientos y habilidades adquiridas en las actividades previas, adems de que propicia que los estudiantes los apliquen en diversos contextos. Tambin se plantean pequeas investi-gaciones de aplicacin de las matemticas para que los estudiantes consulten informacin en la biblioteca escolar, en su comunidad, en internet o en otros medios.

Al finalizar cada subtema se presenta la seccin Historietas matemticas en las que varios personajes ficticios, estudiantes de secundaria, ejemplifican el uso y la aplicacin de las matemticas en diversas situaciones; aqu mismo se invita a los alumnos a que reflexionen y, en algunos casos, evalen las soluciones expuestas en cada historieta.

Al finalizar cada bloque encontrar sugerencias prcticas para implementar la Feria de las mate-mticas que bajo su coordinacin los alumnos irn preparando con materiales, actividades, juegos, etctera, que puede servir para exponer al final del curso.

Esperamos que con esta propuesta pedaggica se cumpla el propsito de que sus estudiantes efecti-vamente construyan sus propios conocimientos, que les permita enfrentar y dar respuesta a problemas de la vida real y prepararlos mejor para el futuro. Ojal cumpla su cometido!

Los autores

Bloque

Presentacin

Presentacinalalumno 9

ndicedecontenido

1.1 Nmeros naturales. El sistema de numeracin decimal y otros sistemas de numeracin 12

Leccin 1 Qu sabemos del sistema de numeracin decimal y otros sistemas de numeracin? 12

Leccin 2 Para saber ms del sistema de numeracin decimal y otros sistemas de numeracin 13

Leccin 3 Sistemas de numeracin egipcio, babilnico y romano 15

Leccin 4 Uno de los sistemas de numeracin mayas y sistema de numeracin azteca 20

Leccin 5 Actividades de trabajo individual 23 Historieta matemtica del subtema 1.1 24

1.2 Nmeros fraccionarios y decimales. Nmeros fraccio-narios y decimales en la recta numrica 25

Leccin 6 Qu sabemos de los nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica? 25

Leccin 7 Para saber ms de nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica 26

Leccin 8 Nmeros decimales en la recta numrica 30 Leccin 9 Actividades de trabajo individual 33 Historieta matemtica del subtema 1.2 34

1.3 Patrones y frmulas. Sucesiones y expresiones generales 35

Leccin 10 Qu sabemos de sucesiones y expresiones generales? 35

Leccin 11 Para saber ms de sucesiones y expresiones generales 36


1.4 Patrones y frmulas. Frmulas geomtricas 41 Leccin 13 Qu sabemos de frmulas geomtricas? 41 Leccin 14 Para saber ms de frmulas geomtricas 43 Historieta matemtica del subtema 1.4 45

1.5 Movimientos en el plano. Figuras simtricas 46 Leccin 15 Qu sabemos de figuras simtricas? 46 Leccin 16 Para saber ms de figuras simtricas 48 Leccin 17 Actividades de trabajo en equipo 51 Leccin 18 Actividades de trabajo individual 54 Historieta matemtica del subtema 1.5 56

1.6 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa 57

Leccin 19 Qu sabemos de proporcionalidad directa? 57

Leccin 20 Para saber ms de proporcionalidad directa 58


1.7 Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional 64

Leccin 22 Qu sabemos de reparto proporcional? 64

Leccin 23 Para saber ms de reparto proporcional 65 Leccin 24 Actividades de trabajo individual 67 Historieta matemtica del subtema 1.7 68

1.8 Diagramas y tablas. Problemas de conteo 69 Leccin 25 Qu sabemos de problemas

de conteo? 69 Leccin 26 Para saber ms de problemas

de conteo 70 Leccin 27 Actividades de trabajo individual 72 Historieta matemtica del subtema 1.8 73

Feria de las matemticas. Juguemos con el sistema binario de numeracin 74

Bloque

2.1 Problemas aditivos. Problemas de suma o resta con nmeros fraccionarios y decimales 78

Leccin 1 Qu sabemos de problemas de suma o resta con nmeros fraccionarios y decimales? 78

Leccin 2 Actividades de trabajo en equipo 81 Leccin 3 Para saber ms de problemas de suma o resta

con nmeros fraccionarios y decimales 81 Leccin 4 Actividades de trabajo en equipo 85 Historieta matemtica del subtema 2.1 87

2.2 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplica-cin y divisin con nmeros fraccionarios 88

Leccin 5 Qu sabemos de problemas de multiplicacin con nmeros fraccionarios? 88

Leccin 6 Para saber ms de problemas de multiplicacin con nmeros fraccionarios 90

Leccin 7 Actividades de trabajo en equipo 91 Leccin 8 Para saber ms de problemas de divisin con

nmeros fraccionarios 93 Leccin 9 Actividades de trabajo individual 96 Historieta matemtica del subtema 2.2 97

2.3 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplicacin de nmeros decimales 98

Leccin 10 Qu sabemos de problemas de multiplicacin de nmeros decimales? 98

Leccin 11 Para saber ms de problemas de multiplicacin de nmeros decimales 99


2.4 Rectas y ngulos. Mediatriz y bisectriz 103 Leccin 13 Qu sabemos de mediatriz y bisectriz? 103 Leccin 14 Para saber ms de mediatriz y bisectriz 106 Leccin 15 Actividades de trabajo individual 108 Historieta matemtica del subtema 2.4 109

2.5 Figuras planas. Construccin de polgonos regulares 110

Leccin 16 Qu sabemos de construccin de polgonos regulares? 110

Leccin 17 Construccin de polgonos regulares con com-ps, regla y transportador 113

Leccin 18 Para saber ms de construccin de polgonos regulares 115


2.6 Justificacin de frmulas. Permetro y rea de polgonos 119

Leccin 20 Qu sabemos de permetro y rea de polgonos? 119

Leccin 21 Para saber ms de permetro y rea de polgonos 120

Leccin 22 Frmulas del rea de cuadrados, rectngulos y romboides 123

Leccin 23 Frmulas del rea de rombos y tringulos 126

Leccin 24 Frmula del rea de polgonos regulares 127 Historieta matemtica del subtema 2.6 129

2.7 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales 130

Leccin 25 Qu sabemos de proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales? 130

Leccin 26 Para saber ms de proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales 131


2.8 Relaciones de proporcionalidad. Aplicacin sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad 135

Leccin 28 Qu sabemos de la aplicacin sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad? 135

Leccin 29 Para saber ms de la aplicacin sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad 137


Feria de las matemticas. El maravilloso mundo de los rompecabezas 142

Bloque

3.1 Problemas multiplicativos. Divisin de nmeros decimales 146

Leccin 1 Qu sabemos de divisin de nmeros decimales? 146

Leccin 2 Para saber ms de divisin de nmeros decimales 147


3.2 Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado 153 Leccin 4 Qu sabemos de ecuaciones

de primer grado? 153 Leccin 5 Para saber ms de ecuaciones

de primer grado 154 Leccin 6 Actividades de trabajo en equipo 155 Leccin 7 Actividades de trabajo individual 158 Historieta matemtica del subtema 3.2 159 3.3 Figuras planas. Construccin de tringulos

y cuadrilteros 160 Leccin 8 Qu sabemos de construccin de tringulos

y cuadrilteros? 160 Leccin 9 Para saber ms de construccin de tringulos

y cuadrilteros 163 Leccin 10 Actividades de trabajo en equipo 166 Leccin 11 Actividades de trabajo individual 168 Historieta matemtica del subtema 3.3 170 3.4 Estimar, medir y calcular. reas de tringulos

y cuadrilteros 171 Leccin 12 Qu sabemos de reas de tringulos

y cuadrilteros? 171 Leccin 13 Para saber ms de reas de tringulos

y cuadrilteros 173 Leccin 14 Actividades de trabajo en equipo 175 Leccin 15 Actividades de trabajo individual 178 Historieta matemtica del subtema 3.4 180 3.5 Relaciones de proporcionalidad. Procedimientos

expertos 181 Leccin 16 Qu sabemos de procedimientos

expertos? 181 Leccin 17 Para saber ms de procedimientos

expertos 183 Leccin 18 Actividades de trabajo individual 187 Historieta matemtica del subtema 3.5 189

3.6 Porcentajes. Clculo de porcentajes 190 Leccin 19 Qu sabemos de clculo

de porcentajes? 190 Leccin 20 Para saber ms de clculo

de porcentajes 192 Leccin 21 Actividades de trabajo individual 194 Historieta matemtica del subtema 3.6 196 3.7 Diagramas y tablas. Interpretar informacin 197 Leccin 22 Qu sabemos de interpretar

informacin? 197 Leccin 23 Para saber ms de interpretar

informacin 199 Leccin 24 Actividades de trabajo individual 201 Historieta matemtica del subtema 3.7 204 3.8 Grficas. Interpretar informacin en grficas de barras

y circulares 205 Leccin 25 Qu sabemos de interpretar informacin en

grficas de barras y circulares? 205 Leccin 26 Para saber ms de interpretar informacin en

grficas de barras y circulares 207 Leccin 27 Actividades de trabajo individual 210 Historieta matemtica del subtema 3.8 211

3.9 Nociones de probabilidad. Escala de probabilidad entre 0 y 1 212

Leccin 28 Qu sabemos de escala de probabilidad entre 0 y 1? 212

Leccin 29 Para saber ms de escala de probabilidad entre 0 y 1 213

Leccin 30 Actividades de trabajo en equipo 215 Leccin 31 Actividades de trabajo individual 217 Historieta matemtica del subtema 3.9 219

Feria de las matemticas. Los crucigramas 220

Bloque

4.1 Nmeros con signo. Utilizacin de nmeros con signo 224

Leccin 1 Qu sabemos de utilizacin de nmeros con signo? 224

Leccin 2 Para saber ms de utilizacin de nmeros con signo 226


4.2 Potenciacin y radicacin. Raz cuadrada y potencias de nmeros naturales y decimales 233

Leccin 4 Qu sabemos de raz cuadrada y potencias de nmeros naturales y decimales? 233

Leccin 5 Para saber ms de raz cuadrada y potencias de nmeros naturales y decimales 236


4.3 Relacin funcional. Relacin de proporcionalidad y = kx 244

Leccin 7 Qu sabemos de la relacin de proporcionalidad y = kx? 244

Leccin 8 Para saber ms de la relacin de proporcionalidad y = kx 246


Bibliografa

Bloque

5.1 Problemas aditivos. Adicin y sustraccin de nmeros con signo 282

Leccin 1 Qu sabemos de adicin y sustraccin de nmeros con signo? 282

Leccin 2 Para saber ms de adicin y sustraccin de nmeros con signo 286

Leccin 3 Actividades de trabajo individual 288 Historieta matemtica del subtema 5.1 289 5.2 Relacin funcional. Representacin de proporcionalidad

directa 290 Leccin 4 Qu sabemos de representaciones

de proporcionalidad directa? 290 Leccin 5 Para saber ms de representaciones

de proporcionalidad directa 293 Leccin 6 Actividades de trabajo individual 295 Historieta matemtica del subtema 5.2 299

5.3 Estimar, medir y calcular. Clculo de reas de figuras planas 300

Leccin 7 Qu sabemos de clculo de reas de figuras planas? 300

Leccin 8 Para saber ms de clculo de reas de figuras planas 301


5.4 Nociones de probabilidad. Resultados equiprobables y no equiprobables 305

Leccin 10 Qu sabemos de resultados equiprobables y no equiprobables? 305

Leccin 11 Para saber ms de resultados equiprobables y no equiprobables 306


5.5 Relaciones de proporcionalidad. Variacin proporcional inversa 310

Leccin 13 Qu sabemos de variacin proporcional inversa? 310

Leccin 14 Para saber ms de variacin proporcional inversa 312


5.6 Medidas de tendencia central y de dispersin. Medidas de tendencia central 318

Leccin 16 Qu sabemos de medidas de tendencia central? 318

Leccin 17 Para saber ms de medidas de tendencia central 320


Feria de las matemticas. Obra de teatro Pepito preguntn 324

4.4 Figuras planas. Construccin de crculos 252 Leccin 10 Qu sabemos de construccin

de crculos? 252 Leccin 11 Para saber ms de construccin

de crculos 253 Leccin 12 Actividades de trabajo individual 257 Historieta matemtica del subtema 4.4 258

4.5 Justificacin de frmulas. Permetro y rea del crculo 259

Leccin 13 Qu sabemos de permetro y rea del crculo? 259

Leccin 14 Para saber ms de permetro y rea del crculo 260


4.6 Estimar, medir y calcular. Clculo del rea y el permetro del crculo 265

Leccin 16 Qu sabemos de clculo del rea y el permetro del crculo? 265

Leccin 17 Para saber ms de clculo del rea y el permetro del crculo 266


4.7 Grficas. Proporcionalidad y plano cartesiano 270 Leccin 19 Qu sabemos de proporcionalidad y plano

cartesiano? 270 Leccin 20 Para saber ms de proporcionalidad y plano

cartesiano 271 Leccin 21 Actividades de trabajo individual 276 Historieta matemtica del subtema 4.7 277

Feria de las matemticas. Construyamos cuadrados mgicos 278

Presentacinalalumno

Hola amigos y amigas, somos Mary, Lupe, Juan y Pepe, y como todos us-tedes, tambin trataremos de aprender matemticas en este nuestro primer ao de secundaria. Qu emocin!

Los acompaaremos en todo el curso y compartiremos la emocin de aprender matemticas. Seguramente se identificarn con nosotros.

Les platicaremos sobre algunas situaciones cotidianas y dems cosas que probablemente a ustedes tambin les pasaron al estudiar las Mates, ya sea en el saln de clases, en el recreo, en su casa o en la calle. Nos divertiremos!

Aqu encontrarn para qu sirven las matemticas, en dnde se aplican, cmo podemos divertirnos jugando con ellas, a realizar experimentos matemticos y hacer diseos geom-tricos; aprenderemos muchas cosas ms...

Estamos seguros, porque ustedes podrn comparar lo que han aprendido con lo que hemos aprendido nosotros a travs de nuestras Historietas matemticas.

Adems al final de cada bloque encontrarn algunas pistas para que vayan preparando, con el apoyo de su maestro o maestra, los materiales, juegos y actividades para la Feria de las matemticas en donde podrn mostrar plenamente sus habilidades y capacidades matemticas que desarrollaron en todo el ao.

Bueno, pues a trabajar!

9

Aprendizajes esperadosEn este bloque:i Conocers las caractersticas del sistema de numeracin decimal (base, valor

posicional, nmero de smbolos) y establecers analogas o diferencias con otros sistemas posicionales y no posicionales.

i Comparars y ordenars nmeros expresados como fracciones y en forma decimal, mediante la bsqueda de expresiones equivalentes, la recta numrica, los productos cruzados, as como otros recursos.

i Representars sucesiones numricamente o con guras a partir de una regla dada y viceversa, esto es, establecers la regla de formacin de una sucesin a partir de una representacin de sta.

i Construirs guras simtricas respecto a un eje e identi cars qu propiedades de la gura original se conservan en su simtrica.

i Resolvers problemas de conteo apoyndote en representaciones gr cas.

Bloque 1

11

Leccin 1 T r a b a j a e n e q u i p o

1 Si el nmero 1 lo representan con el cubito pequeo, el nmero 10 con una tira de 10 cubitos, el nmero 100 con una placa de 10 tiras y el nmero 1000 con 10 placas, determinen el nmero que se representa con el total de las siguientes guras y antenlo en la lnea.

2 Escriban el nombre del nmero representado con los modelos geomtricos anteriores.

3 De acuerdo con el nmero que determinaron, completen lo siguiente y comparen sus respuestas con las de los dems equipos.

El dgito ______ representa los millares y su valor posicional es ______ 1 000 ______El dgito ______ est en el lugar de las centenas y su valor posicional es ______ 100 ______

Nmeros naturalesEl sistema de numeracin decimal y otros sistemas de numeracin

Conocimientos y habilidadesIdenti cars las propiedades del sistema de numeracin decimal y las contrastars con las de otros sistemas de numeracin posicionales y no posicionales.

Qu sabemos de el sistema de numeracin decimaly otros sistemas de numeracin?

Matemticas 112

1.1

El dgito ______ representa las decenas y su valor posicional es ______ 3 10 5 ______

El dgito ______ representa las unidades y su valor posicional es ______ 3 1 5 ______

4 Utilizando los modelos geomtricos anteriores (cubo grande, placa, tira y cubito), representen en su cuaderno los siguientes nmeros.

1011 1101 1110

5 Si desagrupan las placas de cubitos siguientes en tiras de cubitos, cuntas tiras obtienen?

5 placas 5 _______ tiras 7 placas 5 _______ tiras 13 placas 5 _______ tiras

6 Si agrupan las tiras de cubitos siguientes en cubos ms grandes o placas de cubos, cuntas obtienen?

437 tiras 5 _______ cubos, _______ placas, _______ tiras503 tiras 5 _______ cubos, _______ placas, _______ tiras3008 tiras 5 _______ cubos, _______ placas, _______ tiras

7 Anoten los siguientes nmeros usando nuestros smbolos dgitos.

Quince mil trescientos veintiuno ______________________________Noventa y cinco mil setecientos ochenta y tres ______________________________Quinientos treinta y siete mil seiscientos cuarenta y dos ______________________________Treinta y dos millones dos mil quinientos diecisis ______________________________Mil setecientos sesenta y siete billones dos mil seis ______________________________

8 Escriban en espaol los nombres de los siguientes nmeros.

916 ____________________________________________________________________________13 214 __________________________________________________________________________318 599 _________________________________________________________________________100 151 001 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________11 123 615 900 070 502 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para saber ms de el sistema de numeracin decimal y

otros sistemas de numeracin


Los nmeros naturales, la recta numrica y el sistema de numeracin decimalA los nmeros que utilizamos para contar objetos o ideas de determinada coleccin, cero, uno, dos, tres, , cien, , se les conoce como nmeros cardinales. Los nmeros ordinales describen un orden o posicin, por ejemplo primero, segundo, tercero, cuarto

BLOQUE 1

Matemticas 1 13EjE: SEntido nuMrico y pEnSaMiEnto algEbraico

Los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, se denominan nmeros naturales. Observen que en este conjunto numrico no existe el cero (0), aunque cabe aclarar que algunos matemticos s lo aceptan como nmero natural. Esta manera de escribirlos, con los puntos suspensivos, se usa para indicar que continan inde nidamente; es decir, hay una in nidad de nmeros naturales. Se pueden re-presentar geomtricamente en una recta numrica.

0 1 2 3 4 5 6 7

Para representar nmeros naturales disponemos de diez dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Observen que en este sistema decimal el cero (0) s existe; no como elemento de los naturales, sino como smbolo, por lo cual se recurre a l para representar, por ejemplo, el nmero diez (10).El sistema de numeracin decimal es posicional, lo que signi ca que de acuerdo con la posicin que ocupe el dgito tiene un signi cado diferente.

1 Usen una unidad adecuada para representar en la recta numrica los nmeros 10, 100 y 1 000. Cmo lo hicieron? Comntenlo.

2 Los puntos A, B, C y D representan cuatro nmeros naturales. Qu nmeros podran ser? Com-paren sus respuestas con las de sus compaeras y compaeros.

0 A B C D 70

3 Qu nmeros naturales podran estar representados entre los puntos A y B? _________________Y entre C y D? ________________________________________________________________Comntenlo con sus compaeras y compaeros de otros equipos.

Numeraciones visuales o guradasLa manera elemental ms comnmente utilizada por grupos humanos para contar consisti en hacer trazos o marcas sobre objetos duros, tantos como objetos individuales tuviese la coleccin que se necesitara contar. Se trataba de representaciones visuales o guradas. La representacin de los nmeros ha evolucionado hasta nuestra actual forma escrita y nuestra expresin oral.Otra idea bsica que facilita el conteo de objetos es la de agrupar en bloques los trazos que repre-sentan la cantidad total, con igual nmero de elementos cada bloque, constituyendo este nmero la base del sistema de numeracin que se emplee.

4 Cules creen que sean las agrupaciones de marcas que se muestran en la gura de la derecha?

Matemticas 114

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NMEROS

Diversos grupos sociales, a lo largo de la histo-ria, han elegido como base de numeracin una acorde a sus necesidades. Adems del sistema de numeracin de base 10, se han utilizado otros. En realidad cualquier nmero natural mayor que 1 puede servir de base de un sistema de numeracin posicional. En la tabla de la izquierda pueden ver los nombres de algunos de estos sistemas.

5 Den un ejemplo de utilizacin de contar en agrupaciones de 60 en 60 en la actualidad. Expliquen su ejemplo por escrito.

6 Formen grupos de cinco rayas y luego formen grupos de cinco grupos.

7 Ahora imaginen que slo disponen de los siguientes smbolos para representar el nmero de rayas que hay en la gura anterior:

/ 1 # 5 % 25 & 125

Cmo escribiran la cantidad de trazos usando los smbolos /, # y % anteriores?________________________________________________________________________________Qu caractersticas tiene este sistema de numeracin? Explquenlo en su cuaderno.


Un sistema de numeracin egipcioLa civilizacin egipcia antigua dur alrededor de cuatro mil aos. Hacia el ao 3500 a. n. e. (antes de nuestra era), los egipcios posean un sistema de numeracin completamente desarrollado para contar cantidades grandes. El sistema de numeracin egipcio, era aditivo todos sus clculos se basaban en sumas solamente y decimal su base era diez. Representaban el uno y las primeras seis potencias de diez mediante siete signos jerogl cos. No tenan una conceptualizacin del cero ni una representacin para este nmero.

1 10 2 3 4 5 6 710 10 10 10 10 10

1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000

Base Nombre 2 binario 5 quinario 8 octal10 decimal12 duodecimal16 hexadecimal20 vigesimal60 sexagesimal

Caracteres o smbolos egipcios

BLOQUE 1

Matemticas 1 15EJE: SENTIDO NUMRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Un nmero se describa utilizando cada carcter hasta nueve veces y por lo general se anotaban de derecha a izquierda, de mayor a menor valor numrico. A veces los escriban de izquierda a derecha, volteando los smbolos para indicar dnde iniciaba la lectura del nmero.

1 En la gura siguiente aparece representado el nmero 276. Pueden explicar por qu?

2 A la derecha se muestra otro ejemplo de la notacin del sistema de nume-racin egipcio. Qu nmero representa en el sistema decimal?

3 Escriban el ao actual y la cantidad de alumnos que hay en su grupo empleando smbolos egipcios.

ao actual: __________________________________________nmero de alumnos: __________________________________________

Comparen sus anotaciones con las de sus compaeras y compaeros.

4 Escriban con notacin del sistema de numeracin egipcio los siguientes nmeros.

74 ____________

139 ____________

1 075 ____________

307 876 ____________

5 Cul de los siguientes nmeros es el mayor? Encirrenlo.

o

6 Intenten hacer en su cuaderno la multiplicacin 27 87 con smbolos egipcios y comenten las ventajas o desventajas al realizarla.

7 Qu ventajas o desventajas identi can en el sistema de numeracin egipcio al compararlo con nuestro sistema decimal de numeracin? Pueden explicarlo basndose en ejemplos.

Sistema de numeracin babilnicoFue la civilizacin sumeria la que invent y utiliz un sistema de numeracin sexagesimal, el ejemplo ms antiguo que se conoce de una numeracin en la que se utiliza el valor posicional.

8 Qu entienden por valor posicional? Comntenlo con sus compaeros de equipo.

9 Lean con cuidado el texto de la pgina siguiente y disctanlo en equipo.

Matemticas 116


Para su sistema de numeracin posicional los babilonios utilizaban dos smbolos, una cua y un gancho. A este tipo de escritura se le deno-mina cuneiforme. La cua ( ) represen-taba unidades y el gancho ( ) mltiplos de diez, como se muestra a continuacin.

Numerales en la escritura cuneiforme de los acadios.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 30 50 60 80 130

Nota: observa que el 1 y el 60 se escriban igual. Haca falta la invencin del cero para denotar un grupo de 60 y 0 unidades; ms tarde se hara, en el perio-do selucida.

Este sistema posicional consista en que los valores de los smbolos cuneiformes se multiplicaban por potencias de 60, de derecha a izquierda, empezando por las unidades e incrementando el exponente de la potencia de base 60. Durante el periodo de los babilonios conocido como selucida, que va del siglo III a. n. e. hasta el inicio de nuestra era, se introdujo un smbolo para denotar que en un lugar no haba un determinado valor de posicin. As, por ejemplo, los nmeros 3609 y 86 425 se representaban como se muestra en la gura siguiente.

Gruposde 3 600

Gruposde 60

Unidadessueltas

Gruposde 3 600

Gruposde 60

Unidadessueltas

(1 602) (0 60) 9 (24 602) (0 60) 25

Entonces, la notacin del sistema de numeracin babilnico era posicional, de base sexagesimal, y en el periodo selucida se utilizaba un smbolo para indicar la ausencia de nmero en medio de los dems smbolos y nunca como ltimo. En esta primera oportunidad el cero no tiene la entidad de nmero, sino simplemente de un signo arbitrario para indicar la ausencia de can-tidad de un orden determinado.

BLOQUE 1


10 Escriban con notacin del sistema de numeracin babilnico los siguientes nmeros: 147 __________________________ 1 500 __________________________ 269 __________________________ 3 601 __________________________

11 Qu ventajas o desventajas identi can en el sistema de numeracin babilnico al compararlo con nuestro sistema decimal de numeracin? Pueden explicarlo en su cuaderno basndose en ejemplos.

Sistema de numeracin romanoLo que conocemos como numerales romanos, en realidad fueron inventados por otras cul-turas siglos antes de que la civilizacin romana existiera. Segn se muestra a continuacin, pareciera que los numerales romanos se modelaron con base en letras del abecedario latino. No se tiene reportado que hayan conceptualizado el nmero cero ni una representacin para este nmero.

I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1 000

Las inscripciones conocidas ms antiguas en las que aparecen estos numerales datan del siglo i a. n. e.

Los numerales romanos se escriben de izquierda a derecha uno junto al otro, primero los de mayor valor y luego los de menor valor. Los smbolos I, X, C y M se pueden escribir a lo ms tres veces consecutivamente, y no est permitido repetir los smbolos V, L y D.

12 El nmero 278 se representa as CCLXXVIII. Por qu?

Qu nmero representa MMDCLXXXVI?__________

Como habrn observado, los numerales romanos siguen una notacin aditiva. Adems, los roma-nos ampliaron este sistema bajo la regla de que si un smbolo se anota a la izquierda de otro smbolo de mayor valor numrico, el valor del primero se tiene que restar del valor del segundo. Esto es, su notacin tambin es sustractiva.

13 Completen las equivalencias.

IV 5 1 4IX 10 1 9XL 50 10 XC 100 10 CD CM

Matemticas 118


Ante la necesidad de tener que representar cantidades grandes, se introdujo en el sistema de nume-racin romano una barra horizontal sobre los smbolos para representar 1 000 veces el valor del nmero (esta barra horizontal, igual que los dems smbolos, se puede repetir en un mismo numeral hasta tres veces). Esto es, su notacin tambin es multiplicativa.

14 El numeral romano V es igual a 5 000. Por qu?

15 Qu nmero representa IX?

16 Escriban en el sistema decimal los siguientes numerales romanos.

CCLXII ___________________________________________________________________________

MXXIV ____________________________________________________________________________

MCMXC __________________________________________________________________________

CDCLIX __________________________________________________________________________

DVIIICMLXVI _____________________________________________________________________

17 Representen con numerales romanos los siguientes nmeros.

59 _______________________________________________________________________________

379 ______________________________________________________________________________

1 998 _____________________________________________________________________________

345 273 ____________________________________________________________________________

7 985 799 __________________________________________________________________________

18 Intenten hacer la siguiente suma con numerales romanos y comenten las ventajas o di cultades para realizarla.

CCXXXII

CDXIII

MCCXXXI

MDCCCLII

_____________

19 Qu ventajas y desventajas identi can en el sistema de numeracin romano al compararlo con nuestro sistema decimal de numeracin? Pueden explicarlo basndose en ejemplos.

BLOQUE 1



1 Lean con cuidado el siguiente texto y disctanlo en equipo. Luego resuelvan las actividades que vienen a continuacin.

Uno de los dos sistemas de numeracin mayasEn su sistema de numeracin, losmayas agrupaban de cinco en cin-co hasta veinte, de veinte en veinte hasta cien, de cien en cien hasta cuatrocientos, de cuatrocientosen cuatrocientos hasta ocho mil. As, sus cuentas conceptualmen-te se podan extender inde ni-damente: continuaban lue go contando veinte veces ocho mil, nuevamente veinte veces cien-to sesenta mil, etc. Basaban sus cuentas en el nmero de dedos de las manos y de los pies; es decir, su sistema era vigesimal; adems, era posicional. El valor posicio-

nal de sus numerales era vertical, como crecen las plantas. A continuacin se muestra el valor posicional vertical y los nombres posicionales del sistema comn de contar de los mayas.

1 280 000 000 207: hablat64 000 000 206: alau

3 200 000 205: kinchil160 000 204: calab

8 000 203: pic400 202: bak

20 : kal1 : hun

Los nmeros mayas se construyen a partir de veinte numerales, los cuales a su vez se forman con nicamente tres smbolos bsicos: un punto, una barra horizontal y una concha o caracol.

1 5 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Algunos autores mencionan que el

sistema numrico de los mayas es irregular. En el tercer nivel el nmero

es 360 y no 400 porque el ao maya tena 360 das.

Matemticas 120


El 1 se representaba con un punto; dos, tres y cuatro puntos servan respectivamente para representar el 2, el 3 y el 4; el 5 era una raya horizontal, a la que se aadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 o 9; para el 10 se usaban dos rayas y para el 15 tres rayas. El nmero 25, por ejemplo, se escribe como se muestra a la derecha:

En el sistema de numeracin vigesimal de los mayas sobresale la creacin social del concepto de cero y de un smbolo para representarlo. Es posible que haya sido la primera civilizacin en el mundo entero en utilizar el concepto de cero en su notacin posicional.

20 21 41 61 122 400 401 8 000

2 Representen en el sistema maya los siguientes nmeros. Consideren dos casos: uno cuando el sistema es de base 20 en todas sus posiciones y el otro caso cuando la tercera posicin es 360 y no 400.

27 306 2 006 48 003

169 6 927

2 420 1 000 000

Comenten sobre las consecuencias que puede tener un sistema de numeracin con una irregulari-dad, como en este segundo caso.

3 Intenten hacer la siguiente operacin en el sistema maya y comenten las ventajas o di cultades para realizarla.

4 Qu ventajas o desventajas identi can en el sistema de numeracin maya al compararlo con nues-tro sistema decimal de numeracin? Expliquen en su cuaderno.

1 20 20

5

Para algunos auto-res este nmero repre-senta a 360 y no 400.

BLOQUE 1


5 Saben cmo era el sistema de numeracin azteca y que an se usa en su forma hablada en algunos lugares?Lean con atencin el siguiente texto y disctanlo en equipo.

El sistema de numeracin aztecaEl sistema de numeracin azteca es sencillo. El nmero cinco (macuilli) se representa con el signo jeroglfico que es la mano del hombre. Es aditivo; por ejemplo, el seis (chicuace) es cinco (chicua es mano o cinco dedos) ms uno (ce). Diez en nhuatl, el idioma de los aztecas, se dice matlactli; quince, caxtolli, y veinte, cempohualli. Por ejemplo, catorce es matlactli (diez) on (y) nahui (cuatro), esto es, matlactlionnahui. Pohualli es cuenta, por lo que cempohualli es una cuenta de los dedos de las manos y los pies: 20. As que el sistema de numeracin nhuatl es vigesimal, o sea, su base es 20 aunque con irregulari-dades como es el hecho de que 80 tiene un smbolo propio. Un rasgo caracterstico de este sistema de numeracin es que es partitivo, lo cual consiste en que la mitad de un smbolo numrico representa la mitad de su valor, y la cuarta parte del smbolo, la cuarta parte de su valor numrico. En la figura siguiente se muestran los smbolos que usaban los aztecas para representar nmeros.

1 5 10 15 20 80 400 8 000

Principio aditivo en la notacin numrica de los aztecas

Principio partitivo en la notacin numrica de los aztecas

6 Escriban en nuestro sistema decimal actual los siguientes nmeros expresados en notacin azteca.

Matemticas 122


Ahora que sabes ms, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrgelos o resulvelos.

7 Escriban en notacin azteca los siguientes nmeros.

87 _____________________________________________________________

436 ____________________________________________________________

1999 ___________________________________________________________

12507 __________________________________________________________

8 Intenten hacer en su cuaderno la resta 375 87 con smbolos de la notacin numrica azteca y comenten las ventajas o di cultades al realizarla.

9 Qu ventajas o desventajas identi can en el sistema de numeracin azteca al compararlo con nuestro sistema decimal de numeracin? Explquenlo en su cuaderno basndose en ejemplos.

Por tu cuenta

Leccin 5 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

1 Localiza en un mapa de la Repblica Mexicana las regiones donde se desarrollaron las culturas maya y azteca.

2 Conoces alguna otra cultura que se haya desarrollado en nuestro pas con su propio sistema de numeracin? _____ Cul? _____________________________________________________________________________________

En qu regin se desarroll? ___________________________________________________________________

3 Consigue un mapa, pgalo en tu cuaderno y dibuja la ubicacin de esa cultura. Anota cmo era su sistema de numeracin.

4 Comenta nuevamente con tus compaeras y compaeros de clases tus hallazgos sobre cmo cuentan algunos grupos culturales de nuestro pas y elabora una monografa sobre uno de esos grupos.

5 Elabora una monografa sobre el sistema de numeracin romano y el babilnico. Resalta sus caractersticas y los usos que de ellos permanecen en la actualidad.

Discutan en el grupo la historieta de la pgina siguiente .

BLOQUE 1


Y t, qu opinas sobre los aportes de dist intos grupos culturales para construir e l actual sistema de numeracin decimal? Cmo ha infl uido en el mundo actual?

Y t, qu opinas sobre los aportes de dist intos grupos culturales para construir e l actual sistema de numeracin decimal? Cmo ha infl uido en el mundo actual?

Matemticas 124


1 Los puntos rojos representan la distancia recorrida por 4 personas en un tramo de 1 km. Anoten la fraccin de 1 km que corresponde a los puntos sealados.

0 1 km

0 1 km

0 1 km

km

km

km

km0 1 km

2 Determinen cinco fracciones que estn entre las fracciones correspondientes a los puntos marcados.

0 1 2

0 2 3

3 Qu fraccin se encuentra en el punto medio entre 1 2

y 7 12

? _________________ Cmo la encontraron?

Comparen su respuesta con las de sus compaeros.

Nmeros fraccionarios y decimalesNmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica

Conocimientos y habilidadesRepresentars nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica a partir de distintas infor-maciones, analizando las convenciones de esta representacin.

Qu sabemos de nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica?

Matemticas 1 25

1.2

EJE: SENTIDO NUMRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

4 Entre qu enteros consecutivos estn las fracciones 3 4

y 7 10

? ________________ Cmo los encontraron?

5 En los siguientes ejemplos, ubiquen en una recta numrica cada par de cantidades expresadas en forma decimal. Trabajen en su cuaderno.

a) Ayer, la temperatura mxima en Cuernavaca fue de 23.6 C y la de Cuautla de 23.5 C.

b) En un maratn, un atleta logr recorrer 22.25 km y otro 22.20 km.

c) El promedio de las calificaciones en la asignatura de matemticas en un grupo es de 6.9 y en otro de 7.0.

6 En cada uno de los tres ejemplos anteriores, determinen en la recta numrica un tercer nmero decimal que se encuentre entre cada par dado de nmeros decimales. Luego, expliquen a los compaeros de su grupo cmo lo lograron.

Para saber ms de nmeros fraccionarios y decimales

en la recta numrica

Leccin 7 Trabaja en equipo

Las fracciones como punto en la recta numrica

1 Consigan un domin de puntos. Si consideran que las fichas representan una fraccin de la forma

a b

, con b diferente de cero y a menor o igual que b,

cul o cules chas no representan una fraccin? ________________________________________

Por qu? __________________________________________________________________________

Cules chas representan una misma fraccin? __________________________________________

________________________________________________________________________________

Coloquen, de forma ordenada, las chas en un segmento unidad. Por ejemplo las chas ,

y las ubicaran en el punto medio del segmento unidad.

Por qu? _________________________________________________________________________

Matemticas 126


Las fracciones numricas tambin se pueden representar con puntos en una recta numrica. Para ello, se requiere primero asignar el 0 a un punto de la recta y determinar una unidad. Por ejemplo,

65

0 1 2

U

55

05

65 1

15; por lo que es mayor que 1, lo cual se escribe as:

65 > 1

Adems, 65 es menor que 105 2, lo cual se escribe as:

65 < 2 o 2 >

65

Luego, el hecho de que la fraccin 65 sea mayor que 1 y menor que 2, esto es, que 65 est entre los

nmeros enteros 1 y 2, se puede escribir as:

1 < 65 < 2 o 2 > 65 > 1

2 Recorten una tira de papel y considrenla como una unidad.

Cmo hacen para representar 134

usando esta tira de papel varias veces?

Entre qu nmeros enteros consecutivos se encuentra la fraccin 134

?

Expliquen a sus compaeros cmo lo hicieron.

3 En la siguiente recta numrica representen la fraccin 13

4 y escriban con smbolos matemticos

entre qu nmeros enteros consecutivos se encuentra.

4 Escriban las fracciones correspondientes (en tercios o cuartos) a los puntos marcados en la gura siguiente.

0 1

0 2

1 2

0 3

1 3

0 4

1 4

BLOQUE 1


5 Determinen cinco fracciones que estn entre 13

y 14

y que dividan este segmento en secciones iguales. Luego expliquen cmo las determinaron.

Comparacin de fraccionesDadas dos fracciones, se puede determinar si son equivalentes o si una es mayor que la otra. Si dos fracciones dadas tienen igual denominador, es muy fcil determinar cul es la mayor.

6 Cmo hacerlo? Expliquen en su equipo.

7 Mara camin 23 km y Julia

34 km. Quin camin ms? _______________ Cmo lo supieron? Arturo

menciona que si las dos fracciones dadas tienen distinto denominador, para compararlas conviene determinar fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Es correcto o inco-rrecto el procedimiento de Arturo? _________________ Tenemos que

23

2 43 4

812 y 34

3 34 3

912

Localicen estas dos fracciones en la recta numrica del ejercicio 4. Comprenlas. 23 es mayor o es

menor que 34 ? _______________

8 El papel cuadriculado es muy til para representar nmeros en una recta numrica, pues permite elegir una unidad adecuada y ubicar partes de la unidad sin necesidad de plegar el papel o usar una

regla graduada. Cmo convendra dividir la unidad para representar 34 y 7

10 en una recta numrica? Expliquen.

0 1120

110

14

710

34

1420

1520

9 Sin utilizar la recta numrica, podran establecer qu relacin hay entre las siguientes fracciones?

3 5

4 7

17 10

7 4

5 6

7 9

Qu procedimiento siguieron?

10 Lean con cuidado el siguiente texto y disctanlo en equipo. Luego contesten la pregunta 11.

Un procedimiento para establecer la relacin entre dos fracciones dadas, segn vimos antes, consiste en convertirlas a fracciones equivalentes con un mismo denominador.

Otro procedimiento consiste en obtener el producto del numerador de la primera fraccin por el denominador de la segunda, y el del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Matemticas 128


Por ejemplo, dadas 7 11 y

8 12, como

7 11

8 12

7 12 84 y 11 8 88

Se tiene que 7 11 es menor que

8 12 ya que 84 es menor que 88. Esto es, a partir de que

7 12 84 < 11 8 88 se concluye que 7 11 <

8 12

Otro procedimiento consiste en expresar las fracciones dadas en notacin decimal. Por ejemplo,

34

3 254 25

75

100

0.75 y 710

0.7

Como 0.75 > 0.70, se tiene que 34

> 710

.

Como habrs observado en este ejemplo, una fraccin cuyo denominador es una potencia de

10 se puede representar usando el punto decimal. As, 710

, siete dcimos, se representa anotando

el 7 despus del punto decimal, 0.7; y 75

100

, setenta y cinco centsimos, se representa como 0.75.

Despus del punto decimal, el primer lugar corresponde a los dcimos; el segundo, a los cent-simos; el tercero, a los milsimos; luego los diezmilsimos, cienmilsimos, millonsimos, etctera.

Si utilizamos este mismo procedimiento para comparar las fracciones 7 11

y 8 12

, tenemos que

7 11 0.6363636363 y

8 12 0.6666666666 .

As que 7 11 <

8 12.

Cuando al expresar un nmero en notacin decimal despus del punto decimal aparece un periodo de cifras que se repiten, en lugar de los puntos suspensivos, se acostumbra denotarlas con una barra horizontal sobre las cifras que se repiten inde nidamente. As,

7 11 0.

63 y 8 12 0.

6

11 Cmo comparan ustedes dos fracciones? Cul de estas distintas formas de comparar fracciones les parece la mejor? Por qu? Comntenlo en equipo.


BLOQUE 1


Para saber ms de nmeros fraccionarios y decimales

en la recta numrica


Nmeros decimales en la recta numrica

1 Ubiquen los nmeros 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,; 0.9 en la recta numrica auxilindose del papel milimtrico.

0

0.01

0.02

10.1 0.2

Ubiquen los nmeros 0.01, 0.02, ..., 0.09 en la recta numrica de arriba.

2 Ubiquen los nmeros 0.001, 0.002, 0.003, , 0.009 en la recta numrica de arriba. Cmo lo hicieron?

3 Representen el nmero 2.7 en la siguiente recta numrica. Entre qu enteros consecutivos se encuentra?

4 Anoten los nmeros que corresponden a los puntos marcados en la recta numrica siguiente y localicen el nmero 3.21 en ella.

3 4

Cmo haran para representar el nmero 3.211? Comntenlo en equipo.

5 Representen el nmero 3.75 en la siguiente recta numrica. Entre qu enteros consecutivos se encuentra?______________________

3.7 3.8

Matemticas 130


6 Anoten los nmeros que corresponden a los puntos marcados en la recta numrica siguiente y localicen el nmero 1.25 en ella.

1 2

7 En la primera vuelta de una carrera de Frmula 1, las posiciones de seis automviles son las que se muestran en la siguiente tabla. Representen los nmeros decimales correspondientes en las rectas numricas.

Nm. de auto Posicin

13 4

vuelta

22 3

vuelta

33 5

vuelta

42 5

vuelta

54 6

vuelta

61 3

vuelta

0

0

0

0

0

0Auto 1

Auto 2

Auto 3

Auto 4

Auto 5

Auto 61

1

1

1

1

1

Quines ocupaban los tres primeros lugares? _______________________________________

8 Lean con atencin el siguiente texto y discutan en equipo cundo un decimal es peridico. Luego resuelvan el problema 9.

Al hacer la divisin del numerador de una fraccin entre su denominador, se obtiene la expresin de la fraccin en notacin decimal o, simplemente dicho, un nmero decimal, el cual consta de dos partes separadas por un punto decimal. La parte a la izquierda del punto decimal es la parte entera del nmero y la de la derecha es su parte o fraccin decimal propia. Por ejemplo,

25 4

10 0.4,

tiene 0 unidades enteras y 4 dcimos;

BLOQUE 1


3320

165100

1.65,

tiene 1 entero y 65 centsimos (6 dcimos y 5 centsimos).

Es posible que al hacer la divisin del numerador entre el denominador de una fraccin se obtenga un cociente exacto (siendo el residuo igual a cero), o bien puede ocurrir que se obtenga como cociente de la divisin un nmero en el que se repita inde nidamente un grupo o periodo de cifras. Los nmeros de este segundo tipo se llaman decimales peridicos.

Como ejemplo del primer caso, tenemos, para 35, que

0.65 3.0 As,

35 0.6

Como ejemplo del segundo caso, tenemos, para 23, que

0.6666...3 2.0 20 20 20

0.63 2.0 As, 23 0.6

Por otra parte, dado un nmero decimal que no sea peridico, para expresarlo como fraccin (con numerador y denominador) slo se escribe como numerador el mismo nmero dado pero sin el punto decimal y como denominador el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga despus del punto decimal el nmero dado. Por ejemplo,

7.5 7510

y 0.87 87100

9 Escriban tres nmeros decimales que se encuentren entre 1

3 y 2

3 y ubquenlos en la siguiente

recta numrica.


Matemticas 132


Por tu cuenta


1 Completa la siguiente tabla y describe el procedimiento que seguiste.

Nmero menor Nmeros entre ambos Nmero mayor

35

3 25 3

58

23

35

3 55 8

813

58

35

813

Procedimiento: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Ubica las fracciones anteriores en la siguiente recta numrica.


0.62 0.63 0.64 0.650.61

0.6 0.666

Hacia cul punto se concentran?

BLOQUE 1


De acuerdo con la historieta, es cierto que sie te dcimos de metro se

encuentran entre 35

y 34

de metro? Qu otras fracciones cumplen esta

condicin? Cmo crees que Mary pudo resolverlo?

Matemticas 134

Patrones y frmulasSucesiones y expresiones generales

Conocimientos y habilidadesConstruirs sucesiones de nmeros a partir de una regla dada y determinars expresiones gene-rales que de nan reglas para formar sucesiones numricas y gurativas.

Qu sabemos de sucesiones y expresiones generales?

1 3 5 9

1a2a3a

1 En el siguiente dibujo aparece un cuadro formado con ms gimnastas. Consideren la disposicin de los gim-nastas y contesten las siguientes preguntas.

Cuntos gimnastas hay entre la tercera y la cuarta L? __________________________________

Y entre la cuarta y la quinta? ________

Y entre la quinta y la sexta? ________

Observan alguna particularidad en los nmeros que han encontrado? Cul?____________________________________________________________________

Si han determinado alguna particularidad, se cumple sta para los gimnastas comprendidos por dos letras L? __________________________________

1a2a3a4a5a6a

Leccin 10 T r a b a j a e n e q u i p o En esta gura se muestran nueve gimnastas colocados formando un cuadrado. En

el piso se tienen marcas semejantes a las letras L. En la regin entre la segunda y la tercera L hay cinco gimnastas, y la cantidad de gimnastas hasta la tercera letra L es de nueve.

Matemticas 1 35

1.3


2 Cuntos gimnastas hay en total hasta la cuarta letra L? ________

Y hasta la quinta L? ________ Y hasta la sexta? ________

Observan alguna particularidad en los nmeros que han encontrado? Cul?

Si han determinado alguna particularidad, se cumple sta para el total de gimnastas encerrados por las otras letras L? ________

3 Podran determinar sin necesidad de hacer algn dibujo o diagrama cuntos gimnastas hay entre la letra L nmero 24 y la 25? ________

Cuntos gimnastas hay en total hasta la letra L nmero 25? ________

4 Describan cmo se puede calcular cuntos gimnastas hay hasta una letra L sea cual fuere el nmero de sta.

Para saber ms de sucesiones y expresiones generales


1 Observen cmo estn colocados los siguientes grupos de puntos y contesten.

Primer Segundo Tercer Cuartotrmino trmino trmino trmino

Qu patrn numrico identi can en estos dibujos?

Por qu piensan que es as?

Agreguen un trmino ms a esta sucesin.

Cuntos puntos tendr?

Cmo describiran el procedimiento utilizado? Antenlo en su cuaderno.

Matemticas 136

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

Existe un nico procedimiento o hay varios? Descrbanlo(s).

Cul es la regla que sigue este patrn? Descrbanla.

Si tuvieron di cultades para contestar las preguntas anteriores, seguramente las siguientes activi-dades les ayudarn a responderlas.

2 Representen en una tabla los valores numricos que corresponden a los trminos de la sucesin (para ello, conviene construir una tabla de dos las). En la primera la de la tabla anoten el nmero correspondiente al orden del trmino en la sucesin, y en la segunda el valor de ese trmino. As, se tiene la siguiente tabla. Compltenla.

Orden del trmino 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nmero de puntos 3 7 11 15

Cuntos puntos le corresponden al trmino 20?

Cmo lo calcularon?

Cuntos puntos le corresponden al trmino 50?

Cmo lo calcularon?

Qu operaciones deben hacer para calcular el nmero de puntos que corresponden al trmino 100?

Si a un trmino le corresponde el nmero n, cmo expresaran el nmero de puntos que le corres-

ponde?

3 A partir de la tabla anterior, cul de las siguientes reglas genera la secuencia anterior al sustituir los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, en la expresin que escogieron?

3n 4n 1 4n + 3

Expliquen cmo pueden obtener la secuencia 3, 7, 11, 15, a partir de la expresin que esco-gieron.

Comparen, en equipo, los distintos procedimientos que siguieron los otros equipos.Como habrn notado, hay varias relaciones que pueden describir determinado patrn.

4 Una manera de expresar una secuencia es con ayuda de la letra n. As por ejemplo para expresar la secuencia de nmeros pares: 2, 4, 6, 8, es 2n, donde n representa los nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, Cmo expresan la secuencia de los nmeros impares: 1, 3, 5, 7, 9,? ____________________La determinacin de una ley general para resolver este tipo de problemas permite proponer un pro-cedimiento alterno ms sencillo. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado y no apresurarse: por

BLOQUE 1


ejemplo, sabiendo que 3 es un nmero primo, 5 es un nmero primo, 7 es un nmero primo, se podra a rmar que 9 es un nmero primo. Sin embargo, 9 3 3 y por lo tanto 9 no es primo.

5 Pueden dar otro ejemplo en donde se haga una aseveracin general de manera incorrecta?

6 En la siguiente gura se muestran arreglos de puntos en forma triangular. Al contar la cantidad de puntos en el permetro de cada tringulo, vemos que sucesivamente hay 3, 6, 9, etctera, puntos en el permetro de cada uno; es decir, sin contar los puntos interiores.

Cuntos puntos tendr el permetro del vigsimo trin-gulo?_________________________

Cuntos tendr el quincuagsimo tringulo?_________________________

7 Traten de plantear una frmula que sirva para calcular el valor de cualquier arreglo triangular como los anteriores. Es decir, dado el nmero ordinal que corresponda a un arreglo triangular, el primero, el segundo, , el dcimo, , el centsimo, , y, en general, el n-simo, calculen mediante la frmula que planteen cul es el valor de ese arreglo triangular. Esto es,

el primero es 3, el segundo es 6, , el dcimo es 30, , el centsimo es 300 , el n-simo es

Arreglo triangular 1 2 3 10 100 1000 n

Puntos en el permetro(sin considerar lospuntos interiores)

3 6 9 30 300

8 Escriban la regla general que permite determinar cualquier trmino de cada una de las siguientes sucesiones.

a) 3, 8, 13, 18, 23, 28 Regla: ________________________________________________

b) 7, 11, 15, 19, 23, 27 Regla: ________________________________________________

c) 8, 11, 14, 17, 20, 23 Regla: ________________________________________________

9 A continuacin se describen reglas generales para generar sucesiones. Compltenlas.

REGLAS

4n3: 7, 11,

3n2: 1, 4,

5n2:

7n1:

Matemticas 138


Por tu cuenta


1 Observa el siguiente barandal hecho de varillas de erro.

...

Cuntas varillas de erro se necesitan para construir cuatro tringulos? __________

Y cinco? __________

Y diez? __________

2 Qu se te ocurre hacer para determinar cuntas varillas de erro se necesitan para construir 100 tringulos? (Trata de plantear una frmula para hacer este clculo fcilmente.)

Nmero

de tringulos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nmero

de varillas3 5 7 9 11

3 Explica el procedimiento matemtico que seguiste.



BLOQUE 1


Ests de acuerdo con la respuesta de Juan?

Cmo expresaras la regla general para esta sucesin de tapetes?

Te gustara inventar otra sucesin de tapetes con cuadritos?

Matemticas 140

Patrones y frmulasFrmulas geomtricas

Conocimientos y habilidadesExplicars en lenguaje natural el signi cado de algunas frmulas geomtricas, interpretando las literales como nmeros generales con los que es posible operar.

Qu sabemos de frmulas geomtricas?


Situacin 1

8 cm

a) Si el lado de un cuadrado mide 8 cm, cunto miden su rea y su permetro? A = ____________ P = ____________b) Si el lado de un cuadrado mide el doble que el del inciso a), cunto miden su rea y su permetro? A = ____________ P = ____________c) Si el lado de un cuadrado mide la mitad de lo que mide el lado del cuadrado del inciso a), cunto

miden su rea y su permetro? A = ____________ P = ____________

Situacin 2 Un terreno rectangular que tiene 10 metros de ancho y 25 metros de largo, se cercar con tres vueltas de

alambre. Cuntos metros de alambre se necesitan para cercarlo? _____________

a) En caso de que se quisiera cercar el mismo terreno con cuatro vueltas de alambre, cuntos metros de alambre se necesitaran? _____________

Matemticas 1 41

1.4


b) Un agricultor desea comprar un terreno rectangular para sembrar hortalizas, y quiere cercarlo con dos vueltas de alambre. Cuntos metros de alambre necesitara para cada uno de los siguientes terrenos?

Un terreno rectangular de 28 m de largo y 20 m de ancho _____________



c) Planteen una frmula que permita calcular la cantidad de alambre en metros necesaria para cercar cualquiera de los terrenos segn quiere hacerlo el agricultor del que se habla en el inciso b).

d) Veri quen la frmula que plantearon en el inciso c) utilizando los datos de cada uno de los terrenos del inciso b).

Situacin 3

Observen la siguiente secuencia de guras.

1 Para completar la siguiente tabla, consideren que el lado de cada tringulo equiltero tiene medida b.

Polgono interior Permetro del polgono interior Permetro de la gura

Tringulo equiltero 3b 6b

Cuadrado

Pentgono regular

Hexgono regular

2 De acuerdo con la tabla, determinen la relacin que existe entre el permetro del polgono interior (tringulo, cuadrado, pentgono y hexgono, respectivamente) y el permetro de la gura.

3 Planteen una expresin para calcular el permetro de una gura como las del inciso 1, si el polgono interior es un octgono regular _______________________________

4 Planteen una expresin para calcular el permetro de una gura como las del ejercicio 1, si el polgono interior es un decgono regular _______________________________

5 Si la expresin que representa el permetro de la gura es 24b, cuntos lados tiene el polgono interior? _______________________________

Matemticas 142


6 Completen la siguiente tabla si la medida del lado del tringulo equiltero es de 4 cm.

Polgono interior Permetro del polgono interior Permetro de la gura

Tringulo equiltero 12 cm 24 cm

Cuadrado

Pentgono regular

Hexgono regular

Octgono regular

Decgono regular

Para saber ms de frmulas geomtricas

Leccin 14 T r a b a j a e n p a r e j a

1 Calculen el permetro de cada una de las siguientes guras.

P

a

a

b

c d

d c

P

x

x

x

x

y y

y y

P

A un segmento de lnea recta que va de un vrtice a otro no consecutivo de un polgono se le deno-mina diagonal. As, al trazar una diagonal de un rectngulo, ste queda dividido en dos tringulos. A este tipo de tringulos se les llama tringulos rectngulos, pues se obtienen a partir de un rec-tngulo. Luego, un tringulo rectngulo es el que tiene un ngulo recto.

a

bc

d

ef

g

hi

El permetro (P ) de un tringulo es la suma de las medidas de sus tres lados.

2 Establezcan una frmula para calcular el permetro de un tringulo culquiera cuyos lados son a, b, c:

P __________________________________

BLOQUE 1


3 Cmo se puede calcular el permetro de un tringulo que tenga todos sus lados iguales a x? Escri-ban una frmula para calcular el permetro de este tringulo.

4 Un octgono regular es un polgono de ocho lados iguales y ocho ngulos iguales. Establezcan una frmula para calcular el permetro de un octgono regular.

P __________________________________

5 Establezcan una frmula para calcular el permetro de un hexgono regular.

P ______________________________________________________________________________

Permetros y reasEl permetro (P ) de una gura cerrada en un plano es la medida de la longitud de su contorno, y su rea (A) es la extensin de la super cie que limita en el plano en que se encuentra.

6 El permetro de una cierta gura se calcula sumando las medidas de sus cuatro lados. Si cada lado de la gura mide a, su permetro es

P a a a a, o bien P 4 a, o simplemente P 4a.

De qu gura se trata? ____________________________________________________________Las tres expresiones anteriores producen el mismo resultado?____________________________

7 El rea de una cierta gura se calcula multiplicando la medida de un lado por s misma. Si el lado mide a, su rea es

A a a, o bien A a2.De cul gura se trata? ____________________________________________________________

8 Carlos a rma que el permetro de una gura es P 2a 2b y Rosa a rma que es P 2(a b).

De qu gura se trata? _______________________________Las dos expresiones anteriores producen el mismo resultado? ____________________________



l

Matemticas 144


Sin importar la medida de cada lado, cmo expresaras t, con tus propias

palabras, e l procedimiento para calcular e l permetro y e l rea de una

seccin triangular?

Cul sera la expresin general que las representa?



seccin triangular?




seccin triangular?



Movimientos en el planoFiguras simtricas

Qu sabemos de guras simtricas?


1 Tracen el eje o los ejes de simetra de las siguientes guras.

2 Completen cada una de las siguientes guras usando su eje de simetra.

Eje de simetra

3 Las siguientes letras tienen ejes de simetra. Dibujen en su cuaderno otras guras que tengan uno o varios ejes de simetra.

Conocimientos y habilidadesConstruirs guras simtricas respecto a un eje, analizars y hars explcitas las propiedades que se conservan bajo simetra en guras tales como tringulos issceles y equilteros, rombos, cua-drados y rectngulos.

Matemticas 146

1.11.11.11.5

4 Construyan el ABC simtrico del tringulo issceles ABC con respecto al eje r y contesten las siguientes preguntas.

C

B A

r

Cmo son entre s las longitudes de los siguientes pares de segmentos?

AB y AB ___________________ BC y B C ___________________

CA y C A ___________________ AC y AC ___________________

5 En los tringulos ABC y ABC, midan con un transportador las amplitudes de los pares de ngulos A y A, B y B, C y C .

Cmo son?

6 De acuerdo con lo que realizaron en las actividades 4 y 5 enlisten en su cuaderno las propiedades que hayan descubierto.

7 Tracen la simtrica de cada una de las guras siguientes. Observen la ubicacin de los ejes de simetra co-rrespondientes. Despus midan las longitudes de los lados y de los ngulos de las guras que hayan trazado. Finalmente completen la tabla de la siguiente pgina.

A

B

C

r

C

D B

A

m

BLOQUE 1

Matemticas 1 47EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

C

D

B

A

n

C

D

B

A

p

Figura Figurasimtrica

Hay la mismadistancia de dos

puntos simtricosal eje de simetra?

Tienen la mismalongitud los lados

de la gurasimtrica que los

de la original?

Tienen la mismaamplitud los

ngulos de la gurasimtrica que los

de la original?

Tringuloissceles ABC ABC

Rombo ABCD ABCD

Cuadrado ABCD ABCD

Rectngulo ABCD ABCD

Para saber ms de guras simtricas

Leccin 16 T r a b a j a e n p a r e j a

1 Realicen las siguientes actividades:

a) Doblen una hoja de papel tamao carta a la mitad por su largo; en el doblez anoten EJE DE SIMETRA.

b) En una mitad de la hoja tracen un tringulo escaleno y denoten sus vrtices como A, B y C respectivamente. Coloreen el interior del tringulo.

Eje de simetra

Matemticas 148

TEMA: TRANSFORMACIONES

c) Doblen nuevamente la hoja por el EJE DE SIMETRA y con la punta de un lpiz perforen los vrtices de modo que se marquen en la otra mitad de la hoja. A los puntos marcados en esta mitad de la hoja dentenles respectivamente como A, B y C, de modo que A corresponda al vrtice A, B a B, y C a C.

d) Desdoblen la hoja y tracen el tringulo de vrtices A, B y C.

e) Ahora con una regla tracen los segmentos rectilneos, de preferencia con color rojo, que van del punto A al punto A, de B a B, y de C a C (cada uno de estos segmentos rectilneos se denota como AA , BB y CC

).

A las parejas de puntos A y A, B y B y C y C se les llama puntos simtricos respecto al EJE DE SIMETRA marcado por el doblez de la hoja, y se dice que los tringulos ABC y ABC son sim-tricos. (Se acostumbra usar el signo para denotar el trmino tringulo. As, el ABC y el ABC son simtricos.)

BLOQUE 1


2 Consideren esta ilustracin para constestar las siguientes preguntas.

eje

eje

A

C C

A

B B

Qu ngulos forman los segmentos rectilneos AA , BB y CC con el eje de simetra?

Denoten los puntos de interseccin de AA , BB y CC con el eje de simetra como D, E y F respec-

tivamente.Midan la distancia entre A y D y entre A y D. Qu notan? Midan la distancia entre B y E y entre B y E. Qu notan? Midan la distancia entre C y F y entre C y F. Qu notan? Hagan una lista de las propiedades que se conservan al re ejar una gura con respecto a un eje de simetra.

3 Fjense en las guras y contesten en su cuaderno las preguntas que siguen.Son simtricas F y F respecto a r? Cmo pueden veri carlo?Son simtricas G y G respecto a p? Cmo pueden veri carlo?

a)

r

F

F

G

G

P

a) b)

Matemticas 150


4 Cules de las siguientes guras son simtricas con respecto a la recta roja? ______________________Por qu? ________________________________________________________________________

a) b) c)


Realicen las siguientes actividades.

Actividad 1 Ahora tracen la gura simtrica en el siguiente dibujo respecto al eje de simetra dado.

A

B C

D

G

H

E F

eje de simetra

Cul es el punto de la gura ABCDEF ms alejado del eje de simetra? _____________________

Cul es el punto de la gura ABCDEF ms alejado del eje de simetra? __________________

Cul es el punto de la gura ABCDEF ms cercano al eje de simetra? ______________________

1

BLOQUE 1


Cul es el punto de la gura ABCDEF ms cercano al eje de simetra? ____________

Es el lado AB paralelo al eje de simetra? ________________________________________

Es el lado AB paralelo al eje de simetra? ______________________________________

Se denomina perpendiculares a dos rectas que forman ngulo recto entre s.Qu lados de la gura ABCDEF son perpendiculares al eje de simetra?

Qu lados de la gura ABCDEF son perpendiculares al eje de simetra?

Al re ejar la gura con respecto a un eje de simetra se conservan:

Las medidas de sus lados y de sus ngulos.

El paralelismo y perpendicularidad de sus lados.

Actividad 2En la siguiente gura est trazada la recta l y marcado un punto P exterior a ella. Sigan estos pasos para determinar el simtrico del punto P respecto a la recta dada l usando escuadra y comps.

lP

a) Por el punto P, tracen una perpendicular m a la recta dada l.

lP

m

A

Matemticas 152


b) Denoten con A al punto donde m y l se intersectan (este punto A se denomina pie de la perpendicular m). Luego prolonguen la recta m hacia el otro lado de l.

lP

m

A

c) Con el comps, tracen una circunferencia con centro en A y radio AP. Denoten con P el otro punto de interseccin de esta circunferencia con la recta trazada m.

lP

m

90

P

A

El punto P es el que se requera encontrar.

lP

m

90

P

A

d) Cmo sabemos que PA AP en la gura anterior? Comntenlo en su equipo.

La palabra eje proviene de la palabra latina axis; por eso, cuando se hace referencia a la simetra con respecto a un eje, simplemente se dice simetra axial. La actividad anterior nos ayudar a de nir lo que es una simetra axial.

BLOQUE 1


P

m

P

Q

S

R

R

S

Q

P

m

Q

RS


Por tu cuenta


1 Completa la simtrica de la siguiente gura, sabiendo que A es el simtrico de A. (Primero determina el eje de simetra.)

A

A

Un punto P es el simtrico de P respecto a la recta l o viceversa, P es el simtrico de P respecto a la recta l si se cumplen las siguientes dos condiciones:

el segmento rectilneo PP es perpendicular a la recta l, y la longitud de PA es igual a la de AP.

Esto es, dos puntos P y P son simtricos con respecto a un eje l si el segmento rectilneo PP es perpendicular a la recta l y su punto de interseccin es el punto medio del segmento PP.

e) Cul es el simtrico de un punto L que est en el eje de simetra l? __________________

Actividad 3

En la gura siguiente pueden darse cuenta de que la recta m no es eje de simetra de PQRS. Por qu?

Matemticas 154


2 Describe el procedimiento que seguiste para trazar la gura simtrica, dada la gura y un punto simtrico de sta.

3 Traza los ejes de simetra de los siguientes polgonos regulares y luego completa la tabla de abajo.

Nmero de lados del polgono regular 3 4 5 6 7 8 9 10

LNEA

Nombre del polgono regular

Tri

ngu

lo

equi

lte

ro

Cua

drad

o

Pent

gon

o

Hex

gon

o

Hep

tgo

no

Oct

gon

o

Non

gon

o

Dec

gon

o

I Nmero de ejes de simetra que van de un lado a otro del polgono

II Nmero de ejes de simetra que van de un vrtice a un lado del polgono

III Nmero de ejes de simetra que van de un vrtice a otro del polgono

IV Nmero total de ejes de simetra del polgono

4 Qu patrn de comportamiento has observado en cuanto al nmero de ejes de simetra de los polgonos regulares? Describe por escrito tus observaciones. Hazlo en tu cuaderno.


BLOQUE 1


A qu propiedades se refi ere Lupe? Qu propiedades se conservan bajo simetra en fi guras como tringulos issceles, equilteros y rombos, por ejemplo?

Matemticas 156

Relaciones de proporcionalidadProporcionalidad directa

Conocimientos y habilidadesIdenti cars y resolvers situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor faltante en di-versos contextos, utilizando de manera exible diversos procedimientos.

Qu sabemos de proporcionalidad directa?


1 Completen la siguiente tabla sabiendo que en un supermercado se venden paquetes de 12 huevos cada uno.

Cantidad de paquetes 1 2 7 20 100 300 500

Cantidad de huevos 12 36 48

2 En un mercado se venden bolsas de 3 kg (kilogramos) de naranjas cada una. El dueo de un restaurante necesita 15 kg diarios para los desayunos que ofrece en su negocio.

Cuntas bolsas de naranjas tendr que comprar en una semana? ______________

Y en un mes? ______________

Completen la siguiente tabla.

Cantidad de das 1 2 3 4 5 6 7 30

Cantidad de bolsas de naranjas

3 Para hacer crema de chocolate para 6 personas se necesitan 108 g (gramos) de chocolate, 6 cucharadas de azcar, 4 yemas de huevo y 10 almendras, entre otros ingredientes. Qu cantidad de cada ingrediente se necesita para preparar crema de chocolate para 9 personas?

Chocolate: __________ Azcar: __________ Huevo: __________ Almendra: __________

4 Si 6 L (litros) de leche cuestan $54.00, cunto cuestan 11 L de leche? ______________

Cunto cuesta 1 L de leche? ______________

Matemticas 1 57

1.6

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIN

El Porvenir

Cunto cuestan 3 L de leche?

Y 4 L?

5 La familia Macas va en un autobs rumbo a Acapulco a una velocidad constante de 90 km por hora.

Cuntos kilmetros recorre el autobs en 3 horas?

Y en media hora?

Y en 15 minutos?

6 Si un automvil tarda 3 horas en recorrer 315 km, cuntos kilmetros recorrer en 5 horas si contina desplazndose a la misma velocidad? Y en una hora?

Para saber ms de proporcionalidad directa


1 Mara trata de explicar a su mam cmo gast el dinero en el supermercado. Si bien pag $171.70 (redondeando $171.71), no sabe cmo se obtuvieron los tres primeros valores de esa suma, cantidades que estn encerradas en el comprobante de pago. Podran ayudarle a Mara a dar su explicacin?

MUCHAS GRACIASPOR SU COMPRA

2 kg jamn de pavo 1 kg/48.00 96.00

0.500 kg queso panela 1 kg/36.00 18.00

0.250 kg queso amarillo 1 kg/80.00 20.00

medialuna po. 11.20

bollito de queso 10.90

SUBTTL 156.10

TOTAL 171.71

EFCTVO 200.00

CAMBIO 29.29

Completen lo siguiente.Si 1 kg de jamn de pavo cuesta $48.00, 2 kg cuestan: _____________________________________

Matemticas 158

TEMA: ANLISIS DE LA INFORMACIN

Si 1 kg de queso panela cuesta $36.00, cunto cuestan 0.500 kg (12 kg)?

Si 1 kg de queso amarillo cuesta $80.00, cunto cuestan 0.250 kg (14 kg)?

En cuanto al jamn de pavo, se ha elaborado la siguiente tabla. Verifiquen las cantidades utilizando una calculadora.

Observen que hay un nmero que, si se multiplica por el nmero correspondiente a la cantidad de jamn, se obtiene como resultado la cantidad total de dinero que se tiene que pagar. Al duplicar, triplicar, reducir a la mitad, etc., la cantidad de jamn, se duplica, triplica, se reduce a la mitad, etc., el costo correspondiente. Diremos que la cantidad de jamn comprado y el precio pagado son directamente proporcionales. El nmero por el que se multiplica la cantidad de jamn recibe el nombre de factor constante de proporcionalidad.

2 Completen la siguiente tabla para calcular el costo de cierta cantidad de queso panela.

Cul es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________

3 Completen la siguiente tabla para calcular el costo de determinada cantidad de queso amarillo.

Cul es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________

Cualquiera que sea la cantidad de mercanca, el costo total puede obtenerse multiplicando dicha cantidad por el precio de una unidad, al cual llamaremos precio unitario.Cualquiera sea el costo de la mercanca, la cantidad de mercanca puede determinarse divi-diendo dicho costo entre el precio unitario correspondiente. Por ejemplo, para encontrar la cantidad de queso amarillo comprado sabiendo que se pagaron $60 y que el precio unitario de 1 kg es $80 hacemos la divisin:

6080 5

68 5

34

La cantidad de queso amarillo comprado fue de 34 kg.En nuestros ejemplos, el precio unitario respectivo es constante. Se le denomina constante de proporcionalidad. Para el caso del jamn de pavo, observen lo siguiente:

Cantidad de jamn en kg 1 2 5 6 0.500 0.250 0.125

Precio en pesos ($) 48 96 240 288 24 12 63 48 4 48

Cantidad de queso panela en kg 0.125 0.250 0.500 1 2 3 4 5

Precio en pesos ($)

Cantidad de queso amarillo en kg 1 1/4

Precio en pesos ($)

BLOQUE 1

Matemticas 1 59EjE: ManEjo dE la inforMacin

481

962

1443

1924

2405

60.125 48.

As, en este caso la constante de proporcionalidad es igual a 48. ste es un procedimiento til para decidir si una tabla corresponde o no a una proporciona-lidad.

4 En cules de las siguientes tablas se tiene una proporcionalidad directa? Escriban S o NO en la casilla correspondiente. Justi quen la respuesta en su cuaderno.

TABLA D TABLA E

TABLA A

TABLA B

TABLA C

TABLA D

TABLA E

Se tiene una proporcionalidad directa?

Nmero de entradas 3 10 15 28

Precio en pesos ($) 37 125 187

TABLA A

Temperatura en Hora del da grados Celsius

9:00 21

12:00 28

15:00 32

18:00 27

21:00 22

24:00 18

9:00 21

12:00 28

15:00 32

18:00 27

21:00 22

24:00 18

Tiempo Distancia transcurrido en h recorrida en km

1 120

2 240

3 360

3 420

5 600

5 630

1020

Distancia Distancia en real en km el mapa en cm

40 1 13

180 6

450 15

540 18

21 21

Edad en aos Altura en m

7 1.10

8 1.15

9 1.22

10 1.28

11

TABLA B TABLA C

Matemticas 160

TEMA: ANLISIS DE LA INFORMACIN

Cul es la constante de proporcionalidad en las tablas anteriores que identificaron como propor-cionales?

5 Veamos la siguiente tabla.

Cantidad de paletas 1 2 3 4 5 6 9

Precio en pesos ($) 8.50 17.00 25.50 34.00 42.50 51.00 76.50

Si de la primera lnea suman el 2 y el 4, se obtiene que 2 1 4 5 6.En la segunda lnea, al 2 corresponde 17.00 y al 4 corresponde 34.00. Al sumar los valores corres-pondientes, se tiene que 17.00 1 34.00 5 51.00. La cantidad 51.00 en la segunda lnea corresponde al 6 en la primera, que fue el resultado de 2 1 4. Si restan 17.00 a 42.50, qu obtienen? ____________ En la primera lnea, a 17.00 corresponde 2 y a 42.50 corresponde 5. Al restar los valores correspondientes, se obtiene ____________.Qu pueden concluir de la suma o resta? ____________

6 Determinen cunto se pagara por 11 paletas utilizando el anterior procedimiento.

7 Determinen cunto se pagara por 17 paletas.


Por tu cuenta


1 Delassiguientesparejasdemagnitudes,culessondirectamenteproporcionales?Utilizatabulacinparadarturespuestaysubrayalacorrecta.

a) Lado(l)delcuadradoysusuperficie(A).

b) Ladodelcuadrado(l)ysupermetro(P).

c) Edad(aos)yalturadelaspersonas(cm).

l

P

b)

l

A

a)

Aos

cm

c)

BLOQUE 1

Matemticas 1 61EjE: ManEjo dE la inforMacin

2 Cules de las siguientes tablas contienen datos que estn en proporcin directa? Coloralas.

TABLA A

TABLA B

TABLA C

Se tiene una proporcionalidad directa?

Cul es la constante de proporcionalidad?

TABLA A

A 1 2 3 4 5

B 7 14 21 28 35

TABLA B

L 4 8 12 16 20

S 36 72 108 144 176

TABLA C

T 1 2 3 4 5

E 100 200 300 400 500

3 Completa esta tabla sabiendo que los datos de una lnea estn en proporcin directa con los de la otra lnea.

Distancia que recorre un autobs en km 45 km 450 495

Tiempo que tarda en recorrer la distancia en h 1 3

4 Describe dos ejemplos de cmo se utiliza la proporcionalidad directa en algunos mbitos de tu comunidad.

a) ____________________________________________________________________________________

b) ____________________________________________________________________________________


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