Matemáticas 2

R E F O R M A I N T E G R A L D E L A E D U C A C I N M E D I A S U P E R I O R

S E G U N D OS E M E S T R E

M TEMTICAS 2F O R M A C I N B S I C A

QUERIDOS JVENES:

Siempre he pensado que la juventud constituye una de las etapas ms importantes en el desarrollo del ser humano; es la edad donde forjamos el carcter y visualizamos los ms claros anhelos para nuestra vida adulta. Por eso, desde que so con dirigir los destinos de nuestro estado, me propuse hacer acciones concretas y contundentes para contribuir al pleno desarrollo de nuestros jvenes sonorenses.

Hoy, al encontrarme en el ejercicio de mis facultades como Gobernadora Constitucional del Estado de Sonora, he retomado los compromisos que contraje con ustedes, sus padres y en general con las y los sonorenses cuando les solicit su confianza para gobernar este bello y gran estado. Particularmente luchar de manera incansable para que Sonora cuente con Escuelas formadoras de jvenes innovadores, cultos y con vocacin para el deporte. Este esfuerzo lo har principalmente de la mano de sus padres y sus maestros, pero tambin con la participacin de importantes actores que contribuirn a su formacin; estoy segura que juntos habremos de lograr que ustedes, quienes constituyen la razn de todo lo que acometamos, alcancen sus ms acariciados sueos al realizarse exitosamente en su vida acadmica, profesional, laboral, social y personal.

Este mdulo de apendizaje que pone en sus manos el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, constituye slo una muestra del arduo trabajo que realizan nuestros profesores para fortalecer su estudio; aunado a lo anterior, esta Administracin 2015-2021 habr de caracterizarse por apoyar con gran ahnco el compromiso pactado con ustedes. Por tanto, mis sueos habrn de traducirse en acciones puntuales que vigoricen su desarrollo humano, cientfico, fsico y emocional, adems de incidir en el manejo exitoso del idioma ingls y de las nuevas tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Reciban mi afecto y felicitacin; han escogido el mejor sendero para que Sonora sea ms prspero: la educacin.

LIC. CLAUDIA ARTEMIZA PAVLOVICH ARELLANOGOBERNADORA CONSTITUCIONAL DEL ESTADO DE SONORA

F O R M A C I N B S I C AMATEMTICAS 2

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA

Director GeneralMtro. Vctor Mario Gamio Casillas

Director AcadmicoMtro. Martn Antonio Ypiz Robles

Director de Administracin y FinanzasIng. David Suilo Orozco

Director de PlaneacinMtro. Vctor Manuel Flores Valenzuela

MATEMTICAS 2

Desarrollo Editorial:Coordinacin Editorial: LDG. Luis Ricardo Snchez LandnEdicin y Diseo: Yolanda Yajaira Carrasco MendozaCorreccin de Estilo:Esperanza Brau SantacruzLuca Ordoez Bravo

Mtra. Laura Isabel Quiroz ColossioCoordinacin General:

Coordinacin Tcnica:Rubisela Morales Gispert

Supervisin Acadmica:Vanesa Guadalupe Angulo Bentez

Revisin DisciplinarMargarita Len VegaConcepcin Valenzuela GarcaJoaqun Miranda GilRal Amavizca CarltonMiguel ngel Barcel Lara

Contenido: Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora

Bufete de Asesora en EducacinMatemtica de la Universdad de Sonora

Autores:Ana Guadalupe Del Castillo BojrquezJos Luis Soto MunguaJorge Ruperto Vargas CastroManuel Alfredo Urrea BernalMaricela Armenta CastroMartha Cristina Villalba GutirrezRamiro vila GodoyEleazar Silvestre CastroMario Alberto Quionez Ayala

Derechos Reservados: Copyright , 2013 Colegio de Bachilles del Estado de Sonora Blvd. Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora, Mxico. C.P. 83280

ISBN: 978-607-730-032-8

Primera Edicin: 2013Primera Reimpresin 2014Segunda Reimpresin 2015Se termin la impresin de esta obra en diciembre del 2015. En los talleres de Lambda No. 216 Fraccionamiento Industrial Delta C.P. 37545 Len, Guanajuato, Mxico.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro No. 3681

Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de SonoraBlvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, MxicoLa edicin consta de 11,440 ejemplares.

Impreso en Mxico/Printed in Mexico

III

Contenido

Mensaje del Gobernador ......................................................................................................... ...VIPresentacin ............................................................................................................................ ...VIIEstructura metodolgica de los textos ................................................................................... ...XAtributos de las competencias genricas de la asignatura ................................................... ...XIICompetencias disciplinares de la asignatura ........................................................................ ...XIIIMapa de la asignatura ........................................................................................................................XIV

BLOQUE 1: ESTUDIO DE LOS NGULOS, TRINGULOS Y CRCULOS

Secuencia didctica 1. Eratstenes y la medida de la tierra Actividad de Inicio ...................................................................................................... 2 Actividad de Desarrollo .............................................................................................. 5 Actividad de Cierre ................................................................................................... 10

Secuencia didctica 2. Construir tringulos Actividad de Inicio .................................................................................................... 15 Actividad de Desarrollo ............................................................................................ 17 Actividad de Cierre ................................................................................................... 28

Secuencia didctica 3. En el Centro Ecolgico del Estado de Sonora Actividad de Inicio .................................................................................................... 36 Actividad de Desarrollo ............................................................................................ 40 Actividad de Cierre ................................................................................................... 47

Seccin de problemas ..................................................................................................... 54Autoevaluacin ................................................................................................................. 60

BLOQUE 2: PROBLEMAS Y SITUACIONES RELACIONADAS CON LOS POLGONOS, CIRCUNFERENCIAS Y CRCULOS

Secuencia didctica 1. ngulos interiores de los polgonos Actividad de Inicio .................................................................................................... 68 Actividad de Desarrollo ............................................................................................ 70 Actividad de Cierre ................................................................................................... 73

Secuencia didctica 2. La geometra de los canales hidrulicos Actividad de Inicio .................................................................................................... 78 Actividad de Desarrollo ............................................................................................ 80 Actividad de Cierre ................................................................................................... 85

Secuencia didctica 3. reas y permetros de polgonos Actividad de Inicio .................................................................................................... 87 Actividad de Desarrollo ............................................................................................ 90 Actividad de Cierre ................................................................................................... 97

Secuencia didctica 4. La geometra del riego por aspersin Actividad de Inicio .................................................................................................. 100

IV

Actividad de Desarrollo .......................................................................................... 102 Actividad de Cierre ................................................................................................. 105

Secuencia didctica 5. Mtodos geomtricos prcticos Actividad de Inicio .................................................................................................. 111 Actividad de Desarrollo .......................................................................................... 113 Actividad de Cierre ................................................................................................. 122

Seccin de problemas ................................................................................................... 124Autoevaluacin ............................................................................................................... 128

BLOQUE 3: CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRINGULOS

Secuencia didctica 1. Armado de torres de transmisin elctrica Actividad de Inicio .................................................................................................. 132 Actividad de Desarrollo .......................................................................................... 135 Actividad de Cierre ................................................................................................. 138

Secuencia didctica 2. Situaciones de semejanza

Actividad de Inicio .................................................................................................. 145 Actividad de Desarrollo .......................................................................................... 146 Actividad de Cierre ................................................................................................. 156


BLOQUE 4: APRENDIENDO A RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO CONCEPTOS DE LA TRIGONOMETRA

Secuencia didctica 1. Haciendo la tarea de matemticas Actividad de Inicio .................................................................................................. 168 Actividad de Desarrollo .......................................................................................... 173 Actividad de Cierre ................................................................................................. 181

Secuencia didctica 2. Funciones trigonomtricas


Secuencia didctica 3. Trigonometra y astronoma Actividad de Inicio .................................................................................................. 198 Actividad de Desarrollo .......................................................................................... 200 Actividad de Cierre ................................................................................................. 203

Secuencia didctica 4. Medidas de distancias inaccesibles Actividad de Inicio .................................................................................................. 205 Actividad de Desarrollo .......................................................................................... 206 Actividad de Cierre ................................................................................................. 217

Contenido

VContenido


BLOQUE 5: PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

Secuencia didctica 1. Qu dicen los nmeros, respecto a quines y cmo somos?


Secuencia didctica 2. Algunas estadsticas sobre redes sociales y poblacin joven en Sonora.


Secuencia didctica 3. Situaciones de azar y probabilidad



Glosario de trminos utilizados ............................................................................................. 307Sitios web recomendados ..................................................................................................... 326Referencias bibliogr cas ..................................................................................................... 327

VII

Presentacin

Actualmente, el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora cuenta con un modelo curricular con base en el desarrollo de competencias. Sobre el significado de la palabra competencia existen diferentes versiones y formas de referirse al trmino, pero, en general, se establece que se trata de la conjuncin de actitudes, habilidades y conocimientos desarrollados por una persona, que lo capacitan para enfrentar y resolver problemas, particularmente problemas no escolares.

De esta manera, en la escuela se pone nfasis no slo en los conocimientos que un estudiante pueda construir, sino fundamentalmente en su capacidad para aplicarlos en la resolucin de problemas cotidianos en diferentes mbitos, que en el modelo curricular se traducen en el desarrollo de competencias genricas y disciplinares.

El presente mdulo de aprendizaje Matemticas II, que el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora pone a tu disposicin, est integrado por una serie de temticas que debern ayudarte a desarrollar competencias disciplinares, sto es, aqullas que son especficas de las matemticas, como las competencias para manejar datos numricos, para interpretar informacin, para modelar matemticamente situaciones propias de otros campos del conocimiento y de la vida diaria en general. El mdulo se centra, en su parte matemtica, en el desarrollo de competencias ligadas a la Geometra, Trigonometra, Probabilidad y Estadstica, como a continuacin se describe:

Geometra: Los primeros tres bloques del mdulo estn dedicados a la Geometra y en ellos se presentan situaciones del mundo real o de carcter estrictamente matemtico, que exigen del uso de la geometra como herramienta para resolver problemas, pero tambin conducen a la necesidad de estudiar los objetos geomtricos (ngulos, tringulos, crculos, etc.) como tales.

Aunque la Geometra cuenta con sus propios mtodos para demostrar la certeza o falsedad de sus afirmaciones, y aunque estos mtodos han jugado un importante papel en el desarrollo de esta disciplina, en el presente material de estudio, estos mtodos no son el punto de partida; la prioridad ms bien, es la percepcin y el uso de los objetos geomtricos como instrumentos para resolver problemas y modelar el mundo fsico.

VIII

Presentacin

Trigonometra: Durante siglos la Trigonometra fue vista como parte de la Geometra y estuvo dedicada al estudio y la resolucin de tringulos, es decir a problemas cuya resolucin dependa de encontrar la medida del lado o del ngulo de un tringulo, conocidos otros lados o ngulos. En el presente material encontrars, en primer lugar, este enfoque de la trigonometra ntimamente ligado a la solucin de problemas prcticos.

Conforme la medida de los ngulos fue conectndose con el tamao de arcos de circunferencia, la trigonometra evolucion hacia un enfoque ms funcional, en el cual el inters principal es el estudio de lo que hoy se conoce como funciones trigonomtricas. Tambin este enfoque, tan importante para el estudio de ramas de la matemtica como el clculo diferencial e integral, est incluido aqu. Al igual que en otras partes del texto, se trata de dar sentido a estas funciones a partir de los problemas que se resuelven con ellas.

Probabilidad y Estadstica: En el ltimo bloque, la discusin se centrar en algunos objetos de estudio propios de la Probabilidad y la Estadstica. En la primera parte del bloque estudiars cuestiones relacionadas con la recoleccin, organizacin, presentacin y anlisis de datos acerca de caractersticas de inters en un grupo de personas u objetos, en las que se enfatizarn aspectos como la interpretacin de la informacin y su utilidad para la toma de decisiones en diversas situaciones. Tambin se incluye la reflexin acerca de ideas bsicas sobre el azar, analizando situaciones en contextos cotidianos y fenmenos que son de inters para otras ramas de conocimiento; en todo momento, lo que interesa es que puedas reflexionar sobre los conceptos matemticos involucrados y su potencia para la resolucin de problemas.

As como con el desarrollo de competencias disciplinares, el presente mdulo de aprendizaje tambin deber ayudarte a desarrollar competencias genricas, por ejemplo para comunicar, para el manejo de las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin (TIC), para el diseo de estrategias de solucin a un problema y para la seleccin de la que se considere mejor o ms adecuada, y otras competencias ms que no se restringen al tratamiento y estudio de las matemticas.

IX

PresentacinEs muy importante entonces que trabajes con este mdulo de

aprendizaje de Matemticas II atendiendo a las indicaciones del mismo y de tu profesora o profesor, trabajando en ocasiones de forma individual, otras en pequeos equipos y en otras en discusiones grupales. Cada una de esas dinmicas tiene propsitos establecidos relacionados con el desarrollo de competencias y trascienden a las versiones que centran la enseanza en la construccin de conocimiento matemtico, como si eso fuera lo nico importante. Para el desarrollo de este trabajo, el mdulo est organizado en cinco bloques que contienen una o ms secuencias didcticas cuya estructura es la siguiente:

Actividades de Inicio: En esta parte se presentan problemas o situaciones seleccionados con el propsito de rescatar los conocimientos, actitudes y habilidades que se requieren para el nuevo conocimiento a estudiar. Tambin pueden incluirse situaciones o problemas que se espera puedas resolver al final de la secuencia o del bloque.

Actividades de Desarrollo: En stas se presentan situaciones o problemas que te conducirn a construir nuevos conocimientos y desarrollar nuevas habilidades, en concordancia con la temtica central del bloque.

Actividades de Cierre: En esta etapa se hace un recuento de lo aprendido en las actividades anteriores y se enuncian los conocimientos matemticos que previamente has usado para la resolucin de problemas de la secuencia.

Al final de cada bloque se presentan dos secciones ms. La primera de ellas es una Seccin de problemas que pueden servir para ejercitar lo aprendido en el bloque y, en ciertos casos, para usar creativamente lo que has aprendido en problemas novedosos.

Se incluye tambin una serie de problemas y de preguntas para la reflexin individual, en una seccin denominada Autoevaluacin. Para que esta seccin sea de utilidad es necesario que la respondas individualmente, ubiques bien lo que ya aprendiste adecuadamente y seales las dudas y dificultades que an se presentan en tu aprendizaje. La autoevaluacin slo ser de utilidad si la contestas con honestidad y planteas tus dudas y dificultades a tus compaeros de clase y, principalmente a tu profesor o profesora. Es conveniente que antes de cualquier proceso formal de evaluacin, compartas con tus profesores las reflexiones de la autoevaluacin.

Los Autores

Actividad: 2

X

Prctica del conocimiento adquirido mediante acciones a ejecutar o proyectos a llevar a cabo.

Estructura Metodolgica de los TextosEstructura Metodolgica de los Textos

Actividades Individuales

Actividades de Equipo

Actividades Grupales

Actividades de InicioActividades de Inicio

DesarrolloDesarrollo

Actividad de CierreActividad de Cierre

XI

Sirve para ejercitar lo aprendido en el bloque y, en ciertos casos, para usar creativamente lo que has aprendido, en problemas novedosos.

Serie de problemas y preguntas para la re exin individual, es necesario que la respondas individualmente, con honestidad y plantear tus dudas y difi cultades a tu profesor o profesora y compaeros de clase.

Sitios Web recomendados o confi ables que puedes consultar por tu cuenta va internet para que puedas ampliar tus conocimientos.

TIC

Secc

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de problemas

Aut

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XII

G e n r i ca sA T R I B U T O S D E L A S C O M P E T E N C I A S

C O M P E T E N C I A S A D E S A R R O L L A R

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingusticas, matemticas o grfi cas.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera re exiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Construye hiptesis; disea y aplica modelos para probar su validez.

Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin.

Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfi co y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confi abilidad.

Defi ne metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos.

Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, defi niendo un curso de accin con pasos especfi cos.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera re exiva.

Asume un actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

BLOQUE 1 BLOQUE 2

BLOQUE 3

BLOQUE 4

BLOQUE 5

GENRICAS

XIII

D i s c i p l i n a re s

C O M P E T E N C I A S A D E S A R R O L L A R E N L O S :

C O M P E T E N C I A S

1.- Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

2.- Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4.- Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grfi cos, analticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de la tecnolga de la informacin y la comunicacin.

6.- Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades fsicas de los objetos que los rodean.

1.- Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

2.- Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4.- Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grfi cos, analticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de la tecnolga de la informacin y la comunicacin.

5.- Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

7.- Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta su pertinencia.

8.- Interpreta tablas, grfi cas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientfi cos.

BLOQUE 1

BLOQUE 2

BLOQUE 3

BLOQUE 4

BLOQUE 5

DISCIPLINARES

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Estudio de

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XIV

MAP

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Matemticas II

Estudio de los...

ngulos, tringulos y crculos

Bloque 1

Tiempo asignado: 19 horas

En este bloque del curso se te propone un primer acercamiento al estudio de los ngulos, los tringulos y el crculo. Estos elementos geomtricos se ven articulados de diferentes maneras en las tres secuencias didcticas presentadas, pues ha sido la intencin que cuando las abordes, tengas oportunidad de aprender algo ms que un glosario de frmulas y guras ilustradas, o un nutrido muestrario de procedimientos formales que difcilmente logran tener sentido por s msmos fuera del saln de clases.

Para estar de acuerdo con el enfoque actual de la enseanza de la Geometra es preciso que te enfrentes a situaciones reales en las que la Geometra juega un papel fundamental, o bien que agudices tu forma de percibir visualmente las relaciones que existen en las guras que se te van a presentar y las que tendrs que construir; que trates de expresar esas relaciones mediante argumentaciones que las validen y que de estas acciones puedas producir conjeturas (suposiciones) que a su vez te sea posible validar. Es por ello que en las diferentes tareas contenidas en estas secuencias se presentan contextos de aplicacin, de construccin y de investigacin. As, por ejemplo, las actividades de construccin de guras pretenden que busques relaciones y propiedades geomtricas para que puedas convertir esas construcciones en un medio para desarrollar el razonamiento geomtrico. Adems, la forma en la que trabajes en el saln de clases, o fuera de l, te permitir experimentar, re exionar, validar y comunicar tus procedimientos y resultados con el n de que mediante todas esas acciones le des sentido a lo que nalmente se te propone como un objeto de conocimiento geomtrico.

Con todo sto se procura contribuir al desarrollo tanto de las competencias genricas como de las competencias disciplinares asociadas a este bloque. Para que t msmo puedas valorar tus logros en estos aspectos, al nal del bloque se incluye la seccin de autoevaluacin correspondiente.

2 Estudio de los ngulos, Tringulos y Crculos

1.- Investiga cul es el valor del radio y permetro de la Tierra.

Desde la antigedad, muchos hombres de ciencia estimaron el permetro de la Tierra. Uno de estos hombres fue Eratstenes, matemtico, astrnomo y gegrafo nacido en Cirene en el ao 276 A.C. Eratstenes es clebre por la estimacin tan precisa que obtuvo en esta medicin. Lo ms extraordinario de su logro, fue la simplicidad matemtica de su estrategia. Estando en la Biblioteca de Alejandra encontr un informe de observaciones sobre Siena (hoy Asun), ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandra, en el que se declaraba que a medioda del solsticio de verano (21 de junio), una vara vertical no produca sombra. Esto signi ca que los rayos del sol llegaban perpendiculares a la super cie terrestre en ese lugar. Se dice que Eratstenes con rm este hecho observando que en el fondo de un pozo se re ejaba completamente la luz del sol, y la orilla del pozo no proyectaba sombra alguna sobre el agua del mismo, hecho que no se produca de la misma manera en Alejandra en ese da y a esa hora. Eratstenes supuso acertadamente que por la lejana del sol, sus rayos llegaban a la tierra de forma paralela y la diferencia observada en Alejandra y Siena, con respecto a la proyeccin de las sombras, rati caba que la tierra no era plana.

Secuencia

Didctica 1.-

Actividad: 1

Eratstenes y la medida de la tierraTe has preguntado alguna vez cuntos kilmetros

tendras que recorrer para darle la vuelta a la Tierra? Por supuesto, esto dependera de la ruta que siguieras. Pensemos en una ruta mxima sobre una circunferencia, como por ejemplo, sobre el Ecuador.

Eratstenes fue un matemtico, astrnomo y gegrafo griego, de

origen cirenaico.

Figura 1


3Matemticas 2

BLOQUE

1Eratstenes utiliz lo siguiente para realizar su estimacin:

La distancia entre Alejandra y Siena era conocida, y se estimaba en 5000 estadios y se encontraban aproximadamente en el mismo meridiano.

Figura 2

Figura 4

Figura 3

Puede suponerse que los rayos del sol llegan paralelamente a la super cie terrestre, debido a su lejana.

Una lnea recta imaginaria a travs de un pozo en Siena pasara por el centro de la tierra y, al medioda en el solsticio de verano, esta lnea coincidira con un rayo del sol.

Una lnea recta imaginaria conteniendo una vara vertical en Alejandra, tambin pasara por el centro de la tierra, pero no coincidira con un rayo del sol al medioda en el solsticio de verano.

Alejandra

Siena

Rayo de Sol

Vara vertical

Sombra proyectada

Recipiente semiesfrico

Para determinar el ngulo formado por los rayos del sol y una vara vertical en Alejandra, se dice que Eratstenes la coloc en el centro de un recipiente semiesfrico para captar la sombra proyectada al interior del mismo, en el cual se haban incluido algunas marcas.

Figura 5


Eratstenes pudo a rmar, gracias a sus conocimientos geomtricos, que el ngulo formado por la vara y el rayo del sol en Alejandra, es el mismo que el que se forma en el centro de la tierra con los radios correspondientes a Siena y Alejandra.

2.- Localiza en la Figura 4 los ngulos a los que se re ere Eratstenes.

3.- Si Eratstenes conoca la distancia entre dos puntos de la tierra, en este caso las ciudades de Siena y Alejandra, entonces:

a). Por qu estaba en lo cierto al considerar que esa distancia corresponda a una longitud de arco?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b). Qu otro dato requera para saber cuntas veces caba ese arco en todo el permetro de la tierra?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c). Poda hacer una medida directa para obtener ese dato y luego calcular el permetro buscado?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.- Comenta tus respuestas con tus compaeros de grupo.

5Matemticas 2

BLOQUE

1

En esta seccin se tratar de que reconstruyas o recuperes aquellos conocimientos de Geometra que fueron fundamentales en el proceso que llev a cabo Eratstenes para calcular la circunferencia de la tierra al articularlos estratgicamente con informacin y suposiciones verosmiles; entre otras, lo que signi caban las sombras de objetos expuestos a la luz solar y la forma en la que llegan los rayos del sol a la tierra.

Actividad: 21.- En la Figura 6 se tiene una parte del esquema en donde se

representan los rayos del sol que llegan paralelos a la tierra y que Eratstenes tom como referencia. Como ya viste antes, la lnea recta punteada, transversal a las paralelas, representa la vertical de una edi cacin en Alejandra.

Alejandra

Siena

Figura 6

Toma como referencia los datos del esquema y sobre ste anota lo que se te pide a continuacin.

a). Si la sombra que midi Eratstenes corresponde a de la circunferencia completa Cul es la medida en grados del ngulo ?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

150

Desarrollo

En esta seccin se tratar de que reconstruyas o recuperes aquellos

Desarrollo



b). Dado que la medida del ngulo que forma el rayo del sol con la vertical ya la calculaste, determina y escribe el valor de los otros tres ngulos que se forman entre la lnea punteada y la recta que representa el rayo del sol. Antalos sobre la gura.

Compara y analiza con tus compaeros de grupo las razones que les permitieron calcular cada uno de esos ngulos. A continuacin resume brevemente las razones que en el grupo acordaron como las que mejor explican por qu se dieron esos valores a los ngulos:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c). Reescribe ahora sobre el esquema de la Figura 7 la medida de los ngulos determinados en el punto anterior. Sin tener que hacer de nuevo los clculos, escribe las medidas de los otros cuatro ngulos que se forman con la recta que representa el otro rayo de sol que pasara por el centro de la tierra (tambin representa la direccin del pozo de agua en Siena hacia el centro de la tierra) y su interseccin con la misma lnea recta punteada.

7.2

Radio

Radio

Figura 7

7Matemticas 2

BLOQUE

1

Actividades Grupales


Expresa qu relaciones encontraste entre los ngulos que se forman con las dos rectas paralelas cortadas por una transversal o secante, las cuales te permitieron determinar los ngulos en el centro de la tierra:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Compara tu respuesta con lo expresado por tus compaeros y a continuacin escribe brevemente las explicaciones o argumentos que en el grupo hayan seleccionado como los ms claros:

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d). Mediante los argumentos que expresaste en el punto anterior, explica por qu Eratstenes, al conocer el ngulo que formaban el rayo del sol y la lnea que seala la vertical en Alejandra, pudo deducir, segn su esquema, cul era el ngulo que en el centro de la tierra haba entre los radios correspondientes a las ciudades de Siena y Alejandra.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


2. Con el conocimiento de ese ngulo central, y conociendo que la distancia entre Siena y Alejandra es la medida de la longitud de arco correspondiente a ese ngulo, responde lo siguiente para que nalmente compares tus respuestas con lo que consigna la historia sobre el clculo de la circunferencia de la tierra:

a). Fjate en el esquema de la Figura 7 donde se muestra el valor del ngulo central cuya medida es de 7.2, Cuntas veces cabe ese ngulo en toda la circunferencia?

______________________________________________________________________________________________________________________

b). Cuntas veces cabe el arco de 5000 estadios, subtendido por ese ngulo central, en toda su circunferencia?

______________________________________________________________________________________________________________________

c). Entonces, Cuntos estadios calcul Eratstenes que tena la circunferencia de la tierra?

________________________________________________________________________________________________________________________

Ilustracin de Siena

9Matemticas 2

BLOQUE

13. Por otra parte, el dato que Eratstenes obtuvo sobre ese ngulo central

entre Siena y Alejandra, tambin pudo haber permitido calcular el radio de la tierra al relacionarlo con la longitud de arco entre las dos ciudades (l no tena a la mano la frmula C= 2r como ahora). Solamente pudo haber utilizado la caracterstica de proporcionalidad entre esos elementos, es decir, entre la longitud de arco y el radio de la circunferencia a la que corresponde:

a). Si trazas una circunferencia en el esquema de la gura 7, con el mismo centro y la mitad del radio, Crees que la longitud de arco subtendida por el mismo ngulo central se reduce a la mitad? Comprueba con los medios a tu alcance:

b). Como en el inciso anterior, Crees que la longitud de arco se reduce a un cuarto de la original si el radio se reduce a una cuarta parte del original?

c). Si reduces o aumentas el radio de una circunferencia, pero mantienes jo el ngulo central, Cmo se reduce o aumenta respectivamente la longitud de arco en cada una de las circunferencias? Consulta el applet arcos disponible en appletscobach.mat.uson.mx. Enseguida denota por L la longitud del arco, por r el radio y por el ngulo central y escribe la expresin que corresponde a este comportamiento:

d). Usa la relacin anterior para que, como pudo haberlo hecho Eratstenes, calcules el radio que le corresponde a una circunferencia que con un ngulo =7.2 subtiende un arco L=5000 estadios.

4. Si se toma la equivalencia entre estadios y metros como: 1 estadio = 160 m, convierte a km las medidas que obtuvo Eratstenes para la circunferencia, y con base en ello determina el radio que corresponde a la tierra.

5. Compara las medidas obtenidas por Eratstenes con las que actualmente se le dan al radio y a la circunferencia de la tierra trazada sobre el ecuador. Toma nota de la diferencia entre estas medidas y las calculadas por Eratstenes. Finalmente re exiona acerca del papel de la Geometra en este clculo hecho en la antigedad y escribe brevemente tus conclusiones:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TIC


Como has visto, el conocimiento de las relaciones de los ngulos que se forman cuando se tienen dos rectas paralelas cortadas por otra recta secante o transversal a llas, fue la clave para que, con asombroso ingenio, Eratstenes pudiera llevar a cabo sus clculos y obtener la medida de la circunferencia de la tierra. Asimismo, te pudiste dar cuenta de que la relacin que tiene el ngulo central de una circunferencia con el arco que subtiende est determinada por la medida de su radio.

En lo que sigue, se presentan los nombres de los ngulos mencionados y se proponen tareas para que encadenes algunas relaciones ya conocidas de manera que te conduzcan a dar certeza a las que interesa determinar. Igualmente se establece la expresin que en la actualidad se utiliza para denotar la relacin entre la longitud de arco de una circunferencia, el ngulo que la subtiende y su radio.

A continuacin se te presentan algunas tareas de identi cacin de ngulos y relaciones que se pueden establecer entre ellos segn estn situados los lados que los forman. Esta parte constituy la importantsima cadena de fundamentos veraces para que Eratstenes, basado en ellos, hiciera de manera certera sus clculos.

1. Dos rectas secantes forman cuatro ngulos. En la Figura 8 se han sealado esos ngulos con las letras del alfabeto griego: , , , y . En cada caso, responde a lo que se indica:

Actividad: 3

Figura 8

Actividad de Cierre

Como has visto, el conocimiento de las relaciones de los

Actividad de Cierre

11Matemticas 2

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1a). Cunto miden +?________ Por qu?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b). Cunto miden +? ________ Por qu?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c). Entonces Es vlido establecer que + = +?______ Por qu?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d). Basndote en la igualdad anterior, Qu relacin puedes establecer entre los ngulos y ?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e). Argumenta con otras razones que no tengan que ver con las sumas, la relacin que acabas de establecer en el inciso anterior.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

f). Qu relacin puedes establecer entre los ngulos y ?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

g). Argumenta mediante un razonamiento que exprese la suma de cada uno de llos con otro que te convenga seleccionar (un razonamiento expresado en forma anloga al que se desarroll atravs de los incisos del a) hasta el d). Luego argumenta de otra manera._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Los ngulos opuestos por el vrtice tienen el vrtice comn y los lados de uno son, correspondientemente, colineales a los del otro.

Recuerda que:

Los ngulos adyacentes son aquellos que tienen el vrtice comn, un lado comn, pero no tienen puntos comunes en su interior.

Un ngulo llano es aquel cuyos lados son colineales.

Los ngulos adyacentes que forman un ngulo llano se llama suplementarios.

13Matemticas 2

BLOQUE

1

Dadas dos rectas paralelas cortadas por un transversal, los ngulos correspondientes son iguales.

Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

2. En la Figura 9 se representa el caso en que dadas dos rectas a y b paralelas, y otra recta c transversal a ellas, se forman ocho ngulos que puedes distinguir mediante las letras griegas que los denotan. En una gura que cumple estas condiciones de construccin, queda determinado (se postula) que los ngulos correspondientes son iguales, es decir, aquellos ngulos que estn en la misma posicin respecto a la transversal y a cada una de las paralelas. Por ejemplo, y son correspondientes porque estn a la derecha de la transversal y arriba de cada paralela.

3. De acuerdo a los argumentos que diste en el punto 1 de esta acti-vidad, se puede establecer que:

a). Cules otros pares de ngulos son correspondientes?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a). Con base en lo que se acaba de establecer, Cmo son los pares de ngulos , , y , ? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b). Qu otros pares de ngulos opuestos por el vrtice en la Figura 9 son iguales entre s? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Figura 9


4. Los ngulos alternos en una con guracin como la de la Figura 9 son aqullos que estn situados en distintas paralelas y en distintos lados de cada una de ellas, a la vez que se sitan en distintos lados de la secante o transversal. Si dichos ngulos estn entre la paralelas se llaman alternos internos, si estn en el exterior de las paralelas, se denominan alternos externos.

a). Identi ca los pares de ngulos que en la Figura 9 son alternos externos.

b). Identi ca los pares de ngulos que en la Figura 9 son alternos internos.

5. Cmo se llaman los ngulos que en el esquema de Eratstenes se tomaron como referencia para determinar el permetro de la tierra?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A lo largo de la presente secuencia tuviste oportunidad de explorar la relacin existente entre el ngulo central de una circunferencia y el arco que subtiende, relacin importante que tambin pudo haber utilizado Eratstenes para la estimacin del radio de la Tierra. Tuviste oportunidad de comprobar que su aproximacin a la medida que ahora se conoce es bastante cercana.

El arco L que subtiende un ngulo central en una circunferencia de radio r est dado por la relacin L = r , donde est medido en radianes.

15Matemticas 2

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1

Secuencia

Didctica 2.-

Actividad: 1

Construir tringulosConstruir tringulos no es una actividad nueva para ti. Desde la escuela

primaria aprendiste que hay diferentes tipos de tringulos segn sus lados y segn sus ngulos.

Para recordar... Escribe lo que recuerdes de tales clasi caciones.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para la siguiente Actividad necesitars varios palillos de dientes, o bien, si tienes acceso a internet, abre el applet palillos , disponible en appletscobach.mat.uson.mx, para simular el trabajo con palillos de dientes. Se trata de

construir todos los tringulos posibles con un determinado nmero de palillos, colocndolos uno seguido de otro. Considera que los palillos de dientes son todos de la misma medida y que sta se toma como la unidad.

TIC



1. Para iniciar, utiliza solamente tres palillos de dientes y construye todos los tringulos posibles. Para cada uno de ellos, escribe las medidas de los lados (recuerda tomar como unidad la medida de un palillo), el tipo de tringulo segn sus lados y segn sus ngulos. Organiza tus hallazgos en la siguiente Tabla (puedes agregar o ignorar renglones, segn sea conveniente):

Tabla 1

Tres Palillos

LadosTipo de tringulo

Segn sus lados Segn sus ngulos

a). Cuntos tringulos diferentes es posible construir? Por qu?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a). Cuntos tringulos diferentes es posible construir? Porqu?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Ahora utiliza exactamente cuatro palillos.

Tabla 2

Cuatro Palillos

LadosTipo de tringulo


17Matemticas 2

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1

a). Cuntos tringulos diferentes es posible construir? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b). Con cules medidas resulta imposible construir el tringulo? Por qu?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad: 2Continuaremos nuestras construcciones de tringulos utilizando los

palillos de dientes o el applet sealado en la actividad anterior. Completa las siguientes Tablas (puedes agregar o ignorar renglones, segn sea conveniente):

Tabla 3

Cinco Palillos

LadosEs posible construir el tringulo?

Tipo de tringulo


1 1 3

1 2 2

1.

DesarrolloDesarrollo


3.

Tabla 4

Seis Palillos


Tipo de tringulo


1 1 4

1 2 3

2 2 2

Tabla 5

Siete Palillos


Tipo de tringulo


1 1 5

1 2 4

1 3 3

2

a). Cuntos tringulos diferentes es posible construir? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.

19Matemticas 2

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1

Tabla 6

Ocho Palillos


Tipo de tringulo


1 1 6

1 2 5

1 3 4

2 2 4

2

3 3

a). Cuntos tringulos diferentes es posible construir? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a). Cuntos tringulos diferentes es posible construir? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Contina con la exploracin y organiza la informacin en la siguiente tabla.

Tabla 7

Nmero de Palillos 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nmero de tringulos posibles

Nmero de

tringulos

Equilteros

Issceles

Escalenos

Acutngulos

Rectngulos

Obtusngulos

a). Qu criterios utilizaste para decidir cundo dos tringulos son diferentes?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21Matemticas 2

BLOQUE

1

5. En la siguiente tabla, escribe ternas de nmeros enteros que repre-senten las medidas de un tringulo que corresponda a la categora de la la y columna correspondiente.

b). Qu criterios utilizaste para decidir si un tringulo es rectngulo?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c). Escribe ternas de nmeros que no representan las longitudes de los lados de un tringulo. Qu caracterstica esencial tienen estas ternas de nmeros?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d). De acuerdo con lo observado hasta el momento Qu condicin adviertes que deben satisfacer los nmeros a, b y c para que representen las medidas de los lados de un tringulo? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabla 8

Tringulo Acutngulo Rectngulo Obtusngulo

Equiltero

Issceles

Escaleno


6. Cmo cambiara la tabla anterior si quitamos la restriccin de utilizar nmeros enteros?

En esta actividad iniciaremos trabajando con los palillos de dientes, pero dedicaremos nuestra atencin a los tringulos rectngulos.

Hasta el momento, mediante las actividades anteriores te diste cuenta que, si trabajas con nmeros enteros, solamente con ciertas ternas de ellos es posible construir tringulos rectngulos. Tambin te diste cuenta que siempre hay un lado mayor a cualquiera de los otros dos.

Actividad: 3

1. Es posible que uno de los lados del tringulo que forman el ngulo recto sea el mayor de los tres lados? Explica tu respuesta.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Observa la construccin de los cuadrados construidos sobre los lados del tringulo rectngulo que se muestra en la Figura 1.

a

bc

Figura 1

23Matemticas 2

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1a). Cules son las medidas de los lados que forman el ngulo recto?

________________________________________________________________________________________________________________________

b). Cul es la medida del lado mayor?

________________________________________________________________________________________________________________________

c). Cules son las reas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los lados del tringulo?

________________________________________________________________________________________________________________________

d). Encuentras alguna relacin entre las reas de los cuadrados? Si es as, exprsala:

_______________________________________________________________________________________________________________________


3. Junto con tus compaeros de equipo construyan con los palillos (o hagan la construccin sobre el papel con sus instrumentos geomtricos) cualquier otro tringulo rectngulo con medidas enteras (ustedes deciden el tamao de la unidad); luego, en cada uno de los lados del tringulo completen un cuadrado de manera similar a la que se muestra en la anterior Figura 1.

a). Cules son las medidas de los lados que forman el ngulo recto en el tringulo que construyeron?______________________________________________________________________________________________________________________

b). Cul es la medida del lado mayor?_____________________________________________________________________________________________________________________

c). Cules son las reas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los lados del tringulo rectngulo que construyeron?______________________________________________________________________________________________________________________

d). Encuentras alguna relacin entre las reas de los cuadrados? Si es as, Es la misma que para la Figura anterior?______________________________________________________________________________________________________________________

4. Como se dieron cuenta en la Actividad 2, la construccin de otros tringulos rectngulos con medidas enteras en todos sus lados y diferentes a los dos anteriores requerira utilizar muchos palillos. Por tal razn, se les pide que en cada equipo:

a). Asignen medidas enteras posibles a cada uno de los lados a, b y c del tringulo rectngulo de la Figura 2; tales medidas se encuentran en las tres primeras columnas de la Tabla 9. Asegrense, con la ayuda del profesor, que cada equipo seleccione una terna diferente y vlida.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

25Matemticas 2

BLOQUE

1b). Enseguida calculen el rea de cada uno de los cuadrados construidos

sobre los lados del tringulo basndose en las medidas asignadas.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c). Anoten sobre la gura cada una de las reas calculadas en su equipo.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a

b c

Figura 2


5. Con la ayuda del profesor organicen la informacin sobre las medidas asignadas por los diferentes equipos en la Tabla 9.

Tabla 9

Medidas enteras de ladosrea del

cuadrado de lado a

rea de cuadrado de

lado b

Suma de reas de

cuadrados de lados a y b

rea del cuadrado de

lado c Lados que forman

ngulo rectoLado mayor

a b c

3 4 5 9 16 25 25

8 6 10

12 9 15

12 16 20

5 12 13

24 10 26

21 28 35

15 36 39

27 36 45

a). Cmo son las cantidades registradas en las dos ltimas columnas?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b). Escriban un enunciado que exprese la relacin entre las medidas que se asignaron en la Tabla 9 a los lados del tringulo rectngulo y las reas de los cuadrados construidos sobre ellos. Compartan en el grupo sus respuestas y ajusten la redaccin si es necesario._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27Matemticas 2

BLOQUE

16. Ahora, asignando cualesquiera medidas enteras a los lados a y b del tringulo

rectngulo, sin importar que el lado c no sea entero, utiliza la relacin que enunciaste en la tarea anterior para completar la Tabla 10:

Tabla 10

Medidas enteras de ladosrea del

cuadrado de lado

a

rea de cuadrado de lado

b

Suma de reas de

cuadrados de lados a y b

rea del cuadrado de lado

c

Lados que forman ngulo recto

Lado mayor

a b c

1 2 1 4 5 5

1 1

2 3 4 9

4 1 17

5 6 61

3 5

8 64 128

7 3 58 58

10 200

128

a). Escribe otros tres casos en los que usando esta relacin, logres encontrar el rea del cuadrado construido sobre uno de los lados de un tringulo rectngulo cuando se te proporcionan datos relacionados con los otros dos (lados o cuadrados construidos sobre ellos).

I. Caso 1_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

II. Caso 2_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

III. Caso 3______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


En esta secuencia se te han propuesto tareas de construccin de tringulos con la nalidad de que al hacerlo tuvieras oportunidad de identi car las caractersticas que los determinan y observar que sus lados y ngulos estn fuertemente relacionados. En esta seccin se tratar de rea rmar y organizar tales caractersticas, adems de expresar formalmente y dar nombre a las propiedades que descubriste o identi caste.

1. Etiqueta los siguientes tringulos usando como claves los siguientes incisos. Para cada tringulo utiliza el mayor nmero de etiquetas posible.

Actividad: 4

i. Acutngulo

ii. Obtusngulo

iii. Issceles

iv. Equiltero

v. Rectngulo

vi. Escaleno

Actividad de Cierre

se te han propuesto tareas de construccin de

Actividad de Cierre

29Matemticas 2

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12. De la misma manera, etiqueta las siguientes caractersticas asociadas a

tringulos:

Tringulo Caracterstica

Tiene tres lados iguales

Tiene un ngulo recto

Tiene dos lados iguales

Tiene tres ngulos agudos

Tiene tres lados desiguales

Tiene un ngulo agudo

3. Es posible de nir un tringulo issceles de dos maneras distintas.

Un tringulo issceles tiene dos lados iguales.

Un tringulo issceles tiene solamente dos lados iguales.

a). Es posible construir un tringulo issceles que sea equiltero tomando en cuenta cualquiera de las dos de niciones? Explica:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b). Explica Por qu las dos de niciones no son iguales y qu efecto tendra tomar una u otra al clasi car tringulos?. Ilustra con un ejemplo.


4. En el inciso d de la tarea 4 en la Actividad 2, se te pidi que enunciaras una condicin que, de acuerdo a las experiencias de construccin de tringulos con los palillos, consideraste como necesaria para que tal construccin fuera posible. Esta condicin se identi ca con una propiedad que se conoce como la desigualdad del tringulo que podemos expresar de la siguiente manera:

La suma de las longitudes de cualesquiera dos lados de un tringulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Tal condicin es necesaria para la construccin de un tringulo, dadas las medidas de tres lados. Adems, es una condicin su ciente, es decir, que siempre que se cumpla la condicin ser posible construir un tringulo.

a). Dadas las siguientes proposiciones, haz uso de lo que se ha establecido hasta aqu para que las valores como falsas (F) o verdaderas (V):

i. En un tringulo obtusngulo el lado mayor es parte del ngulo obtuso. ___

ii. Las medidas 4, 4, 10 corresponden a los lados de un tringulo issceles. ___

iii. Existen tringulos que son a la vez rectngulos e issceles. ___

iv. Las medidas 5, 8, 9 corresponden a los lados de un tringulo escaleno. ___

v. Las medidas 8, 15, 17 corresponden a los lados de un tringulo rectngulo. ___

vi. La amplitud de los ngulos de un tringulo equiltero depende de la longitud de sus lados. ___

vii. Todo tringulo rectngulo es escaleno. ___

31Matemticas 2

BLOQUE

1

En un tringulo rectngulo el cuadrado del lado opuesto al ngulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que forman el ngulo recto.

Si en un tringulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, el ngulo comprendido por esos dos lados restantes del tringulo es recto.

Actividad: 5

TIC

Al hacer las construcciones de cuadrados sobre los lados de un tringulo rectngulo, pudiste observar que en todos los casos result que la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados que forman el ngulo recto fue la misma que la del cuadrado construido sobre el lado opuesto a dicho ngulo recto.

1. En el applet pitagoras1, disponible en appletscobach.mat.uson.mx, puedes observar las relaciones entre la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa para cualesquiera valores que tomen las longitudes de los lados del tringulo rectngulo. Escribe lo que observas acerca de esta relacin:

El enunciado formal de esta relacin se conoce como el Teorema de Pitgoras, el cual aparece como la proposicin 47 del Libro I de los Elementos de Euclides:

Asimismo, la proposicin 48 establece lo siguiente:


2. En cules tareas de las propuestas a lo largo de esta secuencia resulta til esta ltima proposicin?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actualmente, los lados de un tringulo rectngulo se conocen de la siguiente manera:

En todos los tringulos rectngulos los lados que forman el ngulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa.

3. Investiga el origen histrico de los trminos cateto e hipotenusa. Resume brevemente tus hallazgos.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

33Matemticas 2

BLOQUE

14. Seala en los siguientes tringulos rectngulos los catetos con las letras a

y b, y la hipotenusa con la letra c.

El Teorema de Pitgoras queda algebraicamente establecido de la siguiente manera: Si se denota por c la hipotenusa y por a y b los catetos de un tringulo rectngulo, entonces

c2=a2+b2


5. Una demostracin informal de este teorema la puedes realizar recortando papel. Para ello requieres tener a la mano una hoja blanca tamao carta donde reproduzcas la Figura 3. Es importante que los cuadrados construidos sobre los catetos los rellenes de distintos colores para que percibas las equivalencias importantes durante el proceso.

a

b c

Figura 3

a). En la gura que reprodujiste en tu hoja, recorta con cuidado los tres cuadrados y el tringulo que la componen.

i. Coloca el tringulo sobre el cuadrado del mayor de los catetos haciendo que coincida el ngulo recto del tringulo con uno de los vrtices del cuadrado; marca sobre ste la hipotenusa del tringulo.

ii. Voltea el tringulo y desliza para que coincida el ngulo recto con el vrtice contiguo. De nuevo marca, sobre el cuadrado, la hipotenusa.

iii. Recorta las rectas punteadas.

i ii iii

35Matemticas 2

BLOQUE

1b). Ahora lo que resta por hacer es que reacomodes las piezas recortadas

para que con ellas y el cuadrado menor cubras completamente y sin traslapes el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Qu signi ca para ti que se logre hacer esto?


Secuencia

Didctica 3.-En el Centro Ecolgico del Estado de Sonora

Figura 1. Plano del Centro Ecolgico del Estado

El Director General del Centro Ecolgico del Estado est llevando a cabo distintas obras de mejora y mantenimiento con el n de dar mejor atencin a los visitantes y a las especies de animales y plantas que alberga la institucin.

Por una parte, acaba de inaugurar un nuevo estacionamiento para los visitantes. Entre los detalles pendientes se encuentra la organizacin del mantenimiento que ste requiere. Por tal motivo est en espera de que el encargado de mantenimiento reporte que ya han sido instalados aspersores de agua para csped en las reas verdes del estacionamiento.

Actividades de Inicio

En el Centro Ecolgico del Estado de Sonora

Actividades de Inicio

37Matemticas 2

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1

El Sr. Mximo Riego conocido como Don Max, jefe de mantenimiento, est tratando de encontrar el sitio adecuado para instalar los aspersores de manera que cubran la mayor rea posible de csped sin mojar los andadores que la limitan. Estos aspersores cuentan con un mecanismo que permite cubrir un rea circular, por lo que Don Max requiere encontrar el mejor lugar para colocar uno de ellos en cada rea verde y que cumpla con las condiciones sealadas.

Por otra parte, Don Max, tiene la encomienda de situar un centro de abasto de materiales para las obras de remodelacin que se estn llevando a cabo en el interior del Centro, particularmente en los albergues de Dromedarios, Osos Negros y Venados. Para facilitar el traslado de dichos materiales a cada uno de estos sitios, requiere situar el centro de abasto a la misma distancia de los tres. En la Figura 1 puedes localizar los sitios mencionados, estn etiquetados con los nmeros 37, 9 y 13, respectivamente.

Figura 2

Estas reas verdes tienen formas triangulares y cuadradas de diferentes tamaos. Enseguida, en la Figura 2, se muestra el croquis de dos reas verdes representativas.

rea Verde Cuadrada rea Verde TriangularFigura 2.

38 Estudio de los ngulos, Tringulos y Crculos38 Estudio de los ngulos, Tringulos y Crculos

Actividad: 1Ayuda a Don Max:

1. En el caso de las reas cuadradas, Don Max consider dos posibilidades: instalar el aspersor en el centro del jardn o en una de sus esquinas, dado que se puede restringir el ngulo de rociado. Si el agua no debe mojar las vas peatonales Cul ser la mejor opcin? Explica brevemente el porqu de tu eleccin.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a). Coloca sobre el rea cuadrada de la Figura 2 el punto en donde consideres que debe instalarse el aspersor. Veri ca si el punto cumple con las condiciones del contexto.

b). En el caso de que se coloque el aspersor en el centro del cuadrado, determina (considerando de manera genrica que su lado mide a metros):

i. El alcance que ste debe tener.ii. El rea que se logra regar.iii. El rea que no se alcanza a regar.

39Matemticas 2

BLOQUE

1

39Matemticas 2

c). En el caso de que se coloque el aspersor en un vrtice del cuadrado, determina (considerando de igual manera que su lado mide a metros):

i. El alcance y el ngulo de rociado que ste debe tener.ii. El rea que se logra regar.iii. El rea que no se alcanza a regar.

2. En el caso de las reas triangulares, si se considera instalar el aspersor en el centro de cada jardn Dnde deber ser colocado? Ubica sobre el rea triangular de la Figura 2 el punto en donde consideres que debe instalarse el aspersor. Veri ca, utilizando un comps, si el punto cumple con las condiciones del contexto. Describe enseguida qu hiciste para decidir la posicin del punto y cmo fue que veri caste si result adecuada o no.

3. Explora la posicin y cobertura de riego de este tipo de aspersores en jardines triangulares en el applet Jardin triangular que se encuentra en la siguiente direccin electrnica , appletscobach.mat.uson.mx,

4. De la misma manera, explora en el applet centroecologico.ggb, disponible en appletscobach.mat.uson.mx, el punto donde consideras que debe colocarse el centro de abasto de materiales para la remodelacin de los albergues de los dromedarios, osos negros y venados para que cumpla con las condiciones establecidas. Escribe y comenta las di cultades que tuviste para localizar el punto adecuado.

TIC

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Actividad: 2

Es posible determinar con precisin la colocacin adecuada del aspersor y del centro de abasto de materiales que exploraste en la Actividad anterior, si conoces algunas propiedades de rectas y puntos notables que se identi can en los tringulos. Algunas de esas propiedades estn relacionadas con el centro de una circunferencia inscrita (dentro del tringulo y tangente a sus tres lados), o de una circunferencia circunscrita (que pasa por los tres vrtices del tringulo).

Enseguida se te plantean dos Actividades con algunas tareas para que logres hacer diferentes construcciones, descubrir sus propiedades y, nalmente, decidir qu te sirve para dar una solucin precisa tanto a la colocacin del aspersor como a la del centro de abasto de materiales.

1. En la mitad de una hoja blanca dibuja un tringulo cualquiera y etiqueta los vrtices como se muestra en la Figura 3.

Figura 3

2. Toma la hoja y desde el vrtice A del tingulo, haz un doblez de manera que el ngulo que corresponde a ese vrtice (ngulo CAB) quede dividido en dos partes iguales. Describe cmo lo hiciste y cmo te aseguras que el doblez est marcando exactamente la mitad del ngulo.

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Desarrollo

Es posible determinar con precisi

Desarrollo

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Figura 4

3. Comparte con tus compaeros la estrategia y acuerden cul resulta ser la ms apropiada.

a). Ahora marca los dobleces que corresponden a la mitad de los otros dos ngulos del tringulo.

b). Extiende la hoja y remarca con lpiz o pluma las rectas marcadas por los dobleces y seala el punto donde se intersecan las tres rectas. Si no se intersecan las tres es que algn doblez estuvo mal hecho o mal remarcado; si este es el caso, recti ca.

c). Etiqueta el punto de interseccin como centro O y traza algunas circunferencias. Trata de encontrar alguna inscrita o circunscrita, segn tenga sentido para el problema del aspersor en el rea triangular.

4. Si consideras que has identi cado el tipo de circunferencia que responde al problema del aspersor, reproduce en el tringulo de la Figura 4 las rectas trazadas en la hoja donde hiciste los dobleces y la exploracin:

a). Traza en este tringulo las rectas que bisecan sus ngulos internos (sigue las instrucciones dadas en el recuadro o consulta el applet Trazodebisectriz.ggb, disponible en appletscobach.mat.uson.mx), y seala el punto de interseccin de esas rectas, llmale O. T

IC


AC

B

AC

B

AC

B

Dado el ngulo CAB, trazar con regla y comps la lnea que lo biseca.

1. Apoya tu comps en A y con una abertura adecuada, traza un arco que interseque los lados del ngulo. Marca los puntos de interseccin.

2. Apoya tu comps en uno de los puntos de interseccin; abre tu comps un poco ms y traza un arco de circunferencia; con la misma abertura traza otro arco apoyndote en el otro punto marcado. Seala el punto de interseccin de ambos arcos.

3. Traza la recta que pasa por A y por el punto de interseccin de ambos arcos.

b). Traza la circunferencia que consideraste importante para dar respuesta al problema del aspersor.

c). Compara tu construccin con las de tus compaeros de equipo y comenten qu tipo de circunferencia es (inscrita o circunscrita). En el siguiente espacio explica porqu:

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1d). Seala los puntos que son comunes a la circunferencia y al tringulo;

nmbralos como P, Q y R nelos con el centro O Qu elementos de la circunferencia son estos tres segmentos?

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e). Los lados del tringulo, Son tangentes o son secan

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