Matemáticas 2º GES

5/10/2018 Matem ticas 2º GES - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2o-ges 1/72

S e g u n d o G E S M A T E M Á T I C A S

MATEMÁTICAS

GRADUADOEDUCACIÓN

SECUNDARIA

SEGUNDO GES



Segundo GES Matemáticas Página 2




ÍNDICE

TEMA 1 8

EL NÚMERO REAL 8 1. NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES 82. TEOREMA DE PITÁGORAS 83. NÚMEROS IRRACIONALES. CONSTRUCCIÓN Y NÚMEROS IMPORTANTES DELCÁLCULO 84. EL NÚMERO REAL 95. INTERVALOS EN R 96. CÁLCULO CON RADICALES 97. NÚMEROS APROXIMADOS 108. NOTACIÓN CIENTÍFICA 119. NÚMEROS ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES 1110. IDENTIDADES NOTABLES 11

TEMA 2 15

ÁLGEBRA: ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 15 1. LENGUAJE ALGEBRAICO 152. ECUACIONES 153. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 164. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MÁS COMPLEJAS 16

5. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 17

TEMA 3 27

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO E IRRACIONALES 27 1. LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. TIPOS 272. NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 273. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 274. ECUACIONES BICUADRADAS 295. ECUACIONES IRRACIONALES CON UNA SOLA RAÍZ 30

6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 30

TEMA 4 34

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 34 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 342. SISTEMAS DE ECUACIONES 343. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 36

TEMA 5 40




POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA Y ECUACIONES DE GRADO MAYORDE TRES 40 1. LOS POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES 402. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO 423. TEOREMA DEL RESTO Y REGLA DE RUFFINI 42

4. RAÍCES DE UN POLINOMIO 425. FACTORIZACIÓN Y RESOLUCIONES DE ECUACIONES DE GRADO MAYOR DETRES 43

TEMA 6 47

FUNCIONES GRÁFICAS Y FUNCIONES NOTABLES 47 1. LOS EJES CARTESIANOS. FUNCIONES: TERMINOLOGÍA 472. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 483. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 49

4. LA FUNCIÓN LINEAL Y AFIN 495. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA. LA CATENARIA 50

TEMA 7 57

EL CONCEPTO DE AZAR Y FORMAS DE CONTAR 57 1. FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS 572. ESPACIO MUESTRAL 573. SUCESOS ELEMENTALES Y COMPUESTOS 584. OPERACIONES CON SUCESOS 58

5. CONTAR. FORMAS DE CONTAR 596. DIAGRAMAS DE ÁRBOL 61

TEMA 8 66

PROBABILIDAD. LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS 66 1. FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA 662. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS. PROBABILIDAD 663. CASOS FAVORABLES Y CASOS POSIBLES. LEY DE LAPLACE 674. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD. SUCESOS COMPATIBLES E

INCOMPATIBLES 685. EXPERIMENTOS COMPUESTOS 696. SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. PROBABILIDADCONDICIONADA 69




SEGUNDOGES




1

El Número Real




TTEEMMAA 11

EELL NNÚÚMMEERROO RREEAALL

1. NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

Al efectuar la división en un nú-

mero fraccionario se obtiene un númerodecimal o un número entero.Ejemplo:

4,05

2 = ; 5,3

2

7 =

A estos números se les llamandecimales exactos.

Hay otras fracciones cuyo resul-

tado no es exacto, por lo que aparecenun número infinito de cifras decimales,algunas de las cuales se repiten perió-dicamente. Se llaman números perió-dicos, y la fracción de la que procedense llama fracción generatriz. Al grupode cifras decimales que se repite sedenomina período, y se representacolocándole encima un arco.

Cuando la cifra comienza a repe-tirse justo detrás de la coma, se le llamaperiódico puro, y en caso contrario,periódico mixto.

Puro 40,...4444,09

4 )==

Mixto 641,0...41666,012

5 )==

Realiza las actividades 1 y 2.

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras demostró la relaciónque existe entre los lados de un trián-gulo rectángulo, basándose en estu-dios anteriores.

En los triángulos rectángulos sedenominan catetos a los lados que

forman el ángulo recto e hipotenusa al lado que los une.

El teorema de Pitágoras dice:En un triángulo rectángulo, la hipo-tenusa al cuadrado es igual a lasuma de los cuadrados de los cate-tos.

a 2 = b 2 + c 2

3. NÚMEROS IRRACIONALES.CONSTRUCCIÓN Y NÚME- ROS IMPORTANTES DELCÁLCULO

Los sabios griegos creían quelas fracciones podían expresar cual-quier magnitud, pero se encontraroncon el hecho de que la diagonal de uncuadrado de lado 1, o el cociente de

entre la longitud y el diámetro de unacircunferencia no se ajustaba a ningu-na cantidad fraccionaria; a esas mag-nitudes las denominaron irracionales.

Los números que se caracteri-zan por tener una expresión decimalno periódica con infinitas cifras deci-males se denominan números irra-cionales y al conjunto de todos elloslo representamos por I.




Son números irracionales 3 ,

5 , 6 , π,…

4. EL NÚMERO REAL

Al conjunto numérico formadopor los racionales Q y los irraciona-les I se le denomina conjunto de losnúmeros reales y se representa porR.

Si queremos trabajar con losnúmeros reales, que tienen infinitascifras decimales, tendremos que limi-tar la parte decimal para simplificar los

cálculos. Vamos a poner un ejemplo:Es muy común asignarle a π el

valor de 3’1416, que no es más queuna aproximación o redondeo paracometer el menor error posible. Lasaproximaciones pueden ser por defec-to o por exceso.

Si queremos aproximar el valorde π = 3’141592654… por un número

de cuatro cifras decimales exactas, loredondearemos por un número mayorporque la quinta cifra es mayor o iguala cinco, por lo que el error cometidoserá más pequeño y tomaremos comovalor de π ≈ 3’1416. En este caso he-mos aproximado por exceso.

Si, en cambio, tomamos cincocifras decimales, como la primera cifradespreciada es menor que cinco, nosdará como valor de π ≈ 3’14159. Ahorahemos aproximado por defecto.

5. INTERVALOS EN R

También los números irraciona-les se puedenrepresentar so-bre una recta.Observa, porejemplo, como

representamosa 2 en el di-

bujo. El punto se encuentra entre 1’4 y1’5. Siempre podemos representarcualquier número irracional en unarecta graduada mediante un puntosituado entre los correspondientes a

sus aproximaciones decimales pordefecto y por exceso.

Observa los puntos A y B en larecta que aparece en el dibujo, dondeA y B corresponden a los númerosreales 1 y 2. Cualquier punto P situado

entre A yB corres-ponderá aun núme-ro real

comprendido entre 1 y 2. Al conjuntode dichos números se le denominaintervalo de extremos 1 y 2. Hay distin-tos tipos de intervalos según se inclu-yan o no los extremos.

Llamamos intervalo abierto deextremos 1 y 2 y lo representamos por]1, 2[ al conjunto de números entre el

1 y el 2, pero sin incluir ni al 1 ni al 2.A este intervalo pertenecen los núme-ros 1’0000001, 1’26, raíz de 2, 1’67,1’998, 1’9999999,…

Llamamos intervalo cerrado de extremos 1 y 2 y lo representamospor [1, 2] al conjunto de números entreel 1 y el 2, ambos incluidos.

También hablaremos de inter-

valos semiabiertos o semicerrados siincluyen uno de los extremos y el otrono. Por tanto, el intervalo [1, 2[ incluyeel 1 pero no el 2; sin embargo, al inter-valo ]1, 2] pertenece el 2, pero no el 1.

6. CÁLCULO CON RADICALES

6.1. Multiplicación y división

Sin calculadora no podemos ob-

tener 8 ·2 , pero si este producto loexpresamos en forma potencial nos




queda: 21

21

8·2 = 21

)8·2( = 21

16 =

= 16 = 4

Por tanto, podemos escribir:

8 ·2 = 16 = 4

De igual manera procedemoscon la división: al calcular 2 :8 ob-

tenemos 21

21

2:8 = 21

4 = 4 = 2.

6.2. Potencia de radicales

Para calcular potencias de nú-meros irracionales lo haremos de la

misma forma que con los númerosracionales. Si se trata de radicales,bastará con expresarlos como poten-cias fraccionarias y aplicar las propie-dades de las potencias.

Ejemplo:

( )32 =3

21

2

= 2

32 = 32

6.3. Suma y resta de radicales

semejantes Con la suma no ocurre lo mis-

mo que con la multiplicación, ya que

94 + no es 13 , puesto que

2 + 3 γ 13 ϕ3’6.

No obstante, expresiones como525 + sí se pueden agrupar:

525 + = 53

Decimos que 5 y 52 son ra-dicales semejantes.

6.4. Racionalización

Llamamos racionalización alproceso de eliminación de los radica-les en los denominadores.

Ejemplo 1:

3

2=

3

3 ·

3

2=

( )23

32=

3

32

Ejemplo 2:

13

1

+=

13

13 ·

13

1

−

−

+=

=( ) 1333

132

−−+

−=

( ) 2213

13

−

−=

13

13

−−

= =2

13 −

Realiza las actividades de la 4 a la

16.

7. NÚMEROS APROXIMADOS

Ciertos números no puedenexpresarse de manera, exacta, comoes el caso del número 6666, que sabe-mos posee infinitas cifras decimales.

En la práctica, trabajamos conprecisión finita, lo cual quiere decir quesólo podemos trabajar utilizar un nú-mero finito de decimales. Para ello,tenemos dos formas de aproximar: portruncamiento o por redondeo.

El truncamiento consiste encortar el número decimal por la cifradecimal que nos digan.

El redondeo consiste en cortar

el número decimal por la cifra decimalque nos digan, si es menor que cincola cifra decimal siguiente, y se le aña-de una unidad a la última cifra si éstaes mayor o igual que cinco.

Ejemplo:

6666 = 3’141592654...

T = 3’1415R = 3’1416




8. NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica sirve paraexpresar de forma abreviada númerosmuy grandes o muy pequeños, facili-

tando su comprensión. Por ejemplo, elpeso de una molécula de agua es deM=0’00000000000000000000003 g, unnúmero largo y difícil. Podemos expre-sar dicho número mediante potenciasde 10 de la siguiente manera:

M = 3·10 –23

De igual manera, podemos ex-presar la velocidad de la luz en el vacío,

que es de 300.000 km/s, como 3·105 km/s.

Realiza la actividad 3.

9. NÚMEROS ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES

Los números algebraicos sonaquéllos que son solución de una ecua-ción y los números trascendentes sonlos que no son algebraicos.

Ejemplo:

Números algebraicos:2/5; (5x – 2 = 0)

2 ; (x 2 – 2 = 0)

Números trascendentes famosos:6666, e , (constante de Euler),...

10. IDENTIDADES NOTABLES 10.1. Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma esigual al cuadrado del primer término,más el cuadrado del segundo, más eldoble del producto del primero por elsegundo.

(a + b )2 = a 2 + b 2 + 2ab

(5a + 2b )2 = 25a 2 + 4b 2 + 20ab

10.2. Cuadrado de una resta

El cuadrado de una resta esigual al cuadrado del primer término,más el cuadrado del segundo, menos el doble del producto del primero por elsegundo.

(a – b )2 = a 2 + b 2 – 2ab

(2a – 3b )2 = 4 a2 + 9b 2 – 12ab

10.3. Suma por diferencia

El producto de una suma poruna diferencia, cuando los términos soniguales, es igual al cuadrado del primer

término menos el cuadrado del segun-do término; es decir, suma por diferen-cia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2

(5 + b ) · (5 – b ) = 52 – b 2 = 25 – b 2

A C T I V I D A D E S

1. Expresa mediante un número deci-mal, los siguientes números deci-males:

a)5

12; c)

12

5;

b)35

17; d)

18

35

2. Halla la fracción generatriz de:

a) 503'1 ; c) 035'1 ;

b) 350'1 ; d) 1’035

3. Resuelve las siguientes operacionesy expresa su resultado en notacióncientífica:

a)

1414

109'9101'0

−−

⋅+⋅ b) 1818 109'0101'2 −− ⋅−⋅




c) 99 101'2109'0 −− ⋅×⋅ d) 99 101'2:109'0 ⋅⋅ e) 94 101'2109'0 ⋅×⋅ − f) 94 101'2:109'0 −⋅⋅

4. Calcula el valor de los siguientesradicales. Indica si hay más de unasolución, una o ninguna:

a) ;100− f) 36100 ⋅ ;

b) 3 125− ; g) 3

27

8;

c) 64 ; h) 4

16

10000;

d) 4 16 ; i)25

4− ;

e)100

1;

5. Extrae fuera del signo radical todoslos factores que sea posible:

a) ;72 f) 2205 ;

b) 250 ; g) 384 ;

c) 500 ; h) 5 9216 ;

d) 3 648 ; i) 147

e) 4 11664 ;

6. Introduce, dentro del signo radical,los factores:

a) 53 ; e) 4 52 ;

b) 74 ; f) 37 ;

c) 3 23 ; g) 2 3

8

1;

d) 22 ; h) 2

5

5

2

7. Convierte en irreducibles los si-guientes radicales:

a) 32 105 ; e) 8 864 265 ⋅⋅ ;

b) 12 103 ; f) 11 223 ;

c) 8 612 ; g) 36 127 ;

d) 10 42 53 ⋅ ; h) 3015

10

3

2

8. Reduce a índice común:

a) 6 53 7,5,2 ;

b) abba ,, 4 58 3

9. Calcula:

a) 3

1

8 ; d) 2

1

4−

;

b) 2

1

16−

; e)2

1

4

25−

;

c) 3

1

125−

; f)3

1

8

27

10. Efectúa los siguientes productosde radicales:

a) 3 43 22 ⋅ ; c) 4 28 ⋅ ;

b) 33aa ⋅ ; d) 1054 bcacab ⋅⋅ .

11. Efectúa los siguientes cocientes deradicales:

a)5

5 2

a

a; c)

4 125

5;

b) 3 93 ; d) 243




12. Efectúa las siguientes sumas yrestas de radicales:

a) 3259838 +− ;

b) 20122500275 +−+ ;

c) 70063528121754 −+− ;

d) 180189880845 −++−+ ;

e) 2453500452 −+

13. Calcula:

a) ( ) 2325083 ⋅+− ;

b)323

506;

c)23

27

14. Expresa, mediante un único radi-cal:

a) 222 ; d) 2555 ;

b) 3 77 ; e) 6442 ;

c) 393 ; f) 3 777

15. Calcula:

a) ( ) ( )812812 +⋅− ;

b) ( )228 + ;

c) ( )2327 −

16. Racionaliza:

a) 23 2 ; f) 325 2− ;

b)3 5

1; g)

221

2

−;

c)5 9

3; h)

53

51

−

+;

d)23

2−

; i)32132

++

e)15

1

−;




2

Álgebra. Ecuación dePrimer Grado con unaIncógnita




TTEEMMAA 22

ÁÁLLGGEEBBRRAA:: EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE PPRRIIMMEERR GGRRAADDOO CCOONN UUNNAA IINNCCÓÓGGNNIITTAA

La palabra álgebra proviene delárabe. Aparece por primera vez en un

tratado del siglo IX, «Al–jebrW’almugabala», que significa transpo-sición y eliminación.

Transposición es la traslación detérminos de un lado a otro de unaigualdad y eliminación es la supresiónde términos iguales.

1. LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico es elformado por números, letras que repre-sentan a números y los símbolos de lasoperaciones aritméticas. Este lenguajenos va a permitir traducir problemasformulados verbalmente a lenguaje ma-temático de manera exacta, lo cual faci-litará su resolución.

Las expresiones formadas pornúmeros, letras que representan a nú-

meros y los signos de las operacionesaritméticas que se realizan entre ellosse llaman expresiones algebraicas.

Cada una de las letras que in-tervienen en una expresión algebraicase denomina variable.

Ejemplo:

2x + 7 = 2(2x – 3), donde x esla variable.

Hallar el valor numérico deuna expresión algebraica consisteen dar valores concretos a las varia-

bles. Por ejemplo: sabemos que elárea de un rectángulo es A= b · h . Sinecesitamos saber el área de unahabitación de 5 m de largo y 7 de an-cho, sustituimos la letra b por 5 y la h por 7. El resultado es A = 35 m2.

Llamamos identidad a unaigualdad cierta para cualquier valor delas variables.

Ejemplo:

x + 3 = x + 5 – 2

En Matemáticas existen identi-dades muy importantes que reciben elnombre de identidades notables.Son las siguientes:

(a + b)2 = a 2 + b 2 + 2ab (a – b)2 = a 2 + b 2 – 2ab

(a + b) (a – b) = a

2

– b

2

Recuerda que la igualdad es reversible

Realiza las actividades 1, 2, 4 y

5.

2. ECUACIONES

Se denomina ecuación a todaigualdad que sólo es cierta para algu-nos valores de las variables. En este

caso, las variables se llaman incógni-tas y, cada sumando, término de laecuación. Los términos numéricos sedenominan términos independien-tes.

Al valor de la variable (o los va-lores de las variables) para el cual escierta la igualdad se le llama solución de una ecuación. Ésta puede ser úni-ca, pueden ser varias o incluso puede

que la ecuación no tenga solución. En




este caso concreto a la ecuación lallamaremos ecuación imposible.


3. RESOLUCIÓN DE ECUACIO- NES

Resolver una ecuación es hallarel valor de la incógnita:

x + 12 = 46

En esta igualdad, x + 12 está enel primer miembro (a la izquierda delsigno =), y 46 está en el segundo

miembro (a la derecha del signo =).Nuestro objetivo es aislar la x , es de-cir, dejarla sola en alguno de losmiembros. En este caso, tenemos quetrasponer el 12.

x + 12 – 12 = 46 – 12

x = 46 – 12, de donde x = 34

Para simplificar el proceso, po-demos generalizar diciendo que, paradespejar (dejar sola) la x , podemostrasponer los términos que la acompa-ñan pasándolos al otro miembrohaciendo la operación contraria. (Siestaba sumando, pasa restando; siestaba restando, pasa sumando; siestaba multiplicando, pasa dividiendo;si estaba dividiendo, pasa multiplican-do).

Ejemplo:El perímetro de un cuadrado es

12 m. ¿Cuánto mide cada uno de los lados?

4 · x = 12

x =12

4; x = 3

Es importante que, una vez re-suelta la ecuación, compruebes el re-sultado. Esto se hace sustituyendo lax por el valor que has hallado y com-probando que se mantiene la igualdad.En este caso:

4 · 3 = 12


11.

4. RESOLUCIÓN DE ECUACIO- NES MÁS COMPLEJAS

A veces nos encontramosecuaciones donde la incógnita nosaparece repetida y en ambos miem-bros:

Ejemplo:

6x + 5 – 3x = 15 – 2x

Cuando nos encontremos unaecuación de este tipo, es convenienteagrupar en un miembro los términoscon x y en el otro los que no la tengan.

6x – 3x + 2x = 15 – 5

Solución: Cada lado mide 3 m.

MMééttooddoo ddee rreessoollvveerr eeccuuaacciioonneess ddee pprriimmeerr

ggrraaddoo ccoonn uunnaa iinnccóóggnniittaa 1. Quitar paréntesis. Si no los hay, pasar

al paso 2.

2. Quitar denominadores. Si al quitar de-nominadores aparecen paréntesis, vol-ver al paso 1. Si no hay denominado-res, pasar al paso 3.

3. Agrupar en un miembro los términoscon x y en el otro los que no la tengan.

4. Simplificar.

5. Despejar la x.




5x = 10

x =10

5, de donde x = 2

En las ecuaciones donde apa-recen fracciones, lo primero quehemos de procurar es eliminarlos. Es-to lo haremos reduciendo todos lostérminos a común denominador.

Ejemplo:

x

2+

x

5- 6 = 8

510 x + 2x

10- 60

10= 80

10

Prescindiendo de los denomi-nadores:

5x + 2x – 60 = 80

Y ya podemos resolver traspo-niendo términos:

5x + 2x = 80 + 60

7x = 140

x =140

7, de donde x = 20

De igual manera se aplica estemétodo si hemos de despejar fórmulasmatemáticas. Por ejemplo, si tenemos

que despejar el radio, r , en la fórmulade la superficie del círculo:

S = π · r 2

r 2 =S

π

r =S

π


5. APLICACIÓN A LA RESOLU- CIÓN DE PROBLEMAS

No existe una receta única quenos conduzca a un final feliz en la reso-

lución de un problema, aunque te va-mos a facilitar un procedimiento que, junto con la práctica, te lo va a allanarbastante.

5.1. Problemas de tipo aritmético

La suma de tres números impares consecutivos es 1.845. Determina de qué números se trata .

Planteamiento:

Un número impar se puede es-cribir así: 2x + 1.

Tengo que considerar que seanconsecutivos. Vendrán dados por:

2x + 12x + 1+ 2 = 2x +3 2x + 3 + 2 = 2x + 5

La suma de los tres ha de ser1.845

(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 1.845

Resolvemos la ecuación:

6x + 9 = 1.845; x = 306

PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa rreessoollvveerr uunn pprroobblleemmaa

1. Lee atentamente el enunciado del pro-blema hasta comprenderlo.

2. Elige adecuadamente la incógnita.

3. Traduce el enunciado del problema alenguaje algebraico.

4. Resuelve la ecuación obtenida.

5. Comprueba la solución en la ecuación.

6. Da una respuesta al problema

7. Comprueba dicha respuesta con el enun-ciado del problema




Solución:

Primer número: 2 · 306 + 1 = 613 Segundo número: 2 · 306 + 3 = 615

Tercer número: 2 · 306 + 5 = 617

Comprobación:

Son todos impares y su suma es 1.845.

5.2. Problemas de edades

Un hombre de 40 años tiene un hijo de 10 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea el doble que la del hijo?

Planteamiento:

Sea a el número de años quedeben transcurrir. Entonces el padretendrá 40 + a años y el hijo 10 + a años.

Nos dicen que la edad del padreserá doble que la del hijo, por tanto:

40 + a = 2(10 + a)


40 + a = 20 + 2a ; a = 20 años

Solución:

El padre tendrá 40 + 20 = 60 años.El hijo tendrá 10 + 20 = 30 años.

Comprobación:

60 = 2 · 30

5.3. Problemas de mezclas

¿Cuántos litros de vino de 3 euros/l hay que mezclar con 40 litros de vino de 2 euros/l para obtener vino a 2’75 euros/l?

Planteamiento:

Designemos por x la cantidad delitros de vino que hemos de mezclar. Suvalor será 3x euros. El valor de los 40litros de vino a 2 euros por litro es:

40 · 2 = 80 euros.

En total tendremos x + 40 litrosque deseamos vender a 2’75 euros ellitro y cuyo importe es:

(x + 40) 2’75 euros


3x + 40 · 2 = (x + 40) 2’75

Solución:

x = 120 litros de vino de 3 € por litro

Comprobación:

3 · 120 + 40 · 2 = (120 + 40) · 2’75

5.4. Problemas geométricos

El perímetro de un triángulo isósceles mide 15 cm. Calcula la longitud de sus lados sabiendo que el lado desigual mide la mitad de cada uno de los otros dos .

Planteamiento:

Un dibujocomo el que apa-rece en el margen

nos podría aclararel problema. Re-cuerda que untriángulo isóscelestiene dos lados

iguales. Si llamamos x al lado desigual,los otros miden 2x cada uno (el doble).

El perímetro es la suma de todoslos lados:

x + 2x + 2x = 15




Tengo que considerar que seanconsecutivos. Vendrán dados por:


5x = 15; x = 215 ; x = 3

Solución:

x = 3, por lo que un lado mide 3cm y cada uno de los otros dos miden 6cm.

Comprobación:

Si sumamos los tres lados obtene-mos el perímetro: 3 + 6 + 6 = 15.

5.5. Problemas de móviles con el mismo sentido

Un tren de mercancías parte desde Madrid hacia Sevilla a las siete de la mañana a una velocidad constante de 50 km/h. A las once de la mañana parte desde la misma estación el AVE hacia Sevilla a una velocidad constante

de 220 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el AVE en alcanzar al mercancías y a qué distancia de Madrid lo alcanzará? La distancia entre Madrid y Sevilla es de 471 kilómetros.

Planteamiento:

Como la velocidad es constante,cada móvil habrá recorrido en un tiem-po t un espacio v · t . Cuando el AVE

alcance al mercancías ambos habránrecorrido el mismo espacio, el AVE enun tiempo t y el mercancías, como hasalido cuatro horas antes, en un tiempot + 4 .

El espacio recorrido por el AVEen t horas será:

e1 = 220t

El espacio recorrido por el mer-cancías en t + 4 horas será:

e2 = 50 (t + 4)

Como ambos habrán recorrido elmismo espacio, resulta:

220 · t = 50 · (t + 4)

Solución:

t =17

20horas, es decir, 1h 10m 35’3s.

Calculamos la distancia recorridasustituyendo en una de las expresionesde tiempo.

e1 = 220 ·

17

20= 258’82 km de Madrid

Comprobación:

Calculamos la distancia recorridapor el otro tren. Si coincide, es que elAVE alcanza al mercancías en ese ins-tante:

e2 = 50(17

20+ 4) = 258’82 km.

5.6. Problemas de móviles con sentido contrario

A las 9 de la mañana parte un AVE desde Madrid en sentido Sevilla a una velocidad constante de 200 km/h.Una hora más tarde parte un mercancí- as desde Sevilla en dirección Madrid a una velocidad constante de 60 km/h.¿A qué hora se encuentran y a qué distancia de los puntos de salida? La dis-

tancia entre Madrid y Sevilla es de 471kilómetros.

Planteamiento:

Desde que sale el AVE hastaque se encuentra con el mercancíashabrá estado un tiempo t andando yhabrá recorrido un espacio e1 = 200 · t .

De igual manera, el mercancías

habrá andado durante un tiempo t – 1 yrecorrido un espacio e2 = 60 (t – 1) has-




ta que se encuentre con el AVE. Lógi-camente, la suma de los dos espacioses la distancia entre ambas ciudades:e1 + e2 = 471

Solución:

Así que: 200t + 60 (t – 1) = 471

Resolviendo la ecuación tene-mos: t = 531 / 260 horas, es decir, 2h2m 32’3s. Para saber a qué distanciade ambas ciudades se produce el en-cuentro basta calcular los valores nu-méricos de e1 y de e2 una vez que sa-bemos el valor t .

Comprobación:

La suma de ambas distancias hade ser igual a 471 km.

5.7. Problemas de trabajadores,grifos,...

Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro grifo lo hace en 4 horas.¿Cuánto tiempo tardarán en llenarlo los dos a la vez?

Planteamiento:

Llamemos x al tiempo que tarda-rán ambos grifos en llenar el depósito yveamos la parte del depósito que llenacada uno en una hora.

Como el primero tarda 3 horas

en llenarlo, en 1 hora llenará la terceraparte (1/3) del depósito; el segundo lle-nará 1/4 del depósito en una hora, y losdos juntos, en una hora, habrán llenadolos 1/ x del depósito.

Por lo tanto:

x

1

4

1

3

1=+

Solución:

x =7

12horas, es decir, 1h 42m 51’43s.

Realiza las actividades de la 14 a

la 47.


1. Traduce al lenguaje algebraico lassiguientes frases:

a) la mitad de un número más ocho.b) el doble de un número menos su

mitadc) aumenta en cuatro el triple de unnúmero

d) la suma de los cuadrados de dosnúmeros

e) disminuye en seis el doble delcuadrado de un número

2. Escribe en lenguaje algebraico lassiguientes informaciones relativas ala base y la altura de un rectángulo:

a) la base es el doble que la altura.b) la base excede en cinco unida-

des a la altura.c) La altura es dos quintos de la ba-

se.d) El área del rectángulo es de 75

cm2.e) La base y la altura difieren en 3

unidades

3. Halla el valor numérico de las si-guientes expresiones para el valorde la variable que se indica:

a) 3x + 2y , para x = 1; y = 0b) 3(x + 2)2, para x = 1; x = –2; x =

3/2c) 2(x – y )2, para x = 2; y = –3

4. Desarrolla las siguientes igualdades:

a) (a + b)2




b) (a – b)2 c) (1 – a) (1 + a)d) (3 + b)2 e) (b + 6) (b – 6)f) (2a – 1)2

g) Comprueba que son identidadescada uno de los apartados ante-riores dando diversos valores yviendo que los resultados coinci-den.

5. Expresa como potencias o productoslas siguientes sumas:

a) x 2 – 1b) x 2 + 4 + 4x c) 49 – 9x 2 d) 9x 2 – 6x + 1e) x 2 – 12x + 36f) x 2 – y 2

6. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x + 28 = 12b) x – 10 = 12c) x + 2 = 8

d) 5 – x = 3e) 9 – x = 0f) x + 5 = 81g) 8 – x = 1

7. Resuelve estas ecuaciones:

a) 3x = 6b) 5x = 25c) 9x = 99d) 2x = 64

e) 2x = 5f) 6x = 1g) 7x = 3h) 12x = 21

8. Halla el valor de la incógnita en cadaecuación:

a) 3x – 6 = 0b) 5s – 4 = 16c) 7y + 5 = 33

d) 1 – 2x = 0e) 190 – 9z = 100

f) 37 – 3x = 1

9. Encuentra el valor de x :

a) 5x + 7x = 12

b) 9x + 14x = 50c) 3x – 2 = 4x – 7d) 2x – 7 = 3x + 8e) 11x + 7x + 3x = 7f) 4x + 12x = 30 + 15x g) 29 – 17x = 5x h) –3x + 2 = x – 10

10. Resuelve:

a) 2(x – 1) = 0b) 5(1 – x ) = 0c) 7(x – 2) = 42d) 9(2x – 3) = 9e) 3(3 + x ) = 2x + 10f) (x – 1)9 = 6x + 18g) x + 7 = 2(x – 3)h) 12 + 2(x – 3) = 3

11. Resuelve las ecuaciones:

a) 2 (x + 3) – 6 (5 + x ) = 4x + 8b) 5 (2 – x ) + 3 (x + 6) = 10 – 4 (6 + 2x )

c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2 (x + 6) – 7x

d) 4x – 2 + 6 (x – 4) = 6 + 2x


a)( )

42

3=

−+− x

b) 5x3

3x+=

+

c) 35

1-x=

−d) 5-x

2

62x=

−+


a) x

4+

2

3=

12

35




x + 3

8-

x - 3

10=

x - 5

4- 1

10x -95 - 10x

2=

10x - 55

2

-5x - 3

4= 5x -

10 + 5x

5-

5

2

5x -3x

3+

5x

5= 6x +

5x + 40

5

5+6

4+ x

-2

20+3x

=2

1-3x

- x-3

2+5x

3x + 2 4x -5

6 = 9x + 5 -

x -20

3

2

b)3x

7 +

4

5=

2x

2-

12

35

c)

d)

e)

f)

g)

h)

14. ¿Qué número sumado con 15 da28?

15. ¿Qué número multiplicado por 3 y

sumando luego 7 da 19?

16. La suma de dos números imparesconsecutivos es 32. ¿Cuáles sondichos números?

17. Tres números pares consecutivossuman 150. ¿De qué números setrata?

18. Halla tres números consecutivos

que sumen 663. ¿Existirán tresnúmeros pares consecutivos quesumen 663?

19. halla dos números impares conse-cutivos sabiendo que la diferenciade sus cuadrados es 24.

20. Si al doble de un número le suma-mos 5 obtenemos su triple. ¿Dequé número hablamos?

21. Encuentra dos números naturalesque sumen 48 y que al dividir unoentre otro se obtenga 3 de cocientey 4 de resto.

22. Juan tiene 28 años menos que supadre. Dentro de 15 años, la edadde éste será el doble de la de Juan.¿Cuál es la edad de cada uno?

23. Un padre tiene 30 años y su hijo, 8.¿Dentro de cuánto tiempo tendrá elpadre el doble de la edad del hijo?

24. Un profesor tiene 42 años y sualumno 12. ¿Cuántos años faltanpara que la edad del profesor seael triple que la del alumno?

25. La edad de una madre es el triplede la de su hijo y, dentro de 16años, sólo será el doble. ¿Cuántosaños tiene cada uno?

26. Un padre tiene 48 años y su hijo 25.Averigua cuántos años han de

transcurrir para que la edad del pa-dre sea doble que la del hijo.

27. Juan le preguntó a María cuántosaños tenía y ésta le respondió: “Eldoble de los años que tenía hacequince años más los que tengoahora es el triple de los que teníahace diez años”. ¿Cuántos añostiene María?

28. Una madre tiene el triple de edadque su hija. Si la madre tuvieratreinta años menos y la hija 8 añosmás, tendrían la misma edad. ¿Quéedades tienen ahora la madre y lahija?

29. La base de un rectángulo es 3 cmmayor que la altura. Si aumenta-mos en 2 cm tanto la base como laaltura del rectángulo, su área au-

menta en 26 cm2. ¿Cuáles son lasdimensiones del rectángulo inicial?




30. Si aumentamos en 3 cm el lado deun cuadrado obtenemos otro cua-drado con 51 cm2 más de área.¿Cuánto mide el lado del primer

cuadrado?

31. Los dos catetos de un triángulo rec-tángulo se diferencian en 2 cm. Sidisminuimos 2 cm en cada uno delos lados obtenemos otro triángulocon 12 cm2 menos de área. ¿Cuáles el área del triángulo original?

32. De un cuadrado de cartón recicladorecortamos un rectángulo cuya ba-se tenga 2 cm menos que el ladodel cuadrado y cuya altura seatambién 2 cm. ¿Qué medida debetener el cuadrado de cartón paraque el área de la segunda figurasea la misma que el área de otrocuadrado, que resulta de restar 2cm a cada lado del primero?

33. Una circunferencia tiene un radio

que mide 8 cm. ¿Cuánto hemos deaumentar el radio para que la longi-tud de una nueva circunferenciasea el triple de la longitud de la pri-mera?

34. Tengo una habitación cuadrada.Para ampliarla corro el tabique unmetro, con lo que obtengo unahabitación rectangular cuya super-ficie ha aumentado 4 m2. Calcula

los lados de la nueva habitación.

35. El área de un rectángulo aumentaen 185 cm2 cuando la base y la al-tura vienen aumentadas en 5 cmcada una. Halla las dimensionesdel rectángulo sabiendo que la pri-mera es el triple de la segunda.

36. La longitud de la base de un rec-tángulo es 4 m mayor que la longi-

tud de su altura. Si la longitud de labase aumenta en 2 cm y la altura

en 3 cm, el área aumenta en 58cm2. Halla las dimensiones del rec-tángulo

37. Dos fuentes abiertas simultánea-

mente llenan un depósito en 3horas. Una de ellas, en solitario, lollenaría en 4 horas. ¿Cuántas horastardaría la segunda en llenarlo ellasola?

38. Dos hombres tardan 5 horas enlevantar una pequeña tapia deladrillo. Uno de ellos, que trabajamás que el otro, lo haría él solo en6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría elsegundo trabajando en solitario?

39. Un depósito se llena con un grifo en2 horas y, con otro, en tres horas.Averigua el tiempo que tarda enllenarse el depósito si se abren losdos grifos a la vez.

40. Un obrero ha empleado 25 días enla realización de un trabajo. Si

hubiera dedicado dos horas máspor día hubiera terminado en 20 dí-as. ¿Durante cuántas horas trabajódiariamente?

41. Un depósito se llena con un grifo en4 horas; con otro tarda en llenarse6 horas, y se vacía por un desagüeen 3 horas. Halla el tiempo que tar-da en llenarse estando abiertos lostres.

42. Dos personas, A y B, que distanentre sí 45 km, empiezan a caminarpor la misma carretera pero en sen-tido contrario. La primera (A) convelocidad de 5 km/h y la segunda(B) con velocidad de 4 km/h.¿Cuándo y dónde se encontrarán?

43. Dos ciclistas, A y B, se dirigen almismo punto y salen también del

mismo punto. La velocidad de A esde 30 km/h y la de B es de 37’5




km/h. El ciclista B sale 2 horas mástarde que A y lo alcanza en el mo-mento de llegar ambos al punto decita. ¿Cuánto tiempo ha empleadoB y qué distancia ha recorrido?

44. Una persona va de una población aotra en un tranvía que lleva una ve-locidad de 14 km/h y regresa an-dando con una velocidad de 4km/h. ¿Qué distancia hay entre lasdos poblaciones si tarda seis horasen ir y volver?

45. A las 10h 45 m sale un avión deMadrid hacia Nueva York, siendosu velocidad de crucero de 1.000km/h. A la misma hora sale deNueva York un reactor hacia Ma-drid con una velocidad de 800km/h. ¿A qué distancia de Madrid ya qué hora se cruzarán ambosaviones? (La distancia de NuevaYork a Madrid es de 7.800 km)

46. A un vinatero le encargaron 60 l de

vino a un precio de 1’1 euros/l. Elcomerciante sólo dispone de vino a1’2 euros/l, así que decide echarleagua hasta obtener una mezcla delprecio pedido. ¿Cómo debe hacer-se la mezcla si suponemos que elagua es gratis?

47. El agua del mar tiene un 3 % de sal.¿Cuántos litros de agua debemosagregar a 25 kg de agua de mar para

que tenga sólo un 2 % de sal?




3

Ecuaciones deSegundo Grado eIrracionales




TTEEMMAA 33

EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE SSEEGGUUNNDDOO GGRRAADDOO EE IIRRRRAACCIIOONNAALLEESS

1. LAS ECUACIONES DE SE-

GUNDO GRADO. TIPOS Una ecuación de segundo

grado con una incógnita es una ecua-ción equivalente a otra de la forma:

ax 2 + bx + c = 0, siendo a≠0.

La x recibe el nombre de in-cógnita.

Las letras a, b, c las llamamoscoeficientes. Hemos dicho en la defi-nición que el coeficiente de x 2 ha deser siempre distinto de cero, pero esposible que b o c sí lo sean. En estecaso diremos que la ecuación es in-completa. En caso contrario diremosque es completa.

Ejemplos:

3x 2 + 5x + 4 = 0 es una ecua-ción de segundo grado completa concoeficientes a = 3, b = 5 y c = 4.

x 2 – 2x – 9 = 0 es una ecuaciónde segundo grado completa con coefi-cientes a = 1, b = –2 y c = –9

–5x 2 + 6 = 0 es una ecuación desegundo grado incompleta con coefi-cientes a = –5 y c = 6


2. NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SE- GUNDO GRADO

Encontrar una solución de laecuación es hallar el número que, sus-tituido en lugar de la x , hace que losdos miembros de la igualdad seaniguales.

El número de soluciones de unaecuación de este tipo puede ser dos,una o ninguna. Veamos ejemplosdonde ocurre esto:

• x 2 = 0 tiene sólo la solución 0

• x 2 = 4 tiene como soluciones 2y –2, ya que 22 = 4 y (–2)2 = 4

• x 2 = –4 no tiene ninguna solu-ción puesto que no hay ningúnnúmero cuyo cuadrado sea un

número negativo.Realiza las actividades 4 y 5.

3. RESOLUCIÓN DE ECUACIO- NES DE SEGUNDO GRADO

Resolver una ecuación consisteen utilizar un procedimiento para en-contrar sus soluciones. Como la reso-lución de este tipo de ecuaciones tiene

cierta dificultad vamos a distinguir di-versos casos:

3.1. Ecuaciones de la forma: ax 2 +c = 0

Se soluciona despejando x 2 yextrayendo la raíz cuadrada:

a

c x

a

c x

−±=⇒

−=2




Luego, si c = 0, la única solu-

ción es x = 0; sia

c−>0, tendremos dos

soluciones; y sia

c−< 0, la ecuación no

tiene solución.Ejemplo:

2x 2 – 8 = 0; 2x 2 = 8; x 2 = 4;x = ± √4 ; x = 2 y x = –2

3.2. Ecuaciones ax 2 + bx = 0

Para resolver este tipo de ecua-ciones en primer lugar debemos sacarfactor común x :

x (ax + b) = 0

Este producto es cero cuandouno de los dos factores es cero:

x = 0 ; ax + b = 0 ⇒ x = 0 ó x =a

b−

En el caso en que la ecuacióntenga la forma (x + p)(x + q) = 0 po-

dremos obtener las raíces teniendo encuenta que cada factor puede ser nu-lo. Por tanto las soluciones son: x = –py x = –q

Ejemplos:

a) 3x 2 – 4x = 0; x (3x – 4) = 0; x = 0ó x = 4/3

b) (x – 3)(x + 7) = 0; x = 3 y x = –7

3.3. Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado

Vamos a utilizar el método decompletar cuadrados en la ecuación

02 =++ cbxax , para obtener la fórmu-la que nos permita obtener directa-mente sus soluciones.

Trabajamos con la ecuaciónequivalente: ax 2 + bx = –c

Para asegurarnos un cuadradoperfecto cómodo de manejar, multipli-camos la ecuación por 4a, obteniendo:

acabx xa 444 22 −=+ (1)

El primer miembro es( ) baxax ·2·22 2 + , casi el desarrollo deun cuadrado:

( ) ( ) =++=+ 222 ·2·222 bbaxaxbax

22 44 babx xa ++=

luego basta sumar b2 en (1) para ob-tener:

2222 444 bacbabx xa +−=++ ;

( ) acbbax 42 22 −=+ ;

=+ bax2 ± acb 42 − ;

x =a

acbb

2

42 −±−

3.4. Número de soluciones y factorización de la ecuación de segundo grado

Factorizar una ecuación es ex-presarla como producto, de forma quesi multiplicamos los factores obtene-mos la ecuación dada.

Si llamamos

a

acbb x

2

42

1

−+−=

y

a

acbb x

2

42

2

−−−= ,

se verifican las siguientes posibilida-des:




a) Si b – 4ac < 0, entonces noexiste su raíz cuadrada: laecuación no tiene soluciones yse dice que es irreducible.

b) Si b – 4ac = 0, entonces

ab x x

221−== y se dice que

a

b x

21 −= es una raíz doble y la

ecuación se puede factorizar dela forma

( ) 02

22

1 =

+=−a

b xa x xa

c) Si b – 4ac > 0, entonces laecuación tiene dos raíces re-ales y distintas y se puede fac-torizar así: ( )( ) 021 =−− x x x xa

Se llama discriminante de laecuación a la expresión acb 42 −=∆ ,que permite distinguir o discriminar elnúmero de soluciones que tiene.

3.5. Propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado

Para conocer las propiedadesvamos a calcular el producto y la sumade las raíces:

s = x1 + x2 =

=−−−

+−+−

=a

acbb

a

acbb

2

4

2

4 22

a

b

a

b −=

−=

2

2

( ) ( )a

c

a

ac

a

acbb x x p ==

−−−== 22

222

21 4

4

4

4

Por tanto, si dividimos02 =++ cbxax por a obtenemos:

02 =++a

c x

a

b x , es decir,

02 =+− psx x , siendo p y s los valoresdel producto y la suma de las raíces,

respectivamente.Realiza las actividades 3, 6, 7 y

9.

4. ECUACIONES BICUADRA- DAS

Son ecuaciones de la forma024 =++ cbxax y para resolverlas ne-

cesitamos realizar el cambio, x 2 = t . De

este modo convertimos la ecuaciónbicuadrada en una ecuación de se-gundo grado que sabemos resolver:

02 =++ cbt at .

El número de soluciones de laecuación bicuadrada puede ser 4, 2 ó0. Veamos todo lo descrito con unejemplo:

04324

=−− x x

1º) Cambio x 2 = t⇒ 0432 =−− t t

2º) Resolvemos la ecuación desegundo grado: 41 =t y

12 −=t

3º) Deshacer el cambio:

Si 41 =t ⇒ x

2

= 4 ⇒ 24 ±=±= x

Si 12 −=t ⇒ x2 = –1 ⇒ No tienesolución.

4º) Las soluciones de la bicuadra-

da son: 21 = x y 22 −= x





5. ECUACIONES IRRACIONA- LES CON UNA SOLA RAÍZ

Las ecuaciones irracionales sonaquellas que tienen la incógnita bajo el

signo de la raíz cuadrada: x x =+− 31 . La forma de resolverlas

es:

1º) Dejar en un miembro de laigualdad todas las raíces y enel otro miembro lo demás.

2º) Reducir términos.

3º) Elevar al cuadrado los dosmiembros de la igualdad

4º) Hay que comprobar las solu-ciones que hemos obtenido yaque no todas pueden ser cier-tas.

Ejemplo:

x x =+− 31 ; 31 −=− x x ;

( ) ( ) 22 31 −=− x x ; x x x 691 2 −+=− ;

01072 =+− x x ⇒ 21 = x y 52 = x

Comprobemos las soluciones:

⇒≠=+− 24312 No es solución.

⇒=+− 5315 Sí es solución.


6. RESOLUCIÓN DE PROBLE- MAS

6.1. Problemas aritméticos

El cuadrado del doble de un número es 1.024. ¿Cuál es este nú- mero?

(2x )2 = 1024 ⇒ 4x 2 = 1.024 ⇒

⇒ x 2 = 256 ⇒ x = ± 256 ⇒ x = ±16

NOTA: ¡Cuidado: salen dossoluciones!

6.2. Problemas de edades Dentro de tres años mi edad se-

rá el cuadrado de la tercera parte de la edad que tenía hace 25 años. ¿Cuán- tos años tengo?

2

3

253

−=+

x x ⇒

⇒ x = 46 años tengo ahora

6.3. Problemas geométricos Para empotrar un espejo anti-

guo de 90 x 60 cm en el cuarto de ba- ño, los alicatadores me han dejado un hueco rectangular de 8.800 cm 2 . ¿De qué anchura debe ser la cenefa que compre para enmarcarlo?

( ) ( ) ⇒=+⋅+ 8800602902 x x

⇒±=⇒=−+⇒ 10034003004 2 x x x

La anchura debe ser de 10 cm.


la 20.


1. Averigua si las siguientes ecuacio-nes son o no de segundo grado y

especifica el valor de cada coefi-ciente:

x




a) x (5x – 2) = 5(x 2 – 1)b) (x + 1)(x – 2) + 3 = 0c) (2x – 1)(3 – x ) + 3 = 0d) (x – 2)(x + 2) = 0

e) x 2 + 9 = 25

2. Plantea las ecuaciones que se co-rresponden con los siguientesenunciados:

a) La suma de un número y sucuadrado es quíntuplo dedicho número.

b) El producto de dos númerospares consecutivos es 168.

c) Halla un número tal que eldoble de su cuadrado esigual a seis veces ese nú-mero.

d) La suma de los cuadradosde dos números consecuti-vos es 265.

3. Resuelve las siguientes ecuacionesincompletas sin utilizar la fórmula

general:a) 3x 2 = 48b) (x + 1)(x – 2) = 0c) (x + 2)2 = 4d) x 2 + x = 0e) 7x 2 – 175 = 0f) 3x (1 – 5x ) = 0g) (2x + 1)(4 – 3x ) = 0h) x – 3x 2 = 0

4. Escribe ecuaciones de segundogrado cuyas raíces sean:

a) 5 y 6 d) 9 y 9b) 3 y –1 e) 2/3 y –1/4c) –2 y 4 f) 3/2 y 1/3

5. ¿Cuáles de estas ecuaciones desegundo grado tienen como solu-ciones x = 1 y x = 3?

a) (x – 1)(x + 3) = 0 c) –2 (x + 1)(x – 3) = 0b) (x + 1)(x + 3) = 0 d) 4 (x – 1)(x – 3) = 0

6. Resuelve las ecuaciones aplicandola fórmula general:

a) 2x 2 – 5x + 2 = 0

b) 4x 2 + 4x – 3 = 0c) x 2 + x + 1 = 0d) x 2 – x – 6 = 0e) 2x 2 + x – 1 = 0f) x 2 – 2x + 1 = 0g) –x 2 + 3x + 4 = 0h) –2x 2 + x + 1 = 0i) 6x – 8 = x 2 j) –8 = –10x – 3x 2

7. Ordena y resuelve las siguientesecuaciones:

a) (2x + 5)(1 – x ) = x 2 – 1b) (x – 2)(2x + 1) = –(x + 3)(x + 7)c) x (3x – 5) + 6 = 8d) 3 (3x + 4) = x (3 – x ) + 3e) (x – 3)2 – (x + 3)2 = x 2

8. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x

4

– 5x

2

+ 4 = 0b) x 4 – 4x 2 = 0c) x 4 + 2x 2 – 3 = 0d) x 4 + x 2 – 2 = 0

9. Haz las operaciones y reduccionesque sean necesarias para calcularlas soluciones de las ecuaciones:

a) 4x 2 + x – 2 = 2x – 2x 2

b)2

1

9

2

−=

−

x

x

c) ( ) ( )22 1123 −−=−− x x

d)3

2

3

1

22 x x

x −=−

e)3

2

2

3

+=

+ x

x

10. Resuelve las siguientes ecuacio-nes irracionales:

a) x x x =−+ 3




b) 224312 −=+− x x x

c) 132 −+=− x x x

d) 2251 x x −+=

11. Halla dos números cuya suma sea5 y su producto 4.

12. Averigua dos números cuya dife-rencia sea 5 y su producto –4.

13. Calcula a y b para que las solucio-nes de ax 2 + bx + 3 = 0 sean 1/2 y3/2.

14. Encuentra un número tal que eldoble de su cuadrado sea igual aseis veces este número.

15. La suma de los cuadrados de dosnúmeros consecutivos es 265.¿Cuáles son esos números?

16. Si tenemos un cuadrado de 3 cmde lado, ¿cuánto debe valer el la-do de otro cuadrado para que su

área sea el doble que el área delanterior?

17. El área de una parcela rectangularmide 37.500 m2. Si la base de la

parcela mide 100 m más que la al-tura, ¿cuáles son sus dimensio-nes?

18. Halla las longitudes de los lados deun triángulo rectángulo tal que uncateto mide 3 cm más que el otroy que la hipotenusa mide 3 cmmás que el cateto mayor.

19. Los lados de un triángulo rectángu-lo tienen de medida, en cm, tresnúmeros enteros consecutivos.Busca la longitud de los tres lados.

20. Si el radio de un círculo aumenta 2cm, el área aumenta 20π cm2.Averigua el radio de este círculo ysu área.




4

Sistemas deEcuaciones Lineales




TTEEMMAA 44

SSIISSTTEEMMAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS

1. ECUACIONES DE PRIMER

GRADO CON DOS INCÓGNI- TAS

La siguiente igualdad es unaecuación de primer grado con dos in-cógnitas:

3x + y = 7

Esta ecuación tiene infinitassoluciones. Por ejemplo, x = 2 e y = 1satisface la igualdad. Para hallar esasinfinitas soluciones, en primer lugar seprocede a despejar una de las incógni-tas:

y = 7 – 3x

y a continuación damos valores a x para hallar los de y :

x y –2 13 –1 10

0 71 42 13 –2


2. SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones estáformado por dos ecuaciones. Al resol-ver un sistema hallamos un valor de x y otro de y que, entre todos los posi-bles, satisface a ambas al mismotiempo.

Existen varios métodos de reso-lución de un sistema de ecuaciones.Todas se pueden resolver siguiendocualquiera de ellos, aunque la práctica

dictará cual es más aconsejable encada caso.

2.1. Método de Reducción

Consiste en multiplicar una olas dos ecuaciones por el númeroapropiado con el fin de eliminar una delas incógnitas, de modo que reduzca- mos el sistema de ecuaciones a unasola ecuación de primer grado con una

incógnita.Ejemplo:

2x + 4y = 103x – 2y = –9

Multiplicamos por 2 la segundaecuación con el fin de igualar los co-eficientes de la incógnita y .

2x + 4y = 106x – 4y = –18

Sumando: 8x + 0 = –8

Y despejando la x :

x =-8

8

x = –1




Si sustituimos ahora el valor dex en cualquiera de las ecuacionesprimitivas, hallaremos el valor de y .

2 · (–1) + 4y = 10

–2 + 4y = 10

4y = 10 + 2

y =12

4y = 3→

Por lo tanto, la solución del sis-tema de ecuaciones es

x = –1; y = 3

2.2. Método de Sustitución

Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas encualquiera de las ecuaciones del sis-tema, y sustituir su valor en la otra.

Ejemplo:

3x + 4y = –22x – 3y = 10

Despejamos x en la segundaecuación:

2x – 3y = 10 ; x =10 + 3y

2

Sustituimos en la primera ecua-ción la incógnita x por su valor:

3 •10 + 3y

+ 4y = -22

A continuación, resolvemos laexpresión.

30 + 9y+ 4y = -2

2

30 + 9y + 8y = –417y = –4 – 30

y =-34

17y = - 2→

Una vez hallado el valor de y ,buscamos el de x sustituyendo el valor

encontrado en la ecuación que hemosdespejado con anterioridad.

x =2

y310 +

x =10 + 3 • (-2)

=10 - 6

2= - 2

2

La solución de este sistema es:

x = 2; y = –2

2.3. Método de Igualación

Consiste en despejar la mismaincógnita en las dos ecuaciones y lue-go igualar sus valores.

Ejemplo:

5x – 4y = –3

3x + 2y = 7

Despejamos la x en ambasecuaciones:

5x – 4y = –3; x =4y - 3

5

3x + 2y = 7; x =7 - 2y

3

Ahora igualamos los valores yresolvemos:

4y - 3

5=

7 - 2y

3

3(4y – 3) = 5(7 – 2y )

12y – 9 = 35 – 10y

12y + 10y = 35 + 9




2x + 3y = 17

3x + 2y = 18

3x - 4y = 7x + 10y = 25

6x - 5y = 33

4x + 4y = 44

5x + 6y = 32

7x - 3y = 22

22y = 44

y =44

22y = 2→

Sustituimos y por su valor encualquiera de las dos ecuaciones parahallar el valor de x :

x =4y - 3

5

x =4 • 2 - 3

5=

8 - 3

5= 1

La solución del sistema es:x = 1; y = 2


3. APLICACIÓN A LA RESOLU- CIÓN DE PROBLEMAS

Muchos problemas que puedenresolverse gracias a una ecuación con

una incógnita resultan más sencilloplantearlos con dos incógnitas, tenien-do en cuenta que hemos de tener tan-tas ecuaciones como incógnitas.

Ejemplo:

En un corral hay gallinas y conejos. Si en total hay 23 cabezas y 78 patas, ¿cuántas gallinas y conejos hay?

Planteamiento:

x gallinasy conejos2x patas gallinas4y patas conejos

x + y = 232x + 4y = 78

Por el método de reducción:

–2x – 2y = –462x + 4y = 78

0 + 2y = 32

y = 322

= 16

Si de un total de 23 cabezas, 16son las que corresponden a los conejos, la diferencia 23 – 16 = 7 serán lasde las gallinas.


17.


1. Comprueba si los siguientes paresde números son soluciones de laecuación x – 2y = 6.

a) b) c) d) e)x=8

y=1

x=4

y=3

x=5

y=3

x=10

y=2

x=5

y=0

f) g) h) i) j)x=6 y=0

x=8 y=0

x=5 y=2

x=9 y=2

x=15 y=3

2. Resuelve por cualquier método, (em-pleando todos):

a)

b)

c)

d)




3x - 4y = 26

x - 8y = 22

x - y = 4

3x - y = 14

5-=x-y

x-10=4y

5x + 9 = 3y

y + 1 = 3x

4(2 - x) = 3y

2(2 - x) = 2(y - 2)

x + 3 = y - 3

2(x + 3) = 6 - y

2x - 10y = 15

2x - 4y = 18

3x - 2y = 24

x + y = 8

3x + 4y = 25

4x + 3y = 31

3x + 6y = 18

2x - 5y = 30

6x - 10y = 14

y - x = 3

6x - 7y = 45

x + y = 1

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

ñ)

o)

3. La suma de dos números es 52 y sudiferencia 16. Halla dichos números.

4. Encuentra dos números tales queañadiendo 5 al primero se obtenga elsegundo y en cambio, añadiendo 1al segundo se obtenga el doble del

primero.

5. Encuentra dos números tales que eltriple del primero aumentado en 10unidades sea igual al segundo, mien-tras que el doble del segundo dismi-nuido en 4 sea igual a 8 veces elprimero.

6. La suma de dos números es 35; siaumentamos el primero en 10 unida-des y el segundo lo disminuimos en5, entonces el primero es triple delsegundo. ¿Cuáles son los números?

7. Busca dos números tales que la su-ma de la quinta parte del primero conla tercera parte del segundo sea 13,mientras que los 2/7 del primerodisminuido en los 2/9 del segundosea igual a 6.

8. Busca dos números tales que la su-ma del triple del primero más el cuá-druple del segundo sea 8, y el dobledel primero más el segundo igual a12.

9. Al sumar dos números nos da 14.Añadiendo uno al mayor nos da eldoble del menor. Halla los dos núme-ros.

10. Pagamos 1’18 € por 3 gomas y 5lápices. Si compramos 2 gomas yun lápiz pagamos 0’32 € . Calcula elprecio de la goma y el lápiz.

11. Un librero vendió 20 libros, unos a 2€ y otros a 2’50 € . Si obtuvo 43’50 € de la venta, ¿cuántos libros vendióde cada clase?

12. Dos tabletas de chocolate, uno ne-gro y otro blanco cuestan 1’50 € . Si




hemos comprado 7 tabletas dechocolate negro y 9 de blanco ynos ha costado todo 12’60 € ,¿cuánto cuesta cada tableta?

13. Por cada problema resuelto, un chi-co recibe 4 puntos, y pierde 3 pun-tos por cada ejercicio mal resuelto.Si se le han planteado 40 ejerciciosy ha ganado un total de 55 puntos,¿cuántos ejercicios resolvió bien ycuántos mal?

14. Halla dos números cuya diferenciasea 94 y su cociente 3, dando 22como resto de la división.

15. El total de monedas que guardo enlas dos manos es 12. Si pasamos

una moneda de la mano derecha ala izquierda, tendría en la derechael triple de monedas que en la iz-quierda. ¿Cuántas guardo en cadamano?

16. En un corral hay gallinas y cabras.En total hay 55 cabezas y 180 pa-tas. ¿Cuántas cabras y gallinashay?

17. Halla un número de dos cifras, sa-biendo que si se suman nos da 13,y la diferencia entre este número yel que se obtiene al permutar suscifras es 45.




5

Polinomios en unaIndeterminada yEcuaciones de GradoMayor de Tres




TTEEMMAA 55

PPOOLLIINNOOMMIIOOSS EENN UUNNAA IINNDDEETTEERRMMIINNAADDAA YY EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE GGRRAADDOO MMAAYYOORR DDEE TTRREESS

1. LOS POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES

1.1. Los monomios. Operaciones con monomios

Un monomio es una expresiónalgebraica con una sola indeterminadaen el que las únicas operaciones que

aparecen son el producto y la potenciade exponente natural.

La parte numérica se denominacoeficiente y al resto parte literal. Elexponente de la indeterminada es elgrado del monomio.

Por ejemplo: 2x 3 y 7y 4 son mo-nomios donde sus coeficientes son 2 y

7, sus partes literales son x

3

e y

4

, ysus grados 3 y 4, respectivamente.

Se dice que dos monomios sonsemejantes cuando tienen la mismaparte literal. Así, por ejemplo, 76az y

73bz− son semejantes.

Para sumar y/o restar mono-mios tienen que ser semejantes, elresultado es otro monomio semejantecuyo coeficiente es suma y/o resta delos coeficientes de los sumandos.

Ejemplo:

33333 4 x x x x x =+++

6666

4

31

4

37

4

37 x x x x =

+=+

Es decir, para sumar dos mo-nomios basta recordar la propiedaddistributiva del producto respecto de lasuma y sacar como factor común laparte literal.

La multiplicación y/o división de monomios es otro monomio que seobtiene siguiendo las reglas de multi-plicación, división y potenciación denúmeros enteros.

Ejemplo:

32 142.7 x x x =

x x x x 99

3

1:3 122 == −

1.2. Los polinomios

Se denomina polinomio a laexpresión algebraica formada por lasuma de varios monomios.

Cada monomio recibe el nom-bre de término. El que no tiene parteliteral se llama término independien-te y el mayor de los grados de sus

términos es el grado del polinomio.El término de mayor grado se denomi-na término principal.

Así, 833)( 4 −+= x x xP es unpolinomio de grado 4, su término inde-pendiente es –8 y su término principales 3x 4 .

Los polinomios se suelen dar deforma ordenada y reducida; es decir,sumados los monomios semejantes yordenándolos según su grado.




1.3. Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomiosbasta sumar o restar sus términos se-

mejantes.Ejemplo:

P(x ) = 3x 3 + 2x 2 – x + 5

Q(x ) = 2x 3 + 5x 2 – 7

P(x ) + Q(x ) = 5x 3 + 7x 2 – x – 2

Puesto que restar es sumar elopuesto, para calcular )()( xQ xP −

basta sumarle a )( xP el opuesto de)( xQ , es decir:

))(()()()( xQ xP xQ xP −+=− .

Multiplicación de polinomios

El producto de dos polinomioses otro polinomio que se obtiene mul-tiplicando cada uno de los términos deun polinomio por todos los términos

del otro y reduciendo los términossemejantes.Ejemplo:

P(x )= 123 2 −+ x x ; y Q(x )= x x 52 3 +

)52).(123()().( 32 x x x x xQ xP +−+= =

=−−+++= x x x x x x x x x x 5·12·15·22·25·32·3 33232

= x x x x x x 52104156

32435

−−+++ División entera de polinomios

De la misma manera que reali-zamos la división entera de númerosnaturales dividiremos polinomios. Da-dos dos polinomios D(x ) y d(x ) llama-dos dividendo y divisor, efectuar ladivisión entera de D(x ) entre d(x ) esencontrar dos nuevos polinomios C(x )y R(x ) llamados cociente y resto de la

división tales que: D(x )= d(x ) · C(x ) ++ R(x ), siendo el grado del resto me-

nor que el grado del divisor. Cuando elresto es 0, se dice que D(x ) es divisi-ble entre d(x ) y que d(x ) es un factorde D(x ).

Si el divisor en un monomio sedivide cada uno de los términos deldividendo entre dicho monomio.

Ejemplo:

( 352 34 +− x x ): ( )23 x =22

3

2

4

3

3

3

5

3

2

x x

x

x

x+− =

=2

2 1

3

5

3

2

x x x +−

Si el divisor es otro polinomio,se efectúa una división “en caja”.

En la práctica, se procede de laforma siguiente:

- Colocamos los polinomios orde-nados por potencias de mayor amenor, dejando espacios en eldividendo, que corresponden alos términos que faltan, y dividi-

mos el primer monomio del divi-dendo entre el primer monomiodel divisor.

32 x 23 x+ +1 2 x 5−+ x 2x

- Multiplicamos el resultado portodo el divisor y se lo restamosal dividendo. Hemos obtenido el

primer resto parcial.32 x 23 x+ +1 52 −+ x x

32 x− 22 x− +10x 2x 2

x +10x +1

- Repetimos el proceso hasta queel grado del resto sea menorque el grado del divisor. En esemomento hemos terminado ladivisión.




32 x 23 x+ +1 52 −+ x x 32 x− 22 x− +10x 2x + 1

2 x +10x +1

2 x− – x +5

9x +6

Realiza las actividades 1, 2 y 3.

2. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Dado un polinomio P(x ), llama-remos valor numérico de P(x ) en x=a al número que se obtiene al sustituir,en P(x ), x por a .

Si P(x ) = 2x 3 – 3x 2 + x – 5, elvalor numérico en x = 3 es:

25533.33.2)3( 23 =−+−=P

El valor numérico de un polino-mio P(x ) en x = a coincide con el restode la división de P(x ) entre x = a . Aesto se le llama teorema del resto.

Por lo tanto, para calcular el va-lor numérico de un polinomio en x =a podemos sustituir la x por la a o po-demos calcular el resto de dividir P(x )entre x – a .


3. TEOREMA DEL RESTO Y REGLA DE RUFFINI

Para efectuar la división de P(x )entre (x – a ) tenemos un algoritmomuy fácil encontrado por un matemáti-co italiano llamado Ruffini a principiodel siglo XIX.

Observa cómo se hace:

1º) Se escriben los coeficientes deldividendo con su signo. En ca-

so de que no haya término de

algún grado, se escribe 0 comocoeficiente.

2º) Debajo y a la izquierda de esoscoeficientes se coloca el núme-

ro a .

3º) Se opera de la siguiente forma:Se baja el primer coeficiente deldividendo, se multiplica por a yse suma al segundo coeficiente,y así, sucesivamente.

Se obtienen de esta manerauna serie de números que coincidencon los coeficientes del cociente de ladivisión, y el último número es el resto.

Ejemplo:

Efectúa la división del polinomio

1232 234 −++− x x x x entre x – 2.

2 –3 2 1 –12 4 2 8 18

2 1 4 9 17

Así el cociente de la división se-rá 942)( 23 +++= x x x xC y de restoR(x ) = 17.


8.

4. RAÍCES DE UN POLINOMIO

Dado un polinomio P(x ), dire-mos que el número a es una raíz deese polinomio si el valor numérico deP(x ) en a , P(a ), es 0.

Así, si tenemos el polinomioP(x ) = x 3 – 2x 2 + 5 y queremos saber six = –2 es, o no, una raíz de P(x ), po-demos sustituir:

P(–2) = (–2) 3 –2 (–2) 2 + 5 == –8 – 8 + 5 = –11 ≠ 0,




Luego –2 no es una raíz deP(x ).

Para comprobar si x = 3 es raízdel polinomio 2x 3 – 2x 2 – 8x – 12, lo

determinamos calculando el resto dedividir dicho polinomio por x – 3.

2 –2 –8 –123 6 12 12

2 4 4 0

Como el resto es 0, significaque P(3) = 0; luego 3 sí es una raíz delpolinomio dado. Esto nos permite es-cribir la siguiente igualdad:

2x 3 – 2x 2 – 8x – 12 = (x – 3)(2x 2 + 4x + 4)

es decir, el polinomio P(x ) es divisiblepor x – 3 y el cociente de la división,es 2x 2 + 4x + 4.

Si un polinomio P(x ) admite co-mo raíz al número a , podemos asegu-rar que:

- El valor numérico de P(x ) en a es 0, P(a ) = 0.

- P(x ) es divisible por x – a ; x – a es divisor de P(x ).

Observamos que las raíces deun polinomio P(x ) son las solucionesde la ecuación P(x ) = 0. Esto puedeservirnos para la determinación de

raíces de un polinomio, que no es fácilde hacer con carácter general, y noparece un buen método ir probando,de forma indiscriminada, con cualquiervalor de x .

El siguiente resultado delimitaalgunos valores que pueden ser raícesde un polinomio.

Las raíces enteras de un poli-nomio P(x ) deben ser divisores desu término independiente.

Considerando el polinomio:

P(x ) = x 3 + 3x 2 – 4x – 12

las raíces enteras del polinomio debenestar entre los divisores de su términoindependiente:

12,6,4,3,2,1 ±±±±±± .

Una vez formada la lista de di-visores iremos probando cada uno deellos, utilizando el método de Ruffini,hasta localizar aquellos cuyo valor

numérico sea 0.Realiza las actividades 9, 10, 11 y

12.

5. FACTORIZACIÓN Y RESO- LUCIONES DE ECUACIONES DE GRADO MAYOR DE TRES

La determinación de una raíz a de un polinomio permite expresar éste

como producto del polinomio (x – a )por otro de un grado inferior al del po-linomio dado. Si seguimos determi-nando raíces, podemos ir descompo-niendo los sucesivos factores en otrosirreducibles. A este proceso de des-composición de un polinomio en pro-ducto de factores más sencillos se lellama factorización.

Vamos a ver los pasos a seguirpor medio de un ejemplo. Para realizarla descomposición del polinomioP(x )=x 3 + 2x 2 – 4x – 8, seguiremos lossiguientes pasos:

1º. Hacemos la lista de los divisoresdel término independiente, entrelos que se deben encontrar lasraíces enteras:

8,4,2,1 ±±±±




2º. A continuación vamos probandocon los divisores comenzando porlos más sencillos, hasta obteneralguna raíz:

1 2 –4 –82 2 8 81 4 4 0

esto significa que podemos escribir:

x 3 + 2x 2 – 4x – 8 =(x – 2) (x 2 + 4x + 4)

Las raíces las buscamos en elpolinomio cociente. Hay que tener encuenta que el número 2 puede volvera ser raíz:

1 4 4 –2 –2 –4

1 2 0

Por tanto, podemos escribir:

x 3 + 2x 2 – 4x – 8 = (x – 2) (x + 2) (x + 2)

Cuando el polinomio que que-remos factorizar no tiene término in-dependiente, el primer paso que da-remos de cara a su factorización serásacar factor común x elevado a la po-tencia correspondiente al término demenor grado.

Hay que tener en cuenta, parafactorizar P(x ) = x 4 + 3x 3 + 2x 2, que:

x 4

+ 3x 3

+ 2x 2

= x 2

(x 2

+ 3x + 2)

A continuación determinamoslas raíces del polinomio (x2 + 3x + 2)de la forma ya conocida y obtenemos:

x 4 + 3x 3 + 2x 2 = x 2(x + 1)(x + 2)



1. Calcula las siguientes sumas y res-tas de polinomios:

a) ( ) ( )31258116 323 −+++−− x x x x x

b) 242536426 233 +−−−+− x x x x x

c) 84372 223 −++−− aaaaa

d)

+−+−

+− 28273

1436

2

16 233

x x x x x

2. Calcula los siguientes productos:

a) ( )32·811623

++−− x x x x b) ( )( ) x x x 2·36426 4 +−

c) ( )( )23·36426 23 +−+− x x x x

3. Resuelve las siguientes divisionesde polinomios:

a) ( ) ( )2:157 2234 ++++− x x x x x

b) 143:34176 223 +−−+− x x x x x

c) 12:453

224

−++−− x x x x x 4. Efectúa las siguientes divisiones

utilizando la regla de Ruffini:

a) ( )3:1323 245 −+−+ x x x x

b) ( ) ( )2:126 4 ++− x x x

c) ( ) ( )5:532 23 −−+ x x x x

d) ( )1:6126 2 +++ x x x

e) ( ) ( )2:2345 −++++ x x x x x x

5. Calcula el valor numérico de los si-guientes polinomios en los puntosque se indican:

a) P(x ) = ,532 24 +− x x en x = 0, x =2

b) P(x ) = ,235 x x x +− en x = –1, x = 3

c) P(x ) = ,732 2 −+ x x en x = –5, x = 4

6. Determina, sin hacer la división, elresto de las siguientes divisiones:




a) ( )2:34 −− x x

b) ( ) ( )2:135 ++− x x x

c) ( ) ( )1:235 3457 −++−+ x x x x x

d) ( ) ( )1:324 3 −+− x x x

7. Determina el valor de m para que ladivisión sea exacta:

a) ( ) ( )1:23 24 −++− xm x x x

b) ( )2:22 24 −−++ xm x x x

8. ¿Son divisibles los siguientes poli-nomios por (x – 2)?

a) 6342 23 +++ x x x b) 164 + x c) 42 − x d) 642 +− x x e) 1052 34 +++ x x x

9. Sin efectuar ninguna operación, es-cribe las raíces de los polinomiossiguientes:

a) ( ) ( ) ( )1·2·3 −−− x x x b) ( ) ( )2·33 −+− x x

c) ( ) ( )7·7 +− x x x

10. Escribe un polinomio de grado 2cuyas raíces sean 2 y –1.

11. Escribe un polinomio de grado 3cuyas raíces sean 1, –1 y 3.

12. Escribe un polinomio de grado 4cuyas raíces sean 0 y 2.

13. Descompón en factores, escribien-do previamente la lista de posiblesraíces, los siguientes polinomios:

a) 22

23

−+− x x x b) 33 23 −−+ x x x c) 122 −− x x d) 201623 −−− x x x e) 652 −+ x x f) 652 23 −−+ x x x g) 425514 23 −+− x x x h) 30193 +− x x i) 124115 23 +−− x x x j) 23

x x +




6

Funciones Gráficas yFunciones Notables




TTEEMMAA 66

FFUUNNCCIIOONNEESS GGRRÁÁFFIICCAASS YY FFUUNNCCIIOONNEESS NNOOTTAABBLLEESS

Son muy frecuentes los fenó-menos en los que resulta de gran inte-rés conocer las relaciones que apare-cen entre dos o más de sus magnitu-des, ya que ello permite realizar pre-dicciones sobre esos fenómenos.

Así, antes de que un fenómenosuceda, se pueden conocer las varia-bles que intervienen en cada uno delos casos y las relaciones que existen

entre ellas. Estas relaciones entre dosmagnitudes, en donde la variación deuna de ellas queda determinada enfunción de la otra, las podemos expre-sar mediante tablas de valores, gráfi-cas y expresiones algebraicas.

1. LOS EJES CARTESIANOS.FUNCIONES: TERMINOLO- GÍA

1.1. Los ejes cartesianos

Unos ejes cartesianos no sonmás que un par de rectas perpendicu-lares, marcada cada una de ellas conuna unidad de medida o escala.

Normalmente se suele dibujaruna recta horizontal, que llamamos ejede abscisas o eje de las x , y una ver-tical que llamamos eje de ordenadas o eje de las y. El punto de corte de los

dos ejes se denomina origen de co-ordenadas.

y

O x

Un par de números ordenados(a ,b ) representan a un punto del planoy se denominan coordenadas de dichopunto. El primer valor del par (a ), sellama abscisa y el segundo, (b ), or-denada.

Ejemplo:

Vamos a representar los puntos A(2,3), B(–1,2), C(–2,–2) y D(3,–2).

3

2A

B

–1 2 –2

C D –2

Las coordenadas de origen son

(0,0). Si la coordenada es (x ,0), elpunto estará sobre el eje de abscisasy si es de la forma (0,y ), el punto esta-rá situado sobre el eje de ordenadas.

1.2. Funciones. Terminología

Si escuchamos que el precio dela gasolina depende del barril depetróleo, estamos relacionando dosmagnitudes, que pasaremos a llamarvariables y las representaremos por x

e y , que dependen la una de la otra.En este caso, el precio del barril sería




la variable independiente y el preciode la gasolina sería la variable de-pendiente.

Una función es una relación

entre dos variables, que a cada valorde la variable independiente le hacecorresponder un único valor de la va-riable dependiente, al que llamamosimagen.

Consecuentemente, la relaciónque hay entre un número y su raízcuadrada no es una función, puestoque a cada número se le puede aso-ciar dos valores, uno positivo y otronegativo, como solución de su raízcuadrada. En cambio, la relación queasocia un número con su mitad síconstituye una función, siendo únicasu imagen.

1.3. Puntos de corte con los ejes

Los puntos de corte de una fun-ción con el eje de abscisas son de laforma (x ,0), siendo x un valor que anu-la a la función, es decir, 0 = f(x ).

El punto de corte de una fun-ción con el eje de ordenadas, si existe,es de la forma (0,y ), siendo y el valorque se obtiene cuando x = 0, es decir,y = f(0).

Ejemplo:

En la función f(x ) = x 2 – 1, re-solviendo la ecuación x 2 – 1 = 0 obte-

nemos los puntos de corte con el ejeOX, que son (–1,0) y (1,0). Y sustitu-yendo la x por 0 obtenemos el puntode corte con el eje OY que es (0,–1).


5.

2. CRECIMIENTO Y DECRECI- MIENTO. MÁXIMOS Y MÍNI- MOS

Una función es creciente en

un intervalo si a medida que la varia-ble independiente aumenta, los co-rrespondientes valores de la funcióntambién aumentan.

Una función es decrecienteen un intervalo si los valores de lafunción disminuyen a medida que lavariable independiente aumenta endicho intervalo.

Una función es constante enun intervalo si, para cualquier valorde la variable independiente que per-tenezca a dicho intervalo, la función novaría.

Una función f(x ) alcanza unmáximo relativo en un punto de abs-cisa x = a cuando en un cierto entornode a la función siempre toma valores

por debajo de f(a ).Una función f(x ) alcanza un mí-

nimo relativo en un punto de abscisax = a cuando en un cierto entorno de a la función siempre toma valores porencima de f(a ).

Cuando hay un máximo relativo,a la izquierda del mismo la función escreciente, y a la derecha la función




será decreciente, al menos en susproximidades. Ocurre lo contrariocuando hay un mínimo relativo.


12.

3. CONTINUIDAD DE UNAFUNCIÓN

Hay funciones en cuyas gráfi-cas el trazado es continuo, no necesi-tamos levantar el lápiz del papel; enese caso, diremos que la función escontinua y, en caso contrario, disconti-nua.

Una función es continua enun punto, de abscisa x = a , si paravalores muy próximos a dicho punto lafunción toma valores muy próximos af(a ). En caso contrario, hablaremos dediscontinuidad en x = a , ya que lagráfica de la función en el punto deabscisa a , sufre una interrupción.

Realiza las actividades 6, 8 y 9.

4. LA FUNCIÓN LINEAL Y AFIN

4.1. La función lineal

Supongamos que un momentodeterminado queremos efectuar la re-lación entre dólares y euros. Si elcambio es de 1 euro = 1’12 dólarespodemos realizar la tabla siguiente:

Euros Dólares1 1’12

1’5 1’682 2’24

2’5 2’83 3’364 4’48...

Podemos calcular el importe de

cualquier cantidad de euros aplicando:

1’12 · (nº de euros) = (nº de dólares)

Esta situación se llama de pro-porcionalidad directa y puede expre-sarse matemáticamente de la forma

f(x ) = ax .

Si realizamos una gráfica conlos valores de la tabla anterior obten-dremos una recta que pasa por el ori-gen de coordenadas, ya que si no dasningún euro, no te darán nada en dóla-res.

5

4

3

2 D ó l a r

e s

1

1 2 3 4 5 6

Euros

Una función del tipo f(x ) = ax sedenomina función lineal o de pro-porcionalidad directa. Suele escribir-se de la forma y = ax porque f(x ) es la

ordenada de la gráfica. El coeficiente a se llama pendiente.

4.2. La función afín

Vamos a suponer que la bajadade bandera de un taxi es de 1 euro enla tarifa y de 30 céntimos de euro cada250 metros de recorrido.

El importe de cada trayecto,dependiendo del número de metros

que se recorren en cada uno de elloses el siguiente:

1250

30'0+ x

Esto lo podemos representarpor la función:

f(x ) = 1

250

30'0+ x




donde f(x ) representa el coste. Dándo-le valores a x se puede obtener el pre-cio de distintos trayectos.

La función que relaciona las

anteriores variables tiene la forma:

f(x ) = ax + b

que se denomina función afín. Tam-bién se escribe y = ax + b .

La gráfica de la función afín estambién una recta, por tanto una fun-ción continua, aunque no pasará por elorigen de coordenadas.

5

4

3

2 I m p o r t e e n €

1

1000 2000 3000

Distancia en metros

La recta corta al eje de ordena-

das en el punto (0,b ), por lo que el va-lor de b se conoce como ordenada enel origen. El coeficiente de la x deter-mina la inclinación de la recta, por loque se le denomina pendiente.


la 17.

5. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

LA CATENARIAUna función de la forma f(x ) =

= ax 2 + bx + c, en donde x apareceelevada al cuadrado se denomina fun-ción cuadrática o función polinómica desegundo grado. También se escribe dela forma y = ax 2 + bx + c.

La gráfica de la función cuadrá-tica es una parábola con vértice en el

punto ) y x V V V , , donde a

bV x 2

−= y yV

se obtiene sustituyendo xV en laecuación de la parábola.

Otros puntos importantes de laparábola son aquellos en los que cortaa los ejes de coordenadas.

Punto de corte con el eje OY:( )[ ]0,00 f x →=

Puntos de corte con el eje OX:0)( == x f y . Resolviendo la ecuación

de segundo grado obtenemos los po-sibles puntos de corte.

Al resolver la ecuación de se-gundo grado podremos obtener dossoluciones, una o ninguna según queel discriminante ( )acb 42 − de la ecua-ción sea positivo, cero o negativo.Significa que existirán dos puntos decorte de la parábola con el eje de abs-cisas, uno o ninguno. Así, cuando

0>a obtenemos:




Y cuando sea 0<a

Esto nos viene a decir que, de-pendiendo del signo del coeficiente a,las ramas de la parábola van a estar

dirigidas hacia arriba (a > 0) o haciaabajo (a < 0).

Además, una parábola siemprees simétrica respecto a la recta xV x = ;

con estos puntos y alguno más quenosotros le demos podemos obteneruna representación gráfica de la pará-bola que estemos viendo.

Como ejemplo vamos a repre-sentar gráficamente la función:

6)( 2 −+= x x x f , hallando previamentelos puntos de corte con los ejes y elvértice.

El punto de corte con el eje deordenadas (x = 0) es: f(0) = 02 + 0 – 6== – 6 por lo que el punto de corte es:(0,–6).

Los puntos de corte con el ejede abscisas (y = 0) los calculamos re-solviendo la ecuación de segundogrado 0 = x 2 + x – 6 obteniendo x 1 = 2,x 2 = –3 por lo que los puntos de corte

son (2,0) y (–3,0).

El vértice en x es2

1−= xV y

2

256

2

1

4

16

2

1

2

12

−=−−=−

−+

−= yV

con lo que el punto del vértice es

−−2

25,

2

1V .

Estos puntos son suficientespara representar la gráfica aproxima-da, pero podemos darle alguno más siqueremos y obtendríamos la siguientetabla de valores:

x 0 2 –32

1 − 1 3

y –6 0 0

2

25 − –4 6




La catenaria es la curva quedescribe una cadena suspendida porsus extremos.

Los primeros matemáticos queabordaron el problema supusieronequivocadamente que la curva era unaparábola. Huygens, a los 17 años,demostró que no era una parábola,pero no encontró la ecuación.

En 1691, en respuesta a un retode Jacob Bernoulli, Leibnitz y Huy-gens, por métodos geométricos, y Jo-hann Bernoulli encontraron la ecua-ción. Este reto de Jacob Bernoulli, re-suelto por Johann, fue el comienzo dela rivalidad entre ellos.

El nombre de catenaria se debea Huygens.

Johann Bernoulli resolvió elproblema de la siguiente manera:

Consideró el trozo de cadenaOA. Las fuerzas que actúan sobre esetrozo son el peso P, la fuerza F (quedepende del lado izquierdo de la ca-dena y por lo tanto es constante) y G.

Siendo α αα α el ángulo que forma G con lahorizontal, tenemos que, como el trozoOA está en equilibrio:

P = G sen α αα α F = G cos α αα α

Dividiendo ambas ecuacionestenemos: tg α αα α = P/F

Aplicando conceptos matemáti-cos superiores a los que en este cursose imparten, se deduce que la fórmulaes y = a/2(ex/a + e-x/a), siendo a la dis-tancia desde el origen hasta la curva ye ϕ 2’71.


A C T I V I D A D E S1. Representa en unos ejes coordena-

dos los siguientes puntos del plano:(0,–3), (0,4) (2,0), (–1,0), (–3,2), (1, –2), (–5, –2) y (3,5).

2. Escribe las coordenadas de los pun-tos que aparecen a continuación.

B 2 A

–2 –1 1 2

–1

–2D

–3

C




B

C D A

3. El peso de una persona se relacio-

na con su estatura. ¿Es el pesofunción de la estatura? ¿Cuál seríala variable independiente y la varia-ble dependiente?

4. La siguiente tabla muestra el incre-mento de riesgo de padecer cáncerde pulmón (en tantos por ciento) enfunción del número de cigarrillosfumados al día.

Cigarrillos 5 7 10 15 25 30 35 40

Incrementode riesgo (%) 7 10 12 15 20 22 25 30

Realiza una gráfica que representea esta función. ¿Crees que se de-ben unir los puntos de la gráfica?

5. El contenido de vitamina C, en fun-ción del tiempo de cocción de unaverdura, queda reflejado en la si-

guiente tabla.

Tiempode coc-ción (min)

0 20 30 40 50 60 65 70 75 80

Cantidadde vitami-na C(mg)

50 50 50 50 50 50 49 30 5 0

Haz un gráfico que represente la si-tuación descrita. ¿Qué recomenda-ciones darías para cocer la verduraevitando que pierda valor nutritivo?

6. El precio de un litro de gasolina sinplomo es 0’75 €. Realiza una tablaque relacione los litros que se pue-den consumir y su correspondientecoste. Dibuja la gráfica de la fun-

ción. ¿Consideras que la funciónde coste es continua? ¿Unirías lospuntos que representan los valoresde la tabla?

7. Un hipermercado rebaja todos susartículos un 15 por 100. ¿Cuál es lafunción que relaciona el precio anti-guo de los artículos con el nuevo?Elabora una tabla y representa di-cha función. Al aumentar el precio,¿aumenta el descuento? ¿La fun-ción es creciente o decreciente?

8. El precio del metro de manguera enun establecimiento es de 2 €. Ela-bora una tabla con el coste en fun-ción de los metros vendidos y re-presenta estos valores en una gráfi-ca.

a) ¿Crees que se deben unir lospuntos para formar la gráficade la función? ¿Hay disconti-nuidades?

b) ¿Cuál sería la expresión al-gebraica de la función?

c) Si se tratase de vender bolí-grafos, ¿es correcto unir lospuntos del dibujo?

9. Describe la continuidad de las si-

guientes funciones:

a)




b)

c)

10. Dibuja aproximadamente la gráficade una función con las siguientescaracterísticas:

a) Es una función definida ycontinua en el intervalo [–2,5].

b) Corta al eje de ordenadas en(0,–3).c) Corta al eje de abscisas en

(1,0), (3,0) y (4,0).d) Es creciente en (0,2) y

(3’5,5].e) Es decreciente en (2,3’5) y

en [–2,0).f) En x = 2 la función toma el

valor 1, que es un máximorelativo. En x = 0 y x = 3’5 la

función alcanza dos mínimosrelativos, siendo el valor deeste último –0’5.

11. Si en nuestra bicicleta vamos auna velocidad constante de 15km/h, ¿cuál será la función linealque relacione los kilómetros reco-rridos en función del tiempo? Rea-liza una gráfica.

12. La bajada de la bandera de un taxicuesta 1 € en la tarifa diurna y 30

céntimos de euro cada 250 metrosde recorrido.

a) Calcula el precio del recorri-do si el trayecto es de 2’5 ki-

lómetros.b) Si en la tarifa nocturna la bajada de bandera es de 1’25€ y el importe cada 250 me-tros de 0’4 €, escribe la fun-ción afín que representa di-cha situación. Dibuja la grá-fica.

c) Calcula el importe para losrecorridos de 2’5, 5 y 10 km.

13. Representa gráficamente las si-guientes funciones:

a) f(x ) = 3x + 1b) f(x ) = 2x – 1c) f(x ) = –2x d) f(x ) = x – 1e) f(x ) = 3x

14. Representa gráficamente las si-

guientes funciones afines: f(x ) = 4x – 2; g(x ) = 4x ; h(x ) = 4x + 2. ¿Quéobservas? Haz un resumen de tusconclusiones.

15. Calcula las ecuaciones de las rec-tas que pasan por los puntos quese indican.

a) A(1,2) y B(0,5)b) A(–1,3) y B(0,0)

c) A(1,0) y B(–2,3)16. Determina el coeficiente b en la

función afín f(x ) = 2x + b para quela gráfica de dicha función pasepor el punto (2,1).

17. ¿Qué valor debe tener a en la fun-ción afín f(x ) = a x + 1 para que sugráfica sea paralela a la de la fun-ción f(x ) = –2x + 3? Representa

gráficamente ambas rectas.




18. Representa gráficamente, deter-minando los puntos de corte conlos ejes y el vértice de cada unade las parábolas siguientes:

a) f(x ) = x 2 – 3x – 10

b) f(x ) = –x 2 – 6x + 9c) f(x ) = 2x 2 + x – 1d) f(x ) = x 2 + x e) f(x ) = –x 2 – 2x + 8f) f(x ) = 2x 2 – 2




7

El Concepto de Azar yFormas de Contar




TTEEMMAA 77

EELL CCOONNCCEEPPTTOO DDEE AAZZAARR YY FFOORRMMAASS DDEE CCOONNTTAARR

1. FENÓMENOS Y EXPERI- MENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

En la vida real, a veces, plan-teamos preguntas o se nos presentansituaciones cuyas respuestas o resul-tados son imposibles de predecir aciencia cierta como por ejemplo: ¿Ne-vará mañana?, ¿Recibiré el martesuna llamada de teléfono de mi tía?,¿Aprobaré este curso?... A todas ellaslas llamamos situaciones de incerti-dumbre.

Cuando un meteorólogo prediceel tiempo atmosférico no ofrece unacerteza absoluta sino que informa dela situación atmosférica más probableen función de los datos que tiene. Sinos dice que mañana hará un día so-leado no debemos deducir, por ello,que no nevará.

Aunque todos los martes hastala fecha me ha llamado por teléfono mitía, nada me asegura que éste mellame: lo más probable es que sí, perono lo podría asegurar con certeza.

En todos estos casos podemosdar una respuesta a la pregunta quenos planteamos en función de los da-tos que tenemos a partir de observa-

ciones anteriores.

La teoría de la probabilidad pretende la descripción y el análisismatemático de unos determinados

sucesos que provienen de la observa-ción de un fenómeno. Hay que distin-guir entre:

• Fenómenos físicos: aquellos quese verifican en las mismas condi-ciones y de la misma manera. Porejemplo, calcular el tiempo que tar-da un móvil en recorrer cierto es-pacio en cierto tiempo.

• Fenómenos aleatorios: aquellosque, aunque se realicen en lasmismas condiciones y circunstan-cias, no se puede predecir su re-sultado. Por ejemplo, lanzar unamoneda.

Nosotros estudiaremos estosúltimos que, por depender del azar, seles llaman sucesos aleatorios.

Definimos, por tanto, como ex-perimento aleatorio a todo aquel ex-perimento que no pueda predecirsecon certeza y como experimento de-terminista a los que sí se puedenpredecir con certeza.


2. ESPACIO MUESTRAL

Se llama espacio muestral alconjunto de todos los resultados posi-bles de un experimento aleatorio. Sedenota por E.

Ejemplo:

Si lanzamos una dado, el espa-cio muestral es:

E = {1,2,3,4,5,6}




Si lo que estudiamos es el es-tado civil de una persona, el espaciomuestral será:

E = {soltero, casado, viudo, divorciado}

Si lanzamos dos veces unamoneda, el espacio muestral será:

E = {cara cara, cara cruz, cruz cara,cruz cruz}

3. SUCESOS ELEMENTALES Y COMPUESTOS

Llamamos suceso a cada subcon-

junto del espacio muestral E. Los su-cesos se denotan con letras mayúscu-las.

Ejemplo:

Si el experimento es lanzar undado, tendremos como espacio mues-tral E = {1,2,3,4,5,6}. Un suceso serácualquier subconjunto de E, como {1},{3,4}, {1,3,6}, E...

Un suceso elemental es el su-ceso que está formado por un soloelemento, es decir, es el que está for-mado por un solo resultado posible decada experimento.

Ejemplo:

Si el experimento es lanzar undado, un suceso elemental será "obte-ner un 5". Este suceso se escribe {5}.

Si el experimento es lanzar dosveces una moneda, un suceso ele-mental será "obtener cara en el primerlanzamiento y cruz en el segundo".Este suceso se escribe {cara cruz}.

Todo suceso no elemental sellamará compuesto.

Ejemplo:

En el experimento del lanza-miento de un dado, son sucesos com-puestos, {1,2},{1,4,5}, E, {2,5}...

En el experimento de lanzar dos

veces una moneda, un suceso com-puesto será {cara cara, cara cruz, cruzcara}.

Realiza las actividades 2, 3, 4, 5,

6 y 8

4. OPERACIONES CON SUCE- SOS

Dados dos sucesos A y B:

• Se llama unión de A y B al sub-conjunto de E formado por todoslos sucesos elementales de A y B.Se denota por A 4444 B.

• Se llama intersección de A y B alsubconjunto de E formado por lossucesos elementales comunes a Ay B. Se denota A 3333 B.

Ejemplo:

En el lanzamiento de un dado,si

A={sacar un número par} = {2,4,6}

B={sacar un número primo} = {1,2,3,5}

Entonces: A 4 B = {1,2,3,4,5,6}A 3 B = {2}

Dos sucesos A y B son contra-rios si uno contiene los sucesos ele-mentales que no contiene el otro. Di-cho en otras palabras, la realizaciónde uno supone la no-realización delotro. Al suceso contrario del suceso Ase lo denota por A . MatemáticamenteA = E – A (siendo E el espacio mues-tral).

Ejemplo:




En el lanzamiento de un dado,los sucesos A = {1,2,4} y B = {3,5,6}son complementarios. También soncomplementarios C = {subconjunto delos números primos} = {1,2,3,5} y D =

{subconjunto de los números no pri-mos} = {4,6}.

Dos sucesos A y B son in-compatibles cuando no pueden ocu-rrir a la vez, o lo que es lo mismo,cuando su intersección es el conjuntovacío.

Ejemplo:

Dos sucesos contrarios son in-compatibles.

Dos sucesos A y B son inde-pendientes cuando la realización deuno no influye en la realización delotro.

Ejemplo:

Si extraemos dos cartas de unabaraja de modo que, antes de sacar la

segunda devolvemos la primera almazo, el resultado obtenido en la se-gunda extracción no depende del ob-tenido en la primera.

Dos sucesos A y B son de-pendientes cuando la realización deuno sí que influye y condiciona la rea-lización del otro.

Ejemplo:

Si extraemos dos cartas de unabaraja de modo que la segunda sesaca sin devolver la primera al mazo,el resultado obtenido en la segundaextracción sí que depende de lo obte-nido en la primera.

Realiza las actividades 7, 9, 10,

11, 12, 13 y 14.

5. CONTAR. FORMAS DE CON- TAR

Dado un conjunto finito, no va-cío, pretendemos hacer grupos con

sus elementos de modo que cumplancaracterísticas bien definidas. Estudia-remos, por tanto, en este apartado, elnumero de agrupaciones que podre-mos realizar con los elementos de unconjunto finito teniendo en cuenta sunaturaleza, su orden o ambas cosas ala vez. Así surgirán, variaciones, per-mutaciones y combinaciones.

5.1. Variaciones sin repetición ( q

pV )

Se llama variación sin repeticiónde orden q, formada con elementos deun conjunto P = {a1, a2, ......, ap} atoda agrupación de q elementos elegi-dos entre los p dados en P, no repi-tiéndose ninguno y considerando co-mo agrupaciones distintas aquellasque se diferencian en un elemento oen el orden de colocación de los mis-mos. Ahora vamos a contarlas:

• Es claro que el primer ele-mento de cada agrupaciónse puede elegir arbitraria-mente, por tanto tenemos p posibilidades.

• El segundo elemento nopuede coincidir con el prime-ro por tanto nos quedan p –1 posibilidades de elección.

• El tercer elemento no puedecoincidir con ninguno de losanteriores así que nos que-dan p – 2 posibilidades.

• Si seguimos así, llegamos aque el número buscado es:

q

pV = p · (p – 1) · (p – 2) ·....(p – q + 1)

=q)!(

!

− p

p

Ejemplo:




El conjunto de las variacionessin repetición de orden 2 de los ele-mentos del conjunto P = {a, b, c} es:

{ab, ac, ba, bc, ca, cb}

El cardinal de ese conjunto es:3 · (3 – 1) = 6

5.2. Variaciones con repetición ( q

p RV )

Se llama variación con repeti-ción de orden q, formada con elemen-tos de un conjunto P = {a1, a2, ......,ap} a toda agrupación de q elementos

elegidos entre los p dados en P, pu-diéndose repetir algunos y conside-rando como agrupaciones distintasaquellas que se diferencian en unelemento o en el orden de colocaciónde los mismos. Ahora vamos a contar-las:

• Es claro que el primer ele-mento de cada agrupaciónse puede elegir arbitraria-

mente, por tanto tenemos p posibilidades.• El segundo elemento puede

coincidir con el primero portanto volvemos a tener p posibilidades de elección.

• Si seguimos así, llegamos aque el número buscado es:

q

p RV = p · p · ......p = pq

Ejemplo:El conjunto de las variaciones

con repetición de orden 2 de los ele-mentos del conjunto P = {a, b, c} es:

{aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc }

El cardinal de ese conjunto es:3 · 3 = 9

5.3. Permutaciones sin repetición ( pP )

Las permutaciones sin repeti-ción son un caso particular de las va-riaciones sin repetición cuando p=q.

Por tanto, si las contamos nos queda:

pP = p · (p –1) · (p –2) · .... (p –p+1)= p!

Ejemplo:

El conjunto de las permutacio-nes sin repetición de los elementos delconjunto P = {a, b, c} es:

{ abc, acb, bac, bca, cab, cba}

El cardinal de ese conjunto es:3 · 2= 6

5.4. Permutaciones con repetición ( p RP )

Se llaman permutaciones conrepetición de órdenes a, b, c, d ..... z correspondiente a los elementos: A, B,C, D...... Z de un conjunto P de p ele-mentos, a toda ordenación formada

con esos elementos, de modo que, a +b + c +...+ z = p y además:

A se repita a vecesB se repita b vecesC se repita c vecesD se repita d veces.....................Z se repita z veces

Para contarlas consideramos a

letras distintas a1, a2, ....., a; b letrasdistintas b1, b2, ...., bb;......; z letrasdistintas z1, z2, ...., zz.

• Con las p letras del conjuntoP = {a1, a2, ..., aa, b1, b2,...bb, ........, z1, z2,..., zz} sepueden formar p! permuta-ciones sin repetición.

• Al suprimir los subíndices en

cada una de esas permuta-ciones ordinarias se obtie-nen todas las permutaciones




con repetición repetidas,puesto que cada permuta-ción con repetición aparecea! · b! · c! · ..... · z! veces.Este número es el producto

de las permutaciones de lasa1, a2,..., aa, entre sí, porlas permutaciones de las b1,b2,..., bb, entre sí, ..., y porlas permutaciones de las z1,z2, ..., zz, entre sí.

• El cociente entre p! y a! · b!· c! · ..... · z! resuelve el pro-blema. Por tanto el númerobuscado es:

p RP =!·...·!·!·!

! zcba

p

Ejemplo:

El conjunto de las permutacio-nes con repetición de órdenes 2 y 3 delos elementos a y b del conjunto P ={a, a, b, b, b} es:

aabbbababb baabbabbab babab bbaababbba babba bbaba bbba

El cardinal de ese conjunto es:5! / 2! · 3! = 5 · 4 · 3 · 2 / 2 · 3 · 2 = 10

5.5. Combinaciones sin repetición ( q

pC )

Se llama combinación sin repe-tición de orden q, formada con ele-mentos de un conjunto P = {a1, a2,......, ap} a toda agrupación de q ele-mentos elegidos entre los p dados enP, no repitiéndose ninguno y conside-rando como agrupaciones distintasaquellas que se diferencian en unelemento no importando el orden decolocación de los mismos. Ahora va-mos a contarlas:

• Como cada combinación sinrepetición de orden q puedeoriginar q! variaciones sinrepetición de orden q de loselementos dados sin más

que cambiar el orden de sucolocación, tenemos que elnúmero buscado es.

q

pC =( ) !!

!

qq p

p

•−

Ejemplo:

El conjunto de las combinacio-nes sin repetición de orden 2 de los

elementos del conjunto P = {a, b, c, d}es:

{ ab, ac, ad, bc, bd, cd}

El cardinal de ese conjunto es:4! / (4–2)! · 2! = 4 · 3 · 2 / 2 · 2 = 6

5.6. Combinaciones con repetición ( q

p RC )

Se llama combinación con repe-tición de orden q, formada con ele-mentos de un conjunto P = {a1, a2,......, ap} a toda agrupación de q ele-mentos elegidos entre los p dados enP, pudiéndose repetir alguno y consi-derando como agrupaciones distintassolo aquellas que se diferencian enalgún elemento no importando el or-den de colocación de los mismos. Portanto si dos agrupaciones tienen los

mismos elementos aunque cambiadosde orden, se considerarán como lamisma.

=+ 1-nm

nnm, CR


la 21.

6. DIAGRAMAS DE ÁRBOLSe llaman así a unas estructu-




ras ramificadas (parecen árboles) muyútiles para calcular el espacio muestralde un experimento, sobre todo si éstees compuesto. La mejor manera dever esto es por medio de un ejemplo:

Pensemos en una urna que tie-ne tres bolas de color rojo, una amari-lla y dos verdes. Sea el experimentolanzar una moneda y a continuaciónextraer una bola de la urna. Veamosque podemos construir la siguienteestructura ramificada:

R CRA CAC

V CVR +RA +A+V +V

Pondremos en el primer nivellas posibles extracciones del primerexperimento, en el segundo nivel lasposibles del segundo experimento pa-

ra cada una de las extracciones delprimero (sin tener en cuenta, en estecaso particular, el número de bolas decada color) y así sucesivamente.

En el próximo tema veremoscómo se asocian a cada una de lasramas un valor que representará laprobabilidad de que ocurra el sucesoque dicha rama indica (será en estepaso cuando tengamos en cuenta el

número de bolas de cada clase).



1. Entre los fenómenos o experimen-tos siguientes, señala cuáles son

aleatorios y cuáles son causales:

a) lanzar simultáneamente 3 dadosde distintos colores sobre unamesa y anotar los números obte-nidos.

b) preguntar, en una clase, a cada

uno de los alumnos por el futbo-lista preferido.c) tirar un cuerpo desde lo alto de

una torre y anotar la velocidad dellegada al suelo.

d) sacar tres bolas de una bolsaque contiene siete bolas rojas ytres blancas y anotar los coloresde las bolas extraídas.

e) engendrar hijos varones o hem-bras.

2. Se considera el fenómeno aleatoriolanzar un dado de quinielas (trescaras 1, dos caras x, una cara 2)sobre una mesa y anotar el resulta-do. Determina el espacio muestral Ey el espacio de sucesos S.

3. Designando por S, el sucesoconsistente en sacar una ficha del

dominó, cuya suma de puntos sea7, determina S.

4. Se tira tres veces una moneda so-bre una mesa y se anotan los resul-tados obtenidos. Determina el co-rrespondiente espacio muestral y elsuceso S obtener mayor número decruces que de caras.

5. Se lanzan dos dados de distintos

colores sobre una mesa y se anotanlos resultados obtenidos. Determinalos sucesos: A = {sacar al menos uncinco}; B = {sacar dos cincos}

6. Manolo y Luisa juegan una partidamixta de frontón. La partida terminacuando uno de ellos gana dos par-ciales seguidos o tres alternos. De-termina el espacio muestral de losresultados correspondientes a los

posibles finales de la partida. (Sepuede usar un diagrama de árbol).

C = cara; + = cruz; R= roja; A = amarilla; V = verde




7. Se considera el fenómeno aleatorioextraer una carta de una baraja decuarenta y anotar los sucesos si-guientes: O = {sacar oro}, B = {sa-

car basto}, C = {sacar copa}, E ={sacar espada}, F = {sacar figura}.Determina:

a) (O ∩ F) ∪ (B ∩ F)b) (C ∩ F) ∩ ( E ∪ F)

8. Designando por An el suceso con-sistente en sacar una ficha del do-minó cuya suma de puntos sea múl-

tiplo de n , determina los sucesos:a) A12 b) A3 c) A6

9. Con la notación del ejercicio ante-rior, di qué sucesos elementalesforman los sucesos siguientes:

a) A4 ∪ A6

b) A4 ∩ A6 c) 4A ∩ 6A

10. Se considera el fenómeno aleato-rio lanzar un dado sobre una mesay anotar el número obtenido y lossucesos A = {obtener como míni-mo dos puntos}, B = {obtener unpunto}. Justifica si A y B son suce-sos contrarios.

11. Sea el fenómeno aleatorio sacaruna ficha del dominó y anotarla.Se consideran los sucesos A ={obtener ficha blanca}, B = {obte-ner ficha cuya suma de puntos seaocho}. Justifica que A y B son su-cesos incompatibles.

12. Prueba que si M y N son dos su-cesos asociados a un fenómeno

aleatorio y definimos la diferenciaasí: M – N = M ∩ N , entonces re-

sulta que M – N contiene a los su-cesos elementales de M que noestán en N.

13. Si M y N son dos sucesos, se defi-

ne la diferencia simétrica M ∆ Ncomo M ∆ N = (M – N) ∪ (N – M).Halla qué sucesos elementalesforman M ∆ N.

14. Se considera el fenómeno aleato-rio extraer una carta de una barajade cuarenta y anotarla y los suce-sos A = {sacar oro}, B = {sacarrey}, C = {sacar el rey de bastos}.Determina los sucesos siguientes:

a) A ∩ C b) A ∩ B ∩ Cc) A ∪ B ∪ C d) BA ∪

15. Halla el número de resultados po-sibles al lanzar cuatro monedas alaire.

16. Con tres consonantes y dos voca-les distintas, ¿cuántos vocablos decinco letras se pueden formar sinque contengan dos consonantesseguidas?

17. ¿Cuántas diagonales tiene un po-lígono convexo de n lados?¿Cuántos puntos de interseccióninteriores tienen las diagonales?

18. Disponiendo de siete colores dis-tintos, ¿de cuántas maneras pue-de pintarse un tetraedro regular,no mezclando colores en unamisma cara?

19. ¿Cuántos números de cuatro ci-fras, mayores que 5.000, puedenformarse con las cifras 3, 4, 5 y 6:

a) sin repetir ningunab) repitiendo una o más.




20. En una carrera de caballos llegana la meta cuatro jinetes. ¿Decuántas formas distintas puedenllegar?

21. ¿De cuántas maneras pueden dis-tribuirse seis juguetes distintos en-tre cuatro niños, de modo que acada niño le corresponda un ju-guete por lo menos?




8

Probabilidad. La Leyde los

Grandes Números




TTEEMMAA 88

PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD.. LLAA LLEEYY DDEE LLOOSS GGRRAANNDDEESS NNÚÚMMEERROOSS

Hacia el siglo XVII algunos apa-sionados a los juegos de azar plantea-ron a importantes científicos, como

Pascal, problemas que hasta entoncesno tenían explicación matemática. Lasreflexiones que se vieron obligados ahacer para darles respuesta dieron ori-gen a unos instrumentos matemáticosque actualmente se utilizan en diversasciencias: economía, sociología, genéti-ca...

Cada vez es más frecuente oír, através de los distintos medios de comu-nicación, frases como éstas: "Según unsondeo de opinión...un porcentaje ele-vado de...", "Las posibilidades de queeste equipo gane la liga son...", "Segúnlas últimas estadísticas, el índice deabstención es..."

Todas estas nociones formanparte de una rama de las Matemáticasconocida como Teoría General de la

Probabilidad y su estudio nos servirápara entender mejor muchas de lasinformaciones que recibimos.

1. FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA

Se define la frecuencia abso-luta (fa) de un suceso A como el nú-mero de veces que se repite dichosuceso en un determinado número de

experimentos aleatorios.

Se define la frecuencia relativa(fr) de un suceso A como el cocienteentre la frecuencia absoluta y el núme-ro de experimentos aleatorios.

Ejemplo:

Si lanzamos un dado 15 vecesy obtenemos 4 veces un 3, 5 veces un2, 3 veces un 1, 3 veces un 4. Enton-ces tendremos que:

Suceso fa frObtener 1 3 3/15Obtener 2 5 5/15Obtener 3 4 4/15Obtener 4 3 3/15

Esta tabla representa la distri-bución del experimento.


10.

2. LEY DE LOS GRANDES NÚ- MEROS. PROBABILIDAD

Vamos a considerar el experi-mento de lanzar una moneda 10 ve-ces. A priori, podríamos pensar quecinco de esos lanzamientos nos daríancara y que otros cinco nos darían cruz,es decir, que la distribución espera-da es:

Suceso fa frCara 5 5/10=0’5

Cruz 5 5/10=0’5

Sin embargo cuando realizamosel experimento y anotamos los resul-tados, vemos que hemos obtenido 3veces cara y 7 veces cruz. Por tanto ladistribución experimental es:

Suceso fa frCara 3 3/10=0’3

Cruz 7 7/10=0’7




¿Qué ha pasado? ¿Falla nues-tra intuición?

Para responder a estas pregun-tas se nos ocurre repetir el experimen-

to, pero aumentando sucesivamente elnúmero de lanzamientos. Entoncesveamos lo que obtenemos:

• 50 lanzamientos

Suceso fa frCara 21 21/50=0’42Cruz 29 29/50=0’58

• 100 lanzamientosSuceso fa Fr

Cara 43 43/100=0’43Cruz 57 57/100=0’57

• 200 lanzamientos

Suceso fa FrCara 92 92/200=0’46Cruz 108 108/200=0’54

Podemos observar que, a me-dida de que el número de lanzamien-tos es mayor, las frecuencias relativasde la distribución experimental y de laesperada se van acercando. Este re-sultado se conoce como Ley de losgrandes números.

Dicha Ley nos permite, en ca-sos más complejos que el anterior,aproximarnos a la distribución espera-da a través de la experimentación. Entodos estos casos, cuanto mayor es elnúmero de experimentos más nosacercamos a la distribución esperada.

Llamaremos probabilidad deun suceso A a la frecuencia relativaesperada del mismo, y se escribe:

P(A) = fr (A)

3. CASOS FAVORABLES Y CASOS POSIBLES. LEY DE LAPLACE

Hemos visto que los fenómenos

aleatorios (aquéllos en los que inter-viene el azar) obedecen a ciertas le-yes que nos permitirán conocer conqué probabilidad puede ocurrir un su-ceso entre todos los posibles del es-pacio muestral. Si lanzamos un dado20 veces puede ocurrir que salga 6veces el 2; tendríamos, por tanto:

Suceso fa frObtener 2 6 6/20=0’3

Donde resulta que la frecuenciarelativa está muy por encima de la es-perada (1/6 = 0’167), pero ya sabe-mos, por la Ley de los grandes nú-meros, que al aumentar el número derealizaciones del experimento, la dis-tribución experimental se aproxima ala teórica. Podremos, por tanto, decirque la probabilidad de obtener 2 en

esos 20 lanzamientos del dado es 1/6de 20.

Así, cada una de las caras deun dado no trucado, tiene la mismaprobabilidad de ser obtenida. Son portanto equiprobables.

A aquellos sucesos que tienenla misma probabilidad se les llamaequiprobables.

Supongamos que Ana y Tono juegan con un solo dado y a una solatirada. Ana apuesta que saldrá un nú-mero menor que 3 y Tono, mayor que3. ¿Cuál es la probabilidad que ganeAna? ¿Cuál es la probabilidad de queno gane ninguno?

Para responder a esto debemosfijarnos en lo siguiente:




• al tirar un dado podemos obtener 6resultados posibles, todos equi-probables.

• de ésos hay 2 resultados que

estarán por debajo del 3: deci-mos que hay dos resultadosfavorables para el suceso sermenor que tres.

• de ésos hay 3 resultados queestarán por encima del 3: deci-mos que hay tres resultadosfavorables para el suceso sermayor que tres.

• de los 6 casos posibles tenemos 2posibilidades de que el número ob-tenido sea menor que 3, por tanto2/6 será la probabilidad de que ga-ne Ana.

• no ganará ninguno si sale un tres.Y ésa es una posibilidad (caso fa-vorable) entre 6 (casos posibles).Por tanto 1/6 es la probabilidad de

que no gane ninguno.

Llamamos casos posibles atodos los que pueden ocurrir al realizarun experimento.

Llamamos casos favorables alos que dentro de los posibles favore-cen un determinado suceso.

Llamamos probabilidad de un

suceso al cociente entre el número decasos favorables al suceso y el núme-ro de casos posibles. A esta regla sela conoce como Ley de Laplace. Peroesta ley sólo se puede aplicar en elcaso en que todos los sucesos tie-nen probabilidades predecibles deantemano y los casos posibles sonequiprobables.

Realiza las actividades 1, 2, 3, 4,

5, 6, 11 y 18.

4. PROPIEDADES DE LA PRO- BABILIDAD. SUCESOS COMPATIBLES E INCOMPA- TIBLES

Para este apartado recordare-mos las operaciones con sucesos del tema anterior y usaremos comoejemplo la extracción de cartas de unabaraja española de 40 cartas.

La probabilidad verifica las si-guientes propiedades:

• La probabilidad de cualquier suce-

so A es siempre un número com-prendido entre 0 y 1.

0 [[[[ P(A) [[[[ 1

• La probabilidad de un suceso queocurre siempre, al que se le llamasuceso seguro, es 1.

P (obtener una carta cualquiera) = 1

• La probabilidad de un suceso quenunca ocurre, al que se le llamasuceso imposible, es 0.

P (no obtener nada) = 0

• La probabilidad de la unión de dossucesos A, B es igual a la suma delas probabilidades de dichos suce-sos menos la probabilidad de la in-tersección de ambos.

P (A 4444 B) = P(A) + P(B) – P(A 3333 B)

Observación: Si los sucesos A yB son incompatibles sucede que

A 3 B =⇔.

Por tanto P(A3B)=0 y entonces:

P (A 4 B) = P(A) + P(B)




Sea A = "Obtener copas", B ="Obtener oros", C = "Obtener rey" en-tonces:

P(A 4 B) = P(A) + P(B) – P(A 3 B) =

= 10/40 + 10/40 – 0 = 20/40 = 1/2

P(A4C) = P(A) + P(C) –P(A3C) == 10/40 + 4/40 – 1/40 = 13/40

• Las probabilidades de un suceso Ay su contrario A suman 1:

P (A) + P( A ) =1

De esta fórmula deducimosque: P( A ) = 1 – P(A)

Sean los sucesos A = "sacaroros", B = "no sacar oros", entonces:

A= B , por tanto P (B) + P( B ) =1

5. EXPERIMENTOS COMPUES- TOS

Llamamos experimentos com-puestos a aquéllos que están forma-dos por más de un experimento simplecomo, por ejemplo, lanzar una mone-da y un dado, o hacer dos extraccio-nes consecutivas de una baraja. To-dos estos son ejemplos en los que serepiten experimentos simples. Recor-demos un ejemplo ya visto en el temaanterior:

Sea el experimento lanzar unamoneda y a continuación extraer unabola de la urna formada por tres bolasrojas, una amarilla y dos verdes. Vea-mos que podemos construir la siguien-te estructura ramificada:

R CRA CACV CVR +R

A +A+V +V

Ahora sobre cada rama pon-dremos la probabilidad de que ocurrael suceso que dicha rama indica:

• En el primer nivel podemosobtener cara o cruz, la pro-babilidad de cada una deellas es ½.

• En el segundo nivel podre-mos obtener:

Bolas ProbabilidadRojas 3/6

Amarillas 1/6Verdes 2/6

Ahora ya tenemos todos los da-tos para calcular las probabilidades delos sucesos compuestos, sin mas quemultiplicar los valores que estén sobrelas ramas correspondientes.

Suceso ProbabilidadCara roja ½ · 3/6

Cara amarilla ½ · 1/6Cara verde ½ · 2/6Cruz roja ½ · 3/6

Cruz amarilla ½ · 1/6Cruz verde ½ · 2/6


la 17.

6. SUCESOS DEPENDIENTES E

INDEPENDIENTES. PROBA- BILIDAD CONDICIONADA

Si al tirar dos monedas gana elque antes obtenga dos caras, sabe-mos que el resultado del segundo lan-zamiento no depende para nada de loque haya ocurrido en el primero. Di-remos entonces que los sucesos A=”obtener cara en la primera tirada” yB= “obtener cara en la segunda tirada”

son independientes. La probabilidaddel suceso formado por estos dos su-

½

½

3/6

1/6

3/6

1/62/6

2/6




cesos independientes la calculamosmediante la Ley de Laplace, luego,P(cara cara) = ½ · ½ = 1/4. Resumien-do:

P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) · P(B), cuandoA y B son sucesos independientes.

Puede ocurrir, en determinadosexperimentos, que la probabilidad deque ocurra un suceso dependa de quese haya verificado o no otro suceso:en tal caso diremos que los sucesosson dependientes. Pensemos que enuna bolsa tenemos 2 bolas blancas y 3bolas rojas; extraemos una bola, ladejamos aparte y a continuación ex-traemos otra. Queremos conocer laprobabilidad de obtener una bola rojaen la segunda extracción, cuando enla primera obtuvimos una blanca. Paraello tenemos en cuenta lo que sigue:

• En la segunda extracción haycuatro bolas en la bolsa.

• El número de bolas blancas o

rojas en la segunda extraccióndependerá de lo sucedido en laprimera extracción, en nuestrocaso, para la segunda extrac-ción nos quedan 3 bolas rojas yuna blanca, por tanto, laprobabilidad pedida es ¾.

Si representamos el experimen-to usando un diagrama de árbol tene-mos:

B BBB

R BRB RB

RR RR

Nótese que en el segundo nivelahora hay que tener en cuenta lo queocurre en la primera extracción.

Resumiendo:

P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) · P(B|A) (con-dicionado a que ocurra A), cuando Ay B son sucesos dependientes.


1. ¿Cuál es la probabilidad de que ellanzar una moneda salga cara?

2. La probabilidad de que salga unmúltiplo de 2 al lanzar un dado es ½¿Cuál es la probabilidad de que nosalga múltiplo de 2?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que allanzar una moneda salga cara ycruz?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que allanzar un dado salga múltiplo de 3 omúltiplo de 5?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que al

lanzar un dado salga múltiplo de 2 omúltiplo de 3?

6. Si sacamos una carta de una barajade 40 cartas, calcula la probabilidadde:

a) sacar la sota de orosb) sacar oros o sota.

7. Varias parejas han jugado a pares y

nones cierto número de veces. Losresultados se ofrecen en la siguien-te tabla:

Julia/Luis

Pablo/Lola

Ana/Rosa

Diego/Raúl

Laura/Daniel

Pares 3 7 18 23 24Nones 7 13 12 17 26Total 10 20 30 40 50

a) Elabora una tabla con lasfrecuencias relativas de cadauno de los casos.

1/4

2/53/4

3/52/4

2/4




b) Halla las frecuencias relati-vas resultantes de sumar las jugadas de las tres primerasparejas.

c) Haz lo mismo con la tercera y

la cuarta, la tercera y la quin-ta, y así sucesivamente hastasumarlas todas

d) ¿Cómo evoluciona la fre-cuencia experimental a me-dida que aumenta el númerode datos? ¿Cuál es la distri-bución de frecuencias relati-vas esperada?

8. Durante las primeras 6 jornadas dela liga se ha contabilizado el núme-ro de unos, equis y doses de las co-rrespondientes quinielas obtenién-dose los siguientes resultados:

Jornada1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

1 6 5 8 8 7 6x 4 7 4 5 6 62 5 3 3 2 2 3

a) Halla las frecuencias relati-vas correspondientes a laprimera jornada, las dos pri-meras, las tres primeras, yasí sucesivamente las seisprimeras jornadas.

b) ¿Cuál es la probabilidad ex-perimental de que un partidocualquiera acabe en empate?

9. Se han lanzado dos dados y anota-do la suma de sus caras en 100ocasiones. Cada 20 tiradas se hananotado los resultados en la si-guiente tabla indicando sólo si lasuma es 7 (Sí) o no lo es (No):

Nº de tiradas20 40 60 80 100

sí 4 9 12 15 18no 16 31 48 65 82

a) halla una tabla de frecuen-cias relativas

b) ¿Cuál es la probabilidad ex-perimental de obtener 7?¿Cuál crees que es la proba-

bilidad esperada?

10. En una bolsa hay bolas de varioscolores pero no sabemos cuántasni de qué colores son. Sacamosuna, anotamos el color y la devol-vemos a la bolsa. Después de re-petir el experimento 200 veces,hemos sacado 80 veces una bolaamarilla, 95 veces una azul y 25veces una roja.

a) Elabora una tabla de fre-cuencias relativas.

b) Si hubiera en total 30 bolasen la bolsa ¿cuántas seríande cada color?

11. En una clase hay 17 alumnos y 13alumnas. ¿Cuál es la probabilidadde que al sortear un viaje entre

ellos le toque a una alumna?12. ¿Cuál es la probabilidad de obte-

ner 8 al lanzar dos dados y sumarlos resultados de las caras supe-riores? ¿Y al tirar tres?

13. Tres amigas con distinto númerode pie han salido juntas a comprarcada una un par de zapatos. Al sa-lir, cada una ha cogido una caja

sin reparar en si era la suya. ¿Cu-ál es la probabilidad de que:

a) cada una se haya llevado lasuya?

b) al menos una encuentre suszapatos al llegar a casa?

14. La final de un torneo de tenis se juega al mejor de 5 sets (vence elque primero gane 3 sets). ¿Cuál

es la probabilidad de que el parti-do termine después de 4 sets dis-




putados? Supón que los dos fina-listas tienen la misma probabilidadde ganar.

15. Hemos lanzado un dado trucado

un gran número de veces obte-niendo como resultado las siguien-tes probabilidades: P(1) = 0’11;P(2) = 0’15; P(3) = 0’18; P(4) =0’16, P(5) = 0’16, P(6) = 0’24. Cal-cula la probabilidad de, al lanzarun dado, obtener:

a) Un número parb) un número imparc) un múltiplo de 3.d) Un 1 en la primera tirada y un

3 en la segunda

16. Calcula la probabilidad de acertarcatorce resultados en una quinielacon un boleto completo de ochoapuestas.

17. Se dispone de una caja con 5 bo-las blancas y 3 negras. Halla laprobabilidad de que, al extraer dosbolas al mismo tiempo, ambas se-an blancas.

18. En una caja hay 5 letras de lascuales 3 son E y 2 son L. Extrae-mos una letra, a continuación otray luego otra. ¿Cuál es la probabili-dad de obtener las letras de la pa-labra ELE y en ese orden?

Matemáticas 2º GES

Documents

Transcript of Matemáticas 2º GES