Matem_Financeira_2012

Rio de Janeiro2012

MATEMÁTICA FINANCEIRA

É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele,sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola.

REALIZAÇÃO

Escola Nacional de Seguros

SUPERVISÃO E COORDENAÇÃO METODOLÓGICA

Diretoria de Ensino Técnico

ASSESSORIA TÉCNICA

Hugo César Said Amazonas – 2012/2011

CAPA

Coordenadoria de Comunicação Social

DIAGRAMAÇÃO

Info Action Editoração Eletrônica

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG

E73m Escola Nacional de Seguros. Diretoria de Ensino Técnico. Matemática financeira/Coordenação metodológica da Diretoria de Ensino Técnico;

assessoria técnica de Hugo César Said Amazonas. – Rio de Janeiro: Funenseg, 2012. 220 p.; 28 cm

Foram unificados dois manuais, matemática financeira básica e complementar, no presente material.

1. Matemática financeira. I. Amazonas, Hugo César Said. II. Título.

0011-1072 CDU 511(072)

A Escola Nacional de Seguros promove, desde 1971, diversas iniciativas no âmbito educacional, que contribuem para um mercado de seguros, previdência complementar, capitalização

e resseguro cada vez mais qualificado.

Principal provedora de serviços voltados à educação continuada, para profissionais que atuam nessa área, a Escola Nacional de Seguros oferece a você a oportunidade de compartilhar conhecimento e experiências com uma equipe formada por especialistas que possuem sólida trajetória acadêmica.

A qualidade do nosso ensino, aliada à sua dedicação, é o caminho para o sucesso nesse mercado, onde as mudanças são constantes e a competitividade é cada vez maior.

Seja bem-vindo à Escola Nacional de Seguros.

MATEMÁTICA FINANCEIRA4

SUMÁRIO 5

Sumário

4

2

3

1 REVISÃO DE MATEMÁTICA 7O Uso de Frações e a Divisão 9

Frações Próprias 9Frações Impróprias 10

Fatorar, Exponenciar e Radiciar 11Fatorar 11Exponenciar 11Radiciar 11Exponenciando e Radiciando com Calculadoras 12Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrônica 16

Porcentagens 16O Significado das Porcentagens 16O Denominador 100 17Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens 17Maneiras de se Expressar as Porcentagens 18

Equações do 1o Grau 18Fixando Conceitos 1 21

CONCEITOS BÁSICOS 25A Matemática Financeira 27Valor do Dinheiro no Tempo 27Fluxo de Caixa 27

Esquema – Representação Gráfica do Diagrama do Fluxo de Caixa – DFC 27Juro(s) 28Taxa de Juro(s) 28

Esquema 28Formulação Matemática 29Regimes de Juros de Capitalização 29

Conceitos Financeiros Diversos 29 Fixando Conceitos 2 33

JUROS SIMPLES 35Juros Simples 37Taxas Proporcionais 39Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos 41Valor Futuro (a Juros Simples) 42Fixando Conceitos 3 49

DESCONTO SIMPLES 55Taxas de Desconto 57Desconto Comercial 58

Cálculo do Desconto Comercial 58Fixando Conceitos 4 63


8

7

6

5 JUROS COMPOSTOS 69Juros Compostos 71Convenções ou Notações Utilizadas em Juros Compostos 71Taxas Equivalentes 74Fixando Conceitos 5 87

DESCONTO COMPOSTO 93Desconto Racional Composto 95Encontrando o Valor Atual 95Fixando Conceitos 6 105

SÉRIES UNIFORMES 111Séries de Pagamentos 113Classificação das Séries 114Sistema Francês de Amortização ou CDC 115Metodologia de Cálculo das Prestações no CDC 115Fixando Conceitos 7 119

RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 123Valor Atual de uma Anuidade 125

Anuidade Temporária por “n” Anos 125Anuidade Perpétua 130

Valor do Montante ou Valor Futuro de uma Anuidade 133Montante das Anuidades por Prazo Certo de “n” Anos 133

Fixando Conceitos 8 137

TESTANDO CONHECIMENTOS 141

ESTUDOS DE CASO 145

ANEXOS 147Anexo 1 – Convenções/Notações 149Anexo 2 – Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes 151Anexo 3 – Solução Utilizando uma Calculadora HP-12C 153

GABARITO 155

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 219

UNIDADE 1 7

REVISÃO DE MATEMÁTICA11

Após ler esta unidade, você deve ser capaz de:

• Reconhecer uma fração e identificar seus termos.

• Diferenciar frações próprias de impróprias.

• Fatorar um número, ou seja, representar esse número sob a forma de produto de outros números.

• Elevar um número a uma potência, isto é, multiplicar esse número por ele mesmo tantas vezes quanto indicar o expoente.

• Achar a raiz de um número, dividindo-o sucessivamente por outro, uma quantidade de vezes definida, e produzir sempre resto zero.

• Radiciar e exponenciar em calculadoras científicas e na HP 12C® .

• Entender o significado de porcentagem.

• Realizar as operações de soma, subtração, divisão e multiplicação com porcentagem.

• Resolver equações do 1o grau, usando suas propriedades básicas.

UNIDADE 1 9

O USO DE FRAÇÕES E A DIVISÃOA s frações expressam sempre uma divisão de um número por outro. Os termos de uma fração são o numerador e o denominador. O numerador corresponde ao dividendo, enquanto o denominador corresponde ao divisor. O resultado de uma fração equivale ao quociente da divisão.

Suponha que eu tenha sete cartões de visita em meu bolso e que cinco desses cartões sejam escuros e os demais sejam claros. Qual a porcentagem de cartões escuros em relação ao total?

Vamos, primeiramente, representar graficamente o número de cartões escuros e claros, e a relação deles com o total de cartões.

Na parte superior da figura que se segue, está representado o número total de cartões (sete).

Na parte inferior, estão representados os números de cartões escuros (cinco) e claros (dois).

Além da representação gráfica, a relação entre 5 (cartões escuros) e 7 (total de cartões) pode ser expressa sob a forma de fração ou armando-se uma conta de divisão.

5 = 0,714 equivale a 5 77 0,714

Frações Próprias

É quando o denominador é maior que o numerador, significando que o resultado é inferior à unidade. No exemplo anterior, o denominador “7” é maior do que o numerador “5”. O quociente “0,714” (o resultado) é menor do que a unidade.

Exemplos de frações próprias:

• 270 dias é fração do ano comercial (360 dias), pois é menor do que o tempo de um ano e representa 3/4 ou 0,75 do ano.

• um semestre (180 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o tempo de um ano (um semestre é 1/2 – metade – do ano ou 0,5 do ano).

• um trimestre (90 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o tempo de um ano (um trimestre é 1/4 do ano ou 0,25 do ano).

• um mês (30 dias) é fração do ano, pois é menor do que o tempo de um ano (um mês é 1/12 do ano ou 0,0833 do ano).

CuriosidadeNo Egito antigo, no tempo dos faraós, os terrenos eram medidos, utilizando-se uma corda de tamanho padrão para a época. Esticavam essa corda e verifi cavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Como os lados dos terrenos raramente resultavam em um número inteiro de cordas, os egípcios eram obrigados a dividir a corda em partes iguais para representar aquela porção do terreno, introduzindo, assim a fração.


• um dia é fração do mês, pois ele é menor do que o tempo de um mês (um dia é 1/30 do mês ou 0,0333 do mês).

• uma hora é fração do dia, pois ela é menor do que o tempo de um dia (uma hora é 1/24 do dia ou 0,041667 do dia).

• um minuto é fração de uma hora, pois ele é menor do que o tempo de uma hora (um minuto é 1/60 da hora ou 0,016667 da hora).

Vamos agora representar o trimestre como fração do ano.

Quando agrupamos os doze meses do ano em grupos de três, obtemos quatro períodos ou quatro trimestres. Cada trimestre representa a quarta parte de um ano ou 1/4 ou 0,25 ou 25% do ano.

1o trimestre janeiro fevereiro março

2o trimestre abril maio junho

3o trimestre julho agosto setembro

4o trimestre outubro novembro dezembro

4 trimestres = 1 ano

trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4

um ano

Frações Impróprias

É quando o numerador é maior que o denominador, significando que o resultado é maior do que a unidade (maior do que um).

Contudo, já que costumamos representar as relações entre as quantidades sob a forma de fração, colocando uma quantidade no numerador e outra no denominador, também chamamos de fração essa forma de dividir (no caso, impropriamente, daí o nome fração imprópria).

Exemplos de frações impróprias:

• um ano e um semestre é uma vez e meia o tempo de um ano ( 3 ou1,5 ano). 2

• um ano é duas vezes o tempo de um semestre. • um dia é 24 vezes o tempo de uma hora.• uma hora é 60 vezes o tempo de um minuto.

Isto é básicoOs resultados das frações

próprias são menores do que a unidade (menores do que um).

Isto é básicoOs resultados das frações

impróprias são maiores do que a unidade (maiores do que um).

UNIDADE 1 11

FATORAR, EXPONENCIAR E RADICIAR

Fatorar

É apresentar um número sob a forma de um produto de outros números, chamados fatores. Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 125 num produto de fatores:

125 = 5 × 5 × 5

Decomposição do número 40:

40 = 2 × 2 × 2 × 5

Exponenciar

É elevar um número a uma potência.

Aproveitando os resultados da fatoração, temos que:

625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 54

No caso acima, o “5” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele é multiplicado (“4”) é o “expoente”.

Como se pode ver, nós fixamos a base (o “5”) e somamos o número de vezes que ele foi multiplicado (o “4” é o expoente).

Vejamos outro exemplo de exponenciação:

8 = 2 × 2 × 2 = 23

No caso acima, o “2” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele é multiplicado (“3”) é o “expoente”.

Radiciar

Radiciar é achar a raiz de um número, ou seja, dividir sucessivamente um número por outro, uma quantidade de vezes definida, e produzir sempre resto zero. A quantidade de vezes que efetuamos as divisões é chamada de índice.

Isto é básicoa 0 = 1a 1 = a


Exemplo:

O valor da raiz quadrada é o resultado que se encontra ao dividirmos um número por outro, duas vezes, sendo o resto igual a zero.

Qual o número que ao dividir 64 duas vezes sucessivamente produz resto zero?

Esse número é 8, pois 82 = 64 (8 × 8 = 64).

Na radiciação, o símbolo √ é o radical, “2” é o índice, “64” é o radicando e “8” é a raiz.

2

√ 641 = 8

A radiciação pode ser representada sob a forma de exponenciação:

2

√64 = 641/2 = 8, onde 1 é o expoente do radicando e 2 é o índice da raiz.

Qual o número que ao dividir 64 três vezes sucessivamente produz resto zero?

Esse número é 4, pois 43 = 64 (4 × 4 × 4 = 64).

Quando o índice é “2” ou quando não há um índice especificado no radical, chamamos de raiz quadrada.

No cálculo abaixo, “3” é o índice, “64” é o radicando, e “4” é a raiz, pois 43 = 4 × 4 × 4 = 64.

3

√ 641 = 4 ou 641/3 = 4

Quando o índice é “3”, chamamos de raiz cúbica. No exemplo anterior, “4” é a raiz cúbica de 64.

Exponenciando e Radiciando com Calculadoras

Como vimos, a radiciação pode ser calculada como uma exponenciação; portanto, os cálculos de exponenciação e de radiciação são semelhantes. Eles envolvem a digitação da base (o número que se quer exponenciar) e do expoente (o valor que representa o número de vezes que se quer exponenciar).

Isto é básico m

√an = an/m

UNIDADE 1 13

Em vez de memorizar fórmulas e regras e quebrar a cabeça fazendo contas, devemos aproveitar o progresso técnico e usar uma calculadora financeira, uma calculadora científica ou planilhas do tipo Excel. As calculadoras que executam esse tipo de operação possuem uma tecla de exponenciação, onde “y” (a base) é o número que se deseja exponenciar e “x” é o expoente.

yx é a tecla de expoente

Assim, para acharmos a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) do número 40, elevamos 40 ao expoente fracionário (1/32). Aqui o numerador “1” é o expoente de 40 e o denominador 32 é o índice. Veja o exemplo:

32

401/32 é o mesmo que √ 401 = 1,122185

• Como usar a calculadora científica para achar a raiz índice 32 do número 40:

1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será o nosso expoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente

2. digite 40 e aperte a tecla yx

3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =4. o resultado é 1,122185 (observe que o resultado não é um número

inteiro)

• Como usar a calculadora HP 12C® para achar a raiz índice 32 do número 40:

1. digite 40 e aperte a tecla ENTER2. digite 32 3. aperte a tecla 1/x e depois aperte a tecla yx

4. o resultado é 1,122185

Elevando-se o número 1,122185 ao expoente 32 resulta no número 40. Confira esse resultado, utilizando a função yx da sua calculadora científica, conforme feito a seguir:

1. digite 1,122185 2. aperte a tecla yx

3. digite 32 e aperte a tecla =4. o resultado é 40

• Como usar a calculadora HP 12C® para realizar esse mesmo cálculo:

1. digite 1,122185 e aperte a tecla ENTER2. digite 323. digite yx 4. o resultado é 40

Ou seja, exponenciação e radiciação são operações inversas (uma “vai” e a outra “vem”, e vice-versa, como a soma com a subtração, e a multiplicação com a divisão).


Aplicação prática 1

Achar a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) de 4.567,88, usando sua calculadora financeira ou científica.

32

√ 4.567,881 = 1,301266 ou 4.567,881/32 = 1,301266

Resposta: 1,301266 (observe que a raiz não é um número inteiro)

• Usando a calculadora científica:

1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será o nosso expoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente

2. digite 4567,88 e aperte a tecla yx

3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =4. o resultado é 1,301266

• Usando a calculadora financeira HP 12C®:

1. digite 4567,88 e aperte a tecla ENTER2. digite 32 e aperte a tecla 1/x3. aperte a tecla yx


Isto significa que o número 1,301266 elevado ao expoente 32 resulta no número 4.567,88.

1,30126632 = 4.567,88

UNIDADE 1 15

Aplicação prática 2

Qual o número que ao dividir 8.888 duas vezes sucessivamente produz resto zero? Esse número é 94,27619 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888 à potência 1/2 ou 0,5).

2

√ 8.8881 = 94,27619

• Usando a calculadora científica:

1. digite 8888 e aperte a tecla yx

2. digite o expoente 0,5 e aperte a tecla =3. o resultado é 94,27619

• Usando a calculadora financeira HP 12C®:

1. digite 8888 e aperte a tecla ENTER2. digite 2 e aperte a tecla 1/x3. aperte a tecla yx


Qual o número que ao dividir 8.888 três vezes sucessivamente produz resto zero? Esse número é 20,71419 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888 à potência 1/3 ou 0,33). Use o exemplo anterior como guia.

3

√ 8.8881 = 20,71419

Qual o número que ao dividir 8.888 nove vezes sucessivamente produz resto zero? Esse número é 2,746351 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888 à potência 1/9, ou 0,111). 9√ 8.8881 = 2,746351


Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrônica

Para achar a raiz índice 32 do número 40, utilizando a planilha EXCEL, procedemos da seguinte forma:

• digitamos, na sequência (ver reprodução da planilha), o sinal de igual “=”; o número “40”; o sinal de expoente “̂ ”; o símbolo “abre parênteses”; o número “1”; o sinal de divisão “ / ”; o número “32”; o símbolo “fecha parênteses” e, por último, pressionamos a tecla “entra”. Obtém-se o mesmo resultado encontrado ao utilizarmos a calculadora: 1,122185.

PORCENTAGENS

O Significado das Porcentagens

Imagine que você encomendou 100 cartões de visita e que 5 cartões vieram com defeito.

Isto significa que, “em 100 cartões de visita.” – ou em cada cento – 5 cartões apresentam defeito. Daí as expressões “por cento”, “percentagem”, “porcentagem”.

Se eu comprei 100 cartões e o percentual de cartões defeituosos é igual a 3%, conclui-se que 3 cartões estavam com defeito. Se eu comprei 200 cartões e o percentual de defeituosos é igual a 3%, conclui-se que 6 (seis) cartões estavam com defeito, pois (200 × 0,03 = 6).

Imagine agora que você atrasou o condomínio no valor de R$ 150,00 e deve pagar multa de 2%.

Para calcular o valor da multa, multiplique R$ 150,00 por 2% (0,02).

R$ 150,00 × 0,02 = R$ 3,00 (valor da multa).

O valor total a ser pago é igual a R$ 150,00 + R$ 3,00 = R$ 153,00

Isto é básicoNas operações (soma, diminuição,

multiplicação e divisão) com porcentagem, trabalhamos com

o valor no formato decimal, ou seja, divido por 100.

Exemplo: 3% = 3 ÷ 100 = 0,03

UNIDADE 1 17

O Denominador 100

Toda vez que tivermos uma fração e o denominador for 100, estaremos diante de uma porcentagem.

• 1/100 (1% ou 0,01) – lê-se “um por cento”, “um centésimo”;• 5/100 (5% ou 0,05) – lê-se “cinco por cento”, “cinco centésimos”;• 10/100 (10% ou 0,1) – lê-se “dez por cento”, “um décimo”;• 50/100 (50% ou 0,5) – lê-se “cinquenta por cento”, “um meio”,

“metade”;• 100/100 (100% ou 1) – lê-se “cem por cento”, “um inteiro”;• 150/100 (150% ou 1,5) – lê-se “cento e cinquenta por cento”, “um e meio”; e• 200/100 (200% ou 2) – lê-se “duzentos por cento”, “dois”.

Estamos bastante acostumados a efetuar as quatro operações fundamentais (somar, subtrair, multiplicar e dividir).

Façamos, porém, uma pequena revisão de conceitos que aprendemos nos ensinos fundamental e médio. Vamos efetuar algumas operações utilizando números escritos sob a forma de porcentagens ou nas suas formas decimais equivalentes.

Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens

Exemplos:

• Somar: 5% + 10% = 0,05 + 0,1 = 0,15 ou 15%.

• Subtrair: 10% – 4% = 0,1 – 0,04 = 0,06 ou 6%.

• Multiplicar: 10% × 5% = 0,1 × 0,05 = 0,005 ou 0,5% (lê-se cinco milésimos ou meio por cento). Como você vê, 10% × 5% não é igual a 50%!

Quando desejamos multiplicar porcentagens com o objetivo de acumular os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, somando-se “um” ao valor das porcentagens, multiplicando os fatores e, após, deduzindo-se “um” do resultado.

Multiplicar Acumulando: 10% × 5%, acumulando o resultado.

(1 + 0,10) × (1,05) – 1 = (1,1 × 1,05) – 1 = 1,155 – 1 = 0,155 ou 15,5%

Quando queremos multiplicar acumulando um percentual a um valor, basta transformar essa porcentagem em fator e multiplicar ao valor.

Utilizando o exemplo da multa do condomínio, visto anteriormente. Primeiro calculamos a multa de 2% e depois somamos ao valor principal. Essa operação poderia ser feita em uma só operação:

R$ 150,00 × 1,02 = R$ 153,00

Dividir: 10% ÷ 5% = 0,1 ÷ 0,05 = 0,02 ou 2%


Quando desejamos dividir porcentagens com o objetivo de desacumular os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, somando-se “um” ao valor das porcentagens, dividindo-se os fatores e, após, deduzindo-se “um” do resultado.

Dividir (Des) Acumulando: 10% ÷ 5%, (des) acumulando-se os resultados.

(1 + 0,10) ÷ (1 + 0,05) – 1 = 1,04761905 – 1 = 0,04761905 ou 4,76%

Maneiras de se Expressar as Porcentagens

Há várias maneiras de se expressar porcentagens:

• 5% ou “5:100” (cinco dividido por cem) ou 5 ÷ 100 ou 0,05 (cinco centésimos);

• 10% ou “10:100” (dez dividido por cem) ou 10 ÷ 100 ou 0,10 (um décimo); e

• 3,33% ou “3,33:100” (três vírgula trinta e três dividido por cem) ou 3,33 ÷ 100 ou 0,0333 (trezentos e trinta e três décimos de milésimos).

Quando efetuamos o cálculo com máquina de calcular, podemos fazê-lo usando a tecla de porcentagem. É importante, entretanto, que você saiba o significado dos resultados, como no caso da multiplicação anteriormente observado.

EQUAÇÕES DO 1o GRAUChamamos de equação do 1o grau toda equação que pode ser representada sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais e a é diferente de 0. A letra x recebe o nome de incógnita e é o valor que queremos encontrar para satisfazer a igualdade.

UNIDADE 1 19

Exemplo 1

Uma aplicação financeira rendeu de juros de R$ 100,00. Esses juros somados ao valor aplicado totalizaram R$ 400,00.

Podemos representar essa aplicação em forma de equação:

x + 100 = 400, onde x é o valor aplicado, 100 são os juros ganhos e 400 é o saldo final da aplicação.

Para resolvermos essa equação utilizamos as seguintes regras:

1. tudo que tem a incógnita, neste caso x, fica de um lado do sinal de igual e tudo que não tem a incógnita fica do outro lado do sinal de igual.

2. quando um termo muda de lado, ele troca de sinal. Se ele está somando, passa para o outro lado subtraindo e vice-versa; se está multiplicando, passa para o outro lado dividindo e vice-versa.

Então,x = 400 – 100, o valor 100, que estava somando do lado esquerdo do sinal de igual, passou para o lado direito subtraindo.

Fazendo a operação 400 – 100, temos que:x = 300

Substituindo x na equação inicial, teremos que: 300 + 100 = 400, ou seja, 400 = 400 a igualdade foi satisfeita.


Exemplo 2

Os juros de uma aplicação financeira equivalem a 1/3 do valor aplicado. Quanto devo aplicar para meu saldo final ser de R$ 400,00?

Escrevendo em forma de equação, teremos (chamaremos o valor aplicado, que é a nossa incógnita, de P) que:

P + P/3 = 400; o valor aplicado P mais os juros ganhos, que equivale a 1/3 do valor aplicado, é igual a 400.

Podemos escrever assim:

P + 1/3 × P = 400

Calculando 1/3, temos que:

P + 0,333333 × P = 4001,333333 × P = 400

Passando o 1,333333 para o outro lado do sinal de igual:

P = 400 ÷ 1,333333 (o valor 1,333333, que estava multiplicando, passa para o outro lado dividindo)P = 300,00

As equações funcionam como se fossem uma balança, e o sinal de igual é o ponto de equilíbrio, portanto:

a) adicionando um mesmo número a ambos os lados de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os lados, a igualdade se mantém.

x + 100 = 400, se subtrairmos 100 de ambos os lados: x + 100 – 100 = 400 – 100 x = 300

b) dividindo ou multiplicando ambos os lados de uma equação por um mesmo número, não nulo, a igualdade se mantém.

P + P ÷ 3 = 400, se multiplicarmos por 3 ambos os lados: (P + P ÷ 3) × 3 = 400 × 3 3 × P + 3 ÷ 3 × P = 1.200 3 × P + P = 1.200 4 × P = 1.200, dividindo por 4 ambos os lados: 4 × P ÷ 4 = 1.200 ÷ 4 P = 300

FIXANDO CONCEITOS 1 21

Anotações:

Fixando Conceitos 1

[1] João pediu uma pizza em casa. A pizza foi fatiada em 8 pedaços e ele comeu 5. Como podemos representar em forma de fração o que sobrou da pizza?

(a) 1/8 (b) 3/8 (c) 4/8 (d) 5/8 (e) 7/8

[2] Classifique as frações a seguir em (P) próprias ou (I) impróprias:

( ) 2/3 ( ) 5/2 ( ) 8/5 ( ) 12/15 ( ) 25/6

A sequência correta é:

(a) P-I-P-I-P(b) P-P-I-I-P(c) P-I-I-P-I(d) I-P-P-I-I(e) I-P-P-I-P

[3] Decomponha o número 30 em fatores:

(a) 2 × 2 × 2(b) 2 × 2 × 3(c) 2 × 3 × 3(d) 2 × 3 × 5(e) 2 × 5 × 5

[4] Selecione a correta decomposição do número 54:

(a) 2 × 32

(b) 2 × 33

(c) 2 × 34

(d) 22 × 32

(e) 5 × 10

[5] Qual o número cuja decomposição é 2 × 32 × 5?

(a) 30 (b) 40 (c) 60 (d) 80 (e) 90

[6] Determine o número que ao dividir 125 três vezes sucessivamente produz resto zero:

(a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 9 (e) 15


Anotações:

Fixando Conceitos 1

[7] Calcule a raiz quadrada do número 49:

(a) 7 (b) 9 (c) 20 (d) 24 (e) 30

[8] Escreva o número 256 como potência de base 2:

(a) 25 (b) 26 (c) 27 (d) 28 (e) 29

[9] Calcule a raiz cúbica de 216:

(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) 8

[10] A forma fatorada de um número é 23 × 3 × 52. Qual é esse número?

(a) 200 (b) 300 (c) 400 (d) 500 (e) 600

[11] Calcule o valor da expressão 32 + 52 + 13:

(a) 9 (b) 19 (c) 30 (d) 35 (e) 65

[12] Utilizando números decimais, como podemos representar 7%?

(a) 0,0007 (b) 0,007 (c) 0,07 (d) 0,7 (e) 7

[13] Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gol 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador marcou?

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7

[14] Um trabalhador gasta 25% do seu salário para o pagamento de contas da casa, 18% em alimentação e 12% na mensalidade escolar dos filhos. Qual a porcentagem do salário que ainda resta depois desses gastos?

(a) 30% (b) 40% (c) 45% (d) 50% (e) 55%

[15] Calcule a expressão 20% × 15%:

(a) 0,03% (b) 0,3% (c) 3% (d) 30% (e) 300%


Anotações:

Fixando Conceitos 1

[16] Uma loja de roupas em liquidação abaixou o preço de seus produtos em 10%. Se um vestido custava R$ 150,00, quanto passou a custar?

(a) R$ 50,00 (b) R$ 75,00 (c) R$ 100,00(d) R$ 115,00 (e) R$ 135,00

[17] Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos, respectivamente?

(a) 10 e 90 (b) 40 e 60 (c) 50 e 50(d) 60 e 30 (e) 70 e 30

[18] Por quanto devo vender um relógio que comprei por R$ 150,00 se desejo lucrar 25% sobre o preço de compra?

(a) R$ 187,50 (b) R$ 197,50 (c) R$ 207,50(d) R$ 217,50 (e) R$ 227,50

[19] Uma televisão de 29 polegadas foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo. Sabendo que a televisão custou R$ 1.600,00, qual foi o preço de venda?

(a) R$ 1.180,00 (b) R$ 1.280,00 (c) R$ 1.340,00(d) R$ 1.580,00 (e) R$ 1.620,00

[20] O funcionário de uma empresa do mercado de seguros recebe uma promoção salarial de 5% em determinado mês. Nesse mesmo mês, acontece o acordo coletivo da classe e os salários são reajustados em 3%. Quanto esse funcionário recebeu, em percentual, de aumento?

(a) 3,00% (b) 5,00% (c) 8,00% (d) 8,15% (e) 15,00%

[21] Determine o valor de y na equação 18y – 43 = 65:

(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 9

[22] Calcule o valor de y na equação -2y = -4 + 3y:

(a) -4 (b) -4/5 (c) 1 (d) 4/5 (e) 4

[23] Calcule o valor de y na equação 2y – 8 = 3y – 10:

(a) -2 (b) -2/5 (c) 2 (d) 3 (e) 4


Anotações:

Fixando Conceitos 1

[24] Qual o valor de y, que atende à igualdade 23y – 16 = 14 – 7y ?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5

[25] Calcule o valor de y na equação 2(2y + 7) + 3(3y – 5) = 3(4y + 5) -1:

(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 17 (e) 20

[26] Calcule o valor de y na equação 3 – 7(1 – 2y) = 11 – (y – 45):

(a) 4 (b) 8 (c) 14 (d) 20 (e) 30

[27] Um número multiplicado por 5, somado a 31, apresenta o resultado 81. Que número é esse?

(a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 21 (e) 45

[28] Determine o valor de m na equação 16 + 3 × 5 + 2m = 5(m – 1):

(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 20 (e) 23

[29] A população de uma cidade X é o triplo da população da cidade Y. Se a soma da população das duas cidades é 100.000 pessoas, quantos habitantes existem na cidade Y?

(a) 15.000 (b) 18.000 (c) 20.000 (d) 25.000 (e) 30.000

UNIDADE 2 25

CONCEITOSBÁSICOS22


• Entender a variação do dinheiro no tempo.

• Representar um fluxo de caixa através de um Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC.

• Entender o que é juros e taxa de juros.

• Identificar os regimes de juros de capitalização.

• Identificar as variáveis que envolvem uma aplicação financeira.

UNIDADE 2 27

A MATEMÁTICA FINANCEIRAA matemática financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos fluxos de caixa ao longo do tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. Trata, essencialmente, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para se compararem as quantias movimentadas em datas distintas, efetuando análises e comparações através de relações formais. Dominar os fundamentos básicos da matemática financeira, bem como conhecer e utilizar as ferramentas adequadas, capacita os usuários a tomarem decisões quanto a investimentos e a empréstimos, otimizando os seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis.

VALOR DO DINHEIRO NO TEMPOUm dos fundamentos da atividade financeira é a variação do valor do dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100,00 do que dispor desse valor numa data futura qualquer. Independentemente da existência de inflação, alguém que disponha de R$ 100,00, hoje, pode aplicá-los a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter os mesmos R$ 100,00, mais algum valor complementar. Como consequência disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do tempo, o que significa que somente podem ser comparados valores quando em uma mesma data. Esta data é conhecida como data focal.

FLUXO DE CAIXADenomina-se fluxo de caixa o conjunto de recebimentos e pagamentos, ocorridos ou a ocorrer, durante um cer to intervalo de tempo. Para a representação gráfica, os recebimentos – denominados entradas, são informados com uma seta voltada para cima; e os pagamentos – denominados desembolsos, são representados com uma seta voltada para baixo e distribuídos ao longo de uma linha horizontal (que representa o tempo).

Esquema – Representação Gráfica do Diagrama do Fluxo de Caixa – DFC

Os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 representam os períodos de tempo em que ocorrem as movimentações: entradas (1, 3, 4 e 5) e saídas (0 e 2).

0

12

3 4 5


JURO(S)O cálculo de juros faz parte de toda a atividade econômica. Quando se diz que uma geladeira custa R$ 600,00 à vista e é vendida em 3 parcelas de R$ 220,00, isso significa que a diferença entre o valor de R$ 660,00 do pagamento a prazo e R$ 600,00 do pagamento à vista refere-se ao valor dos juros que o comprador está pagando (R$ 60,00).

Mas por que se pagam juros? Porque alguém que tinha disponibilidade de dinheiro (capital) adiantou esse dinheiro para que a geladeira estivesse à disposição do comprador. Por esse empréstimo, essa pessoa cobra um determinado valor que se denomina juros.

Se alguém recebe um determinado valor a título de juros, isso implica que outra pessoa pague o mesmo valor por esses juros.

TAXA DE JURO(S)A taxa de juros é a razão entre os juros pagos no final do período e o valor originalmente aplicado. Matematicamente, é representada por i. Usa-se i para identificar a taxa de juros, que pode ser expressa em fração decimal, ou na forma percentual (i = 5% → i = 5 ÷ 100 → i = 0,05).

Exemplo

O investidor A aplica R$ 1.000,00, no 1o dia do mês, no Banco K. No 1o dia do mês subsequente, o Banco K devolve ao investidor A R$ 1.050,00.

Juros = R$ 1.050,00 – R$ 1.000,00 = R$ 50,00Taxa de Juros no Período = (50,00 ÷ 1.000,00) = 0,05 ou 5%

Esquema

R$ 1.000,00 – aplicação(Saída de Caixa)

R$ 1.050,00 – resgate(Entrada de Caixa)

Período

UNIDADE 2 29

Formulação Matemática

i = Juros ou i (%) = Juros × 100 Capital Capital

• Transforma-se uma taxa decimal em percentual multiplicando-se o valor da taxa por 100.

• Transforma-se uma taxa percentual em decimal dividindo-se o valor da taxa por 100.

Exemplos de formas idênticas de expressão das taxas de juros

Taxas Percentual Forma Decimal Fração

2% ao mês 2% a.m. 0,02 a.m. 2/100 a.m.

15% ao ano 15% a.a. 0,15 a.a. 15/100 a.a.

Embora os modos de expressão acima apresentados sejam semelhantes, a forma mais comum de expressar uma taxa de juros é a forma percentual com o período abreviado.Exemplo: 2% a.m., 15% a.a. etc.

Regimes de Juros de Capitalização

A maneira como o cálculo dos juros é efetuado define o regime dos juros. Podem ser dois os regimes de capitalização: juros simples e juros compostos.

CONCEITOS FINANCEIROS DIVERSOS

Existem outros conceitos básicos em matemática financeira, os quais devem ficar claros, bem como a nomenclatura utilizada:

• Valor Presente ou Principal (P) – Valor Atual ou Capital Inicial. Corresponde ao valor do dinheiro na Data Zero do Fluxo de Caixa, ou no instante presente. Em algumas literaturas e máquinas financeiras, adota-se a nomenclatura PV ou, ainda, VP;

• Valor Futuro ou Montante (F) – valor do dinheiro em uma data futura. Este Valor Futuro é o Valor Principal acrescido dos Juros (j) incorridos no período. Em algumas literaturas e máquinas financeiras, adota-se a nomenclatura FV ou ainda VF;

• Juros (j) – remuneração do capital empregado: – para o investidor: remuneração do investimento; – para o tomador: custo do capital obtido no empréstimo;

Juros SimplesOs juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo principal.

Juros CompostosOs juros gerados em cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.


• Tempo de Investimento (n) – como se denomina o número de períodos da aplicação (tempo);

• Período de Capitalização – conceito associado à periodicidade de remuneração associada à captação de juros no regime de juros compostos.

Exemplo: mensal, bimestral, trimestral, anual. Devemos lembrar que, em regime de juros compostos, o incremento (juros)

passa a fazer parte do capital somente depois de vencido o período de capitalização.

Exemplo: você coloca na caderneta de poupança um valor qualquer: se retirá-lo antes de vencer o período de capitalização (mensal), nada receberá do banco;

• Taxa de Juros (i) – índice que determina a remuneração do capital num determinado tempo (dia, mês, ano...), também conhecido por taxa efetiva do investimento;

• Prestações Uniformes (PMT) – valor de cada prestação, associado a séries uniformes;

• Desconto (D) – refere-se ao valor financeiro que deve ser subtraído do valor nominal quando antecipamos o pagamento de um documento (título, nota promissória, cheque...);

• Taxa de Desconto (id) – índice de decréscimo do valor nominal de um documento quando antecipamos seu pagamento;

• Ano Civil – período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28(29), 30 ou 31 dias, também chamado de ano-calendário;

• Ano Comercial – ano de 360 dias, considerando-se todos os meses com 30 dias. É muito utilizado em operações financeiras.

ComentárioNo Brasil, adota-se, normalmente, o ano civil para a contagem dos dias e o ano comercial (com 360 dias) para o cálculo das taxas de juros. Estes juros são também conhecidos como juros bancários. Quanto aos meses, consideram-se todos os meses como tendo 30 dias. É, por exemplo, o caso da caderneta de poupança, que paga juros mensais, independentemente da quantidade de dias do mês, que pode variar de 28 a 31 dias.

UNIDADE 2 31

Convenções/Notações

Descrição Nomenclatura Adotada

Outras Nomenclaturas

Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A

Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M

Juros Simples ou Compostos J –

Tempo n t

Prazo de Carência m c

Taxa de Juros i r, k

Taxa de Juros Anual aa ao ano

Taxa de Juros Semestral as ao semestre

Taxa de Juros Trimestral at ao trimestre

Taxa de Juros Mensal am ao mês

Desconto D –

Taxa de Desconto idforma decimal

da taxa

Prestações Uniformes PMT A, R ou G

Recebimento R Rec, PMT

Pagamento G pg, P, PMT

Valor Atual de uma Série AP A, P, PV

Montante de uma Anuidade SF S, F, FV

• Critérios adotados nos cálculos Neste material, todas as vezes que surgirem operações envolvendo

frações, serão consideradas quatro casas decimais para o cálculo da resposta, exceto nas situações que envolvam potências (exponenciações – aplicáveis a juros compostos), quando serão utilizadas seis casas decimais.

• Critério de arredondamento Adotaremos o critério internacional de arredondamento de valores:

Último Dígito Resultado Exemplo

0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 125,852 → 125,85

5 Somar 1 ao que fica, após eliminar o número 5 125,85 → 125,90

6, 7, 8, 9 Somar 1 ao que fica, após eliminar o último dígito 125,9 → 126,00

ObservaçãoNa utilização de calculadoras fi nanceiras ou c ient í f i c as para operações em sequência, normalmente não se “zeram” as memórias, o que pode redundar em cálculos que ofereçam respostas com ligeiras diferenças (de aproximação), em relação aos resultados aqui expressos.


Fixando Conceitos 2

Anotações:[1] Considere as afirmativas abaixo:

I. Juros é uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor.

II. A taxa de juros é o índice que determina a remuneração do capital num determinado tempo.

III. A matemática financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos fluxos de caixas ao longo do tempo.

IV. Os regimes de juros de capitalização são: juros simples e juros compostos.

Agora assinale as afirmativas corretas:

(a) São corretas somente as afirmativas I e III.(b) São corretas somente as afirmativas II e IV.(c) São corretas somente as afirmativas I, II e III.(d) São corretas somente as afirmativas I, II e IV.(e) Todas as afirmativas estão corretas.

[2] No primeiro dia do mês, João aplicou R$ 3000,00. Ao final do mês, o valor da aplicação dele era de R$ 3050,00. Qual foi a taxa de juros utilizada?

(a) 1,67% (b) 2,52% (c) 3,33% (d) 4,12% (e) 5,89%

[3] No final de uma aplicação, Maria recebeu a quantia de R$ 2.229,95. Sabendo que a taxa de juros foi de 3%, quanto Maria recebeu de juros?

(a) R$ 45,32 (b) R$ 51,45 (c) R$ 56,97 (d) R$ 62,01 (e) R$ 64,95

[4] Se aplicar R$ 1.500,00 no início do mês, quanto receberei no final da aplicação, sabendo que a taxa de juros é de 4%?

(a) R$ 1.300,00 (b) R$ 1.560,00 (c) R$ 1.580,00(d) R$ 1.600,00 (e) R$ 1.650,00

UNIDADE 3 35

JUROSSIMPLES33


• Calcular valor dos juros no regime de juros de capitalização simples.

• Calcular montante ou valor futuro no regime de juros de capitalização simples.

• Calcular o principal no regime de juros de capitalização simples.

• Diferenciar juros simples exatos dos juros simples comercial.

• Calcular taxa proporcional no regime de juros de capitalização simples.

UNIDADE 3 37

JUROS SIMPLESN o regime de capitalização a juros simples, os juros de cada período são calculados tendo sempre como base o valor do capital inicial.

0 1 2 3 4 5 ...

J (Juros)}Valor PresenteP

t

R$

Exemplo: Suponha uma pessoa que quer investir R$ 1.000,00 e entrega, em 1o de janeiro, esse valor ao Banco A, que lhe promete juros simples de 10% ao ano. Qual será o seu saldo credor ao final de 3 anos?

O quadro a seguir resume o rendimento do investimento:

Data Base Cálculo (Capital) Juros de Cada Ano Saldo Final

Ano 1 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.100,00

Ano 2 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.200,00

Ano 3 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.300,00

Aplicação prática

O Banco A aplicou o dinheiro do cliente à taxa de 10% ao ano, sobre o capital inicial (R$ 1.000,00), mas não permitiu que o cliente retirasse os juros nem o remunerou por esses juros, que ficaram à disposição do banco durante todo o tempo da aplicação. Como foi apurado o valor R$ 1.300,00?

O capital (R$ 1.000,00) é multiplicado pela taxa (10%). Apura-se R$ 100,00. Em seguida, esse valor é multiplicado por 3, que é o número de anos em que o dinheiro ficou aplicado, e encontramos os juros.

Juros = Capital × Taxa × Tempo de Aplicação

Isto é básicoNo regime de capitalização por juros simples, o crescimento dos juros é linear.


Cálculo adotando a simbologia:

P – principal ou capital inicial (no exemplo R$ 1.000,00)j – juros simplesn – tempo de aplicação (no exemplo, 3 anos)i – taxa de juros no período (no exemplo 10%)

j = P × i × n, é a fórmula do cálculo dos juros simples.


1. Uma pessoa tomou emprestada a importância de R$ 2.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 40% ao ano. Qual o valor dos juros simples a ser pago?

Dados:P = 2.000n = 2 anosi = 40% a.a. = 40 ÷ 100 = 0,4 a.a.

Cálculo:j = P × i × nj = 2.000 × 0,40 × 2 = 1.600

Resposta: O valor dos juros simples a ser pago é de R$ 1.600,00.

2. Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicação de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês.

Dados:P = 2.000n = 3 mesesi = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m.

Cálculo:j = P × i × nj = 2.000 × 0,015 × 3 = 90,00

Resposta: O valor dos juros simples a receber é de R$ 90,00.

Isto é básicoOs cálculos só podem ser

executados se o tempo de aplicação n for expresso na mesma unidade de tempo

a que se refere a taxa i, considerado o prazo em ano,

taxa ao ano, prazo em mês, taxa ao mês etc.

UNIDADE 3 39

TAXAS PROPORCIONAISDenominam-se taxas proporcionais aquelas que, aplicadas a um mesmo valor presente (principal), geram um mesmo valor futuro (montante), para um mesmo intervalo de tempo.

Exemplo

Calcular a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

O primeiro passo é reduzir o tempo a uma mesma unidade. Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos: 30% está para 12 meses, assim como x está para 1 mês (Regra de Três).

Ou seja:30% ÷ 12 = x ÷ 1x = 30% ÷ 12 = 2,5%

Logo: 2,5% é a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

• Duas taxas são proporcionais quando os seus valores guardam uma proporção com o tempo a que elas se referem. Para fazer o cálculo, é preciso reduzir o tempo a uma mesma unidade.

• Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio de “Regra de Três”.

• Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações são proporcionais.

• Estes conceitos são válidos apenas e tão somente para Taxas de Juros Simples.

2,5% 2,5%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mês

Ano

2,5%



1. Calcule a taxa mensal proporcional a 300% ao ano.

Como 1 ano = 12 meses, temos: 300% ÷ 12 = x ÷ 1 = x = 25%

Resposta: 25% ao mês é proporcional a 300% ao ano.

2. Apurar a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre.

Como: 1 ano = 4 trimestres, temos: 6% × 4 = 24%

Resposta: 6% ao trimestre é proporcional a 24% ao ano.

3. Qual a taxa semestral proporcional a 4% ao bimestre?

Como: 1 semestre = 3 bimestres, podemos escrever: 4% × 3 = 12%

Resposta: 12% ao semestre é proporcional a 4% ao bimestre.

4. Qual é a relação de proporcionalidade entre as taxas de juros anuais (i.a.), semestrais (i.s.), trimestrais (i.t.), mensais (i.m.) e diárias (i.d.).

Resposta: i.a. = 2 × i.s.; i.a. = 4 × i.t.; i.a. = 12 × i.m.; i.a. = 360 × i.d.;

5. Quais são as taxas de juros: anual, semestral, trimestral e mensal proporcionais à taxa diária de 0,10%?

Taxa ao dia = 0,10% = 0,10 ÷ 100 = 0,0010Taxa ao ano = 0,0010 × 360 = 0,36 → 0,36 × 100 = 36,0% a.a.Taxa ao semestre = 0,0010 × 180 = 0,18 → 0,18 × 100 = 18,0% a.s.Taxa ao trimestre = 0,0010 × 90 = 0,09 → 0,09 × 100 = 9,0% a.t.Taxa ao mês = 0,0010 × 30 = 0,030 → 0,03 × 100 = 3,0% a.m.

Resposta: 36,0% a.a.; 18,0% a.s.; 9,0% a.t.; 3,0% a.m.

Atenção

Para o cálculo de Juros Simples Comercial:

2 semestres 3 quadrimestresUM ANO TEM 4 trimestres 6 bimestres 12 meses 360 dias

UNIDADE 3 41

JUROS SIMPLES COMERCIAL E JUROS SIMPLES EXATOS

• Juros Simples Comercial – são os juros cujo cálculo considera o ano comercial (com 360 dias) e o mês comercial (com 30 dias).

• Juros Simples Exatos – neste caso, considera-se o número exato de dias do ano (365 ou 366, caso o ano seja bissexto).


1. Um empréstimo de R$ 6.000,00, realizado em 20/07 foi pago em 25/11 do mesmo ano. Sendo a taxa de 18,25% ao ano, qual o valor total dos juros simples exatos a ser pago?

Inicialmente, determina-se o número de dias:

De 20/07 a 31/07 – 11 dias* 01/08 a 31/08 – 31 dias 01/09 a 30/09 – 30 dias 01/10 a 31/10 – 31 dias 01/11 a 25/11 – 25 diasTotal: 128 dias

* No cálculo de períodos financeiros, para se apurar o valor dos juros ou do montante futuro, não se considera a data inicial. No exemplo, é o dia 20/07.

Dados: P = 6.000,00n = 128 dias; n = 128 ÷ 365 = 0,3507 anosi = 18,25% a.a. = 0,1825 a.a.

Cálculo:j = 6.000 × 0,1825 × 0,3507 = 384,02

Resposta: O valor dos juros simples exato a ser pago é de R$ 384,02.


2. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10 dias, obtenham-se juros simples de R$ 11.000,00?

Dados:P = 66.000,00j = 11.000i = mensaln = 3 meses e 10 dias = 100 dias = (100 ÷ 30) meses (atenção: divide-se por 30 dias, isto é, 1 mês, porque se deseja saber a taxa mensal).j = P × i × nSendo os juros de R$ 11.000,00, pode-se escrever:11.000 = 66.000 × i × 100 ÷ 30i = 11.000 ÷ (66.000 × (100 ÷ 30))i = 0,05 a.m. = 5% a.m.

Resposta: A taxa é de 5% ao mês.

Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações são proporcionais.

VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES)No caso do cliente que aplicou R$ 1.000,00 no banco e obteve R$ 300,00 de juros, quando terminar o período de aplicação ele terá R$ 1.300,00. Esse valor é chamado de Valor Futuro (ou montante) e engloba o valor presente do capital (P), acrescido dos juros auferidos no período.

O Valor Futuro – F é, portanto, a soma do capital investido ou aplicado mais os juros obtidos na aplicação durante um determinado período de tempo.

Sendo:

F = P + j

Lembrando que j = P × i × n, então o valor futuro (F) é:

F = P + P × i × n

Colocando P em evidência, temos que:

F = P (1 + i × n)

UNIDADE 3 43


1. Qual o valor futuro que receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês, em regime de juros simples?

Dados:P = 28.000n = 15 mesesi = 3% a.m. = 0,03 a.m.Como:F = P (1 + i × n)Então:F = 28.000 (1 + 0,03 × 15)F = 28.000 (1 + 0,45)F = 28.000 × 1,45F = 40.600

Este problema poderia ser resolvido de outro modo: j = 28.000 × 0,03 × 15 = 12.600Como: F = P + jF = 28.000 + 12.600 = 40.600

Resposta: F = R$ 40.600,00

2. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, em regime de juros simples?

Dados:F = 14.800n = 18 meses ÷ 12 = 1,5 anosi = 48% a.a. = 0,48 a.a.F = P (1 + i × n)14.800 = P (1 + 0,48 × 1,5)14.800 = P (1 + 0,72)14.800 = P (1,72)P = 14.800 ÷ 1,72P = 8.604,65

Resposta: O capital inicial necessário é de R$ 8.604,65.


3. Quanto rende, a juros simples, um capital de R$ 100.000,00, investido a 9% ao mês durante 8 meses?

Dados: P = 100.000 i = 9% a.m. = 0,09 a.m. n = 8 mesesComo: j = P × i × nj = 100.000 × 0,09 × 8j = 72.000

Resposta: Rende R$ 72.000,00 de juros.

4. Quais os juros simples de uma aplicação de R$ 200.000,00, a 4,8% ao mês, pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias:

Dados:P = 200.000i = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mêsn = 2 anos, 3 meses e 12 diasOu seja: 720 dias + 90 dias + 12 dias = 822 dias = 822 ÷ 30 = 27,4 meses

O número de dias (822) é dividido por 30, para se apurar a quantidade de meses. Como a taxa é mensal, o tempo também terá de ser expresso em meses. Desse modo, apuram-se os juros simples da aplicação.

j = 200.000 × 0,048 × 27,4j = 263.040

Resposta: Os juros são de R$ 263.040,00.

5. Um capital foi aplicado a juros simples, a uma taxa de 3% ao mês. No final de 1 ano, 4 meses e 6 dias rendeu de juros R$ 97.200,00. De quanto era esse capital?

Dados:j = 97.200i = 3 ÷ 100 a.m. = 0,03 a.m.n = 1 ano, 4 meses e 6 dias = 360 + 120 + 6 = 486 dias ÷ 30 = 16,2 meses

CálculoP = ?j = P × i × n97.200 = P × 0,03 × 16,2P = 200.000

Resposta: O capital era de R$ 200.000,00.

UNIDADE 3 45

6. Um investidor empregou, durante 2 anos, 3 meses e 20 dias a quantia de R$ 70.000,00. Sabendo-se que essa aplicação rendeu juros simples de R$ 75.530,00, qual foi a taxa simples mensal da aplicação?

Dados:P = 70.000j = 75.530n = 2 anos, 3 meses e 20 dias (720 + 90 + 20) = 830 dias ÷ 30 = 27,6667 mesesi = ? (mensal)Como j = P × i × n75.530 = 70.000 × i × 27,6667i = 75.530 ÷ (70.000 × 27,6667)i = 0,039 = 3,9% a.m.

Resposta: A taxa mensal foi de 3,9%.

7. A quantia de R$ 25.000,00 acumulou, em 1 ano, 4 meses e 18 dias, um montante de R$ 47.410,00. Qual foi a taxa simples mensal da aplicação?

Dados:P = 25.000F = 47.410n = 1 ano, 4 meses e 18 dias = 360 + 120 + 18 = 498 dias → (498 ÷ 30) mesesCálculo:i = ? (mensal)F = P (1 + i × n)Então: 47.410 = 25.000 (1 + i × 498 ÷ 30)47.410 = 25.000 × 1 + i × 25.000 × 498 ÷ 3047.410 = 25.000 + i × 415.00047.410 – 25.000 = i × 415.00022.410 = i × 415.000 i = 22.410 ÷ 415.000i = 0,054 = 5,4% a.m.

Resposta: A taxa simples mensal foi de 5,4%.

Para o cálculo da taxa de juros, pode-se também utilizar a fórmula:

i = F – 1 × 1

P n

Logo: i = (47.410 ÷ 25.000 –1) × (1 ÷ 498 ÷ 30)i = 0,054 = 5,4% a.m.

[ ]


8. Quanto rende de juros simples um capital de R$ 12.000,00, aplicado a 84% a.a., durante 3 meses?

Dados: P = 12.000 i = 84% a.a. = 0,84 a.a. n = 3 meses = 3 ÷ 12 anos Como: J = P × i × nEntão: J = 12.000 × 0,84 × 3 ÷ 12J = R$ 2.520,00

Resposta: O valor dos juros é R$ 2.520,00.

9. Um valor aplicado a certa taxa de juros simples rende, em 1 ano, 2 meses e 20 dias, um valor igual a 1/3 do principal. Qual a taxa anual dessa aplicação?

Dados:j = (1 ÷ 3) × P = P ÷ 3n = 1 ano, 2 meses e 20 dias = 360 + 60 + 20 = 440 dias → (440 ÷ 360) anosVariável desejada: i = ? (ao ano) Sendo: j = P × i × nEntão, P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360)Multiplicando por 360 os dois lados da equação:360 × P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360) × 360 120 × P = 440 × P × i120 × P = 440 × P × i (simplifica-se cortando o P)120 = 440 × ii = 120 ÷ 440i = 0,2727 = 27,27% a.a.

Resposta: A taxa anual é de 27,27%.

10. Quantos meses um capital de R$ 500,00, aplicado à taxa de 30% ao bimestre, leva para produzir R$ 1.050,00 de juros simples?

Dados:P = 500J = 1.050i = 30 ÷ 100 a.b. = 0,30 a.b.n = ?j = P × i × nLogo: 1.050 = 500 × 0,3 × nn = 7 bimestres ou 7 × 2 meses = 14 meses

Resposta: São necessários 14 meses para se obter esse valor de juros.

UNIDADE 3 47

11. Qual o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 10.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 3 anos?

Dados:P = 10.000n = 3 anos = 3 × 12 = 36 mesesi = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 a.m. = 0,025 a.m.Cálculo de F:Como F = P (1 + i × n), então: F = 10.000 (1 + 0,025 × 36)F = 19.000

Resposta: O Valor Futuro será de R$ 19.000,00.

12. O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa (juros simples) de 0,5% ao dia. O investimento foi feito por um prazo de 116 dias. Qual o total de juros?

Dados:P = 10.000i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.n = 116 diasj = P × i × n, logo:j = 10.000 × 0,005 × 116j = 5.800

Resposta: O total de juros é de R$ 5.800,00.

13. Em quantos anos um capital, aplicado a juros simples de 10% a.a., triplica?

Dados:P = P (capital qualquer)F = 3 P (triplo do capital inicial)F = P + J → J = F – P → J = 3P – P J = 2Pi = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.n = ?Como: j = P × i × n Logo: 2 P = P × 0,1 × n → n = 20

Resposta: O capital triplicará em 20 anos.

O cálculo do tempo de investimento pode também seguir a fórmula:

n = F – 1 × 1

P i Logo: n = (3 ÷ 1 – 1) × (1 ÷ 0,1) n = 20 anos


14. Nos problemas em que não aparece o capital, você poderá usar o valor R$ 100,00 para facilitar sua resolução. Basta resolver a questão anterior usando este artifício:

Dados:P = 100,00F = 3 × P = 3 × 100 = 300,00F = P + J → J = F – PJ = 300 – 100J = 200i = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.n = ?Como J = P × i × nLogo, 200 = 100 × 0,1 × n → n = 20.

Resposta: O capital triplicará em 20 anos.


Anotações:

Fixando Conceitos 3

[1] Dada a taxa anual de 42%, a taxa mensal proporcional é de:

(a) 3,5% (b) 6% (c) 7% (d) 10,5% (e) 12%

[2] A taxa mensal proporcional a 30% ao ano é de:

(a) 1,5% (b) 2,5% (c) 3% (d) 3,5% (e) 6%

[3] A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre é de:

(a) 16% (b) 24% (c) 32% (d) 36% (e) 38%

[4] Os juros simples de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias são de:

(a) R$ 1.125,00 (b) R$ 1.150,00 (c) R$ 1.175,00(d) R$ 1.225,00 (e) R$ 1.250,00

[5] Aplicando R$ 2.800,00 por 1 ano, 5 meses e 3 dias, obtemos juros simples de R$ 2.872,80. Qual a taxa mensal simples dessa aplicação?

(a) 2% (b) 3% (c) 4% (d) 5% (e) 6%

[6] Que quantia aplicada durante 2 anos, 3 meses e 15 dias, à taxa simples de 2,75% ao mês, produz um montante de R$ 307.343,75?

(a) R$ 150.000,00 (b) R$ 175.000,00 (c) R$ 200.000,00(d) R$ 225.000,00 (e) R$ 250.000,00

[7] Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, à taxa simples de 3,5% ao mês, durante 6 meses. Ao final desse tempo, o capital acumulado (F) é de:

(a) R$ 8.800,00 (b) R$ 9.300,00 (c) R$ 10.420,00(d) R$ 11.380,00 (e) R$ 12.100,00


Anotações:

Fixando Conceitos 3

[8] A quantia de R$ 50.000,00, aplicada durante 5 meses, rendeuR$ 7.500,00 de juros simples. A taxa mensal é de:

(a) 3% (b) 4% (c) 5% (d) 6% (e) 7%

[9] Aplicando R$ 30.000,00 durante um certo tempo, a 40% ao ano, obtivemos R$ 24.000,00 de juros simples. O tempo de aplicação foi de:

(a) 1 ano (b) 2 anos (c) 3 anos (d) 4 anos (e) 5 anos

[10] Para obter R$ 6.000,00 de juros simples, aplicou-se a quantia deR$ 10.000,00 por 4 anos. A taxa anual dessa aplicação foi de:

(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20% (e) 25%

[11] Qual a taxa mensal que faz com que um capital, investido a juros simples durante 16 meses, tenha seu valor triplicado?

(a) 10% (b) 12,5% (c) 14,5% (d) 15% (e) 16,5%

[12] Um capital, aplicado a uma taxa de 12% a.m., rende juros simples que são iguais a 1/10 do seu valor inicial. Qual o total de dias em que esse capital foi aplicado?

(a) 5 dias (b) 10 dias (c) 15 dias (d) 20 dias (e) 25 dias

[13] Uma pessoa investiu um capital de R$ 60.000,00, durante 146 dias, à taxa de juros simples de 9% a.m. Os juros simples desse investimento foram de:

(a) R$ 22.530,00 (b) R$ 23.880,00 (c) R$ 26.280,00(d) R$ 27.480,00 (e) R$ 28.260,00

[14] O capital que produziu um montante de R$ 86.400,00, investido a juros simples durante 8 meses, a 138% a.a., é de:

(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 35.000,00 (c) R$ 40.000,00(d) R$ 45.000,00 (e) R$ 50.000,00


Anotações:

Fixando Conceitos 3

[15] Um capital, aplicado a uma taxa de 90% a.a., renderá juros simples iguais a 1/20 do seu valor. O total de dias de aplicação desse capital será de:


[16] O capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., gerou um montante de R$ 953.120,00. O total de meses em que esse capital foi aplicado a juros simples foi de:

(a) 6 meses (b) 7 meses (c) 8 meses (d) 9 meses (e) 10 meses

[17] A taxa mensal de um capital de R$ 480.000,00 que, aplicado em 3 meses e 20 dias, produziu R$ 4.400,00 de juros simples foi de:

(a) 0,25% (b) 2,5% (c) 25% (d) 27,5% (e) 31,25%

[18] Dois capitais, de R$ 11.000,00 e R$ 5.000,00, estiveram aplicados durante 3 anos a juros simples. O primeiro capital esteve aplicado à taxa de 7% a.a. e rendeu R$ 1.110,00 a mais do que o segundo. A taxa a que esteve aplicado o segundo capital foi de:

(a) 4% a.a. (b) 5% a.a. (c) 6% a.a. (d) 7% a.a. (e) 8% a.a.

[19] A soma de um capital com seus juros é igual a R$ 2.553,47. Qual o valor dos juros simples da aplicação, que durou 110 dias, à taxa de 7% a.a.:

(a) R$ 53,47 (b) R$ 54,38 (c) R$ 55,29 (d) R$ 56,12 (e) R$ 58,50

[20] Qual é o prazo necessário para se duplicar um capital aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m.?

(a) 20 meses (b) 22 meses (c) 24 meses(d) 25 meses (e) 30 meses


Anotações:

Fixando Conceitos 3

[21] Encontrar o capital que, acrescido de juros simples a 6,5% a.a., em 1 ano e 4 meses, gera um montante de R$ 7.824,00:

(a) R$ 7.200,00 (b) R$ 7.400,00 (c) R$ 7.600,00(d) R$ 7.800,00 (e) R$ 7.900,00

[22] A taxa mensal de um capital de R$ 8.000,00, que, em 6 meses, gerou juros simples de R$ 2.640,00, foi de:

(a) 3,5% (b) 4,5% (c) 5,5% (d) 6,5% (e) 7,5%

[23] Um capital de R$ 32.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 12% a.a., rende R$ 4.800,00. O total de meses dessa aplicação é de:

(a) 11 meses (b) 12 meses (c) 13 meses(d) 14 meses (e) 15 meses

[24] Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a uma taxa de 20% a.t., ao longo de 15 meses, rendeu de juros simples:

(a) R$ 20.000,00 (b) R$ 30.000,00 (c) R$ 50.000,00 (d) R$ 75.000,00 (e) R$ 100.000,00

[25] Os juros simples de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 6% a.a., pelo prazo de 18 dias, são de:

(a) R$ 100,00 (b) R$ 120,00 (c) R$ 150,00(d) R$ 180,00 (e) R$ 200,00

[26] O montante de uma aplicação de R$ 80.000,00, a juros simples de 3,5% a.m., pelo prazo de 9 meses, é de:

(a) R$ 100.000,00 (b) R$ 102.500,00 (c) R$ 105.200,00(d) R$ 106.800,00 (e) R$ 108.000,00


Anotações:

Fixando Conceitos 3

[27] Os juros simples de uma aplicação de R$ 12.000,00, a 36% a.a., por um trimestre são de:

(a) R$ 1.080,00 (b) R$ 1.180,00 (c) R$ 1.280,00 (d) R$ 1.380,00 (e) R$ 1.480,00

[28] Os juros simples de uma aplicação de R$ 350.000,00, à taxa de 4% a.m., aplicados por 72 dias, são de:

(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 31.200,00 (c) R$ 32.400,00 (d) R$ 33.600,00 (e) R$ 36.000,00

[29] Um capital, acrescido de seus juros de 21 meses, soma R$ 156.400,00. O mesmo capital, diminuído de seus juros de 9 meses, é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples desses investimentos.

(a) 100.125,32 e 1.95% a.m.(b) 103.795,74 e 1,98% a.m.(c) 105.540,26 e 2,01% a.m.(d) 108.800,05 e 2,08% a.m.(e) 109.645,47 e 2,12% a.m.

[30] Quanto se deve aplicar hoje em uma instituição financeira, que paga juros simples de 6% a.m., para se obter R$ 200.000,00 no fim de 39 dias?

(a) R$ 150.688,40 (b) R$ 168.800,36 (c) R$ 185.528,76(d) R$ 190.000,00 (e) R$ 198.222,22

[31] O juro comercial simples de R$ 10.000,00, aplicado há 198 dias, à taxa de 6% ao ano, é de:

(a) R$ 166,67 (b) R$ 303,03 (c) R$ 313,33 (d) R$ 330,00 (e) R$ 600,00

UNIDADE 4 55

DESCONTOSIMPLES44


• Calcular o valor descontado de um título, nota promissória, letras de câmbio etc no regime de capitalização a juros simples.

• Calcular o valor do desconto no resgate de um título, nota promissória, letras de câmbio etc no regime de capitalização a juros simples.

UNIDADE 4 57

TAXAS DE DESCONTOB ancos e outras instituições financeiras realizam operações de desconto de títulos diversos. Nesse caso, o credor do título recebe hoje o valor do título que tem vencimento futuro, mediante o pagamento de deságio e cessão dos direitos creditórios. Nessas operações, são negociados títulos como notas promissórias (NP), duplicatas e outros.

DeságioValor de desconto que se deduz de uma obrigação a ocorrer no futuro, para que essa possa ser quitada antecipadamente.

Cessão dos direitos creditóriosCessão do valor a receber numa data, por pessoa física ou jurídica, que pode ser negociado com terceiros.

Quando alguém tem algo a pagar e outro tem algo a receber, podem ocorrer situações como:

• o devedor tem disponibilidade de recursos e opta por pagar antes da data predeterminada. Neste caso, o prazo de empréstimo é reduzido. Logo, é razoável que o devedor pague menos pelo empréstimo. Assim, ele se beneficia com um abatimento correspondente aos juros que seriam gerados por esse dinheiro, durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; e

• pode ocorrer, também, que o credor (quem emprestou o dinheiro) necessite do dinheiro antes da data marcada. Como, quase sempre, o devedor não pode antecipar o pagamento, pois já se programou para pagar na data predeterminada, o credor vende seu título de crédito a um terceiro. Ora, esse agente também vai querer ser remunerado com os juros do capital que adiantar, considerando-se o intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento.

Em ambos os casos, há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades – a que seria paga e a que efetivamente foi paga. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

As operações citadas são denominadas operações de desconto.

Na operação de desconto, usamos alguns termos específicos:

• data de vencimento – dia fixado, no título, para pagamento da aplicação;

• valor nominal ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate (F) – valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);

n (período de antecipação)

F (Valor Nominal)

D (Desconto)

P

tempo

•

•P (Valor A

tual)

R$


• valor atual ou valor presente ou valor descontado (P) – líquido pago (antes do vencimento);

• prazo (n) – o tempo em períodos (dias, meses ou anos), compreendido entre o dia em que se negocia o título e o seu vencimento. O prazo inclui o último dia (ou mês ou ano) e exclui o primeiro; e

• desconto (D) – pode ser entendido como sendo a diferença entre o valor nominal e o valor atual. O desconto pode ser feito, considerando-se, como capital, o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, temos um desconto comercial e, no segundo, um desconto racional.

DESCONTO COMERCIALÉ a modalidade de desconto mais utilizada. É denominada desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente aos juros simples, produzidos, pelo valor nominal do título, no período de tempo correspondente à taxa fixada.

Cálculo do Desconto Comercial

Pela definição acima, têm-se:

P = F – D

D = F × id × n

onde:D = valor do desconto comercial (em moeda R$) F = valor nominal do título ou valor de face ou valor futuroP = valor presente, correspondente ao valor futuro, descontado o valor do desconto “D”id = taxa de desconto (na forma decimal)n = prazo de antecipação (tempo)

AtençãoNão abordaremos aqui o assunto desconto racional.

NotaTambém neste caso, n e id devem estar na mesma unidade de tempo.

UNIDADE 4 59

Outra fórmula para o cálculo:

P = F – D, como D = F × id × n, o cálculo do valor presente pode ser simplificado para a fórmula:

P = F × (1 – id × n)


1. Um título de R$ 3.000,00 é descontado por fora, 6 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 2% ao mês. Considerando regime de capitalização de juros simples, qual o valor do desconto?

Dados:F = 3.000id = 2% a.m. = 0,02 ao mêsn = 6 mesesCálculo:D = F × id × nD = 3.000 × 0,02 × 6D = 360

Resposta: O desconto é de R$ 360,00.

2. Um título de R$ 5.000,00 foi descontado por R$ 3.750,00. Sabendo que o tempo de antecipação foi de 4 meses, qual a taxa mensal de desconto simples?

Dados:F = 5.000P = 3.750D = 5.000 – 3.750 = 1.250id = ?n = 4 mesesCálculo:D = F × id × n1.250 = 5.000 × id × 41.250 = 20.000 × idid = 6,25% a.m.

Resposta: A taxa de desconto foi de 6,25% ao mês.

ConclusãoO desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois, para prazos longos, o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do título.


3. Qual o valor atual de um título de R$ 1.200,00, resgatado 8 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 42% ao ano, considerando-se os juros simples?

Dados:F = 1.200P = ?id = 42 ÷ 100 = 0,42 ao anon = 8 meses = 8 ÷ 12 anos (porque a taxa id é anual)Cálculo:P = F × (1 – id × n)P = 1.200 × (1 – 0,42 × 8 ÷ 12)P = 864

Resposta: O valor atual do título é R$ 864,00.

Outro modo de calcular:D = F × id × nD = 1.200 × 0,42 × (8 ÷ 12)D = 336P = F – DP = 1.200 – 336 = 864

4. Calcule o valor do desconto simples de um título de R$ 1.720,00, descontado 3 meses e 20 dias antes do vencimento, a uma taxa de 38,7% ao ano.

Dados:F = 1.720D = ?id = 38,7 ÷ 100 = 0,387 ao anon = 3 meses e 20 dias = 90 + 20 = 110 diasou seja: n = (110 ÷ 360) anos (porque a taxa id é anual)Cálculo:D = F × id × nD = 1.720 × 0,387 × (110 ÷ 360)D = 203,39

Resposta: O valor do desconto é de R$ 203,39.

UNIDADE 4 61

5. Uma promissória de R$ 1.480,00 foi resgatada, 4 meses antes do seu vencimento, por R$ 1.220,00. Qual a taxa anual da operação, considerando o regime de capitalização a juros simples?

Dados:F = 1.480P = 1.220D = 1.480 – 1.220 = 260id = ? (ao ano)n = 4 meses = 4 ÷ 12 anos (porque a taxa id desejada é anual)Cálculo:D = F × id × n260 = 1.480 × id × 4 ÷ 12id = 0,5270 = 52,70% a.a.


6. Calcule o valor de um título que foi resgatado por R$ 796,24, 6 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 7% ao mês em juros simples.

Dados:F = ?P = 796,24id = 7 ÷ 100 = 0,07 ao mêsn = 6 mesesCálculo:P = F (1 – id × n)796,24 = F (1 – 0,07 × 6)

Resposta: O valor do título é R$ 1.372,83.

7. Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 900,00, descontado 5 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 3% ao mês?

Dados:F = 900D = ?id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mêsn = 5 mesesD = F × id × nCálculo:D = 900 × 0,03 × 5D = 135

Resposta: O desconto é de R$ 135,00.


Anotações:

Fixando Conceitos 4

[1] Uma nota promissória de R$ 186.000,00, vencendo em 72 dias, sofreu R$ 3.199,20 de desconto comercial simples. A taxa anual usada nessa operação foi de:

(a) 6% (b) 7,6% (c) 8,6% (d) 9,2% (e) 10,4%

[2] O valor atual de um título de R$ 20.000,00, descontado a 5% a.a., em 6 meses, considerando juros simples é de:

(a) R$ 19.500,00 (b) R$ 20.000,00 (c) R$ 21.500,00 (d) R$ 22.000,00 (e) R$ 23.500,00

[3] O valor atual de um título que, descontado a 6% a.a., 4 meses antes do vencimento, produziu o desconto comercial simples de R$ 600,00 é de:

(a) R$ 28.200,00 (b) R$ 28.600,00 (c) R$ 29.200,00(d) R$ 29.400,00 (e) R$ 30.000,00

[4] Devo a um amigo R$ 110.000,00. Desejo liquidar a dívida, endossando-lhe um título que possuo de R$ 90.000,00, vencendo em 1 mês e 25 dias. Se o desconto comercial simples for feito a 8% a.a., a quantia em dinheiro que devo dar é de:

(a) R$ 21.100,00 (b) R$ 24.800,00 (c) R$ 25.300,00 (d) R$ 28.900,00 (e) R$ 88.900,00

[5] Calcular o valor nominal de uma duplicata que, à taxa de 6% a.m., sofreu um desconto bancário ou comercial ou por fora de R$ 60,00, ao ser resgatado 2 meses antes de seu vencimento:

(a) R$ 300,00 (b) R$ 400,00 (c) R$ 500,00 (d) R$ 600,00 (e) R$ 700,00

[6] Para descontar uma nota promissória, a uma taxa de desconto comercial simples de 15% ao mês, 60 dias antes do vencimento, uma pessoa recebe o líquido de R$ 280,00. O valor nominal é de:

(a) R$ 100,00 (b) R$ 200,00 (c) R$ 300,00 (d) R$ 400,00 (e) R$ 500,00


Anotações:

Fixando Conceitos 4

[7] Um título de R$ 350,00 é descontado por R$ 245,00, 6 meses antes do vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples é de:

(a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% (e) 5%

[8] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 800,00, 3 meses e 18 dias antes do vencimento, a uma taxa de 4% ao mês, é de:

(a) R$ 115,20 (b) R$ 122,30 (c) R$ 124,50 (d) R$ 132,80 (e) R$ 135,40

[9] Uma letra de câmbio foi descontada por R$ 320,00, 8 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 1,5% ao mês. O valor nominal era de:

(a) R$ 341,41 (b) R$ 356,56 (c) R$ 363,64 (d) R$ 392,92 (e) R$ 402,02

[10] Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 6.072,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 4% ao mês, o tempo de antecipação foi de:


[11] Uma letra de câmbio de valor nominal de R$ 4.700,00 foi resgatada 1 mês e 6 dias antes do seu vencimento, à taxa de 2,2% ao mês. O valor do desconto comercial simples foi de:

(a) R$ 112,20 (b) R$ 118,06 (c) R$ 121,09 (d) R$ 124,08 (e) R$ 125,09

[12] Uma nota promissória de R$ 18.600,00, vencendo em 272 dias, sofreu um desconto bancário de R$ 930,00. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 0,25% (b) 0,35% (c) 0,45% (d) 0,55% (e) 0,65%


Anotações:

Fixando Conceitos 4

[13] Uma letra, descontada por fora à taxa de 2,5% ao dia, produziu o desconto comercial simples equivalente a 1/4 de si mesma. O prazo de antecipação foi de:


[14] Um título de valor nominal de R$ 6.000,00 é resgatado 4 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 36% ao ano. O valor atual pago é de:

(a) R$ 5.080,00 (b) R$ 5.180,00 (c) R$ 5.280,00 (d) R$ 5.380,00 (e) R$ 5.480,00

[15] Um título de R$ 1.800,00 foi resgatado 9 meses antes do seu vencimento. Se a taxa de desconto simples foi de 2,75% ao mês, o valor do desconto comercial simples foi de:

(a) R$ 445,50 (b) R$ 450,80 (c) R$ 475,50 (d) R$ 490,30 (e) R$ 498,20

[16] Uma pessoa resgatou uma duplicata pela metade do preço 8 meses antes do seu vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 5% (b) 5,75% (c) 6% (d) 6,25% (e) 7,25%

[17] Uma nota promissória de R$ 16.000,00 foi resgatada por R$ 14.880,00 a 21 dias do seu vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 6% (b) 7% (c) 8% (d) 9% (e) 10%

[18] Um título de valor nominal de R$ 4.000,00 é resgatado por R$ 3.600,00, 5 meses antes de seu vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa transação é de:

(a) 1,2% (b) 1,5% (c) 2% (d) 2,5% (e) 3%


Anotações:

Fixando Conceitos 4

[19] Um título de R$ 13.000,00 foi descontado por fora por R$ 9.100,00. Sabendo-se que foi resgatado 5 meses antes de seu vencimento, a taxa mensal de desconto foi de:

(a) 4% (b) 5% (c) 6% (d) 7% (e) 8%

[20] Uma nota promissória de R$ 1.530,00 foi descontada a uma taxa de desconto comercial simples de 8% ao ano, produzindo um desconto de R$ 71,40. O prazo da antecipação em meses foi de:

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7

[21] Uma nota promissória foi paga 7 meses e meio antes do seu vencimento, sofrendo um desconto comercial simples à taxa de 8% ao mês. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 4.800,00, podemos afirmar que o valor nominal da promissória foi de:

(a) R$ 8.000,00 (b) R$ 9.000,00 (c) R$ 10.000,00 (d) R$ 11.000,00 (e) R$ 12.000,00

[22] Um título de R$ 640,00 foi resgatado 11 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 1,85% ao mês. O valor deste desconto foi de:

(a) R$ 130,24 (b) R$ 132,38 (c) R$ 141,12 (d) R$ 143,15 (e) R$ 144,20

[23] Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 foi resgatado por um valor atual de R$ 1.820,00. Sabendo-se que a taxa mensal de desconto comercial simples é de 3% ao mês, então o prazo de antecipação foi de:


[24] Em uma operação financeira, o valor nominal do título é igual a 10 vezes o desconto comercial simples concedido. Sendo a taxa de desconto simples de 2% ao dia, o prazo de antecipação foi de:



Anotações:

Fixando Conceitos 4

[25] O valor do desconto de um título de R$ 20.000,00, a 6% ao mês, em 1 ano é de:

(a) R$ 12.000,00 (b) R$ 12.600,00 (c) R$ 14.000,00 (d) R$ 14.400,00 (e) R$ 15.000,00

[26] Um título de R$ 4.200,00 foi resgatado por R$ 3.800,00, 8 meses antes do vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 0,92% (b) 1% (c) 1,19% (d) 1,35% (e) 2%

[27] Deseja-se resgatar um título cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, 4 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 30% ao ano, o desconto obtido na hora do resgate será de:

(a) R$ 120,00 (b) R$ 150,00 (c) R$ 180,00 (d) R$ 200,00 (e) R$ 220,00

[28] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.400,00, descontado 2 meses e 18 dias antes do vencimento, a uma taxa de 36% ao ano, é de:

(a) R$ 158,80 (b) R$ 161,30 (c) R$ 172,40 (d) R$ 187,20 (e) R$ 191,80

[29] O valor atual de um título de R$ 4.500,00, resgatado 6 meses e 12 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de 45% ao ano, é de:

(a) R$ 3.180,00 (b) R$ 3.340,00 (c) R$ 3.380,00 (d) R$ 3.400,00 (e) R$ 3.420,00

[30] O valor de um título que foi resgatado por fora por R$ 1.080,00, 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 0,5% ao dia, era de:

(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.600,00 (d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00


Anotações:

Fixando Conceitos 4

[31] O valor nominal de um título, resgatado 16 meses antes do vencimento, é de R$ 6.000,00, e a taxa de desconto comercial simples é de 1,5% ao mês. O valor do desconto obtido foi de:

(a) R$ 1.145,00 (b) R$ 1.240,00 (c) R$ 1.350,00 (d) R$ 1.440,00 (e) R$ 2.832,00

[32] Um título de R$ 35.000,00 será resgatado 24 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 8,75% ao ano, o desconto obtido na hora do resgate será de:

(a) R$ 5.836,23 (b) R$ 6.125,00 (c) R$ 7.437,00 (d) R$ 8.950,00 (e) R$ 9.128,30

UNIDADE 5 69

JUROSCOMPOSTOS55


• Entender o regime de juros de capitalização composta.

• Calcular o valor futuro no regime de juros de capitalização composta.

• Calcular o principal no regime de juros de capitalização composta.

• Calcular taxa equivalente no regime de juros de capitalização composta.

UNIDADE 5 71

JUROS COMPOSTOSNo regime de juros compostos, os juros a cada período são calculados sobre o montante existente no período anterior. Dessa forma, os juros do período anterior são incorporados ao capital. Pode-se dizer, então, que, no regime de juros compostos, “os juros rendem juros”. Este é o regime mais utilizado.

Exemplo

Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros composto:

Capital Inicial = R$ 100,00

Assim, no regime de juros compostos, os juros produzidos no fim de cada período são somados ao capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a render juros no período seguinte.

Mês Juros Compostos Montante (F)

1 100,00 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00

2 102,00 × 0,02 × 1 = 2,04 104,04

3 104,04 × 0,02 × 1 = 2,08 106,12

Juros compostos são aqueles que, a partir do segundo período, são calculados sobre o montante relativo ao período anterior.

CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS

J – juros compostosP – capital inicial → valor tomado emprestadoF – Valor Futuro ou Montante → valor do capital inicial acrescido de juros compostos i – taxa de juros compostosPeríodo de capitalização – ciclo de tempo necessário para gerar juros compostos Exemplo: na caderneta de poupança, este ciclo é de 30 dias.n – tempo de aplicação – quantidade de períodos de capitalização do investimento

Comentário

Nos enunciados de exercícios e/ou aplicações práticas, quando não estiver definido o período de capitalização, este será entendido como sendo aquele apresentado no tempo de aplicação do investimento.

Isto é básicoNo regime de capitalização por juros compostos, o crescimento dos juros é exponencial.

Veja outras nomenclaturasna Tabela (Anexo 1)


Entendendo como calcular o montante (Valor Futuro) de um investimento.

Supondo-se um investimento cujo capital inicial seja P, aplicado a uma taxa de juros compostos igual a “i” durante “n” períodos de capitalização, temos:

Período Juros Montante

1o J1 = P × i F1 = P + J1 = P + P × i = P (1 + i) → F1 = P (1 + i)

2o J2 = F1 × i F2 = F1 + J2 = F1+ F1× i = F1 (1 + i) → F2 = P (1 + i) × (1 + i) → F2 = P (1 + i)2

3o J3 = F2 × i F3 = F2 + J3 = F2+ F2× i = F2 (1 + i) → F3 = P (1 + i)2 × (1 + i) → F3 = P (1 + i)3

Analisando a sequência anterior, podemos deduzir que, para “n” períodos, teremos:

Fn = P (1 + i)n

onde:F = montante ou Valor FuturoP = capital iniciali = taxa de juros compostosn = tempo de aplicação

Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J)

Sabendo que, em qualquer investimento, o montante é sempre igual ao capital inicial adicionado aos juros, então, podemos escrever:

Jn = Fn – P

Substituindo a fórmula do montante temos que:

Jn = P (1 + i)n – P

Colocando o capital inicial em evidência:

Jn = P [(1 + i)n – 1]

onde: Jn = juros compostosP = capital iniciali = taxa de juros compostosn = tempo de aplicação

O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização.

ImportanteEssas fórmulas serão válidas exclusivamente se a taxa e o período estiverem na mesma unidade de tempo (ano, mês, dia...)

UNIDADE 5 73


1. Qual o montante e os juros compostos de uma aplicação de R$ 4.000,00, a uma taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, considerando o período de capitalização mensal?

Resolução:P = 4.000,00i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.n = 14 mSabemos que Fn = P(1 + i)n

F = 4.000 × (1 + 0,025)14

F = 4.000 × (1,025)14 = 4.000 × 1,412974F = 5.651,90

Logo:J = F – PJ = 5.651,90 – 4.000,00 = 1.651,90

Outra forma de calcular os juros: J = P [(1 + i)n – 1]J = 4.000 [(1 + 0,025)14 – 1]J = 4.000 [0,412974]J = 1.651,90

Resposta: O montante do investimento é de R$ 5.651,90 e os juros compostos foram de R$ 1.651,90.

Observe que na aplicação prática anterior, o período (n) e a taxa (i) estão na mesma unidade de tempo (mês).


TAXAS EQUIVALENTES Denominam-se taxas equivalentes aquelas que, aplicadas a um mesmo capital, geram um mesmo valor futuro (montante), no mesmo intervalo de tempo.

Em juros compostos, calculamos a taxa equivalente, utilizando a seguinte fórmula:

1 + I = (1 + i)n

onde:I = taxa do período maiori = taxa do período menorn = relação de conversão entre os períodos envolvidos


1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Dados:Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 2 ÷ 100)12

I = (1,02)12 – 1I = 1,268242 – 1I = 0, 268242 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 26,8242% a.a.

Resposta: A taxa anual equivalente a 2% a.m. é de 26,8242% a.a.

ObservaçãoLembre-se de multiplicar o resultado, por 100 para apresentar a taxa percentual.

UNIDADE 5 75

2. Qual a taxa mensal equivalente a 30% a.a.?

Dados:Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 30 ÷ 100 = (1 + i)12

1,30 = (1 + i)12

Dividindo os índices por 12, temos:(1,30)1÷12 = 1 + i1,022104 – 1 = ii = 0,022104 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 2,2104% a.m.

Resposta: A taxa mensal equivalente a 30% a.a. é de 2,2104% a.m.

3. Qual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre?

Dados:Períodos envolvidos (trimestre e ano). Menor: trimestre Maior: ano Relação de conversão: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 3 ÷ 100)4

I = (1,03)4 – 1I = 1,125509 – 1I = 0,125509 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 12,5509% a.a.

Resposta: A taxa anual equivalente a 3% a.t. é de 12,5509% a.a.

4. Qual a taxa diária equivalente a 70% ao trimestre?

Dados:Períodos envolvidos (dia e trimestre). Menor: dia Maior: trimestre Relação de conversão: 90 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 70 ÷ 100 = (1 + i)90

1,70 = (1 + i)90

Dividindo os índices por 90, temos:(1,70)1÷90 = 1 + i1,005913 – 1 = ii = 0,005913 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,591328% a.d.

Resposta: A taxa diária equivalente a 70% a.t. é de 0,591328% a.d.


Comentários

• A solução de um problema de juros compostos passa pela observação das unidades, apresentadas na taxa e no período de capitalização. Lembre-se sempre de converter a taxa para a mesma unidade do período de capitalização.

• Em problemas de juros compostos, que não envolvam série de pagamento, é muito mais fácil converter a unidade de tempo, ou seja, use a taxa (i) dada pelo problema e mude a unidade de tempo.

Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes

• Vamos estabelecer as taxas equivalentes de 3% ao mês.• Some 1 a 3% = 1 + 0,03 = 1,03, que chamaremos de coeficiente

de capitalização.• Para encontrar as taxas equivalentes, basta elevar o coeficiente à

unidade de tempo desejada (bimestre, trimestre etc) e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

Unidadede Tempo Desejada

Quantidadede Meses

Elevar oCoeficiente Cálculo

Taxa Equivalente

3% a.m.

bimestre 2 (1,03)² subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09 % a.b.

trimestre 3 (1,03)³ subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27 % a.t.

quadrimestre 4 (1,03)4 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestre 6 (1,03)6 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41 % a.s.

ano 12 (1,03)12 subtrair 1 e multiplicar por 100 42,58 % a.a.

• Vamos fazer o caminho inverso do que foi feito na tabela anterior, usando uma taxa de 42,58% ao ano.

• Some 1 a 42,58% = 1 + 0,4258 = 1,4258 (coeficiente de capitalização).

UNIDADE 5 77

• Para voltar de uma taxa equivalente, basta elevar o coeficiente a 1 (um) sobre a unidade de tempo desejada e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

Unidade de Tempo Desejada

1 Ano Tem


Taxa Equivalente 42,58% a.a.

meses 12 (1,4258)1/12 subtrair 1 e multiplicar por 100 3% a.m.

bimestres 6 (1,4258)1/6 subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.

trimestres 4 (1,4258)1/4 subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.

quadrimestres 3 (1,4258)1/3 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestres 2 (1,4258)1/2 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.

• Procure, através destes exemplos, converter taxas em outras unidades de tempo, como trimestre, bimestre etc.

Exemplo

Qual será o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 14 meses?

Resolução:P = 4.000,00i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.n = 14 mesesF = ?

Análise inicial: a taxa efetiva está no mesmo período de capitalização → não necessita de conversão.

Logo:F = P (1 + i)n

Substituindo os dados já conhecidos, temos:F = 4.000 × (1 + 0,025)14

F = 4.000 × (1,025)14

F = 4.000 × 1,412974F = 5.651,90

Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 5.651,90.



1. Quais os juros compostos de uma aplicação de R$ 20.000,00, a 4% ao ano, durante 8 meses?

Dados:P = 20.000,00J = ?n = 8 mesesi = 4% a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade, portanto, devemos converter a taxa de ano para meses.Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?) Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 4 ÷ 100 = (1 + i)12

1,04 = (1 + i)12

(1,04)1÷12 = 1 + i1,003274 – 1 = ii = 0,003274 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,327374% a.m.Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 20.000 × (1 + 0,003274)8

F = 20.000 × (1,003274)8

F = 20.000 × 1,026492F = 20.529,84Logo:J = F – P → 20.529,84 – 20.000,00 J = 529,84

Resposta: Os juros compostos são de R$ 529,84.

2. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.000,00, em regime de juros compostos, aplicado durante 6 meses, à taxa de 3,5% ao mês?

P = 6.000F = ?i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mêsn = 6 mesesComo F = P × (1 + i)n

Logo:F = 6.000 (1 + 0,035)6

F = 6.000 (1,035)6

F = 6.000 × 1,229255F = 7.375,53


UNIDADE 5 79

3. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19.752,14.

F = 19.752,14P = ?i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mêsn = 8 mesesF = P × (1 + i)n

19.752,14 = P (1 + 0,035)8

19.752,14 = P (1,035)8

19.752,14 = P × 1,31680919.752,14 ÷ 1,316809 = P → P = 15.000

Resposta: O capital aplicado foi de R$ 15.000,00.

4. O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado, a juros compostos, por 2 dias, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante obtido?

P = 12.000,00F = ?n = 2 diasi = 36% a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de ano para dias.Períodos envolvidos (dia e ano). Menor: dia Maior: ano Relação de conversão: 360 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 36 ÷ 100 = (1 + i)360

1,36 = (1 + i)360

(1,36)1 ÷ 360 = 1 + i1,000854 – 1 = ii = 0,000854 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,085449% a.d.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 12.000 × (1 + 0,000854)2

F = 12.000 × (1,000854)2

F = 12.000 × 1,001710F = 12.020,52

Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 12.020,52.


5. Quais os juros de uma aplicação de R$ 1.500,00, a juros compostos de 1,13% ao mês, durante um semestre?

F = ?P = 1.500i = 1,13 ÷ 100 = 0,0113 ao mêsn = 1 semestre = 6 mesesComo F = P × (1 + i)n

Então:F = 1.500 (1 + 0,0113)6

F = 1.500 (1,0113)6

F = 1.500 × 1,069744F = 1.604,62

Resposta: O valor dos juros é de 1.604,62 – 1.500 = R$ 104,62.

6. Qual o montante de um capital de R$ 3.000,00, a juros compostos de 2% ao mês, durante 1 dia?

P = 3.000,00F = ?n = 1 dia (Período de capitalização = diário)i = 2% a.m.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de mês para dia. Períodos envolvidos (dia e mês). Menor: dia Maior: mês Relação de conversão: 30 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 2 ÷ 100 = (1 + i)30

1,02 = (1 + i)30

(1,02)1÷30 = 1 + i1,000660 – 1 = ii = 0,000660 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,066031% a.d.


F = 3.000 × (1 + 0,000660)1

F = 3.000 × (1,000660)1

F = 3.000 × 1,000660F = 3.001,98

Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 3.001,98

UNIDADE 5 81

7. Um capital de R$ 8.000,00 pode produzir, com juros compostos, a uma taxa de 3% ao quadrimestre, durante 2 trimestres, um montante de:

P = 8.000,00F = ?n = 2 trimestres = 6 meses (Período de capitalização = mensal)i = 3% a.q.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de quadrimestre para mês.Períodos envolvidos (mês e quadrimestre). Menor: mês Maior: quadrimestreRelação de conversão: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 3 ÷ 100 = (1 + i)4

1,03 = (1 + i)4

(1,03)1÷4 = 1 + i1,007417 – 1 = ii = 0,007417 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,741707% a.m.


F = 8.000 × (1 + 0,007417)6

F = 8.000 × (1,007417)6

F = 8.000 × 1,045336F = 8.362,69

Resposta: O montante (Valor Futuro) que se pode produzir é de R$ 8.362,69.

8. Qual o montante obtido em uma aplicação de juros compostos, de R$ 1.500,00, a uma taxa de 6% ao ano, durante 1 semestre?

P = 1.500,00F = ?n = 1 semestre = 6 meses (Período de capitalização = mensal)i = 6% a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de ano para mês. Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)


Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 6 ÷ 100 = (1 + i)12

1,06 = (1 + i)12

(1,06)1÷12 = 1 + i1,004868 – 1 = ii = 0,004868 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,486755 a.m.


F = 1.500 × (1 + 0,004868)6

F = 1.500 × (1,004868)6

F = 1.500 × 1,029563F = 1.544,34

Resposta: O montante (Valor Futuro) obtido é de R$ 1.544,34.

9. Em uma aplicação de R$ 4.300,00, a juros compostos de 5% ao mês, durante 6 dias, quanto se ganha de juros?

P = 4.300,00J = ?n = 6 dias (Período de capitalização = diário)i = 5% a.m.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de mês para dia.Períodos envolvidos (dia e mês). Menor: dia Maior: mêsRelação de conversão: 30 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 5 ÷ 100 = (1 + i)30

1,05 = (1 + i)30



F = 4.300 × (1 + 0,001628)6

F = 4.300 × (1,001628)6

F = 4.300 × 1,009806F = 4.342,16Logo:J = F – P = 4.342,16 – 4.300,00J = 42,16

Resposta: Os juros são de R$ 42,16.

UNIDADE 5 83

10. Uma aplicação em juros compostos de R$ 1.260,00, a uma taxa de 8% ao quadrimestre, durante 2 meses, gera um montante de?

P = 1.260,00F = ?n = 2 meses (Período de capitalização = mensal)i = 8% a.q.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de quadrimestre para mês.Períodos envolvidos (mês e quadrimestre). Menor: mês Maior: quadrimestre Relação de conversão: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 8 ÷ 100 = (1 + i)4

1,08 = (1 + i)4

(1,08)1÷4 = 1 + i1,019427 – 1 = ii = 0,019427 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 1,942655 a.m.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = C (1 + i)n

F = 1.260 × (1 + 0,019427)2

F = 1.260 × (1,019427)2

F = 1.260 × 1,039230F = 1.309,43

Resposta: O montante (Valor Futuro) gerado é de R$ 1.309,43.

11. O Valor Futuro, obtido pela aplicação em juros compostos, de R$ 6.000,00, a uma taxa de 1,5% ao trimestre, durante 3 dias, será de?

P = 6.000,00F = ?n = 3 dias (Período de capitalização = diário)i = 1,5% a.t.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de trimestre para dia.Períodos envolvidos (dia e trimestre). Menor: dia Maior: trimestreRelação de conversão: 90 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 1,5 ÷ 100 = (1 + i)90

1,015 = (1 + i)90




F = 6.000 × (1 + 0,000165)3

F = 6.000 × (1,000165)3

F = 6.000 × 1,000496F = 6.002,98

Resposta: O Valor Futuro (montante) será de R$ 6.002,98.

12. O montante obtido pela aplicação, em juros compostos de R$ 240,00, a uma taxa de 3,5% ao mês, durante um semestre, será de?

P = 240,00F = ?n = 1 semestre = 3 bimestres (Período de capitalização = bimestral)i = 3,5% a.m.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de mês para bimestre.Períodos envolvidos (mês e bimestre). Menor: mês Maior: bimestreRelação de conversão: 2 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 3,5 ÷ 100)2

1 + I = (1,035)2

I = 1,071225 – 1I = 0,071225 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 7,122500% a.b.


F = 240 × (1 + 0,071225)3

F = 240 × (1,071225)3

F = 240 × 1,229255F = 295,02

Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 295,02.

UNIDADE 5 85

13. Aplicaram R$ 20.000,00, a juros compostos de 17% ao ano, durante 3 anos. O valor dos juros recebidos foi de:

P = 20.000,00J = ?n = 3 anos (Período de capitalização = anual – deduzido)i = 17% a.a. = 17 ÷ 100 = 0,17 a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa estão na mesma unidade; portanto, não há necessidade de converter a taxa. Substituindo na fórmula dos juros, temos:J = P [(1 + i)n – 1]J = 20.000 × [(1 + 0,17)3 – 1]J = 20.000 × [(1,17)3 – 1]J = 20.000 × [0,601613]J = 12.032,26

Resposta: Os juros recebidos foram de R$ 12.032,26.

14. O montante de R$ 1.300,00, aplicado em juros compostos, a uma taxa de 12% ao semestre, durante 5 semanas, será de?

P = 1.300,00F = ?n = 5 semanas = 5 × 7 = 35 dias (Período de capitalização = diária)i = 12% a.s.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de semestre para dia.Períodos envolvidos (dia e semestre). Menor: dia Maior: semestreRelação de conversão: 180 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 12 ÷ 100 = (1 + i)180

1,12 = (1 + i)180



F = 1.300 × (1 + 0,000630)35

F = 1.300 × (1,000630)35

F = 1.300 × 1,022281F = 1.328,96



Anotações:

Fixando Conceitos 5

[1] Uma pessoa toma R$ 300,00 emprestados, a juros compostos de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses. O montante a ser devolvido é de:

(a) R$ 365,19 (b) R$ 382,18 (c) R$ 397,22 (d) R$ 403,17 (e) R$ 421,31

[2] O montante de R$ 2.000,00, a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 15 meses, será de:

(a) R$ 3.220,38 (b) R$ 3.310,61 (c) R$ 3.350,70 (d) R$ 3.420,18 (e) R$ 3.580,91

[3] O montante de R$ 500,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses, será de:

(a) R$ 546,54 (b) R$ 558,18 (c) R$ 561,91 (d) R$ 572,12 (e) R$ 584,19

[4] O montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, à taxa de 1,5% ao mês, será de:

(a) R$ 8.921,37 (b) R$ 9.020,38 (c) R$ 9.091,19 (d) R$ 9.189,28 (e) R$ 9.237,24

[5] O montante que resulta do capital de R$ 750,00, colocado a juros compostos, à taxa de 2,35% ao mês, no fim de 6 meses, é de:

(a) R$ 851,71 (b) R$ 862,16 (c) R$ 873,18 (d) R$ 899,91 (e) R$ 902,32

[6] O montante produzido por R$ 1.200,00, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês, durante 8 meses, será de:

(a) R$ 1.405,99 (b) R$ 1.410,21 (c) R$ 1.422,30 (d) R$ 1.431,12 (e) R$ 1.457,18


Anotações:

Fixando Conceitos 5

[7] O capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante composto de R$ 405,75 era de:

(a) R$ 320,00 (b) R$ 330,00 (c) R$ 340,00 (d) R$ 350,00 (e) R$ 360,00

[8] Um capital inicial, em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 794,75. Esse capital era de:

(a) R$ 720,00 (b) R$ 730,00 (c) R$ 740,00 (d) R$ 750,00 (e) R$ 760,00

[9] O montante que resulta de R$ 300,00, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos, será de:

(a) R$ 1.320,92 (b) R$ 1.362,38 (c) R$ 1.400,85 (d) R$ 1.438,98 (e) R$ 1.480,86

[10] O montante de uma aplicação de R$ 800,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses, será de:

(a) R$ 1.188,15 (b) R$ 1.210,07 (c) R$ 1.238,14 (d) R$ 1.294,15 (e) R$ 1.318,92

[11] Os juros de uma aplicação de R$ 2.000,00, a 4,5% ao mês, durante 8 meses, são de:

(a) R$ 802,98 (b) R$ 810,18 (c) R$ 824,20 (d) R$ 836,30 (e) R$ 844,20

[12] O montante produzido pelo capital de R$ 680,00, em regime de juros compostos, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês, é de:

(a) R$ 708,30 (b) R$ 729,40 (c) R$ 789,40 (d) R$ 792,38 (e) R$ 802,38

[13] O montante obtido a partir de R$ 850,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses, é de:

(a) R$ 2.198,32 (b) R$ 2.204,68 (c) R$ 2.218,48 (d) R$ 2.227,32 (e) R$ 2.282,30


Anotações:

Fixando Conceitos 5

[14] O capital aplicado, a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo-se que após 8 meses rendeu um montante de R$ 1.975,22, era de:

(a) R$ 1.200,00 (b) R$ 1.400,00 (c) R$ 1.500,00 (d) R$ 1.600,00 (e) R$ 1.700,00

[15] O capital de R$ 1.800,00 foi aplicado, por 4 meses, a 20% ao ano. O valor futuro (montante) gerado será de:

(a) R$ 1.912,79 (b) R$ 2.318,94 (c) R$ 2.468,15 (d) R$ 2.498,13 (e) R$ 2.588,18

[16] O montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juros de 22% ao ano, durante 8 meses, será de:

(a) R$ 13.701,07 (b) R$ 16.521,37 (c) R$ 16.692,30 (d) R$ 17.308,21 (e) R$ 17.492,38

[17] Aplicando-se certo capital durante 2 anos, à taxa de 24% ao ano, resgatou-se R$ 3.984,62 de valor futuro (montante). O valor do capital aplicado era de:

(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.591,45 (d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00

[18] O capital de R$ 920,00 foi aplicado, durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. O valor futuro (montante) foi de:

(a) R$ 1.575,73 (b) R$ 1.642,94 (c) R$ 1.662,19 (d) R$ 1.672,18 (e) R$ 1.681,79

[19] O montante de um capital de R$ 500,00, ao fim de 12 dias, com juros de 24% ao ano, será de:

(a) R$ 503,60 (b) R$ 799,18 (c) R$ 812,34 (d) R$ 824,57 (e) R$ 842,15

[20] O valor futuro, gerado por um capital inicial de R$ 6.000,00, a juros compostos de 5% a.m., durante 6 meses, é de:

(a) R$ 7.890,37 (b) R$ 7.990,38 (c) R$ 8.010,57 (d) R$ 8.030,57 (e) R$ 8.040,57


Anotações:

Fixando Conceitos 5

[21] O montante para um capital inicial de R$ 10.000,00, a juros compostos de 4% a.m., durante 8 meses, será de:

(a) R$ 13.510,38 (b) R$ 13.582,28 (c) R$ 13.598,12 (d) R$ 13.604,89 (e) R$ 13.685,69

[22] Foram colocados R$ 6.000,00, à taxa de juros compostos de 3% a.s., durante 4 quinzenas. Qual o valor futuro gerado?

(a) R$ 6.059,41 (b) R$ 7.308,92 (c) R$ 7.320,90 (d) R$ 7.438,30 (e) R$ 7.482,80

[23] Os juros compostos de R$ 25.000,00, aplicados durante 9 meses, à taxa de 6% a.m., serão de:

(a) R$ 15.980,14 (b) R$ 16.020,12 (c) R$ 16.075,80 (d) R$ 16.192,30 (e) R$ 17.236,97

[24] O valor futuro resultante de R$ 152.000,00, aplicados a juros compostos de 7% a.m., durante 30 meses, será de:

(a) R$ 861.332,15 (b) R$ 869.320,30 (c) R$ 872.429,18 (d) R$ 877.577,15 (e) R$ 1.157.062,77

[25] Um certo capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos, por 1 semestre, à taxa de 60% ao ano. O montante foi de:

(a) R$ 3.162,28 (b) R$ 7.882,18 (c) R$ 7.921,12 (d) R$ 7.962,15 (e) R$ 7.992,17

[26] O valor futuro (montante) produzido por R$ 4.200,00, em regime de juros compostos, à taxa de 22% ao mês, durante 18 dias, foi de:

(a) R$ 4.732,22 (b) R$ 4.898,29 (c) R$ 4.929,69 (d) R$ 4.948,72 (e) R$ 4.968,30

[27] O montante gerado por um capital de R$ 2.500,00, ao fim de 6 meses, aplicado a juros de 24% ao ano, será de:

(a) R$ 2.609,00 (b) R$ 2.690,00 (c) R$ 2.783,88 (d) R$ 2.788,00 (e) R$ 2.809,00


Anotações:

Fixando Conceitos 5

[28] Aplicaram-se R$ 2.300,00, a juros compostos de 1,2% ao mês, durante 15 meses. O valor dos juros foi de:

(a) R$ 418,38 (b) R$ 424,80 (c) R$ 432,30 (d) R$ 444,90 (e) R$ 450,65

[29] Aplicamos R$ 820,00 a juros compostos de 2,3% ao semestre, durante 1 bimestre. O valor dos juros foi de:

(a) R$ 3,15 (b) R$ 4,94 (c) R$ 6,24 (d) R$ 7,18 (e) R$ 9,32

[30] A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de:

(a) 0,40% a.a. (b) 59,79% a.a. (c) 60% a.a. (d) 69,79% a.a. (e) 79,59% a.a.

[31] A taxa bimestral equivalente a 38% ao semestre é de:

(a) 6,90% a.b. (b) 11,33% a.b. (c) 12,66% a.b. (d) 16,67% a.b. (e) 18,33% a.b.

[32] A taxa trimestral equivalente a 28% ao bimestre é de:

(a) 15% a.t. (b) 44,82% a.t. (c) 82,38% a.t. (d) 109,72% a.t. (e) 142% a.t.

[33] A taxa semestral equivalente a 36% ao ano é de:

(a) 16,62% a.s. (b) 17,64% a.s. (c) 18% a.s. (d) 18,62% a.s. (e) 20% a.s.

[34] Ao aplicarmos R$ 48.000,00, pelo prazo de 27 meses, a uma taxa de juros de 1,00% ao mês, a juros compostos, o valor dos juros dessa aplicação será (desconsidere os centavos):

(a) R$ 12.960,00 (b) R$ 14.794,00 (c) R$ 60.960,00 (d) R$ 62.794,00 (e) R$ 71.106,00


Anotações:

Fixando Conceitos 5

[35] O montante produzido por R$ 100.000,00, a juros compostos de 2,5% a.m., por 12 meses, é de:

(a) R$ 130.000,00 (b) R$ 134.488,88 (c) R$ 153.345,86 (d) R$ 160.276,40 (e) R$ 165.234,92

[36] O juro devido a um capital de R$ 4.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 4,5% ao ano, por um prazo de 8 anos, é de:

(a) R$ 1.688,40 (b) R$ 2.250,00 (c) R$ 4.440,00 (d) R$ 5.440,00 (e) R$ 5.688,40

[37] Um capital de R$ 12.000,00 pode produzir, com juros compostos, a uma taxa de 4% ao trimestre, durante quatro quadrimestres, um montante de:

(a) R$ 13.498,37 (b) R$ 14.038,30 (c) R$ 14.791,96 (d) R$ 16.567,21 (e) R$ 22.475,77

UNIDADE 6 93

66Após ler esta unidade, você deve ser capaz de:

• Calcular o valor descontado de um título, nota promissória, letras de câmbio etc no regime de capitalização a juros compostos.

• Calcular o valor do desconto no resgate de um título, nota promissória, letras de câmbio etc no regime de capitalização a juros compostos.

DESCONTOCOMPOSTO

UNIDADE 6 95

O desconto composto é obtido em função de cálculos no regime de capitalização composta (exponencial). São dois os tipos de descontos: o comercial composto e o racional composto.

Neste curso, não abordaremos o desconto comercial composto por não haver aplicações práticas no Brasil.

D = F – P (Fórmula I)

F (Valor Nominal)

P

n (Período)

Prazo de Antecipação

D (Desconto)

P

R$

DESCONTO RACIONAL COMPOSTOO desconto racional composto é dado pela diferença entre o valor nominal, ou de resgate de um título, e seu valor atual, calculado com base no regime de capitalização composta.

ENCONTRANDO O VALOR ATUAL Em um investimento com capitalização composta, usando o Valor Atual como capital inicial (ambos sendo aqui representados por P) e uma taxa de desconto igual a id, durante um período n relativo à antecipação de seu vencimento, obtemos um montante igual ao Valor Nominal (F).

A partir da fórmula de montante de desconto composto, temos que:

F = P (1 + id)n

Então:

P = F (1 + id)

n


Fórmula para calcular o Valor Atual onde:P = valor atual de resgate F = valor nominal do títuloid = taxa de desconton = prazo de antecipação do pagamento

Substituindo na fórmula 1, temos que:

D = F – P → F – F → F × (1 + id)n – F

(1 + id)n (1 + id)

n

Colocando F em evidência, temos que: D = F × [ (1 + id)n – 1]

(1 + id)n

Fórmula do Desconto Racional Compostoonde:D = desconto racional compostoF = valor nominal do títuloid = taxa de desconton = prazo de antecipação do pagamento

Exemplo

Calcule o valor do desconto composto racional de uma nota promissória, com valor de resgate de R$ 35.000,00, a vencer no prazo de 6 meses. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada foi de 5% a.m., calcular também o valor descontado da promissória.

Resolução:F = 35.000n = 6 meses (prazo de antecipação)id = 5 % a.m. = 5/100 = 0,05 a.m.

Desconto:

D = F × [ (1 + id)

n – 1] (1 + id)

n

D = 35.000 × [(1 + 0,05)6 – 1]

(1 + 0,05)6

D = 8.882,46

Valor Atual: P = F

(1 + id)n

P = 35.000 (1 + 0,05)6

P = 26.117,54

ComentárioChamaremos o desconto racional composto simplesmente de desconto composto, já que, no Brasil, apenas esta modalidade de desconto é praticada no regime de capitalização composta.

UNIDADE 6 97


1. Um título de valor nominal de R$ 400,00 foi resgatado 5 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto composto de 2% ao mês. Qual o valor atual do título?

Resolução:F = 400P = ?id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mêsn = 5 meses Como P = F

(1 + id)n

Então:P = 400 ÷ (1 + 0,02)5

P = 400 ÷ (1,02)5

P = 362,29

Resposta: O Valor Atual (presente) do título é de R$ 362,29.

Nota: se for aplicado o valor presente (R$ 362,29) à taxa de 2% a.m., ao final de 5 meses o montante gerado será de R$ 400,00.

Solução utilizando a calculadora financeira HP 12C®:Cálculo:Digitar: 400Apertar: Tecla FV. O valor 400 refere-se ao valor futuro → Visor: 400,00Digitar: 2Apertar: Tecla i. O valor 2 refere-se à taxa de juros. (Na utilização das funções financeiras, a taxa de juros deve ser informada na forma percentual) → Visor: 2,00Digitar: 5Apertar: Tecla n. O valor 5 refere-se à quantidade de períodos. → Visor: 5,00Apertar: Tecla PV, e a máquina informa o valor da variável desejada: o valor presente. A resposta desejada aparecerá no visor: – 362,29.


2. Deseja-se resgatar um título de R$ 560,00, faltando 6 meses para o seu vencimento. Sendo a taxa de desconto composto de 1,28% ao mês, o seu valor atual será de:

Resolução:F = 560P = ?id = 1,28 ÷ 100 = 0,0128 ao mêsn = 6 mesesSendo: P = F ÷ (1 + id)

n

Então:P = 560 ÷ (1 + 0,0128)6

P = 560 ÷ 1,079299948P = 518,85

Resposta: O Valor Atual do título será de R$ 518,85.

3. Um título de R$ 1.480,00 foi resgatado 3 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto composto de 2,75% ao mês. O valor do desconto foi de:

Resolução:Dados:F = 1.480D = ?id = 2,75 ÷ 100 = 0,0275 ao mêsn = 3 meses

D = F × [(1 + id)

n – 1 =

1.480 [(1 + 0,0275)3– 1] = 115,68

(1 + id)n (1 + 0,0275)3

Resposta: O desconto obtido foi de R$ 115,68.

4. O valor do desconto composto de um título de R$ 8.000,00, descontado 7 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 3,6% ao mês, é de:

Resolução:F = 8.000D = ?id = 3,6 ÷ 100 = 0,036 ao mêsn = 7 mesesP = F ÷ (1 + id)

n

P = 8.000 ÷ (1 + 0,036)7

P = 6.245,56D = F – P

Resposta: O desconto obtido é de 8.000,00 – 6.245,56 = R$ 1.754,44.

UNIDADE 6 99

5. Uma duplicata, paga 5 meses antes do seu vencimento, com um desconto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 12.328,95. O valor da duplicata era de:

Resolução:F = ?P = 12.328,95id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mêsn = 5 mesesComo P = F ÷ (1 + id)

n

Logo, 12.328,95 = F ÷ (1 + 0,04)5

F = 12.328,95 × 1,216653F = 15.000,05

Resposta: O valor da duplicata era de R$ 15.000,05.

6. Um título pago 8 meses antes do seu vencimento, com um desconto composto de 2,4% ao mês, ficou reduzido a R$ 3.722,32. O valor do título era de:

Resolução:F = ?P = 3.722,32id = 2,4 ÷ 100 = 0,024 ao mêsn = 8 mesesP = F ÷ (1 + id)

n

Logo, 3.722,32 = F ÷ (1 + 0,024)8

3.722,32 = F ÷ (1,024)8 → 3.722,32 = F ÷ 1,208926F = 4.500,01

Resposta: O valor do título era de R$ 4.500,01.

7. Um título de valor nominal de R$ 12.600,00 foi resgatado 1 ano antes do seu vencimento a uma taxa de desconto composto de 1,75% ao mês. O valor atual do título é de:

Resolução: F = 12.600P = ?id = 1,75 ÷ 100 = 0,0175 ao mêsn = 1 ano = 12 mesesP = F ÷ (1 + id)

n

Então:P = 12.600 ÷ (1 + 0,0175)12

P = 12.600 ÷ 1,231439P = 10.231,93

Resposta: O Valor Atual do título é de R$ 10.231,93.


8. Uma letra de R$ 18.000,00 foi sacada 1 ano e meio antes do seu vencimento a uma taxa de desconto composto de 12% ao semestre. O valor atual da letra é de:

Resolução:F = 18.000P = ?id = 12% ÷ 100 = 0,1200 semestre (Alinhando taxa e prazo de antecipação)n = 1 ano e meio = 3 semestresP = F ÷ (1 + id)

n

Então: P = 18.000 ÷ (1 + 0,12)3

P = 18.000 ÷ 1,404928P = 12.812,04

Resposta: O Valor Atual da letra é de R$ 12.812,04.

9. Uma promissória de R$ 5.000,00, que vence em 150 dias, vai ser trocada por outra que vence em 2 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 2,5% ao mês, qual o valor da nova promissória?

Resolução:F = 5.000P = ?id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês150 dias = 5 meses n = 5 meses – 2 meses = 3 meses (antecipação)Como: P = F ÷ (1 + id)

n

P = 5.000 ÷ (1 + 0,025)3

P = 5.000 ÷ (1,025)3

P = 5.000 ÷ 1,076891P = 4.643,00

Resposta: O valor da nova promissória será de R$ 4.643,00.

10. Um título de R$ 27.000,00, que vence em 1 ano, será trocado por outro a vencer em 8 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 2,15% ao mês, o valor do novo título será de:

Resolução:F = 27.000P = ?id = 2,15 ÷ 100 = 0,0215 ao mês1 ano = 12 mesesn = 12 meses – 8 meses = 4 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P = 27.000 ÷ (1 + 0,0215)4

P = 27.000 ÷ (1,0215)4

P = 27.000,00 ÷ 1,088813P = 24.797,65

Resposta: O valor do novo título será de R$ 24.797,65.

UNIDADE 6 101

11. Dois títulos, um de R$ 2.300,00, a vencer em 8 meses, e outro de R$ 3.400,00, que vence em 6 meses, deverão ser resgatados por um só pagamento, dentro de 3 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 2,8% ao mês, seu valor de resgate será de:

Resolução:(1o título):F1 = 2.300P1 = ?id = 2,8 ÷ 100 = 0,028 a.m.n = 8 meses – 3 meses = 5 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P1 = 2.300 ÷ (1 + 0,028)5

P1 = 2.300 ÷ (1,028)5 P1 = 2.003,38

(2o título):F2 = 3.400P2 = ?id = 2,8 ÷ 100 = 0,028 a.m.n = 6 meses – 3 meses = 3 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P2 = 3.400 ÷ (1 + 0,028)3

P2 = 3.400 ÷ (1,028)3

P2 = 3.129,68

Resposta: O valor de resgate será de 2.003,38 + 3.129,68 = R$ 5.133,06.

12. Um título de valor nominal de R$ 4.000,00 foi descontado, a uma taxa de 60% ao ano, 1 ano antes do seu vencimento. Seu valor atual é de:

Resolução:F = 4.000P = ?id = 60 ÷ 100 = 0,60 a.a.n = 1 anoP = F ÷ (1 + id)

n

P = 4.000 ÷ (1 + 0,6)1

P = 4.000 ÷ (1,6)1 P = 2.500,00

Resposta: O Valor Atual é de R$ 2.500,00.

Comentário

Nos problemas de juros compostos, que não envolvam série de pagamentos, é muito mais fácil converter a unidade de tempo, do prazo (n), sem a necessidade do cálculo da taxa equivalente.


13. O valor do desconto composto sofrido por um título de R$ 200,00, resgatado um bimestre antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês, é de:

Resolução:F = 200D = ?id = 3 ÷ 100 = 0,03 a.m.n = 1 bimestre = 2 meses

D = F × [(1 + id)

n – 1] =

200 [(1 + 0,03)2 – 1 (1 + id)

n (1 + 0,03)2

D = 200 × [1,0609 – 1] = 12,18 1,0609 1,0609

D = 11,48

Resposta: O valor do desconto composto é R$ 11,48.

14. Duas promissórias, uma de R$ 650,00, que vence em 1 ano, e outra de R$ 1.230,00, a vencer em 10 meses, serão resgatadas por um só pagamento, dentro de 2 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 1,5% ao mês, o valor do pagamento único será de:

Resolução:(1a promissória):F1 = 650P1 = ?id = 1,5 ÷ 100 = 0,015 ao mês1 ano = 12 meses n = 12 meses – 2 meses = 10 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P1 = 650 ÷ (1 + 0,015)10

P1 = 650 ÷ 1,160541P1 = 560,08

(2a promissória):F2 = 1.230P2 = ?id = 1,5 ÷ 100 = 0,015 ao mêsn = 10 meses – 2 meses = 8 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P2 = 1.230 ÷ (1 + 0,015)8

P2 = 1.230 ÷ 1,126492P2 = 1.091,89

Resposta: O valor do pagamento único será de 1.091,89 + 560,08 = R$ 1.651,97.

UNIDADE 6 103

15. Um título de R$ 30.000,00 foi resgatado, 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto composto de 4,8% ao mês. O valor do desconto foi de:

Resolução:F = 30.000D = ?id = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mêsn = 4 meses

D = F × [(1 + id)n – 1]

(1 + id)n

D = 30.000 × [(1 + 0,048)4 – 1]

(1 + 0,048)4

D = 30.000 × [1,206272 – 1] = 6.188,145

1,206272 1,206272

D = 5.129,98

Resposta: O valor do desconto foi de R$ 5.129,98.


Anotações:

Fixando Conceitos 6

[1] O valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês, é de:

(a) R$ 718,31 (b) R$ 722,08 (c) R$ 739,08 (d) R$ 741,13 (e) R$ 748,19

[2] O valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, é de:

(a) R$ 489,56 (b) R$ 491,18 (c) R$ 499,18 (d) R$ 519,24 (e) R$ 558,19

[3] O desconto composto, que um título de R$ 5.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês, é de:

(a) R$ 339,00 (b) R$ 341,00 (c) R$ 347,00 (d) R$ 352,00 (e) R$ 357,00

[4] Um título no valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano. O desconto concedido foi de:

(a) R$ 95,23 (b) R$ 102,20 (c) R$ 107,10 (d) R$ 112,80 (e) R$ 116,20

[5] Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 369,54 como valor atual. Sabendo-se que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de desconto composto de 2% ao mês, o valor do desconto foi de:

(a) R$ 28,38 (b) R$ 30,46 (c) R$ 32,21 (d) R$ 38,18 (e) R$ 41,37

[6] Desejamos resgatar um título cujo valor nominal é de R$ 700,00, faltando, ainda, 3 meses para o seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês, o valor atual é de:

(a) R$ 619,71 (b) R$ 622,18 (c) R$ 631,36 (d) R$ 638,92 (e) R$ 641,18


Anotações:

Fixando Conceitos 6

[7] O valor atual de um título de R$ 4.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano, é de:

(a) R$ 2.892,30 (b) R$ 2.940,11 (c) R$ 2.952,15 (d) R$ 2.968,13 (e) R$ 3.002,60

[8] O valor nominal de um título é de R$ 2.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 28% ao ano, o valor descontado será de:

(a) R$ 1.391,22 (b) R$ 1.398,19 (c) R$ 1.407,13 (d) R$ 1.418,38 (e) R$ 1.468,99

[9] O valor do desconto composto de um título de valor nominal de R$ 620,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês, será de:

(a) R$ 81,19 (b) R$ 85,18 (c) R$ 88,92 (d) R$ 90,30 (e) R$ 92,41

[10] O desconto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto composto de 30% ao ano, foi de:

(a) R$ 609,77 (b) R$ 669,12 (c) R$ 673,74 (d) R$ 681,18 (e) R$ 690,20

[11] Uma dívida paga 5 bimestres antes do vencimento se reduziu a R$ 3.736,30, com uma taxa de 6% ao bimestre. O valor da dívida era de:

(a) R$ 4.000,00 (b) R$ 4.500,00 (c) R$ 5.000,01 (d) R$ 5.500,00 (e) R$ 6.000,00

[12] Paguei R$ 2.043,53 por um título, com um desconto de 3% ao mês, quatro meses antes do vencimento. O valor do título era de:

(a) R$ 2.100,00 (b) R$ 2.200,00 (c) R$ 2.300,01 (d) R$ 2.400,00 (e) R$ 2.500,00


Anotações:

Fixando Conceitos 6

[13] O valor atual do capital que, ao fim de 4 meses, equivale a R$ 600,00, à taxa de 2,5% ao mês, é de:

(a) R$ 537,48 (b) R$ 543,57 (c) R$ 549,12 (d) R$ 555,15 (e) R$ 560,10

[14] Um título de R$ 1.500,00 foi resgatado a 6 meses de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 6% ao bimestre, o valor atual é de:

(a) R$ 1.259,43 (b) R$ 1.262,38 (c) R$ 1.268,47 (d) R$ 1.272,72 (e) R$ 1.280,30

[15] Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 sofreu um desconto composto de 40% ao ano, 2 anos antes do vencimento. O valor atual é de:

(a) R$ 952,30 (b) R$ 964,50 (c) R$ 969,30 (d) R$ 972,80 (e) R$ 1.020,41

[16] Um título foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês por R$ 676,46, a 3 meses do seu vencimento. O valor do título era de:

(a) R$ 730,00 (b) R$ 740,00 (c) R$ 750,00 (d) R$ 760,00 (e) R$ 780,00

[17] Uma letra que foi paga 5 meses antes do seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 2.465,79. O valor da letra era de:

(a) R$ 2.800,00 (b) R$ 2.900,00 (c) R$ 2.950,00 (d) R$ 3.000,01 (e) R$ 3.100,00

[18] Um título foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do vencimento por R$ 2.303,70. A taxa trimestral de desconto foi de 4,5%. O valor do título era de:

(a) R$ 2.600,00 (b) R$ 2.700,00 (c) R$ 2.800,00 (d) R$ 2.900,00 (e) R$ 3.000,02


Anotações:

Fixando Conceitos 6

[19] Uma firma toma emprestada de um banco a importância de R$ 20.000,00, por um prazo de 10 meses, à taxa de 3,5% ao mês, em regime de juros compostos. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 3% ao mês, e desejando antecipar para 4 meses o pagamento, essa firma pagaria ao banco:

(a) R$ 23.425,30 (b) R$ 23.512,80 (c) R$ 23.627,09 (d) R$ 23.830,18 (e) R$ 23.929,15

[20] Um título no valor nominal de R$ 750,00, com vencimento em 5 meses, é trocado por outro com vencimento em 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 3% ao mês, o valor nominal do novo título é de:

(a) R$ 706,95 (b) R$ 709,18 (c) R$ 712,91 (d) R$ 714,15 (e) R$ 721,95

[21] Uma pessoa devedora de um título de R$ 1.000,00, a vencer em 6 meses, deseja substituí-lo por um outro com vencimento em 9 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 3% a.m., o valor nominal do novo título será de:

(a) R$ 1.077,15 (b) R$ 1.088,30 (c) R$ 1.092,73 (d) R$ 1.098,38 (e) R$ 1.102,30

[22] Um título de crédito, cujo valor nominal é de R$ 80.000,00, foi liquidado 3 meses antes do vencimento. Qual seu valor atual, sendo a taxa de desconto composto de 2% a.m.?

(a) R$ 74.694,13 (b) R$ 74.981,18 (c) R$ 75.015,90 (d) R$ 75.128,30 (e) R$ 75.385,79

[23] Um título foi quitado 5 meses antes do vencimento por R$ 56.000,00, sofrendo desconto composto de 2% a.m. O valor nominal desse título era de:

(a) R$ 61.657,30 (b) R$ 61.770,90 (c) R$ 61.828,52 (d) R$ 61.918,94 (e) R$ 62.080,30


Anotações:

Fixando Conceitos 6

[24] O valor atual de um título de valor nominal igual a R$ 90.000,00, liquidado 2 meses antes do vencimento, com taxa de desconto composto de 4% a.m., é de:

(a) R$ 83.109,06 (b) R$ 83.180,12 (c) R$ 83.210,06 (d) R$ 83.320,10 (e) R$ 83.380,12

[25] Qual é o valor atual de um título de R$ 12.000,00, à taxa de 9% a.m., descontado 8 meses antes do vencimento:

(a) R$ 5.990,12 (b) R$ 5.994,38 (c) R$ 6.008,13 (d) R$ 6.022,40 (e) R$ 6.080,41

[26] Por uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento em 3 anos e desconto composto de 20% ao ano, pagarei atualmente:

(a) R$ 8.591,15 (b) R$ 8.597,18 (c) R$ 8.610,28 (d) R$ 8.630,42 (e) R$ 8.680,56

[27] Uma letra que foi paga 4 meses antes do vencimento, com um desconto composto de 9% a.m., reduziu-se a R$ 75.600,00. O valor da letra era de:

(a) R$ 105.600,18 (b) R$ 105.720,91 (c) R$ 106.680,38 (d) R$ 106.715,57 (e) R$ 106.820,30

[28] Um título disponível, ao fim de 8 meses, foi descontado a juros compostos de 11% a.m. e se reduziu a R$ 12.700,00. O valor do título era de:

(a) R$ 29.242,31 (b) R$ 29.255,91 (c) R$ 29.267,63 (d) R$ 29.278,13 (e) R$ 29.283,15

[29] Um título de R$ 85.000,00 é descontado 5 meses antes do vencimento a 8% a.m. Qual o desconto composto retido no resgate?

(a) R$ 27.080,92 (b) R$ 27.150,43 (c) R$ 27.220,12 (d) R$ 27.320,48 (e) R$ 27.381,15


Anotações:

Fixando Conceitos 6

[30] Antecipando em 6 meses o pagamento de um título, um corretor obteve um desconto racional composto, calculado com base na taxa de 2% a.m. Sendo R$ 25.000,00 o valor nominal do título, o corretor pagou por ele (desconsidere os centavos):

(a) R$ 18.750,00 (b) R$ 22.000,00 (c) R$ 22.199,00 (d) R$ 23.800,00 (e) R$ 24.500,00

[31] Havendo a possibilidade de ganhar 2% a.m., o desconto racional composto que se deve exigir na compra de um título no valor nominal de R$ 12.600,00, vencível em 4 meses, é de:

(a) R$ 252,60 (b) R$ 504,44 (c) R$ 787,50 (d) R$ 959,55 (e) R$ 1.008,42

UNIDADE 7 111


• Identificar as características das séries uniformes.

• Calcular o valor presente de séries uniformes.

• Calcular o valor das prestações de séries uniformes.

SÉRIESUNIFORMES

UNIDADE 7 113

SÉRIES DE PAGAMENTOSÉ o nome dado à sequência finita ou infinita de “pagamentos”, em datas previamente estipuladas, sendo cada ocorrência denominada termo da série ou ainda termo da anuidade. De um modo geral, as séries têm por objetivo a quitação de empréstimo (amortização) de forma parcelada, ou a formação de um montante (capitalização) para utilização futura.

Exemplo

Determinada instituição financeira concede, hoje, um empréstimo a uma empresa no valor de R$ 100,00, o qual deve ser pago em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de R$ 25,00, vencendo a primeira dentro de um mês. A representação do DFC (Diagrama de Fluxo de Caixa) tem duas óticas:

• a da instituição que empresta; e• a da empresa.

Instituição

Empresa

R$ 25R$ 25 R$ 25 R$ 25 R$ 25

0 1 2 3 4 5 mesesR$ 100

R$ 25 R$ 25 R$ 25 R$ 25 R$ 25

0 1 2 3 4 5 meses

R$ 100

AtençãoNeste caso, tanto para a amortização quanto para a capitalização, as prestações ou as amor tizações estão pagando/rendendo juros a cada período. Para as séries de pagamento, cada período terá uma entrada ou saída de caixa, diferentemente das unidades anteriores, quando considerávamos o capital “parado” por “n” períodos, sendo movimentado apenas no fi nal do prazo.


CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIESAs séries de pagamento podem ter características diversas, de acordo com a forma negociada:

• Quanto ao número de termos:

– finitas: no caso de existir uma última prestação. Existe um número limitado de prestações; e

– infinitas: quando não existir uma última prestação. Neste caso, a série chama-se perpetuidade.

• Quanto à natureza:

– uniformes: quando todos os termos forem iguais. Também chamadas de constante ou, ainda, de renda fixa; e

– não uniformes: quando os termos forem diferentes. Também chamadas de renda variável.

• Quanto ao intervalo entre os seus termos:

– periódicas: quando o intervalo entre seus termos for constante; e

– não periódicas: quando o intervalo não for constante.

• Quanto ao vencimento de seus termos:

– postecipadas: quando os termos posicionam-se no final de cada período; e

– antecipadas: quando os termos posicionam-se no início de cada período.

• Quanto à ocorrência do primeiro termo:

– imediata: quando o primeiro termo ocorrer no primeiro período; e

– diferidas: quando o primeiro termo só ocorrer após alguns períodos, ou seja, quando houver uma carência. A este prazo chama-se: diferimento da anuidade, ou prazo de diferimento, ou, ainda, prazo de carência.

A modalidade aqui apresentada reflete o sistema de amortização mais utilizado no Brasil. É caracterizado por ter as prestações uniformes (iguais) e com o intervalo de tempo constante. O primeiro pagamento ocorrerá no início do período (antecipada) ou ao final do período (postecipada).

UNIDADE 7 115

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO OU CDC

Nesse tipo de amortização, à medida que o financiamento é amortizado (pago), a composição entre valor amortizado e quantidade de juros, inclusa em cada prestação, vai se alterando. Com o correr do tempo, vai se amortizando mais e pagando-se menos juros. Uma das modalidades que adota este tipo de pagamento é o chamado crédito direto ao consumidor (CDC).

Nesta modalidade, a primeira prestação ocorre no final do período, ou seja, o pagamento é postecipado.

Um caso particular do Sistema Francês de Amortização é a Tabela Price. Neste sistema, no cálculo das prestações utiliza-se a taxa proporcional no lugar da taxa equivalente.

O Sistema Francês de Amortização ou CDC é o mais utilizado pelas instituições financeiras e o comércio em geral.

METODOLOGIA DE CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES NO CDC

Onde: P = valor a ser financiado, ou seja o Valor Presentei = taxa de juros do períodon = períodos de capitalizaçãoPMT = valor das prestações uniformes (iguais)

PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]


1. Um empréstimo de R$ 12.000,00 foi pago em 8 prestações mensais, a primeira daqui a 1 mês, a uma taxa de 4,5% ao mês. O valor das prestações é de:

P = 12.000i = 4,5 ÷ 100 = 0,045 ao mêsn = 8 mesesPMT = ?PMT = P × i ( (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]

Então:PMT = 12.000 × 0,045 × (1 + 0,045)8 ÷ [(1 + 0,045)8 – 1]PMT = 767,9343309 ÷ 0,422100611PMT = 1.819,32

Resposta: O valor de cada uma das 8 prestações é de R$ 1.819,32.

Veja outras nomenclaturasna Tabela (Anexo 1).


Solução utilizando a calculadora financeira HP 12C®:

Digitar Valor

Clicar Tecla

Aparece no Visor Entendimento

f CLx Limpar Pilha

f X<>Y Limpar Registros Financeiros

g 8 Desligar o BEGIN Pagamento Postecipado

12000 CHS -12.000,00 Trocar sinal do Valor Presente

PV -12.000,00 Armazenar Valor Presente

4,5 i 4,50 Armazenar Taxa

8 n 8,00 Armazenar Número de Períodos

PMT 1.819,32 Apresentar Valor Prestação

2. Um terreno foi comprado por R$ 28.000,00, dando o novo proprietário uma entrada de R$ 8.000,00 e o restante em 10 prestações mensais a uma taxa de 4% ao mês. O valor das prestações é de:

Apenas uma parte do valor total do terreno será financiada. O cálculo da prestação incidirá apenas sobre essa parte:

P = 28.000 – 8.000 = 20.000i = 4% ÷ 100 = 0,04 ao mêsn = 10 mesesPMT = ?PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]PMT = 20.000 × 0,04 × (1 + 0,04)10 ÷ [(1 + 0,04)10 – 1]PMT = 1.184,195728 ÷ 0,480244PMT = 2.465,82

Resposta: O valor das prestações é de R$ 2.465,82.

3. Um apartamento foi financiado em 20 prestações mensais de R$ 1.824,00, a uma taxa de 6% ao mês. O valor do apartamento à vista é de:

Nesse caso, como já se conhece o valor das prestações, basta substituí-lo, na fórmula, pelo valor conhecido. P = ?i = 6 ÷ 100 = 0,06 a.m.n = 20 mesesPMT = 1.824PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]1.824 = P × 0,06 × (1 + 0,06)20 ÷ [(1 + 0,06)20 – 1]1.824 = P × 0,192428 ÷ 2,2071351.824 = P × 0,087185P = 20.921,15

Resposta: O valor à vista do apartamento é de R$ 20.921,14.

UNIDADE 7 117

4. Um curso de inglês a distância custa R$ 8.000,00 à vista, podendo, também, ser pago em 12 prestações mensais, a uma taxa de juros de 3,2% ao mês. O valor de cada mensalidade do curso é de:

P = 8.000i = 3,2 ÷ 100 = 0,032 ao mêsn = 12 mesesPMT = ?PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]PMT = 8.000 × 0,032 × (1 + 0,032)12 ÷ [(1 + 0,032)12 – 1]PMT = 373,590938 ÷ 0,459340PMT = 813,32

Resposta: O valor da mensalidade é de R$ 813,32.

5. Um empréstimo de R$ 14.000,00 foi pago em 6 prestações mensais, a uma taxa de 18% ao ano. Qual o valor pago por mês?

P = 14.000

Usando a fórmula para equalizar as taxas de juros compostos:Menor: mês – maior: Ano – Relação conversão = 121 + I = (1 + i)n

1 + 18 = (1 + i)12

100

(1,18)1/12 = 1 + ii = 0,013888i = 1,388843% a.m.n = 6 mesesPMT = ?PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]PMT = 14.000 × 0,013888 × (1 + 0,013888)6 ÷ [(1 + 0,013888)6 – 1]PMT = 211,20 ÷ 0,086275PMT= 2.448,06

Resposta: O valor da prestação é de R$ 2.448,06.

Isto é básicoNos problemas de séries uniformes, precisamos, necessariamente, encontrar a taxa equivalente à unidade de tempo, do período de capitalização, dada pelo problema.


Anotações:

Fixando Conceitos 7

[1] Um empréstimo de R$ 20.000,00 vai ser pago, sem carência, pelo CDC, em 6 parcelas à taxa de 4% a.m. O valor da prestação será de:

(a) R$ 3.720,15 (b) R$ 3.781,12 (c) R$ 3.815,24 (d) R$ 3.920,18 (e) R$ 3.980,26

[2] Ao comprar uma casa no valor de R$ 32.000,00, à vista, uma pessoa deu R$ 20.000,00 de entrada e pagou o restante, financiado pelo CDC, em 10 parcelas fixas mensais a uma taxa de 30% ao ano. O valor da prestação foi de:

(a) R$ 1.350,64 (b) R$ 1.392,80 (c) R$ 1.412,40 (d) R$ 1.451,20 (e) R$ 1.482,30

[3] Uma TV 29 polegadas custa R$ 1.325,00 à vista ou em 6 prestações mensais, pelo CDC, a uma taxa de 5,2% ao mês. O valor das prestações é de:

(a) R$ 260,20 (b) R$ 262,72 (c) R$ 271,20 (d) R$ 278,30 (e) R$ 281,32

[4] O seguro de um carro foi pago em 8 prestações mensais de R$ 112,30. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 7% ao mês, o valor do seguro, se fosse pago à vista, seria de:

(a) R$ 650,12 (b) R$ 670,58 (c) R$ 678,18 (d) R$ 689,41 (e) R$ 698,12

[5] Uma escola cobra de anuidade, para um aluno de ensino médio, o valor de R$ 3.250,00 à vista ou parcelado em 12 mensalidades, a uma taxa de juros de 4,2% ao mês. Neste caso, o valor da mensalidade é de:

(a) R$ 329,12 (b) R$ 331,14 (c) R$ 341,15 (d) R$ 346,12 (e) R$ 350,33

[6] Um telefone celular foi comprado da seguinte forma: R$ 300,00 de entrada e o restante em 6 prestações mensais de R$ 188,00. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 5,75% ao mês, o preço à vista do telefone era de:

(a) R$ 957,42 (b) R$ 1.083,24 (c) R$ 1.150,11 (d) R$ 1.231,76 (e) R$ 1.391,63


Anotações:

Fixando Conceitos 7

[7] Uma casa, no valor de R$ 60.000,00, foi comprada com 30% de entrada e o restante em 10 prestações mensais a uma taxa de 2,5% ao mês. O valor das prestações foi de:

(a) R$ 4.679,32 (b) R$ 4.798,87 (c) R$ 4.871,12 (d) R$ 4.912,24 (e) R$ 4.980,28

[8] O seguro de um carro custa R$ 1.500,00 à vista ou parcelado, pelo CDC, a uma taxa de 2,75% ao mês. O valor da prestação desse seguro, pago em 6 parcelas mensais, será de:

(a) R$ 250,47 (b) R$ 262,30 (c) R$ 274,61 (d) R$ 288,30 (e) R$ 291,18

[9] Um Palio custa à vista aproximadamente R$ 12.900,00. Se uma pessoa pagar 20% de entrada e o restante em 12 parcelas fixas, a uma taxa de 2,5% ao mês, o valor dessas prestações será de:

(a) R$ 972,13 (b) R$ 981,12 (c) R$ 990,14 (d) R$ 998,12 (e) R$ 1.006,07

[10] Um plano de saúde tem custo anual de R$ 15.000,00 para uma família de 4 pessoas. Se a família puder pagar o plano em 6 prestações bimestrais, à taxa de 2,6% ao mês, o valor da prestação será de:

(a) R$ 2.882,21 (b) R$ 2.974,19 (c) R$ 2.980,60 (d) R$ 3.002,20 (e) R$ 3.008,24

[11] O uniforme do maior clube do Brasil, autografado pelo maior artilheiro do mundo na atualidade, custa R$ 400,00 à vista ou pode ser financiado, pelo CDC, em 5 parcelas fixas, à taxa de juros de 1,2% ao mês. O valor da prestação que o torcedor pagará pelo uniforme é de:

(a) R$ 82,90 (b) R$ 88,30 (c) R$ 92,30 (d) R$ 95,40 (e) R$ 101,12

[12] O preço de uma geladeira é de R$ 820,00 à vista ou pode ser a prazo, pelo CDC, em 5 prestações mensais, a uma taxa de juros de 132% ao ano. Se o comprador der de entrada 23% do valor, qual o valor de cada prestação?

(a) R$ 155,09 (b) R$ 162,13 (c) R$ 170,83 (d) R$ 180,12 (e) R$ 191,15


Anotações:

Fixando Conceitos 7

[13] Uma televisão foi comprada, pelo CDC, em 6 prestações mensais de R$ 102,28. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 156% ao ano, o preço à vista era de:

(a) R$ 401,15 (b) R$ 408,86 (c) R$ 409,24 (d) R$ 431,12 (e) R$ 470,71

[14] Um fogão foi comprado, pelo CDC, em 5 prestações mensais de R$ 72,57. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 252% ao ano, e que foi dada uma entrada de 12% do valor, o preço à vista do fogão era de:

(a) R$ 212,33 (b) R$ 222,30 (c) R$ 239,40 (d) R$ 241,29 (e) R$ 304,35

[15] Um empréstimo de R$ 2.100,00 foi pago em 15 prestações mensais, a uma taxa de 9% ao mês. O valor das prestações foi de:

(a) R$ 260,52 (b) R$ 290,32 (c) R$ 297,49 (d) R$ 301,90 (e) R$ 320,57

[16] Um empréstimo de R$ 20.000,00 vai ser pago, sem carência, pelo CDC, em 5 parcelas à taxa de 3% a.m. O valor da prestação será de:

(a) R$ 3.825,20 (b) R$ 3.974,12 (c) R$ 4,016,24 (d) R$ 4.220,18 (e) R$ 4.367,09

[17] Ao comprar um carro no valor de R$ 55.000,00, à vista, uma pessoa deu 20% de entrada e pagou o restante, financiado pelo CDC, em 8 parcelas fixas mensais a uma taxa de 4% ao mês. O valor da prestação foi de:

(a) R$ 5.517,58 (b) R$ 5.987,64 (c) R$ 6.200,06 (d) R$ 6.535,22 (e) R$ 6.879,30

[18] O seguro de um carro foi pago em 7 prestações mensais de R$ 1.728,20. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 5% ao mês, o valor do seguro, se fosse pago à vista, seria de:

(a) R$ 9.500,00 (b) R$ 10.000,00 (c) R$ 11.000,00 (d) R$ 12.000,00 (e) R$ 12.500,00


Anotações:

Fixando Conceitos 7

[19] Um curso cobra cada parcela de R$ 2.000,00, em 9 vezes, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Sabendo que no pagamento à vista há um desconto de 30%, o valor do desconto seria de:

(a) R$ 3.849,12 (b) R$ 4.331,14 (c) R$ 4.897,34 (d) R$ 5.256,12 (e) R$ 5.550,33

[20] Um telefone celular foi comprado, pelo CDC, em 3 prestações mensais de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros anual foi de 34,49%, o preço à vista do telefone era de:

(a) R$ 1.964,56 (b) R$ 2.856,02 (c) R$ 3.450,11 (d) R$ 3.689,12 (e) R$ 4.000,00

UNIDADE 8 123


• Calcular rendas certas ou anuidades por tempo determinado e perpétuas.

• Calcular rendas certas ou anuidades imediatas postecipadas, antecipadas e diferidas.

• Calcular valor das parcelas (recebimento ou pagamento) das rendas certas ou anuidades.

• Calcular o valor atual das rendas certas ou anuidades.

• Calcular o valor futuro ou montante das rendas certas ou anuidades.

RENDAS CERTASOU ANUIDADES

UNIDADE 8 125

C hamamos de renda certa ou anuidade uma sucessão, finita ou infinita de pagamentos G1, G2, ..., pagamentos estes chamados de termos da anuidade e que devem ocorrer em datas preestabelecidas, t1, t2...

Quando o número de termos da série for finito, chama-se anuidade temporária. Porém, se o número de termos da anuidade for infinito, chama-se anuidade perpétua.

VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADEEntendemos o valor atual de uma anuidade como sendo a soma dos valores atuais dos seus termos, em uma mesma data focal (Data 0), e a uma mesma taxa de juros.

Chamaremos v = 1/(1 + i) de Desconto Financeiro.

Anuidade Temporária por “n” Anos

• Imediata e Postecipada – série de pagamentos em que o 1o ocorre um período após a compra. Usa-se a fórmula:

Ap = 1 – vn × (R ou G) ou PMT = P × (1 + i)n × i

i (1 + i)n – 1

ou

P = PMT × (1 + i)n – 1

(1 + i)n × i

Onde: (fórmula apresentada em cálculoAp = valor atual da série das prestações no CDC) v = desconto financeiro n = número de termos i = taxa de juros R = recebimentoG = pagamento

A

0

G ........................ G

n1

G1 Gn

t1 tn t

AnuidadeFluxo de caixa constante que ocorre em intervalos regulares por um período fi xo de tempo.

ComentárioO Sistema Francês de Amortização ou CDC é uma Anuidade temporária por “n” anos, imediata e postecipada.

Veja outras nomenclaturasna Tabela (Anexo 1)


Exemplo

Uma pessoa compra um televisor de 20 polegadas que irá pagar em quatro prestações de R$ 200,00, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do final do mês da compra (Pagamento Postecipado) e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. O preço do objeto à vista é?

n = 4G = 200,00i = 2% a.m. = 0,02Ap = ?

Ap = 1 – vn × (R ou G)

i

Ap = 1 – [1/(1+0,02)4] × 200 = 1 – [1/1,082432] × 200 0,02 0,02

Ap = 761,55

Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©

Digitar Valor

Clicar Tecla


f CLx 0,00 Limpar Pilha

f X<>Y 0,00 Limpar Registros Financeiros

g 8 0,00 Desativar função BEGIN

200 CHS -200,00 Trocar sinal do Termo

PMT -200,00 Armazenar o Termo da Série (Pagamento)

2 i 2,00 Armazenar Taxa

4 n 4,00 Armazenar Número Períodos

PV 761,55 Apresentar Valor Atual da Série

• Imediata e Antecipada – série de pagamentos em que o 1o ocorre no momento da compra. Usa-se a fórmula:

Ap = (1 + i)n – 1 × (R ou G) i × (1 + i)n-1

Onde:Ap = valor atual da sérien = número de termos i = taxa de jurosR = recebimentoG = pagamento

A

G ................................. G

n1

UNIDADE 8 127

Exemplo

Uma pessoa compra um televisor de 20 polegadas, que irá pagar em 4 prestações de R$ 196,08. As prestações serão pagas a partir do momento da compra (Pagamento Antecipado) e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. O preço do objeto à vista é?

n = 4G = 196,08i = 2% a.m. = 0,02Ap = ?

Ap = (1 + i)n – 1 × (R ou G) i × (1 + i)n – 1

Ap = (1 + 0,02)4 – 1 × 196,08 = 1,082432 – 1 × 196,08 0,02 × (1 + 0,02)4 – 1 0,02 × 1,061208

Ap = 761,55


Digitar Valor

Clicar Tecla




g 7 Begin Ativar Função BEGIN

196,08 CHS -196,08 Trocar sinal do Termo

PMT -196,08 Armazenar Termo da Série



PV 761,55 Apresentar Valor Atual da Série

Observação

Note que, nos dois exemplos anteriores, um televisor de 20 polegadas, apesar de ter o mesmo valor à vista, as parcelas não são iguais, devido às formas diferentes dos financiamentos contratados.


• Diferida por “m” anos – nesse caso, o 1o pagamento só ocorre em prazos superiores a um período, ou seja, a carência deve ser superior a um período. Usa-se a fórmula:

Ap = 1 × 1 – vn × (R ou G)

(1 + i)m – 1 i

Onde:Ap = valor atual da sérien = número de termosm = prazo de carênciai = taxa de jurosv = desconto financeiro R = recebimentoG = pagamento

Exemplo

Uma pessoa compra um automóvel e irá pagá-lo em quatro prestações mensais de R$ 2.626,24. As prestações serão pagas a partir do quarto mês da compra (4 meses de carência). O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. Qual é o preço do automóvel à vista?

Solução 1:

G = 2.626,24n = 4 mesesm = 4 meses (tempo de carência)i = 2,0% a.m.Ap = ?

Ap = 1 × 1 – vn × (R ou G)

(1 + i)m – 1 i

vn = 1 = 1 = 1 = 0,923845 (1 + i)n (1 + 0,02)4 1,082432

Ap = 1 × 1 – 0,923845 × 2.626,24 (1 + 0,02)4 – 1 0,02

Ap = 0,942322 × 3,80775 × 2.626,24 = 9.423,23

Ap

0

G ........................ G

71 2 3 4 5 6

UNIDADE 8 129

Solução 2:

Após observarmos o fluxo de caixa, podemos resolver este problema trazendo os pagamentos para o terceiro mês, utilizando a fórmula da Anuidade Temporária por “n” anos imediata e postecipada:

Ap = ( 1 – vn) × (R ou G)

i

1

Ap = ( 1 – vn) × G = ( 1 – (1,02)4

) × 2.626,24 i 0,02

Ap = 3,8077 × 2.626,24 = 10.000

Posteriormente, traremos o valor obtido no terceiro mês para a data focal zero, mas nos valendo da fórmula: F = P (1 + i)n.

Sabemos que: P = F , logo: (1 + i)n

P = 10.000 = 9.423,23 (1,02)3

Veja o fluxo de caixa pronto deste exemplo:

Ap2 = 9.423,23

0

G ........................ G

71 2 3 4 5 6

{ {

Ap1 = 10.000,01

4 meses de carência

3 meses dedesconto

G = 2.626,24

)



A solução de problemas ligados a prazos de carência deve ser realizada em duas etapas. Primeiramente, resolvemos a área que contém os termos da série e, depois, a área do prazo de carência. Vejamos como:

Digitar Valor

Clicar Tecla

Aparece no Visor

Entendimento

1a Parte



g 8 Desativar Função BEGIN

2.626,24 CHS -2.626,24 Trocar sinal do Termo

PMT -2.626,24 Armazenar Termo da Série



PV 10.000,01 Apresentar Valor Atual da Série no terceiro mês

f X<>Y 10.000,01 Limpar Registros Financeiros

CHS -10.000,01 Trocar o sinal do valor encontrado na 1a parte

FV -10.000,01 Armazenar o valor encontrado na 1a parte do problema na

Função Valor Futuro


3 n 3,00 Armazenar no Períodos relativos a antecipação

PV 9.423,23 Aparece o Valor Atual da Série no início do investimento

Anuidade Perpétua

• Imediata Postecipada – somatório de um número infinito de termos de uma série cujos pagamentos acontecem no final do período. Usa-se a fórmula:

Ap = (1) × (R ou G)

i

Onde:Ap = valor atual da sériei = taxa de jurosR = recebimentoG = pagamento

UNIDADE 8 131

Exemplo

Se um apartamento está rendendo um aluguel de R$ 600,00 ao mês e se a melhor aplicação no mercado financeiro é de 2% a.m., a primeira estimativa do valor do imóvel, considerando o recebimento do aluguel no final do período é de?

R = 600,00i = 2% a.m. = 0,02Ap = ?

Ap = (1) × (R ou G)

i

Ap = (1) × 600 = 1 × 600 0,02 0,02

Ap = 30.000,00


Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no

Visor Entendimento







9999999 n 9999999 Armazenar Número Períodos

PV 30.000,00 Apresentar Valor Atual da Série

• Imediata e Antecipada – somatório de um número infinito de termos de uma série cujos pagamentos acontecem no início do período. Usa-se a fórmula:

Ap = (1 + i) × (R ou G) i

Onde:Ap = valor atual da sérien = número de termosi = taxa de jurosR = recebimentoG = pagamento

×


Exemplo

Se um apartamento está rendendo um aluguel de R$ 600,00 ao mês e se a melhor aplicação no mercado financeiro é de 2% a.m., qual seria a primeira estimativa do valor do imóvel, considerando o recebimento do aluguel no início do período?

n = infinitoR = 600,00i = 2% a.m. = 0,02Ap = ?

Ap = (1 + i) × (R ou G) i

Ap = (1 + 0,02) × 600 = 1,02 × 600 0,02 0,02

Ap = 30.600,00



Visor Entendimento


f X<>Y 0,00 Limpar Registros

Financeiros






PV 30.600,00 Apresentar Valor Atual da Série

UNIDADE 8 133

VALOR DO MONTANTE OU VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE

Chamamos de montante da anuidade a soma dos valores dos montantes de seus termos, considerando uma taxa de juros e uma data focal.

t1 tn Data focal t

Montante das Anuidades por Prazo Certo de “n” Anos

• Postecipada – somatório do número finito dos montantes dos termos de uma série cujos pagamentos acontecem no final do período. Usa-se a fórmula:

SF = [(1 + i)n – 1] × (R ou G) i

Onde:SF = montante da sérien = número de termos i = taxa de jurosR = recebimentoG = pagamento

Exemplo

Calcular o montante de uma anuidade postecipada de R$ 5.000,00, a uma taxa de 2% a.m., durante 24 meses.

n = 24 meses R = 5.000,00 i = 2% a.m. = 0,02SF = ?

SF = [(1 + i)n – 1] × (R ou G) i

SF = [(1 + 0,02)24 – 1] × 5.000,00 0,02

SF = 0,608437 × 5.000,00 0,02

SF = 152.109,31




Visor Entendimento




5000 CHS -5.000,00 Trocar sinal do Termo




FV 152.109,31 Apresentar Valor do Montante da Série

• Antecipada – somatório do número finito dos montantes dos termos de uma série cujos pagamentos acontecem no início do período. Usa-se a fórmula:

SF = (1+ i) × [(1 + i)n – 1] × (R ou G) i

Onde:SF = montante da sérien = número de termos i = taxa de jurosR = recebimentoG = pagamento

UNIDADE 8 135

Exemplo

Calcular o montante de uma anuidade antecipada de R$ 5.000,00, a uma taxa de 2% a.m., durante 24 meses.

n = 24 meses R = 5.000,00 i = 2% a.m. = 0,02SF = ?

SF = (1 + i) × [(1 + i)n – 1] × (R ou G) i

SF = (1 + 0,02) × [(1 + 0,02)24 – 1] × 5.000,00 0,02

SF = 1,02 × 30,421862 × 5.000,00SF = 155.151,50



Visor Entendimento




5000 CHS -5.000,00 Trocar sinal do Termo




FV 155.151,50 Apresentar Valor do Montante da Série

MATEMÁTICA FINANCEIRA136 MMATEMÁTICA FINANCEIRA136


Anotações:

Fixando Conceitos 8

[1] As rendas certas ou anuidades obedecem a um conjunto de critérios de classificação. Quanto ao número de termos, elas podem ser:

(a) Periódicas e não periódicas(b) Antecipada ou postecipada(c) Uniformes ou não uniformes(d) Temporárias ou perpétuas(e) Temporárias e não periódicas

[2] Uma pessoa compra um carro e irá pagá-lo em 36 prestações mensais de R$ 450,00, sem entrada. A primeira prestação será paga um mês após a compra, e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m.. O preço do automóvel à vista, desprezando-se os centavos é?

(a) R$ 8.000,00 (b) R$ 9.000,00 (c) R$ 9.130,00(d) R$ 15.652,00 (e) R$ 16.200,00

[3] Uma pessoa compra um automóvel e paga, à vista, aproximadamente R$ 15.650,00. Suponha que tal pessoa desejasse pagar o automóvel em 36 parcelas mensais, a uma taxa de juros compostos de 2,95% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da compra. O valor da prestação a ser paga é de?

(a) R$ 430,72 (b) R$ 434,72 (c) R$ 440,00(d) R$ 441,00 (e) R$ 691,10

[4] Um empresário de sucesso adquiriu um conjunto de salas que rende um aluguel de R$ 80.000,00 ao mês. Se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 2,35% a.m., o valor estimado do conjunto de salas, admitindo-se que o aluguel é pago no final do mês, é de?

(a) R$ 3.000.000,00 (b) R$ 3.200.000,15 (c) R$ 3.404.255,32(d) R$ 3.600.255,64 (e) R$ 3.604.255,30

[5] Calcular o montante de uma anuidade postecipada de R$ 1.000,00, a uma taxa de juros de 2,5% a.m., durante 36 meses:

(a) R$ 36.078,01 (b) R$ 36.902,36 (c) R$ 40.315,25(d) R$ 50.316,43 (e) R$ 57.301,41


Anotações:

Fixando Conceitos 8

[6] Flavia comprou um computador em 6 prestações mensais de R$ 600,00. A 1a prestação será paga 1 mês após a compra. O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m.. O preço do computador à vista é:

(a) R$ 2.900,45 (b) R$ 3.100,47 (c) R$ 3.304,88(d) R$ 3.512,20 (e) R$ 6.600,00

[7] Calcular o montante de uma anuidade antecipada de R$ 500,00, a uma taxa de juros de 1,5% a.m., durante 20 meses:

(a) R$ 7.450,99 (b) R$ 8.220,30 (c) R$ 9.550,28(d) R$ 10.000,00 (e) R$ 11.735,26

[8] Mariana deseja receber uma renda mensal de R$ 3.000,00. Supondo que a renda não seja extinta com sua morte e que a taxa da melhor aplicação é de 1% a.m., a primeira estimativa do valor necessário para gerar a renda desejada, considerando aquele recebimento no final de cada mês é de:

(a) R$ 250.000,00 (b) R$ 280.000,00 (c) R$ 300.000,00(d) R$ 310.000,00 (e) R$ 350.000,00

[9] Sabendo-se que a primeira estimativa do valor de um determinado imóvel é de R$ 30.600,00, para que se possa obter um aluguel mensal de R$ 600,00, a taxa desse investimento, se o aluguel for recebido no início de cada mês, será de:

(a) 1,52% a.m. (b) 1,86% a.m. (c) 1,96% a.m.(d) 2,00% a.m. (e) 2,50% a.m.

[10] Um investidor fez 12 aplicações consecutivas de valor unitário e de periodicidade mensal (Série Antecipada), capitalizando integralmente cada um desses valores. Sabendo que a taxa de juros compostos utilizados nas aplicações foi de 2,35% a.m., calcule o montante obtido pelo investidor:

(a) R$ 9,73 (b) R$ 9,90 (c) R$ 10,16 (d) R$ 14,00 (e) R$ 16,00

[11] Uma pessoa compra um computador e irá pagá-lo em 8 prestações mensais de R$ 534,34, sem entrada. A primeira prestação será paga 1 mês após a compra, e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m.. O preço do computador à vista é:

(a) R$ 4.000,00 (b) R$ 5.000,00 (c) R$ 5.500,00 (d) R$ 6.000,00 (e) R$ 6.500,00


Anotações:

Fixando Conceitos 8

[12] Uma pessoa adquire um automóvel e paga, à vista, R$ 12.000,00. Suponha que tal pessoa desejasse pagar o automóvel em 5 parcelas mensais, a taxa de juros compostos de 3% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da compra. O valor da prestação a ser paga seria de:

(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.543,94 (c) R$ 2.749,12 (d) R$ 3.445,04 (e) R$ 3.664,77

[13] Uma ação paga, de dividendos, R$ 20.000,00 todo final de ano. Admitindo-se uma taxa de retorno de 4% a.a., o valor teórico do preço atual dessa ação é de:

(a) R$ 300.000,00 (b) R$ 400.000,00 (c) R$ 500.000,00 (d) R$ 502.000,00 (e) R$ 600.000,00

[14] Calcular o montante de uma anuidade postecipada de R$ 2.000,00, a uma taxa de juros de 1% a.m., durante 12 meses:

(a) R$ 16.109,02 (b) R$ 25.365,01 (c) R$ 30.548,22 (d) R$ 42.558,64 (e) R$ 44.025,36

[15] Calcular o montante de uma anuidade antecipada de R$ 1.000,00, a uma taxa de juros de 2% a.m., durante 24 meses:

(a) R$ 28.215,69 (b) R$ 30.002,58 (c) R$ 31.030,30 (d) R$ 40.301,22 (e) R$ 42.039,03

[16] Você deseja adquirir um plano de Previdência que deva lhe proporcionar uma renda anual para a vida inteira, começando daqui a 1 ano, no valor de R$ 5.000,00. Admitindo-se uma taxa anual de 10%, calcule quanto você deve depositar hoje:

(a) R$ 38.500,00 (b) R$ 40.000,00 (c) R$ 45.500,00 (d) R$ 50.000,00 (e) R$ 50.500,00

[17] Uma pessoa adquire um bem parcelado em 6 vezes de R$ 1.400,20, a uma taxa de juros compostos de 2% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da compra. O valor do bem à vista é de:

(a) R$ 4.000,00 (b) R$ 5.000,00 (c) R$ 6.000,00 (d) R$ 7.000,00 (e) R$ 8.000,00


Anotações:

Fixando Conceitos 8

[18] Mario deseja viajar em dezembro do corrente ano e, desde janeiro desse mesmo ano, deposita mensalmente R$ 1.800,00. Supondo que a retirada ocorra em dezembro e a taxa de juros seja de 1,5% a.m., determine de quanto será o resgate:

(a) R$ 23.474,18 (b) R$ 28.002,36 (c) R$ 30.418,25 (d) R$ 32.749,11 (e) R$ 35.000,35

[19] Angela deseja viajar em janeiro do próximo ano e o valor da viagem será de R$ 30.000,00, o qual será retirado em janeiro. Admitamos que foram feitos 15 depósitos mensais e iguais, antecipadamente, isto é, o último ocorrerá em dezembro do corrente ano, a uma taxa de 1% ao mês. Determine o valor dos depósitos:

(a) R$ 1.485,21 (b) R$ 1.845,26 (c) R$ 2.005,21 (d) R$ 2.410,25 (e) R$ 3.152,44

[20] Um investidor fez 10 aplicações consecutivas obtendo, postecipadamente, o montante de R$ 15.981,16. Sabendo que a taxa de juros compostos utilizados nas aplicações foi de 1,4% a.m., calcule o valor das aplicações:

(a) R$ 1.000,00 (b) R$ 1.500,00 (c) R$ 2.000,00 (d) R$ 2.500,00 (e) R$ 3.000,00


Anotações:

Testando Conhecimentos

[1] Uma empresa oferece as seguintes duplicatas para serem descontadas em um banco comercial: R$ 1.000,00, com vencimento em 30 dias; R$ 2.000,00, com vencimento em 60 dias; e R$ 3.000,00, com vencimento em 90 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 60% ao ano, o valor atual a ser creditado na conta da empresa será de:

(a) R$ 5.300,00 (b) R$ 5.350,00 (c) R$ 5.400,00(d) R$ 5.450,00 (e) R$ 5.500,00

[2] Um título cujo valor nominal é de R$ 80.000,00, se descontado 8 meses antes de seu vencimento, com taxa de desconto comercial simples de 36% ao ano, será resgatado pelo valor de:

(a) R$ 19.200,00 (b) R$ 36.000,00 (c) R$ 45.500,00(d) R$ 51.200,00 (e) R$ 60.800,00

[3] Um investidor tem disponível, para aplicação no mercado financeiro, o capital de R$ 150.000,00 e aplica 3/5 desse capital, a juros compostos de 18% ao ano, durante 3 bimestres. Os juros obtidos com essa aplicação são de:

(a) R$ 7.765,02 (b) R$ 8.345,43 (c) R$ 8.409,89(d) R$ 98.345,43 (e) R$ 98.409,89

[4] Uma pessoa física tem uma dívida de R$ 4.800,00 e resolve antecipar o pagamento de 2/3 dessa dívida. A taxa mensal de desconto composto é de 1,25% e o devedor resolve antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento do principal. Com base nesses dados, o valor atual pago por essa pessoa física, relativo aos 2/3 da dívida será de:

(a) R$ 3.007,29 (b) R$ 3.052,35 (c) R$ 3.063,27(d) R$ 3.072,34 (e) R$ 3.085,36

[5] Um investidor dispõe da quantia de R$ 270.000,00 para investimentos e aplica 5/9 do capital a juros simples, e o restante a juros compostos de 24% ao ano, durante 5 bimestres. O montante obtido pela aplicação a juros compostos, após o quinto bimestre, é de:

(a) R$ 128.236,34 (b) R$ 136.234,22 (c) R$ 138.925,54(d) R$ 142.394,32 (e) R$ 143.559,74

[6] Se o valor atual de um título, descontado 4 meses antes do vencimento a juros compostos de 2% ao mês, é de R$ 923,85, o valor nominal desse título é igual a:

(a) R$ 950,00 (b) R$ 960,00 (c) R$ 980,00(d) R$ 1.000,00 (e) R$ 1.200,00


Anotações:[7] Um título, com vencimento em 3 meses, é pago hoje por um valor igual a R$ 7.538,58. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 24% ao ano, o valor nominal desse título é igual a:

(a) R$ 7.800,000 (b) R$ 7.955,09 (c) R$ 8.500,0(d) R$ 8.800,00 (e) R$ 9.000,00

[8] Dr. Ferreira, um respeitado médico da cidade de Barretos, observou, em seu extrato bancário, que sua aplicação a juros compostos rendeu 15% ao ano. A rentabilidade efetiva mensal daquela aplicação foi de:

(a) 1,01% a.m. (b) 1,17% a.m. (c) 1,23% a.m. (d) 1,25% a.m. (e) 1,29% a.m.

[9] A taxa mensal proporcional, a 540% a.a., é de:

(a) 10% a.m. (b) 30% a.m. (c) 45% a.m. (d) 60% a.m. (e) 70% a.m.

[10] A taxa bimestral, equivalente a 20% ao semestre, corresponde a:

(a) 5,5% a.b. (b) 6,27% a.b. (c) 6,75% a.b. (d) 7,25% a.b. (e) 8,25% a.b.

[11] Pretende-se, daqui a 6 meses, comprar um automóvel por R$ 25.000,00. Calcular a aplicação necessária em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação.

(a) R$ 20.121,22 (b) R$ 20.452,42 (c) R$ 22.395,16(d) R$ 23.106,39 (e) R$ 24.856,51

[12] Um automóvel, no valor de R$ 25.000,00, é vendido com uma entrada de 20% e o restante é financiado pelo crédito direto ao consumidor (CDC), em 6 prestações mensais e iguais, a uma taxa de juros mensal de 2,5%. A prestação mensal desse financiamento é igual a:

(a) R$ 3.620,00 (b) R$ 3.625,00 (c) R$ 3.631,00(d) R$ 3.634,00 (e) R$ 3.640,00

[13] Alberto quer comprar um veículo que custa, à vista, R$ 19.000,00. A concessionária utiliza uma taxa de 6,00% ao mês, no regime de CDC, e parcela o veículo em 12 meses. O valor de cada prestação desse veículo será de:

(a) R$ 1.633,27 (b) R$ 1.678,34 (c) R$ 1.740,00(d) R$ 2.266,26 (e) R$ 2.436,33

[14] A taxa semestral, equivalente a 3% ao bimestre, é:

(a) 6% (b) 7,12% (c) 9,27% (d) 9,84% (e) 10%


Anotações:[15] Carlos adquire uma televisão parcelada em 10 vezes de R$ 300,00, a uma taxa de juros compostos de 2% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da compra. Qual seria o valor do bem à vista?

(a) R$ 2.410,26 (b) R$ 2.748,67 (c) R$ 3.000,00(d) R$ 3.569,22 (e) R$ 3.958,10

[16] Uma pessoa adquire um automóvel e paga, à vista, R$ 30.000,00. Admitamos que a outra opção seria pagar o automóvel em 36 parcelas mensais, a uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m., sendo a primeira parcela paga 1 mês após a compra. Determine o valor das parcelas:

(a) R$ 859,47 (b) R$ 943,94 (c) R$ 949,12(d) R$ 1.084,57 (e) R$ 1.264,77

[17] A taxa quadrimestral, equivalente a 20% ao semestre, é:

(a) 11,54% (b) 12,92% (c) 13,07% (d) 13,79% (e) 14%

[18] Carlos adquiriu um eletrodoméstico pagando, durante 1 ano, R$ 500,00 por mês. Se ele se comprometesse a pagar esta dívida exatamente 12 meses após a aquisição do bem, a uma taxa mensal de 2%, de quanto seria esse valor?

(a) R$ 3.301,56 (b) R$ 4.558,10 (c) R$ 5.489,27(d) R$ 6.706,04 (e) R$ 7.537,98

[19] Um financiamento foi concedido a uma taxa de juros de 3% ao mês, para ser pago em 12 parcelas mensais iguais de R$ 1.000,00, sendo a primeira paga um mês após a concessão do financiamento. O valor do financiamento é de:

(a) R$ 5.900,23 (b) R$ 6.786,02 (c) R$ 7.456,00(d) R$ 8.732,46 (e) R$ 9.954,00

[20] Qual o investimento que devemos fazer hoje, a uma taxa de 10% ao ano, para podermos receber R$ 10.000,00 no final de cada um dos próximos 8 anos?

(a) R$ 48.786,30 (b) R$ 49.124,23 (c) R$ 53.349,26(d) R$ 55.689,34 (e) R$ 59.954,00

[21] Uma determinada empresa financia eletrodomésticos em 6 prestações mensais iguais, com pagamento antecipado, com uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Qual o valor dessas prestações para um financiamento de R$ 3.000,00?

(a) R$ 531,37 (b) R$ 544,65 (c) R$ 605,32(d) R$ 690,90 (e) R$ 710,30


Anotações:[22] Qual o montante de um fluxo de caixa que tem recebimentos de R$ 1.000,00 por ano, no final de cada período, a uma taxa de juros de 1,6% ao bimestre, durante 5 anos?

(a) R$ 4.758,33 (b) R$ 5.015,01 (c) R$ 5.658,12(d) R$ 6.104,16 (e) R$ 6.710,30

[23] Determine o valor dos quatro depósitos trimestrais que devem ser feitos, no início de cada período, para produzir um montante de R$ 10.000,00, com uma taxa de juros de 6% ao trimestre?

(a) R$ 2.156,52 (b) R$ 2.285,91 (c) R$ 2.722,56(d) R$ 3.046,21 (e) R$ 3.546,30

[24] Um eletrodoméstico é financiado pelo CDC em 4 parcelas mensais fixas de R$ 301,92, a uma taxa de 8% ao mês. O valor à vista desse eletrodoméstico é de:

(a) R$ 890,01 (b) R$ 921,40 (c) R$ 1.000,00(d) R$ 1.118,20 (e) R$ 1.211,68

[25] Davi tem um apartamento alugado por R$ 1.200,00 por mês. Se a melhor aplicação no mercado financeiro é de 1,2% a.m., a melhor estimativa do valor do imóvel, considerando que o recebimento do aluguel acontece sempre no início do período, é de:

(a) R$ 100.000,00 (b) R$ 101.200,00 (c) R$ 110.000,00(d) R$ 110.200,00 (e) R$ 130.000,00

[26] Uma loja vende televisores de 32” em 12 parcelas mensais de R$ 150,00 sendo a primeira parcela paga daqui a 60 dias. Se taxa de juros é de 7,25% a.m. o valor, à vista do televisor é de:

(a) R$ 1.096,21 (b) R$ 1.175,69 (c) R$ 1.325,69(d) R$ 1.450,30 (e) R$ 1.567,32

[27] Um automóvel custa, à vista, R$ 62.000,00 e pode ser pago em 10 parcelas mensais iguais, com uma carência de 4 meses. Sendo a taxa de juros de 1,5% ao mês, o valor das parcelas será de:

(a) R$ 4.942,85 (b) R$ 6.722,92 (c) R$ 7.030,00(d) R$ 8.324,30 (e) R$ 8.945,32

[28] A primeira estimativa do valor de um apartamento é R$ 60.000,00. Para que se possa obter um aluguel mensal de R$ 550,00, a taxa desse investimento, se o aluguel for pago no final de cada mês será de:

(a) 0,92% a.m. (b) 1,05% a.m. (c) 2,01% a.m.(d) R$ 2,15% a.m. (e) 3,07% a.m.

ESTUDOS DE CASO 145

Caso 1

Você está preparando a renovação da apólice de Automóvel do seu segurado. Após consultar 3 seguradoras, os resultados obtidos são os seguintes:

Seguradora Valor à Vista Taxa de Juros

A R$ 2.893,12 2,50% a.m.

B R$ 2.949,53 1,65% a.m.

C R$ 3.007,64 0,98% a.m.

O seu segurado deseja pagar em 6 parcelas mensais iguais e postecipadas. Com base nisso, prepare uma correspondência para o segurado, apresentando as opções consultadas, qual a que você recomenda e justifique essa escolha.

Caso 2

Uma pessoa deseja receber mensalmente, a partir do dia do seu aniversário de 65 anos, a quantia de R$ 3.600,00. Considerando que essa pessoa acabou de completar 25 anos e que a taxa média de juros do mercado é de 0,7% ao mês, qual o valor que deverá ser depositado mensalmente, a partir de hoje, para se obter essa meta?

Estudos de Caso

ANEXOS 147

Anexos

1 Convenções/Notações

2 Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes

3 Solução Utilizando uma Calculadora HP-12C

ANEXO 1 149

Anexo 1

Descrição Nomenclatura Adotada Outras Nomenclaturas

Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A

Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M

Juros Simples ou Compostos J –

Tempo n t

Prazo de Carência m c

Taxa de Juros i r, k

Taxa de Juros Anual aa ao ano

Taxa de Juros Semestral as ao semestre

Taxa de Juros Trimestral at ao trimestre

Taxa de Juros Mensal am ao mês

Desconto D –

Taxa de Desconto id forma decimal da taxa

Prestações Uniformes PMT A, R, G

Recebimento R Rec, PMT

Pagamento G pg, P, PMT

Valor Atual de uma Série AP A, P, PV

Montante de uma Anuidade SF S, F, FV

CONVENÇÕES/NOTAÇÕES

ANEXO 2 151

Anexo 2

• Vamos estabelecer as taxas equivalentes a 3% ao mês.• Some 1 a 3% = 1 + 0,03 = 1,03, que chamaremos de coeficiente de capitalização.• Para encontrar as taxas equivalentes, basta elevar o coeficiente à unidade de tempo desejada

(bimestre, trimestre etc) e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

Unidade deTempo Desejada

Quantidadede Meses


Taxa Equivalente

3% a.m.

bimestre 2 (1,03)² subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.

trimestre 3 (1,03)³ subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.

quadrimestre 4 (1,03)4 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestre 6 (1,03)6 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.

ano 12 (1,03)12 subtrair 1 e multiplicar por 100 42,58% a.a.

• Vamos fazer o caminho inverso do que foi feito na tabela anterior, usando uma taxa de 42,58% ao ano.

• Some 1 a 42,58% = 1 + 0,4258 = 1,4258 (coeficiente de capitalização).• Para voltar de uma taxa equivalente, basta elevar o coeficiente a 1 (um) sobre a unidade de

tempo desejada e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

Unidade deTempo Desejada 1 Ano Tem Elevar o

Coeficiente CálculoTaxa

Equivalente 42,58% a.a.

meses 12 (1,4258)1/12 subtrair 1 e multiplicar por 100 3% a.m.

bimestres 6 (1,4258)1/6 subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.

trimestres 4 (1,4258)1/4 subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.

quadrimestres 3 (1,4258)1/3 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestres 2 (1,4258)1/2 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.

• Procure, através desses exemplos, converter taxas em outras unidades de tempo como trimestre, bimestre etc.

REGRA PRÁTICA PARA ESTABELECER TAXAS EQUIVALENTES

ANEXO 3 153

Anexo 3

A calculadora HP-12C tem teclas especiais para apoiar cálculos, envolvendo juros compostos, a saber:

• Observe as 5 teclas logo abaixo do visor. Elas são chamadas de pilha financeira:

n → número de períodos de capitalização do investimento;i → taxa de juros compostos na mesma unidade do período de capitalização. O valor é informado em percentual;PV → capital inicial investido ou valor presente;PMT → prestações de uma série uniforme;FV → valor futuro (montante) de um investimento.

Exemplo

Qual o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 14 meses?

Resolução:P = 4.000,00i = 2,5% a.m.n = 14 mesesF = ?

1. aperte a tecla f e depois a tecla X<>Y, para limpar a memória financeira;

2. digite 4.000 e tecle CHS, para trocar o sinal, e depois tecle PV;3. digite 2,5 e tecle i ;4. digite 14 e tecle n;5. tecle FV e no visor aparecerá o resultado, R$ 5.651,90.

SOLUÇÃO UTILIZANDO UMA CALCULADORA HP-12C

GABARITO 155

Gabarito

Fixando Conceitos

Unidade 1

1) B Solução: A pizza completa tinha 8 fatias. Se João comeu 5 pedaços,

sobraram 3 das 8 fatias.

Resposta: Sobraram 3/8 da pizza.

2) C Solução: Frações próprias são as frações em que o denominador é

maior que o numerador. Frações impróprias são as frações em que o denominador é menor que o numerador. Logo:

2/3 – Fração própria (P) 5/2 – Fração imprópria (I) 8/5 – Fração imprópria (I) 12/15 – Fração própria (P) 25/6 – Fração imprópria (I)

Resposta: A sequência correta é P-I-I-P-I.

3) D Solução: 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1

Resposta: A decomposição do número 30 é 2 × 3 × 5.

4) B Solução: 54 | 2 27 | 3 9 | 3 3 | 3 1 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 33

Resposta: A decomposição do número 54 é 2 × 33.

5) E Solução: 2 × 32 × 5 = 2 × 3 × 3 × 5 = 90

Resposta: O número é 90.


6) B 3

Solução: √125 = 5


7) A Solução: √49 = 7

Resposta: A raiz quadrada de 49 é 7.

8) D Solução: 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Resposta: O número 256 em potência de 2 é 28.

9) C 3

Solução: √216 = 6

Resposta: A raiz cúbica de 256 é 6.

10) E Solução: 23 × 3 × 52 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 8 × 3 × 25 = 600


11) D Solução: 32 + 52 + 13 = 3 × 3 + 5 × 5 + 1 × 1 × 1 = 9 + 25 + 1 =

35


12) C Solução: 7% = 7/100= 0,07

Resposta: O valor em decimal de 7% é 0,07.

13) D Solução: 8% de 75 = 8/100 × 75 = 600/100 = 6

Resposta: O jogador fez 6 gols de falta.

14) C Solução: Total gastos = 25% + 18% + 12% = 0,25 + 0,18 + 0,12 =

0,55 ou 55% Resta = 100% – 55% = 1 – 0,55 = 0,45 ou 45%

Resposta: Resta ainda 45% do salário.

15) C Solução: 20% × 15% = 0,2 × 0,15 = 0,03 ou 3%

Resposta: A solução é 3%.

GABARITO 157

16) E Solução: 10% de R$ 150,00 = 150 × (10/100) = 150 × 0,1 = 15. O preço

do vestido será 150 – 15 = 135

Resposta: O vestido passou a custar R$ 135,00.

17) B Solução: 40% de 100 = 100 × 0,4 = 40. Logo, 40 são meninas. Número de meninos = 100 – 40 = 60

Resposta: Temos na sala 40 meninas e 60 meninos.

18) A Solução: Valor venda = valor de custo + lucro V = 150 + (25/100 × 150) = 150 + 37,50 = 187,50 Ou V = 150 × 1,25 = 187,50

Resposta: O valor de venda deve ser de R$ 187,50.

19) B Solução: Valor venda = valor de custo – prejuízo V = 1600 – (20/100 × 1600) = 1600 – 320 = 1280

Resposta: O preço de venda foi de R$ 1.280,00.

20) D Solução: (1,05 × 1,03) – 1 = 1,0815 – 1 = 0,0815 = 8,15%

Resposta: O aumento foi de 8,15%.

21) B Solução: 18y – 43 = 65 18y = 65 + 43 18y = 108 y = 108/18 = 6

Resposta: O valor de y é 6.

22) D Solução: -2y = -4 + 3y -2y – 3y = -4 -5y = -4 (multiplicando os dois lados da equação por -1) 5y = 4 y = 4/5

Resposta: O valor de y é 4/5.

23) C Solução: 2y – 8 = 3y – 10 2y – 3y = -10 + 8 -y = -2 (multiplicando os dois lados da equação por -1) y = 2



24) A Solução: 23y – 16 = 14 – 7y 23y + 7y = 14 + 16 30y = 30 y = 1


25) C Solução: 2(2y+7) + 3(3y-5) = 3(4y+5) -1 2 × 2y + 2 × 7 + 3 × 3y – 3 × 5 = 3 × 4y + 3 × 5 – 1 4y + 14 + 9y – 15 = 12y + 15 -1 4y + 9y – 12y = 15 – 1 – 14 + 15 13y – 12y = 15 y = 15


26) A Solução: 3 – 7(1 – 2y) = 11 – (y – 45) 3 – 7 × 1 + 7 × 2y = 11 – y + 45 3 – 7 + 14y = 11 – y + 45 14y + y = 11 + 45 – 3 + 7 14y + y = 56 + 4 15y = 60 y = 4


27) A Solução: Seja y o número desejado. y × 5 + 31 = 81 5y = 81 – 31 5y = 50 y = 10

Resposta: Esse número é 10.

28) B Solução: 16 + 3 × 5 + 2m = 5(m – 1) 16 + 15 + 2m = 5 × m – 5 × 1 31 + 2m = 5m – 5 2m – 5m = -5 – 31 -3m = -36 (multiplicando os dois lados por -1) 3m = 36 m = 36/3 = 12

Resposta: O valor de m é 12.

29) D Solução: População total = X + Y = 100.000 Relação entre X e Y → X = 3 × Y 3 × Y + Y = 100.000 4Y = 100.000 Y = 100.000/4 = 25.000

Resposta: A população da cidade Y é de 25.000 habitantes.

GABARITO 159

Unidade 2

1) E Resposta: Todas as afirmativas estão corretas.

2) A Solução: Juros = R$ 3.050 – R$ 3.000 = R$ 50 Taxa de juros no período = 50 / 3.000 = 0,016667 ou 1,67%

Resposta: A taxa de juros foi de 1,67%.

3) E Solução: i = 3% Valor final = 2.229,95 Capital = ? Juros = ? i = juros/capital i = (valor final – capital)/capital 0,03 = (2.229,95 – capital)/capital capital × 0,03 = 2.229,95 – capital capital × 0,03 + capital = 2.229,95 capital × 1,03 = 2.229,95 capital = 2.229,95/1,03 = 2.165,00 Juros = valor final – capital = 2.229,95 – 2.165,00 = 64,95

Resposta: O valor dos juros ganhos foi de R$ 64,95.

4) B Solução: i = juros/capital i = 4% Juros = valor final – capital Capital = 1.500,00 0,04 = (valor final – 1.500,00)/1.500,00 0,04 × 1.500,00 = valor final – 1.500,00 60 = valor final – 1.500,00 Valor final = 60 + 1.500,00 = 1.560,00

Resposta: O valor recebido no final da aplicação será de R$ 1.560,00.


Unidade 3

1) Como 1 ano = 12 meses, temos que:

i = 42% = 3,5% a.m. 12

Resposta: 3,5% ao mês é proporcional a 42% ao ano.

2) Como 1 ano = 12 meses, temos que:

i = 30% = 2,5% a.m. 12

Resposta: 2,5% ao mês é proporcional a 30% ao ano.

3) Como 1 ano = 4 trimestres, temos que:

i = 4 × 8% i = 32% a.a.

Resposta: 8% ao trimestre é proporcional a 32% ao ano.

4) Dados: P = 2.500 j = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 1 ano 4 meses e 10 dias n = 360 + 120 + 10 = 490 dias = 490 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) Então: j = P × i × n j = 2.500 × 0,03 × 490 ÷ 30 j = 1.225

Resposta: O valor dos juros é de R$ 1.225,00.

5) Dados: P = 2.800 j = 2.872,80 n = 1 ano, 5 meses e 3 dias n = 360 + 150 + 3 = 513 dias = 513 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) i = ? (mensal) Como j = P × i × n Então: 2.872,80 = 2800 × i × 513 ÷ 30 2.872,80 = 47.880 × i 2.872,80 ÷ 47,880 = i i = 0,06 i = 0,06 × 100 = 6%

Resposta: A taxa é de 6% ao mês.

GABARITO 161

6) Dados: P = ? F = 307.343,75 n = 2 anos, 3 meses e 15 dias n = 720 + 90 + 15 = 825 dias = 825 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) i = 2,75 = 0,0275 ao mês Como: F = P × (1 + i × n) Então: 307.343,75 = P × (1 + 0,0275 × 825 ÷ 30) 307.343,75 = P × (1 + 0,75625) 307.343,75 = 1,75625 × P 307.343,75 ÷ 1,75626 = P P = 175.000

Resposta: A aplicação foi de R$ 175.000,00.

7) Dados: P = 10.000 F = ? (capital acumulado) i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 6 meses F= P × (1 + i × n) F = 10.000 (1 + 0,035 × 6) F = 10.000 (1 + 0,21) F = 10.000 × 1,21 F = 12.100

Resposta: O capital acumulado é R$ 12.100,00.

8) Dados: P = 50.000 j = 7.500 n = 5 meses i = ? (mensal) j = P × i × n 7.500 = 50.000 × i × 5 7.500 = 250.000 × i 7.500 ÷ 250.000 = i i = 0,03 i = 0,03 × 100 = 3%

Resposta: A taxa mensal é de 3%.

9) Dados: P = 30.000 j = 24.000 i = 40 ÷ 100 = 0,4 ao ano n = ? Como j = P × i × n Então: 24.000 = 30.000 × 0,4 × n 24.000 = 12.000 × n 24.000 ÷ 12.000 = n n = 2

Resposta: O tempo da aplicação é de 2 anos.


10) Dados: P = 10.000 j = 6.000 n = 4 anos i = ? (ao ano) j = P × i × n Logo: 6.000 = 10.000 × i × 4 6.000 = 40.000 × i 6.000 ÷ 40.000 = i i = 0,15 i = 0,15 × 100 = 15%

Resposta: A taxa anual é de 15%.

11) Dados: P = P F = 3 P F = P + J J = F – P → J = 3P – P → J = 2P n = 16 meses i = ? (mensal) j = P × i × n Então: 2P = P × i × 16 2P = P × i × 16 (simplificando por P)

i = 2 → i = 0,125 16 i = 0,125 × 100 = 12,5%

Resposta: A taxa mensal é de 12,5%.

12) Dados: P = P j = P ÷ 10 i = 0,12% ÷ 30 = 0,004 ao dia (Divide-se por 30 para transformar mês em dias) n = ? (dias) j = P × i × n Logo: P ÷ 10 = P × 0,004 × n (simplificando por P) 1 ÷ 10 = 0,004 × n n = 1 ÷ (10 × 0,004) n = 1 ÷ 0,04 = 25 dias

Resposta: O capital esteve aplicado por 25 dias.

13) Dados: P = 60.000 i = 9 ÷ 100 = 0,09 ao mês j = ? n = 146 dias n = 146 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) j = P × i × n Logo: j = 60.000 × 0,09 × 146 ÷ 30 = j = 26.280

Resposta: Os juros recebidos são de R$ 26.280,00.

GABARITO 163

14) Dados: P = ? F = 86.400 n = 8 meses i = 138% ÷ 100 = 1,38 ao ano ÷ 12 anos = 11,5% a.m. (Divide-se por 12 para transformar ano em mês) F = P × (1 + i × n) Logo: 86.400 = P × ( 1 + 11,5/100 × 8) 86.400 = P × (1 + 0,92) 86.400 = P × 1,92

P = 86.400 → P = 45.000,00 1,92

Resposta: O capital investido é de R$ 45.000,00.

15) Dados: P = P j = P ÷ 20 i = 90 ÷ 100 = 0,9 ao ano ÷ 360 = 0,0025 ao dia (Divide-se por 360 para transformar ano em dias) n = ? (dias) j = P × i × n Logo: P ÷ 20 = P × 0,0025 × n

n = P = 1 = 20 20 × P × 0,0025 0,05 n = 20 dias

Resposta: O tempo de aplicação foi de 20 dias.

16) Dados: P = 740.000 F = 953.120 i = 3,6 ÷ 100 = 0,036 ao mês n = ? (meses) F = P (1 + i × n) Logo: 953.120 = 740.000 (1 + 0,036 × n) 953.120 ÷ 740.000 = 1 + 0,036 × n 1,288 = 1 + 0,036 × n 1,288 – 1 = 0,036 × n 0,288 = 0,036 × n 0,288 ÷ 0,036 × n n = 8

Resposta: O tempo de aplicação foi de 8 meses.

P

× P ×P


17) Dados: P = 480.000 j = 4.400 n = 3 meses e 20 dias = n = 90 + 20 = 110 dias, ou seja, n = 110 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) i = ? (ao mês) j = P × i × n Então: 4.400 = 480.000 × i × 110 ÷ 30 4.400 = 1.760.000 × i 4.400 ÷ 1.760.000 = i i = 0,0025 i = 0,0025 × 100 = 0,25%

Resposta: A taxa é de 0,25% ao mês.

18) Dados: P1 = 11.000 j1 = ? n = 3 anos i = 7 ÷ 100 = 0,07 ao ano j = P × i × n j1 = 11.000 × 0,07 × 3 j1 = 2.310 j1 – j2 = 1.110 Então: 2.310 – j2 = 1.110 2.310 – 1.110 = j2 j2 = 1.200 Logo: P2 = 5.000 j2 = 1.200 n = 3 anos i = ? j = P × i × n Então: 1.200 = 5.000 × i × 3 1.200 = 15.000 × i 1.200 ÷ 15.000 = i i = 0,08 i = 0,08 × 100 = 8%

Resposta: A taxa a que o 2o capital esteve aplicado é de 8% ao ano.

19) Dados: F = 2.553,47 = j + P j = ? P = ? n = 110 dias × 110 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) i = 7 ÷ 100 = 0,07 ao ano F = P × (1 + i × n) Então: 2.553,47 = P × ( 1 + 110 ÷ 360 × 0,07) 2.553,47 = P × (1,021388889) 2.553,47 ÷ 1,021389 = P P = 2.500,00 Valor dos juros = 2.553,47 – 2.500 = 53,47

Resposta: O valor dos juros a serem pagos é de R$ 53,47.

GABARITO 165

20) Dados: F = 2 × P F = P + J J = F – P J = 2 × P – P J = P i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = ? (meses) j = P × i × n Então: P = P × 0,04 × n P ÷ P = 0,04 × n 1 = 0,04 × n 1 ÷ 0,04 = n n = 25

Resposta: O capital se duplica em 25 meses.

21) Dados: P = ? F = 7.824 i = 6,5 ÷ 100 = 0,065 ao ano n = 1 ano e 4 meses = 360 + 120 = 480 dias, ou seja, n = 480 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) F = P × (1 + i × n) 7.824 = P × (1 + 0,065 × 480 ÷ 360) 7.824 = P × (1 + 1,086667) 7.824 = P × 1,086667 7824 ÷ 1,086667 = P P = 7.200

Resposta: O capital é de R$ 7.200,00.

22) Dados: P = 8.000 j = 2.640 n = 6 meses i = ? (mensal) j = P × i × n Então: 2.640 = 8.000 × i × 6 2.640 = 48.000 × n 2.640 ÷ 48.000 = i i = 0,055 i = 0,055 × 100 = 5,5%

Resposta: A taxa mensal é de 5,5%.

23) Dados: P = 32.000 j = 4.800 i = 12 ÷ 100 = 0,12 ao ano ÷ 12 = 0,01 ao mês (Divide-se por 12 para transformar ano em mês) n = ? (mensal) j = P × i × n 4.800 = 32.000 × 0,01 × n 4.800 = 320 × n 4.800 ÷ 320 = n n = 15 meses

Resposta: O tempo da aplicação é de 15 meses.


24) Dados: P = 100.000 j = ? i = 20 ÷ 100 = 0,2 ao trimestre n = 15 meses ÷ 3 = 5 trimestres (Divide-se por 3 para transformar meses em trimestres) j = P × i × n j = 100.000 × 0,2 × 5 j = 100.000


25) Dados: c = 50.000 j = ? i = 6 ÷ 100 = 0,06 ao ano n = 18 dias = 18 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) j = P × i × n j = 50.000 × 0,06 × 18 ÷ 360 j = 150

Resposta: Os juros são de R$ 150,00.

26) Dados: P = 80.000 i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 9 meses F = ? F = P × (1 + i × n) F = 80.000 (1 + 0,035 × 9) F = 80.000 (1,315) F = 105.200

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 105.200,00.

27) Dados: P = 12.000 j = ? i = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano ÷ 4 = 0,09 ao trimestre (Divide-se por 4 para transformar ano em trimestres) n = 1 trimestre j = P × i × n j = 12.000 × 0,09 × 1 j = 1.080


28) Dados: P = 350.000 j = ? i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = 72 dias = 72 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) j = P × i × n j = 350.000 × 0,04 × 72 ÷ 30 j = 33.600


GABARITO 167

29) Dados: P = ? i = ? P + J1 = 156.400 (para n = 21 meses) P + (P × i × 21) = 156.400 P (1 + 21 × i) = 156.400 P = 156.400 ÷ (1 + 21 × i) (Fórmula I) P – J2 = 88.400 (para n = 9 meses) P – (P × i × 9) = 88.400 P (1 – 9 × i) = 88.400 P = 88.400 ÷ (1 – 9 × i) (Fórmula II) Igualando as equações acima temos que: 156.400 ÷ (1 + 21 × i) = 88.400 ÷ (1 – 9 × i) 156.400 × (1 – 9 × i) = 88.400 × (1 + 21 × i) 156.400 – 1.407.600 i = 88.400 + 1.856.400 i 156.400 – 88.400 = 1.856.400 i + 1.407.600 i 68.000 = 3.264.000 i i = 68.000 ÷ 3.264.000 → i = 0,0208333 (Multiplicar por 100 para obter taxa percentual) i = 2,08333% a.m. Substituindo a taxa calculada na Fórmula I, temos que: P = 156.400 ÷ (1 + 21 × i) = 156.400 ÷ (1 + 21 × 0,0208333) = 156.400 ÷ 1,4374993 P = 108.800,05

Resposta: O capital é de R$ 108.800,05 e a taxa, 2,08% a.m.

30) Dados: P = ? F = 200.000 i = 6% a.m. = 6% ÷ 100 = 0,06 a.m. n = 39 dias ÷ 30 = 1,3 dias F = P (1 + i × n) 200.000 = P (1 + 0,06 × 1,3) 200.000 = P × 1,078 P = 200.000 / 1,078 = 185.528,76

Resposta: O valor a ser aplicado é de R$ 185.528,76.

31) Dados: j = ? P = 10.000 i = 6% a.a. ÷ 100 = 0,06 a.a. n = 198 dias ÷ 360 = 0,55 ano j = P × i × n j = 10.000 × 0,06 × 0,55 = 330,00

Resposta: O juro comercial simples é de R$ 330,00.


Unidade 4

1) Dados: F = 186.000 D = 3.199,20 id = ? (anual) n = 72 dias × 72 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) D = F × id × n 3.199,20 = 186.000 × id × 72 ÷ 360 3.199,20 = 37.200 × id 3.199,20 ÷ 37.200 = id id = 0,086 id = 0,086 × 100 = 8,6%


2) Dados: F = 20.000 P = ? n = 6 meses = 6 ÷ 12 anos id = 5 ÷ 100 = 0,05 ao ano P = F × (1 – id × n) P = 20.000 (1 – 0,05 × 6 ÷ 12) P = 20.000 (1 – 0,025) P = 20.000 × 0,975 P = 19.500,00

Resposta: O ValorAtual (presente) é de R$ 19.500,00.

3) Dados: D = 600,00 P = ? F = ? id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao ano n = 4 meses = 4 ÷ 12 anos D = F × id × n 600 = F × 0,06 × 4 ÷ 12 600 = F × 0,02 600 ÷ 0,02 = F F = 30.000 P = F – D P = 30.000 – 600 = 29.400

Resposta: O Valor Atual (presente) é R$ 29.400,00.

GABARITO 169

4) Dados: F = 90.000 D = ? id = 8 ÷ 100 = 0,08 ao ano n = 1 mês e 25 dias = 30 + 25 = 55 dias = n = 55 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) D = F × id × n D = 90.000 × 0,08 × 55 ÷ 360 D = 1.100 P = 90.000 – 1.100 = 88.900. Como a dívida era de R$ 110.000, faltaram, ainda: 110.000 – 88.900 = 21.100,00.

Resposta: A quantia que devo dar é de R$ 21.100,00.

5) Dados: F = ? D = 60 n = 2 meses id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao mês D = F × id × n 60 = F × 0,06 × 2 60 = F × 0,12 60 ÷ 0,12 = F F = 500

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 500,00.

6) Dados: P = 280 F = ? id = 15 ÷ 100 = 0,15 ao mês n = 60 dias = 60 ÷ 30 = 2 meses P = F × (1 – id × n) 280 = F × (1 – 0,15 × 2) 280 = F × 0,7 280 ÷ 0,7 = F F = 400

Resposta: O valor nominal da nota promissória é de R$ 400,00.

7) Dados: F = 350 P = 245 D = 350 – 245 = 105 n = 6 meses id = ? (mensal) D = F × id × n 105 = 350 × id × 6 105 = 2.100 × id 105 ÷ 2.100 = id id = 0,05 id = 0,05 × 100 = 5%

Resposta: A taxa de desconto comercial simples é de 5% ao mês.


8) Dados: F = 800 D = ? n = 3 meses e 18 dias = 90 + 18 = 108 dias id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês = 0,04 ÷ 30 a.d. D = F × id × n D = 800 × 0,04 ÷ 30 × 108 D = 115,20

Resposta: O desconto simples é de R$ 115,20.

9) Dados: F = ? P = 320 n = 8 meses id = 1,5 ÷ 100 = 0,015 ao mês P = F × (1 – id × n) 320 = F × (1 – 0,015 × 8) 320 = F × (1 – 0,12) 320 = F × (0,88) 320 ÷ 0,88 = F F = 363,64

Resposta: O valor da letra de câmbio é de R$ 363,64.

10) Dados: F = 6.900 P = 6.072 D = F – P D = 6.900 – 6.072 = 828 id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = ? (meses) D = F × id × n 828 = 6.900 × 0,04 × n 828 = 276 × n 828 ÷ 276 = n n = 3

Resposta: O tempo de antecipação foi de 3 meses.

11) Dados: F = 4.700 D = ? n = 1 mês e 6 dias = 30 + 6 = 36 dias = n = 36 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) id = 2,2 ÷ 100 = 0,022 ao mês D = F × id × n D = 4.700 × 0,022 × 36 ÷ 30 D = 124,08

Resposta: O valor do desconto comercial simples é de R$ 124,08.

GABARITO 171

12) Dados: F = 18.600 D = 930 n = 272 dias = 272 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) id = ? (mensal) D = F × id × n 930 = 18.600 × id × 272 ÷ 30 930 = 168.640 × id 930 ÷ 168.640 = id id = 0,0055 id = 0,0055 × 100 = 0,55%

Resposta: A taxa de desconto é de 0,55% ao mês.

13) Dados: D = F ÷ 4 id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao dia n = ? (dias) D = F × id × n F ÷ 4 = F × 0,025 × n

n = 1 F

4 × 0,025 F n = 10

Resposta: O prazo de antecipação é de 10 dias.

14) Dados: i = 36% ao ano (36 ÷ 12)% ao mês = 3% ao mês = (3 ÷ 100) = 0,03 (Divide-se por 12 para transformar ano em meses) n = 4 meses F = 6.000,00 P = F (1 – id × n) P = 6.000 (1 – 0,03 × 4) P = 6.000 (1 – 0,12) P = 6.000 × 0,88 P = 5.280

Resposta: O valor presente (atual) pago é de R$ 5.280,00.

15) Dados: F = 1.800 D = ? n = 9 meses id = 2,75 ÷ 100 = 0,0275 ao mês D = F × id × n D = 1.800 × 0,0275 × 9 D = 445,50

Resposta: O valor do desconto simples é de R$ 445,50.

F

F


16) Dados: D = F ÷ 2 n = 8 meses id = ? (mensal) D = F × id × n F ÷ 2 = F × id × 8 1 ÷ 2 = 1 × id × 8 0,5 = id × 8 id = 0,5 ÷ 8 = 0,0625 = 6,25% a.m

Resposta: A taxa de desconto comercial simples é de 6,25% a.m.

17) Dados: F = 16.000 P = 14.880 n = 21 dias = 21 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) id = ? D = F – P D = 16.000 – 14.880 = 1.120 D = F × id × n 1.120 = 16.000 × id × 21 ÷ 30 1.120 = 11.200 × id 1.120 ÷ 11.200 = id id = 0,1 id = 0,1 × 100 = 10%

Resposta: A taxa de desconto comercial simples foi de 10% ao mês.

18) Dados: D = F – P D = 4.000 – 3.600 D = 400 D = F × id × n 400 = 4.000 × id × 5 20.000 × id = 400 id = 400 ÷ 20.000 id = 0,02 id = 0,02 × 100 id = 2% ao mês


F F

GABARITO 173

19) Dados: F = 13.000 P = 9.100 n = 5 meses id = ? (mensal) P = F × (1 – id × n) 9.100 = 13.000 × (1 – id × 5) 9.100 ÷ 13.000 = 1 – 5 × id 0,7 = 1 – 5 × id 5 × id = 1 – 0,7 5 × id = 0,3 id = 0,3 ÷ 5 id = 0,06 id = 0,06 × 100 = 6% Outro modo: D = F – P D = 3.900,00 D = F × id × n 3.900 = 13.000 × id × 5 3.900 = 65.000 × id id = 3.900 ÷ 65.000 = 0,06 id = 0,06 × 100 = 6%


20) Dados: F = 1.530 D = 71,40 id = 8 ÷ 100 = 0,08 ÷ 12 ao ano (Como o prazo tem que ser em meses, dividimos a taxa anual por 12). n = ? meses D = F × id × n 71,40 = 1.530 × 0,08 ÷ 12 × n 71,40 = 10,2 × n 71,40 ÷ 10,2 = n n = 7

Resposta: A nota promissória foi paga com 7 meses de antecipação.

21) Dados: F = ? P = 4.800 id = 8 ÷ 100 = 0,08 ao mês n = 7,5 meses P = F × (1 – id × n) 4.800 = F × (1 – 0,08 × 7,5) 4.800 = F × (1 – 0,6) 4.800 = F × 0,4 4.800 ÷ 0,4 = F F = 12.000,00

Resposta: O valor da nota promissória era de R$ 12.000,00.


22) Dados: F = 640 D = ? n = 11 meses id = 1,85 ÷ 100 = 0,0185 ao mês D = F × id × n D = 640 × 0,0185 × 11 D = 130,24

Resposta: O valor do desconto simples é de R$ 130,24.

23) Dados: F = 2.000 P = 1.820 D = F – P D = 2.000 – 1.820 = 180 id = 3% a.m. = 3 ÷ 100 = 0,03 D = F × id × n 180 = 2.000 × 0,03 × n 60 × n = 180 n = 180 ÷ 60 = 3

Resposta: O prazo de antecipação foi de 3 meses.

24) Dados: F = 10 × D id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao dia n = ? (dias) D = F × id × n D = 10 × D × 0,02 × n (simplificando por D) 1 = 10 × 0,02 × n 1 = 0,2 × n n = 1 ÷ 0,2 n = 5

Resposta: O título foi pago com 5 dias de antecedência.

25) Dados: F = 20.000 D = ? id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao mês n = 1 ano = 12 meses D = F × id × n D = 20.000 × 0,06 × 12 D = 14.400

Resposta: O valor do desconto é de R$ 14.400,00.

GABARITO 175

26) Dados: F = 4.200 P = 3.800 D = 4.200 – 3.800 = 400 n = 8 meses id = ? D = F × id × n 400 = 4.200 × id × 8 400 = 33.600 × id 400 ÷ 33.600 = id id = 0,0119 id = 1,19%

Resposta: A taxa de desconto simples é de 1,19% ao mês.

27) Dados: F = 2.000 id = 30% ao ano = (30 ÷ 12)% ao mês = 2,5% ao mês = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês n = 4 meses D = F × id × n D = 2.000 × 0,025 × 4 D = R$ 200,00

Resposta: O desconto simples obtido foi de R$ 200,00.

28) Dados: F = 2.400 D = ? id = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano n = 2 meses e 18 dias = 78 dias = 78 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) D = F × id × n D = 2.400 × 0,36 × 78 ÷ 360 D = 187,20


29) Dados: F = 4.500 P = ? n = 6 meses e 12 dias = 180 + 12 = 192 dias, ou seja, 192 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) id = 45 ÷ 100 = 0,45 ao ano P = F × (1 – id × n) P = 4.500 (1 – 0,45 × 192 ÷ 360) P = 4.500 (1 – 0,24) P = 4.500 × 0,76 P = 3.420



30) Dados: P = 1.080 F = ? n = 4 meses = 120 dias id = 0,5 ÷ 100 = 0,005 ao dia P = F × (1 – id × n) 1.080 = F × (1 – 0,005 × 120) 1.080 = F × (1 – 0,6) 1.080 = F × 0,4 1.080 ÷ 0,4 = F F = 2.700

Resposta: O valor do título é de R$ 2.700,00.

31) Dados: D = ? F = 6.000 id = 1,5% a.m. ÷ 100 = 0,015 a.m. n = 16 meses D = F × id × n D = 6.000 × 0,015 × 16 D = 1.440,00

Resposta: O valor do título é R$ 1.440,00.

32) Dados: F = 35.000 id = 8,75% a.a. ÷ 100 = 0,0875 a.a. n = 24 meses = 2 anos D = ? D = F × id × n D = 35.000 × 0,0875 × 2 D = 6.125,00

Resposta: O desconto obtido será de R$ 6.125,00.

GABARITO 177

Unidade 5

1) Dados: P = 300 F = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 10 meses F = P × (1 + i)n

F = 300 × (1 + 0,03)10

F = 300 × (1,03)10

F = 300 × 1,343916 F = 403,17

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 403,17.

2) Dados: P = 2.000 F = ? i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 15 meses F = P × (1 + i)n

F = 2.000 × (1 + 0,035)15

F = 2.000 × (1,035)15

F = 2.000 × 1,675349 F = 3.350,70

Resposta: O montante é de R$ 3.350,70.

3) Dados: P = 500 F = ? i = 2,25 ÷ 100 = 0,0225 ao mês n = 4 meses F = P × (1 + i)n

F = 500 × (1 + 0,0225)4

F = 500 × (1,0225)4

F = 500 × 1,093083 F = 546,54



F = 8.200 × (1 + 0,015)8

F = 8.200 × (1,015)8

F = 8.200 × 1,126493 F = 9.237,24




F = 750 × (1 + 0,0235)6

F = 750 × (1,0235)6

F = 750 × 1,149548 F = 862,16 Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 862,16.

6) Dados: P = 1.200 F = ? i = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês n = 8 meses F = P × (1 + i)n

F = 1.200 × (1 + 0,02)8

F = 1.200 × (1,02)8

F = 1.200 × 1,171659 F = 1.405,99


7) Dados: P = ? F = 405,75 i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 5 meses F = P × (1 + i)n

405,75 = P × (1 + 0,03)5

405,75 = P × (1,03)5

405,75 = P × 1,159274 405,75 ÷ 1,159274 = P P = 350,00

Resposta: O Valor Presente (capital inicial) era de R$ 350,00.

8) Dados: P = ? F = 794,75 i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês n = 4 meses F = P × (1 + i)n

794,75 = P × (1 + 0,025)4

794,75 = P × (1,025)4

794,75 = P × 1,103813 P = 720

Resposta: O Valor Presente era de R$ 720,00.

GABARITO 179

9) Dados: P = 300 F = ? i = 47 ÷ 100 = 0,47 ao ano n = 4 anos F = P × (1 + i)n

F = 300 × (1 + 0,47)4

F = 300 × (1,47)4

F = 300 × 4,669489 F = 1.400,85


10) Dados: P = 800 F = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 14 meses F = P × (1 + i)n

F = 800 × (1 + 0,03)14

F = 800 × (1,03)14

F = 800 × 1,512590 F = 1.210,07



F = 2.000 × (1 + 0,045)8

F = 2.000 × (1,045)8

F = 2.000 × 1,422101 F = 2.844,20 J = F – P J = 2.844,20 – 2.000 = 844,20

Resposta: O valor dos juros é de R$ 844,20.


F = 680 × (1 + 0,038)4

F = 680 × (1,038)4

F = 680 × 1,160886 F = 789,40



13) Dados: P = 850 F = ? i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês F = P × (1 + i)n

F = 850 × (1 + 0,025)40

F = 850 × (1,025)40

F = 850 × 2,685064 F = 2.282,30


14) Dados: P = ? F = 1.975,22 i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 8 meses F = P × (1 + i)n

1.975,22 = P × (1 + 0,035)8

1.975,22 = P × (1,035)8

1.975,22 = P × 1,316809037 P = 1.975,22 ÷ 1,316809 = 1.500,00

Resposta: O Valor Presente (capital inicial) era de R$ 1.500,00.

15) Dados: P = 1.800 F = ? i = 20 ÷ 100 = 0,2 ao ano n = 4 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,2 = (1 + i)12

(1,20)1÷12 – 1 = i i = 0,015309 i = 1,530947 a.m. F = P × (1 + i)n

F = 1.800 × (1 + 0,0153)4

F = 1.800 × (1,0153)4

F = 1.800 × 1,062659 F = 1.912,79


GABARITO 181

16) Dados: P = 12.000 F = ? i = 22 ÷ 100 = 0,22 ao ano n = 8 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,22 = (1 + i)12

(1,22)1÷12 = 1 + i i = (1,22)1÷12 – 1 i = 0,016709 i = 1,670896% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 12.000 × (1 + 0,0167)8

F = 12.000 × (1,0167)8

F = 12.000 × 1,141756 F = 13.701,07


17) Dados: P = ? F = 3.984,62 i = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 2 anos F = P × (1 + i)n

3.984,62 = P × (1 + 0,24)2

3.984,62 = P × (1,24)2

3.984,62 = P × 1,5376 P = 3.984,62 ÷ 1,5376 P = 2.591,45

Resposta: O Valor Presente (capital inicial) é de R$ 2.591,45.

18) Dados: P = 920 F = ? i = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano n = 1 ano e 9 meses = 21 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,36 = (1 + i)12

(1,36)1÷12 = 1 + i i = (1,36)1÷12 – 1 i = 1,025955 – 1 i = 0,025955 i = 2,595483% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 920 × (1 + 0,025955)21

F = 920 × (1,025955)21

F = 920 × 1,172747 F = 1.575,73



19) Dados: P = 500 F = ? i = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 12 dias Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: dia – Maior: ano – Relação conversão: 360 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)360

(1,24)1÷360 = 1 + i i = (1,24)1÷360 – 1 = 0,000598 i = 0,059771% a.d. F = P × (1 + i)n

F = 500 × (1 + 0,000598)12

F = 500 × (1,000598)12

F = 500 × 1,007196 F = 503,60



F = 6.000 × (1 + 0,05)6

F = 6.000 × (1,05)6

F = 6.000 × 1,340096 F = 8.040,57 Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 8.040,57.


F = 10.000 × (1 + 0,04)8

F = 10.000 × (1,04)8

F = 10.000 × 1,368569 F = 13.685,69


GABARITO 183

22) Dados: P = 6.000 F = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao semestre n = 4 quinzenas = 2 meses (capitalização mensal) Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: semestre – Relação conversão: 6 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,03 = (1 + i)6 (1,03)1÷6 = 1 + i i = (1,03)1÷ 6 – 1 i = 0,004939 i = 0,493862% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 6.000 × (1 + 0,004939)2

F = 6.000 × (1,004939)2

F = 6.000 × 1,009902 F = 6.059,41


23) Dados: P = 25.000 F = ? J = ? i = 6 ÷ 100 = 0,06 ao mês n = 9 meses F = P × (1 + i)n

F = 25.000 × (1 + 0,06)9

F = 25.000 × (1,06)9

F = 25.000 × 1,689479 F = 42.236,97 J = F – P = 42.236,97 – 25.000 = 17.236,97



F = 152.000 × (1 + 0,07)30

F = 152.000 × (1,07)30

F = 152.000 × 7,612255 F = 1.157.062,77

Resposta: O Valor Futuro é de R$ 1.157.062,77.


25) Dados: P = 2.500 F = ? i = 60 ÷ 100 = 0,6 ao ano n = 1 semestre = 6 meses (capitalização mensal) Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,60 = (1 + i)12

(1,60)1÷12 = 1 + i i = (1,6)1÷12 – 1 i = 0,039944 i = 3,994411% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 2.500 × (1 + 0,039944)6

F = 2.500 × (1,039944)6

F = 2.500 × 1,264911 F = 3.162,28


26) Dados: P = 4.200 F = ? i = 22 ÷ 100 = 0,22 ao mês n = 18 dias Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: dia – Maior: mês – Relação conversão: 30 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,22 = (1 + i)30 (1,22)1÷30 = 1 + i i = (1,22)1÷30 – 1 i = 0,006650 i = 0,665038% a.d. F = P × (1 + i)n

F = 4.200 × (1 + 0,006650)18

F = 4.200 × (1,006650)18

F = 4.200 × 1,126720 F = 4.732,22

Resposta: O Valor Futuro é de R$ 4.732,22.

GABARITO 185

27) Dados: P = 2.500 F = ? i = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 6 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)12

(1,24)1÷12 = 1 + i i = (1,24)1÷12 – 1 i = 0,01808 i = 1,808758% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 2.500 × (1 + 0,018088)6

F = 2.500 × (1,018088)6

F = 2.500 × 1,113553 F = 2.783,88


28) Dados: P = 2.300 J = ? i = 1,2 ÷ 100 = 0,012 ao mês n = 15 meses F = P × (1 + i)n

F = 2.300 × (1 + 0,012)15

F = 2.300 × (1,012)15

F = 2.300 × 1,195935 F = 2.750,65 J = F – P = 2.750,65 – 2.300 = 450,65

Resposta: O valor dos juros é de R$ 450,65.

29) Dados: P = 820 J = ? i = 2,3 ÷ 100 = 0,023 ao semestre n = 1 bimestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: semestre – Relação conversão: 3 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,023 = (1 + i)3 (1,023)1÷3 = 1 + i i = (1,023)1÷3 – 1 i = 0,007609 i = 0,760863% a.b. F = P × (1 + i)n

F = 820 × (1 + 0,007609)1

F = 820 × (1,007609)1

F = 820 × 1,007609 F = 826,24 J = F – P = 826,24 – 820 = 6,24 Resposta: O valor dos juros é de R$ 6,24.


30) Dados: 5% ao mês → Converter ao ano (12 meses) Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 5 ÷ 100)12 1 + I = (1 + 0,05)12 I = (1,05)12 – 1 I = 1,795856 – 1 = 0,795856 i = 79,59% a.a. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coeficiente: (1 + i) = 1 + 5% = 1,05 (1,05)12 = 1,7959 (1,7959 – 1) × 100 = 79,59% a.a.

Resposta: A taxa equivalente é de 79,59% a.a.

31) Dados: 38% ao semestre → Converter para bimestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: semestre – Relação conversão: 3 1 + I = (1 + i)n

1 + 38 ÷ 100= (1 + i)3 1 + 0,38 = (1 + i)3

i = (1,38)1÷3 – 1 I = 1,113336 – 1 = 0,113336 i = 11,33% a.b. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coeficiente: (1 + 38%) = 1,38 Primeiro vamos converter ao mês: (1,38)1÷6 = 1,0551 (1,0551 – 1) × 100 = 5,51% a.m. Agora convertendo ao bimestre: (1,0551)2 = 1,1133 (1,1133 – 1) × 100 = 11,33% a.b.

Resposta: A taxa equivalente é de 11,33% a.b.

32) Dados: 28% ao bimestre → Converter para trimestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: trimestre – Maior: bimestre – Relação conversão: 3 ÷ 2 = 1,5 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 28 ÷ 100)1,5 1 + I = (1 + 0,28)1,5

I = (1,28)1,5 – 1 I = 1,448155 – 1 = 0,448155 i = 44,82% a.t. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coeficiente: (1 + 28%) = 1,28 Primeiro vamos converter ao mês: (1,28)1÷2 = 1,1314 (1,1314 – 1) × 100 = 13,14% a.m. Agora convertendo ao trimestre: (1,1314)3 = 1,4482 (1,4482 – 1) × 100 = 44,82% a.t.

Resposta: A taxa equivalente é de 44,82% a.t.

GABARITO 187

33) Dados: 36% ao ano → Converter para semestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: semestre – Maior: ano – Relação conversão: 2 1 + I = (1 + i)n

1 + 36 ÷ 100= (1 + i)2 1 + 0,36 = (1 + i)2

i = (1,36)1÷2 – 1 I = 1,166190 – 1 = 0, 166190 i = 16,62% a.s. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coeficiente: (1 + 36%) = 1,36 (1,36)1÷2 = 1,1662 (1,1662 – 1) × 100 = 16,62% a.s.

Resposta: A taxa equivalente é de 16,62% a.s.

34) Dados: J = ? P = 48.000 n = 27 meses i = 1,00% a.m. J = P [(1 + i)n – 1] J = 48.000 [(1 + 0,01)27 – 1] J = 48.000 [(1,01)27 – 1] J = 48.000 [1,308209 – 1] = 14.794,03

Resposta: O valor do juros será de R$ 14.794,03.

35) Dados: P = 100.000 i = 2,5% a.m. ÷ 100 = 0,025 a.m. n = 12 meses F = P (1 + i)n

F = 100.000 (1 + 0,025)12

F = 134.488,88

Resposta: O montante será de R$ 134.488,88.

36) Dados: J = ? P = 4.000 i = 4,5% a.a. ÷ 100 = 0,045 a.a. n = 8 anos J = P [(1 + i)n – 1] J = 4.000 [(1 + 0,045)8 – 1] J = 4.000 [(1,0454)8 – 1] J = 4.000 [1,422101 – 1] = 1.688,40

Resposta: O juro devido será de R$ 1.688,40.


37) Dados: F = ? P = 12.000 n = 4 quadrimestre i = 4% a.t. Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: trimestre – Maior: quadrimestre – Relação conversão: 4 ÷ 3 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 0,04)4÷3

1 + I = (1,04)4÷3

I = (1,04)4÷3 – 1 I = 1,053686 – 1 = 0,053686 = 5,368578 % a.q. F = P (1 + i)n F = 12.000 (1 + 0,053686)4

F = 12.000 (1,053686)4

F = 12.000 × 1,232663 = 14.791,96

Resposta: O montante produzido é de R$ 14.791,96.

GABARITO 189

Unidade 6

1) Dados: F = 800 P = ? n = 4 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 800 ÷ (1 + 0,02)4

P = 800 ÷ (1,02)4

P = 800 ÷ 1,082432 P = 739,08

Resposta: O Valor Atual do título é de R$ 739,08.

2) Dados: F = 1.120 P = ? n = 2 anos + 6 meses = 2,5 anos id = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 1.120 ÷ (1 + 0,36)2,5

P = 1.120 ÷ (1,36)2,5 P = 1.120 ÷ 2,1570 P = 519,24

Resposta: O Valor Presente (atual) do título é de R$ 519,24.

3) Dados: F = 5.000 D = ? n = 3 meses id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês

D = F × [ (1 + id)

n – 1 ] =

5.000 [ (1 + 0,025)3 – 1 ]

(1 + id )n (1 + 0,025)3

D = 5.000 × 0,0768906 =

384,453

1,076891 1,076891

D = 357,00 Resposta: O valor do desconto composto é de R$ 357,00.


4) Dados: F = 1.500 D = ? n = 3 meses id = 30 ÷ 100 = 0,30 ao ano Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,30 = (1 + i)12

(1,30)1÷12 = 1 + i i = (1,30)1÷12 – 1 i = 0,022104 i = 2,210445% a.m.

D = F × [ (1 + id)

n – 1 ] =

1.500 [ (1 + 0,022104)3 – 1 ]

(1 + id )n (1 + 0,022104)3

D = 1.500 × 0,067790 = 101,684959 = 95,23 1,067790 1,067790

D = 95,23 Resposta: O valor do desconto composto é de R$ 95,23.

5) Dados: P = 369,54 F = ? D = ? n = 4 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

369,54 = F ÷ (1 + 0,02)4

369,54 = F ÷ (1,02)4

369,54 = F ÷ 1,082432 F = 400 D = F – P D = 400 – 369,54 = 30,46

Resposta: O valor do desconto composto é de R$ 30,46.

6) Dados: F = 700 P = ? n = 3 meses id = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês P = F (1 + id)

n

P = 700 ÷ (1 + 0,035)3

P = 700 ÷ (1,035)3

P = 700 ÷ 1,108718 P = 631,36 Resposta: O valor presente (atual) do título é de R$ 631,36.

GABARITO 191

7) Dados: F = 4.000 P = ? n = 1 ano e 4 meses = 16 meses id = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12) 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)12

1,24 = (1 + i)12

(1,24)1÷12 = 1 + i i = (1,24)1÷12 – 1 = 0,018088 id = 1,808758% a.m. P = F ÷ (1 + id)

n

P = 4.000 ÷ (1 + 0,018088)16

P = 4.000 ÷ (1,018088)16

P = 4.000 ÷ 1,332178 P = 3.002,60

Resposta: O valor presente (atual) do título é R$ 3.002,60.

8) Dados: F = 2.000 P = ? n = 1 ano e 3 meses = 15 meses = 15 anos (Divide-se por 12 para transformar mês em anos) 12

id = 28 ÷ 100 = 0,28 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 2.000 ÷ (1 + 0,28)15÷12

P = 2.000 ÷ (1,28)15÷12 P = 2.000 ÷ 1,361484 P = 1.468,99

Resposta: O valor de resgate foi de R$ 1.468,99.

9) Dados: F = 620 D = ? n = 5 meses id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês

D = F × [ (1 + id)

n – 1 ] =

620 × [ (1 + 0,03)5 – 1 ]

(1 + id)n (1 + 1,003)5

D = 98,749926 = 85,18 1,159274 Resposta: O valor do desconto é de R$ 85,18.


10) Dados: F = 3.800 P = ? n = 8 meses id = 30 ÷ 100 = 0,30 ao ano Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Maior: ano – Relação conversão: 12) 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,30 = (1 + i)12

1,30 = (1 + i)12

(1,30)1÷12 = 1 + i i = (1,30)1÷12 – 1 = 0,022104 id = 2,210445% a.m.

D = F × [ (1 + id)

n – 1 ]

(1 + id)n

D = 3.800 × [ (1 + 0,022104)8 – 1 ]

(1 + 0,022104)8

D = 726,326016 = 609,77 1,191138


11) Temos que: F = ? P = 3.736,30 n = 5 bimestres id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao bimestre P = F ÷ (1 + id)

n

3.736,30 = F ÷ (1 + 0,06)5

3.736,30 = F ÷ (1,06)5

3.736,30 = F ÷ 1,338226 F = 3.736,30 × 1,338226 F = 5.000,01

Resposta: O valor da dívida era de R$ 5.000,01.

12) Dados: F = ? P = 2.043,53 n = 4 meses id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

2.043,53 = F ÷ (1 + 0,03)4

2.043,53 = F ÷ (1,03)4

2.043,53 = F ÷ 1,125509 F = 2.043,53 × 1,125509 F = 2.300,01

Resposta: O valor do título é de R$ 2.300,01.

GABARITO 193

13) Dados: F = 600 P = ? n = 4 meses id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 600 ÷ (1,025)4

P = 600 ÷ 1,103813 P = 543,57

Resposta: O valor presente (atual) é de R$ 543,57.

14) Dados: F = 1.500 P = ? n = 6 meses = 3 bimestres id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao bimestre P = F ÷ (1 + id)

n

P = 1.500 ÷ (1 + 0,06)3

P = 1.500 ÷ (1,06)3

P = 1.500 ÷ 1,191016 P = 1.259,43

Resposta: O valor presente (atual) é de R$ 1.259,43.

15) Dados: F = 2.000 P = ? n = 2 anos id = 40 ÷ 100 = 0,40 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 2.000 ÷ (1 + 0,40)2

P = 2.000 ÷ (1,40)2 P = 2.000 ÷ 1,96 P = 1.020,41

Resposta: O Valor Atual é de R$ 1.020,41.

16) Dados: F = ? P = 676,46 n = 3 meses id = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

676,46 = F ÷ (1 + 0,035)3

676,46 = F ÷ (1,035)3

676,46 = F ÷ 1,108718 F = 676,46 × 1,108718 F = 750,00

Resposta: O valor do título era de R$ 750,00.


17) Dados: F = ? P = 2.465,79 n = 5 meses id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

2.465,79 = F ÷ (1 + 0,04)5

2.465,79 = F ÷ (1,04)5

2.465,79 = F ÷ 1,216653 F = 2.465,79 × 1,216653 F = 3.000,01

Resposta: O valor da letra era de R$ 3.000,01.

18) Dados: P = 2.303,70 F = ? id = 4,5 ÷ 100 = 0,045 ao trimestre n = 1 ano e 6 meses = 6 trimestres P = F ÷ (1 + id)

n

2.303,70 = F ÷ (1 + 0,045)6

2.303,70 =F ÷ (1,045)6

2.303,70 = F ÷ 1,302260 F = 2.303,70 × 1,302260 F = 3.000,02

Resposta: O valor do título era de R$ 3.000,02.

19) Temos: P = 20.000 F = ? n = 10 meses id = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês F = P × (1 + id)

n

F = 20.000 (1 + 0,035)10

F = 20.000 (1,035)10

F = 20.000 × 1,410599 F = 28.211,98 A firma deveria pagar R$ 28.211,98 daqui a 10 meses, mas, como vai antecipar o pagamento dentro de 4 meses (6 meses de antecipação), o valor será: F = 28.211,98 P = ? n = 6 meses id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 28.211,98 ÷ (1 + 0,03)6

P = 28.211,98 ÷ (1,03)6

P = 28.211,98 ÷ 1,194052 P = 23.627,09

Resposta: A firma pagará R$ 23.627,09.

GABARITO 195

20) Dados: F = 750 P = ? n = 5 meses – 3 meses = 2 meses (antecipação) id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 750 ÷ (1 + 0,03)2

P = 750 ÷ (1,03)2

P = 750 ÷ 1,0609 P = 706,95

Resposta: O novo valor do título será de R$ 706,95.

21) Dados: O título será pago com atraso; logo, será calculado o montante e não o valor atual. P = 1.000 F = ? n = 9 – 6 = 3 meses de atraso id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês F = P × (1 + id)

n

F = 1.000 (1 + 0,03)3

F = 1.000 (1,03)3

F = 1.000 × 1,092727 F = 1.092,73


22) Dados: F = 80.000 P = ? n = 3 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 80.000 ÷ (1 + 0,02)3

P = 80.000 ÷ (1,02)3

P = 80.000 ÷ 1,061208 P = 75.385,79


23) Dados: F = ? P = 56.000 n = 5 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

56.000 = F ÷ (1 + 0,02)5

56.000 = F ÷ (1,02)5

56.000 = F ÷ 1,104081 F = 56.000 × 1,104081 F = 61.828,52

Resposta: O valor nominal do título era de R$ 61.828,52.



n

P = 90.000 ÷ (1 + 0,04)2

P = 90.000 ÷ (1,04)2

P = 90.000 ÷ 1,0816 P = 83.210,06

Resposta: O valor presente (atual) do título é de R$ 83.210,06.


n

P = 12.000 ÷ (1 + 0,09)8

P = 12.000 ÷ (1,09)8

P = 12.000 ÷ 1,992563 P = 6.022,40

Resposta: O valor presente (atual) do título é de R$ 6.022,40.

26) Dados: F = 15.000 P = ? n = 3 anos id = 20 ÷ 100 = 0,2 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 15.000 ÷ (1 + 0,2)3

P = 15.000 ÷ (1,2)3

P = 15.000 ÷ 1,7280 P = 8.680,56



n

75.600 = F ÷ (1 + 0,09)4

75.600 = F ÷ (1,09)4

75.600 × 1,411582 = F F = 106.715,57


GABARITO 197


n

12.700 = F ÷ (1 + 0,11)8

12.700 = F ÷ (1,11)8

12.700 = F ÷ 2,304538 F = 12.700 × 2,304538 F = 29.267,63


29) Dados: F = 85.000 D = ? n = 5 meses id = 8 ÷ 100 = 0,08 ao mês

D = F × [ (1 + id)

n – 1 ] =

85.000 × [ (1 + 0,08)5 – 1 ]

(1 + id)n (1 + 0,08)5

D = 85.000 × 0,469328 =

39.892,8865

1,469328 1,469328

D = 27.150,43


30) Dados: P = ? F = 25.000 n = 6 meses i = 2% a.m. ÷ 100 = 0,02 a.m. P = F ÷ (1 + i)n P = 25.000 ÷ (1 + 0,02)6

P = 25.000 ÷ (1,02)6

P = 25.000 ÷ (1,126162) = 22.199,25

Resposta: O valor pago pelo título foi de R$ 22.199,25.

31) Dados: D = ? id = 2% a.m. ÷ 100 = 0,02 a.m. n = 4 meses F = 12.600 D = F × [(1 + id)

n – 1] ÷ (1 + id)n

D = 12.600 × [(1 + 0,02)4 – 1] ÷ (1 + 0,02)4

D = 1038,645216 ÷ 1,082432 D = 959,55

Resposta: O valor do desconto será de R$ 959,55.


Unidade 7

1) Dados: P = 20.000 i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = 6 meses PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 20.000 × 0,04 × (1 + 0,04)6 ÷ [(1 + 0,04)6 – 1] PMT = 1012,255215 ÷ 0,265319 PMT = 3.815,24


2) Dados: P = 32.000 – 20.000 = 12.000 i = 30% a.a. n = 10 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,30 = (1 + i)12

1,30 = (1 + i)12

(1,30)1/12 = 1 + i (1,30)1/12 – 1 = i i = 0,022104 = 2,210445% a.m. PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 12.000 × 0,022104 × (1 + 0,022104)10 ÷ [(1 + 0,022104)10 – 1] PMT = 330,069132 ÷ 0,244379 PMT = 1.350,64


3) Dados: P = 1.325 i = 5,2 ÷ 100 = 0,052 ao mês n = 6 meses PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 1.325 × 0,052 × (1 + 0,052)6 ÷ [(1 + 0,052)6 – 1] PMT = 93,392857 ÷ 0,355484 PMT = 262,72

Resposta: O valor da prestação é de R$ 262,72.

GABARITO 199

4) Dados: P = ? i = 7 ÷ 100 = 0,07 ao mês n = 8 meses PMT = 112,30 PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] 112,30 = P × 0,07 × (1 + 0,07)8 ÷ [(1 + 0,07)8 – 1] 112,30 = P × 0,120273 ÷ 0,718186 P = 112,30 ÷ 0,167468 P = 670,58

Resposta: O valor do seguro à vista seria de R$ 670,58.



6) Dados: Entrada = 300 P = ? i = 5,75 ÷ 100 = 0,0575 ao mês n = 6 meses PMT = 188 PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] 188 = P × 0,0575 × (1 + 0,0575)6 ÷ [(1 + 0,0575)6 – 1] 188 = P × 0,080417 ÷ 0,398564 188 = P × 0,201768 P = 931,76

Resposta: O valor à vista é de 931,76 + 300 = R$ 1.231,76.

7) Dados: P = 60.000 – 30% × 60.000 = 60.000 – 18.000 = 42.000 i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês n = 10 meses PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 42.000 × 0,025 × (1 + 0,025)10 ÷ [(1 + 0,025)10 – 1] PMT = 1.344,088771 ÷ 0,280085 PMT = 4.798,87





9) Dados: P = 12.900 – 20% × 12.900 = 12.900 – 2.580 = 10.320 i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês n = 12 meses PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 10.320 × 0,025 × (1 + 0,025)12 ÷ [(1 + 0,025)12 – 1] PMT = 346,981317 ÷ 0,344889 PMT = 1.006,07


10) Dados: P = 15.000 i = 2,6 ÷ 100 = 0,026 ao mês n = 6 bimestres PMT = ? Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: bimestre – Relação conversão: 2 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 0,026)2

I = (1,026)2 – 1 I = 1,052676 – 1 I = 0,052676 I = 5,2676% a.b. PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n –1] PMT = 15.000 × 0,052676 × (1 + 0,052676)6 ÷ [(1 + 0,052676)6 – 1] PMT = 1.075,158214 ÷ 0,360719 PMT = 2.980,60

Resposta: O valor da prestação será de R$ 2.980,60.

11) Dados: P = 400 i = 1,2 ÷ 100 = 0,012 ao mês n = 5 meses PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] Então: PMT = 400 × 0,012 × (1 + 0,012)5 ÷ [(1 + 0,012)5 – 1] PMT = 5,094995 ÷ 0,061457 PMT = 82,90


GABARITO 201

12) Dados: P = 820 – 23% × 820 = 820 – 188,6 = 631,40 i = 132 ÷ 100 = 1,32 ao ano n = 5 meses PMT = ? Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 1,32 = (1 + i)12

2,32 = (1 + i)12

(2,32)1÷12 = 1 + i i = (2,32)1÷12 – 1 i = 1,072648 – 1 i = 0,072648 i = 7,264826% a.m. PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 631,40 × 0,072648 × (1 + 0,072648)5 ÷ [(1 + 0,072648)5 – 1] PMT = 65,135304 ÷ 0,419994 PMT = 155,09


13) Dados: P = ? i = 156 ÷ 100 = 1,56 ao ano n = 6 meses PMT = 102,28 Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 1,56 = (1 + i)12

2,56 = (1 + i)12

2,561÷12 = 1 + i i = (2,56)1÷12 – 1 i = 0,081484 i = 8,148375% a.m. PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] 102,28 = P × 0,081484 × (1 + 0,081484)6 ÷ [(1 + 0,081484)6 – 1] 102,28 = P × 0,130374 ÷ 0,600000 102,28 = P × 0,217291 P = 470,71

Resposta: O valor à vista é R$ 470,71.


14) Dados: P = ? i = 252 ÷ 100 = 2,52 a.a. n = 5 meses PMT = 72,57 Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 2,52 = (1 + i)12

3,52 = (1 + i)12

3,521÷12 = 1 + i i = (3,52)1÷12 – 1 i = 0,110568 i = 11,056817% a.m. PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] 72,57 = P × 0,110568 × (1 + 0,110568)5 ÷ [(1 + 0,110568)5 – 1] 72,57 = P × 0,186791 ÷ 0,689575 72,57 = P × 0,270957 P = 72,57 ÷ 0,270957 P = 267,83 12% de entrada, então 267,83 equivale a 100% – 12% = 88% Então, usando regra de três: 267,83 ------------------------------------------------------ 88% x ------------------------------------------------------ 100% x = (267,83 × 100) ÷ 88 = 304,35

Resposta: O valor à vista é R$ 304,35.

15) Dados: P = 2.100 i = 9 ÷ 100 = 0,09 ao mês n = 15 meses PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 2.100 × 0,09 × (1 + 0,09)15 ÷ [(1 + 0,09)15 – 1] PMT = 688,429185 ÷ 2,642482 PMT = 260,52


16) Dados: P = 20.000 i = 3% = 0,03 ao mês n = 5 meses PMT = ? PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 20.000 × 0,03 × (1 + 0,03)5 ÷ [(1 + 0,03)5 – 1] PMT = 695,564444 ÷ 0,159274 PMT = 4.367,09


GABARITO 203

17) Temos 20% de entrada, logo, foram financiadas 80%. P = 55.000 × 0,80 = 44.000 i = 4% = 0,04 ao mês n = 8 meses PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 44.000 × 0,04 × (1 + 0,04)8 ÷ [(1 + 0,04)8 – 1] PMT = 2.408,681528 ÷ 0,368569 PMT = 6.535,22


18) Dados: PMT = 1.728,20 i = 5% = 0,05 ao mês n = 7 meses PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1] P = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n] P = 1.728,20 × [(1 + 0,05)7 – 1] ÷ [0,05 × (1 + 0,05)7] P = 703,550951 ÷ 0,070355 P = 10.000,00

Resposta: O valor à vista é de R$ 10.000,00.

19) Dados: PMT = 2.000,00 i = 2% = 0,02 ao mês n = 9 meses PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1] P = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n] P = 2.000 × [(1 + 0,02)9 – 1] ÷ [0,02 × (1 + 0,02)9] P = 390,185138 ÷ 0,023902 P = 16.324,47 Desconto = 30% × 16.324,47 = 0,30 × 16.324,47 = 4.897,34


20) Dados: PMT = 1.000,00 i = 34,49% ao ano n = 3 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,3449 = (1 + i)12

1,3449 = (1 + i)12

(1,3449) 1÷12 = 1 + i (1,3449)1÷12 – 1 = i i = 0,025001 = 2,25% a.m. PV = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n] PV = 1.000 × [(1 + 0,025)3 – 1] ÷ [0,025 × (1 + 0,025)3] PV = 76,890625 ÷ 0,026922 PV = 2.856,02



Unidade 8

1) Letra D

2) Dados: n = 36 meses i = 3,5% a.m. = 0,035 G = R$ 450,00 (pagas no final do mês) – Temporária Imediata e Postecipada Ap = ? (Valor atual do veículo quando pago à vista) Sabemos que, para calcular o valor atual de uma série Temporária Imediata e Postecipada, devemos utilizar a fórmula:

Ap = 1 – vn × (R ou G)

i Onde v = 1 ÷ (1 + i) Então:

Ap = 1 – [1 ÷ (1 + 0,035)36] × 450,00 0,035

Ap = 1 – [1 ÷ (1,035)36] × 450,00 0,035

Ap = 1 – 0,289833 × 450,00 0,035

Ap = 9.130,72

Resposta: O preço à vista do automóvel, desprezando os centavos, será de R$ 9.130,00.

3) Dados: Ap = R$ 15.650,00 n = 36 meses i = 2,95% a.m. = 0,0295 G = ? (pagas no início do mês) – Temporária Imediata e Antecipada. Sabemos que para calcular o valor atual de uma série Temporária Imediata e Antecipada devemos utilizar a fórmula: Ap = (1 + i)n – 1 × (R ou G) i × (1 + i) n-1

Então:

15.650,00 = (1 + 0,0295)36 – 1 × G 0,0295 × (1 + 0,0295)36-1

15.650,00 = (1,0295)36 – 1 × G 0,0295 × (1,0295)35

15.650,00 = 2,848057 – 1 × G 0,081610

15.650,00 = 22,644931 × G

GABARITO 205

G = 15.650,00 ÷ 22,644931 G = 691,10

Resposta: O valor da prestação a ser paga é de R$ 691,10.

4) Dados: R = R$ 80.000,00 (pagas no final do período) – Perpétua Imediata e Postecipada n = Infinito (Série Perpétua) i = 2.35% a.m. = 0,0235 Ap =? Sabemos que, para calcular o valor atual de uma série Perpétua Imediata e Postecipada, devemos utilizar a fórmula:

Ap = 1 × (R ou G) i Então:

Ap = 1 × (80.000) 0,0235

Ap = 42,553191 × (80.000) Ap = 3.404.255,32

Resposta: O valor estimado do imóvel é de R$ 3.404.255,32.

5) Dados: R = R$ 1.000,00 n = 36 meses i = 2,5% a.m. = 0,025 Sf = ? (Montante de uma série com termos postecipados) Sabemos que, para calcular o montante de uma anuidade postecipada, devemos usar a fórmula:

Sf = [(1+ i)n – 1] × (R ou G) i

Sf = [(1 + 0,025)36 – 1] × 1.000,00 0,025

Sf = [(1,025)36 – 1] × 1.000,00 0,025

Sf = [2,432535 – 1] × 1.000,00 0,025

Sf = [1,432535] × 1.000,00 0,025

Sf = 57.301,41



6) Dados: n = 6 meses i = 2,5% a.m. = 0,025 G = R$ 600,00 (pagas no final do mês) – Temporária Imediata e Postecipada Ap = ? (Valor atual do computador quando pago à vista) Sabemos que, para calcular o valor atual de uma série Temporária Imediata e Postecipada, devemos utilizar a fórmula:

Ap = 1 – vn × (R ou G)

i

Onde v = 1 ÷ (1 + i)

Então:

Ap = 1 – [1 ÷ (1 + 0,025)6] × 600,00 0,025

Ap = 1 – [1 ÷ (1,025)6] × 600,00 0,025

Ap = 1 – 0,862297 × 600,00 0,025

Ap = 3.304,88

Resposta: O preço à vista do computador será de R$ 3.304,88.

7) Dados: R = R$ 500,00 n = 20 meses i = 1,5% a.m. = 0,015 SF = ? (Montante de uma série com termos antecipados) Sabemos que, para calcular o montante de uma anuidade antecipada, devemos usar a fórmula:

SF = (1+ i) × [(1 + i)n – 1] × (R ou G) i

SF = (1+ i) × [(1 + i)n – 1] × (R ou G) i

SF = (1+ 0,015) × [(1 + 0,015)20 – 1] × 500,00 0,015

SF = (1,015) × [(1,015)20 – 1] × 500,00 0,015

SF = (1,015) × 23,123667 × 500,00

SF = 11.735,26 Resposta: O montante será de R$ 11.735,26.

GABARITO 207

8) Dados: R = R$ 3.000,00 n = Infinito (Renda Perpétua) i = 1,0% a.m. = 0,01 Ap =? (Valor atual de uma série com termos postecipados) Sabemos que, para calcular o valor atual de uma anuidade série perpétua imediata postecipada, devemos usar a fórmula:

Ap = 1 × (R ou G) i

Ap = 1 × 3.000,00 0,01

Ap = 100 × 3.000,00 Ap = 300.000,00

Resposta: O valor necessário é de R$ 300.000,00.

9) Dados: R = 600,00 (Aluguel – Início mês – Perpétua Antecipada) Ap = 30.600,00 i = ? Sabemos que, para calcular o valor atual de uma anuidade perpétua antecipada, devemos usar a fórmula:

Ap = (1 + i) × (R ou G) i

30.600 = (1 + i) × 600 i 30.600i = 600 + 600i 30.600i – 600i = 600 30.000i = 600 i = 600 ÷ 30.000 i = 2% a.m.

Resposta: O valor da taxa é 2%.

10) Solução:

SF = ? i = 2,35% a.m. R = 1,00 (valor unitário, série antecipada) n = 12 meses

SF = (1 + i) × [(1 + i)n – 1] ÷ i × (R ou G)

SF = (1 + 0,0235) × [(1 + 0,0235)12 – 1] ÷ 0,0235 × (1)

R = R$ 1,00

SF = ?

i = 2,35% a.m.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


SF = 1,0235 × 13,679167 × 1

SF = 14,00

Resposta: O montante do investimento é de R$ 14,00.

11) Dados: PMT = 534,34 (pagamento postecipado) i = 1,5% = 0,015 ao mês n = 8 meses P = ? PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1] P = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n] P = 534,34 × [(1 + 0,015)8 – 1] ÷ [0,015 × (1 + 0,015)8] P = 67,590049 ÷ 0,016897 P = 4.000,00


12) Dados: Ap = 12.000 i = 3% = 0,03 ao mês n = 5 meses G = ? (pagamento antecipado) Ap = {[(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n – 1]} × (R ou G) G = Ap × i × (1 + i)n – 1 ÷ [(1 + i)n – 1] G = 12.000 × 0,03 × (1 + 0,03)4 ÷ [(1 + 0,03)5 – 1] G = 405,183172 ÷ 0,159274 G = 2.543,94


13) Dados: Anuidade Perpétua Postecipada R = 20.000 i = 4% = 0,04 ao ano Ap = R ÷ i Ap = 20.000 ÷ 0,04 Ap = 500.000,00

Resposta: O valor presente dessa ação é de R$ 500.000,00.

14) Dados: R = 2.000 (anuidade postecipada) i = 1% = 0,01 ao mês n = 12 meses SF = ? SF = {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G) SF = (R ÷ i) × [(1 + i)n – 1] SF = (2.000 ÷ 0,01) × [(1 + 0,01)12 – 1] SF = 200.000 × 0,1268 SF = 25.365,01


GABARITO 209

15) Dados: R = 1.000 (anuidade antecipada) i = 2% = 0,02 ao mês n = 24 meses SF = ? SF = (1 + i) × {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G) SF = (R × (1 + i) ÷ i) ×[(1 + i)n – 1] SF = (1.000 × 1,02 ÷ 0,02) × [(1 + 0,02)24 – 1] SF = 51.000 × 0,608437 SF = 31.030,30


16) Dados: R = 5.000 (postecipada, pois começará daqui a um ano) i = 10% = 0,10 ao ano n = vida inteira (série perpétua) Ap = ? Ap = R ÷ i = 5000 ÷ 0,10 = 50.000,00

Resposta: Deverá depositar R$ 50.000,00.

17) Dados: G = 1.400,20 (pagamento antecipado, pois a primeira parcela será paga no momento da compra) i = 2% = 0,02 ao mês n = 6 meses Ap = ? Ap = G × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n – 1] Ap = 1.400,20 × [(1,02)6 – 1] ÷ [0,02 × (1,02)5] Ap = 1.400,20 × 0,1262 ÷ 0,0221 Ap = 8.000,00

Resposta: O valor à vista é R$ 8.000,00.

18) Dados: R = 1.800,00 (postecipado, pois será retirado no mesmo mês do último depósito) i = 1,5% = 0,015 ao mês n = 12 meses SF = ? SF = (R ÷ i) × [(1 + i)n – 1] SF = (1.800 ÷ 0,015) × [(1 + 0,015)12 – 1] SF = 120.000 × 0,195618 SF = 23.474,18



19) Dados: R = ? (depósito feito antecipadamente) i = 1% = 0,01 ao mês n = 15 meses SF = 30.000,00 SF = (1 + i) × {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G) R = {[SF ÷ (1 + i)] × i} ÷ [(1 + i)n – 1] R = (30000 ÷ 1,01 × 0,01) ÷ [(1 + 0,01)15 – 1] R = 297,029703 ÷ 0,16100969 R = 1.845,26

Resposta: O valor das prestações será de R$ 1.845,26.

20) Dados: G = ? (aplicações feitas postecipadamente) i = 1,4% = 0,014 ao mês n = 10 meses SF = R$ 15.981,16 SF = {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G) G = (SF × i) ÷ [(1 + i)n – 1] G = (15.981,16 × 0,014) ÷ [(1 + 0,014)10 – 1] G = 223,73624 ÷ 0,149157 G = 1.500,00

Resposta: O valor das prestações será de R$ 1.500,00.

GABARITO 211

Testando Conhecimentos

1) Dados: id = 60% a.a. ÷ 12 = 5% a.m. ÷ 100 = 0,05 F = 1.000 com vencimento para 30 dias → antecipar = n = 1 mês P1 = F × (1 – id × n) P1 = 1.000 × (1 – 0,05 × 1) P1 = 1.000 × (1 – 0,05) P1 = 1.000 × 0,95 P1 = 950,00 P2 = 2.000 com vencimento para 60 dias → antecipar = n = 2 meses P2 = 2.000 × (1 – 0,05 × 2) P2 = 2.000 × (1 – 0,1) P2 = 2.000 × 0,9 P2 = 1.800,00 P3 = 3.000 com vencimento para 90 dias → antecipar = n = 3 meses P3 = 3.000 × (1 – 0,05 × 3) P3 = 3.000 × (1 – 0,15) P3 = 3.000 × 0,85 P3 = 2.550,00 P1 + P2 + P3 = 950 + 1.800 + 2.550 = R$ 5.300,00

Resposta: O valor atual a ser creditado na conta da empresa é de R$ 5.300,00.

2) Dados: F = 80.000,00 id = 36% a.a. ÷ 12 = 3% a.m. ÷ 100 = 0,03 n = 8m P = ? P = F × (1 – id × n) P = 80.000 × (1 – 0,03 × 8) P = 80.000 × (1 – 0,24) P = 80.000 × 0,76 P = 60.800,00

Resposta: O título será resgatado pelo valor de R$ 60.800,00.

3) Dados: P = (3 ÷ 5) × 150.000 = 90.000 i = 18% a.a. n = 3 bimestres Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: ano – Relação conversão: 6 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,18 = (1 + i)6

1,18 = (1 + i)6

(1,18)1÷6 = 1 + i i = (1,18)1÷6 – 1 = 0,027970 = 2,796975% a.b.

F = P (1 + id)n

F = 90.000 (1 + 0,027970)3

F = 90.000 × 1,086278 F = 97.765,02 Logo: J = F – P J = 97.765,02 – 90.000 J = 7.765,02

Resposta: O juro obtido com a aplicação é de R$ 7.765,02.


4) Dados: F = 2 ÷ 3 × 4.800 = 3.200 F = 3.200 id = 1,25 ÷ 100 a.m. = 0,0125 n = 5 meses P = F ÷ (1 + id)

n

P = 3.200 ÷ (1 + 0,0125)5

P = 3.200 ÷ 1,01255

P = 3.200 ÷ 1,064082 P = 3.007,29

Resposta: O Valor Atual pago é de R$ 3.007,29.

5) Dados: P = 4 ÷ 9 × 270.000 = 120.000 P = 120.000 i = 24% a.a. n = 5 bimestres Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: ano – Relação de Conversão: 6 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)6 1,24 = (1 + i)6

(1,24)1÷6 = 1 + i i = (1,24)1÷6 – 1 id = 0,036502 id = 3,650233% a.b. F = P × (1 + id)

n

F = 120.000 × (1 + 0,036502)5

F = 120.000 × (1,036502)5

F = 120.000 × 1,196331 F = 143.559,74

Resposta: O montante obtido é de R$ 143.559,74.

6) Dados: P = F ÷ (1 + id)

n id = 2% ÷ 100 a.m. = 0,02 n = 4m P = 923,85 923,85 = F ÷ (1,02)4

F = 923,85 × 1,082432 F = 1.000,00

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 1.000,00.

7) Dados: P = 7.538,58 F = ? id = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 3 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação de Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)12

1,24 = (1 + i)12

GABARITO 213

(1,24)1÷12 = 1 + i i = (1,24)1÷12 – 1 i = 0,018088 i = 1,808758% a.m. P = F ÷ (1 + id)

n

7.538,58 = F ÷ (1 + 0,018088)3

F = 7.538,58 × (1 + 0,018088)3

F = 7.538,58 × 1,055250 F = 7.955,09

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 7.955,09.

8) Dados: Taxa Ano = 15% Período Menor: Mês Período Maior: Ano Relação de Conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?) Aplicando a fórmula de conversão, temos que: 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,15 = (1 + i)12

1,15 = (1 + i)12

(1,15)1÷12 = 1 + i i = 1,011715 – 1 i = 1,171492 → i = 1,17% a.m.

Resposta: A taxa de rentabilidade efetiva mensal id = 1,17%.

9) Dados: Taxa Ano = 540% Taxa proporcional é um conceito associado a juros simples e obedece à relação de proporção existente entre os períodos envolvidos na conversão (1 ano tem 12 meses).

Taxa Meses

Logo: 540% = 12 → id = 540 → id = 45% a.m. id 1 12

Resposta: A taxa mensal proporcional a 540% a.a. é de 45% a.m.

10) Dados: Taxa Semestral = 20% Taxa Bimestral = ? Taxa equivalente é um conceito associado a juros compostos e obedece à seguinte regra de conversão: Período menor: bimestre – Período maior: semestre – Relação de conversão: 3 (Quantos menores cabem dentro do maior?) Aplicando a fórmula de conversão, temos que: 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,20 = (1 + i)3

1,20 = (1 + i)3

(1,20)1÷3 = 1 + i i = 1,062659 – 1 i = 0,062659 i = 6,27% a.b.

Resposta: A taxa de equivalente bimestral é de i = 6,27%.

→ →


11) Dados: Taxa aplicação = 13% a.m. Período: n = 6 meses Juros: J = 25.000,00 (valor do carro) Capital: P = ? Montante: F = P + J → F = P + 25.000 Como a taxa e o período estão na mesma unidade, não necessitamos realizar conversão. Aplicando a fórmula do montante em juros compostos, temos: F = P (1 + id)

n

P + 25.000 = P (1 + 13 ÷ 100)6

P + 25.000 = P (1,13)6

P + 25.000 = P × 2,081952 P × 2,081952 – P = 25.000 P (2,081952 – 1) = 25.000 P = 25.000 ÷ 1,081952 P = 23.106,39

Resposta: O capital necessário para realizar o investimento é de R$ 23.106,39.

12) Dados: P = 25.000 – 20% de 25.000 P = 25.000 – 5.000 = 20.000 i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m. n = 6 meses PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 20.000 × 0,025 × 1,0256 ÷ [1,0256 – 1] PMT = 500 × 1,159693 ÷ [1,159693 – 1] PMT = 579,846500 ÷ 0,159693 PMT = 3.631,00

Resposta: A prestação mensal do financiamento é de R$ 3.631,00.

13) Dados: P = 19.000,00 i = 6 ÷ 100 a.m. = 0,06 n = 12m PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] PMT = 19.000 × 0,06 × 1,0612 ÷ [(1,06)12 – 1] PMT = 1.140 × 2,012196 ÷ [2,012196 – 1] PMT = 2.293,903440 ÷ 1,012196 PMT = 2.266,26

Resposta: O valor de cada prestação será de R$ 2.266,26.

14) Dados: Menor: bimestral = i = 3% Maior: semestral = I Relação = 6 ÷ 2 = 3 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 0,03)3

1 + I = (1,03)3 I = (1,03)3 – 1 I = 1,092727 – 1 = 0,092727 I = 9,27%

Resposta: A taxa é de 9,27%.

GABARITO 215

15) Dados: G = R$ 300,00 (antecipada, pois a primeira será paga no momento da compra) i = 2% = 0,02 ao mês n = 10 meses AP = ? AP = (R ou G) × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n – 1] AP = 300 × [(1,02)10 – 1] ÷ [0,02 × (1,02)9] AP = 300 × 0,2190 ÷ 0,029 AP = 2.748,67

Resposta: O valor à vista é R$ 2.748,67.

16) Dados: AP = 30.000 i = 1,5% = 0,015 ao mês n = 36 meses G = ? (postecipado, pois a primeira será paga um mês após a compra) AP = {1 – [1 ÷ (1 + i)n] ÷ i}× (R ou G) G = AP × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1] G = 30.000 × 0,015 × (1 + 0,015)36 ÷ [(1 + 0,015)36 – 1] G = 30.000 × 0,015 × 1,7091 ÷ 0,7091 G = 1.084,57

Resposta: O valor das parcelas é de R$ 1.084,57.

17) Dados: Maior: semestral = I = 20% Menor: quadrimestral = i Relação: 6 ÷ 4 = 1,5 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,2 = (1 + i)1,5

1,2 = (1 + i)1,5

(1,2)1÷1,5 = 1 + i i = (1,2)1÷1,5 – 1 = 0,129243 i = 12,92% a.q.

Resposta: A taxa é de 12,92%.

18) Dados: Trata-se de uma série postecipada. R = R$ 500,00 i = 2% = 0,02 ao mês n = 12 meses SF = ? SF = (R ÷ i) ×[(1 + i)n – 1] SF = (500 ÷ 0,02) × [(1 + 0,02)12 – 1] SF = 25.000 ÷ 0,2682 SF = 6.706,04



19) Dados: i = 3% a.m. ÷ 100 = 0,03 a.m. n = 12 meses G = 1.000 (pagamento no final do mês, portanto postecipado) Ap = ? Ap = [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G) vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,03)12 = 0,701380 Ap = [(1 – 0, 701380) ÷ 0,03] × 1.000 Ap = 9,954004 × 1.000 = 9.954,00

Resposta: O valor do financiamento é de R$ 9.954,00.

20) Dados: i = 10% a.a. ÷ 100 = 0,1 a.a. R = 10.000 (recebimento postecipado, ao final de cada ano) n = 8 anos Ap = ? Ap = [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G) vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,1)8 = 0,466507 Ap = [(1 – 0, 466507) ÷ 0,1] × 10.000 Ap = 5,334926 × 10.000 = 53.349,26

Resposta: O investimento será de R$ 53.349,26.

21) Dados: i = 2,5% a.m. ÷ 100 = 0,025 a.m. G = ? (pagamento antecipado) n = 6 meses Ap = 3.000 Ap = {[(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n-1]} × (R ou G) 3.000 = {[(1 + 0,025)6 – 1] ÷ [0,025 × (1 + 0,025)6-1]} × G 3.000 = {[(1 + 0,025)6 – 1] ÷ [0,025 × (1 + 0,025)6-1]} × G 3.000 = 0,159693 ÷ 0,028285 × G 3.000 = 5,645814 × G G = 3.000 ÷ 5,645814 = 531,37

Resposta: O valor de cada prestação será de R$ 531,37.

22) Dados: SF = ? R = 1.000 (no final de cada período, pagamento postecipado) i = 1,6% a.b. n = 5 anos Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: ano – Relação conversão: 6 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 0,016)6

1 + I = (1,016)6

I = (1,016)6 – 1 I = 1,099923 – 1 = 0,099923 = 9,992291 % a.a. SF = {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G) SF = {[(1 + 0,099923)5 – 1] ÷ 0,099923} × 1.000 SF = 6,104164 × 1.000 = 6.104,16


GABARITO 217

23) Dados: SF = 10.000 G = ? (no início de cada período, pagamento antecipado) i = 6% a.t. ÷ 100 = 0,06 n = 4 trimestres SF = (1 + i) × {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G) 10.000 = (1 + 0,06) × {[(1 + 0,06)4 – 1] ÷ 0,06} × G 10.000 = 1,06 × 4,374616 × G 10.000 = 4,637093 × G G = 10.000 ÷ 4,637093 = 2.156,52

Resposta: Os depósitos serão de R$ 2.156,52.

24) Dados: PMT = 301,92 n = 4 meses i = 8% a.m. ÷ 100 = 0,08 a.m. P = ? PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1] 301,92 = [P × 0,08 × (1 + 0,08)4] ÷ [(1 + 0,08)4 – 1] 301,92 = P × 0,108839 ÷ 0,360489 301,92 = P × 0,301920 P = 301,92 ÷ 0,301920 = 1.000,00


25) Dados: Ap = ? i = 1,2% a.m. ÷ 100 = 0,012 a.m. R = 1.200 (antecipado, pois o recebimento do aluguel acontece sempre no início do período) n = infinito (Série perpétua) Ap = [(1 + i) ÷ i] × (R ou G) Ap = [(1 + 0,012) ÷ 0,012] × 1.200 Ap = 101.200,00

Resposta: A melhor estimativa é de R$ 101.200,00.

26) Dados: Ap = ? i = 7,25% a.m. ÷ 100 = 0,0725 a.m. G = 150,00 n = 12 meses m = 60 dias = 2 meses (Anuidade temporária diferida) Ap = [1 ÷ (1 + i)m – 1] × [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G) vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,0725)12 = 0,43175 Ap = [1 ÷ (1 + 0,0725)2 – 1] × [(1 – 0,43175) ÷ 0,0725] × 150 Ap = 0,932401 × 7,837931 × 150 Ap = 1.096,21

Resposta: O valor à vista do televisor é de R$ 1.096,21.


27) Dados: Ap = 62.000 i = 1,5% a.m. ÷ 100 = 0,015 a.m. G = ? n = 10 meses m = 4 meses (Anuidade temporária diferida) Ap = [1 ÷ (1 + i)m – 1] × [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G) vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,015)10 = 0,861667 62.000 = [1 ÷ (1 + 0,015)4 – 1] × [(1 – 0, 861667) ÷ 0,015] × G 62.000 = 0,956317 × 9,2222 × G 62.000 = 8,819347 × G G = 62000 ÷ 8,819347 = 7.030,00

Resposta: O valor das parcelas será de R$ 7.030,00.

28) Dados: Ap = 60.000,00 i = ? R = 550,00 (postecipado, pois o aluguel será pago no final do mês) n = infinito (Série perpétua) 60.000 = (1 ÷ i) × 550 60.000 = 550 ÷ i i = 550 ÷ 60000 = 0,009167 = 0,92% a.m.

Resposta: A taxa desse investimento seria de 0,92% a.m.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 219

Referência Bibliográfica

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SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

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