MATEMÁTICA · 2020. 6. 19. · Puntos notables de un triángulo La mediatriz correspondiente al...

PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA1.° SECUNDARIA CABA

#EducandoGeneracionesCC 61075384ISBN 978-950-13-2593-5

II

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

Capítulo5

• Triángulos. Elementos.

• Propiedad triangular.

• Clasificación.

• Propiedades de los ángulos de un triángulo.

• Puntos notables: circuncentro, incentro,

baricentro y ortocentro.

• Construcción de triángulos.

• Triángulos rectángulos. Propiedad pitagórica.

• Criterios de congruencia de triángulos.

• Cuadriláteros. Elementos.

• Clasificación de los cuadriláteros según la

cantidad de lados paralelos.

• Paralelogramos, trapecios y romboides.

• Propiedades de los lados, ángulos y diagonales.

• Perímetros y áreas de los cuadriláteros.

Triángulos y cuadriláteros


Teoría

Elementos de un triángulo. Propiedad triangular

Explicar porqué los datos de los siguientes triángulos son incorrectos.

Completar con los valores que correspondan.

a) om 7 cm mr 5 cm= ∧ = or

b) or 2 cm om 11cm= ∧ = mr

c) om mr 8 cm∧ = 5 cm or 21cm

a) b) c) d)

a) b) c) d)

ab bc

bc ac

ac ab

mp op

om mp

op om

s∧ g∧

t∧ s∧

g∧ t

∧

n∧ v

∧

v∧ q∧

q∧ n

∧

Colocar , o según corresponda.

1

2

3

Un triángulo es un polígono de tres lados.

• Vértices: a, b y c

• Lados: ab, bc y ac

• Ángulos interiores: a, b y c∧ ∧∧

• Ángulos exteriores: , y ∧ ∧∧

βα γ

Propiedad triangular• La longitud de cada lado es menor que la suma de las

longitudes de los otros dos y mayor que su diferencia (positiva).

• Al lado de mayor longitud, se opone el ángulo de mayor amplitud, y viceversa.

a b c 180+ + = °∧ ∧∧

a b c 180+ +b = °180∧ ∧∧

a

b

c

8 cm7 cm

10 cm

65°

70°55° 40°

100°

15 cm

20 c

m

8 cm

13 cm

5 c

m

o

r

m

a

b

c

43°36°

72°o

p

m g

s

t

13 cm

9 cm 15 c

m 50°

11 cm

11

cmq

v

n

80


Teoría

Clasificación de triángulos

Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados o la amplitud de sus ángulos.

Los triángulos equiláteros son isósceles.

7 Decir cuántos triángulos hay en la siguiente figura.

Desafío

Colocar P (posible) o I (imposible) según corresponda.

a) Un triángulo rectángulo puede ser obtusángulo. b) Un triángulo isósceles puede ser rectángulo. c) Un triángulo equilátero puede tener solo dos ángulos iguales. d) Un triángulo rectángulo puede ser equilátero. e) Un triángulo isósceles puede ser obtusángulo.

Calcular y responder.

Plantear la ecuación y hallar la longitud de cada lado.

4

5

6

a) El perímetro de un triángulo isósceles es de 46 cm y el lado desigual es 5 cm más corto que cada uno de los iguales. ¿Cuánto mide cada lado?

b) En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos difieren en 24°. ¿Cuál es la amplitud de cada ángulo agudo?

c) Los lados de un triángulo escaleno son tres números impares consecutivos. Si el perímetro es de 87 cm, ¿cuánto mide cada lado?

d) En un triángulo isósceles oblicuángulo, cada ángulo agudo es la tercera parte del obtuso. ¿Cuál es la amplitud de cada ángulo?

= += +

or 2x 5 cmmr 3x 2 cmPerímetro: 65 cm

Según sus

lados

Según sus

ángulos

Escaleno: los tres lados tienen distinta longitud.

Rectángulo: tiene un ángulo recto.

Isósceles: tiene por lo menos dos lados iguales.

Oblicuángulo: no tiene ángulos rectos.

Equilátero: los tres lados son iguales.

Acutángulo: los tres ángulos son agudos.

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

Los triángulos equiláteros son isósceles.

o

r

m

81


Teoría

Propiedades de los ángulos de un triángulo

Calcular la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes triángulos.

a) = °= °

α

β

126 38' 19''98 27' 52''

∧

∧

b) = °φ 132 25' 47''∧

c) = °ω 103 31' 14''∧

d) = °γ 117 53' 21''∧

Calcular la amplitud de α∧

.

8

9

• La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°

+ + + + + = ° + ° + °

+ + + + + = °° °

180 180 180

540180 360

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧∧∧

360= °β γ φ

∧ ∧ ∧

• El ángulo interior y el exterior son suplementarios.

+ = °

+ = °

+ = °

α β

δ γ

ω φ

180

180

180

∧

∧ ∧

∧

∧∧

• Cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes con él. Los ángulos verdes de cada figura son iguales por ser alternos internos entre paralelas.

= +∧ ∧ ∧

= +β δ ω

∧∧∧= +γ ω α

∧ ∧ ∧

= °α β+ 180∧ ∧

= °δ γ+ 180∧∧

+ = °ω φ+ 180∧ ∧ 360= °360β γ φ

∧ ∧ ∧

= +∧ ∧ ∧

+β δ= ω

∧∧∧= +γ ω= α

∧ ∧ ∧

= °= °

ω

φ

84 28' 42''29 37' 47''

∧

∧

A

B

A B

C

D

C D

E

F

E F

p

r

t

o

s

m

a

bc

d

e

g

A B C

A B C82


Calcular la amplitud de los ángulos interiores del triángulo pintado.

Plantear la ecuación y hallar la amplitud de los ángulos interiores de cada triángulo.

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) Todos los ángulos exteriores de un triángulo equilátero son iguales.

b) El ángulo exterior de un triángulo puede ser cóncavo.

c) Los tres ángulos exteriores de un triángulo pueden ser agudos.

d) El ángulo interior de un triángulo puede ser mayor que el exterior.

e) El ángulo exterior de un triángulo puede ser igual al interior.

12

10

11

13 Decidir si el triángulo verde es o no rectángulo.

a) = + °= − °= + °

ω

α

φ

5x 2311x 53x 8

∧

∧

∧

b) = − °= + °= − °

β

α

ω

4x 123x 72x 2

∧

∧

∧

Desafío

a) == + °α

p 5x6x 4

∧

∧b) = + °

= °= + °

φ

a 4x 397

s 5x 22∧

∧

∧ c) = − °= + °

β

ω

7x 345x 4

∧

∧

= °= °

α

β

14852

∧

∧

o

p

r

a

s

mb

g

v

A B

A

a

bc

B

C M F

M

sm

r CF

H

A

83


Repaso

Marcar con una X las condiciones que se verifican en el triángulo abc.

Clasificar los siguientes triángulos según sus lados y ángulos.

a) mps

b) dec

c) rop

d) bma

e) esm

f) acd

g) bem

a) = °o 27 36' 18''∧

b) = °a 21 49' 16''∧

a) bc ab

b) = °bac 70∧

c) ac bc

d) bc 17 cm

e) <a c∧ ∧

f) + =ac bc 15 cm

Hallar la amplitud del ángulo ∧

en cada triángulo.

Calcular la amplitud del ángulo adc∧

.

bac∧

67° 19’ 42”

14

15

16

17

a

b

c

53°

67°

15 c

m

a

b

c

d

e

o p

m

r s

o

r

m

g

a

s

a

b

c

d

84


Calcular la amplitud los ángulos interiores de los siguientes triángulos.

Hallar la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes triángulos.

Hallar la amplitud de los ángulos interiores del triángulo rojo.

20

18

19

a)

b) = + °= − °= + °

φ

p 3x 248x 53

e x 15∧

∧

∧

c) = − °= − °

β 5x 44x 13μ

∧

∧

d) = + °= + °

ω

δ

7x 125x 42

∧

∧

a) = + °= − °= + °

a 4x 5b 8x 3c 10x 2∧

∧

∧b) = + °

= − °= + °

α

φ

ω

3x 76x 55x 8

∧

∧

∧

= + °= °= + °

α

φ

ω

2x 91265x 12

∧

∧

∧

a

b

c

m

r

s

A B CA

a

c

b

B C

D

E

r

sm

eo

pf

t

m

a

b

c

85


Teoría

Propiedad Pitagórica

Calcular la longitud del segmento verde.

Aplicar la propiedad pitagórica y clasificar los siguientes triángulos.

Hallar la longitud del segmento am .

===

mr 13 cmar 14 cmmb 12 cm

a) b) c)

a) b) c)

a) Una escalera de 10 m de largo se apoya contra una pared con una separación de 6 m. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

b) Una antena de 84 m está sostenida desde su extremo por un tensor de 91 m. ¿A qué distancia de la antena se sujetó el tensor?

Plantear y resolver.

21

24

22

23

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

La altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles determina dos triángulos rectángulos iguales y es bisectriz del ángulo opuesto a la base.

os or2 2 2= +rso

r

s

20 cm

16

cm

12 cm

5 c

m

30 cm

18 cm

a

b

m

r

7 cm 11 cm

8 cm

12 cm

11 cm 16 cm

23 cm

21

cm

31 cm

86


Teoría

Criterios de igualdad de dos triángulos

27 Calcular la longitud del segmento ab .

Desafío

Decidir si los siguientes pares de triángulos son iguales y justificar la respuesta.

Colocar V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.

25

26

a) c) e)

b) d) f)

a) Dos triángulos que tienen igual perímetro son iguales. b) Los triángulos determinados por la diagonal de un rectángulo son iguales. c) Dos triángulos rectángulos que tienen los catetos de la misma longitud son iguales. d) Dos triángulos isósceles que tienen la misma altura son iguales. e) Los triángulos rectángulos determinados por la altura de un triángulo son iguales.

Dos triángulos son iguales cuando las longitudes de sus tres lados y las amplitudes de sus tres ángulos son iguales. Existen tres criterios para determinar si dos triángulos son iguales sin necesidad de conocer sus lados y ángulos.Lado - ángulo - lado (LAL)Si dos triángulos tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido igual, son iguales.

Ángulo - lado - ángulo (ALA)Si dos triángulos tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a él iguales, son iguales.

Lado - lado - lado (LLL)Si dos triángulos tienen los tres lados iguales, son iguales.

b

===

acr pbcbp 25 cmcr 15 cm

s

m

7 cm

hp

c

40°5 cm

7 cm

40°5 cm

hpc msb

t r

k

j

i

b50°

65°

6 cm

50°

65°

6 cm

trb jik

n

t

c s

a

v

7 cm

8 cm

9 cm

7 cm

8 cm

9 cm

cnt sav

60°

70°

50°

60°50°

70°

5 cm

3 cm

3 cm 4 cm

60°

60°

5 cm

60°

30° 60°30°

a

b

cp r

5 c

m

87


Teoría

Puntos notables de un triángulo

La mediatriz correspondiente al lado de un triángulo es la recta que equidista de los extremos del lado.El punto de intersección de las mediatrices correspondientes a los lados de un triángulo se denomina circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscripta en el triángulo.

La bisectriz correspondiente al ángulo interior de un triángulo es la semirrecta que equidista de los lados del ángulo.El punto de intersección de las bisectrices correspondientes a los ángulos interiores de un triángulo se denomina incentro y es el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo.

M mediatriz de sk

D mediatriz de pk

B mediatriz de sp

f es el circuncentro

sm bisectriz de s

pb bisectriz de p

kj

� ��

� ��

� �� bisectriz de k

f es el incentro

∧

∧

∧

La mediana correspondiente al lado de un triángulo es el segmento que une el punto medio del lado y el vértice opuesto.El punto de intersección de las medianas correspondientes a los lados de un triángulo se denomina baricentro y es el centro de gravedad del triángulo.

La altura correspondiente al lado de un triángulo es el segmento perpendicular al lado o a su prolongación cuyo extremo es el vértice opuesto.El punto de intersección de las alturas correspondientes a los lados de un triángulo o a sus prolongaciones se denomina ortocentro.

pa mediana de sk f→ a p=ff a

sj mediana de pk f→ j s=ff j

km mediana de sp f→ m k=ff m

f es el baricentro

13

13

13

ph altura de sk

sb altura de pk

kq altura de sp

f es el ortocentro

Trazar la circunferencia pedida en cada caso.

a) Inscripta en el triángulo arm. b) Circunscripta en el triángulo bpe.28

b

e

p

a

r

m

M

D Bs

p

k

fb j

m

s

pk

f

f

ja

msp

k

b

s

p

k

q

h

f

88


Marcar el ortocentro de los siguientes triángulos.

Construir los siguientes triángulos y marcar el baricentro.

29

30

a) b) c)

a) Escaleno acutángulo de 19 cm de perímetro. b) Isósceles obtusángulo de 22 cm de perímetro.

31 Trazar una circunferencia que pase por los tres puntos.

Desafío

89


Repaso

Decidir cuál de los trayectos marcados en el mapa es el más corto.

Marcar con una X la opción correcta en cada caso.

Decidir en qué caso se puede asegurar que los pares de triángulos rectángulos son iguales.

32

33

35

a) b) c)

a) b) c)

12 cm < x < 13 cm

13 cm < x < 14 cm

14 cm < x < 15 cm

13 cm < y < 14 cm

14 cm < y < 15 cm

15 cm < y < 16 cm

9 cm < z < 10 cm

10 cm < z < 11 cm

11 cm < z < 12 cm

Plantear y calcular.34a) La longitud del segmento ps. =

==

op 28 cmso 26 cmsr 24 cm

b) El perímetro del triángulo mtq. = +

= +=

qt x 3 cmmq x 1cmtm 6 cm

92 m

47

m2

2 m

11 cm

y7 cm

12 cm

x

17 cm

13 cmz

o

pr

s

q

m

t

A BA B

90


Unir los triángulos iguales.

Construir los siguientes triángulos según cada figura de análisis.

36

37

38

a) b)

Trazar en el triángulo abc.

b) La circunferencia inscripta.

a) La circunferencia circunscripta.

d) El ortocentro.

c) El baricentro.

a

b

c

a

b

c

60°60°

8 c

m

I60°

70°

8 cm

III 80°50°

7 cm

V 80°

8 cm

7 cm

VI

40°

60° 8 cm

IX8 cm

VII

60°50°

8 cm

VIII

60°

40°

8 cm

7 cm

IV

60°

80°

8 cmII

60°

5 cm

7 cm

70°

50°

6 c

m

a

b

c

a

b

c 91


Clasificación de cuadriláterosTeoría

Completar las siguientes frases.

a) Un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales es un .

b) Un romboide tiene dos pares de lados .

c) Un rombo que tiene los cuatro ángulos iguales es un .

d) Los lados paralelos de un trapecio se denominan .

e) Un rectángulo que tiene los lados iguales es un .

f) En un trapecio isósceles, los ángulos opuestos son .

39

• Pares de lados opuestos: ab y dc ad y bc

• Pares de ángulos opuestos: a y c b y d−∧ ∧ ∧ ∧

• Diagonales: ac y bd

• La suma de los ángulos interiores es 360°.

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Clasificación de los cuadriláteros

Los cuadriláteros se clasifican según la cantidad de lados opuestos paralelos.

a

b

c

d

• Paralelogramos: dos pares de lados opuestos paralelos.

• Trapecios: un par de lados opuestos paralelos.

• Trapezoides: ningún par de lados opuestos paralelos.

PARALELOGRAMO

RECTÁNGULO

CUADRADO

ROMBO

4 ángulos iguales

4 lados iguales

4 ángulosy lados iguales

TRAPECIO

TRAPECIO ISÓSCELES

TRAPECIO RECTÁNGULO

ROMBOIDEdos pares de ladosconsecutivos iguales

TRAPEZOIDE

92


Teoría

41

Propiedades de los paralelogramos

Paralelogramos especiales

Calcular los ángulos interiores de los siguientes paralelogramos.

a) = °107 16' 43''φ

∧

b) − = °g b 52 37' 28''∧∧

c) f 6x 55d 2x 13= − °= + °

∧

∧

d)

40

Calcular el perímetro del rombo abcd.

• El perímetro del cuadrado verde es de 72 cm y el del rectángulo rojo, de 48 cm. • Los vértices del rombo son los puntos medios del rectángulo orsg.

Desafío

• Los lados opuestos son iguales: ab dcad bc

• Los ángulos opuestos son iguales: ==

a c

d b

∧

∧

∧

∧

• Los ángulos no opuestos son suplementarios:

+ = °+ = °+ = °+ = °

a b 180b c 180

c d 180d a 180

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

• Las diagonales se cortan en su punto medio.

o

a b

cd

Rectángulo Rombo Cuadrado

• Cuatro ángulos rectos.

• Diagonales iguales.• Cuatro lados iguales.

• Diagonales perpendiculares.

• Lados y ángulos iguales.

• Diagonales iguales y perpendiculares.

rs

ma

o

p

b

g

t

n

c

h

q

d

i

f

o r

s

a

b

c

d

g

93


Propiedades del trapecio y el romboideTeoría

Calcular la amplitud de los ángulos interiores desconocidos.

Plantear la ecuación y calcular en cada romboide.

Hallar la longitud de las bases desconocidas de cada trapecio.

42

44

43

Base media de un trapecio

a) Trapecio escaleno r 104 35' 26''

b 68 19' 53''= °= °

∧

∧b) Romboide g 37 48' 24''

a 135 29' 41''= °= °

∧

∧

a) El perímetro. ut 2x 13 cm

tv 3x 1cmwu 5x 1cm

= += += +

b) La amplitud de los ángulos interiores. b 2x 1

f 3x 5h 12x 4

= − °= + °= + °

∧

∧

∧

a) b)

La base media de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.La base media es igual a la mitad de la suma de las otras bases.

base media base mayor base menor

2

Romboide

• Tiene dos pares de lados iguales: ab dacd bc

• La diagonal principal es bisectriz de los ángulos a∧ y c∧.

• Los ángulos b∧ y d∧ son iguales.

• Las diagonales son perpendiculares.

• La diagonal principal es mediatriz de la secundaria.

base menor

base media

base mayor

a

b

c

d

b

o

r

n

a

dg

f

t

uv

w

b

f

h

r

29 cm

37 cma

b c

d

5x 1 cm

2x 12 cm

3x 3 cmt

o

m r

g

s

94


Teoría

Superficie del triángulo y de los cuadriláteros

Medir y calcular la superficie de las siguientes figuras.

Hallar la superficie de los siguientes cuadriláteros.

45

46

Triángulo Cuadrado Rectángulo Paralelogramo Rombo Romboide Trapecio

l2 b . h

b

h

b

h

b

h d1

d2 d1 d2

b . h2

d . d2

1 2 b b . h2

1 2( )+

l

b1

b2

h

b . h2

l2 b . h d . d2

1 2. d . h2

( )b b1 2b

a) b)

a) Trapecio rectángulo ot 12 cm

tg 17 cm

b) Rombo sr 20 cm

Perímetro: 104 cm

c) Paralelogramo vf 15 cm

ov 11cmPerímetro: 70 cm

d) Trapecio isósceles ae 7 cm

os 10 cmPerímetro: 30 cm

47 Calcular la superficie de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

Desafío

a

b

e

o s

t

o

t g

h

p

r

s

m

d f

o vn

95


Repaso

Construir los siguientes cuadriláteros a partir de los segmentos trazados.

Hallar la amplitud de los ángulos interiores de cada cuadrilátero.

Calcular el perímetro de cada rectángulo.

48

49

51

a) Paralelogramo = °108 34' 19''

β

∧b) Romboide α∧

∧47 23' 52''

s 26 39' 18''= °= °

a) mr 4x 3 cmrp 3x 1cmpo x 18 cm

= −= −= +

b) = += +=

ac x 4 cmdc x 1cmad 15 cm

a) b)

a) Paralelogramo amer b) Rombo otsp c) Romboide bfgh

Calcular el perímetro de los trapecios isósceles.50

o

p

t

r

m

b

g

h

p

n

d

f

a

r

s

v

15 cm

7 c

m

o

p

r

m b

d

c

a

8 cm

20 cm

96


Calcular los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros.

Plantear y calcular la superficie de los siguientes cuadriláteros.

Calcular la superficie de los siguientes cuadriláteros.

52

53

54

a) Paralelogramo o 7x 13

b 5x 11= + °= + °

∧

∧

b) Romboide e 9x 4

g 2x 3p 4x 79

= + °= − °= + °

∧

∧

∧

c) Rombo 2x 7

h 6x 5= + °= + °

α

∧

∧

d) Trapecio escaleno t 3x 2

d 4x 15v 5x 18

= − °= − °= − °

∧

∧

∧

a) Un trapecio cuya base media mide 27 cm y tiene 8 cm de altura.

b) Un rectángulo de 54 cm de perímetro cuya altura es la mitad de la base.

a) Rectángulo = +

= −as 5x 2 cmsp 3x 1cmPerímetro: 50 cm

b) Trapecio rectángulo ot 3x 7 cm

vh 2x 3 cmvo x 5 cm

= −= += +

ab

o

m

e

g

ps

i

f

h

r

t

n

d

v

h

ot

v

a

p

m

s

97


Integración

Completar los casilleros con

Calcular el ángulo interior desconocido.

Trazar en cada triángulo.

Calcular la amplitud de los ángulos interiores y exteriores.

Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.

a) abc a 53 25' 37''

b 73 8' 46''= °= °

∧

∧

b) ops o 29 18' 42''

p 47 35' 36''= °= °

∧

∧

c) mrd m 61 19' 43''

r 28 40' 17''= °= °

∧

∧

d) hqt h 102 25' 18''

q 38 47' 21''= °= °

∧

∧

a) La circunferencia inscripta. b) La circunferencia circunscripta.

e) abc

f) ops

g) mrd

h) hqt

a) Valores b) Lados c) Ángulos

rp

56

58

57

55

p 8x 1m 6x 12s 5x 2

= − °= + °= − °

∧

∧

∧

m

a

g

57°

62°

p

r s

11 cm

15 cm

t

b

h

9 cm

7 cm

13 cm

p

sm

98


a) El baricentro. b) El ortocentro.

a) 11x 5r 3x 1= − °= + °

β

∧

∧b) 6x 13

7x 8= + °= − °

φ

∧

α

∧

a) b) c)

abc bcd gmo gor esp efp

Calcular los ángulos interiores de los siguientes triángulos.

Colocar o y justificar.

Marcar en cada triángulo.

Hallar el perímetro del triángulo aom.

59

62

60

61

st 2x 1cmtm 4x 3 cmam x 12 cmmo 3x 2 cm

== −= −= += −

aom mst

b

o

r

p

s

m

A Ba

b

c

dA

B

or

m

g

ef

ps

o

a

s

t

m

99


Integración

Hallar los ángulos interiores del cuadrilátero azul.

Calcular los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros.

Calcular la superficie de los siguientes cuadriláteros.

Hallar el perímetro del trapecio isósceles.

a) 13x 7o 7x 41= − °= + °

ω

∧

∧b) b 5x 7

f 2x 9e f 28

= − °= − °= − °

∧

∧

∧∧

a) Rectángulo er 5x 7 cm

rp 2x 1cmps x 9 cm

= −= += +

b) Trapecio ob 11cm

bt 13 cmtr 16 cmop 15 cm

ns 3x 1cman 2x 8 cmar 6x 11cmip 21cm

= −= += −=

97 18' 32''105 43' 28''

= °= °

φ

∧

β

∧

64

66

65

63

El cuadrilátero azul es un .

o

p

s

t

a

b

e

f

p

r

sn

a

i

e

p

r

s

o

qt

b

p r

AB

C

A B C

o m

sr

100


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MATEMÁTICA · 2020. 6. 19. · Puntos notables de un triángulo La mediatriz correspondiente al...

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