Matemática A Itens – 10.º Ano de...
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Matemática A
Dezembro de 2009
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1
No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau
de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir
se apresentam.
Matemática A
Itens – 10.º Ano de Escolaridade
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 2
1. Na figura 1 está representado um triângulo equilátero . Os pontos e são os pontos � ‘EFG Hß I J
médios dos lados do triângulo.
A área do triângulo é igual a 16� ‘EFG
Sejam e três pontos.\ß ] ^
Sabe-se que:
• \ œ F � EH"#
����
• ] œ G � HJ � JE���� ����"
#
• ^ œ E � # GJ � HJŠ ‹���� ����$%
Determine a área do triângulo � ‘\] ^
Figura 1
2. Na figura 2 está representado, num referencial o.n. , o hexágono BSC SEFGHI� ‘
Sabe-se que:
• os lados do hexágono são paralelos e iguais dois a dois;
• os pontos e pertencem aos eixos coordenadosE I
SC SB e , respectivamente;
• o ponto tem coordenadas F Ð%ß &Ñ
• o ponto tem coordenadas H Ð'ß #Ñ
2.1. Determine as coordenadas dos pontos e Gß I E
2.2. Seja o ponto simétrico do ponto emQ F
relação ao eixo e seja o ponto da rectaSC R
SH Q E que é colinear com os pontos e Determine as coordenadas do ponto R
Figura 2
2.3. Escreva uma condição que defina o segmento de recta � ‘IH
2.4. Escreva uma condição que defina o conjunto dos pontos que constituem o interior do hexágono.
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3. Na figura 3 está representado, num referencial o.n. , o triângulo BSC EFG� ‘
Sabe-se que:
• o ponto , origem do referencial, é o ponto médio doS
lado ÒEGÓ
• o vector tem coordenadas ����EF Ð"!ß #Ñ
• o vector tem coordenadas ����FG Ð � 'ß � )Ñ
3.1. Determine as coordenadas do ponto e asE
coordenadas do ponto G
3.2. Mostre que o ponto tem coordenadas F Ð)ß &Ñ
Figura 3
3.3. Seja o ponto de intersecção da recta com o eixo H EF SC
Determine a área do triângulo � ‘ESH
3.4. Averigúe qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro ÒEFÓ
4. Sejam e dois números reais positivos.+ ,
Num referencial o.n. , considere:BSC
• a recta de equação reduzida < C œ +B � ,
• a recta de equação reduzida = C œ � #+B � ,
• o ponto , ponto de intersecção da recta com o eixo das abcissas;E <
• o ponto , ponto de intersecção das rectas e F < =
• o ponto , ponto de intersecção da recta com o eixo das abcissas.G =
Mostre que a área do triângulo pode ser dada, em função de e de , por 4.1. � ‘EFG + ,$,%+
#
4.2. Determine o perímetro do triângulo admitindo que este triângulo tem área igual a 225 e� ‘EFG ß
que o vector de coordenadas é paralelo a um dos seus lados.Ð$ß %Ñ
4.3. Na figura 4 está representado o triângulo � ‘EFG para
o caso de e + œ $ , œ *
Os pontos E G EF FGw we pertencem a e a ,� ‘ � ‘respectivamente.
Sabe-se que é um trapézio cuja área é � ‘EE G Gw w )*
da área do triângulo � ‘EFG
Determine as coordenadas dos pontos E Gw we
Figura 4
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5. Na figura 5 está representado, num referencial o.n. , o quadrilátero BSC EFGH� ‘
Sejam , e os pontos médios dos ladosT U ß V W
desse quadrilátero.
5.1. Mostre que o quadrilátero é um� ‘TUVW
paralelogramo, utilizando operações com
vectores.
5.2. Admita que as coordenadas dos pontos T ß Uß
V E e são: • T Ð#ß %Ñ
• UÐ'ß (Ñ
• V Ð'ß $Ñ
• E Ð!ß #Ñ
Figura 5
Determine as coordenadas do ponto e as coordenadas dos vértices , e do quadriláteroW F G H
� ‘EFGH
6. Na figura 6 estão representados, num referencial o.n. , dois paralelogramos semelhantes, BSC EFGH� ‘ e � ‘EIJK Sabe-se que: • tem coordenadas E Ð � "ß � #Ñ
• tem coordenadas F Ð � %ß #Ñ
• tem coordenadas G Ð)ß "!Ñ
• EJ œ "!
6.1. Determine as coordenadas do ponto e asH
coordenadas do ponto J
6.2. Defina, analiticamente, o triângulo � ‘EFG
(incluindo o seu interior).
Figura 6
6.3. Suponha que, num dado instante, dois pontos partem de e se deslocam, um sobre a semi-rectaE
EF EGÞ.
e o outro sobre a semi-recta . Admita que a unidade do referencial é o centímetro e que
qualquer dos pontos percorre cada centímetro num minuto.
A que distância, um do outro, se encontram os dois pontos, cinco minutos depois de iniciarem o
seu deslocamento?
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7. Considere, num referencial o.n. , o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a condiçãoBSC
C , B E. Seja esse conjunto de pontos.
7.1. Represente graficamente:
• uma recta que esteja contida em < E
• uma recta que não intersecte = E
• uma recta tal que o conjunto das abcissas dos pontos de intersecção dessa recta com seja> E
‘ �#ß � ∞
Escreva as equações reduzidas das rectas , e que desenhou. < = >
7.2. Determine o conjunto dos valores reais de para os quais o ponto de coordenadas 5 Ð5ß ' � 5Ñ
não pertence a E
8. Na figura 7 está representado, num referencial o.n. , o cubo SBCD EFGHIJKL� ‘
Sabe-se que:
• o centro do cubo coincide com a origem do referencial;
• as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados;
• os pontos , e são os pontos médios das Q R T
arestas a que pertencemà
• o ponto tem coordenadas , , E " " "� �Considere o vector e os pontos e�? \ß ] ^
• � ������ ����? œ QR � FT
• \ œ E � GK����
• ] œ \ � \J"#�����
• ^ œ \ � ? � EGŠ ‹� ����
Figura 7
8.1. por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas).Represente os pontos , e ( \ ] ^
8.2. Defina, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos o ponto pertence[ \para os quais
ao plano mediador do segmento � ‘F[
Identifique esse lugar geométrico, no contexto do problema.
8.3. A recta definida pela equação , , , , , , , intersecta a� � � � � �B C D œ " � " � " � 5 ! " " 5 − ‘
recta \H
Determine as coordenadas do ponto de intersecção.
8.4. A secção produzida no cubo pelo plano definido pelos pontos , e divide o cubo em doisI ] ^
sólidos.
Determine o volume do sólido que contém o ponto K
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9. Na figura 8 está representado, num referencial o.n. , o cubo SBCD SEFGHIJK� ‘
Sabe-se que:
• um dos vértices do cubo coincide com a origem do
referencial;
• os vértices e pertencem aos eixos , Eß G I SB SC
e , respectivamente;SD
• o vértice tem coordenadas K Ð"!ß "!ß "!Ñ
• o ponto pertence à aresta e tem ordenada T JK $� ‘
• o ponto pertence à aresta e temordenada U IH (� ‘
• o ponto pertence à aresta e tem abcissaW FG &� ‘
• a secção determinada no cubo pelo plano é oTUW
pentágono � ‘TUVWX
Figura 8
9.1. Determine as coordenadas dos vértices do pentágono ÒTUVWX Ó
9.2. Seja o ponto de intersecção da recta com o plano M TU BSD Determine a área do triângulo ÒIMGÓ
10. Na figura 9 está representado, em referencial o.n. , um prisma quadrangular regular SBCD
ÒEFGHIJKLÓ L (o ponto não está representado na figura).
Sabe-se que:
• o ponto tem coordenadas E Ð"%ß � (ß %Ñ
• o ponto tem coordenadas F Ð"'ß � %ß "!Ñ
• o ponto tem coordenadas G Ð"!ß � 'ß "$Ñ
• o ponto tem coordenadas I Ð)ß &ß !Ñ
10.1. Determine as coordenadas dos restantes vértices
do prisma.
10.2. Determine o volume do prisma.
Figura 9
10.3. Defina, por uma condição, a aresta ÒEFÓ
10.4. Escreva uma equação da superfície esférica que contém os oito vértices do prisma.
10.5. Determine a área da secção produzida no prisma pelo plano EFK
10.6. Determine uma equação do plano HFJ
Apresente a sua resposta na forma +B � ,C � -D œ .
� �+ , - ., , e designam números reais
: o plano é o plano mediador de um segmento cujos extremos são dois vértices doNota HFJ
prisma.
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Matemática A
Itens – 10.º Ano de Escolaridade – Soluções
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Itens de Matemática A - 10º Ano de Escolaridade
Soluções
1. A área do triângulo é igual a 1 ‘\] ^
2.1. GÐ'ß &Ñ IÐ#ß !Ñ EÐ!ß $Ñ, e
2.2. R ߊ ‹") '
& &
2.3. C œ B � " • B − Ò#ß 'Ó ÐBß CÑ œ Ð#ß !Ñ � 5Ð%ß #Ñß 5 − Ò!ß "Ó"
# ou
2.4. ! � B � ' • ! � C � & • B � " � C � B � $
" "
# #
3.1. EÐ � #ß $Ñ GÐ#ß � $Ñe
3.3. "(
&
3.4. A origem do referencial pertence ao interior do círculo de diâmetro ÒEFÓ
4.2. *&�& ($
#
È
4.3. E Ð � "ß 'Ñ Gw we Š ‹"
#ß '
5.2. WÐ#ß !Ñ FÐ%ß 'Ñ GÐ)ß )Ñ HÐ%ß � #Ñ, , e
6.1. HÐ""ß 'Ñ JÐ&ß 'Ñe
6.2. C B � • C � B � • C Ÿ B �% # % "! # "%
$ $ $ $ $ $
6.3. '
7.1. Cada uma das rectas, , e , que desenhou, deve pertencer a cada uma das seguintes famílias de< = >
rectas:
sendo um número real negativo< À C œ B � , ,
sendo um número real não negativo= À C œ B � , ,
sendo um número real menor do que 1> À C œ 7ÐB � #Ñ � # 7
7.2. Ó �∞ß $Ó
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Soluções - Página 3
8.1. \ IL E\ œ GK ] LK ^Þ
é o ponto da semi-recta tal que , é o ponto médio de e é o ponto ‘ médio de ‘FK
8.2. \[ œ \F Í � � � � � �B � " � C � $ � D � " œ "## # #
É a superfície esférica de centro no ponto e que contém o ponto B.\
8.3. Š ‹"ß ß" "
$ $
8.4.(
$
9.1. TÐ"!ß $ß "!Ñß UÐ!ß (ß "!Ñß VÐ!ß "!ß %Ñ WÐ&ß "!ß !Ñ X Ð"!ß )ß !Ñ, e
9.2."(& #
#
È
10.1. HÐ)ß � *ß (Ñß J Ð"!ß )ß 'Ñß KÐ%ß 'ß *Ñ LÐ#ß $ß $Ñe
10.2. ')'
10.3. � � � �Bß Cß DÑ œ Ð"%ß � (ß % � 5 #ß $ß ' ß 5 − !ß " ‘
10.4. � � Š ‹ Š ‹B � * � C � � D � œ## #
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