Matemática (Amarela)

UFSCMatemática (Amarela)

Resposta: 26

01. Incorreta. 100% – 23% = 77% Logo, V = 0,77 . V0

02. Correta. f(x) = |x + 1| – 3 Para x > –1: f(x) = x + 1 – 3 f(x) = x – 2 (crescente)

04. Incorreta. 4x – 2x + 3 = 27

(2x)2 – 2x . 23 = 128 2x = a a2 – 8a – 128 = 0 a1 = 16 2x = 16 x = 4 a2 = –8 2x = –8 (não convém) S = {4}

08. Correta.

log (x + 2) log (x + 2) = 1

log (x + 2) log (x + 2) =5 25

5 52

log 5

log (x + 2) 1

log (x + 2) = log 5

log (x + 2) lo

5

5 5 5

5

2

gg (x + 2) = log 5

log(x + 2)

(x + 2)

= log 5

log (x

5 5

5

1

5

5

12

12

++ 2) = log 5

(x + 2) = 5

(x + 2) = 5

5

2

2

12

12

12

x + 2 = 25 x = 23 (número primo)

16. Correta. f(x) = 2x

g(x) = 2log2 x

( )( )fog x log x= 2 2

(fog)(x) = x (fog)(5) = 5

Obs: a composta de uma função inversa sempre será a função identidade y = x, logo (fog)(x) = x.


Resposta: 03

01. Correta. A = {z ∈ C; |z – 1| = 2} z = a + bi |a + bi – 1| = 2

( )a b 1 22 2

(a – 1)2 + b2 = 22 (equação reduzida da circunfe-rência)

Centro (1; 0) e raio 2

02. Correta. x3 + ax + b = 0

Relações de Girard: –1 + (–1) + x = 0 x = 2 (–1) . (–1) + (–1) . 2 + (–1) . 2 = a a = –3 (–1) . (–1) . 2 = –b b = –2 logo: a . b = 6

04. Incorreta. p(x) = x2 + 2x – 3

q(x) = [p(x)]2 + 2p(x) – 3 q(x) = [x2 + 2x – 3]2 + 2(x2 + 2x – 3) – 3 q(x) = x4 + 4x3 – 2x2 – 12x + 9 + 2x2 + 4x – 6 – 3 q(x) = x4 + 4x3 – 8x

A soma das raízes é – 4 .

08. Incorreta. f(x) = 5 . f(x – 1) e f(1) = 3

Para x = 2:

f(2) = 5 . f(2 – 1) f(2) = 5 . f(1) f(2) = 5 . 3 f(2) = 15

Para x = 3:

f(3) = 5 . f(3 – 1) f(3) = 5 . f(2) f(3) = 5 . 15 f(3) = 75

16. Incorreta.

f(x) =

xx −1

Estudo dos sinais

Dm = {x ∈ R/x ≤ 0 ou x > 1}


Resposta: 33

01. Correta. A . B = B . A

2 3 4

4 16

2 2 12

16

m n m n m n

m n

m = 4 n = 0

m + n = 4

02. Incorreta.

det M = 4 . (–1)3 + 2 .

1 1 1

4 3 2

2 0 4

det M = 4 . (–1) . (12 + 4 – 6 – 16) det M = 4 . (–1) . (–6) det M = 24

det M–1 = 1

24

04. Incorreta. (A + B) . (A – B) = A2 – AB + BA – B2

08. Incorreta. det B = det A

16. Incorreta. O sistema é impossível e não tem solução.

32. Correta. Propriedade da matriz triangular.


Resposta: 13

01. Correta. Podemos verificar que a alternativa é verdadeira por geometria, imaginando a e b como partes de um diâmetro (a + b) de uma circunferência.

Observe que o triângulo ABC está inscrito numa semicircunferência. Logo, ABC é um triângulo retângulo com altura h. Das relações métricas no triângulo retângulo, temos que h2 = a . b, ou seja, h = a . b .

Como foi dito que a < b, então o segmento CH terá média sempre menor que o raio da circunferência, logo:

h < raio → a . b < a + b

2


02. Incorreta. O oitavo termo de qualquer sequência é igual à soma dos oito primeiros termos da sequência menos a soma dos sete primeiros termos da sequência:

a8 = S8 – S7

a8 = (82 – 3 . 8) – (72 – 3 . 7) = 40 – 28 = 12

04. Correta.

x2

3 5

90

2

x

x

Sejam N(x) = x2 – 3x + 5 e D(x) = 9 – x2. Estudando os sinais dessas funções, temos:

Logo, N xD x

( )( )

será positivo ou igual a zero no intervalo aberto e limitado –3 < x < 3.

08. Correta. Já que a circunferência dada é trigonométrica, seu raio mede QO = 1.

Por trigonometria no triângulo retângulo, PQO temos:

tg 60 = o CO

CAx

x 31

3

cos 60 = o CA

Hip yy 1

21

2

Logo, o perímetro de PQO será: 2p = x + y + 1 = 3 + 2 + 1 = 3 + 3 u.c.

16. Incorreta.


Resposta: 10 01. Incorreta. Volume total da piscina: V = (500 dm) . (250 dm) . (30 dm) = 3 750 000 dm3 ou litros. Logo, faltam 100 000 litros para completar a piscina.

02. Correta. V = a3

216 = a3

a = 6 dm

Área lateral = 4 . a2 = 4 . 62 = 144 dm2

04. Incorreta. A altura, o apótema da base e o apótema da pirâmide formam um triângulo retângulo, logo:

(x + 3)2 = (x + 2)2 + (x – 5)2

x2 + 6x + 9 = x2 + 4x + 4 + x2 – 10x + 25 x2 – 12x + 20 = 0

x = 2 não pode, pois o apótema da base seria negativo

x = 10 OK

08. Correta.

V = πR2 . H Área lateral = A = 2πR . H = 2πR . V

Rπ 2

H = V

Rπ 2 A = 2VR


Resposta: 14

01. Incorreta. Seja o conjunto dos estados das Misses Brasil M = {C; G; P; R; S} . Como no primeiro sorteio foi sorteada do estado da Paraíba, temos um novo espaço amostral para o 2o sor-

teio: M' = {C; G; R; S}.

Como queremos a probabilidade de ser da Região Sul do Brasil, os casos favoráveis são: Rio Grande do Sul ou Santa Catarina, portanto:

P A( ) , %= = = =2

412

0 5 50


02. Correta. Usando apenas os algarismos A = {2; 3; 5} é possível formar números de três algarismos, dois al-garismos ou ainda um único algarismo (note que devem ser números distintos menores que 1000, não que os algarismos devam ser distintos!). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:

Números com três algarismos: 3 . 3 . 3 = 27 Números com dois algarismos: 3 . 3 = 9 Números com um algarismo: 3 = 3 Total de números 27 + 9 + 3 = 39.

04. Correta. Comissões formadas com políticos do partido A (sem separá-los): 3! = 6. Comissões formadas com políticos do partido B: 1! = 1. Comissões formadas com políticos do partido C (sem separá-los): 2! = 2.

Dispondo os seis políticos em 3 blocos indissolúveis (A, B e C, nessa ordem): 6

. 1

. 2

= 12A B C

. Podemos

ainda trocar a ordem dos partidos (mantendo agrupados os de mesmo partido) de 3! = 6 formas distintas.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem 6 . 12 = 72.

08. Correta. Os pontos A e B são os dois primeiros zeros que a função f(x) = 2 sen(x) – 1 possui. Então: 0 = 2 sen(x) – 1 2 sen(x) = 1

sen(x) =

12

Logo, x

x

’

"

656

. Assim, os pontos A e B têm coordenadas A6

; 0

e B56

; 0

, o que define o comprimen-

to do segmento AB 56 6

46

23

u.c.

16. Incorreta. Se x é racional e y é irracional, queremos mostrar que (x + 1) . y não é racional.

Tomemos o contraexemplo: x

y

1

2, então:

(x + 1) . y = (1 + 1) . 2

(x + 1) . y = 2 2 que não é racional.


Resposta: 44

01. Incorreta. 9x2 – 36x + 25y2 + 50 y = 164 9(x2 – 4x + 4) + 25(y2 + 2y + 1) = 164 + 36 + 25 9(x2 – 2) + 25(y + 1)2 = 225

( ) ( )x y 225

19

12 2

Centro (2, 1) → (2)2 + (–1)2 – 4 . 2 + 2 . (–1) + 4 ≠ 0 4 + 1 – 8 – 2 + 4 ≠ 0 –1 ≠ 0

02. Incorreta. y = x + 2

y

xm m

3 6

m = 3

3259

3

3259

19

36

6

2( )

possui 4 divisores naturais


04. Correta.

yx

y x

y x

212

3 2 0

2 3

. ( )

xx

x x

x

x

212

2 3

1 4 6

5 5

1

y = 1

a

a

02

1

2

b

b

32

1

1

08. Correta. (x – 1)2 + (–x + n)2 = 2 x2 – 2x + 1 + x2 – 2nx + n2 – 2 = 0 2x2 + (–2 – 2n)x + (n2 – 1) = 0 ∆ = 0

(–2 – 2n)2 – 4 . 2 (n2 – 1) = 0 4 + 8n + 4n2 – 8n2 + 8 = 0 –4n2 + 8n + 12 = 0 n2 – 2n – 3 = 0 n' = 3 n" = –1

16. Incorreta.

Não há como calcular a área.

32. Correta. x2 = 4y y2 = 2(x – 1) F(0, 1) V = (1, 0) P(–2, 3)


Resposta: 09

01. Correta. MT = M1 + M2 + M3

MT = 1000 (1 + i)2 + 1000(1 + i) + 1000 MT = 1000 . [(1 + i)2 + (1 + i) + 1] (i)

Por outro lado, temos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (1 + i)3 – 13 = (1 + i – 1) [(1 + i)2 + (1 + i) . 1 + 12] (1 + i)3 – 1 = i . [(1 + i)2 + (1 + i) + 1]

(1 + i) 13 −i

= (1 + i)2 + (1 + i) + 1 (ii)


Substituindo (ii) em (i): M = 1000 . (1 + i) 1

T

3

i

02. Incorreta.

O Montante gerado pelo Capital no sistema de Juros Simples é mais vantajoso quando n < 1, em que:

MJ. simples > MJ. composto

04. Incorreta. Sejam A não nulo e B = C = ∅ subconjuntos do universo U, temos: A ∪ (B – C) = (A ∪ B) – (A ∪ C) A ∪ (∅ – ∅) = (A ∪ ∅) – (A ∪ ∅) A ∪ ∅ = A – A A = ∅

Absurdo, pois A é não vazio.

08. Correta. Receita = (Qte. de tubos) . (Valor por tubo) R(x) = (1000 + 100x) . (50 – 3x) R(x) = –300x2 + 2000x + 50000

em que x corresponde à quantidade de R$3,00 concedida no desconto.

xba

x

x

V

V

V

22000600

103

Então, como o valor por tubo é dado pela expressão (50 – 3x), temos:

Valor por tubo = 50 – 3 . 103

Valor por tubo = 50 – 10 = 40


Resposta: 56


Resposta: 12 01. Incorreta. f(x) = sen(5x) . cos x – cos(5x) . sen x f(x) = sen(5x – x) f(x) = sen(4x) f(x) =

IM = [a – Amp, a + Amp] = [0 – 1, 0 + 1] = [–1, 1]

Falsa, pois o valor mínimo de f(x) é –1.

02. Incorreta. Existem valores de x que anulam os denominadores de cosec x = 1

sen x e de sec x =

1cos x

. Logo, não vale para todos os reais.

04. Correta. Total = 234 + 82 + 320 + 72 + 12 = 720

Ângulo do setor = 320720

. 360o = 160o

08. Correta. M1 = moda = 5 A = {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7}

M2 = mediana = 4 5

2+

= 4,5

M3 = média = 1 2 2 3 4 5 5 5 6 7

10+ + + + + + + + +

= 4

16. Incorreta.

{ ]2 6

86

43

2

33 4

4 4 8

4

. 3 = . 3 = . 3 = . 36 6 6 6 = 2 . 38 2

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