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Profª Msc. Débora de Oliveira Bastos

IFRS – Campus Rio Grande

FURG

MATEMÁTICA I – CÁLCULO I

para Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização.

2 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo

em Refrigeração e Climatização


DISCIPLINA CARÁTER CÓDIGO

MATEMÁTICA I obrig 11

CRÉDITOS LOCALIZAÇÃO NO QSL CH TOTAL PRÉ-REQUISITOS EIXO DE FORMAÇÃO

05 1o período 75h Fundamentos

de Matemática

Fundamentos

EMENTA

Plano coordenado: Distância entre Pontos. Equação da Reta. Equação da

Circunferência, Trigonometria: Razões Trigonométricas no Triângulo

Retângulo, Identidades, Circulo Trigonométrico. Aplicações. Funções de

uma variável real Função Exponencial e Logaritmo. Limites: Definição e

Propriedades. Limites Algébricos, Trigonométricos e Transcendentes.

Derivada: definição Propriedades e Cálculo.

BIBLIOGRAFIA

1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo

com Aplicações. Editora LTC, 4. Ed.

2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso

moderno e suas aplicações. Editora LTC, 6. Ed.

3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper

& Row do Brasil,1982.

Programa.

1. Sistemas de Coordenadas no Plano. Sistema de Coordenadas no Plano.

Representação de Pontos no Plano. Distância entre dois pontos no

Plano. Cálculo do Coeficiente Angular da Reta. Equação da Reta.

Posições relativas da reta no plano. Interseção de retas. Distância

de um Ponto a uma Reta. Distância entre Retas Paralelas. Equação de

Circunferência. Equação da Parábola. Equação da Elipse. Equação da

Hipérbole.

2. Funções. Definição. Domínio, Imagem e Gráfico. Funções Clássicas

nos Reais: Identidade, Linear, Quadrática, Valor Absoluto. Operações

Algébricas com Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função

Logaritmo e Exponencial. Funções Trigonométricas Inversas.

3. Limites. Ideia Intuitiva. Definição e Propriedades. Cálculo de

Limites Algébricos. Limites Trigonométricos. Limites ao Infinito.

Limites Transcendentes. Continuidade de Funções.




4. Derivadas. Definição e Propriedades. Interpretação Geométrica.

Regras de Derivação. Derivação da Função Composta. Derivada das

Funções Trigonométricas. Derivada das Funções Inversas. Derivada das

Funções transcendentes. Derivadas de Ordem Superior.




Unidade A Geometria Analítica Básica.




Geometria Analítica

A Geometria analítica tem como objetivo estudar os entes geométricos,

mas com as facilidades da álgebra, possível através da análise de

equações. Estudaremos o ponto, a reta, o círculo, a parábola, a hipérbole

e a elipse, inseridos no sistema de referência de coordenadas clássico:

O plano cartesiano.

1. Plano Cartesiano

O plano cartesiano é composto por dois

eixos ortogonais, cuja intersecção é a

referência principal do sistema: a origem O

(0,0). As coordenadas dos pontos são

determinadas a partir do deslocamento, em

relação à origem, necessário até o ponto.

Cada ponto é localizado por duas

coordenadas.

P(xp, yp)

1ª coordenada – abscissa – x

2ª coordenada – ordenada - y

Os eixos dividem o plano cartesiano em

quatro partes, chamados quadrantes.

Orientados no sentido anti-horário como na

figura ao lado.

Deslocamento à esquerda da origem: x < 0.

Deslocamento à direita da origem: x > 0.

Deslocamento abaixo da origem: y < 0.

Deslocamento acima da origem: y > 0.

Ponto pertence ao eixo ox: y = 0. Veja ponto A na figura acima.

Ponto pertence ao eixo oy: x = 0. Veja ponto B na figura acima.

Exemplo: Representar os pontos, a seguir, no plano cartesiano: A(1,2),

B(2,1), C(3, 1), D(0,1), E(3,0), F(2,1), G(4,3), H(1,0) e I(0,5).

I Q II Q

III Q IV Q




2. Distância entre dois pontos no plano.

Distância entre quaisquer dois objetos é a medida do menor caminho que

liga esses dois objetos. No caso dos objetos serem pontos, o menor

caminho entre eles é determinado por um segmento de reta.

Notação: d(A,B) Lê-se: Distância entre A e B.

Exemplo: Determinar a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5).

Para generalizar o processo, a fim de obter uma fórmula para a distância

entre dois pontos, analisaremos a seguinte situação hipotética:

Considerando dois pontos não

alinhados horizontalmente, nem

verticalmente, podemos obter um

triângulo retângulo, definido pelas

coordenadas de A e de B. Sempre

podemos determinar a medida dos

catetos:

Cateto horizontal: xb – xa.

Cateto vertical: yb – ya.

Assim pelo Teorema de Pitágoras:

d(A,B)² = (xb xa)²+ (yb ya)²

e portanto:

)²yy()²xx()B,A(dabab




Exemplos: 1. Calcule a distância entre os pontos:

(a) A(1,2) e B(2,1).

(b) C(3,1) e D(0,1).

2. Qual é a medida do raio do círculo, cujo centro é o ponto C(3,1) e

passa pelo ponto P(4,2)?

2.1. Propriedades das distâncias.

i. d(A,B) > 0

ii. d(A,B) = d(B,A).

iii. d(A,B) = 0 A B iv. d(A,B) < d(A,C) + d(C,B)

Esta última propriedade é conhecida como Desigualdade

Triangular, pois se refere a existência de um triângulo

conhecidos as medidas de seus lados. Ilustrando a

propriedade iv: se fizermos o caminho direto de A até

B é sempre menor que chegar ao ponto B, passando por

outro ponto C.

Exemplo: Existe triângulo que tenhas lados 1, 2 e 5?




3. Ponto médio de um segmento.

Se M é ponto médio do segmento AB,

então d(A,M)= d(M,B) e M AB.

Vemos facilmente que as coordenadas

do ponto médio do segmento AB, em

que A(1,3) e B(5,1) é M(3,2). O

intuito da Geometria Analítica é não

depender de esboços e gráficos.

Precisamos pensar genericamente para

definir uma fórmula que encontre as

coordenadas do ponto médio, conhecidas as coordenadas dos extremos.

Como xm deve ficar a mesma

distância de xa e xb esta

distância é 2

xxab

, mas essa

medida não é xm, pois a

abscissa do ponto M deve ser

considerada o deslocamento em

relação à origem, então

xm = xa + 2

xxab

=

2

xxx2aba

xm = 2

xxba

Analogamente, para obter a ordenada do ponto M, partimos da distância

de ym a yb, acrescentando a distância a yb.

2

yyy2

2

yyyy

babba

bm

2

yyba

2

yy,

2

xx M

baba

Exemplo: 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento A(3,1)

e B(5,3).

2. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M(2,1) é o ponto

médio do segmento AB, em que A(4,0).




4. Estudo da Reta

Os pontos A (1,2), B(2,3) e C(4,5), pertencem a mesma reta?

Trace uma reta passando por A e B e C estará

nela. A questão é que não podemos nos basear

em gráficos, mesmo que bem feitos.

Devemos caracterizar a reta para afirmarmos

que A, B e C estão alinhados. Que condição

satisfazem?

Um conjunto de pontos pertence a uma mesma

reta se a taxa de variação x

y

entre dois

quaisquer de seus pontos é constante.

Taxa de variação entre A e B: 11

1

12

23

xx

yy

x

y

ab

ab

Taxa de variação entre B e C: 12

2

24

35

xx

yy

x

y

bc

bc

Taxa de variação entre A e C: 13

3

14

25

xx

yy

x

y

ac

ac

Concluímos o porquê dos pontos A, B e C estarem alinhados.

A taxa de variação x

y

de uma reta, como é constante, independe dos

pontos escolhidos e é chamada de coeficiente angular da reta. Observe a

figura abaixo:

Notação do coeficiente angular: a.

Sendo A(xa,ya) e B(xb, yb), temos:

a = x

y

ab

ab

xx

yya

Observe que AB é a hipotenusa de um

triângulo retângulo, tal que um dos ângulos

internos é .

y é o cateto oposto a .

x é o cateto adjacente a .

Portanto o coeficiente angular é: a = tan.

Em que é o ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo ox.




Exemplos: 1. Determinar o coeficiente angular da reta que contém os

pontos A(3,1) e B(1,4).

2. Determinar o coeficiente angular da reta, cujo gráfico é:

5. Equações da Reta

Vamos estudar três tipos de equação de reta: Equação fundamental,

reduzida e geral.

a. Equação fundamental da reta.

Conhecidos dois pontos A(xa, ya) e

B(xb, yb) e considerando um ponto

P(x,y) que representará todos os

pontos alinhados com A e B, obteremos

uma equação que mostra como a

variável y se relaciona com a

variável x se P pertence à reta r.

Sabemos que a taxa de variação,

coeficiente angular, é constante para

quaisquer dois pontos da reta r.

Calculamos o coeficiente angular,

usando a taxa de variação entre A e B:

ab

ab

xx

yya

(1)

Por sua vez, a taxa de variação entre os pontos A e P fica:

a

a

xx

yya

(2)

Obteremos a equação fundamental da reta, pela expressão (2), a qual já

conhecemos o valor de a pelo resultado da expressão (1). Multiplicando

a equação em cruz, chegamos a:

r: y – ya = a(x – xa)

r




Equação fundamental da reta r, conhecidos um ponto A(xa, ya) e o

coeficiente angular, a, da mesma.

Exemplo: Determinar a equação fundamental da reta que contém os pontos

A(2,1) e B(4,7).

b. Equação reduzida da reta.

É a equação mais conhecida, na forma:

y = ax + b

Em que a = tan, é coeficiente angular da reta.

E b? Notamos que se substituirmos x = 0,

na equação, obtemos y = b. Ou seja, o

ponto P(0,b) pertence à reta e também

pertence ao eixo oy, pois x=0. Portanto P

é o ponto de intersecção da reta com o

eixo oy. O coeficiente b é chamado linear e podemos observá-lo facilmente

no gráfico.

Exemplo: 1. Determine a equação reduzida da reta, cujo gráfico é:

2. Determine a equação reduzida da reta, que contém os pontos A(1,2) e

B(4,6).




c. Equação geral da reta.

Este tipo de equação é usada na fórmula da distância entre ponto e reta,

por isso precisamos conhecer este formato:

mx + ny + k = 0

Em que m, n e k são constantes reais e m e n não são nulas

simultaneamente.

Para quem sabe calcular determinantes de ordem 3, podemos obter a

equação geral da reta diretamente, conhecidos dois de seus pontos A(xa,ya)

e B(xb,yb) pela equação envolvendo determinante:

0

1yx

1yx

1yx

bb

aa

Obtemos este formato apenas manipulando qualquer equação da reta

algebricamente.

Exemplo: Obtenha a equação geral das retas nos casos abaixo:

(a) y – 1 = 3(x+2)

(b) 4

1x

4

3y

(c) Que contém os pontos A(3,1) e B(1,3).




6. Intersecção entre retas

Determinar a intersecção entre as retas

r e s é encontrar o ponto P comum às duas

retas, ou melhor, um ponto pertencente

ao mesmo tempo à reta r e à reta s. Isso

quer dizer que as coordenadas do ponto P

satisfaz ao mesmo tempo à equação de r e

à equação de s. O que equivale a resolver

o sistema com as equações das duas retas.

Se as retas possuem um ponto em comum

dizemos que elas são concorrentes.

Exemplo: Determine o ponto de interseção entre os pares de reta abaixo:

(a) r: y = 3x+1 s: y = x + 5

(b) r: y = 2x + 5 s: y = 4x + 3

Duas retas sempre têm intersecção? Se tiver intersecção, só em um ponto?

Responder estas perguntas equivale a determinar a posição relativa entre

retas, assunto do próximo item.

7. Posições relativas entre retas

Dadas duas retas r e s, elas podem ocupar apenas três posições relativas

no plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no número de

pontos comuns às retas. Observe as figuras abaixo:




Concorrentes r s Paralelas r // s Coincidentes r s

r s = {P} r s = r s = r

a. Retas paralelas.

Por definição, se procurássemos

resolver o sistema com as equações

de r e de s não encontraríamos

solução. Uma alternativa é pensar

sobre os coeficientes angulares

destas retas.

Considere r: y = arx + br e

s: y = asx + bs.

Em que: ar = tan e as = tan

Se as retas r e s são paralelas:

= tan = tan ar = as

Infelizmente não basta, pois se o coeficiente linear for igualmente

idêntico as retas são coincidentes. Assim a condição de duas retas serem

paralelas dadas suas equações reduzidas é:

r // s ar = as e br bs

b. Retas coincidentes.

Podemos também analisar o sistema com as equações de r e s para determinar

se as equações são de retas coincidentes, que na verdade geometricamente

são uma única reta. Neste caso o sistema possui infinitas soluções.

Em decorrência da análise das retas paralelas, podemos concluir sem

esforço que dadas as equações reduzidas das retas r e s para serem

coincidentes:

r s ar = as e br = bs




c. Retas concorrentes.

Considerando novamente as

equações reduzidas de r e s:

r: y = arx + br

s: y = asx + bs

Se as retas são concorrentes:

Então:

tan tan Portanto:

ar as Os coeficientes lineares são

irrelevantes. Concluímos então:

r s ar as

Exemplo: Determine a posição relativa entre os pares de reta abaixo:

(a) r: y – 1 = 1(x + 2) s: y – 7 = 1(x – 4)

(b) r: y = x – 4 s: y – 5 = 1(x – 4)

(c) r: y – 3 = 2(x + 1) s: y = 4x - 5

Um caso particular de retas concorrentes é quando as retas fazem um

ângulo de 90º. No próximo item pesquisaremos como determinar a condição

das retas chamadas perpendiculares.




8. Retas perpendiculares.

Considere as equações reduzidas das

retas r e s:

r: y = arx + br

s: y = asx + bs

Assim:

ar = tan e as = tan (0)

e são ângulos internos de um

triângulo retângulo, logo:

+ = 90º (1)

Já e são ângulos suplementares, pois juntos formam um ângulo raso, ou seja:

+ = 180º (2)

Da relação (1), sabemos que

tan

1tan , ou multiplicando a

expressão em cruz, tantan = 1 (3). Pense nos ângulos de 30º e 60º por exemplo.

Da relação (2), sabemos que tan = tan (4). Pense nos ângulos de 30º e 150º, veja na calculadora se preferir.

Agora substituindo (4) em (3), obtemos:

tan (tan) = 1

Multiplicando a expressão por 1:

tan tan = 1 Que por sua vez por (0):

as ar = 1 Eis a condição de duas retas perpendiculares, dadas as equações

reduzidas das mesmas:

r s as ar = 1

Exemplos: 1. Determine se os pares de retas abaixo são perpendiculares:

(a) r: y = 3x – 1 s: 5x3

1y

(b) r: 5

2x

5

4y s:

5

1x

4

5y




2. Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r: 3

1x2y

e

que intersecciona o eixo oy em P(0,1).

9. Distância entre ponto e reta.

O menor caminho que liga um ponto a

uma reta é um segmento perpendicular

à reta com extremidade neste ponto.

Na figura o segmento PA. Por que

podemos ter certeza que este é o

menor? Pois se considerarmos qualquer

outro segmento que liga P à reta, por

exemplo, PB, os pontos P, A e B formam

um triângulo retângulo, reto em A.

Assim teríamos PB a hipotenusa e PA

um cateto. Sabemos que a hipotenusa

é o maior lado de um triângulo

retângulo, logo PB > PA e assim, PA

é o menor caminho possível.

Como calcular a distância entre o ponto P à reta s? Com o que já

construímos e estudamos, sabemos calcular distância entre dois pontos,

determinar retas perpendiculares, calcular intersecção entre retas. Tudo

isso seria necessário para chegar à distância desejada, seguindo o

roteiro abaixo:

1 – Obter r, perpendicular a s, que contenha P.

2 – Determinar A, o ponto de intersecção entre as retas r e s.

3 – Calcular a distância entre P e A.

4 – Finalmente d(P,A) = d(P,s).

Se seguirmos todos esses passos considerando a equação geral da

reta s: mx + ny + k = 0 e as coordenadas do ponto P(xp,yp), após muitas

manipulações algébricas chegaremos na fórmula da distância entre ponto

e reta:

²n²m

knymx)s,P(d

pp




Exemplo: Determine a distância do ponto Q(18,0) à reta t: 1x12

5y .

10. Distância entre retas.

Precisamos lembrar que distância entre dois objetos quaisquer é a

medida do menor caminho entre estes dois objetos. Se as retas r e s

forem concorrentes ou coincidentes, já que possuem ponto de intersecção,

o menor caminho que ligas estas retas é apenas um ponto, assim nestes

casos, d(r,s) = 0.

Resta analisar como calcular a distância

entre retas, se estas forem paralelas.

A distância entre as retas r e s, d(r,s),

é o segmento de reta perpendicular a ambas

as retas. Já que são paralelas, desde que

o segmento seja perpendicular a uma, será

automaticamente perpendicular à outra

reta.

Assim podemos escolher um ponto qualquer

de uma reta e calcular a distância até a

outra reta, simplesmente. Para

complementar faremos esse trabalho

generalizando e chegando numa fórmula direta.

Como precisamos da equação geral de cada reta, sendo as duas

paralelas, elas terão o formato:

r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0

Definindo um ponto de r, por exemplo: P(xp,yp). Como é um ponto de

r, satisfaz a equação de r, ou seja, mxp + nyp + kr = 0. Ou ainda:

mxp + nyp = kr Agora temos que calcular a distância do ponto P à reta s.

²n²m

kk

²n²m

knymx)s,P(d

srspp

Portanto a distância entre duas retas paralelas, dadas suas

equações gerais r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0 é:




²n²m

kk)s,r(d

rs

Exemplo: Determine a distância entre as retas r: 3x - 4y + 15 = 0

e s: 3x – 4y – 15 = 0.

11. Exercícios.

1- Situe no mesmo plano cartesiano os pontos A (2,0), B(2,2), C(4,0),

D(0,2), E(2,4), F(1,4), G(3,2), H(4,2), I(3,4) e J(0,3).

2-6 Responda:

2. Quais são as coordenadas da origem, O, do plano cartesiano?

3. Se um ponto pertence ao III quadrante, qual o sinal da abscissa?

4. Se um ponto pertence ao eixo ox, qual o sinal da ordenada?

5. É possível uma reta ter coeficiente angular nulo? Caso afirmativo,

descreva a característica geométrica da reta. Caso negativo,

justifique.

6. Quais das versões abaixo são equivalentes da fórmula para o cálculo

da distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb)? Justifique.

a. d(A,B) = )²y(y)²x(xabba

b. d(A,B) = )²y(y)²x(xabab

c. d(A,B) = )²y(x)²y(xbbaa

7- A abscissa de P vale o dobro da ordenada de Q. Se que está acima

do eixo x tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades

do eixo das ordenadas, quais são as coordenadas de Q?

8– Sendo A (4,4) um ponto pertencente ao círculo de centro C(2,2),

determine a medida do raio desse círculo.




9– Determine a de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São

dados: A(2,5), B(2,1) e C(3,a).

10– Dados A(x,3), B(1,4) e C(5,2), obtenha x de modo que A seja

equidistante de B e de C.

11– Qual o perímetro do triângulo, cujos vértices são A(1,2), B(2,6)

e C(5,2)?

12– Em quais itens os pontos dados formam um triângulo?

a. A(0,1), B(12,4) e C

2

3,6 .

b. F 33,2 , G(5,0) e H(1,0).

c. P(1,3), Q(5,6) e R(9,9).

13– Sabendo que o segmento AB, define um diâmetro do círculo de centro

C, determine as coordenadas deste ponto, considerando A(1,3) e B(3,5).

14– Mediana de um triângulo é o segmento que liga cada vértice ao ponto

médio do lado oposto. Considere o triângulo de vértices em A(3,0),

B(3,2) e C(1,4). Determine a medida das três medianas.

15- Determine as equações fundamental, geral e reduzida das retas:

a. r que contém os pontos A(2,3) e B(3,5).

b. s que forma ângulo de 60º com o eixo das abscissas no seu sentido

positivo e passa pelo ponto C(3,-1).

c. t que contém os pontos B(3,5) e C(5,5).

d. u que forma ângulo de 45º com o eixo das abscissas, é decrescente e

intersecciona o eixo oy em y=4.

e. a que contém os pontos B(3,5) e D(3,2).

16- Quando não podemos determinar a equação de qualquer reta na forma:

a. geral?

b. fundamental?

c. reduzida?

Justifique tua resposta.

17- Determine a posição relativa entre os pares de retas indicados,

diferenciando o caso perpendiculares de concorrentes e nesses casos

determine o ponto de intersecção entre as retas.

a. g: 2x+3y=1 e h: 3x-2y=5

b. r: y=3x-2 e s: 3x-y+8=0

c. a: y=5x+9 e b: 5x-2y+7=0




d. t: 5x4

3y e u: 3x-4y+20=0.

18- Determine a equação da reta s, que é perpendicular a reta r: 3x + 7y = 9 e

que passa pela origem.

19- Qual a distância entre as retas: r: 5x – 3y + 15 = 0 e s: 5x3

5y ?

20- Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC,

cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C(2,1).

21- No plano cartesiano, os pontos A (1,4) e B(3,6) são simétricos em

relação à reta r. Qual a equação da reta r?

22- Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo

ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro

do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1).

23- Mediatriz de um segmento é uma reta que contém o ponto médio do

segmento e é perpendicular a ele. Determine a reta mediatriz relativa

ao segmento de extremos em A (1,4) e B(3,6).

24- Um círculo é tangente a duas retas paralelas, r: 5x + 12y = 12 e

s: 5x + 12y + 28 – 0. Qual é a medida do raio do círculo?

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