MATEMÁTICA Material Extra Revisão de Trigonometria, PA e PG · e CDE , E determine o comprimento...

MATEMÁTICA

Material

Extra Revisão de Trigonometria, PA e PG

QUESTÃO 1 (Uerj) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano xy

e raio igual a 1. Nele, AP determina um arco de 120 .

As coordenadas de P são:

a) 1 3

,2 2

b) 1 2

,2 2

c) 3 1

,2 2

d) 2 1

,2 2

QUESTÃO 2

(Eear) Simplificando a expressão sen(2 x) sen(3 x),π π obtém-

se a) sen x

b) sen x

c) 2 sen x

d) 2 sen x

QUESTÃO 3

(Uepg) Dadas as funções sen (x)f(x) 3 e

cos (x)g(x) 3 , assinale

o que for correto.

01) A imagem da função f(x) é o intervalo 1

, 3 .3

02) A imagem da função g(x) é o intervalo [0, 3].

04) f g .4 3

π π

08) 13 19

f g .6 3

π π

16) Os períodos das funções f(x) e g(x) são iguais.

QUESTÃO 4

(G1 - cftmg) Os gráficos das funções reais f(x) cos(x) e

g(x) sen(x) não coincidem. Entretanto, a partir de uma

transformação, é possível fazer o gráfico de g(x) coincidir com o gráfico

de f(x). Essa transformação é a função

a) h(x) sen x.2

π

b) h(x) sen x .2

π

c) h(x) sen x .2

π

d) h(x) sen x .2

π

QUESTÃO 5 (Enem) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-

gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra

paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-

horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo

segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que

descreve a

altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t.

Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

A expressão da função altura é dada por

a) f(t) 80 sen(t) 88

b) f(t) 80 cos(t) 88

c) f(t) 88 cos(t) 168

d) f(t) 168 sen(t) 88 cos(t)

e) f(t) 88 sen(t) 168 cos(t)

QUESTÃO 6 (Ufjf-pism 2) Determine o conjunto solução para a equação

26 sen (x) 9 sen (x) 3 0. a)

5x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k

2 6 6

π π ππ π π

b)

5x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k

4 3 6

π π ππ π π

c) x ; x 2k ou x 2k , k4

ππ π

d) x ; x ou x4 3

π π

e) x ; x ou x ou x6 2 4

π π π

QUESTÃO 7

(Mackenzie) Os valores de x (x ), para os quais a função

1f(x) tg 3x

3 4

π

não é definida, são

a) k , kπ π

b) k , k2

ππ

c) 3

k , k4

ππ

d) k , k4

ππ

e) k

, k4 3

π π

QUESTÃO 8 (Unisinos) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo x satisfazem

a seguinte identidade: 2 2sen x cos x 1. Se cos x 0,5, quais

são os possíveis valores do seno deste ângulo x?

Lembre que 2 2sen x (sen x) .

a) 5

2 e

5

2

b) 3

2 e

3

2

c) 1

2 e

1

2

d) 2

2 e

2

2

e) 3

4 e

3

4

QUESTÃO 9

(Uerj) Na figura abaixo, observa-se o retângulo ABCD, que contém o

triângulo retângulo DEF, no qual DF 1.

Considerando os ângulos EDF e CDE , determine o

comprimento do lado DA em função de e .

QUESTÃO 10 (Uem-pas) Sobre trigonometria, assinale o que for correto. 01) Arcos congruentes diferem entre si por π radianos.

02) Uma volta completa no círculo trigonométrico equivale a 360 graus.

04) As funções seno e cosseno têm o mesmo período.

08) 2

2

11 1 sen x, x 0, .

2cotg x

π

16) No círculo trigonométrico, um ângulo negativo, em radianos, é medido no sentido anti-horário.

QUESTÃO 11 (Ufrn) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir.

Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal

a) estava entre 30 e 45 .

b) era menor que 30 .

c) foi exatamente 45 .

d) era maior que 45 .

QUESTÃO 12

(Uespi) Quantas soluções a equação sen x = x

10 admite no conjunto dos

números reais? Abaixo, estão esboçados os gráficos de sen x e x/10.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 QUESTÃO 13 (Ufjf) Considere um triângulo ABC retângulo em C e o ângulo

ˆBAC. Sendo AC 1 e 1

sen( ) ,3

quanto vale a medida da

hipotenusa desse triângulo?

a) 3

b) 2 2

3

c) 10

d) 3 2

4

e) 3

2

QUESTÃO 14

(Ufrgs) O período da função definida por f(x) = sen 3x2

π

é

a) .2

π

b) 2

.3

π

c) 5

.6

π

d) .π

e) 2 .π

QUESTÃO 15 (Espcex (Aman)) O número de raízes reais da equação

22 cos x 3 cos x 1 0 no intervalo ]0, 2 [π é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 QUESTÃO 16

(Fgv) Um triângulo isósceles ABC, com AB AC 1, é tal que cada

ângulo da base BC mede o dobro do ângulo de vértice A. Se

cos18 m, então, o quadrado de BC é igual a

a) 22 1 m 1 m

b) 22 1 m 1 m

c) 22 2m

d) 24 2m

e) 24 4m

QUESTÃO 17 (G1 - ifpe) Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das participantes do evento, ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua

mochila um transferidor e estimou o ângulo no ponto A, na margem onde

estava, e, após nadar, aproximadamente, 70 metros em linha reta em

direção ao paredão, estimou o ângulo no ponto B, conforme mostra a

figura a seguir:

De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul?

Dados: sen (17 ) 0,29, tan (17 ) 0,30, cos (27 ) 0,89 e

tan (27 ) 0,51.

a) 50 metros.

b) 51 metros.

c) 89 metros.

d) 70 metros.

e) 29 metros

QUESTÃO 18

(G1 - ifal) Um atleta de 1,70 metro de altura, percebe que, ao fazer

flexões no momento em que estica os braços, seu corpo, em linha reta,

forma um ângulo de 30 com o piso. Nessas condições, a que altura do

piso se encontra a extremidade da sua cabeça? (Considere que os braços formam com o piso um ângulo reto). a) 85 cm.

b) 85 3 cm.

c) 170 3

cm.3

d) 85 2 cm.

e) 340 cm.

QUESTÃO 19

(Espm) A sequência S (sen 60 ,1 sen 30 , 3 cos 30 ) é:

a) uma PA de razão tg 30 .

b) uma PG de razão sen 60 .

c) uma PA de razão tg 45 .

d) uma PA de razão 1 sen 60 .

e) uma PG de razão tg 60 .

QUESTÃO 20

(Upe-ssa 3) A função y a bcos x, com a e b reais, representada

graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas

(0, 1) e tem valor máximo y 5. Qual é o valor da soma 5a 2b?

a) 4

b) 1

c) 3

d) 2

e) 6

QUESTÃO 21 (Espcex (Aman)) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a

produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até

o final do ano de 2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos no período 2010-2017.

Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista

a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.

b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.

c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a

menos.

d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos.

e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.

QUESTÃO 22

(G1 - cp2) Um colégio comprou 500 armários cinza, numerados de 1 a

500, para os alunos deixarem guardado o seu material escolar.

Buscando melhorar o aspecto visual dos armários, a coordenadora pedagógica Gabriela sugeriu que alguns deles fossem pintados com as cores do emblema do colégio, de modo que:

- os armários com números múltiplos de 2 e 3, simultaneamente,

fossem pintados de azul;

- os armários com números múltiplos de 2 (e não de 3) fossem pintados

de amarelo;

- os armários com números múltiplos de 3 (e não de 2) fossem pintados

de branco. Se eles forem pintados dessa forma, o número de armários que permanecerá com a cor cinza é

a) 1.

b) 84.

c) 167.

d) 333.

QUESTÃO 23 (Fuvest) Resolva os três itens abaixo.

a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5,

e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos

dessa progressão.

b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e

não divisíveis por 4.

c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é

n(2n 1), qualquer que seja n 1. Encontre o vigésimo termo

dessa progressão. QUESTÃO 24 (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados

consecutivos têm comprimentos a, b, c e d.

Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão

q 1, então tan θ é igual a

a) 1 q.

b) q.

c) 2q .

d) q.

QUESTÃO 25 (Udesc) O objetivo de um concurso era criar o ser vivo matemático mais curioso. O vencedor, batizado por seus criadores de Punctorum Grande, possuía as seguintes características: no seu nascimento ele era composto

apenas por um ponto, e após 40 minutos duas hastes saíam deste ponto

com um novo ponto. Após mais 40 minutos, outras duas hastes, com um

novo ponto em cada, saíam de cada um dos pontos existentes e assim

sucessivamente a cada 40 minutos. O número de pontos que esse ser vivo tinha após cinco horas e vinte minutos do seu nascimento, era:

a) 6561

b) 255

c) 2187

d) 4347

e) 64

QUESTÃO 26

(Udesc) Sejam (16,18, 20, ...) e 1 11

, 3, , ...2 2

duas progressões

aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a:

a) 154

b) 4.774

c) 63

d) 4.914

e) 1.584

QUESTÃO 27

(Uerj) A sequência n(a ) é definida do seguinte modo:

1

n 1 n

a 5

a a 3

Determine a média aritmética dos 51 primeiros termos dessa sequência.

QUESTÃO 28 (Enem) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já

possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça,

o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim

sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de

1.380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste

colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é

a) R$ 512.000,00.

b) R$ 520.000,00.

c) R$ 528.000,00.

d) R$ 552.000,00.

e) R$ 584.000,00.

QUESTÃO 29 (Upe-ssa 1) A população inicial de uma colônia de bactérias, que cresce

40% a cada hora, é de 58 10 bactérias. Qual é o número aproximado

de bactérias dessa colônia ao final de 16 horas?

Considere16(1,4) 218

a) 81,7 10

b) 52,2 10

c) 61,8 10

d) 83,4 10

e) 54,6 10

QUESTÃO 30 (Enem PPL) Na música, usam-se sinais gráficos chamados figuras de duração para indicar por quanto tempo se deve emitir determinado som. As figuras de duração usadas atualmente são: semibreve, mínima, semínima, colcheia, semicolcheia, fusa e semifusa. Essas figuras não possuem um valor (tempo) fixo. Elas são proporcionais entre si. A duração de uma semibreve é equivalente à de duas mínimas, a duração de uma mínima é equivalente à de duas semínimas, a duração de uma semínima equivale à de duas colcheias e assim por diante, seguindo a ordem dada.

Considere que a semibreve tem a duração de tempo de uma unidade.

A sequência que indica a duração de tempo de uma mínima, de uma semínima, de uma colcheia, de uma semicolcheia, de uma fusa e de uma semifusa é

a) 2, 4, 8,16, 32, 64

b) 1, 2, 4, 8,16, 32

c) 1 1 1 1 1

1, , , , ,2 4 8 16 32

d) 1 3 7 15 31 63

, , , , ,2 4 8 16 32 64

e) 1 1 1 1 1 1

, , , , ,2 4 8 16 32 64

QUESTÃO 31 (Uece) O produto dos termos da progressão geométrica cujo primeiro

termo, a razão e o último termo são respectivamente iguais a 1, 2 e

32 é igual a

a) 32.768.

b) 1.024.

c) 64.328.

d) 6.432.

QUESTÃO 32

(Espm) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, ), sendo na o n-ésimo

termo e nS a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que:

a) n nS 2 a

b) n nS a 1

c) n n 1S a 1

d) n n 1S a 1

e) n n 1S 2 a

QUESTÃO 33 (Espm) A figura abaixo representa parte do gráfico da função

x

16f(x) ,

2 fora de escala.

A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é igual a:

a) 16

b) 8

c) 24

d) 32

e) 12 QUESTÃO 34 (G1 - ifsul) A soma dos doze primeiros termos de uma Progressão

Aritmética formada por números reais é 243.

Considerando que o sétimo termo é 22, a razão r, com r , será

a) 1 r 2

b) 2 r 3

c) 3 r 4

d) 4 r 5

QUESTÃO 35 (G1 - ifba) Numa avaliação com 100 questões, a pontuação de cada

questão foi atribuída de acordo com uma progressão geométrica de razão

2 da seguinte forma: a primeira questão valia 1 ponto, a segunda

questão valia 2 pontos, a terceira questão valia 4, a quarta questão

valia 8 pontos e assim por diante. A nota máxima que um aluno pode

ficar é o somatório dos pontos de todas as questões. Uma pessoa, ao fazer esta avaliação, verificou que acertou todas as questões de

numeração múltiplos de três maiores que 20 e menores que 40 e

também acertou as questões de numeração múltiplos de cinco maiores

que 31 e menores que 51. Que pontuação este estudante fez na prova?

a)

34 20

5

2 (2 1)

2 1

b)

20 21

3

2 (2 1)

2 1

c)

20 21 34 20

3 5

2 (2 1) 2 (2 1)

2 2

d)

20 21 34 20

3 5

2 (2 1) 2 (2 1)

2 1 2 1

e)

20 21 34 20

3 5

2 (2 1) 2 (2 1)

2 1 2 1

QUESTÃO 36 (Acafe) Uma famosa rede de supermercados resolve fazer uma grande promoção de determinado produto. Para tanto, resolve organizar os produtos de maneira a formar pilhas em uma sequência, conforme indica a figura a seguir. Cada cubo, na figura, corresponde a um produto.

Pretende-se continuar construindo a sequência até a vigésima quarta pilha de produtos. Quantos produtos serão necessários para formar a última pilha de produtos dessa sequência?

a) 360

b) 240

c) 320

d) 300

QUESTÃO 37 (Pucrj) A figura abaixo representa caixas com mercadorias em um galpão do porto. Essas caixas, para melhor identificação, possuem um número em sua face frontal e são empilhadas seguindo um padrão.

Assim, por exemplo, a 2ª caixa da 4ª linha é indicada pelo número 16.

Observe que a m-ésima linha tem m caixas e que usamos apenas os números pares. a) Qual é o número na 1ª caixa da 6ª linha? b) Qual é a soma dos números na 7ª linha?

c) Escreva, apenas em função de m, uma fórmula para a soma dos

números nas m primeiras linhas. QUESTÃO 38

(Uefs) Uma progressão aritmética (PA) possui 17 termos, todos

positivos. A diferença entre o maior termo 17(a ) e o menor termo 1(a )

dessa PA é igual a 48. Sabendo que, dentre os números primos que

ocorrem nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de 1 17a a

é a) 59.

b) 62.

c) 65.

d) 68.

e) 71. QUESTÃO 39

(Espm) O vigésimo termo da PA (x, 3 x, 2x 1, ) é igual a:

a) 56

b) 62

c) 69

d) 74

e) 81

QUESTÃO 40 (Fgv) Os termos de uma sequência são definidos recursivamente por

1

n n 1

a 5

a 2 a

para todo n , n 2. Sendo assim, a soma dos

n primeiros termos dessa sequência será dada pela expressão a) 7n 2.

b) 23,5n 3,5n 5.

c) 2n 17n 60.

d) 2n 4n.

e) 2n 3.

Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Calculando:

3sen 120 sen 60

2

1cos120 cos60

2

Resposta da questão 2: [D]

De sen 2 x sen 3 x ,π π temos:

sen 2 x sen 3 x sen 2 cos x sen x cos 2 sen 3 cos x sen x cos 3

sen 2 x sen 3 x 0 cos x sen x 1 0 cos x sen x 1

sen 2 x sen 3 x sen x sen x

sen 2 x sen 3 x 2sen x

π π π π π π

π π

π π

π π

Resposta da questão 3: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.

[01] Verdadeira. De fato, como 1 senx 1, segue que a imagem de

f é o intervalo 1

, 3 .3

[02] Falsa. Sendo 1 cosx 1, podemos afirmar que a imagem de g

é o intervalo 1

, 3 .3

[04] Verdadeira. Com efeito, pois

2 1cossen

34 2 2f 3 3 3 3 g .4 3

πππ π

[08] Verdadeira. De fato, pois 13

6 6

π π e

19

3 3

π π implicam em

1 1sen cos

6 32 213 19

f f 3 3 3 3 g g .6 6 3 3

π ππ π π π

[16] Verdadeira. Com efeito, pois as funções seno e cosseno têm o mesmo período fundamental. Resposta da questão 4: [C]

Sabendo que Im(f ) [ 1,1] e 1 senx 1, podemos afirmar que a

lei de h não pode ser senx.2

Ademais sendo P(f) 2 , h não

pode ser sen x .2

Finalmente, como sen x cos x,2

só pode ser

h(x) sen x cosx.2

Resposta da questão 5: [A]

A função f é do tipo f(t) a bsen(mt). Logo, sendo f(0) 88,

temos a 88. Ademais, pelo gráfico, sabemos que o período de f é

2π e, portanto, vem m 1.

Finalmente, como f 168,2

π

obtemos

168 88 b b 80.

A resposta é f(t) 88 80sent.

Resposta da questão 6: [A] Tem-se que

22 ( 9) ( 9) 4 6 3

6sen x 9senx 3 0 senx2 6

senx 1

ou

1senx

2

x 2k2

ou .

5x 2k ou x 2k

6 6

ππ

π ππ π

A resposta é

5x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k .

2 6 6

π π ππ π π

Resposta da questão 7: [E]

Para que f esteja definida, deve-se ter

3x k 3x k4 2 2 4

33x k

4

kx , k .

4 3

π π π ππ π

ππ

π π

Resposta da questão 8: [B] Tem-se que

22 21 3

sen x 1 sen x2 4

3senx .

2

Resposta da questão 9:

Desde que ADC BAD 90 , temos AFD . Portanto, do

triângulo ADF, vem

ADsenAFD AD sen( ).

DF

Resposta da questão 10: 02 + 04 = 06.

[01] Falsa. Arcos côngruos diferem entre si por 2π radianos.

[02] Verdadeira. Um ângulo de 1 volta mede 360 .

[04] Verdadeira. O período das funções seno e cosseno simples é 2 .π

[08] Falsa. Tomando x ,4

π temos

2

2

1 12 1 1 sen .

4 2cotg

4

π

π

[16] Falsa. Um ângulo negativo, por convenção, é medido no sentido horário. Resposta da questão 11: [B] Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo.

O ângulo α é tal que 12

tg 0,50.24

Desse modo, como a função tangente é crescente e

3tg30 0,58 0,50,

3 segue que 30 .α

Resposta da questão 12: [C]

Como os gráficos das funções y senx e x

y10

apresentam 7

pontos de interseção, segue que a equação x

senx10

admite 7

soluções reais. Resposta da questão 13: [D]

Sabendo que AC 1 e 1

sen ,3

vem

BC 1 BC AB

sen BC .3 3AB AB

Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:

22 2 2 2 2

2

ABAB AC BC AB 1

3

8 AB1

9

3 3 2AB .

42 2

Resposta da questão 14: [B]

P = 3

2

3

2


22 cos x 3 cos x 1 0

3 1 1cosx cosx 1 ou cosx = -

2 2 2

cosx 1 x

1 2 4cosx = - x ou x

2 3 3

π

π π

Portanto, o número de raízes da equação é 3.

Resposta da questão 16: [E] Calculando:

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

x 2x 2x 180 x 36

BC 1 1 2 1 1 cos36

cos18 m cos36 2 cos 18 1 2m 1

BC 1 1 2 1 1 2m 1

BC 2 2 2m 1 4 4m


Considerando x a altura do paredão e y a distância do ponto B ao

paredão, temos:

xtg27 x y tg27 x 0,51y (I)

y

xtg17 x y 70 tg17 x 0,30y 21 (II)

y 70

Fazendo (I) (II), temos:

0,51y 0,30y 21 0,21y 21 y 100

Logo, a altura do paredão será:

x 0,51 100 51m.

Resposta da questão 18: [A] Considere a situação

Utilizando da relação de seno temos:

cateto oposto 1 xsen(30 ) x 85 cm.

hipotenusa 2 1,7


S sen60 ,1 sen30 , 3cos30

3 3 3 3S , ,

2 2 2

Note que:

3

2 33

2

e

3 3

2 33

2

Assim, S é uma PG de razão 3 tg60 .


Se (0, 1) é um ponto do gráfico da função, então

1 a bcos0 a b 1.

Ademais, sabendo que a imagem da função cosseno é o intervalo

[ 1,1], vem

a b [ 1,1] [ 1, 5] [a b, a b] [ 1, 5]

a b 1

a b 5

a 2.

b 3

A resposta é

5a 2b 5 2 2 ( 3) 4.


A sequência acima nos mostra uma P.A. de 16 termos e razão igual a

70.

O primeiro passo será encontrar seu décimo sexto termo, ou seja, determinar a quantidade de tratores que serão produzidos em 2025.

16 1 16 16a a 15 r a 720 15 70 a 1770

Calculando, agora, a produção total até 2025 (a soma dos 16 primeiros termos da P.A.).

16

720 1770 16S 19.920

2

Portanto, a meta prevista não deverá ser atingida, pois serão produzidos

80 tratores a menos.

Resposta da questão 22: [C]

Calculando os múltiplos de 2 e 3 simultaneamente:

1 nPA a 6; r 6; a 498

498 6 (n 1) 6 n 83

Calculando os múltiplos de 3 apenas:

1 nPA a 3; r 6; a 495

495 3 (n 1) 6 n 83

Para os múltiplos de 2, sabemos que todos os números pares são

múltiplos de 2 e entre 1 e 500 existem 250 números pares. Porém,

desse total de números pares estão inclusos também os pares múltiplos

de 3, assim para se obter apenas os pares múltiplos de 2 pode-se

escrever: 250 83 167.

Logo, o número de armários pintados e cinza será:

Pintados 167 83 83 333

Cinza 500 333 167


a) Se 1a 5 e 3a 45, então

245 5 q q 3,

em que q é a razão da progressão geométrica.

A resposta é

6

63 1

S 5 1820.3 1

b) A soma dos números inteiros positivos menores do que 112 é

1 111111 6216.

2

O número, n, de múltiplos positivos de 4 menores do que 112 é

dado por

108 4 (n 1) 4 n 27.

Logo, segue que a soma dos múltiplos de 4 menores do que 112 é

4 10827 1512.

2

A resposta é, portanto, 6216 1512 4704.

c) Se nS n(2n 1), então

20 19 20 20

20

S S a 20 (2 20 1) 19 (2 19 1) a

a 79.

A resposta é 20a 79.

Resposta da questão 24: [A] Tem-se que

2 3(a, b, c, d) (a, aq, aq , aq ).

Logo, vem

2

3

2

2

c atg

d b

aq a

aq aq

a(q 1)

aq(q 1)

1.

q

θ


5h20min 320min

3208 períodos de 40 minutos cada.

40

Temos então, que a soma de todos os pontos formados, obedecendo às condições do problema, é:

S 1 2 6 18 54 162 486 1458

Considerando que, a partir da segunda parcela, existe uma P.G., temos:

82 (3 1)S 1 6561

3 1


Se as somas são iguais para algum n, então

1 5(16 n 1) n (n 1) n 4n 60 5n 3

2 4

n 63.

Por conseguinte, a resposta é (63 15) 63 4914.


Como se trata de uma PA de razão 3, então a média de seus termos

será igual a soma do primeiro e do último divididos por 2. Calculando:

1

51

a 5

a 5 51 1 3 155

5 155 160Média 80

2 2

Resposta da questão 28: [C] As distâncias dos postes até a praça constituem uma progressão

aritmética de primeiro termo 80 e razão 20. Desse modo, o número,

n, de postes é dado por

13001380 80 (n 1) 20 n 1

20

n 66.

A resposta é 66 8000 R$ 528.000,00.


O número de bactérias, p(t), da colônia, após t horas, é dado por

5 tp(t) 8 10 (1,4) .

Em consequência, o número aproximado de bactérias dessa colônia ao

final de 16 horas é igual a

5 16

5

5

8

p(16) 8 10 (1,4)

8 10 218

1744 10

1,7 10 .


Segue que a duração de uma mínima corresponde a 1

2 da duração de

uma semibreve, uma semínima corresponde a 1

2 da duração de uma

mínima, ou seja, 1 1 1

2 2 4 da duração de uma semibreve, uma colcheia

corresponde a 1

2 da duração de uma semínima, isto é,

1 1 1 1

2 2 2 8 da

duração de uma semibreve, e assim sucessivamente, até 1

.64

A resposta é 1 1 1 1 1 1

, , , , , .2 4 8 16 32 64


Se 1a 1, q 2 e na 32,

então

n 1 5 n n 132 ( 1) ( 2) 2 ( 1) 2 n 6.

Portanto, segue que a resposta é

n (n 1)n 6 1521a q ( 1) ( 2) 32768.


Desde que

n nn 1 n 1a 1 2 a 2 ,

temos

n

n n n 12 1

S 1 S a 1.2 1

Resposta da questão 33: [A] Desde que todos os retângulos têm bases congruentes e de medida igual

a 1, segue que o resultado é dado por

f(1) f(2) f(3) 8 4 2

8

11

2

16.

Resposta da questão 34: [C] Calculando:

1 121 12

7 1 1

12 1 12

a a 12S 243 a a 40,5

2

a a 6r 22 a 22 6r

a a 11r a 22 5r

Logo:

22 6r 22 5r 40,5 44 r 40,5 r 3,5 3 r 4 Resposta da questão 35: [D] Primeiramente note que a razão da progressão geométrica em questão é

de: 3

2

a 4r 2

a 2

E as questões que ele acertou são:

21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 e 35, 40, 45, 50

Logo, note que duas novas progressões aritméticas com razões três e cinco (respectivamente) foram formadas. Devemos calcular ambas as progressões.

Sabendo que, na primeira sequência, o primeiro termo é 20

21a 2 e

3435a 2 e assim:

20 23 26 29 32 35 38 34 39 44 49S1 S2 (2 2 2 2 2 2 2 ) (2 2 2 2 )

Observe que a primeira sequência terá razão igual a 32 e a segunda

igual 52 e assim temos:

7 420 3 34 5

3 5

20 21 34 20

3 5

20 21 34 20

3 5

2 ( 2 1) 2 ( 2 1)S1 S2

2 1 2 1

2 (2 1) 2 (2 1)S1 S2

2 1 2 1

2 (2 1) 2 (2 1)S1 S2

2 1 2 1


Queremos calcular o vigésimo quarto termo, 24a , da sequência

24(1,3,6,10, , a , ). Logo, como tal sequência é uma progressão

aritmética de segunda ordem, temos

23

k 1 k 24

k 1

24

2 24(a a ) 23 a 1 299

2

a 300.

Resposta da questão 37: Considerando a tabela acima até a sétima linha, temos:

a) 32.

b) 44 46 48 50 52 54 56 350.

c) Sabemos que o último elemento de cada linha é dado por: m (m 1).

Portanto, a soma dos números nas n primeiras linhas será dada por:

S 2 4 6 8 10 12 14 16 m (m 1)

Calculando o número de termos desta P.A. temos.

m (m 1)m (m 1) 2 (n 1) 2 n

2

Portanto, a soma dos termos nas n primeiras linhas será dada por:

2 22 m m m m2 m (m 1) m (m 1)S S

2 2 4

Resposta da questão 38: [D] Do enunciado, temos:

17 1

1 1

a a 48

a 16r a 48

16r 48

r 3

Como 13 é o menor primo que aparece na PA e 43 é o maior, temos a

seguinte PA,

10,13,16,19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58

Daí,

1a 10 e 17a 58, logo, 1 17a a 68.


Da PA x, x 3, 2x 1, ... , temos:

2 3 x x 2x 1

6 2x 3x 1

x 5

Assim, temos:

PA (5, 8, 11, ); razão: r 3.

20

20

a 5 19 3

a 62

Resposta da questão 40: [D] Calculando:

1

n n 1

5

22

a 5

a 2 a

r 2

a 5 n 1 2 2n 3

5 2n 3 n 2n 8 n 2n 8nS n 4n

2 2 2

MATEMÁTICA Material Extra Revisão de Trigonometria, PA e PG · e CDE , E determine o comprimento...

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