Matemática · Uma equação do segundo grau possui d uas raízes , as quais são determinadas...

MATEMÁTICA - MÓDULO 5

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES - DE 1º E 2ºGRAUS , FRACIONÁRIAS , BIQUADRADAS ,

IRRACIONAIS

Documento realizado por discentes do IFSul CampusCamaquã. Revisado por Diana Schein Bartz, mestreem Engenharia Oceânica pela FURG e por Tiago

Ventura Martins, Mestre em Ensino de Matemáticapela UFRGS.

QUALIFICA

matemática


REVISADO POR REVISADO POR DIANA SCHEIN BARTZ, MESTRE EM ENGENHARIA OCE NICA PELA FURG E POR TIAGO VENCATO MARTINS MESTRE EM ENSINO DE

MATEMÁTICA PELA UFRGS

MATEMÁTICA - Módulo 5

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

1. EQUAÇÕES As equações são usadas para representações e resoluções de problemas. Possui ao menos uma incógnita, que representa tal situação.

1. EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

1.1 Definição É toda equação que tem uma incógnita, geralmente representada por x, e que possui uma igualdade, representada por:

ax + b = 0

Toda parte somada ou subtraída de uma equação é chamada de termo.

ax + b = 0

ax é um termo, b é outro e 0 outro. 1.2 Resolução Para resolver esse tipo de equação a primeira coisa que devemos fazer é isolar a incógnita, ou seja, colocar ela em um dos lados da igualdade e todos outros termos de outro. Para isso devemos colocar o oposto do número que se quer retirar de um dos membros dos dois lados da igualdade . Exemplificando:

x - 2 = 3




x - 2 + 2 = 3 + 2 x = 5

Dizemos então que passamos os termos para o outro lado da igualdade invertemos seu sinal, ou seja: se somava em um lado ………………………………………………………………….. subtrai do outro se subtraía em um lado ………………………………………………………………... soma do outro se multiplicava um lado …………………………………….... divide o outro (a equação toda) se dividia um lado ………………….………………………. multiplica o outro (a equação toda) Se quisermos eliminar a potência de um dos lados da igualdade teremos de colocar os dois lados da igualdade sob uma raíz equivalente a potência. Então teríamos:

Ou seja: se era potência de um lado ……………………………………………………….. vira radical do outro (da equação toda) se era radical de um lado …………………………………………………………... vira potência do outro (da equação toda) Exemplificando:

● Exemplo 1:




3 + x = 5 x = 5 - 3

x = 2 Para obter o valor de x:

- isolamos termo que possui a incógnita (x); - resolvemos a igualdade (5 - 3);

● Exemplo 2:

2x + 4 - 8 = 0

2x = - 4 + 8 + 0 2x = 4 x = 4/2 x = 2

Para obter o valor de x:

- isolamos o termo que possuia a incógnita (2x); - resolvemos o outro lado da equação (- 4 + 8 + 0); - passamos o número que está no mesmo termo da incógnita para

o outro lado com sinal contrário (2); - resolvemos a igualdade (4/2);

Observação: como o 2 estava multiplicando o termo passou dividindo tudo o que estava do outro lado da igualdade.

● Exemplo 3:

8x - 20 = 5 + 3x 8x - 3x = 5 - 20

5x = - 15 x = - 15/5

x = - 3

Para obter o valor de x: - isolamos todos os termos que possuíam incógnitas (8x e 3 x); - resolvemos os dois lados da igualdade (8x - 3x e 5 + 3x); - passamos o número que está no mesmo termo da incógnita para

o outro lado com sinal contrário (5);




- resolvemos a igualdade (-15/5);

● Exemplo 4

10 + 2x/3 = 3 + x 10 - 3 = x - 2x/3

(10 - 3) . 3 = x - 2x 7 . 3 = -x

21 = -x . (-1) - 21 = x ou x = - 21


- isolamos todos os termos que possuíam incógnitas (2x/3 e x); - passamos o número que estava dividindo o um dos termo que

possuía incógnita para o outro lado com o sinal contrário (3); - resolvemos a igualdade ((10 - 3). 3 e x - 2x); - deixamos a incógnita positiva;

Observação: a incógnita, nesses casos, deve ser sempre positiva, quando ao final da conta ela estiver negativa, devemos multiplicar por “-1” todos os termos da igualdade.

● Exemplo 5:

+ 3 = 20 - 2√25x

= 18 - 3√25x . = 15√25 √x

5 . = 15√x = 15/5√x

= 3√x x = 3² x = 9


- isolamos todos os termos que possuíam incógnitas ( );√25x - resolvemos o outro lado da igualdade (20 - 2 - 3);




- separamos as raízes (25 e x); - passamos o número que multiplicava a incógnita para o outro

lado com o sinal contrário ( = 5);√25 - passamos a raiz da incógnita para o outro lado com o sinal

contrário, virando uma potência (3²); - resolvemos a igualdade;

Observação: separamos o 25 do x pois os dois estavam dentro de uma mesma raiz.

● Exemplo 6:

5x² + 2 . 3 = 21 5x² = 21 - (2 . 3)

x² = 25/5 x = ± √4 x = 2±

“ “mais ou menos”± " →


- isolamos todos os termos que possuíam incógnitas (5x²); - resolvemos o outro lado da igualdade (21 - (2 . 3)) - passamos o número que estava multiplicando um dos termo que

possuía incógnita para o outro lado com o sinal contrário (5); - resolvemos o outro lado da igualdade (25/5) - passamos a potência da incógnita para o outro lado com o sinal

contrário, virando uma raiz ( );√4 - resolvemos a igualdade;

Observação: note que a partir do momento que passamos o expoente de x como raiz para o outro lado da igualdade, acrescentamos o “ ”, ± esse sinal significa que x possui duas raízes, uma positiva e uma negativa, ou seja, x vale tanto 2 quanto - 2 (x possui dois valores).

2. EQUAÇÕES DO 2° GRAU




2.1 Definição É toda equação que tem uma incógnita, geralmente representada por x, e que possui a seguinte forma:

ax² + bx + c = 0 Em que a, b e c R, com a Nessas equações os números a, b e c ∈ = ./ 0 são chamados de coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x: a será sempre coeficiente do termo em x²; b será sempre o coeficiente do termo em x; c será sempre o coeficiente sem variável ou termo independente de x; Exemplificando:

● Exemplo 1:

2x² + 2x - 40 = 0 a = 2; b = 2; c = -40;

● Exemplo 2:

x² + 3 = 0

a = 1; b = 0; c = 3;

● Exemplo 3:

4x - 7x²= 0 a = -7; b = 4; c = 0;




2.2 Raiz de uma Equação do 2° Grau Uma equação do segundo grau possui duas raízes, as quais são determinadas através da seguinte fórmula, denominada fórmula de Bhaskara:

Na fórmula podemos observar um (mais ou menos), assim, tendo ± duas situações, uma em que somamos -b ao e uma que subtraímos Δ -b de , esses casos, que estão sendo representadas por x’ (xis linha) e Δ x’’ (xis duas linhas), são as raízes da equação. O (delta) da equação que, nesse caso, chamamos de discriminante, Δ como mostrado na imagem, é dado por b² - 4ac . 2.3 Resolução Para resolvermos uma equação do 2° grau: Passo 1: identificar os coeficientes da equação (valores de a, b e c). Passo 2: substituí-los na fórmula de Bhaskara. Passo 3: desenvolver a equação para encontrar as raízes. Exemplificando:

● Exemplo 1 (equação completa):




Para obter as raízes da equação:

- identificamos os coeficientes da equação (a = 2, b = -9 e c = 7 ; - encontramos o valor do aplicando os valores dos coeficientes Δ

na fórmula, do mesmo, e a desenvolvemos ( = b² - 4ac = (-9)² Δ → Δ - 4 . 2 . 7) ;

Observação: você pode calcular o delta diretamente na fórmula, é indiferente para o resultado final da equação.

- em seguida aplicamos os valores na fórmula de Bhaskara (tanto o valor dos coeficientes, quanto do delta);

- chegando na parte onde temos dois valores (+ e -) para o valor encontrado na raiz do delta (identificados por “ ”) temos de ± desenvolver os a equação dois casos ( e ), assim, 4

9 + 5 49 − 5

encontrando os valores das raízes, representadas por x’ e x’’; - depois montamos o conjunto solução da equação, que será o

resultado final da mesma (S {1, 3,5});

● Exemplo 2 (equação incompleta b=0 )




Nesse caso podemos resolver a equação usando ou não a fórmula de bhaskara. Caso 1: Bhaskara.

- identificamos os coeficientes e os aplicamos na fórmula; - desenvolvemos a equação; - montamos o conjunto solução com as duas raízes;

Caso 2: Sem a fórmula.

2x² - 50 = 0 2x² = 50 x² = 50/2 x = ± √25 x = 5±

S = {5, -5}

- isolamos o termo que possui incógnita, passando o -50 para o outro lado da equação com o sinal oposto;

- passamos o número que multiplicava a incógnita (2) para o outro lado da equação com o sinal oposto;




- efetuamos a divisão (50/2); - passamo o expoente da incógnita para o outro lado com o sinal

oposto (potência raíz);→ - escrevemos o conjunto solução (x’ = 5, x’’ = -5);

● Exemplo 3 (equação incompleta c =0 ): Podemos resolver a equação tanto por meio da fórmula de Bhaskara quanto colocando um fator comum em evidência. Caso 1: Bhaskara.




- identificamos os coeficientes e os aplicamos na fórmula; - desenvolvemos a equação; - montamos o conjunto solução com as duas raízes;

Caso 2: Fator comum em evidência.

- inicialmente procuramos o maior valor comum aos dois termos (4x² e 6x), que, nesse caso foi o 2x (como podemos ver na parte em vermelho da equação);

Observação: nesse primeiro item foi feito o fatoramento da equação.

- colocamos o fator em comum (2x) em evidência ( 2x (2x - 3) = 0); - colocamos os dois valores (2x e 2x -3), separadamente, em

igualdade a zero; - desenvolvemos as equações e chegamos aos dois valores

possívei de x. - escrevemos o conjunto solução;




2.4 Discriminante ( )Δ De acordo com o discriminante da equação do 2° grau podem ocorrer três casos com relação às raízes:

> 0 Δ A equação possui duas raízes reais e diferentes .

= 0 Δ A equação possui duas raízes reais e iguais .

< 0 Δ A equação não possui raízes reais . Se > 0:Δ Sendo o delta um valor positivo, podemos extrair a raiz quadrada do valor, obtendo, assim, as duas raízes.

Se = 0:Δ




Como a raiz quadrada de zero é zero, não iremos somar nem subtrair nada de b, tendo apenas seu valor dividido por 2a.

Se < 0:Δ A raíz quadrada de um número negativo não existe nos número reais, então as duas raízes serão raízes imaginárias. 2.5 Relação entre os Coeficientes e as Raízes Existem duas relações importantes entre x’ e x’’ e os coeficientes a, b e c, as quais são denominadas soma e produto, também chamadas de Relações de Girard. Soma A soma das raízes é encontrada pela fórmula:→

x’ + x’’ = a−b

Produto O produto das raízes é encontrado pela fórmula:→

x’ . x’’ = ca Exemplificando:

● Exemplo 1:




Ao resolvermos a equação pela fórmula de Bhaskara obtivemos x’ = 3 e x’’ = -2. se formos somar e multiplicar esses valores teremos:

x’ + x’’ = 3 + (-2) = 1 x’ . x’’ = 3 . (-2) = -6

Como vimos existe um outro modo mais prático e rápido para chegar a esses resultados: usar as relações entre as raízes e os coeficientes. Essa relação faz com que não seja necessário o desenvolvimento da fórmula de Bhaskara:

3. EQUAÇÃO BIQUADRADA




3.1 Definição É toda equação que possui uma incógnita, geralmente representada por x, e que é expressa na forma:

+ bx² + cx4 Em que a, b e c R, com a∈ = ./ 0 A equação biquadrada é uma equação polinomial do 4° grau, o que se dá ao fato de ela possuir ser maior expoente igual a quatro. 3.2 Resolução Para resolvermos uma equação biquadrada, ou seja, encontrar suas raízes, precisamos transformá-la em uma equação de segundo grau, por meio da substituição de variável . Passo 1: substituir a incógnita (elevada ao quadrado) da equação por uma outra. Ex: x² = y. Passo 2: encontrar o conjunto solução da equação do 2° grau. Passo 3: seguindo a relação feita no primeiro passo, substituir a incógnita escolhida (y) na incógnita da equação (x²) para encontrar as raízes da equação - no exemplo, y seria equivalente a x². Também podemos, em certos casos, não usar o método da substituição, e sim deixando um fator comum em evidência - como foi explicado no tópico 2.3 (exemplo 3, caso 2). Exemplificando:

● Exemplo 1 (substituição de Variável):




Para obter as raízes da equação: - reescrevemos como ;x4 ) (x2 2 - substituímos x² por y em toda a equação e, assim, obteremos uma

equação do segundo grau; - desenvolvemos a equação do segundo grau e encontraremos as

duas raízes de y, y’ e y’’. - retornando a parte em que fizemos a substituição (x² = y),

colocamos os valores encontrados de y na equação, para encontrarmos as raízes de x;

- escrevemos o conjunto solução com as raízes de x;

● Exemplo 2: Nesse caso, como não possuímos a equação completa, pela falta do último termo, podemos usar o método do fator comum em evidência.




Para obter as raízes da equação:

- procuramos o maior valor comum aos dois termos e o colocamos em evidência (x² (x² - 9) = 0);

- colocamos os dois valores (x² e x² - 9), separadamente, em igualdade a zero;

- desenvolvemos as equações e chegamos aos dois valores possívei de x.

- escrevemos o conjunto solução;

4. EQUAÇÃO IRRACIONAL 4.1 Definição É toda equação que há uma ou mais incógnitas aparecendo dentro de um radical.

= y √x 4.2 Resolução Para resolver uma equação irracional é preciso encontrar raízes de x que quando aplicadas na equação resultem igualdades verdadeiras.




Passo 1: isolar o radical em um dos membros da equação. Passo 2: elevar ao quadrado os dois lados da igualdade (os dois membros). Passo 3: desenvolver a equação. Passo 4: aplicar os valores de x encontradas na equação primária. Passo 5: verificar as igualdades verdadeiras e escrever o conjunto solução. 4.2.1 Caso 1 A equação possui um único radical isolado em um dos lados da igualdade. Exemplificando:

● Exemplo 1:

Para obter o resultado da equação:

- para eliminar a raiz da equação, elevamos os dois lados da igualdade, ao quadrado;

- resolvemos a propriedade distributiva da multiplicação, produto notável, ((x - 2)² x² - 4x + 4);→




- colocamos todos os termos de um só lado da igualdade, para igualá-la a zero;

- chegando em uma equação do segundo grau, colocamos um fator comum em evidência para encontrar as raízes de x - também pode-se encontrar as raízes da equação pela fórmula de bhaskara;

- substituímos as raízes de x na equação inicial ; - verificamos quais resultados obedecem a igualdade - se não

obedece a igualdade não é solução da equação ;

Observação: Na primeira substituição (x = 0), encontramos 2 = - 2 , essa igualdade não é verdadeira, pois 2 não possui o mesmo valor que - 2, um é positivo e outro é negativo, ou seja, 0 não é uma solução.

- escrevemos o conjunto solução com os valores de x em que a

igualdade é verdadeira;

● Exemplo 2:


- isolar o radical (passamos o -x que não estava dentro da raix para o outro lado da equação);




- eliminamos a raiz da equação, elevando os dois lados da igualdade ao quadrado;

- resolvemos o produto notável ((x + 10)² x² + 20x + 100);→ - colocamos todos os termos de um só lado da igualdade, para

igualá-la a zero; - chegando em uma equação do segundo grau, resolvemos-a com

a fórmula de bhaskara para encontrar as raízes de x:

- tendo as raízes (-6 e -15) substituímos-as na equação inicial; - verificamos quais resultados obedecem a igualdade e

escrevemos o conjunto solução; 4.2.2 Caso 2 A equação apresenta dois radicais irredutíveis. Exemplificando:

● Exemplo 1:





- isolamos os radicais; - elevamos os dois lados da equação ao quadrado para remover a

subtração das raízes; - multiplicamos a equação por -1 pra deixar seus valores positivos -

não é obrigatório, apenas deixa a resolução mais simples por não trabalhar com valores negativos;

- novamente elevamos ao quadrado os dois lados da equação, desta vez para eliminar as raízes ;

- resolvemos o produto notável dos dois lados da igualdade; - colocamos todos os termos da equação de um só lado da

igualdade, para igualá-la a zero;




- chegando em uma equação do segundo grau, resolvemos-a com a fórmula de bhaskara para encontrar as raízes de x:

- tendo as raízes (18 e 2) substituímos-as na equação inicial; - verificamos quais resultados obedecem a igualdade e

escrevemos o conjunto solução; 4.2.3 Caso 3 A equação possui três ou mais radicais irredutíveis. Exemplificando:

● Exemplo 1:





- elevamos os dois lados da equação ao quadrado para remover a adição de raízes;

- isolamos os radicais; - novamente elevamos ao quadrado os dois lados da equação,

desta vez para eliminar as raízes ; - resolvemos o produto notável dos dois lados da igualdade; - colocamos todos os termos da equação de um só lado da

igualdade, para igualá-la a zero; - encontramos as raízes da equação:




- tendo as raízes substituímos-as na equação inicial; - verificamos quais resultados obedecem a igualdade e

escrevemos o conjunto solução - o termo 5/21 não é solução da equação;

5. EQUAÇÃO RACIONAL ou EQUAÇÃO FRACIONÁRIA 5.1 Definição É toda equação que possui incógnitas no denominador. Observação: o denominador de uma fração deve ser sempre diferente de zero, ou seja, devemos encontrar o valor da incógnita para que o denominador seja diferente de 0. 5.2 Resolução Como vimos nos tópicos anteriores, quando se trata de incógnitas no denominador devemos igualar os denominadores e “multiplicar em xis”.




Passo 1: igualar os denominadores (usando M.M.C). Passo 2: desenvolver os dois membros da equação até que se tenha um termo de cada lado. Passo 3: multiplicar os denominadores pelos numeradores. Passo 4: isolar a incógnita. Observação: Em alguns casos pode-se acabar “caindo” em uma equação do segundo grau, o que quer dizer que teremos dois valores para a incógnita, então é preciso, assim como nas equações irracionais, substituir a incógnita na equação e verificar quais igualdades são verdadeiras. Exemplificando:

● Exemplo 1:

Para encontrar o valor de x:

- multiplicamos a equação “em xis” - numerador de um membro pelo denominador de outro;

- desenvolvemos a equação; - isolamos a incógnita;

● Exemplo 2:




Para encontrar o valor de x:

- fizemos o M.M.C. entre os denominadores e resolvemos a equação;

- multiplicamos a equação “em xis” - numerador de um membro pelo denominador de outro;

- desenvolvemos a equação; - isolamos os termos que possuem incógnitas igualando a

equação a zero; - colocamos um fator comum em evidência; - verificamos os valores de x para que x 0, obtendo, assim, a =/

solução da equação;




Exercícios

1) 18x - 43 = 65 2) 23x - 16 = 14 - 17x 3) 3x² – 7x + 4 = 0 4) 9y² – 12y + 4 = 0

5) – 5x² + 4 = 0x4 6) 4 – 9x² + 2 = 0x4 7) = √2x 3+ √x 5− 8) = 2√9x 14−




Gabarito: 1) 6 2) 3/4 3) S {(4/3, 1)} 4) S {(⅔, ⅔)} 5) S {x R / x +- 2 ou x +- 1} 6) S {x R /∈ ∈ x +- ou x +- } 7) -8 8) 2√2 √1/2




REFERÊNCIAS Todo o embasamento da Apostila foi retirado dos seguintes livros: ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática 9° ano. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini 9° ano . 9° Edição. São Paulo: Editora Moderna, 2015. ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática 8° ano. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini 8° ano . 8° Edição. São Paulo: Editora Moderna, 2015.

Matemática · Uma equação do segundo grau possui d uas raízes , as quais são determinadas...

Documents

Transcript of Matemática · Uma equação do segundo grau possui d uas raízes , as quais são determinadas...