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Matemática - UNESP -2015-2014- 2°fase

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1. (Unesp 2015) Um dado viciado, que será lançado uma única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a

6. A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de cada face.

número na face 1 2 3 4 5 6

probabilidade de ocorrência da face

1

5

3

10

3

10

1

10

1

20

1

20

Sendo X o evento “sair um número ímpar” e Y um evento cuja probabilidade de ocorrência seja 90%,

calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva uma possível descrição do evento Y. 2. (Unesp 2015) Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas, ao acaso,

em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila que será formada. Generalize uma fórmula para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o mesmo grupo

de "8 pessoas”, trocando " 4 pessoas” por "m pessoas”, em que 1 m 6. A probabilidade deverá ser

dada em função de m. 3. (Unesp 2015) Um bloco maciço com a forma de paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões 8 m,

12 m e 10 m. Em duas de suas faces, indicadas por A e B na figura, foram marcados retângulos, de 2 m

por 3 m, centralizados com as faces do bloco e com lados paralelos às arestas do bloco. Esses retângulos

foram utilizados como referência para perfurar totalmente o bloco, desde as faces A e B até as respectivas faces opostas a elas no bloco.

Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou após a perfuração do bloco. 4. (Unesp 2015) O cálculo aproximado da área da superfície externa de uma pessoa pode ser necessário

para a determinação da dosagem de algumas medicações. A área A (em 2cm ) da superfície externa de

uma criança pode ser estimada por meio do seu “peso” P (em kg) e da sua altura H (em cm) com a

seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base 10 :

logA 0,425logP 0,725logH 1,84

(Delafield Du Bois e Eugene Du Bois. A formula to estimate the approximate surface area if height and weight be known, 1916. Adaptado.)


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Rafael, uma criança com 1m de altura e 16 kg de “peso”, precisa tomar uma medicação cuja dose

adequada é de 1mg para cada 2100 cm de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa

medicação para Rafael.

Adote nos seus cálculos log2 0,30 e a tabela a seguir.

x x10

3,3 1995

3,4 2512

3,5 3162

3,6 3981

3,7 5012

3,8 6310

3,9 7943

5. (Unesp 2015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A)

vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à distância FB da

linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em C', tenha o mesmo comprimento do

que o percurso total de André, que irá de A até D'.

Considere os dados:

- ABCD e A'B'C'D' são retângulos.

- B ', A ' e E estão alinhados.

- C, D e E estão alinhados.

- A'D e B'C são arcos de circunferência de centro E.

Sabendo que AB 10 m, BC 98 m, ED 30 m, ED' 34 m e 72 ,α calcule o comprimento da pista de

A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais 3.π


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6. (Unesp 2014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e raios das bases medindo R e 2r.

Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases B e b é 2 21h (B B b b )

3π

e dado que 65 8, determine o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a

capacidade da taça seja 2

3 da capacidade do copo.

7. (Unesp 2014) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe.

Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P2 se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente no local e que (a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90° no sentido anti-horário,

a partir de P1; (b) ele deve determinar um ponto M2 girando o segmento P2A em um ângulo de 90° no sentido horário, a

partir de P2; (c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M2. Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das abscissas passando por P2. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro.


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A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e Resposta o ponto P2 e o ponto do local do tesouro.

8. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.

9. (Unesp 2014) Determine o período da função f( )θ dada pela lei de formação

1 2

f sen 1.5 3 3

πθ θ

10. (Unesp 2014) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados.

Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse.


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Gabarito: Resposta da questão 1: A probabilidade de sair um número ímpar será dada por:

1 3 1 11 55P(x) 55%

5 10 20 20 100

Poderemos admitir o evento Y como sendo “Sair um número menor ou igual a quatro”, pois neste caso, a probabilidade de ocorrência do evento Y seria dada por:

P(y) =1 3 3 1 9 90

90%5 10 10 10 10 100

Resposta da questão 2:

Existem 2 maneiras de posicionar Renato e Alice. Podemos dispor m pessoas entre os dois de

6, m

6!A

(6 m)!

maneiras. Além disso, considerando agora as 8 (m 2) 6 m pessoas restantes, temos

(6 m) 1 7 mP P (7 m)! possibilidades. Por outro lado, podemos organizar o grupo em fila de 8P 8!

modos, sem qualquer restrição. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por

6!2 (7 m)!

7 m(6 m)!.

8! 28

Em particular, se m 4, temos 7 4 3

.28 28


O volume V do sólido restante será dado pelo volume do sólido inicial (i)V e o sólido retirado (r)V .


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(i) (

3

r)V V V

V 8 10 12 2 3 4 2 3 12 2

V 960 24 72 24

V 960 120

3

4

4

V 8 0 m

Para calcular a área total, iremos considerar algumas etapas:

Área das faces externas paralelas à face A: 21A 2 (8 10 2 3) 148m

Área das faces internas paralelas à face A: 22A 4 (4 3) 48m

Área das faces externas paralelas à face B: 23A 2 (12 8 2 3) 180m

Área das faces internas paralelas à face B: 24A 4 3 5 60m

Área das faces externas paralelas à face C: 25A 2 12 10 240m

Área das faces internas paralelas à face C: 26A 2 (2 10 2 2 5) 80m

Portanto, a área total será dada por:

21 2 3 4 5 6A A A A A A A 148 48 180 60 240 80 756 m


Considerando P 16 kg e H 100 cm, temos a seguinte equação:

4

3,8

2

logA 0,425 log16 0,725 log100 1,84

logA 0,425 log2 0,725 2 1,84

logA 0,425 4log2 1,45 1,81

logA 1,7 0,3 3,29

logA 3,8

A 10

A 6310 cm

Sabemos que Rafael deve tomar 1mg para cada 2100 cm de seu corpo. Portanto, a dose diária de Rafael

será dada por:

631063,1mg.

100


Se ABCD e A'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo comprimento, então

FB B'C A 'D

2(40 30)

5

12 m.

π

Resposta da questão 6: Utilizando a fórmula dada temos:

Capacidade da Taça: 3 2 2

T4 R R r R r

V3

π π π

Capacidade do copo: 3 2 2cV R 2 R r 4 R rπ π π


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Fazendo VT = 2/3(VC), temos:

2 2 37R r 3 R R 2 R 0

Resolvendo a equação na incógnita r, temos:

2 43 R 65 R 5 Rr

14 R 14

ou

2 43 R 65 R 11 Rr (não convém)

14 R 14

Portanto, o raio do copo será: 2 5 R 5 R

.14 7


1 1 1 o 1 1

2 2 2 o 2 2

1 2

P BM ACP (LAA ) P B AC a e P C b

ACP M DP (LAA ) DP a e M D 10 b

Logo, M (a,b) e M (10 a,10 b).

Δ Δ

Δ Δ

Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M1 e M2, temos:

52

b10by e 5

2

a10ax MM

Logo, o ponto médio do segmento de extremos M1 e M2 é M(5,5).


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Resposta da questão 8: Utilizando a relação entre as cordas, temos:

2 2

2

2x (x 3) x (3x 1)

2x 6x 3x x

x 7x 0

Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x 7 .


2 2

P 32m

3

π ππ

Resposta da questão 10: Centro da elipse: C(2,3) Semieixo paralelo ao eixo x: a = 2 Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3 Logo, a equação da elipse será dada por:

2 22 2

2 2

y 3 y 3(x 2) (x 2)1 1

4 92 3

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