Materia Logica Aplicada

Apostila de Lgica Aplicada a Informtica

Modulo 1

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1 - Histria do estudo da lgica

A Lgica, ao que tudo indica, foi descoberta por Aristteles (384-

322 a.C.). Os registros se encontram em seu famoso livro que recebeu o

nome de Organon, que significa instrumento. Aps sua descoberta, ela

permaneceu praticamente intacta por mais de dois mil anos, sendo

considerada por alguns estudiosos como uma cincia acabada, porem

grandes mudanas comearam a ocorrer com G. Boole e A. De Morgan

com a introduo da simbolizao na logica. Outras investigaes de

carter mais filosfico foram efetuadas por G. Frege, contribuindo

enormemente para o desenvolvimento da lgica de predicados. Porm, o

grande avano propriamente dito foi estabelecido com a publicao da obra

Principia Mathematica, de A. N. Whitehead e B. Russell no alvorecer

deste sculo. Pode-se mesmo dizer que a moderna Lgica Matemtica teve

incio com a publicao da referida obra.

O lgico polons A. Tarski. constitui na matematizao o conceito

de verdade como correspondncia. Tal concepo de verdade remonta

Aristteles:

dizer do que no que , e dizer do que , que no , falso.

E, dizer do que no , que no , e dizer do que , que ,

verdadeiro.

Noutras palavras, verdade aquilo que .

E falso, aquilo que no .

Note que o conceito de verdade repousa no verbo ser. Antes de

Tarski, a idia de verdade era utilizado livremente no discurso matemtico

e inmeras contradies haviam aparecido nas teorias matemticas.


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Algumas das principais caractersticas da Matemtica so: a

abstrao, a preciso, o rigor lgico e a diversidade de suas aplicaes.

Hoje todo investigador que vai aplicar a Lgica possui em mos

agora Matemticas alternativas, situao esta muito distinta de um passado

recente. Alis, a Matemtica que era una at ento, ceder fatalmente

diversidade.

2 - O que Logica?

A lgica descreve as formas, as relaes e as propriedades das

proposies, em decorrncia da construo de um simbolismo regulado e

ordenado que permite diferenciar linguagem cotidiana e linguagem

formalizada. A linguagem formal nada tem a ver com a linguagem

cotidiana, pois se trata de uma linguagem inteiramente construda por ela

mesma, baseada no modelo da matemtica.

A lgica antiga, moderna ou clssica no era plenamente formal,

pois no era aptica aos contedos das proposies nem s operaes

intelectuais do sujeito do conhecimento. Era atribuda a forma lgica o

valor de falsidade ou verdade com base na falsidade ou verdade dos atos de

conhecimento do sujeito e na irrealidade ou realidade dos objetos

conhecidos. Em oposio a essa linha de pensamento, a lgica

contempornea, procura se tornar um clculo simblico, preocupando-se

cada vez menos com o contedo material das preposies e com as

operaes intelectuais do conhecimento. Tornando-se plenamente formal.

3 - Desafio Lgico

comum encontrarmos desafios lgicos sob a forma de problemas

que instigam a nossa curiosidade. Trata-se de uma forma divertida de


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estimular o pensamento lgico-matemtico. Em muitos deles, a soluo se

d pela aplicao de conceitos da lgica formal.

1 - Uma certa autoridade visitou uma penitenciria e reduziu a pena

dos presos pela metade. Ou seja: presos que deveriam cumprir 10 anos,

passavam a cumprir 5 anos; quem deveria cumprir 2, passava a cumprir

apenas 1, e assim sucessivamente.

Pergunta-se: O que ele fez para solucionar a questo dos presos que

foram condenados priso perptua?

2 - Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um pescou um peixe,

sendo que ao todo foram pescados 3 peixes. Como isso possvel?

3 - Na poca em que os bichos falavam, em uma floresta viviam

Dona Ona e Dona Hiena, comadres inseparveis, com caractersticas

peculiares. Dona Hiena mente s segundas, teras e quartas-feiras. Dona

Ona mente s quintas, sextas e sbados. Nos dias que no mentem, elas

dizem a verdade.Certa vez, em um encontro, Dona Hiena e Dona Ona

conversaram:

- Ol, Dona Ona! Ontem eu menti disse a Dona Hiena.

- Ol, Dona Hiena! Eu tambm menti ontem retrucou Dona Ona.

Em que dia aconteceu esse encontro?

4 - Quatro amigos vo ao museu e um deles, furtivamente, entra

sem pagar. Cumprindo o seu papel, o responsvel pela segurana quis saber

quem foi o penetra e interrogou os meninos.

Abaixo temos as afirmaes de cada um deles:


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S um deles mentiu. Quem no pagou a entrada?

5 Ligue os 9 pontos usando 4 retas

Obs: Pense fora da caixa para resolver este problema...

Vale destacar alguns pensamentos a respeito da lgica

Lgica a cincia do raciocnio. (Malba Tahan)

Lgica a cincia das leis do pensamento e a arte de aplica-las

corretamente na pesquisa e na demonstrao da verdade. (R. Solivete)

A logica a cincia que dirige, por meio de leis, as operaes de

nossa razo, para que ordenada, facilmente alcance a verdade. (Sinibaldi)

4 - Sentenas, Proposies e Argumentos

As palavras podem ser combinadas para formar diversas expresses

lingusticas, incluindo as sentenas, que por sua vez, podem formar

argumentos, poemas, declaraes de amor. Assim vamos dizer incialmente

que uma sentena uma sequencia de palavras do portugus que contenha


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ao menos um verbo flexionado e alguns sinais de pontuao, no portugus

escrito, como por exemplo:

O gato esta no capacho.

Toda vez que faz sol, eu vou a praia

Mas claro que nem todas as sequencias de palavras do portugus

constitui uma sentena, como por exemplo:

Os gatos t nos capacho.

Gato capacho casa que que esta se no.

Nenhuma das sequencias de palavras acima uma sentena da

norma culta do portugus, ou seja, elas vo claramente contra as regras da

gramatica da lngua portuguesa.

Dessa maneira, o que determina quais sequencias de palavras de

uma lngua constituem sentenas dessa lngua a gramatica, ou seja, um

conjunto de regras que dizem de que forma se podem combinar as palavras.

As sentenas podem ser classificadas em diversos tipos, tais como:

Declarativas:

Hoje domingo.

Eu no sa de casa o dia todo.

Interrogativas:

Quem vem l?

Qual o seu nome?

Exclamativas:

Lgico!

Viva!


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Imperativas:

No Matars!

Feche a porta!

A matemtica tambm expressa por sentenas. Por exemplo:

> 3

e

So sentenas matemticas.

Mas vamos ver agora por que nem todas elas podem fazer parte de

um argumento. Em um argumento pretendemos afirmar uma concluso

com base em premissas, tanto premissas quanto concluses devem ser

coisas que podem ser afirmadas ou negadas: ou seja, coisas que podem ser

consideradas verdadeiras ou falsas. Em vista disso sentenas como:

Que horas so?

Feche a porta!

Normalmente no podem ser admitidas em argumentos. Pois a

primeira uma pergunta, ou seja uma sentena interrogativa, enquanto a

segunda uma ordem, ou seja uma sentena imperativa, e portanto, nem

uma nem outra podem ser afirmadas ou negadas, ou consideradas

verdadeiras ou falsas. Assim as sentenas que nos interessam na logica so

as sentenas declarativas.

As sentenas declarativas podem ser tanto afirmativas quanto

negativas. Sob o ponto de vista da lgica devemos lidar com as sentenas


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declarativas, as quais podemos atribuir um valor-verdade, isto , cada

sentena ser verdadeira ou falsa.

Contudo, ser que as sentenas declarativas realmente

correspondem ao que desejamos, isto , so coisas que podem ser ou

verdadeiras ou falsas? Ainda que muitos autores afirmem que sim, um bom

numero tem uma opinio contraria. Acontece que muitas sentenas

(inclusive as declarativas) podem ser usadas para expressar muitas coisas

diferentes, e parece que so estas outras coisas que costumamos achar

verdadeiras e falsas. Por exemplo: impossvel dizer se a sentena

Esta chovendo,

Tomada fora de qualquer contexto verdadeira ou falsa. Ela pode

ser usada para afirmar que est chovendo em volta redonda as 21 horas do

dia 1 de julho de 2013, o que verdade, ou para afirmar que esta chovendo

no lado escuro da lua,no mesmo dia e hora, o que no .

E para piorar as coisas, supor que so as sentenas que so

verdadeiras ou falsas pode implicar um sentena sendo verdadeira e falsa

numa mesma situao. Imagine, por exemplo que o gordo e o magro

estejam juntos numa mesma sala, e afirmem simultaneamente, a sentena

Eu sou gordo.

Esta sentena verdadeira se afirmada pelo gordo, e falsa se

afirmada pelo magro.

Somos ento obrigados a concluir que a sentena verdadeira e

falsa ao mesmo tempo?

Esse um resultado que parece no ser muito desejvel, mas que

pode ser evitado se considerarmos que so outras as coisas que podem ser

verdadeiras ou falsas. E que compem argumentos.


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Vamos tentar esclarecer o que estas coisas so, considerando alguns

exemplos a mais:

Miau rasgou a cortina

A cortina foi rasgada por miau

(onde Miau obviamente um gato)

fcil verificar que temos aqui duas sentenas distintas, a primeira

comea com a palavra miau e a segunda com a palavra A. logo, se

sentenas so sequencias de palavras e a segunda diferente da primeira,

uma vez que as sequencias so diferentes. Porem, apesar de serem

diferentes, a primeira e a segunda tem alguma coisa em comum, portanto

elas podem ser usadas para expressar a mesma proposio, ou seja que

miau rasgou a cortina.

E afinal o que uma proposio?

costumeira identificar uma proposio com o significado de uma

sentena declarativa, isto entretanto, no resolveria o problema mencionado

acima do gordo e do magro, onde a sentena possui um nico significado,

ainda que afirmada por diferentes pessoas

Fora isso, as proposies tem sido ainda identificadas com

conjuntos de mundos possveis, pensamentos, conjuntos de sentenas

sinnimas, estados de coisas, representaes mentais, e at mesmo com as

prprias sentenas declarativas. Por outro lado, muitos autores esto

convencidos de que proposies no existem. Afinal, voc no consegue

enxergar uma proposio, nem agarra uma: Proposio no ocupam lugar

no espao, no so afetadas pela gravidade, nem refletem a luz. Na melhor

das hipteses dizem eles, a proposio so complicaes desnecessrias, e

pode-se muito bem trabalhar apenas com sentenas.


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Porem devemos separar as sentenas das proposies da seguinte

forma: Sentenas so sequencias gramaticais de palavras, e proposies as

sentenas que podem ser verdadeiras ou falsas, as coisas que podem saber,

afirmar, rejeitar, de que podemos duvidar ou em que podemos acreditar.

Assim podemos definir proposies como uma espcie de alegao ou

assero sobre o mundo. Onde, uma assero uma abstraes de

sentenas no lingusticas que podem ser tomados como verdadeiro ou

falso.

Por exemplo, quando o gordo afirma a sentena acima, ele esta

fazendo uma assero a seu respeito, Gordo que diferente da assero

feita pelo magro, atravs da mesma sentena. Dito de outro modo, o gordo

usa a sentena acima para expressar uma proposio verdadeira, enquanto o

magro usa para expressar uma proposio falsa.

Trocando em midos:

Uma proposio uma sentena declarativa que permite um e

somente um dos dois valores-verdade V ou F

Quando argumentamos, isto , quando construmos uma

demonstrao, o fazemos numa linguagem. O argumento uma entidade

composta de entidades mais simples, as proposies, isto , frases que so

declarativas e os nicos valores de verdade possveis de a conotarem so

verdadeiro ou falso.

Deveramos ento defini-los como conjuntos no vazios e finitos de

proposies, pois, afinal, so as proposies que podem ser verdadeiras e

falsas.

5 - Valor Verdade


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Quando definimos a veracidade ou falsidade de uma proposio

estamos definindo um conceito conhecido como valor-verdade. Na lgica e

na matemtica, um valor-verdade, tambm chamado de valor veritativo,

um valor que indica o grau de verdade de uma proposio, dependendo da

interpretao. Assim, por exemplo, a sentena:

Joo gosta de lgica

So, dependendo da interpretao (quem Joo?, o que lgica?, o

que significa gostar?, etc.), verdadeiras ou falsas.

Por exemplo, considere a proposio:

Em Natal faz muito calor

Esta frase uma proposio no sentido de que ela uma assero

declarativa, ou seja, afirma ou nega um fato, e tem um valor de verdade,

que pode ser verdadeiro ou falso. Neste caso, o valor de verdade vai

depender de vrios fatores, como o local sobre o qual se est falando e de

quem est avaliando. Ou seja, valor de verdade de uma proposio no

um conceito absoluto, mas depende de um contexto interpretativo.

Os valores de verdade de uma proposio podem ser mostrados

usando zero e um:

Verdade = 1

Falso = 0

Na lgebra, o conjunto {verdadeiro, falso} forma uma lgebra

booleana com dois elementos. Esta importante na sua teoria geral, pois

uma equao envolvendo diversas variveis verdadeira se, e somente se,

verdadeira na lgebra booleana de dois elementos.

6 - Lista de exerccio 1


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Das sentenas abaixo, diga por que elas so validas ou invalidas.

a) Vamos!

b) A janela branca.

c) A janela esta aberta.

d) Quantos anos voc tem?

e) Ele no fala mentira.

f) Olha l!

g) Contamos!

h) Contamos mentira.

i) A mochila azul.

j) Vamos para casa?

k) Espera ai!

l) 7 x 7 = 49

m) 5 + 8 = 12

n) x + 3 = 14

7 - Logica e Argumentos

Vamos agora examinar com um pouco mais de detalhes os

argumentos e tratar um pouco do interesse que a logica tem neles.

8 - Validade e Forma

De certa maneira, voc pode dizer que o raciocnio um processo

de construir argumentos para aceitar ou rejeitar uma certa proposio.

Assim, na tentativa de determinar se o raciocionio realizado foi correto,


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uma das coisas das quais a logica se ocupa a analise de argumentos que

so construdos. Ou seja, cabe a logica dizer se estamos diante de um bom

argumento ou no. Ao tentar responder a essa questo, contudo, h dois

aspectos distintos que temos de levar em conta. Vamos comear

examinando o argumento no seguinte exemplo. (Miau um gato preto)

P1 Todo gato mamfero

P2 Miau um gato

C1 Miau um mamfero

No deve haver muita duvida de que a concluso, Miau um

mamfero, esta adequadamente justificada pelas premissas: sendo Miau

um gato, a afirmao de que todo gato um mamfero tambm o inclui;

assim, ele no tem como no ser um mamfero. Mas compare esse

argumento com o exemplo a seguir. (Lulu o cachorro do vizinho)


P2 Lulu um mamfero

C1 Lulu um gato.

obvio que h alguma coisa de errada com esse argumento: apesar

de as premissas serem verdadeiras, a concluso falsa. Lulu de fato um

mamfero, mas ele pode ser um cachorro. Como voc sabe, existem muitos

outros mamferos alm dos gatos; ou seja, ser uma mamfero no basta para

caracterizar um animal como gato. Assim, as duas premissas p1 e p2,

mesmo sendo verdadeiras, no so suficientes para justificar a concluso

c1.

Considere agora o prximo exemplo (em que Cleo um peixinho

dourado)

P1 todo peixe dourado


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P2 cleo um peixe.

C1 Cleo dourado

Note, que verdade que cleo dourado (conforme a suposio que

fizemos acima). Ou seja, podemos dizer que a concluso verdadeira. Mas

no seria correto dizer que a concluso est justificada com base nas

premissas apresentadas, pois no verdade que todo peixe dourado:

alguns so de outras cores. Para colocar isso em outros termos, uma

proposio falsa no uma boa justificativa para uma outro proposio.

Contudo, se fosse verdade que odo peixe dourado, ento cleo teria

forosamente que ser dourado.

Se as premissas fossem verdadeiras, isto j seria uma boa

justificativa para a concluso.

Vamos comparar as duas argumentaes sobre Miau e Cleo, voc

vai notar que eles so bastantes parecidos. Veja:

P1 Todo Gato

Mamfero

peixe dourado

P2 Miau

um Gato

Cleo Peixe

C1 Miau

Mamifero

Cleo Dourado

No difcil perceber que a diferena entre o argumento de miau e

o de cleo substituirmos miau por cleo, gato por peixe e mamfero por

dourado e o que eles tem em comum a estrutura, ou seja:

P1 Todo A B.

P2 c um A.

C1 c B.


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Onde, temos no argumento acima que a letra c esta ocupando o

lugar reservado para nomes de indivduos, como miau ou cleo, enquanto A

e B ocupam o lugar de palavras como gato, peixe, etc. Assim, se

substituirmos A e B por outros termos, como ave, cachorro, preto, etc, e c

por algum nome, como lulu, malhado, rex, voc ter um argumento com a

mesma forma.

Um argumento valido pode ser informalmente definido como

aquele cuja concluso consequncia logica de suas premissas, ou seja, se

todas as circunstancias que tornam as premissas verdadeiras, tornam

igualmente a concluso verdadeira. Dito de outra maneira, se as premissas

forem verdadeiras, no possvel que a concluso seja falsa.

Ou seja, um argumento valido se qualquer circunstancia que torna

suas premissas verdadeiras faz com que sua concluso seja

automaticamente verdadeira.

Se um argumento valido, dizemos que sua concluso

consequncia logica de suas premissas. Essa a noo informal que temos

de validade e consequncia logica. Note que um argumento pode ser

valido, mesmo que uma de suas premissas ou concluso sejam falsas, como

em:

P1 = Todo marciano cor de rosa.

P2 = Raroku um marciano.

C1 = Raroku cor de rosa.

Ou que uma premissa seja falsa e a concluso verdadeira com em:

P1 = Todo peixe dourado

P2 = Cleo um peixe

C1 = Cleo dourado


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O que no pode ocorrer para que um argumento ser valido, que

ele tenha premissas verdadeiras e concluso falsa. Isso acontece por

exemplo em:

P1 = Todo gato mamfero

P2 = Lulu um mamfero

C1 = Lulu gato.

Nesse caso, dizemos que a concluso deste exemplo no

consequncia logica de suas premissas, e que portanto este argumento no

valido.

Veja que ele possui uma forma diferente de estrutura

P1 Todo A B.

P2 c um B.

C1 c A.

Ou seja, nesse caso nem o exemplo do Miau se tornaria um

argumento verdadeiro, visto que:


P2 Miau um mamfero

C1 Miau um gato

Ainda que tanto as premissas quanto a concluso sejam verdadeiras,

o fato que possvel que as premissas sejam verdadeiras e a concluso

seja falsa. Basta imaginar que miau no um gato.

Talvez uma outra maneira de colocar as coisas ajude voc a

entender a ideia de forma. Vamos representar a primeira premissa, que diz

que que todo gato mamfero, da seguinte maneira


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Gato => mamfero

A segunda premissa, que diz que Miau um gato assim.

Miau => gato.

Juntando isso ficamos com

Miau => gato => mamfero.

Como ve o esquema acima representa as duas premissas, fcil ver

agora que a concluso, que diz que miau mamfero uma consequncia

logica dessas premissas. Basta iniciar com miau e ir seguindo as setas para

ver que chagamos at mamfero.

Por outro lado, representamos a historia do lulu com o seguinte

anlogo:

Lulu => mamfero


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Se todas as premissas do argumento forem verdadeiras, a concluso

tambm ser obrigatoriamente verdadeira? Isto , o argumento valido?

O argumento correto?

Esta ultima pergunta, que decorre das duas primeiras, se o

argumento correto ou no. Ele s ser correto, claro, se as duas primeiras

perguntas forem respondidas afirmativamente.


Das argumentaes indique quais so validas e quais so invalidas:

a)

P1 Toda janela tem vidro

P2 O vidro feito de areia

C1 Na constituio da Janela temos areia

b) P1 Os canis so para cachorro P2 Jack vive em um canil

C1 Jack um cachorro

c)

P1 Toda cidade fica em um estado

P2 Cristo Redentor esta em um estado C1 Cristo Redentor uma cidade

d)

P1 Todo arco ires feito de cores

P2 O marrom uma cor C1 Logo, marrom esta no arco ires

e) P1 Scrates e Aristteles eram egpcios C1 Logo, Scrates egpcio.

f)

P1 Todo arco ires feito de cores

P2 Azul esta no arco ires

C1 Logo, azul uma cor

g) P1 Toda novela tem atores P2 Toni Ramos um ator


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C1 Toni Ramos esta na novela

h)

P1 Todo politico um candidato

P2 Lula um candidato.

C1 Lula um politico.

i) P1 Toda casa construo P2 Pessoas moram em casa

C1 Pessoas moram em construes

i)

P1 Toda refrigerante tem gs

P2 Balo tem gs C1 Um balo um refrigerante.

10 - A Logica e o processo de inferncia

Com certeza, o objeto central do estudo da logica a relao/

consequncia entre um conjunto de proposies e uma outra proposio.

Essa proposio, claro, no precisam estar necessariamente expressas por

sentenas de alguma linguagem como o portugus: podemos usar, em vez

disso, formulas de alguma linguagem artificial, como temos na matemtica.

Mas esse estudo pela logica de uma relao de consequncia no se resume

apenas em dizer se de fato alguma concluso consequncia de certas

premissas ou no, mas inclui tambm o estudo de tcnicas que auxiliam a

produzir uma concluso a partir da informao disponvel. Ou seja,

sabendo que:

P1 Todo filosofo de botequim desmiolado

P2 Joao um filosofo de botequim.

Voc deve exclamar aha!, e tirar a concluso de que o joo um

desmiolado. Ao fazer isso, voc aplicou a forma valida a informao de

que voc dispe, tirando suas concluses.


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Em geral, temos a disposio um conjunto de formas validas

simples, ou para usar a nomenclatura correta regras de inferncia, por meio

das quais podemos ir manipulando os dados disponveis e ir derivando as

concluses.

Um outro objetivo da lgica, ento, seria o de estudar regras de

inferncia e seu emprego. Hoje em dia, dada a disponibilidade de

computadores, h inclusive diversas tentativas bem sucedidas de

automatizar o processo de inferncia. Isso significa, por exemplo, que voc

pode ter, armazenadas em algum banco de dados, as informaes sobre os

brincos e princesas, digitar a pergunta e obter automaticamente a resposta

de que os brincos da Griselda so de esmeralda. Nesse caso, um programa

de computador iria se encarregar de raciocinar em seu lugar.

11 - Deduo e induo

Alm de considerar que argumentos so validos ou invlidos,

tradicionalmente tem sido tambm feita uma distino entre argumentos

dedutivos e indutivos. costume diferencia-los dizendo-se que os

argumentos dedutivos so no-ampliativos, isto , num argumento

dedutivo, tudo o que esta dito na concluso j foi dito, ainda que

implicitamente, nas premissas. Argumentos indutivos, por outro lado,

seriam ampliativos, ou seja, a concluso diz mais, vai alm do que o

afirmado nas premissas.

11.1 - MTODO DEDUTIVO DEDUO

Podemos conceituar o mtodo dedutivo como sendo uma

modalidade de raciocnio lgico que, como seu prprio nome diz, faz uso

da deduo para obter uma concluso a respeito de uma ou mais premissas.

Partindo de princpios reconhecidos como verdadeiros o pesquisador


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estabelece relaes lgicas entre tais premissas com o objetivo de chegar a

alguma concluso.

Por exemplo, para uma questo ilustrativa do tipo:

Qual a nacionalidade do professor Mustaf?

Buscamos os seguintes dados confirmados (considerados premissas

verdadeiras):

P1: o professor Giovani natural de Volta Redonda

P2: Volta Redonda uma cidade do Rio de Janeiro

P3: Rio de Janeiro um estado brasileiro

Deduo: Se Giovani nasceu em Volta Redonda, que uma cidade

do Rio de Janeiro, que um estado brasileiro logo Giovani nasceu no

Brasil.

C: a nacionalidade do professor Giovani brasileira.

Como vimos, um raciocnio dedutivo se caracteriza por apresentar

concluses que devem ser verdadeiras caso todas as premissas sejam

verdadeiras e, evidentemente, se o raciocnio respeitar uma forma lgica

vlida.

Assim podemos afirmar que a deduo uma tcnica argumentativa

na qual a forma lgica vlida garante a verdade da concluso sempre que as

premissas forem verdadeiras.

Outro exemplo partindo dos seguintes dados (premissas

verdadeiras):

a) todo o ser humano mortal

b) Giovani um ser humano (embora alguns de seus alunos

duvidem)


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Logo Giovani mortal.

Nesse segundo exemplo, observamos um caminho dedutivo indo do

geral (todo o ser humano mortal) e chegando ao particular, ao individual,

(Giovani mortal), por essa razo muito comum muitos divulgadores do

mtodo cientfico caracterizarem que o mtodo dedutivo parte do geral para

chegar ao particular, e isso no de todo correto.

Como o ilustrado, no primeiro exemplo, existem dedues cujas

premissas maiores so iniciadas por condicionais e no partem

necessariamente de premissas gerais.

Algo que poderia ser encadeado assim:

P1: Se Giovani nasceu em Volta Redonda, nasceu no Rio de Janeiro

P2: Se Giovani nasceu no Rio de Janeiro, nasceu no Brasil

C: Logo, Giovani nasceu no Brasil.

Como pode ser observado nem sempre a deduo parte do geral

para chegar ao particular.

11.2 - MTODO INDUTIVO INDUO

Nos exemplos, citados nos tpicos acima, trabalhamos com

argumentos dedutivos, no sentido amplo do termo. Porem,

independentemente de usarmos o termo dedutivo, num sentido estrito ou

amplo, nem todos os argumentos que usamos so dedutivos, ou seja, nem

sempre pretendemos que a concluso do argumento seja uma consequncia

logica das premissas. Muitas vezes, raciocinamos por analogia, ou usamos

probabilidade, conforme os exemplos abaixo, onde se pretende apenas que

a concluso seja altamente provvel, dado que as premissas so

verdadeiras.


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P1 80% dos entrevistados vo votar no candidato x.

C1 80% de todos os eleitores vo votar em x.

Ou

P1 Esta vacina funcionou bem em macacos.

P2 Esta vacina funcionou bem em porcos.

C1 Esta vacina vai funcionar bem em seres humanos.

Os argumentos correspondentes a esses tipos de raciocnio so

chamados de indutivos. Ou seja, no h a pretenso de que a concluso seja

verdadeira caso as premissas o forem, apenas que ela provavelmente

verdadeira.

A Induo em filosofia considerada como um mtodo de

raciocnio com o qual se extraem pela observao de fatos conhecidos

alguma concluso geral que no se acha rigorosamente relacionada com

eles.

Francis Bacon preconiza em seus esboos do mtodo cientfico que

o cientista deve observar e descrever fatos empricos, organizar e transpor

em uma linguagem matemtica a fim de encontrar nesses dados os

princpios que regem seu comportamento, buscando sempre uma

generalizao.

Em outras palavras fundamenta-se na ideia de Aristteles de que se

pode afirmar acerca de todos aquilo que foi possvel observar em alguns.

Em resumo a induo faz a generalizao, isto , cria proposies

universais a partir de proposies particulares.

, portanto, uma forma de raciocnio pouco credvel e muito mais

susceptvel de refutao.


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Exemplo:

P1: A galinha tem bico uma ave.

P2: O faiso tem bico e uma ave.

P3: O avestruz tem bico e uma ave.

C: Portanto todos os seres com bico so aves.

Como vimos nesse exemplo foi feita uma enumerao de vrios

casos particulares para chegar a uma sntese geral ou proposio geral.

Quanto maior o nmero de experincias (ou observaes de aves e

seus respectivos bicos) menor ser a incerteza de tal concluso e que todos

os seres com bicos so aves.

Quando o nmero de experincias e observaes for muito grande

torna-se possvel formular leis ou princpios, entretanto a induo nunca

deixa de ser um raciocnio provvel por isso devemos ter muito cuidado,

pois esse um campo minado.


Diga quais argumentos so dedues e indues

a)

P1 45% dos entrevistados no gosto de funk

P2 32% dos entrevistado no gosto de Rock

C1 77% da populao brasileira no gosta nem de rock nem de funk

b)

P1 O governador inaugurou a FAETEC

P2 O prefeito inaugurou a FAETEC C1 Os politico inauguram a FAETEC

c)

P1 Todo talher de metal

P2 A faca um talher C1 Faca de metal


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d) P1 Toda roupa de pano P2 Calas so de pano

C1 Cala uma roupa

13 - Linguagem

Se voc olhar em um dicionrio ou gramatica, descobrira que uma

linguagem definida como um sistema de smbolos que serve como meio

de comunicao. Note que isso no se restringe a comunicao ente

humanos: hoje em dia existem dezenas de linguagens de programao que

servem tambm para comunicar instrues de um humano a uma maquina.

Estas seriam exemplos de linguagens artificiais, ao contrario do portugus,

ingls, e assim por diante, que so chamadas linguagens naturais. Ou

lnguas.

13.1 - Linguagens artificiais

Ao contrario de uma lngua, que surge e evolui com o um grupo de

indivduos, estando, portanto, em constate mudana, uma linguagem

artificial tem uma gramatica rigorosamente definida, que no se altera com

o passar do tempo. Como voc ver, a logica faz uso dessas linguagens,

tambm chamadas de linguagens formais. As razes so as de que, tendo as

linguagens artificias uma gramatica precisa, sempre se pode dizer se uma

expresso da linguagem gramatical ou no (o que frequentemente difcil

com a linguagens naturais como o portugus). Depois a logica faz

abstrao de contedos, e preocupa-se apenas com as formas dos

argumentos. Assim, fica mais fcil trabalhar com linguagens artificiais, nas

quais as palavras so substitudas por smbolos.


Modulo 1

25

Uma linguagem artificial consiste em um conjunto de smbolos

bsicos, ou caracteres, chamado de alfabeto da linguagem, junto com uma

gramatica (ou regras de formao), um conjunto de regras que dizem como

combinar estes smbolos para formar as expresses bem formadas da

linguagem, como os termos e as formulas (o que corresponde, digamos, as

palavras e sentenas do portugus). Vamos investigar um pouco dessas

linguagens com um exemplo: Citemos a linguagem da aritmtica. O

alfabeto compreende smbolos como =, +, 0, 1 etc... e h um

conjunto de regras (que j conhecemos naturais da matemtica e que no

trataremos aqui) que nos permitem dizer que esta combinao de smbolos,

4 + 5 = 9, uma formula de aritmtica, enquando >+6==< obviamente no

.

Outro exemplo pratico:

Linguagem natural: o quadrado da hipotenusa o resultado da

soma dos quadrados dos catetos de um tringulo retngulo

Linguagem artificial matemtica: H2 = a

2 + b

2

Linguagem natural: Construa um algoritmo que dado um

determinado nmero descubra se ele par ou impar

Inicio

Leia o numero

Se mod(numero,2)=0 ento

Mostre par

Seno

Mostre impar

Fim Se


Modulo 1

26

Fim

Podemos tambm definir esta estrutura de outra forma usando outra

linguagem formal para definir estas aes, como no caso do exemplo

acima, tambm podemos representa-lo como:

Na logica tambm utilizamos smbolos para descrever

matematicamente o estudo das proposies e a relao entre elas. Para tal,

utilizamos as letras p, q, r, s , t para representar as proposies. E os

smbolos como v ou ~ para definir sua operaes. Veremos sobre estas

funes no decorrer da matria.

13.2 - Metalinguagem

Como voc notou, em varias ocasies, estivemos usando uma

linguagem para falar de expresses dessa prpria linguagem, isso indica a

presena de diferentes nveis de discurso, por exemplo, se dizemos que a

palavra logik no uma palavra do portugus, estamos fazendo uma

afirmao, em portugus, sobre uma palavra do alemo. Considere agora a

sentena abaixo:


Modulo 1

27

The cat is on the mat um sentena em ingls.

Aqui estamos, em portugus, falando sobre uma sentena do ingls.

Para usar uma distino introduzida por alfred tarski em 1931, o ingls

neste caso est sendo uma linguagem-objeto (isto , a linguagem da qual se

fala), enquanto o portugus esta sendo uma metalinguagem (A linguagem

com a qual se fala). Note que isso algo relativo, pois poderamos ter o

casos inverso:

Miau um gato is a gramatical sentence in portuguese

Em que o portugus estaria sendo a linguagem objeto e o ingls a

metalinguagem.

Note, finalmente que o portugus pode ser a sua prpria

metalinguagem: quando falamos do portugus, usando portugus

Essa hierarquia de linguagens pode ser estendida a vairos nveis:

um linguagem-objeto, uma metalinguagem, uma meta-metalinguagem etc.

o que nos vai interessar que, na logica, vamos estudar certas lingugagens

artificiais que sero nossa linguagem objeto usando o portugus acrescido

de alguns smbolos como metalinguagem.

Por exemplo: Computadores no so inteligentes como humanos e,

portanto no compreendem a essncia de uma ideia como uma pessoa

compreenderia. Computadores seguem programas que so conjuntos de

instrues numa linguagem clara e simples. O desenvolvimento de

uma linguagem de programao implica o uso de uma metalinguagem.

Como: texto = concatenar(ol,mundo)

Neste caso estamos atribuindo a varivel texto a concatenao das

palavras ol e mundo, ou seja, a varivel texto esta com a informao

olmundo.


Modulo 1

28

Podemos ver outro exemplo no algoritmo que utilizamos para

definir um numero par ou um numero impar. Dependendo da linguagem

podemos expressar esta funcionalidade de varias formas.

If (numero%2= 0) then

Resposta = Par

Else

Resposta = impar

End if


1 Existe na margem de um rio, um lobo, uma ovelha e um

repolho. O fazendeiro pretende levar o 3 para a outra margem do rio

utilizando um barco. O barquinho do fazendeiro comporta apenas um tem,

alm dele prprio. O barquinho pode levar e trazer tens. Voc deve ficar

atento s seguintes regras:

O lobo devora a ovelha se os dois ficarem sozinhos e;

A ovelha come o couve se ficar sozinha com ele.

Escreva um algoritmo que solucione o problema do fazendeiro, e

leve os itens para a outra margem do rio.

2 - Voc tem dois baldes: um com capacidade para comportar 5

litros, e outro que comporta 3 litros. Voc no possui outros recipientes e

os baldes no possuem marcaes de volume.

a) Escreva um algoritmo para retirar 7 litros de gua de uma

bica.


Modulo 1

29

b) Escreva um algoritmo para retirar 6 litros de gua de uma

bica.

c) Escreva um algoritmo para retirar 4 litros de gua de uma

bica.

15 - Axiomas e Teoremas

Distinguir o falso do verdadeiro o objetivo fundamental na

matemtica. A logica aqui tem um papel central. Dito de outro modo,

usando as regras da logica, provamos quando uma determinada sentena

verdadeira ou falsa. Neste esquema, partimos de um conjunto inicial de

sentenas bsicas, que consideramos verdadeiras (as quais chamamos

axiomas) e, usando as regras definidas pela logica (que so as regras do

jogo), provamos a veracidade de novas sentenas. Estas novas sentenas

verdadeiras so chamadas teoremas e podem tambm ser usadas na

demonstrao de novos teoremas. desta maneira que engendramos a teia

que forma a matemtica.

Na lgica tradicional, um axioma ou postulado uma sentena ou

proposio que no provada ou demonstrada e considerada como bvia

ou como um consenso inicial necessrio para a construo ou aceitao de

uma teoria. Por essa razo, aceito como verdade e serve como ponto

inicial para deduo e inferncias de outras verdades (dependentes de

teoria).

Na matemtica, um axioma uma hiptese inicial da qual outros

enunciados so logicamente derivados. Pode ser uma sentena, uma

proposio, um enunciado ou uma regra que permite a construo de um

sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas no podem ser

derivados por princpios de deduo e nem so demonstrveis


Modulo 1

30

por derivaes formais, simplesmente porque eles so hipteses iniciais.

Isto , no h mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso

contrrio eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, "axioma",

"postulado" e "hiptese" so usados como sinnimos.

Axiomas Lgicos so frmulas em uma linguagem que

universalmente vlida, ou seja, so frmulas satisfeitas por toda a estrutura

sob toda funo de tarefa de variveis. Em outros termos, axiomas lgicos

so estados que so verdadeiros em algum possvel universo, para alguma

possvel interpretao e com alguma tarefa de valor. Normalmente eles

usam axiomas lgicos para um mnimo conjunto de tautologias que

suficiente para provar todas as tautologias na linguagem; na lgica de

primeira ordem o axioma lgico necessrio para provar verdades lgicas

que no so tautologias no sentido rgido.

Axiomas Lgicos so frmulas em uma linguagem que

universalmente vlida, ou seja, so frmulas satisfeitas por toda a estrutura

sob toda funo de tarefa de variveis. Em outros termos, axiomas lgicos

so estados que so verdadeiros em algum possvel universo, para alguma

possvel interpretao e com alguma tarefa de valor. Normalmente eles

usam axiomas lgicos para um mnimo conjunto de tautologias que

suficiente para provar todas as tautologias na linguagem;

Na lgica proposicional comum considerarmos como axiomas

lgicos as frmulas a seguir, ondep e q podem ser qualquer frmula de

linguagem e os conectivos permitidos so apenas negao, conjuno,

disjuno e implicao. Conforme o exemplo:

p v ~q

Neste exemplo, existe uma regra para generalizar um infinito

nmeros de axiomas. por exemplo, se p e q so variveis proposicionais,


Modulo 1

31

ento p v ~q so ambos instncias do primeiro axioma, e portanto so

tambm axiomas.

J um teorema, uma afirmao que pode ser provada como

verdadeira atravs de outras afirmaes j demonstradas, como outros

teoremas, juntamente com afirmaes anteriormente aceitas, como os

axiomas.

Para se produzir um teorema preciso demonstr-lo (prov-lo), por

mais que a demonstrao em si no faa parte do teorema (um teorema

consiste em apena uma implicao que pode ser provada). Obviamente, um

teorema pode ter mais de uma demonstrao.

16 - Tautologia

A tautologia , na retrica, um termo ou texto que expressa a

mesma ideia de formas diferentes. Como um vcio de linguagem pode ser

considerada um sinnimo de pleonasmo ou redundncia. A origem do

termo vem de do grego taut, que significa "o mesmo", mais logos, que

significa "assunto". Portanto, tautologia dizer sempre a mesma coisa em

termos diferentes.

Em filosofia e outras reas das cincias humanas, diz-se que um

argumento tautolgico quando se explica por ele prprio, s vezes

redundante ou falaciosamente. Por exemplo, dizer que "o mar azul porque

reflete a cor do cu e o cu azul por causa do mar" uma afirmativa

tautolgica. Um exemplo de dito popular tautolgico "tudo o que

demais sobra". Da mesma forma, um sistema caracterizado como

tautolgico quando no apresenta sadas sua prpria lgica interna,

conforme os exemplos:


Modulo 1

32

Exige-se de um trabalhador que tenha curso universitrio para ser

empregado, mas ele precisa ter um emprego para receber salrio e assim

custear as despesas do curso universitrio;

Exige-se de um trabalhador que ele tenha experincia anterior em

outros empregos, mas ele precisa do primeiro emprego para adquirir

experincia.

Na lgica proposicional, uma tautologia uma frmula

proposicional que verdadeira para todas as possveis valoraes de suas

variveis proposicionais. Por exemplo, a frmula proposicional

("A ou no-A") uma tautologia, porque verdadeira para

todas as valoraes de A. Existem exemplos mais complexos tais como

("A e B; ou no-A; ou no-B").

Na lgica, o resultado de uma tabela de verdade para uma sentena

que uma tautologia sempre findar em uma coluna apenas com V

enquanto a tabela de verdade para uma sentena que no uma tautologia

conter uma linha tal que sua coluna final F, e a valorao correspondente

para esta linha uma valorao que no satisfaz a sentena que est sendo

testada.

Veremos mais exemplos de tautologia no decorrer do curso e

provaremos o que uma tautologia quando estivermos estudando tabelas

verdade.

17 - Paradoxos

Um paradoxo uma declarao aparentemente verdadeira que leva

a uma contradio lgica, ou a uma situao que contradiz a intuio

comum. Em termos simples, um paradoxo "o oposto do que algum pensa

ser a verdade". A identificao de um paradoxo baseado em conceitos


Modulo 1

33

aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliado

significativamente o progresso da cincia, filosofia e matemtica.

Ou seja, Paradoxo o oposto do que algum pensa ser a verdade ou

o contrrio a uma opinio admitida como vlida. Um paradoxo consiste em

uma ideia incrvel, contrria do que se espera. Tambm pode representar a

ausncia de nexo ou lgica.

Trocando em midos, qualquer expresso verbal ou numrica que

apresente uma contradio interna. Por exemplo, em um de seus versos

mais famosos, o poeta Lus de Cames diz: "(O amor) ferida que di e

no se sente". Mas como que no d para sentir uma ferida dolorida? Ta

um paradoxo dos mais clssicos: a gente consegue compreender, mas, se

analisarmos cada palavra (ou conceito) da expresso, a coisa fica confusa.


Cada aluno dever escolher uma paradoxo diferente, e apresentar na

data especifica marcada pelo professor.

a) Paradoxo do mentiroso

b) Paradoxo do Carto

c) Paradoxo de Grelling

d) Paradoxo de Berry

e) Paradoxo de Russell

f) Paradoxo do Barbeiro

g) Paradoxo do Enforcamento Inesperado

h) Paradoxo Temporal e dos gmeos

i) Gato de Schrdinger


Modulo 1

34

j) Paradoxo de Braess

k) Paradoxo do cavalo

l) Navio de Teseu

m) Paradoxo do quadrado perdido

n) Paradoxo da loteria

o) Paradoxo do queijo

p) Paradoxo do anel

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