MATERIAIS ELÉTRICOS

MAGNETIZAÇÃO

Parte I 1) Momento de dipolo magnético atômico 2) Torque de alinhamento e energia potencial 3) Magnetização 4) Susceptibilidade magnética 5) Tipos de magnetização 6) Lei de Curie

1

1) Momento de dipolo magnético atômico

Cada elétron de um átomo possui momento angular devido ao seu movimento orbital e devido ao seu spin. Associado a esses momentos angulares existem momentos de dipolo magnético produzidos pelo movimento da carga do elétron. Para o movimento orbital o momento magnético pode ser definido como sendo um vetor de módulo dado pelo produto da corrente elétrica pela área da órbita do movimento eletrônico. O vetor momento de dipolo magnético está orientado perpendicularmente ao plano da órbita e tem sentido dado pela regra da mão direita.

2e e n= m = m rL r p r u u

2 2L n n n

e eiS = r r

2 2m u u u

L

e

e

2mm Lu

L

i

mL

-e 2

O momento angular de spin também tem um momento magnético associado. Nesse caso, a relação é a seguinte:

s

e

eg

2mSm

A constante g é denominado de fator espectroscópico e vale aproximadamente 2 para o elétron livre.

A mecânica quântica estabelece que tanto o momento angular orbital quanto o momento angular de spin são quantizados, podendo apenas assumir certos valores múltiplos de h/2, onde h = 6.626 x 10-34 J s (Joule x segundo) é a constante de Planck.

hL ( 1)

2l l

hS ( 1)

2s s

S

ms

-e

3

Onde ”l “é o número quântico de momento angular orbital e “s” é o número quântico de spin. Os valores possíveis para o número quântico orbital são: l = 0,1,2,3...(n-1) onde “n” é o número quântico principal que identifica a camada eletrônica e a energia do elétron no átomo. O único valor possível para o número quântico de spin é 1/2.

h 3h 3h 3hL 0, , , ,... S

42 2

Quando um campo magnético é aplicado no átomo, surge um torque que provoca a precessão dos momentos angulares eletrônicos em torno da direção do campo.

L

mL

B d

=dt

Lm B

o

e

eB

2m

4

Devido à precessão, a média da projeção perpendicular do momento angular na direção do campo é nula. Por sua vez, a componente paralela ao campo é quantizada com número quântico magnético orbital ml o qual pode assumir apenas valores inteiros no intervalo entre –l e l (ml=-l,-l+1,...,0,...,l-1,l). O alinhamento do spin ocorre apenas com duas possibilidades para a componente na direção do campo. O número quântico magnético de spin nesse caso pode assumir os valores ms=1/2 ou ms=-1/2, denominados de alinhamento paralelo e antiparalelo, respectivamente.

z

hL

2lm

z

hS

2smS Sz

L Lz

B B

l = 2 s = 1/2

O momento magnético do elétron pode então ser escrito na seguinte forma:

L L B L

e

eh( 1) ( 1)

4 mm u ul l l l

s s B s

e

ehg ( 1) g ( 1)

4 mu um s s s s

m

Lz B

e

eh

4 ml lm m

sz B

e

ehm g g

4 ms sm m

Onde a constante B é denominada de magneton de Bohr e tem o valor 9.27 x 10-24 A m2.

6

Um átomo que contém diversos elétrons tem momento magnético atômico resultante da superposição dos momentos individuais de cada elétron. Mas, esta soma vetorial não é simples, pois o momento magnético orbital produz campo magnético que interage com o momento de spin (interação spin-órbita) e cada momento magnético de um elétron interage com os momentos dos demais elétrons do átomo através do campo magnético gerado. Ou seja, os momentos magnéticos dos elétrons de um átomo não são independentes. Para a maioria dos átomos de materiais magnéticos o momento angular total é obtido pela soma do momento orbital total com o momento de spin total (acoplamento Russel-Saunders), ou seja:

a a a i ii i

               J L S = L S

7

Contudo, devido às interações entre os momentos magnéticos dos diferentes elétrons, os momentos angulares orbital e de spin do átomo descrevem movimentos de precessão em torno do momento angular total. O resultado da teoria quântica para o momento magnético total de um átomo é mostrado abaixo.

a a a i ii i

               J L S = L S

a J B Jg 1  um J J

J

( 1) ( 1) ( 1)g 1

2 ( 1)

J J S S L L

J J

Onde gj é denominado de fator espectroscópico de Landé e J, L e S são números quânticos de

momento angular total do átomo, orbital e spin respectivamente.

S L

J

ms

mL

mL+ ms

ma

Por exemplo, o Ferro possui 26 elétrons tendo a configuração eletrônica 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 4s2. No óxido de ferro Fe3O4 (magnetita) o ferro se apresenta com íons Fe2+ e Fe3+. O íon Fe2+ possui seis elétrons de valência nos orbitais 3d. A figura abaixo mostra como os elétrons se distribuem entre esses orbitais. Cada seta representa um spin 1/2. Os elétrons se ajustam segundo as regras de Hund (ocupação dos níveis de energia mais baixos; máximo S condicionado pelo princípio de exclusão de Wolfgang Pauli; máximo L condicionado a máximo S; J=L-S se o número de elétrons for menor que 2l+1, caso contrário J=L+S). Os valores de J, L, S, gj e do momento magnético atômico são dados abaixo.

ml =0

ml =1

ml =2

ml =-1

ml =-2

l =2

J

a B B

1 1 1 1 1 1S 2

2 2 2 2 2 2

L 2 2 1 0 1 2 2

J L S 4      

2x3 2x3g 1 1.5

2x4x5

m 1.5 6.71

4x5

4x5 9

Tabela 1 - Momentos de dipolo magnético de íons 3d (metais de transição) e 4f (lantanídeos)

íon Elétrons Configuração L S J ma (B) (exp)

Ti3+ 19 3d1 2 1/2 3/2 1.55 (1.8)

V3+ 20 3d2 3 1 2 1.63 (2.8)

Cr3+ 21 3d3 3 3/2 3/2 0.77 (3.8)

Mn3+ Cr2+ 22 3d4 2 2 0 0 (4.9)

Fe3+ Mn2+ 23 3d5 0 5/2 5/2 5.92 (5.9)

Fe2+ 24 3d6 2 2 4 6.71 (5.4)

Co2+ 25 3d7 3 3/2 9/2 6.63 (4.8)

Ni2+ 26 3d8 3 1 4 5.59 (3.2)

Cu2+ 27 3d9 2 1/2 5/2 3.55 (1.9)

Ce3+ 55 4f1 3 1/2 5/2 2.54 (2.4)

Pr3+ 56 4f2 5 1 4 3.58 (3.5)

Nd3+ 57 4f3 6 3/2 9/2 3.62 (3.5)

Sm3+ 59 4f5 5 5/2 5/2 0.84 (1.5)

Gd3+ 61 4f7 7 7/2 7/2 7.94 (8.0)

Tb3+ 62 4f8 3 3 6 9.72 (9.5)

Dy3+ 63 4f9 5 5/2 15/2 10.63 (10.6) 10

Nos íons 3d ocorre o fenômeno de extinção do momento orbital, que é provocado pela rotação do plano da órbita devido ao torque provocado pelas forças de interação no cristal. Nesse caso, o momento angular orbital médio é pequeno e pouco contribui para o momento magnético do átomo. O modelo físico se adequa melhor aos resultados experimentais considerando J = S e gj=2. Assim como ocorre com o momento angular orbital e de spin, o momento angular total também apresenta uma componente axial quantizada na direção de um campo magnético aplicado. Isso também dá origem a uma componente de momento de dipolo magnético na direção do campo.

z

hJ

2

jm

az J z J J J B J

e e

e ehm g J g g

2m 4 mm m

O número quântico magnético total mJ indica a projeção do momento angular atômico J na direção do campo magnético e pode assumir (2J+1) valores mJ = -J, -J+1, -J+2, ..., J-2, J-1, J.

11

2) Torque de alinhamento e energia potencial

O torque de alinhamento de um momento magnético surge devido à força magnética sobre a corrente elétrica do dipolo. A força magnética sobre um elemento de corrente é dada por:

C C

d id r F r L B

d id F L B

C

id 0 F L B

Contudo, pode-se mostrar que, qualquer que seja a forma do circuito, a força resultante em uma corrente que circula em um caminho fechado é nula.

Por outro lado, o torque aplicado na espira não é nulo e pode ser calculado como segue:

12

Se a indução magnética aplicada é uniforme na área do circuito, a integral anterior pode ser calculada de maneira simples:

C C

1id i d i S

2

r L B r L B B m B

Onde usamos o seguinte resultado válido para um circuito plano:

n

C

1d S

2 r L u

Um dipolo magnético colocado em um campo magnético externo adquire energia potencial igual ao trabalho realizado para posicioná-lo no espaço. O trabalho realizado por uma força externa para provocar um aumento do ângulo entre o momento magnético e o campo aplicado pode ser calculado como segue:

2 2

1 1

m 2 m 1 2 1U ( ) U ( ) d mBsen d mB cos cosu13

Assim, concluímos que a energia potencial de um dipolo em um campo magnético é:

mU mB cos m B

0 /2

mB

-mB

Um

alinhamento paralelo = favorável

A energia potencial é mínima para alinhamento paralelo. Quando um material cujos átomos possuem momento de dipolo magnético não nulo está sujeito a um campo magnético externo, seus dipolos tendem a se alinhar com o campo aplicado.

14

3) Magnetização O efeito macroscópico do alinhamento dos dipolos magnéticos de um material na direção e sentido do campo magnético aplicado é a magnetização do objeto. A magnetização é definida como o momento de dipolo magnético por unidade de volume do material. Se o material possui No átomos por unidade de volume e o momento de dipolo médio na direção do campo aplicado é mB, a magnetização é dada por.

o B BN mM u

B = 0 M = 0 B

ma

ma

mB

15

Quando uma amostra de matéria é magnetizada, o alinhamento de seus dipolos produz efeitos magnéticos macroscópicos. Consideremos a figura abaixo na qual um objeto de volume arbitrário apresenta magnetização. Como resultado, surgem correntes na superfície e no volume do objeto. Essas correntes não estão relacionadas ao movimento translacional de cargas livres, como ocorre em um condutor sob o qual se aplica campo elétrico, mas são o resultado macroscópico do alinhamento dos dipolos magnéticos atômicos. Para modelar esse fenômeno, vamos calcular o potencial magnético da distribuição de dipolos. Usando resultados obtidos anteriormente,

temos:

o o3 3

dd dV

4 4

m r r M r rA

r r r r

M

dm=M dV dA

r r

r-r

o o

3

V V

1dV dV

4 4

M r rA M

r rr r16

Usando as seguintes fórmulas vetoriais:

V S

dV d

F F F

F F S

o o

V V V

o o o n

V S V S

1dV dV dV

4 4

ddV dV dS

4 4 4

M MA M

r r r r r r

M M S M M u

r r r r r r r r

Obtemos o potencial magnético na seguinte forma:

Os integrandos nessa equação podem ser associados à densidades de corrente no volume e na superfície do objeto magnetizado. São denominadas de densidades de corrente de magnetização:

m

m n

j M

k M u

Como exemplo, consideremos um solenóide com núcleo magnético conforme mostra a figura abaixo. Para não nos preocuparmos no momento com os polos magnéticos do núcleo, vamos assumir que tanto o núcleo quanto o solenóide são muito longos. Desse modo, o núcleo se magnetiza com campo criado pela corrente no solenóide. Se assumirmos que o campo magnético aplicado é uniforme, na superfície do núcleo surge a corrente superficial de magnetização com densidade linear uniforme km = M x um.

i km

i H

M

un

18

A indução magnética, no caso de um solenóide longo, já foi obtida anteriormente (considere a densidade linear de espiras n=Ns/Ls e a densidade linear de corrente no solenóide kl = ni).

o s

l z o z o l z

s

iNin k

LB u u u

A corrente de magnetização superficial no núcleo contribui com indução magnética adicional. Para calculá-la devemos verificar que as relações do potencial magnético com a corrente de magnetização, obtidas anteriormente, são idênticas às expressões obtidas para a corrente de cargas livres nos condutores. Isso significa que podemos considerar que a corrente superficial de magnetização produz indução magnética com uma equação similar àquela obtida acima, apenas substituindo kl por km.

m o m zkB u

19

Ou seja, concluímos que a magnetização do núcleo aumenta a indução magnética dentro do solenóide.

l m o l m zk kB B B u

As densidades de corrente acima estão relacionadas ao campo magnético e a magnetização da seguinte forma:

l z

m z

k

k

H u

M u

Então, podemos concluir que existe a seguinte relação entre os três campos vetoriais:

oB H M

20

Podemos obter o mesmo resultado anterior de modo diferente. Consideremos que o campo magnético H seja produzido apenas pelas correntes de carga livre nos condutores. Assim, de acordo com a lei de Ampere, podemos escrever: lH j

Por sua vez, de acordo com os resultados anteriores, a magnetização está relacionada à corrente de magnetização e podemos escrever a seguinte fórmula equivalente à lei de Ampere para este caso:

A indução magnética, por outro lado, é o resultado tanto da corrente de cargas livres quanto da corrente de magnetização. Assim , temos:

oB H M

mM j

o l m oB j j H M

Podemos fatorar o operador rotacional e concluir que os operandos em ambos os lados da equação anterior são iguais. Isso nos leva à relação constitutiva do magnetismo:

21

4) Susceptibilidade magnética

Nos materiais nos quais a magnetização é proporcional ao campo magnético podemos aplicar o conceito de susceptibilidade magnética:

o m o r1 = =B H H H

mM H

E obter uma relação constitutiva mais simples:

Onde a permeabilidade magnética relativa e a permeabilidade do meio são definidos pelas seguintes relações:

r m

m o

1

1

A tabela a seguir apresenta valores de susceptibilidade magnética de materiais selecionados. Observe que nos materiais diamagnéticos a susceptibilidade é negativa, indicando que a magnetização ocorre em sentido contrário ao campo aplicado. Os materiais lineares apresentam magnetização muito fraca, sendo geralmente denominados de materiais não magnéticos. 22

Tabela 2 - Susceptibilidade magnética em 300 K

Elemento m ( x 10-6)

Diamagnéticos

Bi -1.31

Be -1.85

Ag -2.02

Au -2.74

Ge -0.56

Cu -0.77

Paramagnéticos

Sn 0.19

W 6.18

Al 1.65

Pt 21.04

Mn 66.10

5) Tipos de Magnetização

Existem basicamente três tipos de magnetização: diamagnética, paramagnética e ferromagnética.

Magnetização diamagnética: ocorre em todos os materiais, mas somente se manifesta naqueles cujos momentos de dipolo magnético atômico são nulos. A magnetização diamagnética é o resultado da indução de um pequeno momento de dipolo atômico em oposição ao campo aplicado. Esse fenômeno pode ser explicado e modelado com base na lei de Faraday de indução eletromagnética. Esses materiais não são de interesse tecnológico em magnetismo, por isso, suas propriedades não serão estudadas neste curso. Alguns exemplos de

materiais diamagnéticos são: Carbono, prata, cobre, mercúrio, bismuto, berílio, ouro e germânio.

24

Magnetização paramagnética: ocorre nos materiais constituídos de átomos que possuem momento de dipolo magnético não nulo. Tais átomos apresentam número ímpar de elétrons, de modo que existe um spin eletrônico não emparelhado. Quando átomos que possuem momento magnético estão submetidos à influência de campo magnético externo, a orientação dos momentos magnéticos atômicos em relação ao campo é determinada pela energia potencial desse acoplamento, pela quantização da componente de momento angular na direção do campo aplicado e pela agitação térmica do meio. Consideremos inicialmente que os átomos não interagem magneticamente entre si. A energia do acoplamento de cada átomo com o campo pode ser calculada usando a seguinte equação:

m o az o J B JU m H = g m Hm B =

25

Cada átomo apresenta uma das orientações possíveis de seu momento magnético em relação ao campo e com isso está em um nível de energia potencial particular. A probabilidade de um átomo estar situado no estado de energia Um em um sistema em equilíbrio termodinâmico, de acordo com a distribuição de Boltzmann, é dada por:

mi B

mn B

U /K T

i U /K T

n

eP

e

Com essa distribuição de probabilidade podemos calcular o valor médio do momento de dipolo magnético atômico na direção do campo aplicado, sabendo que a componente perpendicular ao campo se anula na média devido ao movimento de precessão.

26

Assim, se o número de átomos por unidade de volume no material é No, a magnetização pode ser calculada por:

o J B JJ

B

J

o J B JJ

B

J

g m Hm

K TJ B J

m

o az H o H J B o Hg m Hm

K T

m

g m e

N m N g N B x

e

M u u u

J

J

JJ

J

J

o J B

B

g Hx

K T

J

2 1 x2 1 1 x

B x coth coth2 2 2 2

J

JJ

J J J Jfunção de Brillouin = determina a variação da magnetização da amostra com o campo magnético aplicado.

27

Curvas se magnetização paramagnética. Função de Brillouin com J = S = 1/2, 3/2, 5/2 e 9/2 e L = 0

Em condições normais de temperatura e intensidade de campo o argumento x da função de Brillouin é muito menor do que a unidade. Mesmo em condições críticas, por exemplo, para H = 106 A/m e T = 273 K, com J=1/2 e gJ = 2 obtemos x = 0.0031. Neste caso, a função de Brillouin pode ser aproximada pelo primeiro termo da série de Taylor e ser escrita na seguinte forma:

o J B

B

g 11B x x H

3 3K TJ

JJ

J

0 1 2 3 4 5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

BJ(

x)

1/2

3/2 5/2

9/2

28

6) Lei de Curie

A magnetização na região linear é dada por:

2 2o o J B

m

B

N g 1 C

3K T T

J J

2 2o o J B

B

N g 1

3K TM H

J J

A susceptibilidade paramagnética diminui com o aumento da temperatura. Esta relação é conhecida como lei de Curie e foi obtida experimentalmente por Pierre Curie em 1895. A constante C nesta equação é conhecida como constante de Curie. Nos materiais paramagnéticos os momentos magnéticos de sítios atômicos vizinhos interagem fracamente entre si. Exemplos: platina, alumínio, oxigênio, sais de metais de transição como cloretos, sulfatos (SO4

2-) e carbonatos (CO3

2-) (de manganês, cromo, ferro e cobre), sais e óxidos de lantanídeos e metais de transição das séries 3d, 4d e 5d (exceto cobre, zinco, prata, cádmio e mercúrio que são diamagnéticos).

29

Lei Curie–Weiss - Alguns metais paramagnéticos não seguem a lei de Curie conforme apresentada anteriormente. Apresentam uma temperatura crítica abaixo da qual ocorre uma transição para um estado magnético altamente ordenado. Para explicar esse fenômeno, Pierre Weiss em 1907 postulou que os momentos magnéticos atômicos interagem entre si e que isso pode ser modelado por um campo macroscópico médio, também denominado de campo molecular, proporcional à magnetização da amostra de matéria. Isso equivale a substituir o campo magnético por Hef = H+M, onde é uma constante que depende do número de átomos vizinhos mais próximos, distância interatômica e momento angular total dos átomos. Com isso, a magnetização é obtida da seguinte forma:

C

+T

M H M

C

T CM H

m

c

C

T T

30

Onde Tc é denominada de temperatura Curie. Este resultado é denominado de lei Curie-Weiss. Acima da temperatura Curie um material se comporta como paramagnético, porque a agitação térmica tende a espalhar os momentos magnéticos aleatoriamente. Na medida em que a temperatura diminui tendendo à Tc, a susceptibilidade aumenta aparentemente sem limites, indicando uma tendência cada vez maior de alinhamento dos dipolos magnéticos. Isso significa que a interação entre dipolos magnéticos é forte o suficiente para suplantar a agitação térmica e produzir uma transição para um estado ordenado caracterizada pelo alinhamento magnético completo do material. É essa ordenação que origina o ferromagnetismo.

31

Questão 1) Mostre que na presença de campo magnético de indução B o momento magnético mL precessiona em torno da indução com velocidade angular o. Mostre que o valor médio do momento magnético transversal é nulo e a componente paralela do momento é constante. Questão 2) Calcule os momentos magnéticos dos íons da tabela 1 baseado na teoria quântica do momento angular atômico e compare com os valores tabelados (considere a ocorrência de extinção do momento angular orbital). Questão 3) Considere um núcleo toroidal com raio interno o, largura “a”, altura “b” e permeabilidade relativa r, com N espiras enroladas ao longo de seu perímetro e corrente “i” circulando no circuito. Calcule a magnetização e a indução magnética no interior do núcleo. Calcule as densidades de corrente de magnetização no núcleo. Questão 4) Calcule a energia potencial entre dois dipolos magnéticos separados pela distância “d”. Considere que os momentos de dipolo e o vetor de posição entre eles são coplanares e que os momentos têm módulos m1 e m2 e suas direções formam os ângulos 1 e 2 , respectivamente, com o vetor de posição. Questão 5) Calcule as susceptibilidades magnéticas dos elementos paramagnéticos da tabela 2 usando o modelo descrito na lei de Curie. 32

MATERIAIS ELÉTRICOS

MAGNETIZAÇÃO

Parte II 1) Energia de troca 2) Magnetização espontânea 3) Domínios magnéticos 4) Efeito Barkhausen 5) Curva de magnetização 6) Ferrites 7) Energia de magnetização 8) Dissipação de energia na magnetização 9) Campo desmagnetizante 10)Circuito magnético 11)Imã permanente em um circuito magnético 12)Tipos de materiais magnéticos 33

1) Energia de troca

No estado ferromagnético os dipolos magnéticos atômicos tendem a se alinhar espontaneamente devido à forte interação entre átomos vizinhos. O agente físico responsável pela ordenação magnética, denominado de interação de troca, foi descrito por Heisenberg em 1928 através da expressão da energia de interação entre os spins de átomos vizinhos:

i in i nn

U 2 S S

Onde S são os spins (números quânticos na forma vetorial) dos átomos que interagem e é a constante de troca que depende da superposição dos orbitais eletrônicos entre átomos vizinhos. Se in > 0, os spins devem ser paralelos para minimizar a energia de interação. Esta condição leva ao ferromagnetismo. Se in < 0, os spins devem ser antiparalelos, o que resulta em antiferromagnetismo.

34

Se atribuirmos a energia de troca à mútua interação magnética entre os átomos, podemos obter um campo magnético médio equivalente no cristal. Considerando a interação apenas com os Nviz vizinhos mais próximos para os quais viz tem o mesmo valor e usando a equação da energia de um dipolo em um campo magnético:

i viz viz i viz o J B i mU N gS S S H

energia de troca considerando a interação com os Nviz mais próximos com spin médio <Sviz>

energia do momento magnético de spin de um átomo no campo magnético médio dos átomos vizinhos

Considerando que o material tem No átomos por unidade de volume, a magnetização pode ser calculada como: M=-NogJBSviz.

o J B viz vizviz m m 2 2

viz viz o o j B

g N

N N gS H H M

35

Como exemplo, consideremos o ferro para o qual temos os seguintes valores:

Nviz = 8, viz = 2.5 x 10-21 Joules,

No = 8.58 x 1028 m-3 gJ = 2.22

Com isso na equação anterior, obtemos a constante do modelo de campo molecular de Pierre Weiss (Hef = H+M) com valor 438. Note que com o valor da magnetização de saturação no ferro em 300 K de 1.71 x 106 A/m, podemos estimar o campo molecular em um domínio magnético em aproximadamente 7.5 x 108 A/m o que equivale à indução magnética de 941 T. Tal intensidade de campo excede em muito ao que se pode obter ordinariamente em montagens de laboratório, mostrando que a interação molecular necessária para formar domínios magnéticos é extremamente elevada.

36

2) Magnetização espontânea

Pierre Weiss postulou em 1907 que o interior de uma amostra de material ferromagnético, abaixo de sua temperatura Curie, é formado por regiões nas quais os momentos magnéticos atômicos estão quase completamente alinhados. Essas regiões foram denominadas de domínios magnéticos e sua existência se deve à interação de troca descrita anteriormente. Isso significa que mesmo sem aplicação de campo externo, o material ferromagnético está microscopicamente

magnetizado. Dentro de um domínio magnético, a magnetização espontânea depende da temperatura do material.

o J B s c ss J B o o

B o

g M T3 MM g N B M B

K T 1 T MJ J

J JJ

J

2 2o o J B

c

B

N g 1T C

3K

J J

37

O gráfico abaixo mostra a variação da magnetização de um domínio magnético como função da temperatura abaixo de Tc, obtido como solução numérica da equação anterior.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T/Tc

Ms/Mo

1/2 3/2 5/2 9/2

A magnetização tende ao valor de saturação Mo na medida em que a agitação térmica diminui. Com o aumento da temperatura, a magnetização espontânea tende a zero devido ao espalhamento aleatório das direções dos momentos magnéticos atômicos.

38

Anisotropia - A magnetização espontânea em um domínio é obtida com a orientação dos momentos magnéticos nas direções do cristal nas quais a energia de interação entre os dipolos moleculares é minimizada. Essas são as direções de magnetização fácil indicadas na figura abaixo para o cristal cúbico de corpo centrado do ferro e para o cristal cúbico de face centrada do níquel. As direções são designadas quanto à facilidade para alcançar a saturação magnética em magnetização fácil, média e difícil. A direção de magnetização difícil exige maior campo magnético aplicado para alcançar a saturação.

[100]

[110]

[111]

[100]

[110]

[111]

fácil

média

difícil

difícil

média

fácil Fe Ni

39

3) Domínios magnéticos

Quando um campo magnético externo é aplicado a uma amostra ferromagnética, a magnetização ocorre inicialmente pelo crescimento dos domínios favoravelmente orientados as custas da diminuição dos demais domínios. Isso acontece com o deslocamento das paredes de

domínio. Esse processo inicialmente resulta em uma relação linear entre campo aplicado e magnetização.

180o

90o paredes de domínio 900

paredes de domínio 1800

H

H = 0

Amostra desmagnetizada Magnetização na região linear

40

H

H

Início da região não linear

Magnetização de saturação

M

H

Magnetização linear

Início da região não linear

saturação

Com o aumento do campo aplicado a magnetização aumenta não linearmente e a amostra tende a tornar-se um único domínio magnético. A fase final do processo de magnetização é o

alinhamento dos dipolos magnéticos na direção do campo aplicado.

41

4) Efeito Barkhausen A transição entre dois estados de magnetização não ocorre de maneira gradual e suave, mas aos saltos. Isso acontece por três razões: A) defeitos estruturais determinam uma energia potencial para o movimento das paredes de domínio. Quando uma parede de domínio atravessa uma posição de máxima energia potencial, ela é acelerada no sentido da redução da energia. Isso gera um movimento brusco da parede e uma variação repentina da magnetização. B) Outro processo de movimento envolve a deformação elástica quando a parede está presa a defeitos estruturais mas apresenta uma extensa área que pode se deformar. Nesse caso a parede tende a curvar-se reversivelmente até um limite de deformação crítica, a partir do qual varia brusca e irreversivelmente. C) Finalmente, um terceiro processo que provoca variações irreversíveis na magnetização de uma amostra é a rotação descontínua dos dipolos magnéticos em um domínio para uma posição de fácil magnetização mais próxima da direção do campo aplicado.

42

O efeito Barkhausen é caracterizado por variações descontínuas e irreversíveis da magnetização. Isso é ilustrado na figura abaixo. Esse efeito é responsável por um ruído característico na faixa de frequências audíveis que ocorre em equipamentos magnéticos devido a indução de picos de tensão nas bobinas acopladas ao núcleo.

Transições descontínuas e irreversíveis

M

H

Parede de domínio 180o

~40 nm

A figura ao lado representa a transição dos momentos magnéticos atômicos ao longo de uma parede de domínio 180o. A espessura dessas paredes é de dezenas de nanômetros.

43

5) Curva de magnetização

A histerese magnética acontece devido à irreversibilidade do processo de magnetização em amostras com domínios magnéticos. As paredes de domínio se movimentam sob a ação de um campo aplicado e dissipam energia ao interagir com os defeitos estruturais do material (força de atrito). Os dipolos magnéticos realizam movimentos de alinhamento com o campo aplicado e também dissipam energia, transformando energia cinética microscópica em energia térmica (ou energia cinética macroscópica). A dissipação de energia é a principal causa da histerese. Quando o processo de magnetização inicia com uma amostra desmagnetizada, a curva inicial de magnetização é diferentes da curva de histerese. Após alcançar a saturação, se o campo magnético for reduzido, inicia o laço de histerese e a magnetização apresenta o efeito de “memória” devido à dissipação de energia.

44

H

M

Curva inicial de magnetização

Mr

-Mr

Hc

-Hc

Campo coercitivo

Magnetização remanente

Após a saturação ser alcançada, se o campo magnético voltar a zero, a magnetização não se anula, mas mantém um valor residual denominado de magnetização remanente (Mr). Se o campo magnético for invertido e aumentar de intensidade, a amostra alcançará a condição de magnetização nula para um valor de campo denominado de campo coercitivo (Hc).

45

H

M

H

max

i

0

H

m

dM

dH

sup inf

m

M

H

Curvas de magnetização sem saturação

Curva normal de Magnetização

A curva normal de magnetização representa o lugar geométrico dos vértices das curvas individuais de magnetização. A susceptibilidade magnética é calculada para pontos sobre a curva normal. A susceptibilidade apresenta um valor inicial (i) e um valor máximo (max).

A susceptibilidade magnética diferencial é a derivada da curva de magnetização total. Para cada campo, apresenta sempre dois valores correspondentes às inclinações das curvas no ramo superior e no ramo inferior.

46

6) Ferrites No material ferromagnético, a energia de troca tende a alinhar os spins atômicos na mesma direção e sentido (constante de troca positiva). Nos materiais antiferromagnéticos a constante de troca é negativa, o que favorece o alinhamento antiparalelo de spins vizinhos. Tais materiais são formados por duas sub-redes de átomos, A e B, onde ocorre alinhamento paralelo entre átomos dentro de qualquer das sub-redes e alinhamento antiparalelo entre átomos de sub-redes diferentes. Uma vez que os momentos magnéticos antiparalelos são iguais, a magnetização resultante é nula.

Y

Mn Ge Sub-rede

A

Sub-rede B

Composto antiferromagnético YMn2Ge2

47

Ferrites são materiais cerâmicos designados como ferrimagnéticos, que apresentam sub-redes A e B com spins antiparalelos desiguais, o que proporciona magnetização com intensidades similares aos materiais ferromagnéticos. A maioria dos ferrites de estrutura cúbica é do tipo spinel invertido (FeFe2O4, NiFe2O4,CoFe2O4,...). Neste caso, o momento

magnético é determinado pelo íon metálico: Fe2+, Ni2+, Co2+...

8 Sítios A

O2+ Fe3+ M2+

16 Sítios B

Estrutura spinel esquemática para ferrites de estrutura cúbica mostrando o sítio A tetraédrico e o sítio B octaédrico. M é um átomo metálico (Fe, Ni, Co, Mn, Zn,...). Devido à presença dos átomos de oxigênio, a interação de troca entre os átomos metálicos dos sítios A e B é antiferromagnética, ou seja, resulta em spins contrários.

32 O2-, 16 Fe3+, 8 M2+

48

Dois tipos de ferrites compostos são de grande aplicação:

ZnxMn(1-x)Fe2O4 e ZnxNi(1-x)Fe2O4

conhecidos popularmente por ferrites MnZn e NiZn. Uma fração x de íons não magnéticos Zn2+ pode ser adicionada à estrutura do ferrite de manganês substituindo posições do íon Mn2+ nos sítios A e formando com isso o composto ZnxMn(1-x)Fe2O4. Uma vez que os spins dos íons Fe3+ nos sítios B são paralelos, a substituição de spins contrários de alguns dos íons Mn2+ por átomos de momento magnético nulo, aumenta o momento magnético total por fórmula unitária em 5xB em comparação com o composto original MnFe2O4. No caso do ferrite NiZn, a adição de íons Zn2+ em x sítios A originalmente ocupados pelo íons Fe3+, transfere íons de ferro para sítios B com alinhamento paralelo e diminui na mesma quantidade os sítios ocupados por Ni2+. Como o momento magnético do Fe3+ é maior que do Ni2+, o momento magnético do composto aumenta. O aumento no momento magnético do composto em relação ao ferrite de níquel é de 8xB por fórmula unitária.

49

Todos os tipos de ferrite comportam-se, sob o ponto de vista magnético, de modo similar aos ferromagnéticos, apresentando saturação e histerese. Duas diferenças, contudo, devem ser destacadas: a magnetização de saturação é menor e as perdas em altas frequências são muito mais baixas. Os ferrites são materiais cerâmicos que apresentam condutividade muito baixa comparados aos ferromagnéticos, que são metálicos. As baixas perdas tornam este tipo de material especialmente interessante para aplicações em altas frequências, tais como: filtros, transformadores, antenas e guias de onda. Existem também ferrites com estrutura hexagonal, tal como BaO-6Fe2O3 e SrO-6Fe2O3 que usados como imãs permanentes. O ferrite de terras raras (garnet) tem a fórmula geral 3R2O3-5Fe2O3 onde R é um íon trivalente de terra rara, por exemplo, do elemento ítrio (Y3+) e do lantânio (La3+) a itérbio (Yb3+). Esses materiais são usados em circuitos de microondas devido a boa resposta em altas frequências.

50

7) Energia de magnetização Consideremos que uma amostra de matéria de volume Va é introduzida em um campo magnético Ho de indução Bo, modificando o campo para os valores finais H e B. O trabalho de magnetização da amostra pode ser calculado como a variação na energia magnética em todo o espaço:

o a o a

B

m o o o o

V V 0 V V

1 1 1W dV dV dV dV

2 2 2B H H B H B HB

a

B

m o o

V 0

1W dV

2B H B H B H H B

Através de operações vetoriais elementares é possível mostrar que a energia de magnetização pode ser calculada no volume da amostra com a seguinte expressão:

Volume externo Volume interno

Energia após Energia antes

51

Para um material magnético linear, a expressão anterior torna-se muito mais simples:

Onde usamos Bo=oHo, B=roH e M=mH. Um objeto paramagnético que seja colocado em um campo magnético preexistente sofre a ação de uma força que tende a deslocá-lo para a posição de maior indução magnética. Esse resultado inclui o trabalho adicional da fonte para manter a corrente elétrica geradora do campo magnético, superando a força eletromotriz que surge no circuito devido a variação do fluxo magnético no sistema quando o objeto é inserido no espaço. Essa parcela de energia não foi considerada anteriormente, mas pode-se provar que a força magnética deve ser calculada a partir do gradiente positivo da energia de magnetização:

a a

m o o o

V V

1 1W dV dV

2 2B H B H M B

a

m m o

V

1F W dV

2

M B

Uma situação de grande importância prática diz respeito ao uso de núcleos magnéticos fechados. No caso ideal (confinamento perfeito do fluxo magnético no interior do núcleo), o campo magnético externo não é afetado pela presença do núcleo e o cálculo de energia de magnetização deve ser feito apenas no interior da amostra. A densidade de energia de magnetização é, então, dada por:

B

m o o

0

1w d

2H B HB

Usando a relação B=o(H+M) podemos substituir dB=o(dH+dM), obtendo assim:

H M M

m o o o o o

0 0 0

1w d d d

2H H B H HH M M

Estes dois termos se cancelam porque na ausência de polos magnéticos, o campo magnético não se modifica com a introdução da amostra no espaço. 53

8) Dissipação de energia na magnetização A energia de magnetização é numericamente igual a área abaixo da curva H=F(M) (multiplicada por o). Para um ciclo completo de magnetização no qual os valores inicial e final de H e M coincidem, a variação da energia de magnetização é numericamente igual a área interna do ciclo de histerese multiplicada por o. Este valor corresponde à energia dissipada devido às perdas no processo de magnetização.

H

M

Mr

-Mr

Hc

-Hc

M

diss

o 0

wdH M

54

Se a curva de magnetização é obtida com variações lentas do campo aplicado, a variação da energia de magnetização no ciclo é denominada de dissipação por histerese e ocorre principalmente pelo deslocamento das paredes de domínio. Por outro lado, se o material do núcleo é condutor, a variação no tempo do fluxo magnético produz correntes elétricas que contribuem para a dissipação de energia. Esta parcela é denominada de dissipação por correntes induzidas.

-40 -20 0 20 40 -0.8

-0.4

0

0.4

0.8

H/Hc

M/Mo

10 Hz 100 Hz 200 Hz 300 Hz 400 Hz

A Figura ilustra o efeito da frequência na curva de magnetização. O laço de histerese se alarga com consequente aumento da energia dissipada por ciclo de magnetização devido às correntes induzidas no núcleo. 55

A potência dissipada em um núcleo magnético pode ser modelada como a soma de três parcelas: dissipação por histerese, dissipação clássica por correntes induzidas e dissipação por excesso. A densidade volumétrica de potência dissipada pode ser escrita na seguinte forma como função da frequência, indução magnética e condutividade:

As constantes k nesta fórmula dependem da forma, dimensões e material do núcleo. A) Dissipação por histerese - a energia por ciclo pode ser obtida a partir da área interna do laço de histerese. A potência dissipada nesse caso é proporcional à frequência (“n” é uma constante determinada experimentalmente entre 1.6 e 2). B) Dissipação clássica – se o núcleo é condutor, o campo magnético variável no tempo produz correntes induzidas que dissipam energia. O cálculo da densidade de corrente e da potência dissipada é feito com base nos métodos clássicos aplicáveis em materiais homogêneos.

n 2 2 3/2 3/2diss hist max ind max exc maxp k B f k B f k B f

histerese Clássica excesso

56

C) Dissipação por excesso – em virtude da existência de domínios magnéticos, o campo em um material ferromagnético não é uniforme. Além disso, devido a presença de impurezas e outros defeitos estruturais, as paredes de domínio apresentam movimentos bruscos e o campo magnético local varia de maneira diferente do campo macroscópico. Por essa razões, a indução local de correntes por variação de fluxo magnético não pode ser calculada por métodos clássicos. A dissipação por excesso é uma maneira de corrigir a energia dissipada por correntes induzidas em relação àquela parcela obtida na análise clássica.

i

H

iind

0 40 80 120 160 200 0

0.1

0.2

0.3

f (Hz)

wd

iss

(KJ/

m3 )

histerese

histerese + correntes induzidas

dissipação por excesso

Medição da energia dissipada por ciclo em um núcleo de ferro. A laminação do núcleo reduz as correntes induzidas e a dissipação. A relação entre energia e potência dissipada é pdiss= f wdiss 57

9) Campo desmagnetizante

Uma amostra de material magnetizado geralmente apresenta polos magnéticos nas interfaces entre regiões com diferentes propriedades magnéticas. Um núcleo aberto, por exemplo, apresenta polos magnéticos nas interfaces com o ar, nas quais a magnetização incide com uma componente perpendicular não nula. Podemos avaliar o efeito dos polos magnéticos na matéria considerando a lei de Gauss aplicada na relação constitutiva:

N + + +

S - - -

z 0

Ho

M

Hd

o mv0 B H M H M Densidade de carga magnética

mv

d 3

V

n

d 3

S

3

V

( ) dV1( )

4

1( ) dS

4

1dV

4

r r rH r

r r

M u r rH r

r r

M r r

r r58

Para uma amostra homogêneo (M=mH com mesmo m em todo o volume), a divergência da magnetização é nula:

n

d 3

S

1( ) dS

4

M u r rH r

r r

o o

m m

11 0 0

MB M B M M

Nesse caso, apenas a carga magnética superficial contribui para o campo desmagnetizante.

Como exemplo, considere a esfera magnetizada por um campo uniforme.

2

r

d M2

S

2

2 dd

0 0

R sen d d1cos

4 R

H 1d cos sen d N

4 3 M 3

M uH a

M M

A constante de proporcionalidade entre Hd e M é denominada de fator de desmagnetização (Nd):

M

Ho

+

+ +

+

+ +

_

_ _

_

_ _

un

ms= M cos

Hd

Para um núcleo cilíndrico o campo desmagnetizante é não uniforme e o fator de desmagnetização varia com a posição no interior da amostra. Considere um cilindro de base circular com diâmetro D e comprimento L em um campo magnético axial uniforme. A fim de obter uma estimativa do campo desmagnetizante, vamos assumir que a magnetização é uniforme, o que resulta em densidade de carga magnética uniforme nos polos. No eixo do cilindro, o campo desmagnetizante devido à carga magnética no polo sul, é calculado a seguir:

D/ 2

n

d z3 2 2

S 0

D/ 2

d 3/ 2 2 22 20

1 M cos( ) dS 2 d

4 4 z

Mz d z 1H (z) M

2 2D 4zz

M u r rH r u

r r

z H

- - - - - -

- - - - - -

S

60

Somando com o campo gerado pelo polo norte, obtemos o campo total.

d

2 2 22

z L zH (z) M 1

D 4z D 4 L z

O fator de desmagnetização pode ser estimado no centro do cilindro.

dd

2 2

H (z L / 2) LN 1

M D L

Contudo, esta expressão resulta em erros grosseiros para grandes valores da relação L/D, como mostra a Figura ao lado. O problema é que o campo magnético total é não uniforme no interior do núcleo. Assim, o modelo com magnetização uniforme é muito impreciso nesta análise. Baseados nos valores experimentais (*), uma aproximação numérica é proposta e apresentada na Figura. (*)Jiles,D., Magnetism and Magnetic Materials, 2aEd., Chapman & Hall, 1998.

10-3

10-2

10-1

10-0

0 4 8 12 16 20 L/D

Nd Valores experimentais

Modelo analítico

Aproximação numérica

1.28

d

LN 0.3

D

Observe que fora do cilindro o campo gerado pelos polos magnéticos soma-se ao campo aplicado, intensificando o campo magnético no espaço em torno dos polos. O campo magnético no interior, por sua vez, é reduzido pelo efeito desmagnetizante da carga magnética. Assumindo que o material magnético é linear, a magnetização é proporcional ao campo total:

m o d m o dN M H H H Mm o

d m1 N

HM

Para um material magnético de alta susceptibilidade tal que Nd m>>1, a relação anterior indica que o campo magnético é reduzido drasticamente no interior do núcleo:

d m o oo d o

d m d m

N

1 N 1 N

H HH H H H

Ho Ho

Hd Hd

N

62

O campo magnético é descontínuo através da face do núcleo enquanto a indução magnética é contínua. Fora do núcleo a indução é determinada somente pelo campo magnético (B=oH), enquanto no interior do núcleo a indução é determinada praticamente pela magnetização (B=oM).

o m m

o o m o o

d m d m

1 11 =

1 N 1 N

B H M H H B

r

c

o r d

B

B 1 1 N

A indução magnética é contínua através dos polos magnéticos do núcleo. Essa condição decorre da lei de Gauss:

S

d 0 B S

ext intB S B S 0

Bint Bext S

63

Distribuição de campo magnético e magnetização em um núcleo magnético cilíndrico com susceptibilidade 1000 e relação L/D=4. O solenoide tem dimensões idênticas ao núcleo e densidade uniforme de espiras. Resultados obtidos por simulação numérica.

10) Circuito magnético Considere um sistema no qual o fluxo magnético está confinado em um volume determinado por um núcleo magnético de alta permeabilidade. Tal sistema é denominado de circuito magnético. Em circuitos magnéticos é comum a existência de pequenos espaços de ar denominados de entreferro. O campo magnético em um circuito pode ser obtido através da lei de Ampere. Geralmente usa-se o caminho de comprimento médio no circuito e considera-se que a indução magnética é tangencial e de mesma intensidade ao longo desse

caminho.

Hi

S

d He

Ln

i B Hi

He

Ln

d

S

i

N N

65

Assim, temos: i n e

C

d Ni H L H d Ni H L

Onde Ln é o comprimento do caminho no núcleo e “d” é a espessura do entreferro. A circulação do campo magnético é denominada de força magnetomotriz Fmm=Ni. A equação anterior é baseada na aproximação de entreferro pequeno (d << Ln), na qual as linhas de campo sofrem espalhamento desprezível no ar em torno do entreferro, de modo que podemos assumir que o campo magnético é uniforme ao longo do comprimento “d”. Uma vez que a indução magnética é contínua através da área dos polos e assumindo uma relação constitutiva linear no núcleo, temos:

e r iH H

Se resolvermos esse sistema de equações, obtemos o seguinte:

ri e

n r n r

Ni NiH H

L d L d

Observe que, se o núcleo é de alta permeabilidade tal que rd >> L, então o fluxo magnético é limitado praticamente só pelo entreferro:

o oe m

Ni Ni NSiH B

d d d

Aproximação para B

uniforme na área S 66

Nesse caso, a maior parte da energia fica armazenada no espaço de ar do entreferro:

2 2 2 2

om n

r o o

1 B 1 B N SiW SL Sd

2 2 2d

2

oN SL

d

Se não existisse entreferro, os valores obtidos com a análise anterior seriam:

i

n

NiH

L

r o

n

NiB

L

2 2 2

r om n

r o n

1 B N SiW SL

2 2L

2

r o

n

N SL

L

Aproximação para B uniforme na área S

Aproximação para B uniforme na área S

Podemos deduzir desta expressão que a indutância do circuito magnético com entreferro praticamente não depende de características do núcleo sendo dada aproximadamente por:

67

Uma forma de modelar a distribuição de fluxo magnético em um circuito complexo é obtida através do conceito de relutância. Consideremos novamente a lei de Ampere nos circuitos anteriores. Substituindo o campo magnético pela indução magnética H=B/=m/S (assumindo que a indução é uniforme na área S), obtemos:

nm

r o o

L dNi

S S

Com a definição de força magnetomotriz dada anteriormente e de relutância do núcleo e do entreferro pelas expressões:

nn e

r o o

L dR , R

S S

Obtemos o fluxo magnético na seguinte forma: mm

m

n e

F

R R

68

Desse modo, podemos aplicar técnicas de análise de circuito elétrico associando relutâncias em série ou paralelo, associando fontes de força magnetomotriz, usando divisor de fluxo análogo ao divisor de

corrente, usando análise de malhas ou nós, etc.

i

N

2 3

1 + _

R3

R1

R2

Fmm=N i

2 3 1

dispositivo magnético circuito equivalente

69

11) Imã permanente em um circuito magnético Se um imã permanente é inserido em um circuito, ele atua como uma fonte de fluxo magnético. Um imã ideal mantém o fluxo no braço de circuito no qual está inserido independentemente da força magnetomotriz através dele. Contudo, um imã real apresenta redução de fluxo na medida em que a força magnetomotriz aumenta.

Curva de desmagnetização de um imã (refletida para o primeiro quadrante)

H Hc

B

Br

ideal

m rB S

B

He

Ln

d

S

x

mmmB f (H) f (F x)

S

relutância do imã

Re

Rn

Ri

m + _

Fmm

m

70

A relação entre fluxo e força magnetomotriz no imã é determinada pelo seu fator de desmagnetização. Substituindo H=-NdM e na relação constitutiva para o imã, a reta de desmagnetização refletida para o primeiro quadrante é obtida na seguinte forma:

d

o o

d d

H 1 NB H M H H

N N

Com isso calculamos a relutância do imã:

o d o dm mm

d d

S 1 N S 1 NBS Hx F

x N x N

d

i

o d

x NR

S 1 N

Relutância do imã

Como mostra o esquema abaixo, o fluxo e a força magnetomotriz no imã são calculados como solução da equação:

i n eR R R R

Hx Hcx

BS

BrS

reta de carga

mmm

B f (H)

f (F x)S

m

Fmm

m mmF R

mmm mm

FSf (F x)

R

Onde R é a relutância total do circuito:

Re

Rn

Ri

m + _

Fmm

m

72

12) Tipos de materiais magnéticos Os materiais magnéticos são classificados em macios ou duros. Os materiais macios apresentam pequeno campo coercitivo (menor que 1000 A/m) de modo que podem ser operados com campos alternados sem apresentar excessiva dissipação de energia. O principal uso desses materiais ocorre no confinamento do fluxo magnético no interior de máquinas elétricas, tais como, motores, geradores e transformadores elétricos, bem como em dispositivos usados em sistemas eletrônicos como indutores, sensores, relés e eletroímãs. Os materiais magnéticos duros apresentam elevado campo coercitivo (maior que 10 KA/m), de modo que, tendem a manter o fluxo magnético relativamente alto e pouco dependente das características do circuito magnético ao qual está acoplado. Por isso, são denominados de imãs permanentes. Quando devidamente magnetizados, são usados como fontes de fluxo magnético em máquinas elétricas e diversos dispositivos eletromagnéticos.

73

Entre os materiais magnéticos moles destaca-se o ferro com baixo conteúdo de carbono e com pequena adição de silício da ordem de 3%. A inclusão de silício nessa proporção reduz em 75% a condutividade em relação ao ferro puro, reduzindo as perdas por correntes induzidas no núcleo. A presença de silício também reduz a coercividade, a magnetização de saturação e a temperatura Curie. Do ponto de vista da estrutura cristalográfica existem dois tipos de ferro silício: de grão orientado (GO) e de grão não orientado (GNO). Ambos são obtidos por laminação na forma de chapas de espessura 0.3 a 0.7 milímetros. O ferro silício GNO é um material praticamente isotrópico no plano das lâminas, sendo adequado para se construir as peças magnéticas de máquinas girantes cuja direção de magnetização varia no tempo.

74

O ferro silício GO é obtido por um processo de laminação diferente que produz grãos com seus eixos de fácil magnetização [001] orientados na direção da laminação e seus planos (110) paralelos à superfície das lâminas. Desse modo, este material apresenta máxima permeabilidade e mínima coercividade na direção paralela às lâminas, sendo adequado para máquinas e dispositivos que funcionam com campo estacionário, como os transformadores.

GNO - Permeabilidade magnética independe da direção no plano da lâmina = isotropia Uso em máquinas girantes = campo magnético muda de direção continuamente

GO - Permeabilidade magnética maior e coercividade menor (menor dissipação) na direção do comprimento da lâmina. Uso em máquinas estacionárias (transformadores) = campo magnético estacionário

Plano (110)

direção [001]

75

Tabela 1 - Propriedades de materiais magnéticos macios

Material Composição r (max) Hc (A/m) Bs (T)

FeSi-GNO 97% Fe / 3% Si 3 a 10 x 103 30 - 80 1.98 - 2.12

FeSi-GO 97% Fe / 3% Si 20 a 80 x 103 4 - 15 2.03

Permalloy 16% Fe / 79% Ni / 5% Mo 5 x 105 0.4 0.8

Ferrites Zn x Mn 1-x Fe2O4 3 x 103 20 - 80 0.2 – 0.5

Liga amorfa 78 %Fe / 13% B / 9% Si 1 x 105 2 1.56

Nanocristalino 73.5% Fe / 1% Cu / 3% Nb /

13.5% Si / 9% B

1 x 105 0.5 1.2

Tabela 2 - Propriedades de materiais magnéticos duros

Material Composição BHmax (KJ/m3) Hc (KA/m) Br (T)

Alnico 8%Al, 15%Ni, 24%Co,

3%Cu, 50%Fe

52 56 1.31

Ferrite Ba BaO6Fe2O3 28 192 0.395

Platina Co 77%Pt, 23%Co 76 344 0.645

Samario-Co SmCo5 160 696 0.9

Neodímio–Fe-B Nd2Fe14B 320 1120 1.3

BHmax = valor máximo do produto BH = indica a máxima densidade de energia armazenada no núcleo = energia disponível no campo externo do imã.

77

com Ms=106A/m, Hc=50A/m e c = 10 A/m. Calcule: O campo coercitivo, A magnetização remanente, a susceptibilidade magnética diferencial máxima e a densidade de energia dissipada por

ciclo.

1 s c c

2 s c c

M M cot h H H /c c / H H

M M cot h H H /c c / H H

Questão 1) Assumindo os seguintes valores para o ferro: Mo=1,71x106 A/m, j=1 e Tc=770 oC, calcule a magnetização de saturação em um domínio magnético nas temperaturas: 0 oC, 200 oC e 500 oC. Questão 2) A curva de magnetização mostrada abaixo pode ser descrita pela equação de Langevin,

M1

M2

Questão 3) A figura abaixo mostra duas espiras planas paralelas nas quais circulam correntes elétricas de mesma intensidade mas de sentido contrário. Uma esfera de material ferromagnético com permeabilidade r de raio muito menor que o raio das espiras é colocada em uma posição arbitrária no eixo z da estrutura. Assumindo que o campo magnético produzido pelas espiras é uniforme no volume da esfera, calcule a energia de magnetização como função da coordenada z e a força magnética sobre a esfera. Se a esfera é colocada na posição central, qual é a tendência de movimento sob a ação da força magnética?

i i

R

R

2a

z

79

Questão 4) Considere os núcleos magnéticos com os formatos mostrados abaixo e o campo variando senoidalmente no tempo com amplitude Bm e frequência . Desprezando o efeito pelicular mostre que a potência média dissipada por correntes induzidas é dada pelas seguintes fórmulas:

B

h<<w w

L

4 2 2

mdiss

R LBP

16

B

2R

L

3 2 2m

diss

wLh BP

24

80

Questão 5) Um indutor é construído com 50 espiras de fio de cobre distribuídas uniformemente em um núcleo cilíndrico de diâmetro 10 mm, comprimento 50 mm e permeabilidade magnética r=2000. A bobina cobre 60% do comprimento do núcleo. Adotando a aproximação que o campo magnético é uniforme no interior do núcleo, calcule a indutância desse

indutor. Questão 6) Calcule a indutância no caso anterior se o material do núcleo fosse um isolante não magnético. Usando esses valores de indutância, (questões 1 e 2) calcule o fator de aumento da indutância devido a magnetização do núcleo. Questão 7) Mostre que relutâncias se associam em série e paralelo da mesma forma que resistências.

81

Questão 8) Calcule a indutância e o campo magnético no entreferro. Dados: i=1A, N=50, raio médio do toróide = 30 mm, aresta do núcleo retangular (Z) = 50 mm, entreferro = 1 mm, área da seção transversal = 2 cm2, permeabilidade magnética r=2000.

i

N

i

N

Z

Z

i

N Z

2Z

(a) (b) (c)

Questão 9) Considere um imã permanente com formato de paralelepípedo com comprimento 2 cm e seção quadrada com aresta de 1 cm, com Br = 1 T e Hc = 500 KA/m. Se o imã está isolado, estime a indução magnética na superfície de seus polos (use Nd=0.120). Suponha que esse imã é colocado no circuito abaixo, no qual o núcleo magnético tem permeabilidade r=2000 e mesma seção transversal que o imã. Calcule o campo magnético no entreferro. Considere a curva de desmagnetização do imã aproximada por:

d = 1mm

Z = 5 cm

2 cm

1 cm

2 2

2 2r c

B H1

B H

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