MATERIAIS ELÉTRICOS

PROPRIEDADES ELETROMAGNÉTICAS DA MATÉRIA - POLARIZAÇÃO ELÉTRICA

1) Polarização molecular 2) Moléculas polares e apolares 3) Tipos de polarização 4) Momento de dipolo elétrico 5) Polarização 6) Potencial de um dipolo elétrico 7) Carga de polarização 8) Relação constitutiva em um dielétrico 9) Polarizabilidade molecular 10) Dispersão dielétrica 11) Perda dielétrica 12) Polarização de carga espacial 13) Ruptura e rigidez dielétrica

1

1) Polarização molecular Polarização é um dos resultados da aplicação de campo elétrico na matéria. As moléculas são estruturas neutras constituídas de elétrons e núcleos distribuídos de uma maneira particular no espaço. Essa estrutura é mantida em equilíbrio dinâmico por meio da força elétrica e interações quânticas entre as diversas partículas. Quando a molécula é submetida a um campo elétrico externo, essas forças são modificadas e o rearranjo das cargas no seu interior resulta na polarização da molécula e do meio. A polarização molecular é caracterizada por uma separação espacial entre a distribuição de carga positiva e a distribuição de carga negativa na molécula. Algumas moléculas já possuem uma polarização natural, mesmo na ausência de campo aplicado. São denominadas de moléculas polares. As moléculas que não apresentam polarização permanente são denominadas de apolares.

A estrutura mais importante usada para descrever a polarização elétrica é o momento de dipolo elétrico. O caso mais simples é o momento de dipolo elétrico de um sistema contendo duas cargas puntiformes. A figura abaixo mostra uma representação esquemática dessa estrutura. O momento de dipolo elétrico é um vetor orientado da carga negativa para a positiva tendo como módulo o produto da carga pela distância que separa as duas partículas. As posições das duas partículas em um sistema de referência comum são r+ e r-.

+

-

+Q

-Q

p=Q(r+- r-)

3

Ligação polar e apolar - Ligações polares ocorrem entre átomos com diferentes eletronegatividades e formam dipolos elétricos. Os elétrons de valência envolvidos nas ligações são mais fortemente atraídos para o átomo mais eletronegativo. Ligações apolares ocorrem entre átomos iguais de modo que a distribuição eletrônica é simétrica.

ele

tro

neg

ati

vid

ad

e

H Cl

2.1 3.0

+ _

C O

2.5 3.5

+ _

Cl Cl

3.0 3.0

Ligação polar

Ligação apolar

pm

pm

2) Moléculas polares e apolares A unidade de medição do momento de dipolo elétrico é o Debye (D) que vale 3.336x10-30 Cm. Na figura abaixo, alguns exemplos de moléculas polares, suas características eletrônicas, estruturais e seus momentos de dipolo elétrico permanente.

H +

N _

H +

H +

_ _

108o

102pm

P = 1.42 D

O _

H +

H +

_

104o

96 pm P = 1.85 D

Amônia N (Z=7) = 1s2 2s2 2p3

H(Z=1) = 1s1

O _

C +

113 pm

P = 0.112 D

Monóxido de carbono O (Z=8) = 1s2 2s2 2p4

C(Z=6) = 1s2 2s2 2p2

Água O (Z=8) = 1s2 2s2 2p4

H(Z=1) = 1s1

As moléculas apolares ou são compostas de um único tipo de átomo (gases monoatômicos, por exemplo He ou Ar, gases diatômicos de um único elemento, como O2, H2, N2, Cl2, e cristais de substâncias puras como Si e C), ou a soma vetorial dos dipolos das ligações polares se anula. Esses são os exemplos mostrados na figura abaixo.

C _

O + O + _

116 pm

Metano C(Z=6) = 1s2 2s2 2p2

H(Z=1) = 1s1 Dióxido de carbono O (Z=8) = 1s2 2s2 2p4

C(Z=6) = 1s2 2s2 2p2

H +

C

H +

H +

_

_

109o

108pm

H +

_

6

Ligação pm (D)

C – H+ 0,4

N – H+ 1,31

O – H+ 1,51

F – H+ 1,94

C+ – N 0,22

C+ – O 0,74

C+ – Cl 1,6

N+ - O 0,3

C+ = O 2,5

N+ = O 2,0

C – OH+ 1,65

C - NH2+ 1,35

C – COOH+ 1,7

molécula pm (D)

CO 0,11

HCl 1,08

HF 1,91

NH3 1,47

NaCl 8,5

CsCl 10,4

H2O 1,85

CHCl3 (clorofórmio) 1,03

CnH2n+1OH (álcool) 1,7

CH3COOH (ácido acético) 1,7

CH3COCH3 (acetona) 2,9

C6H6 (benzeno) 0

C6H5NO2 (nitrobenzeno) 4,2

Momento de dipolo elétrico de ligações químicas e moléculas:

Questão 1: usando esta tabela e as geometrias mostradas nas figuras anteriores,

calcule o momento de dipolo elétrico da molécula de água e da molécula de amônia.

Existem três tipos de polarização elétrica: 1) A polarização eletrônica acontece em todas as moléculas e ocorre devido ao deslocamento da nuvem eletrônica em relação aos núcleos atômicos. Como o deslocamento eletrônico ocorre com alta velocidade, a polarização eletrônica não se altera com a frequência de variação do campo elétrico até a região espectral da radiação ultravioleta. Este é o principal processo que determina o índice de refração e as propriedades ópticas de um material.

3) Tipos de polarização elétrica

+ - -

-

-

E + - -

-

-

pm

8

2) A polarização atômica ocorre devido à deformação das moléculas constituintes do material. Ocorre em moléculas que são formadas por átomos com diferentes eletronegatividades, apresentando então ligações polares. O campo elétrico aplicado deforma as moléculas através da força exercida sobre suas partes positiva e negativa. Devido à inércia dos movimentos moleculares, a polarização atômica deixa de acontecer para frequências do campo aplicado acima da região espectral do infravermelho.

9

+ - - E

pm

+ - -

3) A polarização dipolar ou orientacional ocorre nos materiais constituídos de moléculas polares. Quando submetidas a um campo elétrico externo, as moléculas polares tendem a se alinhar com o campo, ocorrendo a polarização se as moléculas possuem liberdade para o movimento rotacional, o que ocorre em líquidos e gases, mas com grandes restrições em sólidos. Esse tipo de polarização ocorre de maneira muito mais lenta que os outros tipos citados anteriormente, sendo efetiva para a maioria dos materiais na região espectral denominada de microondas e em frequências menores. Diferentemente das outras formas de polarização, a polarização orientacional é fortemente dependente da temperatura.

10

A polarização dipolar é um efeito macroscópico sobre um conjunto numeroso de moléculas polares que se alinham parcialmente com o campo aplicado, o que resulta em uma polarização volumétrica como resultado da soma vetorial dos momentos de dipolo das moléculas do conjunto.

pm 0 pm= 0

E

11

4) Momento de dipolo elétrico Quando se considera a carga elétrica de uma molécula ou estrutura mais complexa como uma distribuição discreta na qual a posição de cada partícula é conhecida, o momento de dipolo elétrico é calculado como um somatório sobre todas as partículas.

v

V

dV p r r

Onde rc+ e rc

- são posições dos centroides da carga positiva e da carga negativa, respectivamente. Se a distribuição de carga pode ser descrita por uma densidade de carga em um volume definido, o momento de dipolo elétrico pode ser calculado pela expressão a seguir.

N N/ 2 N/ 2

n n i i j j c c

n 1 i 1 j 1

q q q Q

p r r r r r

N/ 2

c i i

i 1

N/ 2

c j j

j 1

1q

Q

1q

Q

r r

r r

12

5) Polarização

O momento de dipolo de uma distribuição de moléculas, onde cada molécula possui um momento de dipolo elétrico, pode ser interpretado como sendo obtido pela integração de uma densidade volumétrica de momento de dipolo elétrico. Essa densidade é denominada de polarização do meio. Usando a expressão anterior, podemos escrever.

m m m mN P r r p

Onde P é a polarização, o símbolo < > representa valor médio macroscópico, Nm é o número de moléculas por unidade de volume e pm é o momento de dipolo molecular.

13

6) Potencial de um dipolo elétrico

Uma molécula polarizada produz potencial elétrico no espaço. Usando o modelo de dipolo de duas cargas puntiformes, o cálculo desse potencial é simplesmente a soma algébrica dos potenciais das duas cargas.

m

o

m

o

Q 1 1(r)

4

Q

4

V

r r r r

r r r r

r r r r

V(r)

r

r-r+

r-r-

Qm

pm

Qm

14

Mas, em se tratando de estruturas com dimensões moleculares, geralmente podemos considerar que a distância até a molécula é muito maior que a separação entre as cargas. Assim, as seguintes aproximações são válidas.

mrr cos2

r r

mrr cos2

r r

Substituindo na equação do potencial e aproximando os termos no denominador por |r-r+| r e |r-r-| r, obtemos:

m m m

2 3

o o

Q r cos(r)

4 r 4 rV

p r

15

Questão 2: usando o resultado anterior, calcule o campo elétrico produzido por um dipolo elétrico.

A fim avaliar o efeito da polarização nas distribuições de potencial e campo elétrico no espaço, usaremos a equação anterior aplicada a cada elemento infinitesimal de volume de um objeto polarizado

m

3 3

oo o

d 1 1d dV dV

44 4V

p r r P r rP

r rr r r r

A integração acima é facilitada usando-se a seguinte transformação

vetorial.

1= +

P PP

r r r r r r

16

Procedendo-se a substituição e integração, obtemos o potencial na forma de duas integrais sobre duas distribuições de carga distintas.

o V V

o oS V

1dV dV

4

1 d 1dV

4 4

V

P P

r r r r

P S P

r r r r

Onde aplicamos o teorema de Gauss para obter a última expressão. Concluímos que a polarização estabelece uma distribuição de cargas na superfície do objeto cuja densidade superficial é numericamente igual a componente normal do vetor de polarização e uma distribuição de carga no volume do objeto cuja densidade volumétrica é numericamente igual ao negativo do divergente da polarização.

17

7) Carga de polarização

A carga de polarização ou carga ligada é a carga dos dipolos elétricos das moléculas do material que surge no volume ou superfície do objeto como resultado da polarização elétrica. Difere da carga livre ou não ligada dos materiais condutores, por não poder se movimentar por translação sob a ação de um campo elétrico aplicado. A carga de polarização surge como consequência dos processos de polarização: deslocamento das nuvens eletrônicas nos átomos, estiramento e contração de ligações polares em moléculas e alinhamento de dipolos permanentes moleculares.

pv

ps n

P

P u

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+ +

_

_

_

_

_

_

_

_

_ _

E P

P1 P2>P1

18

Exemplo – Placa dielétrica em um campo uniforme - Consideremos a estrutura mostrada na figura abaixo. A placa é colocada em um campo elétrico pré-existente Eo. A polarização é perpendicular as faces da placa. Surge a carga de polarização superficial indicada na figura. A carga de polarização estabelece um campo elétrico em oposição ao campo pré-existente (campo despolarizante).

+ + + + + + + + + + + + +

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Eo Eo

P

ps=P ps=-P

Este campo pode ser facilmente calculado usando a lei de Gauss e o resultado para cada face é idêntico ao de uma superfície plana carregada.

Sp z z

o o

P

2 2E u u

No interior da placa devemos somar os campos da duas faces obtendo o campo despolarizante e o fator de despolarização.

p

o

PE

p

d

o

N 1E

P

Exemplo – Esfera dielétrica em um campo uniforme - Usando a figura abaixo faremos a mesma análise para uma esfera dielétrica. Em um campo uniforme, a polarização é uniforme no interior da esfera. A carga de polarização na superfície é ps=Pcos. Vamos assumir que o campo despolarizante também é uniforme no interior da esfera (isso pode ser provado através da solução da equação de Laplace) e calcularemos esse campo apenas no centro geométrico da esfera.

ps

p z2

o S

2

2

o o0 0

dS1cos

4 R

d cos sen d4 3

E u

P P

Devido a simetria azimutal da carga superficial, o campo na direção perpendicular à polarização é nulo. O campo na direção paralela é dado por:

P

Eo

+

+

+ +

+ +

_

_ _

_ _

_

un

dEp

p

d

o

N 1 3E

P

Questão 3: Calcule o fator de despolarização para um cilindro em um campo uniforme nas posições indicadas a seguir:

Eo Eo

L

D

L

D

Ep Ep

8) Relação constitutiva em um dielétrico

O fluxo elétrico macroscópico através de uma superfície fechada é gerado pela carga elétrica livre (não ligada) no volume limitado por essa superfície. A equação obtida anteriormente a respeito do divergente da polarização mostra que, a carga de polarização (carga ligada) está relacionada ao fluxo do vetor de polarização no meio. Por sua vez, os exemplos anteriores mostram que a carga de polarização estabelece campo elétrico no espaço e no interior do objeto. Então, existe uma relação entre esses três campos vetoriais no interior de um objeto polarizado. Essa relação pode ser obtida considerando-se o teorema de Gauss para cada um dos campos.

vDpv P

v pv

o

E

22

Combinando essas equações facilmente verificamos que a relação entre os campo vetoriais no interior de um objeto polarizado é:

Muitos dielétricos são caracterizados por apresentar polarização proporcional ao campo elétrico total em seu interior. Esses materiais são classificados como dielétricos lineares. Nesse caso, a constante de proporcionalidade entre polarização e campo elétrico define a susceptibilidade elétrica (e) da matéria.

23

oD E P

e oP E

Outras grandezas relacionadas são a constante dielétrica (r) e a permissividade () do material, obtidas quando se substitui a polarização na relação constitutiva.

o e o e o r o1 = =D E E E E E

r e1

r o

Observe que a susceptibilidade elétrica e a constante dielétrica são adimensionais, enquanto a permissividade do material tem mesma unidade da permissividade do vácuo. Obviamente, no vácuo, temos e = 0 e r = 1.

24

Constante dielétrica de alguns materiais - A tabela a seguir apresenta a constante dielétrica estática de alguns materiais em 20 oC e 1 atm.

Material r

Ar 1.0005

Benzeno 2.28

Metanol 33.0

Água 80.1

Diamante 5.7

Silício 11.8

Teflon 2.1

Polietileno 2.3

Silicone 3.1

Nylon 3.5

PVC 3.5

Epóxi 3.6

Neoprene 6.7

Poliuretano 7.0

25

Exemplo – Placa dielétrica em um campo uniforme - Retornemos ao exemplo da placa dielétrica. Se o material da placa for um dielétrico linear, podemos calcular o campo total e a polarização da seguinte forma:

o p o o e

o

PE E E E E E

o o

e r1

E EE

e oo

e1P E

Verificamos que o campo elétrico no interior da placa é menor que o campo pré-existente (campo aplicado).

+ + + + + + + + + + + + +

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Eo Eo

P

E

26

Exemplo – Esfera dielétrica em um campo uniforme - No caso da esfera dielétrica, a conclusão é análoga, mas as relações matemáticas são diferentes.

P eo p o o

o3 3E E E E E E

o o

e r

3 3

3 2E E E

e oo

e

3

3P E

P

E

+

+

+ +

+

+

_

_ _

_

_ _

E

Eo

Observe que o campo elétrico externo à esfera também á afetado pela carga de polarização.

27

No caso geral de um objeto com fator de despolarização Nd :

Po p o d o d e

o

N NE E E E E E

o

d e1 N

EE

e o o ee

d e d e1 N 1 N

EP

A susceptibilidade e a permissividade efetivas do objeto dependem do fator de despolarização, ou seja, da sua forma geométrica.

Questão 4: Calcule a susceptibilidade elétrica no centro de um cilindro nas posições transversal e longitudinal ao campo elétrico aplicado. Considere comprimento L, diâmetro D e constante dielétrica r. Questão 5: Calcule o campo elétrico no interior de uma cavidade esférica com raio R em um meio de constante dielétrica r onde é aplicado campo elétrico uniforme Eo.

9) Polarizabilidade molecular A polarização molecular induzida, seja pela deslocamento da nuvem eletrônica seja pela distorção de orbitais moleculares, para campos aplicados não muito intensos é um processo linear no qual o momento de dipolo induzido é aproximadamente proporcional ao campo elétrico aplicado. Usando um modelo simples baseado na lei de

Coulomb, temos:

Onde m é a polarizabilidade molecular para a polarização induzida.

- - +

- - +

E pm

-Q/2

Q

-Q/2

2 2

2 2

o o

2 22

2

o

2

2

o

23

m o3

o

3

m o

Q QF

8 r r 8 r r

Q r r1 1

8 r r r

Q r r1 2 1 2

8 r r r

Qr QE p Q r 2 r E

2 r

2 r

Para um átomo, a polarizabilidade eletrônica pode ser calculada usando-se o modelo geométrico mostrada a seguir. Assumindo uma órbita esférica de um orbital “s”, a posição média de um elétron em torno da direção do campo aplicado corresponde a uma trajetória circular que no átomo polarizado encontra-se descentralizado em relação ao núcleo.

23

m o2

o

3

m o

eF cos eE p er cos 4 r E

4 r

4 r

E

-e

e

-e

pm

e

-eE F

r

Sendo r da ordem de 1A = 0.1 nm, temos:

2

312 10

m

240

Cm4 8.85 10 1 10

V

Cm1 10

V

Na polarização dipolar, um dipolo sujeito a um campo elétrico adquire a energia W=pm∙E;

Segundo a lei de Boltzmann, em um sistema em equilíbrio termodinâmico, a probabilidade de uma molécula possuir esta energia é proporcional a exp( W/KBT).

Podemos calcular a o momento de dipolo médio na direção do campo pela expressão:

Usando a transformação:

31

m B

m B

p E cos K T

m

0

p E cos K T

0

p cos e sen d

e sen d

p

m

B

p Ex a cos dx a sen d a

K T

32

a

xa

x x a a a a

a am m ma a a ax

xa

a

a a

m ma a

x e dxx e e a e e e e1 1 1

p p pa a a e eee dx

e e 1 1p p coth(a)

a ae e

p

pFunção de Langevin

Repare que: a 0

1Lim coth(a) 0

a

1 apara a 1 coth(a)

a 3

A figura abaixo mostra o gráfico da função de Langevin e da aproximação linear válida quando a energia potencial dos dipolos moleculares no campo aplicado é muito menor que a energia

térmica das moléculas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a

L(a

)

L(a)

a/3

33

L a coth a 1 / a

Para pmE<<KBT o momento de dipolo molecular é então dado por:

Onde d é a polarizabilidade molecular relacionada à polarização dipolar. Substituindo-se valores numéricos (pm1D e T=300K) obtém-se d10-39 Cm2/V.

A polarização total pode ser calculada multiplicando-se o momento de dipolo molecular pela densidade de moléculas (Nm) se existir apenas um tipo molecular.

Onde Em = campo elétrico local na molécula e Ed = campo diretor (parcela do campo elétrico local que orienta a molécula).

2 2

m mm d

B B

a p E pp

3 3K T 3K T p

m m m d dN P E E

Para uma substância apolar:

O campo elétrico local na molécula pode ser calculado usando-se o modelo abaixo, onde a cavidade representa o volume ocupado pela molécula: +

+

+

+

+

-

-

-

-

-

E

P Em

Modelo de Claussius - Mossotti

m m mN P E

P r rm m

o

1 2

3 3 3E E E E E E

r r m mm m m r o m m

r o

2 1 NN 1 N

3 2 3

P E E E

Exemplo: Consideremos agora o composto apolar benzeno que apresenta

polarizabilidade de 11,4310-40 Cm2/V e densidade de 879 kg/m3 em pressão de 1 atm e 15oC (288 K). A massa molar do benzeno é 78,11 g/mol. Sua densidade molecular na temperatura e pressão indicadas é:

Substituindo na fórmula de Claussius – Mossotti, temos:

Valor experimental = 2,3

427

rr

r

0

12

1 6,78 10 1 2 011,43 10

1

,2920,292 2,24

2 3 8,85 1 0 920 ,2

23mm A 3

mol

27 3

879kg g moléculasN N 1000 6,022 10

M 78,11g kg m

6,78 10 m

Para uma substância polar o cálculo do campo local e do campo diretor é muito mais envolvente e não será abordado aqui (mas é apresentado no Capítulo 7);

Um resultado geralmente utilizado para substâncias polares é o modelo de Onsager:

Onde é a constante dielétrica em frequências bem maiores que a frequência de corte associada à relaxação dipolar e inclui todos os modos de polarização induzida atômica e eletrônica.

Este modelo é limitado à substâncias cujas moléculas sejam aproximadamente esféricas e que apresentem apenas interações dipolares (não é adequado para substâncias iônicas ou com pontes de hidrogênio).

2r rm m

2

o B r

(2 )N p

9 K T 2

Exemplo: Consideremos a água que apresenta densidade de 1000 kg/m3 em

pressão de 1 atm e 25oC (298 K). A massa molar da água é 18,06 g/mol. Sua densidade molecular na temperatura e pressão indicadas é:

Para obter a constante dielétrica em altas frequências usaremos a fórmula de Claussius-Mossotti com m=1,626 10-40 Cm2/V.

Este resultado concorda com o índice de refração da água n=1,33=(1,77)1/2. Esta é a constante dielétrica devido a polarização eletrônica. Porém, a constante dielétrica da água uma década acima da frequência de corte de relaxação dipolar (após cerca de 160 GHz e antes de 3000 GHz) é r 4.

23mm A 3

mol

28 3

1000kg g moléculasN N 1000 6,022 10

M 18,06g kg m

3,334 10 m

428

rr

r

0

12

1,626 101 3,334 10 1 2 0,2040,204 1,77

2 3 8,85 11 0,0 204

Usaremos a fórmula de Onsager para calcular o momento de dipolo permanente da água assumindo que r=80 em T=300K;

O valor experimental é 1,85 D; Embora a diferença entre a estimativa teórica com o modelo de

Onsager e o valor experimental não seja grande, ela possivelmente reflete a influência das pontes de hidrogênio que são importantes interações intermoleculares (não dipolares) na água.

r ro Bm 2

m r

12 23

m 228

-30

(2 )9 K Tp

N 2

80 4 (2 80 4)9 8,85 10 1,38 10 300p

3,334 10 80 4 2

6,54 10 Cm 1,96D

Consideremos agora o álcool etílico (C2H5OH), assumindo: r=30 em T=300K;

m=789 kg/m3;

pm=1,69 D; Mmol=46,07 g/mol; =1,85 obtido a partir do índice de refração [n= (r)

1/2= 1,361], então inclui apenas polarização eletrônica.

O valor experimental pode ser estimado pela soma da polarizabilidade molecular do etano (C2H6)(5x10-40Cm2/V) menos uma ligação C-H (0,7215x10-40Cm2/V) mais a polarizabilidade da ligação C- OH (1,443x10-40Cm2/V) que resulta em 5,72x10-40 Cm2/V.

23mm A 3

mol

28 3

789kg g moléculasN N 1000 6,022 10

M 46,07g kg m

1,0313 10 m

2-

140o r

m 28

2

m r

3 1 3 8,85 1,85 1 Cm5,68 10

N 2 1,0313 10 1,85 2

1

V

0

Calcularemos a constante dielétrica em alta frequência usando a fórmula de Onsager:

Este é o valor esperado para a constante dielétrica do etanol após ocorrer a relaxação dipolar, ou seja, para frequências bem maiores que a frequência de corte na banda de relaxação (fc 1GHz para 20 oC), porém antes de qualquer ressonância atômica. Contudo, também neste caso as forças intermoleculares devido à pontes de hidrogênio podem afetar um pouco a exatidão do resultado obtido.

228 -302

m m

12 23

o B

2

r r r

22

r r r r

2

r rr

1,0313 10 1,69 3,336 10N pa 0,9941

9 K T 9 8,85 10 1,38 10 300

a 2 (2 )

1 2a 2 2a 1 2a6,072

1 a 2 1 a4 1 a

Diclorometano:CH2Cl2

Questão 6: Usando os dados da tabela abaixo calcule a polarizabilidade eletrônica das substâncias indicadas;

Questão 7: Usando os dados da tabela abaixo calcule a constante dielétrica em altas frequências após a relaxação dipolar das substâncias indicadas.

Diclorometano:CH2Cl2

Acetona

CH3COCH3

Ácido acético

CH3COOH

Diclorometano

CH2Cl2

Constante dielétrica r 21 6,2 9,1

Densidade m (g/mL) 0,786 1,3266 1,049

Momento de dipolo pm (D) 2,88 1,60 1,74

Massa molar (g/mol) 58,08 60,04 84,93

Índice de refração (20oC) 1,357 1,372 1,335

10) Dispersão dielétrica

Quando ocorre a polarização induzida uma força de reação proporcional à deformação da molécula se opõem à força elétrica aplicada. Além disso, as interações entre moléculas vizinhas proporcionam dissipação de energia. Podemos avaliar a dinâmica do processo de polarização a partir da segunda lei de Newton aplicada ao átomo central na estrutura abaixo:

2

m o m o

2

o m m2

1W k x x F k x x

2

d x d xm q E k x

dt dt

- + - + E

pm

qo -qo

pm+p

-qo qo

xo+x xo

x

xo

W

A deformação da molécula no domínio do tempo é dado por:

Se o campo elétrico é aplicado na forma de um degrau: resposta em regime permanente:

resposta transitória:

22 2o mo m o2

q kd x d xx E ,

dt dt m m m

22 t 2

o m m2

2 2

m o o

t 2

o o mo m m

t 2

mo m m

d x d xx 0 x(t) x e cos( t)

dt dt

4

p t q x x(t) p p e cos( t)

p t 0 0 p t E 1 e cos( t)

polarizabilidade estática

2 2

o o oo m mo o o m mo2 2 2

o o o

q q qx E p q x E

m m m

Resposta ao degrau:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0

mo Em

m t

p(t)

t t

m m

2 2 2o omm o m

2 mo

o

m2 2

o

2

o

m o m2 2

o

2

o

m 2 2

o

2 2 3

mo o o o

o oo

mo

E Re E e x Re x e

q qkx x x E x E

m m m m

k 1 m

m

q mx E

/

q mq x

/

q m

/

q m 4 r

q q

m 2 m

j j

j j

j

j

j

p E

3

or

momento de dipolo molecular

polarizabilidade dinâmica

polarizabilidade estática

frequência de ressonância

Análise fasorial:

2 2 2mo omo mo o

m 2 22 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2o o o o o o

1 /

1 / 1 / 1 /j

j

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -1.5

0

1

m

()/

mo

/o

real

-imag

o

mo