Material Bem Completo de Geometria Espacial

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PoliedrosChamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavosObservando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

ClassificaçãoOs poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:a) tetraedro: quatro faces; b) pentaedro: cinco faces; c) hexaedro: seis faces; d) heptaedro: sete facese) octaedro: oito faces; f) icosaedro: vinte faces

Poliedros regularesUm poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Fórmulas e Relações Importantes nos Poliedros:

1) Relação de Euler: Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V+F=A+2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces

2) Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo;b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;c) toda face tiver o mesmo número de arestas;d) for válida a relação de Euler

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

Verifique que todos os poliedros regulares são platônicos, sendo que as faces são polígonos regulares. Alguns autores não fazem a diferença entre poliedros regulares e platônicos, considerando sinônimos esses dois conceitos.Poliedros de Platão:

3) Contagem das Arestas: Se contarmos as arestas de cada uma das faces ou vértices, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para duas faces ou dois vértices. Logo, teremos:

ou

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3) Soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro

S = 360º . ( V – 2)

4) Cálculo do número total de Diagonais de um poliedro convexo.

TESTES1) Num poliedro convexo , o número de vértices é 5 e o de arestas é 10 . Qual é o número de faces?

2) O número de arestas de um poliedro convexo é igual ao dobro do número de faces. Sendo 10 o número de vértices, quantas são as arestas?

3) Em um polígono convexo de 20 arestas , o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?

4) Determine o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

5) (UNI-RIO) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. Qual o número de vértices? 6) Um poliedro convexo apresenta uma face hexagonal e seis triangulares . Quantos vértices tem esse poliedro?

7) Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 4 faces hexagonais .Quantas arestas e quantos vértices tem esse poliedro?

8) (PUC-PR) Um poliedro convexo tem 10 faces entre triangulares e quadrangulares. Quantas faces triângulares e retangulares possui esse poliedro, sabendo que o mesmo possui 16 arestas.

9) Calcule a soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 10 vértices.

10) A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é de 1800o. Qual o número de vértices do poliedro?

11) (IFPR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Qual a soma dos ângulos internos das faces desse poliedro?

12) Quantas arestas têm um poliedro convexo de

faces triangulares em que o número de vértices é

do número de faces?

13) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

14) Quantas diagonais possui o icosaedro regular? Qual a soma dos ângulos internos de todas as faces do icosaedro regular?

15) (AFA) Um poliedro convexo tem 16 faces. De um dos seus vértices partem 5 arestas; de cinco outros vértices partem 4 arestas e, de cada um dos vértices restantes, partem 3 arestas. Qual o número total de arestas desse poliedro?

16) Numa publicação científica, de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Essa molécula foi denominada “fulereno”, em homenagem ao arquiteto norte-americano B. Fuller. Quantos são os átomos de carbono dessa molécula e o número de ligações entre eles.

PrismasDefinição e ElementosPrisma é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as demais faces são paralelogramos.

Nomenclatura e ClassificaçãoOs prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases. • um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;• um prisma é quadrangular quando suas bases são quadriláteros;• um prisma é pentagonal quando suas bases são pentagonais;• um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais.

PRISMA RETO e OBLÍQUOQuando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é chamado de reto; caso contrário, de oblíquo.

Observação: Os prismas retos cujas faces são polígonos regulares são chamados de prismas regulares.Exemplos

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Prismas regulares

CuboDefinição e ElementosCubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.

O cubo da figura tem arestas de medida l, então,

• as diagonais de suas faces medem l , pois são diagonais de quadrados de lados com medidas iguais a l.

• as diagonais do cubo medem l , pois:

Assim:

Área TotalA área de um quadrado de lado l é l 2, então a área A da superfície de um cubo de aresta l é:

ParalelepípedosDefiniçãoChamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos.

Exemplos

Paralelepípedo Reto Retângulo

Diagonais de um paralelepípedo retânguloNo paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d1 e d, as diagonais da face ABCD e do paralelepípedo, respectivamente.

No triângulo ABC, temos:

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AC2 = AB2 + BC2 ou então,

No triângulo ACG, temos:

AG2 = AC2 + CG2 ou então,

Como , temos:

d2 = a2 + c2 + b2 ou

Área total (AT) de um paralelepípedo retângulo

Sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, as áreas de cada par de faces opostas são: ab, ac e bc.Assim,

Ou

Volume (V) de um paralelepípedo retângulo Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo, temos:

Área e Volume de Prismas RegularesSabemos que um prisma é chamado de regular quando é reto e tem base regular.Vamos calcular a área e o volume dos principais prismas regulares:

Prisma Triangular RegularConsideremos um prisma triangular regular com aresta da base a e altura h.

Área da base (B)

Área lateral (AL)AL = 3 · Aface lateral

AL = 3 · (ah)= 3 ah

Área total (AT)AT = AL + 2B

Volume (V)

V = B · h

Prisma Hexagonal RegularConsideremos um prisma hexagonal regular com aresta da base a e altura h.

Área da base (B)

Área lateral (AL)AL = 6 · Aface lateral

AL = 6 (ah) = 6 ah

Área total (AT)AT = AL + 2B

Volume (V)V = B · h

TESTES

1) (CESGRANRIO - RJ ) A diagonal de um paralelepípedo de dimensões 2, 3 e 4 mede:

a) 5 b) 5 c) 4 d) e) 6

2) (UNIFOR - CE ) A soma dos comprimentos de todas as arestas de um cubo é igual a 60 m. A diagonal, em m, mede:

a) b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

3) ( PUC - SP ) Um cubo tem área total igual a 72 m2, sua diagonal vale:

a) 2 m c) m e) 6 m

b) m d) 2 m

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4) (UFU MG) Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416cm2, pode-se afirmar que o volume de cada cubo é igual a

a) 16cm3 b) 64cm3 c) 69cm3 d) 26cm3 5) (UFPE) A figura ilustra um prisma ABCDEFGH de base retangular de dimensões 4 e 7. A face ABFE é perpendicular ao plano da base do prisma e a face BCGF forma um ângulo de 30° com o plano da base do prisma. Qual o volume do prisma, se a aresta BF mede 6?

6) (VUNESP – SP) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20, e que a diagonal mede 100 m.

7) (PUC-RS) Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das arestas de um cubo conforme a figura a seguir. Se a aresta do cubo é dada por a, a área do hexágono é:

a) c) e)

b) d)

8) (MACK-SP-2009)

A peça da figura, de volume a2, é o resultado de um corte feito em um paralelepípedo reto retângulo, retirando-se um outro paralelepípedo reto retângulo.a) 2/3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 4/5

9) (Fuvest-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio

líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:a) 16 m   b) 17 m    c) 18 m   d) 19 m e) 20 m

10) Considere um prisma reto de 20 cm de altura cuja base é um triângulo retângulo de catetos de 8cm e 15 cm. Calcule a área lateral e o volume do desse prisma.

11) (UFRRJ) Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é: a) 12 cm b) 11 cm c) 10 cm d) 5 cm e) 6 cm

12) (ITA - SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3 m e que tem área total de 80 m2 . O lado dessa base quadrada mede:a) 1 m b) 8 m c) 4 m d) 6 m e)16 m

13) Determine a área da base, área lateral, área total e o volume de um prisma regular hexagonal de 5cm de altura e de apótema da base.

14) (PUC - PR) O volume de um prisma hexagonal

regular de altura 4 m é 72 m3 . Calcule a área total do prisma em m2.

a) 36 b) 36 c) 48 d) 60 e) 72

15) (UFMG) A base de um prisma reto é um quadrado, cuja diagonal mede 4 cm. Se a diagonal do prisma mede cm , seu volume, em centímetros cúbicos, é:a) 16 c) e) 80b) d) 64

16) (Mackenzie-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de área lateral. Seu volume vale

a) 16 m3          d)

b) 32 m3          e) c) 64 m3

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17) (UERJ) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha área lateral de 204 cm2.

20) (ITA-SP) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em centímetro cúbico, é:a) c) 12 e) b) d)

21) Um prisma reto tem por base triângulos equiláteros de lado b. Calcule seu volume, sabendo-se que a área de cada face lateral é o dobro de uma das bases.

a) b3 b) c) d) e)

22) (ENEM) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído. Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir:

a) 4m b) 5m c) 6m d) 7m e) 8m

23) (UERJ/2012) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes.

Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a:a) b) c) d)

24) (UNESP SP) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa.

O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm3, desta caixa é:a) 4x3 – 60x2 + 200xb) 4x2 – 60x + 200c) 4x3 – 60x2 + 200d) x3 – 30x2 + 200xe) x3 – 15x2 + 50x

25) Determine o volume de um cubo, sabendo que a soma das distâncias de um ponto interno a desse cubo as suas faces vale 6 cm.

26) Calcule o volume do paralelepípedo retângulo cujas áreas de suas faces valem 6 m2, 10m2 e 15m2.

PIRÂMIDES V

a

g h

m l

Base: polígono qualquer contido no plano Vértice (V): ponto fora do plano Aresta da base ( l ): lado do polígono da baseApótema da base (m): segmento que liga perpen- dicularmente o centro ao lado do polígono da base

Aresta lateral (a): segmento que liga o vértice V aos vértices do polígono da base

Apótema da pirâmide (g): segmento que liga per- pendicularmente o vértice V ao lado do polígono da base

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Altura (h): distância entre o vértice V e o plano

De acordo com a base:Base triangular pirâmide triangularBase quadrangular pirâmide quadrangular

Pirâmide regularA base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.Relações métricas:

V h g g2 = h2 + m2

m Face lateral: V

a g

l a2 = g2 + l 2

Área da base ( A b )

A b = área do polígono da base

Área lateral ( A l )

A l = soma das áreas das faces laterais

Área total ( A t )

A t = A b + A l

Podemos entender que um prisma equivale a três pirâmides de volumes iguais.

Observe que P1 e P2 têm bases com medidas

iguais (ABC e A’B’C’) e mesma altura (AA’ e CC’). O mesmo acontece com P2 e P3 que têm bases BCD’ e

BC’C e alturas iguais (distância de A’ às bases). No caso de uma pirâmide qualquer, poderemos dividi-la em pirâmides triangulares e usar o raciocínio explicado anteriormente.Portanto:Vp1 = Vp2 = Vp3

Temos,Vp1 + Vp1 + Vp1 = Vprisma

3Vp1 = Vprisma

Vp1= Vprisma

Vpirâmide = 13

. AB . h

Secção paralela à base de uma pirâmide        Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que: as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão; a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes; as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Troncos          Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros:

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uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.          Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide      Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

Relações Importantes

TESTES

1) (UFPE/2007) Uma pirâmide tem base quadrada e faces laterais congruentes, como ilustrado a seguir. Se as arestas laterais da pirâmide medem 10cm, e a altura da pirâmide mede 8cm, qual o volume da pirâmide?

a) 190 cm3 c) 194 cm3 e) 198 cm3 b) 192 cm3 d) 196 cm3

2) (ESPM SP/2012) A figura abaixo, formada por uma pirâmide regular e um paralelepípedo reto-retângulo, representa um peso de papel feito de granito polido, em que as medidas são dadas em centímetros.

Se a densidade do granito utilizado é de 2 400 kg/m3, podemos afirmar que a massa desse objeto é aproximadamente igual aa) 77g b) 85g c) 93g d) 65g e) 59g

3) (Ufpe) Na figura abaixo o cubo de aresta medindo 6 está dividido em pirâmides congruentes de bases quadradas e com vértices no centro do cubo. Qual o volume de cada pirâmide?a) 36 b) 48 c) 54 d) 64 e) 72

4) (Unesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide seráa) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4.

5) (UEG GO/2011) A figura abaixo mostra uma vista parcial do Museu do Louvre em Paris, em cuja entrada foi construída uma enorme pirâmide de vidro que funciona como acesso principal. A pirâmide do Louvre, um projeto do arquiteto sino-americano Ming Pei, foi inaugurada em 1988 e está situada na praça central do museu. Trata-se uma pirâmide regular, de base quadrada e com lados medindo 35 m.

De acordo com os dados apresentados acima, calcule a altura da pirâmide.

6) (UFPel-RS/2007) A nanotecnologia de materiais tem como foco a construção de dispositivos e equipamentos invisíveis, mas muito eficazes. Um exemplo é o minimicrofone. O

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dispositivo tem tamanho inferior à espessura de um fio de cabelo, é formado por uma pirâmide de silício e capta sons com extrema acuidade. Já tem aplicações práticas como a comunicação entre pilotos e equipes em corrida.

Revista Veja Edição Especial, n 71, julho de 2006 [adapt.]

Considerando que o microfone da figura é uma pirâmide de base quadrangular com lado da base e apótema da pirâmide medindo, internamente,

, respectivamente, e que , é correto afirmar que esse

microfone, minúsculo como os demais itens do nanomundo, tem altura igual aa) . c) . e) .

b) . d) . f) I.R.

7) (UERJ) Leia os quadrinhos:

 Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

8) (PUC RJ) Uma pirâmide quadrangular regular tem volume 64 m3 e o lado da base é igual a 8m. Calcule a distância do centro da base a uma das faces laterais.

9) (UFES) Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada. Se o lado da base deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter capacidade para 720m3, qual deverá ser a medida aproximada do lado da base?a) 8,7m b) 12,0m c) 13,9m d) 15,0m e) 16,0m

10) (UFPR) Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 10 m de apótema. O seu volume é :a) 1152 m3 c) 96 m3 e) 48 m3

b) 288 m3 d) 384 m3

11) ( UECE ) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 6 cm e sua altura, 8 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

12) Uma pirâmide hexagonal regular de 21 cm de altura tem o apótema da base medindo 20 cm. Calcule a medida do apótema da pirâmide.

13) Uma pirâmide quadrangular regular tem 3 m de altura e 8 m de aresta da base. CalcuLe a área total e o volume desta pirâmide. 14) A aresta lateral de uma pirâmide regular quadrangular mede 13 cm e a aresta da base, 5

cm. Calcule seu volume.

15) Uma barraca com forma de pirâmide de base quadrada de 30 dm de lado pode ser vedada com quatro lonas triangulares de 25 dm de altura. Quantos litros de ar cabem na bar- raca ?

16) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Sabendo que a área lateral é o quíntuplo da área da base, calcule seu volume.

17) Qual o volume de uma pirâmide quadrangular regular, cujos apótemas da base e da pirâmide medem, respectivamente, 4cm e 5cm?

18) Qual a área lateral de uma pirâmide hexagonal regular, sabendo que o apótema da base mede 3cm e a altura da pirâmide mede 4 cm?

19) Seja α a medida do ângulo entre as faces de um tetraedro regular. Calcule cos

20) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12m3, qual a altura da pirâmide, em metros?

21) Considere uma pirâmide regular de altura 5cm e cuja base é formada por um quadrado de área igual a 8cm2. Qual a distância de cada face desta pirâmide ao centro de sua base?

22) (IFPR) A área total de um tetraedro regular de

aresta a é:

10

a) a2 b) c) 2 a2 d) 3 a2 e) 3 a2

23) (ACAFE - SC) Um tetraedro de 6 cm de aresta tem altura igual a:

a) 2 cm c) 2 cm e) 24 cm

b) 3 cm d) 6 cm

24) (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original?a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m.

25) (Fuvest) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e ‘ a medida do ângulo AGB, então cos‘ vale

  a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6

(UFRS) Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo de aresta 2. 

 O volume do octaedro éa) 2/3.b) 4/3.c) 2.d) 8/3.e) 10/3.

CILINDROConsidere dois planos, α e β, paralelos, um circulo de centro O e raio contido num deles, e uma reta r concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no circulo e no outro plano.

Qualquer segmento paralelo a r, com extremidades nas duas circunferências, é chamado geratriz do cilindro, e o segmento com extremidades nos centros O e O’ dos círculos é denominado eixo do cilindro. A distância entre os planos α e β é a altura h do cilindro.

Classificação dos cilindros:

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São classificados de acordo com o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases.

Cilindro reto;A geratriz (g) é perpendicular às bases.

Neste caso, a medida da geratriz é igual à altura (h), (g = h).

Obs.: Todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um dos seus lados. Por isso ele também é chamado de cilindro de revolução.

Cilindro oblíquo:A geratriz (g) é oblíqua às bases.

4. SecçõesSecção transversal: É obtida seccionando o cilindro por um plano paralelo à base. Essa secção é um círculo congruente à base.

Secção Meridiana: É obtida seccionando o cilindro por

um plano que contém o seu eixo.

Obs.: A secção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo. Se h = 2r, essa secção é um quadrado, nesse caso, dizemos que o cilindro é equilátero.

5. Áreas e volume de um cilindro:Planificando o cilindro (Fig. 1)

Teremos:

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Princípio de Cavaliere

Sejam S1 e S2 dois sólidos quaisquer e π

um plano. Se todo plano paralelo a π secciona os

dois sólidos segundo figuras de mesma área,

então esses sólidos tem o mesmo volume.

No cilindro, toda seção paralela à base, é

congruente com essa base. Esse fato, permite

concluir, pelo Princípio de Cavaliere, que o volume

do cilindro é o produto da área de sua base pela

sua altura.

Se o cilindro tem altura h e base de área A

contida em um plano horizontal, imaginamos um

prisma qualquer (ou em particular um

paralelepípedo retângulo) de altura h, com base

de área A contida no mesmo plano. Se um plano

horizontal secciona os dois sólidos segundo figuras

de áreas A1 e A2, então A1=A=A2 e por

consequência, os dois tem mesmo volume. Logo, o

volume do cilindro é também o produto da base

pela altura.

TESTES

1) (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm.

 Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da água no copo será de aproximadamentea) 8,5 cm. b) 8,0 cm. c) 7,5 cm. d) 9,0 cm.

2) (UFRN) Um fabricante de doces utiliza duas embalagens, X e Y, para acondicionar seus produtos. A primeira (X) tem formato de um cubo com aresta de 9 cm, e a segunda (Y) tem formato de um cilindro reto cujas medidas da altura e do diâmetro da base medem, cada uma, 10 cm. Sendo assim, podemos afirmar quea) a área total da embalagem Y é 3/5 da área total da embalagem X.b) o volume da embalagem Y é 3/4 do volume da embalagem X.c) a área total da embalagem X é menor que a área total da embalagem Y.d) o volume da embalagem X é menor que o volume da embalagem Y.

3) A área da seção meridiana de um cilindro eqüilátero é A. Sua área total é:

a) b) c) d) 3A e)

4) A razão entre as áreas totais de um cubo e do cilindro reto nele inscrito, nessa ordem, é:

a) b) c) d) e)

5) Num cilindro reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, a área de uma seção perpendicular às bases, contendo os centros destas é 64 m². Então a área lateral deste cilindro, em m², é:a) b) c) d) e)

6) Desenvolvendo a superfície lateral de um cilindro de revolução, obtém-se um quadrado de lado igual a . O volume do cilindro é:

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a) b) c) d) e)

7) (UNESP) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo:

Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é

a) 2 . b) 7. c) (7 )/3. d) 8. e) 8/3.

8) (ENEM-2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

O raio da perfuração da peça é igual a:a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm.d) 4 cm. e) 5 cm.

9) Determine o volume do sólido abaixo:

10) (UFRN) Para medir a altura real de um líquido num tanque cilíndrico, sobre uma superfície plana, utiliza -se uma vara de medição fixada como diâmetro na posição vertical, conforme ilustra a figura 1 . Após o tanque rolar por uma certa distância, constatou-se que a vara formava um

ângulo de 60º em relação à sua posição original (veja a figura 2).

Sabendo-se que o diâmetro do tanque é de 2m e que a marcação verificada na vara de medição é H = 30 cm, a altura real do líquido éA) 0,60 m. B) 0,65 m.C) 0,35 m. D) 0,40 m.

11) (UERJ) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura.

Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a:a) 10,6 b) 12,4 c) 14,5 d) 25,0

12) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras abaixo.

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Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, a quantidade preparada, em litros, foi de:

Use = 3,14a) 1,95 b) 1,64 c) 1,58 d) 1,19 e) 1,01

13) Considerem um retângulo ABCD e dois cilindros: um obtido girando-se ABCD em torno de AB e o outro em torno de BC. A razão entre a soma dos volumes dos dois cilindros e a área do retângulo, nessa ordem, é . O perímetro do retângulo é:a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

14) A área da base de um cilindro circular reto é cm² e sua área lateral é 250 cm ². O tempo

gasto para enchê-lo de água usando-se uma torneira de vazão 5 cm ³ / seg é, em segundos:a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100

15) Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos, como mostra a figura a seguir. Entre um copo e outro, existe uma divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o formato de um cilindro circular reto, com altura de 14cm e volume de 126 cm3. Com base nesses dados, pode-se dizer que o comprimento interno da caixa de papelão, em cm, será igual a: (use =3,14).

a) 36 b) 41 c) 12 d) 17 e) 48

16) Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e base com 20cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40cm, conforme indicado na figura.

Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobre 25%.Considerando igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a:a) b) c) d)

17) Carlos é um rapaz viciado em beber refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia de gás, onde

viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros de altura com uma base de 2 metros de diâmetro e pensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se ele estivesse cheio de refrigerante diet?”.Considerando = 3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet por dia, pose-se afirmar que ele consumirá o líquido do reservatório em um período de:a) 86 dias. c) 86 anos. e) 860 meses.b) 86 meses. d) 8,6 anos.

18) (UFRJ) A casa da Moeda está cunhando moedas de ouro de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm de raio?

19) (UFF) Um tonel de forma cilíndrica, cheio d’água, é inclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seu conteúdo. Se a altura desse tonel é o quádruplo do raio de sua base, pode-se afirmar que a razão entre a quantidade de água derramada e a quantidade de água que ainda ficou no tonel é:

20) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximando de π, então o preço dessa manilha é igual a:(A) R$ 230,40. (B) R$ 124,00. (C) R$ 104,16. (D) R$ 54,56.(E) R$ 49,60

21) (UFPE) Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3 m e área total igual a 20πm3. Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.

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22) (Ufal 2000) Na figura abaixo têm-se duas vistas de um tanque para peixes, construído em uma praça pública.

  Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura de 1,2m e raios da base medindo 3m e 4m. Se, no momento, a água no interior do tanque está alcançando 3/4 de sua altura, quantos litros de água há no tanque? (Use: = 22/7)a) 1.980 c) 6.600 e) 66.000b) 3.300 d) 19.800

23) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm × 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina:

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será:a) o triplo. c) igual. e) a terça parte.b) o dobro. d) a metade.

24) (UNESP) Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do cilindro fica multiplicado por :a) 16. b) 12. c) 8. d) 4. e) 4π.

CONES

– FORMAÇÃO DE UM CONE RETO

4.2 – SUPERFÍCIE LATERAL

4.3 – EXPRESSÕES Área de Base = r² Área Lateral = r g Área total = Al + Ab r (r + g)

Volume =

1) (UFSCAR-2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.

a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote

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b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?

2) (UFFRJ) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 m2, é de

a) 12m b) 10m c) 8m d) 6m e) 5m

3) (VUNESP) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm³ = 1 ml, e usando a aproximação = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente,a) 120.b) 150.c) 160.d) 240.

4) (UFRN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o desenho ao lado, no qual o tronco do cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm. O volume desse recipiente, em cm³ , é igual a:a) 216b) 208c) 224d) 200

5) (CESGRANRIO) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2

horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:

a) 2 h c) 1 h e) 30 minb) 1 h e 30 min d) 50 min

6) (UFRN) Um abajur em formato de cone equilátero está sobre uma escrivaninha, de modo que, quando aceso, projeta sobre esta um círculo de luz (veja figura ao lado). Se a altura do abajur, em relação à mesa, for H = 27 cm, a área do círculo iluminado, em cm2, será igual a:a) 243b) 270 .c) 250 .d) 225 .

7) (Ita) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm:a) 10/3 b) 7/4 c) 12/5 d) 3 e) 2

ESFERAS

5 – ESFERA SECÇÃO PLANA

OBS: Cunha e fuso Esférico

TESTES

1) (UFMG) A regia delimitada por uma esfera é interceptada por uma plano a 3 cm do centro dessa esfera. Se a área dessa intersecção é de 9

cm2 , o volume da região delimitada pela esfera, em cm3 é:

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a) 18 c) 72 e) 216

b) 36 d) 144

2) ( FUVEST - SP ) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3) (UFRN-2004) Um artista esculpiu a metade de uma esfera de pedra-sabão, transformando-a num cone, ilustrado na figura abaixo.

Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone esculpido também é R, calcule:A) o volume do cone esculpido;B) o volume do material retirado da metade da esfera para formar o cone.

4) (UFRN-2003) No final de um curso de Geometria, o professor fez um experimento para saber a razão entre os diâmetros de duas bolinhas de gude de tamanhos diferentes. Primeiro, colocou a bola menor num recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível da água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, colocando a bola maior, observou que o nível da água subiu 12,0 mm.O professor concluiu que a razão entre o diâmetro da bola maior e o diâmetro da bola menor é igual a A) 2 C) 6B) 3 D) 8

5) (IFRN) Uma formiga se desloca sobre uma superfície esférica de diâmetro 50 cm, do ponto A ao ponto B, conforme figura. O menor trajeto possível que a formiga pode percorrer tem comprimento:

A) m B) m C) m D) m

6) (UFBA) Um recipiente em forma de um cilindro circular reto, com dimensões internas de 20 u.c. de diâmetro e 16 u.c. de altura, está completamente cheio de argila que deverá ser toda usada para moldar 10 x bolinhas com 2 u.c. de raio. Calcule x.

7) (IFMG 2006) Considere uma bola de sorvete de 36 cm³ de volume e uma casquinha cônica de 3

cm de raio. A altura da casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu espaço, em cm, éa) 8 b) 9 c) 10 d) 12

8) (UFRS 2006) - Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo. Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas éa) 1/5. b) 1/4. c) 1/3. d) 1/2.

9) (Unesp 2007) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 53 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala). O volume do cilindro, em cm³, éa) 100 b) 200 c) 250 d) 500

10) (IFRN) Um recipiente em forma de cilindro com raio da base igual a 15 cm e altura 12 cm está completamente cheio de massa para fazer doces. O número de doces em forma de bolinhas de 3 cm de raio que se pode confeccionar utilizando toda a massa do recipiente é:A) 75 B) 225 C) 25 D) 125

10) (UINIRIO-2009) As fotos a seguir são de moradias indígenas. A foto 1 é uma moradia dos Marubos, grupo que habita o Vale do Javari (AM). A foto 2 é de uma moradia de uma aldeia Xavante no leste do Mato Grosso.

Foto 1: Delvair Montager, 1978. Foto 2: Rene Fuerst,1961Considere que ambas as moradias têm mesma altura e mesmo volume; que a moradia da foto 1 é um cone reto de base circular de raio r1 e a moradia da foto 2 é uma semi-esfera de raio r2 .

Nestas condições, determine o valor da razão .

11) Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a altura do cilindro.

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12) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 10 cm de aresta.

13) (UERJ) O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:

A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita, é:a) 3 b) (3)/2 c) (3)/3 d) (3)/4

13) (IFPR ) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma esfera, seu volume aumentará 252 cm3. O raio da esfera original mede, em cm:a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7

14) (UERJ) Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica, com tampa.As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura a seguir.

Calcule:a) a área total, em cm2, da superfície da embalagem;b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas.

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