Material Básico de Estudo Disciplina: Geometria Analítica...

Material Básico de Estudo

Disciplina: Geometria Analítica

Professor: Júlio César Tomio

Paisagem fractal com “Mandelbrot”

“Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender.” (Albert Einstein)

Acadêmico(a): _________________________________________________ Turma: _____________________________ Segundo Semestre de 2008. Instituto Superior Tupy

Sociedade Educacional de Santa Catarina – SOCIESC

Geometria Analítica Professor Júlio César Tomio

2

MENSAGEM PARA O(A) ACADÊMICO(A) Com satisfação, apresento este material que tem como finalidade dar suporte ao “curso” de Geometria Analítica que se estende durante a primeira fase de seu curso superior, e, conseqüentemente, auxiliar em futuras aplicações nas disciplinas subseqüentes que necessitarão dos conhecimentos e conceitos aqui trabalhados e desenvolvidos. A concepção deste, baseada na experiência de alguns anos de docência, também objetiva otimizar o processo de estudo, principalmente no ambiente de sala de aula. Esta obra almeja mediar com excelência o processo de ensino-aprendizagem da Geometria Analítica. Para tanto, contribuições em forma de crítica, sugestões ou correções serão calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecido caso você queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material. A realização de um curso superior é um fato muito importante em sua vida pessoal e profissional. Dedique-se! Faça tudo da melhor maneira que puder, pois desta forma você estará justificando um dos maiores (e também um dos melhores) investimentos que você já fez em você mesmo. Desejo que a sua vivência no ambiente acadêmico seja a melhor possível, e que a passagem por esta nova etapa de sua vida contribua para o seu engrandecimento profissional e pessoal (e também espiritual), possibilitando uma melhora significativa na sua qualidade de vida e também na daqueles que convivem próximos de você. Muita garra, e sucesso! Professor Júlio César Tomio. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (Comentadas) Este material foi produzido com base na bibliografia abaixo e também com contribuições minhas e de colegas professores. Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro. Apresento estas referências aqui, objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator de grande importância em qualquer estudo que se queira realizar.

• WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.

�� Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos na disciplina com uma linguagem bastante objetiva e acessível e também uma grande quantidade de exercícios (esse é o nosso livro texto).

• VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 7. ed. Curitiba: Unificado, s.d.

�� Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos na disciplina, porém com uma linguagem diferenciada do anterior. Este livro pode ser “baixado” na internet na íntegra. O endereço é: www.geometriaanalitica.com.br. Os livros abaixo, tanto quanto os anteriores, são ótimas fontes de consulta e também se encontram em nossa biblioteca. • STEINBRUCH, Alfredo. WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1987. • LEHMANN, Charles H. Geometria Analítica. 9. ed. São Paulo: Globo, 1998.

Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. (Provérbio chinês)


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ÍNDICE

•••• GEOMETRIA ANALÍTICA Sistemas de Coordenadas .................................................................................................................................... 04 Sistemas de Coordenadas Retangulares (ou Cartesianas) ................................................................................ 04

Sistemas de Coordenadas Unidimensional (ℝℝℝℝ1 ou E1) ........................................................................................ 05 Eixo Real (ou eixo das abscissas) .............................................................................................................................. 06

Estudo do Ponto no ℝ1 – Distância entre dois Pontos ................................................................................................. 06 Sistemas de Coordenadas Bidimensional ........................................................................................................... 07

Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 ou E2 ...................................................................................................... 07

Tópico Especial: Bissetrizes dos Quadrantes do ℝ2 ..................................................................................................... 08

Sistemas de Coordenadas Tridimensional .......................................................................................................... 09

Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝ3 ou E3 .................................................................................................... 09

•••• ÁLGEBRA VETORIAL Vetores ................................................................................................................................................................. 12 Introdução .............................................................................................................................................................. 12 Noções Básicas ........................................................................................................................................................ 12

Vetores no ℝ2 .......................................................................................................................................................... 14

Vetores no ℝ3 .......................................................................................................................................................... 17 Operações com vetores na forma algébrica ................................................................................................................ 18 Paralelismo de Vetores (colinearidade) ...................................................................................................................... 23 Cálculo do Módulo de um Vetor ................................................................................................................................ 24 Vetor Unitário .......................................................................................................................................................... 25 Versor de um Vetor .................................................................................................................................................. 27 Produto Escalar .................................................................................................................................................... 29 Definição Algébrica do Produto Escalar ...................................................................................................................... 29 Definição Geométrica do Produto Escalar ................................................................................................................... 29 Ângulo entre dois vetores ......................................................................................................................................... 29 Produto Vetorial ................................................................................................................................................... 33 Definição ................................................................................................................................................................. 33 Outras Aplicações do Produto Vetorial ....................................................................................................................... 34

Produto Misto ....................................................................................................................................................... 38 Definição ................................................................................................................................................................. 38 Interpretação Geométrica do Produto Misto ............................................................................................................... 38 Ângulos Diretores e Cosenos Diretores de um Vetor ......................................................................................... 41

Apêndice ............................................................................................................................................................... 44


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Referencial (origem)

x

A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu. (Jean Le Rond d'Alembert)

SISTEMAS DE COORDENADAS Um sistema de coordenadas pode ser considerado como um dispositivo organizado para posicionar e localizar com relativa precisão, pontos, objetos, partículas, pessoas, equipamentos, como um avião numa viagem intercontinental, por exemplo, entre outros.

Um simples mapa cartográfico ou um sofisticado GPS (Sistema de Posicionamento Global) são exemplos, entre outros, de aplicações de sistemas de coordenadas.

Nosso estudo estará concentrado no sistema de coordenadas cartesianas (retangulares) de duas e três dimensões, por ser o sistema mais difundido. Entretanto, em alguns casos, torna-se melhor a utilização de outros modelos de sistema.

Podemos classificar os principais sistemas de coordenadas em:

Unidimensional: 1R Real Reta ou Eixo →•

Bidimensional:

•

→•

Polar

RCartesiano ou Retangular 2

Tridimensional:

•

•

→•

Esférico

Cilíndrico

RCartesiano ou Retangular 3

Matematicamente é possível se trabalhar com sistemas de coordenadas com mais de 3 dimensões, como por exemplo, o R4, onde poderíamos considerar a 4ª coordenada como sendo o tempo, entretanto sua representação gráfica ficaria restrita a somente 3 dimensões. Desta forma, poderemos criar um espaço Rn, onde as várias coordenadas podem assumir outros valores de interesse. SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES (OU CARTESIANAS) Como nosso estudo estará baseado principalmente no sistema de coordenadas retangulares, vamos considerar algumas situações para melhor exemplificar a utilização dos sistemas de coordenadas, quanto às dimensões necessárias para cada caso. Vejamos a seguir: 1) Posição de um pistão no cilindro de um motor O desenho abaixo representa de forma bastante simplificada, um pistão num cilindro de um motor de combustão interna. Considere que seja de interesse a posição deste cilindro durante o funcionamento do motor. Observe que o sistema trabalha com uma dimensão, ou seja, para determinarmos a posição exata do pistão, necessitamos de apenas uma coordenada, considerando um referencial dado. Matematicamente, podemos escrever a posição “P” do pistão com a medida “x” → P (x). A medida “x” é dita coordenada do ponto P, ou ainda, abscissa do ponto P.

Sistema de Coordenadas Unidimensional


5

2) Posição de uma bola de sinuca numa mesa O desenho abaixo apresenta uma visão superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a posição da bola branca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfície de jogo da mesa).

Observe que o sistema trabalha com duas dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos de duas coordenadas, considerando um referencial dado.

Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x” e “y” → P (x , y). As medidas “x” e “y” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P e “y” é a ordenada do ponto P. 3) Posição de uma bola de basquete numa quadra (em jogo) Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja de interesse a posição da bola em qualquer momento do jogo. Observe que o sistema trabalha com três dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos de três coordenadas, considerando um referencial dado.

Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x”, “y” e “z” → P (x , y , z). As medidas “x”, “y” e “z” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P, “y” é a ordenada do ponto P e “z” é a cota do ponto P.

SISTEMAS DE COORDENADAS UNIDIMENSIONAL (ℝℝℝℝ1 ou E1) Vamos fazer um breve estudo sobre este sistema de coordenadas, que na verdade dará origem aos outros que veremos em

seguida (ℝ2 e ℝ3, sendo este último o nosso campo de maior interesse). Nas rodovias podemos observar no acostamento pequenas placas chamadas de “marcos quilométricos”. Elas determinam a sua posição na rodovia a partir de um referencial (origem), o “quilômetro zero”, que numa rodovia federal, localiza-se na divisa de um estado com o outro. Apesar da rodovia não ser uma linha reta, podemos dizer que os marcos quilométricos correspondem a um sistema de coordenadas unidimensional, pois com uma única informação quilométrica poderemos determinar a posição de um veículo com problemas mecânicos, por exemplo. Matematicamente, teremos:

Referencial (origem) y

x

z

Referencial (origem)

y

x

• °

Sistema de Coordenadas Bidimensional

Sistema de Coordenadas Tridimensional


6

d(A,B) = | xB – xA |

Eixo Real (ou eixo das abscissas) origem A B C D E F G ⊕ – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 1 uc Obs.: uc → unidade de comprimento

Temos que a abscissa (ou coordenada) do ponto A é – 4. Podemos escrever então: A ( )4− .

Daí, temos que: B

−5

17, C ( )2− , D

3

8, E ( )4 , F ( )5 e G ( )7 .

• Estudo do Ponto no ℝℝℝℝ1 Distância entre dois Pontos:

No caso do ℝ1, torna-se simples determinarmos a distância entre dois pontos. Veremos intuitivamente através de algumas perguntas... a) Qual a distância entre os pontos F e E? Resposta: 1 uc b) Qual a distância entre E e G? Resposta: 3 uc c) Qual a distância entre A e F? Resposta: 9 uc, que podemos escrever d(A,F) = 9 uc d) Qual a distância entre B e D?

Antes de responder esta pergunta, faremos uma generalização matemática. Veja: Logo:

↳ ↳ ↳ ↳ Distância entre dois pontos na reta ℝ1, ou comprimento do segmento de reta AB.

Obs.: Note que d(A,B) = d(B,A). Veja:

d(P,Q) = | xP – xQ | ou d(Q,P) = | xQ – xP | d(P,Q) = | – 6 – 7 | d(Q,P) = | 7 – (– 6) | = | 7 + 6 | d(P,Q) = | – 13 | d(Q,P) = | 13 | d(P,Q) = 13 uc d(Q,P) = 13 uc

Observe que a distância entre dois pontos quaisquer é sempre um valor absoluto, ou seja, positivo. Agora, podemos retornar a pergunta ”d”, que ficou em aberto, e respondê-la: d) Qual a distância entre B e D?

• • x

xA xB

A B

d(A,B)

• • x

– 6

P Q

0 7 •

• • • • • • • • • • • • ↓

•

5

17−

2

1−

• •

3

8 14159265,3≅π

•

2

•


7

Então temos:

BD xxDBd −=),( 15

91),(

−=DBd

3

8

5

17),( −−=DBd

15

91),( =DBd

15

4051),(

−−=DBd ucDBd 07,6),( ≅

Observação:

Segmento de reta AB → AB

Semi-reta (partindo de A)

Reta (elemento infinito) Para refletir: Verdadeiramente, o que mais prazer me proporciona, não é o saber mas o estudar; não a posse mas a conquista; não o estar aqui mas o chegar além. (Carl F. Gauss)

SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL

Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝℝℝℝ2 ou E2 O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano é formado por dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas quadrantes. O eixo “x” também é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas.

A intersecção dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado origem → (0 , 0). Cada ponto neste plano é determinado por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as coordenadas de um ponto.

Façamos então a marcação dos pontos: A(7, 5) B(–7, 5) C(–3, –5) D(6, –2) E(8, 0) � F(–5, 0) G(0, 8) � H(0, –3) O(0, 0) → origem do sistema Observações: � Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0). � Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y).

A B

A

y

x

1º Q. 2º Q.

3º Q. 4º Q.

origem

1 2 3 4 5 6 7 8 9


8

• Tópico Especial:

Bissetrizes dos Quadrantes do ℝℝℝℝ2 Veja os casos: A(4, 4) C(–3, 3) B(–3, –3) D(4, – 4) Genericamente Genericamente (p , p) (p , –p) ou (–p , p)

• Os pontos (x, y) do plano, onde x = y, ou seja, de coordenadas iguais, definem uma reta denominada bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes → b1,3), cuja equação evidentemente é y = x. • Já os pontos (x, y) do plano, onde x = – y (ou y = – x), ou seja, de coordenadas opostas, definem uma reta denominada bissetriz dos quadrantes pares (2º e 4º quadrantes → b2,4), cuja equação evidentemente é y = – x.

EXERCÍCIOS – Sistema Cartesiano Ortogonal

1) Observando a peça plana ao

lado, determine as coordenadas

dos pontos A, B, C, D,..., M e N,

considerando: a) a origem no ponto A;

b) a origem no centro da

peça ( ).

2) Calcule o valor de “m” de modo que o ponto Q(m2 + 5 , 6m) pertença à bissetriz do 2º e 4º quadrante.

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1) Veja tabela abaixo: 2) m = –1 ou m = – 5 A B C D E F G H I J L M N a (0,0) (0,20) (20,40) (20,55) (40,80) (80,80) (80,60) (120,60) (120,20) (100,0) (60,0) (60,10) (25,0) b (-60,-40) (-60,-20) (-40,0) (-40,15) (-20,40) (20,40) (20,20) (60,20) (60,-20) (40,-40) (0,-40) (0,-30) (-35,-40)

20 20 40

25 35 40

120

20

20

25

15

20

20

40

10

A

B

C

D

E F

G H

I

J L

M

N •

y

x

b1,3

4

–3

–3

4

45º

A

B

••••

y

x

b2,4

135º

3

–3 ••••

4

– 4

C

D


9

O

x

y

z

SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝℝℝℝ3 ou E3

Consideramos como sendo o espaço cartesiano ℝ3 (ou E3), o conjunto dado por três eixos reais perpendiculares dois a dois, denotados por “x” , “y” e “z”, que se interceptam em uma origem (ponto O), com orientação conforme abaixo:

z (eixo da cotas)

O

y (eixo das ordenadas)

x (eixo das abscissas)

Os três planos do ℝ3: yOz, xOy e xOz, geram oitos regiões (sub-espaços) chamadas de octantes (ou oitantes) que podem ser observados na figura acima e a direita. Os valores reais contidos nos três eixos estão ordenados de forma crescente conforme indicação das setas dos respectivos eixos. No espaço tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de números reais (x , y , z), associamos um único ponto; assim:

zP P (xP , yP , zP)

yP

xP Observação: Origem → O (0 , 0 , 0) Máquinas operatrizes, sistemas automatizados e sistemas de robótica utilizam, na sua grande maioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como no exemplo da fresadora ao lado: Por questões técnicas, as posições dos eixos coordenados podem diferir das usadas no estudo científico (na geometria analítica e outras áreas de aplicabilidade da matemática). Na figura vemos os “eixos de deslocamentos” de uma fresadora.

x y

z

. . .


10

Para melhor exemplificação, tomemos o paralelepípedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3).

Com base na figura ao lado, e levando em consideração que um ponto qualquer (x , y , z) está no: → eixo “x” quando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0); → eixo “y” quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0); → eixo “z” quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3); → plano “xy” quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0); → plano “xz” quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3); → plano “yz” quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3).

Ao lado podemos observar uma representação usual de dois pontos (e suas coordenadas) para um sistema cartesiano de uma máquina operatriz com CNC (comando numérico computadorizado). Vale observar que, neste caso, temos os eixos x, y e z em posições diferentes daquelas que farão parte de nosso estudo. Este fato não interfere no entendimento da posição dos pontos, pois mesmo assim, a marcação e identificação dos pontos são processos análogos aos que estudamos aqui. Para marcar um ponto no espaço, como por exemplo, o ponto A(3 , –2 , 4), sugerimos o seguinte procedimento: 1º) marca-se o ponto A’(3 , –2 , 0) no plano “xy”; 2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo “z”, 4 unidades para cima (se fosse – 4, seriam 4 unidades para baixo) para se obter então o ponto A desejado. A figura ao lado ilustra este procedimento.

EXEMPLOS:

1) Considerando os pontos P(0, –3, –2) e Q(4, 3, 7), localize-os no sistema

de coordenadas cartesianas ℝ3 e faça a representação do segmento PQ . Assim sendo, temos a representação ao lado:

(desenho fora da escala)

Para refletir: A receita para a ignorância perpétua é permanecer satisfeito com suas opiniões e contente com seus conhecimentos.

(Elbert Hubbard)

E D

P F

A B

C O

4 2

3

y

z

x

x

y

z

P

Q

4

3

7

–3

–2

•


11

2) Construa dois sistemas de coordenadas ℝ3 e localize os pontos A(2, 4, –3) e B(–3, 5, 4) separadamente.

EXERCÍCIOS

1) Observando a figura ao lado, determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P.

A( , , )

B( , , ) E( , , )

C( , , ) F( , , )

D( , , ) P( , , )

2) Seja a pirâmide de base OABC e P o seu vértice superior. Dados O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) e P(1, 1, 9), faça a representação geométrica da pirâmide e especifique o formato da base da pirâmide e também sua altura.

3) Representando os pontos A(10, –2, –2), B(2, 0, – 4) e C(4, –2, 4) num ℝ3 e ligando-os, temos o triângulo ABC. Faça a representação gráfica e diga se é possível determinar o tipo de triângulo em questão, quanto aos seus lados e quanto aos seus ângulos?

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1) A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5) 2) A base da pirâmide é quadrada tendo lado com 2 uc e altura igual a 9 uc.

3) Neste caso, graficamente não é possível determinar com segurança o tipo de triângulo (em relação aos lados e

aos ângulos), pois a perspectiva aqui utilizada não permite tal verificação e mesmo utilizando uma escala

conveniente, algumas medidas não aparecem na sua verdadeira grandeza. Entretanto, algebricamente (ou

analiticamente) é possível determinarmos com precisão absoluta o tipo de triângulo. As medidas dos lados do triângulo

podem ser calculadas através da fórmula da distância entre dois pontos A e B no espaço dada por: 222 )()()( ABABABAB zzyyxxd −+−+−= e através destas medidas conhecidas, utilizando-se do Teorema de

Pitágoras, podemos classificar o triângulo quanto aos seus ângulos. Assim sendo, veremos que o triângulo ABC é

EQÜILÁTERO, pois ucCABCAB 2672 ==== e desta forma também é ACUTÂNGULO, pois tem os seus ângulos

internos iguais a º60 . Em breve, poderemos calcular com precisão cada um dos 3 ângulos internos do triângulo através do

conceito de “produto escalar”. Para refletir: Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. (Jacques Chapellon)

C D

P B

A F

E O

7 3

5

y

z

x


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VETORES – Introdução Antes de tratarmos propriamente de vetores, precisamos identificar aquilo que chamamos de grandezas físicas. Na matemática e em outras ciências ditas “exatas”, só podemos equacionar e quantificar situações que envolvem grandezas físicas, ou seja, aquelas que, no mínimo, podem ser associadas a uma escala de medida conhecida, como a distância entre a sua casa e a padaria mais próxima, por exemplo. Essa distância pode ser dada em metros, quilômetros, ou ainda, em uma outra escala que possa ser conveniente. As grandezas físicas podem ser divididas em escalares ou vetoriais. Veja o esquema abaixo:

+

•

+•

Sentido-

Direção-

unidade)(númeroMódulo -

Vetoriais

unidade)(númeroMóduloEscalares

FísicasGrandezas

a

• Exemplos de grandezas físicas escalares: Distância, tempo, massa, temperatura. • Exemplos de grandezas físicas vetoriais: Velocidade, aceleração, força, torque (momento). Com o crescimento da tecnologia e da área industrial, tornou-se crescente a necessidade de equacionar situações que envolvessem grandezas vetoriais. Nesse momento, surge o conceito de vetor, possibilitando estudar fenômenos ligados a tais situações. VETORES – Noções Básicas Conceito:

O “vetor” pode ser definido de várias maneiras: � É um ente matemático utilizado para representar grandezas físicas vetoriais. � É uma tripla constituída de uma direção, um sentido e um número não negativo (módulo). � É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento. Representações e Notações: Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. (Lair Ribeiro)

A

B

y

x

extremidade do vetor

�� origem do vetor

�� vr

||vr

� módulo do vetor (depende de escala)

0


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Um vetor normalmente é representado por uma letra minúscula com a indicação de uma “flechinha” sobre ela. No caso acima temos o vetor v

r que também pode ser representados pelos pontos que o definem. Então:

ABv =r Podemos observar que: A + vr= B ∴∴∴∴ v

r= B – A Resumindo, temos: ABABv −==r

Os vetores v ′r , v ′′r e v ′′′r são imagens geométricas ou representantes de v

r. Isto quer dizer que os vetores v ′r , v ′′r e

v ′′′r têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido, portanto vr= v ′r = v ′′r = v ′′′r . Diante do exposto, um vetor pode

ser chamado de vetor livre, pois se mantivermos seu módulo, direção e sentido, podemos transladá-lo de uma posição para outra sem perder sua referência. Detalhando, temos: Módulo (intensidade, norma ou comprimento): � Determina a magnitude da grandeza que esta sendo representada pelo vetor, ou seja, é um número real não negativo acompanhado de sua unidade. Geometricamente, o módulo é o comprimento do vetor (segundo uma escala adequada de desenho).

Módulo do vetor vr: |AB||AB||v| −==

r

Direção: � É a reta suporte de atuação do vetor. A direção pode ser vertical, horizontal ou oblíqua. Quando a direção é oblíqua, normalmente está associada a um ângulo de referência. Sentido: � Para cada direção sempre teremos 2 sentidos. Por exemplo, se a direção for vertical, o sentido poderá ser para cima ou para baixo. Exemplos:

=

cimapara:sentidovertical:direção

N150|f|:módulo

:f

r

r

=

baixopara:sentido

horizontalacomº160:direçãos/cm26|v|:módulo

:v

r

r

A

B

vr

||vr

� módulo do vetor (depende de escala)

fr

vr

160º

y

x 0

vr

v ′′′r

v ′′r

v ′r


14

EXERCÍCIO

1) Considerando o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, e sendo O é ponto de interseção das diagonais deste losango, decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

D H C

E G

A F B Observação:

// → paralelo ⊥ → perpendicular

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) V 1b) F 1c) V 1d) V 1e) F 1f) F 1g) V 1h) V 1i) V 1j) F 1k) V 1l) V 1m) V 1n) F 1o) V

Vetores no ℝℝℝℝ2 Considere os pontos O(0 , 0), P(4 , 3), A(5 , 5), B(9 , 8), C(– 4, –6) e D(0, –3) no Sistema Cartesiano Ortogonal. Desta

forma, podemos considerar também os vetores: OPv =r , ABw =r e CDu =r . Representando-os no plano, temos:

Lembre-se que um vetor tem infinitos representantes, sendo estes de mesmo módulo, direção e sentido. Então podemos

afirmar que uwvrrr == ou que CDABOP == . Dentre estes vetores, o que melhor caracteriza-os é o vetor OPv =r .

O vetor vr também é chamado de vetor posição ou representante natural dos vetores AB ou CD , pois é aquele que

tem sua origem coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal. Tomando um vetor qualquer definido por dois pontos A e B , podemos escrever:

),(),( AABB yxyxABAB −=−= . Daí tem-se que: ),( ABAB yyxxAB −−= . Então, considerando os vetores mencionados anteriormente, podemos fazer:

OPv =r ABw =r CDu =r

OPv −=r ABw −=r CDu −=r

)0,0()3,4( −=vr

)5,5()8,9( −=wr

)6,4()3,0( −−−−=ur

)03,04( −−=vr

)58,59( −−=wr

)63,40( +−+=ur

)3,4(=vr

)3,4(=wr

)3,4(=ur

C

x

y

– 4

– 3

– 6

4 5 9

3

O

8

P

A

B

D

5

vr

wr

ur

a) OGEO = f) COEH −=− k) OC//AO

b) CHAF = g) |BD||AC| = l) OHAB ⊥

c) HGDO = h) |DB|21

|OA| = m) CBEO ⊥

d) |BO||OC| −=− i) CD//AF n) HFAO ⊥

e) |DH||OH| −=− j) HG//GF o) FEOB −=

O •


15

Pode-se observar que as igualdades uwvrrr

== e CDABOP == vistas anteriormente, confirmam-se algebricamente. Formalizando, podemos dizer que dados dois vetores )y,x(m 11=

r e )y,x(n 22=

r, eles serão iguais [ nm

rr= ] se, e

somente se, 21 xx = e 21 yy = (Igualdade de vetores). Isto dará garantia de que estes vetores terão mesmo módulo,

direção e sentido. A forma )y,x(v =

r é dita expressão analítica do vetor v

r e determina que o vetor no plano é um par ordenado de

números reais com sua extremidade no ponto )y,x( e sua origem coincidindo com a origem )0,0( do Sistema

Cartesiano Ortogonal . Também se utiliza em alguns casos, a seguinte notação para um vetor: y,xv =r

.

Versores de um Sistema de Coordenadas: Ainda se tratando do Sistema Cartesiano Ortogonal, convencionou-se que

ir

e jr

, nesta ordem, são os versores dos eixos cartesianos x e y, tendo estes versores, origem no ponto )0,0(O .

Desta forma temos: )0,1(i =r

e )1,0(j =r

sendo que 1|j||i| ==rr

.

Estes vetores ir

e jr

formam o que chamamos de base do plano, esta em especial é dita Base Canônica. Isto quer dizer

que podemos escrever qualquer vetor no plano, de forma única, através da combinação linear dos versores ir

e jr

. Observação: Qualquer conjunto ordenado de dois vetores não paralelos constitui uma base no plano. Na prática, as bases mais utilizadas são as ortogonais (ortonormais). Escrevendo um vetor utilizando uma combinação linear:

Multiplicando ir

por 4 e jr

por 3, teremos os vetores i4r

e j3r

, que estão representados no plano ao lado.

Observe que, se adicionarmos (método do paralelogramo) os

vetores i4r

e j3r

, teremos como resultante o vetor vr, e por isso,

podemos escrever o vetor vr como combinação linear dos

vetores ir

e jr

. Então escrevemos: j3i4vrrr

+= , ou ainda,

)3,4(v =r

como vimos anteriormente.

Generalizando, teremos: jyix)y,x(vrrr

+== Acima temos: j3i4)3,4(vrrr

+==

Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ2, temos:

)3,2(j3i2a −=−=rrr

)5,6(j5i6b −=+−=rrr

==27

,0j27

crr

0),(4i4e ==

rr

y

x ir

jr

O

y

x i4r

j3r

O

vr

P

)2,4(i4j2d −−=−−=rrr

y

x 4

2

–3

– 6

5

7/2

– 4

–2

ar

br

cr

dr

er


16

EXEMPLO:

1) Dados os pontos A(–1,– 4), B(1, –7) e C(5, 2), represente no Sistema Cartesiano Ortogonal abaixo:

a) o vetor BA ;

b) o vetor ur, que é o vetor posição de BA ;

c) o vetor ur com origem no ponto C.

EXERCÍCIOS

1) Representar graficamente o vetor AB e o correspondente vetor posição vr para cada um dos casos abaixo:

a) A(–1 , 3) e B(3 , 5) b) A(–1 , 4) e B(4 , 1) c) A(4 , 0) e B(0 , –2) d) A(3 , 1) e B(3 , 4) 2) Qual o ponto inicial A do “segmento orientado” (vetor) representado pelo vetor posição )3,1(v −=

r, sabendo que sua

extremidade está no ponto B(3, 1). Represente graficamente vetor vr e o “segmento orientado” em questão.


1a) vr= (4, 2) 1b) v

r= (5, –3) 1c) v

r= (– 4, –2) 1d) v

r= (0, 3) 2) A(4, –2)

Particularidades dos Vetores: • Vetor Nulo (ou zero):

Representação: 0r

ou AA . Desta forma temos:

=

definidonão:sentidodefinidanão:direção

0|0|:módulo

:0

r

r

A seguir, exemplificamos uma situação onde surge o vetor nulo. Considere (no esquema ao lado) um certo bloco rígido sobre

uma superfície plana sem atrito e que: N132|f||f| 21 ==rr

Observando a situação, podemos escrever o vetor resultante Rr

, da aplicação dos vetores 1fr

e 2fr

:

21 ffRrrr

+= ∴∴∴∴ 0Rrr

=

Observação: as forças 1fr

e 2fr

se “anulam”, pois tem mesmo módulo e direção, mas sentidos contrários.

☺☺☺☺ Esquentando o Processador!

Abaixo, dois “probleminhas” para você utilizar toda a sua capacidade de processamento...

1) Se a metade de XII não é seis, então quanto é? 2) O pai do padre é filho de meu pai. O que sou do padre?

x

y

2fr

1fr


17

z

y

x

ir

jr

kr

• Vetor Oposto:

A cada vetor 0vrv

≠ corresponde um vetor oposto vr

− , de mesmo módulo e direção, porém, de sentido contrário. Daí, concluímos que:

Se o vetor oposto de vr é o vetor v

r− , então o vetor oposto de AB é o vetor AB− , que pode ser escrito BA .

Analiticamente, podemos notar que o vetor 2),(3t −=

r é o vetor oposto de 2)3,(w −=

r e vice-versa. Veja a representação

gráfica abaixo:

Então: wtrr

−= ou twrr

−= . É importante lembrar que:

|w||t|rr

= , porém wtrr

≠ .

Vetores no ℝℝℝℝ3

As definições e conclusões relativas ao ℝ3, dar-se-ão de forma análoga ao que vimos até então para o ℝ2. Sendo assim: • Vetor definido por dois pontos:

Um vetor definido por dois pontos A e B será:

)z,y,x()z,y,x(ABAB AAABBB −=−= . Daí tem-se que: )zz,yy,xx(AB ABABAB −−−=

• Igualdade de vetores:

Dados dois vetores )z,y,x(v 111=r

e )z,y,x(w 222=r

, 212121 zzeyyexxwv ===⇔=rr

.

Isto garante que os vetores em questão terão mesmo módulo, direção e sentido.

• Versores da Base Canônica:

Os versores que formarão a base canônica serão: ir

, jr

e kr

.

Sendo que: 1|k||j||i| ===rrr

onde

)0,0,1(i =r

, )0,1,0(j =r

e )1,0,0(k =r

Daí tem-se que: kzjyix)z,y,x(vrrrr

++==

A

B

vr

A

B vr

−

y

x

3

2

0 tr

P

–3

–2

wr

Q


18

z

y

x

Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ3, temos:

)1,3,2(kj3i2a −=+−=rrrr

)6,0,3(k6i3b −=+−=rrr

0)1,1,(jid −−=−−=rrr

)3,0,5(i5k3f −=−=rrr

)3,1,5(i5k3jg −=++−=rrrr

OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA Os vetores podem ser operados em suas formas geométricas (através de suas representações em desenho). Porém, se estas operações forem realizadas algebricamente (analiticamente), teremos precisão absoluta dos resultados e maior quantidade de informações (módulo, direção e sentido), principalmente quando os vetores se encontram num espaço tridimensional. Vejamos:

Dados os vetores )z,y,x(v 111=r

e )z,y,x(w 222=r

e um número ∈n ℝ, define-se:

Adição de vetores: )zz,yy,xx(wv 212121 +++=+rr

Obs.: )zz,yy,xx()w(vwv 212121 −−−=−+=−rrrr

Multiplicação de um escalar (número real) por um vetor: )n.z,n.y,(n.xvn. 111=r

Obs.: para situações em que os vetores se apresentam no ℝ2, apenas desconsiderar a coordenada “z”. EXEMPLOS:

1) Considere o vetor PQw =r

sendo que P(2, 3, 4) e Q(–2, 3, 5). Determine o vetor w4r

− .

)4,0,0(k4e −=−=rr

−=−=23

,5,0k23

j5crrr


19

2) Considerando os vetores ji3urrr

−= e 0)2,1,(v −=r

, determine o vetor tr

de modo que: tu2t31

)vu(4rrrrr

−=+− .

3) Dados os pontos A(2, –2, 1) e B(1, 3, 5) e o vetor )4,0,1(w −=r

, determine o vetor: AB)BA(3w2 −−−r

Resolução:

• Inicialmente chamaremos de R o vetor solicitado. Então: =R ABBAw −−− )(32r

• Organizando... =R )(332 ABBAw −−+−r

=R ABBAw +−+− 332r

=R ABw 222 −+r

• Substituindo o vetor wre os pontos A e B ... =R )1,2,2(2)5,3,1(2)4,0,1(2 −−+−

• Multiplicando os valores... =R )2,4,4()10,6,2()8,0,2( −−+−

=R )2,4,4()2,6,4( −−

• Enfim, temos o vetor solicitado: =R )0,10,0(

4) Encontrar o vértice oposto à B, no paralelogramo ABCD, sabendo que A(–3, –1, 0), B(4, 2, 0) e C(5, 5, 0). Esquentando o Processador! Qual o valor do número “x” na seqüência: { 2 , 10 , 12 , 16 , 17 , 18 , 19 , x } ?


20

EXERCÍCIOS

1) Dados os vetores )1,3(u −=r

e )2,1(v −=r

, determine o vetor tr

de modo que: )u3t4(2)uv2(t3rrrrr

−=−− . 2) Dados os pontos A(–1 , 3), B(2 , 5), C(3 , –1) e O(0 , 0) determine os vetores:

a) ABOA − b) BCOC − c) CB4BA3 − 3) Dados os pontos A(3 , – 4) e B(–1 , 1) e o vetor )3,2(v −=

r, calcule os vetores determinados por:

a) v2)AB(r

+− b) v)BA(r

−− c) )AB(2B −+ d) )BA(2v3 −−r

4) Determinar o vetor vr, sabendo que: (3, 7, 1) + 2 v

r = (6, 10, 4) – v

r.

5) Dados os pontos A(2, –2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor )4,3,1(v −=

r, calcular:

a) A + v3r b) (A – B) – v

r c) B + 2(B – A) d) v2

r – 3(B – A)

6) Dados os pontos A(3, – 4, –2) e B(–2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB, tal que AB52AN = .

7) Dados os pontos A(1, –2, 3), B(2, 1, – 4) e C(–1, –3, 1), determinar o ponto D tal que 0CDABr

=+ . Em seguida

representar os vetores posição de AB e CD no ℝ3. 8) Sabendo que w2v4u3

rrr=− , determinar “a”, “b” e “c”, sendo u

r= (2, –1 , c), v

r= (a , b –2 , 3) e w

r= (4 , –1 , 0).

9) Dados os vetores )1,3,2(u −=

r, )1,1,1(v −=r

e )0,4,3(w −=r

;

a) determinar o vetor xr de modo que w2x4xvu3

rrrrr+=+− ;

b) encontrar os números 1a , 2a e 3a tais que )5,13,2(wavaua 321 −−=++rrr

.

10) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD e representar este paralelogramo no ℝ3. Considere 2 casos: a) A(–1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C(3, –2, 5) b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5) 11) Sendo A(2, –5, 3) e B(7, 3, –1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD, e M(4, –3, 3) o ponto de intersecção das diagonais, determinar os vértices C e D.


1)

−

5

11,

5

23 2a) (– 4, 1) 2b) (2, 5) 2c) (–5, –30) 3a) (–8, 11) 3b) (6, –8) 3c) (–9, 11) 3d) (–14, 19)

4) vr= (1, 1, 1) 5a) (5, 7, –9) 5b) (0, –6, 2) 5c) (–1, 7, 9) 5d) (5, –3, –14) 6) N

−−5

6,2,1 7) D(–2, –6, 8)

8)2

1a −= ,

4

7b = , 4c = 9a)

−=3

4,

3

2,

3

11xr

9b) 1a,3a,2a 321 =−== 10a) D(1, –3, 6) 10b) D(2, 1, 3)

11) C(6, –1, 3) e D(1, –9, 7)

Multiplicação de um vetor por um escalar Considere o vetor w

r= (–2, 1) no Sistema Cartesiano Ortogonal.

a) Determine o vetor v

r de modo que w3v

rr= .

b) Determine o vetor tr

de modo que w2trr

−= .

c) Determine o vetor ur de modo que w

21

urr

= .

d) Represente os vetores wr, vr, tr

e ur no ℝ2.

x

y


21

Observação: Através do exemplo anterior podemos formalizar o conceito de multiplicação de um vetor por um escalar.

• Quando multiplicamos um número real “n” por um vetor 0vrv

≠ , temos um novo vetor “ vnr”, sendo que:

⇒<⇒>

=

=

vdecontráriosentidotemvn0nse

vdesentidomesmootemvn0nse:sentido

vdemesmaa:direção

|v|.|n||vn|:módulo

vn

rr

rr

r

rr

r

EXEMPLOS – Vetor Resultante 1) Considere uma bóia B (na origem) flutuando num lago de águas calmas e que os vetores i40t

rr−= e v

r= (0, –30)

representam duas forças (em N) aplicadas simultaneamente na bóia em questão. Determine a força resultante aplicada e

represente esquematicamente a situação no ℝ2 ao lado. Para este caso: | R

r| = 50 N

Observe que: vwwvrrrr

+=+ (propriedade comutativa da adição)

2) Dados os vetores vr= (4, –1), j5iw

rrr+= e 1)1,(t −−=

r,

determine o vetor Rr

sabendo que twvRrrrr

++= , e faça a

representação desses no ℝ2 ao lado. Esquentando o Processador!

Quais os valores dos números “x” e “y” na seqüência: { 1 , 1 , 2 , 6 , 24 , x , y } ?

Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. (Sócrates)

x

y

x

y

B •


22

C

A B

M N

EXERCÍCIOS – Vetor Resultante 1) Com base na figura abaixo, determine os vetores pedidos, expressando-os com origem no ponto A. D H C

E G

A F B

a) CHOC + c) AFAE 22 + e) BGEO + g) EHBC +2

1 i) HOOG −

b) FGEH + d) EFEH + f) OCOE 22 + h) FGFE + j) AOFOAF ++

2) Nos cubos abaixo, represente a soma dos vetores indicados:

a) b) 3) No hexágono regular ao lado, obter o vetor resultante de: a) (B – A) + (E – F) + (F – A) expressando-o com origem no ponto A

b) (D – A) – (E – A) + (E – B) expressando-o com origem no ponto B

c) (C – D) + (F – B) – (A – B) expressando-o com origem no ponto F

d) (C – A) – (C – E) + (B – C) expressando-o com origem no ponto C 4) Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos):

a) A(4, –1, 1), B(9, – 4, 2), C(4, 3, 4) e D(4, –21, –14) b) A(4, –1, 1), B(9, – 4, 2), C(4, 3, 4) e D(9, 0, 5)

5) Demonstre que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.

Sugestão: •••• Devemos demonstrar que: ABMN2

1=


1a) AE 1b) AC 1c) AC 1d) AB 1e) AO 1f) AD 1g) AH 1h) AD 1i) AO 1j) AC

2a) (G – A) 2b) (E – A) 3a) AD 3b) BD 3c) FF 3d) CD 4a) Não é. 4b) É um paralelogramo.

A B

C D

E F

H G

A B

C D

E F

H G

A

F

B C

E

D

O •


23

Paralelismo de Vetores (colinearidade) Dois ou mais vetores são paralelos (ou colineares) entre si, quando seus representantes possuírem a mesma direção.

w//vrr equiversos

sentidomesmodireçãomesma

w//vrr oscontravers

contráriossentidos

direçãomesma

Analiticamente:

Considere os vetores )z,y,x(v 111=r

e )z,y,x(w 222=r

. Simbolicamente temos: Se w//vrr n∃⇔ ∈ ℝ / wn.v

rr=

Da expressão wn.vrr

= temos:

)z,y,x( 111 )z,y,n.(x 222=

)z,y,x( 111 )n.z,n.y,(n.x 222= então, de uma outra forma: nz

z

y

y

x

x

2

1

2

1

2

1 ===

Observações:

•••• u//0rr

∀ •••• Quando um vetor tiver uma das coordenadas nula, um outro vetor paralelo a este, também terá a coordenada correspondente nula. Veja o exemplo 2 abaixo.

EXEMPLOS:

1) Verifique se os vetores ur = (2, –3) e j6i4w

rrr−= são paralelos, representando-os no ℝ2 abaixo.

Nota: Observe que “n” pode assumir dois valores. Quando n = 2, temos neste caso que um vetor é o dobro do outro, e, quando n = 1/2, temos que um vetor é metade do outro. Os dois valores, obviamente, identificam a mesma situação. O valor encontrado dependerá da seqüência de escolha dos vetores em questão. 2) Dados os vetores )0,4,3a(v −=

r e )2b,6,8(w +−=

r, determine-os, sabendo que w//v

rr.

y

x

vr

wr

β β

x

y

vr

wr

α α

x

y


24

EXERCÍCIOS – Paralelismo de Vetores

1) Quais dos vetores: 2),6,(4u −=r

, 3),9,6(v −−=r

, 9),21,(14w −=r

e 5),15,(10t −=r

são paralelos?

2) Dado o vetor wr= (3, 2, 5), determinar “a” e “b” de modo que os vetores u

r= (3, 2, –1) e v

r= (a, 6, b)+2 w

r sejam

paralelos. 3) A reta que passa pelos pontos A(–2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3, –1, –1) e D(0, m, n).

Determine o ponto D. Sugestão: para que as retas sejam paralelas, temos que CD//AB . 4) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(–1 , –2 , 3) e B(2 , 1 , –5), calcule “m” e “n”.

Sugestão: Pode-se fazer AB//AP .

RESPOSTAS: 1) paralelos: ur, vr e t

r 2) a = 9, b = –15 3) D(0, 1, 0) 4) m = 5, n = –13

Cálculo do Módulo de um Vetor Considerando um vetor posição )y,x(v =

r no ℝ2 abaixo:

Note que: OP|v| =r

Por Pitágoras, temos: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2

222 yx|v| +=r

22 yx|v| +=r

Conseqüentemente, para um vetor posição )z,y,x(w =r

no ℝ3 teremos: 222 zyx|w| ++=r

Observação: Alguns matemáticos utilizam uma outra notação para o módulo (ou norma) de um vetor ur: ||u||

r

EXEMPLOS:

1) Determine o módulo do vetor PQw =r

, representando o vetor posição wr no ℝ3.

Dados: )105,(6,P = e )1020,(7,Q =

y

y

x

P

x 0


25

2) Determine o valor “m” do modo que o vetor k3j4imvrrrr

−+= tenha módulo igual a 7. 3) Calcule a distância entre os pontos A(–1, 3) e B(4, –2) e represente graficamente a situação. OBSERVAÇÃO:

Para calcular o módulo de um vetor definido por dois pontos ),,( AAA zyxA e ),,( BBB zyxB no espaço (ou

simplesmente calcular a distância entre dois pontos A e B quaisquer) podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos:

222 )()()( ABABABAB zzyyxxd −+−+−=

que para o caso da sua utilização no cálculo do módulo de um vetor AB , ficaria:

222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB −+−+−=

Vetor Unitário Um vetor é dito “unitário” quando seu módulo for igual a 1. Em diversas situações faremos uso desse conceito.

Formalizando, temos:

Se )z,y,x(w =r

é UNITÁRIO, então podemos escrever 1|w| =r

.

Pela fórmula do módulo de um vetor, temos: 222 zyx|w| ++=r

Se é unitário, então: 222 zyx1 ++=

Simplificando, encontraremos: 1zyx 222 =++

y

x


26

EXEMPLOS:

1) Verifique se o vetor

−=

2

1,

2

1,

2

1vr

é unitário.

2) Determine o valor de “p” de modo que o vetor k21

j31

ipurrrr

+−−= seja unitário.

EXERCÍCIOS – Módulo de um Vetor + Vetor Unitário

1) Dados os vetores )1,1( −=ur

, )4,3(−=vr

e )6,8( −=wr

calcular:

a) ||ur

b) ||vr

c) || wr

d) || vurr + e) |2| wu

rr − f) |3| uwrr −

2) Calcular os valores de “a” para que o vetor ur= (a, –2) tenha módulo 4.

3) Verificar se são unitários os seguintes vetores: )1,1,1(=ur

e

−=

6

1,

6

2,

6

1vr

4) Determinar o valor de “n” para que o vetor

=5

4,

5

2,nv

r seja unitário.

5) Seja o vetor k5j)2m(i)7m(vrrrr

++++= . Calcular “m” para que | vr| = 38 .

6) Calcule a distância do ponto T(–12, 9) à origem.

7) Dados os pontos A(3, m – 1, – 4) e B(8, 2m – 1, m), determinar “m” de modo que 35|AB| = . 8) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(–1, 0, –1) e C(2, –1, 0). 9) Encontrar um ponto do eixo “x” de modo que a sua distância ao ponto A(2, –3) seja igual a 5. 10) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distância ao ponto T(–1, 2, –2) seja igual a 3.

11) Dados A(1, 0, –1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determine o valor de “m” para que ||vr

= 7, sendo que BCACmv += .r

.

12) Obter um ponto P, do eixo das abscissas, eqüidistante dos pontos A(2, –3, 1) e B(–2, 1, –1). Faça: |PB||PA| = .

13) Determine o módulo do vetor jθ)(cosiθ)(senvrrr

+= .


1a) 2 1b) 5 1c) 10 1d) 13 1e) 132 1f) 34 2) 32± 3) vr é unitário 4)

55± 5) {–5, – 4} 6) 15 uc

7) {–3, –1} 8) 32112 + 9) (6, 0) ou (–2, 0) 10) P(0, 0, 0) ou P(0, 0,– 4) 11) 3 ou 5

13− 12) P(1, 0, 0) 13) 1


27

Observação:

Represente no ℝ2 o vetor vr

e os vetores encontrados nas questões “1a”, “1b” e “1c”.

Versor de um Vetor

O versor de um vetor 0wrr

≠ é o vetor UNITÁRIO que tem a mesma direção e sentido de wr e representamos por “ wvers

r”.

Para encontrarmos o versor de um vetor wr, por exemplo, basta aplicarmos a fórmula:

|w|w

wvers r

rr

=

Organizando, temos:

=

wdemesmo:sentido

wdemesma:direção

1|wvers|:módulo

:wversr

r

r

r

Vale a pena relembrarmos os versores da base canônica do ℝ3.

)0,0,1(i =r

, )0,1,0(j =r

e )1,0,0(k =r

Observe que: .1|k||j||i| ===rrr

Ao lado temos um ℝ3 mostrando os versores da base canônica. Observação: um vetor unitário coincide com o seu próprio versor. EXEMPLO:

1) Dado o vetor )5,4,(2u =r

, determine o seu versor. Em seguida, represente estes vetores no ℝ3.

EXERCÍCIOS – Versor de um Vetor 1) Dados os vetores 1),(1u −=

r, 4),3(v −=r

e 6),(8w −=r

, calcular:

a) vversr b) wvers

r c) uvers

r− d) |uvers|

r

2) Determinar o valor de “a” para que ur= (a, –2a, 2a) seja um versor.

3) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(–6, –2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor wr, tal que BC2BA3w −=

r.

RESPOSTAS: 1a)

−54

,53

1b)

−53

,54

1c)

−

2

1,

2

1 1d) 1 2)

3

1± 3) w

r=

9

4,

9

4,

9

7

EXERCÍCIOS EXTRAS – Aprofundamento e Aplicações

1) Dado o vetor )3,1( −=vr

, determinar o vetor paralelo a vr que tenha:

a) sentido contrário ao de vr e duas vezes o módulo de v

r;

b) o mesmo sentido de vr e módulo 2;

c) sentido contrário ao de vr e módulo 4.

z

y

x

ir

jr

kr

1

1

1


28

C

B

A

2) Determinar o vetor de módulo 5, paralelo ao vetor vr= (1, –1, 2).

3) Dado o vetor )3,1,2( −−=v

r, determinar o vetor paralelo a v

r que tenha:

a) sentido contrário ao de vr e três vezes o módulo de v

r;

b) o mesmo sentido de vr e módulo 4;

c) sentido contrário ao de vr e módulo 5.

4) Considerando a peça plana ao lado,

determine a distância entre os furos:

a) A e B b) B e C Observação: medidas em mm 5) Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 5), B(3, –2) e C(–3, –2) é isósceles, e calcule o seu perímetro.

6) Determine as distâncias do ponto P(1, – 4, –2) aos eixos coordenados x, y e z, representando “P” no ℝ3.

7) Utilizando seus conhecimentos sobre vetores, verifique se os pontos A(–1, –5, 0), B(2, 1, 3) e C(–2, –7, –1) são colineares.

8) Provar que os pontos A(–2 , –1), B(2 , 2), C(–1 , 6) e D(–5 , 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado.


1a) (–2, 6) 1b)

−

10

6,

10

2 1c)

−

10

12,

10

4 2)

±±

6

10,

6

5,

6

5m 3a) (–6, 3, 9)

3b)

−−

14

12,

14

4,

14

8 3c)

−

14

15,

14

5,

14

10 4a) 32,70 mm 4b) 25 mm 5) 5826 + uc

6) 52 , 5 e 17 uc 7) É um desafio, não tem a resposta aqui! 8) Idem ao exercício 7. Para refletir: O conformismo é o carcereiro da liberdade e o inimigo do crescimento. (Ella Fitzgerald)

Abaixo, um texto interessante para você ler e refletir profundamente... “As Três Peneiras”

Um rapaz procurou Sócrates e disse-lhe que precisava contar-lhe algo sobre alguém. Sócrates ergueu os olhos do livro que estava lendo e perguntou: - O que você vai me contar já passou pelas três peneiras? - Três peneiras? - indagou o rapaz. - Sim! A primeira peneira é a VERDADE. O que você quer me contar dos outros é um fato? Caso tenha ouvido falar, a coisa deve morrer aqui mesmo. Suponhamos então que seja verdade, deve então passar pela segunda peneira: a BONDADE. O que você vai contar é uma coisa boa? Ajuda a construir ou destruir o caminho, a fama do próximo? Se o que você quer contar é verdade e é coisa boa, deverá passar ainda pela terceira peneira: a NECESSIDADE. Convém contar? Resolve alguma coisa? Ajuda a comunidade? Pode melhorar o planeta? Arremata Sócrates: - Se passou pelas três peneiras, conte!! Tanto eu, como você e seu irmão, iremos nos beneficiar. Caso contrário, esqueça e enterre tudo. Será uma fofoca a menos para envenenar o ambiente e fomentar a discórdia entre irmãos. Devemos sempre ser a estação terminal de qualquer comentário infeliz.


29

PRODUTO ESCALAR Definição Algébrica do Produto Escalar:

Considerando o espaço ℝ3 e os vetores ur = (x1, y1, z1) e w

r= (x2, y2, z2), chamamos de Produto Escalar de u

r e w

r, o

número real dado por: =⋅ wu

rr x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2

Observações: • O produto escalar também é conhecido como produto interno (ou ainda multiplicação interna) e pode ser indicado por

wurr ⋅ , wu

ro

r ou wu

rr, (lê-se: u

r escalar w

r). A notação wu

rr× para o produto escalar já está em desuso, e a

utilizaremos mais adiante para representar o produto vetorial. • Observe que: uwwu

rrrr ⋅=⋅ (propriedade comutativa).

• Para o caso de se trabalhar somente no plano, ou seja, no ℝ2, apenas suprime-se a coordenada “z”. Definição Geométrica do Produto Escalar: Considerando os vetores u

r = (x1, y1, z1) e w

r= (x2, y2, z2) não nulos e “θ” o ângulo entre eles, então o Produto Escalar de

ur e wr pode ser escrito por:

cos.. wuwurrrr =⋅ θ (com 0 ≤ θ ≤ 180º).

Ângulo entre dois vetores: O ângulo entre dois vetores é definido como sendo o menor ângulo que um vetor deve girar ao encontro do outro vetor para que se tornarem colineares. Desta forma, utilizaremos o ângulo θ com a seguinte variação: 0 ≤ θ ≤ 180º.

Da igualdade cos.. wuwurrrr =⋅ θ , vista anteriormente, temos:

wu

wurr

rr

.cos ⋅=θ como sendo a fórmula a partir da qual se calcula o ângulo θ entre dois vetores não nulos.

Se θ for o ângulo entre os vetores ur e w

r, então podemos escrever θ = ( )wu

rr,

Normalmente, encontraremos os ângulos em duas unidades: o grau (º) e o radiano (rad). A conversão entre as unidades pode ser feita através de uma regra de três simples e direta: 180º →→→→ π rad Lembretes: - Uma volta completa possui 360º ou 2π rad. - As calculadoras científicas trabalham com os ângulos em três unidades: DEG (grau), RAD (radiano) e GRAD (grados). • A seguir, tem-se as possíveis situações no estudo do ângulo θ e do produto escalar de dois vetores não nulos: θ = 0º ⇒ u

r e w

r são paralelos (equiversos) cos 0º = 1 ⇒ wu

rr ⋅ > 0

↳ ↳ ↳ ↳ ur// wr

θ = 180º ⇒ ur e w

r são paralelos (contraversos) cos 180º = –1 ⇒ wu

rr ⋅ < 0

↳ ↳ ↳ ↳ ur// wr

^

A B

C

ur

wr

θ

ur

wr

ur

wr

θ


30

θ = 90º (ângulo reto) ⇒ ur e w

r são perpendiculares ( wu

rr ⊥ )

cos 90º = 0 ⇒ wu

rr ⋅ = 0 0 < θ < 90º (ângulo agudo) ⇒ cos θ > 0 ⇒ wu

rr ⋅ > 0

90º < θ < 180º (ângulo obtuso) ⇒ cos θ < 0 ⇒ wurr ⋅ < 0

Observações: • Nulidade do produto escalar:

0=⋅ wurr

, se:

i) Um dos vetores for nulo; ii) Os dois vetores forem ortogonais (perpendiculares) entre si, ou seja, θ = 90º [Lembre-se que: cos 90º = 0].

A partir disso podemos escrever: 00 =⋅rr

u e 00 =⋅urr

; e particularmente: 0=⋅=⋅=⋅ kikjjirrrrrr

.

Vale lembrar os versores (base canônica) dos eixos cartesianos: ir= (1 , 0 , 0), j

r= (0 , 1 , 0) e k

r= (0 , 0 , 1).

• Em particular, o vetor nulo ( )0r

é perpendicular a qualquer outro vetor e escrevemos: urr

∀⊥0 .

Enfatizando:

Para os vetores 0rr ≠u e 0

rr ≠w temos que wuwurrrr ⊥⇔=⋅ 0 (o produto escalar é zero para vetores ortogonais).

EXEMPLOS:

1) Dados os vetores kiurrr

83 += e ( )5,2,4 −=wr

determine o valor de uwrr ⋅ .

2) Mostre que, para qualquer que seja o vetor ur, teremos: a) 2||uuu

rrr =⋅ b) 00 =⋅rr

u

ur

wr

θ

ur

wr

θ

ur

wr

•


31

3) Sendo ||ur

= 2 , || wr

= 3 e 120º o ângulo entre os vetores ur e w

r, calcule wu

rr ⋅ .

4) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, –1) e C(2, 2, –2) é retângulo em B.

5) Calcule o ângulo entre os vetores vr= (2, 1, –1) e AB , sabendo que A(3, 1, –2) e B(4, 0,– 4).

6) Determine um vetor ortogonal aos vetores 1vr= (1, –1, 0) e 2v

r= (1, 0, 1).


32

EXERCÍCIOS – Produto Escalar

1) Mostrar que os pares de vetores dados são ortogonais: a) vr= (1, –2, 3) e w

r= (4, 5, 2) b) i

r e j

r

2) Dados os vetores ur= (1, 1, 0) e w

r= (0, 1, 0), calcule o valor de wu

rr ⋅ pelas definições algébrica e geométrica.

Sugestão: faça uma representação no ℝ3 para auxiliar o cálculo de wurr ⋅ através da definição geométrica.

3) Seja o triângulo de vértices A(–1, –2, 4), B(– 4, –2, 0) e C(3, –2, 1). Determinar o ângulo interno aos vértices B e A.

4) Os pontos A, B, C são vértices de um triângulo eqüilátero com lado de 10cm. Calcule o produto escalar entre AB e AC . 5) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).

6) Calcular “n” para que seja de 30º o ângulo entre os vetores ur= (1, n, 2) e j

r.

7) Dados os vetores ar= (2, 1, m), b

r= (m+2, –5, 2) e c

r= (2m, 8, m), determinar o valor de “m” para que o vetor ba

rr +

seja ortogonal ao vetor acrr − .

8) Determinar os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, –1) e C(–1, 2, 1).

9) Sabendo que o ângulo entre dois vetores ur= (2, 1, –1) e v

r= (1, –1, m+2) é π/3, determinar “m”.

10) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(–3, –2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.

11) Qual o valor de “m” para que os vetores k4j5imarrrr

−+= e k4j2i1)(mbrrrr

+++= sejam ortogonais?

12) Determinar o vetor wr, paralelo ao vetor u

r= (2, –1, 3), de modo que uw

rr ⋅ = – 42.

13) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor vr= (2, –1, 1).

14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em Â) medem 5, 12 e 13. Calcular CBCABCBAACAB ⋅+⋅+⋅ .

15) Determinar o vetor vr, sabendo que | v

r| = 5, v

r é ortogonal ao eixo Oz, wv

rr⋅ = 6 e k3j2w

rrr+= .

16) Determinar o vetor vr, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições 1vv

rr ⋅ = 10 e 2vvrr ⋅ = –5, sendo 1v

r= (2, 3, –1)

e 2vr

= (1, –1, 2).

17) Determine o menor ângulo formado entre duas diagonais de um mesmo cubo. Sugestão: desenhe um cubo no ℝ3.

☺ ☺ ☺ ☺ Teste sua atenção e organização com o exercício 18!

18) Dados os vetores ur= (1, a, –2a –1), v

r= (a, a–1, 1) e w

r= (a, –1, 1), determine “a” tal que ( ) wvuvu

rrrrr ⋅+=⋅ .

19) Calcular o módulo dos vetores u

r+ vr e u

r–vr, sabendo que |u

r| = 4, | v

r| = 3 e que o ângulo entre u

r e v

r

é de 60º.


1) Utilize o produto escalar! 2) wurr

⋅ = 1 3) B = 45º e A = 90º 4) 50 5) Â 6) 15± 7) {– 6, 3}

8) A = arc cos635 ≅ 51º, B = arc cos

924 ≅ 57º e C = arc cos

422 ≅ 72º 9) – 4 10) 0BCBA =⋅ 11) {–3, 2}

12) (– 6, 3, –9) 13) Um deles é

2

1,

2

1,0 14) 169 15) (4, 3, 0) ou (– 4, 3, 0) 16)(–1, 4, 0)

17) Aprox. 70º 18) a = 2 19) 37 e 13

Para refletir: Bem melhor arriscar coisas grandiosas mesmo expondo-se à derrota, do que formar fila com os pobres de espírito, os quais vivem nessa penumbra cinzenta, e não conhecem nem vitória, nem derrota. (Theodore Roosevelt)


33

PRODUTO VETORIAL Anteriormente vimos que, a cada par de vetores, podemos associar um número real, chamado de produto escalar entre estes dois vetores. Através desse produto escalar, conseguimos obter várias informações sobre vetores, como por exemplo, ângulos entre dois vetores e ângulos entre um vetor e os eixos coordenados. Chegamos até a resolver alguns exercícios de geometria euclidiana fazendo uso do mesmo!

Pois bem, vamos falar um pouco de um novo produto entre dois vetores: o produto vetorial. Diferentemente do produto escalar, o produto vetorial entre dois vetores u

r e w

r é um vetor! Veja se você entendeu: enquanto o produto

escalar é um número, o produto vetorial é um vetor; e este vetor tem várias características importantes e peculiares. Vamos então à definição de produto vetorial. Definição:

Considerando o espaço ℝ3 e os vetores ur = (x1, y1, z1) e w

r= (x2, y2, z2), chamamos de Produto Vetorial de u

r e wr, o vetor

wurr× definido por:

kyx

yxj

zx

zxi

zy

zywu

rrrrr ⋅+⋅−⋅=×22

11

22

11

22

11

Considerações Importantes:

• O produto vetorial também é conhecido como produto externo (ou ainda produto cruzado) e pode ser indicado por wurr×

ou wurr ∧ (lê-se: u

r vetorial w

r).

• Para “simplificar” o cálculo do produto vetorial, usaremos:

222

111

zyx

zyx

kji

wu

rrr

rr =×

• Observe que: ( )uwwurrrr ×−=×

(propriedade anti-comutativa). • Direção de wu

rr× : é perpendicular (ortogonal)

aos vetores ur e wr simultaneamente.

• Sentido de wu

rr× : ur, wr e wu

rr× nesta ordem, formam um triedro positivo (segue a regra da mão direita).

• Módulo de wurr× : sen.. wuwu

rrrr =× θ (com 0 ≤ θ ≤ 180º). Note que: uwwurrrr ×=× .

• Nulidade do produto vetorial:

0rrr =× wu , se: i) Um dos vetores for nulo;

ii) Os dois vetores forem paralelos entre si, ou seja, θ = 0º ou θ = 180º.

A partir disso podemos escrever: 0rrr =×uu , 00

rrr =×u e 00rrr

=×u ; e particularmente: 0rrrrrrr

=×=×=× kkjjii .

• Em particular, os versores ir, jr e k

r, nesta ordem, formam um triedro positivo.

De uma forma prática, utiliza-se o esquema ao lado para determinar o produto vetorial de dois desses versores, cujo resultado é o “versor faltante”, de sinal positivo se o sentido for anti-horário e negativo se no sentido horário. Veja alguns exemplos:

kjirrr

=× jikrrr

=× ijkrrr

−=× kijrrr

−=× jkirrr

−=×

Enfatizando:

Para os vetores 0rr ≠u e 0

rr ≠w temos:

wuwurrrr ⊥⇔=⋅ 0 (o produto escalar é zero para vetores ortogonais)

wuwurrrrr

//0 ⇔=× (o produto vetorial é o vetor nulo para vetores paralelos)

π

wr

ur

wurr×

θ =( )wurr

,

uwrr ×

• • ^

ir

jr

kr

•

+ •

•


34

OUTRAS APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL • Cálculo de Áreas (Paralelogramo e Triângulo) Seja o paralelogramo ABCD, definido pelos vetores u

r e w

r.

Através da geometria plana, sabemos que a área de um paralelogramo é o produto de sua base pela altura, ou seja, SABCD = base . altura Neste caso temos:

base = ur

e altura = wr

. sen θ , pois tem-se que:

Substituindo em SABCD = base . altura , temos:

SABCD = wurr

. . sen θ Ou seja:

SABCD = wurr×

↳↳↳↳A área de um paralelogramo determinado pelos vetores ur e w

r é

numericamente igual ao módulo do produto vetorial desses vetores. Face o exposto acima, facilmente escrevemos:

SABC = 2

wurr×

↳↳↳↳A área de um triângulo determinado pelos vetores ur e w

r é numericamente

igual ao módulo do produto vetorial desses vetores, dividido por dois.

• Torque (Momento de uma força) O torque é uma grandeza física vetorial (representado por τ ) e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação. O torque pode ser calculado através da equação abaixo:

Frrrr

×=τ

onde || rr

é a distância do ponto de aplicação da força Fr ao eixo

de rotação, ao qual o corpo está vinculado. A intensidade (módulo)

do torque será calculado através da equação:

θ=τ sen.||.|||| Frrrr

, onde θ é o ângulo entre rre F

r.

A B

C D

ur

wr

θ h

•

...

senhip

opcat=θ ⇒ ||

senwhr=θ ∴ θ= sen.|| wh

r

A B

C

ur

wr

θ


35

EXEMPLOS:

1) Dados os vetores kjiurrrr −+= 32 e ( )5,4,3=w

r determine:

a) wurr×

b) uw

rr × c) | wu

rr× |

d) uurr×

2) Considerando os vetores ur= (1, –1, – 4) e w

r= (3, 2, –2), determine um vetor que seja:

a) ortogonal a ur e w

r (simultaneamente); c) ortogonal a u

r e w

r e que tenha módulo 4;

b) ortogonal a ur e w

r e unitário; d) ortogonal a u

r e w

r e que tenha cota igual a 7.

a) Resolução: Um vetor ortogonal a u

r e w

r simultaneamente é o vetor wu

rr × que chamaremos de tr. Então:

223

411

−−−=×=kji

wut

rrr

rrr)283(2122 jikkjirrrrrr

−−−−+−= kjitrrrr

51010 +−=∴ ou )5,10,10( −=tr

b) Resolução: Um dos vetores unitários é o versor de tr. Inicialmente calculamos: 15)5()10()10(|| 222 =+−+=t

r

Calculando o versor de tr teremos:

15

)5,10,10(

||

−==

t

ttvers r

rr

−=15

5,

15

10,

15

10

−=∴3

1,

3

2,

3

2tversr

c) Resolução: Para que um vetor (que chamaremos de v

r) seja ortogonal a u

r e w

r simultaneamente e tenha módulo 4,

basta fazermos:

−==3

1,

3

2,

3

2.4.4 tversv

rr

−=∴3

4,

3

8,

3

8vr

d) Resolução: Todos os vetores simultaneamente ortogonais a u

r e w

r são “múltiplos” de wu

rr × e, portanto, são da forma )5,10,10.( −m com Rm ∈ . Chamando o vetor procurado de p

r temos:

)5,10,10.( −= mpr

)5,10,10( mmm −= Como o vetor pr deve ter cota (z) igual a 7, fazemos: 75 =m 5/7=∴ m .

Reescrevendo o vetor pr encontraremos:

−=−=−=5

35,

5

70,

5

70)5,10,10.(

5

7)5,10,10.(mp

r )7,14,14( −=∴ p

r


36

3) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, –1, 0) e C(4, 2, –2), determine:

a) a área do triângulo ABC b) a altura do triângulo ABC relativa ao vértice C. 4) Seja o triângulo eqüilátero ABC de lado 10 cm. Determine a sua área utilizando os conceitos de produto vetorial. Resolução:

Aplicando a fórmula do módulo de um produto vetorial, temos:

senACABACAB ..=× θ

º60.10.10 senACAB =×

3502

3.100 ==× ACAB

Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada através do módulo do produto vetorial dos vetores que compõem o triângulo. Assim temos:

30,433252

350

2

|| ≅==×=∆ACAB

S ABC

Então, a área do triângulo eqüilátero ABC é aproximadamente 43,30 cm2.

Para refletir: Podemos escolher o que semear, mas somos obrigados a colher aquilo que plantamos. (Provérbio chinês) EXERCÍCIOS – Produto Vetorial

1) Se kjiurrrr

23 −−= , vr= (2, 4, –1) e kiw

rrr +−= , determine:

a) | uurr× | d) )()( uvvu

rrrr ××× g) )( wvurrr ×× j) vvu

rrr ⋅× )(

b) )3()2( vvrr × e) wvu

rrr ×− )( h) )( wvurrr +× k) wvu

rrr ⋅× )(

c) )()( uwwurrrr ×+× f) wvu

rrr ×× )( i) )()( wuvurrrr ×+× l) )( wvu

rrr ×⋅

Observação: Alguns dos casos acima podem ser resolvidos apenas com uma análise prévia.

2) Dados os pontos A(2, 1, –1), B(3, 0, 1) e C(2, –1, –3), determine o ponto D tal que ACBCAD ×= . 3) Sejam os vetores u

r= (1, –2, 1), v

r= (1, 1, 1) e w

r= (1, 0, –1).

a) Utilize o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.

b) Utilize o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.

c) Mostre que 0)(rrrr =×× wvu .

4) Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, –1, 1) e C(4, 1, –2).

10 cm

60º

A

B

C


37

5) Dados os vetores ur= (1, 1, 0) e v

r= (–1, 1, 2), determinar:

a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a ur e v

r;

b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a ur e v

r.

6) Determinar um vetor de módulo 2, ortogonal a u

r= (3, 2, 2) e a v

r= (0, 1, 1).

7) Com base na figura ao lado, calcular:

a) ADAB × b) BCBA× c) DCAB ×

d) CDAB × e) ACBD × f) CDBD ×

8) Determinar vu

rr ⋅ sabendo que | vurr × | = 12, | u

r| = 13 e que v

r é unitário.

9) Dados os vetores u

r= (3, –1, 2) e v

r= (–2, 2, 1), calcular:

a) a área do paralelogramo determinado por ur e v

r;

b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor vr.

10) Calcular a área do paralelogramo definido pelos pontos A(4, 1, 2), B(5, 0, 1), C(–1, 2, –2) e D(–2, 3, –1). 11) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são os pontos A(2, – 4, 0) e B(1, –3, –1) e o ponto médio das diagonais é M(3, 2, –2). Calcule a área do referido paralelogramo.

12) Sabendo que | ur| = 6, | v

r| = 4 e 30º o ângulo entre u

r e v

r, calcular:

a) a área do triângulo determinado por ur e v

r;

b) a área do paralelogramo determinado por ur e (– v

r).

13) Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC. Considere: A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0). 14) Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R, e calcule a área do triângulo PQR. Considere: P(2, 3, 0), Q(0, 2, 1) e R(2, 0, 2).

15) Calcular o valor de “m” para que a área do paralelogramo determinado por ur= (m, –3, 1) e v

r= (1, –2, 2) seja 26 .

16) Calcular “z”, sabendo-se que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) são vértices de um triângulo de área 6. 17) Dados A(2, 1, –1) e B(0, 2, 1), determine o ponto C do eixo Oy, de modo que a área do triângulo ABC seja 1,5 ua. 18) Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa pelos pontos A(1, 2, –1) e B(3, 1, 1).


1a) 0 1b) 0r 1c)0

r 1d) 0

r 1e) (–5, 0, –5) 1f) (–1, –23, –1) 1g) (–6, –20, 1) 1h) (8, –2, 13) 1i) (8, –2, 13)

1j) 0 1k) 5 1l) 5 2) D(– 4, –1, 1) 4) Um deles: ACAB × = (12, –3, 10) 5a)

±±

3

1,

3

1,

3

1m

5b)

±±

3

5,

3

5,

3

5m 6) ( )2,2,0 − ou ( )2,2,0 − 7a) 32 7b) 32 7c) 0 7d) 0

7e) 34 7f) 32 8) 5 ou –5 9a) 103 ua 9b) 10 uc 10) 122 ua 11) 742 ua

12a) 6 ua 12b) 12 ua 13) 2

7ua e

5

7uc 14) t.(1, 4, 6) com t ∈ ℝ e

2

53 ua 15) 0 ou 2 16) 4 ou – 4

17) C(0, 1, 0) ou C(0 ,2

5, 0) 18)

3

65uc

Para refletir: O conhecimento amplia a vida. Conhecer é viver uma realidade que a ignorância impede desfrutar. (Pensamento Logosófico)

2 2

2 2

A

B

C

D

30º

•


38

PRODUTO MISTO Definição: Dados os vetores u

r= (x1, y1, z1), v

r= (x2, y2, z2) e w

r= (x3, y3, z3), o produto misto (ou multiplicação mista) destes três

vetores é o número real representado por )( wvurrr ×⋅ , quanto tomados nessa ordem.

O produto misto também pode ser indicado por ),,( wvu

rrr e para calculá-lo, basta resolvermos o determinante formado

pelas coordenadas dos três vetores em questão. Veja:

Sabemos que: kyx

yxj

zx

zxi

zy

zywv

rrrrr ⋅+⋅−⋅=×33

22

33

22

33

22 (definição de produto vetorial)

Então: 33

221

33

221

33

221 ...)(

yx

yxz

zx

zxy

zy

zyxwvu +−=×⋅ rrr

(aplicação de produto escalar)

Segue que:

333

222

111

),,()(

zyx

zyx

zyx

wvuwvu ==×⋅ rrrrrr

Propriedades do Produto Misto:

Nulidade: 0),,( =wvurrr

, se: • Pelo menos um dos vetores for nulo;

• Se ur, vr e w

r forem coplanares;

• Se dois deles forem paralelos.

Troca de sinal: O produto misto ),,( wvu

rrr muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.

Se hipoteticamente tivermos ),,( wvurrr

= 10, então ),,( wuvrrr

= –10.

Então, se num produto misto ),,( wvurrr

ocorrer:

•••• Uma permutação de vetores, haverá a troca de sinal do produto misto. •••• Duas permutações de vetores, não haverá alteração no valor do produto misto. Isto acarreta que: wvuwvu

rrrrrr ⋅×=×⋅ )()(

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO Geometricamente, o produto misto dado por ),,( wvu

rrr é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas

determinadas pelos vetores não-coplanares ur, vr e w

r.

Ou seja: Volume Paralelepípedo = ),,( wvurrr

Como exemplo, considere o paralelepípedo composto pelos vetores:

ur= (2, 0, 0), v

r= (0, 7, 0) e w

r= (0, 0, 5).

Neste caso é fácil de verificar o volume do paralelepípedo gerado, pois os vetores são ortogonais entre si e estão sobre os eixos coordenados. Daí tem-se que o volume V pode ser assim calculado: V = (área da base OABC).(altura OG)

V = (2 . 7).5

V = 70 u.v. [Obs.: u.v. → unidades de volume]

G F

E D

A B

C O

7 2

5

y

z

x


39

Agora, aplicando o produto misto (em módulo) dos vetores ur, vr e w

r, teremos:

Volume Paralelepípedo = 705.7.2

500

070

002

|),,(| ===wvurrr

Portanto, V = 70 u.v.

Decorrente do exposto até então, podemos também calcular o volume de um tetraedro gerado por três vetores não coplanares. Veja:

Sejam os pontos A , B , C e D não coplanares. Então os vetores ABu =r , ACv =r e ADw =r também são não

coplanares. Assim sendo, os vetores em questão determinam um paralelepípedo (veja figura abaixo) cujo volume é:

Vparalelepípedo = ),,( ADACAB ou ainda: Vparalelepípedo = ),,( wvurrr

Este paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas de base triangular ABC (veja figura) de mesmo tamanho e assim o volume Vprisma de cada um dos prismas será metade do volume do paralelepípedo, ou seja:

pedoparalelepíprisma V2

1V ⋅=

Por outro lado, através da Geometria Espacial, sabemos que um prisma pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume. Neste caso, considerando o prisma de base triangular ABC, temos que uma das pirâmides será o tetraedro ABCD. Como o volume da pirâmide (que neste caso é um tetraedro) é 1/3 do volume do prisma, teremos:

prismatetraedro V3

1V ⋅=

⋅⋅=

pedoparelelepítetraedro V2

1

3

1V

pedoparalelepítetraedro V6

1V ⋅=

Volume Tetraedro = ),,(61 wvu

rrr⋅

EXEMPLOS: 1) Sejam A(1, 2, –1), B(5, 0, 1), C(2, –1, 1) e D(6, 1, –3) vértices de um tetraedro. Pede-se:

a) o seu volume; b) a sua representação geométrica; c) a sua altura relativa ao vértice D.


40

2) Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(–1, 0, –2), C(0, 2, 2) e D(–2, 1, –3) estão no mesmo plano. Resolução:

Os quatro pontos dados A , B , C e D serão coplanares (estarão no mesmo plano) se os vetores AB , AC e AD

também forem coplanares (veja o esquema abaixo). Então devemos ter 0),,( =ADACAB .

Inicialmente devemos escrever os vetores:

AB = )6,2,2()4,2,1()2,0,1( −−−=−−−=− AB

AC = )2,0,1()4,2,1()2,2,0( −−=−=− AC

AD = )7,1,3()4,2,1()3,1,2( −−−=−−−=− AD

Calculando o produto misto entre os vetores, temos:

01818)1440(6120

713

201

622

),,( =+−=−−−−−=−−−−−−−−

=ADACAB

Como 0),,( =ADACAB , os vetores em questão são coplanares.

Logo, os pontos dados A , B , C e D são coplanares.

EXERCÍCIOS – Produto Misto 1) Dados os vetores )1,1,3( −=u

r, )2,2,1(=vr

e )3,0,2( −=wr

, determine:

a) ),,( wvurrr

b) ),,( vuwrrr

2) Sabendo que 2)( =×⋅ wvu

rrr, calcule:

a) )( vwurrr ×⋅ b) )3()( vwu

rrr ⋅×

3) Os vetores k3j2irrr

++ , kji2rrr

+− e k4ji3rrr

++ são coplanares? Justifique sua resposta.

π

A

D

C

B

Esquema


41

4) Calcule o volume do paralelepípedo construído sobre os versores ir, jr

e kr

. 5) Determine os valores de k para que os vetores )1,,2( ku =r , ),2,1( kv =r e )3,0,3( −=w

r sejam coplanares.

6) Para que valor de m os pontos )2,1,(mA , )3,2,2( −−B , )1,1,5( −C e )2,2,3( −−D são coplanares?

7) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores )4,1,3( −=u

r, )1,0,2(=vr

e )5,1,2(−=wr

. Calcule o seu volume

e a altura relativa à base definida pelos vetores ur e v

r.

8) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores )2,1,0(1 −=vr

,

)1,2,4(2 −−=vr

e )2,,3(3 −= mvr

seja igual a 33 unidades de volume.

9) Determine o valor de n em função de m para que se tenha 9)]1,1,0()2,1,3[()2,,( =−×⋅nm .

10) Represente graficamente o tetraedro ABCD e calcule o seu volume, sendo )0,1,1(A , )1,4,6(B , )0,5,2(C e

)3,3,0(D .

11) Dados os pontos )1,1,2(A , )1,0,1(−B e )2,2,3( −C , determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do

paralelepípedo determinado por AB , AC e AD seja 25 unidades de volume. 12) Calcule a distância do ponto )2,5,2(D ao plano determinado pelos pontos )0,0,3(A , )0,3,0( −B e )3,0,0(C .

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) –29 1b) –29 2a) –2 2b) –6 3) Sim, pois o produto misto é zero. 4) 01 u.v. 5) {2, –3} 6) m = 4

7) V = 17 u.v. e h = 17/ 30 u.c. 8) {4, –17/4} 9) n = m + 1 10) 19/2 u.v. 11) D(0, 0, –10) ou D(0, 0, 15) 12) 4/ 3 u.c.

Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos.

(Marcel Proust, Em busca do tempo perdido)

ÂNGULOS DIRETORES E COSENOS DIRETORES DE UM VETOR

Considere o vetor ),,( zyxv =r não-nulo, conforme a figura abaixo.

Então: Ângulos diretores de v

r são os ângulos α , β e γ que

vr forma com os versores i

r, jr e k

r, respectivamente.

Cosenos diretores de v

r são os cosenos de seus ângulos

diretores, isto é, αcos , βcos e γcos .

Nota: Observe que os ângulos diretores de um vetor, são os ângulos que o vetor forma com os semi-eixos coordenados positivos. Vale detalhar então que: º180,,0 ≤≤ γβα .

Para determinarmos os ângulos diretores α , β , γ e seus cosenos, utilizaremos a fórmula que calcula o ângulo entre dois

vetores não-nulos: wu

wurr

rr

.cos ⋅=θ , vista anteriormente quando estudamos o produto escalar de dois vetores.

Assim teremos:


42

||)1.(||

)0,0,1(),,(

||.||cos

v

x

v

zyx

iv

ivrrrr

rr

=⋅=⋅=α ∴ ||

cosv

xr=α

||)1.(||

)0,1,0(),,(

||.||cos

v

y

v

zyx

jv

jvrrrr

rr

=⋅=⋅=β ∴ ||

cosv

yr=β

||)1.(||

)1,0,0(),,(

||.||cos

v

z

v

zyx

kv

kvrrrr

rr

=⋅=⋅=γ ∴ ||

cosv

zr=γ

Observação: Note que os cosenos diretores de v

r são exatamente as componentes do versor de v

r:

)cos,cos,(cos||

,||

,||||

),,(

||γβα=

===v

z

v

y

v

x

v

zyx

v

vvvers rrrrr

rr

Como o versor é sempre um vetor UNITÁRIO, decorre imediatamente que: 1coscoscos 222 =++ γβα .

EXEMPLOS: 1) Calcule os ângulos diretores do vetor )0,1,1( −=v

r.

2) Os ângulos diretores de um vetor são α , º45 e º60 . Determine o ângulo α .


43

EXERCÍCIOS – Ângulos Diretores e Cosenos Diretores de um Vetor 1) Calcule os ângulos diretores do vetor )3,2,6( −=v

r

2) Os ângulos diretores de um vetor wr são 45º, 60º e 120º e 2|| =w

r. Determine o vetor w

r.

3) Os ângulos diretores de um vetor podem ser 45º, 60º e 90º? Justifique sua reposta. 4) Os ângulos diretores de um vetor são 120º, β e 60º. Encontre β .

5) Num vetor v

r são conhecidos 3/2cos =α e 3/2cos =β . Determine:

a) γcos [γ é agudo] b) vversr

6) Determine um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60º com o eixo Ox .

7) Determinar o vetor tr de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor kiv

rrr2−= , e que forma ângulo

obtuso com o vetor ir.


1) º65)7/3arccos(,º107)7/2arccos(,º31)7/6arccos( ≅=≅−=≅= γβα 2) 1)1,,2(w −=r

3) Não, pois: 1º90cosº60cosº45cos222 ≠++ 4) {45º, 135º} 5a) 1/3 5b) )3/1,3/2,3/2(=vvers

r

6) )0,2/3,2/1()0,2/3,2/1( −ou 7) )5,0,52( −−=tr


44

APÊNDICE Roteiro e Observações para Resolução de Problemas em Matemática (Geometria Analítica) 1 – Leia com muita atenção o enunciado (texto) do problema e veja que parte da Matemática (ou da Geometria) ele envolve. 2 – Se possível, faça uma representação gráfica (figura) para ilustrar o enunciado. 3 – Anote os dados, verificando se as grandezas envolvidas pertencem ao mesmo Sistema de Unidades, transformando-as se necessário. 4 – Verifique o que precisa ser calculado ou resolvido (o que o problema pede como solução). 5 – Escreva as relações matemáticas (fórmulas) referentes ao tema envolvido. 6 – Relacione os dados e as incógnitas que aparecem nas fórmulas escritas, empregando aquelas que são necessárias para se chegar à solução do problema. 7 – Dê qualidade a sua resolução, procurando resolver o problema com muita atenção e organização. 8 – Escreva a solução encontrada com a respectiva unidade, caso exista. 9 – Verifique se a solução condiz com o que foi perguntado no problema e se o resultado é coerente com situação em questão.

Informações Gerais sobre Triângulos # Ângulos de um triângulo:

• Ângulo Reto: ângulo de 90º • Ângulo Agudo: ângulo menor que 90º (e maior que 0º) → 0 < α < 90º • Ângulo Obtuso: ângulo maior que 90º (e menor que 180º) → 90º < α < 180º

Observação: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

# Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos lados

Triângulo Eqüilátero

Os três lados têm medidas iguais (e três ângulos iguais de 60º).

d(A,B) = d(B,C) = d(C,A)

Triângulo Isósceles

Dois lados têm a mesma medida (e dois ângulos iguais ou congruentes).

d(A,B) = d(A,C) ≠ d(B,C)

Triângulo Escaleno

Todos os três lados têm medidas diferentes (e três ângulos diferentes).

d(A,B) ≠ d(B,C) ≠ d(C,A)

# Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos

Triângulo Acutângulo

Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.

Triângulo Obtusângulo

Um ângulo interno é obtuso (Â), isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90o.

Triângulo Retângulo

Possui um ângulo interno reto (Â), isto é, com 90o.


45

# Segmentos Notáveis:

Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida. Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto (90º). Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio.

A Mediana, a bissetriz e a altura são conhecidas como “cevianas”, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648–1736).

# Pontos Notáveis:

Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo. Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo. Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo.

Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo, e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo.

# Lados de um Triângulo Retângulo:

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetós: (perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotam-se as seguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice / Ângulo Medida

a Hipotenusa A → Ângulo reto A = 90°

b Cateto B → Ângulo agudo B < 90°

c Cateto

C → Ângulo agudo C < 90°

Observação:

Dado um triângulo qualquer, podemos identificá-lo, quanto aos ângulos, sem mesmo conhecê-los. Para isto, devemos conhecer as medidas dos seus lados e então aplicarmos o teorema de Pitágoras. Assim:

Se a2 = b2 + c2 ⇒ teremos um triângulo retângulo (Â = 90º)

Se a2 < b2 + c2 ⇒ teremos um triângulo acutângulo (Â < 90º)

Se a2 > b2 + c2 ⇒ teremos um triângulo obtusângulo (Â > 90º) Importante:

Vale lembrar que “a” é a medida da hipotenusa e sempre será o maior lado de um triângulo retângulo. Porém, para os dois últimos casos (Acutângulo e Obtusângulo) esta nomenclatura não é válida, todavia o valor de “a” está associado ao maior lado destes triângulos. # Relações Trigonométricas para um Triângulo Qualquer:

Lei dos Cosenos: Acos2.b.c.cba 222 ˆ−+=

Lei dos Senos: 2RCsen

c

Bsen

b

Asen

a ===ˆˆˆ

Cálculo de Área: 2

Ca.b.senS

ˆ=

α

β

γR

a

bc

A

B

C


46

Módulo: θsen.. wuwurrrr =× com °≤≤ 1800 θ

Observação: 0//rrrrr =×⇒ wuwuSe

FORMULÁRIO

ÁLGEBRA VETORIAL NO ℝℝℝℝ3

Notação analítica (vetor posição): ( )zyxv ,,=r Notação utilizando dois pontos A e B : ABABv −==r

Notação através da combinação linear da base canônica (vetor posição): kzjyixvrrrr ++=

Paralelismo: ∈=== nnz

z

y

y

x

xcom

2

1

2

1

2

1 ℝ Versor de um vetor: u

uuvers r

rr =

Módulo de um vetor: 222 zyxu ++=r Vetor Unitário: 1222 =++= zyxu

r

Produto Escalar: 212121 ... zzyyxxwu ++=⋅ rr ou θcos.. wuwu

rrrr =⋅ com °≤≤ 1800 θ

Ângulo entre dois vetores: wu

wurr

rr

.cos ⋅=θ com °≤≤ 1800 θ Observação: 0=⋅⇒⊥ wuwu

rrrrSe

Produto Vetorial:

222

111

zyx

zyx

kji

wu

rrr

rr =×

Aplicações do Produto Vetorial: Área Paralelogramo = wurr× Área Triângulo =

2

wurr×

Produto Misto:

333

222

111

),,()(

zyx

zyx

zyx

wvuwvu ==×⋅ rrrrrr Obs.: Se u

r, vr e w

r são coplanares ⇒ 0),,( =wvu

rrr

Aplicações do Produto Misto: Volume do Paralelepípedo = ),,( wvurrr

Volume do Tetraedro = ),,(61 wvu

rrr⋅

Ângulos e cosenos diretores: ||

cosv

xr=α ,

||cos

v

yr=β e

||cos

v

zr=γ com 1coscoscos 222 =++ γβα

EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA “ r ”: vtAPr

.= ou vtAPr

.+= ou ainda ),,.(),,(),,( 000 cbatzyxzyx +=

Sendo que rzyxA ∈),,( 000 , “ v ” é o vetor diretor de r , “ t ” é o parâmetro e P é um ponto genérico de r .

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Coordenadas polares →→→→ ( )θ,rP

Coordenadas cartesianas →→→→ ( )y,xP

Conversão de polar para retangular: θ= cos.rx e θ= sen.ry

Conversão de retangular para polar: 222 yxr += e xy

tg =θ

VALORES TRIGONOMÉTRICOS Conversão graus ⇔⇔⇔⇔ radianos: 180º →→→→ ππππ rad

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º

sen

0 2

1 2

2 2

3

1 2

3 2

2 2

1

0

1−

0

sen

cos

1 2

3 2

2 2

1

0 2

1− 2

2− 2

3−

1−

0

1

cos

tg

0 3

3

1

3

∄

3−

1− 3

3−

0

∄

0

tg

y

y

x ≡ p

P

r

x 0

θ

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