Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo equação do...

Material de apoio: interacção gravítica

Equação do Movimento movimento rectilíneo

equação do movimentopode ser obtida uma equação mais simples,

recorrendo à expressão da energia mecânica que se conserva

v

constante ruta

r

M

m

F

referencial do CM de M

rr ur

MGur

2

rr u

r

MGur

2

rr u

r

MGa

amF

ur

MmGF

22

rrr uru

dt

rd

dt

urd

dt

rda

2

2

2

2

2

2 )(

rutrtr

)()(

distância do CM de m ao CM de M


Equação do Movimento movimento rectilíneo v

constante ruta

r

M

m

F


r

MmGmvE 2

2

1

2)()(rurur

dt

urd

dt

urdvv rr

rr

r

MmGE

mr

2

r

MmGE

mr

2

vector constante

r

MmGrmE 2

2

1 equação do movimento

+ : movimento de afastamento, distância aumenta com o tempo- : movimento de aproximação, distância diminui com o tempo


Equação do Movimento movimento rectilíneo v

constante ruta

t

t

r

rdt

rMm

GEm

dr

r

MmGE

mdt

dr

r

MmGE

mr

00

'

'2

'2

2

integral com solução analítica, embora complicada

expressão analítica para o vector posição: conhecida a posição de m t

constante

0

0

0

E

E

E m atinge distância máxima e reaproxima-se, não escapa ao campo gravítico

m atinge o com velocidade = 0, escapa ao campo gravítico

m atinge o com velocidade > 0, escapa ao campo gravítico


Equação do Movimento movimento curvilíneo

r

M

m

F


)()()( tutrtr r

r

MmGmvE 2

2

1

222222)()(

rrrruvru

vru

vru

vr

dt

urd

dt

urdvv r

r

r

r

rr

distância e direcção variam com o tempo

r

MmG

mr

LrmEmrL

r

MmGrrmE

2

222222

2

1

2

1

2

1

derivando em ordem ao tempo obtem-se (E e L são constantes)

r

r-GMm

dtr

MmGd

r

r

m

L

dt

rmL

d

rrmdt

rmd

dt

dE23

22

22

;

12

;2

1

;0


Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtem-se a equação

r

M

m

F

referencial do CM de M r

GMrm

Lr 0

11232

2

r

GMrm

Lr 0

11232

2

equação do movimento que não tem solução analíticaé sempre possível resolução numérica-computacional

MAS é possivel obter uma equação para a trajectória com solução analítica trajectória plana : posição determinada apenas por 2 coordenadas : r e obtem-se expressão analítica para a função r ()


Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r()

22

)(

mr

LmrL

d

dr

dt

d

d

drrr

222 mr

L

d

dr

mr

L

d

d

d

dr

mr

L

d

dr

d

dr

mr

Lr

2

2

2

42

2

52

2 112

d

rd

rm

L

d

dr

rm

Lr

defina-se a variávelr

1

2

2

2

2

32

2

2

22

2

2

2

1211

11

d

rd

rd

dr

rd

rd

rd

dr

drr

d

d

d

d

dr

rd

d

r

pelo que2

22

2

2

d

d

m

Lr

que inserindo na equação do movimento conduz a:

Material de apoio: interacção gravíticaEquação do Movimento

movimento curvilíneo: obtenção da função r()inserindo na equação do movimento

)(0 02

223

2

2

2

22

2

2

d

d GM

m

L

d

d

m

L

2

2

L

GMm

constante)()(

020

2

d

d)(

)(02

02

d

d

equação diferencial já conhecidaequação do oscilador harmónico com W=1

solução analítica muito simples

)cos()( 00 A )cos()( 00 A = 0 por ajuste do sistema de eixosa determinar em função das constantes do movimento E e L



cos1)(

r

d definindo

relembrando

00

11

d A

Ad

r1

cáculo de d=1/A e =A/0 em função de E e L

r

MmG

mr

LrmE

2

22

2

1

2

1

22

22

222

111111

d

dr

d

d

dt

d

d

d

dt

d

d

drr

222

0

2

sincos AAd

d

d

d

42

22

rm

L



assim

introduzindo na equação da energia conduz a

2

2

22

2

2

22 22

L

MmG

L

m

L

MmGE

L

mA

0

20

2

2

2

222

2

cos

cos2

1

2

1

sin2

1

2

1

AGMmr

MmG

Am

L

mr

L

Am

Lrm

dividindo por e relembrando que 20 2

022 A

22 2

1

GMm

L

m

E



assim

parâmetros da cónica expressos em função das quantidades do movimento E e L

2

222 2

1GMm

Ld

GMm

L

m

E

cos1)(

r

d

cos1)(

r

d

equação geral da cónica – excentricidaded - distância do foco F à directriz D

o que define uma cónica: a razão das distâncias de qualquer ponto P ao foco e à directriz é igual à excentricidade

cos

rd

r

F

D

d

Pcónica r

cos1

r

d

distância de P ao foco

distância de P à directriz

)cos( rdr



as 3 cónicas

< 1 – cónica é uma elipse: m não tem energia para escapar ao campo gravítico de M trajectória fechada

= 1 – cónica é uma parábola: m tem energia (mínima) para escapar ao campo gravítico de M trajectória aberta

> 1 – cónica é uma hipérbole: m tem energia para escapar ao campo gravítico de M trajectória aberta

foco da cónica encontra-se na origem do referencial origem do referencial é o CM de M, a massa que cria o

campo gravítico a que m está sujeita : centro da forçafoco da cónica está

no CM de M


Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: parábola

= 1

cos1)(1

cos1)(

r

d

r

d

22

22cosyx

rxdrxdx

rrd

P

F

D

d

V

r

x

y

c 2

2

1

2y

d

dx 2

2

1

2y

d

dx

equação cartesiana de uma parábola com vértice V em (d/2,0)

2:0

dcrxdcrx no vértice V tem-se:

relaciona as distâncias do foco ao vértice e do foco à directriz

O foco é o centro da força


Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: elipse < 1

x

rrdr

d

coscos1)(

2

2222

r

yxxd

a

cad

a

c

cacadcarV

cacadcarV

22

2

1

1

)(:

)(0:

P

F

D

d

1V

rc

x

y

Oa2V

b

1)(

2

22

2

2

2

b

ca

y

a

cx1

)(

2

22

2

2

2

b

ca

y

a

cxequação cartesiana de uma elipse com

centro O em (-c,0)

a - semieixo maiorb - semieixo menor

= 0 (a = b) : circunferênciaO foco é o centro da força


Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: hipérbole > 1

x

rrdr

d

coscos1)(

2

2222

r

yxxd

a

acd

a

c

cacadcarV

acacdacrV

22

2

1

1

)(:

)(0:

1)(

2

22

2

2

2

b

ca

y

a

cx1

)(

2

22

2

2

2

b

ca

y

a

cxequação cartesiana de uma hipérbole

com centro O em (c,0)

P

F

D

d

1Vr

c

x

y

Oa2V

Nota: o ramo direito da hipérbole seria a trajectória se no foco estivesse o centro de uma força repulsivaO foco é o centro da força


Leis de Kepler 1ª Lei : todos os planetas do sistema solar descrevem órbitas

elípticas com o sol num dos focos

planetas não escaparam ao campo gravítico do sol descrevem trajectórias fechadas com

elipses são as únicas soluções da equação do movimento com

P

F 1V

rc

Oa2V

b

Sol no foco: centro da força

V1- periélio: ponto de menor distância do planeta ao Sol, (a-c), menor Ep, maior velocidade

V2- afélio: ponto de maior distância do planeta ao Sol, (a+c), maior Ep, menor velocidade


Leis de Kepler 2ª Lei : o vector , definido pelo sol e planeta, varre áreas iguais

em intervalos de tempo iguais

''' POPPOP dAdA

área varrida por em dt r

área do triângulo rectângulo: ângulo recto em P

mL

rdt

dr

dt

dArdrdA POP

POP 22'''' 2

1

2

1

2

1

constante2

1'' m

L

dt

dAPOPconstante

2

1'' m

L

dt

dAPOP

constante do movimento

taxa de varrimento é constante

r

rudrurdrd

Sol

P

'P''P

urd

d

O

porque d é infinitesimal

planeta


Leis de Kepler 3ª Lei : o quadrado do período de revolução em torno do sol é

proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse a

22

22

0

''

4

1

2

1

2

1

2

1T

m

LAT

m

Ldt

m

LA

m

L

dt

dA TPOP

área total varrida num período = área da elipse

a

b

a

cad

GMm

Ld

baA

222

2

2

32

2 )2(a

GMT

3

22 )2(

aGM

T

constante de proporcionalidade


Leis de Kepler 3ª Lei numa órbita circular

2322

2

2

2)(

TrrrrvGM

r

vm

r

MmG

32

2 )2(r

GMT

3

22 )2(

rGM

T

sol

força gravítica é puramente normal

F


22

222

2

2

2

2

)(1)(

yb

aacx

b

y

a

cx

parábola de vértice em (a-c,0)

acx

r cos0~

22

2

)(

2

)( yb

aacx

a

acx

222

)( yb

acax

P

F

r

cx

O

a

Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico elipse tem que se confundir com uma parábola na vizinhança do

eixo: 0~

F- foco: CM da Terraorigem do referencial

superfície da Terra

troço de elipse que se confude com uma

parábola

O- centro da elipse


22

222

2

2

2

2

)(1)(

yb

aacx

b

y

a

cx

parábola de vértice em (c-a,0)

ax

rc cos0~

22

2

2

)()( yb

a

a

acxacx

222

)( yb

aacx

0~

P

F

r

c

xO

a

Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico hipérbole tem que se confundir com uma parábola na vizinhança

do eixo:

F- foco: CM da Terraorigem do referencial

superfície da Terra

troço de hipérbole que se confude

com uma parábola

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