Material de Resistência Dos Materiais I (Etapa 1)

Universidade Federal do Vale do São Francisco

Colegiado de Engenharia Civil Resistência dos Materiais I

Prof.: Bruno Ceotto Prof.: João Sedraz

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Juazeiro/ 2008

Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz

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SUMÁRIO

CAPÍTULO 01

CONCEITO DE TENSÃO .......................................................................................................... 3

1.1. Introdução ......................................................................................................................................... 3 1.1.1. Problemas tratados pela Resistência dos materiais.....................................................................................3 1.1.2. Tipos de elementos estruturais .....................................................................................................................3 1.1.3. Hipóteses simplificadoras para o estudo dos corpos deformáveis ..............................................................4 1.1.4. Classificação dos esforços externos.............................................................................................................4 1.1.5. Equilíbrio de um corpo deformável ...............................................................................................................5 1.1.6. Determinação dos esforços internos.............................................................................................................5

1.2. Forças Axiais e Tensões Normais ................................................................................................... 7 1.3. Tensões Cisalhantes......................................................................................................................... 8 1.4. Tensões Admissíveis, Tensões Últimas e Coeficiente de Segurança .......................................... 9 1.5. Projeto de acoplamentos Simples ................................................................................................. 10 1.6. Tensões num Plano Oblíquo ao Eixo ............................................................................................ 11

CAPÍTULO 02

RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES...................................................................... 22

2.1. Diagrama Tensão Deformação.................................................................................................... 22 2.1.1. Ensaio de Tração e Compressão para Cargas Axiais................................................................................22 2.1.2. Diagrama Tensão - Deformação: Regimes Elástico e Plástico..................................................................22 2.1.3. Tipos de Fratura ..........................................................................................................................................23

2.2. Propriedades Mecânicas dos Materiais......................................................................................... 24 2.3. Lei de Hooke.................................................................................................................................... 24

2.3.1. Obtenção do alongamento elástico de barras ...........................................................................................25 2.3.2. Recipientes de paredes finas ......................................................................................................................33 2.3.3. Deformação Lateral - Coeficiente de Poisson ............................................................................................35 2.3.3. Lei de Hooke Generalizada - Carregamento Triaxial .................................................................................36

CAPÍTULO 03

TORÇÃO EM BARRA DE SEÇÃO CIRCULAR ............................................................................. 38

3.1. Fórmula Coulomb para torção ....................................................................................................... 39 3.2. Observações sobre tensões cisalhantes causas por torção....................................................... 40 3.3. Ângulo de torção no regime elástico............................................................................................. 43 3.4. Projeto de Eixos de Transmissão de Potência ............................................................................. 46

CAPÍTULO 04

FLEXÃO PURA E SIMPLES EM VIGAS..................................................................................... 47

4.1. Deformação por Flexão de uma Viga............................................................................................. 48 4.2. Tensões no regime elástico ........................................................................................................... 49

CAPÍTULO 05

CISALHAMENTO EM VIGAS ................................................................................................... 52

5.1. Tensão cisalhante em um plano horizontal .................................................................................. 52 5.2. Vigas Compostas ............................................................................................................................ 55

CAPÍTULO 06

ESTADO DE TENSÕES.......................................................................................................... 58

6.1. Estado geral de tensões ................................................................................................................. 58 6.2. Estado plano de tensões ................................................................................................................ 58

6.2.1. Circulo de Mohr ...........................................................................................................................................60 6.2.2. Tensões e principais....................................................................................................................................61


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CAPÍTULO 01

CONCEITO DE TENSÃO

1.1. Introdução

Na Mecânica Geral, como apresentados na disciplina Mecânica dos Sólidos I - Estática, os corpos sólidos, ou elementos estruturais, são tratados como sendo corpos rígidos ou indeformáveis, já o estudo dos corpos sólidos deformáveis é realizado pela Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis.

Este ramo da Mecânica reúne, entre outras disciplinas, a Resistência dos Materiais e a Teoria da Elasticidade.

A Resistência dos Materiais estuda tanto a resistência dos elementos estruturais, para que não venham a se romper, como também a rigidez dos mesmos, a fim de que suas deformações sejam compatíveis com o uso a que se destinam.

Os métodos de cálculo utilizados na Resistência dos Materiais são deduzidos a partir de uma série de hipóteses simplificadoras, baseadas em resultados comprovados experimentalmente.

1.1.1. Problemas tratados pela Resistência dos materiais

Como citado anteriormente, o estudo da Resistência dos Materiais busca principalmente garantir que os elementos estruturais não venham a se romper e que as suas deformações sejam compatíveis com o uso a que se destinam. Dessa forma, os problemas tratados nessa disciplina serão de Verificação de estabilidade e Dimensionamento dos elementos estruturais.

Verificação de estabilidade: a partir do material e das dimensões do elemento estrutural, são pesquisados os esforços externos máximos (cargas) que podem atuar sobre ele com segurança, de maneira a produzir um equilíbrio estável.

Dimensionamento: a partir dos esforços externos atuantes no elemento estrutural e das propriedades físicas do seu material constituinte, são calculadas as suas dimensões, assim como as deformações nele produzidas, com vistas a se obter segurança e economia;

1.1.2. Tipos de elementos estruturais

Em função de suas dimensões, os elementos estruturais podem ser classificados em:

Barras: uma dimensão sobressai perante as outras duas.

Fig. 1- Elemento Barra

Lâminas: duas dimensões sobressaem perante a terceira.

Fig. 2- Elemento Lâmina

Blocos: as três dimensões são de mesma ordem de grandeza.

Fig. 3- Elemento Bloco


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1.1.3. Hipóteses simplificadoras para o estudo dos corpos deformáveis

Entre as hipóteses simplificadoras, adotadas na disciplina Resistência dos Materiais I para o estudo dos corpos deformáveis, podemos citar:

a) Considera-se que todo material é contínuo, homogêneo e isótropo.

Contínuo: a matéria ocupa totalmente o volume do corpo, assim poderemos utilizar cálculo infinitesimal.

Homogêneo: tem as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todos os pontos do seu volume.

Isótropo: tem essas mesmas propriedades em todas as direções

b) As deformações são muito pequenas em relação às dimensões do corpo - Devido a isto, pode-se desprezar a mudança que ocorre no ponto de aplicação do carregamento devido às deformações.

c) Hipótese de Bernoulli - As seções permanecem planas e normais ao eixo longitudinal da peça após as deformações.

d) Princípio de Saint Venant - Em regiões do corpo distantes do ponto de aplicação das ações externas, os efeitos dessas ações dependem muito pouco do modo da sua aplicação.

e) Princípio da superposição dos efeitos - O efeito de um conjunto de esforços agindo simultaneamente sobre um corpo é igual à soma dos efeitos de cada esforço agindo isoladamente, em ordem arbitrária (válido para pequenas deformações).

1.1.4. Classificação dos esforços externos

a) Quanto ao tipo

Ativos

cargas, peso próprio. Reativos

reações de apoio

b) Quanto à natureza

Forças - cargas Binários

momentos ou conjugados

c) Quanto à variação no tempo

Permanente - praticamente não varia de intensidade e ponto de aplicação Dinâmico - varia de intensidade De impacto - desenvolve vibrações na estrutura Móveis ou acidentais - são as sobrecargas, podendo ou não variar de posição.

d) Quanto à forma de aplicação

Concentrados

modelo matemático em que se supõem a aplicação de carga em um único ponto.

Distribuídos

Linearmente - forças referidas por unidade de comprimento. Ex.: Carga de alvenaria

Superficialmente - forças referidas por unidade de área. Ex.: Pressão de vento, empuxo

Volumetricamente - forças referidas por unidade de volume. Ex.: Forças de corpo

Fig. 4- Classificação de esforços.


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1.1.5. Equilíbrio de um corpo deformável

O equilíbrio de um corpo requer tanto equilíbrio de forças, para evitar que o corpo sofra translação, como o equilíbrio de momentos, para evitar a rotação do corpo. Essas condições podem ser expressas matematicamente por meio de duas equações vetoriais:

Eq. 1.

Equilíbrio estático

Num sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O, as duas equações anteriores

podem ser escritas na forma escalar, como seis equações, como a seguir:

Eq. 2.

Equilíbrio estático no espaço.

Tipos de vínculos e reações de apoio

No quadro abaixo, apresentamos os tipos de apoios mais encontrados nos problemas bidimensionais.

Quadro 1. Principais tipos de apoio bidimensionais.

1.1.6. Determinação dos esforços internos

Podemos determinar os esforços internos de um estrutura a partir do método das seções. Esse método é baseado no princípio do equilíbrio estático, ou seja, qualquer parte de um corpo sujeito à ação de um sistema de forças em equilíbrio, estará também em equilíbrio sob a ação das forças externas diretamente aplicadas, e das forças internas que agem na superfície de separação (seção plana).

Método das Seções:

Fazemos uma seção ou corte , dividindo o corpo em duas partes; estas partes são então separadas, e o diagrama de corpo livre de uma das partes é desenhado.


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Na figura abaixo, as forças agindo na área exposta representam os efeitos da parte superior

atuando sobre a parte inferior.

Fig. 5. Aplicação do Método das Seções

Decompondo-se a força resultante e o momento em suas componentes normal e tangente ao plano secionado (d), ficam definidos quatro tipos diferentes de esforços internos:

Força Normal, N: provoca o afastamento ou a aproximação de duas seções adjacentes.

Fig. 6. Análise de um elemento submetido apenas por Força Normal

Força de cisalhamento, V: promove o deslizamento relativo de uma seção em relação à outra.

Fig. 7. Análise de um elemento submetido apenas por Força de Cisalhamento


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Momento Torçor ou Torque, T: provoca a rotação relativa de duas seções em torno de um eixo que lhes é perpendicular;

Fig. 8. Análise de um elemento submetido apenas por Momento Torçor

Momento Fletor, M: tende a fletir o corpo em relação ao eixo localizado no próprio plano da seção.

Convenção de sinais:

Fig. 9. Convenção de sinais para esforços internos.

Tipos de Flexão

Pura - quando atua somente momento fletor (M);

Simples - quando atuam simultaneamente momento fletor e força cortante (M e V);

Composta - quando atua momento fletor, força cortante, força normal e/ou momento torçor (M, V, N e/ou T).

1.2. Forças Axiais e Tensões Normais

Seja a barra prismática (barra com seção transversal constante) da figura abaixo. Se desprezarmos o peso próprio da barra e a seccionarmos como indicado, então, para o equilíbrio do seguimento inferior (b), a resultante da força interna que atua na seção transversal deverá ser igual em intensidade, colinear e de sentido oposto ao da força externa que atua na extremidade inferior da barra.

Fig. 10. Forças Axiais e Tensões Normais.


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Para determinarmos a distribuição média de tensão que atua na área da seção transversal da

barra, é necessário o atendimento das seguintes hipóteses simplificadoras:

A barra deve permanecer reta durante a aplicação do carregamento;

seção transversal deve permanecer plana durante a deformação (ao ser carregada a barra muda o seu volume e a sua forma). Para tanto não serão consideradas as regiões próximas das suas extremidades, sujeitas a distorções localizadas (c);

Para que a barra sofra deformação uniforme, o seu material deve ser homogêneo e isótropo.

A região intermediária da barra (c) está submetida a uma deformação uniforme e constante, que é conseqüência de uma tensão axial constante .

Fig. 11. Tensão Normal.

Devido a isto, cada elemento de área A da seção transversal da Fig. 11 está sujeito a uma força F = A.

Se A dA e conseqüentemente F dF, e sendo constante, temos que:

dF =

dA

dF = A

dA

P =

A = P

A

Eq. 3.

Tensão Normal.

Onde: = tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal;

P = resultante da força normal interna, aplicada no centróide da seção transversal; A = área da seção transversal da barra.

1.3. Tensões Cisalhantes

Seja a barra da figura a seguir, submetida ao cisalhamento direto da força F. Admitindo-se que seus apoios sejam rígidos e que a força F seja suficiente grande, sua ação provocará a deformação e falha desta barra ao longo dos planos AB e CD.

Fig. 12. Tensão Cisalhante.

O DCL (diagrama de corpo livre) do segmento central da barra, situado entre os apoios (b), indica que uma força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada em cada seção de corte, para que seja mantido o equilíbrio estático vertical deste segmento.


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A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área secionada é definida por (c):

méd = V

A

Eq. 4.

Tensão Cisalhante.

Onde: méd = tensão de cisalhamento média na seção,

admite-se ter o mesmo valor em qualquer ponto da seção transversal de corte; V = resultante interna da força de cisalhamento na seção de corte; A = área da seção transversal de corte.

Esse tipo de cisalhamento ocorre freqüentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, colas, soldas, etc.

Em todos estes casos, no entanto, a adoção do valor de uma tensão de cisalhamento média,

méd, é apenas aproximada.

1.4. Tensões Admissíveis, Tensões Últimas e Coeficiente de Segurança

Para que se possa garantir a segurança dos elementos estruturais ou mecânicos, faz-se necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor inferior ao da carga que o elemento possa suportar. Podem-se citar as seguintes razões para a adoção dessa prática:

A carga para a qual o elemento foi projetado pode ser diferente do carregamento realmente aplicado;

As dimensões da estrutura ou das peças que a compõem podem apresentar diferenças devido a erros de montagem e/ou fabricação;

Ocorrência de cargas acidentais, de impacto ou vibrações desconhecidas não consideradas em projeto;

Corrosão, deterioração ou desgaste provocado por agentes atmosféricos;

Materiais que por sua natureza podem apresentar grande variação em suas propriedades mecânicas, tais como: madeiras, concretos, etc.

Obtém-se carga admissível de projeto, Fadm, a partir da carga de ruptura, Frup, obtida em testes experimentais, por meio da adoção do chamado fator de segurança, F.S.

O fator de segurança, F.S. é selecionado com base na experiência, a fim de que as incertezas mencionadas anteriormente sejam contempladas. Este fator é expresso matematicamente pela seguinte expressão:

Eq. 5.

Fator de Segurança.

De igual maneira, também podemos expressar o fator de segurança como a relação entre a tensão de ruptura e a tensão admissível, ou seja:

ou

Eq. 6.

Fator de Segurança.


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1.5. Projeto de acoplamentos Simples

Admitindo-se as hipóteses simplificadoras em relação ao comportamento do material, as equações

= P/A e med = V/A podem ser utilizadas para análise ou projeto de acoplamentos ou

elementos mecânicos.

Se um elemento estiver sujeito a uma força normal em uma seção, a área requerida da seção será dada por:

A= P/ adm Eq. 7.

Acoplamento submetido a uma tensão normal.

Por outro lado, se a seção estiver sujeita a uma força de cisalhamento, a área requerida da seção será:

A= P/ adm Eq. 8.

Acoplamento submetido a uma tensão cisalhante.

a) Elemento sob Tração

Seja a barra da Fig. 13a. Na seção intermediária a-a, a distribuição de tensão é uniforme sobre a seção transversal, e a área requerida A é determinada como mostrado na Fig. 13b.

Fig. 13. Dimensionamento de um elemento sob tração.

b) Acoplamento submetido a Cisalhamento

Seja a junta sobreposta mostrada na Fig. 14a, na qual a força de atrito entre as chapas seja desprezível.

O DCL do corte que passa entre as chapas e através do parafuso é mostrado na Fig. 14b. O parafuso está submetido à força de cisalhamento interna V = P na seção transversal. Supondo que a tensão de cisalhamento agindo nesta seção seja uniformemente distribuída na seção transversal, a área requerida A é determinada como mostrado na Fig. 14c.

Fig. 14. Dimensionamento de um elemento sob cisalhamento.

c) Área Requerida para Resistir ao Esmagamento

Para se evitar o esmagamento ou a deformação local excessiva em uma ou em ambas as superfícies em contato, é necessário determinar a área de apoio em relação ao material menos resistente da superfície de contato.

Supondo que a tensão admissível de apoio do concreto seja menor que a da chapa de base, e que a tensão de apoio seja uniformemente distribuída entre a chapa e o concreto, a área A da chapa da


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base da coluna B é determinada pela tensão de apoio admissível do concreto como mostrado na figura a seguir.

Fig. 15. Dimensionamento de um elemento sob esmagamento.

d) Área Requerida para Resistir ao Cisalhamento Provocado por Carga Axial

Seja a haste de aço engastada em concreto e carregada como mostra a Fig. 16a. O DCL dessa haste (Fig. 16b) mostra que uma tensão de cisalhamento atua sobre a área de contato entre a haste e o concreto, dada por ( d)l, em que d é o diâmetro da haste e l o comprimento do engaste. Supondo que a tensão de cisalhamento seja uniformemente distribuída, podemos obter A = V/ adm; e assim, desde que d e adm sejam conhecidos, podemos calcular o valor de l, conforme mostrado na Fig. 16b.

Fig. 16. Dimensionamento de um elemento sob cisalhamento provocado por uma carga axial.

1.6. Tensões num Plano Oblíquo ao Eixo

As tensões num plano oblíquo ao eixo de aplicação de uma determinação força pode ser calculada de acordo ao que está apresentado a seguir.

Componentes normal e tangencial da carga P no plano oblíquo.

As tensões normal e tangencial médias no plano oblíquo ao eixo são:

Fig. 17. Tensões em planos inclinados.


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Tensões Máximas

A partir das deduções realizadas anteriormente, podemos determinas as tensões máximas determinadas pela aplicação de uma força da seguinte maneira.

As tensões normal e tangencial num plano oblíquo a um eixo são expressas por:

A tensão normal máxima ocorre para = 0º:

A tensão tangencial máxima ocorre para = + 45o:

Exercício Resolvido 1

Seja o guindaste da figura abaixo. Se o motor levanta a carga W de 500 lb com velocidade constante, determinar a resultante das cargas internas que atua na seção transversal no ponto C. Desprezar o peso das roldanas e da viga.

Solução:

- Análise do DCL do segmento à esquerda do ponto C.

- Equações de equilíbrio estático: Fx = 0; 500 lb + NC = 0 NC = 500 lb Fy = 0; 500 lb VC = 0 VC = 500 lb MC = 0; 500 lb(4,5 pés) 500 lb(0,50 pé) + MC = 0 MC = 2.000 lb.pés

Fig. 18. Tensões máximas.


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Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em G da viga de madeira mostrada na figura a seguir. Supor que as articulações A, B, C, D e E sejam acopladas por pinos.

Solução:

- Cálculo da reação em cada um dos apoios:

- Análise do equilíbrio em B:

- Análise do DCL do segmento à esquerda do ponto G, conforme figura a seguir.

- Equações de equilíbrio estático: Fx = 0; 7.750 lb + NG = 0 NG = 6.200 lb Fy = 0;

1.500 lb + 7.750 VG = 0 VG = 3.150 lb MG = 0; MG (7.750 pés) + 1.500 lb(2 pés) = 0 MG = 6.300 lb.pés


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Determinar a resultante dos esforços internos que atuam na seção transversal em B do tubo mostrado na figura a seguir. O tubo tem massa de 2 kg/m e está submetido a uma força de 50 N e a um conjugado de 70 N.m em sua extremidade A . O tubo está fixado à parede em C.

Solução:

Calculando a força concentrada (aplicada no centro de gravidade) equivalente ao peso próprio de cada tubo, temos:

WBD = (2 kg/m)(0,5 m)(9,81 N/kg) = 9,81 N WAD = (2 kg/m)(1,25 m)(9,81 N/kg) = 24,525 N

- Equações de equilíbrio estático:

Fx = 0 FBx = 0 Fy = 0 FBy = 0 Fz = 0 FBz 9,81 N 24,525 N 50 N = 0 FBz = 84,3 N Mx= 0 MBx+70 N.m (50N)(0,5m) 24,525 N(0,5m) 9,81 N(0,25m) = 0 MBx = 30,3 N.m My = 0 MBy + 24,525 N(0,625 m) + (50N)(0,125 m) = 0 MBy = 77,8 N.m Mz = 0 MBz = 0


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A barra da figura abaixo tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado.

Solução:

- Análise do DCL de três segmentos da barra.

A partir dos DCLs apresentados acima, pode-se observar que as forças axiais internas nas regiões AB, BC e CD são todas constantes, mas de intensidades diferentes. A maior carga encontra-se no trecho BC, onde P = 30 kN. Assim, a maior tensão normal média ocorrerá neste trecho e será dada por:

MPa,)m,m,(

N)(A

PBCBC 785

01000350

1030 3


A barra mostrada na Figura 1.24a tem seção transversal quadrada com largura e profundidade de 40 mm. Para o carregamento mostrado, determinar a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a; (b) no plano da seção b-b.


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Solução:

- Análise do DCL do segmento à esquerda da seção a-a.

De acordo com o DCL apresentado, a carga interna resultante consiste apenas na força axial P = 800 N. Assim , A tensão normal média nessa seção será dada por:

kPa)m,m,(

NAP

500040040

800

A tensão de cisalhamento média é nula, pois na existe força de cisalhamento nessa seção.

( 0méd )

- Análise do DCL do segmento à esquerda da seção b-b.

No DCL acima, a barra está secionada e a força norma N e a força cisalhante V atuarão sobre a área da seção (b-b) inclinada. Usando os eixos x e y , teremos:

Fx = 0 N 800N cos 30º = 0 N = 692,8 N Fy = 0 V 800N sen 30º = 0 V = 400 N

Nota: Nesse caso, a área secionada tem largura e comprimento, respectivamente, de 40 mm e 46,19 mm (40 mm/sen 60º)

A tensão normal média nessa seção será dada por:

kPa)m,m,(

N,AN

375046190040

8692

A tensão de cisalhamento média nessa seção será dada por:

kPa,)m,m,(

N,AV

med 5216046190040

00400


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Exercício Proposto 1

Determine os valores e os tipos de esforços no ponto C de cada uma das estruturas abaixo.

a)

b)

c) d)


Determine o valor da força cortante e do momento fletor nos pontos A, B, C, D e E das vigas ilustradas.

a)

b)

c)

d)


Ainda de acordo com a questão anterior, trace os gráficos de força cortante em função da posição da seção analisada (V x X) e do Momento fletor em função da posição da seção analisada (M x X).


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Duas barras circulares maciças estão soldadas em B, como mostrado na figura. Determine a tensão normal na seção média de cada trecho. Resposta:

AB = +95,5 Mpa; BC = +113,2 MPa.

Exercícios propostos 04 e 05.


Para o problema anterior, determine a intensidade para a força P que provoca nos dois trechos o mesmo valor de tensão normal. Resposta: P = 40 kN.


Sabe-se que a haste BE tem seção transversal retangular uniforme de 12 X 25 mm. Determine a intensidade P das forças aplicadas, de forma que a tensão normal em BE seja de +90 MPa. Resposta: P = 3,79 kN.



Três forças de mesma intensidade, P = 4 kN, estão aplicadas ao mecanismo do problema anterior. Determinar a área da seção transversal para a parte uniforme da barra BE, de modo que a tensão normal seja de +100 MPa. Resposta: ABE = 285 mm2.


Determine as tensões normais nas barras CE e DE, sabendo que elas têm seções transversais retangulares iguais, de dimensões 20 X 50 mm. Resposta: CE = +15 Mpa; DE = +50 MPa.



Sabe-se que as barras tracionadas da treliça do problema anterior serão fabricadas com hastes cilíndricas. Determine o diâmetro que leva ao valor de tensão de 100 MPa para a: a) barra EG, b) barra FG. Resposta: a) EG = 23,9 mm; b)

FG = 30,9 mm.


A haste AB será construída em aço, para o qual a tensão última normal é de 450 MPa. Determine a área da seção transversal para AB admitindo um coeficiente de segurança igual a 3,5. A haste está adequadamente reforçada em torno dos pinos A e B. Resposta: AAB = 168,2 mm2.


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Uma alça de aço ABCD de 1,2 m de comprimento e 10 mm de diâmetro é colocada em volta de uma barra de aço circular AC, de 24 mm de diâmetro. Aplica-se a carga Q por meio dos cabos BE e DF, de 12 mm de diâmetro. Sabendo-se que para a barra adm = 60 MPa, e para a alça e os cabos adm = 180 MPa, determine a maior carga Q que pode ser aplicada. Resposta: Q = 16,96 kN.


As duas partes da peça AB são coladas em um plano que forma um ângulo

com a horizontal. As tensões últimas para a união colada valem U = 17 MPa e U = 9 MPa. Determine a faixa de valores de

para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3. Resposta: 22,8

32,1.


Dimensionar as barras FC e CB da treli»ca representada na figura de modo a resistir à ação de uma força indicada P de 650 kN. Admitir para a tensão admissível um valor de 140 MPa. Resposta: AFC = 620 mm2 e ACB = 2.790 mm2.


Uma torre utilizada em uma linha de alta tensão é representada na figura. Sabendo-se que a mesma está submetida a uma força horizontal de 540 kN e que as tensões admissíveis valem 100 MPa à compressão e 140 MPa à tração, respectivamente, qual a área necessária para a seção transversal de cada barra? Todas as barras são articuladas. Todas as dimensões estão em metros. Resposta: AAD = 3.640 mm2.


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Determinar a tensão no mastro do guincho representado na figura. Todos os elementos estruturais situam-se no mesmo plano vertical e estão ligados por articulações. O mastro é constituído por um tubo de aço de 200 mm de diâmetro, cuja área transversal é de 6.000 mm2. Desprezar o peso próprio dos elementos estruturais. Resposta: mastro = 2,5 MPa.


Uma força de 500 kN é aplicada ao nó B do sistema de duas barras articuladas representadas na figura. Determinar a área necessária para a seção transversal da barra BC se as tensões admissíveis valem 100 MPa à tração e 70 MPa à compressão. Resposta: ABC = 745,2 mm2.


Cada barra da treliça mostrada na figura tem área transversal igual a 1,25 in2. Se a tensão normal admissível para as barras vale 20 ksi, quer à tração quer à compressão, determinar a máxima carga P que pode ser aplicada a esta treliça como indicado. Resposta: 15,0 kip.


As barras AB e BC têm diâmetros de 25 mm e de 18 mm respectivamente. Se uma força P = 6 kN é aplicada ao anel em B, determinar a tensão normal em cada uma das barras quando

for igual a 60º. Resposta: AB = 21,2 MPa e BC = 23,6 MPa.


A barra rígida AC é suportada pelos tirantes AB e CD, os quais têm respectivamente áreas transversais iguais a 10 mm2 e 15 mm2. Determinar a posição d para a carga distribuída de modo que as tensões normais nos tirantes sejam iguais. Resposta: d = 0,8 m.


21


Duas barras de alumínio AB e AC têm, respectivamente, diâmetros iguais a 10mm e 8mm. Determinar a maior força vertical P que pode ser aplicada ao conjunto como mostrado na figura. A tensão normal admissível para o alumínio vale 150 MPa. Resposta: 7,54 kN.


Dois cabos de arco AB e AC são usados para suportar a força P indicada na figura. Se ambos os cabos têm tensão admissível à tração igual a 200 MPa, determinar o diâmetro mínimo necessário para cada um desses cabos quando P = 5 kN. Resposta: dAB = 5,26 mm e dAC = 5,48 mm.


Uma lâmpada de peso igual a 50 lb está suspensa por duas barras de aço e ligadas entre si pelo anel em A. Determinar o ângulo de orientação

para a barra AC, tal que a tensão normal na barra AC seja o dobro da tensão normal na barra AB. Neste caso, qual será a magnitude desta tensão normal. O diâmetro de cada barra está mostrado na figura. Resposta: = 47,4º; AB = 177 psi e AC = 353 psi.


Uma lâmpada com massa igual a 80 kg è suportada por duas barras AB e BC como mostrado na figura. Se barra AB tem diâmetro de 10mm e a barra BC de 8mm, determinar que barra está sujeita à maior tensão normal. Considerar g = 9,81 m/s2. Resposta: Barra AB, AB = 8,05 MPa.


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CAPÍTULO 02

RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Nesse capítulo é realizado um estudo que mostra como a tensão pode ser relacionada com a deformação, por meio de métodos experimentais, a fim de se determinar o diagrama tensão-deformação para um material específico, assim como as suas aplicações para o dimensionamento e análise de problemas de engenharia.

2.1. Diagrama Tensão Deformação

2.1.1. Ensaio de Tração e Compressão para Cargas Axiais

A relação entre as tensões e deformações, para um determinado material, é obtida por meio de um ensaio de tração (ou compressão). O ensaio trata-se de um teste experimental de laboratório, no qual um corpo-de-prova é colocado em uma máquina de ensaio, onde é submetido a uma força de tração (ou compressão) gradualmente crescente. À medida que se aplicam acréscimos de força, são medidos os correspondentes acréscimos (ou encurtamentos) sofridos pelo corpo-de-prova, em relação ao seu comprimento inicial de referência. Essas medidas podem ser efetuadas por intermédio de diversos instrumentos denominados extensômetros.

Para a análise de tensões e deformações, corpos de prova são ensaiados em laboratório. Os ensaios são padronizados: a forma e as dimensões dos corpos de prova variam conforme o material a ser ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar.

Fig. 19.Máquina para ensaio de corpos de prova. Fig. 20. Corpo de prova típico do ensaio de tração.

2.1.2. Diagrama Tensão - Deformação: Regimes Elástico e Plástico

Obtido durante o ensaio de corpos de prova, o diagrama de tensão-deformação, é um gráfico muito importante em engenharia, pois, permite a determinação de informações sobre a resistência à tração ou compressão do material sem considerar o tamanho ou formato físico desse material, ou seja, a sua geometria.

De acordo com a Fig. 21, o diagrama de tensão-deformação, apresenta nas abscissas o valor da deformação especifica do material ( = [L-L0]/L0, onde L é o comprimento para uma dada carga e L0 é o comprimento original) e nas ordenadas o valor correspondente da tensão causadora da deformação ( = P/A0, onde P é a carga e A0 é a seção reta do corpo de prova).


23

Fig. 21. Pontos principais de um diagrama de tensão-deformação.

No diagrama de tensão-deformação podemos verificar a presença de duas regiões distintas: Região Elástica e a Região Plástica.

Região elástica

é proporcional a => Lei de Hooke: = E. , onde E = módulo de Young;

A deformação é reversível;

Ligações atômicas são alongadas mas não se rompem.

Região plástica

não é linearmente proporcional a .

A deformação é quase toda não reversível.

Ligações atômicas são alongadas e rompem-se.

O diagrama tensão-deformação varia muito de material para material, mas por meio dele é possível distinguir duas importantes categorias de materiais: dúcteis e frágeis. Os Materiais dúcteis são aqueles que apresentam grandes deformações permanentes antes de romperem-se (ex: o aço e o alumínio). Materiais Frágeis são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, e que se rompem bruscamente, sem apresentar sinais consideráveis (ex: concreto, vidro, ferro fundido, etc.).

2.1.3. Tipos de Fratura

Chamamos de fratura o processo caracterizado pela formação e propagação de fendas no material. A fratura de materiais pode assumir dois modos:

Fratura Dúctil

o material deforma-se substancialmente antes da formação da fenda.

O processo desenvolve-se de forma relativamente lenta à medida que a fenda se propaga.

Este tipo de fenda é denominado estável porque ela para de se propagar e a tensão permanecer constante.

Fratura frágil

O material deforma-se pouco, antes da formação da fenda.

O processo de propagação da fenda pode ser muito veloz, gerando situações catastróficas.

A partir de um certo ponto, a fenda é dita instável porque se propagará mesmo sem aumento da tensão aplicada sobre o material.


24

É importante deixar claro que a classificação da fratura não ocorre em função do tipo de material,

mas, pelo processo de formação e propagação da fenda. Dependendo das condições do teste, o comportamento do material pode variar de forma significativa. Um exemplo disso é o vidro. Em condições normais de temperatura o vidro se comporta claramente como material frágil, mas, para temperatura elevada podemos definir o vidro como um material dúctil.

2.2. Propriedades Mecânicas dos Materiais

Ainda de acordo com a Fig. 21, o diagrama tensão-deformação, permite caracterizar diversas propriedades do material, que são definidas a seguir.

a) Limite de proporcionalidade ( P): É a tensão P, correspondente ao ponto P, e representa o valor máximo da tensão, abaixo da qual o material obedece à Lei de Hooke.

b) Limite de Elasticidade ( el): Próximo ao ponto P, existe um ponto A na curva tensão-deformação ao qual corresponde ao Limite de elasticidade el; ele representa a tensão máxima que pode ser aplicada ao material sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes, após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, P e el são praticamente iguais; nos casos em que eles são diferentes, o limite de elasticidade é maior que o de proporcionalidade.

c) Limite de escoamento: Tensão correspondente ao ponto Y. A partir desse ponto aumentam as deformações sem que se altere, praticamente, o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se.

d) Limite de resistência ( u): A tensão correspondente ao ponto U (maior tensão atingida no ensaio) recebe o nome de limite de resistência.

e) Limite de ruptura ( r): A tensão correspondente ao ponto B recebe o nome de Limite de ruptura; é a que corresponde à ruptura do corpo de prova.

f) Módulo de elasticidade (E): Representa a constante de proporcionalidade entre a tensão ( ) e a deformação ( ) na região elástica.

2.3. Lei de Hooke

Esta relação linear, entre os deslocamentos e as cargas axiais, conforme indicada na região elástica do diagrama tensão-deformação (Fig. 21), foi apresentada pelo matemático inglês Robert Hooke em 1678 e é conhecida como a Lei de Hooke. Para representar esse trecho linear do diagrama tensão-deformação, pode escrever-se:

= E.

Eq. 9.

Lei de Hooke.

Módulo de elasticidade longitudinal (E), também chamado de módulo de Young, representa a tangente trigonométrica do ângulo que a reta OP forma com o eixo dos

(figuraFig. 21). No quadro a seguir apresentamos valores para E de alguns tipos de metais.

Quadro 2. Módulos de elasticidade de alguns metais.

Metal Aços Alumínio Bronze Cobre Ferro fundido Latão E (GPa) 206,00 68,60 98,00 118,00 98,00 64,00

Note que a unidade de E é a mesma de , isto é, força por unidade de área. Isso se deve ao fato de ser adimensional.

Na Fig. 22 pode-se notar que abaixo da tensão de escoamento, tanto o aço puro como as outras ligas de aço, possuem o mesmo módulo de elasticidade. Em outras palavras pode-se dizer que, dentro da região linear do diagrama, a capacidade de resistir a deformações é a mesma para todos os aços.


25

A resistência, ductilidade, resistência a corrosão e outras propriedades físicas podem ser

modificadas por tratamento térmico, presença de ligas metálicas ou pelo próprio processo de fabricação, mas o módulo de elasticidade, não.

Fig. 22. Diagramas de tensão-deformação para aço puro e para diferentes teores de carbono.

2.3.1. Obtenção do alongamento elástico de barras

Fig. 23. Alongamento elástico de barras.

Seja a barra de seção transversal A e comprimento inicial L submetida a um carregamento axial P (Fig. 23). Se desprezarmos o peso próprio da barra e considerar que a mesma se encontra em estado elástico, pela lei de Hooke, temos:

L.E

AP

.E

Assim a deformação correspondente ao carregamento P pode ser ser calculada pela seguinte equação:

A.EL.P

Para os casos de variações de carregamento, de seção transversal ou propriedades do material,

i ii

ii

EA

LP

Eq. 10.

Obtenção do alongamento elástico de barras.



26

A estrutura de aço (E=200 GPa) representada na figura é composta por um elemento AC com diâmetro D=25 mm e um elemento CD com diâmetro d=15 mm, sendo carregada conforme indicado. Determine:

(a) O diagrama de esforços normais; (b) as tensões normais em cada um dos elementos; (c) o deslocamento do ponto D.

Solução:

(a)

(b)

- Trecho AB:

MPa,/)).((

.AB 3122

41025

106023

3

- Trecho BC:

MPa,/)).((

.BC 630

41025

101523

3

- Trecho BC:

MPa,/))((

.CD 595

42010

103023

3

(c)

0,7mmm.,

).(

..

).,(

..

).,(

..EA

LN

D

CDBCABi ii

iiD

3

23

33

23

33

23

33

9

1070

1010

1010001030

10512

105001015

10512

105001060

10200

1


Em uma barra de alumínio de 12 mm de diâmetro são feitas duas marcas distanciadas de 250 mm. Determinar o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio usado, quando esta barra for tracionada por uma força igual a 6.000 N e se observar que as marcas estarão distanciadas de 250,18 mm. Resposta: E = 73,7 GPa.


Uma força de tração de 9 kN vai ser aplicada a um fio de aço de 50 m de comprimento. Determine o menor diâmetro a ser adotado para o fio, se a tensão normal não pode exceder a 150 MPa e a deformação do fio deve ser no máximo de 25 mm. Considerar E = 200 GPa. Resposta: d = 10,70mm.


27


Duas barras de 36 mm de diâmetro, ABC de aço e CD de bronze, são ligadas em C e formando a barra ABCD de 7,5 m de comprimento. Determinar, para a carga aplicada e desprezando o peso da barra, os deslocamentos: a) da seção C. b) da seção D. Resposta: a) C = 2,95mm ; b) D = 5,29mm .


A haste ABCD é feita de alumínio com E = 70 GPa. Para as cargas indicadas, desprezando o peso próprio, determine: a) o deslocamento da seção B, b) o deslocamento da seção D. Resposta: a) B = 0,781 mm ; b) D = 5,71 mm .


Um trecho de um tubo de alumínio de 1,2 m e seção transversal de área de 1.100 mm2 está apoiado em um suporte fixo em A. Uma barra de aço BC de 15 mm de diâmetro está pendurada em uma placa rígida que se apóia sobre o tubo, em B. Considerando Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa, calcular o deslocamento da seção C quando P = 60 kN. Resposta: C = 4,5 mm .


O fio de aço CD de 2 mm de diâmetro tem o seu comprimento ajustado de forma que, se nenhum carregamento atuar, existe uma distância de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado um bloco de 20 kg sobre a viga de modo a causar contato entre B e E. Considerar Eaço = 200 GPa. Resposta: x 92,6 mm para contato.


28


Determine as reações do apoio da barra biengastada ilustrada abaixo (estrutura hiperestática).

Solução:

- Condições de equilíbrio: equação da estática: Fy = 0 FA + FB = P (i)

- Condições de compatibilidade: considerações sobre os deslocamentos da estrutura.

L

LPF

EA

LF

EA

PL ACB

BAC0 (ii)

Aplicando ii em i, temos:

L

LPFFAFA

L

LPP AC

AAC 1


29


A barra de aço ACB está rigidamente fixa nos extremos A e B. Determinar as reações nesses apoios quando se aplica o carregamento indicado. Resposta: RA = 323 kN

e RB = 577 kN .


Dois tubos feitos do mesmo material estão conectados como indicado na figura. Se a seção transversal do tubo BC tem área A e a do tubo CD tem área 2A, determinar as reações nos extremos quando uma força P é aplicada na junção destes tubos.

Resposta: RB = 1/3P ( ) e RD = 2/3P ( ).


Calcular as reações nos extremos A e B da barra mostrada na figura. Supor que exista uma distância de 4,5 mm entre a barra e o apoio B antes da aplicação do carregamento. Adotar E = 200 GPa. Considerar as forças mostradas na figura do problema anterior. Resposta: RA = 784,6 kN e RB = 115,4 kN .


Determine a tensão térmica em uma barra biengastada submetida a um acréscimo de temperatura T.

Dados: TLT (dilatação linear)

onde:

= coeficiente de dilatação térmica linear do material constituinte da barra; L = comprimento original da barra;

T = variação de temperatura da barra; T = mudança do comprimento da barra.

Solução:

Ao se aquecer, a barra tenderá a se alongar ( T). Como o alongamento é impedido, surgirão tensões normais de compressão.

- Condições de compatibilidade: (considerações sobre os deslocamentos da estrutura)

O deslocamento térmico T que ocorreria em A é contrabalançado pela força F que seria necessária para a barra ser deslocada F de volta à sua posição original, assim:

E.T..A

FA.E.T..F

EA

LFT.L. A

AAA

FT 00


30


As barras da figura estão distanciadas de 0,5 mm quando a temperatura é de 20ºC. Determinar, a) a que temperatura a tensão normal na barra de aço inoxidável atinge o valor de = 150 MPa; b) o correspondente comprimento da barra de aço inoxidável. Resposta: a) T = 103,2 ºC; b) L = 250,18 mm.


Calcular as forças que atuam no sistema formado pelas barras de aço e cobre ilustrado ao lado.

Dados: Ac = área da seção transversal da barra de cobre; Ec = módulo de elasticidade do cobre; Aa = área da seção transversal da barra de aço; Ea = módulo de elasticidade do aço.

Solução:

- Condições de equilíbrio: equação da estática: Fy = 0; Fa + 2Fc = P (i)

- Condições de compatibilidade: (consideração sobre os deslocamentos do sistema)

Devido à simetria da estrutura e do carregamento aplicado, o alongamento do sistema L será igual ao alongamento das barras de aço e de cobre. Ou seja:

L = La = Lc aa

ccac

cc

c

aa

a

cc

cc

aa

aa

AE

AE.FF

AE

F

AE

F

AE

LF

AE

LF (ii)


)AEAE(

)AE(PF

ccaa

aaa 2

e )AEAE(

)AEAE(PF

ccaa

ccaac 22


Uma coluna de concreto de 1,2 m de altura é reforçada por quatro barras de aço, cada uma com 20 mm de diâmetro. Sabendo-se que os módulos de elasticidade para o concreto e para o aço valem, respectivamente, 25 GPa e 200 GPa, determinar as tensões no aço e no concreto quando uma força centrada de 670 kN é aplicada na coluna.

Solução:


31

- Equação da estática:

Fy = 0 = 4. FA + FC - 670x10³ (i)


aço = concreto ACAC F.,F

,...

LF

),..,.,.(.

L.F41515

01010200010420201025 2929 (ii)


FC = 531,95 kN e FA = 34,51 kN


Uma barra maciça de aço inoxidável A está envolvida pelo tubo B feito em bronze. Ambos estão apoiados sobre uma base rígida. Se uma força igual a 5 kip é aplicada a tampa rígida, determinar o diâmetro d necessário para a barra A de modo que a força aplicada seja igualmente distribuída entre os dois elementos estruturais. Considerar Eaço = 28 x 103 ksi e Ebronze = 14,6 x 103 ksi. Resposta: d = 2,39 in.


A viga rígida AC é suportada por duas barras de aço como mostrado na figura. Se a tensão normal admissível para o aço vale 16,2 ksi, a carga w = 3 kip/ft e x = 4 ft, determinar o diâmetro para cada barra de modo que a viga permaneça na posição horizontal após o seu carregamento. Resposta: dAB = 0,841 in e dCD = 0,486 in.


Uma placa rígida transmite ao bloco composto da figura uma força axial centrada P = 385 kN. Determinar as tensões normais: a) na placa interna de aço; b) nas placas externas de alumínio. Resposta: a) aço = 175 MPa; b) al = 61,3 MPa.


32


Uma barra rígida AD é sustentada por três cabos flexíveis, e submetida à carga P conforme mostrado. Sabendo-se que os cabos possuem a mesma seção transversal e são do mesmo material, determinar as forças atuantes em cada um dos cabos.

Solução:

DCL da barra rígida.

- Equação de equilíbrio da estática:

Fy = 0 = FA+ FB + FD P (i) MB = 0 = FA × L + FD × 3L P × 2L (ii)

Observação: 3 incógnitas e 2 equação da estática (estrutura hiperestática)


Analise do deslocamento da barra

LLADAB

3

(iii)

Relações entre forças e alongamentos

EA'LF

;EA

'LF;

EA'LF D

DB

BA

A

(iv)

Aplicando iv em iii, encontramos a seguinte relação:

3(FB FA) = FD FA (v)

Assim, com i, ii e v, podemos encontrar os valores de FA, FB e FD, simplesmente resolvendo o sistema determinado de três equações e três incógnitas abaixo.

0 = FA+ FB + FD P 0 = FA × L + FD × 3L P × 2L

3(FB FA) = FD FA


A haste CE de 10 mm de diâmetro e a haste DF de 15 mm de diâmetro são ligadas à barra rígida ABCD como mostra a figura. Sabendo-se que as hastes são de alumínio e usando E = 70 GPa, determinar:a) a força provocada em cada haste pelo carregamento indicado; b) o deslocamento do ponto A. Resposta: a) NCE = 8 kN e NDF = 24 kN; b) A = 1,31 mm.


A barra rígida ABC é suspensa por três fios idênticos. Determinar a força em cada fio, devido à carga P quando x = 2/3L. Resposta: NA = 1/2P; NB = 1/3P e NC = 1/6P.


33


O braço rígido mostrado na figura está suportado pela articulação em A, pelo fio de aço BC que tem área transversal com 22,5 mm2 e pelo bloco curto de alumínio em D com 40 mm2 de área transversal. Para a força aplicada como mostra a figura, determine as tensões no fio e no bloco. Considerar Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa. Resposta: D = 13,4 MPa e BC = 9,55 MPa.


Três barras feitas do mesmo material suportam a viga rígida ACE como indicado na figura. Se essas barras têm a mesma área transversal igual a A, determine a força normal em cada uma delas devido a ação da carga distribuída uniforme w. Resposta: NEF = 1/12wd, NAB = 7/12wd e NCD = 1/3wd.

2.3.2. Recipientes de paredes finas

Na seção anterior vimos várias aplicações de tensões normais relacionadas com o alongamento de barras. Nessa seção, veremos uma outra aplicação de tensões normais uniformemente distribuídas: tensões em recipientes de paredes finas.

Um reservatório de raio médio r e espessura t é considerado de parede fina se r (10.t). Desde que esta condição seja satisfeita, podemos admitir que as tensões se distribuem uniformemente ao longo da espessura t do recipiente, e então, podemos determinar as tensões nas paredes com uma precisão razoável, usando apenas as equações da estática.

As aplicações deste estudo se dão em tanques e recipientes de armazenagem de líquidos ou gazes, tubulações de água ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de avião, que são exemplos comuns de vasos de pressão de paredes finas.

Vasos de pressão cilíndricos

Seja o cilindro de parede fina indicado na Fig. 24(a) submetido a uma pressão interna p e espessura t.

Fig. 24. Vaso de pressão cilíndrico.

Considere o anel cilíndrico, de largura x, seccionado do cilindro. O quadrilátero destacado no anel representa uma porção elementar da parede do cilindro, que sofre em suas faces laterais a ação de uma tensão circunferencial 1 e uma tensão longitudinal 2. Estas tensões podem ser calculadas a partir do equilíbrio estático do diagrama de corpo livre (DCL) do cilindro.

a) Tensão Circunferencial ( 1):


34

Se o anel cilíndrico obtido for cortado por um plano vertical que passa pelo seu eixo longitudinal, obtém-se o DCL do segmento semi-circular de anel conforme indicado na Fig. 24(b). Para o equilíbrio estático da metade do anel, a força resultante produzida pelas tensões circunferenciais 1, deve ser igual à força provocada pela pressão interna p agindo no segmento do anel. Assim, temos:

2 [ 1.( x.t)]

p(2.r. x ) = 0

Logo:

tr.p

1

Eq. 11.

Tensão circunferencial de um vaso de

pressão cilíndrico.

Note que a força F , devida à pressão interna p agindo no segmento semi-circular do anel, é igual ao valor desta pressão multiplicada pela projeção vertical da área interna do segmento de anel, ou seja, (2.r. x).

b) Tensão Longitudinal ( 2):

Com procedimento similar ao adotado para determinar 1, podemos encontrar o valor da tensão longitudinal 2 a partir do equilíbrio do segmento indicado em Fig. 24(c).

A tensão 2 atua sobre a coroa circular do cilindro conforme indicado no DCL apresentado. Como t é pequeno em relação a r, podemos considerar a área desta coroa igual a (2. .r.t). Assim, a força resultante produzida pela tensão 2 agindo sobre a coroa circular do cilindro é igual a 2.(2. .r.t).

Por outro lado, a força F , resultante da pressão interna p que age longitudinalmente contra a área circular plana de fluido que existe dentro do cilindro, é dada por p( .r2).

Assim a equação de equilíbrio para o DCL da Fig. 24(c), será dada por:

2.(2 r.t) p( .r2) = 0 Logo:

trp

22

Eq. 12.

Tensão longitudinal de um vaso de pressão cilíndrico.

Comparando Eq. 12 e Eq. 11 podemos verificar que 2 = 0,5. 1 . Dessa forma a tensão determinante para dimensionamento é a tensão no sentido da circunferência do cilindro ( 1).

c) Cálculo da Deformação circunferencial em cilindros ( c):

Assim, a deformação circunferencial do cilindro será dada por:

rr

rr)rr(

c

)cc(

cc f

c 2

22

0

0

0 =>

rr

rc

Lei de Hooke, temos:

ccE =>

rr

Et

rp


35


Um tubo é formado por dois cilindros coaxiais de parede fina, com mostrado na figura. Devido a uma diferença inicial de diâmetros, o cilindro externo de aço é aquecido para que se possa introduzir nele o cilindro interno de alumínio. Pede-se determinar as tensões circunferenciais em cada cilindro, após a montagem do tubo e retorno à temperatura ambiente inicial.

Dados: Eaço = 200GPa; Ealumínio = 70 GPa

Diâmetro médio do tubo: 80 mm;

Diferença inicial entre os diâmetros: 0,1mm;

Espessura de cada cilindro: 2,5 mm.

Solução:

Configuração geométrica dos cilindros antes e depois da montagem

- Considerações iniciais: - A diferença inicial dos raios dos cilindros é de 0,05mm; - Após a montagem a pressão interna do cilindro de aço é igual a pressão externa do cilindro de alumínio (p); - Espessura do cilindro de aço igual a do cilindro de alumínio (t);

- alaço rr = )froalr()oaçorfr( = m.,rr oaçooal310050

- Equações para recipientes de paredes finas:

Pa.,p..

..,

..p.,

.E.Et

r.p

t.E

r.p

t.E

r.prr

t.E

r.pr;

t.E

r.pr

alaço

f

alal

f

açoaço

f).,(

alaçoalal

fal

açoaço

faço

6993

233

22231005022

100541070

1

10200

1

1052

104010050

11

MPa,Pa.,.,

...,t

r.p falaço 8064108064

1052

104010054 63

36

2.3.3. Deformação Lateral - Coeficiente de Poisson

De acordo com a Fig. 25, para materiais homogêneos e isótropos, quando ocorre alongamento ao longo de uma direção de uma barra, ocorre contração no plano perpendicular.

A relação entre a deformação transversal e a longitudinal recebe o nome de Coeficiente de Poisson (Eq. 13), e é comumente designado pelas letras gregas

(ni) ou

(mi). o sinal de menos apenas indica que um alongamento gera uma contração e vice-versa.


36

Fig. 25. Deformação lateral Coeficiente de Poisson.

t

Eq. 13.

Coeficiente de Poisson.

Onde: = coeficiente de Poisson, constante para tensões abaixo do limite de proporcionalidade; t = deformação transversal; = deformação longitudinal.

Para metais, o coeficiente de Poisson varia de 1/4 a 1/3. Para casos de carregamento axial em apenas uma da direções, como o exemplo da Fig. 25,

temos 0zxy

y eE

.

O alongamento na direção y é acompanhado da contração nas outras direções e, para materiais isótropos, o coeficiente de poisson poderá ser determinado da seguinte forma:

y

z

y

x

alLongitudin ExtensãolTransversa Extensão

Eq. 14.

Coeficiente de Poisson.


Um cilindro de latão com diâmetro de 10 mm é tracionado ao longo do seu eixo. Qual é a força necessária para causar uma mudança de 2.5 µm no seu diâmetro, no regime elástico ? Dado: latão=0,35 , Elatão = 10,1 MPa.

Solução:

y = z = d/d0 = -2,5 .10-6 /10.10-3 = -2,5 .10-4

x = - z/ = -(-2,5 .10-4)/ 0,35 = 7,14.10-4

x = E. x = 10,1 MPa .7,14.10-4 = 7.211 Pa

F = x .A0 = x ( d02/4) = 7.211. (10.10-3)2/4 = 5.820 N

2.3.3. Lei de Hooke Generalizada - Carregamento Triaxial

Num carregamento triaxial como o indicado na figura abaixo, cada tensão é capaz de gerar uma deformação de valor /E na direção de sua aplicação e uma deformação /E na direção perpendicular de sua aplicação, ou seja, x gera da direção x uma deformação na direção x igual a x/E e nas direções y e z uma deformação . x/E.


37

Fig. 26. Lei de Hooke Generalizada Carregamento Triaxial.

Fazendo a superposição dos efeitos da aplicação simultânea de x , y e z, temos:

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

Módulo de elasticidade Volumétrico (e):

No estado livre de tensões o volume do cubo apresentado na Fig. 26 é definido por v0 = (dx.dy.dz). Após a aplicação de x , y e z, o volume inicial (v0) toma a forma de um paralelepípedo definido da seguinte maneira:

v = (1+ x)dx . (1+ y)dy . (1+ z)dz

Expandindo o produto anterior encontramos:

v = (dx.dy.dz) + ( x+ y+ z).(dx.dy.dz) + ( x y+ y z+ x z).(dx.dy.dz) + ( x y z)dx.dy.dz

Por se tratar de valores desprezíveis os termos sublinhados a expressão anterior podem ser igualados a zero. Com isso, a expressão pode ser escrita da forma a seguir:

v = (dx.dy.dz) + ( x+ y+ z).(dx.dy.dz) = v0.(1+ x+ y+ z)

Portanto, a variação de volume por unidade de volume (e), relativa ao estado livre de tensões, será dada por:

0

0zyx0

0

0

0v

v)(v

v

vv

vv

e1

= zyx

= zyxE

21

Material de Resistência Dos Materiais I (Etapa 1)

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