Material Impresso Vol 2 - TADS - 2010

FIDÉLIS CASTRO

CÁLCULO II

VITÓRIA

2009

2

Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Governo FederalMinistro de EducaçãoFernando Haddad

Ifes – Instituto Federal do Espírito SantoReitorDenio Rebello Arantes

Pró-Reitora de EnsinoCristiane Tenan Schlittler dos Santos

Diretora do CEAD – Centro de Educação a DistânciaYvina Pavan Baldo

Coordenadoras da UAB – Universidade Aberta do Brasil Yvina Pavan BaldoMaria das Graças Zamborlin

Curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de SistemasCoordenação de Curso

Andromeda Goretti Correa de Menezes

Designer InstrucionalDanielli Veiga Carneiro

Professor Especialista/AutorFidélis Castro,

Catalogação da fonte: Rogéria Gomes Belchior - CRB 12/417C355 Castro, Fidélis Cálculo II. / Fidélis Castro. – Vitória: CEFETES, 2008. 165 p. : il. 1.Cálculo. I. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo. II. Título. CDD 515

DIREITOS RESERVADOSIfes – Instituto Federal do Espírito SantoAv. Vitória – Jucutuquara – Vitória – ES - CEP - (27) 3331.2139

Créditos de autoria da editoraçãoCapa: Juliana Cristina da SilvaProjeto gráfico: Juliana Cristina e Nelson Torres

Iconografia: Nelson TorresEditoração eletrônica: Duo Translation

Revisão de texto: Ilioni Augusta da Costa Maria Madalena Covre da Silva.COPYRIGHT – É proibida a reprodução, mesmo que parcial, por qualquer meio, sem autorização escrita dos autores e do detentor dos direitos autorais.

3Derivadas

Cálculo II

Olá, Aluno(a)!

É um prazer tê-lo(a) conosco.

O Ifes oferece a você, em parceria com as Prefeituras e com o Governo Federal, o Curso Superior de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, na modalidade a distância. Apesar de este curso ser ofertado a distância, esperamos que haja proximidade entre nós, pois, hoje, graças aos recursos da tecnologia da informação (e-mail, chat, videoconferência, etc.), podemos manter uma comunicação efetiva.

É importante que você conheça toda a equipe envolvida neste curso: co-ordenadores, professores especialistas, tutores a distância e tutores presen-ciais, porque, quando precisar de algum tipo de ajuda, saberá a quem recorrer.

Na EaD - Educação a Distância, você é o grande responsável pelo sucesso a aprendizagem. Por isso, é necessário que você se organize para os estudos e para a realização de todas as atividades, nos prazos estabelecidos, con-forme orientação dos Professores Especialistas e Tutores. Fique atento às orientações de estudo que se encontram no Manual do Aluno.

A EaD, pela sua característica de amplitude e pelo uso de tecnologias mo-dernas, representa uma nova forma de aprender, respeitando, sempre, o seu tempo.

Desejamos-lhe sucesso e dedicação!

Equipe do Ifes

Fala do Professor

Conceitos importantes. Fique atento!

Atividades que devem ser elaboradas por você, após a leitura dos textos.

Indicação de leituras complemtares, referentes ao conteúdo estudado.

Destaque de algo importante, referente ao conteúdo apresentado. Atenção!

Reflexão/questionamento sobre algo impor-tante referente ao conteúdo apresentado.

Espaço reservado para as anotações que você julgar necessárias.

ICONOGRAFIA

Veja, abaixo, alguns símbolos utilizados neste material para guiá-lo em seus estudos

CÁLCULO II

Cap. 1 - DERIVADAS 9

1.1 Retas tangentes 91.2 Velocidade média e velocidade instantânea 191.3 Coeficiente angular de uma curva e taxa de variação 271.4 A derivada como uma função 331.5 Regras de derivação 381.6 Derivadas de ordem superior 601.7 Derivadas de funções trigonométricas 651.8 Derivadas de funções exponenciais 771.9 Regra da cadeia 811.10 Derivação implícita 951.11 Taxas relacionadas 102

Cap. 2 - APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 115

2.1 Extremos de uma função 1152.2 Crescimento, decrescimento e o teste da primeira

derivada 1272.3 Concavidade e o teste da segunda derivada 1372.4 Problemas que envolvem máximos e mínimos 1492.5 Antiderivadas 158

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 165

7Derivadas

Cálculo II

APRESENTAÇÃO

Olá Aluno(a)!

Nosso curso de Cálculo II será dividido em 2 partes. Na primeira, estuda-remos a derivada de uma função, que é o conceito fundamental do Cálculo Diferencial. Inicialmente, interpretaremos as derivadas como coeficientes angulares de retas tangentes a curvas e como taxas de variação de funções. Em seguida, definiremos a função derivada e desenvolveremos técnicas para obtê-la algebricamente. Na segunda, estudaremos algumas aplica-ções das derivadas, como o cálculo de valores máximos e mínimos de uma função, a determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e dos intervalos onde uma função é côncava ou convexa, e utilizaremos es-ses novos conceitos para resolver problemas de otimização.

Quero destacar que um curso de Cálculo requer um tempo diário de es-tudo e dedicação. Por isso é muito importante que você realize todas as atividades propostas, tanto neste livro, como na sua sala de aula virtual e em outros materiais de estudo complementares. Leia os textos com bastan-te atenção, sempre com espírito questionador e investigativo. Personalize o seu estudo. Dê novos títulos e subtítulos, redividindo o texto. Assim você o verá por uma nova ótica, além do que, será mais fácil reter as informa-ções por partes. Crie perguntas e tente respondê-las sem pesquisar. Depois confira as respostas. Sintetize com suas palavras o que foi estudado. Faça resumos, colocando o tema central, definições essenciais, exemplos, casos particulares e observações. Leia bem os enunciados das questões propos-tas e interprete o que está sendo pedido. Comece, então, a responder com atenção, sempre pesquisando no livro texto, no material impresso, na in-ternet, ou em outros meios que facilitem sua resposta. Verifique se todas as suas respostas estão corretas, revendo o que foi feito. Interesse-se participe e discuta com o professor e com seus colegas.

Desejo a você um excelente curso!

9Derivadas

Cálculo II

Neste capítulo estudaremos a derivada de uma função, conceito fundamental do Cálculo Diferencial. Inicialmente, interpretare-mos as derivadas como coeficientes angulares de retas tangentes a curvas e como taxas de varia ção de funções. Em seguida, defini-remos a função derivada e desenvolveremos técnicas para obtê-la algebricamente.

Bons estudos!

Prof. Fidelis Castro

Como determinar uma reta tangente a uma curva?

Esse problema foi a questão matemática dominante no início do século XVII. Naquela época, os matemáticos buscavam construir um método para calcular os coeficientes angulares de retas tangentes a curvas, no intuito de dar explicações mais detalhadas a algumas aplicações da matemática na ótica, na mecânica e na geometria, por exemplo, o cálculo do ângulo no qual um raio de luz penetra em uma lente curva, a determinação da direção do movimento de um corpo em qualquer ponto ao longo de seu percurso e o cálculo do ângulo em que as curvas se cortam. Todas essas explicações já foram dadas e vários conceitos matemáticos foram elaborados, como o de coeficiente angular de uma reta tangente a uma curva, o de taxa de variação instantânea de uma função e o de função derivada.Vamos, a partir de agora, estudar esses conceitos.

1.1 Retas tangentes

O primeiro passo para determinar a equação de uma reta tangente a uma curva C é determinar o coeficiente angular dessa reta. Vejamos como isso é feito:

Se uma curva C tiver uma equação y f x= ( ) e quisermos encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva num ponto P específico,

DERIVADAS

10Capítulo 1


digamos P a f a( , ( )) , basta, inicialmente, considerarmos um ponto vizinho Q x f x( , ( )) , onde x a¹ , e calcularmos o coeficiente angular mPQ da reta secante PQ, conforme vimos no módulo anterior.

Feito isso, fazemos o ponto Q aproximar-se indefinidamente do ponto P, produzindo inúmeras retas secantes, cujos coeficientes angulares se aproximam do coeficiente angular da reta tangente em P. A Figura 2 ilustra esse procedimento.

Ao fazermos o ponto Q aproximar-se de P ao longo da curva C, obrigamos x tender a a. Dessa maneira, se o coeficiente m f x f a

x aPQ =--

( ) ( ) se aproximar de algum número m, à medida que x for se aproximando de a, esse número m será, por definição, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P a f a( , ( )) .

A partir dessa ideia, elaboramos a seguinte definição:

Figura 1: Para calcularmos o coeficiente an-gular da tangente calculamos, inicialmente, o coeficiente angular da reta secante por P e Q.

Figura 2: À medida que Q se aproxima de P as retas secantes vão se aproximando da posição de tangência.

m yx

f x f ax aPQ =

DD

=--

( ) ( )

11Derivadas

Cálculo II

Definição 1

Coeficiente angular da reta tangente

Dada uma curva C de equação y f x= ( ), o coeficiente angular m da reta tangente à curva no ponto P a f a( , ( )) é dado por

m f x f ax ax a

=--®

lim ( ) ( )

Podemos também elaborar uma definição equivalente à anterior, se, no lugar de x, escrevermos a+h, sendo h um número real. Veja a definição alternativa:

Definição 2

Coeficiente angular da reta tangente (Definição alternativa)

Dada uma curva C de equação y f x = ( ) , o coeficiente angular m da reta tangente à curva no ponto P a f a( , ( )) é dado por

mf a h f a

hh=

+�

lim( ) ( )

0

-

Tanto a expressão m f x f ax ax a

=--®

lim ( ) ( ) , quanto a expressão m

f a h f ahh

=+

�lim

( ) ( )0

- podem ser utilizas para a determinação do coeficiente angular de uma reta tangente. Os resultados sempre serão equivalentes.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Dada a curva f x x( ) = 2 , determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1).

Solução:Inicialmente devemos determinar o coeficiente angular m. Para isso, utilizaremos a definição alternativa (observando que, nesse caso, a =1):

m f a h f ahh

=+ -

®lim ( ) ( )

0 (definição alternativa)

12Capítulo 1


m a h ahh

=+ -

®lim ( ) ( )

0

2 2

(substituindo f pela função f x x( ) = 2)

m a ah h ahh

=+ + -

®lim

0

2 2 22 (desenvolvendo o quadrado da soma)

m ah hhh

=+

®lim

0

22 (simplificando)

m h a hhh

=+

®lim ( )

0

2 (evidenciando)

m a hh

= +®

lim( )0

2 (cancelando os fatores comuns ao numerador e ao denominador)

m = +2 1 0. (substituindo a pelo seu valor e calculando o limite)

m = 2

Agora que temos o valor do coeficiente angular ( m = 2), utilizaremos a fórmula ponto-coeficiente angular ( y y m x x- = -0 0( )), estudada no módulo anterior, para determinar a equação da reta tangente:

y y m x x- = -0 0( ) (fórmula ponto-coeficiente angular)

y x- = -1 2 1.( ) (substituindo os valores fornecidos no problema)

y x- = -1 2 2 (simplificando)

y x= -2 1

Resposta: A equação da reta tangente ao gráfico de f x x( ) = 2 no ponto (1,1) é y x= -2 1 . Os gráficos das duas curvas podem ser visualizados na Figura 3.

13Derivadas

Cálculo II

Exemplo 2: Encontre a equação da reta tangente à curva f xx

( ) = 3 , no ponto ( 3

8,8).

Solução:Vamos utilizar a definição alternativa (observando que, nesse caso, temos a = 3

8) para encontrar o valor do coeficiente angular m:

m f a h f ahh

=+ -

®lim ( ) ( )


= limh

a h ah®

+-

0

3 3

(aplicando a função f(x))

= lim

( )( )

h

a a ha a h

h®

- ++

0

3 3

(simplificando)

= lim( )h

hah a h®

-+0

3

= lim( )h a a h®

-+0

3

= lim.( )

h®

-

+0

338

38

0 (substituindo a pelo seu valor e calculando

o limite)

Figura 3: Gráficos da curva f x x( ) = 2 e de sua reta tangente no ponto (1,1).

14Capítulo 1


=-3964

= -643

.

Agora que temos o valor do coeficiente angular, utilizaremos a fórmula ponto-coeficiente angular ( y y m x x- = -0 0( ) ) para determinar a equação da reta:


y x- =- -8 643

38

.( ) (substituindo os valores dados)

y x- =- +8 643

8 (simplificando)

y x=- +643

16

Resposta: A equação da reta tangente ao gráfico de f xx

( ) = 3 no ponto ( 3

8,8) é y x=- +

643

16 .

A Figura 4 mostra o gráfico da curva f xx

( ) = 3 e de sua reta tangente no ponto a=3/8.

Figura 4: Curva f xx

( ) = 3 e sua reta tangente

y x=- +643

16 no ponto a=3/8

15Derivadas

Cálculo II

Exemplo 3: Determine a equação da reta tangente à curva f x x( ) =no ponto (4,2).

Solução:Vamos utilizar a definição alternativa (observando que nesse caso temos a = 4) para encontrar o valor do coeficiente angular m:

m f a h f ahh

=+ -

®lim ( ) ( )


=+ -

®lim

h

a h ah0

(aplicando a função f(x))

=+ - + +

+ +®lim ( ).( )

.( )h

a h a a h ah a h a0

(multiplicando e dividindo por a h a+ + )

=+ -+ +®

lim.( )h

a h ah a h a0

(desenvolvendo o produto da soma pela diferença)

=+ +®

lim.( )h

hh a h a0

(simplificando)

=+ +®

limh a h a0

1 (cancelando o fator comum)

=+ +

14 0 4

(substituindo o valor de a e calculando o limite)

=14

.

Agora que temos o valor do coeficiente angular, utilizaremos a fórmula ponto-coeficiente angular ( y y m x x- = -0 0( ) ) para determinar a equação da reta:

16Capítulo 1



y x- = -2 14

4.( ) (substituindo os valores dados)

y x- = -2 14

1 (simplificando)

y x= +14

1

Resposta: A equação da reta tangente ao gráfico de f x x( ) = no ponto (4,2) é y x= +

14

1 .

A Figura 5 mostra o gráfico da curva f x x( ) = e de sua reta tangente no ponto a=4.

ATIVIDADE 1 (Algumas vezes, nos exercícios propostos, será utilizada a expressão “inclinação” como sinônimo de “coeficiente angular”).

A) Uma curva tem por equação y f x= ( ) . Escreva uma expres-são para a inclinação da reta secante pelos pontos P f( , ( ))3 3 e

Q x f x( , ( )) . Escreva, também, uma expressão para a inclinação da reta tangente em P.

B) Qual o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x) = x2 + 5, no ponto (0,5)?

C) Calcule o valor do coeficiente angular da reta tangente à curva y x= 2 , no ponto em que x=25.

Figura 5: Função f x x( ) = e sua reta tangente

y x= +14

1 no ponto a=4

17Derivadas

Cálculo II

D) Determine a equação da reta tangente à curva y = x3, no ponto (2,8), utilizando a definição alternativa.

E) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à parábola y x x= -2 2 , no ponto (-3,3), usando a definição 1 e, depois, a de-

finição alternativa. Determine a equação dessa reta tangente.

F) Encontre a inclinação da tangente à curva yx

=-1

5 2, no

ponto em que x=a. Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (2,1) e -

æèççç

öø÷÷÷2 1

3, .

G) A curva y x= tem alguma reta tangente horizontal? Em caso afirmativo, indique onde e justifique sua resposta. Lembre-se de que uma reta horizontal tem coeficiente angular igual a zero.

H) A parábola y x= -( )1 2 tem alguma reta tangente horizontal? Em caso afirmativo, indique e justifique sua resposta.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

18Capítulo 1


____________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

19Derivadas

Cálculo II

1.2 Velocidade média e velocidade instantânea

Suponha que busquemos resolver o seguinte problema: descrever o movimento de um objeto que se desloca em trajetória retilínea. Para isso, vamos lembrar que a função s que determina a posição do objeto (em relação à origem) como uma função do tempo t é denominada função posição. Por meio da função posição e da variação do tempo, podemos determinar a velocidade média de um objeto em um intervalo de tempo Dt . Veja a definição:

Definição 3

Velocidade média

Se, no intervalo de tempo ∆t, a posição do objeto variar de ∆s = s(t + ∆t) – s(t), então, usando a fórmula Taxa distância

tempo= , a velo-

cidade média é dada por:

Variação da posiçãoVariação do tempo

st

=∆∆

.

Exemplo 4: Se uma bola de bilhar cair de uma altura de 100 cm, a função posição s que fornece a sua altura em função do tempo t és t=- +16 1002 , onde s é medido em cm e t é medido em segundos. Calcule a velocidade média da bola nos intervalos de tempo abaixo:

a. [1, 2] b. [1, 1,5] c. [1, 1,1]

Solução:a) No intervalo [1,2], o objeto cai de uma altura de s(1) = -16(1)² + 100 = 84 cm para uma altura de s(2) = -16(2)² + 100 = 36 cm. A velocidade média, de acordo com a definição apresentada, é D

Dst=

--

=-

=-36 84

2 1481

48 cm por segundo.

b) No intervalo [1, 1,5], o objeto cai de uma altura de 84 cm para uma altura de 64 cm, faça os cálculos como foram feitos no item “a”. A velocidade média é D

Dst=

--

=-

=-64 841 5 1

200 5

40, ,

cm por segundo.

c) No intervalo [1, 1,1], o objeto cai de uma altura de 84 cm para uma altura de 80,64 cm. A velocidade média é D

Dst=

--

=-

=-80 64 84

1 1 13 360 1

33 6,,

,,

, cm por segundo.

20Capítulo 1


Obs.: As velocidades médias calculadas acima são todas negati-vas. Isso indica que o objeto está se deslocando para baixo.

Suponha que no Exemplo 4 você quisesse calcular a velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) do objeto no instante t = 1. Uma ideia para se fazer isso é calcular a velocidade média no intervalo [1, 1+∆t] e ir diminuindo o valor de ∆t de tal forma que o comprimento do intervalo [1, 1+∆t] se aproxime de zero. À medida que isso for feito, as velocidades médias se aproximarão da velocidade no instante t = 1. Observe que essa ideia é idêntica à que foi utilizada para calcular o coeficiente angular da reta tangente por meio dos coeficientes angulares das retas secantes (veja Figura 2).

A partir dessa ideia elaboramos a seguinte definição de velocidade instantânea:

Definição 4

Velocidade instantânea

Em geral, se s = s(t) é a função posição de um objeto cuja trajetória é retilínea, então a velocidade do objeto no instante t é:

s t v ts t t s t

tt' lim( )= ( )=

+( )- ( )®D

DD0

i) A velocidade de um objeto pode ser negativa, zero ou positiva.

ii) A velocidade escalar de um objeto é o valor absoluto (módulo) da sua velocidade.

Exemplo 5: t segundos após decolar, a altura de um foguete é 3 2t pés. Qual é a velocidade de ascensão do foguete 10 segundos após a decolagem?

Solução:Em primeiro lugar, vamos usar a equação do movimento f t t( ) = 3 2 para encontrar a velocidade v(t) após t segundos:

21Derivadas

Cálculo II

v t f t h f thh

( ) lim ( ) ( )=

+ -®0

(velocidade como taxa de variação do deslocamento)

v t t h thh

( ) lim ( )=

+ -®0

2 23 3 (aplicando a função deslocamento)

v t t th h thh

( ) lim ( )=

+ + -®0

2 2 23 2 (desenvolvendo o quadrado da soma)

v t h t hhh

( ) lim ( )=

+®0

3 2 (cancelando termos opostos e colocando em evidência)

v t t hh

( ) lim ( )= +®0

3 2 (cancelando os fatores comuns)

v t t( ) = 6 (calculando o limite)

Agora podemos calcular a velocidade do foguete no instante t=10 segundos. Basta substituir t por 10:

v pés s( ) /10 6 10 60= ´ =

Exemplo 6: Se um objeto cair de uma altura de 200 cm, a função posição s que dá a sua altura em função do tempo t é s t=- +16 2002 , onde s é medido em cm e t é medido em segundos. Calcule a velocidade do objeto exatamente 3 segundos após ele ter caído.

Solução:A velocidade instantânea do objeto será dada pela relação

s t v ts t t s t

tt' lim( )= ( )=

+( )- ( )®D

DD0

.

Usando essa relação e a função s t=- +16 2002 , temos:

s t v ts t t s t

tt' lim( )= ( )=

+( )- ( )®D

DD0

s t v tt t t

tt' lim( )= ( )=

- +( ) + - - +( )®D

D

D0

2 216 200 16 200

s t v tt t t t t

tt' lim( )= ( )=

- + +( )+ + -®D

D D

D0

2 2 216 2 200 16 200

22Capítulo 1


s t v t t t t t ttt

' lim( )= ( )= - - - + + -®D

D DD0

2 2 216 32 16 200 16 200

s t v t t t ttt

' lim( )= ( )= - -®D

D DD0

232 16

s t v t t t ttt

' lim ( )( )= ( )= - -®D

D DD0

32 16

s t v t t t ttt

' lim ( )( )= ( )= - -®D

D DD0

32 16

s t v t t tt

' lim( )( )= ( )= - -®D

D0

32 16

s t v t t'( )= ( )=-32

A função s t v t t'( )= ( )=-32 é a função velocidade do objeto. Substituindo t por 3, encontramos a velocidade do objeto exatamente 3 segundos após ele ter caído:

s v' 3 3 32 3 66( )= ( )=- ´ =- cm por segundo.

Exemplo 7: No instante t = 0, um mergulhador pula de uma plataforma de mergulho de uma altura de 32 pés acima do nível da água. A posição do mergulhador é dada pela função s t t t( )=- + +16 16 322 , onde s é medido em pés e t é medido em segundos. Pergunta:

a) Em que instante o mergulhador atinge a superfície da água?b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?

23Derivadas

Cálculo II

Solução:a) Para encontrar o instante de impacto, basta fazer s = 0, já que a sua altura no momento do impacto será igual a zero.

- + + =16 16 32 02t t (igualando a função posição a zero)

- +( ) -( )=16 1 32 0t t

t ou t=- =1 2 (resolvendo a equação do 2º grau resultante)

Como t ³ 0 , concluímos que o mergulhador atinge a superfície da água no instante t = 2 segundos.

b) A velocidade no instante t é dada pela expressão s t t'( )=- +32 16 , obtida por meio da definição de velocidade instantânea (faça as contas, conforme o exemplo 5, que você chegará a esse resultado).

Portanto, a velocidade no instante t = 2 é:

s’(2) = -32(2) + 16 = -48 pés por segundo.

Note que, na figura, o mergulhador se desloca para cima no pri-meiro meio segundo, pois sua velocidade é positiva para 0 1

2< <t

Ele atinge a altura máxima do mergulho no instante em que a ve-locidade é zero.

Exemplo 8: Suponha que uma pedra tenha sido solta do alto de uma torre, 450 m acima do solo. a) Qual a velocidade da pedra após 5 segundos? b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?

Solução:a) Em primeiro lugar, vamos usar a equação do movimento f t t( ) ,= 4 9 2 para encontrar a velocidade v(t) após t segundos:

v t f t h f thh

( ) lim ( ) ( )=

+ -®0

(velocidade como taxa de variação do deslocamento)

24Capítulo 1


v t t h thh

( ) lim , ( ) ,=

+ -®0

2 24 9 4 9 (aplicando a função deslocamento)

v t t th h thh

( ) lim , ( )=

+ + -®0

2 2 24 9 2 (desenvolvendo o quadrado da

soma)

v t h t hhh

( ) lim , ( )=

+®0

4 9 2 (cancelando termos opostos e

colocando em evidência)

v t t hh

( ) lim , ( )= +®0

4 9 2 (cancelando os fatores comuns)

v t t( ) ,= 9 8 (calculando o limite)

Agora podemos calcular a velocidade da pedra no instante t=5 segundos:

v m s( ) , /5 9 8 5 49= ´ =

b) Uma vez que a pedra está a 450 metros de altura, ela atingirá o solo quando f t t( ) ,= 4 9 2 for igual a 450. Assim,

4 9 4502, t =

t 2 4504 9

=,

t = »4504 9

9 6,

,

Isso significa que a pedra atingirá o solo após, aproximadamente, 9,6 segundos e sua velocidade nesse instante será

v m s( , ) , , /9 6 9 8 9 6 94= ´ = .

ATIVIDADE 2

A) Um objeto é largado do topo de uma torre de 100m de altura. A distância a que o objeto está do solo após t segundos é 100 4 9 2- , tQual é a velocidade do objeto após 2 segundos de queda?

25Derivadas

Cálculo II

B) A equação para queda livre na superfície de Marte é s t=1 86 2, metros em t segundos. Suponha que uma pedra caia de um pe-nhasco de 200 metros de altura. Determine a velocidade da pedra quando t=1 segundo. Compare com o resultado que seria obtido se o experimento fosse realizado na Terra.

Obs.: Na Terra a equação para queda livre seria s t= 4 9 2, .

C) Se Galileu tivesse deixado cair uma bola de canhão do topo da torre de Pisa, 179 pés acima do solo, sua altura t segundos depois de cair teria sido s t=179 - 16 2 pés em relação ao solo.

a) Qual teria sido a velocidade e o módulo de velocidade da bola no instante t ?

b) Quanto tempo a bola levaria, aproximadamente, para atingir o solo?

c) Qual teria sido a velocidade da bola no momento do impacto?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26Capítulo 1


____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27Derivadas

Cálculo II

1.3 Coeficiente angular de uma curva e taxa de variação

Se tomarmos qualquer um dos exemplos 1, 2 ou 3 e observarmos os gráficos de cada curva y f x= ( ) e de sua reta tangente, perceberemos que na vizinhança do ponto de tangência os gráficos são muito próximos um do outro. Essa verificação pode ser feita se construirmos os gráficos por meio de um software específico e dermos zoom no ponto de tangência. A Figura 6 mostra os gráficos da curva f x x( ) = e da reta y x= +

14

1, que é tangente à curva no ponto (4,2), visualizados dando-se um zoom. Perceba como os gráficos são bem próximos um do outro.

Essa “proximidade” entre os gráficos nos motiva a definir o coeficiente angular de uma curva y f x= ( ) num ponto específico como sendo igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto. Veja a definição:

Definição 5

Coeficiente angular de uma curva

O coeficiente angular da curva y f x= ( ) em um ponto P a f a( , ( )) é o número

m f a f a h f ahh

= =+ -

®'( ) lim ( ) ( )

0 (desde que o limite exista)

Figura 6: Zoom nos gráficos da curva f x x( ) = e sua reta tangente y x= +

14

1 no ponto a=4

28Capítulo 1


Utilizando a definição apresentada podemos voltar aos exemplos 1, 2 e 3 e observar que:

• ocoeficienteangulardaparábola f x x( ) = 2 no ponto x=1 é 2;• ocoeficienteangulardahipérbole f x

x( ) = 3

no ponto x=3/8 é -64/3;

• ocoeficienteangulardacurva f x x( ) = no ponto x=4 é 1/4.

i) A expressão m f a f a h f ahh

= =+ -

®

| ( ) lim ( ) ( )0

recebe outras duas denominações:

1ª) Taxa de variação instantânea da função y f x= ( ) em relação a x no ponto x=a;

2ª) Derivada de y f x= ( ) no ponto x=a.

ii) Quando estivermos resolvendo um problema e nos for soli-citado que calculemos a “taxa de variação instantânea da função num ponto a” ou o “coeficiente angular da curva em um ponto a” ou a “derivada da função em um ponto a” ou, ainda, o “co-eficiente angular da reta tangente em um ponto a”, o procedi-mento deverá ser sempre o mesmo: calcular o valor da expressão

m f a f a h f ahh

= =+ -

®

| ( ) lim ( ) ( )0

. O que muda é apenas a forma de se expressar.

Exemplo 9: Qual é a taxa de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando este é r=3?

Solução:Em primeiro lugar, vamos usar a expressão da área do círculo f r r( ) = p 2

para encontrarmos a taxa de variação f a| ( ) .

f a f a h f ahh

| ( ) lim ( ) ( )=

+ -®0

(definição de taxa de variação)

f a a h ahh

| ( ) lim ( )=

+ -®0

2 2p p (aplicando a função área f r r( ) = p 2 )

f a a ah h ahh

| ( ) lim ( )=

+ + -®0

2 2 22p (desenvolvendo o quadrado da

soma)

f a h a hhh

| ( ) lim ( )=

+®0

2p (cancelando termos opostos e


29Derivadas

Cálculo II

f a a hh

| ( ) lim ( )= +®0

2p (cancelando os fatores comuns)

f a a| ( ) = 2p (calculando o limite)

Agora podemos calcular a taxa de variação da área do círculo em relação ao raio, quando este é r=3, bastando trocar a por 3:

f | ( )3 2 3 6= ´ =p p cm cm2

Isso significa que, se imaginarmos um círculo aumentando de tamanho continuamente, no momento em que seu raio atingir 3 cm de comprimento, sua área vai estar aumentando 6p cm²/cm.

Exemplo 10: A área de um quadrado de lado s é dada por f(s) = s 2 . Calcule a taxa de variação da área em relação a s, quando s = 4 metros.

Solução:Em primeiro lugar, vamos usar a expressão da área do quadrado f(s) = s 2

para encontrarmos a taxa de variação f a| ( ) .

f a f a h f ahh

| ( ) lim ( ) ( )=

+ -®0

(definição de taxa de variação)

f a a h ahh

| ( ) lim ( )=

+ -®0

2 2

(aplicando a função área f(s) = s 2 )

f a a ah h ahh

| ( ) lim=+ + -

®0

2 2 22 (desenvolvendo o quadrado da

soma)

f a h a hhh

| ( ) lim ( )=

+®0

2 (cancelando termos opostos e


f a a hh

| ( ) lim( )= +®0

2 (cancelando os fatores comuns)

f a a| ( ) = 2 (calculando o limite)

Agora podemos calcular a taxa de variação da área do quadrado em relação ao seu lado, quando este é s = 4 metros:

f | ( )4 2 4 8= ´ = m m2

30Capítulo 1


Isso significa que, se imaginarmos um quadrado aumentando de tamanho continuamente, no momento em que seu lado atingir 4 m de comprimento sua área vai estar aumentando 8 m m2 .

A velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo. Há também interesse dos físicos por outras taxas de variação, como a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo (que é chamada de potência). Quem estuda as reações químicas se interessa pela taxa de variação da concentração de um reagente em relação ao tempo (chamada de taxa de reação). Uma siderúrgica se interessa pela taxa de variação do custo de produção de x toneladas de aço por dia em relação a x (chamada de custo marginal). Um biólogo está interessado na taxa de variação populacional de uma colônia de bactérias no tempo. Na realidade, há uma grande importância das taxas de variação nas ciências naturais, nas ciências exatas e até mesmo nas ciências sociais.

Vejamos mais um exemplo:

Exemplo 11: A quantidade de litros N de gasolina comum vendida por um posto de gasolina a um preço de p reais por litro é dada por N = f(p). Qual o significado de f ’(2,749)?

Solução:No momento em que o preço da gasolina atingir o valor R$ 2,749, a quantidade N de litros de gasolina vendida vai estar sofrendo uma variação, que pode ser positiva, negativa ou nula (as pessoas podem estar comprando mais ou menos combustível ou mantendo a mesma taxa de compra) . Dessa forma, o número f ’(2,749) significa a taxa de variação da quantidade de combustível vendida em relação ao preço do litro, no momento em que o preço do litro é R$ 2,749.

ATIVIDADE 3

A) O que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva C no ponto P?

B) Qual é o significado da fórmula lim( ) ( )

h

f a h f ah®

+ -0

? Interpre-te essa fórmula geométrica e fisicamente.

C) Um copo de leite morno é colocado na geladeira. Esboce o grá-fico da temperatura do leite como uma função do tempo. A taxa de variação inicial da temperatura é maior ou menor do que a taxa de variação após 1 hora?

31Derivadas

Cálculo II

D) O custo em dólares de produzir x unidades de certa mercado-ria é C x x( ) ,= +5000 0 05 2 . Encontre a taxa instantânea da varia-ção de C em relação a x quando x=100. Isso é chamado de custo marginal.

E) O volume de uma esfera de raio r é V r r( ) = 43

3p . Qual é a taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao raio quando este é r=3?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

32Capítulo 1


____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

33Derivadas

Cálculo II

1.4 A derivada como uma função

Até agora, consideramos a derivada de uma função f em um número fixo a, dada por f a f a h f a

hh'( ) lim ( ) ( )

=+ -

®0, e vimos que o valor da

derivada em cada ponto do domínio de f nos fornece informações sobre a variação da função naquele ponto. Vamos agora mudar nosso ponto de vista, considerando o número a como uma variável x. Fazendo isso, estaremos determinando a função derivada, uma função que retorna os valores dos coeficientes angulares da curva y f x= ( ) em todos os pontos do seu domínio.

Definição 6

A função derivada

Dada uma função y f x= ( ) , define-se a função derivada f x'( ) da seguinte forma:

f xf x h f x

hh'( ) lim

( ) ( )=

- -�0

Exemplo 12: Calcule a derivada da função f x x x( ) = +2 .

Solução:Vamos utilizar a definição de derivada:

f x f x h f xhh

'( ) lim ( ) ( )=

+ -®0

(definição de função derivada)

f(x+h) f(x)

= lim ( ) ( ) ( )h

x h x h x xh®

+ + + - +0

2 2

(aplicação da função f)

= limh

x xh h x h x xh®

+ + + + - -0

2 2 22 (simplificação)

34Capítulo 1


= limh

xh h hh®

+ +0

22

= lim ( )h

h x hh®

+ +0

2 1

= lim( )h

x h®

+ +0

2 1

= 2 1x+

Portanto, a função derivada de f x x x( ) = +2 é a função f x x'( ) = +2 1 .

Exemplo 13: Calcule a derivada da função f xx

( )=3

.

Solução:Utilizamos a definição de função derivada:

f x f x h f xhh

'( ) lim ( ) ( )=

+ -®0

= limh

x h xh®

+-

0

3 3

= lim ( )( )( )

h

xx x h

x hx x h

h®

+-

++

0

3 3

= lim( )h

hhx x h®

-+0

3

= lim( )h x x h®

-+0

3

= - 32x

.

Portanto, a derivada da função f xx

( )=3

é a função f xx

'( ) =-3

2 .

Há vários modos de representar a derivada de uma função y=f(x). Além

35Derivadas

Cálculo II

de f x'( ) , as notações mais comuns são:

• y’(lê-se:ylinha)→ Apropriada e breve, mas não fornece a va-riável independente;

• dydx

(lê-se: dy dx) → Fornece as variáveis e usa d para a derivada;

• dfdx

(lê-se: df dx) → Dá ênfase ao nome da função;

• ddx

f x( ) (lê-se: ddx de f(x))

O mais usual é lermos dydx

como “a derivada de y em relação a x”.

Exemplo 14: Calcule dydx

, sendo y = 3x + 2.

Solução:Utilizamos a definição de função derivada:

dydx

f x h f xhh

=+ -

®lim ( ) ( )

0

=+ + - +

®lim ( ) ( )h

x h xh0

3 2 3 2

=+ + - -

®limh

x h xh0

3 3 2 3 2

=®

limh

hh0

3

=®

limh 0

3

=3.

Portanto, se y = 3x + 2, então dydx

=3, que é uma função constante.

36Capítulo 1


ATIVIDADE 4

Nos exercícios de A a M, calcule a derivada da função dada, usan-do a definição via limite, conforme os exemplos 12, 13 e 14.

A. f(x) = 3

B. g(x) = -5

C. f(x) = -5x

D. f(x) = 4x + 2

E. h(s) = 3 + 23

s

F. f(x) = 9 - 12

x

G. f(x) = 2x 2 + x -1

H. f(x) = 1 - x 2

I. f(x) = x 3 - 12x

J. f(x) = x 3 + x 2

K. f(x) = 11x -

L. f(x) = 12x

M. f(x) = x+1

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

37Derivadas

Cálculo II

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

38Capítulo 1


1.5 Regras de derivação

Muitas vezes, ao calcularmos a derivada de uma função aplicando a definição f x f x h f x

hh'( ) lim ( ) ( )

=+ -

®0 temos muito trabalho devido

aos cálculos longos que efetuamos. Porém, existem regras matemáticas práticas, que permitem calcular derivadas de forma mais rápida. Com essas regras, que serão introduzidas a partir de agora, poderemos resolver todos os exemplos e exercícios dos tópicos 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4 de forma bem mais simplificada. Não deixe de refazê-los.

As regras de derivação nos permitirão calcular as derivadas de polinômios, de funções racionais, funções algébricas, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas de forma relativamente rápida. Vamos a elas.

Teorema 1

Derivada de uma função constante

A derivada de uma função constante é igual a zero. Ou seja, se f(x) = c, então df

dxddx

c= =( ) 0 .

Demonstração:

Para provar essa afirmação, basta aplicar a definição de derivada à função f(x) = c. Veja:

f x f x h f xh

f x c ch

f xh h h

'( ) lim ( ) ( ) '( ) lim '( ) lim=+ -

Þ =-

Þ = =® ® ®0 0 0

0 0

.

Exemplo 15:

a) Se f tem o valor constante f(x) = 8, então f’(x) = 0.

b) Se y = +3 52p , então dydx

= 0.

39Derivadas

Cálculo II

Teorema 2

Regra da potência

Se n for um número real qualquer, entãoddx

x n xn n( ) = × -1

Em outras palavras: A derivada de uma função potência é o pro-duto do expoente pela base elevada ao expoente diminuído de 1.

Demonstração:

Vamos provar a afirmação para o caso em que n é um número natural, mas ela é válida para qualquer valor real de n.

Aplicando a definição de derivada à função f x xn( ) = , temos:

f x f x h f xh

f x x h xhh h

n n

'( ) lim ( ) ( ) '( ) lim ( )=

+ -Þ =

+ -® ®0 0

Þ

f xx h x x h x h x x h x x

h

n n n n

'( ) lim( ) ( ) ( ) ( ) ...

=+ - + + + × + + × + +

®

- - - -

0

1 2 3 2 11éëê

ùûú Þ

h

f xh x h x h x x h x x

h

n n n n

'( ) lim( ) ( ) ( ) ...

=+ + + × + + × + +é

ëêùû

®

- - - -

0

1 2 3 2 1úú Þ

h

f x x h x h x x h xh

n

h

n

h

n'( ) lim( ) lim( ) lim( ) ..= + + + × + + × +®

-

®

-

®

-

0

1

0

2

0

3 2 .. lim+ Þ®

-

h

nx0

1

f x x x x x x xn n n n'( ) ...= + × + × + + Þ- - - -1 2 3 2 1

f x x x x x f x n xn n n n n'( ) ... '( )= + + + + Þ = ×- - - - -1 1 1 1 1

Exemplo 16:

Observe na Tabela 1 algumas funções-potência e suas derivadas:

Função f(x) Sua derivada f x'( )f x x( ) = 2 f x x'( ) = 2

f x x( ) = 3 f x x'( ) = 3 2

f x x( ) = 4 f x x'( ) = 4 3

f x x( ) = 10 f x x'( ) =10 9

f x x( ) = 140 f x x'( ) =140 139

40Capítulo 1


f x x( ) = -1

f x xx

'( ) =- =--22

1

f x x( ) = -2

f x xx

( ) =- =--2 233

f x x( ) = -3

f x xx

( ) =- =--3 344

f x x( ) = -45

f x xx

( ) =- =--45 454646

Exemplo 17:

Sendo f x x x( ) = =12 , calcule f x'( ) .

Solução:Aplicando a regra da potência (com n =

12

), temos:

f x x x( ) = =12

f x x'( ) =-1

2

12

1 (regra da potência)

f x x'( ) =-1

2

12

f xx

'( ) = 1

212

f xx

'( ) = 12

Exemplo 18:

Sendo f x x x( ) = =313 , calcule f x'( ) .

Solução:Aplicando a regra da potência (com n =

13

), temos:

f x x x( ) = =313

f x x'( ) =-1

3

13

1 (regra da potência)

f x x'( ) =-1

3

23

Tabela 1: Exemplos de derivadas de funções-potência

41Derivadas

Cálculo II

f xx

'( ) = 1

323

f xx

'( ) = 13 23

Teorema 3

Regra do múltiplo constante

Se c for uma constante e f uma função, entãoddx

c f x cddx

f x( ( )) . ( ). =

Em outras palavras: A derivada de uma função que está sendo multiplicada por uma constante é igual à constante multiplicada pela derivada da função.

Demonstração:

Para demonstrar esse fato basta aplicar a definição de derivada à função y cf x= ( ) :

y cf x h cf xh

yc f x h f x

hh h' lim ( ) ( ) ' lim

( ) ( )=

+ -Þ =

+ -[ ]® ®0 0

Þ

y c f x h f xh

y c f x h f xhh h

' lim . ( ) ( ) ' .lim ( ) ( )=

+ -Þ =

+ -® ®0 0

y c f xh

' lim . '( )=®0

.

Exemplo 19:

Sendo f x x( ) = 6 5 , calcule f x'( ) .

Solução:

ddx

x( )6 5 =

= 6 5. ( )ddx

x = (repete-se a constante 6 e deriva-se a função)

= 6 5 4. x =

= 30 4x

42Capítulo 1


Exemplo 20:

Sendo f x x( ) = 3 , calcule f x'( ) .

Solução:

ddx

x( )3 =

= 3. ( )ddx

x = (repete-se a constante e deriva-se a função)

= ×3 12 x

= (resultado do exemplo 17)

=3

2 x

Teorema 4

Regra da soma

Se f e g forem ambas diferenciáveis, então

ddx

f x g xddx

f xddx

g x( ( ) ( )) ( ) ( )+ = +

Em outras palavras: A derivada de uma soma de duas funções é igual à derivada da primeira função mais a derivada da 2ª.

Exemplo 21:

Calcule a derivada da função y x x= +6 5 3 .

Solução:

ddx

x x( )6 5 3+ =

= +ddx

x ddx

x( ) ( )6 5 3 =

= +30 34 2x x .

Exemplo 22: Calcule a derivada da função f x x x( ) = +3 5 .

43Derivadas

Cálculo II

Solução:

ddx

x x( )3 5+ =

= + =ddx

x ddx

x( ) ( )3 5

= +3

25 4

xx . (utilizando o resultado encontrado no exemplo 20)

Teorema 5

Regra da diferença

Se f e g forem ambas diferenciáveis, então

ddx

f x g xddx

f xddx

g x( ( ) ( )) ( ) ( )- = -

Em outras palavras: A derivada de uma subtração de duas fun-ções é igual à derivada da primeira função menos a derivada da 2ª.

Exemplo 23: Calcule a derivada da função y x x= -6 5 3 .

Solução:

ddx

x x( )6 5 3- =

= - =ddx

x ddx

x( ) ( )6 5 3

= -30 34 2x x .

Exemplo 24: Calcule a derivada da função y x x= -2 5 .

Solução:

ddx

x x( )2 5- =

= -ddx

x ddx

x( ) ( )2 5 =

44Capítulo 1


= -2

25 4

xx =

= -1 5 4

xx

Exemplo 25: Calcule a derivada da função f x x x( ) = -6 95 7 .

Solução:

ddx

x x( )6 95 7- =

= - =ddx

x ddx

x( ) ( )6 95 7

= +30 634 6x x .

Obs.: As regras da soma e da diferença podem ser aplicadas quan-do tivermos uma soma ou subtração não só de duas funções, mas de qualquer quantidade de funções. Ou seja:

ddx

f f f f f f ddx

f ddx

f ddx

f ddx

fn( ... ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4± ± ± ± ± ± = ± ± ± ±± ± ±ddx

f ddx

fn( ) ... ( )5

Exemplo 26: Calcule a derivada do polinômio p x x x x x x( ) = - + + - +6 2 2 15 4 3 2 .

Solução:

ddx

x x x x x( )6 2 2 15 4 3 2- + + - + =

= - + + - + =6 2 2 15 4 3 2ddx

x ddx

x ddx

x ddx

x ddx

x ddx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= - + + -30 4 6 2 24 3 2x x x x .

Utilizando-se, conjuntamente, a regra do múltiplo constante, a da potência, a da soma e a da subtração (como mostrado na observação acima), podemos derivar qualquer polinômio. Veja os exemplos 27 e 28:

45Derivadas

Cálculo II

Exemplo 27: Calcule a derivada do polinômio p x x x x( ) = + -2 4 23 2 .

Solução:

ddx

x x x( )2 4 23 2+ - =

= + - =2 4 23 2ddx

x ddx

x ddx

x( ) ( ) ( )

= + -6 8 22x x .

Exemplo 28:

Observe na Tabela 2 algumas funções polinomiais e suas derivadas:

Função p(x) Sua derivada p x'( )

p x x x x( ) = + -2 3 2 p x x x'( ) = + -6 2 12

p x x x( ) = +30 25 p x x x'( ) = +30 1029

p x x x x( ) = + + +3 2 1 p x x x'( ) = + +3 2 12

p x x x( ) =- + +2 2 98 7 p x x x'( ) =- +16 147 6

Teorema 6

Regra do produto

Se f e g forem diferenciáveis, então

ddx

f x g x ddx

f x g x ddx

g x f x( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )× = × + ×

Em outras palavras: A derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função (sem derivar) mais a derivada da segunda função vezes a primeira função (sem derivar).

Tabela 2: Exemplos de derivadas de funções polinomiais

46Capítulo 1


Exemplo 29:

Calcule a derivada de y x x= +.9 6 22 ( )

1ª solução: (Usando a regra do produto)

ddx

x x[ ( )]9 6 22 × + =

ddx

x x ddx

x x( ) ( ) ( ) ( )9 6 2 6 2 92 2× + + + × = (aplicando a regra do produto)

= + + ×18 6 2 6 9 2x x x( ) =

= + +108 36 542 2x x x =

= +162 362x x.

2ª solução: (Simplificando a expressão primeiro)

ddx

x x[ ( )]9 6 22 × + =

= + =ddx

x x[ ]54 183 2

= + =ddx

x ddx

x54 183 2

= +162 362x x .

Exemplo 30:

Calcule a derivada de y x x= × +( )3 2 .

1ª solução (Usando a regra do produto)

ddx

x x[ ( )]× + =3 2

47Derivadas

Cálculo II

= × + + + × =ddx

x x ddx

x x( ) ( ) ( ) ( )3 32 2

=æ

èççç

ö

ø÷÷÷÷× + + × =

12

2 33 2

xx x x( ) ( ) ( )

=æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷× + + × =

-12

2 312 3 2

12x x x x( ) ( ) ( )

= + + =- + - +1

23

12

3 12

2 12x x x

= + + =-1

23

52

12

52x x x

= + =-7

2

52

12x x

= +72

15xx

.

2ª solução (Simplificando a expressão primeiro)

ddx

x x[ ( )]× + =3 2

= ddx

x x[ ( )]12 3 2× + =

= ddx

x x[ )]12

3 122

++ = (propriedade distributiva)

48Capítulo 1


= ddx

x x[ )]72

122+ =

= 72

2 12

72

1 12

1x x

- -+ × = (aplicando a regra do produto e do

múltiplo)

= + =-7

2

52

12x x

= +72

15xx

.

Em tópicos futuros, nós veremos que para o cálculo de algumas derivadas não será possível simplificar a expressão primeiro, o que inviabilizará a utilização de soluções do tipo 2. Porém, a solução do tipo 1 poderá ser sempre utilizada.

Teorema 7

Regra do quociente

Se f e g forem diferenciáveis, então

ddx

f xg x

ddx

f x g x ddx

g x f x

g x( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ( )]é

ëêê

ù

ûúú =

× - ×2

Em outras palavras: A derivada de um quociente é a derivada do numerador vezes o denominador (sem derivar) menos a derivada do denominador vezes o numerador (sem derivar), tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Exemplo 31: Calcule a derivada da função yx x

x=

+ -+

2

3

26 .

Solução:

ddx

x xx

2

3

26

+ -+

é

ëêê

ù

ûúú =

49Derivadas

Cálculo II

=+ - × + - + × + -

+=

ddx

x x x ddx

x x x

x

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

2 3 3 2

3 2

2 6 6 2

6 (aplicando

a regra do quociente)

=+ × + - + - ×

+=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

x x x x xx

3 2 2

3 2

6 2 1 2 36

= ( ) ( )

[ ]2 12 6 3 3 6

6

4 3 4 3 2

3 2

x x x x x xx

+ + + - + -+ =

=- - + + ++

x x x xx

4 3 2

3 2

2 6 12 66[ ]

.

Exemplo 32: Calcule a derivada da função y xx x

=++

2

3

15

.

Solução:

ddx

xx x

2

3

15

++

é

ëêê

ù

ûúú =

=+ × + - + × +

+=

ddx

x x x ddx

x x x

x x

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

2 3 3 2

3 2

1 5 5 1

5 (aplicando

a regra do quociente)

=× + - + × +

+=

2 5 3 5 15

3 2 2

3 2

x x x x xx x

( ) ( ) ( )[ ]

= ( ) ( )[ ]

2 10 3 3 5 55

4 2 4 2 2

3 2

x x x x xx x

+ - + + ++

=

= + - - - -+

=2 10 3 3 5 5

5

4 2 4 2 2

3 2

x x x x xx x[ ]

=- + -

+x xx x

4 2

3 2

2 55[ ]

.

50Capítulo 1


Todas as regras de derivação que não foram demonstradas podem ser demonstradas, utilizando-se a definição de derivada e fazen-do-se manipulações algébricas. O livro texto de nossa disciplina (Stewart, James – Cálculo Vol. I) apresenta essas demonstrações nos tópicos 3.1 e 3.2. Estude-as com bastante atenção e procure refazê-las. A compreensão das deduções das fórmulas do Cálculo Diferencial e Integral é muito importante o seu desenvolvimento nesta disciplina e também para o desenvolvimento de seu raciocí-nio lógico, além disso é um ótimo exercício mental.

ATIVIDADE 5

A) Calcule, usando as regras de derivação, as derivadas das funções a seguir, conforme os exemplos de 15 a 32:

a) f x x( ) = +2 4

b) f x x( ) =- -2 5

c) f r r( ) = p 2

d) f x x x x( ) = - + +14 42 3 4

e) f(x) = 14 – x–3

f) f(x) = (3x5 – 1)(2 – x4)

g) f(x) = 7(ax² + bx + c ) (sendo a, b e c constantes)

h) f(t) = 3 5 1

1t t

t² + -

-i) f(s) = (s² - 1)(3s - 1)(5s² + 2s)

j) f(t) = 2

2--

tt

²

k) f(x) = x4 + 2/x6

l) f x xx

( ) = +2 12

m) f x xx

( ) =+

232

n) y x x= +2

o) f xx

( ) =+1

42

p) g x xx

( ) = -+

142

q) y x x x x= + + + -34 2 2 32 3 4

51Derivadas

Cálculo II

Vejamos mais alguns exemplos que envolvem taxas de variação que podem ser resolvidos de modo relativamente rápido, utilizando-se as regras de derivação. Experimente fazê-los utilizando a definição de derivada e você perceberá!

Exemplo 33: Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo em que bactérias estavam crescendo, a população de bactérias continuou a crescer por um tempo, mas depois parou de crescer e começou a diminuir. O tamanho da população no instante t (em horas) era dado por f t t t( ) = + -10 10 106 4 3 2 . Determine as taxas de crescimento para

a) t= 0 h.

b) t= 5 h.

c) t=10 h.

Solução:Como queremos calcular a taxa de variação da função em três diferentes instantes de tempo, precisamos calcular a função derivada f t'( ) e depois substituir t por 0, por 5 e por 10. Veja:

f t t t( ) = + -10 10 106 4 3 2

f t t'( ) = - ×10 10 24 3 (cálculo da derivada)

a) A taxa de crescimento da população em t = 0 h era:

f '( )0 10 10 2 04 3= - × ×

= =104

=10000 bactérias por hora.

Isso significa que, nesse momento, a população ainda crescia a uma taxa de 10000 bactérias por hora.

b) A taxa de crescimento da população em t = 5 h era:

f '( )5 10 10 2 54 3= - × ×

= - =10 104 4

= 0

52Capítulo 1


Isso significa que, nesse momento, a população de bactérias permanecia constante.

c) A taxa de crescimento da população em t = 10 h era:

f '( )10 10 10 2 104 3= - × ×

= - × =10 2 104 4

= -10000 20000

=-10000 bactérias por hora.

Isso significa que, nesse momento, a população diminuía a uma taxa de 10000 bactérias por hora.

Exemplo 34: O custo anual (em reais) para os estoques de um fabricante

é C qq

q( ) . . ,= +1 008 000 6 3 , onde q é o tamanho do pedido ao se

reabastecer o estoque. Calcule a variação no custo anual, ao se aumentar

q de 350 para 351, e compare-a com a taxa de variação instantânea,

quando q = 350.

Solução:

Se substituirmos q por 350, teremos o custo para reabastecer o estoque com 350 unidades:

C( ) . . ,350 1 008 000350

6 3 350= + ×

C( )350 2880 2205= +

C( )350 5085=

Logo, o custo para reabastecer o estoque com 350 unidades será de R$ 5.085,00.

Fazendo o mesmo, só que com q valendo 351, teremos o custo para reabastecer o estoque com 351 unidades:

C( ) . . ,351 1 008 000351

6 3 351= + ×

53Derivadas

Cálculo II

C( ) ,351 5083 09»

Assim, o custo para reabastecer o estoque com 351 unidades será de R$ 5083,09.

Portanto, a variação no custo anual, ao se aumentar q de 350 para 351 é C C( ) ( )351 350- = 5.083,09 – 5.085,00 = –1,91 reais.

Precisamos comparar esse resultado com a taxa de variação instantânea no ponto q = 350, ou seja, com a derivada da função no ponto 350. Para isso, vamos calcular a derivada da função

C qq

q( ) . . ,= +1 008 000 6 3

:

C q q q( ) . . ,= +-1 008 000 6 31 (modificando a forma da função)

dCdq

q=- ´ +-1 1 008 000 6 32. . , (derivando)

dCdq q

=- +1 008 000 6 32

. . , .

A taxa de variação instantânea, quando q = 350, é:

dCdq( ) . . ,350 1 008 000

3506 32=- +

dCdq

( ) ,350 1 928»- reais.

Repare que a variação no custo anual, ao se passar de 350 para 351 unidades estocadas (–1,91 reais), pode ser aproximada pela derivada no ponto 350 (–1,928 reais). O resultado dessa derivada é chamado custo marginal. Experimente fazer esses cálculos com valores maiores de q e você verá que esse resultado se manterá.

Exemplo 35: Um carro percorre 15.000 quilômetros por ano e faz x quilômetros com 1 litro de combustível. Suponha que o custo médio do combustível seja R$ 2,70 por litro. Calcule o custo anual C do combustível como função de x e use-o para completar a tabela.

54Capítulo 1


x 10 15 20 25 30 35 40CdC/dx

Solução:

Para encontrarmos o custo anual com combustível, precisamos dividir o total de quilômetros percorridos em 1 ano (15000) por x (número de quilômetros que se faz com 1 litro) e depois multiplicar o resultado pelo valor de 1 litro do combustível (2,70). Usando esse raciocínio e representando o custo anual por C, temos:

C xx

( ) ,= ´15000 2 70

C xx

( ) = 40500

C x x( ) = -40500 1

Para calcular os valores que completam a 1ª linha da tabela, basta substituir x por 10, 15, 20 25, 30, 35 e 40 e fazer as contas:

C( )10 4050010

4050= = reais

C( )15 4050015

2700= = reais

C( )20 4050020

2025= = reais

C( )25 4050025

1620= = reais

C( )30 4050030

1350= = reais

C( ) ,35 4050035

1157 14= » reais

C( ) ,40 4050040

1012 50= = reais

Para calcular os valores que completam a 2ª linha da tabela, precisamos da função derivada dC

dx. Vamos calculá-la:

C x x( ) = -40500 1

55Derivadas

Cálculo II

dC xdx

x( )=- ´ -1 40500 2 (aplicando a regra da potência)

dC xdx x( )

=-40500

2

Agora basta substituir x por 10, 15, 20 25, 30, 35 e 40 e fazer os devidos cálculos:

dCdx

( )10 4050010

4052=-

=-

dCdx

( )15 4050015

1802=-

=-

dCdx

( ) ,20 4050020

101 252=-

=-

dCdx

( ) ,25 4050025

64 82=-

=-

dCdx

( )30 4050030

452=-

=-

dCdx

( ) ,35 4050035

33 062=-

»-

dCdx

( ) ,40 4050040

25 312=-

=-

A tabela completa fica da seguinte forma:

x 10 15 20 25 30 35 40C 4050 2700 2025 1620 1350 1157,14 1012,50

dC/dx -405 -180 -101,25 -64,8 -45 -33,06 -25,31

Exemplo 36: Uma moeda de um real cai da cobertura de um edifício de 1.362 pés, de tal forma que a sua posição no instante t é s t t( ) =- +16 13622 .

a) Obtenha a função velocidade da moeda.b) Determine a velocidade média no intervalo [1,2].c) Calcule a velocidade nos instantes t = 1 e t = 2.d) Calcule o tempo necessário para a moeda atingir o solo.e) Calcule a velocidade da moeda no momento do impacto com o solo.

56Capítulo 1


Solução:a) A velocidade é a taxa de variação da posição. Isso significa que, se derivarmos a função s t t( ) =- +16 13622 , encontraremos a função velocidade da moeda. Fazendo isso, temos:

v t s t t( ) '( )= =- ´2 16

v t s t t( ) '( )= =-32

b) A posição da moeda no instante t =1 é s( )1 16 1362 1346=- + = pés, e, no instante t =2, é s( )2 64 1362 1298=- + = pés. Logo, a velocidade média da moeda no intervalo [1,2] é:

Vm s s=

--

( ) ( )2 12 1

Vm = -1298 1346

Vm pés s=-48 /

c) A velocidade no instante 1 é v s pés s( ) '( ) /1 1 32= =- e no instante 2 é v s pés s( ) '( ) /2 2 64= =-

d) A moeda atinge o solo quando s t t( ) =- + =16 1362 02 :

- + =16 1362 02t

t 2 136216

=

t » 9 23, segundos (repare que o valor de t deve ser um número positivo)

e) A velocidade da moeda no momento do impacto com o solo é v s( , ) '( , ) , ,9 23 9 23 32 9 23 295 36= =- ´ =- pés/s.

ATIVIDADE 6

A) O volume de um cubo de aresta s é dado por V = s 3 . Cal-cule a taxa de variação do volume em relação a s, quando s = 6 centímetros.

B) A área de um quadrado de lado s é dada por A = s 2 . Calcule a taxa de variação da área em relação a s, quando s = 2 metros.

57Derivadas

Cálculo II

C) Verifique que a velocidade média no intervalo [t 0 - ∆ t t, 0 + ∆ t ] é igual à velocidade instantânea em t = t 0 para a função posição.

D) O comprimento da base de um triângulo é dado por 2t + 1 e a sua altura relativa por t , onde t é o tempo medido em segundos e a unidade métrica é o centímetro. Calcule a taxa de variação da área do retângulo em relação à variável t.

E) O raio de um cilindro circular reto é dado por 2 1t + e a sua

altura é dada por 12

t , onde t é o tempo medido em segundos

e a unidade métrica é o centímetro. Calcule a taxa de variação do

volume do cilindro em relação à variável t. (Lembre-se de que o

volume de um cilindro é o valor da área da base multiplicado pela

altura.)

F) O custo associado ao pedido e ao frete de componen-

tes usados na fabricação de um produto é dado pela função

Cx

xx

= ++

æèççç

öø÷÷÷100 200

302 , na qual x ³1 . C é medido em milhares

de reais e x é o número de unidades do pedido, medido em cente-

nas. Calcule a taxa de variação de C em relação a x, quando x = 20.

Qual o significado desse resultado? Veja o exemplo 34.

G) Uma população de 500 bactérias é colocada numa cultura e

passa a crescer, segundo a equação P(t) = 500 41++t

50 t²� � , onde

t é o tempo medido em horas. Calcule a variação de crescimento

da população no instante t = 2.

H) Na superfície de um pequeno planeta sem ar, exploradores usa-ram um estilingue para atirar uma bola verticalmente para cima com uma velocidade de lançamento de 15 m/s. Como a acelera-ção da gravidade era gs m s/ 2 , os exploradores esperavam que a bola atingisse uma altura de s t g ts= -15 (1/2) 2 metros após t segundos. Eles verificaram que a bola atingiu sua altura máxima 20 segundos depois do lançamento. Qual é o valor de g?

I) Suponha que a distância percorrida por uma aeronave na pista antes de decolar seja dada por D t= (10/9) 2 (medindo-se D em metros desde o ponto de partida e t em segundos depois que os freios foram soltos). A aeronave começa a planar quando sua ve-locidade atinge 200 Km/h. Quanto tempo levará para a aeronave planar e que distância ela já terá percorrido até esse instante?

58Capítulo 1


J) Embora a erupção do vulcão Kilauea Iki, no Havaí, em novem-bro de 1959, tenha começado com uma linha de fontes laterais na parede da cratera, a atividade vulcânica ficou restrita a uma

única abertura no fundo da cratera, que em certo momento lan-

çou lava a 1.900 pés de altura (um recorde mundial). Qual foi a

velocidade de saída da lava em pés/s? Dica: Se v0 é a velocidade de

saída de uma partícula de lava, sua altura no instante t será dada

por s t v t t( ) = -0216 pés. Comece determinando o instante em que

dsdt

v t= =( ) 0 . Despreze a resistência do ar.

K) A Lei da Gravitação Universal de Newton afirma que a força

F que duas massas m1 e m2 exercem uma sobre a outra é dada

por F Gm m= 1 2

d², onde G é uma constante e d é a distância entre

as duas massas. Determine uma fórmula que forneça a taxa de

variação instantânea de F em relação a d. Assuma que as mas-

sas m1 e m2 representam objetos puntiformes em movimento.

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59Derivadas

Cálculo II

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60Capítulo 1


1.6 Derivadas de ordem superior

Ao derivarmos uma função, obtemos como resultado uma nova função, chamada função derivada. Se for possível derivarmos a função derivada, obteremos mais uma função, chamada de segunda derivada, ou derivada de segunda ordem. Representamos a segunda derivada de uma função y f x= ( ) com o símbolo

( )2

2

xdxfd . Dessa forma, temos que:

( ) ( )

=

xdxfd

xdd

xdxfd

2

2

Vamos continuar no mesmo raciocínio. Pode ser que esta nova função ( )2

2

xdxfd possa ser derivada novamente. Se houver essa possibilidade e

se o fizermos, encontramos a terceira derivada ou derivada de terceira ordem. Representamos a terceira derivada de uma função )(xfy = com o símbolo ( )

3

3

xdxfd . Assim,

( ) ( ) ( )

=

= 2

2

3

3

xdxfd

xdd

xdxfd

xdd

xdd

xdxfd

Podemos, ainda, continuar derivando, obtendo as derivadas de quarta ordem, quinta ordem, sexta ordem, etc.

Em geral, o símbolo ( )

n

n

xdxfd representa a derivada de ordem n de uma

função )(xfy = .

Além da simbologia apresentada, essas derivadas também podem ser denotadas como segue:

I) ( ) ( )xfxdxfd ′= (primeira derivada)

II) ( ) ( )xf

xdxfd ′′=2

2

(segunda derivada)

61Derivadas

Cálculo II

III) ( ) ( )xfxd

xfd ′′′=3

3

(terceira derivada)

IV) ( ) ( ) ( ) ( )xfxf

xdxfd iv

n4

4

4

== (quarta derivada)

E assim sucessivamente.

Exemplo 37: Usando as fórmulas de derivação, calcule as derivadas de 1a e 2a ordem da função ( ) 3xxf = , no ponto 10 −=x .

Solução:

A derivada de 1ª ordem é ( ) 23' xxf = . Aplicando-a em 10 −=x , encontramos ( ) 3)1(31' 2 =−=−f .

A derivada de segunda ordem é a derivada da função ( ) 23' xxf = , que é ( ) xxf 6" = . Aplicando-a em 10 −=x , encontra-se ( ) 6)1.(61" −=−=−f .

Exemplo 38: A posição de uma partícula em movimento é dada pela equação s t t t t( ) = - +3 26 9 , onde t é medido em segundo e s em metros.

a) Encontre a velocidade da partícula no instante t.

b) Em quais instantes a partícula estará em repouso?

c) Qual a velocidade da partícula no instante 2 segundos? E no instante 4 segundos?

Solução:

a) A função velocidade é a primeira derivada da função posição. Portanto, basta derivar a função s t t t t( ) = - +3 26 9 . Veja:

62Capítulo 1


s t t t t( ) = - +3 26 9

s t v t t t'( ) ( )= = - +3 12 92

b) A partícula estará em repouso quando sua velocidade for igual a zero. Devemos, então, ter s t v t t t'( ) ( )= = - + =3 12 9 02 . Resolvendo essa equação do segundo grau, chegamos a t= 1 ou t = 3. Portanto, a partícula estará em repouso em dois instantes: 1 e 3 segundos.

c) As velocidades nos instantes t = 2 e t = 4 são, respectivamente:

smv /392.122.3)2( 2 −=+−=

smv /994.124.3)4( 2 =+−=

Portanto, após 2 segundos, a partícula se move com velocidade de -3m/s, enquanto, após 4 segundos, ela se move com velocidade de 9m/s.

Exemplo 39: Encontre as derivadas de todas as ordens relativas à função( ) 4523 23 −−+= xxxxf .

Solução: Vamos derivar a função ( ) 4523 23 −−+= xxxxf sucessivamente:

( ) 549 2 −+=′ xxxf

( ) 418 +=′′ xxf

( ) 18=′′′ xf

( ) ( ) 0=== �xfxf viv

Observe que a partir da quarta derivada todas serão iguais a zero.

63Derivadas

Cálculo II

ATIVIDADE 7

A) Calcule as derivadas de 1ª, 2ª e 3ª ordens, relativas às seguintes funções:

a) f(t) = t8 - 2t5 + 3t + 1

b)y=(3x²-4x)²

c) y x x x= + + +3 2 2

d) y x x= - +2 2 3

e) y x x= +34 2

f) y x=

g) yx

=1

h) y x x x x= + - + -2 3 4 14 3 2

B) Calcule f ”(1), sabendo que f(x) = (1+x)² - x .

C) Dadas as funções f(x) = x²+Ax e g(x) = Bx, determine os números A e B, tais que:

f'(x) g'(x) 1 2 xf(x) g(x) x ²+ = +- =

ìíïïîïï

D) Um balonista deixa cair de um balão um saco de areia, de uma altura de 160 m acima do solo. Após t segundos, o saco de areia está a 100 – 4,9t² do solo. a) Ache a velocidade do saco de areia em t=1 e em t=5 e faça o gráfico da função velocidade.b) Com que velocidade o saco de areia atinge o solo?

E) Usando as fórmulas de derivação, calcule as derivadas de 1a e 2a or-dens da função f x x x( )= +2 33 2 , no ponto x0 2=- .

F) Seja 1043)( 34 +++= xxxxf .a) Calcule f’(x).b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto corre-spondente a x0 1= .c) Lembrando que uma reta tem inclinação de 45° quando seu coefi-ciente angular é igual a 1, ache os pontos sobre o gráfico de f, nos quais a reta tangente tem inclinação de 45°. Dica: Calcule a primeira derivada, iguale-a a 1 e resolva a equação resultante.

64Capítulo 1


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

65Derivadas

Cálculo II

1.7 Derivadas de funções trigonométricas

Neste tópico determinaremos as derivadas das funções trigonométricas (função seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante). Mas, antes disso, vamos estudar o limite trigonométrico fundamental, cujo resultado será necessário para o cálculo dessas derivadas.

Teorema 8

Limite trigonométrico fundamental

Se x é um número real, então lim senx

xx®0

.

Demonstração:

Para demonstrá-lo, vamos utilizar um argumento geométrico. Consideremos a Figura 7, que apresenta um arco pertencente ao 1º quadrante de medida x radianos. Sejam AC a medida do seg-mento cujas extremidades são A e C, TB a medida do segmento cujas extremidades são T e B e TC a medida do comprimento do arco da circunferência trigonométrica com ponto inicial T e final C. Da construção feita na Figura 7 temos que AC TC TB< < .

Observe que AC x= sen (pela definição de seno), TB x= tg (pela definição de tangente) e TC x = (a medida do comprimento do arco da circunferência trigonométrica correspondente a um ân-gulo central de x radianos é x unidades de comprimento). Dessas observações, montamos a seguinte desigualdade:

senx x tgx< <

Mas, como tgx senxx

=cos

, escrevemos a desigualdade anterior da seguinte maneira:

senx x senxx

< <cos

Dividimos os membros da desigualdade por senx , que é um nú-mero positivo, já que x é do 1º quadrante, e chegamos a:

1 1< <

xsenx xcos

Invertendo as desigualdades, temos:

1> >senx

xxcos

Como lim lim cosx x

x® ®+ +

= =0 0

1 1 , segue que limx

senxx® +

=0

1 .

Mas, como a função f x senxx

( ) = é uma função par, seus limites à direita e à esquerda devem ser iguais. Portanto,

limx

senxx®

=0

1.

66Capítulo 1


Utilizaremos agora o limite trigonométrico fundamental para determinar a derivada da função seno.

Teorema 9

Derivada da função seno

Se f x senx( ) = , então f x x'( ) cos=

Em outras palavras: A derivada da função seno é a função cosseno.

Demonstração:

Aplicando a definição de derivada de uma função, temos:ddx

x x h xhh

(sen ) lim sen( ) sen( )=

+ -®0

.

Utilizando a fórmula de transformação em produto sen( ) sen( ) sen cosp q p q p q

- = ×-

×+2

2 2, podemos escrever:

ddx

x

x h x x h x

hh(sen ) lim

sen ( ) cos ( )

=×

+ -×

+ +

®0

22 2

Simplificando a expressão temos:

ddx

senx hh

x hh h

( ) lim sen( / )/

lim cos= × +æèççç

öø÷÷÷

é

ëêê

ù

ûú

® ®0 0

22 2 úú

Figura 7

67Derivadas

Cálculo II

Perceba que o limite lim sen( / )/h

hh®0

22

é um limite trigonométrico fundamental, logo, vale 1. Além disso, como a função cosseno é contínua, segue que lim cos x cos lim x( )= ( ) . Considerando essas duas observações, chegamos a:

ddx

senx x hh

( ) cos lim= × +æèççç

öø÷÷÷

é

ëêê

ù

ûúú®

120

E, portanto:

ddx

senx x x( ) cos cos= × =1

Exemplo 40: Diferencie y x sen x= ×2 ( ) .

Solução:Como temos uma multiplicação de duas funções, vamos utilizar a regra do produto (derivada da primeira função vezes a segunda função (sem derivar) mais a derivada da segunda função vezes a primeira (sem derivar)):

y x sen x= ×2 ( )

y x sen x x x' ( ) cos( )= × + ×2 2

Teorema 10

Derivada da função cosseno

Se f x x( ) cos= , então f x senx'( ) =-

Em outras palavras: A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.

68Capítulo 1


Podemos provar que ddx

x senxcos( ) =- da mesma maneira que calculamos a derivada da função seno.

Teorema 11

Derivada da função tangente

Se y tgx= , então y x' sec ( )= 2

Em outras palavras: A derivada da função tangente é o quadrado da função secante.

Demonstração:

A função y tgx= pode ser escrita como a razão entre a função seno e a função cosseno:

NI ,2

com ,cossentgy ∈π+π≠== kkx

xxx

Para derivar NI ,2

com ,cossentgy ∈π+π≠== kkx

xxx , basta uti-

lizar a regra do quociente (derivada do numerador vezes o de-nominador (sem derivar) menos a derivada do denominador ve-zes o numerador (sem derivar), tudo dividido pelo quadrado do denominador):

y' cos sen ( sen )cos

=- × -2

2

x x xx

y x xx

' cos sencos

=+2 2

2

yx

'cos

=1

2

y x' sec ( )= 2

Teorema 12

Derivada da função cotangente

Se y cotgx= , então y x' cossec ( )=- 2

69Derivadas

Cálculo II

Em outras palavras: A derivada da função cotangente é o oposto do quadrado da função cossecante.

Pode-se provar que a derivada da função cotangente é o oposto do quadrado da função cossecante do mesmo modo que calculamos a derivada da função tangente. É só escrever y cotgx x

senx= =

cos e aplicar a regra do quociente.

Teorema 13

Derivada da função secante

Se y x= sec , então y x tg x' sec( ) ( )= ×

Em outras palavras: A derivada da função secante é ela própria vezes a função tangente.

Para calcular a derivada da função secante escrevemos y x

x= =sec

cos1 e aplicamos a regra do quociente.

Teorema 14

Derivada da função cossecante

Se y x= cossec , então y x cotg x' cossec( ) ( )=- ×

Em outras palavras: A derivada da função cossecante é o oposto dela mesma, vezes a função cotangente.

70Capítulo 1


Para calcular a derivada da função cosssecante escrevemos y x

senx= =cossec 1 e aplicamos a regra do quociente.

Segue, abaixo, uma tabela-resumo com as derivadas das funções trigonométricas:

Tabela das derivadas de funções trigonométricas

ddx

x xsen cos( )= ( ) ddx

x xcos sen( )=- ( )

ddx

tg x x( )= ( )sec2 ddx

g x xcot cossec( )=- ( )2

ddx

x x tg xsec sec( )= ( )× ( ) ddx

x x g xcossec cossec cot( )=- ( )× ( )

Exemplo 41: Um objeto na extremidade de uma mola vertical é esticado 4 cm além de sua posição no repouso e solto no instante t = 0. Sua posição no instante t é s t t( ) cos( )= 4 . Encontre a velocidade do objeto no instante t.

Solução:Para encontrar a velocidade, basta derivar a função posição:

v t s t ddt

t( ) '( ) ( cos( ))= = 4

v t s t ddt

t( ) '( ) (cos( ))= = 4

v t s t sen t( ) '( ) ( )= =-4

Exemplo 42: Diferencie f xx

tg x( )=

( )+ ( )sec

1.

Tabela 3: derivadas das funções trigonométricas

71Derivadas

Cálculo II

Solução:Como temos uma divisão entre duas funções, basta utilizar a regra do quociente (derivada do numerador vezes o denominador (sem derivar) menos a derivada do denominador vezes o numerador (sem derivar), tudo dividido pelo quadrado do denominador):

f xx

tg x( )=

( )+ ( )sec

1

f x

ddx

x tg x ddx

tg x x

tg x'

(sec( )). .sec( )( )=

+ ( )éë ùû - + ( )éë ùû

+ ( )

1 1

1ééë ùû2 (regra do

quociente)

f xx tg x tg x x x

tg x'

sec ( ). sec ( ).sec( )( )=

( )× + ( )éë ùû -

+ ( )éë ùû

1

1

2

2

(derivando as funções trigonométricas)

f xx tg x x tg x x

tg x'

sec ( ) sec ( ) sec ( )( )=

( )× + ( )× -

+ ( )éë ùû

2 3

21 (aplicando a

propriedade distributiva)

Substituindo tg x2 ( ) por sec ( )2 1x - , temos:

f xx tg x x x x

tg x'

sec ( ) sec sec ( ) sec ( )( )=

( )× + ( )× -éëê

ùûú -

+ ( )éë

2 31

1 ùùû2

f xx tg x x x x

tg x'

sec ( ) sec ( ) sec sec ( )( )=

( )× + - ( )-+ ( )éë ùû

3 3

21 (aplicando a

propriedade distributiva)

f xx tg x x

tg x'

sec ( ) sec( )=

( )× - ( )+ ( )éë ùû1

2 (cancelando as parcelas opostas)

f xx tg x

tg x'

sec ( )( )=

( )× -[ ]+ ( )éë ùû

1

12

(evidenciando)

72Capítulo 1


Nosso uso principal para o limite trigonométrico fundamental foi provar que a derivada da função seno é a função cosseno. Mas esse limite também é proveitoso na determinação de outros limites envolvendo trigonometria, como nos exemplos a seguir:

Exemplo 43: Encontre lim ( )x

sen xx®0

74

Solução:Se o limite solicitado fosse lim ( )

x

sen xx®0

77

, o resultado seria 1, de imediato.

Isso nos dá uma idéia: transformar algebricamente a expressão

lim ( )x

sen xx®0

74

, a fim de chegarmos a um limite fundamental.

Para isso, basta multiplicarmos o numerador e o denominador por 74

(o que não altera o valor da expressão). Veja:

lim ( )x

sen xx®

=0

74

lim( )

x

sen x

x®

´

´=

0

74

7

74

4

74

770

´ =®

lim ( )x

sen xx

74

1 74

´ =

Exemplo 44: Calcule lim ( )x

sen axbx®0

, em que a e b são constantes reais (generalização do exemplo anterior).

Solução:Se o limite solicitado fosse lim ( )

x

sen axax®0

, o resultado seria 1. Vamos, então, transformar algebricamente a expressão lim ( )

x

sen axbx®0

, a fim de chegarmos a um limite fundamental, para simplificarmos nossas contas.

Para isso, basta multiplicarmos o numerador e o denominador por ab

(o que não altera o valor da expressão). Veja:

73Derivadas

Cálculo II

lim ( )x

sen axbx®

=0

lim( )

x

ab

sen ax

ab

bx®

´

´=

0

ab

sen axaxx

´ =®

lim ( )0

ab

ab

´ =1

Exemplo 45: Calcule lim cot ( )x

x g x®

×0

Solução:Sabemos que cot ( ) cos( )

( )g x x

sen x= . Fazendo essa substituição no limite

solicitado, temos:

lim cot ( )x

x g x®

× =0

= =®

lim cos( )( )x

x xsen x0

= =®

lim cos( )( )x

xsen x

x0

=[ ]é

ëêê

ù

ûúú

=®

®

lim cos( )

lim ( )x

x

x

sen xx

0

0

= =cos 0

1

=1 .

74Capítulo 1


ATIVIDADE 8

A) Derive as seguintes equações e obtenha y ' . Ao lado de cada item segue a resposta para conferência.

a) xsenxy 2 −= R. xxy cos2 −=′

b)

xxseny = R. ¢ = -y x sen x

x x cos

2

c) xxseny cos = R. xxseny 22cos=′

d)

xsenxy 1

cos−

= R. ¢ = -y senx1

1

e) xxy cos 310 +−= R. xseny 310 −−=′

f) R. 0=′y

g)

xgxgy cot1

cot+

= R. ¢ =-+

y sec xg x

coscot

2

1

h) xtgx

y

1 cos

4 += R. ¢ = -y tg x x sec x4 2 sec cos

i) xsenxxxsenxy 2 cos 2 2 −+= R. xxy cos2=′

j) y secx gx= +( )-cos cot 1 R. ¢ =+

y secxgx secxcos

cot cos

B) Calcule os limites:

a) lim ( )x

tg xx®0

b) lim ( )x

sen xx®0

1002

c) lim ( )x

sen xx®

-0

52

y=(sec x + tg x)(sec x - tg x)

75Derivadas

Cálculo II

d) limx

xsenx®0

e) lim( )

x

senx

x®¥

1

f) lim ( )( )x

sen xsen x®0

89

g) lim ( )x

tg xx®0 4

h) lim ( )( )x

sen xx tg x® +0

C) Uma partícula tem sua posição variando com o tempo, de acor-do com a relação s t sen t t( ) ( ) cos( )=- +2 3 . Encontre a velocidade da partícula no instante t.

D) Se a velocidade de um objeto no instante t é v t sen t t( ) ( ) cos( )=- -, qual a sua posição no instante t = 4 ? Dica: use uma calculadora científica para efetuar os cálculos necessários. Lembre-se de que ela deve estar no modo radiano.

E) Encontre os pontos sobre a curva y xsen x

=+cos( )

( )2 nos quais a

reta tangente é horizontal.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

76Capítulo 1


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

77Derivadas

Cálculo II

1.8 Derivadas de funções exponenciais

Teorema 15

Derivada da função exponencial

A derivada da função y ax= (sendo a> 0 e a ¹1) é a função y a ax' ln( )= ×

Em outras palavras: A derivada da função exponencial é ela pró-pria multiplicada pelo logaritmo natural de sua base.

Demonstração: Aplicando a definição de derivada de uma fun-ção, temos:ddx

a a ah

x

h

x h x

( ) lim=-

®

+

0

ddx

a a a ah

x

h

x h x

( ) lim=× -

®0 (produto de potências de mesma base)

ddx

a a ah

x

h

x h

( ) lim ( )=

× -®0

1 (evidenciando)

Como ax não depende de h, pode “sair” do limite:

ddx

a a ah

x x

h

h

( ) lim= ×-

®0

1

Observe que o limite limh

hah®

-0

1 é igual à derivada da função y ax=

aplicada em x = 0 . Logo, a expressão ddx

a a ah

x x

h

h

( ) lim= ×-

®0

1 pode ser escrita da seguinte forma:

ddx

a a f ax x( ) '( )= ×

Até aqui nós provamos que a derivada de qualquer função expo-nencial é proporcional à própria função. Porém, pode-se demons-trar, ainda, que o número f a'( ) é igual a ln( )a . Admitindo isso, chegamos ao seguinte resultado:

ddx

a a ax x( ) ln( )= ×

78Capítulo 1


Exemplo 46: Mostre que a derivada da função f x ex( ) = é ela própria ( e é o número de Eüler, estudado no módulo anterior, que satisfaz a condição ln( )e =1).

Solução:Aplicando a relação d

dxa a ax x( ) ln( )= × , temos:

ddx

e e ex x( ) ln( )= ×

Como ln( )e =1 , podemos simplificar a expressão:

ddx

e ex x( ) = ×1

ddx

e ex x( ) =

A função f x ex( ) = é a única função cuja derivada é ela própria.

Exemplo 47: Calcule a derivada da função f x xx( ) = +3 3

Solução:Vamos utilizar a regra da derivada da soma:

f x xx( ) = +3 3

f x ddx

ddx

xx'( ) ( ) ( )= +3 3

79Derivadas

Cálculo II

f x xx'( ) ln( )= × +3 3 3 2

Exemplo 48: Calcule a derivada da função f x sen xx( ) ( )= 3

Solução:Temos que utilizar a regra do produto (derivada da primeira função vezes a segunda função -sem derivar) mais a derivada da segunda função vezes a primeira - sem derivar):

f x sen xx( ) ( )= 3

f x ddx

sen x ddx

sen xx x'( ) ( ) ( ) ( )= +3 3 (regra do produto)

f x sen x xx x'( ) ln( ) ( ) cos( )= × +3 3 3 (derivando as funções)

f x sen x xx'( ) ln( ) ( ) cos( )= +[ ]3 3 (evidenciando)

Exemplo 49: Diferencie f xx

x( )=( )sec

2

Solução:Basta utilizar a regra do quociente (derivada do numerador vezes o denominador - sem derivar -, menos a derivada do denominador vezes o numerador - sem derivar -, tudo dividido pelo quadrado do denominador):

f xx

x( )=( )sec

2

f x

ddx

x ddx

xx x

x'

(sec( )). .sec( )( )=

- éëê

ùûú

éëê

ùûú

2 2

22 (regra do quociente)

80Capítulo 1


f x x tgx xx x

x' sec . ln( ). sec( )( )= × - ×

éëê

ùûú

2 2 2

22 (derivando as funções)

f xx tgxx

x'

sec ln( )( )=

× -[ ]éëê

ùûú

2 2

22 (evidenciando)

f xx tgx

x'sec ln( )

( )=× -[ ]2

2 (cancelando fatores

comuns)

81Derivadas

Cálculo II

1.9 Regra da cadeia

Uma das mais importantes regras de derivação será estudada agora, a Regra da Cadeia. Essa regra trata da derivada de funções compostas e acrescenta uma surpreendente versatilidade às regras vistas nas seções anteriores. Note que podemos derivar funções mais complexas utilizando a regra da cadeia:

Podemos derivar essas funções sem usar a regra da

cadeia

Para derivar essas funções utilizamos a regra da cadeia

y x= +2 1 y x= +2 1

y sen x= ( ) y sen x x= +( )2 3

y x= +3 2 y x= +( )3 2 50

y x tg x= + ( ) y x tg x= + ( )2

Exemplo 50: Constrói-se um conjunto de engrenagens, como mostrado na Figura 8, com a segunda e a terceira engrenagens acopladas no mesmo eixo. O primeiro eixo movimenta o segundo que, por sua vez, coloca o terceiro eixo em movimento. Represente por y, u e x o número de rotações por minuto do primeiro, segundo e terceiro eixos respectivamente.

Tabela 4: Exemplos de funções que podem ser derivadas por meio da regra da Cadeia

82Capítulo 1


Calcule dydu

, dudx

e dydx

, e demonstre que dydx

dydu

dudx

= ´ .

Solução:Como o perímetro da segunda engrenagem é três vezes maior que o da primeira, segue que o primeiro eixo deve dar três voltas para que o segundo eixo dê uma volta. Da mesma forma, o segundo eixo deve dar duas voltas para que o terceiro eixo dê uma volta (preste bastante atenção na figura), e assim podemos escrever:

3=dudy

e

2=dxdu

Desses dois resultados, concluímos que o primeiro eixo deve dar seis voltas para que o terceiro eixo dê uma volta. Portanto, obtemos:

dydx

=

Taxa de variação do primeiro eixo em re-lação ao segundo eixo

´Taxa de variação do segundo eixo em relação ao terceiro eixo

623 =×=×=

dxdu

dudy

= taxa de variação do primeiro eixo em re-lação ao terceiro

Figura 8: Engrenagens ilustrando a regra da cadeia

83Derivadas

Cálculo II

Em outras palavras, a taxa de variação de y em relação a x é o produto da taxa de variação de y em relação a u pela a taxa de variação de u em relação a x.

O mesmo raciocínio aplicado no exemplo anterior é utilizado para derivar funções compostas.

O exemplo foi uma ilustração da regra da Cadeia, que está enunciada a seguir.

Teorema 16

A regra da cadeia

Se y= f(u) é uma função derivável na variável u, e u = g(x) é uma função derivável na variável x, então y = f(g(x)) é uma função de-rivável na variável x e dydx

dydu

dudx

= ×

Exemplo 51: Diferencie ( )22 3)( += xxf .

1ª solução:

Uma maneira de resolver o problema é desenvolver a expressão e calcular a derivada do resultado obtido. Veja:

f x x( ) = +( )2 23

f x x x( ) = + +4 26 9 (desenvolvendo o quadrado da soma)

f x x x'( ) = +4 123 (derivando o polinômio)

2ª solução:

Outra solução consiste em utilizar a regra da cadeia. Para isso, precisamos representar uma parte da expressão da função ( )22 3)( += xxf por uma variável auxiliar u. Fazemos, então, u x= +2 3 e, consequentemente,

84Capítulo 1


ficamos com y u= 2 . Ao usarmos a regra da Cadeia, precisamos calcular dydu

e dudx

, e em seguida multiplicar os resultados.

Primeiro calculamos dydu

:

dydu

= uudud 2)( 2 =

Depois calculamos dudx

:

dudx

= xxdxd 2)3( 2 =+

Em seguida, finalizamos, calculando dydx

pela regra da cadeia:

=)(' xf dxdu

dudy

dxdy ⋅= =

2 2u x× =

4 32( )x x+ × = (substituímos u por x2 3+ )

4 123x x+ .

Portanto, f x x x'( ) = +4 123 .

Exemplo 52: Calcule a derivada da função f x x( ) = +2 1 .

Solução:Primeiramente, vamos escrever a função, utilizando a forma de potência:

f x x( ) = +2 1 ⇒ f x x( ) ( )= +2121

Agora, chamamos x2 1+ de u e ficamos com as funções u x= +2 1 e y u=

12 .

Calculamos dydu

:

85Derivadas

Cálculo II

dydu

= ddu

u( )12

=-1

2

12

1u

=-1

2

12u

Depois, calculamos dudx

:

dudx

=

xxdxd 2)1( 2 =+



=)(' xf dxdu

dudy

dxdy ⋅= =

=

xu 221 2

1

⋅−

=

=

xu ⋅−

21

=

= xx ⋅+−

21

2 )1( =

= 21

2 )1( +x

x .

Portanto,

1)('

2 +=

x

xxf .

Exemplo 53: Calcule dydx

, sendo 32 )1( += xy .

86Capítulo 1


Solução:

Para essa função, consideramos 12 += xu e ficamos, a partir dessa representação, com duas funções: 12 += xu e y u= 3 .

Calculamos dydu

:

dydu

= ddu

u( )12

=-1

2

12

1u

=-1

2

12u

Depois, calculamos dudx

:

dudx

=

xxdxd 2)1( 2 =+



=)(' xf dxdu

dudy

dxdy ⋅= =

=

xu 221 2

1

⋅−

=

=

xu ⋅−

21

=

= xx ⋅+−

21

2 )1( =

= 21

2 )1( +x

x .

Portanto,

1)('

2 +=

x

xxf .

87Derivadas

Cálculo II

Como vimos, a regra da cadeia é utilizada para derivar uma fun-ção que é composta de outras funções, ou seja, uma função da forma ))(( xgfy = .

Ao aplicar a Regra da Cadeia, é útil pensar na função composta f g x f g x ( ) ( )= [ ]como tendo duas partes: uma parte interna (g x( ) ) e outra externa. Com isso em mente, podemos calcular a derivada da função ))(( xgfy = de uma forma alternativa, que na verdade é a própria regra da Cadeia, só que escrita com outras palavras:

i) Primeiramente, calcule f g x'( ( )) (derivada da função externa aplicada na interna);

ii) Depois, calcule g x'( ) (derivada da parte interna);

iii) Por fim, multiplique os dois resultados encontrados.

Exemplo 54: Derive a função 1003 )1( −= xy .

Solução:i) Calculamos f g x'( ( )) (derivada da função externa aplicada na interna):

f g x'( ( )) = 993 )1(100 −x (regra da potência);

ii) Calculamos g x'( ) (derivada da parte interna);

g x ddx

x'( ) ( )= -3 1 = 3 2x

iii) Multiplicamos os resultados dos itens i e ii:

y '= 100 13 99( )x - . 3 2x

= 300 12 3 99x x( )-

Portanto, y x x' ( )= -300 12 3 99

Exemplo 55: Derive 1050 )1( −= xy


88Capítulo 1


f g x'( ( )) = 10 150 9( )x - (regra da potência);

ii) Calculamos g x'( ) (derivada da parte interna);

g x ddx

x'( ) ( )= -50 1 = 50 49x


y x x' .( ) .= -10 1 5050 9 49

= -500 149 50 9x x( )

Portanto, y x x' ( )= -500 149 50 9

Imagine se tivéssemos que desenvolver a expressão original dada no problema para depois derivar!

Exemplo 56: Derive y sen x=[ ]( ) 10


f g x'( ( )) = 10 9( )senx (regra da potência);

ii) Calculamos g x'( ) (derivada da parte interna)

g x ddx

senx'( ) ( )= = cos x ;


y senx x' ( ) cos=10 9

Portanto, y senx x' ( ) cos=10 9

Imagine se tivéssemos que desenvolver a expressão original dada no problema para depois derivar!

89Derivadas

Cálculo II

Exemplo 57: Um pêndulo de 15 centímetros se desloca segundo a equação q= 0 2 8, cos t , em que θ , medido em radianos, é o deslocamento angular em relação à direção vertical e t representa o tempo que é medido em segundos. Determine:

a) o deslocamento angular máximo.

b) a taxa de variação de θ no instante 3=t .

Solução:a) Queremos encontrar o valor máximo da função q= 0 2 8, cos t . Ora, sabemos, do módulo passado, que o valor máximo do cosseno é 1. Assim, a função q= 0 2 8, cos t terá valor máximo quando cos8 1t = . Substituindo, então, cos8t por 1 na expressão q= 0 2 8, cos t , temos:

q= 0 2 8, cos t

q= ×0 2 1,

q= 0 2, radianos

q »11 46, graus.

b) Como θ expressa o deslocamento em função do tempo, segue que a derivada d

dtq representa a taxa de variação de θ . Vamos calcular essa

derivada:

q= 0 2 8, cos t

ddt

ddt

tq= [ ]0 2 8, cos

ddt

ddt

tq= × [ ]0 2 8, cos

ddt

sen tq= × -[ ]0 2 8 8, ( )

ddt

sen tq=-1 6 8, ( )

90Capítulo 1


Agora, é só trocar t por 3:

ddt

senq( ) , ( )3 1 6 8 3=- ×

ddt

senq( ) , ( )3 1 6 24=-

ddtq( ) ,3 1 45» radianos por segundo.

ddtq( ) ,3 83 12» graus por segundo.

Exemplo 58: Calcule a derivada da função yx

=æ

èççç

ö

ø÷÷÷÷sen 1 .

yx

x=æ

èççç

ö

ø÷÷÷÷= ( )-sen sen1 1

2

dydx

x x=- ( )- -12

32

12cos (regra da cadeia na forma simplificada)

=-æ

èççç

ö

ø÷÷÷÷

12

13x x

cos

Exemplo 59: Calcule a derivada da função ( )42 3cos4 xxy = .

y x x= ( )4 32 4cos

dydx

x x x x= ( )- ( )8 3 48 34 4 4cos sen (regra do produto e regra da Cadeia)

91Derivadas

Cálculo II

Exemplo 60: Calcule a derivada da função ( )32 4+

−=x

xy .

y x

x=-

+( )2 34

dydx

x x x

x=-

+( ) - +( )+( )

232 2 2

12

2 3

4 3 4

4 (regra do quociente e regra da

Cadeia)

=-+( ) +( ) - +( )

+( )x x x x

x

2 212 2 2

12

2 3

4 4 3 4

4

=-+ -( ) +( )

+( )x x x

x

2 2 212

2 3

4 3 4

4

=--( ) +( )

+( )4 2 4

4

2 212

2 3

x x

x

=-( ) +( )

+( )2 4 4

4

2 212

2 3

x x

x

= -( ) +( ) -2 4 42 2

12

3x x

=-( )

+( )

2 4

4

2

252

x

x

=-( )+( )

2 2

4

2

2 5

x

x

Portanto, a derivada da função ( )32 4+

−=x

xy é a função

yx

x'=

-( )+( )

2 2

4

2

2 5

.

92Capítulo 1


ATIVIDADE 9

A. Nos itens seguintes, calcule a derivada da função dada.

a) ( )372 −= xy

b) ( ) ( )4943 xxg −=

c) ( ) ttf −= 1

d) 493 2 += xy

e) 4 242 xy −=

f) 21−

=x

y

g) ( )

2

31

−=

ttf

h) 21+

=x

y

i) ( ) ( )42 2−= xxxf

j) 21 xxy −=

B. O deslocamento, em relação ao equilíbrio de um objeto em movimento harmônico no extremo livre de uma mola, é dado por

tsenty 124112cos

31 −= , em que y é medido em pés e t representa

o tempo que é medido em segundos. Determine a posição e a ve-locidade do objeto no instante 8/π=t .

C) Calcule as derivadas das expressões abaixo. Repare que, ao lado de cada item, segue a resposta para você conferir com o seu resultado.

a) f x x( )= -( )2 3 8 R. ¢( )= -( )f x x16 2 3 7

b) ( )3

213

+=

xxxf

R.

( )

+⋅

+−=′

3

2

223133

xx

xxxf

93Derivadas

Cálculo II

c) g x x x( )= + -2 2 1 R. ¢( )= +

+ -g x x

x x1

2 12

d) y x x= +3 24 33 R. dydx

x xx x

=+

+

12 63 3 2

3 2

4 3 23 ( )

e) y x x= + +( )4 5 33 2 10 R. dy

dxx x x x= + +( ) +( )10 4 5 3 12 103 2 9 2

D. Calcule a derivada de cada função:

a) f(t) = t8 - 2t5 + 3t + 1 b) g(t) = 1²2

1³3

1 +−tt

c) h xx

xx

( ) .³

= + +æèççç

öø÷÷÷æèççç

öø÷÷÷

12 3 2 d) p x x x

x x( ) ²

²=

+ +- +

2 13 2

e)y=(2x²+x-5)³ f) 1³2)( +−= ttth

g)f(s)=(7s²+6s-1)³ h)g(s)=(4s²-5s+2)-1/3

i) f(r) = (7r²+6r)7 (3r - 1)4 j) f uu

u( ) =

++

æèççç

öø÷÷÷

7 12 32

3

k) h u uu

( ) = +-

2 11

l)f(y)=(5y-2)6(3y-1)³

m)g(y)=(y²-1)(3y-1)(5y³+2y) n) h y yy y

( ) ( )³( )²( )

= -- -

12 3

o) p u u u( ) ( ) ( )= - +-23

5 3 5 31 p) f v v av b

( ) ( )²( )

=--

q)h(r)=(4r²-a)³(a–2r) r)f(x)=7(ax²+bx+c)-1/3

E. A quantidade y (em gramas) de plutônio radioativo remanescente em uma amostra de 20g, após t dias é dada pela fórmula ( ) 140/2/120 tA ⋅=A que taxa o plutônio diminui quando t = 2 dias? Responda usando unidades apropriadas.

94Capítulo 1


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95Derivadas

Cálculo II

1.10 Derivação implícita

Dada a equação y x= -4 62 , dizemos que y é uma função explícita de x e podemos escrever y f x= ( ) onde f x x( )= -4 62 . Em outras palavras, podemos “isolar” a variável y.

Observe que a equação 8 2 122x y- = define a mesma função f, pois, resolvendo a equação isolando y obtemos:

8 12 2

8 122

4 6

2

2

2

x y

y x

y x

- =

=-

= -

Para o caso de 8 2 122x y- = , dizemos que y é uma função implícita de x, ou que f é definida implicitamente pela equação 8 2 122x y- = . Ou seja, nesse caso não há uma variável “isolada”.

Quando uma relação entre variáveis é dada de forma implícita:

1º) pode acontecer de uma equação definir implicitamente mais do que uma função. Por exemplo, se considerarmos a equação x y2 2 1+ = , temos duas funções definidas. Vejamos:

x y

y x

2 2

2

1

1

+ =

ß

=± +

Temos duas funções: y x e y x=+ + =- +1 12 2 .

2º) pode acontecer de ser muito difícil ou, até, impossível isolar uma das variáveis. Por exemplo, tente isolar x ou y na equação y y x x4 33 4 5 1+ - = + ou na equação sen xy y x y( )2 + = - !

96Capítulo 1


Mas a questão que nos interessa aqui é a seguinte:

Pode-se calcular a derivada de uma função definida implicitamente, sem ser necessário determinar o valor de y explicitamente? A resposta a essa pergunta é sim. A técnica utilizada para encontrar dy

dx nesses casos

é chamada derivação implícita.

Regra da potência e da cadeia aplicadas de forma conjunta

Uma das regras mais utilizadas quando estamos derivando im-plicitamente é a regra da potência aplicada conjuntamente com a regra da cadeia:

ddx

u nu dudx

n n[ ] = ×-1

Em outras palavras: Multiplica-se o expoente pela base elevada ao expoente diminuído de 1 (regra da potência) e, em seguida, multiplica-se pela derivada da parte interna (regra da cadeia).

Exemplo 61: Obtenha dy/dx, sabendo que 45 223 −=−−+ xyyy .

Solução:Primeiramente, derivamos ambos os lados da equação 45 223 −=−−+ xyyy , em relação à variável x:

[ ] [ ]45 223 −=−−+dxdxyyy

dxd

Todas as vezes que formos derivar em relação a uma variável diferente daquela segundo a qual a função está definida, precisamos multiplicar pela derivada da parte interna. Isso corresponde à regra da cadeia. Acompanhe os cálculos:

ddx

y ddx

y ddx

y ddx

x ddx

3 2 25 4éëê

ùûú +

éëê

ùûú - [ ]- é

ëêùûú = -[ ]

97Derivadas

Cálculo II

3 2 5 2 02y dydx

y dydx

dydx

x+ - - =

A 1ª, a 2ª e a 3ª parcelas vieram acompanhadas do fator dydx

, justamente pelo que foi mencionado acima. Esse fator corresponde à multiplicação pela derivada da parte interna, já que as três referidas parcelas são definidas em relação a y, enquanto a derivação é em relação a x.

Agora, agrupamos todos os termos que envolvam dy/dx no lado esquerdo da equação e colocamos os outros termos no lado direito da equação:

3 2 5 22y dydx

y dydx

dydx

x+ - =

Colocamos dy/dx em evidência no lado esquerdo da equação:

dydx

y y x( )3 2 5 22 + - =

Obtemosdy/dx,dividindopor 3 2 52y y+ -( ) :

dydx

xy y

=+ -2

3 2 52

Acompanhando os passos desenvolvidos na solução do exemplo anterior, podemos listar algumas diretrizes que podemos seguir para derivarmos uma expressão implicitamente:

Diretrizes para derivar implicitamente

1. Derive ambos os lados da equação em relação à variável x, sem se esquecer de utilizar a regra da cadeia quando necessário;

2. Agrupe todos os termos que envolvem dy/dx no lado esquer-do da equação e coloque os outros termos no lado direito da equação;

3. Coloque dy/dx em evidência no lado esquerdo da equação;

4. Isole dy/dx.

98Capítulo 1


Exemplo 62: Obtenha dy/dx, sabendo que y y x x4 33 4 5 1+ - = + .

Solução:Primeiramente, derivamos ambos os lados da equação y y x x4 33 4 5 1+ - = + em relação à variável x:

ddx

y y x ddx

x4 33 4 5 1+ -( )= +( ) (derivamos ambos os membros em relação a x)

4 3 12 53 2y y y x¢+ ¢- = (repare que em vez da expressão dydx

, utilizamos a notação y ' )

¢ +( )= +y y x4 3 5 123 2 (evidenciamos y ' )

¢ =+

+y x

y5 124 3

2

3 (isolamos y ' )

Exemplo 63: Determine o coeficiente angular da tangente ao gráfico da curva 1543 34 +=−+ xxyy no ponto P(1,-2).

Solução:O coeficiente angular em P é o valor da derivada quando x = 1 e y = -2. Como já temos a expressão que representa a derivada (do item anterior), basta fazermos uma simples substituição:

¢ =+

+Þy x

y5 124 3

2

3¢ =

+

-( ) +=y 5 12

4 2 317293 .

Exemplo 63: Calcule a derivada de y em relação a x, dada a relação x seny xy+ = .

Solução:Derivamos os dois membros em relação a x:

99Derivadas

Cálculo II

ddx

x seny ddx

xy+[ ]= [ ]

1 1+ × = × + ×cos y dydx

y dydx

x (regra do produto no membro da direita)

cos y dydx

x dydx

y- = -1 (agrupando dydx

do lado esquerdo)

dydx

y x y(cos )- = -1 (evidenciando)

dydx

yy x

=--1

cos (isolando dy

dx)

ATIVIDADE 10

A) Use a derivação implícita para determinar dy dx/ nos exercí-cios A-J.

A. 622 =+ xyyx

B. yxyyx +=+ 22

C. 133 =+− yxyx

D. ( ) 2222 yxyxx −=−

E. 112

+−=

xxy

F.

yxyxx

+−=2

G. x = tg y

H. x + sen y = xy

I.ysen

=

y1 1–xy

J. y2 cos =

y1 2x+2y

B) Admitindo que cada uma das equações abaixo define implici-tamente uma função y = f(x) , determine y ' .

100Capítulo 1


a) 0422 =+− xyy

b) x y x y x y+( ) - -( ) = +2 2 4 4

C) Seja y = f(x) dada implicitamente pela equação 312 xyy += . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que y = 1.

D ) Dada a equação x y2 2 9+ = , determine:

a) a derivada em relação a x.

b) duas funções de x definidas pela equação.

E) Seja )(xfy = a função dada implicitamente pela equação y y x3 + = ,

a) mostre que f xf x

'( )[ ( )]

=+

13 12 ;

b) determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( , ( ))10 10f .

F) Encontre os dois pontos em que a curva 722 =++ yxyx cru-za o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas retas?

______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________

101Derivadas

Cálculo II

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

102Capítulo 1


1.11 Taxas relacionadas

Já foi visto como a Regra da Cadeia pode ser usada para calcular dy dx/implicitamente. Outra forma importante de usar a Regra da Cadeia é para calcular a taxa de variação de duas ou mais variáveis relacionadas que dependam do tempo.

Por exemplo, quando um tanque com formato de cone é esvaziado, o volume V, o raio r e a altura h do nível da água, são todos funções do tempo. Sabendo que essas variáveis estão relacionadas pela equação V r h=

p3

2 , podemos derivar ambos os membros da equação em relação à variável t (tempo), por meio de derivação implícita, e obter a equação de taxas relacionadas. Veja:

V r h=p3

2 (fórmula do volume do cone)

ddt

V ddt

r h( ) =æèççç

öø÷÷÷

p3

2 (derivando ambos os membros em relação a t)

ddt

V ddt

r h( ) = × ( )p3

2 (p3 é constante e pode “sair” da

derivada)

dVdt

r dhdt

rh drdt

= +æèççç

öø÷÷÷

p3

22 (aplicando a regra do produto juntamente com a regra da Cadeia)

Dessa maneira, encontramos a taxa de variação de V em função da taxa de variação de h e da taxa de variação de r.

Vejamos agora alguns exemplos de problemas que podem ser resolvidos com a estratégia apresentada acima:

Exemplo 64: Suponha que x e y sejam funções deriváveis em relação à variável t e que estão relacionadas pela equação y = x² + 3. Calcule dy/dt quando x =1, sabendo que dx/dt = 2 se x = 1.

Solução: Primeiramente, derivamos ambos os lados da equação em relação à variável t, usando a Regra da Cadeia:

103Derivadas

Cálculo II

32 += xy (escrevendo a equação original)

]3[][ 2 += x

dtdy

dtd

(derivando os dois membros em relação à variável t)

ddt

y ddt

x ddt

[ ]= +2 3

dtdxx

dtdy 2= (regra da cadeia)

Para x = 1 e dx/dt = 2, obtém-se:

4)2)(1(2 ==dtdy

Exemplo 65: Uma pedra lançada num lago parado origina ondulações na forma de círculos concêntricos. O raio r do círculo externo aumenta a uma taxa de 1 pé por segundo. Quando o raio medir 4 pés, qual será a taxa de variação da área A do círculo?

Solução: As variáveis r e A estão relacionadas pela equação A r= p 2 . A taxa de variação do raio em relação ao tempo é 1=

dtdr

.

Resumindo o problema, temos os seguintes dados:

Equação: A r= p 2

Taxa dada: 1=dtdr

Objetivo: Calcular dAdt

para 4=r

Com essas informações, podemos proceder como no exemplo anterior:

104Capítulo 1


ddt

A ddt

r[ ] [ ]= p 2

dAdt

r drdt

= 2p

dAdt

= =2 4 1 8p p( )( )

Isso significa que no instante em que o raio medir 4 pés, a taxa de variação da área será π8 pés quadrados por segundo.

Para resolver um problema que envolve taxas relacionadas podemos seguir algumas regras básicas.

Diretrizes para resolver um problema de taxas relacionadas

1. Identifique todas as quantidades dadas e aquelas que devem ser calculadas.

2. Faça um esboço do problema e crie símbolos para as quantida-des envolvidas.

3. Escreva uma equação envolvendo as variáveis cujas taxas de va-riação ou são dadas ou precisam ser calculadas.

4. Usando a regra da Cadeia, derive implicitamente ambos os la-dos da equação em relação à variável t.

5. Após executar o Passo 4, substitua, na equação resultante, todos os valores dados das variáveis e de suas taxas de variação.

6. Por fim, calcule a taxa de variação pedida.

Uma dificuldade natural que surge quando começamos a resolver problemas de taxas relacionadas é a interpretação do problema e a criação de um modelo matemático a partir dessa interpretação. A tabela abaixo relaciona exemplos de modelos matemáticos envolvendo taxas de variação. Por exemplo, no primeiro caso a taxa de variação é a velocidade de um carro. Veja:

105Derivadas

Cálculo II

Formulação Verbal Modelo Matemático

A velocidade de um carro via-jando por 1 hora é de 50 milhas por hora

x = distância percorrida

dxdt

= 50 para 1=t

Água está sendo bombeada para uma piscina a uma taxa de 10 metros cúbicos por hora.

V= volume da água da piscina

hm

dtdV /10 3=

Uma engrenagem está girando numa taxa de 25 rotações por minuto (1 rotação = π2 rad)

θ

)2(25 πθ =

dtd

rad/mim

Exemplo 66: Enche-se um balão esférico a uma taxa de 4,5 decímetros cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir 2 decímetros.

Solução:Seja V o volume do balão e r a medida do seu raio. Como o volume aumenta a uma taxa de 4,5 decímetros cúbicos por minuto, sabemos que no instante t a taxa de variação do volume é dV

dt= =4 5 9

2, . Logo, o

problema pode ser formulado como segue.

Taxa dada:

29=

dtdV

(a taxa de variação do volume é constante)

Objetivo: Calcular drdt

para 2=r .

Para calcular a taxa de variação do raio, primeiramente encontramos uma equação que relacione o raio r com o volume V:

Equação: 3

34 rV π= (volume de uma esfera)

Derivando ambos os lados da equação em relação à variável t, obtemos:

dVdt

r drdt

= 4 2p (derivando em relação à variável t)

Tabela 5: modelo matemático vs formulação verbal

106Capítulo 1


=

dtdV

rdtdr

341π

(isolando dr/dt)

Finalmente, para 2=r , a taxa de variação do raio é:

09,0

29

161 ≈

=

πdtdr

decímetros por minuto

No exemplo 66, note que a taxa de variação do volume é constante, porém, a taxa de variação do raio não. O fato de duas taxas serem relacionadas não implica que elas sejam proporcionais. Nesse exemplo, a taxa de variação do raio diminui com o tempo.

Exemplo 67: A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto?

Solução:Primeiramente, fazemos uma figura relativa ao problema, identificando as variáveis. Devemos observar tudo o que varia com o tempo.

Vamos representar o raio do cilindro por r, a altura do líquido por h e o volume do líquido por V. Com o passar do tempo, r permanece

Figura 9: tanque cilíndrico sendo esvaziado

107Derivadas

Cálculo II

inalterado, mas h e V se modificam. Percebemos, então, que h e V são funções deriváveis do tempo t.

Sabemos que o líquido é bombeado para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto, ou seja, que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é de “menos 3000 litros por minuto”. Representamos isso da seguinte forma:

dVdt

=-3000

Queremos calcular a taxa de variação da altura do nível da água em relação ao tempo, ou seja, precisamos calcular

dhdt

Como h e V se modificam com passar do tempo t, precisamos de uma equação que relacione h, V e t.

Essa equação é a do cálculo do volume de um cilindro circular reto em litros (área da base vezes a altura, vezes mil). Veja:

V r h=1000 2p

Agora que temos a equação, derivamos os dois membros em relação ao tempo t:

V r h=1000 2p

dVdt

ddt

r h= [ ]1000 2p

dVdt

ddt

r h=1000 2p [ ]

dVdt

r dhdt

=é

ëêê

ù

ûúú

1000 2p .

Basta, então, substituir o valor dVdt

=-3000 na equação e isolar dhdt

:

- =é

ëêê

ù

ûúú

3000 1000 2p r dhdt

.

108Capítulo 1


- =é

ëêê

ù

ûúú

3 2

pr dh

dt.

dhdt r

=-3

2p m/minuto.

Concluímos que o nível do líquido no tanque desce segundo a velocidade de

23rπ

− metros por minuto. Ou seja, essa velocidade depende da medida do raio do cilindro.

Se r = 1 metro, por exemplo, então dhdt

cm»-95 / min .

Se r = 10 metros, por exemplo, então dhdt

cm»-0 0095, / min .

Esse resultado é completamente coerente, pois, com certeza, se o raio for grande, o nível do líquido diminuirá devagar e, se o raio for pequeno, o nível diminuirá rapidamente.

Exemplo 68: Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 km ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 km a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 km/h. Se a viatura está se deslocando a 60 km/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?

Solução:Como no exemplo anterior, fazemos uma figura relativa ao problema, identificando as variáveis.

Figura 10: perseguição próxima de um cruzamento

109Derivadas

Cálculo II

Vamos representar a distância entre a viatura e o cruzamento por y, a distância entre o carro dos fugitivos e o cruzamento por x e a distância entre os dois veículos por s. Com o passar do tempo, as três variáveis são alteradas, portanto x, y e s são funções deriváveis do tempo t.

As taxas de variação presentes no problema são:

I) dsdt

=+20 (a distância s entre os veículos aumenta a uma taxa de 20 km/h)

II) dydt

=-60 (a distância y entre a viatura e o cruzamento diminui a uma taxa de 60 km/h

Queremos determinar a velocidade do carro dos fugitivos. Ou seja, queremos descobrir dx

dt.

Precisamos de uma equação que relacione x, y e s. Ora, na figura temos um triângulo retângulo e podemos aplicar o teorema de Pitágoras:

x y s2 2 2+ =

Agora que temos a equação, derivamos os dois membros em relação ao tempo t:

d x ydt

ddt

s( ) ( )2 2

2+=

2 2 2x dxdt

y dydt

s dsdt

+ =

x dxdt

y dydt

s dsdt

+ =

Segundo o problema, temos y = 0,6, x = 0,8, s = 1, dsdt

=+20 e

dydt

=-60

Basta substituir esses valores na equação x dxdt

y dydt

s dsdt

+ = :

110Capítulo 1


x dxdt

y dydt

s dsdt

+ =

0 8 0 6 60 1 20, , ( )dxdt

+ ´ - = ´

dxdt

= =560 8

70,

km/h

Portanto, os fugitivos fogem a 70 km/h.

ATIVIDADE 11

A) Seja V o volume de um cilindro tendo altura h e raio r e supo-nha que h e r variam com o tempo,

a) como estão relacionadas dV/dt, dh/dt e dr/dt ?

b) Em certo instante, a altura é de 6 cm e está crescendo a 1cm/s, enquanto o raio é de 10 cm e está decrescendo a 1 cm/s. Com que rapidez o volume está variando naquele instante? O volume está crescendo ou decrescendo?

B) Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a ex-tremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?

C) Abasexeaalturaydeumretânguloestãovariandocomotempo. Em um dado instante, x mede 3 cm e cresce a uma taxa de2cm/s,enquantoymede4cmedecresceaumataxade1cm/s.Determine, nesse instante, a taxa de variação da área A do retân-gulo em relação ao tempo.

D) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruza-mento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primei-ro carro está a 0,2 km do cruzamento e o segundo a 0,15 km?

E) A água escoa de reservatório de concreto cônico (vértice para baixo), com raio da base de 45 m e altura de 6 m, a uma taxa de 50 m²/min.

a) Com que taxa (cm/min) o nível da água estará diminuindo

111Derivadas

Cálculo II

quando este for de 5 m de profundidade?b) Com que taxa o raio da superfície da água estará variando nesse momento? Use cm/min como unidade.

F) Suponha que uma gota de neblina seja uma esfera perfeita e que, por condensação, capte umidade a uma taxa proporcional à área de sua superfície. Mostre que nessas circunstâncias o raio da gota cresce a uma taxa constante.

G) Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de 1 pé/s. Quando ele está a 65 pés aci-ma do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade cons-tante de 17 pé/s passa por baixo dele. A que taxa a distância s(t) entre a bicicleta e o balão aumentará três segundos depois?

H) Você está filmando uma corrida de um lugar a 132 pés de distância da pista, seguindo um carro que se desloca a 180 mi/h (264 pé/s). Quando o carro estiver exatamente em sua frente, a que velocidade o ângulo θ de sua câmera variará? E meio segundo depois?

I) O comprimento l de um retângulo diminui a uma taxa de 2 cm/s, enquanto a largura w aumenta a uma taxa de 2cm/s. Encon-tre as taxas de mudança paraa) a área;b) o perímetro;c) os comprimentos das diagonais do retângulo quando l = 12 cm e w = 5 cm.

Quais medidas estão aumentando e quais estão diminuindo?

J) Uma escada com 13 pés está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela escorrega a uma taxa de 5 pés/s.

a) A que taxa o topo da escada escorrega para baixo nesse momento?b) A que taxa a área do triângulo, formado pela escada, parede e pelo solo, varia?c) A que taxa o ângulo θ , formado pela escada e pelo solo, varia?

K) Dois aviões comerciais voam a 400.00 pés em rotas retilíneas, que se cruzam formando ângulos retos. O avião A se aproxima do ponto de intersecção a uma velocidade de 442 nós (milhas náuti-cas por hora; uma milha náutica é igual a 2.000 jardas) e o avião B se aproxima a 481 nós. A que taxa a distância entre os aviões varia, quando A está a 5 milhas náuticas do ponto de intersecção e B a 12 milhas náuticas do mesmo ponto?

112Capítulo 1


L) Calcule a taxa de variação da distância entre a origem e um pontoquesedeslocaao longodográficoda funçãoy=x²+1,supondo que dx/dt = 2 centímetros por segundo.

M) Calcule a taxa de variação da distância entre a origem e um pontoquesedeslocaaolongodográficodafunçãoy=senx,su-pondo que dx/dt = 2 centímetros por segundo.

N) O raio r de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centí-metros por minuto. Calcule a taxa de variação da área do círculo quando a) r = 6 centímetrosb) r = 24 centímetros.

O) Seja A a área de um círculo de raio r, que é uma função do tempo t. Se dr/dt é constante, então dA / dt também é constante? Justifique.

P) Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 cen-tímetros cúbicos por minuto. A que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir:a) 30 centímetros?b) 60 centímetros?

Q) As arestas de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 cen-tímetros por segundo. Qual a taxa de variação do volume quando cada aresta do cubo medir:a) 1 centímetro?b) 10 centímetros?

R) O volume V de um cone é dado por V = 13

π r²h . Calcule a taxa de variação do volume do cone, se dr/dt = 2 polegadas por minuto e h = 3r, quando:

a) r = 6 polegadas

b) r = 24 polegadas.

S) Numa usina de areia e cascalho, a areia está caindo de um con-dutor sobre uma pilha cônica, a uma taxa de 10 metros cúbicos por minuto. O diâmetro da base da pilha cônica é, aproximada-mente, três vezes a sua altura. A que taxa a altura está variando no instante em que essa altura for igual a 15 polegadas?

T) Um tanque em formato de cone (com vértice para baixo) tem 10 pés no seu diâmetro superior e 12 pés de profundidade e sua tampa tem um diâmetro de 10 pés. O tanque está se enchendo com água a uma taxa de 10 pés cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação da profundidade da água no instante em que a profundidade for de 8 pés.

113Derivadas

Cálculo II

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114Capítulo 1


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APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

Neste capítulo estudaremos algumas aplicações das derivadas, como o cálculo de valores máximos e mínimos de uma função, a determi-nação dos intervalos de crescimento e decrescimento e dos intervalos em que uma função é côncava ou convexa, utilizaremos esses novos conceitos para resolver problemas de otimização.

Bons estudos!

Prof. Fidelis Castro

2.1 Extremos de uma função

No Cálculo Diferencial e Integral, uma das questões mais importantes é a determinação do comportamento de uma função em um intervalo I.

Quando estamos estudando o comportamento de uma função, várias perguntas vêm à nossa mente de forma natural. Seguem algumas delas:

• Seráquef tem um valor máximo em I? • Seráquetemumvalormínimo?• Ondeafunçãoécrescente?• Ondeédecrescente?

Nesta seção aprenderemos como usar derivadas para responder a essas perguntas e a outras que por ventura surgirem. Veremos também por que essas questões são importantes em diversas aplicações do Cálculo na vida real.

Definição 7

Extremos de uma função em um intervalo

Seja f uma função definida num intervalo I que contenha o nú-mero c.

116Capítulo 2


Dizemos que ( )cf é o valor mínimo de f em I, se f c f x( )£ ( ) para todo x pertencente a I.

Dizemos que ( )cf é o valor máximo de f em I, se f c f x( )³ ( ) para todo x pertencente a I.

Em outras palavras: O valor máximo de uma função em um in-tervalo é o maior valor entre todas as imagens da função naquele intervalo. O valor mínimo de uma função em um intervalo é o menor valor entre todas as imagens da função naquele intervalo.

O mínimo e o máximo de uma função em um intervalo são cha-mados valores extremos, ou, simplesmente, extremos. O mínimo e o máximo de uma função em um intervalo são chamados, tam-bém, respectivamente, de mínimo absoluto (mínimo global) e máximo absoluto (máximo global) nesse intervalo.

O teorema do valor extremo, enunciado a seguir, garante que uma função contínua, definida em um intervalo fechado, tem tanto valor máximo quanto valor mínimo nesse intervalo. Embora o teorema do valor extremo seja intuitivamente plausível, sua demonstração foge ao escopo deste texto.

Teorema 16

Teorema do Valor Extremo

Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então, f tem tanto máximo quanto mínimo nesse intervalo.

Em outras palavras: Qualquer função que seja contínua e esteja definida em um intervalo fechado tem que ter, obrigatoriamente, valor máximo e valor mínimo nesse intervalo.

117Aplicações das Derivadas

Cálculo II

Definição 8

Extremos Relativos

Se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f(c) é um máxi-mo, então, f(c) é chamado de máximo relativo de f, ou podemos ainda dizer que f tem um máximo relativo em (c, f(c)).

Em outras palavras: Pode acontecer de um ponto ser o máximo de uma função, não comparando com todos os valores da função, mas apenas com os valores de uma vizinhança do ponto. Nesse caso, dizemos que ele é um máximo relativo ou máximo local.

Se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f(c) é um míni-mo, então, f(c) é chamado de mínimo relativo de f, ou podemos ainda dizer que f tem um mínimo relativo em (c, f(c)).

Em outras palavras: Pode acontecer de um ponto ser o mínimo de uma função, não comparando com todos os valores da função, mas apenas com os valores de uma vizinhança do ponto. Nesse caso, dizemos que ele é um mínimo relativo ou mínimo local.

Dessa maneira, podemos fazer o seguinte resumo:

I) Máximo absoluto (ou global): maior valor da função em todo o intervalo no qual ela estiver definida.

II) Máximo relativo (ou local): maior valor da função em apenas uma vizinhança de um ponto.

III) Mínimo absoluto (ou global): menor valor da função em todo o intervalo no qual ela estiver definida.

IV) Mínimo relativo (ou local): menor valor da função em apenas uma vizinhança de um ponto.

Informalmente, podemos pensar em um máximo como ocorrendo em uma “montanha” do gráfico e em um mínimo como ocorrendo em um “vale” do gráfico. Tais montanhas e vales podem ocorrer de duas formas:

1ª) Se a montanha (ou vale) for suave e arredondada, como na Figura 11, o gráfico tem uma reta tangente horizontal no ponto mais alto (ou no ponto mais baixo).

118Capítulo 2


Na Figura 11, temos o gráfico de uma função que tem um valor máximo global no ponto (4, 3) e um valor mínimo global no ponto (0, -2).

2ª) Se a montanha (ou vale) for aguda e com “bico”, como na Figura 12, o gráfico representa uma função que não é diferenciável (derivável) no ponto mais alto (ou no ponto mais baixo).

Figura 11: máximo e mínimo de uma função suave

Figura 12: máximo e mínimo de uma função com “bicos”


Cálculo II

Na Figura 12, temos o gráfico de uma função que tem um valor máximo local no ponto (0, 2) e dois valores mínimos globais nos pontos (-2,0) e (2 0).

No próximo exemplo, veremos o que ocorre com as derivadas de funções em pontos extremos relativos dados.

Exemplo 69: Ache o valor da derivada da função f xxx

( )=-( )9 32

3 no ponto (3, 2), que é um ponto de máximo relativo. Veja o gráfico dessa função na Figura 13.

Solução:

A derivada de f xxx

( )=-( )9 32

3 é:

¢( )=( )-( ) -( )( )

( )f x

x x x x

x

3 2 2

3 2

18 9 3 3 (aplicando a regra do quociente)

Figura 13: gráfico da função f xxx

( )=-( )9 32

3

120Capítulo 2


f xx

x'( ) =

-( )9 9 2

4 .

No ponto (3, 2) o valor da derivada é:

f '( )39 9 3

3

2

4=-( )

f '( )39 9 9

34=-( )

f '( )3 0=

Como uma reta horizontal tem coeficiente angular igual à zero, concluímos que a reta tangente ao gráfico da função f x

xx

( )=-( )9 32

3

no ponto (3, 2) é horizontal. Veja a Figura 14.

Figura 14: reta horizontal tangente ao gráfico da função

f xxx

( )=-( )9 32

3

no ponto (3, 2)


Cálculo II

Ao analisarmos o valor da derivada de uma função em seu(s) ponto(s) de máximo ou mínimo relativo temos sempre duas possibilidades: ou ele é igual a zero ou ele não existe. Os valores de x nesses pontos são chamados de números críticos. Veja a definição a seguir:

Definição 9

Número Crítico

Seja f uma função definida em c. Se ( ) 0=′ cf , ou se f não é dife-renciável em c, então, c é chamado de número crítico de f.

Em outras palavras: Os números críticos de uma função são to-dos os valores do domínio da função nos quais a derivada é zero ou não existe.

Teorema 17

Extremos relativos ocorrem apenas nos números críticos

Se f tem um mínimo relativo ou um máximo relativo em cx = , então, c é um número crítico de f.

Em outras palavras: Se x é um valor correspondente a um ponto de máximo ou mínimo de uma função, então, ou a derivada em x é igual a zero ou a derivada em x não existe.

O Teorema acima afirma que os extremos relativos de uma função podem ocorrer apenas nos números críticos da função. Sabendo disso, você pode usar os procedimentos seguintes para encontrar os extremos em um intervalo fechado.

122Capítulo 2


Procedimentos para encontrar extremos em um intervalo fechado

1. Para encontrar os extremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b], siga os seguintes passos:

2. Ache os números críticos de f no intervalo [a, b].

3. Calcule f em cada número crítico do intervalo [a, b].

Calcule f nas extremidades de [a, b].

4. O menor desses valores é o mínimo. O maior é o máximo.

Os próximos exemplos mostram como aplicar esses procedimentos. Perceba que achar os números críticos da função é apenas parte do procedimento. Calcular a função nos números críticos e nas extremidades do intervalo é a outra parte.

Exemplo 70: Ache os extremos de f x x x( )= -3 44 3 no intervalo [-1, 2].

Solução: Começamos diferenciando a função:

f x x x( )= -3 44 3

¢( )= -f x x x12 123 2

Para achar os números críticos de f, devemos encontrar todos os valores de x para os quais ¢( )=f x 0 e todos os valores de x em que ¢( )f x não existe.

¢( )= - =f x x x12 12 03 2

12 1 02x x-( )=

x = 0 ou x =1

Como ¢( )f x é definida para todo x, pode-se concluir que os únicos números críticos de f são 0 e 1.

Calculando f nesses dois números críticos e nas extremidades de [-1, 2], vemos que o máximo é f 2 16( )= e que o mínimo é f 1 1( )=- , como mostrado na tabela abaixo. A Figura 15 mostra o gráfico de f.


Cálculo II

Extremidade Esquerda

Número-Crítico

Número-Crítico

Extremidade Direita

( ) 71 =−f ( ) 00 =f ( ) 11 −=f Mínimo

( ) 162 =fMáximo

Observe, na Figura 15, que o número crítico x = 0 não fornece um mínimo relativo nem um máximo relativo. Isso nos diz que os números críticos de uma função não precisam fornecer extremos relativos. Ou seja, se um valor é extremo, então, ele é crítico, mas se ele é crítico, não é, necessariamente, extremo.

Exemplo 71: Ache os extremos de f x x x x( )= - +13

52

63 2 no intervalo [1, 4].

Solução: Começamos derivando a função:

Figura 15: gráfico da função f x x x( )= -3 44 3

124Capítulo 2


f x x x x( )= - +13

52

63 2

f x x x'( )= - +2 5 6

Para achar os números críticos de f, devemos encontrar todos os valores de x para os quais ¢( )=f x 0 e todos os valores de x em que ¢( )f x não existe.

f x x x'( )= - + =2 5 6 0

x = 2 ou x = 3

Como ¢( )f x é definida para todo x, pode-se concluir que os únicos números críticos de f são 2 e 3.

Calculando f nesses dois números críticos e nas extremidades de [1, 4], vemos que o máximo é f 4 32

6( )= e que o mínimo é f 1 23

6( )= , como

mostrado na tabela abaixo. A Figura 15 mostra o gráfico de f.

Extremidade

Esquerda

Número

Crítico

Número

Crítico

Extremidade

Direita

f 1 236

( )=

Mínimo

f 2 143

286

( )= = f 3 92

276

( )= = f 4 326

( )=

Máximo

ATIVIDADE 12

A. Nos exercícios de A a M:

i) calcule os números críticos de f, se existirem.

ii) calcule os valores máximo e mínimo, se existirem.

A. xxxf 6)( 2 −=


Cálculo II

B. 342)( 2 ++−= xxxf

C. xxxxf 1232)( 23 −+=

D. )3()( 2 xxxf −=

E.

5

5)(5 xxxf −=

F. 1)( 3/1 += xxf

G. 3/2)1()( −= xxf

H. f x x x( ) = + +3 23 1

I. f x x x( ) = - +

3

39 2

J. f x x( ) ( )= - +3 1 3

K. f x x( ) ( )= -2 31

L. f x x

x( ) =

-

2

1

M. f x x

x( ) = +

1

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126Capítulo 2


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Cálculo II

2.2 Crescimento, decrescimento e o teste da primeira derivada

Primeiramente, vamos recordar as definições de função crescente e decrescente, estudadas no módulo anterior.

Definição 10

Funções crescentes e decrescentes

Uma função f é crescente em um intervalo, se para quaisquer dois números x1 e x2 no intervalo, com 21 xx < , tivermos ( ) ( )21 xfxf < .

Uma função f é decrescente em um intervalo, se para quais-quer dois números x1 e x2 no intervalo, com 21 xx < , tivermos ( ) ( )21 xfxf > .

Uma função é crescente se, conforme x se move para a direita, seu gráfico se move para cima, e é decrescente se seu gráfico se move para baixo. A função na Figura 16, por exemplo, é decrescente no intervalo -¥( ),a , é constante no intervalo a b,( ) , e é crescente no intervalo b,¥( ).

O Teorema 18 abaixo mostra que uma derivada positiva implica que a função é crescente, uma derivada negativa implica que a função é decrescente, e uma derivada nula em todo um intervalo implica que a função é constante nesse intervalo.

128Capítulo 2


Teorema 18

Teste para Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f uma função contínua no intervalo fechado [ ]ba, e diferen-ciável no intervalo aberto ( )ba, .

1. Se ( ) 0' >xf para todo x em ( )ba, , então, f é crescente em [ ]ba, .

2. Se ( ) 0' <xf para todo x em ( )ba, , então, f é decrescente em [ ]ba,

3. Se ( ) 0' =xf para todo x em ( )ba, , então, f é constante em [ ]ba, .

Exemplo 72: Encontre os intervalos abertos nos quais f x x x( )= -3 232

é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente.

Solução:Observe que f é diferenciável em toda a reta real, pelo fato de ser uma função polinomial. Para determinar os números críticos de f , vamos calcular ( )xf ' e igualar a zero.

f x x x( )= -3 232

Figura 16: intervalos de crescimento e decres-cimento de uma função


Cálculo II

f x x x'( )= - =3 3 02

x = 0 ou x =1

Já que não existem pontos em que f ' não existe, podemos concluir que 0=x e 1=x são os únicos números críticos. Esses dois números críticos dividem a reta real em três intervalos abertos:

1º) -¥< <x 0 (de menos infinito até zero)

2º) 0 1< <x (de zero a 1)

3º) ∞<< x1 (de 1 até mais infinito)

Agora, atribuímos um valor qualquer para x em cada um dos intervalos para descobrir em quais deles a derivada é positiva e em quais é negativa. Fazendo isso, descobriremos os intervalos nos quais a função f x x x( )= -3 23

2 é crescente e os intervalos nos quais é decrescente.

A Tabela 6 resume os testes nos três intervalos determinados por esses dois números críticos.

Intervalo 0<<∞− x 0 1< <x ∞<< x1

Valor de teste 1−=x 21=x 2=x

Sinal de ( )xf ' ( ) 061' >=−f 043

21' <−=

f ( ) 062' >=f

Conclusão f x( ) é crescente

f x( ) é decrescente

f x( ) é crescente

Portanto, f é crescente nos intervalos ( )0,∞− e ( )∞,1 e decrescente no intervalo ( )1,0 , como mostra a Figura 17.

Tabela 6: intervalos de crescimento e decrescimento da função f x x x( )= -3 232

130Capítulo 2


O Exemplo 72 nos mostrou como achar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente. Os procedimentos abaixo resumem os passos seguidos no exemplo.

Procedimento para encontrar intervalos nos quais f é cres-cente ou decrescente

Seja f uma função contínua no intervalo ( )ba, . Para achar in-tervalos abertos nos quais f é crescente ou decrescente, siga os passos:

Localize os números críticos de f em ( )ba, e use esses números para determinar intervalos de teste.

Determine o sinal de ( )xf ' em um valor de teste em cada um dos intervalos.

Use o Teorema 8 para determinar se f é crescente ou decrescente em cada intervalo.

Obs.: Esses procedimentos também são válidos se o intervalo ( )ba, for substituído por um intervalo da forma ( )b,∞− , ( )∞,aou ( )∞∞− , .

Figura 17: gráfico da função f x x x( )= -3 232


Cálculo II

Definição 11

Uma função é denominada estritamente monótona em um in-tervalo se ela é ou crescente no intervalo todo ou decrescente no intervalo todo.

Em outras palavras: Ela não pode mudar de crescente para de-crescente ou de constante para crescente, por exemplo.

Exemplo 73: A função ( ) 3xxf = é estritamente monótona na reta toda, pois é crescente, em toda a reta real. Já uma função quadrática não é estritamente monótona na reta real inteira, pois ela muda de crescente para decrescente ou vice-versa.

Depois de determinar os intervalos nos quais uma dada função é crescente ou decrescente, não é difícil localizar seus extremos relativos. Por exemplo, na Figura 17 (do exemplo 72), a função f x x x( )= -3 23

2 tem

um máximo relativo no ponto ( )0,0 , pois f é crescente imediatamente à esquerda de 0=x . Analogamente, f tem um mínimo relativo no ponto

−

21,1 , pois f é decrescente imediatamente à esquerda de

1=x e crescente imediatamente à direita de 1=x . Veja a Figura 18, que destaca esses pontos.

Figura 18: máximos e mínimos relativos da função f x x x( )= -3 232

132Capítulo 2


O teorema seguinte, chamado de Teste da Primeira Derivada, torna isso mais explícito.

Teorema 19

Teste da Primeira Derivada

Seja c um número crítico de uma função f , contínua num in-tervalo aberto I que contém c . Se f é diferenciável em I , com a possível exceção de c , então, ( )cf pode ser classificado como segue abaixo:

Se 1. ( )xf ' muda de positiva para negativa em c , então, f tem um máximo relativo em ( )( )cfc, .

Se 2. ( )xf ' muda de negativa para positiva em c , então, f tem um mínimo relativo em ( )( )cfc, .

Se 3. ( )xf ' é positivo dos dois lados de c , ou negativo dos dois lados de c , então, ( )cf não é nem um mínimo relativo nem um máximo relativo.

Exemplo 74: Encontre os extremos relativos de ( ) ( ) 322 4−= xxf .

Solução:Inicialmente, observamos que f é contínua na reta toda.

Depois, calculamos sua derivada:

( ) ( ) ( )xxxf 2432' 312 −−= (regra da potência e da cadeia)

f x x

x'( ) =

-( )4

3 42 1 3

A derivada f x x

x'( ) =

-( )4

3 42 1 3 é zero quando 0=x e não existe quando x =±2 . Assim, os números críticos são 2−=x , 0=x e 2=x . A Tabela 7 resume os testes para os quatro intervalos determinados por esses três números críticos


Cálculo II

Intervalo 2−<<∞− x 02 <<− x 20 << x ∞<< x2

Valor de teste 3−=x 1−=x 1=x 3=x

Sinal de ( )xf ' ( ) 03' <−f ( ) 01' >−f ( ) 01' <f ( ) 03' >f

Conclusão Decrescente CrescenteDecres-

centeCrescente

Aplicando o Teste da Primeira Derivada, podemos concluir que f tem um mínimo relativo no ponto ( )0,2− , um máximo relativo no ponto ( )3 16,0 e um outro mínimo relativo no ponto ( )0,2 . Tudo isso fica explícito quando visualizamos o gráfico da função na Figura 18.

Exemplo 75: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f x x

x( )= +4

2

1 .

Solução:Primeiro vamos derivar a função:

( ) 22 −+= xxxf

Tabela 7: crescimento e decrescimento da função f x x

x'( ) =

-( )4

3 42 1 3

Figura 19: valores extremos da função f x x

x'( ) =

-( )4

3 42 1 3

134Capítulo 1


( ) 322' −+= xxxf

f x xx

'( ) = -2 23

f xxx

'( ) =-( )2 14

3

f xx x x

x'( )

( )=

+ -( ) +( )2 1 1 12

3 (fatoração usando diferença entre dois quadrados)

Observe que ( )xf ' é zero em 1±=x . Além disso, já que 0=x não está no domínio de f x'( ) , devemos usar esse valor de x juntamente com 1±=x . Logo, temos os seguintes números críticos para a determinação dos intervalos de teste.

1±=x Números críticos, ( ) 01 =±f

0=x 0 não está no domínio de f '

A Tabela 8 resume a análise feita para os quatro intervalos determinados por esses três valores de x .

Intervalo 1−<<∞− x 01 <<− x 10 << x ∞<< x1

Valor de teste 2−=x

21−=x

21=x 2=x

Sinal de ( )xf '

( ) 02' <−f 021' >

−f 0

21' <

f ( ) 02' <f

Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente

Portanto, a função f x xx

( )= +4

2

1 é crescente nos intervalos ( , )-1 0 e ( , )1 +¥ e é decrescente nos intervalos ( , )-¥ -1 e ( , )0 1 .

ATIVIDADE 13

Nos exercícios de A a G, determine os intervalos de crescimento e

Tabela 8: crescimento e decrescimento da função f x xx

'( ) = +4

2

1


Cálculo II

de decrescimento de cada função.

A. xxxf 6)( 2 −=

B. 342)( 2 ++−= xxxf

C. xxxxf 1232)( 23 −+=

D. )3()( 2 xxxf −=

E.

5

5)(5 xxxf −=

F. 1)( 3/1 += xxf

G. 3/2)1()( −= xxf

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

136Capítulo 2


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Cálculo II

2.3 Concavidade e o teste da segunda derivada

Nós já vimos que localizar os intervalos em que uma função f cresce ou decresce nos ajuda a descrever seu gráfico. Nesta seção, veremos como usar a localização dos intervalos em que f ’ cresce ou decresce para determinar onde o gráfico de f está curvado para cima ou para baixo.

Teorema 18

Concavidade

Seja f uma função diferenciável em um intervalo aberto I. O grá-fico de f é côncavo para cima em I, se f ’ for crescente no intervalo, e côncavo para baixo, se f ’ for decrescente no intervalo.

Em outras palavras: No intervalo em que a primeira derivada for crescente, o gráfico da função será côncavo para cima e, no inter-valo em que a primeira derivada for decrescente, o gráfico será côncavo para baixo.

A Figura 20 ilustra o teorema 18, mostrando a relação entre o crescimento da 1ª derivada e a concavidade do gráfico de uma função, que, nesse caso, fica voltada para cima e entre o decrescimento da 1ª derivada e a concavidade do gráfico, que fica voltada para baixo.

Para determinar os intervalos abertos em que a função f é côncava para cima ou para baixo, precisamos encontrar intervalos nos quais f ’ é crescente ou decrescente.

Figuras 20: relação entre concavidade de um gráfico e crescimento ou decrescimento da 1ª derivada.

138Capítulo 1


Exemplo 76: Os gráficos de f x x x( ) = -13

3 e da sua derivada f x x'( ) = -2 1 estão representados na Figura 21. O gráfico de f x x x( ) = -

13

3 é côncavo para baixo no intervalo aberto )0,(−∞ porque f x x'( ) = -2 1 é decrescente em )0,(−∞ . Analogamente, o gráfico de f é

côncavo para cima no intervalo (0, ∞ ) porque f x x'( ) = -2 1 é crescente em (0, ∞ ). Veja a figura.

Figura 21: gráficos das funções f x x x( ) = -13

3 e f x x'( ) = -2 1


Cálculo II

O teorema 19 mostra como usar a segunda derivada de uma função f para determinar intervalos nos quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo.

Teorema 19

Teste para concavidade

Seja f uma função cuja segunda derivada exista em um intervalo aberto I.

Se f ’’ (x) > 0 em I, então, o gráfico de f é côncavo para cima em I.

Se f ’’ (x) < 0 em I, então, o gráfico de f é côncavo para baixo em I.

Em outras palavras: É o sinal da segunda derivada que determina a concavidade de uma função. Segunda derivada positiva significa concavidade voltada para cima. Segunda derivada negativa sig-nifica concavidade para baixo.

Para aplicar o teorema 19, localize os valores de x para os quais f ’’(x) = 0 ou onde não exista. A seguir, use os valores de x encontrados para determinar os intervalos de teste. Finalmente, teste o sinal de f ’’(x) em cada um desses intervalos de teste. Acompanhe o exemplo:

Exemplo 77: Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico de ( )3

62 +

=x

xf é côncavo para cima ou para baixo.

Solução:Observe inicialmente que f é contínua em toda a reta real, já que seu denominador nunca será igual a zero.

Vamos determinar a segunda derivada da função:

( ) ( )12 36 −+= xxf (reescrevendo a função)

( ) ( )( ) ( )xxxf 236' 22 −+−= (calculando a 1ª derivada)

f x x

x'( ) = -

+( )12

32 2 (simplificando)

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )42

222

3

23212123''+

+−−−+=x

xxxxxf (calculando a 2ª derivada)

140Capítulo 2


f x x

x''( ) ( )

=-

+( )36 1

3

2

2 3 (simplificando)

Observe que ( ) 0'' =xf , quando x =±1 (valores que anulam o numerador) e f '' está definida para toda a reta real. Perceba, ainda, que os números -1 e 1, determinam, na reta real, os seguintes intervalos de teste: ( )1,−∞− , ( )1,1− e ( )∞,1 . Os resultados são mostrados na Tabela 9 e na Figura 22.

Intervalo 1−<<∞− x 11 <<− x ∞<< x1


Sinal de ( )xf '' ( ) 02'' >−f ( ) 00'' <f ( ) 02'' >f

ConclusãoCôncava para

cima Côncava para

baixoCôncava para cima

Figura 22: gráfico da função f xx

( ) =+6

32

Tabela 9: estudo da concavidade do gráfico da função f xx

( ) =+6

32


Cálculo II

Portanto, o gráfico da função ( )

36

2 +=

xxf é côncavo para cima nos

intervalos ( )1,−∞− e ( )∞,1 e é côncavo para baixo no intervalo ( )1,1− .

A função dada no exemplo 77 é contínua em toda reta real. Mas, se existirem valores de x para os quais uma determinada fun-ção não seja contínua, esses valores devem ser usados juntamente com os pontos em que ( ) 0'' =xf ou em que ( )xf '' não existe para formar os intervalos de teste.

Exemplo 78: Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico de ( )

41

2

2

−+=

xxxf é côncavo para cima ou para baixo.

Solução:Diferenciando duas vezes a função

( )41

2

2

−+=

xxxf , obtemos o seguinte:

( )41

2

2

−+=

xxxf (reescrevendo a

função)

f xx x x x

x'( )=

-( )( )- +( )( )

-( )

2 2

2 2

4 2 1 2

4 (calculando a 1ª

derivada)

f x x

x'( ) = -

+( )10

42 2 (simplificando)

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )42

222

4

24210104''−

−−−−+=x

xxxxxf (calculando a 2ª derivada)

f x x

x''( ) ( )

=+

-( )10 3 4

4

2

2 3 (simplificando)

142Capítulo 2


Não existem pontos nos quais f x''( )= 0 , mas em x =±2 a segunda derivada não é definida. Temos, então, que estudar a concavidade nos intervalos ( )2,−∞− , ( )2,2− e ( )∞,2 , que são os intervalos determinados pelos números reais -2 e 2. Os resultados são mostrados na Tabela 10 e na Figura 23.

Intervalo 2−<<∞− x 22 <<− x ∞<< x2


Sinal de ( )xf '' ( ) 03'' >−f ( ) 00'' <f ( ) 03'' >f


cima Côncava para

baixoCôncava para

cima

Tabela 10: estudo da concavidade do gráfico da função f x xx

( )= +-

2

2

14

Figura 23: gráfico da função f x xx

( )= +-

2

2

14


Cálculo II

O gráfico da Figura 22 tem dois pontos nos quais a concavidade muda. No ponto -

æèççç

öø÷÷÷1 3

2, a concavidade, que estava voltada para cima, se

volta para baixo, e, no ponto 1 32

,æèççç

öø÷÷÷ , a concavidade, que estava voltada

para baixo, se volta para cima. Esses pontos são chamados pontos de inflexão.

Definição 12

Ponto de Inflexão

Seja f uma função contínua em um intervalo aberto e seja c um ponto no intervalo. Se o gráfico de f tem reta tangente em ( )( )cfc, , então, esse ponto é um ponto de inflexão do gráfico de f , se a concavidade de f mudar nesse ponto.

Para localizar os possíveis pontos de inflexão, devemos determinar os valores de x para os quais ( ) 0'' =xf ou em que não exista ( )xf '' . Isso é análogo ao procedimento para localizar os extremos relativos de f .

Exemplo 79: Determine os pontos de inflexão e discuta a concavidade do gráfico de ( ) 34 4xxxf −= .

Solução: Diferenciando duas vezes a função ( ) 34 4xxxf −= , obtemos o seguinte:

( ) 34 4xxxf −=

( ) 23 124' xxxf −=

( ) ( )2122412'' 2 −=−= xxxxxf

Fazendo ( ) 0'' =xf , determinamos que os possíveis pontos de inflexão ocorrem em 0=x e 2=x . Testando os intervalos determinados por esses valores de x , podemos concluir que ambos nos levam a pontos de inflexão. A Tabela 10 mostra um resumo desses testes e a Figura 24 mostra o gráfico de f .

144Capítulo 2


Intervalo 0<<∞− x 20 << x ∞<< x2


Sinal de ( )xf '' ( ) 01'' >−f ( ) 00'' <f ( ) 03'' >f


cima Côncava para

baixoCôncava para

cima

Além de testar a concavidade, a segunda derivada pode ser usada para aplicar um teste simples para mínimos e máximos relativos. Esse teste é baseado no fato de que, se o gráfico de uma função f é côncavo para cima em um intervalo aberto contendo c e se ( ) 0=′ cf , então, ( )cf deve ser um mínimo relativo de f. Analogamente, se o gráfico de uma função f é côncavo para baixo em um intervalo aberto contendo c e se ( ) 0=′ cf , então, ( )cf deve ser um máximo relativo de f.

Figura 24: gráfico da função f x x x( )= -4 34

Tabela 11: estudo da concavidade do gráfico da função f x x x( )= -4 34


Cálculo II

Teorema 19

Teste da segunda derivada

Seja f uma função tal que ( ) 0=′ cf e tal que a segunda derivada de f exista em um intervalo aberto contendo c.

Se ( ) 0>′′ cf , então, f tem um mínimo relativo em (c, f(c)).

Se ( ) 0<′′ cf , então, f tem um máximo relativo em (c, f(c)).

Exemplo 80: Encontre os extremos relativos de ( ) 35 53 xxxf −= .

Solução:Inicialmente, encontramos os números críticos de f derivando e igualando a zero:

( ) ( ) 01151515' 2224 =−=+−= xxxxxf

x =-1, x = 0 , x =1

Agora, calculamos a segunda derivada:

( ) ( )xxxxxf −−=+−= 33 2303060''

Para descobrir qual dos números críticos é máximo e qual é mínimo, basta aplicarmos a 2ª derivada em cada um deles e observarmos os resultados. Se o resultado for positivo, o ponto será de mínimo e se for negativo o ponto será de máximo. Veja essa análise na Tabela 12.

Intervalo ( )2,1 −− ( )2,1 ( )0,0

Sinal de ( )xf '' ( ) 01'' >−f ( ) 01'' <f f '' 0 0( )=

ConclusãoMínimo relativo

Máximo relativo

Não podemos ainda concluir

Tabela 12: estudo dos máximos e mínimos da função f x x x( )= -3 55 3

146Capítulo 2


O teste da segunda derivada falha em ( )0,0 , já que nesse ponto a segunda derivada não é positiva nem negativa. Podemos, então, usar o teste da primeira derivada e observar que f cresce à esquerda e à direita de 0=x . Assim, ( )0,0 não é nem um mínimo relativo nem um máximo relativo (mesmo que o gráfico tenha uma reta tangente horizontal neste ponto). A Figura 25 mostra o gráfico de f .

ATIVIDADE 14

A. Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:

a)s(t)=2t³+t²–20t+4

b)f(x)=4x³–5x²–42x+7

c) g(w) = w4 – 32w

B. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções se existirem, utilizando o teste da primeira derivada:

Figura 25: gráfico da função f x x x( )= -3 55 3 . Observe que o ponto (0, 0) não é nem mínimo relativo nem máximo relativo.

147Derivadas

Cálculo II

a)y=6x³+15x²–12x-5

b) f(x) = - 9x² + 14x +15

C. Determine as abscissas dos pontos máximos ou mínimos das seguintes funções, utilizando o teste da segunda derivada.

a)f(x)=x³–12x²+45x+30

b)y=8x³–51x²-90x+1

c)y=-x³–9x²+81x–6

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148Capítulo 2


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Cálculo II

2.4 Problemas que envolvem máximos e mínimos

Os problemas de determinação de valores máximos e mínimos se encontram entre as aplicações mais comuns do Cálculo. Em várias situações cotidianas escutamos ou lemos termos como lucro máximo, custo mínimo, tempo mínimo, diferença de potencial máximo, tamanho ótimo, potência máxima ou distância máxima. A teoria que desenvolvemos para determinação de extremos de funções pode ser aplicada na resolução de tais problemas. Para resolvê-los, é necessário converter as afirmações em linguagem matemática, mediante a introdução de fórmulas, funções ou equações. Os tipos de aplicação são ilimitados, tornando-se, assim, difícil enunciar regras específicas para a determinação de soluções. É possível, entretanto, desenvolver uma estratégia geral para abordar tais problemas. De modo geral, valem as orientações seguintes:

Orientações para resolver problemas que envolvem máximos e mínimos

1. Leia o problema cuidadosamente, várias vezes, refletindo so-bre os dados e as quantidades não conhecidas que devem ser determinadas;

2. Se possível, esboce um diagrama introduzindo variáveis para representar essas quantidades. Expressões como “o que”, “deter-mine”, “quanto” ou “quando” devem alertá-lo para a quantidade de incógnitas.

3. Faça uma lista dos dados conhecidos juntamente com quais-quer relações que envolvam as variáveis. Uma relação, em geral, pode ser descrita por uma equação de algum tipo.

4. Determine a variável que deve ser calculada e exprima essa va-riável em função de uma das outras variáveis.

5. Determine os valores críticos da função obtida na orientação 4 e teste-os para descobrir quais são máximos e quais são mínimos.

6. Verifique se ocorrem máximos ou mínimos nos pontos extre-mos do intervalo de domínio da função obtida em 4.

7. Não se desencoraje se não conseguir resolver o problema. A proficiência na resolução de problemas aplicados exige consid-erável esforço e prática!

150Capítulo 2


Vamos aos exemplos:

Exemplo 81: Deve-se construir uma caixa com base retangular, usando um retângulo de cartolina com 16 cm de largura e 21cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada canto. Determine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha o maior volume possível.

Solução:Observe que devemos calcular o volume máximo, logo precisaremos encontrar uma “função volume”, que deverá ser maximizada.

Vamos começar fazendo um desenho da peça de cartolina. Utilizaremos a variável x para representar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado em cada canto. Representamos também o comprimento e a largura da base da caixa por c e l, respectivamente. Nosso objetivo é maximizar o volume V da caixa a ser construída.

Analisando a Figura 26 construída, vemos que l x= -16 2 e que c x= -21 2 .

Vamos pensar agora na caixa montada. Veja a Figura 27.

Figura 26: folha de cartolina que formará uma caixa de base retangular


Cálculo II

De forma genérica, o volume V da caixa na Figura 27é dado por:

V c l x= × ×

V x x x= - × - ×( ) ( )21 2 16 2

V x x x x= - - +( )336 42 32 4 2

V x x x= - +2 2 37 1683 2( )

Vamos, agora, determinar os valores críticos de V, calculando a primeira derivada e igualando a zero:

V x x x= - +2 2 37 1683 2( )

V x x' ( )= - +2 6 74 1682

Resolvendo a equação, chegamos aos valores críticos 283

e 3. O número crítico 28

3 deve ser desconsiderado, pois x tem que ser

menor que 8 (metade da largura). Assim, resta o valor crítico 3. Aplicamos o teste da derivada primeira, escolhendo um valor de teste à esquerda de 3 e outro à direita:

V’(0) = 336 > 0 → V é crescente à esquerda de 3

V’(4) = -64 < 0 → V é decrescente à direita de 3

Figura 27: caixa de base retangular

152Capítulo 2


Como a função V passa de crescente para decrescente em x = 3, concluímos que o ponto é de máximo.

Verifiquemos, finalmente, a existência de máximos e mínimos nos pontos extremos. Como o domínio da função é o intervalo [0;8] , e, como V =0 se x = 0 ou x = 8, o máximo de V não ocorre em nenhum dos pontos extremos do domínio. Consequentemente, deve-se cortar de cada canto um quadrado de 3 cm de lado para se obter a caixa de volume máximo.

Exemplo 82: Qual é a maior área possível de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm?

Solução:Observe que devemos calcular a área máxima. Logo, precisaremos encontrar uma “função área”, que deverá ser maximizada.

Vamos representar os catetos do triângulo retângulo por x e y.

Sabemos do teorema de Pitágoras que x y2 2 25+ = , ou seja, que x y2 2 25+ = .

Isolando y (y é positivo!) chegamos a y x= -25 2 .

Representando a área do triângulo retângulo por A, temos:

A x y=

×2

A x x=

-252

2

Como estamos buscando o valor máximo da área, precisamos derivar a função A x( ) e encontrar seus pontos críticos. Fazendo isso:

A x x=

-252

2

Ax x x

'( ) ( )

=- + -

-25 1

225

2

212 2

12


Cálculo II

A x xx

'= -+

-

252 4 25

2

2

A x xx

' ( )=

- +

-

2 254 25

2

2

A x xx

'=- + +

-

2 504 25

2

2

Igualando a derivada A x xx

'=- + +

-

2 504 25

2

2 a zero e observando que x deve ser um valor positivo, temos:

A x xx

'=- + +

-=

2 504 25

02

2

2 50 02x x- - =

x = +41 14

x »1 85,

Utilizando o teste da primeira derivada, concluímos que x »1 85, é realmente um valor máximo.

Exemplo 83: Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter 180.000 metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca, se não há necessidade de cerca ao longo do rio?

154Capítulo 2


Solução:Observe que devemos calcular o comprimento mínimo da cerca. Logo, precisaremos encontrar uma “função comprimento da cerca”, que deverá ser minimizada.

Um dos lados do pasto não precisará ter cerca, já que estará voltado para o rio. Sobrarão três lados, que vamos representar por x, x, e y.

Como a área do pasto é 180000 m², segue que xy =180000 e, consequentemente, y

x=

180000 .

O comprimento C da cerca será:

C x y= +2

C xx

= +2 180000

Derivando a função C:

C x x= + -2 180000 1

C x'= - -2 180000 2

Cx

'= -2 1800002

Igualando a derivada à zero:

Cx

'= - =2 180000 02

180000 22x=

x2 90000=


Cálculo II

x = 300

Segue daí que y = =180000

300600

Utilizando o teste da primeira derivada, concluímos que x = 300 e y = 600 são as dimensões que fazem com que o comprimento da cerca

seja mínimo.

Resolva agora os problemas propostos:

ATIVIDADE 15

A. Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de 8 x 15 pol, recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume?

B. Um retângulo tem sua base no eixo x e seus dois vértices su-periores na parábola 212 xy −= . Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? Quais são suas dimensões?

C. Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de um fio. Com 800 m de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cer-car e quais são suas dimensões?

D. Será construído um campo de atletismo retangular, com x uni-dades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semi-circulares com raio r. O campo terá em volta uma pista para cor-rida com 400 m de extensão.a) Expresse a área da porção retangular do campo só em função de x ou só em função de r (a escolha é sua).b) Quais valores de x e de r dão à porção retangular maior área possível?

E. Você está projetando uma lata (um cilindro de revolução) de 1000cm³cujamanufatura levaráaodesperdícioemconta.Nãohá desperdício ao se cortar a lateral de alumínio, mas tanto a base como o topo, ambos de raio r, serão recortados de quadrados que medem 2r de lado. Portanto, a quantidade total de alumínio usada para fazer uma lata será rhrA π28 2 += . Qual a razão h:r para a lata mais econômica?

156Capítulo 2


F. A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um quadrado é 10. Ache as dimensões do triângulo e do quadrado que produzem a área total mínima

G. Uma página retangular deve conter 30 polegadas quadradas de impressão. As margens em cada lado de 1 polegada. Ache as dimensões da página para que uma quantidade mínima de papel seja usada.

H. Jane está em um barco a 2 mi da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea localizada a 6 mi ao longo de uma linha costei-ra retilínea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela rema a 2 mi/h e caminha a 5 mi/h. Onde ela deve aportar para chegar à cidade no menor tempo possível?

I. Dois lados de um triângulo medem a e b, e o ângulo entre eles é θ. Qual é o valor de θ que maximizará a área do triângulo? (Dica: A=(1/2)ab sen θ)

J. Um sólido é formado adicionando dois hemisférios às pontas de um cilindro circular reto. O volume total do sólido é 12 centíme-tros cúbicos. Ache o raio do cilindro que produz a área superficial mínima.

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Cálculo II

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158Capítulo 2


2.5 Antiderivadas

Definição 13

Primitiva (antiderivada) – Seja f uma função real definida no in-tervalo a b,[ ] . Chama-se primitiva (ou antiderivada) da função f em a b,[ ] a outra função F definida em a b,[ ] , tal que )()( xfxF =′, para todo o x a bÎ[ ], .

Em outras palavras: Calcular uma antiderivada de uma dada fun-ção significa encontrar uma função que, ao ser derivada, dê como resultado a função dada. É o processo inverso da derivação.

Exemplo 84: Encontre uma antiderivada da função f x x x( )= - +3 2 52

Solução:Temos que encontrar uma outra função ( )xF , cuja derivada ( )xF ′ seja

( )xf .

Se tomarmos F x x x x( )= - +3 2 5 , temos ¢( )=F x 3 2 52x x f x- + = ( )Isso significa que uma antiderivada da função f x x x( )= - +3 2 52 é a função F x x x x( )= - +3 2 5 .

É importante observar que uma função não tem só uma antiderivada. Uma função tem infinitas antiderivadas que diferem entre si por uma constante. Mais à frente vamos analisar esse fato.

O conjunto de todas as antiderivadas de uma função f é chamada de integral indefinida e é representado por f x dx( )ò .

No símbolo f x dx( )ò , a função f é chamada de integrando e x é a variável de integração.

Exemplo 85: Encontre antiderivadas da função f x x( )= 4 3 .

Solução:Por tentativas pode-se descobrir facilmente que uma antiderivada da função f x x( )= 4 3 é a função F x x( )= 4 . Para conferir, basta derivar F x( ) .

159Derivadas

Cálculo II

Mas também existem outras possibilidades:

G x x( )= +4 1

H x x( )= +4 6

I x x( )= -4 p

Basta acrescentar qualquer constante à função F x x( )= 4 que ficaremos produzindo uma família de antiderivadas.

Em geral, dizemos que se F x( ) é uma antiderivada, qualquer função da forma F x C( )+ , em que C é um número real qualquer também é uma antiderivada.

Exemplo 86: A tabela 13 apresenta algumas funções potência com suas respectivas integrais indefinidas.

Função Integral indefinidaf x( ) F x( )

x

Cx +2

2

x2

Cx +3

3

x3

Cx +4

4

x4

Cx +5

5

x5

Cx +6

6

xn

Cnxn

++

+

1

1

Tabela 13 – Antiderivadas de funções potência

160Capítulo 2


Perceba que, ao derivar as funções da coluna da direita, chegamos às funções da coluna da esquerda.

Integral indefinida de uma função potência

Com o raciocínio apresentado na tabela 13, chegamos à nossa pri-meira fórmula para calcular antiderivadas:

x dx xn

Cnn

=+

+ò+1

1

Exemplo 87: Use a fórmula x dx xn

Cnn

=+

+ò+1

1 para encontrar uma antiderivada da função f x

x( ) = 1 .

Solução:Primeiramente, vamos modificar a forma como é apresentada a função f:

f xx x

x( ) = = =-1 1

12

12

Assim, escrevemos f na forma de função potência:

f x x( ) =-

12

Agora é só usar a fórmula x dx xn

Cnn

=+

+ò+1

1:

x dx x C x C x C x C-

- +

=- +

+ = + = + = +ò12

12

1 12 1

212

1 12

2 2

Portanto, uma antiderivada da função x

xf 1)( = é, por exemplo, a função xxF 2)( = . Experimente derivar F e você encontrará f.


Cálculo II

Propriedades da integral indefinida

I) Multiplicação por constante

∫∫ ⋅=⋅ dxxfkdxxfk )()(

II) Soma e diferença

∫∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

Em outras palavras: A propriedade I diz que se há um valor con-stante multiplicando uma função, ele não precisa ser integrado. Basta multiplicá-lo pela integral da função. Já a propriedade II diz que a integral de uma soma é a soma das integrais.

Exemplo 88: Calcule ( )x x x x dx2 3 54 5- + +ò

Solução:Utilizando as propriedades da integral indefinida, temos:

( )x x x x dx2 3 54 5- + +ò =

= x dx x dx xdx x dx2 3 54 5- + +ò ò òò =

= x x x x C3 4 2 6

3 44

25

6- + + + =

= x x x x C3 4

26

3 42 5

6- + + + .

162Capítulo 2


ATIVIDADE 16

A. Utilizando a fórmula Cnxdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

, encontre uma antide-rivada para cada função abaixo. Se julgar necessário, modifique a forma da função, como feito no exemplo 87.

1) 31)(x

xf =

2) 3 2)( xxf =

3) 3 2)( xxxf =

4) ( ) 532 +−= xxxf

B. Determine uma função f que satisfaz a equação 1)(" += xxf .

C. Calcule as integrais indefinidas:

1) ∫ dxx

2) ( )( )dyyyyy∫ +++ 21412 324

3) ∫ + dxx)32(

4) ∫ dxx

2

5) ∫ dxx310

6) ∫ −+ dxxx

)2)(14( 32

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Cálculo II

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164Capítulo 2


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THOMAS, G.B. Cálculo,vol.1.10.ed.SãoPaulo,AddisonWesley/Pearson,2002.

ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte, vol. 1. Porto Alegre, Bookman, 2000.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol. 1. 5.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2001.

EDWARDS, C. H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica, vol. 1. São Paulo, Prentice-Hall, 1997.

SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica, vol. 1. Rio de Janeiro, McGraw-Hill, 1987.

LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol. 1. 3.ed. São Paulo, Harbra, 1994.

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