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Gráficos Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc12010_2.html
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Gráficos
Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html
O que f’ nos diz sobre f?
O que f’ nos diz sobre f?
f(x) = x2
f �(x) = 2x
x > 0 ↔ f �(x) > 0
f �(x) > 0
x < 0 ↔ f �(x) < 0
f �(x) < 0
a) f’(x) ≥ 0 em um intervalo A se e somente se f é crescente em A ���
b) f’(x) ≤ 0 em um intervalo A se e somente se f é decrescente em A
Demonstração:
x2 − x1 > 0
f(x2)− f(x1) ≥ 0
f(x2)− f(x1)
x2 − x1≥ 0
limx→x+
1
f(x)− f(x1)
x− x1≥ 0
Suponha f crescente, ou seja:
x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2) ∀x1, x2 ∈ I
f �(x1) = ∀x1
Suponha f’(x) ≥ 0 em A
Se x2 > x1, teremos f(x2) ≥ f(x1).
Pelo Teorema do Valor Médio, existe c em (x1,x2) tal que
Tome x1, x2 quaisquer em A.
f �(c) =f(x2)− f(x1)
x2 − x1
Mas f’(c) ≥ 0 por hipótese, logo:
f(x2)− f(x1)
x2 − x1≥ 0
Exemplo: Encontre onde a função é crescente e onde���ela é decrescente.
Calculando as raízes…
x1 = 2, x2 = −1
Vamos estudar o sinal de f’(x), ou seja, quando f’(x) > 0 e quando f’(x) < 0:
= 12x(x2 − x− 2)
x =1±
�(−1)2 − 4 · 1 · (−2)
2 · 1=
1±√9
2 · 1=
1± 3
2 · 1
f �(x) = 12x(x− 2)(x+ 1)
o
-‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ + + + -‐ + -‐ + + + +
decrescente
crescente
crescente decrescente
Exemplo: Encontre onde a função é crescente e onde���ela é decrescente.
o
-‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ + + + -‐ + -‐ + + + +
decrescente
crescente
crescente decrescente
-1 2
Relembrando…
Mas nem todo ponto crítico é ponto extremo! Quando será?
Teste da Primeira Derivada: Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f. a) Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo
local em c. b) Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo
local em c. c) Se f’ não mudar de sinal em c (ambos os lados positivos ou negativos), f não tem
máximo ou mínimo local em c.
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função
o
-‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ + + + -‐ + -‐ + + + +
decrescente
crescente
crescente decrescente
Vamos detectar onde o sinal de f’ muda… x=-1: negativo para positivo
x=0: positivo para negativo x=2: negativo para positivo
x = -1: ponto de mínimo
x = 0: ponto de máximo
x = 2: ponto de mínimo
mínimo local: f(-1) = 0
máximo local: f(0) = 5
mínimo local: f(2) = -27 -1
2
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função:
Vamos estudar o sinal de g’… g�(x) < 0 → 1 + 2 cos(x) < 0
cos(x) < −1
2x =
2π
3 x =4π
32π
3< x <
4π
3g�(x) > 0 → 1 + 2 cos(x) > 0
0 ≤ x <2π
3ou
4π
3< x ≤ 2π
o
crescente decrescente crescente
Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função:
o
crescente decrescente crescente
: ponto de máximo x =2π
3máximo local: f
�2π
3
�≈ 3, 83
: ponto de mínimo x =4π
3mínimo local: f
�4π
3
�≈ 2, 46
Concavidade
Concavidade
Definição: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo���I, então ele é dito côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes em I, é dito côncavo para baixo em I.
Concavidade
Exemplo
CB CC CC CC CB CB
Concavidade para cima
Inclinação está crescendo f’ é crescente f’’ é positiva
>
<
Exemplo: A Figura abaixo mostra um gráfico da população de abelhas cipriotas criadas ���em um apiário. Como cresce a taxa populacional? Quando essa taxa é mais alta? Sobre���quais intervalos P é côncavo para cima ou côncavo para baixo?
Número de abelhas ���(em milhares)
Taxa populacional equivale à inclinação da reta tangente Taxa populacional começa pequena, e cresce até atingir t = 12 Após t = 12, a taxa populacional diminui Consequentemente, a taxa é máxima em t = 12 Côncavidade para cima: t em (0,12) Côncavidade para baixo: t em (12,18)
Definição: Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa.
Exemplo: Esboce o gráfico de uma função qualquer que satisfaça as seguintes condições:
em
em
em
em e
Teste da Segunda Derivada Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c.��� a) Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então f tem um mínimo local em c b) Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então f tem um máximo local em c
Teste da Segunda Derivada Obs.: Se f’’(c) = 0, use o teste da primeira derivada. Não é verdade que neste caso f não tem mínimo ou máximo local em c. Ex:
f(x) = x4
f’(x) = 4x3���
f’’(x) = 12x2
f’’(0) = 12(0)2=0, e f(0) é mínimo local!
Exemplo: Examine a curva y = x4 – 4x3 em relação à concavidade, aos pontos de inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva.
y’ = 4x3 – 12x2 = x2 (4x-12)
y’’ = 12x2 – 24x = x (12x – 24)
Pontos críticos:
y’ = 0 x2 = 0 4x-12 = 0 ou
x = 0 ou x = 3
Teste da segunda derivada:
f’’(0) = 0 f’’(3) = 36 > 0
f(3) = -27 é um mínimo local
Teste da primeira derivada:
Se x < 0, y’< 0
Se 0 < x < 3,
g(x) = 4x-12
f(0) não é mínimo ou máximo local y’< 0
Exemplo: Examine a curva y = x4 – 4x3 em relação à concavidade, aos pontos de inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva.
y’’ = 12x2 – 24x = x (12x – 24)
Concavidade:
y’’ = 0 x = 0 x = 2 ou
o Concavidade
para cima
para cima para baixo
f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão
o Concavidade
para cima
para cima para baixo
f(3) = -27 é um mínimo local
f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão
pontos de inflexão
x f é decrescente em x < 3������f é crescente em x > 3
y = x4 – 4x3 = x3 ( x – 4) = 0 x = 0 ou 4
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de junto com suas assíntotas para esboçar seu gráfico.
f(x) = e1x
O domínio de f é
Vamos analisar o comportamento de f quando x se aproxima de 0:
x = 0 é assíntota vertical
Assíntotas horizontais:
Quando ,
y = 1 é assíntota horizontal
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de junto com suas assíntotas para esboçar seu gráfico.
f(x) = e1x
f �(x) =d
dx
�1
x
�e
1x = −e
1x
x2
e1x > 0 x2 > 0 f �(x) < 0, ∀x �= 0
Logo, não há ponto crítico nem máximos ou mínimos locais.
x4 > 0 e1x > 0 f ��(x) > 0 x > −1
2quando
x < −1
2quando f ��(x) < 0
(concavidade para cima)
(concavidade para baixo)
Ponto de inflexão: x = −1
2
Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de junto com suas assíntotas para esboçar seu gráfico.
f(x) = e1x
x > −1
2
x < −1
2
(concavidade para cima)
(concavidade para baixo)
Ponto de inflexão: x = −1
2 x = 0 é assíntota vertical
y = 1 é assíntota horizontal f �(x) < 0, ∀x �= 0 (f sempre decresce)
x
−1
2
Ponto de inflexão
x −1
2
