Mathcad - Tutorial Mathcad V8

Prof. Fernando Artur Nogueira Resistncia dos Materiais II

MATHCAD - Notas Introdutrias

Parte do Curso de Resistncia dos Materiais II Universidade Catlica de PernambucoProf. Fernando A rtur No gu eira - Jul/2 00 0Adaptado do material que integra o livro: Mechanics of Materials, Fourth Edition, Gere and Timo shenko, 19 99

1. Introduo

Estas notas pretendem ensin-lo a comear a utilizar o Mathcad. Na verdade, sero apresentadas as caractersticas bsicas do programa ficando a seu cargo o aprendizado das ferramenteas mais avanadas.

Durante o Curso de Resistncia dos Materiais II voc ser estimulado (e cobrado) a usar o Mathcad para resolver os exerccios propostos em sala de aula e as listas de exerccios de entrega obrigatria. O Laboratrio de Computaco do Departamento de Engenharia Civil tem o programa instalado em todas as suas mquinas e encontra-se aberto durante os trs turnos. Bom proveito.

Conceitualmente, cada documento do Mathcad consiste em folhas de papel, nas quais so colocados textos - text regions - (como este que voc est lendo), frmulas matemticas - math regions - (onde as equaes aparecem e os clculos so executados) e plot regions (locais para elaborao de grficos). O presente documento foi gerado no Mathcad 2000 e voc pode edit-lo ao seu gosto. Convm, entretanto, fazer uma cpia para eventuais acidentes que sempre acontecem

2. Regies e Seleo

No Mathcad, cada texto ou expresso matemtica tratado como uma regio (uma para cada tipo). Isto pode ser observado clicando com o mouse na rea branca da tela e arrastando-o atravs do texto ou expresso. Cada regio que voc cruza selecionada numa caixa com linhas de contorno pontilhadas, permitindo que voc mova as regies ou as apague. Voc pode ainda selecionar o menu View Regions do menu Edit para visualizar as regies.

Para mover regies que foram criadas proceda da seguinte forma:

Primeiro crie uma regio de texto como exemplo. Para fazer isto, posicione o cursor vermelho (cruz vermelha) em qualquer ponto da tela e pressione a tecla Shif e o sinal " , simultneamente, - voc pode ainda ir no menu Insert e escolher Text Region . Em seguida digite um texto qualquer;Selecione a regio utilizando o procedimento descrito acima;

Posicione o apontador do mouse sobre uma das regies selecionadas e perceba que aparcer a figura de uma mo.Para mover a regio simpesmente clique o mouse, permanea com ele nesta posio e arraste a regio para o local que deseja.

Uma vez que a regio ou regies foram selecionadas, voc pode clicar com o boto direito do mouse sobre ela e acessar um menu com diversas opes.

Para deselecionar uma regio simplesmente clique fora dela.

Dica: Uma forma rpida de inserir texto ir digitando o mesmo. Quando a barra de espaos for pressionada o Mathcad entende que a regio inserida contm um texto. Tente fazer isto.

1


A seguir uma listagem com os operadores usuados com mais freqencia, acompanhados das teclas que os acionam.

Obs.: O subscrito criado com um ponto no tem significado matemtico - tem apenas finalidade cosmtica (de apresentao)

Tente clicar no nmero 48 definido anteriormente e o subistitua por 50. Para apagar o nmero 48 posicione o curso no final do nmero e pressione a tecla Backspace duas vezes. Assim que voc clicar com o mouse fora da regio ou pressionar a tecla Enter o resultado numrico acima mudar. Trata-se, portanto, de um documento vivo, que uma das pontencialidades do Mathcad.

Digite age.me=ageme 48=

O sinal := (chamado de ponto-igual) o operador de atribuio, que atribui o valor 48 varivel ageme. Para ver o resultado numrico utilize =

Este o boto de atribuiona paleta caluladora (vejafigura mais adiante)

Digite age.me:48ageme 48:=

Para criar uma math region , clique em qualquer parte em branco da tela e entre com a expresso que deseja. Para definir uma varivel ou expresso, voc deve digitar o caractere de dois pontos (:) , que mostrar o seguinte smbolo := . Por exemplo,

4. Regies e o Operador de atribuio (assignment operator)

x 3+ 13=x 10:=

O Mathcad l as regies da esquerda para a direita e de cima para baixo. Isto significa dizer que as definies de expresses matemticas devem ser feitas considerando esta propriedade. Para observar um exemplo desta caracterstica, crie uma regio que mostra o valor de x - para isto digite x e o sinal de =3. Digite tambm a seguinte expresso: x+3=. Veja que o programa automaticamente calcula o valor desta expresso. Agora mova a regio que contm x=3 para um local abaixo da segunda expresso.Voc observar que a varivel x aparecer em vermelho e se voc posicionar o mouse sobre a equao ter a seguinte mensagem: This variable or function is not defined above (esta varivel ou funo no est definida acima). Se acostume com o ingls, voc no ter mais traduo daqui para frente. Se voc lembar de como o Mathcad l as regies perceber que a expresso que define o valor de x, utilizado na segunda expresso, foi definida em desacordo com as regras estabelecidas. O programa ainda no conhece o valor de x. No pode, portanto, calcular o valor da segunda expresso. Para solucionar isto mova x para um local que respeite as definies informadas acima.

3. Ordem de Clculo

2


^ a x1.2

:= a 15.849=

Raiz quadrada \ g x:= g 3.162=

Integral & i0

10xx

d:= i 50=

Derivada ? dx

xdd

:= d 1=

=======================================================

Voc aprender todos os operadores na medida em que for utilizando o programa no seu dia a dia. Se voc esquecer algum deles, poder acessar as paletas no lado esquerdo de sua tela ou ir no menu

View- Toolbar-Math. Percorra cada uma e descubra voc mesmo seu contedo.

5. Editando

Quando voc edita uma expresso, a barra de espaos utilizada para determinar a ordem das operaes. Veja o exemplo.

x 1+( ) x Digite x+1 [pressione a barra de espaos]*x

Se a barra de espaos no tivesse sido pressionada, voc teria visto o seguinte

x 1 x+

Que uma expresso completamente diferente da anterior.

Certos operadores, tais como superescritos, subscritos, raiz quadrada e diviso so chamados sticky operator (operadores autocolantes) porque os caracteres que voc digite colaro a eles at que voc especifique o contrrio, pressionando a barra de espaos (ou usando o mouse). Por exemplo:

4.1 Operadores Escalares

Operao Tecla Boto Exemplo ========================================================

Adio + Lw x 4+:= Lw 14=

Subtrao - t x 3.2:= t 6.8=

Multiplicao * y x 0.8:= y 8=

Diviso / f xx

:= f 1=

Potnciao

3


Este o boto de range variablesna paleta caluladora (veja figura maisadiante)

Digite x:0;3 [enter] x=x0123

=x 0 3..:=

Atribuir uma faixa de variao para uma varivel no Mathcad uma operao direta. Veja.

7. Range Variables

Voc pode querer que o Mathcad mostre seus clculos (respostas) de diferentes maneiras. Por exemplo, voc pode usar j ou i para indicar nmeros complexos. Ou, voc pode especificar o nmero de dgitos de preciso dos nmeros. Todas estas escolhas so feitas atravs do menu Format Result. Confira !

6. Mostrando Respostas

x2

x y+

Se voc quisesse mudar o sinal de menos ( - ) na pelo sinal de multiplicao ( * ) na expresso anterior deve proceder da mesma forma. Veja

x2

xy

Para mudar o sinal de +, clique antes dele na expresso acima e pressione a tecla Delete. Coloque o sinal desejado e pressione a tecla Enter.

x2

x+ y

Para mudar uma varivel ou um nmero, clique nele, pressione a barra de espaos sobre ele e entre com o valor que deseja. A fim de mudar um operador, os seguintes passos so necessrios.

x

27

3 y+

Sem pressionar a barra de espaos, o resultado seria o seguinte

Digite x ^ 2 [barra de espaos] + 7/3 [barra de espaos] -yx2 7

3+ y

4


H muitas outras funes disponveis, as quais podem ser listadas a partir do menu Insert Function. L esto relacionadas todas as funes internas do Mathcad (built-in functions). Na caixa de dilogo exibida (mostrada abaixo) voc encontrar uma breve explicao do que a funo realiza.

ngulo positivo do eixo x at o ponto (x,y)angle x y,( )maior inteiro = xceil x( )

argumento de zarg z( )

componente imaginrio de zIm z( )

componente real de zRe z( )

Mathcad Name

O Mathcad possui funes internas j previamente definidas e ainda fornece a possibilidade do usurio criar suas prprias funes. As definies da maioria das funes bvia quando voc as observa. A seguir so relacionadas algumas desta funes.

8. Funes Escalares

[Enter] y=Digite y: 1,1.1;1.3 y 1 1.1, 1.3..:=

varivel := primeiro nmero, prximo nmero .. ltimo nmero

Para definir outro tipo de intervalo, deve-se fazer o seguinte:

Voc atribuiu varivel x valores de 0 at 3 de 1 em 1.

5


Calculadora Letras Gregas

Avaliao Vetores e Matrizes

Programao Operaes Boleanas

Grfico Clculo simblico

Clculo

Parta definir sua prrpias funes deve-se fazer o seguinte

f x( ) sin x( ):= Digite f(x):sin(x)

g x y,( ) x2 y:= Digite g(x,y):x^2 [barra de espaos] - y

Depois de definidas estas funes podem ser avaliadas para valores especficos

f 45 deg( ) 0.707= g 1 1,( ) 2=

Obs.: Note que o argumento da funo f foi convertido para grau. Isto foi feito multiplicando o valor 45 pela expresso deg. Este o procedimento para transformar os ngulos para graus, j que padro a considerao do argumento em radianos no Mathcad.

9. Vetor e Matrizes

Para definir uma matriz no Mathcad proceda da seguinte forma.

Digite um nome para a matriz ou vetor (por exemplo v : no exemplo a seguir);Selecione Matrix no menu Insert ou utilize a palete de gerao de matrizes no menu View-Tool- Bar Math ( a figura a seguir mostra a paleta Math);Especifique o nmero de linhas e ecolunas desejado;

Clique em Create ou pressione a tecla Enter;Preencha os placeholders (quadrados em negritos) com os nmeros desejados (elementos da matriz)

M

7

65

98

7

12

3

:= v

43

2

:=

A seguir uma breve definio de cada boto da paleta math

6


Digite i:1;3 j 1 3..:= Digite j:1;3

v1 4= Digite v [ 1 = M1 j,791

= Digite M [1,j =

Tenha cuidado para no confundir o subscrito utilizado para acessar elementos de uma matriz ( tecka [ ) com o

subscrito (cosmtico) obtido atravs de um ponto, conforme j descrito acima.

Voltando a origem para 0 ORIGIN 0:=

importante ainda observar que o Mathcad sempre trata os ndices sequencialmente. Por exemplo, se voc fosse definir

i 0 2, 6..:= xi i:=

Voc obteria o seguinte i0246

= x

0020406

=

Uma vez que o Matcad trata os ndices sequencialmente, ele preenche o primeiro, o terceiro e o quinto elemento do vetor com zero uma vez que estas posies no foram especificamente definidas na definio de x. Um maneira de definir a seqencia de nmero acima sem esta insero de zeros seria a seguinte

9.1 ndices da Matriz

Os ndices da matriz so usados para acessar elementos individuais de uma matriz. No Mathcad, os ndices comeam em zero, a no ser se especificado de outra maneira (para isto procure o help do comando ORIGIN). Veja os exemplos.

i 0 2..:= Digite i:0;2 j 0 2..:= Digite j:0;2

v0 4= Digite v [ 0 = M0 j,791

= Digite M [0,j =

v1 3= Digite v [ 1 =

Veja e compare as diferenas

ORIGIN 1:=

i 1 3..:=

7


| A

coluna [Ctrlt] 6 A 2 Retorna a segunda coluna de A

======================================================================

9.3 Funes Vetores e Matriciais

Utilizando v e M definidos anteriormente para os prximos exemplos, aqui so expostas algumas das funes internas para vetores e matrizes do Mathcad.

Finalidade Exemplo ==================================================

Nmero de Colunas cols M( ) 3=

Nmero de Linhas rows M( ) 3=

Maior valor na matriz max M( ) 9=

==================================================

i 0 3..:= yi i 2:= y

02

46

=

9.2 Operaes com Matrizes e Vetores

A maioria das operaes com matrizes e vetores pode ser encontrada na paleta de Matrizes. A seguir so listadas as operaes bsicas.V na paleta e veja as operaes possveis.

Operador Tecla Boto Exemplo =====================================================================

produto escalar [Shift] 8 A B

produto vetorial [Ctrlt] 8 A B Como uma multiplicao escalar

determinante

8


o segundo est errado porque as unidades dos elementos no so as mesmas. O Mathcad mostra a expresso em vermelho e se voc clicar sobre ela ver o motivo do erro.

verrado

2 cm3 m5 sec

:=verrado

2 cm3 m5 sec

:=vcorreto

2 cm4 cm

10 cm

:=

Obs.: Voc pode utilizar unidades dentro de vetores ou matrizes. Mas lembre-se que todos os elementos tm que est no mesmo tipo de unidade.

Agora voc sabe quantos kgf corresponde 1 NF 0.102 kgf=

Em seguida clique sobre a expresso ao lado. Voc notar que aparecer um placeholder (quadrado preto) no final da expresso. Clique com o mouse sobre ele e escreva kgf. Clique fora da expresso e o resultado ser o seguinte.

Digite F=F 1 N=

Digite F:1*NCrie uma varivel qualquer e atribua a ela o valor de 1 NewtonF 1 N:=

Esta caracrterstica do Mathcad bastante til na medida em que ela permite que voc verifique se cometeu algum erro nas unidades em determinado problema. Esta caracterstica possibilita ainda a converso de unidades. Por exemplo, se voc no lembra quantos kgf valem 1 Newton proceda da seguinte forma.

Este princpio vale para todas as unidades constantes do Mathcad. Para consultar a lista de unidades disponveis para dado sistema v no menu Insert Unit. L h uma descrio de cada unidade acompanhada de sua respectiva simbologia.

Digite x=x 0.1 m=

Observe que sua expresso ser automaticamente mostrada na unidade de comprimento do sistema de unidades para o qual o Mathcad estiver ajustado. Para saber qual este sistema v no menu Math-Options-Unit System. Normalmente est ajustado para o SI (Sistema Internacional) , no qual a unidade de comprimento o metro - m.O resultado ser ento o seguinte.

x 10 cm:=

Para ver quanto vale x em centmetros, clique na equao e posicione o cursor depois da unidade de polegadas (in). Apague-a e digite a unidade cm. A expresso fica da forma exposta a seguir

in = smbolo de polegadasDigite x:10*inx 10 in:=

Uma das facilidade do Mathcad a possibilidade de definio automtica de unidades e transformao entre elas. Isto j foi feito anteriormente quando transformamos o argumento da funo seno (sin 45*deg) para graus. A seguir outros exemplos.

10. Trabalhando com Unidades

9


Para plotar a funo f(x) temos duas maneiras:

Clique com o mouse abaixo deste texto e acesse o menu Insert-Graph-X-Y Plot. Ser exibido um grfico vazio contendo dois placeholders, um em x e outro em y. Clique com o mouse no placehloder e digite x. Proceda da mesma forma em y e digite f(x). O resultado ser o seguinte.

Digite f(x):sin(x)f x( ) sin x( ):=

Para acionar o nmero pi voc pode ir no menu View-Math e escolher a paleta que contm as letras gregas (greek)

Digite x:0;2*p[Ctrl]gx 0 2 pi..:=

A seuir um exemplo de grfico x-y

No Mathcad possvel se traar os mais variados grficos, desde os bi-dimensionais at os tridimensionais. V no menu Insert Graph e explore estas potencialidades (veja figura a seguir).

12. Grficos

Find x y,( )

4107

1007

Depois clique fora da expresso e voc obter os valores das incgnitas x e y.Note que foram utilizadas duas novas funes: Given e Find. Procure no help mais detalhes sobre elas

Digite Find(x,y) [Ctrl .]

11. Expresses Simblicas

Expresses simblicas podem ser escritas no Mathcad utilizando o sinal de igual lgico, que obtido pressionando-se a tecla Ctrl=. Veja o exemplo.

x2 y 2 b x

d+ 7= Digite x^2 * y [Ctrl]= 2*b [barra de espaos] + x/d [barra de

espaos] - 7

Observe o sinal de igual. diferente daqueles vistos at agora. Este tipo de sinal usado, por exemplo, na soluo de sistemas de equaes. Veja.

Given Digite Given

2 x 4 y+ 60= Digite 2*x+4*y [Ctrl+]3

4 x 15 y+ 20= Digite 5*x+10*y [Ctrl+]50

10


0 2 4 61

0

1

f x( )

x

A outra forma de inserir o grfico vazio a seguinte Digite f(x)@x[Enter]

A figura aparecer assim, com os placeholders j preechidos.

0 2 4 61

0

1

f x( )

x

Voc deve observar que os dois grficos apresentam um formato muito retilneo para uma funo trigonomtrica com a sin(x). Isto se deve ao fato de que o intervalo definido para a varivel x. Ela vai de 0 at 6.28 (duas vezes pi) de um em um. Se voc redefinir para um intervalo mais suave ter o seguinte resultado.

x 0 0.01, 2 pi..:= Digite x:0,0.01;2*pi

0 2 4 6 81

0

1

f x( )

x

11


x

12.1 Anatomia de um grfico

Se voc clicar em qualquer lugar da tela e pressionar @, ver o seguinte - obviamente sem o texto expicatrio que consta da figura mostrada abaixo.

Se voc simplesmente preencher com os argumentos de x e y e pressionar Enter, os limites dos placeholders sero automaticamente preenchidos com o maior e menor valor do grfico.

Se voc der um duplo clique no grfico, aparecer um caixa de dilogo que lhe permite mudar os parmteros do grfico, tipos de linhas, inserir legendas, inserir ttulo, entre outras coisas.

12.2 Formatando grficos

Caso voc deseje, pode entrar com nmeros nos limites dos placeholders para ajustar o limite do grfico ou para criar um marcador (marker). Veja o exemplo

Para colocar este marcador clique duas vezes no grfico e selecione show markres no eixo dos y. Digite o nmero 0 no primeiro placeholder e obter o resultado acima

12


12.3 Unidades em grficos

Voc pode utilizar unidades em grfico. Veja como proceder

L 0.1 m 0.2 m, 1 m..:= Digite L:0.1*m,0.2*m;1*m

y L( ) 25

3 m L:= Digite y(L):2/5 [barra de espaos] 3*m - L

Digite y(L)/cm@L/m Voc est criando um grfico com y em centmetros e L em metros

0 0.5 10

50

100

150

y L( )cm

L

m

Obs.:Veja que estamos usando unidades diferente em x e y.Lembre-se que a insero de um grfico pode ser feita atravs di menu Insert-Graph.

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