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21
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Matriz mudança de base
Laura Goulart
UESB
21 de Agosto de 2018
Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de 2018 1 / 8
8 - Coordenadas de um vetor
A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos
vetores está �xada.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.
Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais
que v =n∑
i=1
αivi .
Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a
base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:
[v ]B =
α1α2...
αn
n×1
Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de 2018 2 / 8
8 - Coordenadas de um vetor
A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos
vetores está �xada.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.
Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais
que v =n∑
i=1
αivi .
Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a
base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:
[v ]B =
α1α2...
αn
n×1
Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de 2018 2 / 8
8 - Coordenadas de um vetor
A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos
vetores está �xada.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.
Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais
que v =n∑
i=1
αivi .
Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a
base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:
[v ]B =
α1α2...
αn
n×1
Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de 2018 2 / 8
8 - Coordenadas de um vetor
A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos
vetores está �xada.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.
Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais
que v =n∑
i=1
αivi .
Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a
base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:
[v ]B =
α1α2...
αn
n×1
Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de 2018 2 / 8
8 - Coordenadas de um vetor
A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos
vetores está �xada.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.
Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais
que v =n∑
i=1
αivi .
Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a
base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:
[v ]B =
α1α2...
αn
n×1
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Exemplos
8.1) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base
canônica.
8.2) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base
B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)}.
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Exemplos
8.1) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base
canônica.
8.2) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base
B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)}.
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9 - Matriz Mudança de Base
Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para
uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e
C = {v1, . . . , vn} bases de V.
Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como
combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un
...
vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun
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9 - Matriz Mudança de Base
Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para
uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e
C = {v1, . . . , vn} bases de V.
Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como
combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un
...
vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun
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9 - Matriz Mudança de Base
Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para
uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e
C = {v1, . . . , vn} bases de V.
Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como
combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1un
v2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un...
vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun
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9 - Matriz Mudança de Base
Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para
uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e
C = {v1, . . . , vn} bases de V.
Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como
combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un
...
vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun
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9 - Matriz Mudança de Base
Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para
uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e
C = {v1, . . . , vn} bases de V.
Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como
combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un
...
vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun
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9 - Matriz Mudança de Base
Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para
uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.
Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e
C = {v1, . . . , vn} bases de V.
Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como
combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un
...
vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun
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A matriz P =
α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n...
.... . .
...
αn1 αn2 · · · αnn
é chamada matriz mudança
da base B para a base V e denotada por P = [M]BC .
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Exemplo
9.1) Ache a matriz mudança da base
B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} para a base canônica.
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Propriedades
MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e
vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)
MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e
D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e
Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .
Observação (9.1)
Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.
Exemplo (9.2)
Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do
R3.
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Propriedades
MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e
vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)
MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e
D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e
Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .
Observação (9.1)
Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.
Exemplo (9.2)
Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do
R3.
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Propriedades
MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e
vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)
MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e
D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e
Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .
Observação (9.1)
Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.
Exemplo (9.2)
Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do
R3.
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Propriedades
MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e
vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)
MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e
D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e
Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .
Observação (9.1)
Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.
Exemplo (9.2)
Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do
R3.
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MB3) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} bases de um
e.v.r. V e considere v ∈ V . Então, [v ]B = [M]BC · [v ]C e
[v ]C = [M]CB · [v ]B .
Exemplo (9.3)
Vamos refazer os exemplos 9.1 e 9.2.
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