Matrizes 17122016

16
Definição de Matrizes Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. A mxn = a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 = [a ij ] mxn matriz A de m linhas e n colunas Elemento da linha i e coluna j Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

Transcript of Matrizes 17122016

Page 1: Matrizes 17122016

Definição de Matrizes

Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Amxn =

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

= [aij]mxn

matriz A de m linhas e n colunas

Elemento da linha ie coluna j

Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

Page 2: Matrizes 17122016

TIPOS DE MATRIZES

1 2 2

1 1 3

4 1 2

Matriz quadrada m = n (x linhas = x colunas)

Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

DiagonaisSó tem sentido falar de diagonais

em matrizes quadradas.

Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)

Elementos dadiagonal principal:

1, 1 e 2

Elementos dadiagonal secundária:

2, 1 e 4

Page 3: Matrizes 17122016

2 1 1

0 1 2

0 0 4

Matriz triangular superior

Matrizes Triangulares

2 0 0 0

1 1 0 0

2 3 4 0

4 5 7 2

Matriz triangular inferior

500020004

Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são

todos nulos.

Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também

quando ambos são verdade!

Esta também é uma matriz triangular!

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas.

Page 4: Matrizes 17122016

Casos especiais de Matrizes

Triangulares. Matriz identidade

2 0 0

0 4 0

0 0 7

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal

Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero

A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da

diagonal principal são todos iguais a um.

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas. Chatice hein!

Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.

Chamamos a matriz acima de I3

(identidade de ordem 3)

No geral, In onde n é a ordem da matriz.

Page 5: Matrizes 17122016

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Matriz nula

Todos os elementos são nulos.

Chamamos a matriz nula de Omxn

Então essa é O3x4

A Matriz nula não precisa ser quadrada!

Igualdade de Matrizes.

Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos

correspondentes são iguais.

421213112

421213112

Caso ao olhar essas duas

matrizes e não ver que elas são iguais,

favor procurar o oculista.

Page 6: Matrizes 17122016

Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )

23413012

x

A

.

431102

=A32

t

x

Matriz A transposta

Simétrica Matriz quadrada tal que At = A

222331

x

A

.

2331

=A22

t

x

Matriz A transposta

Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A

33013102320

x

A

.013102320

=A

33

t

x

=Os elementos da transposta

são os opostos da original.

Page 7: Matrizes 17122016

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição

015240

520411

535231

Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.

É sempre possível somar matrizes?

Não!

Somente quando estas forem de mesma ordem.

+ =

Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

Page 8: Matrizes 17122016

Multiplicação por escalar

Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.

31

102.2

3.21.210.22.2

62204

Matriz A Matriz -2A

Page 9: Matrizes 17122016

Multiplicação de matriz por matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.

2223

4011

.352412

xx

234.3)1(50.31.54.2)1(40.21.44.1)1(20.11.2

x

754422

Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo

2

1

2

1

4

2

4

2

5

3

5

3

Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.

O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.

Ihhh... Aqui fu...!

Page 10: Matrizes 17122016

2223

4011

.352412

xx

7544222.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4

4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.45.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4

Observe, multiplicamos

ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o

primeiro elemento da elemento com o

primeiro da coluna e por aí vai...

Page 11: Matrizes 17122016

EXEMPLO 1

1) Seja A =

143201

e seja B =

012

411

. Calcule A + B.

11

Page 12: Matrizes 17122016

EXEMPLO 2

2) Seja A =

143201 e seja B =

012

411 .

Calcule A – B.

12

Page 13: Matrizes 17122016

EXEMPLO 3

3) Calcule o produto das matrizes:

205312

.021102321

13

Page 14: Matrizes 17122016

EXEMPLO 4

4) A mátriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j dada por:

a)

321642

b)

1242621

c)

642321

d)

321111

e)

321642

14

Page 15: Matrizes 17122016

EXEMPLO 55) Dadas as matrizes

654321

A

102231

B

calcule a matriz A – Bt é:

15

Page 16: Matrizes 17122016

Professor Antônio Carlos Carneiro Barroso Graduado Em Matemática pela UFBAGraduado em Ciências naturais pela UFBAPós graduado em Metodologia e Didática de ensino Superiorwww.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.youtube.com/accbarrosowww.facebook.com/acmatematicowww.twitter.com/profbarrosoSalvador-Ba