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Matrizes

Héctor Fabio Bonilla L.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, USFCAR, Sorocaba, SPDisciplina: INTRODUÇÃO  À OTIMIZAÇÃO LINEAR

hectorfabiobonilla@gmail.com

22 de Março de 2016

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Índice

1   MatrizesMatrizes ElementaresOperações com matrizes

Proposi̧cões

Exerćıcios resolvidos

Propriedades de matrizes

2   Matrizes InversiveisProposiçõesDeterminação da Inversa

3   Sistema de Cramer

4   Exerćıcios resolvidos e propostos

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Matrizes

Definição:

sejam  m ≤ 1 e  n ≤ 1 dois números inteiros. Uma  matriz  m× n   real   é umadupla seqüência de números reais, distribúıdos em  m   linhas e n colunas,formando uma tabela que se indica do seguiente modo:

a11   a12   a13   . . .   a1na

21  a

22  a

23  . . .   a

2n

. . . . . . . . . . . . . . .

am1   am2   am3   . . .   amn

Abreviadamente esta matriz pode ser expressa por  A = [aij ] 1 ≤ i  ≤ m  oupenas 1 ≤  j  ≤ n. Cada número que compõe uma matriz chama-se termo

dessa matriz.Notações-Indicaremos por:

M m×n(R) o cojunto das matrizes reais  m× n. Se  m =  n  de  M n×n(R), se usa a notaçãoM n(R), cada matriz chama-se  matriz quadrada de ordem  n

Se  m =  n, uma matriz  m × n  se diz uma  matriz retangular 

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Matrizes Linhas e Colunas

Dada uma matriz :

A =

a11   a12   a13   . . .   a1na21   a22   a23   . . .   a2n. . . . . . . . . . . . . . .

am1   am2   am3   . . .   amn

As  m  seqüências horizontaisA(1) = (a11, a12, a13, . . . , a1n), . . . , A

(m) = am1, am2, am3, . . . , amn   sãochamadas   linhas  da matriz  A, enquanto que as  n   seqüências verticais:

A(1) =

a11a21

...am1

, . . . , A(n)  =

a1na2n

...amn

São as  colunas  da matriz A.  É de se notar que cada  A(i ) ∈ M 1×n(R) e

cada  A( j ) ∈ M m×1(R)Héctor Fabio Bonilla L. (USFCAR PPGEPS)   Matrizes   Aula No 1 4 / 20

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Matrizes Elementares

Definições Matrizes Elementares

Uma matriz elmentar de orden  n   é uma matriz  E   obtida de   I n, onde amatriz  I n  chama-se  matriz identidade de ordem n  por medio de uma e uma

só operação elementar.

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Matrizes Elementares

Definições Matrizes Elementares

Uma matriz elmentar de orden  n   é uma matriz  E   obtida de   I n, onde amatriz  I n  chama-se  matriz identidade de ordem n  por medio de uma e uma

só operação elementar.

Proposição

Seja  E  uma matriz elementar de ordem  n. Se aplicarmos, então em umamatriz  A, também de orden  n, a mesma operação elementar que

transformou  I n  em  E , obteremos a matriz  EA

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Operações com matrizes

ADIÇÃO: Sejam  A = [aij ] e  B  = [b ij ] matrizes  m × n. Indicaremos  A + B  e chamamossoma de  A  com  B  a matriz  m × n  cujo termo geral é  aij  + b ij , ou seja

A + B  =

a11 +  b 11   a12 +  b 12   a13 +  b 13   . . .   a1n +  b 1na21 +  b 21   a22 +  b 22   a23 +  b 23   . . .   a2n +  b 2n

. . . . . . . . . . . . . . .

am1 +  b m1   am2 +  b m2   am3 +  b m3   . . .   amn +  b mn

Para a adição de matrizes acima definida valem a seguintes propriedades:

(I)   A + (B  + C ) = (A + B ) +  C ,∀A,B ,C  ∈ M m×n(R) (Associativa)(II)   A + B  = B  +  A,∀A,B  ∈ M m×n(R) (Conmutativa)

(III)   Existe uma matriz  O ∈  M m×n(R) talque  A + O  =  A,∀A ∈  M m×n(R) (Existeelemento neutro)

(IV)   Dada uma matriz  A ∈  M m×n(R), existe uma matriz (−A), também  m× n, talqueA + (−A) =  O  (Existe a oposta de qualquer matriz).

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Operações com matrizes

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Operções com matrizes

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES : Consideremos a Matriz  A  de tipo  m × n  e matriz  B de tipo  n× p . O producto  A • B   (também indicado por  AB ) é matriz  m × p  cujo termogeral é dado por:

c ik   =n

 j 

aij   · b ij   = ai 1 · b 1k  + . . . + ain · b nl 

Usando a notação de matriz linha e a de matriz coluna a definição acima significa que:

AB  =

A(1) · B (1)   . . .   A(1) · B (p )

A(2) · B (1)   . . .   A(2) · B (p )

. . . . . . . . .

A(m)

· B (1)   . . .   A(m)

· B (p )

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Operações com matrizes

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO: Dada uma matriz real  A,m × n, e dado um número real   α, o produto de   α  por  A  é a matriz real  m × n  dada por:

αA =

αa11   αa12   αa13   . . . αa1n. . . . . . . . . . . . . . .

αam1   . . . . . . . . . . . . αamn

Para essa operação que transforma cada para  αA  de  R ×M m×n(R ) na matriz real

αA ∈  M m×n(R ), valem as seguintes propriedades:

(I)   (αβ)A =  α(βA)(II)   (α + β)A =  αA + βA

(III)   α(A + B ) =  αA + αB 

(IV)   1A =  A

Quaisquer que sejam as matrizes  A  e  B  e quaisquer que sejam os números reais  α  e  β

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Operções com matrizes

Proposição

Sejam  A,  B   e  C  matrizes reais  m × n,  n × p ,  p × q , respectivamente.Então A(BC)=(AB)C.

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Operções com matrizes

Proposição

Sejam  A,  B   e  C  matrizes reais  m × n,  n × p ,  p × q , respectivamente.Então A(BC)=(AB)C.

Proposição

Sejam  A,  B   e  C  matrizes reais  m × n,  n × p ,  p × q , respectivamente.Então A(B+C)=AB+AC

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Matriz Transposta

Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

propriedades

(I)   (A + B )t  = At  + B t 

(II)   (αA)t 

=   αAt 

, onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

(IV)   (AB )t  = B t At 

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Matriz Transposta

Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

propriedades

(I)   (A + B )t  = At  + B t 

(II)   (αA)t 

=   αAt 

, onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

(IV)   (AB )t  = B t At 

Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  simétrica  se  A =  AT 

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Matriz Transposta

Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

propriedades

(I)   (A + B )t  = At  + B t 

(II)   (αA)t 

=   αAt 

, onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

(IV)   (AB )t  = B t At 

Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  simétrica  se  A =  AT 

Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  anti-simétrica  se  AT  = −A

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Matriz Transposta

Definição:  Dada uma Matriz  A = [aij ] ∈ M m×n(R), denomina-se-Transposta  de  A  e indica-se por  At  a seguinte matriz  n ×m   :  At  = [a ji ],onde (i  = 1, . . . , m; j  = 1, . . . , n). Valem as siguintes propriedades

propriedades

(I)   (A + B )t  = At  + B t 

(II)   (αA)t 

=   αAt 

, onde   α ∈ R(III)   (At )t  = A  (Idempotência )

(IV)   (AB )t  = B t At 

Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  simétrica  se  A =  AT 

Definição:   Uma matriz  A = [aij ] chama-se  anti-simétrica  se  AT  = −AExerćıcio:   Sendo  A  uma matriz quadrada, prove que :

(I)   A + At  é simétrica

(II)   A− At  é anti-simétrica

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M i I ´ i

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Matrizes Inverśıveis

Definição

Uma Matriz  A  de ordem  n  se diz   inverśıvel  se, e somente se, existe umamatriz  B , também de ordem  n, de modo que:

AB  = BA = I n

Esta matriz B, caso exista, é única e chama-se inversa de  A, indicada-sepor  A−1

ProposiçãoSe uma matriz  An×n  possui uma inversa  A

−1, então esta inversa é única

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M i I ´ i

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Matrizes Inverśıveis

Algumas propriedades

(I)   I n, é invert́ıvel e (I n)−1 = I n

(II)   Se  A  é invert́ıvel então  A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A

(III)   Se  A  O  B   são invert́ıveis então  AB   é invert́ıvel e (AB )−1 = B −1A−1

(IV)   Se  A  é invert́ıvel então  AT 

é invert́ıvel e (AT 

)−1

= (A−1

)T 

(V)   Se  A  é invert́ıvel então, para todo  k  ∈ N ,  Ak  é invert́ıvel e(Ak )−1 = (A−1)k 

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M i I ´ i

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Matrizes Inverśıveis

Algumas propriedades

(I)   I n, é invert́ıvel e (I n)−1 = I n

(II)   Se  A  é invert́ıvel então  A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A

(III)   Se  A  O  B   são invert́ıveis então  AB   é invert́ıvel e (AB )−1 = B −1A−1

(IV)   Se  A  é invert́ıvel então  AT 

é invert́ıvel e (AT 

)−1

= (A−1

)T 

(V)   Se  A  é invert́ıvel então, para todo  k  ∈ N ,  Ak  é invert́ıvel e(Ak )−1 = (A−1)k 

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M t i I ´ i

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Matrizes Inverśıveis

Algumas propriedades

(I)   I n, é invert́ıvel e (I n)−1 = I n

(II)   Se  A  é invert́ıvel então  A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A

(III)   Se  A  O  B   são invert́ıveis então  AB   é invert́ıvel e (AB )−1 = B −1A−1

(IV)   Se  A  é invert́ıvel então  AT 

é invert́ıvel e (AT 

)−1

= (A−1

)T 

(V)   Se  A  é invert́ıvel então, para todo  k  ∈ N ,  Ak  é invert́ıvel e(Ak )−1 = (A−1)k 

Teorema

Uma matriz  A  é inverśıvel se, e somente se,   I n  ∼ A. Neste caso, a mesmasucessão de operações elementares que transformam  A em  I n, transformamI n  em  A

−1.

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Al it l l t i i

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Algoritmo para calcular a matriz inversa

Dada uma matriz  A ∈ M n×n(R):

1 Construir uma matriz da forma [A|I n].

2 Executar sobre matriz uma sequência de operações elementares, demodo a transformar  A  na matriz identidade   I n. No final do processoobtemos uma matriz ampliada da forma [I n|A−1]

3 Caso não seja posśıvel transformar  A  na matriz identidade   I n  então amatriz  A  não é invert́ıvel.

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Determiante de uma Matriz

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Determiante de uma Matriz

Seja  A = [aij ]n×n. O determinante de A, denotado por det(A) ou |A|,como o escalar de dado por:

Desenvolvimento em cofatores do determinante

det (A) = a11  ã11 + a12  ã12 +  . . . + a11  ã11 =n

 j =1

a1 j  ã1 j 

Onde ã1 j  = (−1)1+ j det(  Ã1 j )

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Exemplo

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Exemplo

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Sistemas de Cramer

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Sistemas de Cramer

Um  Sistema de Cramer   é um sitema linear de  m  equações com  nincógnitas sobre R, cuja matriz dos coeficientes é inverśıvel.Se  AX   = B   éum sistema de Cramer, como:

AX   = B  ⇒ A−1(AX ) = A−1B  ⇒ X   = A−1B 

Então esse sistema é compat́ıvel determinado e sua única solução é dadapor  A−1B . Em particular um sistema quadrado e homogêneo cuja matrizdos coeficientes é inverśıvel só admite a solução trivial.

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Sistemas de Cramer

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Sistemas de Cramer

Teorema de Cramer

Sejam  A ∈ M n×n(R) e  B  ∈ Mn × 1(R) matrizes tais que os sistemas deequações  Ax  = B   é um SISTEMA DE CRAMER, para cada

 j  ∈ {1, 2, . . . , n}, seja  A j  a matriz que se óbtem de  A  substituindo acoluna   j  pela matriz coluna  B . Então, a  solução única  do sistemaAx  = B   é  n-uplo (x 1, x 2, . . . , x n) onde,

x  j  =  |A j |

|A|

,∀ j  ∈ {1, 2, . . . , n}

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Referências Bibliográficas

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Referencias Bibliograficas

CALLIOLI Carlos A; DOMINGUES Hyginoh; COSTA Roberto C.F.   ´ Algebra Linear e 

Aplica瘠oes . São Paulo; Atual Editorial. Ed 6a. 1990.

SANTOS, Reginaldo J.   Introdução à  Àlgebra Linear . Belo Horizonte. ImprensaUniversitária de UFMG, 2013.

RODRIGUES, Maria Rosalia.  Notas de Aulas do Curso   ´ Algebra Linear .

Departamento de Matemáticas. Universidad de Aveiro. 2010.

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Muito Obrigado

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