Matrizes e Determinantes

Mara Cristina Baltazar

ProblematizaçãoO iogurte é um alimento derivado do leite, tendo assumido várias cores nas prateleiras dos supermercados, dependendo do elemento a ele incorporado. A oferta de marcas, cores, sabores e consistência é grande. Os iogurtes fornecem proteínas, vitaminas A, D e E, cálcio e fósforo. Alguns recebem ferro e fibras e o mais importante é que dificilmente ultrapassam 5% de gordura, fator muito observado pelos usuários, principalmente os que cultuam as formas de um corpo ideal, baseando nas proporções

divulgadas pela mídia, e também os que seguem prescrição médica. <http//saúde.abril.com.br/livre/speciais/especial_gordura/1209pop2.html.> Acessado em 29/09/04(adaptado)

Os teores de magnésio e sódio, presentes em 100 ml de iogurte feito com leite integral ou com leite desnatado, estão representados pelas variáveis x, y, z, t na matriz;

Os teores de magnésio e sódio, presentes em 100 ml de iogurte feito com leite integral ou com leite desnatado, estão representados pelas variáveis x, y, z, t na matriz;

Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:a)A quantidade de magnésio encontrada em 100ml de leite desnatado e a quantidade de sódio encontrada em 100 ml de leite integral.b)A matriz representada pela soma do triplo da matriz M e de da matriz oposta de M.

HistoricizaçãoMatrizes

Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821 em Richmond na Inglaterra. Vindo de uma família de comerciantes, seu pai desejava que continuasse os negócios da família, porém em 1835 ingressou no King´s College School onde sua aptidão para a matemática se tornou mais aparente. Em 1838 começou seus estudos no Trinity College em Cambridge onde se graduou em 1842.

No período em que era estudante conheceu James Joseph Sylvester, também um ícone da álgebra britânica. Como ambos pesquisavam as mesmas áreas, tornaram grandes amigos. E foi nessa época então que Cayley, 1855 escreveu um artigo usando os termos Matriz (termo este que já teria sido usado por Sylvester a cinco anos antes) salientando que como pela lógica a noção de Matriz antecedesse a de Determinantes o que historicamente não era correto, pois os Determinantes já eram usados na resolução de sistemas lineares muito antes da criação das matrizes. Os chineses alguns séculos antes de Cristo já resolviam sistemas de equações lineares por processos em que está implícita a ideia de matriz.

Cayley introduziu as matrizes em seu artigo simplesmente para facilitar a notação no estudo de transformações dadas por equações lineares simultâneas. Por exemplo, a observação feita por ele do efeito de duas transformações sucessivas sobre uma transformação dada, sugeriu-lhe a definição de multiplicação de matrizes (linhas por colunas), operação que como ele próprio verificou não gozava da propriedade comutativa. Nesse mesmo artigo Cayley propôs, ainda que resumidamente, a ideia de matriz inversa. Três anos depois, num outro artigo, Cayley introduziu as operações de adição de matrizes e multiplicação de matrizes por escalares, colocando inclusive suas propriedades.

Chamamos de matriz do tipo m x n (Lê-se “m por n”) a toda tabela constituída por m x n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas em forma de tabela de dois modos diferentes: usando-se parêntese ou colchetes.

Exemplos:

311x2

21

2x1

404262041

3x3

Tipos de matriz:

Matriz retangular: m≠n (número de linhas é diferente de números de coluna)

123012

2x3

Matriz linha: m=1

31

1x2

Matriz coluna: n=1

21

2x1

Matriz nula:

Quando todos os elementos da matriz são zeros.

02 =

220000

x

Matriz Quadrada:

Uma matriz quadrada do tipo mxm é dita de ordem m :

Assim :

m=n (número de linhas é igual ao número de coluna)

0723

2x2

Matriz Triangular

Matriz Diagonal

Quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.

300020004

Matriz Identidade

É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são todos 1, e os elementos fora da diagonal principal são todos 0.

Importante a matriz identidade é elemento neutro do produto de matrizes.

Matriz Oposta

É quando se obtém trocando os sinais dos elementos de A. Identificamos por –A

Exemplo:

A=

0723

- A=

0723

Matriz Transposta

Matriz transposta de A: At

Linhas de uma = coluna da outra

Matriz Simétrica

Quando uma matriz quadrada A é igual à sua transposta At (A=At), dizemos que A é uma matriz

simétrica.

643402321

643402321

tAigualéqueA

Igualdades de Matriz

Representação genérica:

Uma matriz A do tipo 3x3 é representada genericamente por:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

33x

Podemos também representar por A= ( ija ) 33x em que i e j indicam, respectivamente, a posição

da linha e da coluna ija .

Exemplo:

312624082

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Assim:

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3333231

2232221

1131211

312624082

Operações com Matrizes

Adição

A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é a matriz, também de mesma ordem,

obtida com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B.

Sendo as matrizes ,)()( nxmijnxmij bBeaA a soma de A e B é a matriz

A+B = nxmijij ba )(

Exemplo:

Dadas a matrizes:

274301

A

205

132B

Assim temos;

Propriedades da Adição:

Considerando matrizes de mesma ordem, são validas as seguintes propriedades:

P1 Comutativa:

A + B = B+A

Exemplo:

Dadas as Matrizes:

8753

4821

BeA

É valido que:

A + B = B + A

8753

4821

BA =

4821

8753

AB

41574

=

41574

A + B = B + A

8753

4821

BA =

4821

8753

AB

41574

=

41574

P2 Associativa

A + (B + C) = (A + B) + C

Dadas as matrizes:

48

21A

8753

B

3514

C

É válido que:

A + (B + C) = ( A + B) + C

48

21A +

3514

8753

=

35

148753

4821

4821

+

111247

=

41574

+

3514

72068

=

72068

A + (B + C) = ( A + B) + C

48

21A +

3514

8753

=

35

148753

4821

4821

+

111247

=

41574

+

3514

72068

=

72068

P3 Elemento simétrico

A matriz oposta da matriz A de ordem m x n é a matriz –A de ordem m x n, cujos

elementos de mesma posição são simétricos.

A + (- A) = 0 seja a matriz:

48

21A

É válido que:

A + (-A) = 0

4821

0000

4821

A + (-A) = 0

4821

0000

4821

P4 Elemento neutro

A + 0 = A

25

31A é válida que:

25

310000

2531

Subtração de matrizes

A diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela

adição da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja:

A – B = A + ( - B )

A – B = A + ( - B )

205

132274301

BA

Multiplicação de um número real por uma matriz

O produto de um número real K por uma matriz A é obtido pela multiplicação de cada elemento

da matriz A por esse número real K.

Exemplos:

Propriedades

P1= (∝ +𝜷).𝑨=∝.𝑨+ 𝜷.𝑨

P2= ∝.(𝑨+ 𝑩) =∝.𝑨+∝.𝑩

P3= ∝.ሺ𝜷.𝑨ሻ= ሺ∝.𝜷ሻ.𝑨

P4=1. A = A

Multiplicação de matrizes

Para a multiplicação entre matrizes precisamos de uma técnica mais elaborada do que as

que vimos até agora.

Primeiro observamos que só definimos o produto de AB de duas matrizes quando o

número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto

de AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B:

a) Dadas as matrizes

Vamos determinar AB.

Como A é uma matriz 3 x 2 e B é uma matriz 2 x 2, o número de colunas de A é ig:ual

ao número de linhas de B; assim, está definido o produto AB, que será uma matriz 3 x 2, isto é:

927515721

2.41.16.43.12.01.56.03.52.21.36.23.3

2613

.410523

3231

2221

1211

cccccc

AB

2223

2613

410523

xx

BeA

927515721

2.41.16.43.12.01.56.03.52.21.36.23.3

2613

.410523

3231

2221

1211

cccccc

AB

Propriedades da multiplicação

P1 Associativa

(A . B) . C = A . (B . C)

Exemplo:

1231

5231

3620

CBA

(A . B) . C =

36

22241231

.30

104CAB

A . (B . C)

36

2224111267

.3620

BCA

P2 Distributiva

(A + B) . C = A . C + B . C

C . (A + B) = C . A + c B

Exemplo:

1231

5231

3620

CBA

P3 Elemento Neutro

A m x n . In = A

Exemplo:

1001

3620

BA

Temos que A.B = A

P4 (K . A m x n) . B m x p = A . (K . B) = K . (A . B), com K ∈ Reais.

Exemplo:

5231

3620

BA

P5 (A m x n . B n x p) t = B t . At

Exemplo:

5231

3620

BA

Observação importante

A propriedade comutativa não é válida para a multiplicação de

matrizes.

Em geral

A . B ≠ B . A

Exemplo:

Dadas as matrizes:

5231

3620

BA

19301112

.30

104. ABBA

Determinantes

O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Cayley. A definição de determinantes é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) e teria sido realizada em 1963.Mais tarde, em 1750, o matemático e astrônomo suíço Gabriel Cramer (1704-1752) publicou a solução de sistemas lineares através da “Regra de Cramer” Em1683, paralelamente a Leibniz, o Oriente resolvia sistemas lineares por intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje.

No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandemonde e Laplace, deram sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidado no século XIX por Cauchy e Jacobi.

O francês Pierre Laplace (1749-1827) viveu num século em que a Europa respirava o clima revolucionário, em particular seu país de origem envolvido com a Revolução Francesa.

O clima de guerra leva a Igreja e o Exército a chamar a seus homens da ciência, Laplace, por exemplo, foi um dos matemáticos indicados por Napoleão para ocupar postos administrativos.

No conjunto de suas realizações, Laplace contribuiu de forma significativa para a Matemática. Seu objetivo maior, porém, foi a Astronomia. Sua obra principal é a mecânica celeste. Nesse percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos, que acabaram por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de potencial. Esses trabalhos fizeram dele um dos principais matemáticos de seu tempo.

Determinantes

Determinante de uma matriz é um número real que associamos a essa matriz segundo algumas regras.

Notação: sendo a matriz

A=

8731

, o seu determinante é indicado como det A =8731

.

Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem A= 11a det A= 11a

Exemplos:

a) A = (6) det A = 6 ou A= 116 x é det A = 6

b) B = (-9) det B = -9 ou A= 119 x é det A = -9

Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem

O determinante da matriz A = 222221

1211

xaaaa

, é o número real obtido através do produto dos

elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária:

Det A = 211222112221

1211 .. aaaaaaaa

Exemplos:

Determinante da matriz B =

9421

é det B 9421

det B = 1.9 – 2.4

det B = 9 – 8 , det B = 1

Determinante de matrizes quadradas de ordem n, n=3,

Esse cálculo do determinante pode ser feito empregado um processo denominado regra de Sarrus.

A =

33333231

232221

131211

xaaaaaaaaa

1º Passo: Escrevemos a matriz e repetimos a 1º coluna e a 2º coluna à direita da 3º coluna:

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaaaaaaaaaaaa

2º Passo: Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados pelas setas conforme o esquema:

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaaaaaaaaaaaa

Det A = 332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Det A = 332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaa

a) A=

401254321

Det A =

015421

401254321

Det = 1.5.4+2.2.1+(-3).4.0 - (-3).5.1-1.2.0-2.4.4

Det = 20+4-0+15-0-32

Det= 24-17=7

b) B=

321052021

Det B=

213221

321052021

Det=(1.5.3)+(2.0.1)+(0.2.2)-0.3.1)-1.0.2)-(2.2.3)

Det B = 15+0+0-0-0-12

Det B= 3

Propriedades dos determinantes

Matriz Inversa

Considerando A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A-1 é

inversa de A se, e somente se, A . A-1 = I n e A-1 . A = I n

A.A-1=A-1.A= In

Condição de uma matriz ser invertível:

Uma mátria só admite inversa se o seu determinante for diferente de zero.

Onde : ൝𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎.𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴.𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴

1001

252533

1001

.2513

. 2 dbcadbca

dcba

IXA

Exemplo

Determine caso exista a inversa da matriz dada.

2513

A

Resolução:

Se existir a matriz inversa da matriz A é do tipo:

dcba

X tal que A . X = I2, ou seja

Da igualdade de matrizes, temos os sistemas:

025226

025)2.(13

caca

caca

22 aa

512.313 ccca

125026

125)2.(03

dbd

dbdb

11 bb

30)1.(303 dddb

Assim temos que a matriz invertível de A:

3512

A

Prova

Boa sorte!!!

9- Referências: Dante, Luis Roberto. Matemática, Volume único. 1ª edição, SP: Editora ática,2011.

Paiva, Manoel. Componente curricular: Matemática. 1ª edição, SP: Ed.Moderna,2005.

Barreto Filho, Benigno et al. Matemática aula por aula. 1ª edição, SP:Ed. FTD,2003.

Paiva, Manoel. Matemática Paiva.1ª edição, SP: Ed. Moderna,2009.

Acessadoemabrilde2014/LucasSpillerebarchinskihttps://www.youtube.com/watch?v=0xr8Lkt5

Anglo: ensino médio: livro texto. Vários autores - São Paulo: Ed Anglo, 2002

WINMAT, Disponível em <http://ler.vc/ditsp4>, pagina do site da Philips Exeter Academy. Acessado em (10 setembro de 2014). SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática, 2ª edição, SP: Editora FTD 2013.

SILVA, Claudio Xavier et al. Matemática aula por aula, 2ª edição, SP: Ed FTD, 2005.