2º ANO2º ANO

 Não deixes de fazer bem a quem o merece, estando em tuas mãos a capacidade de

fazê-lo. Provérbios 3:27Provérbios 3:27

Um dos primeiros registros sobre as matrizes surgiu na antiga

China, sob a forma de tabelas.

Essas tabelas aparecem na obra Chui-Chang Suan-Shu (Nove

capítulos sobre a arte matemática, escrita por volta de

250 a.C.

Com o auxílio dessas tabelas, os chineses resolviam

sistemas de equações lineares,

utilizando as matrizes como são

atualmente conhecidas.

618

753

294

Avançando quase 2 mil anos, o matemático inglês Arthur Carley foi um dos primeiros a introduzir matrizes na matemática, criando em 1857, a álgebra das matrize

No século XX, o matemático alemão David Hilbert apresentou um estudo aprofundado sobre as

matrizes.

Quanto às aplicações, as matrizes são utilizadas na computação, na mecânica, em circuitos elétricos e na eletrônica. Um exemplo do uso

na eletrônica é o medidor de vibrações. As informações

detectadas por esse instrumento são processadas utilizando a

linguagem das matrizes

A tabela a seguir apresenta um panorama da quantidade de

poluentes que saem dos escapamentos dos veículos:

Tabelas assim como Tabelas assim como estas são denominadas estas são denominadas

MATRIZESMATRIZES

MATRIZ MATRIZ

É qualquer É qualquer tabela de tabela de números números

dispostos em dispostos em linhas e linhas e colunascolunas

MATRIZ MATRIZ

É qualquer É qualquer tabela de tabela de números números

dispostos em dispostos em linhas e linhas e colunascolunas 618

753

294

As Matrizes são indicadas de três formas, usando-se:

O quadrado mágico dos chineses, por exemplo, poderia ser representado das

seguintes formas:

618

753

294

618

753

294

618

753

294

0,8041253300

VV

0

F Seja mm o número de linhas e nn o

número de colunas de uma matriz.

Uma matriz com m linhas e n colunas é denominada

Matriz do tipo m X nMatriz do tipo m X n lê-se “m por n”

Uma matriz com m linhas e n colunas é denominada

Matriz do tipo m X nMatriz do tipo m X n lê-se “m por n”

Um vendedor recebe 3% de comissão nos negócios que faz.

Qual a comissão que ele receberá por uma venda

de R$ 3 600,00?

Essa tabela

contém

11 linhas e 2 colunas

É uma matriz do

tipo 11 X 2

49

01

30

12

A

49

01

30

12

A

A Matriz ao lado contém 4 linhas e 2

colunas

É uma matriz do tipo 4 X 2

Para identificar as linhas e as colunas de uma matriz,

procedemos da seguinte forma:

• Numeramos as linhas de cima para baixo

• Numeramos as colunas da esquerda para a direita

206

901A

Primeiracoluna

Segundacoluna

Terceiracoluna

Segundalinha

Primeiralinha

Os elementos de uma matriz são representados por letras

minúsculas, acompanhadas de dois índices, ii e jj, que indicam

a linha e a coluna, respectivamente, onde se encontra o elemento da

matriz.

Indicaa linha

Indicaa coluna

aij

a23 (elemento da 2ª linha e

da 3ª coluna)

Exemplo:

333231

232221

131211

3x3ij

aaa

aaa

aaa

aA

333231

232221

131211

3x3ij

aaa

aaa

aaa

aA

Determinar a matrizA = (aij)2x3 tal que

aij = 2i + j2

A matriz procurada é 2 x 3,

232221

131211

aaa

aaa

1385

1163A

1385

1163A

É a matriz formada por uma única

linha

2324

7

5

4É a matriz formada por uma única

linha

000

000

000

É a matriz em que todos os

elementos são iguais a

zero

000

000

000

É a matriz formada por igual número de linhas

e colunas

665

174

163

Toda matriz quadrada do tipo n X n é

chamada

Matriz Quadrada de Matriz Quadrada de ordem nordem n

Toda matriz quadrada do tipo n X n é

chamada

Matriz Quadrada de Matriz Quadrada de ordem nordem n

No exemplo dado, a matriz é de ordem 3

Toda Matriz quadrada de ordem n possui duas diagonais:

• Diagonal PrincipalDiagonal Principal, formada pelos elementos que têm i = j

• Diagonal SecundáriaDiagonal Secundária, formada pelos elementos que têm i + j = n +

1

Toda Matriz quadrada de ordem n possui duas diagonais:

• Diagonal PrincipalDiagonal Principal, formada pelos elementos que têm i = j

• Diagonal SecundáriaDiagonal Secundária, formada pelos elementos que têm i + j = n +

1

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Diagonal Diagonal PrincipalPrincipalDiagonal Diagonal PrincipalPrincipal

Diagonal Diagonal SecundáriaSecundáriaDiagonal Diagonal

SecundáriaSecundária

É a matriz em que todos os

elementos pertencentes à

diagonal principal são

iguais a 1 e os demais elementos,

iguais a zero.

100

010

001

Identificamos Identificamos a matriz a matriz

identidade identidade

por por IInn

Acontece com entre duas matrizes de mesmo tipo, cujos elementos de posições iguais tem o

mesmo valor.

82

2110A

82

2110A

82

2110B

82

2110B

Assim, A = B

É a matriz em todas as

colunas da matriz dada coincidem

com as linhas da referida

matriz.

487

7020

692

A

476

809

7202

At

Identificamos a matriz

transposta de A por At

476

809

7202

At

300

070

004É a matriz em que todos os

elementos não pertencentes à

diagonal principal são iguais a zero

Cada elemento é o oposto do elemento na

matriz original. Identificamos a matriz oposta

de A por -A

3910

071

574

A

3910

071

574

A

3910

071

574

A

Uma matriz é SIMÉTRICA se, e somente se, A = At

476

709

692

A

476

709

692

A

476

709

692

At

476

709

692

At

No exemplo, A = ANo exemplo, A = Att

Desta forma, a matriz A Desta forma, a matriz A é denominada matriz é denominada matriz

SIMÉTRICASIMÉTRICA

Uma matriz é ANTI-SIMÉTRICA se, e somente se, At = - A

02

20A

02

20A

02

20At

02

20At

No exemplo, ANo exemplo, At t = - A = - A

Desta forma, a matriz A Desta forma, a matriz A é denominada matrizé denominada matriz

ANTI-SIMÉTRICAANTI-SIMÉTRICA

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A Grande Marca do EnsinoA Grande Marca do Ensino

Unidades:Unidades:

Vila VelhaVila VelhaReta da PenhaReta da PenhaCarapinaCarapinaItaparicaItaparica

Unidades:Unidades:

Vila VelhaVila VelhaReta da PenhaReta da PenhaCarapinaCarapinaItaparicaItaparica

3222-73003222-7300