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Professor Mauricio Lutz

1

MATRIZES 1. INTRODUÇÃO

Quando um problema envolve um grande número de dados (constantes

ou variáveis), a disposição destes numa tabela retangular de dupla entrada propicia

uma visão mais global do mesmo. As tabelas assim formadas são chamadas

matrizes.

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das

matrizes encontre cada vez mais aplicações em setores tais como: economia,

engenharia, matemática, física, estatística, etc ...

Exemplo: A tabela abaixo descreve as safras de milho, trigo, soja, arroz e feijão, em

toneladas, durante os anos de 1991, 1992, 1993 e 1994.

Milho Trigo Soja Arroz Feijão

1991 80 130 180 100 40

1992 90 120 200 80 30

1993 90 130 200 120 40

1994 80 110 240 120 50

Com os dados dispostos na forma de tabela (matriz), imediatamente

conseguimos fazer comparações, estabelecer relações e até mesmo tirar conclusões

relativas as safras. Isto mostra o quanto pode ser útil a notação matricial.

Geralmente, as matrizes são tabelas de elementos dispostos em linhas e

colunas , sendo representados entre parênteses, colchetes ou barras duplas. Desta

forma, uma representação por matriz da tabela das safras é:

5012024011080

4012020013090

308020012090

4010018013080

5012024011080

4012020013090

308020012090

4010018013080

5012024011080

4012020013090

308020012090

4010018013080

S

As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda

para a direita.

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2

2 DEFINIÇÃO

Chama-se matriz de ordem mxn (m e n *) a toda tabela constituída por

m e n elementos, dispostos em m linhas e n colunas.

Observação:

Para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro o número de linhas

e em seguida o número de colunas.

Exemplos:

1.

013

142A ordem 2x3

2. 32A ordem 1x2

3 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA

As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus

elementos por letras minúsculas, acompanhadas de 2 índices que indicam,

respectivamente a linha e a coluna ocupada pelo elemento. Assim, uma matriz A do

tipo mxn é representada por:




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3

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

.......

.......

.......

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

ou abreviadamente, A=(aij)mxn, onde i representa a linha e j representa a coluna que

o elemento ocupa na matriz, por exemplo a23 é o elemento da 2º linha e da 3º coluna.

Exemplo:

1.

1228

132A onde a12=-3; a13=-1 e a22=2

2. Determine a matriz A=(aij)3x3, tal que aij=i2-2j.

Resolução:

357

202

531

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

a11=12-2.1=-1; a12=12-2.2=-3; a13=12-2.3=-5;

a21=22-2.1=2; a22=22-2.2=0; a23=22-2.3=-2;

a31=32-2.1=7; a32=32-2.2=5; a33=32-2.3=3.

(1) Exercícios

1. Identifique a ordem das matrizes:

a)

041

312A b) 351 B c)

3

1

2

C d)

821

012

413

D




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4

2. Dada a matriz

932

744

021

523

A identifique os elementos da:

a) 1º linha b) 3º linha c) a23 d) a31

3. Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz?

4. Determine a matriz A=(aij)2x3, tal que aij=i2+j.

5. Construa as matrizes:

a) M=(aij)2x3, tal que aij=i+j.

b) N=(aij)2x2, tal que aij=i2-3j.

c) Q=(aij)3x3, tal que

jise

jisejiaij

,0

,.

4 MATRIZES COM DENOMINAÇÕES ESPECIAIS

4.1 Matriz linha

É toda matriz do tipo 1xn, isto é, com uma única linha. Por exemplo:

31

094x

A ou 51

14791x

B .

4.2 Matriz coluna

É toda matriz do tipo mx1, isto é, com uma única coluna. Por exemplo:

132

1

4

x

A

ou 12

7

5

x

B

.




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5

4.3 Matriz retangular

É toda matriz mxn, sendo mn, ou seja, o número de linhas e diferente do

número de colunas. Por exemplo: 32

021

543

x

A

ou

2321

12

34

x

B

.

4.4 Matriz quadrada

É toda matriz do tipo nxn, isto é, com o mesmo número de linhas e

colunas. Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo:

33562

903

724

x

A

ou 22

47

21

x

B

.

a) Diagonal principal: diagonal principal de uma matriz quadrada é o

conjunto de elementos dessa matriz, tais que i=j.

b) Diagonal secundária: diagonal secundária de uma matriz quadrada é

o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i+j=n+1. É a diagonal que se opõe a

diagonal principal.

Exemplos:

1. Seja A a seguinte matriz de ordem 2:

2. Seja B a seguinte matriz de ordem 3:




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6

4.5 Matriz nula

É a matriz em que todos os elementos são nulos. Representa-se por Omxn

ou apenas O. Por exemplo: seja

000

00032xO .

4.6 Matriz diagonal

É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na

diagonal principal são nulos. Por exemplo:

33500

010

004

x

A

ou 22

40

01

x

B

.

4.7 Matriz escalar

É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são todos

iguais. Por exemplo

33400

040

004

x

A

ou 22

20

02

x

B

.

4.8 Matriz identidade

É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são

iguais a 1 e os demais são nulos. Representa-se por In, onde n indica a ordem da

matriz identidade. Por exemplo

100

010

001

3I ou

10

012I . Assim, uma matriz

identidade

jise

jiseaaI

ij

ijn ,0

,1. Toda matriz identidade é também matriz diagonal.




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7

4.9 Matriz transposta

Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a

partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por

linhas. Por exemplo 32

121

032

x

A

e

2310

23

12

x

tA

. Desse modo, se a matriz

A é do tipo mxn, At é do tipo nxm.

4.9.1 Propriedades da matriz transposta

Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:

a) (At)t=A;

b) (A+B)t=At+Bt;

c) (rA)t=rAt.

4.10 Matriz oposta

Chamamos de matriz oposta de A a matriz obtida a partir de A, trocando-

se o sinal de todos os seus elementos. Representamos a matriz oposta de A por -A.

Por exemplo: seja

54

03A a oposta é

54

03A .

4.11 Matriz simétrica

Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=At. por exemplo

tAA sejaou ,32

21,

32

21

tAA .




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8

4.12 Matriz anti-simétrica

Uma matriz é anti-simétrica quando sua matriz transposta for igual à sua

matriz oposta ou seja At=-A. Por exemplo:

042

401

210

A ,

042

401

210tA e

042

401

210

A .

4.13 Matriz triangular inferior

Os elementos acima da diagonal principal são todos nulos (m=n e aij=0

para i<j). Por exemplo:

3214

0010

0072

0005

A .

4.14 Matriz triangular superior

Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos (m=n e a ij=0

para i>j). Por exemplo:

800

210

342

A .

5 IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes, A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e os elementos

correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B(bij) são matrizes do tipo mxn,

então

nj

mibaBA ijij

1

1 .




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9

Exemplos:

1. Dadas as matrizes

110

52A e

15

3 yxyxB , calcular x e y para que A=Bt.

Resolução:

103

2

13

5

110

52

yx

yx

yx

yxBA t

Resolvendo o sistema, temos:

X=3 e y=-1.

2. Determinar x e y na igualdade:

5

9

4

5

log2

3

y

x

.

Resolução:

8134log 4

3 xxx

3992 yyy

(2) Exercícios

1. Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 5?

2. Determine x e y para que a matriz

21

20

y

yxA seja diagonal.

3. Escreva a matriz (At)t, quadrada de ordem 3, tal que A=(aij) e aij=3j-4i.

4. Determine x e y para que a matriz

413

142

13

y

x

M seja simétrica.

5. Determine a matriz real quadrada B de ordem 2, definida por:

jii

jib

ji

ij se 1

se 2

2.

6. Dada a matriz A=(aij)3x2, com aij=i2-j3, obter a matriz oposta de A.




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7. Sejam

81

1log27

16

1

3

2aA e

caB

b

3

92, determine a, b e c para que A=B.

8. Determine os elementos da diagonal principal, sabendo que

yxx

yyxA

3

52 é

uma matriz diagonal.

9. Dada a matriz identidade

800

013

501

3

d

b

ca

I , calcule a+b+c+d.

10. Determine a, b e c, de modo que a matriz

231

112

323

b

ca

A , seja triangular

inferior.

6. OPERAÇÕES COM MATRIZES

6.1 Adição e subtração de matrizes

6.1.1 Adição de matrizes

Dadas 2 matrizes de mesmo tipo A=(aij)mxn e B=(bij)mxn denomina-se matriz

soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B

(lembrar que A e B são matrizes de mesma ordem).

A+B=(aij+bij)mxn, onde 1 i m e 1 j n.




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11

Exemplo: Dadas as matrizes

710812

5967

612810

A e

9111014

61078

6101012

B , calcule

A+B.

Resolução:

16211826

11191315

12221822

9111014

61078

6101012

710812

5967

612810

BA

6.1.2 Subtração de matrizes

Sejam A e B duas matrizes do tipo mxn. Denomina-se diferença entre A e

B, e vamos representá-la por A-B, a soma da matriz A com a matriz oposta de B, ou

seja, A-B=A+(-B).

Exemplo: Dada as matrizes

0610

533A e

243

714B , determine A-B.

Resolução:

21013

221

243

714

0610

533BA

6.1.3 Propriedades da adição e subtração de matrizes

Dadas uma matriz A e B de ordem mxn valem as seguintes propriedades:

a) Comutativa: A+B=B+A

b) Associativa: (A+B)+C=A+(B+C)

c) Elemento neutro: A+0=0+A=A

d) Elemento oposto: A+(-A)=(-A)+A=0

e) Cancelamento: A=B A+C=B+C




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12

(3) Exercícios

1. Ache m, n, p e q, de modo que:

51

87

3

2

qq

nn

pp

mm.

2. Sejam as matrizes A=(aij)2x2, com aij=2i-j2 e B=(bij)2x2, com bij=aij+1. Calcule:

a) A-B b) B-A c) (A+B)t d) At-Bt

3. Sendo A=(aij)1x3 tal que aij=2i-j e B=(bij)1x3 tal que bij=-i+j+1, calcule A+B.


31

42

51

A ,

24

01

32

B e

10

23

16

C . Calcule:

a) A-B b) B-C c) A-B-C d) C-A+B e) At-Ct f) C-(B-A)

5. Ache x, y, z e w, de modo que:

58

01

14

32

wz

yx.

6.2 Multiplicação de matrizes

6.2.1 Multiplicação de matriz por escalar

Para multiplicar uma matriz por um escalar (número real ou complexo),

multiplicamos todos os elementos da matriz por este escalar.

Se A=(aij)mxn e k é um escalar, então kA=(kaij)mxn.

Exemplo: Dada a matriz

41

03

12

A , calcule 3.A.

Resolução:

123

09

36

4.31.3

0.33.3

1.32.3

3A




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6.2.2 Multiplicação de matriz por matriz

Dada uma matriz A=(aij)mxn e uma matriz B=(bij)nxp, o produto AB é a matriz

C=(cik)mxp, tal que o elemento cik é calculado multiplicando-se ordenadamente os

elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna k da matriz B e somando-

se os produtos obtidos, ou seja:

Cik=ai1.bik+ai2.b2k+ai3.b3k+...+aim.bmk

Da definição decorre que:

O produto das matrizes A e B existe quando o número de coluna da

matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.

O produto de duas matrizes A e B, se existir, tem o mesmo número de

linhas de A e o mesmo número de colunas da matriz B, isto é, se A é do tipo mxn e

B do tipo nxp, então AB é do tipo mxp, assim:

a) Se A é a matriz do tipo 3x4 e B é matriz do tipo 4x2, então existe a

matriz AB, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. A matriz

AB é do tipo 3x2.

Veja o esquema abaixo.

b) Se A é do tipo 3x4 e B é do tipo 3x2, não existe a matriz AB, pois o

número de colunas de A é diferente do número de linhas de B.

Exemplo:

Dadas as matrizes 32

042

321

x

A

e

430131

1053

1142

x

B

determine AxB.




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Resolução:

622816

342311

0.01.41.21.00.41.23.05.44.21.03.42.2

0.31.21.11.30.21.13.35.24.11.33.22.1

0131

1053

1142

042

321

43

32

x

x

xAxB

6.2.3 Propriedades da multiplicação

Após verificadas as condições de existência para a multiplicação de

matrizes, são válidas as seguintes propriedades:

a) Associativa: (A.B).C=A.(B.C)

b) Distributiva em relação a adição: A.(B+C)=A.B+A.C ou (A+B).C=A.C+B.C

c) Elemento neutro: A.In=In.A, onde In é a matriz identidade de ordem n.

Observações:

Não valem as seguintes propriedades:

a) Comutativa, pois, em geral A.BB.A

b) Sendo Omxn não implica, necessariamente que A=Omxn ou B=Omxn.

(4) Exercícios

1. Calcule os produtos das seguintes matrizes, se existirem:

a) 32

23

031

142

10

14

32

x

x

x

b) 22

23

11

10

11

32

10

x

x

x

c) 12

23

1

2

01

62

31

x

x

x

d) 31

13

132

1

4

2

x

x

x




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15

e)

23

22 04

22

13

11

42

x

x

x

f)

13

32 7

0

1

205

42/11

x

x

x

2. Dadas as matrizes A=(aij)6x4, tal que aij=i-j, B(bij)4x5, tal que bij=j-i, e C=A.B,

determine o elemento C42.

3. Dadas as matrizes A=(aij) e B(bij), quadradas de ordem 2, com aij=3i+4j e bij=-

4i-3j se C=A+B, então C2 é igual a?

4. O valor de x para que o produto da matrizes

13

2 xA e

10

11B seja uma

matriz simétrica, é?


31

21A ,

01

11B , calcule:

a) (A+B)2 b) A2+2.(A.B)+B2

6. Sabendo que

10

21A e

11

02B , calcule AB-BA.

7. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das afirmações relacionadas

com matrizes transpostas.

( ) Se a matriz A=(aij)2x2 é tal que aij=aji, então At=A.

( ) Qualquer que seja a matriz A, (At)t=A.

( ) Sejam A=(aij)mxn e B=(bij)nxp, então (A.B)t=At.Bt.

A sequência correta é:

a) V – V – V.

b) V – F – V.

c) F – V – F.

d) F – F – V.

e) V – V – F.




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16

8. Seja A=(aij) uma matriz nxn com n>2. A relação que gera, na matriz A, linhas cujos

elementos estão em P.A. é

a) aij=ij

b) aij=2i+j

c) aij=i/j

d) aij=i.j

e) aij=(-1)j+j

9. A matriz

fornece os preços (em reais) por kg de erva-mate, feijão, arroz e açúcar nos

mercados M1, M2, M3 e M4. Se um consumidor necessita comprar 2kg de erva-mate,

3 kg de feijão, e 5kg de arroz e 4 kg de açúcar, então a matriz que fornece os custos

(em reais) nos mercados M1, M2, M3 e M4, respectivamente, é

a) [12,80 12,20 12,70 13,60]

b) [26,40 12,40 10,50 13,80]

c) [25,40 13,80 10,50 9,00]

d) [12,80 12,40 12,70 13,60]

e) [12,80 13,80 12,70 9,00]

10. Considere as matrizes ji

aAji

xij

1

1)( 23 e kjbB xjk 32)( . O elemento

C23 da matriz produto C=A.B é

a) –11/12 b) 1/12 c) 5/12 d) 11/12 e) 1




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17

7 MATRIZ INVERSA

Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir

uma matriz indicada por A-1, tal que A.A-1=A-1.A=In.

Existe a matriz inversa somente quando o determinante da matriz for

diferente de zero.

Observações:

I é uma matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B;

Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é inversível e, em caso

contrário, não inversível ou singular;

Se a matriz quadrada A é inversível, ela é única.

Exemplo: Determinar a inversa da matriz

51

42A

Resolução:

Fazendo

dc

baA 1 . Sabemos que A.A-1=I2.

10

01

55

4242

10

01

51

42

dbca

dbca

dc

bax

pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:

6

1 e

6

5

05

142

ca

ca

ca

3

1 e

3

2

15

042

db

db

db

Portanto

3

1

6

13

2

6

5

1A .




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18

(5) Exercícios

1. Determine a inversa das matrizes:

a)

11

43A b)

021

131

001

B


57

23A e

11

11B , obtenha a matriz A.B+A-1.

3. Se

12

21A e

20

13B , então obtenha a matriz X=(A.B-1)t

4. Mostre que a inversa da matriz

11

34é

41

31.

5. Dadas matrizes

20

03A ,

53

12P e

b

aB

75

10

13

1, determine os valores

de a e b, tais que B=P.A.P-1.

(6) Exercícios complementares

1. O produto M.N da matriz

1

1

1

M pela matriz 111N :

a) não se define.

b) é uma matriz identidade de ordem 3.

c) é uma matriz de uma linha e uma coluna.

d) é uma matriz quadrada de ordem 3.

e) não é uma matriz quadrada.




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19

2. Considere a matriz quadrada de ordem 2, ji

aA ij

12

)( . Se B é a matriz inversa

de A, então B+Bt é igual a:

a)

32

22/3 b)

32

22/3 c)

64

43 d)

6/14/1

4/16/1 e)

64

43

3. A matriz quadrada A=(aij) de ordem 2, onde

. se .cos

se 1.sen

jij

i

jij

i

aij

tem como

inversa a matriz A-1 igual a

a)

10

01 b)

10

01 c)

10

11 d)

11

01 e)

11

01

4. Considere as matrizes quadradas de ordem 2, A=(aij) onde )(2

1jiaij e B=(bij)

onde jibij . A matriz X=4A2-6B é igual a

a)

10

01 b)

11

01 c)

11

11 d)

01

10 e)

10

11

5. Sabendo que os produtos das matrizes A e B é tal que AB=I2, podemos afirmar

que:

a) A2x3 e B3x2

b) A2x2 e B2x2

c) A2x1 e B1x2

d) todas as opções anteriores são corretas

e) nenhuma resposta

6. Se aij é uma matriz de ordem 3x4 definida por

ji

jiaij

se ,1

se ,5, então o valor de

a32.a34.a22 é:

a) –125 b) –25 c) –5 d) 5 e) 25




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20


52

3xA e

1

35

yB , os valores de x e y,

respectivamente, para que

10

01.BA :

a) 2 e –1 b) 1 e 2 c) –1 e –2 d) –1 e 2 e) –1 e 1

8. Se

102

12 xxA ,

10

4

2

B ,

6

20C e A.B=C, então log4x é:

a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) 0

9. A matriz A=(aij)3x3 é definida de tal modo que

ji

jia

ji

ij se ,0

se ,)1(, então A é:

a)

011

101

110

b)

100

010

001

c)

011

101

110

d)

100

010

001

e)

011

101

110

10. Sejam

a

aX

2

1 e

28

42Y onde a se X2=Y, então a é:

a) –2 b) –1 c) – ½ d) 1 e) ½




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21

GABARITOS

(1) 1. a) 2x3 b) 1x3 c) 3x1 d) 3x3 2. a) 3 -2 5 b) –4 4 -7 c) a23=0 d) a32= -4

3. 2x2; 1x4; 4x1 4.

765

432 5. a)

543

432 b)

21

52 c)

054

503

430

(2) 1. 25 elementos 2. x=2 e y=1 3.

369

625

921

4. x=3 e y=½ 5.

55

82B

6.

18

43

70

7. a= -3; b= -4; c= -4 8.

80

01 9. –3 10. a=0; b= -1; c=

2

3

(3) 1. m=5; n=2; q= -1; p=2 2. a)

11

11 b)

11

11 c)

13

73 d)

11

11

3. 222 4. a)

15

41

83

b)

14

22

28

c)

05

62

93

d)

05

62

93

e)

266

115 f)

25

24

79

5. x= -3; y=3; z=12; w= -6.

(4) 1. a)

031

4139

2171

b)

21

13

11

c)

2

10

1

d)

132

4128

264

e) não existe o produto f)

19

27 2. C42=2 3.

10

01 4. x=1

5. a)

90

54 b)

81

55 6.

20

22 7. e 8. d 9.d 10. c.

(5) 1. a)

31

41 b)

231

21

210

21

001

2.

155

36 3.

61

65

32

31

X

5. a=24 e b= -11.

(6) 1. d 2. c 3. e 4. a 5. b 6. b 7. d 8. c 9. a 10. a




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22

DETERMINANTES

1. DEFINIÇÃO

A toda matriz quadrada de ordem n, podemos associar, através de certas

operações, um número real chamado determinante da matriz.

Representa-se o determinante da matriz

54

21A como

54

21det A ou

54

21 .

2 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 1

O determinante da matriz A=(a11) é o próprio número real a11.

Exemplo: Seja a matriz A=(2) logo det A=|2|=2

3 MENOR COMPLEMENTAR

Chama-se menor complementar de um elemento aij de um determinante

, um novo determinante, representado como Dij, que se obtém suprimindo a linha i

e a coluna j que passam por aij de .

Exemplos: 1. O menor complementar do elemento 5 (2º linha e 3º coluna) é: Resolução:

713

21

813

570

421

23

D

2. O menor complementar do elemento –2 é:

Resolução:

6665

4211

D




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23

4 ADJUNTO OU COFATOR OU COMPLEMENTO ALGÉBRICO

Cofator (cof) de um elemento aij de uma matriz, é o produto do menor

complementar deste elemento pelo fator (-1)i+j.Dij, ou seja, Aij=(-1)i+j.Dij.

Exemplos:

1. Calcule o cofator do elemento a21 do determinante 40

32 .

Resolução:

3)3).(1(3.)1(.)1(40

323

21

12

21

DA

2. O complemento algébrico ou cofator do elemento 1 é:

Resolução:

26)620.(141

65.)1(.)1(

418

652

3412

11

11

11

DA

5. DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 2

Dada a matriz

2221

1211

aa

aaA , o det A é a soma dos produto dos

elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

Calculando:

A11=(-1)1+1.|a22|=a22

A12=(-1)1+2.|a21|=-a21

A21=(-1)2+1.|a12|=-a12

A22=(-1)2+2.|a11|=a11.

Desenvolvendo pela 1º linha:

det A=a11.A11+a12.A12=a11.a22+a12.(-a21)=a11.a22-a12.a21 (I)




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24

Desenvolvendo pela 2º linha:

det A=a21.A21+a22.A22=a21.(-a12)+a22.a11=-a21.a12+a22.a11 (II)

Desenvolvendo pela 1º coluna:

det A=a11.A11+a21.A21=a11.a22+a21.(-a12)=a11.a22-a21.a12 (III)

Desenvolvendo pela 2º coluna:

det A=a12.A12+a22.A22=a12.(-a21)+a22.(-a11)=-a12.a21+a11.a22 (IV)

Concluí-se que (I)=(II)=(III)=(IV).

Exemplo: Calcule o determinante de 75

21A .

Resolução:

Desenvolvendo-se pela 1º linha temos:

det A=a11.A11+a12.A12=(-1)1+1.1.|7|+(-1)1+2.2.|5|=7-10=-3

Regra prática:

Consideremos a matriz

2221

1211

aa

aaA , o determinante de uma matriz de

ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o

produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja,

21122211

2221

1211..det aaaa

aa

aaA

Exemplo:

1. Ache o valor do determinante 34

10 .

Resolução:

4404).1(3.034

10




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25

2. Ache o valor do determinante 25

73.

Resolução:

413565.72.325

73

(1) Exercícios

1. Calcular o cofator do elemento a21 da matriz A=(aij)2x2, onde aij=2j+1, se ij; i+j, se

i=j.

2. Resolva as equações:

a) 32

13

x

xx b) 0

75

2

xx c) 0

5

x

xx

3. Sabendo que 0 x 2, resolva a equação 22

75

sen1

3sen

x

x.

4. Calcular o cofator dos elementos a12 e a22 da matriz

52

31A .

5. Calcular o valor do determinante das matrizes seguinte, usando a definição.

a)

83

10A b)

52

31B

6. Calcular o valor do determinante, usando a regra prática.

a) 23

59

b)

yx

yx

c)

aa

aa

cossen

sencos

7. Sendo A=(aij) uma matriz de ordem 2 e aij=j-i2, calcular o determinante da matriz

A.




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26

8. Seja A=(aij) uma matriz quadrada de 2º ordem, tal que aij=i2+i.j . Calcule det A.

9. Sendo

20

31A e

02

31B , calcule det (AB).

10. Ache o valor dos determinantes:

a) 13

25

b)

512

151

c)

231

123

d) ba

ba 11 e)

32

46


Dada a matriz

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A , chama-se det A a soma dos produtos

dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

Desenvolvendo-se pela 1º linha:

(I) ............

)..()..()..(

.)1.(.)1.(.)1.(

...det

312213332112322311332113312312332211

312232211331233321123223332211

3231

222131

13

3331

232121

12

3332

232211

11

131312121111

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

AaAaAaA

Desenvolvendo-se pela 3º coluna:

)( ............

)..()..()..(

.)1.(.)1.(.)1.(

...det

211233321123312213221133311223322113

211222113331123211233122322113

2221

121133

33

3231

121132

23

3231

222131

13

333323231313

IIaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

AaAaAaA

Concluí-se que (I)=(II).




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27

Exemplo: Calcule o determinante da matriz

311

212

713

A , pela 1º linha e 2º

coluna.

Resolução:

1º linha:

167815)12(7)26(1)23(3

11

12.)1.(7

31

22.)1.(1

31

21.)1.(3det 312111

A

2º coluna:

168168)146(1)79(1)26(1

22

73.)1.(1

31

73.)1.(1

31

22.)1.(1det 232221

A

Regra prática: Regra de Sarrus

Sendo A uma matriz quadrada de 3º ordem, seu determinante será

calculado através da “Regra de Sarrus”: repete-se as duas primeiras colunas a

direita da matriz (ou as duas primeiras linhas após a 3º linha) e adiciona-se o produto

dos elementos da diagonal principal ao produto de suas paralelas, subtraí-se deste

resultado o produto da diagonal secundária e o das suas paralelas a ela.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz

311

212

713

A .

Resolução:

166671429

)3).(2).(1()1).(2).(3()1).(1).(7()1).(2).(7()1).(2).(1()3).(1).(3(

11311

12212

13713

311

212

713




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28

(2) Exercícios

1. Seja a matriz quadrada de 3º ordem e que aij=2i-j, calcular o cofator do elemento

a12?

2. Calcular o valor do determinante das matrizes seguintes usando a definição:

a)

412

011

302

A b)

510

31

02

y

y

B

3. Calcule usando a regra de Sarrus:

a)

432

314

523

b)

524

132

030

c)

034

111

022

d)

610

240

350

4. Resolver as equações, sendo x.

a)

314

012

3

3

22

2xx

x

x

b) 5

21

12

113

x

x

5. Seja S=(sij) a matriz quadrada de ordem 3, onde

jiji

jiji

ji

sij

,

,

,0

, calcular o valor

do determinante de S.

6. O determinante da matriz B=(bij) de ordem 3, onde

jiji

sebij

se ,4

ji ,0, é igual a:

a) –180 b) –162 c) 0 d) 162 e) 180




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29

7. Calcule o valor de 3.det (A) –2.det (B)+5.det (C)=0, sendo

35

2 xA ,

31

2 xxB ,

2/3

24

x

xC .

a) 2 b) 1 c) 0 d) –2 e) –4

8. Sabendo que 22

31a e

311

122

131

b , calcule a2-2b.

9. Ache o valor do determinante da matriz P2, sabendo que

220

112

112

P .

10. Considere as matrizes

xzz

xyy

zyx

A ,

xzyz

zxyxB e

42

64C . Sabendo

que a matriz B é igual à matriz C, calcule o determinante da matriz A.


O determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos

de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores (Teorema de Laplace).

Exemplo: Calcule o determinante

1001

1153

0201

2102

A .

Resolução:

45)9.(5.5.0.5.0.0det 3242322212 AAAAAA

9144.1144.1

101

021

212

.)1( 23

32

A




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30

8 MATRIZ COFATORA

Dada a matriz quadrada A(aij)mxn chama-se matriz cofatora de A a matriz

B=(bij)mxn cujos elementos são cofatores dos elementos correspondentes de A.

j e i , ijij AbAcofB .

Exemplo: Seja a matriz

115

123

321

A , determine a B cofatora de A.

Resolução:

1)12.(111

12.)1( 11

11 A 2)53.(115

13.)1( 21

12 A

7)103.(115

23.)1( 31

13 A 1)32.(111

32.)1( 12

21 A

14)151.(115

31.)1( 22

22 A 9)101.(115

21.)1( 32

23 A

4)62.(112

32.)1( 13

31 A 8)91.(113

31.)1( 23

32 A

4)62.(123

21.)1( 33

33 A

Portanto a matriz

484

9141

721

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

B

9 MATRIZ ADJUNTA

A transposta da matriz cofatora de A é chamada matriz adjunta de A.

tAcofAAdj

Exemplo: Seja a matriz

115

123

321

A , determine a matriz Adj A.




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31

Resolução:

Cálculo da matriz cofatora

Pelo exemplo anterior sabemos que a matriz cofatora de A é

484

9141

721

B .

Cálculo da matriz transposta

484

9141

721

B e

497

8142

411tB

Portanto a ttBAcofAAdj

Logo

497

8142

411

A Adj .

10 INVERSÃO DE MATRIZES COM AUXÍLIO DA TEORIA DOS DETERMINANTES

Dada a matriz quadrada A=(aij)mxn se 0det A , então existe a inversa de

A e esta é dada por:

tcof

AA A .

det

11 ou A .det

11 AdjA

A

Exemplo: Determine a inversa da matriz

31

12A se existir, com o auxilio dos

determinantes.

Resolução:

Cálculo do determinante

71631

12det

A




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32

Cálculo da matriz cofatora

31

12A ,

21

13

2221

1211

AA

AABAcof

33.)1( 11

11 A 1)1).(1(1.)1( 21

12 A

11).1(1.)1( 12

21 A 22.)1( 22

22 A

Cálculo da matriz adjunta

ttBAcofAAdj

21

13

21

13

t

AAdj

Cálculo da inversa da matriz

A .det

1A .

det

11 AdjA

cofA

At

7

2

7

17

1

7

3

21

13.

7

11A

Observações:

1. Uma matriz quadrada que possui seu determinante diferente de zero é

chamada matriz regular ou não-singular. Logo, é inversível.

2. Uma matriz quadrada que possui seu determinante igual a zero é

chamada matriz não regular ou singular. Logo, não é inversível.

(3) Exercícios

1. Se

011

213

112

A e 1)( 2 xxxf , calcule

Af

det

1.

2. Determine a inversa da matriz

xx

xxA

sencos

cossen, caso exista.




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33

3. Verifique se matriz

31

06A admite inversa, caso positivo, calcule-a.

4. Calcule x para que exista a inversa da matriz

x

xA

12

01

233

.

5. Calcular a inversa das matrizes, caso exista:

a)

41

32A b)

751

432

321

B

11 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

1º) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o

determinante dessa matriz é nulo.

Exemplos:

1. 0)000()000(

51051

42042

13013

051

042

013

2. 0)000()000(

00000

35135

21821

000

135

821

2º) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

1.

055)41524()41524(

13213

42542

13213

213

542

213




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34

2.

044)6212()2612(

13313

42242

11111

313

242

111

3º) Se duas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é

nulo.

Exemplos:

1.

0130130)808030()808030(

10510105

34834

21221

10105

834

221

.5 13

LL

2.

05050)80030()08030(

051005

34834

21221

1005

834

221

.2 13

CC

4º) Se o elemento de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos

elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Combinações lineares de duas ou mais filas paralelas de um determinante

é uma fila paralela às filas consideradas, representados pela soma dos produtos das

filas por números reais.

Exemplos:

1.

01313)02815()805(

431-4-3

52752

01101

143

752

101

213

CCC

2.

077)46360()54565(

941-94

527-52

21321

194

752

321

.2 213

LLL




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35

5º) O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de

uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

22123)089()2401(

43143

12212

01301

143

212

301

222547)0833()4801(

4111-411

142-14

01301

1411

214

301

.2 211

CCC

226341)0063()4807(

431-43

74-07-4-

01301

143

074

301

.2 322

LLL

6º) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

Seja a matriz

54

23A , calcule det A e det At.

23)8(1554

23det

A

23)8(1552

43det

tA

Portanto det A=det At.




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36

7º) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz,

o determinante fica multiplicado por esse número.

Exemplo:

23)89()2400(

43043

12212

01301

043

212

301

A

46)01618()4800(

46046

14214

02302

046

214

302

.2 11

CC

ou seja, det A=23, como multiplicamos a coluna 1 por 2 o det A fica multiplicado

também por 2, o novo det A=46.

8º) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma

matriz muda de sinal.

Exemplo:

23124)089()2400(

43043

12212

01301

043

212

301

23241)2400()089(

01301

12212

43043

301

212

043

23241)0240()809(

40340

12212

03103

340

212

103

9º) Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são

todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

1. 8)000()008(

73273

42042

01001

273

042

001




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37

2. 8)000()008(

00200

40240

71171

200

240

171

10º) O determinante do produto das matrizes A e B é igual ao produto do

determinante A pelo determinante B, ou seja ).det(det.det BABA .

Exemplo:

Sejas as matrizes

43

21A e

83

15B .

3527

1711

3231215

16165

83

15.

43

21.BA

744593853527

1711).det( BA

26443

21det A 37340

83

15det B

).det(7437).2(det.det BABA

11º) Multiplicando-se a matriz A de ordem n pelo número real k obtém-se a matriz

k.A, de modo que AkAk n det.).det( .

Exemplo:

Seja a matriz

42

31A de ordem 2 e k=2.

84

62

42

31.2.Ak

8241684

62).det( Ak

26442

31det A

8)2.(4)2.(2det. 2 Ak n ,

portanto AkAk n det.).det(




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38

(4) Exercícios

1. O determinante de uma matriz é 36. Se multiplicarmos a segunda linha dessa

matriz por 2 e dividirmos sua primeira coluna por 9, o determinante da nova matriz

será:

a) 72 b) 4 c) 8 d) 162 e) –162

2. Dada a matriz

124

212

213

A , calcule o determinante de 3A.

3. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, tal que determinante de A0, A2+2A=0,

calcule det A.

4. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, det A=5, calcular o determinante de 2A.

5. Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 2, se det A=2 e det B=3, calcule det

(2A3.B3).

6. Sabendo que a matriz A é tal que det A=5, calcule det A-1.

7. Calcule os determinantes através das propriedades, justificando os valores

obtidos:

a)

152

311

243

b)

8432

10941

9653

8432

c)

1302

2804

4903

5102

d)

5000

3400

9230

5421

8. Se det A=20, calcule det (A)t.

9. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A=6

e det B=4, calcule det (A.B).




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39

10. O valor de um determinante de 5º ordem é 42. Se dividirmos a 1º linha por 7 e

multiplicarmos a 1º coluna por 3, o valor do novo determinante será?

11. O determinante de uma matriz quadrada A vale 12. Quando valerá o novo

determinante, se multiplicarmos a 2º linha da matriz por 8 e dividirmos a 3º coluna

por 4?

12. Se A é uma matriz quadrada, At a sua transposta e det A=4, então det At é igual

a:

a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) ¼

13. Multiplicando-se a 1º linha da matriz A por 2 e a segunda por 3, obtém-se a matriz

B. Se det A=5, então det B é:

a) 5 b) 6 c) 10 d) 15 e) 30

14. O determinante de uma matriz quadrada é 35. Trocando-se entre si a 1º linha

com a 2º linha e dividindo a 4º coluna por 7, o novo valor do determinante será:

a) 5 b) –5 c) 245 d) –245 e) 8

15. Se 121296

321

zyx

, então

321

1296

zyx

vale:

a) –4 b) –4/3 c) 4/3 d) 4 e) 12

16. Se 10312

203

cba

, então

cba

406

624

é igual a:

a) 40 b) 20 c) –10 d) –20 e) –40

17. Uma matriz A de terceira ordem tem determinante 3. O determinante de 2A é:

a) 6 b) 8 c) 16 d) 24 e) 30




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40

18. Se A é uma matriz quadrada de 4º ordem e det A=6, então det 3A é igual a:

a) 6 b) 12 c) 486 d) 243 e) 81

19. Se A é uma matriz quadrada de terceira ordem e det A=4, desta forma det 2A é

igual a:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

20. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A=5 e

34

12.BA , então

det B é:

a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10


1. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e O a matriz nula de ordem n. Então,

a afirmativa correta é a seguinte:

a) Se At é a matriz transposta de A, então det At det A.

b) Se det A0, existe a matriz inversa A-1 e tAcofA

A ) .(det

11 , onde cof A é a matriz

dos cofatores de A.

c) Se A.B=O, então A=O ou B=O.

d) (A-B)2=A2-2AB+B2.

e) Se k, então det (kA)=k(det A), para todo k.

2. Sejam A, B e C matrizes reais 3x3, tais que A.B=C-1, B=2A e det C=8. Então o

valor de |det A| é

a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16




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41

3. Analise as afirmativas a seguir.

I. A matriz

)2(24

0

)1(22

cc

xb

aa

é inversível se x=2b.

II. Se det (AB)=m, pode-se garantir que existe det A e det B.

III. Se det A=m0 e det B=1/m, então det (AB)=1.

Está(ão) correta(s)

a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) I, II, III.

4. Seja A matriz 2x2 com determinante não-nulo. Se det A2=det (A+A), então det A é

a) –4 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16

5. Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A=det B0, então

1.2

1det BAt é igual a

a) n2

1 b) ½ c) tAdet

2

1 d) A

ndet

2

1 e) n2

6. Dada a matriz

xx

x

A

1

134

11

, com x, o intervalo real para o qual det At<0

x é

a) (-, 0[ b) ]0, ) c) [-1, 0[ d) ]0, 2] e) ]-1, 4/3[

7. Considere uma matriz Anxn, onde A=(aij). Pode(m)-se afirmar:

I. AA n det.2.2det 2/ .

II. Se a1j=a2j, 1 j n, então det A=1.

III. Se det A0, então det A.det A-1=1.

Está(ão) correta(s)

a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas III. e) apenas I e III.




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42

8. Dadas a matrizes quadradas

32

12A ,

10

01I e sendo x um número real,

considere a matriz A-xI.

Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.

( )

x

xxIA

32

12.

( ) det (A-xI)0 para todo x real.

( ) A-xI é inversível se x1 e x4.

A sequência correta é

a) V – F – F. b) F – V – F. c) V – V – V. d) F – F – V. e) V – F – V.

9. As afirmações a seguir referem-se a matrizes e determinantes. Assinale V nas

verdadeiras e F nas falsas.

( ) A solução da equação 8

1000

302

211

000

x

x

x

é 4.

( ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e A=kB, com k número real, então

det A=kn(det B).

( ) Se A é uma matriz de ordem mxp e B é uma matriz de ordem qxn, o produto

A.B é definido se p=q e, nesse caso, a ordem da matriz produto A.B será mxn.


a) V – F – V. b) V – F – F. c) F – V – F. d) F – V – V. e) F – F – V.

10. Considere a equação 1

010

sen10cos1

cos0sen

xx

xx

A soma de suas soluções, no intervalo 0 x 2, é igual a

a) -/2 b) 0 c) 1 d) /2 e) 3/2




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43

GABARITOS

(1) 1. –5 2. a)

1,

3

5S b) 5S c) 5,0S 3.

2

3,

2

S

4. A21= -2 e A22=1 5. a) –3 b) 11 6. a) –3 b) 0 c) 1 7. 3 8. –2 9. –12

10. a) 11 b) –2 c) 2 d) b–a e) 26

(2) 1. –4 2. a) 5 b) 5y2-16 3. a) 15 b) 42 c) 2 d) 0

4. a)

8

3,0S b) 2,1S 5. 48 6. d 7. D 8. 36 9. 64 10. 4

(3) 1. 4

3 2.

xx

xx

sencos

cossen 3.

3

118

1

06

1 4.

1" e 3

4'/ xxxS

5. a)

52

51

53

54

b) Não existe inversa

(4) 1. a 2. 135 3. 16 4. 40 5. 864 6. 5

1

7. a) 0, 4º propr. b) 0, 2º propr. C) 0, 1º propr. d) -60, 9º propr.

8. 20 9. 24 10. 18 11. 24 12. a 13. e 14. b 15. e

16. e 17. d 18. c 19. d 20. c.

(5) 1. b 2. b 3. c 4. c 5. a 6. e 7. e 8. e 9. d 10. e




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44

SISTEMAS LINEARES

1. DEFINIÇÃO

Consideremos uma equação da forma: a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1, onde

a1, a2,a3, ..., an e b são números conhecidos e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis .

Uma equação desse tipo é chamada equação linear de n incógnitas sobre

.

Exemplos:

1. 5x1=40

2. 2x1+x2=12

3. x1+x2+x3=15

4. 3x1-4x2+x3-5x4=10

Nomenclatura:

Coeficientes: são os números reais a1, a2,a3, ..., an.

Termo independente: é o número real b1.

Incógnitas: são os números reais x1, x2, x3, ..., xn.

Observação:

Não são lineares, por exemplo, as equações:

1. 342 2 yx , pois a incógnita x tem expoente 2. Nas equações lineares, o

expoente de cada incógnita é sempre 1.

2. 032 zyx , pois a incógnita y tem expoente ½ .

3. 32

yx , pois a incógnita y tem expoente –1.

4. 142 zxyx , pois existe um termo com o produto xy. Nas equações lineares,

as incógnitas aparecem isoladamente em cada terno.




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45

2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

Consideremos a equação linear de n incógnitas sobre :

a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1

Chama-se solução dessa equação a uma seqüência de n números reais

(1, 2, 3, ..., n) tal que, substituindo-se respectivamente as incógnitas:

x1 por 1, x2 por 2, x3 por 3, ..., xn por n

obtém-se a igualdade verdadeira:

a11+a22+a33+...+ann=b1

Exemplos:

1. O par (5,3) é solução da equação:

2x+4y=22, pois 2.5+4.3=22.

2. A ordenada (1,2,0,3) não é a solução da equação:

3x+2y-5z-t=32, pois 3.1+2.2-5.0-3=432.

3. EQUAÇÕES LINEARES

É toda a equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b, onde:

a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;

x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas

Exemplos:

1. 3x1+5x2=4 , equação linear de 2 incógnitas;

2. 3x+2y-z=1, equação linear de 3 incógnitas;

3. x+y+z-t=-1, equação linear de 4 incógnitas.

Observações:

1. Observe que os expoente das incógnitas são iguais a um;




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46

2. Quando o termo independente “b” for igual a zero, a equação linear denomina-se

equação linear homogênia, por exemplo 5x-3y=0;

3. Uma equação linear não apresenta termos da forma x2, xy, x½, ..., isto é, cada

termo da equação linear tem uma incógnita, cujo expoente é sempre 1.

4. A solução de uma equação linear an incógnitas é a sequência de números reais,

(1, 2, 3, ..., n) que colocamos respectivamente no lugar de x1,x2,x3, ...xn, que

tornam verdadeira a igualdade dada.

(1) Exercícios

1. Ache duas soluções de equação –x1+x2=0.

a) x1=-3 b) x1=1

2. Determine “m” para que (-1, 1, -2) seja solução da equação mx+y-2z=6.

3. Dada a equação 132

yx ache para que (, +1) torne a sentença verdadeira.

4. SISTEMAS LINEARES

4.1 Definição

Chama-se sistema linear a um conjunto formado por duas ou mais

equações lineares.

Exemplos:

1.

23

421

yx

yxSL SL1 é um sistema linear de duas equações e duas incógnitas.

2.

12

0322

zyx

zyxSL SL2 é um sistema linear de duas equações e três incógnitas.




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47

3.

628

123

2

3

yx

yx

yx

SL SL3 é um sistema linear de três equações e duas incógnitas.

Um sistema linear de m equações (m 2) de n incógnitas (x1, x2, x3, ...,

xn) pode ser assim escrito:

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

SL

. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

. . .

. . .

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Veja que, nesta notação, os coeficientes das incógnitas possuem dois

índices: o primeiro representa a equação e o segundo representa a incógnita à qual

o coeficiente pertence. Por exemplo:

a23 representa, na 2º equação, o coeficiente de x3.



4.2 Solução e conjunto solução de um sistema linear

Já sabemos em que condições uma sequência de números reais (1, 2,

3, ..., n) é a solução de uma equação linear de n incógnitas.

Para que uma sequência de números reais seja solução de um sistema

linear de m equações a n incógnitas, ela deve ser, simultaneamente, solução de

todas as m equações desse sistema.

Exemplos:

1. Considere este sistema linear:

42

73

yx

yx




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48

Neste sistema de duas equações a duas incógnitas, toda solução é um

par ordenado (pois são duas as incógnitas). Veja que o par ordenado (1, 2) é a

solução do sistema, pois:

421.2

72.31.

2. Considere o sistema linear:

0

6

zyx

zyx

Como agora temos três incógnitas, cada solução será uma terna

ordenada de números. Veja que as ternas (3, 1, 2) e (3, 3, 0) são soluções do

sistema, pois:

0033

6033 e

0213

6213.

O conjunto solução de um sistema linear é o conjunto formado

por todas as soluções desse sistema.

Se o conjunto ordenado de números reais (1, 2, 3, ..., n) satisfazer

todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.

Observação: Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo,

isto é, b1=b2=...=bn=0 o sistema linear será dito homogêneo.

Exemplo:

0325

04

02

zyx

zyx

zyx

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x=y=z=0. Esta

solução chama-se solução trivial do sistema linear homogêneo. Outra solução, onde

as incógnitas não são todas nulas, será chamada solução não trivial.




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49

0. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

0. . .

0. . .

0. . .

332211

3333232131

2323222121

1313212111

nmnmmm

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

Solução trivial: x1=x2=x3=...=xn=0

Solução não trivial: qualquer outra solução as incógnitas não são todas

nulas.

(2) Exercícios

1. Seja o sistema

2

52

032

zyx

zyx

zyx

S

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução do sistema.

b) Verifique se (0, 0, 0) é a solução do sistema.

2. Seja o sistema

32

93 2

kyx

kyx, calcule k para que o sistema seja homogêneo.

5. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES

Se dois sistemas lineares S1 e S2 admitem a mesma solução, eles são

ditos sistemas equivalentes.

Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas:

52

1

yx

yx e

2

1

mynx

nymx




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50

Resolução:

Cálculo do x e y:

1121

2 x

63x

52

1

yyyxyx

yx

Substituindo-se x e y no segundo sistema, vem:

155

442

12

)2.(22

12

n

n

nm

nm

mn

nm

00211212 mmmnm

Portanto n=1 e m=0.

(3) Exercícios

1. Verifique se os sistemas

7

521

yx

yxS e

93

1152

yx

yxS são equivalentes.

2. Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas:

2

0

yx

yx e

1

1

aybx

byax

6. EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução

de um sistema de equações lineares. Seja o sistema linear:

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

. . .

. . .

332211

33333232131

22323222121

11313212111




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51

Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

nnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

.

.

.

.

.

.

...

......

......

......

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

(1) (2) (3)

(1) matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas;

(2) matriz coluna constituída pelas incógnitas;

(3) matriz coluna dos termos independentes.

Exemplo: Represente o seguinte sistema na forma matricial:

827

1634

052

zyx

zyx

zyx

Resolução:

Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma:

8

1

0

217

634

152

z

y

x

x

Observe que se efetuarmos a multiplicação iremos obter o sistema dado.

Observação:

Seja o sistema

2

52

yx

yx

1. Matriz completa: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos

termos independentes.

211

512

2. Matriz incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

11

12




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52

3. Matriz das incógnitas: é a matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.

y

x

4. Matriz dos termos independentes: é a matriz coluna formada pelos termos

independentes do sistema.

2

5

(4) Exercícios

1. Expresse matricialmente os sistemas:

a)

03

52

yx

yx b)

253

0

12

cba

ca

cba

2. A expressão matricial de um sistema S é

7

4

13

52

b

ax , determine as

equações de S.

3. Dados os sistemas, obtenha as matrizes completas associadas:

a)

1832

3

xy

xy b)

yzx

zyx

yx

zyx

232

2362

4

61485

4. Dadas as matrizes completas, escrever os sistemas a elas associados:

a)

6339

2113 b)

312

013

201

532




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53

7 SISTEMA LINEAR NORMAL

É um sistema linear de n equações e n incógnitas em que o determinante

da matriz dos coeficientes das incógnitas é diferente de zero.

Considere os seguintes sistemas:

a)

1

521

yx

yxS , S1 é um sistema normal, pois 0

11

12

b)

532

42

zyx

zyxS , S2 não é um sistema normal, porque o número de

equações é diferente do número de incógnitas.

c)

32

12

172

542

3

zyx

zyx

zyx

S , S3 não é um sistema normal pois 0

2

121

721

421

.

Resumo:

0 .

º º .

incógnitasdascoefmatriz

incógnitasnequaçõesnNormalLinearSist

(5) Exercícios

1. Verifique se os sistemas abaixo são normais:

a)

42

5232

1

zyx

zyx

zyx

b)

943

0

832

yx

zyx

zyx

2. Determine os valores de k (k), para que os sistemas sejam normais:

a)

194

732

1

2 zyxk

zykx

zyx

b)

kyxk

kyxk

312)1(

24)1(




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54

8 REGRA DE CRAMER

A Regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema

linear normal. Consideremos o sistema de “n” equações lineares a “n” incógnitas.

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

. . ... . .

...

...

2211

22222121

11212111

Consideremos os seguintes determinantes, cujas matrizes são formadas

com os coeficientes do sistema dado:

a) Determinantes dos coeficientes:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

b) Determinantes das incógnitas:

mnmn

n

n

aab

aab

aab

x

...

............

...

...

2

2222

1121

1

x1 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos

coeficientes x1 pela coluna dos temos independentes.

mnnm

n

n

aba

aba

aba

x

...

............

...

...

1

2221

1111

2

x2 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos

coeficientes x2 pela coluna dos temos independentes.




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55

E assim sucessivamente, até xn

nmm

n

baa

baa

baa

x

...

............

...

...

21

22221

11211

Para obtermos sua solução, calculamos:

1º) () determinante da matriz formada pelos coeficientes das variáveis

do sistema.

2º) (x1, x2, ..., xn) determinantes das matrizes obtidas a partir de ,

substituindo a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos independentes do

sistema.

3º) A solução do sistema linear é dada por:

..., , , 2

2

1

1

n

n

xx

xx

xx .

Exemplo: Encontrar a solução do sistema

03

72

yx

yx.

Resolução:

76113

21

710

27

x 1

7

7

xx

2103

71y 3

7

21

yy

S={(1,3)}




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56

(6) Exercícios

1. Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.

a)

432

52

yx

yx b)

93

143

yx

yx

c)

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

d)

6

32

32

cba

cba

cba

e)

2223

103

342

zyx

zyx

zyx

f)

03

05

010

zy

zx

yx

9 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Seja o sistema linear de “n” equações a “n” incógnitas.

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

. . ... . .

...

...

2211

22222121

11212111

Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou indeterminado.

Utilizando a Regra de Cramer, temos:

..., , , 2

2

1

1

n

n

xx

xx

xx .

Sistema possível ou compatível (quando admite solução):

Sistema possível determinado (admite uma única solução), 0.

Sistema possível e indeterminado (admite infinitas soluções),

0...21 nxxx .

Sistema impossível ou incompatível (quando não admite soluções),

=0 e pelo menos um dos xn0.




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57

Exemplos:

1. Encontrar a solução do sistema

1

23

yx

myx.

Resolução:

mm

311

3, m

mx

2

11

2, 123

11

23y

Discussão:

0:

S.P.D.: 0, -3-m0, m-3.

S. P. I.: Não existe m, pois y0

=0

S.I: =0, m=-3 e y0.

2. Determine m, de modo que o sistema

4

0

2

zyx

zmyx

yx

seja impossível ou

incompatível.

Resolução:

1

111

11

011

mm 62

114

10

012

mmx

4

141

101

021

y 66

411

01

211

mmz

Fazendo =0 -m-1=0 m=-1.

x=0 2m-6=0 m=-3.

z=0 6m+6=0 m=-1.

Sendo y=-40 quando =0 ou seja m=-1; o sistema é impossível, pois

para m=-1 teremos: 0

4x (impossível),

0

4y (impossível) e

0

0z

(indeterminado)




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58

3. Discuta e resolva o sistema

1423

122

263

zyx

zyx

zyx

.

Resolução:

0

423

212

631

Se =0, o sistema pode ser: S.P.I.? ou S.I.?

0

421

211

632

x , 0

413

212

621

y , 0

123

112

231

z

Sendo =x=y=z=0, logo o sistema é S.P.I.. Vamos agora descobrir a

sua solução geral. Fazendo z=k e usando as duas primeiras equações, vamos obter

um sistema 2x2 de incógnitas x e y, onde 0.

kyx

kyx

kyx

kyx

212

623

122

263

Temos: =5, x=-5, y=10k+5

15

5

xx e 12

5

510

k

kyy

Portando a solução geral é {(-1, 2k+1,k)}.

(7) Exercícios

1. Classifique e resolva os sistemas:

a)

123

42

yx

yx b)

4

822

yx

yx c)

122

3

yx

yx

2. Discuta os sistemas:

a)

myx

ymx 2 b)

2

1

yx

ykx




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59

3. Determine k para que o sistema indicado seja determinado:

5

23

5

kyx

kyx

yx

4. Calcule os valores de a para que o sistema

04

123

yax

yx seja compatível e

determinado.

5. Determine a e b para que o sistema

byx

ayx

44

126 seja indeterminado.

6. Discutir e resolver o sistema

3734

2523

12

zyx

zyx

zyx

.

10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Como já vimos, um sistema linear homogêneo é formado por equações

cujos termos independentes são todos nulos.

Todo o sistema linear homogêneo é sempre possível pois admite a

solução (0, 0, 0), chamada solução trivial.

Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre x1=0, x2=0,

..., xn=0 (pois sempre uma coluna será toda zero, logo, pela propriedade, o

determinante é nulo). Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo

é suficiente o estudo dos determinantes das incógnitas.

Sistema possível determinado, 0 (o sistema admite a solução trivial

e sem soluções próprias).

Sistema possível e indeterminado, =0 (o sistema admite a solução

trivial e soluções próprias).




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60

Exemplos:

1. Verifique se o sistema

0

023

yx

yx é determinado (0) ou indeterminado (=0).

Resolução:

0511

23

S.P.D, como 0, o sistema é determinado.

2. Calcule o valor de m para que o sistema

0

0

0

zyx

mzyx

zyx

tenha somente a solução

trivial.

Resolução:

Para que o sistema tenha somente a solução trivial, isto é, seja

determinado, é necessário que 0.

221111

111

11

111

mmmm

1 022 mm

1/ mmS .

3. Calcule o valor de a para que o sistema

0

0

ayax

yax tenha soluções diferentes da

trivial.

Resolução:

Para ter soluções diferentes da trivial o sistema tem que ser possível e

indeterminado, isto é, =0.

11

2 aaaaaa

a




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61

101

00

aa

a

Portanto {0,1}.

(8) Exercícios

1. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.

a)

086

043

yx

yx b)

03

0422

0

zyx

zyx

zyx

c)

04

03

02

yx

zyx

zyx

2. Determine m para que o sistema

023

054

032

zmyx

zyx

zyx

tenha soluções próprias.

3. Calcule o valor de , para que o sistema

01

0

0

zyx

zyx

zyx

admita soluções

distintas de (0, 0, 0).

4. Qual deve ser o valor de k para que o sistema

0

3

253

kzx

zyx

yzx

admita somente a

solução nula?

5. Classifique e resolva os sistemas:

a)

014

042

032

zx

zyx

zyx

b)

096

064

yx

yx c)

042

0

053

zyx

zyx

zyx




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62

11 SISTEMAS ESCALONADOS

11.1 Definição

Um sistema linear se diz escalonado (em forma de escada) se o número

e coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumentar de equação a

equação, de cima para baixo, até que restem, eventualmente, no final, equações

com todos os coeficientes das incógnitas nulos.

Exemplos:

1.

100

520

4

1

zyx

zyx

zyx

S 2.

55000

83200

520

2

2

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

S

11.2 Método da eliminação gaussiana

Consiste em substituir o sistema dados por outro que lhe seja equivalente

e mais simples, chamado sistema escalonado. Este método é também chamado de

método de escalonamento parcial.

Exemplos:

1.

22z

3z2y

423

1

zyx

S 2.

3

22

12

62

2

t

tz

tzy

tzyx

S

Procedimentos para escalonar um sistema:

1. Fixamos como primeira equação uma das que possua o coeficiente da

primeira variável diferente de zero;

2. Utilizando as operações elementares, anulamos todos os coeficientes

da primeira variável das demais equações;

3. Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da terceira

equação;

4. Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o sistema se

torne escalonado,




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63

Exemplos: 1. Resolver o sistema

50572

47456

54663

zyx

zyx

zyx

.

Resolução:

50572

47456

54663

zyx

zyx

zyx

3 6 6 54

6 5 4 47

2 7 5 50

1º) Multiplicar a primeira equação por (-2) e adicionar com a segunda

equação, substituindo nesta:

50572

61870

54663

zyx

zyx

zyx

3 6 6 54

0 -7 -8 -61

2 7 5 50

2º) Multiplicar a primeira equação por (-2/3) e adicionar com a terceira


1430

61870

54663

zyx

zyx

zyx

3 6 6 54

0 -7 -8 -61

0 3 1 14

3º Multiplicar a segunda equação por (3/7) e adicionar com a terceira


786

71700

61870

54663

zyx

zyx

zyx

3 6 6 54

0 -7 -8 -61

0 0 -17/7 -85/7




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64

O sistema escalonado é:

)(

)(

)(

786

717

6187

54663

III

II

I

z

zy

zyx

De (III), obtemos 5z . Substituindo 5z em (II), obtemos 3y e

substituindo esses valores em (I), teremos 2x .

Portando a solução do sistema é S={(2, 3, 5)}.

2. Resolver o sistema

733

822

542

zyx

zyx

zyx

.

Resolução:

1 2 4 5

2 -1 2 8 212 2 LLL

3 -3 -1 7 313 3 LLL

1 2 4 5

0 -5 -6 -2 22 )5/1( LL

0 -9 -13 -8

1 2 4 5

0 1 -6/5 -2/5

0 -9 -13 -8 323 9 LLL

1 2 4 5

-22/511/5z-

-2/56/5z-1y

42 zyx

0 1 -6/5 -2/5

0 0 -11/5 -22/5

Logo 2z . Substituindo z na 2º equação, obtemos 2y , e substituindo

os valores anteriores na 1º equação obteremos 1x .

Portanto S={(1, -2, 2)}.




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65

(9) Exercícios

1. Escalone e resolva os seguintes sistemas:

a)

122

62

92

zyx

zyx

zyx

b)

222

02

23

zyx

zyx

zyx

c)

3433

234

12

zyx

zyx

zyx

d)

432

0

yx

yx e)

1035

1642

2

zyx

zyx

zyx

f)

2

3

1

zy

zx

yx

2. Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:

a)

352

5

3

yx

yx

yx

b)

32

432

0

yx

yx

yx

c)

82

225

2

6

yx

yx

yx

yx

d)

12

13

zyx

zyx e)

525

123

2

132

yx

zx

zyx

zyx

f)

732

1

3

yx

yx

yx


1. Dado o sistema de equações lineares

1

1

zyx

zyx

zyx

com , , então,

a) se -1, o sistema é possível e determinado.

b) se =-1 e 1, o sistema é possível e determinado.

c) se -1, o sistema é impossível.

d) se -1 e =1, o sistema é possível e indeterminado.

e) se =-1 e =1, o sistema é possível e determinado.




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66

2. Sejam a e b números reais tais que o sistema

btz

tzyx

atzyx

zyx

342

263

12

admita

solução. Então o valor de a e o valor de b devem ser, respectivamente,

a) –2 e 8 b) 8 e 5 c) 5 e 8 d) 5 e –2 e) –2 e 5

3. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

045

033

022

0

tzyx

zyx

tzx

tzyx

então, pode-se afirmar que o sistema é

a) impossível.

b) possível e determinado.

c) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta

ordem, uma progressão aritmética.

d) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta

ordem, uma progressão geométrica.

e) possível, porém não admite a solução nula.

4. Dado o sistema

2

1

0

2

tzx

tyx

zyx

tzyx

os valores de x, y, z e t, nesta ordem, que

satisfazem o sistema,

a) formam uma P.G. crescente. b) formam uma P.G. decrescente.

c) formam uma P.A. decrescente. d) formam uma P.A. crescente.

e) são todos iguais.




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67

5. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

752

2)1(

442

zyx

zyx

zyx

Então pode-se afirmar que

a) existem exatamente dois valores reais de para os quais o sistema não tem

solução.

b) existe um único valor real de para o qual o sistema admite infinitas soluções.

c) o sistema não tem solução para todo .

d) o sistema não tem solução para =½.

e) o sistema admite solução para todo ½.

6. Considere as afirmativas referentes ao sistema

2)1(0

0203

12

zkyx

zyx

zyx

onde x, y, z,

k, indicando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) Se k1/3, o sistema é possível e determinado.

( ) Se k=1/3, o sistema é impossível.

( ) Se k=1/3, o sistema é possível e indeterminado.


a) V – F – V. b) F – V – F. c) V – V – F. d) V – F – F. e) F – F – V.

7. O valor da expressão zyxA ).2( , onde x, y e z são soluções do sistema

1666

2624

132

zyx

zyx

zyx

é

a) 3

32 b)

3

32 c) 0 d)

3

2 e)

3

2




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68

8. Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, com referência ao sistema

linear

1

2

3

111

111

11

z

y

x

a

a

, com a0.

( ) a

a

a

a1

21

11

111

11

det

.

( ) Se 21

aa , então o sistema é possível e indeterminado.

( ) Se 21

aa , então o sistema é impossível.


a) V – F – V. b) F – V – F. c) F – V – V. d) V – F – F. e) V – V – F.

9. sistema linear

523

223

22

1

zyx

zyx

zyx

zyx

a) é possível e determinado. b) é possível e indeterminado.

c) é impossível. d) tem a soma de suas soluções igual a 2.

e) tem o produto de suas soluções igual a 3.

10. Considere o sistema linear

bazy

zy

zyx

4

432

12

onde a e b são números reais.

Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.

( ) Se a=-6, o sistema é impossível qualquer que seja b.

( ) Se b8, o sistema tem infinitas soluções qualquer que seja a.

( ) Se a-6, o sistema é possível e determinado qualquer que seja b.


a) V – V – F. b) V – V – V. c) V – F – V. d) F – F – V. e) F – V – F.




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69

GABARITOS

(1) 1. a) x2= -3 b) x2= 1 2. m= -1 3. 5

4 .

(2) 1. a) é solução b) não é solução 2. K= -3

(3) 1. São equivalente 2. b=1; a=0

(4) 1. a)

0

5

31

12

y

x b)

2

0

1

153

101

112

c

b

a

2.

73

452

ba

ba

3. a)

1823

013 b)

3221

6232

4011

14685

4. a)

6339

23

zyx

zyx b)

32

03

2

532

yx

yx

x

yx

(5) 1. a) É SLN b) Não é SLN 2. a) 3 e 2/ kkkS b)

3

1/ kkS

(6) 1. a) 2,1S b) 2,3S c) 3,2,1S d)

5

9,

5

12,

5

9S

e) 1,32 S f) 1,4,6S

(7) 1. a) S.P.D.; 2,1S b) S.P.I.; kkS ,4 c) S.I.

2. a) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1 b) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1

3. k=1 ou k=15 4. a -6 5. a=6 e b=8 6. S.P.I.; kkkS ,1,

(8) 1. a) S.P.I. b) S.P.I. c) S.P.D. 2. m=13

3 3. =1

4. k -1 5. a) kkkS ,9,14 b)

k

kS ,

2

3 c) kkkS ,2,

(9) 1. a) 3,1,2 S b)

k

kkS ,

5

42,

5

34 c) S d)

5

4,

5

4S

e) 2,3,1S f) 2,0,1S 2. a) 1,4S b) S c) 2,4S

d)

k

kkS ,

5

3,

5

24 e)

k

kkS ,

3

55,

3

21 f) S

(10) 1. a 2. e 3. c 4. d 5. b 6. c 7. a 8. d 9. c 10. d




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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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