Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de 336 640 546 A...
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6 4 5 0 4 6 6 3 3 B A c Matrizes oma de Matrizes am A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de 3 4 2 0 1 5 3 2 1 A 3 0 3 0 3 1 3 1 2 B 3 3 6 640 546 A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtê somando os elementos da matriz A com os elementos matriz B da mesma posição. n j m i b a c B A C M C M B A ij ij ij n m n m , , 1 , , 1 ; : , Operações com Matrizes
Transcript of Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de 336 640 546 A...
645046633
BAc
Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
342015321
A
303031312
B
3 3 6
6 4 05 4 6
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
njmibac
BACMCMBA
ijijij
nmnm
,,1,,1;
:,
Operações com Matrizes
Matrizes
ABBAMBA nm ,
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm
AOAMOMA nmnm :
OBAMBMA nmnm :
Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
Assim o conjunto M mxn forma um
Grupo Aditivo Comutativo
Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e um escalar
O produto de por A é uma matriz C
342015321
A
91260315963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por
njmiac
ACMAMA
ijij
nmnm
,,1,,1;
:
Operações com Matrizes
do mesmo tipo de A
Matrizes
AA
Operações com Matrizes
e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
AAA )(
BABA
AA1
Matrizes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...... a2n
a31 a32 a33 a3n...
... ... ... ...
...
am1 am2 am3 amn...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
Consideremos o sistema
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 + ... +
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
= b1
b2
b3
...bm
x1
x2
x3
...
xn
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
=
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
15 29
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
15 29 27
Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por:
mxp
n
kjkkiji bac
1
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes
CBACBA
Operações com Matrizes
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e um escalar.
CBCACBA )(
CABACBA
BABABA
Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
jiji ab mjni ,....;,..., 11
e escreve-se B=AT
5305442
12520
43201
A
35014
523
452
420
201
TA
Matrizes
AATT
Operações com Matrizes
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e um escalar.
TTT BABA )(
TT AA
TTT ABBA
No caso de matrizes quadradas, se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.
Ainda para matrizes quadradas, se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
Sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .
