Mximos e Mnimos em Funes de Vrias Variveis:

Uma Aplicao da Frmula de

Taylor, com Anlise de Autovalores da Matriz

Hesiana

Andr Oliveira Maroneze RA 023146 MA211 Turma K 23/11/2003

1

Mximos e Mnimos em Funes de Vrias Variveis Em diversas situaes, os pontos mais interessantes de uma funo (de uma ou vrias variveis) so os pontos de mximo ou mnimo os pontos intermedirios geralmente no apresentam muitas caractersticas interessantes. Tais pontos so relativamente fceis de serem encontrados, e podem ser estabelecidas diversas restries a sua localizao. Por suas caractersticas especiais, esses pontos so determinados de forma precisa: para funes de uma nica varivel, qualquer candidato a mximo ou mnimo tem derivada nula. Seja porque a funo pra de crescer nele, seja porque ela inicia sua ascenso, pontos de derivada nula podem ocorrer em trs situaes diferentes: 1 O ponto um mximo (local ou absoluto): em um pequeno intervalo ao redor do ponto, todos os valores da funo so menores ou iguais a ele; 2 O ponto um mnimo (local ou absoluto): em um pequeno intervalo ao redor do ponto, todos os valores da funo so maiores ou iguais a ele; 3 O ponto uma inflexo: pontos em um pequeno intervalo sua esquerda so menores ou iguais a ele, e sua direita so maiores, ou vice-versa. Situaes anlogas a essas trs ocorrem tambm em funes de vrias variveis, embora nesse caso seja um pouco mais complicado descobrir tais pontos. Em funes de vrias variveis, a ocorrncia de uma derivada parcial nula nem sempre representa algo muito til; quando se quer minimizar tais funes, costuma-se procurar por pontos em que todas as derivadas parciais sejam nulas; somente assim se garante um ponto crtico, que pode vir a ser de trs tipos: 1 Ponto de mximo: anlogo ao caso anterior, exceto que o intervalo, desta vez, n-dimensional ao redor do ponto. Se a funo de n variveis, preciso considerar valores prximos da funo em n dimenses. 2 Ponto de mnimo: tambm anlogo ao interior, com a mesma ressalva em relao ao intervalo. 3 Ponto de sela: Assim chamado por sua aparncia em grficos tridimensionais de funes de duas variveis (a regio prxima parece uma sela de cavalo), tal ponto representa um mximo (local ou absoluto) em uma dimenso e um mnimo (local ou absoluto) em alguma outra, ou representa um ponto de inflexo em uma ou vrias dimenses; mas no significa que a funo possua valores mnimos ou mximos nele. Essa situao determina que, conhecidas as derivadas parciais de uma funo, sabemos onde esto pontos crticos da mesma; no entanto, no sabemos em qual situao estamos, a menos que faamos alguns testes numricos com a funo nas proximidades, ou visualizemos seu grfico. Mas isso nem sempre possvel (ou desejvel). Nesse caso, analogamente ao que fazamos nas funes de uma nica varivel, podemos estabelecer um mtodo mais preciso (e mais prtico, tambm, do ponto de vista computacional), baseando-nos nas segundas derivadas da funo. Existem vrios mtodos conhecidos para isso; uns usam conceitos como autovalores e autovetores; outros se baseiam em conseqncias desses elementos sem mencion-los. Se considerarmos uma funo bi ou tridimensional de um campo escalar, podemos deduzir as caractersticas desejadas a partir de consideraes sobre a frmula de Taylor de segunda ordem. Faremos uma demonstrao apenas para o caso de uma funo de duas variveis,

2

mas o mtodo geral vlido para funes de mais variveis tambm. Sejam f(x,y) um campo escalar e (x0, y0) = (x + Dx, y + Dy) um ponto desse campo. A frmula de Taylor nos fornece, ento:

onde R representa o resto (s vezes chamado de erro) da aproximao. Essa frmula permite que relacionemos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas da funo) com a determinao dos pontos crticos. Neles, a primeira derivada nula, portanto os valores da funo nas proximidades dependem basicamente dos termos entre os colchetes. Podemos realizar as seguintes substituies: Ento temos uma expresso para os termos quadrticos:

Q(Dx, Dy) = a Dx2 + 2bDxDy + cDy2 =f(x ,y) f(x0, y0) nos pontos crticos, onde a primeira derivada nula. Podemos escrever essa expresso na forma matricial: E obtemos justamente a matriz Hessiana: Portanto, para a anlise dos pontos crticos, necessrio que as segundas derivadas da funo existam e sejam diferentes de zero (nesse ltimo caso, a matriz Hessiana, embora existente, no fornece as informaes que procuramos). Podemos relacionar a matriz Hessiana com uma cnica em um plano; possvel diagonaliz-la, e para tal usamos um processo idntico ao da rotao de uma cnica. Outra semelhana entre a forma da matriz e a caracterstica do ponto crtico pode ser vista quando desenhamos as curvas de nvel da funo: quando o ponto de sela, geralmente obtemos hiprboles; quando de mximo ou mnimo, costumamos ter elipses ou crculos. Uma

Ryy

yxfyx

yxyxf

xx

yxf

yyxf

yx

yxfxyxfyxf

+

D

+DD

+D

+

D+

D+=

22

002

002

22

002

000000

),(),(2

),(21

),(),(),(),(

22

002

002

22

002 ),(

,),(

,),(

yy

yxfcyx

yxyxf

bxx

yxfa D

=DD

=D

=

[ ]

DD

DD=DD

yx

cbba

yxyxQ ),(

=

2

22

2

2

2

yf

yxf

yxf

xf

cbba

3

caracterstica das hiprboles apresentar autovalores de sinais contrrios em sua matriz de termos quadrticos, enquanto que elipses possuem autovalores de sinais iguais. Resumindo, temos a seguinte relao entre os sinais dos autovalores da Hessiana e o caso do ponto crtico:

Sinais dos autovalores O ponto crtico Todos positivos Ponto de mnimo

Ao menos um positivo e um negativo Ponto de sela Todos negativos Ponto de mximo

Quando temos um caso de uma funo de duas variveis, podemos determinar as mesmas caractersticas observando o sinal do primeiro elemento da matriz Hessiana e seu determinante. Se o determinante negativo, o ponto em questo um ponto de sela; se o determinante positivo, precisamos checar o sinal do primeiro elemento: sendo positivo, o ponto de mnimo; caso contrrio, de mximo. Se o determinante for zero, no obtemos informao alguma sobre o ponto. No difcil chegar a essa concluso partindo da anlise dos autovetores, usando alguns conceitos de lgebra linear; para simplificar, podemos lembrar que, caso os autovetores tenham valores diferentes, a multiplicao de ambos para o clculo do determinante resultar em valor negativo; do contrrio, o determinante positivo nesse caso, ou ambos os termos so negativos (ponto de mnimo) ou positivos (ponto de mximo), o que nos fora checar o sinal do primeiro elemento. Embora isso seja obtido diretamente em uma matriz ortogonal (onde o termo misto nulo), no difcil mostrar que vlido para outras. Para auxiliar na compreenso desse mtodo simples e eficiente, exemplificaremos com algumas funes, mostrando o processo de anlise, grficos e os pontos crticos. Exemplo 1:

Obtemos as derivadas parciais: Os pontos crticos possuem derivada nula, ento temos de encontrar os pontos para os quais: Resolvendo as equaes, obtemos a seguinte soluo: Como a funo cosseno peridica, temos infinitos pontos crticos; plotamos ento um trecho no intervalo -2p x 2p, -2 y 2:

yxyxg coshsin),( =

yxyg

yxxg

sinhsin,coshcos =

=

0=

=

yg

xg

0

,2

=

Z=

y

kkxp

4

H quatro pontos crticos nesse intervalo, sendo todos pontos de sela. Podemos confirmar que so pontos crticos traando retas tangentes funo nos pontos (que representam as derivadas parciais); devem ser paralelas aos eixos x e y. Pode-se confirmar isso mudando o ngulo de viso do grfico. Abaixo, a viso do plano xz:

5

A seguir, vises dos planos xz e xy, respectivamente:

Essas retas, traadas no ponto (-p/2, 0, -1), mostram que as derivadas parciais nesse ponto so nulas. Assim, ele um ponto crtico. Como sabemos da existncia de pontos crticos no campo escalar, calculemos a matriz Hessiana:

-=

yxyxyxyx

yg

yxg

yxg

xg

coshsinsinhcossinhcoscoshsin

2

22

2

2

2

6

Podemos utilizar um sistema algbrico computacional para calcular os autovalores da matriz. Na maioria dos softwares utilizados atualmente, por serem feitos em ingls, o comando o termo autovalor traduzido para o ingls: eigenvalue. No MuPAD, por exemplo, podemos utilizar o linalg::eigenvalues(). Existe um comando para o clculo numrico de autovalores, geralmente mais eficiente, mas ele no funciona com elementos simblicos. Colocamos o nome da matriz entre parnteses. Para a Hessiana da funo dada, o programa responde com dois valores: Calculando no ponto P1 = (p/2, 0): Analisando a expresso dos autovalores, percebemos que eles so os mesmos para todos os pontos crticos. Assim, provamos que os pontos so de sela, pois os autovalores tm sinais contrrios. No precisaramos ter plotado os grficos para descobrir isso, e essa uma das grandes vantagens do mtodo. Nota: a funo do campo escalar bidimensional foi plotada como se fosse uma funo tridimensional. muito mais revelador que um grfico do campo. A figura a seguir mostra as curvas de nvel. Certamente torna mais difcil identificar onde esto os pontos crticos e de que tipo so.

yxyx

yxyx2222

2

22221

coshsinsinhcos

coshsinsinhcos

+-=

+=

l

l

11

2

1

-==

ll

7

Exemplo 2: Como j fizemos todo o desenvolvimento anteriormente, aqui vamos resumir os passos. Desta vez, encontraremos os pontos e sua forma antes de olharmos o grfico. Passo 1: Calcular derivadas parciais

Passo 2: Resolver o sistema 0=

=

yg

xg

(O sistema possui solues complexas, mas estamos nos restringindo ao espao real, por isso elas foram descartadas.) Passo 3: Calcular a Hessiana nos pontos crticos Hessiana Em P1 = (0, 0) Em P2 = (1, 1)

Passo 4: Determinar autovalores das Hessianas nos pontos crticos Em P1: Em P2: Assim, temos que P1 um ponto de sela e P2 um ponto de mnimo (local ou absoluto). Como a funo de duas variveis, poderamos tentar usar o mtodo do determinante para obter o mesmo resultado. Na Hessiana em P1, temos det = -9 (ponto de sela). Na Hessiana em P2, temos det = 25 e H1,1 > 0 (ponto de mnimo).

xyyxyxg 3),( 33 -+=

xyyg

yxxg

33

33

2

2

-=

-=

)}1,1(),0,0{(=S

-

-=

yx

yg

yxg

yxg

xg

6336

2

22

2

2

2

-

-0330

-

-6336

33

2

1

=-=

ll

93

2

1

==

ll

8

Visualizemos o grfico da funo para confirmar: (Nota: devido forma da curva, torna-se difcil visualizar os pontos e os planos tangentes em um mesmo grfico; por isso, optamos por dividi-lo em dois, um para cada ponto crtico, para que se possa ver melhor que um ponto de sela, e o outro de mnimo.)

9

A primeira figura mostra o ponto P1 = (0, 0, 0), e a segunda P2 = (1, 1, -1). Em ambas as figuras, o ponto est centrado na interseco das retas pretas (paralelas aos eixos cartesianos). As retas azuis so as fatias dos planos xz e yz nas coordenadas dos pontos (feitas para ajudar a visualizao: as retas pretas so as projees dessas azuis no plano tangente funo nos pontos crticos, que paralelo ao xy). Embora os intervalos adotados tornem muito difcil ver que so partes do grfico de uma mesma funo, as figuras permitem que se veja com clareza que o primeiro ponto de sela, e o segundo de mnimo. Novamente, usamos o recurso do grfico tridimensional para visualizar os pontos. O grfico das curvas de nvel o seguinte:

Observe o olho (uma elipse) prximo a (1,1) e as curvas vagamente semelhantes a hiprboles em (0, 0). A associao entre as cnicas e o tipo de ponto crtico mais facilmente percebida dessa forma. Note, porm, que essa caracterstica pode ser difcil ou mesmo impossvel de ser percebida (como no exemplo anterior); esse mais um motivo para se optar pelo mtodo analtico utilizado. Exemplo 3:

Embora este seja um campo escalar tridimensional (o que dificulta a plotagem de um grfico), o procedimento a ser seguido o mesmo.

222 )1()3()2(),,( -+-+-= zyxzyxg

10

0=

=

=

zg

yg

xg

Passo 1: Calcular derivadas parciais

Passo 2: Resolver o sistema Passo 3: Calcular a Hessiana no ponto crtico P = (2, 3, 1).

Hessiana Como a Hessiana constante nesse caso, ela tem esse valor no ponto P. Passo 4: Determinar autovalores da Hessiana no ponto crtico Esse resultado indica que o ponto P um ponto de mnimo do campo g(x, y, z). De fato, o campo nulo somente nesse ponto, e positivo em qualquer outro ponto do espao (pode-se ver isso analisando a funo do campo, que a de esferas centradas em P; apenas uma tem raio zero o prprio ponto. No h esferas com raio negativo, portanto em P h um mnimo, tanto local como global). Com esses exemplos, pudemos confirmar a validade do mtodo para funes de vrias variveis, quer sejam campos escalares ou no. Recursos visuais ou numricos podem ser usados em alguns casos, mas o mtodo dos autovalores da Hessiana costuma ser mais prtico e geral. Dadas as condies de suficincia do mtodo (funo com segundas derivadas contnuas e Hessiana no nula), pode-se aplic-lo em muitas situaes.

22,62,42 -=

-=

-=

zzg

yyg

xxg

)1,3,2(=S

=

200020002

2

222

2

2

22

22

2

2

zg

zyg

zxg

zyg

yg

yxg

zxg

yxg

xg

2321 === lll