MBA EM GESTÃO FINANCEIRA E

CONTROLADORIADISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MAT.

FINANCEIRA E ESTATÍSTICA APLICADA

• Graduado em Análise de Sistemas pelo Centro de Estudos Superiores de Maceió CESMAC (2001), possui especialização em Gestão Estratégica de Sistemas de Informação pela Faculdade de Alagoas - FAL (2006). Mestrando em Ciências da Computação – UFPE(2013...). Atualmente é Professor Especialista Tempo Integral da Faculdade Estácio de Alagoas - FAL.

• Administrador de Redes• Gerente de Projetos de TI• Consultor em TI

APRESENTAÇÃO DO PROFESSOR

Acadêmico:

Profissional:

Apresentação da disciplina (2ª parte)

• Disciplina: Fundamento da Matemática Financeira e ESTATÍSTICA APLICADA Carga horária: 40h*

• Datas das Aulas: 20/02 e 27/02.• EMENTA: Estatística descritiva; Probabilidade;

Distribuições de Probabilidades; Estimação e Intervalos de Confiança; Testes de Hipóteses; Correlação e Regressão; Coleta de Dados e Métodos de Amostragem.

• Objetivo Geral: – Apresentar conceitos fundamentais de Estatística Aplicada.

Objetivos Específicos:– Apresentar os fundamentos de estatística descritiva.– Apresentar os conceitos de correlação e regressão e sua importância para

estabelecer relações entre variáveis.– Apresentar os fundamentos da teoria de probabilidades.– Apresentar distribuições de probabilidade úteis na modelagem e solução de

problemas.– Apresentar princípios e métodos para coleta e tratamento de dados.– Apresentar métodos de amostragem úteis na modelagem e solução de

problemas.– Apresentar princípios e métodos para estimação de parâmetros e

estabelecimento de intervalos de confiança.– Apresentar métodos para conduzir Testes de Hipóteses úteis na modelagem

e solução de problemas.

MAPA CONCEITUAL – ESTATÍSTICA

Referências • BIBLIOGRAFIA BÁSICA

– SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993, 3ª Ed.;– MORETTIN, L. G. Estatística Básica. Probabilidade. Volume 1. São Paulo:

Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed;– MORETTIN, L. G. Probabilidades. Probabilidade. Volume 2. São Paulo:

Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed;

• BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR– MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e

Probabilidade.... Rio de Janeiro: LTC, 2009, 4ª Ed.;– DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São

Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, 6ª Ed.– NAZARETH, Helenalda. Curso Básico de Estatística. São Paulo, Editora

Ática, 1995.

Sistema de Avaliação• Nota mínima para aprovação na disciplina: 7• Distribuição dos pontos:

– Será calculada a média de matemática financeira com estatística.

• Proposta de Avaliação para a Estatística Aplicada– Participação nas aulas (2 pontos)– Pesquisa/Trabalho (5 pontos)– Exercício de Fixação (3 pontos)

Agenda• Conceitos introdutórios• Coleta de Dados e Métodos de

Amostragem• Estatística Descritiva e

Correlação / Regressão• Probabilidade e Distribuições de

Probabilidade• Estimação e Testes de Hipóteses

Introdução à Estatística• É fundamental o emprego da Estatística em quase todas as

áreas do conhecimento, todas as vezes que estiverem envolvidas informações na forma de dados coletados em pesquisas ou de forma experimental.

• Com o objetivo de alcançar uma melhoria dos processos tanto nas áreas industriais como tecnológicas, as ferramentas estatísticas tem alcançado um papel importantíssimo nesse cenário.

Conceito de Estatística

Estatística é “um conjunto de

técnicas e métodos de pesquisa

que, entre outros tópicos, envolve o

planejamento do experimento a

ser realizado, a coleta qualificada

dos dados, a inferência, o

processamento, a análise e a

disseminação das informações”.

Todo profissional hoje em dia deve estar ciente da importância da Estatística e ter conhecimento de como utilizá-la, a fim de ter um lugar no mercado de trabalho com a capacidade de lhe dar com as realidades atuais extremamente competitivas. Dentre várias habilidades profissionais, vem crescendo em importância o desenvolvimento do pensamento estatístico, tendo em vista as necessidades de todas as áreas de conhecimentos de uma análise mais apurada durante os processos decisórios.

Estatística na área de Gestão

Observa-se que o controle de qualidade foi criado como uma necessidade

de resolver problemas na redução de custos, no controle de perdas

desnecessárias, na uniformização e normalização da produção, auxiliando

as empresas a controlarem, melhor distribuírem e maximizarem os seus

recursos, tornando-as assim mais competitivas. 

Aplicação da Estatística

Recursos Humanos• Pessoal / Folha de

Pagamento.• Avaliação de

Desempenho• Treinamento• Recrutamento &

Seleção

Operações• Logística• Qualidade Total• Avaliação de Estoques• Cadeia de Suprimentos

Aplicação da Estatística

Marketing• Propaganda• Pesquisa de Mercado• Comportamento do

Consumidor• Endomarketing

Aplicação da Estatística

TI• Monitoramento• Gestão de Recursos• Suporte• Banco de dados• Telecomunicações• Desenvolvimento de

software...

Aplicação da Estatística

Finanças• Risco e Retorno de

Investimentos• Financiamento de

Recursos• Orçamento Empresarial• Projeção de Resultados

Aplicação da Estatística

Motivação Estatística

• O objetivo fundamental da Estatística é extrair informações confiáveis a partir dos dados coletados para a tomada de decisão.

Há muito tempo que o homem faz descobertas importantes, que originaram muitos dos conhecimentos atuais. Entretanto muitas dessas descobertas foram ao acaso, ou em função de uma necessidade da época e muitas dessas descobertas não seguiram um caminho, roteiro ou um método específico.

Método Científico

Hoje em dia os métodos de observação, estudo e análise fazem parte da maioria dos aumentos de conhecimentos atuais. Até mesmo os conhecimentos obtidos por descobertas ao acaso são desenvolvidos com base em métodos específicos, que chamamos de métodos científicos.Os métodos são as trilhas que nos permite chegar a um objetivo, ou a um determinado resultado, sendo um conjunto de passos e procedimentos que repetidos fornecem um resultado específico. Dentre os métodos científicos destacamos o método estatístico e experimental.

Método Científico

Método Experimental• Quando se realiza um experimento e se deseja analisar como se

comportam seus resultados ao se alterar algum dos elementos componentes do experimento, é necessário manter constante os demais fatores (causas).

• Quando se usa este tipo de pesquisa, faz-se uma análise do problema, montam-se as hipóteses necessárias.

• As alterações nas variáveis tanto em quantidade, quanto em qualidade, permite o estudo das relações de causas e efeitos do referido fenômeno em análise. Todo esse procedimento experimental permite que se possa avaliar e controlar os resultados obtidos. 

Método ExperimentalPontos importantes do método experimental:

Indicar o objeto de estudo;

Determinar as variáveis independentes capazes de influenciar o fenômeno em estudo;

Identificar as ferramentas de análise, controle e observação dos efeitos, resultantes da manipulaçãodas variáveis, sobre o objeto.

Método Estatístico

•  No método estatístico, observando suas várias etapas, podemos considerar que a mais importante muitas vezes não é a análise de dados.

• Podemos dizer que a etapa que necessita de maior atenção e cuidado é o planejamento de como o conjunto de dados será coletado.

• Um mau planejamento, ou mesmo uma coleta feita de forma inapropriada pode acarretar em dados inúteis, de onde não se consegue tirar nenhuma informação ou qualquer conclusão coerente.

Método Estatístico• O uso dos métodos estatísticos está praticamente em todos os setores e

campos de estudo. • É possível utilizar o método na avaliação da produção, a fim de

melhorar o controle de qualidade e permitir um produto melhor a custos menores;

• utilizar no controle estatístico de doenças e epidemias, permitindo uma ação antecipada no controle de doenças;

• ou até mesmo na criação de regulamentações e leis, com a finalidade de proteger espécies em extinção, verificadas através de levantamentos estatísticos da população..

Abusos da Estatística• Não é de hoje que ocorrem abusos com a

Estatística. Assim é que, há cerca de um século, o estadista Benjamin Disraeli disse:

• “Há três tipos de mentiras: as mentiras, as mentiras sérias e as estatísticas”. Já se disse também que “os números não mentem; mas os mentirosos forjam os números” e que “se torturarmos os dados por bastante tempo, eles acabam por admitir qualquer coisa”.

• O historiador Andrew Lang disse que algumas pessoas usam a Estatística “como um bêbado utiliza um poste de iluminação – para servir de apoio, e não para iluminar”.

• Todas essas afirmações se referem aos abusos da Estatística quando os dados são apresentados de forma enganosa.

Fases da Pesquisa

O que?Onde?Como?CronogramaOrçamento...

AplicaçãoDo

Questionário

ValidaçãoDos dadosColetados/

Organização Dos

Dados na planilha

AplicaçãoDe técnicasestatísticas

ApresentaçãoDo relatório /

Resultados

Estudo da Estatística Estatística Descritiva, que se preocupa com a

organização e descrição dos dados experimentais;

Estatística Indutiva (Estatística Inferencial), que cuida da sua análise e interpretação, ou seja, tirar conclusões sobre populações com base nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações.

Estatística Probabilística – representa o estudo de planejar jogadas ou estratégias de jogos de azar , bem como o risco e o acaso em eventos futuros.

População e Amostra

• População - Conjunto de todos os elementos que possuem pelo menos uma característica em comum.

• Amostra - Subconjunto representativo da população

Variáveis

• Qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos. Exemplo : Sexo , Cor da Pele.

• Quantitativa – quando seus valores são expressos por números. Exemplo : altura, numero de alunos de um colégio.

Variáveis Quantitativas

• Discretas – variáveis que só podem assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável. Exemplo : numero de alunos de uma escola.

• Contínuas – quando uma variável pode assumir qualquer valor entre dois limites. Exemplo : Peso de um adulto pode ser de 70 Kg ou 70,1 Kg ou 79,13 Kg ou 70,134 Kg.

Organização dos dados. • Os dados estatísticos podem estar organizados ou desorganizados.

• Quando desorganizados recebem a denominação de “dados estatísticos brutos”. Por exemplo: Z = (5, 2, 4, 1, 3)

• Já quando organizados recebem a denominação de “dados organizados em Rol”. Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5)

• O Rol pode ser organizado em ordem numérica, alfabética ou alfanumérica, de forma crescente ou decrescente.

Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5) Z = (A, B, C, D, E) Z = (5, 4, 3, 2, 1)

Tipologias de variáveis

• Para cada fenômeno existe um número correspondente de resultados possíveis. Por exemplo:

• fenômeno - “sexo” dois os resultados possíveis são: masculino e feminino;

• fenômeno - “número de filhos” o número de resultados possíveis, é expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n;

• fenômeno “altura” os resultados podem tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um certo intervalo.

• Neste momento cabe reforçar a definição de Variável: é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

• A partir dos exemplos anteriores podemos afirmar que os dados estatísticos também podem ser identificados segundo o seu tipo ou espécie, ou seja:

• Dados contínuos – são aqueles em que a variável pode assumir

qualquer valor dentro de um intervalo, como para o caso do exemplo “altura” , em que são aceitos valores desde 1,40 até 2,30. Neste caso a variável é dita variável quantitativa contínua.

• Neste ponto cabe esclarecer algumas regras de aproximação e arredondamento de dados segundo a NBR 5891 da ABNT:

Amostragem Não Probabilística

• Acidental ou de conveniência – indicada para assuntos exploratórios.

• Intencional – Escolhe-se um grupo específico.

• Quotas ou proporcional – É necessário o conhecimento prévio da população.

Amostragem Probabilística

• Aleatória Simples – é utilizada uma tabela de números aleatórios.

• Aleatória Estratificada – Estratifica cada subconjunto através de critérios.

• Conglomerado – Por sorteio é indicado um conjunto.

Tabelas I. Tabelas • Por definição tabela é um conjunto de observações de alguma

forma organizadas e distribuídas em um quadro.

II. Séries estatísticas• Por definição, série estatística é toda a tabela que representa um

determinado conjunto de dados estatísticos organizados segundo a cronologia, o local ou a categoria.

Título

Variável A Variável B

Linhas com os Valores da variável A Linhas com os Valores da variável B

II.A Série cronológica ou temporal ou histórica• Descreve os valores da variável, em local específico, de acordo com

intervalos de tempo variáveis.

II.B Série geográfica ou territorial• Descreve os valores da variável, em determinado instante,

segundo diversos locais.

PRODUÇÃO MÉDI A DE FEI J ÃO NO BRASIL 2007-2008

ANOS PRODUÇÃO (1.000 t)

2007 2008

51 138 52 223

Tempo de espera por um ônibus – 2001. Estado Tempo em min.

Pernambuco Bahia Sergipe Alagoas Paraíba

7,5 7,0 7,0 5,9

Menos de 4

II.C Série especificativa ou categórica • Descreve os valores da variável, em determinado tempo e local,

segundo espécies ou categorias.

II.D Série mista• É uma série conjugada, pois pode variar simultaneamente o

tempo, o fato e o lugar.

O que vai fazer com a participação nos lucros? - 2009

Opções Valor percentual (% )

Pagar dívidas Fazer compras Investir

40 43 17

População Urbana do Brasil por Região

ANO REGIÃO N NE SE S CO

1940 406 3381 7232 1591 271 1950 581 4745 10721 2313 424 1960 958 7517 17461 4361 1007 1970 1.624 11753 28965 7303 2437 1980 3.037 11567 42810 11878 5115

GRÁFICO ESTATÍSTICO

•Forma de se apresentar os dados estatísticos. Objetivos: •produzir uma impressão mais rápida e viva do

fenômeno em estudo, •causar melhor impressão visual.

Gráficos Estatísticos e Tabelas facilitam a análise e a interpretação.

INDICADORES DE CONSUMO MELHORAM EM JANEIRO

Miriam Leitão

TIPOS DE GRÁFICOS

•Diagramas Gráficos geométricos dispostos em, no máximo, duas

dimensões.•Cartogramas Ilustrações relativas a cartas geográficas, utilizadas em

Geografia, História e Demografia.•PictogramasProcesso gráfico no qual constam figuras.

• Diagramas Gráfico em linha ou em curva.Gráfico em colunas ou em barras.Gráfico em colunas ou em barra múltiplas.Gráfico em setores.

• Cartogramas • Pictogramas

TIPOS DE GRÁFICOS

GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA

• Utiliza uma linha poligonal.• Utiliza o Sistema de Coordenadas Cartesianas.

GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA

GRÁFICO EM COLUNAS

• Utiliza retângulos dispostos verticalmente. • Os retângulos têm a mesma base e as alturas são

proporcionais aos respectivos dados.

GRÁFICO EM COLUNAS

GRÁFICOS EM BARRAS

• Utiliza retângulos dispostos horizontalmente.• Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos

das bases são proporcionais aos respectivos dados

GRÁFICO EM COLUNAS/BARRAS MÚLTIPLOS

• Representa simultaneamente dois ou mais fenômenos estudados com o objetivo de compará-los.

GRÁFICO EM SETORES• Gráficos de pizza.• Construído com base em um círculo, dividido em setores, de

acordo com o numero de parcelas.• Os 3600 disponíveis no círculo são repartidos proporcionalmente.• Regra de 3 simples, onde a soma de todas as parcelas

corresponde a 3600.• Ressalta a participação de cada parcela no todo.

GRÁFICO EM SETORES

Exercícios

• A tempe

( ) A temperatura máxima observada foi de 30 °C .

• A tempe

( ) Às 09:00 horas a temperatura era mais elevada do que às 08:00 horas.

( ) A variação das temperaturas observada foi de 6 °c .

CARTOGRAMA

• Representam a cartas geográficas• Objetivo: apresentar dados estatísticos relacionados

com áreas geográficas ou políticas.• Utilizado em Geografia, História e Demografia.• Dados absolutos (população): pontos em numero

proporcional aos dados.• Dados relativos (densidade): hachuras ou cores.

CARTOGRAMAS

Taxa de mortalidade infantil em grupode 1000 nascimentos nas regiões brasileiras em 1984

CARTOGRAMAS

PICTOGRAMAS

Processo gráfico no qual constam figuras.

População Urbana no Brasil em 1980 (x10)

PICTOGRAMAS

PICTOGRAMAS

Amostra dos alunos de uma escola sobre os seus desportos preferidos.

Qual a relação entre os alunos que preferem futebol e volei?

Qual foi o aumento de produção entre os anos de 1996 e 1997?

PICTOGRAMAS

Quantos livros de autores portugueses foram vendidos? Qual foi o genero de livro menos vendido nesse mês?

( ) Lúcia tem mais moedas da Austrália do que do Canadá. ( )O país do qual a Lúcia possui mais moedas é a Suíça.

( ) Lúcia tem mais 3 moedas do Brasil do que da Africa do Sul ( ) Lúcia tem menos moedas do Canadá do que do Brasil ( ) O número de moedas que a Lúcia tem na sua colecção é 84.

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores(c) Pictograma (f) Cartograma

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores(c) Pictograma (f) Cartograma

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores(c) Pictograma ( f) Cartograma

(a) Gráfico em Colunas Multiplas(b) Grafico em Barras Multiplas(c) Pictograma (d) Cartograma

(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores(c) Pictograma (f) Cartograma

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO

•Histograma, Polígono de Frequência, Polígono de Frequência Acumulada (Ogiva de Galton).

•Utilizam o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais.

•Eixo das abscissas: valores da variável.•Eixo das ordenadas: freqüências.

HISTOGRAMAS

Histograma referente à distribuição do número de candidatos segundo as notas finais acumuladas nas duas etapas, com os respectivos pesos. 1998 UnB

HISTOGRAMAS

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA

•Gráfico em linha, com as freqüências marcadas sobre as perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.

•É a linha poligonal fechada que une ordenadas traçadas dos pontos médios das classes.

•Sua construção é feita, quase sempre, acompanhando a do histograma

Polígono de frequências sobre a duração das comunicações por telefones.

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA

•Ogiva de Galton•Sir Francis Galton 1822-1911 •Ogiva: gráfico de uma distribuição cumulativa

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA (OGIVA DE GALTON)

Representa frequência acumulada.Mantém o eixo das abscissas Altera a escala do eixo das ordenadas, conforme o tipo

dessa frequência.Construção: marcamos na abscissa os valores da

variável (limites superiores dos intervalos) e na ordenada as freqüências acumuladas.

HISTOGRAMA/POLÍGONO DE FREQUÊNCIA

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA

• Questões para revisão de conteúdo: - Coloque F para falso e V para verdadeiro:

( ) Estatística é a ciência que estuda quantitativamente os fenômenos naturais ou sociais, cuja avaliação está baseada em métodos científicos de coleta, organização, apresentação e análise de dados.

( ) Amostra é um subconjunto das observações abrangidas pela população, através da qual se faz um estudo ou inferência sobre as características da população.

- Tomando por base o texto abaixo: • Ao chegarmos a uma Empresa em que exista risco de

acidentes, não precisamos percorrer todos os ambientes de trabalho, obrigatoriamente, para conseguirmos chegar à conclusão, bem próxima à realidade, de que existe o cuidado com a proteção do trabalhador. Para tanto, basta que seja observado, através de inspeção em alguns setores de cada Departamento, por exemplo, se todos possuem e estão usando os Equipamentos de Proteção Individual e Coletiva, bem como atendendo os procedimentos operacionais estabelecidos. Podemos afirmar que estamos tratando do conceito de:

a) Amostra;b) População;c) Censo;d) Conjunto Universo.

- Coloque F para falso e V para verdadeiro ( ) Os dados organizados recebem a denominação de

“dados organizados em Rol”!

( ) Variável é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

( ) Dados contínuos são aqueles em que a variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo.

Considere uma faculdade com 2.000 estudantes dos quais 1.200 estudam Administração e 800 estudam Ciências Contábeis. Considerando que 40% dos alunos de Administração e 30% dos alunos de Ciências Contábeis possuem bolsas de estudo, responda:

a) Quantidade de estudantes de Administração que possuem bolsas de estudo.

b) Quantidade de estudantes de Ciências Contábeis que não possuem bolsas de estudo.

c) Dentre os bolsistas, qual o percentual de alunos de Administração ?

d) Dentre os não bolsistas , qual o percentual de alunos de Ciências Contábeis?

Medidas de Posição Central• Em uma dada distribuição amostral, é possível fazer várias observações, no

intuito de entender o comportamento dos seus valores. • Podemos, por exemplo, tentar localizar a maior concentração de valores de uma

determinada distribuição. • Revisaremos então as medidas de posição. São elas: as medidas de tendência

central e as separatrizes.

Medidas de tendência Central• As medidas de tendência central são valores que, de

maneira condensada, trazem informações contidas nos dados estatísticos;

• É um valor que tende a melhor representar um conjunto de números. Funcionam como um resumo, passando a ideia do comportamento geral dos dados.

• Resumindo: Representam um valor central em torno do qual os dados se concentram e se distribuem.

Médias

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definido por:

_X = X1 + X2 + ....... + Xn / n

EXEMPLO : {1, 1, 3, 4, 4} X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6

MÉDIA PONDERADA Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem com freqüências f1, f2, ....., fn, então:

_X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn = Xi fi ----------------------------------- ----------

f1 + f2 + ..... + fn fi

MODA

Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única.

EXEMPLOS : X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8

moda = 6 – valor mais freqüente – unimodal Y = 2, 3, 4, 5, 6

não tem moda – amodal Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9

tem duas modas 4 e 8 – bimodal

 

MODA

FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:

Mo =( l * + L * ) / 2 Ou

Mo = l* + h ( D1 / D1 + D2) Sendo:

l* Limite Inferior da Classe Modal.L* Limite Inferior da Classe Modal.h intervalo de classe.D1 Frequencia Simples – Frequencia Anterior.D2 Frequencia Simples – Frequencia Posterior

Mediana

Corresponde ao valor do elemento central de uma amostra.

FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:

Md = l* + h ( Xm – F(Ant) / f*) Sendo:

l* Limite Inferior da Classe Mediana.f* frequencia simples da classe mediana.h intervalo de classe.Xm Valor Mediano.

Medidas de tendência Central

Medidas de Posição

• Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos respectivamente de:

Quartis Decis Percentis

• O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir delas poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de uma variável X.

Medidas de Posição

• QUARTIS dividem a distribuição em quatro partes iguais.

Qnq = X ( nqn / 4 + ½) Sendo:• Qnq primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 1, 2

e 3)• nq número do quartil que se deseja obter• X elemento da série ordenada • n tamanho da amostra

Medidas de Posição

DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes iguais.

• Qnq = X ( nqn / 10 + ½) • Sendo:• Qnq primeiro, segundo e terceiro decil ( i = 1, 2 e

3)• nq número do quartil que se deseja obter• X elemento da série ordenada • n tamanho da amostra

Medidas de Posição

• PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenda em cem partes iguais.

• Qnq = X ( nqn / 100+ ½) • Sendo:• Qnq primeiro, segundo e terceiro centil ( i = 1, 2 e

3)• nq número do quartil que se deseja obter• X elemento da série ordenada • n tamanho da amostra

Exercícios:1. Determine a mediana para os dados (1, 5, 8, 9, 10):a)3,3 b)8 c)6,6 d)5

Exercícios:2. Determine a média para os dados (2, 3, 10, 15, 15):a)10 b)13 c)15 d)9

Exercícios:3. A moda representa:a)O elemento central da distribuição. b)A diferença entre a média e a mediana. c)O elemento de maior frequência na distribuição de valores. d)A soma de todos os valores, dividido pela quantidade de dados.

Exercícios4) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita

com 15 consumidores que atribuíram as seguintes notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100.

Calcular :a) A Médiab) Modac) 3º Quartil

Exemplo usando Excel• Determine a média, a moda, a mediana, Os quartis, apresente também o

4º decil e o percentil 72 da amostra abaixo, usando a planilha do Excel:

44 48 53 54 56 56

56 57 60 60 62 63

63 63 63 65 66 67

68 68 69 69 70 71

72 74 77 78 80 81

82 85 90 93 95 95

97 100 106 107

• As medidas de dispersão dizem como se distribuem os valores em torno da média da amostra (ou população). Elas são:– Amplitude– Variância– Desvio Padrão– Coeficiente de Variação

Medidas de Dispersão

• AMPLITUDE–É a diferença entre o maior e o menor

dado observado.–A amplitude não mede bem a

dispersão dos dados porque, em seu cálculo, usam-se apenas os valores extremos – e não todos os dados.

Medidas de Dispersão

Aluno Notas MédiaAntônio 5 5 5 5 5 5João 6 4 5 4 6 5José 10 5 5 5 0 5Pedro 10 10 5 0 0 5

Exemplo:

Antônio a = 5-5 =0João a = 6-4 = 2José a = 10-0 = 10Pedro a = 10-0 = 10

Medidas de Dispersão

Medidas de Dispersão Variância A variância da amostra, representada por s2, é

obtida somando-se os quadrados dos desvios, em relação à sua média e dividindo o resultado pelo número de observações menos um.

1)( 2

2

n

xxs

1

)( 22

2

n

nx

xs

Exemplo: Considere dois conjuntos de atiradores, ambos com 8 atiradores.Conjunto A: 8,9,10,8,6,11,7,13.Conjunto B: 7,3,10,6,5,13,18,10.Calcule a variância desses dois conjuntos.Conjunto A:

Medidas de Dispersão

X89

1086

117

13

Média99999999

X - média-101-1-32-24

(X – média)2

1011944

16

1)( 2

2

n

xxs

36 2)( xx

14,57362 s

Exemplo: Considere dois conjuntos de atiradores, ambos com 8 atiradores.Conjunto A: 8,9,10,8,6,11,7,13.Conjunto B: 7,3,10,6,5,13,18,10.Calcule a variância desses dois conjuntos.Conjunto B:

Medidas de Dispersão

X73

1065

131810

X2

499

1003625

169324100

72 x

?2 s

812 2x

1

)( 22

2

n

nx

xs

Medidas de Dispersão

• DESVIO -PADRÃO

–O desvio padrão é a raiz quadrada do valor obtido para a variância.

–Ele é o valor que quantifica a dispersão dos eventos sob distribuição normal, ou seja, a média das diferenças entre o valor de cada evento e a média central.

Medidas de Dispersão

Coeficiente de Variação

• Corresponde à relação entre o desvio-padrão e a média.

• Ele mede a dispersão relativa em relação à média.

100xsCV

Medidas de Dispersão

• Calcule o desvio-padrão da amostra: 4, 5, 5, 7 e 8 e marque a opção correta:

A) 2,56. B) 1,64. C) 5,80. D) 1,80.

Medidas de Dispersão

• Calcule o desvio-padrão da amostra: 2, 2, 7, 8 e 9 e marque a opção correta:

A) 5,6. B) 3,36. C) 7,6. D) 1,30. E) 1,70.

• O Desvio Padrão, bem como a Variância, é uma medida de dispersão. Uma daquelas que medem o quanto cada elemento de uma distribuição se desviou de um valor central. No caso, este valor central é a média. As notas do aluno João ao longo de 6 simulados feitos por ele foram: 4,0 - 7,0 - 6,0 - 6,0 - 8,0 - 5,0 determine o desvio padrão dessas notas.

Medidas de Dispersão

• ENEM 2010 - Questão 170 – Prova Rosa.• Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o

candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

• Dados dos candidatos no concurso

• O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é:• A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.• B) Marco, pois obteve menor desvio padrão.• C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.• D) Paulo, pois obteve maior mediana.• E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

Medidas de Dispersão

Produto A Produto B25,5 27,026,0 27,026,5 27,025,0 27,026,0 26,025,0 27,024,0 27,525,0 27,025,5 28,026,0 26,0

Calcule a média e o desvio padrão dos dados apresentados na tabela abaixo:

Peso em gramas de um produto.

Medidas de Dispersão (Excel)

100,0 97,5100,0 85,097,5 85,080,0 80,0

Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos dados da tabela abaixo:Conceito de qualidade de uma

pesquisa a um determinado serviço

Medidas de Dispersão (Excel)

Noções sobre correlação

• Existem situações em que interessa estudar o comportamento conjunto de duas variáveis. O comportamento conjunto de duas variáveis aleatórias contínuas pode ser observado através do gráfico de dispersão, no qual cada variável é plotada em cada eixo cartesiano, ou através de uma medida estatística denominada coeficiente de correlação.

Noções sobre correlação

• O termo correlação significa relação nos dois sentidos: descreve a associação entre duas variáveis, não fazendo julgamento sobre se uma é causa ou conseqüência da outra. A correlação é usada quando se deseja estudar quão consistentemente duas variáveis mudam em conjunto. Quando isto ocorre diz-se que há uma correlação ou covariação, cuja direção e magnitude podem ser quantificadas.

Diagrama de dispersão

• Para desenhar uma diagrama de dispersão, 1º se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois se representa uma das variáveis no eixo dos X e a outra variável no eixo dos Y. Colocam-se, então, os valores das variáveis sobre os respectivos eixos e marca-se um ponto para cada par de valores.

Correlação: Positiva e Negativa

• Correlação positiva – as variáveis X e Y crescem no mesmo sentido, isto é, à medida que x cresce, em média, Y também cresce.

• Correlação negativa – as variáveis X e Y variam em sentidos opostos, isto é, caso X cresça, Y em média decresce.

• Correlação nula – não há interação entre as variáveis X e Y.

Coeficiente de correlação ( r )• Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de uma população, das

quais é selecionada uma amostra de pontos (x;y). A correlação entre as variáveis X e Y quantifica o grau da relação linear entre os resultados.

• A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y da população é estimada pelo coeficiente de correlação de Pearson, denotado por r:

ny

ynx

x

nyx

xyr

2

2

2

2

***O coeficiente de correlação ( r )varia entre –1 e +1.

Grau de correlação

• CHADDOCK propôs a seguinte classificação quanto ao grau de correlação:

Classificação do grau de correlaçãor = 0 Não há correlaçãor < 0,5 Correlação Fracar > 0,5 Correlação Médiar > 0,75 Correlação Forter = 1 Correlação Perfeita

Resumindo...• O coeficiente de correlação mede o “ajuste” de uma reta

traçada o mais próximo possível dos pontos que a determinaram, isto é, quão próximos da reta traçada se encontram os pontos. O gráfico ou diagrama de dispersão mostra se as duas variáveis variam no mesmo sentido (r > 0), em sentidos opostos (r < 0),ou se as duas variáveis não variam em conjunto (r = 0). Portanto o coeficiente de correlação varia de -1 a +1, denominando a correlação para esses valores extremos de: correlação perfeita e negativa (r = -1) e correlação perfeita e positiva (r = +1).

Exercício

Exercícios

• 1 - Faça um diagrama de dispersão e avalie se existe correlação e qual o seu tipo.

Dia Carros Vendidos1 105 8

10 715 620 425 230 1

Exercícios

• 2 - Faça um diagrama de dispersão e calcule o coeficiente de correlação para os dados apresentados na tabela abaixo:

X Y3 25 24 72 71 2

Dados relativos a duas variáveis X e Y

Exercícios• Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência e o número

de entrevistas realizadas numa amostra com 10 entrevistadores revelando os seguintes dados:

• Determine o coeficiente de correlação.

Semanas de experiência

Nº de entrevistas realizadas

15 441 958 1218 637 852 1028 624 545 1033 7

1518

2428

3337

4145 52

58

02468

101214

15 18 24 28 33 37 41 45 52 58

nº d

e en

trevi

stas

real

izad

as

Semanas de experiência

Experiência de entrevistadores

Desafio ( Excel )• 3 – Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi

obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os dados estão na tabela abaixo.

Produção (Qt) Tempo (em horas)

25 2,745 2,760 3,568 3,780 5,8100 5,1120 4,8140 11,7143 11,1148 14,2

Construa um diagrama de dispersão. Você acha que existe correlação entre as medidas?

Noções sobre Regressão Linear

• Todas as vezes que temos duas variáveis com certa correlação e desejamos estudar uma variável em função da outra, fazemos uma análise de regressão.

• O objetivo principal da análise de regressão é realizar a relação entre as duas variáveis, a partir de um modelo matemático linear, partindo de n observações delas.

• A variável sobre a qual desejamos fazer a estimativa é denominada variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

Noções sobre Regressão Linear

• Anteriormente foi estudado o comportamento conjunto de duas variáveis, agora será estudado como uma variável varia em função da outra.

• Quando se estuda a variação da variável Y em função de uma variável X, diz-se que Y é a variável dependente e que X é a variável explanatória.

Reta de regressão• Dada uma nuvem de pontos de configuração

aproximadamente retilínea, é sempre possível interpolar a esses pontos uma reta – Reta de Regressão - com o objetivo de produzir uma informação simplificada.

Tempo (minutos)

Produtos Fabricados

2 43 65 108 16

10 1912 2114 2815 32

• Para que esta reta fique bem determinada é necessário que se calcule: – O coeficiente angular – que dá a inclinação da reta – é representado por b.

– O coeficiente linear – que é o ponto que intercepta o eixo dos Y, representado por a.

Reta de regressão

nx

x

nyx

xyb

22 )(

xbya x*Onde e são as médias de Y e X respectivamente.y

Reta de regressão

• Assim a equação da reta de regressão ficará:bxaY

^

são os valores calculados para Y

Agora que já conhecemos as fórmulas, ajuste a reta de regressão do primeiro exemplo desta apresentação.

Resolução do Exemplo

Tempo (X) (minutos)

Produtos Fabricados (Y) X^2 X.Y

2 4 4 83 6 9 185 10 25 508 16 64 128

10 19 100 19012 21 144 25214 28 196 39215 32 225 48069 136 767 1518

nx

x

nyx

xyb 2

2 )(xbya bxaY

^

Fórmulas:Coeficiente Angular Coeficiente Linear Equação da reta

17y 625,8x

Ajustando a reta – Transformação de Variáveis

Para que uma regressão linear simples possa ser ajustada aos dados, muitas vezes se torna necessário transformar uma ou as duas variáveis, já que, em alguns casos as duas variávies não se distribuem em torno de uma reta e sim, de uma curva ou mesmo de número muito grande de retas, ocasionando desta maneira, uma margem grande de erros, caso não haja a TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEIS.•Essa transformação pode ser:

– O logaritmo de uma variável– A extração de raiz quadrada– A inversão da variável.

Exercícios• Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência e o número de

entrevistas realizadas numa amostra com 10 entrevistadores revelando os seguintes dados:

• Ajuste uma reta de regressão aos dados apresentados.

Semanas de experiência

Nº de entrevistas realizadas

15 441 958 1218 637 852 1028 624 545 1033 7

1518

2428

3337

4145 52

58

02468

101214

15 18 24 28 33 37 41 45 52 58nº

de

entre

vist

as re

aliz

adas

Semanas de experiência

Experiência de entrevistadores

Resolução

nx

x

nyx

xyb 2

2 )(

xbya bxaY ^

Fórmulas:Coeficiente Angular Coeficiente Linear Equação da reta

Semanas de experiência (X)

Nº de entrevistas realizadas (Y)

15 441 958 1218 637 852 1028 624 545 1033 7

x^2

22516813364324

13692704784576

20251089

X.Y

60369696108296520168120450231

351 77 14141 3018

7,7y1,35x

Desafio ( Excel )• Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi

obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os dados estão na tabela abaixo.

Produção (Qt) Tempo (em horas)

25 2,745 2,760 3,568 3,780 5,8100 5,1120 4,8140 11,7143 11,1148 14,2

Utilizando o Excel, Construa um diagrama de dispersão e Ajuste uma reta de regressão aos dados apresentados.

OBRIGADO E BONS ESTUDOS!