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  • Lista de Exerccios 6: SoluesFunes

    UFMG/ICEx/DCC DCC111 Matemtica Discreta

    Cincias Exatas & Engenharias 1o Semestre de 2014

    Conceitos

    1. Determine e justifique se a seguinte afirmao verdadeira ou no para todas as funes f de um conjuntoX para um conjunto Y : para todos sub-conjuntos A e B de X, se A B, ento f(A) f(B).Resposta:A afirmao verdadeira. Prova: Seja f uma funo de X para Y e suponha A X, B X e A B.Seja y f(A). [Devemos mostrar que y f(B)]. Pela definio de imagem de um conjunto, y = f(x) paraalgum x A. Como A B, x B e, assim, y = f(x) para algum x B. Consequentemente, y f(B) [oque devia ser mostrado].

    2. Determine e justifique se a seguinte afirmao verdadeira ou no, para todas as funes f de um conjuntoX para um conjunto Y : para todos sub-conjuntos A e B de X, f(A B) = f(A) f(B).Resposta:A afirmao falsa. Prova [por contra-exemplo]: Seja X = {1, 2, 3} e seja Y = {a, b}. A funo f : X Y definida pelos seguintes pares ordenados:

    {(1, a), (2, b), (3, b)}.Seja A = {1, 2} e seja B = {1, 3}. Temos que f(A) = {a, b} = f(B) e, assim f(A) f(B) = {a, b}. Masf(A B) = f({1}) = {a} 6= {a, b}. Assim, f(A B) 6= f(A) f(B).

    3. A definio de funo injetiva ou um-para-um pode ser dada de duas formas:

    x1, x2 X, se f(x1) = f(x2) ento x1 = x2e

    x1, x2 X, se x1 6= x2 ento f(x1) 6= f(x2)Porque estas duas definies so logicamente equivalentes?

    Resposta:A segunda definio a forma contrapositiva da primeira.

    Sequncia como funo

    4. Apresente uma funo definida no conjunto dos inteiros no negativos que construa a seqncia abaixo:

    1,13,

    15,1

    7,

    19, 1

    11, . . .

    Resposta:Seja Z = 0 Z+. A seqncia pode ser construda pela funo f : Z R definida como:

    f(n) =(1)n2n+ 1

    ,

    para todos os inteiros no negativos n.

    Autmato finito

    5. Determine qual a linguagem aceita pelo autmato A1 = (I, S, s0, F,N), onde

    I = {0, 1}.

    1

  • S = {s0, s1, s2}.F = {s2}.N = {(s0, 0, s1), (s0, 1, s0), (s1, 0, s2), (s1, 1, s0), (s2, 0, s2), (s2, 1, s0)}.Resposta:O diagrama desse autmato pode ser representado por:

    A linguagem aceita por este autmato o conjunto de todos os strings de 0s e 1s que terminam com 00,i.e. (01)00.

    6. Projete um autmato finito com alfabeto de entrada {0, 1} que aceita o conjunto de todos strings queterminam com trs 1s.

    Resposta:O diagrama desse autmato pode ser representado por:

    7. Um string de 0s e 1s dito ter paridade par se contm uma quantidade par de 1s e dito ter paridadempar se contm uma quantidade mpar de 1s. Projete um autmato finito com alfabeto de entrada {0, 1}que aceita o conjunto de todos strings que tm paridade par.

    Resposta:O diagrama desse autmato pode ser representado por:

    Observe que A aceita todos os strings que tm uma quantidade par de 1s. Apesar de A ser mais complicado,tambm reconhece os mesmos strings. Assim os dois autmatos so equivalentes, apesar de A ter menosestados que A.

    8. Seja o autmato AParidadePar = (I, S, s0, Q,N) da questo anterior (exerccio 7). possvel achar um stringw que quando aplicado funo de estado final N(s, w) temos que s S. se N(si, w) = N(sj , w) entoi = j, onde si S e sj S.

    2

  • Resposta:Sim para o autmato A. Prova: o string w = 1 quando aplicado ao estado s0 vai para o estado s1 e se foraplicado ao estado s1 vai para o estado s0, que so os dois nicos estados de A.

    O mesmo raciocnio vale para o autmato A.

    9. Projete um autmato finito com alfabeto de entrada {0, 1} que aceita o conjunto de todos strings quecomeam com o prefixo 01.

    Resposta:O diagrama desse autmato pode ser representado por:

    Princpio da casa de pombo

    10. Seja S = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Suponha que seis inteiros sejam escolhidos de S. Existem dois inteiroscuja soma 15? Justifique sua resposta.

    Resposta:Sim. Seja Y o conjunto de todos os pares de inteiros de S que somam 15. Existem cinco elementos emY , ou seja, Y = {{3, 12}, {4, 11}, {5, 10}, {6, 9}, {7, 8}}, e cada inteiro de S ocorre em exatamente um par.Seja X o conjunto de seis inteiros escolhidos de S e considere a funo de X para Y definida pela regra:P (x) = o par para o qual x pertence. Como X tem seis elementos e Y tem cinco elementos e 6 > 5, entopelo princpio da casa de pombo, P no uma funo injetiva. Assim, P (x1) = P (x2) para alguns inteirosx1 e x2 em X com x1 6= x2. Isto significa que x1 e x2 so inteiros distintos no mesmo pair, o que implicax1 + x2 = 15.

    11. Quantos inteiros devem ser escolhidos aleatoriamente para se ter certeza que pelo menos dois deles tm omesmo resto quando divididos por 7? Justifique sua resposta.

    Resposta:Qualquer nmero inteiro quando dividido por 7 pode deixar como resto 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Assim, podem serescolhidos sete nmeros que deixam um resto diferente. Ao se pegar um oitavo nmero, teremos pelo menosdois nmeros que deixam o mesmo resto.

    12. Mostre que para qualquer conjunto de 13 nmeros escolhidos no intervalo [2, 40], existem pelo menos doisinteiros com um divisor comum maior que 1.

    Resposta:Seja A o conjunto de 13 nmeros escolhidos e seja B o conjunto de todos os nmeros primos no intervalo[2, 40], ou seja, B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}. Para cada x em A, seja F (x) o menor nmeroprimo que divide x. Como A tem 13 elementos e B tem 12 elementos, pelo princpio da casa de pombo,F no uma funo injetiva. Assim, F (x1) = F (x2) para algum x1 6= x2 em A. Pela definio de F , istosignifica que o menor nmero primo que divide x1 igual ao menor nmero primo que divide x2. Assim,dois nmeros em A, x1 e x2, tem um divisor comum maior que 1.

    13. Suponha um grupo de 40 pessoas, todas na faixa de 17 a 34 anos. Voc quer fazer uma aposta que o grupopossui pelo menos x pessoas com a mesma idade. Qual o maior valor de x que voc pode apostar comcerteza para vencer a aposta?

    Resposta:No intervalo de 17 a 34, temos 18 anos. Como 40 > 18 2, pelo princpio da casa de pombo existem pelomenos x = 3 pessoas da mesma idade. Como 18 3 > 40, no possvel garantir que mais que trs pessoastm a mesma idade. Assim, x deve ser 3.

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  • 14. Um grupo de 15 executivos usar os servios de cinco assistentes. Cada executivo tem exatamente um assis-tente e nenhum assistente trabalha para mais de quatro executivos. Mostre que pelo menos trs assistentestrabalham para trs ou mais executivos.Resposta:Seja k o nmero de assistentes que trabalham para trs ou mais executivos. Como nenhum assistente trabalhapara mais que quatro executivos, estes assistentes trabalham para no mximo 4k executivos. Cada um dosoutros 5k assistentes trabalham para no mximo dois executivos. Assim, estes assistentes trabalham parano mximo 2(5 k) = 10 2k executivos. Assim, o nmero mximo de executivos que tm assistentes 4k+(102k) = 10+2k. Neste caso, temos 15 executivos com assistentes, ou seja, 15 10+2k, or k 5/2.Como k um nmero inteiro temos que k 3. Assim, pelo menos trs assistentes trabalham para trs oumais executivos.

    15. Uma rede de computadores formada por seis computadores. Cada computador diretamente conectadoa zero ou mais computadores. Mostre que existem pelo menos dois computadores na rede que possuem omesmo nmero de conexes, ou seja, esto conectados diretamente ao mesmo nmero de outros computa-dores.Resposta:Cada computador pode estar conectado a zero, um, dois, etc., at cinco computadores, j que existemseis computadores. No entanto, podemos observar que simultaneamente no podemos ter um computadorconectado a nenhum outro (zero conexes) e um outro conectado a cinco computadores (todos os outros). (Seum computador no est conectado a nenhum computador ento nenhum outro computador est conectadoa todos os cinco; e se um computador est conectado a todos os cinco ento nenhum computador est semconexo.) Assim, temos cinco possibilidades para o nmero de conexes e seis computadores. Pelo princpioda casa de pombo, temos pelo menos dois computadores que possuem o mesmo nmero de conexes.

    16. Dezenove pessoas tm o primeiro nome Zeca, Wally e Linda, o segundo nome Lucas e Davi, e o ltimo nomeYu, Zamora e Santos. Mostre que pelo menos duas pessoas tm os mesmos trs nomes.Resposta:O nmero total de combinaes de nomes diferentes dado por

    3 # possibilidades parao primeiro nome

    2 # possibilidades parao segundo nome

    3 # possibilidades parao terceiro nome

    = 18

    Como existem 19 pessoas e 18 possibilidades de nomes diferentes, pelo princpio da casa de pombo existempelo menos duas pessoas que tm os mesmos trs nomes.

    17. Sejam cinco pontos distintos no plano, todos com coordenadas inteiras. Mostre que algum par de pontos temum ponto intermedirio que tambm tem coordenadas inteiras. (O ponto intermedirio obtido tomandoas mdias das coordenadas x e y.)Resposta:A coordenada x de cada ponto um nmero par ou mpar. O mesmo vale para a coordenada y. Setomarmos dois pontos quaisquer, temos quatro possibilidades diferentes de tipos de coordenadas para essespontos. Como existem cinco pontos e quatro possibilidades temos que pelo menos dois pontos pi = (xi, yi)e pj = (xj , yj) tm: Ambos xi e xj pares ou ambos xi e xj mpares, e Ambos yi e yj pares ou ambos yi e yj mpares.

    Assim, xi + xj par e yi + yj tambm par e, consequentemente, o ponto intermedirio (xi+xj

    2 ,yi+yj2 )

    tambm tem coordenadas inteiras.

    Funo de complexidade

    18. Sejam as seguintes funes:

    g1 = n1

    logn g2 = ln lnn g3 = (lnn)2 g4 = n

    g5 = 2logn g6 = n log n g7 = log(n!) g8 = n2

    g9 = 4logn g10 = ( 32 )n g11 = 2n g12 = en

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  • e os seguintes fatos (a > 0, b > 0, c > 0, n R):

    log n = log2n lnn = logen

    a = blogba logc(ab) = logca+ logcb

    logban = nlogba logba =logcalogcb

    logba =1

    logabalogbn = nlogba

    n1

    logn = nlogn2 = 2 2logn