ME623Planejamento e Pesquisa

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Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados)

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Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVAANOVA = Analysis of Variance

Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?

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Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVAANOVA = Analysis of Variance

Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?

Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis)

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Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVAANOVA = Analysis of Variance

Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?

Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis)

Qual é então a motivação para ANOVA?

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Teste t da aula anterior> y1 <- c(1.85, 2.40,-1.21, 0.35, 3.52, 4.04, 4.96, 0.15, -0.59, 2.57)

> y2 <- c(-1.62, -0.75, 1.70, 2.12, 3.98, -4.87, -2.34, 3.02, -0.08, -1.27)

> t.test(y1, y2, var.equal=TRUE)

ANOVA:> grupo <- factor(rep(1:2, each=10), labels=c(“Supl", “Placebo"))

fit <- aov(c(y1,y2) ~ grupo)

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Vamos começar com um exemplo...

Uma engenheira quer investigar a resistência de uma nova fibra sintética usada para fazer camisetas.

Ela sabe que a porcentagem de algodão na composição da fibra afeta a resistência.

Será quer aumentar a porcentagem de algodão aumentará a resistência da fibra?

A porcentagem de algodão deve ser entre 10 e 40% para que o produto final tenha outras características de qualidade desejáveis (como poder aplicar uma estampa)

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Exemplo (cont.)Testar 5 níveis do percentual de

algodão: 15, 20, 25, 30, e 35%Repetir o experimento 5 vezes para

cada percentualPerguntas

1. Quantos fatores?2. Qual é o fator?3. Quantos níveis? Quais são?4. Quantas replicações?5. Quantas UE são necessárias?

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Aleatorização%

Algodão

Ordem Ensaio

15 1 2 3 4 520 6 7 8 9 1025 11 12 13 14 1530 16 17 18 19 2035 21 22 23 24 25

UE

Ordem

Ensaio

%Algod

ão

1 8 202 18 303 10 204 23 355 1 156 5 157 14 25...

.

.

.

.

.

.

22 16 3023 25 3524 19 3025 3 15

Por que mesmo que a aleatorização é importante?

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DADOS EXPERIMENTAIS

Resistência medida em lb/in2

%Algod

ão

Observações

Total

Média

1 2 3 4 5

15 7 7 15 11 9 49 9.820 12 17 12 18 18 77 15.425 14 18 18 19 19 88 17.630 19 25 22 19 23 108 21.635 7 10 11 15 11 54 10.8

376 15.04

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Visualização dos Dados

Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão

Figura: Dotplot da resistência versus % de algodão

Existe alguma indicação de que a porcentagem de algodão afeta a resistência da fibra sintética?

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A Análise de VariânciaQueremos testar se existe diferença

entre as resistências média para todos os a=5 níveis do fator A

E por que não aplicar o teste t para todos os pares de médias?P(não rejeitar H0| H0 é verdadeira) = (1 − 0.05)10 = 0.60

P(Erro Tipo I) = 1 – 0.60 = 0.40

O procedimento apropriado para testar a igualdade de várias médias é conhecido como Análise de Variância

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A Análise de Variância (ANOVA)Tratamentoou Fator A

(nível) ObservaçõesTotai

s Médias1 y11 y12 . . . y1n

2 y21 y22 . . . y2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

.

.

.a ya1 ya2 . . . yan

Representação típica dos dados em experimentos com um fator

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ModeloAs observações do experimento

(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:

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ModeloAs observações do experimento

(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:

Restrição:

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ModeloAs observações do experimento

(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:

Porque precisamos da Restrição?

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ModeloAs observações do experimento

(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:

Porque precisamos da Restrição?

Temos k médias : média pop. do fator I

k+1 parâmetros! Identificabilidade!

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Efeito Fixo ou Aleatório?Efeito Fixo: os a tratamentos foram

especi-ficamente escolhidos.Conclusões aplicam-se APENAS aos

trata-mentos considerados na análise

Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos.

Conclusões podem ser estendidas à popu-lação de tratamentos

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Formulando as HipótesesQueremos testar a igualdade das médias

dos a tratamentos, ou seja,

Veja que

Portanto, a hipótese acima é equivalente a testar se os efeitos dos tratamentos são nulos:

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Notação

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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)

Exercício: Demonstrar!!!

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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)

SSA é a soma de que?SSE é a soma de que?

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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)

SSA é a soma de que? Mede dif. média dos trat

SSE é a soma de que? Sobra: devido ao erro

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Graus de Liberdade das Soma de Quadrados

Soma de Quadrado

sGraus de

Liberdade (gl) ExplicaçãoSSA a – 1 a níveis do Fator A

SSE a(n – 1) = N – a n – 1 gl dentro de cada nível do fator A

SST N – 1 N observações no total

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Soma de Quadrados dos Erros

O termo entre colchetes dividido por é a variância amostral para o i-ésimo tratamento:

Então um estimador de é dado por

Estimador de σ2

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Quadrados Médios (MS)Definição:

Quadrado Médio do Erro (MSE)

Quadrado Médio do Fator A (MSA)