ME623APlanejamento e Pesquisa

5. Experimentos Fatoriais

1. Experimento Fatorial com Dois Fatores

2. Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores)

3. Experimento Fatorial 2k

4. Única Replicação de Um Fatorial 2k

5. Experimento Fatorial Fracionado 2k-p

Fatoriais 23 - Exemplo Refrigerante

Vamos voltar no exemplo do refrigeranteA idéia é controlar três fatores durante

o processo de engarrafamento:1. Porcentagem de CO2: 10 e 14%

(antes tínhamos 12% também)

2. Pressão da máquina: 25 e 30 psi3. Velocidade da linha de produção: 200

ou 250 A varíavel resposta é do desvio da altura

do líquido na garrafa em relação ao valor nominal

A engenheira decidiu rodas duas replicações para cada tratamento

Fatoriais 23 - Exemplo Refrigerante

Os dados estão na tabela abaixo

Pressão (B)

25 30

CO2

(A)

Velocidade(C)

Velocidade (C)

200 250 200 250

10−3 −1 −1 1

−1 0 0 1

145 7 7 10

4 6 9 11

Exemplo – RefrigeranteTambém podemos escrever os dados

assim:Fator

Replicação

CO2

(A)

Pressão(B)

Velocidade(C)

I IITratame

nto

− − − −3 −1 (1) = −4

+ − − 5 4 a = 9

− + − −1 0 b = −1

+ + − 7 9 ab = 16

− − + −1 0 c = −1

+ − + 7 6 ac = 13

− + + 1 1 bc = 2

+ + + 10 11 abc = 21

Exemplo – RefrigeranteVisualização dos dados no cubo:

(1) = −4 Fato

r Ba = 9

ab = 9b = −1

c = −1 ac = 13

bc = 2 abc = 21

Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante

Tabela dos sinais para calcular os efeitos

Efeito FatorialTratamen

to I A B AB C AC BCABC

(1) = −4 + − − + − + + − a = 9 + + − − − − + + b = −1 + − + − − + − + ab = 16 + + + + − − − − c = −1 + − − + + − − + ac = 13 + + − − + + − − bc = 2 + − + − + − + −abc = 21 + + + + + + + +

Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante

De maneira geral, o cálculo dos efeitos num fatorial 2k é feito da seguinte forma:

Nesse exemplo, os efeitos principais são:

Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante

Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois):

E a interacão ABC:

Fatoriais 23 – Análise de Variância

As SS num fatorial 2k seguem a seguinte fórmula:

No exemplo anterior:

Fatoriais 23 – Análise de Variância

Por fim, temos:

eResumo dos Efeitos Estimados

Exemplo RefrigeranteTabela ANOVA:

A única interação significante é a interação entre CO2 e pressão (p-valor = 0.0372)

Todos os efeitos principais são significantes a 1%

Significância dos Efeitos – além da ANOVAA ANOVA é o método formal para determinar

se os efeitos de um fator são não nulosExistem outros métodos que podem ser úteisRelembrando, o efeito de um fator é

estimado por:

A variância do efeito é:

Significância dos Efeitos – além da ANOVAIsso porque cada contraste é uma

combinação linear de 2k totais de tratamentos, e cada total consiste de n observações:

Então o erro padrão (EP) do efeito é:

Com isso, podemos calcular IC para cada efeito:

onde 2k(n – 1) são os graus de liberdade do erro

Vamos ilustrar esse método com o exemplo do refrigerante

Significância dos Efeitos – além da ANOVADa tabela ANOVA temos que MSE = 0.813 com

8 graus de liberdadeEntão o erro padrão (EP) do efeito é:

Sendo t0.025, 8 = 2.31, temos os seguintes IC de 95%: • Essa análise

indica que todos os efeitos principais (A, B e C) e a interação AB são importantes, pois o zero não está contido no IC

Delineamento Fatorial 2k geralOs métodos que vimos até aqui podem ser

generalizados para o caso 2k

Temos k fatores com dois níveis cada. E ainda:◦k efeitos principais

◦ interações dois a dois

◦ interações três a três

◦… até uma interação com k fatores

Por exemplo, num fatorial 24 os tratamentos na ordem padrão são: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, cd, abd, acd, bcd, abcd

Delineamento Fatorial 2k geral

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k

1) Estimar os efeitos2) Formar o modelo inicial3) Faça os testes estatísticos4) Refinar o modelo5) Análise dos resíduos6) Interpretar os resultados

Quando o número de fatores é alto, mostrar a tabela de sinais não é viável.

Em geral, podemos determinar o contraste para

AB…K expandindo

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k Quando obtemos “1” substituir por “(1)” O sinal deve ser negativo se o fator é

incluso no efeito e positivo se não.

Exemplo: Fatorial 23

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k Para um fatorial 25, o contraste ABCD é

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k

Cálculo dos efeitos e SS: