ME623APlanejamento e Pesquisa

5. Experimentos Fatoriais

1. Experimento Fatorial com Dois Fatores

2. Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores)

3. Experimento Fatorial 2k

4. Única Replicação de Um Fatorial 2k

5. Blocagem e Confundimento em Fatoriais 2k

6. Experimento Fatorial Fracionado 2k-p

Blocagem em Fatoriais 2k

Já vimos anteriormente como analisar experimentos fatoriais com replicações em blocos

Se existem n replicações, cada replicação do fatorial completo é rodada dentro um bloco, isto é, cada bloco contém todos os tratamentos

A aleatorização acontece dentro de cada bloco

Vamos voltar no exemplo da pipoca, em que tínhamos dois fatores (marca e tempo no microondas) e 3 replicações

Suponha agora que os sacos de pipoca usados em cada replicação foram comprados em supermercados diferentes. Nesse caso, cada supermercado constitui um bloco

Exemplo – PipocaFator Replicação

Marca(A)

Tempo(B)

Tratamento I II III

− − (1) 28 25 27

+ − a 36 32 32

− + b 18 19 23

+ + ab 31 30 29

Bloco I Bloco II

Bloco III

(1) = 28 (1) = 25 (1) = 27 a = 36 a = 32 a = 32 b = 18 b = 19 b = 23ab = 31 ab = 30 ab = 29

Total Blocos B1 = 113 B2 = 106 B3 = 111

Experimento da Pipoca em Blocos

Blocagem em Fatoriais 2k

Todas as SS são calculadas da mesma forma que no experimento fatorial 2k

A SSBloco é calculada pelo total dos blocos B1, B2 e B3:

Blocagem em Fatoriais 2k

A Tabela ANOVA (compare com a ANOVA sem blocos):

anova(lm(dados~factor(bloco) + factor(marca)*factor(tempo)))

Confundimento em Fatoriais 2k

A técnica de blocagem é muito útil quando é possível aplicar todas os tratamentos dentro de cada bloco

Mas e quando não é possível realizar uma replicação completa dentro de um bloco?

Usamos uma técnica chamada de confundimento

Essa técnica arranja um experimento fatorial completo em blocos, onde o tamanho do bloco é menor que o número de tratamentos numa única replicação

Isso faz com que certos efeitos (usualmente interações de ordem mais alta) sejam confundidos com os blocos

Confundimento em Fatoriais 2k

Os experimentos que iremos estudar aqui são delineamentos em blocos incompletos, já que cada bloco não contém todos os tratamentos

Ainda assim, a estrutura especial dos fatoriais 2k permite uma método de análise simplificado

Iremos considerar a construção e análise de fatoriais 2k em 2p blocos incompletos, onde p < k

Isso quer dizer que podemos usar dois blocos (p=1), quatro blocos (p=2), oito blocos (p=3) e assim por diante

Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosSuponha que iremos rodar uma única

replicação de um fatorial 22, ou seja, 4 tratamentos e estes necessitam de um certa quantidade de matéria-prima

Cada lote de matéria-prima é suficiente para apenas 2 tratamentos serem testados

Então, precisamos de 2 lotes de matéria-prima e cada lote é considerado um bloco

Bloco 1

Bloco 2

(1) aab b

Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosA ordem em que cada tratamento são

rodados dentro dos blocos é aleatóriaAlém disso, aleatoriamente decidimos qual

bloco rodar primeiro

Bloco 1

Bloco 2

(1) aab b

Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosTabela dos sinais para um fatorial 22

Cálculo dos efeitos principais (ignorando os blocos)

Os efeitos de A e B não são afetados pelos blocos (note um + e um − nos tratamentos de cada bloco)

Tratamento

Efeito Fatorial

BlocoI A B AB(1) + − − + 1a + + − − 2b + − + − 2ab + + + + 1

Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos

Vamos agora calcular o efeito da interação AB:

Note que a interação é calculada como a diferença dos tratamentos no Bloco 1 [(1) e ab] e os tratamentos no Bloco 2 [a e b]

Então o efeito da interação AB é idêntico ao efeito do bloco

Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosNesse caso dizemos que AB está

confundida com blocos (veja a relação na tabela dos sinais)

Essa técnica pode ser usada para confundir qualquer efeito (A, B ou AB) com blocos

Em geral, usamos essa técnica para confundir a interação de maior ordem

Tratamento

Efeito FatorialI A B A

B C AC

BC

ABC

(1) + − − + − + + −a + + − − − − + +b + − + − − + − +

ab + + + + − − − −c + − − + + − − +

ac + + − − + + − −bc + − + − + − + −

abc + + + + + + + +

Tabela dos sinais para um fatorial 23

Para confundir a interação ABC com blocos, basta escolher os blocos pelas colunas de sinais correspondente ao efeito ABC

Tratamento

Efeito Fatorial

BlocoI A B AB C A

CBC

ABC

(1) + − − + − + + − 1a + + − − − − + + 2b + − + − − + − + 2

ab + + + + − − − − 1c + − − + + − − + 2

ac + + − − + + − − 1bc + − + − + − + − 1

abc + + + + + + + + 2

Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

Esse esquema pode ser usado para confundir qualquer fatorial 2k em 2 blocos

Fator

B

Bloco 1

Bloco 2

(1) aab bac cbc abc

(1) a

b

c

abc

ab

ac

bc

Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação

Então porque precisamos saber este modelo?

Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação

Então porque precisamos saber este modelo?

Porque alguns experimentos são planejados desta maneira

Podemos então simplesmente construir a ANOVA?

Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos

No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação

Então porque precisamos saber este modelo?

Porque alguns experimentos são planejados desta maneira

Podemos então simplesmente construir a ANOVA?

Estimar o erro replicando o desenho.Ler no livro a extensão para 2k em 2p

blocos

Experimentos Fatoriais FracionadosJá dissemos inúmeras vezes que nos

experimentos fatoriais o número de tratamentos aumenta consideravelmente à medida que os aumentamos o número de fatores no estudo

Por exemplo: fatorial 26 = 64 tratamentos Com apenas uma replicação, temos 63

graus de liberdade no total, que se dividem da seguinte forma:6 gl para os efeitos principais15 gl para as interações de 1ª ordem

(interações com dois fatores)42 gl para interações de 2ª ordem e

superiores (interações com 3 ou mais fatores)

Experimentos Fatoriais FracionadosEm muitos casos, não é possível obter

observações para todos os tratamentosSe pudermos assumir que interações de

ordem mais altas são não significativas, então podemos obter informação sobre os efeitos principais e interações de ordem mais baixa rodando apenas uma parte (ou fração) de um experimento fatorial completo

Esses experimentos são chamados de Fatoriais Fracionados

Muito usados em desenvolvimento de produtos e melhoria de processos

Experimentos Fatoriais FracionadosO uso principal desse tipo de

delineamento é em experimentos pilotos (screening experiments)

Experimentos piloto: realizado com muitos fatores com o propósito de identificar os efeitos que são realmente significativos

Geralmente realizado na fase inicial e os fatores identificados como importantes serão então estudados num experimento mais completo

Fatoriais Fracionados: Idéia Básica1) Esparsidade: Quando existem muitas

variáveis, o processo/sistema é dominado por alguns poucos efeitos principais e interações de baixa ordem

2) Projeção: Os fatoriais fracionados podem ser projetados em experimentos mais completos dentro de um subconjunto de fatores significantes

3) Experimentação Sequencial: Dois ou mais fatoriais fracionados pode ser combinados, sequencialmente, e assim estimar os efeitos principais e interações de interesse

Meia Fração (1/2) do Fatorial 2k

ou Fatorial 2k – 1 Considere a situação na qual 3 fatores,

cada um com dois níveis, são de interesse

Temos então 23 = 8 tratamentosO experimentador tem recursos para

obter apenas 4 observações, isto é, metade de uma replicação completa desse fatorial 23

Metade de um experimento fatorial 23 é chamado de fatorial 23 – 1

Fatorial Fracionado 2k – 1 Veja a tabela dos sinais

O fatorial 23 – 1 é formado pelos tratamentos que tem o sinal “+” na coluna ABC

Tratamento

Efeito FatorialI A B A

B C AC

BC

ABC

a + + − − − − + +b + − + − − + − +c + − − + + − − +abc + + + + + + + +ab + + + + − − − −ac + + − − + + − −bc + − + − + − + −(1) + − − + − + + −

Fatorial Fracionado 2k – 1 A coluna ABC é que determina a fração

do experimento que será rodadaEntão ABC é chamado de gerador da

fraçãoAlém disso, como a coluna I é sempre +,

dizemos que I = ABC

é a relação de definiçãoNo geral, a relação de definição será

sempre o conjunto de todas as colunas que são iguais à coluna identidade I

No nosso exemplo, a única coluna igual a I é ABC

As Duas Metades de um Fatorial 23

Fator

B

a

b

c

abc

Fator

B

(1)

ab

ac

bc

Fração Principal I = ABC

Fração Alternada I = −ABC

Fatorial Fracionado 23 – 1 Tabela dos sinais para a metade que foi

realizada:

Estimativa dos efeitos principais e interações:

Tratamento

Efeito FatorialI A B AB C AC BC ABC

a + + − − − − + +b + − + − − + − +c + − − + + − − +abc + + + + + + + +

Fatorial Fracionado 23 – 1 Notamos que:

[A] = [BC][B] = [AC][C] = [AB]

Dessa forma, é impossível diferenciar A de BC, B de AC e C de AB

Na realidade, estamos estimando: A + BC, B + AC e C + AB

Dois ou mais efeitos com esta propriedade são chamados de associados (aliases)

Portanto, A e BC são associados e indicamos por

[A] A + BC

Estimativa dos efeitos principais e interações:

Fatorial Fracionado 23 – 1 No nosso exemplo temos:

[A] A + BC[B] B + AC[C] C + AB

A estrutura dos associados pode ser encontrada usando a relação de definição I = ABC da seguinte forma:

Essa meio fração, com I = ABC, é chamada de fração principal

Fatorial Fracionado 23 – 1 A meia fração complementar desse

experimento é formada pelos tratamentos (1), ab, ac e bc

A relação de definição é I =− ABC

As combinações lineares para essa fração são:

[A]’ A − BC[B]’ B − AC[C]’ C − AB

Então quando estimamos A, B e C com esta fração particular, estamos na verdade estimando A − BC, B − AC e C − AB

Fatorial Fracionado 23 – 1 Na prática, não interessa qual fração é

usada (principal ou complementar)Ambas frações pertencem à mesma

família, isto é, as duas meia frações formam um fatorial 23 completo

Se depois de rodar uma das metades de um fatorial 23, a outra meia fração também é rodada, obtemos então informação sobre todos os 8 tratamentos

A partir disso podemos obter estimativas de todos os efeitos analisando as 8 rodadas com um fatorial 23 completo em dois blocos com 4 rodadas cada

Fatorial Fracionado 23 – 1 Estimativas de todos os efeitos podem ser

obtidas também através do seguinte:

Para todos os pares de combinações lineares, temos:

i ½([i] + [i]’) ½([i] − [i]’)A A BCB B ACC C AB

Fatorial FracionadoO problema é que nem sempre é possível

executar mais de um fraçãoNesse caso, temos que escolher,

previamente, os fatores “mais importantes” a serem considerados

Faz sentido um modelo somente com fatores principais, mas não faz sentido um modelo somente com interações

Além disso, o modelo deve permitir a existência de número razoável de gl para os resíduos

Resolução de um DelineamentoResolução III: Os efeitos principais não

estão associados(aliased) com qualquer outro efeito principal, mas efeitos principais estão associados com interações de dois fatores e interações com dois fatores podem estar associadas entre elas. O fatorial 23 – 1 anterior é de resolução III (2III

3 – 1 )

Resolução IV: Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito principal ou com qualquer interação de dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas entre elas.

Resolução de um DelineamentoResolução V: Os efeitos principais ou

interações com dois fatores não estão associados com qualquer outro efeito principal ou interação com dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas com interações de três fatores

Em geral, a resolução de um fatorial fracionado em dois blocos é igual ao menor número de letras em qualquer gerador na relação de definição

Geralmente, prefere-se delineamentos com a mais alta resolução possível dentro do nível de fracionamento requerido

Fatorial 24-1

Fator TaxaFiltraçãoA B C D=ABC Tratamento

− − − − (1) 45+ − − + ad 100− + − + bd 45+ + − − ab 65− − + + cd 75+ − + − ac 60− + + − bc 80+ + + + abcd 96

• O experimento original é uma única replicação de um fatorial 24

• Exercício: Quais as conclusões se apenas meia fração do experimento é rodada?