1 Esttica

1.1 Resumo da Teoria

Para um sistema composto de n partculas de massas m1:::mn, posicionadas em~r1:::~rn, o centro de massa obtido por

~rCM =m1~r1 + :::+mn~rnm1 + :::+mn

:

Em particular, para um problema bidimensional (~r = xi+ yj), teremos

xCM =m1x1 + :::+mnxnm1 + :::+mn

eyCM =

m1y1 + :::+mnynm1 + :::+mn

:

Em uma distribuio contnua de massa (corpo extenso), as coordenadas docentro de massa de um slido de massa total m so obtidas pela integral

xCM =1

m

Zx dm

(forma anloga para yCM e zCM ).Podemos decompor o movimento de um corpo slido em translao do centro

de massa e rotao em torno de centro de massa. Um corpo rgido move-se emtranslao pura se todas as suas partculas sofrem o mesmo deslocamento queo centro de massa em qualquer intervalo de tempo considerado.Para no haver translao do corpo devemos ter o centro de massa em re-

pouso, o que alcanado se, e somente se, a resultante das foras externas aosistema for nula. Em linguagem matemtica,X

~Fext = 0() CM em repouso. (1)

Note que foras entre os constituintes do sistema (foras internas) no con-tribuem para a translao do centro de massa devido a lei de ao e reao.A condio acima, ltima equao, garante apenas que no vai haver translao

do sistema, nada informa sobre a rotao. No entanto, se as fora forem concor-rentes (prolongamentos se interceptam em um nico ponto) no haver rotaoe a equao (1) ser a nica condio para o equilbrio.Quando as foras no forem concorrentes devemos analisar a possibilidade

de rotao com mais cuidado.Na dinmica de rotao o torque desempenha umpapel anlogo ao papel que a fora desempenha na dinmica de translao. Otorque sempre calculado em relao a um ponto arbitrrio: a rotao queuma determinada fora produz em relao a esse ponto. Na gura abaixo vemoso torque que a fora F produz em relao ao ponto O.

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Em mdulo = rF sin

Formalmente,~ = ~r ~F ;

onde ~r o deslocamento entre o ponto onde aplicada a fora ~F e o ponto emrelao ao qual o torque calculado.Para no haver rotao, deve-se ter a resultante dos torques nula em relao

a um ponto qualquer arbitrrio,X~ext = 0() no h rotao. (2)

De fato, o ponto em relao ao qual os torques so calculados arbitrrio, pois P ~Fext = 0P~ext = 0 (um ponto arbitrrio)

()X

~ext = 0 (qualquer outro ponto)

As equaes (1) e (2) so as duas condies de equilbrio fundamentais e, por-tanto, a base de toda esttica.Para o clculo do torque necessrio sabermos a posio onde a fora esta

sendo aplicada. No caso do peso a fora no esta sendo aplicada a um pontoespecico, mas podemos considerar o centro de gravidade como sendo o centrode massa,

~Peso = ~rCM ~FPeso:A demonstrao simples

~Peso = ~r1 m1~g + :::+ ~rn mn~g

~Peso = (m1~r1 + :::+mn~rn) ~g

2

~Peso = ~rCM (m1 + :::+mn)~gPara foras coplanares (contidas em um mesmo plano), teremosX

~F = 0 =)PFx = 0PFy = 0

:

e X~ext = 0 =)

Xz = 0

Em particular,z = xFy yFx:

Em nosso curso sempre vamos considerar foras coplanares.

1.2 Exerccios

1.1) Quando um homem est deitado numa rede de massa desprezvel, as cordasda rede formam um ngulo de 30 com a horizontal. Sendo a intensidade dafora exercida por cada suporte igual a 60 kgf , calcule a massa do homem.

1.2) No teto de uma sala foi pendurada uma pequena esfera. Em um dos osque sustentava a esfera acoplou-se um dinammetro e foi vericado que, com osistema em equilbrio, ele marcava 10 N . Calcule o peso, em newtons, da esferapendurada

1.3) A gura abaixo representa uma barra de halteres apoiada sobre doissuportes. Qual o valor mnimo de m para que a barra que em equilbrio?

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1.4) A gura abaixo representa trs tijolos empilhados com um deslocamentox entre eles. Qual o valor mnimo de x para manter o sistema em equilbrio?

1.5) Um semforo pesando P est pendurado por trs cabos conforme ilustraa gura abaixo. Os cabos 1 e 2 fazem um ngulo e com a horizontal,respectivamente. Determine as tenses nos os 1 e 2 em funo dos ngulos e .

1.6) Uma esfera rgida se encontra em equilbrio, apoiada em uma paredevertical e presa por um o ideal e inextensvel xado na referida parede. SendoP o peso da esfera e 2P a fora mxima que o o suporta antes de arrebentar,calcule o ngulo mximo formado entre a parede.

1.7) O peso do carrinho sem carga, cujo centro de massa est representadona gura, de 5; 0kg. O peso da carga transportada, centro de massa tambm

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representado na gura, de 40 kg. Calcule a fora F exercida por um agenteexterno para levantar o carrinho e a fora normal exercida sobre o pinu. (g =9:8 m=s2)

1.8) No sistema representado na gura abaixo, as massas dos blocos so,respectivamente, mA = 5; 0kg, mB = 10kg e mP = 15kg. Suponha que o blocoP esteja em equilbrio e que no haja atrito entre ele e a superfcie. Calcule ovalor da fora normal que atua sobre o bloco P e o ngulo :(g = 10 m=s2)

1.9) Duas esferas rgidas 1 e 2, de mesmo raio r e massa m, esto em equi-lbrio dentro de uma caixa, como mostra a gura abaixo. Nenhuma das esferasencosta na face anterior ou posterior da caixa, e a largura lateral da caixa 3r.Determine o mdulo da fora de contato nos pontos A, B e C.

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1.10) A gura abaixo representa uma porta de 1:9 m de altura por 0:80 m delargura apoiada em duas dobradias, massa da porta igual a 11 kg. Na gura indicada a direo e sentido das foras exercidas pela porta sobre as dobradias.Ambas as dobradias encontram-se a 40 cm do vrtice mais prximo. Calcule omdulo de F1 e F2 a o ngulo :(g = 9:8 m=s2)

1.11) Joo de massa igual a 60 kg est inicialmente no extremo direito deum pequeno vago de 500 kg de massa. No outro extremo est Jos de massadesconhecida. O vago est completamente solto sobre os trilhos e tem 3 m decomprimento. Os dois trocam de posio e observam que ao nal do processo ovago se deslocou 10 cm para a direita. Qual a massa de Jos?

1.12) Uma criana de 40 kg est na popa de um bote de 70 kg e 4; 0 m decomprimento, como mostra a Figura abaixo. O bote se encontra inicialmentea 3; 0 m do embarcadouro. A criana percebe uma tartaruga num rochedo,

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junto proa do bote, e comea a andar para a proa, a m de tentar apanh-la.Despreze o atrito entre o bote e a gua. Onde estar a criana, em relao aoembarcadouro, quando atingir a proa do bote?

1.3 Respostas

1:1) 60 kgf ; 1:2) 20 N ; 1:3) 8; 0 kg; 1:4) l=3;

1:5)P

tan cos+ sine

P

tan cos + sin

1:6) 60; 1:7) F = 143 N; N = 298 N ; 1:8) 63 N e 600;

1:9) FA =2mgp3; FB =

2mgp3; FC = 2mg;

1:10) F1 = 117 N; F2 = 40 N; = 200

: 117: 051:11) 40kg; 1:12) a 5,55 m do embarcadouro.

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