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Ludger O. Su´ arez-Burgoa MEC ´ ANICA DEL MACIZO ROCOSO I NTRODUCCI ´ ON A LA INGENIER ´ IA DE ROCAS DE SUPERFICIE Y SUBTERR ´ ANEA AUGUST , 2016 Primera Edici ´ on Editorial a ´ un no definida – Medell´ ın

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Ludger O. Suarez-Burgoa

MECANICA DEL MACIZOROCOSO

INTRODUCCION A LA INGENIERIA DE ROCASDE SUPERFICIE Y SUBTERRANEA

AUGUST , 2016

Primera EdicionEditorial aun no definida – Medellın

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Contenido

1 Elementos y minerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Elementos quımicos con atomos estables e inestables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Propiedades extensivas de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Energıa en los sistemas quımicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Cambios de la energıa libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Minerales estables y metaestables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Minerales formadores de rocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Clasificacion de Strunz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Rocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 Clasificacion segun la genetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Clasificacion segun la textura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Material Rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Clasificacion mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Descripcion del material rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Heterogeneidad del material rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Efecto de escala del material rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Efecto del contenido de humedad en el material rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7 Resistencia mecanica a compresion uniaxal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.8 Ensayo de resistencia a compresion uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.8.1 Estandar no-especializado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8.2 Estandar especializado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8.3 Especializado con curva de post-rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8.4 Interpretacion de los datos de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8.5 Umbrales de dano de pre-rotura uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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vi Contenido

3.9 Aplicacion de la UCS al diseno de pilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.9.1 Pilares en un solo nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.9.2 Pilares en varios niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.10 Resistencia mecanica a compresion triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.10.1 Ensayo de resistencia a compresion triaxial-axisimetrico . . . . . . . . . 50

3.11 Resistencia a traccion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.11.1 Ensayo de resistencia a traccion directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.12 Estado de esfuerzos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.13 Envolventes de rotura mecanica maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.13.1 Criterio bi-dimensional de Griffith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.13.2 Criterio de Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.13.3 Criterio de Mohr-Coulomb no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.13.4 Criterio de Hoek-Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.13.5 Criterio de Hoek-Brown no-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.13.6 Criterio de Bieniawski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.13.7 Criterio de Drucker-Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.13.8 Criterio de Drucker-Prager no-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.13.9 Criterio modificado de Wiebols-Cook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.13.10Criterio de Mogi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.13.11Criterio de Mogi-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.13.12Criterio de Bresler-Pister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.13.13Criterio de Murrell-Griffith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.14 Anisotropıa del material rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Lista de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1 La orientacion en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.1 Correccion de Terzaghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.2 Para pozos de perforacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.3 La orientacion promedio y su varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.4 Funcion de distribucion de orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.5 La forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.1.6 Persistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2 Factores que forman las discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3 Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4 Agrupacion (clustering) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.5 Propiedades geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5.1 Rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.6 Propiedades no-geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.7 Resistencia mecanica de las discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.8 Red de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.9 Esfuerzos en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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Contenido vii

5 Macizo Rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1 Tensor de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2 Bloquimetrıa en el macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3 Permeabilidad del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4 Deterioro del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.4.1 Meteorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.5 Continuidad del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.5.1 Volumen elemental representativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5.2 Volumen de perturbacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5.3 Anisotropıa del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.6 Caracterizacion geometrica del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.7 Caracterizacion mecanica del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.7.1 Indices de caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.8 Clasificacion del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.9 Resistencia mecanica del macizo rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6 Capacidad portante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.1 Capacidad portante ultima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.1.1 En macizos con muchas familias de discontinuidades . . . . . . . . . . . . 1286.1.2 En macizos con pocas familias de discontinuidades omnipresentes . 131

6.2 Capacidad portante admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

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Capıtulo 1Elementos y minerales

1.1 Elementos quımicos con atomos estables e inestables

Un elemento estable es aquel elemento quımico (definido en la tabla periodica de elemen-tos) que tiene al menos un isotopo natural y estable en la naturaleza. Por ejemplo el He tienenueve isotopos, pero debido a que en la naturaleza encontramos dos isotopos estables (el3He y el 4He), entonces se considera un elemento estable. Por extension, entonces, un ele-mento es inestable si no tiene ninguno de sus isotopos estables presentes en la naturaleza;por ejemplo el tecnecio.

1.2 Propiedades extensivas de la materia

La masa, el volumen, la entalpıa, la entropıa y la energıa libre son propiedades extensivasde la materia; significa que sus valores dependen de la cantidad de material presente. Porotro lado, la temperatura, la densidad, la viscosidad, la presion y las propiedades similaresson propiedades intensivas.

1.3 Energıa en los sistemas quımicos

Los sistemas mecanicos evolucionan en la direccion que les de una reduccion neta en eltotal de la energıa potencial. Por ejemplo, el agua cae por las laderas; o todo objeto tiendea bajar. La energıa potencial liberada reaparece como otras formas de energıa o trabajo;por ejemplo, la energıa cinetica del agua que baja de las quebradas puede convertirse enenergıa de movimiento al ponerse una turbina.

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2 1 Elementos y minerales

En termodinamica ocurre lo mismo, ellos tienen una reaccion directa o evolucionan enla direccion que les da una reduccion neta en el total de la energıa. El significado que sele da a la energıa libre en las reacciones quımicas es similar a la importancia que se leda a la energıa potencial en la mecanica. Y del mismo modo que ocurre en las reaccionesquımicas, en los sistemas geologicos se tienen procesos relativos a las energıas entre losproductos y los reactantes.

En este sentido, conocer esta diferencia de energıas es de importancia para determinar enque direcciones se formaran los compuestos quımicos cuando reaccionan; y dependiendode factores tales como la presion, la temperatura, el confinamiento y el tiempo, para unmismo compuesto, se puede formar distintas fases del mismo compuesto; que si son solidasdesarrolladas en la corteza terrestre se denominan minerales. La diferencia de las energıasse denomina energıa libre; y dependiendo que si esta se desarrolla a presion constante sedenota con GG debido a Gibbs, o si se desarrolla a volumen constante se denota como GHdebido a Helmoltz. En esta introduccion se vera primero la energıa libre de Gibbs, que porsimplicidad se la denotara solamente con G.

Una reaccion quımica procede en la direccion que le de una reduccion en el energıalibre, y la energıa quımica ası liberada reaparece como energıa pero en otra forma; porejemplo, como la energıa electrica en un acumulador, o la luz o el calor emitido de unpedazo de madera seca ardiendo.

¿Que forma toma la energıa libre? –Esta pregunta se puede ejemplificar mediante unejemplo tomado de [? ].

Imagine un contenedor sellado que tiene agua hasta la mitad de su contenido. El espacioque no esta lleno tiene vapor de agua (gas) hasta una cierta presion en la cual se alcanzala presion de equilibrio de vapor; que depende de la temperatura que se asumira y que eneste caso es constante. De este modo, el agua esta presente en dos estados: en lıquido yvapor; ambos tienen distintas propiedades fısicas y estructura; que mas precisamente se ledenomina fases.

Hasta el momento, a no ser que cambien las condiciones, el sistema mantendra un estadoconstante llamado equilibrio; donde la tasa de evaporacion de la fase lıquida se igualaexactamente con la tasa de condensacion desde la fase de vapor. Por tanto, los volumenesrelativos de las dos fases se mantendran constantes.

En este estado de equilibrio, las energıas libres asociadas a una dada cantidad de aguaen cada una de las fases debe ser igual. Si no fuera el caso, empezarıa a generarse un flujoneto de moleculas de agua desde la fase mas alta hacia la fase mas baja, para posibilitarque se baje la energıa total libre de modo de minimizar esa energıa. Cualquier flujo de estetipo, que altera las proporciones relativas de las dos fases, es inconsistente con el estadoestacionario que se observa. Claramente, en equilibrio, cantidades equivalentes de las dosfases deben tener energıas libres identicas:

Gvapor = Gliquido. (1.1)

Esta afirmacion es de hecho la definicion termodinamica de equilibrio en ese sistema.

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1.3 Energıa en los sistemas quımicos 3

Pero entramos a una paradoja. Nuestro sentido comun nos dice que para volver el agualıquida en vapor tenemos que suministrarle energıa en formad de calor. La cantidad re-querida se llama el valor latente de evaporacion (mas correcto decir la entalpıa de laevaporacion. Esto indica que el vapor tiene una mayor entalpıa (Hvapor) que la cantidadequivalente de la entalpıa del lıquido (Hliquido), es decir

Hvapor > Hliquido. (1.2)

La diferencia refleja el hecho que las moleculas de agua en el estado de vapor tienen:

• mayor potencial de energıa, que se ha escapado de las fuerzas intermoleculares quecontiene el lıquido;

• mayor energıa cinetica (debido a la mucha mayor movilidad de las moleculas en elestado gaseoso).

¿Como podrıamos equiparar las ecuaciones 1.1 y 1.2? –Resulta no ser esta vez de sen-tido comun esperar que el estado lıquido, en donde las moleculas de agua tienen energıasmenores, sean intrınsecamente mas estables que el vapor. ¿Que es aquello que sostiene alvapor, debido a su alta entalpıa, como una fase estable en equilibrio con el lıquido?

La respuesta esta en el estado altamente desordenado caracterıstico del vapor. Lasmoleculas en la fase de gas se mantienen suspensas en los alrededores en direcciones aleato-rias (ocasionalmente colisionando), pero a diferencia que en el lıquido, libres de dispersarseen el volumen disponible. Se dice que el vapor posee alta entropıa (S). La entropıa es unparametro que cuantifica el grado del desorden interno de la substancia. La entropıa tienegran significado en termodinamica, debido a la adherencia natural de la segunda ley de latermodinamica.

Estos estados que todos los procesos espontaneos poseen resultan en un incrementode entropıa. Las consecuencias diarias de la segunda ley es tan familiar que nosotros latomamos como cierta, pero la explicacion de aquello es difıcil de asimilar.

En este contexto, la naturaleza tiene una preferencia al desorden, los estados de la ma-teria con alta entropıa es lo que hace posible que el vapor coexista con el lıquido. En unsentido, la alta entropıa del vapor lo estabiliza con relacion al estado lıquido, compensadopor la alta entalpıa que se requiere para sostenerlo.

Claramente, cualquier analisis en terminos de energıa (incluso para el ejemplo simpleque se mostro) solo sera posible si se toma en cuenta la diferencia de entropıa (∆S) entreel lıquido y el vapor. Esto es la razon del porque la definicion de energıa libre de cada faseincorpora un termino de entropıa, como ser

Gliquido = Hliquido−T Sliquido, (1.3)

yGvapor = Hvapor−T Svapor. (1.4)

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4 1 Elementos y minerales

Las variables Hliquido y Hvapor son respectivamente las entalpıas del lıquido y del vapor.Las variables Sliquido y Svapor son las correspondientes entropıas. La temperatura absoluta T(que se mide en kelvin) se asume que es uniforme en un sistema en equilibrio, y por endeno se pone en subındices.

El aspecto importante de estas ecuaciones es el signo negativo. Significa que el vaporpuede tener alta entalpıa (H) y alta entropıa (S) que el lıquido, y ası tener ambos la mismacantidad de energıa libre (G), que tiene que ser cierto si las dos fases estan en equilibrio.Tal vez, para un mejor entendimiento del signo menos, se puede reordenar las ecuaciones1.3 y 1.4 de la siguiente forma:

H = G+T S (1.5)

La entalpıa de una fase se puede ver como constituida por dos contribuciones:

• G, la parte que potencialmente puede liberarse por la operacion de una reaccionquımica, que es llamada de forma logica energıa libre. Esto por tanto provee una me-dida de la inestabilidad del sistema (ası como refleja la energıa potencial del agua enun reservorio con su inestabilidad gravitacional); y

• T S, la parte que no se puede recuperar en ese desorden interno de la fase a la temper-atura T , y que es por ende irrecuperable a traves de reacciones quımicas.

Las ecuaciones 1.3 y 1.4 expresan la contribucion fundamental que el desorden hace alas reacciones energeticas y geologicas en la Tierra.

La entalpıa y la entropıa se mide en moles de la sustancia que se toma en cuenta (abrevi-ado a mol); por ejemplo, 18 g para el caso del agua. Por tanto se tiene que hablar de entalpıamolar y entropıa molar. Las unidades de la entalpıa y la energıa libre son de joule por mol(J mol−1); mientras que para la entropıa es de joule por mol por kelvin (J K−1 mol−1). Elvolumen molar en metros cubicos por mol (10−6 m3 mol−1).

1.4 Cambios de la energıa libre

Debido a las razones discutidas arriba con relacion a la energıa potencial, los valoresnumericos de Gliquido y Gvapor no tienen un significado absoluto. Cuando se analiza si elagua se evaporara o el vapor se condensara en ciertas circunstancias, lo que interesa es elcambio en la energıa libre ∆G que se genera de la reaccion desde el lıquido hasta el vapor.

El primer paso para calcular los cambios de energıa libre es de escribir abajo el procesoque corresponde en forma de una ecuacion quımica, como se ve a continuacion para el casodel equilibrio del agua

H2Oliquido

� H2Ovapor

El sımbolo de equilibrio � representa el balance entre los dos competidores opuestosque reaccionan en el mismo tiempo:

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1.4 Cambios de la energıa libre 5

Entalpıa, entropıa y energıa libre de Gibbs.-Para ser mas entendible la ecuacion de Gibbs podemos pensar por un momento que el nombre

que se le dio no fue energıa libre sino energıa disponible;energıa que podemos usar para hacertrabajo.

Sin embargo, la ecuacion de la diferencia de la energıa disponible aun es confusa.

∆G = ∆H−T ∆S. (1.6)

Para ello hagamos uso de tres analogıas, la primera un balon que esta en el tope de un deslizadero;este sistema mecanico es analogo a un sistema quımico de una reaccion espontanea, debido a queno se necesita darle un empujon a la bola para que ella se deslice. Estas reacciones liberan energıapero tambien pueden recibir energıa del ambiente. Un ejemplo de una reaccion espontanea es larespiracion de las celulas. La segunda analogıa sera la difusion de un gas en un medio; y la tercerauna papa-bomba que se la calentara.

En el sistema de la bola en el deslizadero, la energıa total al inicio es alta, y cuando ella cae laenergıa es baja. La energıa total es la entalpıa. En el sistema de la segunda analogıa, inicialmenteel medio que contiene el gas es pequeno pero en un momento dado lo ampliamos, de este modo elgas inicialmente ordenado se expande y adquiere mayor desorden. En este caso, la medida de esedesorden es la entropıa, y en el proceso la entropıa aumenta de un valor inicial bajo a otro final alto.En el sistema de la papa-bomba, vamos a agregarle temperatura hasta que llega a explotar. En estecaso, no hay mucho que decir pues hemos acelerado la reaccion.

Ahora nos vamos a la ecuacion en sı:

• en el primer sistema ∆H disminuye, por tanto ∆G tambien disminuye;• en el segundo sistema ∆S aumenta, pero hace disminuir a ∆G;• el el tercer sistema, si le aumentamos la temperatura, tambien disminuimos a ∆G.

Cuando ∆G disminuye se denomina mas precisamente como una reaccion exergonica, cuando∆G aumenta se denomina una reaccion endorgonica y cuando ∆G es igual a cero existe equilibrio.Un ejemplo de una reaccion endorgonica es la fotosıntesis.

reaccion hacia adelante o directa: liquidoreactante

→ vaporproducto

(evaporacion);

reaccion reversa: liquidoproducto

← vaporreactante

(condensacion).

Por convencion, el cambio de la energıa libre para la reaccion hacia adelante (∆G) seescribe

∆G = Gproductos−Greactantes

= Gvapor−Gliquido (1.7)

Cada G puede expresarse en terminos de valores molares de entalpıa y entropıa que seobtiene de tablas para las condiciones estandar; de este modo

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6 1 Elementos y minerales

∆G = (Hvapor−T Svapor)− (Hliquido−T Sliquido)

= (Hvapor−Hliquido)−T (Svapor−Sliquido)

= ∆H−T ∆S. (1.8)

En esta ecuacion ∆H es la entrada de calor por mol requerido para generar vapor desdeel lıquido, i.e. el calor latente de evaporacion. En el contexto de las verdaderas reaccionesquımicas, debera estar presente el calor de reaccion; estrictamente la reaccion de entalpıa.Si ∆H de las reacciones directas es negativo, el calor debe salir de la reaccion; que se diceser exotermica, i.e. que da al medio calor. Un valor positivo implica que la reaccion precedesolo si capta calor del entorno. Las reacciones que absorben calor en esta forma se llamanendotermicas, i.e. que toman calor- La diferencia de entropıa ∆S representa el cambio deentropıa entre los estados lıquido y gaseoso.

Los valores de Hvapor, Hliquido, Svapor y Sliquido se ven como cantidades molares para latemperatura de interes, e.g. temperatura del ambiente que es ≈ 298K (como se publica entablas estandar). En este caso, ∆H y ∆S se puede calcular por simple diferencia, dando unvalor para ∆G (tomando la precaucion de darle el valor de la temperatura T este en kelviny no en grados centıgrados). A partir del signo obtenido para ∆G es posible predecir enque direccion procedera la reaccion bajo las condiciones que se ha considerado. Un valornegativo de ∆G indica que los productos son mas estables (porque tienen una baja energıalibre) que los reactantes; de este modo, la reaccion se espera proceda en la direccion directa.Por otro lado, si ∆G es positivo los reactantes seran mas estables que los productos, ypredomina la reaccion reversa. En caso eventual, la reaccion dara a una condicion donde∆G = 0 que significa que se ha alcanzado el equilibrio.

Ejercicio 1.1. Calcule la diferencia de entalpıa y diferencia de entropıa de la siguientereaccion en condiciones estandar. Decida e que direccion sera la reaccion. La reaccion es

N2gas

+3H2gas� 2NH3

gas.

Solucion 1.1. Debido a que la reaccion esta dada en condiciones estandar se puede haceruso de las tablas para los valores de entropıa, entalpıa y energıa de Gibbs de cada elementoy compuesto.

Compuesto ∆H◦f en kJ mol−1 ∆G◦f en kJ mol−1 ∆S◦f en kJ mol−1 K−1

N2(g) 0 0 191.49H2(g) 0 0 130.59NH3(g) −46.19 −16.64 192.45

Ahora encontramos la diferencia de entalpıa.

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1.5 Minerales estables y metaestables 7

∆H◦ = ∑ ∆H◦fproductos

−∑ ∆H◦freactantes

= (2×−46.19)− (0+3×0)= −92.38kJ mol−1.

Debido a que la entalpıa es menor a cero, quiere decir que los productos favorecen a lareaccion directa.

Ahora encontramos la diferencia de entropıas.

∆S◦ = ∑ ∆S◦fproductos

−∑ ∆S◦freactantes

= (2×192.45)− (191.49+3×130.59)= −198.36kJ mol−1.

Debido a que la entropıa es menor a cero, existe mayor orden y esto no favorece a lareaccion directa.

Finalmente, para definir la direccion de la reaccion obtenemos la energıa libre de Gibbs,

∆G◦ = ∆H◦−T ∆S◦

= −92.38−298× (−198.36)= 59MJ mol−1.

Debido a que la diferencia de la energıa libre es mayor a cero, la reaccion (en condi-ciones estandar a una presion de 1 atm y temperatura de 298 K) es reversa. ut

Ahora veamos como este principio se aplica a los minerales y las rocas.

1.5 Minerales estables y metaestables

El termino estable e inestable tienen una mejor y mas precisa connotacion en termodinamicaque en geologıa, pero se entiende cuando por ejemplo un mineral es estable o no desde elpunto de vista quımico. El termino metaestable es un poco mas complicado entender, seusa para describir cualquier estado de energıa potencial alta que es estabilizada cuando sesupera una barrera de energıa (energy hurdle); es decir, aquellos minerales que contienenmayor energıa que la energıa de su entorno puede ofrecer.

Para entender el significado de estos tres estados de energıa en el contexto de los min-erales y las rocas, es util empezar a considerar la siguiente analogıa y luego pasaremos adescribir estos para el caso de un mineral de carbonato de calcio en dos estados de presionesdistintos (ambos solidos), llamados calcita y aragonita.

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8 1 Elementos y minerales

La analogıa consiste en entender la estabilidad cinematica de un bloque prismatico demadera. La Figura 1.1 muestras estos prismas en diferentes posiciones, todas relativas a unasuperficie horizontal de referencia. Todas las configuraciones difieren en su energıa poten-cial representado por la posicion elevada de su centro de gravedad. En estas configuracionesse puede observar lo siguiente:

1. Con base a la referencia del marco, la configuracion D tiene la mas baja energıa po-tencia posible, y por ende se dice que esta en una posicion estable. En el otro extremo,las configuraciones A y C son evidentemente inestables porque los prismas caeran in-mediatamente hasta alcanzar la posicion D. Ambas tiene claramente mayor energıapotencial que la que tiene D.

2. Para discutir las configuraciones estables e inestables se necesita considerar todas lasformas de energıa que el prisma puede tener; algunos de ellos (por ejemplo, la energıatotal electronica) pueden ser difıciles de cuantificar. La estabilidad mecanica dependesolamente de las energıas potenciales relativas y no de valores absolutos de energıa.

3. La configuracion b presenta algo paradogico. Tiene una energıa potencial mayor que elestado inestable C; y ahora, si no se lo altera, persistira indefinidamente manteniendola apariencia de ser estable. Pero, si se le introduce una cierta cantidad de energıa (eneste caso del ejemplo, un golpe a la superficie de apoyo) posiblemente podra ser sufi-ciente para desestabilizar el prisma. El caracter de la configuracion B puede clarificarsemediante una grafica de la energıa potencial respecto el tiempo. Para las posiciones in-estables A y C. la energıa cae continuamente hasta alcanzar la posicion D, pero en elcaso de la posicion C la energıa potencial tiene que primero elevarse levemente antesde que que caiga al valor mınimo. La razon es que el prisma tiene que posicionarsesobre su canto antes de caer, y el trabajo que involucra en elevar su centro de gravedadpara llegar a la posicion del canto constituye una energıa potencial de barrera quetiene que ser superada antes que el prisma se derrumbe. Por tanto, uno usa el terminometaestable para describir que cualquier energıa alta se estabiliza con una energıa debarrera.

La aplicacion de este razonamiento a la estabilidad mineral se puede ilustrar por losminerales de calcita y aragonita; cuyos intervalos de estabilidad en el espacio de analisispresion contra temperatura se muestra en un diagrama de fases (Figura 1.2). Estos dos min-erales son dos alternativas cristalograficas del carbonato de calcio (CaCO3), ambos establespero a diferentes condiciones fısicas. El diagrama de fases se divide en dos areas llamadascampos de estabilidad, una que representa el intervalo donde la presion y la temperaturahace estables a la calcita, y la otra a la aragonita. Los campos de estabilidad se separan conuna lınea que se llama el lımite de fase, que define el conjunto de circunstancias bajo lascuales la calcita y la aragonita puede coexistir en equilibrio una con otra.

Las energıas del sistema calcita–aragonita se muestra en la Figura 1.2(b), que muestracomo las energıas libres molares de los dos minerales varıan a lo largo de la lınea X y Yde la Figura 1.2(a). A alta temperatura (Y), al fondo de la corteza terrestre, la energıa libremolar de la aragonita es menos que el de la calcita; por tanto, la aragonita es el mineral

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1.5 Minerales estables y metaestables 9

A

Altura delcentro de gravedad

B

CD

A B C D

(a) cuatro posiciones del prisma que muestra la altura de sus centros de gravedad

Energ

ía p

ote

nci

al

A

Caídaespontánea

Necesita de trabajoantes de la caída espontánea

Caídaespontánea

tiempo tiempo tiempoD

B

D

C

barrera

(b) cambio en la energıa potencial cuando el prisma se desploma, para las configura-ciones inestables (A y C) y la metaestable (B)

Fig. 1.1 Energıa potencial de un prisma en varias posiciones sobre una superficie plana.

estable a esas condiciones, semejante a la configuracion en D de la Figura 1.1. A bajaspresiones (X) cerca de la superficie, la situacion es inversa: la calcita tiene menor energıalibre y por tanto es el mineral estable. Las lıneas que representan la energıa libre de la calcitay la aragonita como una funcion de la presion para una temperatura constante se muestra enla Figura 1.2(b) en el punto marcado con P. Aquı los dos minerales tienen iguales energıaslibres molares; por tanto, estan en equilibrio quımico uno con otro. El punto P marca laposicion en la 1.2(b) del el lımite de fase que aparece en 1.2.

Ahora bien, imagine que transportamos una muestra de aragonita de las condicionesrepresentadas en el punto Y a una nueva localizacion (a una profundidad mas raza en lacorteza terrestre) para llegar a las coordenadas de presion y temperatura del punto X- Enla nueva condicion, la aragonita ya no sera el mineral estable y ella tendera a alcanzar unestado de energıa libre menor recristalizandose a calcita. Esta transformacion no ocurrirainmediatamente, porque el estado ahora de la aragonita es metaestable como el caso de laconfiguracion B que se mostro en la analogıa del prisma en la Figura 1.1.

Los mismos tres procesos de la analogıa se pueden replicar para el caso del sistemacalcita–aragonita:

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10 1 Elementos y minerales

Aragonita

Calcita

Pre

sión

Temperatura

Condiciones en la superficie

A

O

Y

X

(a) Diagrama de fase presion–tempertura quemuestra los campos de estabilidad de la calcitay la aragonita

p

aragonite

calcite

PresiónX Y

G

G

G

(b) Variacion de la energıa libre (G) de la calcitay la aragonita para un intervalo de presiones alo largo de una lınea isotermica X-Y definida en1.2(a)

Fig. 1.2 Estabilidad de las poliformas del CaCo3.

1. La calcita, que tienen menor energıa libre, sera la condicion metaestable del carbonatode calcio bajo las condiciones bajas de presion definidas en el punto X .

2. Otras mas formas de energıa se asocian con la calcita y la aragonita bajo esas condi-ciones; pero para discutir la estabilidad termodinamica ahora nos preocuparemos solode las diferencias que existen en la energıa libre en sus distintos estados. Esto tieneuna importante consecuencia, donde la energıa libre necesita solo ser expresada enterminos relativos que posibilitara tener un conveniente pero arbitrario punto de vista,una especie de nivel de referencia termodinamico. Todas las aplicaciones importantesde la termodinamica involucra el calculo de las diferencias de energıa libre entre losvarios estados del sistema que se considera; y la nocion de una escala absoluta de val-ores de energıa libre, analoga a la escala de temperatura absoluta, es una consideracioninnecesaria e inapropiada.

3. A pesar de no ser estable la aragonita bajo condiciones sera o en la superficie, este min-eral es un mineral comun y puede sobrevivir por largos periodos de tiempos geologicosen la superficie de la Tierra. Ası como se muestra en la configuracion B de la Figura1.1(b), la aragonita puede dar una apariencia de estar en un estado estable en esascircunstancias, inclusive su energıa libre claramente excede de la calcita. Pero, bajociertas circunstancias, la aragonita puede realmente cristalizar en condiciones cercanaso en la misma superficie; por ejemplo, las conchas de los gastropodos planctonicos (lospterodopodos) estan formados por aragonita precipitada directa del aguia de mar. Laexplicacion the esta apraciencia que sı es estable es que la aragonita se estabiliza porun energıa libre de barrera, tal cual se mostro en el caso de la analogıa mecanica.

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1.5 Minerales estables y metaestables 11

La trayectoria de energıa libre que sigue la aragonita (bajo las condiciones del puntoX de la Figura 1.2(a) cuando ella se transforma en calcita se muestra en la Figura 1.3. Laenergıa libre de barrera que existe debido al reacomodo de las estructuras cristalinas de laaragonita a las correspondientes de la calcita involucra realizar un trabajo que se traduceen romper los enlaces y mover los atomos de una estructura a otra. Tambien, esta energıainvertida se recupera muchas veces en la liberacion neta de energıa libre cuando procede alreaccion. El determinar si la reaccion puede iniciarse es de gran importancia. Para recono-cer esta influencia, se le llama a esta energıa de barrara como energıa de activacion de lareaccion, que se simboliza con Ea.

G

ΔG

Progreso de la reacción

Energía de activación (Ea)

Aragonita

Calcita

Termodinámica

Cinética química

Fig. 1.3 Trayectoria de la energıa libre durante la recristalizacion de la aragonita hacia la calcita para lascondiciones P−−T que se muestra en el punto X en la Figura 1.2.

La Figura 1.3 ilustra una importante diferencia entre dos dominios importantes de laciencia geoquımica. La termodinamica se preocupa de los cambios de energıa libre aso-ciados con el equilibrio quımico entra las fases, y provee las herramientas para discernirque estructura mineral sera estable y bajo que condiciones. Solo son de interes para la ter-modinamica conocer los estados inicial y final, y la atencion se centra en las diferencias deenergıa netas entre los reactantes y los productos, i.e. ∆F , ∆H, ∆S. Por otro lado, la cienciade la cinetica quımica trata sobre los mecanismos de la reacciones que llevan al equilibrio ysobre las tasas a las cuales ocurren. En esta area de la ciencia, la energıa de activacion juegaun papel importante, donde toma en cuenta de las fuertes influencias de la temperatura enlos procesos geologicos.

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12 1 Elementos y minerales

1.6 Actividades

Responda la siguientes preguntas.

1. Muestre mediante la ecuacion de energıa libre de Gibbs que el agua en estado solidose convierte en lıquido en condiciones de presion y temperatura estandar.

2. ¿Que fases se puede encontrar en la naturaleza para el compuesto carbonato de calcio(CaCO3)?

3. ¿Cual es el compuesto quımico que es comun a las fases de los minerales sillimanita,kyanita y andalusita?

4. ¿Que informacion nos posibilita deducir un diagrama de fases de un compuestoquımico?

5. Si se tiene los siguientes minerales (i.e. fases de un mismo compuesto): hydro-magnesita [4 MgCO3·Mg(OH)2·4 H2O], dypingita [4 MgCO3· Mg(OH)2·(5−8)H2O]y nesquehonita [Mg(OH)(HCO3)·(2 )H2O]; indique ¿cual serıa el compuesto del quederivan todos estos minerales? [? ]

6. En la Figura 1.4 se muestra un diagrama de fases real. Para una presion de 4 kbar y unatemperatura de 450 °C, ¿que fase es estable y que fase es metaestable en la reaccionAlO(OH)�Al2O3 +H20?

1.7 Minerales formadores de rocas

Pese a que hay mas de 4000 minerales, solo unas cuantas docenas de ellos son consti-tuyentes comunes en los materiales presentes en la superficie de la Tierra. Estos pocosminerales son por lo general muy importantes para varios ambientes naturales.

El proceso de determinar la composicion quımica del mineral y la estructura cristalinaprecisa requiere de instrumentos sofisticados. Cuando identificamos minerales de aque-llas rocas en muestras de mano se puede usar algunas tecnicas no precisas analizandopropiedades fısicas; tales como color, gravedad especıfica, forma de los cristales y clivaje.El Cuadro 1.1 muestra la agrupacion de aquellos minerales que son mas comunes en lasrocas.

Las arcillas tambien son minerales formadores de rocas, e incluso formadores de suelosantes de ser formadores de rocas; por tanto su estudio es de importancia. Las arcillas en in-genierıa geotecnica se las clasifica como toda partıcula de tamano menor a 4×10−3 mm; esuna clasificacion netamente del tamano de la partıcula. Sin embargo, las arcillas son min-erales mucho mas complejos que se clasifican de acuerdo a su composicion quımica y su es-tructura atomica; donde el tamano es solo una coincidencia. Son por estas dos propiedades(composicion quımica y estructura atomica) que las arcillas se diferencias unas con otras;siendo algunas capaces de retener mucha agua, u otras de expandirse cuando se seca.

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1.8 Clasificacion de Strunz 13

Fig. 1.4 Diagrama defases para el sistemaAl2O3−SiO2−H20:a) Reaccion reversaexperimental paraAlO(OH)�Al2O3+H20y b) Al2Si4O10(OH)2�Al2SiO5+3 SiO2+H20. Abre-biaciones: Ka, caolinita[Al2Si2O5(OH)4]; Py, piro-filita [Al2Si4O10(OH)2];Ds, diaspora [AlO(OH)];Cor, corundum [Al2O3];Ky, kyanita [Al2SiO5];Sil,sillimanita [Al2SiO5];And, andalucita [Al2SiO5];Qz, cuarzo [SiO2] [? ].

Tabla 1.1 Clasificacion de los minerales formadores de rocas en la corteza terrestre.Grupo Ejemplos Formula quımicaSilicatos Cuarzo SiO2

Plagioclasa, feldespato e.g. NaAlSi2O8, CaAlSi2O8Pyroxeno Ca2Si2O6, Mg2Si2O6, Fe2Si2O6

Carbonatos Calcita CaCO3Dolomita CaCO3, MgCO3

Oxidos Hematita Fe2O3Bauxita oxidos hidratados de aluminio

Sulfatos Pyrita FeS2Galena PbS

1.8 Clasificacion de Strunz

La clasificacion de Strunz es un sistema de clasificacion usado universalmente en minera-logıa que se basa en la composicion quımica de los minerales.

La clasificacion es la siguiente:

1. Elementos.

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14 1 Elementos y minerales

a. Metales y Aleaciones de metales 01.B - Carburos metalicos, siliciuros, nitruros yfosfuros 01.C - Metaloides y no metales 01.D - Carburos y nitruros sidosolicos

2. Sulfuros y sulfosales.

a. Aleaciones con metaloides 02.B - Sulfuros con metal, M:S ¿ 1:1 (principalmente2:1) 02.C - Sulfuros con metal, M:S = 1:1 (y similar) 02.D - Sulfuros con metal,M:S = 3:4 y 2:3 02.E - Sulfuros con metal, M:S = 1:2 02.F - Sulfuros de arsenico,alcalis, sulfuros con haluros, oxidos, hidroxido, H2O 02.G - Sulfosales del ar-quetipo SnS 02.H - Sulfosales del arquetipo PbS 02.I - Sulfarsenatos, Sulfanti-monatos 02.J - Sulfosales no clasificadas 02.K - Oxisulfosales

3. Haluros.

a. Haluros simples, sin H2O 03.B - Haluros simples, con H2O 03.C - Haluros com-plejos 03.D - Oxihaluros, hidroxihaluros y haluros con doble enlace

4. Oxidos e hidroxidos.

a. Metal:Oxıgeno = 2.1 y 1:1 04.B - Metal:Oxıgeno = 3:4 y similar 04.C - Metal:Oxıgeno= 2:3, 3:5, y Similar 04.D - Metal:Oxıgeno = 1:2 y similar 04.E - Metal:Oxıgeno= ¡ 1:2 04.F - Hidroxidos (sin V ni U) 04.G - Uranilo-hidroxidos 04.H - V[5+,6+]Vanadatos 04.J - Arsenitos, Antimonitos, Bismutitos, Sulfitos 04.K - Yodatos

5. Carbonatos y nitratos.

a. Carbonatos sin aniones addicionales, sin H2O 05.B - Carbonatos con aniones ad-dicionales, sin H2O 05.C - Carbonatos sin aniones addicionales, con H2O 05.D -Carbonatos con aniones addicionales, con H2O 05.E - Uranilo-carbonatos 05.N -Nitratos

6. Boratos.

a. Monoboratos 06.B - Diboratos 06.C - Triboratos 06.D - Tetraboratos 06.E - Pentab-oratos 06.F - Hexaboratos 06.G - Heptaboratos y otros megaboratos 06.H - Boratosno clasificados

7. Sulfatos.

a. Sulfatos (selenatos, etc.) sin aniones addicionales, sin H2O 07.B - Sulfatos (sele-natos, etc.) con aniones addicionales, sin H2O 07.C - Sulfatos (selenatos, etc.) sinaniones addicionales, con H2O 07.D - Sulfatos (selenatos, etc.) con aniones ad-dicionales, con H2O 07.E - Uranilo-sulfatos 07.F - Cromatos 07.G - Molibdatos,Wolframatos and Niobatos 07.H - Uranio y Uranilo Molibdatos y Wolframatos07.J - Tiosulfatos

8. Fosfatos.

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1.8 Clasificacion de Strunz 15

a. Fosfatos, etc. sin aniones addicionales, sin H2O 08.B - Fosfatos, etc. con anionesaddicionales, sin H2O 08.C - Fosfatos sin aniones addicionales, con H2O 08.D -Fosfatos, etc 08.E - Uranilo fosfatos y arseniatos 08.F - Polifosfatos, Poliarseni-atos, [4]-Polivanadatos

9. Silicatos.

a. Nesosilicatos 09.B - Sorosilicatos 09.C - Ciclosilicatos 09.D - Inosilicatos 09.E -Filosilicatos 09.F - Tectosilicatos sin ceolita H2O 09.G - Tektosilicatos con ceolitaH2O 09.H - Silicatos no clasificados 09.J - Germanatos

10. Compuestos organicos.

a. Sales de acidos organicos 10.B - Hidrocarburos 10.C - Miscelanea de mineralesorganicos

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Capıtulo 2Rocas

Clasificacion viene del latın classficatio que significa clase y facio que significa hacer; esdecir, es el resultado de crear clases. El proposito de la clasificacion es de obtener un mejorpanorama de un fenomeno o una serie de datos. [18] define como el arreglo de objetos engrupos en base a sus relaciones. El proposito de uno o varios sistemas de clasificacion esproveer un medio de comunicacion efectivo entre las distintas instancias que intervienenen un proyecto de ingenierıa; por lo tanto, es uno de los pasos iniciales e importantes.

Las rocas se clasifican de acuerdo a su genetica (muy comun en geologıa) y textura.

2.1 Clasificacion segun la genetica

Una de las primeras estrategias para diferenciar el material rocoso (la roca) es a traves desu principal clasificacion: la genetica. El Cuadro 2.1 muestra que las rocas se clasifican enıgneas, metamorficas y sedimentarias, y rocas en zonas falladas.

Las rocas ıgneas se forman cuando el magma se enfrıa y se solidifica. Si el enfriamientose produce bajo la superficie se forman rocas con cristales de minerales grandes llamadasrocas plutonicas o intrusivas. Cuando el enfriamiento se presenta en la superficie se for-man rocas con cristales muy pequenos o cristales amorfos, y se llaman a las rocas comovolcanicas o extrusivas.

Las rocas metamorficas se forman a partir de otras rocas, ya sea rocas sedimentarias,ıgneas u otras metamorficas tras someter a las rocas a grandes esfuerzos, temperaturas ydeformaciones.

Las rocas sedimentarias son aquellas que se forman por la acumulacion de sedimentosque por procesos fısicos y quımicos se van consolidando en la superficie. Los sedimentosse obtienen a partir de meteorizacion de otras rocas (ıgneas, metamorficas o sedimentarias),transporte o deposito en un lugar determinado. La rocas sedimentarias se hallan en formade estratos.

17

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18 2 Rocas

Tabla 2.1 Clasificacion de las rocas segun su genetica.

Tipo de roca Subtipo Ejemplos

Rocas sedimentarias Detrıticas cuarcita, arenisca, lutita, limolita, conglomeradoQuımicas evaporitas, carbonOrganicas rocas coralıferas, dolomita caliza, caliza

dolomıticaRocas ıgneas Plutonicas granito, gabro, diorita, basalto, andesita, riolita

Volcanicas lapilli, toba, ceniza volcanicaRocas metamorficas Masivas cuarcita, marmol

Foliadas pizarra, filitaEsquistosas esquisto, neis

Rocas en zona de falla En regimen fragil brechasEn regimen ductil cataclasitas

Toda roca que no presente un alto grado de meteorizacion o fisuracion puede ser aptapara el uso de la construccion. Sin embargo, se tiene que conocer aquellos minerales con-stituyentes de rocas que no son apropiados para este fin. Estos son:

• Minerales solubles: calcita, dolomita, yeso, anhidrita, sal (halita) y zeolita.• Minerales inestables: marcasita y pirrotita.• Minerales potencial a ser inestables: nontronita (montmorillonita rica en hierro), nefe-

lina, leucita, micas ricas en hierro.• Minerales cuya meteorizacion produce acido sulfurico: pirita, pirrotita y otros min-

erales de sulfuros.• Minerales con bajo coeficiente de friccion: arcillas (especialmente montmorillonitas),

talco, clorita, serpentina, micas, grafito y molibdeno.• Minerales potenciales a expandirse: montmorillonitas, anhidritas, vermiculita.• Minerales que reaccionan o interfieren con la reaccion al cemento: opalo, vidrio

volcanico, chert, yeso, zeolita y micas.

Sin embargo, solo la clasificacion de la roca no es suficiente para tomar decisiones im-portantes, por lo que es imperativo la ejecucion de ensayos de labortatorio.

El protolito de una roca metamorfica.-El protolito de una roca metamorfica que es la roca se supone es la precursora;

es decir, que es el tipo de roca antes de sufrir los efectos del metamorfismo. Losprotolitos se clasifican en los siguientes tipos:

1. Mafico, rocas ıgneas maficas.2. Ultramafico, rocas ıgneas ultramaficas.3. Pelıtico, rocas sedimentarias ricas en arcilla.4. Cuarzoso, rocas con cuarzo predominante.

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2.2 Clasificacion segun la textura 19

5. Cuarzofeldespatico, rocas con alto contenido en cuarzo y feldespato.6. Calcareo, rocas con alto contenido de carbonatos, por ejemplo la caliza.

2.2 Clasificacion segun la textura

La clasificacion de las rocas desde el punto de vista de su textura no resulta ser muy com-pleta para fines de ingenierıa y para la evaluacion del comportamiento mecanico [46].Segun su textura este puede clasificarse en (Cuadro 2.2):

1. Rocas de textura cristalina, donde los cristales estan fuertemente entrelazados, conminerales de silicatos, carbonatos, sulfatos u otras sales.

2. Rocas de textura clastica, compuestas por bloques de varios tipos y granos de mineralesdiversos, cuyas propiedades vienen determinadas por el tipo de cementacion que unelos distintos elementos.

3. Rocas de grano fino, compuestas principalmente de arcillas o limos con deformabili-dad, resistencia, durabilidad y tenacidad muy variable.

4. Rocas organicas, que pueden ser de comportamiento viscoso, plastico o elastico.

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20 2 Rocas

Tabla 2.2 Clasificacion de la roca segun su textura [46].

Textura Sub-grupo Ejemplo

Cristalina

Carbonatos solubles y sales Caliza, dolomita, rocas salinas, marmol,yeso.

Mica u otros minerales de forma planaen bandas continuas

Esquistos de mica, -clorita, -grafito.

Minerales de silicatos formando bandas,sin laminas continuas de mica

neis.

Minerales de silicatos de tamano uni-forme de granos, orientados y distribui-dos aleatoriamente

Granito, diorita, gabro, sienita.

Minerales de silicatos orientados y dis-tribuidos aleatoriamente en una matrizde grano muy fino, con cavidades

Basalto, Riolita, otras rocas volcanicas.

Rocas que han soportado grandes es-fuerzos de corte

Serpentinita, Milonita.

Clastica1

Con cementacion estable Areniscas y conglomerados en matrizcarstica.

Con cementacion ligeramente soluble Areniscas y conglomerados en matriz deyeso

Con cementacion altamente soluble Arenisca desmenuzable, tobaCon cementacion incompleta o debil Arenisca de matriz arcillosaSin cementacion –

Grano muy fino2

Rocas duras isotropas –Rocas duras, macroscopicamenteanisotropas pero isotropas mi-croscopicamente

Pizarras cementadas, rocas laminares.

Rocas duras microscopicamenteanisotropas

Pizarras, Filitas.

Rocas blandas, de caracterısticas simi-lares a los suelos

Creta, pizarras compactadas, margas.

(Organicas)

Carbon blando Lignito, Carbon bituminosoCarbon duro –Lutita bituminosa (Oil shale) –Esquistos bituminosos –Alquitran arenoso –

Notas: 1areniscas con matriz silıcea cementada y areniscas con limonitas; 2cornubiana y algunos basaltos.

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Capıtulo 3Material Rocoso

Resumen Con los ensayos de campo es posible tener una buena descripcion mecanica delmacizo rocoso, y con los ensayos de laboratorio una buena descripcion del material rocoso;sin embargo, muchas de las veces sin un solido conocimiento del comportamiento y carac-terısticas mecanicas —tanto del material rocoso, el macizo rocoso y sus discontinuidades—no es posible unificar la respuesta mecanica de ninguno de estos. De este modo, se recurrea describir el macizo rocoso a partir de la descripcion por separado del material rocoso ylas discontinuidades.

3.1 Introduccion

En forma general se define como roca a todo material solido de origen natural presente enla corteza de un planeta. Desde el punto de vista de la mecanica, las principales propiedadesque distingue una roca de un suelo son la existencia de la cohesion interna de los granosminerales y la capacidad de la misma a resistir esfuerzos de traccion.

La roca puede clasificarse en roca intacta, material rocoso (i.e. substancia roca) y ma-cizo rocoso, en funcion a su volumen y comportamiento mecanico (i.e. resistencia a com-presion uniaxial).

La gran novedad de la anterior afirmacion es que la roca intacta no significa lo mismoque el material rocoso, que comunmente se entiende o supone que son sinonimos. En laFigura 3.1 se observa que la resistencia a compresion uniaxial de la roca varıa segun elvolumen que se ensaya.

El volumen del cuerpo de prueba estandar (SSV) de sus siglas en ingles de StandardScale Volume (i.e. roca cilındrica de 47 mm de diametro y 2.3 de relacion altura:diametro)tiene un valor dado que no necesariamente es el maximo en relacion a su volumen; estose debe a que el area de las micro fisuras es tan alto que debilita la roca. Sin embargo, se

21

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22 3 Material Rocoso

comporta como un continuo y por su tamano segun la escala de aplicacion humana de lamecanica de rocas, ella esta dentro de una escala microscopica.

Fig. 3.1 Definicion del material rocoso segun la resistencia a compresion uniaxial.

A medida que se aumenta en volumen de roca, se observa que su resistencia a com-presion uniaxial tiende a aumentar a un maximo que se denomina volumen de escalamesoscopica (MSV) —de las siglas en ingles de Mesoscopic Scale Volume— que mar-cara el lımite de la roca intacta y el material rocoso. Mas adelante se hablara mas sobre lafrontera entre el material rocoso y el macizo rocoso, que en principio dependen del volumende perturbacion de la roca.

Se define al material rocoso a aquel material solido de continuidad y homogeneidad rel-ativa al nivel de escala mesoscopica, compuesta por varios minerales yuxtapuestos en formacristalina o en forma amorfa (presentandose cada mineral con su forma propia o fragmen-tada en derrubios) sin discontinuidades que pueda separar al material. Bajo esta definicionse admite tambien que el material rocoso tenga discontinuidades no-persistentes, pero lo

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3.1 Introduccion 23

suficientemente in-extensas para no separar el material volumetricamente en fragmentosmas pequenos.

Como material rocoso compacto se refiere a aquel material rocoso idealizado que notiene poros. El material rocoso poroso es aquel que tiene tanto poros aislados como porosinterconectados.

El material rocoso firme (sound rock material) es aquel material rocoso que no tieneningun tipo de alteracion. Se aplica mas a rocas duras frescas ya que por no tener al-teracion emiten un sonido metalico al golpe con martillo cateador (evite la coincidencia deltermino en ingles sound, que significa en este caso solvente y no sonido). Como materialrocoso alterado se usa para indicar lo contrario al adjetivo de firme o intacto, en la anteriordefinicion.

El material rocoso intacto es aquel material rocoso homogeneo que esta ausente demeso-fisuras y meso-discontinuidades, ademas que sus propiedades mecanicas son invari-ables para el volumen de perturbacion y el estado de esfuerzos al que esta sometido.

Material rocoso fisurado o quebrado (i.e. cracked rock) es otro termino usado para ex-presar la presencia de micro-fisuras o micro-discontinuidades en el material rocoso. Tantoel material rocoso compacto como el poroso pueden ser intactos o fisurados. En este sen-tido, los adjetivos fisurado y alterado son casi sinonimos, solamente que la alteracion in-volucra tanto una alteracion mecanica (i.e. generacion de micro fisuras y micro discon-tinuidades) ası como una alteracion quımica (i.e. proceso de meteorizacion); mientras queel adjetivo de fisurado o quebrado se refiere mas a una alteracion mecanica.

La matriz de roca es un termino mal empleado para el material rocoso intacto. Estetermino se confunde con la definicion de matriz expuesta en rocas sedimentarias. Asimismo,es comun pero erroneo usar los terminos de material rocoso como sinonimo de roca intactao matriz de roca. En este sentido, se tiene que decir que las definiciones de roca intactay roca compacta son hipoteticas hasta cierto grado, debido a que difıcilmente se encon-trara un material natural sin micro-defectos y sin micro-poros. Por consiguiente, se definecomo roca intacta como aquella roca que a nivel mesoscopico no presenta defectos peroque a nivel microscopico presenta defectos; y cuyas propiedades mecanicas varıan segunsu volumen hasta un lımite denominado volumen de escala mesoscopica (MSV).

En este texto se hace la diferencia conceptual entre el termino de roca intacta y materialrocoso; sin embargo, en este no se trata acerca de las propiedades mecanicas de la rocaintacta y solo se habla por consiguiente del material rocoso y el macizo rocoso, que son porahora lo que interesa para el campo de aplicacion de la mecanica de rocas.

Las propiedades del material rocoso dependeran de las propiedades fısicas de los min-erales que lo integran y de la forma como estos estan unidos. Un mineral es una porcion demateria solida de composicion quımica definida y constante. Los minerales formadores derocas y suelo son alrededor de 200 de los miles.

Las propiedades mecanicas del material rocoso dependen de su mineralogıa, textura,estructura y grado de meteorizacion. De este modo, es necesario diferenciar el materialroca de acuerdo a estas cuatro propiedades, para fines de la mecanica de rocas.

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24 3 Material Rocoso

Para el material rocoso, la estructura es el termino que engloba la textura, la fabricay las micro-discontinuidades. La textura es la forma del arreglo espacial de los consti-tuyentes (i.e. minerales y micro-partıculas de rocas) en el material rocoso. Cubre los as-pectos geometricos tales como tamano y forma de los constituyentes, y la relacion entreestos.

La fabrica es la distribucion espacial de los constituyentes que componen el materialrocoso. La orientacion preferencial de estos constituyentes es el aspecto mas notable dela fabrica y debe ser descrita en terminos cualitativos o cuantitativos a traves de medidas,si estas son observables al nivel de escala definido (i.e. nivel mesoscopico, microscopicoo nanoscopico). La fabrica tambien incluye cualquier micro-discontinuidad. Esta ultimaes definida como cualquier discontinuidad (e.g. planos de separacion entre constituyentes,dislocaciones, fracturas) observada a nivel microscopico. En lo posible debe describirsecon la intensidad, espaciamiento, continuidad y orientacion preferencial.

Para conocer la mineralogıa del material rocoso se puede recurrir al analisis petrograficoy al ensayo de difraccion de rayos X (XRD). El mismo ensayo de petrografıa dara unabuena descripcion de la textura y estructura. Para conocer mas detalles de la composicionmineralogica —en especial para conocer el grado de meteorizacion del material rocoso—los ensayos quımicos pueden ser los mas indicados. La microscopıa electronica de barrido(SEM), que en realidad es una tecnica nanoscopica, permitira en ciertos casos conocer masde estas cuatro propiedades del material rocoso.

3.2 Clasificacion mecanica

La clasificacion del material rocoso segun la resistencia mecanica, a compresion uniaxial,fue planteada por la ISRM [58]. Con esta clasificacion se puede definir por ejemplo lafrontera entre suelo y roca (Cuadro 3.1).

No obstante, la frontera entre suelo y roca todavıa no esta bien definida, pero puedevariar entre 0.25 MPa a 2.0 MPa. Por ejemplo, [63] y [83] definen que un material es unsuelo cuando su resistencia a compresion uniaxial es menor a 0.25 MPa; [31] y [36] ubicanesta frontera en 2 MPa; la Sociedad Geologica [45] ubican en 0.5 MPa; la OrganizacionInternacional de Estandares [56] define en 0.6 MPa; Broch & Franklin [25] en 0.7 MPa; yBieniawski [17], la ISRM [58] y Hoek & Bray [52] definen este lımite en 1.0 MPa (Figura3.2).

[36] proponen una clasificacion del material rocoso que se basa en dos propiedades: laresistencia a compresion uniaxial (σc)y el modulo de elasticidad tangente evaluado al 50 %de la resistencia a compresion uniaxial (Et); y definen el modulo relativo (Mr) que es larelacion de esta ultima propiedad sobre la primera (Ec. 3.1). La clasificacion se basa en loscuadros 3.2 y 3.3.

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3.2 Clasificacion mecanica 25

Tabla 3.1 Resistencia a la comprension uniaxial [58] .

Material Tipo ResistenciaMN m−2

Estimacion de la tenacidad en el terreno

Roca

Extremadamente resistente > 250 Roca muy dura, se necesita muchos golpes con elmartillo del geologo para romper la muestra.

Muy resistente [100,250] Roca muy dura, se necesita mas de un golpe con elmartillo de geologo para romper la muestra.

Resistente [50,100] Roca dura la muestra en la mano, puede rompersecon un solo golpe del martillo de geologo.

Moderadamente resistente [12.5,50] Roca debil, la parte del pico del martillo delgeologo se hunde 5 mm con un golpe.

Moderadamente debil [5.0,12.5] Muy difıcil de tallar a mano, Roca muy debil, elmaterial se desmorona por efecto de los golpesfirmes con el extremo afilado del martillo degeologo.

Debil [1.25,5.0] –Muy debil o suelo duro [0.60,1.25] –

Suelo

Muy rıgido [0.30,0.60] El suelo puede rayarse con la una.Rıgido [0.15,0.30] No se puede moldear el suelo con los dedos.Firme [0.08,0.15] El suelo solo puede moldearse con fuerte presion

de los dedos.Blando [0.04,0.08] Suelo facilmente moldeable con los dedos.Muy Blando [< 0.04] El suelo escurre entre los dedos cuando se aprieta

en la mano.

Mr =Et

σc. (3.1)

Tabla 3.2 Clasificacion estructural del material rocoso con base a la resistencia a compresion uniaxial [36].

Clase Resistencia σc en MPaA Muy alta > 230B Alta [120,230[C Media [60,120[E Baja [30,60[F Muy baja < 30

Tabla 3.3 Clasificacion estructural del material rocoso con base al modulo relativo [36].

Clase Modulo Relativo MrH Elevado > 500M Mediano [200,500[L Bajo < 200

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26 3 Material Rocoso

Fig. 3.2 Diferentes clasificaciones del material rocoso segun la resistencia a compresion uniaxial.

El modulo relativo indica la inversa de la deformacion axial en falla, por lo tanto lasrocas fragiles tienen un Mr alto y las rocas plastica tiene un Mr bajo.

Posterior a la clasificacion del material rocoso se debe proceder a la descripcion delas cualidades de la misma, que se cubre con las denominadas propiedades ındice delmaterial roca (e.g. dureza, durabilidad, porosidad, densidad, velocidad sonica, resistencia,modulo de elasticidad, relacion de Poisson, permeabilidad primaria, grado de expansion,desleimiento). Como propiedades ındice del material roca es necesario nombrar tambienlos ındices de meteorizacion, que se describira mas adelante.

3.3 Descripcion del material rocoso

La clasificacion del material rocoso segun su genetica y textura omiten otros aspectos queinfluyen en su comportamiento mecanico, como ser: la descripcion del grado de mete-orizacion, durabilidad del material rocoso, y especialmente su resistencia con otros aspec-tos que modifican el modo de resistencia como la anisotropıa. Ası mismo, la clasificacionpor la resistencia a compresion uniaxial no brinda mayor informacion mas que solo ese

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3.4 Heterogeneidad del material rocoso 27

parametro, por lo que sera necesario describir el material rocoso mediante una clasificacionmas apropiada.

La descripcion del material rocoso puede tambien tener informacion complementariacomo su textura (e.g. arreglo y orientacion de los minerales [especialmente las micas quele dan a la roca un comportamiento anisotropico], distribucion de tamano de minerales,tipo de material cementante, proporcion de matriz), color, caracterısticas de su micro es-tructura (e.g. micro fisuras, micro plegamientos, bandeamientos) y descripcion de ciertasalteraciones en los minerales (e.g. presencia de minerales secundarios que demuestran pro-cesos de descomposicion). De la descripcion petrografica del material rocoso se debe iden-tificar aquellos minerales que tienen mayor influencia en la resistencia de la roca, los cualesdeben ser reportados como parte de la descripcion del material rocoso.

La descripcion del material roca incluye nombrar todos los aspectos conocidos refer-entes a la misma: genetica, textura, composicion mineralogica, edad geologica y gradode meteorizacion; por lo cual en una descripcion podran colocarse varias clasificacionesy valores/propiedades ındice (e.g. color, dureza, durabilidad, porosidad, densidad, veloci-dad sonica, permeabilidad primaria, grado de expansion, desleimiento, grado de mete-orizacion), sean estos cuantitativos, cualitativos, estandarizados o no. Asimismo, cuandose desea hablar de la litologıa del material rocoso es necesario describir su mineralogıa,textura, fabrica, junto con un nombre o termino descriptivo de algun(os) sistema(s) de clasi-ficacion reconocido(s).

Debido a que todos los fenomenos geologicos son historicos, el determinar o cono-cer la edad geologica del material roca es tambien importante. La edad geologica de unaroca puede expresarse en datos cuantitativos (i.e. en millones de anos) o en datos cualita-tivos (i.e. por la pertenencia a una formacion geologica de la region en la que la roca fueobtenida). Para fines de clasificacion, basta expresar la edad de acuerdo a la formacion a laque pertenece.

3.4 Heterogeneidad del material rocoso

La heterogenidad de un material rocoso incrementa cuando incrementa la cantidad de com-ponentes minerales distintos, cuanto mayor es la variacion de sus caracterısticas entre loscomponentes minerales y cuanto mayor sea la diferencia entre los tamanos de sus com-ponentes. El material rocoso tiende a ser homogeneo cuando uno de los componentesminerales esta presente en mas del 50 % en volumen, o cuando la proporcion de cadacomponente es semejante [34].

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28 3 Material Rocoso

3.5 Efecto de escala del material rocoso

El efecto escala ocurre cuando no es posible reproducir la misma propiedad de un materialprototipo con un modelo identico (i.e. en composicion y geometrıa) pero de escala diferentedel primero. Se define que un material rocoso es afectado por el efecto escala a una ciertapropiedad, cuando sus valores son dispersos respecto a una media obtenidos a diferentesescalas.

La curva teorica del efecto escala de cualquier propiedad del material rocoso indicaque es una curva con asıntota paralela al eje de las abscisas donde se evalua la dimensionvolumetrica del cuerpo de prueba (CP) (Figura 3.3). El volumen libre del efecto de escala(Vn) se identifica en el valor de la asıntota y se denomina volumen elemental represena-tivo (REV, de las siglas del ingles de Representative Elementary Volume); mientras que secree que el volumen de un CP estandar (V50), generalmente cilındrico con relacion alturadiametro h : d = 2.5 con diametro de 50 mm, esta afectado por el efecto escala.

Fig. 3.3 Curva teorica del efecto escala del material rocoso.

Esta curva teorica es muy costosa de obtener con exactitud, de este modo en la mayorıade las propiedades, la curva del efecto de escala es raramente conocida con cierta certeza osimplemente nunca fue encontrada [67].

La resistencia a compresion uniaxial es la propiedad mas estudiada respecto al efectoescala del material rocoso. La funcion mas comun del efecto escala a esta propiedad es unafuncion exponencial en decremento

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3.5 Efecto de escala del material rocoso 29

σc,d = adb; (3.2)

donde a y b son constantes que dependen del tipo del material rocoso (Cuadro 3.4) y σc,des la resistencia a compresion uniaxial del CP de diametro d.

Tabla 3.4 Parametros de las ecuaciones empıricas del efecto escala en σc .

Tipo de material rocoso a b Unidades Referenciaσci d

Marmol, concreto 1.0 −0.092 kg cm−2 mm [73]Carbon 5718 −0.5 psi pulg3 [55]Cuarzo diorita, para d < 150mm 60.04 −0.17 MPa mm [2]Basalto mafico, para d < 150mm 6025 −0.85 MPa mm [65]Porfido, para d < 150mm 2630 −0.58 MPa mm [65]Mena de oro en Dolerita, para d < 150mm [513,603] −0.29 MPa mm [65]

[53], y luego [115] propusieron relaciones relativas muy similares pero para diferentesintervalos de aplicacion para la variable d, Ecs. 3.3 y 3.4, respectivamente; donde σc,50 esla resistencia a compresion uniaxial de un CP de 50 mm de diametro.

σc,d

σc,50=

(50d

)0.18

; para d ≤ 00 mm. (3.3)

σc,d

σc,50=

(50d

)0.2

; para d > 200 mm (3.4)

Por otro lado, [91] propuso una relacion empırica no relativa donde las unidades deesfuerzo estan en mega pascales y las de longitud en milımetros.

σc,d = 1944d−0.8 +69.3. (3.5)

[117] propone una relacion logarıtmica para relacionar en este caso entre dos valoresdiferentes de volumenes: un volumen pequeno Vs y uno mayor al anterior (volumen grande)VB (Ec. 3.6) de cualquier material de roca, donde mW es una constante que depende delmaterial y se muestra en el Cuadro 3.5.

mW lg(

σcVs

σcVB

)= lg

(VB

Vs

)(3.6)

La Ec. 3.6 se grafico en la Figura 3.4.[64] proponen una funcion logarıtmica (Ec. 3.7), y [91] y [59] proponen una funcion

lineal para granitos (i.e. granito de Lac du Bonnet) (Ec. 3.8). Las variables σc,63 hacenreferencia a la resistencia compresion uniaxial estandar de un CP cilındrico de 63 mm dediametro.

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30 3 Material Rocoso

Tabla 3.5 Parametro mW de la ecuacion empırica de [117].

Tipo de material rocoso mW Ref.Granito 12 [68]Carbon 2.5 [19]

Fig. 3.4 Relacion del vol-umen de la muestra con suresistencia a compresion uni-axal, para dos volumenesdistintos.

100 101 102 103

1

1.2

1.4

1.6

1.8

lgσc,V = 4.7−0.06lgV ; dado en psi y pulg. (3.7)(σc,d

σc,63

)=

(63d

); dado en MPa y mm. (3.8)

Otros autores proponen graficas que muestran este comportamiento ([77, 90, 39, 20,112, 28, 65].

En el caso de la resistencia a compresion uniaxial (σc), se cree que el efecto escala sedebe a la acumulacion de energıa que es proporcional al volumen del material ensayado(explicado a traves de la energıa de superficie [α] de la teorıa de [47]), a la distribucionaleatoria de micro fisuras (defectos) en los cuerpos de prueba [22], o en caso de CP cubicosa los gradientes de esfuerzos y efectos en los contornos [27].

Se observa que σc decrece con el incremento del volumen del CP —excepto paratamanos muy pequenos— donde la imprecision de la preparacion del mismo, los defec-tos de la superficie o la contaminacion del CP dominan su comportamiento, y causa eldecremento de la resistencia con el incremento del volumen del mismo [22]. Esta razonjuntamente con que el diametro del CP debe ser al menos diez veces el tamano maximodel mineral o grano, dan las razones para usar cuerpos de prueba con diametros de 50 mm.Por otro lado, [51] y [65] nombran que para rocas fragiles duras, el efecto escala en laresistencia a compresion uniaxial no es tan acentuado como en otras rocas.

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3.5 Efecto de escala del material rocoso 31

Existe tambien relaciones del efecto de escala en la resistencia a traccion y del moduloelastico en a 50 % de la resistencia a compresion uniaxial (E50) tambien fueron obtenidas;Cuadros 3.6 y 3.7, respectivamente.

Tabla 3.6 Ecuaciones del efecto escala en la resistencia a traccionMaterial rocoso Ecuacion Validez Unidades Ref.

Granito 6 lg(

σt1σt2

)= lg

(V2V1

)– – [68]

Basalto mafico σtd = 1148d−0.11 d < 150 mm MPa, mm [65]Porfido σtd = 115d−0.50 d < 150 mm MPa, mm [65]Dolerita† σtd = 55d−0.39; σtd = 407d−0.82 d < 150 mm MPa, mm [65]Notas: † Mena de oro en dolerita.

Tabla 3.7 Ecuaciones del efecto escala en el modulo elastico a 50 % del σc.

Material rocoso Ecuacion Validez Unidades Ref.Arenisca† lgE50 = 7.3117−0.148lgV psi, pulg3 [64]Basalto mafico E50 = 182d−0.21 d < 150 mm GPa, mm [65]Porfido σtd = 121d−0.19 d < 150 mm GPa, mm [65]Dolerita‡ σtd = 83d−0.07; σtd = 60d−0.003 d < 150 mm GPa, mm [65]Notas: † arensica de Matinenda; ‡ mena de oro en dolerita.

En lo que respecta el efecto escala en la resistencia a corte en discontinuidades,[14]presentan los resultados de pruebas de corte directo donde observaron la influencia de laescala del material roca en forma clara.

En forma general, es discutible que la dispersion de los valores de una misma propiedadpuede atribuirse —aparte del complejo hecho del efecto escala— a factores mas simples(que deben descartarse en el momento de evaluar el efecto escala) como la heterogenei-dad de los componentes del material y la dispersion de los valores de una propiedad alprocedimiento experimental y la no trazabilidad de los instrumentos de prueba.

Para encarar un estudio del efecto escala del material rocoso a una determinada propiedadse deberıa primeramente confirmar la homogeneidad del material de todos los cuerposde prueba y la inexistencia de discontinuidades en los mismos, situaciones que son muydifıciles de tener para los volumenes de roca donde se espera que la curva de la Figura 3.3llegara a ser asintotica.

Finalmente nombrar que el efecto escala es un fenomeno con opiniones controver-siales acerca de sus causas y manifestaciones [35]. [101] estudiaron que en materialeshomogeneos la conductividad hidraulica es constante para cualquier volumen de material;no obstante, este aspecto no se cumple en un material heterogeneo donde la conductividadhidraulica varıa segun el factor escala.

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32 3 Material Rocoso

3.6 Efecto del contenido de humedad en el material rocoso

La influencia del agua en la resistencia mecanica del material rocoso puede ser consider-able. De las muchas investigaciones, no existe excepcion acerca de que la humedad en elmaterial rocoso reduce la resistencia de la roca drasticamente; en especial en aquellas rocasque reaccionan con el agua y en las rocas debiles y/o porosas.

[98] encontro que el decremento de la resistencia a compresion uniaxial por humedaden areniscas y lutitas es de 40 % y 60 %, respectivamente.

[32] reportan un decremento del estado seco al saturado del orden del 50 % para lutitascuarcıticas y areniscas cuarcıticas. Asimismo [24] concluyo que la reduccion de la resisten-cia por el incremento del contenido de humedad es mayor cuando se tiene minerales negros(i.e. biotita, amfibolita, piroxeno) y cuando se tiene mayor esquistocidad o anisotropıa enla roca.

Tambien se observo que las mayores reducciones en la resistencia mecanica —a causadel contenido de humedad— se produce en el intervalo de 0 % hasta 25 % del contenidode humedad. A una parecida conclusion llegaron [103] para el caso de areniscas.

Por otro lado, [96] mostro que la resistencia humeda puede ser mayor que la seca, posi-blemente por causa de la heterogeneidad. Esta misma observacion fue reportada por [24]para algunas rocas de grano muy fino como Basaltos y Lutitas negras.

El Cuadro 3.8 muestra el porcentaje de decremento de σci en estado saturado respecto elestado seco. La Figura 3.5 muestra la variacion del ındice de carga puntual y la resistenciaa compresion uniaxial con la humedad.

Tabla 3.8 Efecto de la saturacion de la roca en la resistencia a compresion uniaxial [83].

Roca Numero de ensayos σci,d−σciσci,d

†Arenisca 5 0.45 a 0.90Marmol 1 0.95Caliza 1 0.83Granito 1 0.86Pizarra 1 0.80Notas: †decremento de σci respecto al valor en condiciones secas.

A no ser que los valores de resistencia mecanica sean corregidos a condiciones dehumedad del sitio, se puede producir errores de estimacion catastroficos. Muchas vecesse recomienda para ensayos de laboratorio que las muestras esten saturadas, esto con elobjeto de obtener valores conservadores. De este modo, cualquier valor expresado de σcidebe estar acompanado del valor de contenido de humedad para el que se ha obtenido. LaISRM [57, 58] sugiere que las muestras sean almacenadas por cinco a seis dıas antes delensayo en camaras de humedad al 50 %.

Con base a ensayos de carga puntual simple en rocas lodosas, [66] establece una relacionentre la resistencia a compresion uniaxial en estado seco (σci,wo ) y la mismas en estado

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3.7 Resistencia mecanica a compresion uniaxal 33

Fig. 3.5 Efecto del contenido de humedad en la resistencia a compresion uniaxial del material rocoso: a)al ındice de carga puntual simple [24], b) a la resistencia a compresion uniaxial [103]

humedo (σci,w), segunσci,w = σci,wo exp−0.443w; (3.9)

donde w es el contenido de humedad de la material rocoso.

3.7 Resistencia mecanica a compresion uniaxal

En obras civiles donde se sometera el material rocoso a altos campos de esfuerzos y enespecial en materiales rocoso fragiles, es importante determinar cual es el lımite de suresistencia mecanica. La resistencia mecanica del material rocoso es el maximo valor queeste soporta a un determinado estado de esfuerzos; de este modo, para cada estado existeun dado valor maximo de resistencia mecanica.

Los diferentes estados de esfuerzos pueden ser por ejemplo: un estado de compresionuniaxial, compresion triaxial axisimetrica, traccion uniaxial, flexion, y torsion.

Para el caso de un estado de esfuerzos compresivo triaxial axisimetrico, para llegar alestado de resistencia maxima el material rocoso pasa por una serie de estados mecanicoscuyos lımites se los conoce con el nombre de umbrales de degradacion progresiva de la

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34 3 Material Rocoso

resistencia mecanica a compresion triaxial axisimetrica antes de la ruptura o simplementeumbrales de dano de pre-rotura (pre-peak damage thresholds).

Desde el punto de vista de la ingenierıa estos umbrales son importantes de determinarlosen al menos para los estados compresivos axisimetricos, porque ellos seran las guıas a lasque uno podra disenar una estructura rocosa, donde no todas las obras se disena a la maximarotura; sino mas bien se disena a uno de estos umbrales.

3.8 Ensayo de resistencia a compresion uniaxial

El ensayo de resistencia a compresion uniaxial (UCS-test de la sigla del ingles de uniaxialcompressive strength) es sin duda el ensayo mas usado e importante en cualquier investi-gacion de mecanicas de rocas. Este ensayo se restringe a aquellos materiales rocosos queson duros, irrompibles y que permitan su preparacion. Para este ensayo se prepara los cuer-pos de prueba de material rocoso de forma cilındrica a partir de bloques de muestras o denucleos extraıdos de las perforaciones, tal como se describe en [106].

La resistencia ultima a compresion uniaxial de un cuerpo de prueba de material ro-coso es el valor del esfuerzo ultimo registrado antes de producirse la falla, cuando este essometido a un esfuerzo paralelo al eje axial de la muestra que no esta confinada.

Dentro de las rutinas para realizar el ensayo de resistencia a compresion uniaxial sediferencia al menos tres tipos de ensayos:

• ensayo de compresion uniaxial estandar no especializado, debido a que solo requierealcanzar la ruptura del cuerpo de prueba;

• ensayo de compresion uniaxial estandar especializado, llamada ası porque los proced-imientos son mas exigentes y mayores, y ademas porque tiene el objeto de obtener losparametros de resistencia y deformacion del material rocoso a distintos niveles crıticos;

• ensayo de compresion uniaxial especializado con curva de post-rotura, igual al anteriorpero con la necesidad de obtener la curva completa de esfuerzo–deformacion.

En todos estos tipos de ensayos es importante reportar el contenido de humedad delmaterial rocoso al lado del valor de la resistencia a compresion uniaxial, ası como la forma ylas dimensiones del cuerpo de prueba (e.g. el diametro y relacion diametro–altura). Cuandono se tiene el dato del contenido de humedad del material rocoso en el momento de suextraccion, se ensaya el mismo a dos condiciones: condicion seca y saturada; esto debidoa que en especial en las rocas debiles, blandas o porosas el valor de resistencia dependemucho del contenido de humedad al que se encuentra durante el ensayo.

En los ensayos hechos en cuerpos de prueba cilındricos, se hace una correccion poresbeltez y tamano del cuerpo de prueba. En los cuerpos de prueba donde la relacion altura–diametro ( HCP

DCP) es menor a dos, se hace la correccion conocida como correccion de Pro-

todyakonov donde σ∗ci es el esfuerzo medido por el equipo y σci es el esfuerzo corregido ylas constantes a y b varıan de acuerdo con diferentes autores (Ecuacion 3.10 y Cuadro 3.9).

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3.8 Ensayo de resistencia a compresion uniaxial 35

σci = σ∗ci

(1

a+b HCPDCP

)(3.10)

Tabla 3.9 Constantes para la correccion de Protodyakonov.

a b Referencia

0.880 0.240 [11]0.778 0.222 [82]

3.8.1 Estandar no-especializado

Los resultados obtenidos de un ensayo de compresion uniaxial estandar no especializadoen material rocoso da solo una idea de la competencia de la estructura del material.

La falla del cuerpo de prueba segun este procedimiento, muchas veces puede ser vio-lenta. Para prevenir accidentes a causa de fragmentos de roca es recomendable colocar unamalla de proteccion alrededor de la muestra o estar equipado con lentes de seguridad ymandil de cuero.

La resistencia a compresion uniaxial se calcula con la maxima carga de compresionalcanzada durante el ensayo (P) y con el area de la seccion transversal del cuerpo de pruebaregistrada al inicio del ensayo (A) (Ecuacion refeq: 179).

σci =PA

(3.11)

El ensayo se ejecuta en prensas no controladas por servos, prensas de baja rigidez, concuerpos de prueba sin altas exigencias de precision geometrica y no instrumentados parala medida de deformaciones. En la mayorıa de las veces se usa prensas de concreto de altaproduccion, por lo que es muy atractivo para ensayar grandes volumenes de muestras. Sinembargo, este ensayo no-especializado solo da valores referenciales y de baja calidad de laresistencia a compresion uniaxial (muchas veces mas bajos de los reales) y sacrifica cuerposde prueba que pueden ser mejor preparados y aprovechados en el ensayo de compresionuniaxial estandar especializado. Por estas razones, se recomienda evitar este tipo de ensayocomo recurso inicial en la programacion de ensayos de laboratorio en materiales rocosos.

El ensayo se puede realizar con base a algunas de las recomendaciones de la normaASTM D2938 [11] o el metodo sugerido por la ISRM.

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36 3 Material Rocoso

3.8.2 Estandar especializado

El ensayo de resistencia a compresion uniaxial estandar especializado se usa para determi-nar ademas de la resistencia a compresion uniaxial del material rocoso, las curvas esfuerzosvs. deformaciones del material, y por ende su modulo de Young o de deformacion elastica(E) y la relacion de Poisson (ν), que posibilita la clasificacion y caracterizacion del mate-rial rocoso desde el punto de vista mecanico. Este esta regido segun las recomendacionesde de la norma ASTM D2938 [11] o el metodo sugerido por la ISRM.

Para lograr el ensayo de forma satisfactoria, se tiene que poseer de un equipo de altarigidez que permita controlar el estado de deformaciones pre-rotura; y sobre la superfi-cie de los nucleos se tiene que colar galgas extensometricas y/o deformımetros dispuestosparalelos a la longitud y diametro de la muestra (Figura 3.6), conectados a un equipo deadquisicion de datos continuo y acoplado al transductor que lee la fuerza axial aplicada.

Fig. 3.6 Cuerpo de prueba con la instrumentacion de medida de la deformacion del material para el ensayode compresion uniaxial estandar especializado. a Fotografıa; b esquema: 1 cuerpo de prueba, 2 transductorde desplazamiento vertical, 3 soporte del transductor, 4 transductor de deformacion diametral, 5 cadena, 6sensor de emisiones acusticas, 7 soportes, 8 base, 9 placa de carga tipo rotula.

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3.8 Ensayo de resistencia a compresion uniaxial 37

3.8.3 Especializado con curva de post-rotura

Para lograr el ensayo de resistencia a compresion uniaxial especializado con curva de post-rotura es necesario tener un equipo rıgido y servo-controlado. Con esto es posible tenergran informacion acerca del comportamiento mecanico del material rocoso, como ser:

• curva esfuerzo axial vs. deformacion axial;

• curva esfuerzo axial vs. deformacion radial;

• curva esfuerzo axial vs. deformacion volumetrica;

• resistencia a compresion uniaxial pico;

• resistencia a compresion uniaxial residual;

• esfuerzo de cierre de fisuras;

• esfuerzo de inicio de propagacion de fisuras;

• esfuerzo al inicio de coalescencia del material;

• esfuerzos del rango elastico;

• angulo de dilatancia del material.

3.8.4 Interpretacion de los datos de laboratorio

3.8.4.1 Variables antes del ensayo

Previo al ensayo se tiene que tomar las medidas del diametro de la muestra do y su alturalo en milımetros. El diametro del cuerpo de prueba se mide a tres alturas, y las alturas semide en tres lıneas generatrices. Con do se calcula ao y la circunferencia inicial co, con lasexpresiones

ao =π

4d2

o , (3.12)

co = πdo. (3.13)

3.8.4.2 Variables durante el ensayo

Durante el ensayo se registra las siguientes variables de primer orden: el tiempo t, en se-gundos; la fuerza axial p, en kilo newtons; el cambio de la longitud axial ∆l, en micras; yel cambio en la circunferencia ∆c, tambien en micras.

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38 3 Material Rocoso

3.8.4.3 Reduccion de variables

En ensayos controlados por deformacion, sea axial y especialmente diametral, en maquinaservo-controladas generan muchas lecturas para una prueba (i.e. por el orden de las 5000lecturas por canal).

Cuando se desea hacer la interpretacion, la nube de puntos es tan densa que no es posiblecalcular ni siquiera por metodos automatizados.

El suavisado no puede hacerse con pares de variables por separada: por ejemplo, no sepuede suavisar el par de variables del acortamiento axial con la fuerza axial sin tomar encuenta el acortamiento radial porque este tipo de ensayo, con las variables ası tomadas, esun problema multivariado.

Esto se puede resolver con metodos que no son parametricos para dos dimensiones dadoen forma general por

y = S(x1,x2)+ ε. (3.14)

La variable y serıa la fuerza axial, y las variables x1 y x2 los acortamientos ∆l y ∆d de formarespectiva. El error ε es el que se quiere minimizar por medio de una la funcion S.

Para este caso multivariado se recomienda emplear los siguientes metodos:

• el de los promedios moviles (running means method);• el suavizador kernel;• los suavisadores por splines;• del algoritmo de retrollenado (backfitting algorithm) con un suavisador movil de lınea.

Si no se mide uno de los acortamientos, el problema se reduce e un metodo de suavisadobivariado, donde se recomienda al menos dos formas de reducir las lecturas sin perder elcomportamiento que se desea conocer de los datos leıdos; esto son.

1. Reduccion de datos mediante un remuestreo aleatorio aun dado factor de reduccion fr,que es la relacion del numero de datos reducidos por el numero de datos totales.

2. Suavizado de datos mediante una regresion local LOWESS (del acronimo en ingles delocally weighted scatterplot smoothing).

3.8.4.4 Variables despues del ensayo

Luego reducir los datos se calcula las variables de segundo orden, que son: el esfuerzoaxial σa, en mega pascales; las deformaciones axial (εa), circunferencial (εc) o diametral(εd), en micras por micra; el area corregida (a), en milımetros al cuadrado; y la deformacionvolumetrica (εv), en milımetros por milımetro.

Estos valores se calcula con las siguientes expresiones

a = (1+ εd)2 ao. (3.15)

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3.8 Ensayo de resistencia a compresion uniaxial 39

Las variables de tercer orden a calcular son: la deformacion axial elastica, la defor-macion axial de fisuras, la deformacion diametral elastica, la deformacion diametral defisuras, la deformacion volumetrica elastica, la deformacion volumetrica de fisuras; todasen en micras por micra.

Las variables de cuarto orden a calcular son: el modulo tangente de deformacion al50 % de la resistencia maxima (Et,50), en giga pascales, la razon del esfuerzo axial con ladeformacion diametral en giga pascales; el modulo de deformacion secante al 50 % de laresistencia maxima (Es,50), tambien en giga pascales, y la relacion de Poisson ν .

Las variables especializadas de cuarto orden a calcular son las correspondientes a losumbrales de dano de pre-rotura.

Calculo numerico del modulo de deformacion tangente.-El modulo tangente es mas complicado de calcular que el modulo secante cuando se tiene una

serie de datos de esfuerzo de compresion uniaxial contra deformacion axial; esto porque no setrata de encontrar la pendiente de una lınea que esta unida por dos puntos (como lo es en el casode modulo de deformacion secante) sino que se necesita encontrar un recta tangente a la serie depuntos que forma una curva. Se puede encarar este problema por dos posibles alternativas.

Diferenciacion numerica

Si se asume, y ademas si se logra a partir de las lecturas reales, que en el intervalo elastico la relaciondel esfuerzo de compresion uniaxial contra deformacion axial esta dada por una funcion continua ymonotonica f (ε); entonces la pendiente en un punto dado (ε) dentro de esa curva se puede obtenera partir de una diferenciacion numerica de f dado por

d fdε≈ f (εo +δε)− f (εo)

δε; (3.16)

donde εo es el valor de la variable independiente (en este caso de la deformacion) donde se deseaencontrar la pendiente; y δε es un pequeno incremento o decremento a partir de εo. Mientras menores el valor de δε mas exacta sera la solucion.

Ajuste a un polinomio seguido de diferenciacion analıtica

Por lo normal, en el intervalo elastico los puntos registrados en las lecturas pueden ajustarse hastacon un polinomio de tercer orden (mejor si de menor grado). Si se logra ajustar con muy buenaaproximacion las lecturas reales, y como se conoce la expresion general de un polinomio en suforma canonica de una combinacion lineal de monomios, entonces es posible obtener la derivada deesa funcion de forma analıtica; y en el punto deseado se encuentra por consiguiente la pendiente dela curva por reemplazo directo en la expresion analıtica de la derivada del polinomio escogido. ut

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40 3 Material Rocoso

3.8.5 Umbrales de dano de pre-rotura uniaxial

Para el caso de un estado de esfuerzos uniaxial, los umbrales de dano de pre-ruptura en unmaterial rocoso son los siguientes.

1. El esfuerzo de cerrado de fisuras, que determina la resistencia de cerrado de fisuras σcc.2. El esfuerzo de iniciacion de fisuras, que determina la resistencia de iniciacion de fisuras

o la llamada resistencia para esfuerzos sostenidos a largo plazo σcn.3. El esfuerzo de dano de fisuras, que determina la resistencia de dano de fisuras σcd.4. El esfuerzo maximo y de falla, que determina la resistencia maxima para falla σc

(σpeak).

De los umbrales de esfuerzos descritos arriba no todos son dependientes de la velocidadde incremento de la carga (e.g. velocidad del ensayo) y del estado de esfuerzos; se observoque el esfuerzo de iniciacion de fisuras (σcn) y el esfuerzo de dano de fisuras σcd son in-variantes de la velocidad de carga y el estado de esfuerzos (Martin, 1993); lo que indicarıanque estos dos son candidatos aun mejores que la resistencia a compresion uniaxial maxima,para ser una propiedad caracterıstica del material rocoso.

A partir de los cuatro estados crıticos en compresion uniaxial se define cinco intervalos:

• desde un estado de esfuerzo axial nulo hasta un estado de compresion uniaxial σcc lascondiciones del material rocoso es tal que sus fisuras preexistentes se empieza a cerrarpor la existencia de un incremento de esfuerzo compresivo ([0,σcc[);

• de [σcc,σcn[ se tiene las mejores condiciones mecanica de la roca: fisuras cerradas sinsuficientes tensiones para que ellas se propague;

• en el intervalo de [σcn,σcd[ el dano es aun controlable, las fisuras empiezan a propa-garse y existe una relacion entre esfuerzos y estas;

• en el intervalo de [σcd,σc[ el dano de la propagacion es incontrolable, ya no existeuna relacion entre esfuerzos y las longitudes de las fisuras, y se tiene un estado decoalescencia hasta el punto de la ruptura.

En terminos de las deformaciones, es posible tambien hablar de los intervalos de defor-macion de cerrado de fisuras, deformacion lineal, deformacion con propagacion de fisurasestables, y deformacion con propagacion de fisuras inestables. Los valores de las deforma-ciones tienen que ser correspondientes a los valores de los esfuerzos que determinan cadauno de los umbrales.

Asimismo, estos umbrales de dano de pre-ruptura en compresion uniaxial existe tambienen estados de esfuerzos de compresion triaxial axisimetrica, y posiblemente tambien encompresion triaxial poliaxial. En estos casos se analiza ya no la deformacion axial, sinola deformacion volumetrica del cuerpo de prueba (eV); y por ende, toda definicion de unumbral en cualquier estado de esfuerzos se hace con base a la deformacion volumetrica.

De este modo, para el caso de un estado de esfuerzo uniaxial compresivo esta biendefinido que el inicio de la propagacion de fisuras ocurre a un nivel de esfuerzos donde ladeformacion volumetrica es distinta de cero, y se denomina deformacion volumetrica de

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3.8 Ensayo de resistencia a compresion uniaxial 41

fisura denotado por eV,cr; la cual se puede obtener a partir de la deformacion volumetricaelastica eV,e y la deformacion volumetrica elastica total eV. Tambien, el dano por fisura seinicia en el punto de reversa en la curva de la deformacion volumetrica.

A parte de la gran posibilidad de poder caracterizar un tipo de material rocoso desdeel punto de vista mecanico mediante dos propiedades caracterısticas invariantes (como semenciono arriba para los valores de σcn y σcd), resulta siendo de mucha utilidad determinartodos los umbrales de dano de pre-rotura del material rocoso. Por ejemplo, con σcc y σcnse determina muy claramente la region de comportamiento elastico, y se verifica con lasdeformaciones volumetricas. Tambien, σcd es importante porque sirve para indicar la regionen la cual uno empieza a acercarse a la fase terminal de la falla del material rocoso.

Existen tecnicas desarrolladas para detectar la iniciacion y la subsecuente propagacionde fisuras en el material rocoso. La mas comun involucra el control de las deformacionespor medio de galgas extensometricas con una capacidad de obtener 25 medidas por segundocon el fin de recolectar una alta resolucion de la deformacion del cuerpo de prueba. Aquıes necesario usar tecnicas de reduccion de datos con el fin de vislumbrar tendencia que seencuentra oculta por el alto numero de datos.

Otra tecnica, que es nueva, es el de controlar la actividad de las emisiones acusticas(Acoustic Emission, AE de las siglas en Ingles) que genera el proceso de propagacion defisuras (Labuz et al., 2001; Eberhardt et al, 1998). Las medidas de AE durante el ensayode un cuerpo de prueba se usa por lo general con el fin de tener una buena descripcion delos eventos del micro-fracturamiento que involucra las diferentes fases luego del inicio dela propagacion de fisuras. Esto debido a que la mayorıa de los eventos de AE ocurren pocoantes de la falla, cuando una onda elastica de compresion viaja desde el punto de origenhacia el punto de lectura en la superficie; determinado un evento acustico (Hardy, 1977). Lalectura de AE es mejor que las lecturas de deformaciones, debido a que cuando se alcanzala falla, se produce una violenta descarga de energıa elastica de deformacion, pero estefenomeno detectado por las galgas extensometricas puede ser demasiado tarde para tomarmedidas de seguridad o medidas de prevencion.

Ejercicio 3.1. Los datos que se presenta en el siguiente cuadro representan un modelo delcomportamiento esfuerzo de compresion uniaxial contra distintas deformaciones; esto paraun Neis Cuarzo Feldespatico. El modelo fue obtenido del analisis de cinco ensayos de UCS,y el post-analisis dio los siguientes seis puntos de interes, ente ellos los umbrales de danode pre-rotura uniaxial.

Se solicita calcular los modulos de deformacion tangente (Et50) y secante (Es50) al 50 %de la resistencia a compresion uniaxial; la razon de la deformacion diametral contra es-fuerzo axial tangencial (Ht50) en el mismo punto; y la relacion de Poisson (ν) calculadocon los valores tangenciales. Luego de obtener esos valores, obtenga el modulo relativo delmaterial rocoso, y clasifique la roca segun lo propuesto por [36].

Solucion 3.1.

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42 3 Material Rocoso

Descripcion del punto εa εd εv σa εve εvcEstado libre de esfuerzos 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000Lımite cerrado de fisuras – intervalo elastico 0.076 −0.006 0.063 32.0 0.036 0.028Punto en el intervalo elastico 0.101 −0.011 0.080 46.4 0.052 0.029Lımite intervalo elastico – propagacion de fisuras 0.134 −0.017 0.101 65.5 0.073 0.028Lımite propagacion de fisuras – coalescencia 0.176 −0.048 0.109 86.3 0.096 0.013Resistencia maxima 0.201 −0.096 0.010 92.8 0.103 −0.094Nota: Las deformaciones εi estan dadas en %: εa es la axial, εd la diametral, εv la volumetrica, εve lavolumetrica elastica y εvc la volumetrica de fisuras. El esfuerzo σa en MPa.

Descripcion de la variable ValorModulo de deformacion tangente a 50 % del esfuerzo maximo (Et50) 57.3 GPaRelacion del esfuerzo axial con la deformacion diametral, de los valores tangentes, (Ht50) −315.6 GPaRelacion de Poisson con los valores tangentes Et50 y Ht50 (ν) 0.182

3.9 Aplicacion de la UCS al diseno de pilares

En minas subterraneas el mineral de interes se excava bajo un metodo que se denominastoping o mining by stopes que es la excavacion del volumen del mineral en volumenesestablecidos (i.e. cubos o prismas); y que avanza en varios subniveles. Como stope se puedetraducir al volumen de material de arranque por cada fase; por ejemplo, en un nivel sepuede tener cubos o prismas de volumen de mineral que se excavara en cada fase; es decirse excavara cada stope.

En este metodo de mining by stopes se dejan pilares cada cierta distancia en un dadoarreglo generalmente rectangular, con el fin de sostener el espacio vacıo producto de laexplotacion del yacimiento. El espacio entre pilares es un volumen de arranque. El fin de lapresencia de los pilares es el de controlar el desplazamiento del macizo rocoso en la zonade influencia de la mina (i.e. la zona donde los esfuerzos se alteran por la presencia de lascavidades) y brindar la estabilidad estructural mientras el proceso de minacion1 se ejecuta.

Por tales motivos, el diseno de los pilares tiene que lograr lo siguiente.

1. La estabilidad mecanica del espacio excavado durante la ejecucion del minado de esenivel.

2. Un desplazamiento total admisible del macizo rocoso durante la vida util de la mina.

Sin embargo, muchas veces los pilares estan compuestos por el mismo yacimiento, queen ese momento se considera una reserva. Esto quiere decir que en algun momento estosmismos deberan ser reemplazados por pilares de material esteril u otro material; lo queimplica que el diseno sea temporal, que en algunos casos se admita la falla del pilar, y queestos puedan trabajar a resistencias residuales.

El analisis del comportamiento de todo el sistema de pilares en todos los niveles en unamina subterranea es complejo, debido a que cada nivel le aportara una determinada carga

1 Minacion: accion de minar, accion de arrancar el mineral.

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3.9 Aplicacion de la UCS al diseno de pilares 43

al sistema de pilares inferior de acuerdo a su carga y deformacion. Tambien se complica laestimacion de las cargas de los pilares debido a la presencia de galerıas, pozos y paredesexternas de la mina. Finalmente, es muy poco probable tener una mina ordenada en unarreglo simetrico: i.e. con pilares todos con la misma seccion transversal, con la mismarelacion altura:lado, arregladas de forma rectangular, con materiales de propiedades delmacizo rocoso iguales, y con el estado de conservacion iguales.

En la Figura 3.7 se muestra algunas fotografıas de pilares presenten en el nivel 27 de lamina subterranea El Silencio ubicada en el municipio de Segovia al nordeste del departa-mento de Antioquia en Colombia. Al ser esta una mina de mas de cien anos, el conceptode orden y secuencia se perdio; por tanto el metodo de minacion por stopes no se aplica enla actualidad; y mucho mas aun, la mayorıa de los pilares estan fallados.

(a) fallado con mal refuerzo de madera (b) con indicios de inicio de falla

(c) concavidad en el centro del pilar, inicio defalla

(d) todavıa ıntegro

Fig. 3.7 Diferentes pilares presentes en el nivel 27 de la mina El Silencio.

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44 3 Material Rocoso

3.9.1 Pilares en un solo nivel

Ejercicio 3.2. Se pretende disenar los pilares de una unica gran camara de explotacion deuna mina subterranea en una roca fragil. La sobrecapa por encima de techo del unico niveles de 216 m. Los pilares seran de forma prismatica de seccion cuadrada con lado igual a5 m y una relacion altura:lado de 2.3 : 1 (i.e. 11.5 m); ellos estaran separados en un arreglorectangular cada 35 m entre ejes. Si la resistencia a compresion uniaxial del material rocoso(σc) para un volumen de 287.5 m3 es de 310 MPa y su peso unitario es de 0.027 MN m−3,se solicita lo siguiente.

1. Definir una funcion del criterio de ruptura apropiada con el fin del diseno solicitado.2. Con esa funcion, ver si el las dimensiones de los pilares planteadas como prediseno

producira o no falla en ese nivel de la mina.3. Si no produce falla, especificar el nivel de seguridad mediante un valor numerico.

Solucion 3.2. Tomamos como base la definicion de envolvente de ruptura (Ec. 3.31) que es

T = f (R,P).

Debido a que los pilares estaran sometidos a unicamente compresion uniaxial, y adop-tando un sistema coordenado NED

R=

0 0 00 0 00 0 σp.

Que resulta ser un escalar, es decir

R= R = σp.

Ahora, el conjunto P tiene que ser una serie de valores que definan al material desde elpunto de vista mecanico; y el parametro directo es la resistencia a compresion uniaxial σc.Por tanto, el conjunto P tiene un elemento

P = {σc}.

Finalmente se define una funcion —que por ser el esfuerzo σp consistente en direccion,unidades y fısica con σc— con base a unicamente una suma

f = σc−σp.

Ahora bien, para verificar que si el estado de esfuerzos —al que los pilares estaransometidos— haran fallar la roca se verifica si la funcion f es mayor o menor a la unidad.Si es mayor a la unidad, el material rocoso no falla y se puede determinar un nivel de

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3.9 Aplicacion de la UCS al diseno de pilares 45

seguridad; si es igual a cero, el material rocoso estarıa en inminente falla; y si es menor,existe falla pero se tendrıa que definir otro criterio de falla para ver las consecuencias deaquello.

Para evaluar f es necesario encontrar σp que resulta ser la relacion de la fuerza ppp sobreel area de la seccion transversal del pilar Ap

σp =ppp

Ap.

La fuerza ppp es vertical

ppp =

00p

.

La magnitud p es la que se calcula con base a la informacion dada; de este modo

p = 0.027×216×352 MN= 7144 MN.

La magnitud de σp es

σp =71445×5

MPa

= 285.8MPa.

Finalmente se deduce que las dimensiones dadas en el prediseno para el pilar hacen queeste no falle debido a que f = 310−285.8 = 24.2 MPa es mayor a cero.

El nivel de seguridad para cada pilar mediante un valor numerico —expresado como unfactor de seguridad— es

fs =310

285.8= 1.1;

esto indica que pese a que el pilar no falla el puede estar fuera del rango elastico y puedeestar en un estado donde las fisuras del material rocoso se propaga en forma controlable.Esto habra que corroborarse determinando los umbrales de dano de pre-ruptura.

Si bien el criterio de falla es sencillo y depende de solo σc, se tiene que evaluar elcoeficiente de variacion (cv) de este importante parametro. Pariseau (1992) encontro quepara las rocas cv ≈ 0.3. En nuestro ejemplo, para ser conservadores

min(σc) = 310−0.3×310= 217 MPa.

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46 3 Material Rocoso

Siendo ası se concluirıa que los pilares fallan. ut

3.9.2 Pilares en varios niveles

Cuando la mina tiene varios niveles, el esfuerzo σp se asume proporcional a la componentevertical (paralelo al eje del pilar vertical) del campo de esfuerzos de tensores antes delminado y la multiplicacion de un factor dependiente de una variable denominada relacionde extraccion (re)

σp = σv

(1

1− re

). (3.17)

La relacion de extraccion es la relacion del area de minado en el nivel donde se esta ha-ciendo el analisis, sobre el area total del cuerpo a minar.

En un arreglo regular (en planta) de pilares, la relacion de extraccion es analıtica y estaen funcion de los dos lados de la seccion del pilar, wp1 y wp2, y la distancia entre las paredesde los pilares wo1 y wo2 (wp1 paralela a wo1 y wp2 paralela a wo2)

re =(wp1 +wo1)(wp2 +wo2)−wp1wp2

(wp1 +wo1)(wp2 +wo2). (3.18)

Aquı el esfuerzo uniaxial que actua sobre cada pilar es

σp =PAp

=σv(wp1 +wo1)(wp2 +wo2)

wp1wp2; (3.19)

donde Ap es el area de la seccion transversal del pilar.Si wo = wo1 = wo2 entonces en un arreglo regular de pilares de corredores, el estado

de esfuerzos es bidimensional (i.e. un estado plano de deformaciones) y la relacion deextraccion es

re =wo

(wo +wp). (3.20)

En caso de que el arreglo de los pilares por nivel no sea ordenado, el valor de re tiene queser estimado en funcion a las areas en planta, i.e. area de minado y area total del cuerpo aminar.

El diseno completo de pilares no solo se limita a verificar la resistencia mecanica de cadaelemento a compresion uniaxial; tambien se tiene que verificar que tanto el techo como elpiso donde actua cada pilar resiste al punzonamiento. Esto se logra verificado la capacidadportante en piso y techo.

Ejercicio 3.3. El septimo nivel horizontal de una mina subterranea metalica tiene en plantauna arreglo de pilares de seccion transversal rectangular de lados 0.8 m × 0.6 m. La sobre-capa por encima de techo del primer nivel es de 25 m, y cada nivel tiene un techo(piso) de

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3.9 Aplicacion de la UCS al diseno de pilares 47

0.8 m de espesor. El ancho del area de arranque stopes (i.e. la separacion entre paredes depilares en sentidos paralelos a ambos lados de la seccion) es igual a 5 m, y la altura de losmismos es de 2.7 m. Si la resistencia a compresion uniaxial del material rocoso (para uncuerpo de prueba estandar de relacion h : d = 2.15) es de σc,i = 280 MPa y su peso unitarioes de 0.026 MN m−3, se solicita verificar la seguridad de ese nivel mediante un factor.

Solucion 3.3. El volumen del cuerpo de prueba a partir del cual se obtuvo la resistencia acompresion uniaxial de la roca es

vs =π

4d3

s rh:d

4×(

471000

)3

×2.15

= 1.7532×10−4 m3.

El volumen del pilar es

vp = wp1wp2hp

= 0.8×0.6×2.7= 1.296m3.

Se estima la resistencia a compresion uniaxial del pilar a partir de la ecuacion empıricade Weibull (Ec. 3.6), despejando σcVB , de este modo

σcVB = σcVs10−1

mw lg(

VBVs

)

= 280×10−19 lg(

1.2961.7532×10−4

)= 104.1MPa.

El esfuerzo vertical en el nivel de analisis esta en este caso en funcion del numero deniveles (nl), de la altura del area de arranque de la seccion transversal (hw), del espesor deltecho o piso (ww) y de la sobrecapa sobre el primer nivel (z1).

zt = (nl−1)(hw +ww)+ z1

= (7−1)× (2.7+0.8)+25= 46m.

Por lo que el esfuerzo vertical en el techo del nivel septimo es

σv = γdzt

= 0.026×46= 1.2MPa.

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48 3 Material Rocoso

La relacion de extraccion para el caso de un arreglo rectangular como es este caso sehalla con la Ec. ??

re =(0.8+5)× (0.6+5)−0.8×0.6

(0.8+5)× (0.6+5)= 0.985.

Por lo cual el esfuerzo que se le aplica a cada pilar es de acuerdo a la Ec. 3.16

σp = 1.2× 11−0.985

= 80.9.

El factor de seguridad en cada pilar es

fs =104.180.9

= 1.29.

La solucion en MATLABr de este ejercicio serıa del siguiente modo

% Geometry of standard sample %% diameter %ds =47/1000; % in m %% height:diameter relation %h2dRel =2.15;% volume %vs =pi /4 *dsˆ3 *h2dRel; % in mˆ3 %

% Rock material %% uniaxial strength %ucss =280; % in MPa %% unit weight %gammad =0.026; % in MN mˆ{-3} %

% Pilar(s) %% height %hp =2.7; % in m %% side 1 %wp1 =0.8; % in m %% side 2 %wp2 =0.6; % in m %% volume %vp =wp1 *wp2 *hp;

% Rock mass at pilar scale %% rock volumetric scale factor %mw =9;% uniaxial strength of rock mass considering volume %ucsp =ucss *10ˆ(-1/mw *log10(vp/vs));

% Mine geometrical characteristics %% overburden at the roof of first level %z1 =25; % in m %% number of levels %

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3.10 Resistencia mecanica a compresion triaxial 49

nl =7;% floor or roof width %ww =0.8; % in m %% stope height %hw =hp;% stope width %wo =5; % in m %

% Vertical stress at analysis level (at the level roof) %% total overburden height %zt =(nl -1)*(hw +ww) +z1;% vertical stress %sigmav =gammad *zt; % in MPa %

% Axial stress over each pilar %% extraction ratio %re =( (wp1 +wo)*(wp2 +wo) -wp1 *wp2 ) /(wp1 +wo) /(wp2 +wo);% axial stress %sigmap =sigmav *(1 /(1-re));

% Factor of safety in each pilar %fs =ucsp /sigmap;display( ['The pilar factor of safety is ', num2str(fs, '%4.2f'), '.'] );

ut

Si la ecuacion Ec. 3.16 se la normaliza con el esfuerzo vertical para obtener

f (re) =σp

σv=

(1

1− re

); (3.21)

y luego se grafica tanto esta funcion f (re) como su primera derivada f ′(re), se observa quepara re ≤ 0.75 la tasa de incremento de la relacion σp : σv es baja cuando se incrementa re;pero si re > 0.75 la tasa de incrementos aumenta de una forma muy rapida (Figura 3.8). Ala relacion σp : σv se la llama factor de concentracion del pilar.

Esto explica que cuando la explotacion empieza a sobre pasar la relacion aproximada de0.75 se tiene que controlar el estado tensional de los pilares, debido a que un pequeno incre-mento en re aumenta grandemente los esfuerzos en los pilares, los cuales pueden empezara mostrar signos de falla.

3.10 Resistencia mecanica a compresion triaxial

3.10.1 Ensayo de resistencia a compresion triaxial-axisimetrico

La Figura 3.9 muestra dos tipos de celdas triaxiales para el caso axisimetrico . Con estasceldas se puede realizar ensayos estandar y multi-etapas, como se describe a continuacion.

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50 3 Material Rocoso

Fig. 3.8 Variacion del factorde concentracion del pilarrespecto la relacion de ex-traccion ( f (re)), y la tasade cambio de estas variables( f ′(re)).

0

5

10

15

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

100

200

300

400

Estandar

Otro ensayo comun de laboratorio en el material rocoso es el ensayo triaxial estandar ax-isimetrico, ensayo introducido por Von-Karman en 1911 [114] dentro del campo de lamecanica general. Los actuales equipos de ensayo triaxial estandar, pueden alcanzar es-fuerzos de camara de 200 MPa a 700 MPa.

A pesar de las limitaciones que ofrece el solo obtener la resistencia triaxial bi-dimensional,aun comprender el comportamiento y propiedades del material rocoso es util para los in-vestigadores e ingenieros.

Por ejemplo, este ensayo posibilito descubrir la transicion entre el estado fragil y ductildel material rocoso en funcion a la presion de confinamiento y la temperatura. Tambienposibilito analizar los efectos de la presion intersticial en la resistencia ultima del materialrocoso, posibilito ver los fenomenos de dilatancia, la fisuracion fragil a compresion. U otrosmuchos fenomenos que hoy en dıa son fundamento de la mecanica de rocas.

Multi-etapas

El ensayo triaxial axisimetrico multi-etapas en muestras de material rocoso tiene el objetode producir una envolvente de resistencia pico del material. Esto disminuye la necesidad deejecutar muchos ensayos triaxiales sencillos de muestras individuales. Este ensayo tambiense denomina ensayo triaxial escalonado.

A pesar de la economıa que brinda este procedimiento, se observo que la muestra en-sayada por este procedimiento sufre un dano progresivo cuando esta es cargada al esfuerzocrıtico de cada etapa. De este modo, existe una subestimacion de la resistencia global delmaterial a medida que se incrementa las etapas.

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3.10 Resistencia mecanica a compresion triaxial 51

Fig. 3.9 Celdas para el ensayo triaxial axisimetrico. a Sin capacidades de instrumentar el cuerpo de pruebapero para altas presiones de confinamiento; b con capacidad de instrumentar el cuerpo de prueba peropara bajas presiones de confinamiento: 1 Piston, 2 Cuerpo de prueba, 3 placas de carga, 4 membrana, 5conductos de aceite hidraulico, 6 deformımetro axial, 7 cuerpo de la celda, 8 y 9 tapas inferior y superior,10 receptaculo o camara, 11 rotula.

Por tanto, se investigo con mas detalle la dregradacion que sufrıa el material rocosocuando se sometıa al procedimiento propuesto para este ensayo [26]. Como resultado deesta investigacion, se propuso un nuevo procedimiento que se basa en la identificacion delpunto de inicio del dano del material rocoso a traves de medidas de emisiones acusticas.Los resultados mostraron que segun un apropiado analisis y con el empleo del nuevo pro-cedimiento, es posible identificar la envolvente de la resistencia pico del material rocoso enforma similar al que se podrıa obtener, si se realizara los ensayos segun el procedimientosimple de ensayos en cada cuerpo de prueba.

La Figura 3.10, muestra las curvas esfuerzo axial vs. deformacion axial obtenidas conel metodo estandar, segun el nuevo procedimiento multietapas y segun el procedimientomultietapas antiguo. Se observa gran semejanza entre los resultados de los dos primerosmencionados metodos de ensayo.

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52 3 Material Rocoso

Fig. 3.10 Curvas esfuerzo vs. deformacion axial en el ensayo triaxial axisimetrico multi-etapas (Modifi-cado de [26]).

3.11 Resistencia a traccion simple

3.11.1 Ensayo de resistencia a traccion directa

La resistencia a tension o traccion uniaxal es el maximo esfuerzo que soporta el materialante la rotura por traccion uniaxial pura, de este modo el ensayo de traccion directa (DPT:Direct Pull Test) es el ensayo ideal para obtener este parametro de resistencia. Se obtienemediante un ensayo de laboratorio que aplica fuerzas distensivas en una probeta cilındricade material rocoso. El calculo del valor final se obtiene mediante la Ecuacion 3.21, dondeT es la fuerza de traccion aplicada y A el area de la seccion transversal del nucleo.

σti =TA

(3.22)

Este ensayo esta normalizado segun la ASTM D2936 [10]. En este ensayo se asume queel estado de esfuerzos es uniaxial y uniforme en el area, no obstante esta suposicion es noes valida y el resultado de la resistencia a traccion resulta ser por consiguiente impreciso[33]. La concentracion de esfuerzos en las mandıbulas del equipo que agarra la muestrapuede ser la responsable de una falla temprana en la muestra, si esta se presenta cerca de

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3.11 Resistencia a traccion simple 53

las mandıbulas. Asimismo, si la falla ocurre alejada de los bordes (i.e. en la parte central dela muestra) el estado de esfuerzos puede que no sea uniforme en toda la seccion transver-sal, debido a las imperfecciones geometricas, las no-alienaciones y la falta de paralelismoentre la muestra y el eje de carga que introducen momentos flectores. De este modo, lapreparacion de las muestras para el ensayo de traccion directa son consideradas costosas[29, 50].

Numerosos estudios se ha ejecutado con el fin de reducir la dispersion de los resulta-dos asociados con la ejecucion practica de los ensayos de traccion directa. Se han empleadoconectores de bisagra puntual (pin-hinged connection) entre las mandıbulas de la muestra yel aparato de carga con el objeto de reducir los momentos flectores inducidos por las imper-fecciones geometricas y desalineaciones de la muestra. Tambien se ha propuesto diversosmetodos para sujetar las muestras. La Figura 3.11 muestra algunas soluciones propuestaspor diversos autores.

Fig. 3.11 Formas de sujetar la muestra con las mordazas de la prensa de traccion. a Segun Obert et al.(1946) [81] y Hawkes & Mellor (1970) [50], los extremos de la muestra estan pegadas a collarines dondeestos ultimos estan luego conectados a la prensa de traccion a traves de juntas esfericas deslizantes y uncable que rota con el fin de evitar la torsion de la muestra durante el ensayo; b segun Fairhurst (1961) [43],las tapas metalicas son pegadas con cemento epoxico a las bases de la muestra.

Dentro de las tres formas de sujetar las muestras, la propuesta por Fairfurst (1961) [43]induce la menor alteracion de esfuerzos y es recomendado por la ISRM.

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54 3 Material Rocoso

En otros metodos no estandares, para forzar que la fractura se produzca en la partecentral de la muestra (i.e. lejos de la concentracion de esfuerzos) se propone preparar lamuestra en forma de mancorna, tambien llamado de muestra tipo hueso de perro, o haceruna muesca en la superficie de la muestra. La primera solucion necesita mayor precisionen la preparacion de la muestra, donde en el caso de muestras debiles no es muy sencillocompletar; y en el segundo caso, ese trabajo introduce en la muestra concentraciones deesfuerzos, donde es necesario hacer interpretaciones teoricas para la interpretacion de losresultados.

3.12 Estado de esfuerzos en R3

Todo este desarrollo se limita a materiales isotropicos-homogeneos que desarrollarantrayectorias de esfuerzos tridimensionales bajo esfuerzos y deformaciones controladas deforma monotonica, y en un solo punto del material rocoso.

Un punto dentro de un volumen —sometido a un estado de esfuerzos dado— se repre-senta mediante un tensor de segundo orden en R3.

El tensor de segundo orden en R3 (S) se puede rotar a un nuevo sistema, tal que en uncubo de lados unitarios se aplican unicamente esfuerzos compresivos principales. La mag-nitud del tensor se puede expresar mediante sus invariantes, tales como sus tres invariantescaracterısticas Ii

I1 = σ1 +σ2 +σ3, (3.23a)I2 =−(σ1σ2 +σ2σ3 +σ1σ3), (3.23b)I3 = σ1σ2σ3. (3.23c)

Asimismo, cualquier tensor S se puede descomponer en la suma de un tensor promedioSiso y uno desviador Sdev

S≡ Siso +Sdev; (3.24)

donde

Siso =13

I11, (3.25a)

Sdev = S−Siso. (3.25b)

Las invariantes caracterısticas del tensor Sdev se las denota con Ji, de este modo

J1 = 0, (3.26a)J2 =−(sdev1sdev2 + sdev1sdev3 + sdev2sdev3) (3.26b)J3 = sdev1sdev2sdev3. (3.26c)

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3.12 Estado de esfuerzos en R3 55

Las magnitudes del estado de esfuerzos en un punto (dadas por tres invariantes del ten-sor) se pueden representar por un vector σσσ cuyos elementos es la diagonal del tensor prin-cipal

σσσ =

σ1σ2σ3

. (3.27)

Este vector se grafica en el espacio Haigh-Westergard (HW), que es un sistema coorde-nado cartesiano ortogonal dextrogiro de bases sss1, sss2, sss3 tales que en cada una de ellas sedefine de forma respectiva las magnitudes de los esfuerzo principales σ1, σ2 y σ3. En estesistema sss1 = (1,0,0), sss2 = (0,1,0) y sss3 = (0,0,1).

En el mismo espacio, se puede definir otro sistema coordenado tambien cartesiano perorotado, llamado sistema octaedrico. Este sistema coordenado tiene bases sssD, sssE y sssF; dondesssD coincide con la direccion de la lınea isotropa del espacio HW y apunta en sentido pos-itivo, i.e. apunta en la lınea cuando σ1 = σ2 = σ3. Las bases sssE y sssF pertenecen al planodefinido por sssD que se denomina plano octaedrico PΠ , donde sssE es horizontal. El espaciooctaedrico se relaciona con el sistema inicial por medio de las propias bases en terminosdel primer sistema coordenado; es decir

sssD =

(1√3,

1√3,

1√3

), (3.28a)

sssE =

(0,−1√

2,

1√2

), (3.28b)

sssF =

(2√6,−1√

6,−1√

6

). (3.28c)

De este modo, la operacion de la matriz de transformacion (RRR) del primer sistema alsistema octaedrico esta dada por la ecuacion

σσσDEF = RRRσσσ ; (3.29)

donde

RRR =

1√3

1√3

1√3

0 −1√2

1√2

2√6−1√

6−1√

6

y

σσσDEF =

σDσEσF

.

Para el sistema octaedrico, el esfuerzo isotropo (σoct) es el escalar que da la ubicacionde PΠ en la lınea isotropa; el esfuerzo octaedrico (τoct) es el escalar que da la magnitud

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56 3 Material Rocoso

del esfuerzo de corte que actua en PΠ ; y el angulo ψ , la orientacion en sentido horariorespecto la proyeccion horizontal del eje sss1 en el plano PΠ de ese esfuerzo cortante τoct;estos que son

σoct =I1

3, (3.30a)

τoct =1√3

√σ2

E +σ2F , (3.30b)

ψ = arctan(−σF

|σE|

)+π− π

2. (3.30c)

La tripleta (σoct,τoct,ψ) puede representar en coordenadas cilındricas otro sistema co-ordenado, el octaedrico cilındrico.

Ejercicio 3.4. En un punto dentro de un material rocoso se tiene el siguiente estado deesfuerzos en mega pascales

S=

5 2.3 1.22.3 3 0.91.2 0.9 2

. (3.31)

Obtenga el mismo estado es esfuerzos pero representado por la tripleta (σoct,τoct,ψ).

Solucion 3.4. Primero se verifica de forma numerica que S es simetrico; y para ello seasume que es una matriz cuadrada y se descompone SSS en la suma de una simetrica y no-simetrica; donde interesa que la parte no-simetrica es una matriz nula 000. Por tanto se verificaque efectivamente

SSSasym =12(SSS−SSST) ,

= 000.

Tambien se verifica que la matriz, ahora simetrica, es invertible; y para ello se tiene queencontrar que su determinante sea mayor a cero;

det(SSS) = 16.02,> 0.

De este modo, ahora se hace la descomposicion espectral de SSS, que para una matriz dediagonal positiva y simetrica

SSS = UUUDDDUUUT,

=

−0.301 −0.522 0.7980.765 0.367 0.529−0.569 0.77 0.289

1.425 0 00 1.615 00 0 6.96

−0.301 −0.765 −0.569−0.522 0.367 0.7700.798 0.529 0.289

.

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3.12 Estado de esfuerzos en R3 57

Y de esto se deduce el vector σσσ ,

σσσ =

6.961.4251.615

.

Ahora se rota σσσ al sistema octaedrico, para obtener

σσσEDF =

17.3205−0.13424.4417

.

Finalmente se obtiene los valores buscados

σoct = 3.33,

τoct = 2.57,

ψ = 0.0302 = 1.73 ◦.

La anterior solucion en MATLABr serıa como sigue.

% The given stress %sTensor =[ 5, 2.3, 1.2; 2.3, 3, 0.9; 1.2, 0.9, 2 ];

% verify the symmetry, antisymmetric part should be a zero matrix %sAsymTensor =1/2*(sTensor -sTensor');

% verify if the matrix is invertible %detS =det(sTensor);

% The principal tensor, perform a spectral decomposition of the given tensor %[ sEigVects, sEigVals ] =eig( sTensor );spTensor =sEigVals;prinVec =sort(diag(spTensor), 'descend');

% Octaedral vector on Haigh-Westergard (HW) space, Davis-Selvadurai axes %% Transformation matrix from HW to octaehdral-system %rotMatHw2Oct =[ sqrt(3) *ones(1,3); 0, -1/sqrt(2), 1/sqrt(2); ...

2/sqrt(6), -1/sqrt(6), -1/sqrt(6) ];prinOctVec =rotMatHw2Oct *prinVec;

ssOct =1/3*sum(prinVec);stOct =sqrt( prinOctVec(2)ˆ2 + prinOctVec(3)ˆ2 ) /sqrt(3);psiRad =atan( -prinOctVec(3) /abs(prinOctVec(2)) ) +pi -pi/2;

% Plotting %% scale of the hidrostatic line %k =ssOct;isoPt1 =zeros(3,1);isoPt2 =1/sqrt(3) *ones(3,1) *k;xyArray =[ isoPt1'; isoPt2' ];

maxValue =max( prinVec);limitsVec =[ 0, maxValue ];

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58 3 Material Rocoso

figure()hold on% the isotropic line %plot3( xyArray(:,1)', xyArray(:,2)', xyArray(:,3)' );% the point of the state of stress %plot3( prinVec(1), prinVec(2), prinVec(3), 'r.' );% grid, vpoint, axis %grid on; view( sqrt(3) *ones(1,3) );axis equal

3.13 Envolventes de rotura mecanica maxima

Es importante determinar en el material rocoso las envolventes de esfuerzos crıticos (en-volventes de falla) con el fin de establecer el lımite a partir del cual la roca empieza adegradarse hasta el colapso y la desintegracion.

El conocer una de las varias envolventes de esfuerzos crıticos en la roca es importanteporque la falla del material por lo general se dice que ocurre cuando se alcanza el esfuerzomaximo, o que al menos se inicia en este estado [61]; y tambien porque este estado rep-resenta el estado de esfuerzos donde empieza la fluencia; de este modo la envolvente deesfuerzos crıticos puede usarse como la funcion de fluencia asociada a la ley de fluencia.

La resistencia mecanica maxima es una funcion f (|R|,P) de un campo de escalares (queson las invariantes del tensor R) y constantes particulares (parametros) que se denominafuncion de esfuerzo lımite o funcion de resistencia mecanica maxima.

De este modo, si P es un conjunto de parametros mecanicos caracterısticos del materialrocoso y |R| esta definida por al menos tres variables que representan las tres invariantesdel tensor de segundo orden R, i.e. X1, X2 y X3; la funcion tensorial de esfuerzo lımite (i.e.envolvente de falla) de ese material se definen como

f (|R|,P); (3.32)

cuya forma estara sujeta de acuerdo a las conclusiones de las investigaciones de difer-entes autores y sus reglas, que en muchos de los casos de la mecanica de rocas son reglasempıricas; pero que tienen que ser consistentes con resultados experimentales, de imple-mentacion practica y forma matematica simple.

Por definicion se dice que una roca falla, empieza a fallar o entra en estado de fluenciacuando el material rocoso ya no puede sostener mas un estado de esfuerzos determinadopor sus magnitudes |S|, es decir

|S|> f (|R|,P); (3.33)

y un estado de esfuerzos dado por la magnitud el tensor |S| no esta en estado de falla (i.e. ono entra en fluencia) si

|S| ≤ f (|R|,P). (3.34)

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3.13 Envolventes de rotura mecanica maxima 59

Por ejemplo si X1 = σ1, X2 = σ2 y X3 = σ3, la funcion serıa

f (σ1,σ2,σ3,P). (3.35)

Las definiciones de arriba se basa en la teorıa de la mecanica continua y esta dada paraun estado de esfuerzos general. Sin embargo, la mayorıa de los analisis y desarrollo deecuaciones se hizo para casos especiales, donde σ3 = σ2.

Para el caso del material rocoso, con el fin de obtener la envolvente de falla de valoresmaximos se tiene que realizar decenas de ensayos entre ellos los de traccion directa oindirecta, compresion uniaxial simple y compresion triaxial axisimetrico, los dos ultimosen una maquina servocontrolada con posibilidades de obtener la curva post-ruptura. En elmejor de los casos se tiene que lograr tambien hacer ensayos triaxiales verdaderos (tambienllamados ensayos poliaxiales).

En los ensayos triaxiales se puede adoptar el metodo escalonado, lo cual posibilitaobtener una mayor cantidad de puntos por cada cuerpo de prueba ensayado.

3.13.1 Criterio bi-dimensional de Griffith

El criterio de falla de Griffith [48], para un estado plano de esfuerzos compresivos, expresaque el cuadrado del esfuerzo desviador esta relacionado con una constante de proporcional-idad Ag con el esfuerzo normal promedio,

(σ1−σ3)2 = Agσm2, (3.36)

donde σm2 = 12 (σ1 +σ3). Adicional a esto, el autor encontro que esta constante de pro-

porcionalidad puede ser alrededor de 16 veces la resistencia a traccion del material (σti),cuando (σ1−3σ3)> 0.

Una version modificada de este criterio fue planteado posteriormente por [70], donde losautores plantean una relacion lineal entre el esfuerzo desviador y la suma de los esfuerzosprincipales

(σ1−σ3) = Amw +Bmw(σ1 +σ3). (3.37)

Los parametros Amw y Bmw estan relacionados con la resistencia a traccion del materialσt y el coeficiente de friccion de la fractura µ dados por

Amw = 4σt(1+µ)12 , (3.38)

Bmw =−µ(1+µ)12 . (3.39)

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60 3 Material Rocoso

3.13.2 Criterio de Mohr-Coulomb

El criterio de Mohr-Coulomb es aun el mas usado en los geomateriales. En el plano de losesfuerzos principales, este criterio esta dado por

σ1 = Amc +Bmcσ3; (3.40)

donde Amc representa la resistencia a compresion uniaxial (σc), y Bmc un valor en funciondel angulo de friccion equivalente y aparente del material rocoso (φ );

Bmc =1+ sinφ

1− sinφ. (3.41)

Una expresion equivalente pero alterna para el criterio de Mohr-Coulomb —con el fin deque se use para una envolvente tridimensional— esta de acuerdo con la primera invariantedel tensor de esfuerzos (I1) y las dos restantes invariante del esfuerzo desviador , J2 y J3.

I1 sinφ + J12

2 cosθ − 13

J12

2 sinφ sinθ − c cosφ = 0 (3.42)

θ =−13

arcsin

−3√

3J3

2J32

2

para −π

6≤ θ ≤ π

6(3.43)

3.13.3 Criterio de Mohr-Coulomb no lineal

Debido a que en la mayorıa de las veces el criterio de Mohr-Coulomb no representa elcomportamiento del material rocoso, [86] propone el criterio de Mohr-Coulomb no-lineal;que lo expresa de acuerdo a una relacion lineal de la mitad del esfuerzo desviador elevadoa una potencia n y el esfuerzo medio[

12(σ1−σ3)

]n

= Amcn +Bmcn

[12(σ1 +σ3)

]. (3.44)

3.13.4 Criterio de Hoek-Brown

Es el criterio mas usado para el material rocoso; sin embargo, este aun tiene un caracterempırico como todos los demas modelos. La forma general del criterio es

(σ1−σ3)2 = Ahb +Bhbσ3; (3.45)

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3.13 Envolventes de rotura mecanica maxima 61

donde Bhb = mciσci y Ahb = σ2ci; siendo mci una constante llamada el parametro HB.

Esta funcion sigue siendo una funcion lineal.

3.13.5 Criterio de Hoek-Brown no-lineal

Del mismo modo al caso del criterio de Mohr-Couomb, el autor [86] propone la versionno-lineal del criterio de Hoek-Brown, bajo la siguiente expresion

(σ1−σ3)n = Ahbn +Bhbnσ3. (3.46)

Este criterio crea una relacion polidimensional de los esfuerzos principales; si n es iguala 1

2 se transforma en el criterio de ruptura de Bieniawski.

3.13.6 Criterio de Bieniawski

Es un caso especial del criterio de rubptura de Hoek-Broen no-lineal; donde Ahbn es igual aσc y Bhbn esta relacionado con el producto de aσ0.5

c ; donde a es una constante dependientedel material. La expresion del criterio es:

σ1 = Ab +Bbσn3 . (3.47)

3.13.7 Criterio de Drucker-Prager

El criterio de Drucker-Prager es un criterio tridimensional sugerido por [41]. Este toma encuenta el esfuerzo principal intermedio y se lo acepta con un criterio apropiado y suavepara materiales rocosos fragiles.

La expresion de este envolvente es

J12

2 = Adp +BdpI1; (3.48)

donde se usa la primera invariante del tensor de esfuerzos (I1) y la segunda invariante deltensor de esfuerzos desviadores (J2), y Bdp y Adp son los parametros del modelo.

Las relaciones que existe entre este modelo con el de Mohr-Coulomb en cuanto aparametros son unicamente para una campo de esfuerzos axisimetrico; que para el casode la envolvente de Drucker-Prager este circunscribe a la envolvente de Mohr-Coulomb enlos vertices mayores cuando se muestra ambos en el espacio Haigh-Westergard (Ecs. 3.48

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62 3 Material Rocoso

y 3.49). Las expresiones son:

sinφ =3√

3Bdp

2+√

3Bdp(3.49)

c =Adp√

3(3− sinφ)

6 cosφ(3.50)

3.13.8 Criterio de Drucker-Prager no-lineal

El mismo criterio en su version no-lineal tambien fue planteado por [86]; que serıa(J

12

2

)n

= Adpn +BdpnI1. (3.51)

3.13.9 Criterio modificado de Wiebols-Cook

Si se le suma el producto de un parametro Cwcm con I1 al cuadrado en la expresion delcriterio de Drucker-Prager no-lineal (Ec. 3.50) se tiene el criterio modificado de Wiebols yCook, dado por

J12

2 = Awcm +BwcmI1 +CwcmI21 . (3.52)

Este criterio tambien es uno tridimensional.

3.13.10 Criterio de Mogi

El criterio de Mogi sugiere el uso del esfuerzo octaedrico (τoct) y los esfuerzos principalesmayor y menor, tal que

τoct = Amg (σ1 +σ3)n . (3.53)

3.13.11 Criterio de Mogi-Coulomb

Este criterio fue propuesto por [3]; y es una adecuacion del criterio de Mogi donde estavez toma en cuenta el esfuerzo medio (σm2). Este criterio es en algun sentido la extensionnatural y tridimensional del criterio de Mohr-Coulomb; y ello permite tomar en cuenta el

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3.13 Envolventes de rotura mecanica maxima 63

dominio poliaxial de esfuerzos a los que los materiales rocoso estan expuestos [62]. Laexpresion es

τoct = Amgc +Bmgcσm2. (3.54)

3.13.12 Criterio de Bresler-Pister

Es tambien una version muy bien acertada del comportamiento del material rocoso, y esanterior al criterio de Mogi y Mogi-Columb. Fue planteado por [23], donde relaciona elesfuerzo octaedrico y el esfuerzo promedio de los tres esfuerzo principales (σoct). La ex-presion es:

τoct = Abp +Bbpσoct. (3.55)

3.13.13 Criterio de Murrell-Griffith

Es una version simplificada del criterio de Bresler-Pister o una version extendida del criteriode Griffith, sugerida por [74] y expresada como

τoct = Am +σoct. (3.56)

Ejercicio 3.5. Se tiene los siguientes ensayos de laboratorio en una roca Neiss Cuarzo-feldespatico de los Andes Colombianos, tal como se muestra en la siguiente tabla. Se so-licita escoger cual es el criterio de ruptura que mas se acerca al comportamiento ensayadode la roca.

Sample σ3 en MPa (σ1−σ3) en MPaB00UCS01 0.0 82.1A45UCS05 0.0 77.9A90UCS01 0.0 108.5A90UCS02 0.0 98.5A90UCS03 0.0 97.0A00TST03 3.0 299.7A00TST03 8.0 337.6A00TST03 12.0 296.2A45TST06 3.0 121.1A45TST06 8.0 152.0A45TST06 12.0 204.0

Sample σ3 en MPa (σ1−σ3) en MPaA45TST07 3.0 133.2A45TST07 8.0 238.9A45TST07 12.0 310.9A45TST08 3.0 163.4A45TST08 8.0 193.9A45TST08 12.0 217.8A45TST09 3.0 110.9A45TST09 8.0 186.6A45TST09 12.0 207.1A90TST02 3.0 153.3A90TST02 8.0 213.7

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64 3 Material Rocoso

Solucion 3.5. Se tiene que hacer los ajustes lineal o no-lineales —dependiendo del caso—a todos las envolventes expuestas arriba; y se escoge aquel criterio de ruptura que tenga lamejor correlacion con los datos experimentales.

3.14 Anisotropıa del material rocoso

La anisotropıa del material rocoso influye sus condiciones de deformabilidad, resistenciamecanica y permeabilidad. La anisotropıa del material rocoso se debe a los elementos desu fabrica que se definio durante el proceso de formacion de la misma (e.g. en el procesode solidificacion del magma de las rocas ıgneas, proceso de depositacion de las rocas sed-imentarias) y/o su posterior proceso de metamorfismo; en especial aquellos formados porproceso dinamicos (e.g. deformacion plastica, que forma minerales orientados y/o alarga-dos).

Asimismo, la presencia de fracturas microscopicas y macroscopicas en el material ro-coso, puede influenciar en la anisotropıa del mismo, aunque con menos intensidad que loselementos de su fabrica.

Los elementos lineales y planos de la fabrica del material rocoso pueden presentarmultiples disposiciones, las cuales le confieren a este material diversas estructuras. Estasestructuras se clasifica en las siguientes (Figura 3.12).

1. Estructuras planas, donde los elementos planos de la fabrica tienen una misma ori-entacion, o donde los elementos lineales de la fabrica son paralelos a una misma ori-entacion.

2. Estructuras lineales, donde los elementos lineales de la fabrica tienen una misma di-reccion, o donde los elementos planos de la fabrica son paralelos a una direccion dada.

3. Estructuras compuestas, donde el material rocoso tiene mas de una estructura plana y/olineal.

4. Donde dos o mas estructuras, ya sean solo por elementos lineales o planos, tienen lamisma direccion o la misma orientacion, respectivamente.

Para estudiar el grado de anisotropıa del material rocoso es aconsejable ensayar cuer-pos de prueba extraıdos en nueve direcciones espaciales [94]. Estos prismas pueden sersometidos a diversos ensayos no-destructivos (e.g. propagacion de ondas sonoras, martillode rebote) y destructivos de laboratorio (e.g. resistencia a compresion uniaxial, resistenciaa compresion triaxial axisimetrico); y los variados parametros de estos ensayos pueden sercomparados con base a las direcciones de los planos anisotropos (e.g. velocidad de propa-gacion, modulos elasticos, resistencias de rotura), para determinar los ındices de anisotropıao mostrar graficamente la variacion de cada propiedad en el espacio (Figura 3.13).

Los cuerpos de prueba pueden someterse a ensayos mas programados, con el objeto deobtener los parametros constitutivos de un cuerpo anisotropico (e.g. los cuatro parametrosde un cuerpo isotropico transversal, los 16 parametros de un cuerpo ortotropico).

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 65

Fig. 3.12 Elementos lineales y planos de la fabrica del material rocoso [94] anisotropıa del Granito Al-varenga, rıo Paiva- Portugal: a) sisposicion de las galgas extensometricas en el espacio; b) elipsoide yecuacion de la variacion del modulo elastico (en giga pascales); c) elipsoide y ecuacion de la variacion dela resistencia a compresion uniaxial (en mega pascales).

Otro estudio acerca del comportamiento de la roca intacta y de los macizos rocosos fuerealizado por Amadei [4]. Hakala y coinvestigadores [49] senalan que el trabajo de Amadei[4] describe la anisotropıa tan minuciosamente que otras referencias no son necesarias.

Bhawani y coinvestigadores [16] plantean que el criterio de Mohr-Coulomb debe modi-ficarse para rocas altamente anisotropicas ya que el esfuerzo principal medio influye en laresistencia de la masa rocosa en cuestion. En este artıculo se plantea ecuaciones empıricaspara la rotura, resistencia a compresion uniaxial, resistencia a traccion, resistencia dinamicapara el macizo rocoso anisotropo.

En el artıculo de [49] se redacta una metodologıa de extraccion y preparacion de mues-tras para el desarrollo de los ensayos de resistencia a compresion uniaxial (UCS) y ensayode traccion indirecta para el caso de rocas anisotropicas. Esta se puede considerar una buenaguıa para el desarrollo de ensayos de laboratorio.

Se ha observado que si una roca intacta anisotropa se somete a esfuerzos desviadoresmaximo y mınimo orientados a diferentes angulos respecto el plano de anisotropıa, losvalores crıticos de la roca son diferentes. Curvas teoricas fueron planteadas por diversosautores [54, 60, 71]. Las curvas teoricas son difıciles de representar a las verdaderas curvas

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66 3 Material Rocoso

Fig. 3.13 Variacion en el espacio de las propiedades mecanicas de un granito.

de las rocas anisotropicas, por ejemplo [49] concluyeron para el neis de mica migmatıticael esfuerzo de dano de fisura, la resistencia pico y la resistencia a traccion presentan ciertatendencia con la anisotropıa, pero la dispersion es alta. De este modo, se recomienda quedicha curva sea obtenida a partir de ensayos de laboratorio.

En todos los calculos que se hace para determinar las propiedades elasticas de las rocasanisotropas se tiene que conocer a priori la direccion del plano de anisotropıa. En rocasanisotropas donde el plano de anisotropıa no es visualmente detectable, se tiene el prob-lema de una correcta determinacion de la orientacion de este plano. [49] sugieren medir lavelocidad de propagacion de ondas P en diferentes radios de un mismo plano horizontaldel nucleo para estimar la posicion de este plano.

Se tiene algunos ejemplos de la determinacion del esfuerzo y el comportamiento defor-macional de ciertos materiales anisotropicos como el esquisto del Himalaya [76].

En las rocas metamorficas el proceso general del desarrollo de la anisotropıa se debea que los minerales constituyentes de la roca se segrega en respuesta a los altos gradi-entes de presiones y temperaturas tıpicas de los procesos metamorficos, generando laminascontrastantes de grupos de minerales. Cuando las rocas fluyen y se recristaliza bajo losnuevos estados de esfuerzos, se forma planos debiles de foliacion. Desde el punto de vistamecanico, estos planos de foliacion afectan el comportamiento de resistencia y de defor-macion de la roca respecto a la orientacion de los esfuerzos al que esta sometido.

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 67

Conocer el grado de anisotropıa de ciertas rocas es de importancia para su clasificaciony debe ser tomado en cuenta ya que su omision puede, dependiendo del caso, ocasionarerrores en la estimacion del comportamiento mecanico del material [109].

Mientras sea economicamente viable, el material intacto en rocas metamorficas debeasumirse siempre de comportamiento anisotropico, a no ser que se pueda demostrar quela isotropıa es una representacion lo suficientemente exacta para el macizo rocoso y elobjetivo de analisis [54]. La evaluacion del comportamiento constitutivo y de rotura deuna roca intacta anisotropica requiere de una buena cantidad de datos experimentales depre-evaluacion. Se necesita como mınimo tres orientaciones del plano de foliacion paradeterminar las propiedades mecanicas de la roca intacta [76].

El conocer el comportamiento mecanicos anisotropico de la roca intacta se emplea pos-teriormente para obtener las propiedades anisotropicas del macizo rocoso [6]. Se puedepresentar los casos donde una roca intacta es anisotropica, pero que dentro de la concepcionde macizo rocoso por el efecto escala, el nivel de esfuerzos y la inexistencia de familias dediscontinuidades, este no sea anisotropico. Tambien puede ocurrir el caso en el que un ma-cizo rocoso sea anisotropico siendo la roca intacta isotropica, debido a que la frecuenciade las discontinuidades puede variar en funcion de ciertas direcciones. Finalmente puededarse el caso en que el macizo rocoso es anisotropico debido a la influencia de la variacionde la frecuencia de las discontinuidades con la direccion y debido a la anisotropıa de la rocaintacta.

Estas propiedades anisotropicas tambien se usa para estimar los esfuerzos gravita-cionales en macizos rocosos anisotropicos segun soluciones cerradas [7, 5, 84, 85] y parala correcta estimacion de los esfuerzos en sitio por el metodo de sobre-perforacion [49].

El termino anisotropıa proviene de dos palabras griegas anisos que significa desigualy tropos que significa cambio de direccion. En la mecanica de rocas este termino puedereferirse al cambio respecto a varias direcciones de las magnitudes de sus propiedades deresistencia a esfuerzos, de deformacion (e.g. modulo de deformacion elastica) o hidraulicas(e.g. permeabilidad).

La diferencia entre dos valores de una misma propiedad a diferentes direcciones (gen-eralmente en una direccion perpendicular y paralela a un plano de simetrıa o plano deanisotropıa) se la cuantifica a traves de una razon, denominada ındice de anisotropıa.

El valor numerico del ındice de anisotropıa varıa para una misma roca en funcion de losensayos a partir del cual se haya determinado. El ındice de anisotropıa se puede calcularen base a tecnicas de descripcion de la micro-fabrica (e.g. microscopıa optica, microscopıaelectronica, difractrometrıa de Rx) [109, 110, 111], propiedades consideradas ındice (e.g.resistencia a carga puntual, velocidad de propagacion de ondas ultrasonicas, y ondas P)[58, 99], valores de resistencia (e.g. resistencia a compresion/ traccion) [92] y valores dedeformacion (e.g. modulos de deformacion elastica) [76, 118, 76].

Tsidzi [109] planteo la siguiente ecuacion para determinar el ındice de foliacion (F) dela roca, que en cierto modo describe el grado de anisotropıa de la misma

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68 3 Material Rocoso

F =1

100

n

∑i=1

MiSi; (3.57)

donde Mi representa el porcentaje modal de los minerales cuyos valores de factor de forma(Si) fueron analizados. El Si de un mineral es la relacion de la maxima con la mınimadimension del mineral en el plano de analisis.

A partir del ındice de foliacion se puede clasificar a la roca segun su grado de foliacion(Cuadro 3.10).

Tabla 3.10 Clasificacion de la roca de acuerdo al ındice de foliacion [109].

Clasificacion FMuy fuertemente foliada > 9Fuertemente foliada [9,6[Moderadamente foliada [6,3[Pobremente foliada [3,1.5[Muy pobremente foliada leq1.5

De forma alternativa, F puede hallarse a partir de conocer la relacion entre la proporcionde minerales planos respecto a la proporcion de minerales prismaticos (M), empleando laecuacion de correlacion propuesta por [109]

F = 0.08M+1.88. (3.58)

Otro ındice de foliacion (FIX: Foliation Index) fue planteado por [1], pero denotadocomo I f . Este ındice esta dado por

I f =∑PL‖

∑PL⊥; (3.59)

donde PL‖ y PL⊥ son el numero de contornos de granos minerales que son cortados paralelay perpendicularmente, respectivamente, por cada una de las secciones de 1 mm de longitudparalela a la fabrica del mineral, de toda una serie de medidas. Si I f es mayor o igual ala unidad, se trata de un material rocoso anisotropico, de lo contrario tiene baja o nulaanisotropıa [1].

La ISRM [58] propuso el ındice de anisotropıa a partir de resultados de ındices de cargapuntual simple

Ia(50) =Is(50)⊥Is(50)‖

; (3.60)

donde Is(50)⊥ e Is(50)‖ son los ındices de carga puntual ensayados y corregidos a un tamanode nucleo de 50 mm de diametro para una carga puntual aplicada perpendicular y par-alelo a los planos de simetrıa, respectivamente; sin tomar en cuenta si el ensayo es axial odiametral.

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 69

La ISRM [58] clasifico la anisotropıa de las rocas de acuerdo a ese ındice segun elCuadro 3.11.

Tabla 3.11 Clasificacion de la anisotropıa de acuerdo al ındice de carga puntual [58].

Grupo de clasificacion Ia(50)Isotropa 1Pobremente a moderadamente anisotropa ]1,2[Altamente anisotropa ]2,4[Muy altamente anisotropa ≥ 4

[99] proponen una nueva clasificacion en funcion de resultados de ensayos de cargapuntual

Id(50) =Id(50)⊥Id(50)‖

; (3.61)

donde Id(50)⊥ e Id(50)‖ son los ındices de carga puntual ensayados y corregidos a un tamanode nucleo de 50 mm de diametro para una carga puntual aplicada necesariamente en formadiametral a los cuerpos de prueba; y que deben tener planos de simetrıa perpendicular yparalelo a la direccion de carga, respectivamente. El Cuadro 3.12 muestra la clasificacionpropuesta por estos autores.

Tabla 3.12 Clasificacion de la anisotropıa de acuerdo al ındice de carga puntual diametral[99].

Grupo de clasificacion Id(50)Isotropa 1Pobremente anisotropa ]1,2]Altamente anisotropa ]2,4[Muy altamente anisotropa ≥ 4

3.12 comentaron que el ındice de anisotropıa a partir de los ensayos de carga puntualsegun las recomendaciones de la ISRM (Ia(50)) es ineficiente; mientras que el ındice deanisotropıa a partir de los ensayos de carga puntual diametral tiene resultados mas cercanosa los obtenidos por los ındices de anisotropıa de resistencia a compresion uniaxial. Estosautores tambien encontraron correlaciones de estos dos ındices.

A partir de la velocidad de propagacion de ondas ultrasonicas en la roca intacta [111]propuso clasificar la anisotropıa de las rocas de acuerdo a la relacion

VA =Vmax−Vmin

Vmean; (3.62)

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70 3 Material Rocoso

donde Vmax, Vmin y Vmean son la maxima, mınima y la promediada velocidad de propagacionde ondas ultrasonicas, respectivamente. La clasificacion de acuerdo a este ındice se muestraen la Cuadro 3.13.

Tabla 3.13 Clasificacion de la anisotropıa de acuerdo a la velocidad de propagacion de ondas ultrasonicas[111].

Grupo de clasificacion VAIsotropa < 2Pobremente isotropa [2,6[Moderadamente isotropa [6,20[Altamente isotropa [20,40[Muy altamente isotropa ≥ 40

[99] proponen otra clasificacion en funcion a la velocidad de propagacion de ondas P(ondas longitudinales) segun

IVp =Vp0

Vp90; (3.63)

donde Vp0 es la maxima velocidad de propagacion de la onda P paralela a los planos desimetrıa y Vp90 es mınima velocidad de propagacion de la onda perpendicular a los planosde simetrıa. El Cuadro 3.14 muestra esta clasificacion.

Tabla 3.14 Clasificacion del grado de anisotropıa de las rocas segun [99].

Grupo de clasificacion IVpPobremente anisotropa ≤ 1.5Moderadamente anisotropa ]1.5,2[Altamente anisotropa ≥ 2

Estudios para determinar la anisotropıa a partir de parametros de resistencia fueron he-chos por [92]. El ındice de anisotropıa a partir de este criterio se define en la siguienteecuacion

Iσci =σci90

σcimin; (3.64)

donde σci90 es el valor de la resistencia a compresion uniaxial de la roca intacta para unangulo de inclinacion (βw), que es el angulo conjugado del plano de simetrıa respecto elplano donde actua el esfuerzo desviador de 90 °; y donde σcimin es la resistencia a com-presion uniaxial de la roca intacta para aquel angulo βw que brinde el mınimo valor de esaresistencia.

Basados en la determinacion de los ındices de anisotropıa en varias rocas sedimentariasy metamorficas, [92] propuso la siguiente clasificacion del grado de anisotropıa de la roca(Cuadro 3.15).

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 71

Tabla 3.15 Clasificacion del grado de anisotropıa de las rocas de acuerdo al ındice de anisotropıa enresistencia a compresion [92].

Grupo de clasificacion Iσci

Isotropo [1,1.1[Levemente anisotropico [1.1,2.0[Moderadamente anisotropico [2.0,4.0[Altamente anisotropico [4.0,6.0[Muy altamente anisotropico ≥ 6.0

Estudios para determinar la anisotropıa de los parametros de deformacion fueron he-chos por [118] y [76]. La relacion del maximo modulo de elasticidad con el mınimo se haplanteado como un ındice de anisotropıa (IaE), dado por

IaE =Emax

Emin. (3.65)

De los estudios de [118] se encontro que las rocas cuarzo-feldespaticas y las rocasbasicas muestran bajos a moderados grados de anisotropıa con una relacion de anisotropıaen modulos elasticos menores a 1.3. En las rocas de carbon, este valor se observo que noexcede de 1.7, y en las rocas policlınicas el maximo valor encontrado de IaE fue de seis; yen el mayor de los casos un valor menor a cuatro. De acuerdo a estos valores de relacionesde anisotropıa en modulos elasticos se propone la clasificacion que se muestra en el Cuadro3.16.

Tabla 3.16 Clasificacion del grado de anisotropıa de las rocas segun [118].

Grupo de clasificacion IaEBaja anisotropıa ≤ 1.3Media anisotropıa [1.3,1.7[Alta anisotropıa [1.7,4.0[Muy alta anisotropıa ≥ 4.0

Un siguiente paso para caracterizar la anisotropıa de la roca es el determinar la variacionde diversos parametros sean de resistencia o de deformacion (e.g. resistencia a compresionuniaxial, modulo elastico, parametros de envolventes de falla) respecto el angulo de incli-nacion del plano de simetrıa respecto el plano donde actua el esfuerzo desviador (θw) osu angulo conjugado (θw=90−βw ) en diversas rocas intactas (Donath, 1964; Chenevert &Gatline, 1965; McLamore & Gray, 1967; Hoek, 1968; Attewell & Sandford, 1974; Rama-murthy et al., 1988).

Se ha observado que si una roca intacta anisotropa se somete a esfuerzos desviadoresmaximo y mınimo orientados a diferentes angulos respecto el plano de simetrıa, los valorescrıticos de la roca son diferentes.

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72 3 Material Rocoso

Se plantearon curvas teoricas por diversos autores (e.g. Hudson & Harrison, 1997;Jaeger, 1960; McLamore, 1966). Las curvas teoricas representan de forma no exacta lasverdaderas curvas de las rocas anisotropicas; por ejemplo Hakaala et al. (2007) concluyeronpara el neis de mica migmatıtica el esfuerzo de dano de fisura, la resistencia maxima y laresistencia a traccion presentan cierta tendencia con la anisotropıa, pero la dispersion esalta.

De estos estudios se muestra que existe una variacion de la resistencia a compresionuniaxial (σci) con el angulo βw. La curva formada de la variacion de σci con este angulose denomina curva de anisotropıa y su forma puede ser en U, de Joroba o en Onda. Lamaxima resistencia a compresion uniaxial esta alrededor de βw = [0,90] °, y el mınimovalor generalmente cercano a βw = 30 °, como se muestra en la Figura 3.14.

Fig. 3.14 Diferentes tipos de curva de anisotropıa [76].

Por otro lado, el comportamiento esfuerzo contra deformacion de una roca intactaanisotropica puede ser representado por un modelo constitutivo anisotropico linealmenteelastico en un medio continuo.

Los modelos constitutivos de anisotropıa que puede presentar una roca intacta, porser comunes y practicos, son los que implican una isotropıa ortotropica y una isotropıatransversal, siendo esta ultima el caso mas simple. La isotropıa ortotropica es usada paracaracterizar la deformabilidad de carbones y granitos; mientras que la isotropıa transver-sal se usa para ciertos esquistos, neises, filitas, limonitas, arcillitas, areniscas, pizarras ybasaltos; donde el plano de foliacion, esquistocidad o estratificacion estan bien definidos.

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 73

En la isotropıa ortotropica, tambien llamado de simetrıa rombica, existen tres planosortogonales de simetrıa elastica en cada punto del material (denominados planos n, s, t), yque estos planos son constantes en toda la masa del mismo.

Para esta ortotropıa se tiene que hallar nueve constantes elasticas independientes (i.e.modulos de Young en las direcciones n, s, t: En, Es y Et; modulos de corte en los planosn× s, n× t, s× t: Gns, Gnt, Gst; y las relaciones de Poisson: νns, que caracteriza las de-formaciones normales en las direccion de simetrıa s cuando se aplica un esfuerzo en ladireccion de simetrıa n; νnt, que caracteriza las deformaciones normales en las direccion desimetrıa t cuando se aplica un esfuerzo en la direccion de simetrıa n; y νst, que caracterizalas deformaciones normales en las direccion de simetrıa t cuando se aplica un esfuerzo enla direccion de simetrıa s) (Figura 3.15).

Fig. 3.15 Nomenclatura de los planos de simetrıa en la isotropıa ortotropica [105].

El modelo de isotropıa transversal implica que en cada punto de la roca existe un eje desimetrıa de rotacion (eje axisimetrico), y que la roca tiene propiedades isotropicas elasticasen el plano normal a ese eje. El plano de simetrıa se denomina plano de isotropıa transversal(Figura 3.16).

Para esta isotropıa se necesita cinco constantes independientes elasticas (i.e. E, elmodulo de Young en el plano de isotropıa transversal; E ′, el modulo de Young en el planonormal al plano de isotropıa transversal; ν , la relacion de Poisson que caracteriza la re-spuesta a la deformacion lateral en el plano de simetrıa transversal a un esfuerzo que actuaparalelo al mismo; ν ′, la relacion de Poisson que caracteriza la respuesta a la deformacion

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74 3 Material Rocoso

Fig. 3.16 Nomenclatura de los planos de simetrıa en la isotropıa transversal [105].

lateral en el plano de simetrıa transversal a un esfuerzo que actua normal al mismo; G′, elmodulo de corte en el plano normal al plano de isotropıa transversal).

Existen relaciones definidas entre los anteriores parametros de la isotropıa transversal,por lo que estos no pueden ser asumidos en forma aleatoria. En todo caso deben cumplirselas restricciones de la energıa de deformacion. Para el caso de la isotropıa transversal lasrestricciones exigen que deban cumplirse las siguientes relaciones

{E,E ′,G′}> 0; (3.66)

−1 < ν < 1; (3.67)

−√

E ′

E(1−ν)

2< ν

′ <

√E ′

E(1−ν)

2. (3.68)

Estas restricciones son aplicables cuando la anisotropıa es debida al material roca, y nocuando esta es creada por sistemas de juntas de roca regularmente espaciadas, por ejemplo.

Las constantes elasticas anisotropicas son en su mayorıa determinadas de los resultadosde ensayos estaticos y dinamicos de laboratorio asumiendo la teorıa lineal elastica. Engeneral se ha encontrado que la dependencia de estos valores con la presion confinante esmayor cuando se obtiene resultados por metodos estaticos.

Los metodos estaticos para determinar las constantes elasticas anisotropicas por ensayosde laboratorio son: resistencia a compresion uniaxial (UCS), resistencia a compresion tri-axial axisimetrica (TCS), resistencia a compresion triaxial verdadera, resistencia a traccion

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 75

indirecta (ensayo brasilero) (ITT), ensayos de torsion y flexion. En todos estos ensayosse debe ensayar cuerpos de prueba cortados a diferentes angulos respecto a los planos desimetrıa, y se debe instalar galgas de deformacion para medir las deformaciones unitarias.Los metodos dinamicos son menos frecuentes y son el metodo de la columna resonante yel metodo de pulsos ultrasonicos.

El ensayo mas simple y economico dentro de estos es el de resistencia a traccion in-directa asumiendo un comportamiento anisotropico transversal. En este caso las galgas dedeformacion son instaladas en el centro del plano directriz formando una roseta con ejesaxiales a 45 ° (Figura 3.17).

Fig. 3.17 Nomenclatura de las ecuaciones de esfuerzo y deformacion para el ensayo de traccion indirecta[105].

Soluciones cerradas se ha deducido para relacionar las constantes de una roca anisotropicasometido a una carga diametral con las deformaciones en el centro del mismo, donde seasume que los esfuerzos concentrados en el centro de un disco de roca anisotropica es lamisma que la de una roca isotropica (Pinto, 1979).

Para el caso de un material isotropo, Hondros (1959) analizo la distribucion de esfuerzosen el ensayo de traccion indirecta para el caso de un disco delgado cargado por una presionuniforme, aplicada diametralmente sobre una pequena franja de la circunferencia a cadaextremo del diametro. Los esfuerzos de interes, aquellos que actuan en puntos a lo largodel diametro vertical Z-Z’ (Figura 3.17), estan dados por las siguientes ecuaciones, para elesfuerzo tangencial (σyy) y el esfuerzo radial (σzz), respectivamente:

σyy = ψ1−ψ2 (3.69)

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76 3 Material Rocoso

σzz = ψ1 +ψ2; (3.70)

donde ψ1 y ψ2 son:

ψ1 =

(1− r2

R2

)sin(2α)

1−2(

r2

R2

)cos(2α)+

(r4

R4

) , (3.71)

ψ2 = arctan

(1+ r2

R2

1− r2

R2

)tanα; (3.72)

y donde P es la fuerza aplicada, a es el ancho proyectado de la corona del sector cargado, tes el espesor del disco, α es la mitad del angulo del sector cargado, r es la distancia radialde un punto desde el centro del disco, R es el radio del disco. Los esfuerzos con direccionescoincidentes con los ejes adoptados en estas ecuaciones son positivos.

En el centro del disco la expresion de esfuerzo tangencial se reduce a

σyy =P

πRt. (3.73)

Esta expresion se usa para calcular la resistencia a traccion del material y es valida paraa < R

5 .Los valores de α (en radianes) dependen de la cuna de carga del equipo de traccion

indirecta que se emplea, generalmente se asume entre 112 (4.77 °) (cuando no se usa material

deformable entre la cuna y el cuerpo de prueba) a 13 (19.10 °) si se usa dicho material en

ese sitio.Para hallar las constantes elasticas de la isotropıa transversal se debe resolver la siguiente

ecuacion matricialεεε = KKKσσσ ; (3.74)

donde εεε = (εxx,εyy,εzz,εxy,εxz,εyz)T y σσσ = (σxx,σyy,σzz,σxy,σxz,σyz)

T son los vectoresde deformaciones unitarias y de esfuerzos en el plano x, y y z, respectivamente.

La matriz KKK es una matriz de 6×6 con terminos en funcion de las variables E, E ′, ν , ν ′,G, G′; en el plano de simetrıa definido en el espacio x, y y z por los angulos de buzamientosaparentes ψ y φ .

La relacion de G′ con E, E ′ y ν ′ se obtiene de

1G′

=1E+

1E ′

+2ν ′

E ′. (3.75)

Las variables de buzamientos aparentes ψ y φ son conocidas. De este modo lasincognitas son finalmente cinco.

Las expresiones de cada termino de la matriz KKK estan desarrolladas en Nunes (2002).Para el ensayo de traccion indirecta las variables σxx, σzz, σzy, εxx, εxy y εzx son iguales acero. Las deformaciones en εyy, εzz y εzy se obtiene de las lecturas de las galgas de defor-

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 77

macion para el nivel de esfuerzo σyy. Los esfuerzos σyy y σzz son iguales a las expresionesde las Ecuaciones 3.68 y 3.69 evaluadas al centro de la muestra, respectivamente.

El procedimiento de solucion es iterativo, siguiendo un orden especıfico: primero seresuelve las ecuaciones con los valores obtenidos de los ensayos hechos sobre cuerpos deprueba con una inclinacion de ψ = 0 ◦ y φ = 90 ◦. Estas iteraciones daran valores de E y ν .Luego se resuelve las ecuaciones con los datos de los ensayos con angulos de inclinacionψ = 0 ◦ y φ = 0 ◦, cuyos resultados daran los valores de E ′ y ν ′; finalmente se resuelve loscuerpos de prueba con los angulos ψ y φ diferentes de 0 ◦ y/o 90 ◦, que dara el valor de G′.

Durante todo el proceso iterativo se debe verificar que se cumpla las restricciones deenergıa citadas en las Ecuaciones 3.65 a 3.67.

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78 3 Material Rocoso

Lista de ejercicios

3.1. Se realizo un ensayo de resistencia a compresion uniaxial en un Neis Cuarzo Feldespaticoproveniente de la Central Hidroelectrica de Porce 3 de Colombia con una prensa rıgidaservo-controlada (i.e. muestra UCS-A90-02 [105]).

La velocidad del ensayo fue controlada por la deformacion circunferencial, cuyas mag-nitudes variaron en un intervalo de 0.005 min−1 a 0.280 min−1; donde la menor velocidadse instauro cuando se estaba llegando a la resistencia maxima.

Las dimensiones iniciales del cuerpo cilındrico de prueba antes del ensayo fueron lassiguientes: altura lo = 106.8 mm y diametro do = 50.7 mm. El cuerpo de prueba estuvo enestado seco durante su ensayo, y su masa fue de 586.2 g.

Se solicita encontrar:

1. El peso unitario γ , en [kN m−3].2. La resistencia maxima σc, en [MPa].3. El modulo tangente de deformacion al 50 % de la resistencia maxima (Et,50), en [GPa].4. El modulo de deformacion secante al 50 % de la resistencia maxima (Es,50), en [GPa].5. La relacion de Poisson (ν).

Fueron medidos en forma simultanea (en cuatro canales): el tiempo t en minutos, lafuerza axial p en unidades [kN], el cambio de longitud axial δ l y el cambio de longitudcircunferencia δc, ambos en [m ×10−6]. El total de medidas simultaneas obtenidas fue de5016.

Para fines de interpretacion se redujo el total de medidas en un factor fr de 0.073 medi-ante un muestreo aleatorio (con el uso de la funcion cut2dimdataarrays), obteniendose 413medidas. Posteriormente, estas ultimas medidas fueron suavizadas mediante un procesobivariado LOWESS-robusto tomando pares de variables; donde para las tres variables me-didas se tomaron estas como las dependientes de la variable temporal, que fue la variableindependiente.

Los datos de las medidas reducidas y suavizadas se encuentra en el archivoucsA9002rndSmoothRed.txt. En la siguiente figura (Fig. 3.18) se muestra las graficas de lasmedidas reducidas y suavizadas.

3.2. Dado un tensor de segundo orden So que representa el estado de esfuerzos naturalesen un punto dentro de un macizo rocoso. Si por algun motivo en ese punto se perturbasu estado disminuyendo el tensor a S1 = σσσ − 1

3 tr(σσσ)III, siendo σσσ una matriz diagonal de3× 3 que tiene los tres esfuerzos principales del tensor So ordenados de mayor a menor.Encuentre las tres invariantes caracterısticas del nuevo tensor.

3.3. ¿Cual es la menor cantidad de escalares que se requiere para especificar de forma com-pleta el estado de esfuerzos en un punto en un macizo rocoso continuo? Explique porque 12escalares que corresponden a σ1, σ2, σ3, nnn1, nnn2 y nnn3 no son todos necesarios para especi-ficar el estado de esfuerzos en un punto. Las variables nnn1, nnn2 y nnn3 son tres vectores unitarios

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3.14 Anisotropıa del material rocoso 79

−1000 −500 0 5000

50

100

150

200

250

0 50 1000

50

100

150

200

250

Fig. 3.18 Curvas que relacionan la fuerza axial aplicada al cuerpo de prueba y los desplazamientos axialesy circunferenciales.

en mathbbR3 que indican la orientacion de los esfuerzos principales mayor, intermedio ymenor, respectivamente.

3.4. En un ensayo de compresion triaxial axisimetrico, el tensor en el centro de la muestraes

S=

σ3 + p 0 00 σ3 00 0 σ3

; (3.76)

donde p es el esfuerzo axial longitudinal que se le aplica al cuerpo de prueba, y σ3 es elesfuerzo de la camara. Descomponga el tensor en una suma de uno isotropo y desviador, yobtenga las tres invariantes del tensor desviador.

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Capıtulo 4Discontinuidades

El efecto de rasgos estructurales repetitivos a diferentes escalas en el macizo rocoso seexplica bajo el fundamento de un objeto similar a un fractal, si se entiende que la faccionestructural esta compuesta de algun modo por muchas mas facciones similares.

El estudio y la observacion detenida de las familias de discontinuidades en el macizorocoso pueden dar informacion a cerca del campo de esfuerzos tectonico que estaba activoen el momento de la formacion de las propias discontinuidades.

La discontinuidad es una superficie abierta de extension finita, de baja ondulacion y quetiene una forma irregular; ademas, esta orientada y distribuida con cierta regularidad en elespacio dentro del macizo rocoso (Rocha, 1973). Tambien la definen a la discontinuidadcomo una separacion presente en el material rocoso, donde dos de sus dimensiones espa-ciales son varias veces mayores en magnitud que la tercera dimension, esta ultima que sedenomina espesor (Dershowitz & Einstein, 1988).

Las discontinuidades son indudablemente el resultado de un proceso mecanico, y cau-santes de otros nuevos procesos de esta naturaleza. Ellas dan lugar a planos o zonas dedebilidad, donde las resistencias a traccion y al esfuerzo cortante son bajas o nulas, elmodulo de deformacion disminuye y/o la permeabilidad del terreno aumenta (Deere et al.,1970).

La discontinuidad es el termino colectivo definido para todas las juntas, foliaciones,planos de estratificacion, fracturas y fallamientos; estas se denominan singularidades es-tructurales de las discontinuidades (Cuadro 4.1).

Algunas veces a la discontinuidad se la denomina plano de debilidad. En un macizorocoso, alrededor del 99 % de las discontinuidades son de origen natural, y solo un 1 %puede atribuirse de origen inducido por actividad humana, como ser voladuras.

Algunos autores hablan de discontinuidades omnipresentes (i.e. ubiquitous discontinu-ities) para expresar que las discontinuidades estan presentes en todo el macizo rocoso.Segun su distribucion espacial y frecuencia, los contactos, algunos diques y algunas fallasno son omnipresentes, ya que estos son casos aislados y no se estan distribuidas en todo el

81

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82 4 Discontinuidades

Tabla 4.1 Nomenclatura de los tipos de discontinuidades.

Nombre Sımbolozona de falla fzfalla fjunta jclivaje clesquistocidad schcorte shrfisura fs

Nombre Sımboloruptura de tension trfoliacion o laminacion flestratificacion stdiaclasa dcestilolito escontacto co

macizo rocoso ni tienen alta persistencia; ademas, segun ciertas condiciones pueden o norepresentar una superficie de debilitamiento dentro del macizo rocoso.

Una junta es una rotura de origen geologico a lo largo de la continuidad de un cuerpode roca donde no se ha observado un desplazamiento visible. Un grupo de juntas paralelasse llama una clase y las clases de juntas interceptan para formar un sistema de juntas. Lasjuntas pueden ser abiertas, rellenas o curadas (i.e. cicatrizadas). Las juntas frecuentementese forman paralelamente a los planos de estratificacion, foliacion y clivaje, y pueden serdenominadas como juntas de estratificacion, juntas de foliacion y juntas de clivaje, respec-tivamente. Una junta separa una unidad de material rocoso en dos partes. Las juntas sı estanpresentes en forma omnipresente dentro del macizo rocoso; de tal modo ellas sı son dis-continuidades omnipresentes. Ellas son los rasgos mas confusos dentro del macizo rocoso,varıan grandemente en apariencia, dimensiones, arreglos y aparecen en cualquier ambientetectonico (Mandl, 2005).

Una vena o dique es una junta —generalmente aislada— cuyo relleno tiene mineralesprecipitados. Tambien se denominan juntas mineralizadas.

Una falla (i.e. fault) en forma general, es una fractura a lo largo de la cual se observa undesplazamiento reconocible, que para el lenguaje de la mecanica de rocas se debe diferen-ciar en terminos mas especıficos de acuerdo a su escala. En el idioma castellano, el sustan-tivo falla es la traduccion posible de dos o mas terminos del idioma ingles (i.e. fault, failure,faulting), siendo estos terminos similares pero con diferencias. Para el termino failure espreferible referirse a falla por ruptura. En mecanica de rocas es preferible en castellanoreferirse al concepto descrito como fractura de falla.

Una dislocacion es una fractura de falla a lo largo de la cual se observa un desplaza-miento reconocible del orden de los centımetros. En la dislocacion es posible observar unasuperficie, plana o no, de desplazamiento de corte. Las paredes entre este elemento sonrugosas, y su abertura puede ser del orden de centesimas de milımetros a milımetros. Per-pendicular a la superficie de dislocacion se puede presentar superficies fracturadas que sedenomina estrıas. Se puede denominar zona de dislocaciones a un volumen de masa ro-cosa que presenta varios de estos elementos cercanos entre sı y no separados a mas de laextension promedio de las dislocaciones que la agrupan.

La cizalla (i.e. faulting) es una fractura de falla a lo largo de la cual se observa un de-splazamiento del orden de los metros a centenas de metros, con dislocaciones adyacentes

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4 Discontinuidades 83

orientadas paralelamente o perpendicularmente a la fractura principal. Por ser una estruc-tura mas compleja, es mas difıcil de reconocerla. Las superficies de desplazamiento decorte pueden ser del orden de los milımetros a centımetros y pueden o no tener un relleno.Las paredes de las superficies de desplazamiento de corte pueden presentar cierto grado defragmentacion por la presencia de planos de estrıas persistentes en tres planos perpendicu-lares entre sı, y cierto grado de meteorizacion, ası como de rellenos de material muy fino siexiste transporte por agua subterranea. Una zona de cizallas es un volumen de masa rocosaque presenta cizallas muy cercanas entre sı. Podrıa agruparse si estan separadas a menosde la mitad de la extension promedio de las cizallas que la agrupan (Figura 4.1).

Fig. 4.1 Tipos de estructuras de macizos rocosos cizallados [? ]. La estructura del macizo rocoso es inde-pendiente de la escala y su influencia depende de la escala del volumen de perturbacion; a) Macizo rocosocon estructura foliada, laminada y con planos de corte, b) macizo rocoso tipo sordido que consiste de capasintercaladas de roca de competencia diferente y por consiguiente con deformacion diferenciada, puedentener planos de falla, de foliacion o de corte, c) macizo rocoso caotico que contiene cuerpos de roca dura deforma lenticular, lentes de cuarzo o calcita rodeados en un medio fluctuante y cizallado de caracterısticascercanas al suelo.

La falla local puede ser una fractura o una familia de fracturas de falla que se extiende alo largo de cientos de metros. Por ser una estructura mas compleja esta esta compuesta porzonas de cizalla y zonas de dislocaciones orientadas aleatoriamente, mas se debe reconocerla orientacion de la superficie predominante. Las paredes de la superficie de corte de la fallalocal estan fragmentadas, estriadas o pulidas. La abertura de cada una de las superficies decorte puede ser del orden de los centımetros a decenas de centımetros. A la zona donde lainfluencia de la falla local existe se la denomina zona fallada.

Fallamiento es el termino generico para referirse a la dislocacion, cizalla y/o falla local,es decir un sinonimo de una fractura de falla.

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84 4 Discontinuidades

La falla regional y la zona de falla engloban el ambito de la geologıa regional. Estosterminos se definen en el capıtulo de geologıa regional, yo por la escala de estos debenemplearse solo para definir el origen o naturaleza de la masa rocosa.

La esquistosidad es una discontinuidad particular presente en los esquistos, debido ala deformacion plastica del macizo rocoso, donde los minerales estan orientados paralela-mente en una direccion preferencial de esfuerzos mayores y pueden indicar la direccion deltransporte tectonico regional o local.

El plano de estratificacion es un tipo de discontinuidad persistencia infinita que se pre-senta en rocas sedimentarias. Una foliacion se presenta en las superficies de exfoliacion delas pizarras, y tambien es de caracterısticas persistentes infinitas.

Dentro de la mecanica de rocas es recomendable dividir las discontinuidades solo en dosagrupaciones generales: las juntas y las fracturas; debido a que cada grupo tiene tıpicamentediferentes geometrıas, comportamientos mecanicos y comportamientos hidraulicos. Lasjuntas, tambien llamadas discontinuidades secundarias, tienden a ser menos persistentesque las fracturas y la morfologıa de sus superficies responde a caracterısticas comunes (e.g.fractales) y se aconseja ser tratadas estadısticamente por su forma de yacencia en el macizorocoso. Asimismo, las juntas segun su tipo de relleno y estado de esfuerzos que tenganpueden formar o no barreras al flujo del agua; mientras que las fracturas de falla (i.e. dis-continuidades primarias) generalmente estan yuxtapuestas a dos tipos de roca diferentes,poseen propiedades mecanicas diferentes y tienen diferentes campos de esfuerzos en suscontornos, posibilitando la generacion de otras fracturas de falla asimetricas. La yacenciade estas pueden ser tratadas de forma determinista, debido a que dentro del macizo ro-coso se localizan en menos proporcion. Las fracturas de falla tambien tienen diferentespropiedades hidrologicas que las juntas.

A las juntas se les atribuye los tipos de falla del Modo I, segun la mecanica de fracturas(Figura 4.2(a)), mientras que las fracturas de falla, como elementos individuales, estandentro de los tipos de falla de Modos II y III de la mecanica de fracturas (Figuras 4.2(b) y4.2(c)).

Como una discontinuidad co-planar se refiere a aquella que pertenece a un mismoplano. Al ser co-planares, estas no son persistentes ya que tienen puentes de roca entreellas. Hudson & Priest (1983) definieron a este tipo de discontinuidades como discon-tinuidades intermitentes, para diferenciar de aquellas que no estan en un mismo plano (i.e.discontinuidades no co-planares) o que estan levemente pero paralelamente desplazadas(Figura 0186). Rocha (1973) le dio el adjetivo de imbrincada para las discontinuidadesno co-planares, otros las llaman no-persistentes (i.e. non-persistent discontinuities), in-persistentes (i.e. impersistent discontinuities).

Si la discontinuidad es una junta y ademas es in-persistente algunos autores la nombrancomo junta no-sistematicas (non systematic joint) [Mandl, 2005].

Las propiedades de las discontinuidades pueden ser geometricas y no-geometricas. Den-tro de las varias propiedades geometricas de las discontinuidades, tres propiedades son deinteres: la orientacion, el tamano o extension, y la densidad de discontinuidades; las cuales

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4 Discontinuidades 85

(a) modo I: abertura, donde lafractura se forma en traccion pura,la propagacion se desarrolla par-alela al plano de la discontinuidady el desplazamiento es perpendic-ular al plano de la misma

(b) modo II: deslizamiento, dondela fractura se forma por corte, lapropagacion se desarrolla paralelaal plano de discontinuidad y el de-splazamiento es paralelo al mismoplano

(c) modo III: donde la fractura seforma por corte, la propagacionse desarrolla paralela al plano dela discontinuidad y el desplaza-miento es perpendicular al planode la misma

Fig. 4.2 Discontinuidades segun los modos de falla de la mecanica de fracturas.

son interdependientes entre sı. Asimismo, Dershowitz & Einstein (1988) diferencian laspropiedades geometricas primarias y secundarias de las discontinuidades.

Las propiedades primarias son: la forma, la planaridad, el tamano, extension o persis-tencia, la co-planaridad, la localizacion, el espaciamiento o espaciado, la intensidad y laorientacion; y las propiedades secundarias son: la terminacion y la auto-correlacion de lasdiscontinuidades. La localizacion de una discontinuidad se refiere a la ubicacion en el es-pacio del centro de gravedad de la misma. La localizacion de esta no puede ser definidaen la realidad, por lo que se puede conocer su localizacion a traves del espaciamiento eintensidad de la familia a la que la discontinuidad pertenece, llamada localizacion relativade una discontinuidad.

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86 4 Discontinuidades

4.1 La orientacion en R3

Una de las propiedades primarias mas importantes es la orientacion espacial de un planode discontinuidad, debido a que esta variable se usa para agrupar las familias de discon-tinuidades (proceso de clustering). La orientacion de una discontinuidad (i.e. la actitudde una discontinuidad, si se hace una traduccion directa de la palabra attitude del idiomaingles) es la postura de la misma en el espacio Euclidinano de dimension R3.

La orientacion de ese plano de la discontinuidad se puede expresar de varias formas enel lexico de la ingenierıa geologica y la geotecnia, pero la siguientes son las mas comunes:

• el rumbo de la lınea de ataque del plano (i.e. strike angle) mas el buzamiento (i.e. dip)del mismo;

• el azimut del buzamiento (i.e. dip direction) mas el buzamiento (i.e. dip) del plano;

• la tendencia (i.e. trend) de la lınea de polo del plano mas el cabeceo (i.e. plunge) de lamisma lınea.

La lınea de ataque de un plano orientado en el espacio es aquella lınea que resulta de lainterseccion del plano de discontinuidad con el plano horizontal; donde su sentido se rige deacuerdo a la regla de la mano derecha. La regla de la mano derecha se ejecuta posicionandola palma de la mano derecha sobre el plano, de tal modo que los cuatro dedos distintos delpulgar apunten hacia abajo (en el mismo sentido de la direccion del buzamiento) y de estemodo el pulgar apuntara el sentido del ataque.

La mejor forma de presentar la orientacion de una discontinuidad es bajo la nomen-clatura azimut de buzamiento (ζdir) y buzamiento (ζ ). El azimut de buzamiento se escribea tres dıgitos seguido de la barra inclinada hacia atras (\), y luego colocando la inclinaciondel buzamiento (a dos dıgitos). Por ejemplo, 015°\ 35° o simplemente 015\35.

El polo de una discontinuidad es otra forma de expresar la orientacion de la misma, yrepresenta la orientacion en el espacio de una lınea perpendicular al plano de la discon-tinuidad. Como es una lınea, esta esta representada bajo una similar nomenclatura que elcaso anterior: tendencia (δdir) y cabeceo (δ ).

La representacion de la orientacion de las discontinuidades se puede hacer mediante eldibujo de las trazas de los planos en secciones ortogonales (e.g. secciones longitudinal ytransversal) que resulta ser la representacion del plano en la proyeccion de Monje (formamuy antigua, del inicio de la geologıa estructural siglo XIX); o en un plano en planta,se hace dibujando la lınea de ataque y un pequeno rectangulo que indica la direccion delbuzamiento, que es mas comun en los planos de geologıa estructural actuales. No obstante,la mejor forma de representar los planos tridimensionales es a traves de los diagramas enproyeccion esferica sea de la traza o el polo del plano.

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4.1 La orientacion en R3 87

4.1.1 Correccion de Terzaghi

En el proceso de medicion de la orientacion de las discontinuidades se tiene un error porsesgo, debido a que algunas discontinuidades tienen menos probabilidad de ser encontradasdebido a la orientacion relativa que esta tiene con la orientacion del plano expuesto o lalınea de rastreo. La forma de disminuir este error es midiendo las mismas discontinuidadesen mas de un plano expuesto de medida.

4.1.2 Para pozos de perforacion

La orientacion que tiene un hoyo de perforacion carece de la suficiente capacidad comopara asegurar una estimacion creıble de las orientaciones de las discontinuidades que apartir de esta se obtiene. Esto debido a que la orientacion del eje hoyo de perforacion(dado por un vector paralelo su eje axial uuudha) puede ocultar algunas de las orientacionesde las discontinuidades si el angulo (agudo positivo) del plano que contiene el eje delhoyo de perforacion (dado por su vector normal uuudhp) con cada uno de los planos de estasdiscontinuidades (orientaciones dadas por su vector normal uuud) es mayor a un valor dadoθmba cercano a cero. A este efecto se le llama efecto del angulo de interseccion y crea unsesgo en las estimaciones estadısticas de la frecuencia de las discontinuidades.

El gran problema no esta en la determinacion del espaciamiento real de las discon-tinuidades (que se puede corregir conociendo el espaciamiento aparente y la orientaciontanto de la lınea de rastreo como de la familias de los planos), sino esta en la cantidadde discontinuidades que se lee o mide en cada lınea de rastreo (i.e. frecuencia o tambienllamada densidad unidimensional de las discontinuidades).

Para entender esto, se toma el siguiente ejemplo. Asuma que se tiene un macizo rocosocon una sola familia de discontinuidades igualmente espaciadas. Si se hace varias perfora-ciones de la misma longitud a diferentes orientaciones, el numero de discontinuidades quecorte el eje del hoyo de perforacion sera distinta.

Si se define la densidad de discontinuidades unidimensional ρ1 como la relacion delnumero de discontinuidades que corta cada eje de pozo; para cada orientacion de estos ejesse tendrıa una densidad distinta, lo cual no es correcto porque el macizo rocoso tiene unamisma densidad al tener solo una familia espaciadas de forma constante.

Esto ocurre, porque un hoyo de perforacion oculta el verdadero numero de discon-tinuidades presentes a medida que el angulo θ —angulo agudo en valor absoluto entreel vector normal al plano que contiene el eje del hoyo de perforacion y el vector normal alplano de la familia de discontinuidades— tiende a 0 °. La Figura 4.3 muestra esta situacionpara el caso bidimensional.

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88 4 Discontinuidades

Fig. 4.3 Variacion delnumero de discontinuidadesque corta el eje del hoyo deperforacion que esta a difer-entes orientaciones; se tienemenos numero de discon-tinuidades cortadas a mediaque el angulo θ tiende a 0 °.

Ejes de diferentes pozos

Macizo rocoso 0.25 m

Para un pozo de perforacion cuyo eje esta orientado por el vector uuudha se tiene infinitosplanos que pasan por el; de estos se escoge uno y se determina su orientacion mediante unvector unitario normal a el, que sera uuudhp.

Para un uuudhp y una familia de discontinuidades orientada con su vector normal unitariouuud; el coseno del angulo θ (i.e. del menor angulo y positivo) entre esos vectores es

cosθ = (uuudhp ·uuud); (4.1)

donde el angulo complementario de θ es α = 90 ◦−θ .

Si el eje del hoyo de perforacion corta la familia de discontinuidades en nα puntos; elespaciamiento promedio de las discontinuidades en esa familia (d) y para solo la longituddel pozo ls es

d =ls sinα

. (4.2)

Esto indica que nα puede variar entre [0, lsd ] si de forma respectiva α = 0 ◦ y α = 90 ◦; y

reafirma que nα sin recibir una correccion indica una media falsa.

La medida del numero de discontinuidades corregida se la denota con n y la densidadunidimensional de las discontinuidades de la familia en el macizo se denota con ρ1; donde

ρ1 =nls. (4.3)

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4.1 La orientacion en R3 89

Por tanto, se necesita de una correccion que permita transformar nα→ n o ρ1α→ ρ1; siendoρ1α la densidad unidimensional no corregido presente para un angulo α .

El error de estimacion (e), sea en terminos de nα + e = n, puede reducirse a un niveltolerable si se registra un numero suficiente de hoyos de perforacion orientados a distintosvalores, y si se registra sus longitudes, i.e. si se mide uuudha y ls.

Uno de los primeros investigadores que ha tratado a fondo este tema fue la esposa deKarl Terzaghi [107], Ruth Doggett Terzaghi [87]; que en honor a ella se ha estado llamadoal procedimiento de correccion del efecto del angulo de interseccion como correccion deTerzaghi.

La correccion radica en transformar nα j → n j y ademas en tomar en cuenta la cantidadde medidas nα j que se ha tomado en una determinada orientacion de lınea de rastreo j (delongitud ls j) respecto a las medidas tomadas en las demas lıneas de rastreo orientadas enotras direcciones; y de este modo, cada medida i se altera por un factor de peso w j.

La correccion serıa simple si el macizo rocoso tuviera una sola familia de discon-tinuidades, porque al pha serıa constante para cada lınea de rastreo y de este modo

n =lsd=

ls(ls sinα

) , (4.4)

=nα

sinα.

Como por lo general la orientacion de cada discontinuidad hara con la lınea de rastreoun angulo αi no es posible calcular ni conocer d; por tanto lo unico que se mantiene es que

n ∝nα

sinα. (4.5)

La variacion de sinα es [0,1] cuando α varıa de [0 ◦,90 ◦]. Si en el diagrama enproyeccion esferica equiarea (i.e. malla Wullf) se dibuja el punto que define la orientacionde la lınea de rastreo, y se dibuja la traza del cono angular (con angulo interno simetricode θ = 90 ◦−α) que define los distintos valores de α separados de forma discreta corre-spondientes a una serie lineal de sus valores sinα; tendrıamos un diagrama estereograficocon curvas isogonicas.

Por ejemplo, si la serie lineal de los valores de sinα esta generada cada decima

{0,0.1,0.2, . . .0.9,1},

la serie de los valores de α en grados sexagesimales serıa

{0,5.7392,11.5370,17.4576,23.5782,30,36.8699,44.427,53.1301,64.1581,90},

y la serie de valores de θ en grados sexagesimales serıa

{90,84.2608,78.463,72.5424,66.4218,60,53.1301,45.573,36.87,25.8419,0}.

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90 4 Discontinuidades

Si la lınea de rastreo es vertical, su polo estara en el centro del diagrama de la proyeccionesferica; entonces, las 11 curvas isogonicas representadas en el diagrama estereograficoequiarea seran cırculos concentricos al cırculo mayor del diagrama, donde el radio de cadauno estara dado por cada uno de los angulos θ de la serie de arriba.

Ahora bien, si se genera n = 6000 discontinuidades orientadas en el espacio de formauniforme a traves de la funcion UUUS, se hace pasar el eje del pozo en forma vertical sobreellas, y se les calcula su angulo θi (con i = {1,2,3, . . . ,n}); se observara que habra unmayor numero de valores θ cercanos a 90 ° y muy menores numeros de valores θ cercanosa 0 °. La Figura 4.4 muestra el diagrama de rosas en un cuadrante para el valor de θ bajoesa situacion.

Fig. 4.4 Diagrama de rosasde la cantidad de planosaleatorios encontrados por unpozo vertical; intervalos de5 ° de valores θ .

0

0.04

0.06

0.08

0.10

0.02

0

30

60

90

Existe un lımite teorico del valor de α a partir del cual una discontinuidad ya no puedeser observada por el pozo, y este valor es ≈ 15 ° (i.e. 14.48 ◦). A este valor se le llamaangulo mınimo de censura (minimum bias angle) y se lo denota como αmba. Este valor tieneel objeto de definir el espesor de la franja de la zona ciega en el diagrama de la proyeccionesferica equiarea, y ademas de controlar el factor de peso de correccion maxima posible.

La zona ciega es el lugar de aquellos polos de las discontinuidades que no se observanen el hoyo del pozo que tiene una dada orientacion. Las discontinuidades cuyos polos estanen la zona ciega se llaman discontinuidades de la zona ciega.

Una discontinuidad i (de todo el conjunto de n discontinuidades de la lınea de rastreoen consideracion) esta representada por su polo uuudi, por tanto su frecuencia en esa mismaorientacion sera fni = 1. Si m discontinuidades representadas por sus polos uuudk con k =

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4.1 La orientacion en R3 91

{1,2, . . .m} y k ⊂ n pasa por exactamente una misma orientacion, su frecuencia sera fnl =m.

Por tanto, el peso wl que se le tiene que dar a la frecuencia de polos en esa orientacion les segun la correccion de Terzaghi

wl =

{fn div sinαl , para αmba < αl ≤ π

2 .

fn div sinαmba, para 0≤ αl ≤ αmba.(4.6)

donde

sinαl = sin(

π

2−θ

)(4.7)

= cosθ

= uuudhp ·uuuu;

sinαmba = sin(14.48 ◦)≈ 14. (4.8)

Y ademas, en la orientacion del hoyo de perforacion representado por nnndha se tiene queacumular frecuencias dadas por

fs =

o∑

l=1[ fn mod sinαl ], para αmba < αl ≤ π

2o∑

l=1[ fn mod sinαmba], para 0≤ αl ≤ αmba

; (4.9)

siendo o el numero total de orientaciones iguales encontradas en las n discontinuidades enla lınea de rastreo de analisis.

Para hacer la correccion de Terzaghi se necesita al menos tres hoyos de perforacion noparalelos en orientacion ni cercanos a ser; es mas, es mejor tener tres hoyos de perforacionortogonales entre sı, que serıa el caso mınimo ideal. El caso ideal serıa varios hoyos depozos (≈ 63) orientados de forma aleatoria en la semiesfera para no tener que hacer ningunacorreccion.

Ejercicio 4.1. La exploracion de un macizo rocoso se hizo mediante la perforacion de trespozos de exploracion, cuyas orientaciones del eje dadas en acimut y cabeceo (δdir,δ ) semuestra en la Tabla 4.2.

Para cada pozo se logro medir los siguientes planos de discontinuidades, representadoscada uno por su direccion de buzamiento y buzamiento (i.e. (ζdir,ζ )) y que se muestra enla Tabla 4.3. La medida de la orientacion de cada plano de discontinuidades —en los trespozos– tiene una frecuencia de uno.

Encontrar el diagrama de contornos de frecuencias de toda la campana de exploracionsin correccion por sesgo en la orientacion, y luego encontrar el mismo diagrama con lacorreccion por sesgo en la orientacion planteada por Terzaghi.

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92 4 Discontinuidades

Tabla 4.2 Orientaciones de los ejes de tres pozos de exploracion.

Pozo uuu δdir δComponentes, ui = cu∗i para c =

√2

4u∗1 u∗2 u∗3

H-1 1 30 45√

3 1 2H-2 2 150 45 −

√3 1 2

H-3 3 270 45 0 −2 2Notas: uuu es el vector unitario en el sistema NED; u1, u2 y u3 son sus componentes.

Tabla 4.3 Orientaciones de los planos tomadas en los tres pozos de exploracion.

H-1 Orientacion del planoζdir ζ

1 182 872 172 803 187 824 200 655 197 476 232 627 196 338 203 169 268 8710 278 8611 229 0712 129 0613 253 1114 289 0315 036 0716 295 1217 335 0818 360 8119 353 8220 355 8821 096 7622 092 85

H-2 Orientacion del planoζdir ζ

1 176 842 182 843 179 794 090 855 086 826 267 847 270 888 203 089 177 0510 083 0911 272 0812 329 0613 051 0514 014 0815 351 2416 327 6017 335 7118 012 8619 357 8520 003 88

H-3 Orientacion del planoζdir ζ

1 178 782 153 533 121 394 094 675 093 856 089 797 085 868 060 529 057 1910 147 0911 113 0712 176 0513 064 0414 240 0915 002 0316 001 0817 311 0718 266 8819 268 8520 271 8021 275 87

Solucion 4.1. Se ira resolviendo en los siguientes semestres. ut

4.1.3 La orientacion promedio y su varianza

La orientacion promedio de un conjunto de datos n resulta ser el vector unitario de laresultante de esos mismos vectores. Para lograr esto, primero se tiene que transformar cadauna de las medidas, que estan dadas en coordenadas esfericas del polo del plano (δdir,δ ), acoordenadas cartesianas en R3 en el sistema Norte-Este-Nadir (NED).

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4.1 La orientacion en R3 93

La resultante de las medidas se logra obtener sumando cada uno de los componentes ydividirlos por el numero de datos; esto es:

xxx =1n

n∑

i=1x1i

n∑

i=1x2i

n∑

i=1x3i

. (4.10)

Con la resultante se hace la operacion inversa de convertir el valor unitario del vector a suvalor angular; que sera el azimut y el cabeceo de la direccion del polo del plano promedio.

La varianza de los datos, que es una varianza esferica, es

S2s = 1−|xxx| (4.11)

Ejercicio 4.2. En un macizo rocoso de una cantera de agregados que abastece de materialde construccion al Valle de Aburra se hizo el levantamiento de las orientaciones de lasdiscontinuidades en varios afloramientos.

Solucion 4.2. Se ira resolviendo en los siguientes semestres. ut

4.1.4 Funcion de distribucion de orientaciones

La orientacion de una discontinuidad puede definirse mediante modelos de distribucionesde probabilidades (Shaley & Mathab, 1976; Zanbak, 1977; Einstein et al., 1979; Kulatilake,1985, 1986). El conjunto de distribuciones de probabilidades que se propuso como lasque pueden representar la orientacion espacial de una discontinuidad son: la distribucionhemisferica uniforme, la hemisferica normal (llamada tambien distribucion hemisferica deFisher), la bi-variada de Fisher, la distribucion de Bingham, la bi-variada normal y la bi-variada log-normal.

Estas distribuciones estan en funcion una serie de variables en R3 que son: la seriede datos de orientacion del polo del plano representados por un vector de 3× 1 (xxx), orepresentados por un par ordenado que representa esa orientacion en coordenadas esfericasxxx = (θ ,φ); la matriz de dispersion KKK, que puede ser de 1× 1 hasta 3× 3; la orientacionpromedio de los datos de orientacion, dada por µµµ . El Cuadro 4.4 muestra las variables delas cuales algunas de las funciones de distribucion de probabilidades dependen. La Figura4.5 muestra el empleo de algunas de las funciones de distribucion en las orientaciones delos planos.

Un problema que se presenta cuando se desea ajustar las funciones de distribucion alos datos de orientacion es el como separar las familias de discontinuidades sub-paralelasuna de otra (i.e. realizar el proceso de agrupacion clustering). Varios algoritmos estan

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94 4 Discontinuidades

Tabla 4.4 Tipos de funciones de orientaciones para discontinuidades [42].

Nombre Densidad de probabilidades elemental (PDE) f =C exp t dSUniforme f (θ ,φ) ∝ sinθ

Fisher f (xxx) ∝ exp[KKKµµµTxxx

]Notas: C es una constante, t es el exponente de la base e, y dS es el diferencial sobre la superficie de laesfera unitaria.

Fig. 4.5 Distribuciones estadısticas para la orientacion de una y varias familias de discontinuidad: a) y b)distribucion Fisher; c) y d) distribucion Bingham; e) y f) distribucion Fisher Bivariada; g) y h) distribucionNormal Bivariada.

disponibles para agrupar numericamente los datos de orientacion, pero muchos de ellosnecesitan retirar algunos datos. De este modo, Einstein et al. (1980) comentan que el agru-par visualmente estos datos da todavıa mejores resultados que los metodos numericos.

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4.1 La orientacion en R3 95

El proceso de agrupacion, sea manual o numerico, consiste en partir el hemisferioproyectado (en el plano de la proyeccion esferica equiarea) en regiones que no se sobre-ponen entre sı, y tratar los polos de cada region como si correspondieran a una familiaindividual de discontinuidades.

No obstante, este proceso trunca las colas de las funciones de distribucion de probabili-dades (i.e. las partes mas alejadas y extremas de una funcion de distribucion de probabili-dades) que podrıan ajustarse. Esta situacion complica severamente la estimacion y limita lasconclusiones que se pueda emitir de un proceso de verificacion de la bondad de un ajuste.Para evitar esto en parte, se pueden usar: un procedimiento mixto, donde la funcion de dis-tribucion de probabilidad global es equivalente a la suma de las funciones de distribucion deprobabilidades (PDF: Probability Distribution Function); o por tecnicas no-parametricas.

Definida la posible funcion de distribucion de probabilidades teorica se debe hacer unaprueba de la validez del ajuste. Shaley & Mathab (1976) y Kulatilake (1985, 1986) usaronla prueba de Chi-cuadrado (χ2), no obstante otros encontraron que ninguna de las funcionespropuestas satisfacıa la prueba χ2 para un nivel del 54 % de significancia (Einstein et al.,1979). En el caso de no usar una funcion de distribucion teorica es posible usar funcionesde distribucion de probabilidades empıricas.

Distribucion esferica uniforme

La distribucion uniforme sobre la superficie de la esfera UUUS expresa que todas las orienta-ciones espaciales dadas por los angulos polares de colatitud (θ ) y longitud (φ ) tienen lamisma probabilidad de ocurrir; es decir, que la distribucion se expande de forma uniformesobre toda la superficie de la esfera (esto implica ambos hemisferios: el norte y el sur).

La distribucion de probabilidades elemental (PDE: probability distribution element) esconstante, con C =CU igual a 1

4πy el exponente (t) de la base de los logaritmos neperianos,

la constante Euler (e) es 0. Por tanto, la funcion de distribucion de probabilidades es

f (θ ,φ) =1

4πsinθ para 0≤ θ ≤ π, 0≤ φ < 2π. (4.12)

La resultante de las direcciones generadas bajo esta distribucion de probabilidades escero, su varianza es uno, y sus tres momentos de inercia son iguales a 1

3 . El rol mas impor-tante de UUUS es que esta representa el modelo nulo.

Para manejar datos de direcciones del plano de discontinuidad en el formato (ζdir,ζ )estos se tienen que transformar a partir de sus valores respectivos de sus polos; y estosultimos obtenidos de los valores de las coordenadas polares (φ ,θ) con

δ∗dir = 2π−φ , (4.13a)

δ∗ = θ − π

2. (4.13b)

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96 4 Discontinuidades

Esta transformacion implica que es posible tener valores de δ ∗dir negativos; y de ser asıhay que transformar la dupla (δ ∗dir,δ

∗) a valores positivos, para tener datos de la orientaciondel polo solo hacia el hemisferio sur. Es decir

δdir = (δ ∗dir +π) mod 2π, (4.14a)δ = |δ ∗|. (4.14b)

La forma de generar un numero aleatorio en toda la superficie de una esfera unitaria sebasa en la generacion de tres numeros aleatorios, uno para cada componentes cartesianaque formara un vector no-unitario en R3 que representa la direccion. Luego este vectorse tiene que normalizar para tener un vector unitario. La funcion en MATLABr llamadarandomdirectionsonr3 hace esta tarea. Si por algun motivo de la casualidad de los numerosaleatorios se genera un vector no-unitario con norma muy pequena (i.e. menor a 10−10), elalgoritmo vuelve a generar los tres numeros aleatorios para ese instancia.

Muchas veces se piensa que se puede generar direcciones aleatorias en la superficie dela esfera unitaria generando numeros aleatorios de angulos de longitud comprendidos entre[0,2π] y angulos de latitud comprendidos entre [−π

2 ,π

2 ]; sin embargo esto generarıa unaconcentracion de puntos no-uniforme en los dos polos de la esfera. La funcion en MATLABr

llamada randomdirectionsonr3countexample muestra el contra ejemplo de la forma como nose tiene que generar las orientaciones aleatorias en R3. La Figura 4.6 muestra esa situacionpara la generacion de 2000 puntos.

Distribucion esferica Fisher

La distribucion esferica de Fisher (FFF [(α,β ),κ]) es el modelo basico para orientacionesdistribuidas de forma unimodal con simetrıa rotacional, y sirve de forma general como unmodelo de probabilidades todo-proposito para las orientaciones en el espacio y para lasmedidas de errores direccionales.

Este modelo usa dos parametros: un escalar κ que indica la concentracion de los puntosal rededor de una orientacion promedio (el parametro de forma); y una dupla de angulos(α,β ) que indica la orientacion mas frecuente en la esfera dada por la colatitud y la longituden coordenadas esfericas.

La constante C (denotada por CF) es igual a κ

4πsinhκy el exponente de la base de Eu-

ler (t) es κ(sinθ sinα cos(φ −β )+ cosθ cosα). Por tanto, la funcion de distribucion deprobabilidades es

f ((θ ,φ);(α,β ),κ) =κ

4πsinhκexp [κ(sinθ sinα cos(φ −β )+ cosθ cosα)]sinθ

para 0≤ θ ≤ π, 0≤ φ < 2π.

(4.15)

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4.1 La orientacion en R3 97

Fig. 4.6 Generacion de ori-entaciones no-aleatorias enR3, donde se observa la con-centracion de puntos en lospolos.

−0.50

0.5

−0.5

0

0.5

−0.8

−0.4

0

0.4

0.8

La forma vectorial de la distribucion Fisher serıa en representar la direccion preferencialpor un vector (µµµ), de este modo

f (xxx; µµµ,κ) =κ

4πsinhκexp[κµµµ

Txxx]. (4.16)

4.1.5 La forma

La forma de una discontinuidad tiene un importante efecto en el tamano o extension, laconectividad de las discontinuidades y en las propiedades del macizo rocoso ([38]; [88]);no obstante, por la misma razon de que no es posible conocer la extension de una discon-tinuidad, no es posible conocer con certeza la forma de la misma.

Con fines de simplificar la compleja forma de una discontinuidad, esta se asume que esuna superficie plana y de forma cercana a figuras geometricas regulares como: cırculos,elipses, cuadrados, rectangulos, polıgonos equilaterales o polıgonos irregulares (Figura4.7). Pero por conveniencia matematica y con fines de ser aplicados en modelos, muchosinvestigadores asumen que las discontinuidades tienen forma circular (i.e. discontinuidadesequidimensionales), localizadas aleatoriamente en el espacio tridimensional.

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98 4 Discontinuidades

Fig. 4.7 Forma y tamano de una discontinuidad. Las discontinuidades no son necesariamente de formaregular: a) La discontinuidad circular y elıptica tienen la misma area que la discontinuidad poligonal. Elpolıgono que representa la discontinuidad puede tener ns lados, donde se recomienda que 3 ≤ ns ≤ 16; b)polıgono de 2 lados; c) polıgono de 6 lados.

Si se asume la forma circular, los patrones de la traza de la discontinuidad son las mismaspara diferentes planos de observacion y corte. No obstante, se observa en la realidad quelas trazas de discontinuidad varıan con el plano de observacion ([116]), situacion que diolugar a que en otros modelos se asuma formas de discontinuidades no equidimensionales,tales como elipses (e.g. [88] propusieron elipses con una razon de ejes mayor a menor de1.9 a 2.0), paralelogramos o polıgonos inscritos en elipses ([38]).

Algunos autores (Robertson, 1970; Barton 1977) propusieron inferir la forma equidi-mensional de una discontinuidad conociendo al menos la extension lineal de la mismas enel sentido de su rumbo y en el sentido de su buzamiento. No obstante, el hecho de que laextension lineal de una discontinuidad en estos dos sentidos sea igual, no indica necesaria-mente que su forma sea equidimensional, tal como lo muestra la Figura 4.8.

El tamano de una discontinuidad se refiere a la extension areal de la misma (Figura0183). Para hablar sobre el tamano de una discontinuidad es mejor referirse a su persis-tencia o penetracion de la misma. La persistencia puede ser obtenida indirectamente endos dimensiones, cuando esta intercepta un plano de observacion (i.e. plano expuesto), uobtenida en tres dimensiones, cuando se logra por algun metodo definir la extension arealde la discontinuidad. El tamano y extension total de una discontinuidad no es posible ob-servar directamente, ni siquiera en mas de tres planos ortogonales de corte expuestos. Paracualquiera de las definiciones de persistencia de una discontinuidad, no es posible deter-minar exactamente su extension ni proporcion en el macizo rocoso, ya que es un elementotri-dimensional.

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4.1 La orientacion en R3 99

Fig. 4.8 Casos en los que dos extensiones lineales de una discontinuidad son iguales en formas no equidi-mensionales, modificado de Zhang et al. (2002): a) el plano de discontinuidad es equidimensional (i.e. escircular); b) el plano de discontinuidad no es equidimensional (i.e. es elıptico) con el eje mayor en una solaorientacion; c) el plano de discontinuidad no es equidimensional con el eje mayor orientado aleatoriamentede tal modo que que la longitud de la traza del rumbo es igual a la longitud de la traza de la inclinacion.

4.1.6 Persistencia

De acuerdo al tipo de discontinuidades descritas anteriormente (i.e. discontinuidad inter-mitente o imbricada), se puede definir tambien la persistencia intermitente y la persistenciaimbricada (Figura 4.9). Asimismo, Rocha (1973) define la persistencia total, como la ex-tension infinita de una discontinuidad intermitente; en este sentido, la discontinuidad estotalmente persistente y si esta es una junta se la puede nombrar como junta sistematica(Mandl, 2005).

Fig. 4.9 Tres tipos de persistencias de una familia de discontinuidades: a) persistencia total; b) persistenciaintermitente, c) persistencia no coplanar.

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100 4 Discontinuidades

La medida de la extension areal de una discontinuidad intermitente (aSi) respecto al areatotal de un mismo plano (AS) fue definido por Muller (1963) mediante la relacion R

R =

n∑i

aSi

AS. (4.17)

De acuerdo a la definicion de la persistencia intermitente, la superficie de roca intactaentre dos discontinuidades de un mismo plano se denomina puente de roca. Este termino serefiere a los volumenes interconectados de material rocoso formados entre sistemas de dis-continuidades no persistentes. El nombre de puente se debe al caso mas simple en presenciade una sola familia de discontinuidades no persistentes, donde los puentes se forman per-pendiculares a los planos de esa familia en lo sitios donde las discontinuidades se pierden.Los puentes de roca crean el mecanismo de soporte interno del macizo rocoso.

En rocas fuertes, bajos porcentajes de volumen de los puentes de roca son suficientespara proveer una resistencia a los cambios de esfuerzos por excavacion, para que la mismasea auto-portante en por lo menos los primeros momentos antes de producirse la propa-gacion de las fisuras. Si se aprovecha esta situacion, se puede reducir las necesidades delsoporte primario de una excavacion (Diederichs, 1999). La ruptura de los puentes de roca,o la propagacion de las fisuras producen la relajacion del macizo rocoso, que se refleja enlos cambios de la calidad de la roca.

En funcion al nivel de escala observado y la proporcion de puentes de roca respecto laextension de la discontinuidad intermitente en el mismo plano, el puente de roca puedeser considerado como una parte discontinua de la extension de una discontinuidad. En estesentido, Mauldon (1994) observo que en los medios rocosos, las discontinuidades con per-sistencias intermitentes son mas improbables que las discontinuidades con persistenciasno co-planares; y en caso de existir discontinuidades con persistencias intermitentes biendefinidas, estas deberıan asumirse como discontinuidades con persistencias totales, cuandose desea involucrar algun modelo de resistencia mecanica que tome en cuenta las persis-tencias de las discontinuidades.

La misma definicion de puente de roca puede extenderse para el caso de las discon-tinuidades con persistencias no co-planares. En este sentido el modelo de involucrar elaporte de la resistencia de los puentes de roca a la resistencia del macizo rocoso involu-crarıa un analisis necesariamente tri-dimensional. En este modelo, es necesario considerarel aporte de los puentes de roca a la resistencia del macizo rocoso, que segun Park (2005)este aporte puede ser de uno a dos ordenes de magnitud mayor que la resistencia presenteen las discontinuidades.

Para el caso de la presencia de una persistencia intermitente, la razon de persistencia(PR por las siglas del Ingles de Persistence Ratio) es una medida de la extension (area)de varias discontinuidades de una misma familia y en un mismo plano (aSi) respecto unasuperficie de observacion (AS) que tiende a ser infinita; es decir

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4.1 La orientacion en R3 101

pr = limAS→∞

n∑i

aSi

AS. (4.18)

La Figura 4.10 muestra esta definicion.

Fig. 4.10 Definicion de la razon de persistencia, para el caso de una discontinuidad con persistencia inter-mitente.

La interseccion de una discontinuidad con un plano expuesto del macizo rocoso se de-nomina traza de la discontinuidad (i.e. es una lineacion); y la longitud de la traza de la dis-continuidad es lo que generalmente sirve para inferir la persistencia de la discontinuidad.La traza de la discontinuidad da una cruda medida de la extension en area o la longitud depenetracion de una discontinuidad. Las terminaciones en rocas solidas o con otras discon-tinuidades limitan a la traza de persistencia. Las discontinuidades separadas por un ciertovolumen de roca intacta se denominan juntas no-persistentes o juntas impersistentes, y elvolumen de roca entre cada junta impersistente es el puente de roca.

Del mismo modo que para el caso de la razon de persistencia intermitente, la razon dela traza de persistencia (PTR de sus siglas del ingles de Persistence Trace Ratio) se definesegun

ptr =

n∑i

dli

n∑i

dli +n∑i

rbli

(4.19)

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102 4 Discontinuidades

donde ∑dli es la suma de todos los segmentos de la traza de la discontinuidad y ∑rbli esla suma de todas las trazas de puentes de roca observados en un mismo plano, expresadocomo una lınea finita ls (Figura 4.11).

Fig. 4.11 Definicion de la razon de la traza de persistencia.

4.2 Factores que forman las discontinuidades

Los factores que forman las discontinuidades estan asociados a un determinado eventogeologico en la historia del macizo rocoso, desde su nacimiento hasta el presente (i.e. mo-mento donde se esta analizando el macizo rocoso).

El nacimiento del macizo rocoso se referirıa a un determinado momento de la histo-ria geologica de la region, donde el material rocoso cambio para formar uno nuevo decaracterısticas estructurales, textural y/o composicion quımica distintas, por alguna causageologicamente explicable (e.g. metamorfismo, diagenesis); o simplemente se ha pose-cionado en un espacio (e.g. instrusion, erupcion).

Si un macizo ha estado expuesto a mas de un proceso o evento geologico, este puedetener familias de discontinuidades de diferentes causas sucedidas en distintos tiempos. Es-tas causas pueden agruparse en dos grandes grupos, denominadas cargas:

• cargas endogenas;• cargas exogenas, que a la vez se subdividen en:

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4.2 Factores que forman las discontinuidades 103

– cargas o descargas geoestaticas (i.e. de sedimentacion, de erosion);– esfuerzos tectogenicos someros de carga o descarga que no producen zonas de

falla;– esfuerzos tectogenicos fuertes de carga o descarga que producen zonas de falla;– esfuerzos gravigencicos [30];– intrusiones;– exceso de presiones intersticiales;– caıdas de meteoritos.

Las cargas endogenas se deben por ejemplo al enfriamiento o secado del macizo rocoso.En el caso de cuerpos rocosos calientes (e.g. diques, intrusivos, flujos de lava no-

superficiales, igmimbritas) de cualquier composicion que estan sometidos a un procesode enfriamiento, se crean discontinuidades denominadas discontinuidades en columnas(columnar jointing) que forman bloques en columnas o simplemente columnas. Estas sonde seccion polihedrica casi regular (de 3 a 7 lados, pero en promedio de 5 a 6 lados, pre-dominantemente rectos), con diametros inscritos desde unos cuantos centımetros hasta 3 my alturas variables con un maximo de hasta de 30 m (Figura 4.12). Si las columnas son ensu mayorıa verticales se denominan columnas colonadas (colonnade columns) y si en sumayorıa son curvas, fracturadas y entrelazadas se denominan columnas entabladas (entab-latures).

Fig. 4.12 Generacion dediscontinuidades por cargasendogenas. En este caso lasfamilias de discontinuidadesse formaron por enfriamientode una lava, formando colum-nas pentagonales y hexag-onales, tıpicas del ParqueNacional de Devil’s Postpileen los Estados Unidos deNorte America

La generacion de las discontinuidades endogneas para formar columnas entabladas apartir de un macizo rocoso sano y caliente, se le atribuye a la inundacion del mismo poraguas continentales, que lo enfrıa rapidamente.

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104 4 Discontinuidades

Discontinuidades en columnas.-Un estudio acerca del comportamiento mecanico de macizos rocosos con dis-

continuidades en columnas se hizo en los derrames basalticos de la FormacionSerra Geral y el Grupo Rıo Columbia en el estado de Sao Paulo en Brasil [78, 79].

En las referencias se menciona que este tipo de macizo tiene propiedadesmecanicas buenas de su constituyente rocoso (i.e. una resistencia a compresion uni-axial del material rocoso de 163 MPa a 275 MPa, una resistencia a traccion indirectaalrededor de los 16 MPa y un modulo de deformacion de 76 GPa).

En lo que se refiere a las discontinuidades, se identificaron tres tipos.

1. Las discontinuidades principales sub-verticales con trazas de persistencia de0.2 m a 0.3 m.

2. Discontinuidades secundarias sub-verticales pero perpendiculares a las anteri-ores con trazas menores a unit[0.1]m.

3. Discontinuidades con trazas poco persistentes con orientacion caotica que sinembargo al propagarse favorecen la formacion de los bloques en forma decolumna.

Inclusive teniendo una intensa presencia de discontinuidades sub-verticales, losestudios revelaron que no se detecto un alto decremento para con las propiedadesmecanicas del macizo en sı, cuando el mismo no haya sufrido meteorizacion ni even-tos tectonicos posteriores a su formacion; y mas bien se detecto estabilidad en loreferente a la deformabilidad y permeabilidad del macizo.

Respecto a las cargas exogenas se puede afirmar que estas son las causantes mas co-munes de la formacion de discontinuidades en los macizos rocosos, en especial las cargasexogenas geoestaticas y las cargas tectonicas someras. Dentro de estas dos, en el supuestode que un determinado macizo rocoso haya estado sometido a solo un evento geologico, sepodrıan distinguir los siguientes macizos rocosos, asociados al regimen de esfuerzos a lasque estuvo sometido:

• macizo rocoso con una familia de discontinuidades persistentes y con otra impersis-tente orientada perpendicularmente a la principal

• macizo rocoso con dos familias de discontinuidades (persistentes o impersistentes) per-pendiculares entre sı

• macizo rocoso con tres familias de discontinuidades (persistentes o impersistentes)perpendiculares entre sı

• macizo rocoso con cuatro familias de discontinuidades (persistentes o impersistentes)

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4.4 Agrupacion (clustering) 105

4.3 Tipos de discontinuidades

Las discontinuidades mas comunes son las secundarias (i.e. juntas y fracturas). Las juntaspueden sub-clasificarse en juntas de traccion con desplazamientos perpendiculares a susplanos y juntas de corte con desplazamientos paralelos a sus planos; con desplazamientosvisibles a la escala de observacion.

Segun la ubicacion y relacion de las juntas con otras discontinuidades, estas pueden sub-clasificarse en juntas ilimitadas y juntas limitadas. Las juntas ilimitadas estan aisladas y supropagacion no fue limitada por otra discontinuidad o estructura geologica. Generalmente,los lados de estas juntas pueden considerarse una curva convexa. Las juntas limitadas, porotro lado, no necesariamente tienen contornos curvos ni forman una superficie convexa,debido a que las discontinuidades que la limitan la condicionan. Generalmente la formade estas juntas es poligonal. Tal es el caso por ejemplo de las juntas que se forman per-pendicularmente a los planos de estratificacion de rocas sedimentarias (i.e. estratificacioncruzada).

Dentro las formas geometricas regulares que se asumen para las discontinuidades, lasmas probables de ser reales son las poligonales rectangulares y las elıpticas [119]. En todocaso ellas no son radialmente equidistantes ni son infinitamente extendidas. Tambien sesabe que las discontinuidades no son elementos netamente planos, ellas se consideran asıpor simplificacion, debido a que tienen a extenderse mas en dos dimensiones y vagamenteen la tercera dimension.

4.4 Agrupacion (clustering)

En el pasado, el criterio de agrupacion de familias de discontinuidades solo por su ori-entacion era la practica comun [104, 100]; sin embargo, hoy en dıa se esta empezandoa usar mayores variables de agrupacion a parte de la orientacion, por ejemplo el espaci-amiento y la rugosidad. Esta ultima tecnica de agrupacion se denomina agrupacion multi-variable (multivariate clustering) [120].

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106 4 Discontinuidades

4.5 Propiedades geometricas

4.5.1 Rugosidad

4.5.1.1 Ondulacion

La ondulacion de la superficie de una roca esta representada por series de espacios, similara lo que se conoce como series de tiempo.

Estudiando las ondulaciones de las discontinuidades desde el punto de vista de las seriesde espacios, la ondulacion de la superficie de una discontinuidad rocosa es levemente esta-cionaria [93]1. Eso quiere decir que existe una correlacion de los valores de las ordenadasdel perfil con sus propios valores en posiciones de abscisas antecedentes y precedentes delvalor analizado; que se la llama autocorrelacion de la serie.

La existencia de algun grado de autocorrelacion de un conjunto de datos espaciadoscomplica la estadıstica univariada (el caso mas sencillo, y las estadısticas multivariadas)porque reduce grandemente el tamano efectivo de la muestra estadıstica. La autocorrelaciontambien complica encontrar correlaciones entre otras series espaciada de datos. Si la au-tocorrelacion permanece solo para la primera derivada, entonces se dice que es una serieautoregresiva de primer orden o una serie de Markov.

Existe escalares que pueden dar informacion de la estacionaridad de una serie de espa-ciada; por ejemplo el valor cuadratico medio (RMS de las siglas del Ingles de root meansquare) de las ordenadas del perfil de ondulacion de la superficie de la discontinuidad y lafuncion de autocorrelacion (ACF de las siglas del Ingles de autocorrelation function) dela misma, tambien llamada correlograma; ambas que son independientes de la posicion delas ordenadas en la serie de espacios. Otra condicion de la estacionaridad de una serie deespacios es que la ACF tiene que ir reduciendose a medida que el espaciamiento de abscisasdx aumenta; y una condicion estricta es que los momentos estadısticos de orden superior(e.g. el gradiente y la curvatura) tienen que ser independientes de la posicion.

Sin embargo, para tener esta condicion es importante tener medidas de una longitudde perfil de ondulacion lo suficientemente larga para poder incluir cualquier ondulacionrelevante de baja frecuencia, y que el espaciamiento en abscisas sea lo suficientementepequeno para posibilitar ver los posibles componentes de alta frecuencia de la rugosidad.

Una aproximacion (que no tiene que tomarse como receta) para la estimacion de lalongitud de la muestra es el de adquirir una longitud larga de la serie (l), encontrar elcoeficiente de autocorrelacion de primer orden (r1) de ella y calcular la longitud efectiva

l′ = l(

1− r1

1+ r1

). (4.20)

1 Vea tambien ¶1.3.1. de [15].

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4.5 Propiedades geometricas 107

Sin embargo, para determinar la longitud efectiva de muestreo de forma certera se tieneque hacer un diseno de filtros, que esta fuera de los alcances de esta disciplina (Vea porejemplo: [89]).

Con el fin de analizar los perfiles de ondulacion de una discontinuidad se adopta lasiguiente nomenclatura:

• ondulacion promedio de linea central, denotado por z0 y unidad [L] (tambien llamadaondulacion CLA);

• valor cuadratico medio de las ordenadas, denotado por z1 y unidad [L], segun planteadopor [75];

• gradiente del valor cuadratico medio de las ordenadas, denotado por z2 y unidad [1],segun planteado por [75]; y

• curvatura del valor cuadratico medio de las ordenadas, denotado por z3 y unidad [L−1],segun planteado por [75].

Ejercicio 4.3. Calcule el valor de z2 y sF mediante la aplicacion de una funcion computa-cional (e.g. MATLABr) para el perfil de ondulacion de la Figura 4.13 y cuyos 771 pares dedatos digitalizados estan en el archivo rockDiscontOndulationProfile.txt. Posterior a esto,obtenga el valor de Jrc del anterior perfil segun las ecuaciones empıricas que propone elartıculo de [108]; y comente si el Jrc del perfil de esta roca se puede obtener mediantelas relaciones empıricas propuestas por estos autores. El perfil de ondulacion de la super-ficie de la discontinuidad de la roca que se esta trabajando corresponde a una diaclasa demigmatita superficialmente meteorizada obtenida de un afloramiento rocoso en un talud dela vıa hacia la Palmas en Medellın Colombia (estacion CAM-11) [44]. Estas migmatitaspertenecen a la unidad Migamatitas de Puente Pelaez del Complejo El Retiro [95].

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.02

00.020.040.06

Fig. 4.13 Perfil de ondulacion de la migmatita CAM-11, Medellın Colombia [44].

Solucion 4.3. El artıculo de [108] muestra que los factores que se solicita calcular sobre elperfil de ondulacion de la discontinuidad son en algunos casos integrales de la primera osegunda derivadas de la curva que representa tal perfil. Esa curva es una funcion discretay = f (x) en R, y en este caso posee 771 puntos.

Los datos del perfil de ondulacion se agrupan en f (x), donde x no esta espaciada eq-uitativamente (i.e. la diferencia de x2− x1,x3− x2, . . .xn− xn−1 no es constante); de este

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108 4 Discontinuidades

modo, tanto la obtencion de las primera y segunda derivadas no es una tarea directa, ni susolucion es clasica dentro de los metodos numericos si se mantiene tal condicion.

Primero es importante preguntarse si absolutamente todos los puntos de la medida delperfil de ondulacion son necesarios tomarlos en cuenta en los calculos. Normalmente nolos son, por tanto se puede hacer una seleccion aleatoria uniforme de una proporcion detodos los puntos. La proporcion que se escoge para este ejemplo es de 0.02 (2 %) y laescogencia aleatoria uniforme se hace por medio de la funcion desarrollada por el autorreducedatarandom para dar 74 puntos para el analisis.

Luego es recomendable tener el conjunto de puntos del perfil de ondulacion reducido(inicialmente no espaciados de forma equitativa) reconfigurado a un conjunto de puntosigualmente espaciados. Esto se logra mediante la interpolacion de los valores y sobre unaserie de numeros igualmente espaciados de x sobre el perfil original. La interpolacion puedeser lineal, de segundo o tercer orden. En este caso se uso unicamente la interpolacion linealcon la funcion desarrollada para este texto interpolonpolygon.

Con estos puntos igualmente espaciados ahora se procede a suavisar la curva. Suavisares un proceso de crear nuevos puntos de un conjunto de datos, con el fin de capturar aque-llos patrones importantes en ese conjunto y dejando afuera datos que generan unicamenteruido o estructuras de menor escala. Esto en MATLABr se logra con la funcion smooth quetiene varios metodos para escoger de forma apropiada, por ejemplo el LOESS robusto o elmetodo de Savitzky-Golay.

Luego de tener el perfil suavisado y con valores equiespaciados recien se recomiendaproceder a aplicar algun metodo numerico para derivar funciones en una dimension dadaspor sus datos. Dependiendo de la precision que se desee obtener, se puede adoptar esquemasnumericos de primer o de segundo orden.

La Figura 4.14 muestra la curva con todos los puntos originales que la definen, y sobre-puesta a esta, el mismo perfil de ondulacion con los puntos escogidos de forma aleatoriay suavisada; ambas curvas en una escala vertical exagerada respecto la escala horizontal.Debajo de esta grafica se muestra el mismo perfil con ambas escalas (vertical y horizontal)iguales, se observa que el perfil es casi plano.

Una estrategia que se puede seguir para la diferenciacion de la funcion f (x) es que conlos nuevos puntos se busca aproximar la funcion por medio de series; sean series de sumas,series de productos o una combinacion de estos dos operadores; i.e. lo que en analisisnumerico se denomina aproximacion de funciones. Por ejemplo, metodos como: interpo-lacion polinomial tipo Newton y tipo Lagrange (e.g. [21]), interpolacion de Hermite, osplines. Sin embargo, la aproximacion tiene que hacerse por intervalos de ancho constantey con una superposicion entre sus adyacentes; y no una aproximacion total para todos losdatos, debido a que el resultarıa en un polinomio de orden n− 1 para n datos, polinomioinmanejable hasta para computadores de alto rendimiento.

Otra alternativa de metodo es el metodo de diferencias, que se puede resolver para elcaso unidimensional de valores igualmente espaciados hasta en una hoja de calculo.

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4.5 Propiedades geometricas 109

Otra puede ser una solucion mas rapida que la anterior: el metodo de diferenciacion poronditas (wavelet differentiation) con la transformada continua; que es la que se uso en esteejercicio.

En la solucion por el metodo de diferenciacion por onditas se logro usando la funcionexterna a este texto y al MATLABr llamada derivative_cwt [69]. El programa MATLABr

tiene incorporado la funcion diff que es la version del metodo de las diferencias; sin em-bargo, no es robusta en muchos de los casos debido a que se obtiene curvas de derivadasmuy variables.

La Figura 4.15 muestra el perfil de ondulacion y sus primera y segunda derivadas para elmetodo de diferenciacion finita usada por diff; y la Figura 4.16 muestra el mismo perfil ysus derivadas resueltas por el metodo de onditas con la funcion derivative_cwt. Se observaque el segundo metodo da una curva mas suave en ambas diferenciaciones.

Con las dos curvas diferenciadas del perfil de ondulacion, que fueron obtenidas por elmetodo de onditas, y con el mismo perfil procesado se procedio al calculo de las variablesescalares que caracterizaran este perfil; variables que segun [108] son: rms, cla, z2, z2d, z3,z4, msv, acf y sf.

Obtenidas las variables, se calcula el jrc con las respectivas ecuaciones empıricas queplantean [108].

Para el caso del presente ejercicio, el Cuadro 4.5 muestra los resultados de jrc del perfilde ondulacion que se analiza.

Tabla 4.5 Roughness coefficients using the formulas of [108].

Variable Var. Value Empirical Equation for jrc jrc Corr. Coeff.z2 0.97×10−3 jrc = 32.2+32.47 lgz2 −65.64 0.986z2d 0.96×10−3 jrc = 32.2+32.47 lgz2d −65.76 0.986sf 0.20×10−3 jrc = 37.28+16.58 lgsf −23.98 0.984z2 0.97×10−3 jrc =−5.05+1.20 arctanz2 −5.05 0.973z2d 0.96×10−3 jrc =−5.05+1.20 arctanz2d −5.05 0.973z2 0.97×10−3 jrc =−4.41+64.46z2 −4.35 0.968z2d 0.96×10−3 jrc =−4.41+64.46z2d −4.35 0.968sf 0.20×10−3 jrc = 2.69+245.70sf 2.74 0.919z4 172×10−3 jrc = 10.14−2.68z4 9.68 −0.838z3 −8.68×10−3 jrc =−6.84+4.06z3 −6.88 0.785rms 15.6×10−3 jrc = 2.37+70.97rms 3.48 0.784cla 4.78×10−3 jrc = 2.76+78.87cla 3.14 0.768msv 1.65×10−3 jrc = 5.43+293.97msv 5.92 0.690acf 1.61×10−3 jrc = 5.47+293.80acf 5.94 0.688

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110 4 Discontinuidades

4.5.1.2 Aspereza

4.6 Propiedades no-geometricas

4.7 Resistencia mecanica de las discontinuidades

4.8 Red de discontinuidades

Una red de discontinuidades (discontinuity network) se refiere a la descripcion de todas laspropiedades geometricas de las discontinuidades para cada una de sus familias presentes enun determinado volumen del macizo rocoso que logren representar de forma estocastica:la frecuencia tridimensional de las discontinuidades, su localizacion espacial, su forma,espesor, extension y orientacion en un determinado volumen.

Se propuso dos modelos para definir una red de discontinuidades. 1) Los modelos nudo(lumped models) en los que describen todas las propiedades geometricas de las discon-tinuidades en un volumen dado sin describir su ubicacion y distribucion espacial (i.e. no sedefinio una correlacion espacial de esas propiedades), es decir todas las discontinuidadesy sus propiedades estarıan concentradas en el centro de gravedad del volumen consider-ado. 2) Los modelos de correlacion espacial, donde se intenta tomar en cuenta la posiblevariacion espacial de las propiedades geometricas de las discontinuidades y definir algunacorrelacion en el espacio [13, 113, 37], algo ası como distribuir todas las discontinuidadesy sus propiedades dentro de todo el volumen considerado. No obstante, estos metodos to-davıa no son completamente satisfactorios debido a que son construidos a partir de datosprovenientes de medidas y analisis definidos para los modelos-nudo.

4.9 Esfuerzos en un plano

El proceso de determinar la magnitud y la orientacion del maximo esfuerzo cortante en unplano arbitrario (en el espacio) es relevante para cualquier problema en el que interviene unmacizo rocoso cargado bajo un campo de esfuerzos naturales, con la presencia de planosde discontinuidades, y a profundidades de al corteza terrestre.

Para lograr la solucion es necesario acudir al concepto de tensor de esfuerzos, el teoremade Cauchy de una tension de esfuerzos sobre un plano, la transformacion de tensores desegundo orden, y transformacion de sistemas coordenados cartesianos en R3.

Existe a parte de esta solucion analıtica, la version grafica de lo mismo. Las orienta-ciones de la aplicacion de los esfuerzos y la de los planos se representa en la proyeccionesterografica.

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4.9 Esfuerzos en un plano 111

Para determinar lo indicado, es necesario conocer el campo de esfuerzos al rededor delplano; de este modo, se tiene que conocer las orientaciones y las magnitudes de los tresesfuerzos principales de este campo. Si el sistema coordenado tiene sus bases paralelas alas tres direcciones de los esfuerzos principales, entonces el tensor de esfuerzos al rededordel plano son

S′ =

σ ′1 0 00 σ ′2 00 0 σ ′3

.

Las magnitudes de estos esfuerzos principales son invariantes respecto el sistema coorde-nado; y existe un escalar que informa sobre la condicion de campo de esfuerzos, que sellama la relacion de esfuerzos y esta dada por

R =σ2−σ1

σ3−σ1. (4.21)

Otra relacion similar es la definida por Angelier [8], que esta dada por

Φ =σ2−σ3

σ1−σ3. (4.22)

Asimismo, se tiene que conocer la orientacion espacial del plano.El sistema coordenado de referencia, donde se da todos los datos de entrada y de salida,

es el NED; sin embargo, toda orientacion (sea de una lınea o de un plano) se da segun lanomenclatura azimut y cabeceo (i.e. trend & plunge). En el caso del plano, este se trans-forma primero a la lınea normal a este, que es el polo del plano.

Tambien se trabaja en el sistema coordenado coincidente con los tres ejes de los es-fuerzos principales (que se lo llamara, sistema S123); vector principal mayor (primer eje),vector principal intermedio (segundo eje), y vector principal menor (tercer eje). Finalmente,se trabaja con el sistema coordenado coincidente con el polo del plano (primer eje, dadopor un vector nnn), el polo del plano de movimiento (segundo eje, dado por un vector bbb) y lalınea coincidente con el desplazamiento del maximo corte (tercer eje, dado por un vectorsss); que se lo llamara sistema NBS.

Todo vector en el sistema NED no tendra ningun superındice para distinguirlo, mientrasque todo vector en el sistema S123 tendra un apostrofe como superınidice, y el mismo enel sistema NBS tendra dos apostrofes. Por ejemplo, el vector unitario que representa laorientacion espacial del plano en cuestion en el sistema NED sera uuun, en el sistema S123sera uuu′n, y en el sistema NBS uuu′′n .

Si bien se habla de determinar la magnitud y la orientacion del maximo esfuerzo cor-tante en un plano arbitrario; se hace simplemente la representacion del mismo estado deesfuerzos (ya existente) en un sistema coordenado distinto, donde dos de los tres ejes sonparalelos a la normal del plano y a la direccion de maximo esfuerzo cortante.

El procedimiento es el siguiente.

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112 4 Discontinuidades

1. Convierta las orientaciones de los esfuerzos principales, dados en azimut y cabeceo,a vectores unitarios en el sistema coordenado NED: uuuσ1 , uuuσ2 y uuuσ3 . Verifique que lostres vectores unitarios son ortonormales.

2. Convierta la orientacion del plano de la discontinuidad, dado en azimut y cabeceo, atambien un vector unitario en el sistema NED, i.e. uuun.

3. Cree la matriz de rotacion del sistema S123 al NED; RRRS123,NED.4. Transforme la orientacion del plano de discontinuidad, que esta en el sistema NED, al

sistema S123; que dara uuu′n. Esto se logra con

uuu′n = RRRS123,NED uuun. (4.23)

5. Con el teorema de Cauchy, calcule el vector de tensiones (ppp) que se aplica sobre elplano de discontinuidades; esto en el sistema S123 debido a que el tensor de esfuerzosesta en este sistema. Esto con

ppp′ = RRRS123,NED uuu′n. (4.24)

6. Calcule la magnitud de ppp′ que es invariante cualquier transformacion, es decir

|ppp|= |ppp′|= |ppp′′|. (4.25)

7. El vector unitario de la orientacion uuu′p es uno que esta en el sistema S123; esta ori-entacion transformela al sistema NED para obtener uuup, que lo puede representar en lanomenclatura azimut y cabeceo.

8. El polo del plano de discontinuidad (dado por uuun) y el vector unitario de la tension(dado por uuup) son coplanarios en el plano de movimiento. Por tanto, el polo del planode movimiento con orientacion unitaria uuub es normal a ambos y se halla con

uuub = uuun×uuup. (4.26)

Esta propiedad es invariante al sistema coordenado.9. El esfuerzo cortante maximo se encuentra en la interseccion del plano de la discon-

tinuidad y el plano de movimiento; y a la vez es normal los polos de estos planos; portanto

uuus = uuun×uuub. (4.27)

Esta propiedad tambien es invariante.10. Conocidas la orientaciones de estas tres lıneas n, b y s se encuentra la matriz de rotacion

del sistema NBS al S123

RRRNBS,S123 =

(uuu′σ1·uuu′n) (uuu′σ1

·uuu′b) (uuu′σ1·uuu′s)

(uuu′σ2·uuu′n) (uuu′σ2

·uuu′b) (uuu′σ2·uuu′s)

(uuu′σ3·uuu′n) (uuu′σ3

·uuu′b) (uuu′σ3·uuu′s)

. (4.28)

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4.9 Esfuerzos en un plano 113

11. Se expresa las magnitudes de los esfuerzos principales dados en el sistema S123 en elsistema NBS; es decir se halla esas magnitudes normal y paralelas al plano de discon-tinuidad; esto con la transformacion del tensores

S′′ = RRRTNBS,S123S

′RRRNBS,S123. (4.29)

12. La componente del tensor S′′ que interesa es la paralela al polo del plano de discon-tinuidad (paralela a la orientacion uuun); es decir los esfuerzos que actuan en el plano dediscontinuidad, los esfuerzos de la primera fila del tensor S′′.

13. La magnitud del esfuerzo que actua sobre el plano de discontinuidad y paralelo a lanormal al mismo plano es σ ′′11.

14. La magnitud del esfuerzo que actua sobre el plano y paralelo a uuub es σ ′′12 y tiene queser cero.

15. La magnitud del esfuerzo que actua sobre el plano y paralelo a uuus es σ ′′13 y es elmaximo; y es lo que se esta buscando.

Ejercicio 4.4. Determine la magnitud y la orientacion del maximo esfuerzo cortante en unplano orientado segun su polo a 230\50. Este plano esta dentro de un campo de tensoresnaturales, cuyos esfuerzos principales tienen las orientaciones y magnitudes que se muestraen la siguiente tabla.

Esfuerzo Orientacion en ° Magnitud en MPaδdir δ

σ1 325 33 7.8σ2 178 52 5.2σ3 066 16 3.0

Luego tambien determine la magnitud y la orientacion del esfuerzo normal a ese plano,y la relacion de esfuerzos R.

Solucion 4.4. La magnitud del esfuerzo normal al plano es de 5.23 MPa y esta orientadoa 230\50; la magnitud del esfuerzo cortante maximo es de −0.30 MPa y esta orientado a016\35. La relacion de esfuerzos es 0.542.

La solucion de las orientaciones se muestra en la Figura 4.17.La implementacion de esta solucion en MATLABr es la siguiente.

%% % Input variables %% The principal stresses magnitudes. %sigma1Mpa =7.8;sigma2Mpa =5.2;sigma3Mpa =3.0;

sigmaPrinTensor =[ sigma1Mpa, 0, 0; 0, sigma2Mpa, 0; 0, 0, sigma3Mpa ];

% The principal stresses orientations. %sigma1TrendPlunge =[ 325, 33 ];

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114 4 Discontinuidades

sigma2TrendPlunge =[ 178, 52 ];sigma3TrendPlungeUnVer =[ 66, 16 ];

sigma1Uvec =transpose( trendplunge2unitvect( sigma1TrendPlunge ) );sigma2Uvec =transpose( trendplunge2unitvect( sigma2TrendPlunge ) );sigma3Uvec =cross( sigma1Uvec, sigma2Uvec );sigma3TrendPlunge =unitvect2trendplunge( sigma3Uvec' );sigma3TrendPlunge =prepareorientationangles( sigma3TrendPlunge );sigma3Uvec =transpose( trendplunge2unitvect( sigma3TrendPlunge ) );

% The orientation of the plane, where the stresses are wanted to known is %% transformed to unit vector at NED. %polePlaneTrendPlunge =[ 230, 50 ];polePlaneUvec =transpose( trendplunge2unitvect( polePlaneTrendPlunge ) );

planeDipdirDip =dipdirdip2pole( polePlaneTrendPlunge );

%% % Solution %% The new coordiante sysmtem rotation matrix is determined. %ned2prinsigmasMat =[ dot(sigma1Uvec, [1 0 0]), dot(sigma1Uvec, [0 1 0]), ...

dot(sigma1Uvec, [0 0 1]); ...dot(sigma2Uvec, [1 0 0]), dot(sigma2Uvec, [0 1 0]), ...

dot(sigma2Uvec, [0 0 1]); ...dot(sigma3Uvec, [1 0 0]), dot(sigma3Uvec, [0 1 0]), ...

dot(sigma3Uvec, [0 0 1]) ];

nUvec =ned2prinsigmasMat *polePlaneUvec;

% The upward rotation matrix is verified, by premultipling the matrix %% with the known orientations of the principal stresses. The value of %% each orientation should be give the bases of the coordiante system. %s1Uvec =ned2prinsigmasMat *sigma1Uvec;s2Uvec =ned2prinsigmasMat *sigma2Uvec;s3Uvec =ned2prinsigmasMat *sigma3Uvec;

% Now the traction vector is calculated in the plane. %pVec =sigmaPrinTensor *nUvec;pVecMag =norm(pVec);pUvec =pVec /pVecMag;

tensionUvec =transpose(ned2prinsigmasMat) *pUvec;tensionTrendPlunge =unitvect2trendplunge( tensionUvec' );tensionTrendPlunge =prepareorientationangles( tensionTrendPlunge );tensionUvec =transpose( trendplunge2unitvect( tensionTrendPlunge ) );

% The pole of the movement plane in the principal stresses coordiante %% system is calculated. %bUvec =cross(nUvec, pUvec);

movementPlaneUvec =transpose(ned2prinsigmasMat) *bUvec;movementTrendPlunge =unitvect2trendplunge( movementPlaneUvec' );movementTrendPlunge =prepareorientationangles( movementTrendPlunge );movementPlaneUvec =transpose( trendplunge2unitvect( movementTrendPlunge ) );

movementDipDirDip =dipdirdip2pole( movementTrendPlunge );

% The orientation of the maximum shear stress in the principal stresses %% coordiante system is calculated. %sUvec =cross(nUvec, bUvec);

shearUvec =transpose(ned2prinsigmasMat) *sUvec;

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4.9 Esfuerzos en un plano 115

shearTrendPlunge =unitvect2trendplunge( shearUvec' );shearTrendPlunge =prepareorientationangles( shearTrendPlunge );shearUvec =transpose( trendplunge2unitvect( shearTrendPlunge ) );

% The rotation matrix of the NBS system to the he principal stresses %% coordiante system is calculated. %nbs2prinsigmasMat =[ dot([1 0 0], nUvec), dot([1 0 0], bUvec), ...

dot([1 0 0], sUvec); ...dot([0 1 0], nUvec), dot([0 1 0], bUvec), ...

dot([0 1 0], sUvec); ...dot([0 0 1], nUvec), dot([0 0 1], bUvec), ...

dot([0 0 1], sUvec) ];

% Now is verified the calculation by using this time the too created %% rotation matrices. %polePlaneUvecVer =ned2prinsigmasMat' *nbs2prinsigmasMat *[ 1 0 0 ]';polePlaneUvecVer =polePlaneUvecVer /norm(polePlaneUvecVer);poleTrendPlungeVer =unitvect2trendplunge( polePlaneUvecVer' );poleTrendPlungeVer =prepareorientationangles( poleTrendPlungeVer );

% Now the stress magnitudes on n-plane are calculated. %tensorRotated2Nbs =nbs2prinsigmasMat' *sigmaPrinTensor *nbs2prinsigmasMat;stressesOnNplane =tensorRotated2Nbs(1,:);

principalStressRatio =(sigma2Mpa -sigma1Mpa) /(sigma3Mpa -sigma1Mpa);

%% % Showing the results %display( ['The stress normal to the n-plane has ', ...

num2str( stressesOnNplane(1), '%5.2f'), ' MPa.', ...'This stress is oriented with a trend and plunge of ', ...num2str( polePlaneTrendPlunge(1), '%4.1f'), '\', ...num2str( polePlaneTrendPlunge(2), '%3.1f'), '.' ] );

display( ['The maximum shear stress through the n-plane has ', ...num2str( stressesOnNplane(3), '%5.2f'), ' MPa.', ...'This stress is oriented with a trend and plunge of ', ...num2str( shearTrendPlunge(1), '%4.1f'), '\', ...num2str( shearTrendPlunge(2), '%3.1f'), '.' ] );

display( ['The stress perpendicular to respectively both, ', ...'normal and maximum shear stresses, has ', ...num2str( stressesOnNplane(2), '%5.2f'), ' MPa.'] );

display( ['The stress ratio, R, is equal to ', ...num2str( principalStressRatio, '%0.2f'), '.'] );

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116 4 Discontinuidades

./Figures/procWavUneqscaledProfile.pdf

(a) escala vertical exagerada

./Figures/procWavEqscaledProfile.pdf

(b) ambas escalas iguales

Fig. 4.14 Curva de ondulacion procesada por escogencia aleatoria y uniforme, suavisado y espaciado con-stante.

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4.9 Esfuerzos en un plano 117

./Figures/wavProfAndDerivsDiffOriginal.pdf

(a) curva original

./Figures/wavProfAndDerivsDiff1stDeriv.pdf

(b) primera derivada

./Figures/wavProfAndDerivsDiff2ndDeriv.pdf

(c) segunda derivada

Fig. 4.15 Perfil de ondulacion y sus primera y segunda derivadas por el metodo de diferencias.

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118 4 Discontinuidades

./Figures/wavProfAndDerivsWaveletOriginal.pdf

(a) curva original

./Figures/wavProfAndDerivsWavelet1stDeriv.pdf

(b) primera derivada

./Figures/wavProfAndDerivsWavelet2ndDeriv.pdf

(c) segunda derivada

Fig. 4.16 Perfil de ondulacion y sus primera y segunda derivadas por el metodo de diferencias.

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4.9 Esfuerzos en un plano 119

Fig. 4.17 Orientacion de losplanos y esfuerzos principalescon R = 0.542, en proyeccionestereografica hemisferio sur.

N

planode

ladiscontinuidad

planodemovimiento

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Capıtulo 5

Macizo Rocoso

Resumen Finalmente, el capıtulo once reune todos los conceptos y metodos anteriormentedescritos para complementar, unificar y lograr la deseada tarea de describir el macizo ro-coso.

5.1 Tensor de discontinuidades

5.2 Bloquimetrıa en el macizo rocoso

5.3 Permeabilidad del macizo rocoso

Tambien es se importancia conocer el efecto del estado de esfuerzos y deformacion delmacizo rocoso en la permeabilidad del mismo, esto especialmente para obras subterraneasque necesitan un alto grado de impermeabilidad (e.g. depositos de desechos radioactivos).Esto se logra a traves de modelaciones numericas mecanicas e hidraulicas acopladas.

El flujo de fluıdo por cada discontinuidad de la red es afectado por el esfuerzo normal enella, y se observo que esta influencia es tambien dependiente de la escala, por lo que exigenestimar la influencia del flujo y presion de fluidos en la red de discontinuidades a travesde pruebas de campo. Para ello se pueden hacer ensayos de inyeccion hidraulica en hoyosde perforacion simples (i.e. Packer tests) conjuntamente con ensayos de transmisividadde pulsos y gateo hidraulico para cargas ascendentes y decrecientes; en paralelo con unamodelacion numerica (e.g. [97]).

121

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122 5 Macizo Rocoso

5.4 Deterioro del macizo rocoso

5.4.1 Meteorizacion

Meteorizacion mecanica

Meteorizacion quımica

Meteorizacion biotica

En las discontinuidades de algunos macizos rocosos dentro de cavidades naturales se en-contraron microorganismos que sobreviven bajo condiciones pobres en nutrientes. Estosson metabolicamente versatiles y muy diversos, y por lo general aceleran la meteorizacionquımica del macizo rocoso debido a que adquieren su energıa rompiendo compuestosaromaticos, uniendo gases y oxidando metales. Esta posible influencia de micro-organismosse observo en un estudio novedoso realizado en la caverna Lechuguilla y la caverna Spi-der en el Parque Nacional Carlsbad al sudeste del estado de Nuevo-Mexico en los EstadosUnidos de Norteamerica. Especialmente en la caverna de Lechuguillas se observo en el ma-terial rocoso una interaccion geo-microbiologica sin la presencia de alteraciones causadaspor el metamorfismo [80].

Cuando los micro-organismos interactuan con los minerales del material rocoso, estoslos transforman quımicamente; muchas veces acompanados de cambios en el tamano yforma de los minerales. No solo eso, los micro-organismos juegan papeles importantes enlos procesos de disolucion, metamorfismo, alteracion y mobilizacion de metales; procesosde metabolismo de hidrocarburos y en la transformacion de carbon organico en sedimentospara la formacion de combustibles fosiles. Tambien se observo que ellos son facilitadoresde la diagenesis y generadores de poros en las rocas a grandes profundidades.

Todos estos interesantes aspectos de la influencia de los micro-organismos en las rocasse estudian en una nueva disciplina llamada Geobiologıa. Dentro de esta disciplina se estu-dia como las actividades microbioticas influencian los procesos interactivos entre el agua yla roca, el transporte quımico entre reservas geo-quımicas, y la formacion y transformacionde minerales y rocas; ası tambien como los procesos geologicos y geo-quımicos controlanla ecologıa microbiana en ambientes extremos. Estos aspectos ayudan a encontrar respues-tas de la vida en la Tierra y en otros planetas [40].

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5.7 Caracterizacion mecanica del macizo rocoso 123

Grado de meteorizacion

Tasa de meteorizacion

5.5 Continuidad del macizo rocoso

5.5.1 Volumen elemental representativo

5.5.2 Volumen de perturbacion

El volumen de perturbacion tambien es denominado zona de relajacion (ZOR: Zone ofRelajation).

5.5.3 Anisotropıa del macizo rocoso

5.6 Caracterizacion geometrica del macizo rocoso

5.7 Caracterizacion mecanica del macizo rocoso

La caracterizacion del macizo rocoso, que nace del analis de los datos obtenidos de la de-scripcion del macizo rocoso, permite finalmente obtener una sıntesis del estado y condiciondel macizo rocoso. El objetivo de caracterizar el macizo rocoso es finalmente de armar unmodelo geologico detallado y capaz de ser asimilado por el raciocinio humano. Sin em-bargo esta caracterizacion puede ser tan extensa y detallada como uno lo logre, lo cuales necesario que el modelo geologico tenga especificado los lımites de aplicacion. Estoslımites se definen tras reconocer las amenazas de los procesos geologicos que actuaran so-bre una obra civil segura y economicamente efectiva que indujo todo el proceso de estudioy descripcion; cerrando de este modo el cırculo de actividades necesarias que justificarontodo el estudio del macizo rocoso.

5.7.1 Indices de caracterizacion

Los llamados ındices del macizo rocoso son valores cualitativos y cuantitativos que tratande describir con un solo valor la naturaleza del macizo rocoso. Estos ındices son en locomun conocidos como sistemas de clasificacion del macizo rocoso, sin embargo deberıan

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124 5 Macizo Rocoso

tratarse unicamente como ’indices de caracterizacon. Los mas conocidos son el ındiceRSR (Wickham et al., 1972), ındice Q (Barton et al., 1980; Barton, 2002), ındice RMR(Bieniawski, 1992), ındice RMi (Palmstrom, 1996), el ındice GSI (Hoek & Brown, 1998),y el ındice del esquema japones (CRIEPI).

Adicionales ındices estan descritos en las orientaciones de la norma ASTM D5878:Guıas estandar para usar sistemas de clasificacion de macizos rocosos para fines de inge-nierıa [12], donde se describen entre otros mas, por ejemplo: el ındice del Sistema Unifi-cado de Clasificacion de Rocas (URCS: The Unified Rock Classification System) que estasiendo usado para trabajos en fundaciones, metdos de excavacion, estabilidad de taludes,uso de la roca como material, caracterizacion en trabajos de voladuras y flujo de agua sub-terranea; el ındice del Sistema de Clasificacion en Campo del Materia Rocoso (RMFCS: heRock Material Field Classification System), usado especialmente en excavaciones superfi-ciales relacionadas con la erodabilidad hidraulica y excavabilidad del macizo rocoso; y elındice de Techo de Mina de Carbon (CMRR: Coal Mine Roof Rating), que como su nombrelo indica tiene el objeto de describir estructuralmente el macizo rocoso mineralizado concarbon.

Actualmente existen correlaciones entre los valores GSI y los parametros RSR, Q, RMR,RMi y GSI; que permiten comparar estos ındices. Bieniawski (1988) afirma que los usuar-ios potenciales de estos ındices deben conocer los inconvenientes en generalizar en ındicestodo el comportamiento del macizo rocoso.

Indice de calidad de la roca Rqd

Indice de calificacion del macizo rocoso Rmr

Indice Q de calificacion del macizo rocoso

Indice geologico estructural Gsi

Indice del esquema japones Criepi

Indice de perforabilidad del macizo rocoso Rdi

5.8 Clasificacion del macizo rocoso

La mecanica del macizo rocoso hasta ahora no ha solucionado el viejo problema del comodeterminar el comportamiento mecanico del macizo rocoso, y por eso, no se tiene hastala fecha un metodo sugerido para lograr aquello. Entonces , ’? porque se ha logrado unavance en la disciplina? (e.g. despues de 60 anos se tiene mayores secciones de tuneles,mas largos tuneles, presas mas grandes, minas con taludes mas empinados, minas mas

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5.9 Resistencia mecanica del macizo rocoso 125

profundas); la respuesta se debe a los avances tecnologicos de equipos de excavacion (e.g.TBM de ultima generacion), mejor aplicacion del metodo observacional y alta creatividadpara afrontar problemas con soluciones innovadoras y tecnologıa moderna.

Sin embargo, todavıa existe una urgente necesidad de ofrecer a la industria, metodosconvincentes para determinar los parametros mecanicos del macizo rocoso, particularmentetres: parametros de resistencia, parametros de deformacion y el estado de esfuerzos en sitio.

5.9 Resistencia mecanica del macizo rocoso

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Capıtulo 6

Capacidad portante

6.1 Capacidad portante ultima

La capacidad portante ultima del macizo rocoso se tiende a expresarla como una proporcionde la resistencia a compresion uniaxial del material rocoso,

qu = Nσci. (6.1)

El problema por tanto radica en encontrar ese factor de proporcion (N) tomando en cuentalas variables mas influyentes en el valor de la capacidad portante ultima, que son: losparametros de resistencia ultima del macizo rocoso regida segun un criterio de ruptura,el estado de esfuerzos en el nivel de fundacion, el esfuerzo debido al peso del macizo ro-coso en el nivel de fundacion (i.e. la profundidad a la que la fundacion se colocara), laforma de la fundacion, y la forma de la superficie del terreno.

Diferentes autores encontraron expresiones analıticas para esta proporcion dependiendode las condiciones especiales de cada caso; por ejemplo, encontraron la expresion de lacapacidad portante ultima para el caso donde el peso de la roca es despreciable respectola magnitud de la resistencia a compresion uniaxial; o encontraron la expresion donde noexiste carga en la superficie del terreno.

Tambien para el caso de la capacidad portante, el efecto escala del macizo rocoso gob-ierna la forma como este valor se tiene que calcular. Este se puede calcular como su fueraun material rocoso, un macizo rocoso con una familia de discontinuidades, con dos o masfamilias de discontinuidades, hasta el caso donde se asume nuevamente que el macizo ro-coso es un material continuo donde las discontinuidades le rebajan las propiedades globalesde este. La Figura 6.1 muestra esta situacion.

127

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128 6 Capacidad portante

Fig. 6.1 Efecto escala deuna fundacion en un macizorocoso [72].

Macizo RocosoDiscontinuo

Grupo 1

materialrocoso

con unadiscontinuidad

con dos discontinuidades

muchasdiscontinuidades

macizo rocosodiscontinuo

Grupo 2 Grupo 3

6.1.1 En macizos con muchas familias de discontinuidades

Cuando se tiene un macizo rocoso con muchas familias de discontinuidades, se puede tomarcomo criterio de ruptura el criterio de Hoek–Brown (HB). De este modo se encuentra enlo posible expresiones analıticas de la capacidad portante ultima en funcion de todos oalgunos delos parametros del modelo HB.

Otra forma de encontrar el valor numerico de la capacidad portante ultima del macizo ro-coso es encontrando los parametros equivalentes del modelo de ruptura de Mohr–Coulomb(i.e. el angulo de friccion φ y la cohesion c equivalentes) para el nivel de esfuerzos nor-males representado por la variable σ3n. Y obtenido esos dos valores se emplea las formulasanalıticas tradicionales para la determinacion de la capacidad portante.

6.1.1.1 Capacidad portante con peso despreciable

Se asume que la capacidad portante del macizo rocoso donde no se toma en cuenta el in-cremento del peso del macizo —regido bajo el criterio de Hoek–Brown— esta dada por lacombinacion lineal de dos factores llamados el modulo de resistencia (Anσci) y la compaci-dad (ζn), ambos del macizo rocoso.

De este modoqu = An

(Nβ −ζn

)σci; (6.2)

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6.1 Capacidad portante ultima 129

donde Nβ es el factor de capacidad portante para macizo rocoso con peso despreciable.Las expresiones para An y ζn son

An =mb(1−a)

2−a

a(1−a)−1

, (6.3a)

ζn =s

mbAn. (6.3b)

El valor de Nβ se puede obtener de la expresion de Carter–Kulhawy [9], de la expresionde Serrano et al. [102], o de los abacos de Merifield [72].

La expresion de Carter–Kulhawy para Nβ es

Nβ = sa +(mbsa + s)a ; (6.4)

sin embargo, con esta expresion se obtiene valores altos de Nβ .Para el caso de encontrar Nβ segun las ecuaciones de Serrano et al. se usa el abaco de

la Figura 6.2. O en el caso de encontrar segun el abaco de Marifield se emplea el abacode la Figura 6.3. El valor de Nβ son similares cuando se usa los dos abacos, y no son tandispersos ni grandes como cuando se obtiene con la expresion 6.4.

Fig. 6.2 Abaco para elcalculo de Nβ segun Ser-rano et al. [102].

8

10

12

14

6

4

2

0

Se podrıa expresar las ecuaciones 6.3 en funcion de Gsi y mi en vez de los parametrosa, s y mb, debido a que estos segundos derivan de los primeros.

Una observacion negativa que se tiene con la ecuacion 6.2 es que se obtiene un valor dela capacidad portante ultima del macizo sin tomar en cuenta la relacion de escala que podrıa

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130 6 Capacidad portante

1.6

2.0

2.4

2.8

1.2

0.8

0.4

00 5 10 15 20 25 30 35

10

20

30

40

50

(a) Gsi = {10,20,30,40,50}

16

20

12

8

4

00 5 10 15 20 25 30 35

60

70

80

90

100

(b) Gsi = {60,70,80,90,100}

Fig. 6.3 Abacos para el calculo de Nβ segun Merifield et al. [72].

existir entre el tamano del fundacion y las propiedades geometricas de las discontinuidadespresentes en el macizo rocoso.

Ejercicio 6.1. Un material rocoso de una arenisca tiene el parametro mi = 15 segun elmodelo Hoek–Brown y una resistencia a compresion uniaxial de σci = 74MPa. Si el macizorocoso tiene un Gsi = 60, calcule la capacidad portante ultima del macizo rocoso para lostres criterios de calculo del valor de Nβ : de Carter & Kullhawy, de Serrano y de Merifield;y obtenga la relacion de esos valores respecto del valor mas bajo.

Solucion 6.1. El valor de la capacidad portante ultima sin tomar en cuenta el peso delmacizo rocoso es igual a qu,ck = 24MPa segun el criterio de Carter & Kullhawy; igual aqu,ss = 159MPa segun el criterio de Serrano, y qu,mf = 71MPa segun el criterio de Meri-field.

Las relaciones respecto al valor mınimo de Carter & Kullhawy son de forma respectivaiguales a 6.6 y 3.0 para los valores encontrados por el metodo de Serrano y Merifield.

La solucion en MATLABr es la siguiente.

quCK =unweigthubearingcaphbrockmass( 74, 15, 60, 0, 'CK' );quSS =unweigthubearingcaphbrockmass( 74, 15, 60, 0, 'SS' );quMF =unweigthubearingcaphbrockmass( 74, 15, 60, 0, 'MF' );qu =[quCK, quSS, quMF];quRel =qu /min(qu);display( qu ):display( quRel );

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6.2 Capacidad portante admisible 131

6.1.1.2 Capacidad portante tomando en cuenta el peso del macizo

Merifield y co-investigadores resolvieron el problema de la estimacion de la capacidadportante ultima de zapatas aisladas corridas (i.e. un problema de deformaciones planas)tomando en cuenta el peso del macizo rocoso en el incremento de este valor.

La solucion no es posible obtenerla mediante expresiones analıticas cerradas; de estemodo, los autores la obtuvieron mediante el empleo de un analisis esfuerzo–deformacionesresuelto por metodos numericos usando la envolvente de ruptura de Hoek–Brown. Losresultados lo plantearon en forma de abacos para que pueda ser empleado en la ingenierıapractica.

Se muestra en las Figuras 6.4 y 6.5 los mencionados abacos; estos tienen en el eje deabscisas el parametro mi del modelo HB del material rocoso (no del macizo rocoso), en eleje de ordenadas el parametro de capacidad portante Nσ (donde se toma en cuenta el aportedel macizo rocoso y su peso) y en las isolıneas los distintos valores de dimension uno dela relacion de la resistencia a compresion uniaxial del material rocoso (σci) con el productodel peso unitario (γ) y el ancho de la zapata (B), i.e. σci

γB ; que varıa entre 0.125× 103 y10×103.

6.1.2 En macizos con pocas familias de discontinuidades omnipresentes

Tambien se planteo las expresiones de la capacidad portante admisible para el caso de unmacizo rocoso con al menos una pero menor a cuatro familias de discontinuidades total-mente persistentes y omnipresentes. La suposicion de tener cualquier familia de discon-tinuidades omnipresentes implica en el calculo que la separacion de las discontinuidadesno se toma en cuenta.

6.2 Capacidad portante admisible

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132 6 Capacidad portante

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

5 10 15 20 25 30 35 40

125

250

500

1000

2000500010000

(a) Gsi = 10

5 10 15 20 25 30 35 40

0

0.2

0.4

1.2

0.6

1.4

0.8

1.0

125

250

500

10002000500010000

(b) Gsi = 20

5 10 15 20 25 30 35 40

0

0.2

0.4

1.2

0.6

1.4

0.8

1.0

125

250

50010002000500010000

1.6

1.8

2.0

(c) Gsi = 30

0

0.4

0.8

2.4

1.2

2.8

1.6

2.0

5 10 15 20 25 30 35 40

125

2505001000200010000

(d) Gsi = 40

Fig. 6.4 Abacos para encontrar Nσ de un macizo rocoso HB para 0≤ Gsi < 50.

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6.2 Capacidad portante admisible 133

0

0.5

1.0

3.0

1.5

3.5

2.0

2.5

5 10 15 20 25 30 35 40

125

2505001000

10000

4.0

(a) Gsi = 50

0

1.0

2.0

5.0

3.0

6.0

4.0

5 10 15 20 25 30 35 40

125250500

(b) Gsi = 60

0

2

4

10

6

12

8

5 10 15 20 25 30 35 40

125

(c) Gsi = 80

5 10 15 20 25 30 35 40

125

0

4

8

20

12

24

16

(d) Gsi = 100

Fig. 6.5 Abacos para encontrar Nσ de un macizo rocoso HB para 50≤ Gsi≤ 100.

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Referencias

[1] AKESSON, U.; LINDQVIST, J.; GORANSSON, M. y STIGH, J.: �Relationship be-tween texture and mechanical properties of granites, central Sweden, by use ofimage-analyzing techniques�. Bulletin of Engineering Geology and the Environ-ment, 2001, 60(4), pp. 277–284.

[2] ABOU-SAYED, A.S. y BRECHTEL, C.E.: �Experimental investigation of the effectsof size on the UCS of Cedar City quartz diorite�. En: W.S. Brown; S.J. Green yW.A. Hustrulid (Eds.), Proceedings of the 17th U.S. Symposium on rock mechanics,site characterization, volumen 1, pp. 5D6–1–5D6–6. University of Utah, Snowbirds-Utah, 1976.

[3] AL-AJMI, A.M. y ZIMMERMAN, R.W.: �Relation between the Mogi and theCoulomb failure criteria�. International Journal of Rock Mechanics and MiningSciences, 2005, 42, pp. 431–439.

[4] AMADEI, B.: �Importance of anisotropy when estimating and measuring in-situstresses in rock�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences &Geomechanics Abstracts, 1996, 33(3), pp. 293–325.

[5] AMADEI, B. y PAN, E.: �Gravitational stresses in anisotropic rock masses withinclined strata�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences &Geomechanics Abstractss, 1992, 29(3), pp. 225–236.

[6] AMADEI, B. y SAVAGE, W.Z.: �Analysis of borehole expansion tests in anisotropicrock masses�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences &Geomechanics Abstracts, 1991, 28, pp. 383–396.

[7] AMADEI, B.; SAVAGE, W.Z. y SWOLFS, H.S.: �Gravitational stresses inanisotropic rock masses�. International Journal of Rock Mechanics and MiningSciences & Geomechanics Abstracts, 1987, 24(1), pp. 5–14.

[8] ANGELIER, J.: �Tectonic analysis of fault slip data sets�. Journal of GeophysicalResearch, 1984, 89(B7), pp. 5835–5848.

[9] ANS J.P. CARTER, F.H. KULHAWY: Engineering in rock masses. capıtulo Set-tlement and bearing capacity of foundations on rock masses and socketed faounda-

135

Page 142: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

136 Referencias

tions in rock masses. Numero 7 en Advanced series in geotechnical engineering.Butterworth-Heinemann, Oxford, 1a edicion, 1992.

[10] ASTM D2936-95: �Direct tensile strength of intact rock core specimens�. Informetecnico, PA: ASTM International, Philadelphia, 2006.

[11] ASTM D2938-95: �Standard Test Method for Unconfined Compressive Strengthof Intact Rock Core Specimens�. Informe tecnico, PA: ASTM International,Philadelphia, 2006.

[12] ASTM D5878-08: �Standard Guides for Using Rock-Mass Classification Systemsfor Engineering Purposes�. Informe tecnico, PA: ASTM International, Philadelphia,2008.

[13] BAECHER, G.B. y LANNEY, N.A.: �Trace length biases in joint surveys�. En: Pro-ceedings of the 19th U.S. Symposium on Rock Mechanics (USRMS), Reno- Nevada,1978.

[14] BANDIS, S.C.; LUMSDEN, A.C. y BARTON, N.R.: �Experimental studies of scaleeffects in the shear behavior of rock joints�. International Journal of Rock Mechan-ics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 1981, 18, pp. 1–21.

[15] BENDAT, J.S. y PIERSOL, A.G.: Random data: Analysis and measurement proce-dures. John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, 4a edicion, 2010.

[16] BHAWANI, S.; GOEL, R.K.; MEHROTRA, K.; GARG, S.K. y ALLU, M.R.: �Effectof intermediate principal stress on strength of anisotropic rock mass�. Tunnellingand Underground Space Technology, 1998, 13(1), pp. 71–79.

[17] BIENIASWSKI, Z.T.: �In situ large testing of coal�. Technical Report 5, SouthAfrican Council for Scientific and Industrial Research, 1973.

[18] ——: Engineering rock mass classification. John Wiley & Sons, New York, 1989.[19] BIENIAWSKI, Z.T.: �The effect of the specimen size on compressive strength of

coal�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geome-chanics Abstracts, 1968, 5, pp. 325–335.

[20] BIENIAWSKI, Z.T. y HEERDEN, W.L. VAN: �The significance of in situ test sonlarge rock specimens�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sci-ences & Geomechanics Abstracts, 1975, 12, pp. 101–113.

[21] BOWEN, M.K. y SMITH, R.: �Derivative formulae and errors for non-uniformlyspaced points�. Proceedings of the Royal Society, series A, 2005, 461(2059).

[22] BRADY, B.H.G. y BROWN, E.T.: Rock Mechanics for underground mining. KluwerAcademic Publishers, Dordrecht, 3a edicion, 2005.

[23] BRESLER, B. y PISTER, K.S.: �Failure of plain concrete under combined stresses�.Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1957, 122, pp. 1049–1068.

[24] BROCH, E.: �Changes in rock strength caused by water�. En: Proceedings of the4th ISRM Congress, volumen 1, pp. 71–75. Balkema, Montreux, 1979.

[25] BROCH, E. y FRANKLIN, J.A.: �The Point Load Strength Test�. InternationalJournal Rock Mechanics and Mining Sciences, 1972, 9(6), pp. 669–697.

[26] BRODRICK, T.J. y HARRISON, J.P.: �Using the local degradation approach to as-sess and overcome errors owing to damage in multistage triaxial testing of rock�. En:

Page 143: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

Referencias 137

J.A. Hudson; L.G. Tham; Xua-Ting Feng y A.K.L. Kwong (Eds.), Proceedings ofthe ISRM Sponsored International Symposium on Rock Mechanics: Rock Character-ization, Modelling and Engineering Design Methods, SINOROCK2009, volumen 1,pp. 126–131. The University of Hong Kong, Hong Kong, 2009.

[27] BROWN, E.T. y GONANO, L.P.: �An analysis of size effect behavior in brittlerock�. En: Proceedings of the 2nd Australian and New Zealand Conference on Ge-omechanics, pp. 139–143. Institution of Engineers, Australia, Brisbane, 1975.

[28] BUTCHER, B.M. y PRICE, R.H.: �Estimation of minimum mechanical propertyvalues and sample volume dependence for brittle rock�. En: G. Herget y S. Vong-paisal (Eds.), Proceedings of the International Congress on Rock Mechanics, volu-men 1, pp. 31–37. Canada, 1987.

[29] BUTENUTH, C.; DE FREITAS, M.H.; AL-SAMAHIJI, D.; PARK, H.D.; COSGROVE,J.W. y SCHETELIG, K.: �Observations on the measurement of tensile strength usingthe Hoop test�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences &Geomechanics Abstracts, 1993, 30(2), pp. 157–162.

[30] CHIGIRA, M.: �Long-term gravitational deformation of rocks by mass rock creep�.Engineering Geology, 1992, 32(3), pp. 157–184.

[31] COATES, D.F.: �Classification of rocks for rock mechanics�. Rock Mechanics andMining Sciences, 1964, 1, pp. 421–429.

[32] COLBACK, P.S.B. y WIID, B.L.: �The influence of moisture content on the com-pressive strength of rock�. En: Proceedings of the Symposium Rock Mechanics, pp.65–83. Toronto, 1965.

[33] COVIELLO, A.; LAGIOIA, R. y NOVA, R.: �On the Measurement of the TensileStrength of Soft Rocks�. Rock Mechanics and Rock Engineering, 2005, 38(4), pp.251–273.

[34] DA SILVA, L.A. AYRES y BORN, H.: �The definition of intact rock and its appli-cation to the determination of the smallest spacing between discontinuities in rockmasses�. En: A. Pinto da Cunha (Ed.), Proceedings of the 2nd International Work-shop on Scale Effects in Rock Masses, pp. 211–216. Balkema, Lisbon, 1993.

[35] DA SILVA, L.A. AYRES y HENNIES, W.T.: �A methodology for rock mass com-pressive strength characterization from laboratory tests�. En: A. Pinto da Cunha(Ed.), Proceedings of the 2nd International Workshop on Scale Effects in RockMasses, pp. 217–224. Balkema, 1993.

[36] DEERE, D.U. y MILLER, R.P.: �Engineering classifications and index propertiesof intact rock�. Technical Report AFWL-TR 65-116, University of Illinois, 1966.

[37] DERSHOWITZ, W.S.: Rock joint systems. Ph.d. thesis, Massachusetts Institute ofTechnology, Cambridge, MA, 1984.

[38] DERSHOWITZ, W.S.; LEE, G.; GEIER, J.; HITCHCOCK, S. y LAPOINTE, P.: Frac-Man version 2.306: Interactive discrete feature data analysis, geometric modelling,and exploration simulation. Golder Associates Inc., Seattle, Washington, 1993.

Page 144: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

138 Referencias

[39] DHIR, R.K. y SANGHA, C.M.: �Relationships between size-deformation andstrength for cylindrical specimens loaded in uniaxial compression�. InternationalJournal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1973, 10, pp. 699–712.

[40] DILEK, Y.; FURNES, H. y MUEHLENBACHS, K. (Eds.): Links between geologicalprocesses, microbial activities and evolution of life: Microbes and Geology. volu-men 4 de Modern approaches in solid earth sciences. Springer, Heidelberg, 2008.ISBN 978-1-4020-8306-8.

[41] DRUCKER, D.C. y PRAGER, W.: �Soil mechanics and plastic analysis of limitdesign�. Quarterly of Applied Mathematics, 1952, 10(2), pp. 157–165.

[42] EINSTEIN, H.H. y BAECHER, G.B.: �Probabilistic and statistical methods in en-gineering geology: Specific methods and examples, Part I: Exploration�. Rock Me-chanics and Rock Engineering, 1983, 16(1), pp. 39–72.

[43] FAIRHURST, C.: �Laboratory measurement of some physical properties of rock�.En: Proceedings of the 4th Symposium on Rock Mechanics, pp. 105–118. Pennsyl-vania, 1961.

[44] FLOREZ CARDONA, C.: Analisis espectral y fractal de la rugosidad superficial delas discontinuidades en un macizo rocoso y su relacion con la conductividad hi-udraulica. Msc. thesis, Postgrado en Aprovechamiento de Recursos Hıdricos, Uni-versidad Nacional de Colombia, Medellın, Colombia, 2014.

[45] GEOLOGICAL SOCIETY ENGINEERING GROUP WORKING PARTY: �Report on thelogging of rock cores for engineering purposes�. Quarterly Journal of EngineeringGeology & Hydrogeology, 1971, 3, pp. 1–24.

[46] GOODMAN, R.: Introduction to rock mechanics. John Wiley & Sons, New York,seconda edicion, 1989.

[47] GRIFFITH, A.A.: �The phenomena of rupture and flow in solids�. PhilosophicalTransactions of the Royal Society, 1921, A(221), pp. 163–197.

[48] ——: �Theory of rupture�. En: Proceedings of the 1st Congress of Applied Me-chanics, Delft, 1924.

[49] HAKALA, M.; KUULA, H. y HUDSON, J.A.: �Estimating the transversely isotropicelastic intact rock properties for in situ stress measurements data reduction: A casestudy of Finland�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2007, 44, pp. 14–46.

[50] HAWKES, I. y MELLOR, M.: �Uniaxial testing in rock mechanics laboratories�.Engineering Geology, 1970, 4, pp. 177–285.

[51] HODGSON, K. y COOK, N.G.W.: �The effects of size and stress gradient on thestrength of rock�. En: Proceedings of the 2nd Congress of the ISRM, volumen 2, pp.31–34. Belgrade, 1970.

[52] HOEK, E. y BRAY, J.W.: Rock slope engineering. The Institution of Mining andMetallurgy, London, 3a edicion, 1981.

[53] HOEK, EVERT y BROWN, EDWIN T.: �Empirical strength criterion for rockmasses�. Journal of the Geotechnical Engineering Division, 1980, 106(GT9), pp.1013–1035. Art. 15715.

Page 145: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

Referencias 139

[54] HUDSON, J.A. y HARRISON, J.P.: Engineering rock mechanics: an introduction tothe principles. Pergamon, Oxford, 1a edicion, 1997.

[55] HUSTRULID, W.: �A review of coal pillar strength formulas�. Rock Mechanics,1976, 8, pp. 115–185.

[56] ISO14689: �Draft standard on geotechnics in civil engineering- Identification anddescription of rock�. Draft Standard 14689, International Organization for Stan-dardization, Geneva- Switzerland, 1997.

[57] ISRM: �Suggested methods for determining the uniaxial compressive strength ofrock materials and the point load strength index�. Technical report, Commission onstandardization of laboratory and field tests, International Society Rock Mechanics,Lisbon, 1972.

[58] ——: �Suggested method for basic geotechnical description of rock masses�. Tech-nical report, Commission on standarization of laboratory and field tests, Interna-tional Society for Rock Mechanics, Lisbon, 1981.

[59] JACKSON, R. y LAU, J.S.O.: �The effect of specimen size on the laboratory me-chanical properties of Lac du Bonnet grey granite�. En: Proceedings of the 1stInternational Workshop on Scale effects in rock masses, pp. 165–174. Loen, 1990.

[60] JAEGER, J.C.: �Shear failure of anisotropic rocks�. Geological Magazine, 1960,97, pp. 65–72.

[61] JAEGER, J.C. y COOK, N.G.W.: Fundamentals of rock mechanics. Chaman & Hall,London, thirda edicion, 1979.

[62] JAEGER, J.C.; COOK, N.G.W. y ZIMMERMANN, R.W.: Fundamentals of rockmechanics. Blackwell Publishing, Oxford, fourtha edicion, 2007.

[63] JOHN, M.: �Properties and Classification of Rocks with reference to Tunneling�.MEG 1020, NMERE Council of Scientific & Industrial Research, Pretoria SouthAfrica, 1971.

[64] KOSTAK, B. y BIELENSTEIN, H.U.: �Strength distribution in hard rock�. Interna-tional Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1971, 8, pp. 501–521.

[65] KRAMADIBRATA, S. y JONES, I.O.: �Size effect on strength and deformabilityof brittle intact rock�. En: A. Pinto da Cunha (Ed.), Proceedings of the SecondInternational Workshop on Scale Effects in Rock Masses, pp. 277–284. Balkema,1993.

[66] LASHKARIPOUR, G.R.: �Predicting mechanical properties of mudrock from indexparameters�. Bulletin of Engineering Geology and the Environment, 2002, 61, pp.73–77.

[67] LEAL GOMES, M.J.: �Rock mass sampling conditions needed to overcome thescale effect�. En: A. Pinto da Cunha (Ed.), Proceedings of the Second InternationalWorkshop on Scale Effects in Rock Masses, pp. 199–204. Balkema, 1993.

[68] LUNDBORG, N.: �The strength-size relation of granite�. International Journal ofRock Mechanics and Mining Sciences, 1967, 4, pp. 269–272.

Page 146: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

140 Referencias

[69] LUO, J.: �Numerical differentiation based on wavelet transforms�.http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/13948-numerical-differentiation-based-on-wavelet-transforms, 2007.

[70] MCCLINTOCK, F.A. y WALSH, J.B.: �Friction on Griffith cracks under pressure�.En: Proceedings of the 4th U.S. National Congress of Applied Mechanics, Universityof California at Berkeley, Berkeley, 1962.

[71] MCLAMORE, R.T.: Strength-deformation characteristics of anisotropic sedimen-tary rocks. Ph.d. thesis, University of Texas, Austin, TX, 1966.

[72] MERIFIELD, R.S.; LYAMIN, A.V. y SLOAN, S.W.: �Limit analysis solutions forthe baring capacity of rock masses using the generalized Hoek-Brown criterion�.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2006, 43, pp. 920–937.

[73] MOGI, K.: �The influence of the dimensions of specimen on the fracture strengthof rocks�. Bulletin of the Earthquake Research Institute, 1962, 40, pp. 175–185.

[74] MURREL, S.A.F.: �The effect of triaxial stress system on strength of rocks at at-mospheric temperatures�. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society,1965, 10, pp. 231–281.

[75] MYERS, N.O.: �Characterization of surface roughness�. Wear, 1962, 5(3), pp.182–189.

[76] NASSERI, M.H.B.; RAO, K.S. y RAMAMURTHY, T.: �Anisotropic strength anddeformational behavior of Himalayan schist�. International Journal of Rock Me-chanics and Mining Sciences, 2003, 40(1), pp. 3–23.

[77] NATAU, O.; FROLICH, B.O. y MUTSCHLER, T.O.: �Recent development of thelarge triaxial test�. En: Proceedings of the ISRM Congress, volumen 1, pp. A65–A74. Melbourne, 1983.

[78] NEVES DE SOUSA (JR.), N.: �O entablamento (parte 1): propriedades tecnologicase caracterizacao mecanica da rocha intacta�. En: Memorias do 1◦ SimposioBrasileiro de Mecanica das Rochas, pp. 73–78. Foz de Iguacu, 1994.

[79] ——: �O entablamento (parte 2): modelo estrutural e comportamento geomecanicodo macico rochoso�. En: Memorias do 1◦ Simposio Brasileiro de Mecanica dasRochas, pp. 79–83. Foz de Iguacu, 1994.

[80] NORTHUP, D.E.; BARNS, S.M.; YU, L.E.; SPILDE, M.N.; SCHELBLE, R.T.;DANO, K.E.; CROSSEY, L.J.; CONNOLLY, C.A.; BOSTON, P.J.; NATVIG, D.O.y DAHM, C.N.: �Diverse microbial communities inhabiting ferromanganese de-posits in Lechuguilla and Spider caves�. Environmental Microbiology, 2003, 5(11),pp. 1071–1086.

[81] OBERT, L.; WINDES, S.L. y DUVALL, W.I.: �Standardized tests for determiningthe physical properties of mine rock�. Informe tecnico RI-3891, Bureau of MinesU.S. Department of the Interior, 1946.

[82] OVERT, D.: Rock mechanic and the design of structures in rock. Wiley, New York,1981.

Page 147: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

Referencias 141

[83] PALMSTROM, A.: RMi- a rock mass characterization system for rock engineeringpurposes. Ph.d. thesis, Department of Geology, University of Oslo, Norway, 1995.

[84] PAN, E.; AMADEI, B. y SAVAGE, W.Z.: �Gravitational stresses in long symmetricridges and valleys in anisotropic rock�. International Journal of Rock Mechanicsand Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 1994, 31(4), pp. 293–312.

[85] ——: �Gravitacional and tectonic stresses in anisotropic rock with irregulartopography�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences &Geomechanics Abstracts, 1995, 32(3), pp. 201–214.

[86] PARISEAU, W.G.: �Fitting failure criteria to laboratory strength tests�. Interna-tional Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2007, 44, pp. 637–646.

[87] PECK, R.B.: �Memorial to Ruth Doggett Terzaghi 1903-1992�. The GeologicalSociety of America Magazine, 1993, 16, pp. 91–92.

[88] PETIT, J.-P.; MASSONNAT, G.; PUEO, F. y RAWNSLEY, K.: �Rapport de formedes fractures de mode 1 dans les roches stratifiees: Une etude de cas dans le BassisPermian de Lodeve (France)�. Bulletin du Centre de Recherches Elf ExplorationProduction, 1994, 18, pp. 211–229.

[89] POOR, H.V.: An introduction to signal detection and estimation. Springer Texts inElectrical Engineering. Springer, Heidelberg, 2a edicion, 1994.

[90] PRATT, H.R.; BLACK, A.D.; BROWN, E.T. y BRACE, W.F.: �The effect of speci-men size on the mechanical properties of un-jointed diorite�. International Journalof Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts, 1971, 9, pp.513–529.

[91] PRICE, R.H.: �Effects of simple size on the mechanical behaviour of TopopahSpring tuff�. Technical Report SAND85-07, Geomechanics Division, Sandia Na-tional Laboratories, Albuquerque, New-Mexico, 1985.

[92] RAMAMURTHY, T.: Comprehensive Rock Engineering, principle practice andprojects. volumen 1, capıtulo Strength and modulus responses of anisotropic rocks,pp. 313–329. Pergamon Press, Oxford, 1993.

[93] REEVES, M.J.: �Rock surface roughness and frictional strength�. InternationalJournal of Rock Mechanics Mining Sciences and Geoemchanics Abstracts, 1985,22(6), pp. 429–442.

[94] RODRIGUES, F. PERES: �Influence of the scale effect over rock mass safety againstdeformability�. Memoria 460, Laboratorio Nacional de Engenharia Civil, Lisbon,1974.

[95] RODRIGUEZ, G.; GONZALEZ, H. y ZAPATA, G.: �Complejo El Retiro, coordilleracentral, Colombia�. Boletın de Ciencias de la Tierra, 2008, 22, pp. 101–121.

[96] RUIZ, M.D.: �Some technological characteristics of twenty-six Brazilian rocktypes�. En: Proceedings of the 1st Congress of the International Society of RockMechanics, volumen 1, pp. 115–119. Laboratorio Nacional de Engenharia Civil, Lis-bon, 1966.

Page 148: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

142 Referencias

[97] RUTQVIST, J.: �A method to determine stress-transmissivity relationship of jointsfrom hydraulic field testing�. En: Proceedings of the 8th Congress InternationalSociety of Rock Mechanics, pp. 755–758. ISRM, A.A. Balkema, Tokio Japan, 1995.

[98] SALUSTOWICZ, A.: Zarys mekaniki gorotworu Katowice. Wydawnictwo Slask,1965.

[99] SAROGLOU, H. y TSIAMBAOS, G.: �Point load strength of anisotropic rocks�. En:A. Van Cotthem; R. Charlier; J.-F. Thimus y J-P. Tshibangu (Eds.), Proceedings ofthe European Regional ISRM Conference, Eurock 2006, 603-607, pp. 603–607. Liege University, Belgian Committee of Engineering Geology, French National ISRMGroup, Taylor & Francis, Liege, 2006.

[100] SCHAEBEN, H.: �A new cluster algorithm for orientation data�. MathematicalGeology, 1984, 16(2), pp. 139–153.

[101] SCHULZE-MAKUCH, D.; CARLSON, D.A.; CHERKAUER DOUGLAS, S. y MALIK,P.: �Scale dependency of hydraulic conductivity in heterogeneous media�. GroundWater, 1999, 37(6), pp. 904–919.

[102] SERRANO, A.; OLALLA, C. y GONZALEZ, J.: �Ultimate bearing capacity of rockmasses based on the modified Hoek—Brown criterion�. International Journal ofRock Mechanics and Mining Sciences, 2000, 37(6), pp. 1013–1018.

[103] SESHAGIRI-RAO, K.; VENKATAPPA-RAO, G. y RAMAMURTHU, T.: �Discussionof paper by K.L. Gunsallus and F.H. Kulhawy- A comparative evaluation of rockstrength measures�. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences& Geomechanics Abstracts, 1987, 24(3), pp. 193–196.

[104] SHANLEY, R.J. y MATHAB, M.A.: �Delineation and analysis of centers in orien-tation data�. Mathematical Geology, 1976, 8(1), p. 45170.

[105] SUAREZ-BURGOA, L.O.: Rock mass mechanical behavior assessment at the PorceIII underground hydropower central, Colombia South America. Msc. thesis, Facul-tad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Medellın, Colombia, 2008.

[106] ——: Descripcion del macizo rocoso: introduccion a la ingenierıa de rocas desuperficie y subterranea. El Autor, Medellın, 2a edicion, 2014. Electronic edition.

[107] TERZAGHI, R.D.: �Source of error in joint surveys�. Geotechnique, 1965, 15(3),pp. 287–304.

[108] TSE, R. y CRUDEN, D.M.: �Estimating joint roughness coefficients�. InternationalJournal of Rock Mechanics Mining Sciences, 1979, 16(5), pp. 303–307.

[109] TSIDZI, K.: �A quantitative petrographic characterization of metamorphic rocks�.Bulletin of the International Association of Engineering Geology, 1986, 33, pp. 3–12.

[110] ——: �Foliation index determination for fine-grained metamorphic rocks�. Bulletinof the International Association of Engineering Geology, 1997, 37, pp. 81–88.

[111] ——: �Propagation characteristics of ultrasonic waves in foliated rocks�. Bulletinof the International Association of Engineering Geology, 1997, 56, pp. 103–113.

[112] TSUR-LAVIE, Y. y DENEKAMP, S.A.: �Comparison of size effect for differenttypes of strength tests�. Rock Mechanics, 1982, 15, pp. 234–254.

Page 149: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE

Referencias 143

[113] VENEZIANO, D.: �Probabilistic model of joints in rock�. Internal report, Mas-sachusetts Institute of Technology, Massachusetts, 1979.

[114] VON KAMAN, TH.: �Festigkeitsversuche unter allseitigem Druck�. Zeitschrift desVereins Deutscher Ingenieure, 1911, 55(42), pp. 1749–1757.

[115] WAGNER, H.: �Design and support of underground excavations in highly stressedrock�. En: G. Herget y S. Vongpaisal (Eds.), Proceedings of the 6th InternationalCongress on Rock Mechanics, volumen 3, pp. 1443–1456. International Society ofRock Mechanics, Balkema, Rotterdam, Montreal, 1987. Theme 4.

[116] WARBURTON, P.M.: �A stereological interpretation of joint trace data�. Interna-tional Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1980, 17, pp. 181–190.

[117] WEIBULL, W.: Generalstabens Litografiska Anstalts Forlag. capıtulo A statisticaltheory of the strength of material. 151. Ingeniors Vetenskaps Akademiens, Stock-holm, 1939.

[118] WOROTNICKI, G.: Comprehensive rock engineering excavation, support and mon-itoring. capıtulo CSIRO triaxial stress measurement cell, pp. 329–394. Pergamon,Oxford, 1993.

[119] ZHANG, L. y EINSTEIN, H.H.: �The planar shape of rock joints�. Rock Mechanicsand Rock Engineering, 2010, 43, pp. 55–68. Doi: 10.1007/s00603-009-0054-0.

[120] ZHOU, W. y MAERZ, N.H.: �Multivariate clustering analysis of discontinuity data:implementatin and applications�. En: Proceedings of the 38th U.S. Rock MechanicsSymposium: Rock Mechanics in the National Interest, pp. 861–868. Washington,DC, 2001.

Page 150: MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSOgeomecanica.org/publications/files/mono_files/enElaboracion/... · MECANICA DEL MACIZO´ ROCOSO INTRODUCCION A LA INGENIER´ ´IA DE ROCAS DE SUPERFICIE
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Referencias 145

Primer examen parcial de Mecanica de Rocas (pregrado) 300 7414-2

Fecha, horas, lugar: 24/03/2015, de 08:00 a 10:00, presencial aula M1-121 Fac. Minas UN.Nombre: .Documento: .

6.1. (1 12 puntos) Cite los nombres de dos rocas para cada uno de los siguientes grupos

de clasificacion: regolitos, rocas sedimentarias, rocas metamorficas, rocas ıgneas, rocasvolcanicas y rocas en zona de falla. Luego de que haya citado esos nombres, descrıbalasde forma breve y finalmente especifique en que region del territorio colombiano podrıaencontrarlas.

6.2. (1 12 puntos) En un punto dentro de un material rocoso se tiene el siguiente tensor de

esfuerzos en mega pascales

S=

6.4 3.2 2.13.2 4.6 0.92.1 0.9 3.1

. (6.5)

Obtenga el mismo estado es esfuerzos pero representado por la tripleta (σoct,τoct,ψ).

6.3. (2 puntos) Se tiene los siguientes ensayos de laboratorio de una Dunita en las cercanıasde la ciudad de Medellın, tal como se muestra en la siguiente tabla. Se solicita que encuentrelos parametros mci y σci del criterio de ruptura de Hoek-Brown del material rocoso.

La forma general de la ecuacion del criterio es

(σ1−σ3)2 = Ahb +Bhbσ3; (6.6)

donde Bhb = mciσci y Ahb = σ2ci.

Cuerpode prueba

σ1 en MPa σ2 en MPa σ3 en MPa

1 110.95 10.00 10.002 182.47 15.00 15.003 229.55 10.00 10.004 170.34 15.00 15.005 217.69 10.00 10.006 316.47 15.00 15.007 340.68 15.00 15.008 129.13 5.00 5.009 130.88 5.00 5.00

Cuerpode prueba

σ1 en MPa σ2 en MPa σ3 en MPa

10 204.44 15.00 15.0011 301.07 10.00 10.0012 217.61 0.00 0.0013 22.96 0.00 0.0014 75.89 0.00 0.0015 0.00 0.00 -15.5516 0.00 0.00 -5.6117 0.00 0.00 -16.4318 0.00 0.00 -6.72

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Indice

gateo hidraulico, 1

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