Mecanica Del Medio Continuo-Problemas Resueltos
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PROBLEMAS RESUELTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
Eduardo W. V. Chaves
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23
2
22
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21121
22
21
22211
12
21
4242
42
42
01622
024
42
axaxaxax
axax
axax
axaxax
axaxaxax
( )( )( ) ( )
+==
=
=
=
=
212
21121
22
21
22211
12
21
4242
42
42
01622
024
42
axaxaxax
axax
axax
axaxax
axaxaxax
-
Nomenclature
III
EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES
Problemas Resueltos deMecanica del Medio Continuo
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
IV
-
Presentacin
Presentacion
Conveccin
-difusin
Flujo
Tem
pera
tura
Mec
. de
Sue
los
Slid
os
Flu
idos
Tensores
Cinemtica del continuo
Tensiones
Ecuaciones Fundamentales de MMC
Ecuaciones Constitutivas Mov. Slido Rgido
PCVI y tratamiento numrico
Estructuras
Placas
Vigas
Hidr
ulic
a
-
Contenido
PRESENTACIN ................................................................................................................................................V CONTENIDO...................................................................................................................................................VII NOMENCLATURA ........................................................................................................................................... IX OPERADORES...............................................................................................................................................XIII UNIDADES .................................................................................................................................................... XIV 1 TENSORES....................................................................................................................................................1 1.1 EJERCICIOS RESUELTOS....................................................................................................................1 1.1.1 Vectores, Notacin Indicial...................................................................................................................1 1.1.2 Operaciones con Tensores de Orden Superior .................................................................................9 1.1.3 Transpuesta............................................................................................................................................14 1.1.4 Simetra y Antisimetra .........................................................................................................................14 1.1.5 Cofactor. Adjunta. Traza. Tensores Particulares. Determinante ..................................................18 1.1.6 Descomposicin Aditiva de Tensores...............................................................................................24 1.1.7 Ley de Transformacin. Invariantes. .................................................................................................25 1.1.8 Autovalores y Autovectores................................................................................................................31 1.1.9 Representacin Espectral ....................................................................................................................38 1.1.10 Teorema de Cayley-Hamilton...........................................................................................................42 1.1.11 Tensores Istropos y Anistropos ..................................................................................................44 1.1.12 Descomposicin Polar.......................................................................................................................44 1.1.13 Tensor Esfrico y Desviador ............................................................................................................45 1.1.14 Otros.....................................................................................................................................................46 1.1.15 Funcin de Tensores. Campo de Tensores. ...................................................................................47 1.1.16 Teoremas con Integrales ...................................................................................................................57 1.2 EJERCICIOS PROPUESTOS...............................................................................................................59 2 CINEMTICA DEL CONTINUO........................................................................................................65 2.1 EJERCICIOS RESUELTOS..................................................................................................................65 2.1.1 Descripcin del Movimiento, Derivada Material, Velocidad, Aceleracin..................................65 2.1.2 Tensores de Deformacin Finita, Deformacin Homognea.......................................................89 2.1.3 Descomposicin Polar del Gradiente de Deformacin ...............................................................121 2.1.4 Deformacin Infinitesimal ................................................................................................................142 2.2 EJERCICIOS PROPUESTOS.............................................................................................................152 3 TENSIONES .............................................................................................................................................157 3.1 EJERCICIOS RESUELTOS................................................................................................................157 3.1.1 Fuerza, Tensor de Tensiones, Vector Tensin ..............................................................................157 3.1.2 Ecuacin de Equilibro, Tensiones y Direcciones Principales .....................................................162 3.1.3 Otras Medidas de Tensin ................................................................................................................170 3.1.4 Mxima Tensin de Corte, Crculo de Mohr .................................................................................171 3.1.5 Particularidades del Tensor de Tensiones.......................................................................................179 3.1.6 Estado Tensional en Dos Dimensiones..........................................................................................192
Contenido
-
PROBLEMAS RESUELTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
VIII
3.1.7 Tensiones En Coordenadas Cilndricas y Esfricas...................................................................... 198 3.2 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................ 202 4 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECNICA DEL MEDIO CONTINUO................... 207 4.1 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................... 207 4.2 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................ 218 5 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS .................................................. 219 5.1 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................ 219 5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................ 224 7 ELASTICIDAD LINEAL....................................................................................................................... 225 7.1 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................... 225 7.2 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................ 280 11 FLUIDOS................................................................................................................................................. 283 11.1 Ejercicios Resueltos.............................................................................................................................. 283 11.2 Ejercicios Propuestos........................................................................................................................... 296
-
Nomenclatura
),( tXArr
Aceleracin (configuracin de referencia) A Matriz de transformacin de base
),( txa rr Aceleracin (configuracin actual) 0B Medio continuo en la configuracin de referencia en 0=t B Medio continuo en la configuracin actual, en t B Contorno de B
),( txrrb Fuerzas msicas (por unidad de masa) b Tensor izquierdo de deformacin de Cauchy-Green, tensor de deformacin
de Finger B Tensor de deformacin de Piola B Entropa creada interiormente b Manantial de entropa local por unidad de masa y por unidad de tiempo eC Tensor constitutivo elstico
[ ]C Matriz elstica (notacin de Voigt) inC Tensor constitutivo inelstico c Tensor de deformacin de Cauchy vC Calor especfico a volumen constante pC Calor especfico a presin constante
c Cohesin cc Concentracin C Tensor derecho de deformacin de Cauchy-Green VD Deformacin volumtrica D Tensor velocidad de deformacin o tensor tasa de deformacin o tensor tasa
de deformacin Euleriana o tensor estiramiento Ard Diferencial de rea en la configuracin de referencia ard Diferencial de rea en la configuracin actual dV Diferencial de volumen E Tensor material de deformacin Green-Lagrange, tensor de deformacin de
Green, tensor de deformacin Green-St. Venant e Tensor de deformacin finita Euleriana o tensor de deformacin de AlmansiE Mdulo de elasticidad longitudinal o mdulo de Young ie Base Cartesiana en notacin simblica kji ,, Base Cartesiana
F Gradiente de deformacin G Mdulo de elasticidad transversal
Notacion
-
PROBLEMAS RESUELTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
X
H Tensor de deformacin de Biot H Entropa J Jacobiano
),( tXr
J Tensor gradiente espacial de los desplazamientos ),( txrj Tensor gradiente material de los desplazamientos
K Tensor de conductividad trmica K Energa cintica Lr
Cantidad de movimiento lineal l Tensor gradiente espacial de velocidad m Masa total M Tensor de tensiones de Mandel n Vector unitario normal a una superficie (configuracin actual) N Vector unitario normal a una superficie (configuracin de referencia)
ONr
Momento angular pr
Fuerza por unidad de volumen P Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, tensor de tensiones
nominales o tensor de tensiones Lagrangiano p Presin media p Presin termodinmica
)(tP Potencia mecnica ),( txr
rq Flujo de calor o vector del flujo no convectivo Q Tensor ortogonal Q Potencia calorfica
),( tr xr Funcin escalar que describe en forma espacial el calor generado por las fuentes internas por unidad de masa
R Tensor ortogonal de la descomposicin polar S Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff sr Flujo de entropa T Tensor de tensiones de Biot
),,()( nt n txrr
Vector traccin (configuracin de referencia) )(
0Nt
r Pseudo vector tensin (configuracin de referencia) ),( tT xr Temperatura
t Tiempo 00 = tt Tiempo inicial
U& Potencia tensional u Energa interna especfica o densidad de energa interna
),( txrru Vector desplazamiento U Tensor derecho de estiramiento, o tensor de estiramiento Lagrangiano, o
tensor de estiramiento material V Tensor izquierdo de estiramiento, o tensor de estiramiento Euleriano, o
tensor de estiramiento espacial ),( tXV
rr Velocidad (configuracin de referencia)
),( txv rr Velocidad (configuracin actual) W Tensor spin o tensor velocidad de rotacin Xr
Vector posicin coordenada material xr Vector posicin coordenada espacial
-
NOTACIN
XI
Coeficiente de transferencia trmica de calor convectivo por unidad de rea ij Delta de Kronecker
321 ,, Deformaciones principales Alargamiento unitario ijk Smbolo de permutacin, componentes del tensor Levi-Civita V Deformacin volumtrica (para pequeas deformaciones) Tensor de deformacin infinitesimal Densidad de entropa por unidad de masa y por unidad de tiempo Mdulo de deformacin volumtrico Difusividad trmica Estiramiento , Constante de Lam
Multiplicador de Lagrange Coeficiente de Poisson Densidad de masa S Densidad de masa de la solucin f Densidad de masa del fluido
),(0 txr Densidad de masa en la configuracin de referencia
),( txr Densidad de masa en la configuracin actual Tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas N
r Componente normal del vector traccin
Sr
Componente tangencial del vector traccin m Tensin media
321 ,, Tensiones principales
octr
Tensin normal octadrica oct
r Tensin tangencial octadrica o tensin de corte octadrica max Tensin de corte mximo Tensor de tensiones de Kirchhoff ngulo de friccin interno Energa libre de Helmholtz por unidad de masa Energa libre de Helmholtz por unidad de volumen (densidad de energa)
e =)( Densidad de energa de deformacin ngulo de dilatancia Tensor tasa del tensor de rotacin material r
Tensor de vorticidad IIIIII ,, Primer, segundo y tercer invariantes del tensor
&DtD Derivada material de
r Vector Vector unitario (versor) 1 Tensor identidad de segundo orden I Tensor identidad de cuarto orden
IsymI Parte simtrica del tensor identidad de cuarto orden
-
Operadores
2+
= parntesis de MacAuley
norma Euclidiana de )(Tr traza de )(
T)( transpuesta de )( 1)( inversa de )( T)( inversa de la transpuesta de )( sym)( parte simtrica de )( anti)( parte antisimtrica de )( esf)( parte esfrica de )( o parte hidrosttica dev)( parte desviadora de )(
mdulo de [ ][ ] salto de producto escalar
( ) det determinante de ( ) )(cof Cofactor de ;
( )Adj adjunta de ( ) ( )Tr traza de ( )
: doble producto escalar 2 operador diferencial escalar (Laplaciano)
producto tensorial )( grad gradiente de )( div divergencia de
producto vectorial
Operadores
-
Unidades
longitud m - metro energa, trabajo, calor NmJ = - Joules
masa kg - kilogramo potencia WsJ watio
tiempo s - segundo coeficiente de transferencia de calor KmW
2
temperatura K - Kelvin permeabilidad 2m
velocidad sm viscosidad dinmica
sPa
aceleracin 2sm tasa de flujo
sm3
energa NmJ = - Joules conductividad trmica: mKW
fuerza N - Newton frecuencia Hzs1 Hertz
presin, tensin 2mNPa - Pascal densidad de masa 3m
kg
densidad de energa 3mJ
Prefijo Smbolo Potencia 10
Prefijo Smbolo Potencia 10
pico p 1210 kilo k 310 nano 910 Mega M 610 micro 610 Giga G 910 mili m 310 Tera T 1210 centi c 210 deci d 10
Unidades (SI)
-
A THREE DIMENSIONAL SETTING FOR STRONG DISCONTINUITIES MODELLING IN FAILURE MECHANICS
XIV
-
1 Tensores
1.1 Ejercicios Resueltos
1.1.1 Vectores, Notacin Indicial
Ejemplo 1.1
Probar que si ar
y br
son vectores se cumple que:
( ) ( ) ( )( ) ( )2babbaababa rrrrrrrrrr = Solucin:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )2222222
222222
22222
22
cos
cos cos1 sin
sin
babbaa
babababa
babababa
babababa
rrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
===
=====
donde hemos considerado que 2aaarrr = y 2bbb rrr = .
Ejemplo 1.2
Probar que: si bacrrr += , el mdulo de cr puede ser expresado a travs de la siguiente relacin:
22cos 2 bbaac
rrrrr ++=
donde es el ngulo que forman los dos vectores ar y br .
La notacin indicial fue introducida por Einstein (1916, sec. 5), who later jested to a friend, "I have made a great discovery in mathematics; I have suppressed the summation sign every time that the summation must be made over an index which occurs twice..." (Kollros 1956; Pais 1982, p. 216). Ref. (Wolfram MathWorld (Einstein Summation))
-
PROBLEMAS RESUELTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
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2
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Solucin: Partiendo de la definicin del mdulo de un vector se cumple que:
( ) ( ) bbabbaaabababa rrrrrrrrrrrrrr +++=++=+ 2 Teniendo en cuenta que 2aaa
rrr = , 2bbb rrr = y que abba rrrr = (conmutativo), concluimos que:
22
22
2
cos 2
2
bbaa
bbaa
bbabbaaaba
rrrr
rrrr
rrrrrrrrrr
++=++=
+++=+
con lo cual demostramos que 22
cos 2 bbaabarrrrrr ++=+ . Luego es de fcil
demostracin que 22
cos 2 bbaabarrrrrr += .
NOTA: Partiendo de la expresin 222
2 bbaabarrrrrr ++=+ podemos concluir que el
valor 2
barr + ser mximo cuando 0= resultando que
( )222
222
2
2
ba
bbaa
bbaaba
rr
rrrr
rrrrrr
+=++=
++=+
Luego para cualquier otro valor de 1800 < el valor ba rr + ser menor que ba rr + . luego, baba
rrrr ++ :
De forma anloga se puede demostrar que bcarrr + y cab rrr + que es la conocida
desigualdad triangular, donde se cumple que:
br
ar
0= br
ar
babarrrr +=+
a
b c
a
-
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Ejemplo 1.3
Verificar si para las siguientes transformaciones = E)( y 221)( = E son
transformaciones lineales. Solucin: [ ] )()()( 21212121 +=+=+=+ EEE (transformacin lineal)
La transformacin 221)( = E se demuestra fcilmente que no es una transformacin lineal
ya que:
[ ] [ ]
)()()()(
221
21
21
221
21)(
212121
2122
21
2221
21
22121
+++=++=
++=+=+
E
EEE
EE
)(
21 + 2 1
)( 2
)( 1
)()()( 2121 +=+
21 + 1 2
)(
)( 21 +
)( 2
)( 1
)()( 21 +
-
PROBLEMAS RESUELTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
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Ejemplo 1.4 Considrense los puntos ( )1,3,1A , ( )1,1,2 B , ( )3,1,0C y ( )4,2,1D . Se pide:
1) Encontrar el rea del paralelogramo definido por
AB y
AC ;
2) Encontrar el volumen del paraleleppedo definido por:
AB ,
AC y
AD ;
3) Encontrar el vector proyeccin del vector
AB sobre el vector
BC . Solucin:
1) Primero se calculan los vectores
AB y
AC :
( ) ( ) kjikjikji 041131112 +=+++=== OAOBABar ( ) ( ) kjikjikji 221131310 +=++++=== OAOCACbr
Utilizando la definicin del producto vectorial se obtiene el producto vectorial:
kjikji
)6(2)8(221041
+== ba rr
El rea del paralelogramo ser igual al mdulo del vector resultante del producto vectorial:
104)6()2()8( 222 =++== ba rrA (unidades cuadradas)
2) Calculando vector
AD :
( ) ( ) kjikjikji 310131421 +=++++=== OAODADcr Utilizando la definicin:
( ) ( ) ( )cbicas) (unidades 161820
628310 ),,(
=+=+== kjikjibaccba rrrrrrV
3) A continuacin calculamos el vector
BC :
( ) ( ) kjikjikji 222112310 ++=+++== OBOCBC Luego el vector proyeccin de
AB sobre
BC viene dado por:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )kji
kjikjikji
kjikji
222444082
222222222
041222
2
+++++=
+++++++++==
BCBCBC
ABBCAB
BC
BC43421
proj
-
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kji 35
35
35 = AB
BCproj
Ejemplo 1.5 Reescribir en notacin indicial las siguientes expresiones: 1) 333322311 xxaxxaxxa ++ Solucin: )3,2,1(3 =ixxa ii 2) 2211 xxxx + Solucin: )2,1( =ixx ii
3)
=++=++=++
z
y
x
bzayaxa
bzayaxabzayaxa
333231
232221
131211
Solucin:
=++=++=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
jmudondice
===
33
22
11
bxabxabxa
jj
jj
jj
ilibrendice
ijij bxa =
Ejemplo 1.6 a) Demostrar que: 33 vv pp = ; b) Demostrar que: 33 jjii AA = ; c) Obtener el resultado de ijkij ; d) Obtener el resultado de ijji A32 .
Solucin: Las componentes de la delta de Kronecker son:
=
=
100010001
333231
232221
131211
ij (1.1)
a) La expresin ( ppv3 ) no tiene ndice libre, luego el resultado es un escalar: 33332321313 vvvvv pp =++= (1.2)
b) La expresin jii A3 tiene un ndice libre ( j ), luego el resultado es un vector: 33332321313 jjjjjii AAAAA =++= (1.3)
c) La expresin ijkij tiene un ndice libre ( k ), luego el resultado es un vector:
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kkk
kkk
kkk
jkjjkjjkjijkij
333323231313
323222221212
313121211111
332211
+++++
+++++
++
++= 32143421321
(1.4)
luego, kijkij 0= (vector nulo). d)
2332 AAijji = (1.5)
Ejemplo 1.7 Expandir la expresin: )3,2,1,( =jixxA jiij Solucin: Los ndices ji, son ndices mudos (indican suma), no hay ndice libre, y como resultado tenemos un escalar. Expandimos primero el ndice mudo i y a continuacin el ndice j , resultando as:
434214342143421
3333
2332
1331
33
3223
2222
1221
22
3113
2112
1111
11
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxAxxA jjjjjjioexpandiend
jiij
+
+
+
+
+
+
+
+
Reagrupando los trminos anteriores obtenemos:
3333233213313223
22221221311321121111
xxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxA jiij
++++++++=
Ejemplo 1.8 Desarrollar las siguientes expresiones y obtener el valor numrico correspondiente: 1) jjii Solucin: ( )( ) 933332211332211 ==++++= jjii 2) 11 Solucin: 1111111 === NOTA: Observar que es incorrecto hacer la siguiente operacin
13 1111 == , ya que lo que se reemplaza es el ndice repetido
Ejemplo 1.9
expa
ndie
ndo
j
-
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a) Probar que a) ippjkijk 2= ; b) 6=ijkijk c) ikjijk aa 0= ; d) Obtener el valor numrico de la siguiente expresin ikjijk 132 . Solucin: a) Utilizando la expresin:
jpiqjqippqkijk = y haciendo jq = , resulta:
ipipip
jpijjjippjkijk
23 ==
=
b) Partiendo del resultado anterior, es trivial la siguiente comprobacin: 62 == iiijkijk
c) Observemos que ikjijk = , es decir, es antisimtrico en jk y observemos que kj aa resulta un tensor de segundo orden simtrico. Como sabemos el doble producto escalar de un tensor simtrico y otro antisimtrico es cero luego:
ii
ijkijkkjijk aa0)(
0)(
====
aaaa
rrrr
d) 1123132 == ikjijk
Ejemplo 1.10 Obtener el valor de las siguientes expresiones: a) kjiijk 321 b) jpiqjqippqkijk = para los siguientes casos b.1) 3,2,1 ==== pqji b.2) 2,1 ==== pjqi c) ))(( 11 ibtbasaistiqkqpjpijk ++ cAcAcAcA donde ijk es el smbolo de permutacin y ij es la Delta de Kronecker. Solucin: a) 1123321 == kjiijk
b.1) 00000)1(0
3231233221223211213212
=++==++= kk
b.2) 1)1(100002131232121222111212112
=++=++= kk
c) Observemos que la operacin jpjp bcA = resulta un vector y verificamos tambin que [ ] iiiqkqpjpijk 0)()()( === bbcAcA rrrrcAcA , con lo cual resulta que:
1))(())(( 11111111 ===++=++ iiiiiiibtbasaistiqkqpjpijk 00cAcAcAcA
1
2 3
1=ijk
1=ijk
-
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Ejemplo 1.11 Escribir en notacin indicial: a) el mdulo del vector a
r; b) cos , donde es el ngulo que
forman los vectores ar
y br
. Solucin:
iijjiiijjijjii aaaaaaaaaa ====== aeeaaa rrrr 2 luego, tambin cumple que iibb=b
r.
Por definicin = cosbaba rrrr , donde: jjiiijjijjii babababa ==== eeba r
Teniendo en cuenta que un ndice no puede aparecer ms que dos veces en un trmino de la expresin, podemos expresar cos como:
kkii
jj
bbaa
ba== ba
ba rrrr
cos
Ejemplo 1.12
Escribir la siguiente relacin ( ) ( )dcba rrrr sin emplear el producto vectorial.
Solucin: Observemos que el producto vectorial ( )ba rr lo podemos expresar de la siguiente forma: ( ) ikjijkkkjj eeeba baba == rr , cuyo resultado ser un vector. De esta forma hemos utilizado la definicin del smbolo de permutacin. Anlogamente podemos expresar el producto vectorial ( )dc rr como ( ) nmlnlm edc dc= rr , por lo tanto: ( ) ( )
mlkjilmijk
inmlkjnlmijk
nimlkjnlmijk
nmlnlmikjijk
dcbadcbadcba
dcba
====
eeeedcba
)()
rrrr
Teniendo en cuenta que lmijkiilmijk = y aplicando la relacin ilmjkikljmkmjllmijki == , concluimos que: ( ) mllmmlmlmlkjkljmkmjlmlkjilmijk dcbadcbadcbadcba ==
Puesto que el subndice mudo indica el producto escalar: ( )ca rr =llca y ( )db rr =mmdb , luego: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )cbdadbcadcba rrrrrrrrrrrr = Observemos que, cuando ac
rr = y bd rr = obtenemos que: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 babbaaabbabbaababa rrrrrrrrrrrrrrrrrr ==
Que es la misma expresin obtenida en el Ejemplo 1.1.
-
1 TENSORES
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Ejemplo 1.13 Probar que a) 0=kjiijk baa b) ( ) ba rr =++ 321312213 kjikijjikijk bababa c) jiij AA es un invariante
Solucin: a) 332211 baabaabaabaa jiijjiijjiijkjiijk ++= . Para el trmino 11 baa jiij tenemos que:
0132123132231123321
133331132231131131
123321122221121121
113311112211111111
13131212111111
=+=+=
+++++++
+++=++=
baabaabaabaabaabaabaabaabaabaabaabaabaa
baabaabaabaa
jjjjjjjiij
Anlogamente para los trminos 03322 == baabaa jiijjiij . Es interesante observar que kjiijk baa representa el determinante con dos filas iguales:
0
321
321
321
==bbbaaaaaa
baa kjiijk
b)
barr ==++=++
=++iiiijjkk
kjiijkkijijkjikijk
bababababababa
bababa
112233123231312
321312213
Ejemplo 1.14
Probar que: ( ) ( ) ( ) ( )bacdbadcdcba rrrrrrrrrrrr = Solucin: Expresaremos en notacin indicial el segundo miembro de la expresin:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]kjijkipkjijkipp bacdbadc = bacdbadc rrrrrrrr ( )piipkjijk
pikjijkipkjijk
dcdcba
dcbadcba
Si utilizamos la propiedad de la delta de Kronecker: ( )
( ) ( )npimnipmnmkjijknpnmimninmpmkjijk
dcba
dcdcba
y si consideramos que mnlpilnpimnipm = . Reemplazamos en la expresin anterior y obtenemos:
-
PROBLEMAS RESUELTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
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( ) ( )( )( )[ ]nmmnlkjijkpil mnlpilnmkjijk dcba
dcba
Dado que las componentes de ( )ba rr son kjijk ba y las componentes de ( )dc rr son nmmnl dc , obtenemos que:
( )( )[ ] ( ) ( )[ ]pnmmnlkjijkpil dcba rrrr =dcba
Ejemplo 1.15
a) Si ar
, br
, cr
son vectores linealmente independientes y que se cumple que:
iiiiiscomponente 0cbav ++= ++= cbav rrrr
Probar que los escalares , , son dados por:
rqppqr
kjiijk
rqppqr
kjiijk
rqppqr
kjiijk
cba
vba
cba
cva
cba
cbv
=== ;;
b) Dados tres vectores linealmente independientes, demostrar que al intercambiar 2 filas 2 columnas el signo del determinante )( cba
rrr cambia. Solucin: a) Haciendo el producto escalar del vector v
r por el vector ( cb
rr ) obtenemos que:
43421rrr
43421rrrrrrrrr
00
)()()()( ==++= cbccbbcbacbv
Obtenemos entonces el valor de como:
)()(
cba
cbvrrrrrr
=
En componentes:
rqppqr
kjiijk
cba
cbv
cbacbacba
cbvcbvcbv
cccbbbaaa
cccbbbvvv
===
333
222
111
333
222
111
321
321
321
321
321
321
Anlogamente podemos obtener los parmetros , , es decir, hacemos el producto escalar del vector v
r por los vectores ca
rr y ba rr , respectivamente, i.e.:
)()(
)()(
)()()()(
00
cba
cva
cab
cav
caccabcaacav
rrrrrr
rrrrrr
43421rrrrrr
43421rrrrrr
=
===
++=
==
rpqqpr
kijjik
rqppqr
kjiijk
cba
cva
cab
cav
)()(
)()(
)()()()(
00
cba
vba
bac
bav
bacbabbaabav
rrrrrr
rrrrrr
rrr43421rrr
43421rrrrrr
===
=
++=
==
prqqrp
ikjjki
rqppqr
kjiijk
cba
vba
bac
bav
-
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NOTA 1: Podemos reestructurar las componentes del vector vr de la siguiente forma:
jiji zBzzz
cbacbacba
cbacbacba
vvv
v =
=
=
=3
2
1
333
222
111
333
222
111
3
2
1
donde hemos denotado por =1z , =2z , =3z . Teniendo en cuenta que:
B
B )1(
333
222
111
333
222
111
1
====
cbacbacba
cbvcbvcbv
cba
cbvz
rqppqr
kjiijk
;
B
B )2(
333
222
111
333
222
111
2
====
cbacbacba
cvacvacva
cba
cvaz
rqppqr
kjiijk
B
B )3(
333
222
111
333
222
111
3
====
cbacbacba
vbavbavba
cba
vbaz
rqppqr
kjiijk
donde )(iB es el determinante de la matriz resultante al reemplazar la columna )(i de la
matriz B por las componentes del vector vr
. Con eso, podemos decir que:
Dado B
B )(i
ijiji == zzBv Regla de Cramer
NOTA 2: Aunque hemos demostrado para una matriz 33 , este procedimiento es vlido para matrices de n-dimensiones y es conocido en la literatura como Regla de Cramer.
NOTA 3: La solucin ( iz ) solo es posible si 0B . NOTA 4: Si ii 0v = tenemos que ijij 0zB = y ii 0)( =B , con eso, segn la regla de Cramer tenemos que:
ii
i 0z == )(BB Notar que, la solucin non-trivial ii 0z solo es posible si y solo si 0=B , (ver Ejemplo 1.49).
b) El determinante definido por ],,[)( cbacbarrrrrr = en notacin indicial queda kjiijk cba ,
adems sabiendo que se cumple que:
i
j k
kijjkiijk == jikkjiikjijk ===
-
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],,[],,[],,[ acbbcacbarrrrrrrrr ===== kjijkikjiikjkjiijk cbacbacba
Luego
kjijki
kjiikjkjiijk
cbaaaacccbbb
cbabbbcccaaa
cccbbbaaa
cba
==
===
321
321
321
321
321
321
321
321
321
Ejemplo 1.16 Probar las relaciones:
( ) ( ) ( )[ ] baa1aaaba
abccbcbabcacbarrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrr
===
)()(
)(
Solucin: Representando el producto vectorial ( ) kjijki cb= cb rr , luego: ( )[ ]
( )
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]r rrr
srssrrjjkrk
rsssrskjssjrkkjsskrj
kjssjrkskrj
kjsjkirsikjsijkrsi
kjijksrsir
baccab
abccbbaca
cba
rrrrrrrrrrrrrrr
rrr
===
====
===
=
cb
acbcbcbacbacbacbacbacba
cbacbacba
cba
)(
)(
Comprobando que:
( ) ( ) ( ) ( ) abccbcbabcacba rrrrrrrrrrrrrr == En el caso particular cuando ca
rr = podemos decir que: ( )[ ] [ ] [ ]
[ ]{ }r prprpjjprjpjrpjjrjppjrppjjrjjrkkr
baa1aa
aba
rrrrr
rrr
===
==
)(
)( )()(
)()()()(
baaaabaaaa
ababaaababaa
Ejemplo 1.17 Demostrar la identidad de Jacobi:
( ) ( ) ( ) 0bacacbcba rrrrrrrrrr =++ Solucin: A travs del ejercicio anterior demostramos que ( ) ( ) ( )cbabcacba rrrrrrrrr = , luego, tambin es vlido que:
-
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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )bacabcbac acbcabacb rrrrrrrrrrrrrrrrrr
==
Luego, teniendo en cuenta que el producto escalar entre dos vectores es conmutativo, es decir, ( ) ( )acca rrrr = , ( ) ( )abba rrrr = , ( ) ( )bccb rrrr = , concluimos que:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0
bacabc
acbcab
cbabca
bacacbcbar
rrrrrr
rrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrr =++
=++
1.1.2 Operaciones con Tensores de Orden Superior
Ejemplo 1.18 Cul es el orden de los tensores representados por sus componentes: iv , ijk , ijjF , ij , ijklC ,
ij ? Determinar cuantas componentes independientes tiene el tensor C . Solucin: El orden del tensor viene dado por el nmero de subndices libres, luego:
Tensores de orden uno: vr , Fr
Tensores de segundo orden: , Tensor de tercer orden: Tensor de cuarto orden: C El nmero de componentes de un tensor viene dado por el mximo valor del rango del subndice, 3 si ( 3,2,1=i ), elevado al nmero de subndices libres. Es decir, para el tensor de cuarto orden, el nmero de ndices libres es 4, luego:
( ) ( ) ( ) ( ) 81333334 ====== lkji El tensor de cuarto orden ijklC tiene 81 componentes independientes.
Ejemplo 1.19
Demostrar que a) ( ) ( )acbcba rrrrrr = ; b) ( ) ( ) ( ) dacbdcba rrrrrrrr = Solucin:
a)
( )
acbacb
e
e
eeecba
rrrrrr
rrr
===
=
)()(
)(
)(
iikk
jkkjii
kkjjii
acb
cba
cba
b) La expresin ( ) ( )dcba rrrr , que resulta un tensor de segundo orden, expresamos directamente en notacin indicial:
-
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( ) ( )[ ] ( )( )ijji
escalar
kk
jikk
jkkijkkiij
))(()()( dacb
dcba
===
==
rrr
321
rrrr
dacb
dacb
dcbadcba
Ejemplo 1.20 Desarrollar y simplificar lo posible la expresin jiij xxA para los siguientes casos:
a) jiij AA = b) jiij AA =
Solucin: Expandiendo jiij xxA obtenemos:
333332233113
233222222112
133112211111
332211
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx jjjjjjjiij
AAAAAAAAA
AAAA
++++++++==++=
(1.6)
a) jiij AA = (simetra)
23333223
2222
311321122111
2
22
xxxx
xxxxxxx jiijAAA
AAAA
+++++=
(1.7)
b) jiij AA = (antisimetra) 0=jiij xxA (1.8)
lo que era de esperar ya que:
)( xxxx rrrr == :AAjiij xxA (1.9) Si A antisimtrico y )( xx rr resulta simtrico, el doble producto escalar de un tensor simtrico y uno antisimtrico resulta ser siempre igual a cero.
Ejemplo 1.21 Si las componentes de los tensores de segundo orden y T son representadas respectivamente por:
=
634121425
ij ;
=
831124213
ijT (1.10)
Obtener T : . Solucin:
ijij= TT : (1.11)
-
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333323231313
323222221212
313121211111
332211
++++++++++++
++=
TTT
TTT
TTT
TTTT 321321321 jjjjjjijij
(1.12)
luego,
8786331411224)1(241235 =++++++++= ijijT (1.13)
Ejemplo 1.22 Dadas las componentes del tensor B en el sistema de coordenadas cartesianas:
=
975351423
ijB (1.14)
Obtener: a) kjikij BBC = ; b) jkikij BBD = ; c) kjkiij BBE = ; d) iiC , iiD , iiE Solucin:
=
===
12210867464823544431
975351423
975351423
kjikij BBCBBC (1.15)
=
===
1556765673525652529
975351423
975351423 T
jkikijT BBDBBD (1.16)
=
===
1068660867846604635
975351423
975351423 T
kjkiijT BBEBBE (1.17)
Luego:
219106783521915535292011224831
332211
332211
332211
=++=++==++=++==++=++=
EEEEDDDDCCCC
ii
ii
ii
(1.18)
NOTA: Verificamos que se cumple que: BBBBBB :== )()( TT TrTr
Ejemplo 1.23 Dadas las componentes cartesianas del tensor de segundo orden B :
-
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=
303210201
ijB
Obtener: a) kkB b) ijijBB c) kjjkBB
Solucin: a) 5311332211 =++=++= BBBB kk b)
333323231313
323222221212
313121211111
332211
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBBBB
+++++
+++++
++
++= 321321321 jjjjjjijij
Resultando: 28330033221100220011 =++++++++=ijijBB
c)
333332233113
233222222112
133112211111
332211
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBBBB
+++++
+++++
++++= 321321321 kkkkkkkjjk
( ) ( ) ( ) 23202232002331111222 233213311221333322221111
=+++++=+++++= BBBBBBBBBBBBBB kjjk
Ejemplo 1.24 Obtener las componentes del tensor D resultante de la siguiente operacin BAD := , para los siguientes casos:
a)
=
=
521121132
;511114232
ijij BAcon
b)
=
=
3212181391517913
;31271611181114137
jkikkjik BABAcon
Solucin: a) 50552111112114123322 =++++++++=BA : b) Teniendo en cuenta la expresin BABABA :== )()( TT TrTr y que Tjkik BA BA = , concluimos que 5432913)( =++== TBABA Tr:
-
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Ejemplo 1.25 Considrese un tensor de segundo orden EEFET )()( :+= 1Tr o en notacin indicial
ijkpkpijkkij EEFET )(+= . Si las componentes de los tensores E y F vienen dadas por:
=
=
002302134
;102051412
ijij FE
a) Obtener las componentes del tensor T . b) Son los tensores T y E coaxiales? Demustralo. Solucin: Obtenemos primero los siguientes escalares:
8152)( =++=ETr 21010022300521143142 =++++++++=EF :
Luego
=
+
=
29042011321
842150
102051412
21100010001
8ijT
Dos tensores son coaxiales cuando presentan los mismos autovectores o cuando se cumple que TEET = :
=
=
=
=
1974214284586155284155289
29042011321
842150
102051412
1974214284586155284155289
102051412
29042011321
842150
kjik
kjik
TE
ET
Con lo cual concluimos que son coaxiales.
Ejemplo 1.26
Obtener el resultado de las siguientes operaciones: II : , II : , II : , II : , II : , II : , II : , II : , symsym II : , II :sym , symII : , donde
jlikijkllkjiijkl con === II eeee11 I (1.19)jkilijkllkjiijkl con === II eeee11 I (1.20)
klijijkllkjiijkl con === II eeee11 I (1.21)Solucin:
ijkljlikqlpkjqippqklijpqijkl III ==== )( II :
-
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ijkljlikqkpljpiqpqklijpqijkl III ==== )( II :
ijklklijqqklpqpqijpqklijpqijkl III 3)( ==== II : ijkljkilqlpkjpiqpqklijpqijkl III ==== )( II : ijkljkilqkpljqippqklijpqijkl III ==== )( II :
ijklklijkljqiqklpqjqippqklijpqijkl III ===== )( II :
ijklklijkljqiqklpqjpiqpqklijpqijkl III ===== )( II : Resumiendo lo anterior en notacin tensorial:
III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( ::
III 3)(3)()( === 111111 :: III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( ::
Teniendo en cuenta la definicin: ( ) ( )1111 +=+=21
21 III sym , concluimos que:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]( )
sym
symsym
I
II
=+=
+++=+++=
++=
1111
11111111
1111111111111111
11111111
21414141
::::
::
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1111
1111
==+=+=+==
==+=+=+==
IIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIII
21
21
21)(
21
21
21)(
:::::
:::::
symsym
symsym
1.1.3 Transpuesta
Ejemplo 1.27 Demostrar que la siguiente propiedad es vlida:
( ) ( ) ( ) BCACABCBA ::: TT == donde A , B , C son tensores de segundo cualesquiera.
-
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Solucin: Demostraremos esta identidad a travs de sus componentes:
( ) ( )( )kjikijjqilkppqlkij
qlkpjipqlkij
qppqkllkjiij
CBACBACBA
CBA
===
=
eeeeeeeeeeCBA
:::
Observemos que cuando trabajamos en notacin indicial el orden no importa, es decir:
ikkjijkjijikkjikij BCACABCBA == Podemos ahora observar que la operacin ijikAB resultar un tensor de segundo orden cuyas
componentes son kjT )( AB luego, ( ) CAB := Tkjijik CAB . Anlogamente podemos decir que ( ) BCA :Tikkjij =BCA .
Ejemplo 1.28 Demostrar que, si u
r, vr
son vectores y A un tensor de segundo orden, la siguiente relacin es vlida:
uAvvAurrrr =T
Solucin:
ljljjjll
ilijlkjkjkkiljli
iiljjlkkkkjljlii
T
uAvvAuuAvvAu
uAvvAu
==
==
eeeeeeee
uAvvAu
rrrr
1.1.4 Simetra y Antisimetra
Ejemplo 1.29 Si es un tensor de segundo orden simtrico y W es un tensor de segundo orden antisimtrico. Demostrar que 0=W : . Solucin:
ijij
jkillkij
kllkjiij
WW
W
==
=
)()( eeeeW ::
Desarrollando
4342143421321
3333
3232
3131
33
2323
2222
2121
22
1313
1212
1111
11
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
WW
+
+
+
+
+
+
+
+
= jjjjjjijij
c.q.d.
-
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Considerando la propiedad de un tensor simtrico 2112 = , 1331 = , 2332 = y antisimtrico 0332211 === WWW , 1221 ww = , 1331 WW = , 2332 WW = , resultando:
0=W :
Ejemplo 1.30 Demostrar que:
a) MQMMQMrrrr = sym ;
b) antiantisymsym BABABA ::: += ; donde, M
r es un vector, y Q , A , y B son tensores de segundo orden arbitrarios.
c) Demostrar que si se cumple que ijkijk 0=T , T es simtrico, es decir, jiij TT = . Solucin: a)
( )MQMMQM
MQQMMQMrrrr
rrrr
+=+=
antisym
antisym
Ya que el producto: ( ) 0 == MMQMQM rrrr :antianti , resulta que: MQMMQMrrrr = sym
NOTA: Podemos hacer la interpretacin geomtrica de 0 = MQM rr anti . Notar que la operacin algebraica )(MqMQ
rrr =anti resulta un vector, luego 0 )( == MqMMQM rrrrr anti , que implica que M
r y )( Mq
rr son vectores ortogonales. Con eso, concluimos que: la proyeccin de
un tensor antisimtrico de segundo grado segn una direccin (Mr
) resulta un vector ( )(Mqrr
) que es ortogonal a M
r, ver figura abajo:
b)
antiantisymsym
antiantisymantiantisymsymsym
antisymantisym
BABA
BABABABABBAABA
::
::::::
+=+++=
++=
==4342143421
00
)()(
Luego como consecuencia tenemos que: antiantiantisymsymsym BABABABA :::: == ;
c.q.d.
c.q.d.
c.q.d.
Mr
MQr
Mr
MQq M
rr r = anti)(
0)( =Mq M rr r
-
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c)
iiiiiii
iiiiiiiii
ijijjijjijjkijk
0
0
232313133232121231312121
333323231313323222221212313121211111
332211
=+++++=++++++++=
=++=
TTTTTTTTTTTTTTT
TTTT
Luego, las componentes del vector resultante quedan:
1221122112312213213
1331133113213312312
2332233223123321321
03
02
01
TTTTTTT
TTTTTTT
TTTTTTT
==+=+=====+====+=+==
jkjk
jkjk
jkjk
iii
con lo cual demostrando que si ijkijk 0=T , T es simtrico, TTT = .
Ejemplo 1.31 Dado un tensor de segundo orden arbitrario A donde se conocen las componentes de su parte simtrica en el sistema Cartesiano:
=
300012024
symijA
Obtener NAN , donde las componentes del versor N son [ ]001 =iN . Solucin:
En el Ejemplo 1.30 se ha demostrado que NANNAN = sym con lo cual:
[ ] 4001
300012024
001 =
=== isymijisym NANNANNAN
Ejemplo 1.32 Si W es un tensor antisimtrico. a) Demostrar que WW resulta un tensor de segundo orden simtrico. b) Demostrar tambin que 0)( = 1WWW :T Solucin:
a) Si demostramos que 0WW = anti)( , demostramos que WW resultar ser simtrico: [ ] [ ][ ]0
WWWW
WWWWWWWWWW
==
==
)(21
)(21)()(
21)( TTTanti
donde hemos aplicado la propiedad del tensor antisimtrico TWW = . Soluciones alternativas a) Teniendo en cuenta la definicin de un tensor antisimtrico donde se cumple que TWW = :
TTTT )( WWWWWWWW ===
-
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Tambin se puede comprobar a travs de sus componentes:
=
=
223
21313122312
1312223
2122313
231223132
132
12
2313
2312
1312
2313
2312
1312
00
0
00
0)(
WWWWWWWWWWWWWWWWWW
WWWWWW
WWWWWW
ijWW
b) 0)()()()( ==== WWW1WWW :: kipkpiijkjpkpiT WWWWWW , ya que el doble producto escalar entre un tensor simtrico )( WW y uno antisimtrico (W ) resulta cero.
Ejemplo 1.33
Sea B un tensor de segundo orden tal que spqspq a=B con jkijkia B21= . Demostrar que B
es un tensor antisimtrico. Solucin:
jkjkspqsjksjkpqsjksjkpqsspqspq a BBBB 21
21
21 ==
==
Recurriendo a la relacin qjpkqkpjjkspqs =
antipq
qppq
jkqjpkjkqkpj
jkqjpkqkpjjkjkspqspq
B
BB
BB
BBB
==
=
==
)(21
)(21
)(21
21
Solucin Alternativa: Teniendo en cuenta que sqpsqp a=B , y que por definicin se cumple que qpspqs = , concluimos que:
Tqpsqpsspqspq aa BB ==== BB (antisimtrico)
Ejemplo 1.34
Demostrar que la operacin antisymsymanti AAAA + resulta un tensor antisimtrico. Solucin:
Denominando por antisymsymanti AAAAB += , y teniendo en cuenta que se cumple que Tantianti )(AA = , Tsymsym )(AA = , concluimos que:
-
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antisymanti
Tsymantisymanti
Tantisymsymanti
antisymsymanti
)(2
)(
)(
AA
AAAA
AAAA
AAAAB
===+=
Ejemplo 1.35 La relacin nTTn
rr = es vlida siempre? Siendo T un tensor de segundo orden y nr un vector. En el supuesto de que la relacin no sea vlida, para qu caso particular lo sera? Solucin:
lklk
likkli
lkklii
e
e
eeeTn
)(
Tn
Tn
Tn
==
=
r
y
llkk
lkilki
iikllk
e
e
eeenT
)(
Tn
Tn
nT
==
=
r
Con lo que comprobamos que lkkklk TnTn , luego: nTTnrr
La relacin nTTnrr = slo ser vlida cuando el tensor T sea simtrico.
Ejemplo 1.36
Obtener el vector axil wr asociado al tensor antisimtrico anti)( ax rr . Expresar wr en funcin de xr y ar . Solucin: Sea zr un vector arbitrario, se cumple que:
zwzax rrrrr = anti)( donde wr es el vector axil asociado a anti)( ax rr . Teniendo en cuenta que:
[ ] [ ]xaaxaxaxax rrrrrrrrrr ==21)()(
21)( Tanti
podemos an decir que:
[ ] [ ] zwzxaaxzwzxaax rrrrrrrrrrrrrr == 221
Recordar que, dados tres vectores ar
, br
, cr
se cumple que: abccbcbarrrrrrrr = )()( ,
ver Ejemplo 1.16. Luego, se cumple que [ ] )( axzzxaax rrrrrrrr = . Retomando nuestra expresin anterior:
[ ] zwzxaaxzzxaax rrrrrrrrrrrrr === 2)()( con lo cual, concluimos que:
antitensor al asociado axil vector el es )( )(21
axxaw rrrrr =
-
PROBLEMAS RESUELTOS DE ME
