Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos
Conservação da Energia
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.
Programa da aula
Revisão Teorema de Transporte de Reynolds Equação da Conservação da Massa Equação da Quantidade de Movimento
Equação da conservação da Energia; Equação de Bernoulli; Exemplo.
Propriedade intensivas e extensivas
A
Sistema dAun̂dVdt
d
Dt
DN
ou
Teorema do Transporte de Reynolds
Com base nas equações de sistemas e por meio de uma comparação entre sistema e volume de controle, obtemos uma relação fundamental:
SCVC
Sistema dAun̂dVdt
d
Dt
DN
Conservação da quantidade de movimento
Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:
Para deduzir a formulação para o volume de controle da conservação da quantidade de movimento, fazemos:
SCVC
Sistema dAun̂dVdt
d
Dt
DN
Vm
Vm
m
PPN
V
PN
Equação da conservação da massa
Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:
Para deduzir a formulação para volume de controle da conservação de massa, fazemos:
SCVC
Sistema dAnVddt
d
Dt
DNˆ
1m
m
m
NmmassaN
1
mN
Equação da conservação da massa
Que substituídos na equação genérica do TTR fornece:
Da conservação da massa do sistema:
0Dt
DNSistema
SCVC
Sistema dAnVddt
d
Dt
DNˆ
Equação da conservação da massa
0ˆ SCVC
dAnVddt
d
Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle
Variação interna da massa no V.C.
Fluxos de entrada e saída na S.C.
Conservação da quantidade de movimento
SCVC
SistemadAnVVdV
tF
Conservação da quantidade de movimento em um volume de controle
Variação da quantidade de
movimento com o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e saída de quantidade
de movimento através da S.C.
Soma das forças que atuam sobre o
sistema
Conservação da quantidade de movimento
Distinguimos dois tipos de força que se combinam para dar lugar a :
Forças de superficiais ou contato: exigem, para sua aplicação, o contato físico
Forcas de campo ou mássicas: Um dos corpos gera um campo e quaisquer corpos que estejam sob sua influência e apresentarem as condições corretas, experimentarão forças de campo
dBFVC
C
RF
ondem
FB
tnS FFF
Forças gravitacionais:
kgB
Pressão (normais) e viscosas (tangenciais)
Casos Especiais Escoamento permanente:
0
SCVC
cSR dAnVVdVt
FFF
SC
R dAnVVF
Casos Especiais Volume de controle não deformável:
m
1jentrajjj
n
1isaiiii
VC
R QuQudVVt
F
EntradaSaída
Volume de controle não deformável
Taxa de quantidade de
movimentoque sai
Taxa de quantidade de
movimentoque entra
Casos Especiais Volume de controle não deformável; Escoamento permanente.
m
1jentrajjj
n
1isaiiiiR QVQVF
m
1jentrajjj
n
1isaiiiix QuQuF
m
1jentrajjj
n
1isaiiiiy QvQvF
m
1jentrajjj
n
1isaiiiiz QwQwF
Exemplo Calcule a força exercida no cotovelo redutor devido ao escoamento, para um escoamento permanente
1
2
θ
V1
V2
Conservação da Energia
A energia se conserva entre dois pontos.
“Nada se perde, nada se cria, tudo se transforma” (Lavoisier, século XVIII)
Conservação da Energia
Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:
Para deduzir a formulação para o volume de controle da conservação da quantidade de movimento, fazemos:
SCVC
Sistema dAun̂dVdt
d
Dt
DN
em
EEN
e
EN
Conservação da Energia
Que substituídos na equação genérica do TTR fornece:
O que significa o termo e?
SCVC
Sistema dAnVedetDt
DE
Conservação da Energia
sistVolsistm
Sistema deedmE
A energia total do sistema é dada por:
Sendo que:
eoutras = química, eletrostática, nuclear, magnética. Nós desprezamos estas energias.
outraspotencialcinéticaernaint eeeee
e = energia específica = E/m
Conservação da Energia
A energia interna (Eu) está associada com: Atividade molecular (energia armazenada); Forças entre moléculas; Difícil de ser estimada; Pequena em relação a outras.
Energia cinética está associada à velocidade local: Ec = 1/2mV2
Energia Potencial está associada à cota do ponto: Ep = mgz
Conservação da Energia
cpuSistema EEEE
Se energia total do sistema é dada por:
então:
gz2
Vee
2
uSistema
Conservação da Energia
SC
u
VC
uSistema
dAnVgzV
edgzV
etDt
DE
22
22
Conservação da Energia em um volume de controle
Variação da Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.
Variação da Energia no
Sistema
O que significa esse termo?
Conservação da Energia
Os estados inicial e final de energia de um sistema dependem do calor adicionado ou retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo o sistema (1ª Lei da Termodinâmica):
dWdQdE
dQ = Calor agregado ou retirado ao sistemadW = Trabalho realizadodE = Variação da Energia
Conservação da Energia
dt
dW
dt
dQ
dt
dE
Sistema
A equação pode ser escrita em termos de taxas de energia, calor e trabalho:
Sistema
0dt
dW 0
dt
dQ
0dt
dW 0
dt
dQ
Conservação da Energia
dt
dQ
Examinando cada termo:
dt
dW
Condução, convecção e radiação(considerado como um termo único)
Realizado por um eixo, pressão e tensõesViscosas (o trabalho das forças gravitacionaisé incluído na energia potencial)
Conservação da Energia
Trabalho realizado:
dt
dWeixo Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquinaex.: bomba, turbina, pistão
dt
dWpressãoTrabalho devido às forças de pressão
VFdt
ldFlim
dt
dWldFdW 0t
pressãopressão
dt
dW .viscTrabalho devido às forças viscosas
dAVdt
dW
SC
gtan.visc
Conservação da Energia
Turbinas:
Conservação da Energia
Bombas:
Conservação da Energia
SC
2
u
VC
2
ueixo dAnV
pgz
2
Vedgz
2
Ve
tdt
dW
dt
dQ
Conservação da Energia em um volume de controle
Variação da Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.
Variação da Energia no
Sistema
SC
2
u
VC
2
ueixo dAnV
pgz
2
Vedgz
2
Ve
tdt
dW
dt
dQ
Casos Especiais Escoamento permanente:
0
SC
2
ueixo dAnV
pgz
2
Ve
dt
dW
dt
dQ
Casos Especiais Volume de controle não deformável:
EntradaSaída
Volume de controle não deformável
Taxa de Energiaque sai
Taxa de Energiaque entra
entra
2
u
sai
2
u
SC
2
u Qp
gz2
VeQ
pgz
2
VedAnV
pgz
2
Ve
Exemplo Passa através da turbina circular 0,22 m3/s de água e as pressões em A e B são iguais a 1,5 kgf/cm2 e -0,35 kgf/cm2. Determinar a potência em CV transferida pela corrente de água para a turbina. Considere regime permanente e despreze o atrito da água com as paredes e com a turbina.
A
B
1 mTurbina
dA = 30 cm
dB = 60 cm