Mecanica Dos Fluidos - Cap4

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    Equao da Energia e presena de uma

    mquina:2 2

    1 21 1 2 2

    2 2

    v vp g h p g h

    2 2

    1 1 2 2

    1 22 2

    p v p v

    h hg g 2 2

    1 1 2 21 1 2 2

    2 2

    p v p vH h h H

    g g

    Se colocarmos uma mquina entre os pontos(1) e (2), escreveremos a relao como:

    1 2MH H H

    Se2 1 0MH H H Motor;

    Se2 1 0MH H H Turbina.

    Vazes:Definimos como:

    Vazo em Peso:eso

    g

    PQ

    t

    Vazo em Massa:m

    mQ

    t

    Vazo em Volume:V

    Qt

    Potncia de uma mquinaA potncia de uma mquina definida como:

    mt

    EP

    t

    m m esot

    eso

    E E PP

    t P t

    m

    eso

    EH

    P

    Como: esot

    PP H

    t

    t

    m gP H

    t

    t

    V gP H

    t

    VQ

    t

    g

    tP H Q

    Rendimento de uma mquina:O Rendimento de uma mquina definido quanto

    a sua natureza. Se a mquina for um motor:

    BB

    eixoB

    P

    P

    B BeixoB eixoB

    B B

    P Q HP P

    Se a mquina for uma turbina:T

    T

    fT

    P

    P

    T T fT T T T P P P Q H

    A equao de Bernoulli, quando h umamquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento dofluido se d de (1) para (2) pode ser reescrita da forma,considerando que h uma perda de carga Hp12 (Energia

    perdida por unidade de peso):h

    h2 (2)

    H2(p2, 2v

    ,h2)

    M

    H1(p1, 1v

    ,h1)

    h1 (1)

    121 2M pH H H H

    SeHM> 0 Bombaot

    P

    BotP

    Potncia da Bomba e rendimento:

    B

    otot B B

    ot

    PP QH

    P

    SeHM< 0 turbinaotP

    TotP

    Potncia da Turbina e rendimento:Tot

    ot B T

    ot

    PP QH

    P

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    Equao da con tinu idade:

    1 2 1 1 2 2m m V V

    1 1 1 2 2 2v A v A

    Para fluidos incompressveis:

    1 1 2 2v A v A {2}

    Equao de Bernoull i :2 2

    1 21 1 2 2

    2 2

    v vp gy p gy

    {3}

    1 2H H

    2 2

    1 1 2 21 2

    2 2

    v p v pz z

    g g

    Substituindo {2} em {3}, a velocidade dadapor:

    2

    2

    2q

    H O

    pv c

    Com:2 4

    1 1

    2 2 4 4

    1 2 1 2

    q

    A dc

    A A d d

    A vazo ser:

    1 1 2 2Q A v A v

    Equao da energia para fluido realNesse item ser retirada a hiptese de fluido

    ideal; logo, sero considerados os atritos internos noescoamento do fluido. So mantidas as hipteses de

    regime permanente, fluido incompressvel, propriedadesuniformes na seo e sem trocas de calor induzidas. Estaltima significa que no existe uma troca de calor

    provocada propositalmente; no entanto, ao se consideraros atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginarque haver uma perda de calor do fluido para oambiente causada plos prprios atritos. Como servisto a seguir, a construo da equao da energia podeser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perdade calor.

    Da equao de Bernoulli sabe-se que, se o fluidofosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8).

    Se, no entanto, houver atritos no transporte dofluido, entre as sees (l) e (2) haver uma dissipao daenergia, de forma que H1> H2.

    Querendo restabelecer a igualdade, sernecessrio somar no segundo membro a energia dissi-

    pada no transporte.

    121 2 pH H H

    12pH : energia perdida entre (l) e (2) por unidadede peso do fluido.

    Como12 1 2p

    H H H e como H1 E H2 so

    chamados cargas totais,12p

    H denominado 'perda de

    carga'.Se for considerada tambm a presena de uma mquina

    entre (l) e (2), a equao da energia ficar:

    121 2M pH H H H 12

    2 2

    1 1 2 21 2

    2 2M p

    v p v pz H z H

    g g

    Da Equao deve-se notar que, no escoamento de umfluido real entre duas sees onde no existe mquina, aenergia sempre decrescente no sentido do escoamento, isto ,a carga total a montante sempre maior que a de jusante,desde que no haja mquina entre as duas.

    A potncia dissipada plos atritos facilmentecalculvel raciocinando da mesma maneira que para o clculoda potncia do fluido. A potncia dissipada ou perdida poratrito poder ser calculada por:

    12diss pN QH Exemplos:

    1. Um tubo admite gua ( = 1000 kg/m3) numreservatrio cuja vazo de 20 L/s. No mesmoreservatrio trazido leo ( = 800 kg/m3) por outrotubo com vazo de 10L/s. A mistura homogneaformada descarregada por um tubo cuja seo tem umarea de 30 cm2. Determinar a massa especfica damistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma.

    33

    120 20 10 mL

    s sQ ;

    33

    2 10 10 10mL

    s sQ

    mQ Q 33

    1 2 3 3 20 10 30 30 10mL

    s sQ Q Q Q

    1 2 3 1 2 3m m m a o mQ Q Q Q Q Q

    31000 0, 02 800 0, 01 0, 03 933, 33kg

    m m m

    3933,33kg

    m m

    3

    4

    30 1010

    30 10

    m mm m m m s

    QQ Av v v

    A

    10 mm sv 2. No tubo da figura, transporta-se ar. Na rea

    da maior seo do tubo a rea vale 25 cm2, a densidade1,2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menorseo a rea vale 5 cm2, a densidade 0,8 kg/m3.Determine na menor seo a velocidade e as vazes emmassa, volume e em peso.

    v

    (1) (2)

    1 2

    1 1 11 1 1 2 2 2 2

    2 2

    m m

    A vQ Q A v A v v

    A

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    33

    2 2

    1,2 25 1075

    0,8 5ms

    v v

    34

    2 2 2 2 25 10 75 0.0375ms

    Q A v Q Q

    2 2 2 2 20.8 0.0375 0.03kg

    m m m sQ Q Q Q

    2 2 2 29.81 0.03 0.29N

    g m g g sQ gQ Q Q

    Equao da energia para fluido realNesse item ser retirada a hiptese de fluido

    ideal; logo, sero considerados os atritos internos noescoamento do fluido. So mantidas as hipteses deregime permanente, fluido incompressvel, propriedadesuniformes na seo e sem trocas de calor induzidas. Estaltima significa que no existe uma troca de calor

    provocada propositalmente; no entanto, ao se consideraros atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginarque haver uma perda de calor do fluido para oambiente causada plos prprios atritos. Como servisto a seguir, a construo da equao da energia podeser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perdade calor.

    Da equao de Bernoulli sabe-se que, se o fluidofosse perfeito.H1 =H2 .

    Se, no entanto, houver atritos no transporte dofluido, entre as sees (l) e (2) haver uma dissipao da

    energia, de forma que H1> H2.Querendo restabelecer a igualdade, ser

    necessrio somar no segundo membro a energia dissi-pada no transporte.

    121 2 pH H H

    12p

    H : energia perdida entre (l) e (2) por unidade

    de peso do fluido.

    Como12 1 2p

    H H H e como H1 E H2 so

    chamados cargas totais,12p

    H denominado 'perda de

    carga'.Se for considerada tambm a presena de uma

    mquina entre (l) e (2), a equao da energia ficar:

    121 2M pH H H H

    12

    2 2

    1 1 2 21 2

    2 2M p

    v p v pz H z H

    g g

    Da equao deve-se notar que, no escoamento deum fluido real entre duas sees onde no existemquina, a energia sempre decrescente no sentido doescoamento, isto , a carga total a montante sempremaior que a de jusante, desde que no haja mquinaentre as duas.

    A potncia dissipada plos atritos facilmente

    calculvel raciocinando da mesma maneira que para oclculo da potncia do fluido. A potncia dissipada ouperdida por atrito poder ser calculada por:

    12diss pN Q H

    Equao de Bernoulli:2 2

    1 21 1 2 2

    2 2

    v vp gh p gh

    2 2

    1 1 2 21 2 1 2

    2 2

    p v p vh h H H

    g g

    h

    h2 (2)

    H2(p2, 2v

    ,h2)

    M

    H1(p1, 1v

    ,h1)

    h1 (1)

    121 2M pH H H H

    Nmeros Adimensionais

    Nmero de ReynoldsExpressa a relao entre a fora de inrcia e a

    fora de atrito.

    R

    vN

    gg

    g

    R R

    v vN N

    gg

    Quanto maior o nmero de Reynolds, tanto maiora influncia das foras de inrcia e a sua diminuiocorresponde um aumento das foras de viscosidade.

    Nmero de FroudeExpressa a relao entre a fora de inrcia e a

    fora de gravidade:2V

    L

    2V

    L g

    Nmero de WeberRelaciona a fora devida a presso e a fora de

    inrcia:

    2eu

    pE

    V

    Nmero de Mach

    Expressa a relao entre a raiz quadrada dafora de inrcia e a raiz quadrada da fora relativa dacompressibilidade do fluido:

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    2

    2ma

    V

    LMV

    C

    ma

    VM C

    C: velocidade do som.Regimes de escoamento

    De acordo com o valor do nmero deReynolds, o escoamento de um lquido pode serclassificado em 3 tipos, conforme mostra a experinciade Reynolds-Hagens.

    Na experincia, Reynolds-Hagens utilizaramum reservatrio com gua mantido nvel constante,alimentando um tubo transparente com uma vlvula.Um lquido corante foi introduzido no tubo, vindo deum reservatrio.

    Abrindo-se gradualmente a vlvula,primeiramente a velocidade baixa e o lquido corantese mantm em faixas, com a perda de carga sendo

    proporcional velocidade (h V).Nessas condies tem-se o regime laminar

    que se d teoricamente para Re 2.000.Com o aumento da velocidade a perda de carga

    proporcional ao quadrado da velocidade (h V2) e olquido corante comea a se ramificar, estabelecendo-seo regime dito de transio ou estado crtico que ocorre

    para:2.000 < Re 4.000 .

    Para velocidade altas o lquido corante mistura-

    se completamente com a gua, devido ao aumento daturbulncia e a perda de carga proporcional aoquadrado da velocidade (h V2), estabelecendo oregime turbulentopara Re > 4.000.

    Frmula fundamental para perda de carga

    A figura mostra um regime de escoamentopermanente:

    Aplicando-se a equao de Bernoulli:2 2

    1 1 2 21 2

    2 2

    v p v py y h

    g g

    1 2v v

    1 22 1

    p ph y y

    Para efeitos prticos, supe-se que a energiaconsumida para vencer as resistncias, que se opem aomovimento uma conseqncia do atrito do lquido

    contra as paredes do conduto. Admitindo-se que olquido se deslize como um mbolo dentro da tubulao,verifica-se que a perda de carga ser proporcional rugosidade das paredes do conduto.

    Considerando-se o prisma lquido entre assees 1 e 2 , com seo transversal constante e igual a

    A e comprimentoL, sobre ele esto agindo a gravidade eas presses p1 e p2, nas referidas sees, sendoequilibradas pela resistncia oferecida pela parede.

    Para se obter a equao geral da perda de carga,que uma energia perdida por unidade de peso, bastaescrever a equao de equilbrio das foras que agem no

    prisma lquido.

    1 21 2

    p p R X Lh y yA

    R: Tenso de atrito (N/m2).X: permetro.A: rea.L: comprimento.Verificou-se que a relao R/ funo da

    velocidade. Assim:

    2R b v

    B: coeficiente experimental que depende da

    rugosidade e tem origem no atrito. Tambm se constatouque:

    8

    fb

    g

    f: coeficiente de atrito.

    Assim:2

    8

    R X L f v X Lh

    A g A

    A relao entre a rea molhada de um conduto

    e o seu permetro conhecida como raio hidrulico

    (Rh). Assim para um conduto forado e circular, tem-se:

    h

    AR

    P

    4h

    R

    A: rea molhada;P: permetro molhado.

    : dimetro hidrulico.

    Assim:2 4

    8

    f v Lh

    g

    Assim:

    2

    2

    L vh f

    g

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    55

    ,Rf f NK

    O valor do coeficiente de atritof, nas frmulasde perda de carga, dado por expresses que orelacionam com a rugosidade da parede, com as

    propriedades do lquido e as dimenses do conduto,atravs do nmero de Reynolds.

    Para a determinao do coeficiente de atrito,podem ser utilizadas as frmulas de: Prandtl; Blasius;Moody; Coolebrook e Nikuradse.

    Rugosidade ou aspereza, da parede interna deconduto, pode ser determinada atravs de um aparelhodenominado rugosmetro, que mede a altura mdia dasasperezas da parede interna do tubo, representada pelaletra e.

    Experincia de Nikuradse:

    Nmero de Reynolds:

    R

    vN

    gg

    R

    vN

    g

    Nikuradse realizou uma experincia que visoudeterminar como a funo f variava para condutos comrugosidade uniforme. Fixou valores de ,LDH, e nodispositivo indicado e, para diversas aberturas da vlvula(diferentes velocidades) encontrou os valores de p1 e p2indicados.

    Efetuada a experincia, construiu um grfico def em funo do nmero de Reynolds e da razo:

    HD

    K

    ,Rf f NK

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    A frmula geral da perda de carga foi deduzida,supondo que o prisma lquido se deslocasse no interiordo conduto, com velocidade v, atritando com as paredesdo mesmo. Essa hiptese no verdadeira, porque junto parede do conduto forma-se uma pelcula aderente eimvel de lquido. Assim o lquido que est em

    movimento, no est em contato direto com a parede doconduto, mas com uma camada de lquido estacionria,que denominada camada limite ou laminar oulamelar ou de Prandtl.

    Dessa maneira, os esforos tangenciais seoriginam pelo atrito entre duas camadas de lquido, umaestacionria e aderente a parede do conduto e outra emmovimento. Segundo Prandtl, a espessura da camadalimite, dada por:

    32.8

    RN f

    Classificao dos condutos segundo a

    camada limite:Comparando a rugosidade e com a

    espessura da camada limite , um conduto pode serclassificado em: liso, de transio ou rugoso. Portantoum mesmo conduto, dependendo das condies deescoamento, pode ser classificado como liso, detransio ou rugoso.

    Clculo do coeficiente de atrito fpara:A espessura da camada limite tal, que a

    rugosidade do tubo no tem influncia na determinaodo coeficiente de atrito, que passa a ser funo donmero de Reynolds.

    3e

    Condutos lisos: Frmula de Blasius 100000

    RN

    0.250.316 Rf N Frmula de Prandtl

    1 2 log 0.8RN ff

    Frmula de Nikuradse0.237

    0.0032 0.0021 Rf N

    Condutos de transioA espessura da camada limite tal, que o

    coeficiente de atrito funo da rugosidade e donmero

    de Reynolds.8

    3e

    Frmula de Moody1

    6 320000 100.0055 1

    R

    ef

    N

    Frmula de Coolebrook1 2 18.7

    1.74 2 log

    R

    e

    f N f

    Condutos rugososA espessura da camada limite tal, que o

    coeficiente de atrito funo somente da rugosidaderelativa.

    8e

    Frmula de Nikuradse2

    1

    2

    1.74 2 ln

    fe

    Frmulas para clculo da perda de carga

    Perda de carga distribuda: hdA perda de carga distribuda a que ocorre ao longo

    do escoamento, na extenso do tubo.

    Regime laminar: 2000R

    N O regime laminar ou de Poiseuille,

    caracterstico de escoamento com baixa velocidade,pequenos dimetros e lquidos muito densos.

    Segundo Poiseuille:

    2

    32d

    v Lh

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    2

    2

    64

    2d

    v Lh

    g

    264d

    R

    L vh

    N g

    64

    R

    fN

    2

    d

    L vh f

    g

    Regime turbulento:

    4000R

    N O regime turbulento ou hidrulico caracterstico

    de escoamento com velocidades mdias e altas, grandesdimetros e lquidos com baixa viscosidade. o tipo deescoamento que mais ocorre.

    Frmula geral para perda de cargahv C R J

    J: perda de carga unitria (m/m).C: coeficiente de perda de carga.v: velocidade (m/s).

    Rh: raio hidrulico (m). Frmula universal:

    2

    d

    L vh f

    g

    Frmula de DarcyVlida para tubulao de FoFo (Ferro Fundido) e

    0,05m 0,50m.

    24 b vJ

    b

    Tubos Novos Usados

    0,0002535 0,000507

    0,00000647 0,00001294

    Frmula de FlamantA frmula de Flamant foi muito utilizada,

    devido a sua praticidade. Atualmente utilizada para oclculo de condutos de pequeno dimetro ( 100 mm),

    principalmente para tubos de PVC em instalaesdomiciliares.

    1.75 1.95

    1 21.25 4.75

    v QJ b J b

    J: Perda de carga unitria (m/m).Q: vazo (m/s).v: velocidade (m/s).: dimetro da tubulao (m).

    Tipos decondutos

    b1 b2

    Ferro Fundidoou ao

    galvanizado emuso

    0,00092 0,0014

    Chumbo 0,00056 a 0,00062 0,00086 a 0,00095Ferro Fundidoou ao

    galvanizadonovos

    0,00074 0,00113

    Frmula de Fair-Whipple-HsiaoUtilizada para clculo de condutos de pequeno

    dimetro, nas instalaes domiciliares ( 50 mm).Para tubos de ao ou ferro galvanizado,

    conduzindo gua fria:1.88

    4.880.002021

    QJ

    Para tubos de cobre ou lato:2.71 0.5755.934Q J

    (gua fria)2.71 0.5763.281Q J

    (gua quente)

    Frmula de Hazen-WilliamsVlida para tubulaes com 50 mm.

    0.63 0.540.355v C J 1.852 1.852 4.8710.643J Q C

    2.63 0.54

    0.2785Q J : dimetro da tubulao (m)v: velocidade de escoamento (m/s)Q: vazo (m3/s)

    J: perda de carga unitria (m/m)C: coeficiente de Hazen-Williams; tabelado em

    funo do tipo e do estado da tubulao

    Perda de carga localizada ou acidental: hL

    Ocorre perda de carga localizada ou acidental,devido peas especiais, que so introduzidas nasinstalaes hidrulicas, com os seguintes objetivos:

    - mudana de direo de escoamento (curva oucotovelo)

    - derivaes (t)- cruzamentos de tubulaes (cruzetas)- mudanas de dimetro (ampliao ou reduo)- entrada e sada de reservatrio- bloqueio e ou controle de vazo (vlvula)- outrasA perda de carga localizada pode ser calculada por

    dois mtodos: Frmula geral da perda de carga localizada

    As perdas de carga singulares ocorrem quandoh perturbaes bruscas (vlvulas, cotovelos, etc.) noescoamento do fluido e so calculadas por expressesque envolvem anlise dimensional, dadas por:

    2

    2L s

    vh K

    g

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    hL: perda de carga localizada (m).Ks: coeficiente de perda de carga localizada

    (tabelado em funo da geometria da pea).v: velocidade de escoamento (m/s).

    g: acelerao da gravidade (9,81 m/s2).

    Singularidade Esquema Ks

    Alargamento 1

    2

    1A

    A

    Caso limite1

    Estreitamento1

    2

    A

    A

    Caso Limite 0.5

    Cotovelo a 90 0.9

    Vlvula de

    gaveta

    0.2 Totalmente aberta

    Vlvula tipoglobo

    10

    Totalmente aberta

    Vlvula de

    reteno0.5

    Rugosidade dos tubosMaterial Tubos novos e(m) Tubos usados

    e(m)Ao galvanizado 0,00015 0,00020 0,0046

    Ao rebitado 0,0010 0,0030 0,0060Ao revestido 0,0004 0,0005 0,0012Ao soldado 0,00004 0,00006 0,0024

    Concreto bemacabado 0,0003 0,0010 -

    Concreto ordinrio 0,0010 0,0020 -Ferro fundido 0,00025 0,00050 0,003 0,0050

    Ferro fundido comrevestimento

    asfltico

    0,00012 0,0021

    Fonte: Manual de Hidrulica, Azevedo NettoTabela - Valores aproximados do coeficienteK de perda localizada

    Pea K Pea K

    Ampliaogradual

    0,30 (*) Juno 0,40

    Bocais 2,75 MedidorVenturi

    2,50 (**)

    Comportaaberta

    1,00 Reduogradual

    0,15 (*)

    Controlador devazo

    2,50 Vlvula dengulo aberta

    5,00

    Cotovelo 90 0,90 Vlvula globoaberta

    10,00

    Cotovelo 45 0,40 Sada decanalizao

    1,00

    Crivo 0,75 T passagemdireta

    0,60

    Curva 90 0,40 T sada lateral 1,30Curva 45 0,20 T sada

    bilateral1,80

    Curva 22 1/2 0,10 Vlvula de p 1,75Entrada normalem canalizao

    0,50 Vlvula dereteno

    2,50

    Entrada deborda

    1,00 Vlvula gavetaaberta

    0,20

    Existncia depequenaderivao

    0,03

    * Com base na velocidade maior (menor dimetro)** Relativa velocidade na canalizaoFonte: Manual de Hidrulica, Azevedo Netto

    Detalhes das vlvulas Vlvula Gaveta

    Vlvula Globo

    Vlvula de reteno

    Mtodo do comprimento equivalente ou virtual:Leq

    Consiste em transformar uma pea inserida em umainstalao hidrulica, para efeito de clculo, em um

    comprimento de tubulao retilnea de mesmo dimetroe material da pea, de tal maneira que provoque amesma perda de carga que a pea provoca. Essecomprimento denominado comprimento equivalente(Leq) e tabelado em funo do dimetro, do material e

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    99

    da pea. Obtm-se o comprimento equivalente daseguinte maneira:

    2

    2L s

    vh K

    g

    2

    2

    eq

    L

    L vh f g

    seq

    KL

    f

    Pea

    Comprimentosequivalentesexpressos em

    nmero dedimetro

    Ampliao gradual 12Cotovelo 90 45

    Cotovelo 45 20Curva 90 30Curva 45 15

    Entrada normal 17Entrada de borda 35

    Juno 30Reduo gradual 6

    Vlvula gaveta aberta 8Vlvula globo aberta 350Vlvula ngulo aberta 170Sada de canalizao 35T passagem direta 20

    T sada lateral 50T sada bilateral 65

    Vlvula de p e crivo 250Vlvula de reteno 100

    Fonte: Manual de Hidrulica, Azevedo Netto

    Perda de carga totalA perda de carga total ser a soma das perdas

    de cargas distribudas e localizadas:

    T d Lh h h

    Instalaes de racalque o conjunto de equipamentos que permite o

    transporte e o controle do fluido. Compreende, emgeral, um reservatrio, tubos, singularidades, mquina eum reservatrio de descarga.

    A tubulao vai desde o reservatrio de tomadaat a maquina denominada tubulao de suco.Geralmente contm uma vlvula de p com crivo naentrada (vlvula de reteno com filtro), objetivandoobstruir detritos na mquina e no permitindo o retornodo fluido ao desligar a bomba.

    A tubulao que liga o reservatrio de descargachama-se tubulao de recalque e contm uma vlvulade reteno e um registro para o controle da vazo.

    O objetivo dessas instalaes a seleo e a

    determinao da potncia da mquina hidrulicainstalada.

    Dimetro(mm)

    Cotovelo90 RL

    Cotovelo90 RM

    Cotovelo90 RC

    Cotovelo45

    Curva90

    RD = 1 1/2

    Curva90

    RD = 1

    Curva45

    EntradaNormal

    Entradade borda

    VlvulaGavetaaberta

    13 0,3 0,4 0,5 0,2 0,2 0,3 0,2 0,2 0,4 0,119 0,4 0,6 0,7 0,3 0,3 0,4 0,2 0,2 0,5 0,125 0,5 0,7 0,8 0,4 0,3 0,5 0,2 0,3 0,7 0,232 0,7 0,9 1,1 0,5 0,4 0,6 0,3 0,4 0,9 0,238 0,9 1,1 1,3 0,6 0,5 0,7 0,3 0,5 1,0 0,3

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    1010

    50 1,1 1,4 1,7 0,8 0,6 0,9 0,4 0,7 1,5 0,463 1,3 1,7 2,0 0,9 0,8 1,0 0,5 0,9 1,9 0,475 1,6 2,1 2,5 1,2 1,0 1,3 0,6 1,1 2,2 0,5100 2,1 2,8 3,4 1,5 1,3 1,6 0,7 1,6 3,2 0,7125 2,7 3,7 4,2 1,9 1,6 2,1 0,9 2,0 4,0 0,9150 3,4 4,3 4,9 2,3 1,9 2,5 1,1 2,5 5,0 1,1200 4,3 5,5 6,4 3,0 2,4 3,3 1,5 3,5 6,0 1,4

    250 5,5 6,7 7,9 3,8 3,0 4,1 1,8 4,5 7,5 1,7300 6,1 7,9 9,5 4,6 3,6 4,8 2,2 5,5 9,0 2,1350 7,3 9,5 10,5 5,3 4,4 5,4 2,5 6,2 11,0 2,4

    Dimetro(mm)

    VlvulaGloboaberta

    Vlvulanguloaberta

    Tpassagem

    direta

    T sadalateral

    T sadabilateral

    Vlvulade p ecrivo

    Sada dacanalizao

    Vlvulade

    retenotipo leve

    Vlvulade

    retenotipo

    pesado13 4,9 2,6 0,3 1,0 1,0 3,6 0,4 1,1 1,619 6,7 3,6 0,4 1,4 1,4 5,6 0,5 1,6 2,425 8,2 4,6 0,5 1,7 1,7 7,3 0,7 2,1 3,232 11,3 5,6 0,7 2,3 2,3 10,0 0,9 2,7 4,038 13,4 6,7 0,9 2,8 2,8 11,6 1,0 3,2 4,850 17,4 8,5 1,1 3,5 3,5 14,0 1,5 4,2 6,463 21,0 10,0 1,3 4,3 4,3 17,0 1,9 5,2 8,1

    75 26,0 13,0 1,6 5,2 5,2 20,0 2,2 6,3 9,7100 34,0 17,0 2,1 6,7 6,7 23,0 3,2 8,4 12,9125 43,0 21,0 2,7 8,4 8,4 30,0 4,0 10,4 16,1150 51,0 26,0 3,4 10,0 10,0 39,0 5,0 12,5 19,3200 67,0 34,0 4,3 13,0 13,0 52,0 6,0 16,0 25,0250 85,0 43,0 5,5 16,0 16,0 65,0 7,5 20,0 32,0300 102,0 51,0 6,1 19,0 19,0 78,0 9,0 24,0 38,0350 120,0 60,0 7,3 22,0 22,0 90,0 11,0 28,0 45,0

    Fonte: Hidrulica Geral, Paschoal Silvestre;Obs.: RL = Raio Longo RM = Raio Mdio RC = Raio CurtoDimetro mm

    Joelho90

    Joelho45

    Curva90

    Curva45

    T 90passagem

    direta

    T 90sadalateral

    T 90sada

    bilateral

    Entradanormal

    Entradade

    borda

    Sada dacanaliza

    o20 1,1 0,4 0,4 0,2 0,7 2,3 2,3 0,3 0,9 0,825 1,2 0,5 0,5 0,3 0,8 2,4 2,4 0,4 1,0 0,932 1,5 0,7 0,6 0,4 0,9 3,1 3,1 0,5 1,2 1,3

    40 2,0 1,0 0,7 0,5 1,5 4,6 4,6 0,6 1,8 1,450 3,2 1,3 1,2 0,6 2,2 7,3 7,3 1,0 2,3 3,260 3,4 1,5 1,3 0,7 2,3 7,6 7,6 1,5 2,8 3,375 3,7 1,7 1,4 0,8 2,4 7,8 7,8 1,6 3,3 3,585 3,9 1,8 1,5 0,9 2,5 8,0 8,0 2,0 3,7 3,7110 4,3 1,9 1,6 1,0 2,6 8,3 8,3 2,2 4,0 3,9140 4,9 2,4 1,9 1,1 3,3 10,0 10,0 2,5 5,0 4,9160 5,4 2,6 2,1 1,2 3,8 11,1 11,1 2,8 5,6 5,6

    Fonte: Hidrulica Geral, Paschoal SilvestreDimetro

    externo mmVlvula de p e

    crivoVlvula de

    reteno tipoleve

    Vlvula dereteno tipo

    pesado

    Vlvula globoaberta

    Vlvula gavetaaberta

    Vlvula nguloaberta

    20 8,1 2,6 3,6 11,1 0,1 5,925 9,5 2,7 4,1 11,4 0,2 6,132 13,3 3,8 5,8 15,0 0,3 8,440 15,5 4,9 7,4 22,0 0,4 10,5

    50 18,3 6,8 9,1 35,8 0,7 17,060 23,7 7,1 10,8 37,9 0,8 18,575 26,0 8,2 12,5 39,0 0,9 19,085 26,8 9,3 14,2 40,0 0,9 20,0110 28,6 10,4 16,0 42,3 1,0 22,1140 37,4 12,5 19,2 50,9 1,1 26,2160 43,4 13,9 21,4 56,7 1,2 28,9

    Fonte: Hidrulica Geral, Paschoal Silvestre

    Exemplos:l. Na instalao da figura, verificar se a mquina

    uma bomba ou uma turbina e determinar a suapotncia, sabendo que seu rendimento 75%. Sabe-seque a presso indicada por um manmetro instalado na

    seo (2) 0,16 MPa, a vazo l0 L/s, a rea da seodos tubos l0 cm2 e a perda de carga entre as sees (l)e (4) 2 m.

    No dado o sentido do escoamento,

    2

    4 310H O N m ; g = 10 m/s2.

    SoluoDeve ser notado, inicialmente, que a seo (4) o

    nvel do reservatrio inferior sem incluir a parte internado tubo, j que nesta no se conhece a presso.

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    1111

    Sabe-se que o escoamento acontecer no sentidodas cargas decrescentes, num trecho onde no existemquina. Para verificar o sentido, sero calculadas ascargas nas sees (l) e (2).

    2

    1 11 1 0 0 24 24

    2

    v pH z m

    g

    22 2

    2 22

    v pH z

    g

    3

    2 4

    10 1010

    10 10

    Qv m s

    A

    2

    2 22 2

    2

    v pH z

    g

    2 6

    2 4

    10 0,16 104 25

    2 10 10H m

    Como H2> H1, conclui-se que o escoamento

    ter o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma,sendo a mquina, portanto, uma bomba.Aplicando-se a equao da energia entre as sees

    (4) e (1), que compreendem a bomba.Lembrar que a equao deve ser escritano sentido do escoamento.

    144 1B pH H H H

    2

    4 44 4

    2

    v pH z

    g

    1 24H m

    4 0H 14 2pH

    141 424 0 2 26B pH H H H

    4 310 10 10 263470 3, 47

    0,75BB

    ot

    B

    QHP W kW

    2. No escoamento lamelar de um fluido emcondutos circulares, o diagrama de velocidades representado pela equao:

    2

    max 1r

    v r vR

    onde vmax

    a velocidade no eixo do conduto, R o raio do conduto e r um raio genrico para o qual avelocidade v genrica. Sendo vm a velocidade mdia:

    0

    12

    R

    mv v r dA dA r dr

    A

    A figura mostra a variao de v(r) com r.

    (a) Encontre a velocidade mdia:

    A

    A

    v r dA

    vdA

    (b) Mostre que:

    max

    1

    2mv

    v

    3. No escoamento turbulento de um fluido emcondutos circulares, o diagrama de velocidades dado

    pela equao:

    1 7

    max1

    rv r v

    R

    Mostre que:

    max

    49

    60mv

    v

    4. Na instalao da figura, a mquina umabomba e o fluido gua. A bomba tem uma potncia de5 kW e seu rendimento 80 %. A gua descarregada atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cujarea de seo 10 cm2 Determinar a perda de carga dofluido entre (1) e (1) e a potncia dissipada ao longo datubulao. Dados: H2O=10

    4N/m3; g = 10m/s2.

    (1)

    5m(2)

    B

    Soluo:121 2B p

    H H H H 2

    1 11 1 10 0 5 5

    2

    v pH z H m

    g

    2 22 2

    2 2

    50 0

    2 2 10

    v pH z

    g

    21.25H m

    BB

    B

    Q HP

    B B B B

    B B

    P PH Q v A H

    Q v A

    3

    4 4

    0.8 5 10

    10 5 10 10BH

    80BH m

    121 2B p

    H H H H

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    1212

    12 1 2p BH H H H

    125 1.25 80pH

    1283.75pH m

    1,2diss p

    P Q H 410 5 10 83.75dissP

    4190diss

    P W

    4.19diss

    P kW

    5. A equao de Bernoulli, quando h umamquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento dofluido se d de (1) para (2) pode ser reescrita da forma,considerando que h uma perda de carga Hp12 (Energia

    perdida por unidade de peso) de 3m :

    h

    h2 (2)

    H2(p2, 2v

    ,h2)

    M

    H1(p1, 1v

    ,h1)

    h1 (1)

    121 2M pH H H H

    SeHM> 0 Bomba

    otP

    BotP

    Potncia da Bomba e rendimento:

    B

    otot B B

    ot

    PP QH

    P

    SeHM< 0 turbinaotP

    TotP

    Potncia da Turbina e rendimento:Tot

    ot B T ot

    P

    P QH P Considere que no h perda de carga (Hp12=0)

    na figura abaixo:(1) (2)

    24 m5 m

    Considere o reservatrio grande fornecendogua para o tanque a 10L/s. Verifique se a mquina

    instalada bomba ou turbina e determine sua potncia,se o seu rendimento de 75%. Supor fluido ideal.Dados:Atubos = 10 cm

    2; g = 10m/s2; a=104N/m3.

    6. Na instalao da figura, verificar se a mquina uma bomba ou uma turbina e determinar a sua

    potncia, sabendo que seu rendimento 70%. Sabe-seque a presso indicada por um manmetro instalado naseo (2) 0,17 MPa, a vazo l2 L/s, a rea da seodos tubos l0 cm2 e a perda de carga entre as sees (l)e (4) 2 m.

    No dado o sentido do escoamento:

    2

    4 310H O N m ; g = 10 m/s2.

    Soluo:2

    1 1

    1 1 0 0 24 242

    v p

    H z mg 3

    2 4

    12 1012

    10 10

    Qv m s

    A

    2

    2 22 2

    2

    v pH z

    g

    2 6

    2 4

    12 0,17 104 27.2

    2 10 10H m

    ComoH2>H1, conclui-se que o escoamento ter osentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo amquina, portanto, uma bomba.

    Aplicando-se a equao da energia entre as sees(4) e (1), que compreendem a bomba.

    Lembrar que a equao deve ser escritano sentido do escoamento.

    M

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    1313

    144 1B pH H H H

    2

    4 44 4

    2

    v pH z

    g

    124H m

    4 0H 14 2pH

    141 424 0 2 26

    B pH H H H

    4 310 12 10 264457.14 4.457

    0,70BB

    ot

    B

    QHP W kW

    7. Quais so as vazes de leo em massa e em pesodo tubo convergente da figura, para elevar uma colunade 20 cm de leo no ponto (0)?

    80 mm 40 mm

    20 cm

    (0) (1) Soluo:

    2 2

    0 0 1 10 1

    2 2

    v p v pz z

    g g

    0 0.2p

    22

    0 01

    2 2

    v pv

    g g

    2 2

    1 00.2 20v v

    2 2

    1 04v v

    0 0 1 1A v A v

    2 2

    0 10 1

    4 4

    D Dv v

    2 2

    0 1 1 080 40 44 4

    v v v v

    2 2

    0 0 016 4 0.52

    mv v v

    s

    2

    0 04

    Q D v

    20.08 0.524

    Q

    3

    0.0026 2.6m l

    Q Qs s

    mQ Q

    mQ Qg

    80000.0026

    10mQ

    2.1mkg

    Qs

    g mQ g Q

    21gQ N s

    8. Na extremidade de uma tubulao de dimetro D,acha-se instalado um bocal que lana um jato de gua naatmosfera com dimetro de 2 cm. O manmetrometlico registra uma presso de 20 kPa e a gua sobeno tubo de Pitot at a altura de 2.5 m. Nessas condies,determinar:

    (a) A vazo em peso do escoamento.(b) O dimetro D do tubo admitindo escoamento

    permanente e sem atrito. a = 10 N/L

    D

    (1) (2)

    Soluo:(a)

    2

    22 22 7.07

    2

    ms

    vh v g h v

    g

    2

    2 24

    gQ D v

    4 210 0.02 7.074

    gQ

    22.2gN

    Qs

    (b)

    2 2

    1 1 2 21 2

    2 2v p v pz zg g

    2 2

    1 2 1

    2 2

    v v p

    g g

    2 2 3

    114

    7.07 20 103.16

    2 2 10 10ms

    vv

    g

    2 2

    1 21 2

    4 4

    D Dv v

    2

    1 21

    vD D

    v

    13D cm

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    1414

    9. Um dos mtodos para se produzir vcuo numacmara descarregar gua por um tubo convergente-divergente, como mostrado na figura. Qual deve ser avazo em massa de gua pelo convergente-divergente

    para produzir uma depresso de 22 cm de mercrio nacmara da figura? Dados: desprezar as perdas de carga.

    2

    4

    310

    H ONm

    ; 53

    1.36 10Hg

    Nm

    210

    mg

    s

    172D mm

    236D mm

    Cmarapatm

    (1) (2)

    Soluo:5

    2 2 1.36 10 0.22Hgp h p

    229920p Pa

    2 21 1 2 2

    1 2

    2 2

    v p v pz z

    g g

    2 2 22 1

    2p

    v v g

    2 2

    2 1 4

    2992020

    10v v

    2 2

    2 1 59.84v v

    1 1 2 2A v A v

    2 2

    1 21 2

    4 4

    D Dv v

    2 14v v

    1 2ms

    v

    mQ Qg

    1 1mQ A v

    g

    2

    11

    4m

    DQ v

    g

    4 210 0.0722

    10 4m

    Q

    8.14kg

    m sQ

    10. Desprezando os atritos do pisto da figura,determinar:

    (a) a potncia da bomba em kW se seu rendimentofor 80%.

    (b) a fora que o pisto pode equilibrar a haste.

    H2O

    Dados: A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = 10 cm2

    AG = 8 cm2; Ap = 20 cm

    2; AH = 10 cm2

    Hp1,2 = Hp1,4 = 0.5 m; Hp4,5 = 0.

    Soluo:(a)

    1,6

    22

    6 61 11 6

    2 2B p

    v pv pz H z H

    g g

    1,6

    2

    61

    2B p

    vz H H

    g

    1,6

    26

    12

    B p

    vH H z

    g

    2102 4

    20B

    H

    3B

    H m

    6 6Q A v

    410 10 10Q 3

    0.01m

    Q

    s

    BB

    B

    Q HP

    410 0.01 3

    0.80B

    P

    375B

    P W (b)

    4 p G p H p A p A A F

    4 p G p H F p A p A A

    4,6

    226 64 4

    4 62 2

    p

    v pv pz z H

    g g

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    1515

    4,6 4,6

    44p p

    pH p H

    4 4

    4 410 1 10p p Pa 22

    4 4

    42 2

    G G

    G

    v pv p

    z zg g

    2 2

    44

    2

    G Gp v vp

    g

    G G G

    G

    QQ A v v

    A

    4

    0.01

    8 10Gv

    12.5Gm

    v

    s

    2 2

    44

    2

    G Gp v vp

    g

    4 2 2

    4 4

    10 10 12.5

    10 10 20

    Gp

    41.81 10Gp Pa

    4 p G p H F p A p A A

    4 4 4 4 410 20 10 1.81 10 20 10 10 10F

    38.1F N 11. Sabendo que a potncia da bomba 3 kW, seu

    rendimento 75 % e que o escoamento de (1) para (2),determinar:

    (a) a vazo.(b) a carga manomtrica da bomba.(c) a presso do gs.Dados:

    3A5 = A4 = 100 cm2

    Hp1,2 = Hp5,6 = 1.5 m; Hp1,4 = 0.7m.

    2

    4

    310H O

    N

    m

    Gs(6)

    4m(2) (3) (4) (5)

    B

    2mh = 0.8m

    (1)F =1.2.105N/m3

    (H2O)

    Soluo:(a)

    22

    5 54 44 5

    2 2

    v pv pz z

    g g

    2 2 4 55 4

    2p p

    v v g

    Equao manomtrica:

    4 5 Fp p h

    5 4

    4 5 1.2 10 10 0.8p p 4

    4 5 8.8 10p p Pa 4

    2 2

    5 4 4

    8.8 102 10

    10v v

    2 2

    5 4176v v

    4 4 5 5A v A v

    5 4 5 53 A v A v

    5 43v v

    2 2 2 2

    4 4 4 43 176 9 176v v v v

    4 4

    1764.7

    8

    mv v

    s

    4

    4 4 4 4 100 10 4.7Q A v Q

    3

    40.047

    mQ

    s

    (b)

    BB

    B

    Q HP

    B BB

    PHQ

    3

    4

    3 10 0.75

    10 0.047BH

    4.8BH m (c)

    1,6

    22

    6 61 11 6

    2 2B p

    v pv pz H z H

    g g

    1,6 1,6

    6 66 6B p B p

    p pH z H H z H

    1,6 1,6

    6 66 6B p B p

    p pH z H H z H

    1,66 6B p

    p H z H

    1,6 1,2 3,4 5,6p p p pH H H H

    1,6

    1.5 1.5 0.7pH

    1,63.7pH m

    46 10 4.8 6 3.7p 4

    6 4.9 10p Pa 4

    6 4.9 10p Pa

    649p kPa

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    1616

    12. Dado o dispositivo, calcule a vazo de

    escoamento de gua no conduto.2 2

    1 1 2 21 2

    2 2

    v p v pz z

    g g

    2 21 2 2 1

    2p p v v

    g

    1 2 mp p h

    4 41 2 6 10 1 10 0.2p p 2

    1 2 1 10p p Pa 2 2

    1 2 2 1

    2

    p p v v

    g

    1p h

    4

    13.8 10p Pa

    2

    1 2 1 10p p Pa 2

    20p kPa 3 2

    120 10 1 10p

    1 20100p Pa

    1

    2 pv

    1 1 2 2A v A v

    13. Determinar a perda de carga por km de

    comprimento de uma tubulao de ao de seo circularde dimetro 45 cm. O fluido leo com viscosidade

    cinemtica = 1.06.10-5 m/s e a vazo 190 L/s. Soluo:

    Tubulao de ao: k= 4.6.10-5m.D =DH = 0.45m

    QQ A v v

    A

    3

    2

    4 4 190 10

    0.45

    Qv

    D

    1.19m

    vs

    Nmero de Reynolds:

    R

    vN

    R

    vN

    g

    H

    R

    v DN

    5

    1.19 0.45

    1.06 10R

    N

    45 10RN

    2

    2f

    H

    L vh f

    D g

    Tubulao de ao:K= 4.6.10-5m

    4

    5

    0.45

    104.6 10K K

    A funofdeve ser calculada no ponto:

    4 45 10 , 10R

    f f NK

    0.021f 21000 1.19

    0.0210.45 2 10

    fh

    3.3fh m 14. Calcular a vazo num conduto de ferro

    fundido, sendo dados D = 10 cm, = 0.7.10-6 m/s esabendo que os dois manmetros instalados a umadistncia de 10m indicam, respectivamente, 0.15MPa e0.145 MPa. Dado: a = 10

    4N/m.

    p1 p2

    (1) L = 10 m (2)

    Soluo:1 2

    1,2

    p ph

    61,2 1,24

    0.15 0.145 100.5

    10h h m

    2

    2L

    H

    L vh f

    D g

    2 L Hg h Dvf L

    2

    2 L Hg h Df

    v L

    Nota-se que o valor def funo de:

    , HRD

    f f N fK

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    1717

    Calculando:

    RN fH

    R

    v DN

    2

    2H L H

    R

    v D g h DN f

    v L

    2H L HR

    D g h DN f

    L

    6

    0.1 2 10 0.5 0.1

    0.7 10 10RN f

    44.5 10R

    N f

    4

    0.1

    3852.59 10

    H H HD D D

    K 44.5 10 , 385HR

    Df f N f

    K

    44.5 10 , 385 0.027HRD

    f f N fK

    2 L Hg h Dvf L

    2 10 0.5 0.11.92

    0.027 10

    mv v

    s

    Note que podemos azer:

    H RR

    H

    v D NN v

    D

    5 6

    2.8 10 0.7 101.96

    0.1

    mv v

    s

    O primeiro resultado de maior confiabilidade,

    pois a leitura def mais precisa, pela escala utilizada.Assim:

    2

    4

    DQ A v Q v

    20.11.92

    4Q

    321.51 10

    mQ

    s

    15.1L

    Qs

    15. Calcular o dimetro de um tubo de ao quedever transportar uma vazo de 19L/s de querosene

    (viscosidade cinemtica: = 3.10-6 m/s) a umadistncia de 600 m, com uma perda de carga de 3m.

    Soluo:

    2

    2L

    H

    L vh f

    D g

    2

    2 5 2

    4 8L

    Q L Qv h f

    D D g

    2

    52

    8

    L

    f L QD

    h g

    1a tentativa: Adotando-sef1 = 0.02

    2

    15

    1 2

    8

    L

    f L QD

    h g

    2

    3

    5

    1 2

    8 0.02 600 19 10

    3 10D

    1 0.164D m 3

    1 1 12 2

    1

    4 4 19 100.9

    0.164

    Q mv v v

    D s

    1 1 1

    41

    6

    0.9 0.1644.92 10

    3 10R R R

    v DN N N

    1

    5

    0.1643.56

    4.6 10

    HD D

    2a tentativa: Adotando-sef2 = 0.0232

    252 2

    8

    L

    f L QD h g

    2

    3

    5

    2 2

    8 0.023 600 19 10

    3 10D

    2 0.165D m Veja que no h variao significativa no

    nmero de Reynolds e na razo D/ dimetro commudanas no dimetro. Assim:

    0.165D m

    16. Na instalao da figura, a bomba B recalcaa gua do reservatrio R1 para o reservatrio R2, ambosem nvel constante. Desprezando as perdas de cargasingulares, calcule:

    (a) A vazo da tubulao.(b) A potncia na bomba em kW quando o

    rendimento 75%.(2) R2

    10 mR1

    (1)

    B

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    1818

    Soluo:(a) Como as perdas singulares so

    desprezveis:2

    2

    L

    H

    L vh f

    D g

    2 L Hg h Dvf L

    2H L HR

    D g h DN f

    L

    2 2

    6

    10 10 2 10 10 10 4

    1 10 50R

    N f

    44 10R

    N f

    2

    4

    10 10 4002.5 10

    H HD D

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:

    44 10 , 400 0.025HRD

    f f N fK

    2 L Hg h Dvf L

    22 10 10 10 4

    2.550.025 50

    mv v

    s

    2

    4

    DQ A v Q v

    210 102.55

    4Q

    3320 10

    mQ

    s

    20L

    Qs

    (b) Montando a equao da energia entre (1) e(2) teremos:

    1,21 2B pH H H H

    1,22 1B pH H H H

    2 12 1 2 1

    p pH H z z

    2 1 2 1H H z z

    2 1 10H H m

    1,2

    2

    2p L

    H

    L vH h fD g

    1,2

    250 2.55

    0.0250.1 2 10

    p LH h

    1,2

    250 2.55

    0.025 4.0640.1 2 10

    p LH h m

    1,22 1B pH z z H

    10 4 14BH m 4 310 20 10 14

    0.73e eB

    B B

    B

    Q HP P

    3.8eB

    P kW 17. Dada a tubulao na figura, cuja seo (2)

    est aberta atmosfera, calcular:(a) a perda de carga entre as sees (1) e (2).(b) a vazo em volume.Sabe-se que o escoamento laminar.Dados: = 9.103N/m; = 0.5.10-m/s;

    L12 = 30m;D = 15 cm;p1 = 32.8 kPa.

    p1

    D

    (1) L12 (2)

    Soluo:1,21 2 p

    H H H

    1 21 2 1 2

    p pH H z z

    12

    11 2p

    pH H H

    12 12

    3

    1 2

    32.8 103.64

    9000

    p pH H H H m

    1,2

    2

    2p L

    H

    L vH h f

    D g

    Como o escoamento laminar:

    64

    R

    fN

    1,2

    264

    2p L

    R H

    L vH h

    N D g

    1,2

    264

    2p L

    H H

    L v

    H h v D D g

    1,2 2

    64

    2p L

    H

    v LH h

    g D

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    1919

    22

    64

    L Hh g DvL

    42

    256L Hh g DQ A v Q

    L

    30.1LQs

    18. No trecho (1) (5) de uma instalaoexistem: uma vlvula de gaveta (2), uma vlvula tipoglobo (3) e um cotovelo (4). Sendo a tubulao de aode dimetro 2 (5cm), determinar a perda de carga entre(1) e (5) sabendo que a vazo 2L/s e que ocomprimento da tubulao entre (1) e (5) 30 m.

    Dado: = 10-6m/s.

    Soluo:O comprimento das singularidades

    desprezado e supe-se que a perda de cargadistribuda seja devida a 30 m de tubulao.

    Assim:

    1,5 1,5 2 3 4p f s s sH h h h h

    Da tabela de um fabricante, obtm-se:Vlvula gaveta (2):Leq2 = 0.335mVlvula tipo globo (2):Leq3 = 17.61 mCotovelo (2):L

    eq4= 3.01 m.

    Tudo se passa como se a tubulao tivesse umcomprimento de:

    (2) (3) (4)real eq eq eqL L L L L

    30 0.335 17.61 3.01L 51L m

    2

    2f

    H

    L vh f

    D g

    A velocidade ser:2

    2

    4

    4

    H

    H

    D QQ A v Q v v

    D

    3

    22

    4 2 101

    5 10

    mv v

    s

    2

    6

    1 5 10

    10

    HR R

    v DN N

    45 10RN Para ao:

    54.6 10k m 2

    5

    5 101090

    4.6 10

    H H HD D D

    k

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:

    45 10 , 1090 0.025HR

    Df f N

    k

    2

    2

    51 10.025

    5 10 2 10fh

    1.28fh m

    19. Sendo a pressop8 mantida igual a 532 kPaconstante, determinar a potncia da bomba derendimento 0.7 e a presso de entrada dela se a vazo for40 L/s. Dados:Tubos de ferro galvanizado:

    K= 0.15.10-3m;ks1 = 15; ks2 = ks6 = 10; ks7 = 1; ks4 = 0.5;

    pvH2O = 1.96 kPa (abs.); = 104 N/m; = 10-6 m/s;

    patm = 101 kPa

    Soluo:Nota-se que os dimetros da suco e do

    recalque so diferentes. Portanto, o clculo das perdas

    dever ser feito separadamente. Se os dimetros fossemos mesmos, poderamos efetuar o clculo diretamenteentre as sees (0) e (8).

    0,80 8B pH H H H

    Assumindo o PHR no nvel (0), tem-seH0 = 0.

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    2020

    0,8 0,8

    2 3

    8 88 8 4

    532 100 7.5

    2 10p p

    v pH k z H

    g

    0,860.7

    pH m

    0,8 S R S Rp f f s sH h h h h

    Suco: 2

    2

    4

    4

    HS S S

    H

    D QQ A v Q v v

    D

    3

    22

    4 40 102.26

    15 10

    mv v

    s

    2

    6

    2.26 15 10

    10

    HR R

    v DN N

    53.4 10R

    N

    Perda distribuda:2

    3

    15 101000

    0.15 10

    H H HD D D

    k

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:

    43.4 10 , 1000 0.021HS R

    Df f N

    k

    2

    2SS

    S Sf S

    H

    L vh f

    D g

    2

    2

    12 2.26

    0.02115 10 2 10Sfh 0.43

    Sfh m

    Perda singular:

    1 2 3

    2 2 2

    2 2 2SS S S

    s s s s

    v v vh k k k

    g g g

    1 2 3

    2

    2SS

    s s s s

    vh k k k

    g

    22.26

    15 0.9 10

    2 10Ss

    h

    6.61Ss

    h m

    0.43 6.61 7.04e f Sp s s

    h h h m Recalque:

    2 215

    2.2610

    SR S R

    R

    Dv v v

    D

    5.1Rm

    vs

    Perda distribuda:

    2

    6

    5.1 10 10

    10

    HR R

    v DN N

    55.1 10RN

    2

    3

    10 10666

    0.15 10

    H H HD D D

    k

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:

    55.1 10 , 666 0.023HR R

    Df f N

    k

    2

    2RR

    R Rf R

    H

    L vh f

    D g

    2

    2

    36 5.10.023

    10 10 2 10Rfh

    10.8Rf

    h m Perda singular:

    4 5 6 7

    2 2 2 2

    2 2 2 2RR R R R

    s s s s s

    v v v vh k k k k

    g g g g

    4 5 6 7

    2

    2RR

    s s s s s

    vh k k k k

    g

    25.1

    0.5 10 0.9 12 10R

    sh

    16.1Rs

    h m

    5,810.8 16.1 26.9

    R Rp s sH h h m

    A perda total na instalao ser:

    0,8 0, 5,87 26.9 33.9

    ep p pH H H m

    0,80 8B pH H H H

    0,88 0B pH H H H

    60.7 33.9 0BH

    94.6BH m A potncia da bomba ser:

    BB

    Q HP

    4 310 40 10 94.6

    0.7B

    P

    54BP kW Presso na entrada:Aplicando a equao da energia entre (0) e (e):

    0,0 eM e pH H H H

    0,0 0

    ee pH H

    0,

    2

    02 e

    e ee p

    v pz H

    g

    0,

    2

    2 ee

    e e p

    vp z H

    g

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    2121

    24 2.2610 0.5 7

    2 10e

    p

    77.5ep kPa

    77.5 101abs abse e atm e

    p p p p kPa kPa

    23.5abse

    p kPa

    23.5 1.96abse v

    p kPa p kPa Logo, a tubulao est bem dimensionada.

    20. gua escoa num conduto que possui doisramais de derivao. O dimetro do conduto principal 15 cm e os das derivaes so 2.5 cm e 5 cm,respectivamente. O perfil de velocidades no conduto

    principal :

    1

    2

    max

    1

    1r

    v r vR

    e nas derivaes:

    2,3

    1

    7

    max

    2,3

    1r

    v r vR

    Se vmax1 = 0.02 m/s e vmax2 = 0.13 m/s,determinar a velocidade mdia no tubo de 5 cm dedimetro.

    (3)

    5cm

    15cm

    (1)2.5cm

    (2)

    Soluo:1 2 31 2 3 1 2 3m m m

    Q Q Q A v A v A v

    1 2 3

    22 2

    31 2max max max

    1 49 49

    4 2 4 60 4 60

    dd dv v v

    1 2 3

    2 2 2

    max max max

    15 1 2.5 49 5 49

    4 2 4 60 4 60v v v

    3max

    225 306.25 12250.02 0.13

    8 240 240v

    3max0.5625 0.17 5.1 v

    3max0.07696 mv

    s

    3

    3

    3max

    49 490.07696

    60 60

    m

    m

    vv

    v

    30.0628

    m

    mv

    s

    21. O esquema a seguir representa um canalcom 25 cm de largura. Admitindo escoamentobidimensional e sendo o diagrama de velocidades dadopor:

    230v y y ondey est em cm e v em cm/s. Determinar a velocidademdia na seo.

    vm = 66.7 cm/s

    Exemplos resolvidos1. Determinar a vazo de gua no tubo Venturi,

    mostrado na figura abaixo, sabendo-se que a diferenade presso entre os pontos A e B igual a 5.286kgf/m.

    Resp.: Q = 172 L/s

    Soluo:A BH H

    2 2

    2 2

    A A B BA B

    v p v py y

    g g

    A A B BA v A v 2 2

    4 4

    A BA Bv v

    2

    2

    BA B

    A

    v v

    2

    2

    150

    300A Bv v 1

    44A B B Av v v v

    2 2

    2 2

    A A B BA B

    v p v py y

    g g

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    2222

    2 2

    2

    A B B AB A

    p p v vy y

    g

    2 2

    4

    45286 100.75

    10 2 9.81

    A Av v

    2 2165.286 0.75

    19.62

    A Av v

    219.62 5.286 19.62 0.75 15 Av 2103.711 14.715 15

    Av

    2 103.711 14.715 88.996

    15 15A Av v

    2.436A

    mv

    s

    A AQ A v

    2

    4

    AAQ v

    20.32.436

    4Q

    3

    0.1722m

    Qs

    10000.1722

    LQ

    s

    172.2L

    Qs

    2. Calcular a presso relativa no incio do dutode 250mm de dimetro e a altura h de gua, sabendo-se que a vazo de 105 L/s e descarrega na atmosfera.

    Resp.: p1 = 0,350 kgf/cm2 h = 3,73 m

    (A)

    (C) (B)

    Soluo:2 2

    2 2

    A A B BA B

    v p v py y

    g g

    220 0 00 2

    2 2

    BB

    vh v g h

    g g

    2 2

    2 2

    C C B BC B

    v p v py y

    g g

    3

    105 0.105C C B BL m

    A v A v s s 2 2

    4 4

    C BC Bv v

    2

    2

    BC B

    C

    v v

    2

    2

    125

    250C Bv v

    1 44

    C B B C v v v v

    2 2

    4

    4

    C C

    C C

    Q Qv v

    2

    4 0.1052.139

    0.250C C

    mv v

    s

    4 4 2.139 8.556B C B B

    mv v v v

    s

    2 2

    00 02 2

    C C Bv p vg g

    2 2

    4

    2.139 8.556 00 0

    2 9.81 10 2 9.81

    Cp

    40.233196 3.731148

    10

    Cp

    43.731148 0.233196

    10

    Cp

    34979.53C

    p Pa

    2 4 2

    11 1

    9.81 10

    N kgfPa

    m cm

    20.35C

    kgfp

    cm

    2

    22

    BB

    vv g h h

    g

    28.556

    2 9.81h

    3.7311h m

    3. Sabe-se que, no sistema abaixo, as presses

    relativas nos pontos A eB so respectivamente 1,5 e-0,35 kgf/cm2 e a vazo de gua igual a Q = 0,21 m3/s.Determinar a potncia real da turbina, para rendimentode 60%.

    Resp.: PrT = 33,5 cv

    Soluo:

    2

    3 4 3

    2 3 39.81 10 10 10H O

    N N kgf

    m m m

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    2323

    A B TH H H 2 2

    2 2

    A A B BA B T

    v p v py y H

    g g

    A A B B

    A v A v

    2 2

    0.214 4

    A BA BQ v v

    2 2300 6004

    4 4A B A Bv v v v

    4

    2 21 9.81 10

    kgf N

    cm m

    2 20.3 0.6

    0.214 4

    A Bv v

    2

    4 0.212.97

    0.3A A

    mv v

    s

    2.97

    0.7434 4

    AB B B

    v mv v v

    s

    2 2

    2 2

    A A B BA B T

    v p v py y H

    g g

    42 4 2

    3 3

    0.35 9.81 102.97 1.5 9.81 10 0.7431

    2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10TH

    0.44959 15 1 0.028137 3.5 TH

    16.44959 3.471863 TH

    19.921453TH m

    T T TP Q H 30.6 9.81 10 0.21 19.921453TP

    24624.11TP W1 735 1 1.014cv W HP CV

    24624.1133.5

    735T TP W P cv

    4. Calcular a potncia real da turbina (T =70%) e as presses relativas nos pontos 1 e 2, dosistema mostrado na figura abaixo.

    Resp.: PrT = 38 cv p1 = 2,99 kgf/cm2 p2 = 0,481kgf/cm2

    Soluo:

    2

    3 43

    9.81 10 10H O Nm

    2 2 3 3Q A v A v

    22

    322 3

    4 4v v

    2 2

    32 3 22 2

    2

    1509.15

    250v v v

    2 3.294mvs

    2 3H H 22

    3 32 22 3

    2 2

    v pv py y

    g g

    2 2 4

    2

    3 3

    3.294 9.15 0.5 9.81 100 6.1

    2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10

    p

    2

    30.553029 4.2672 5 6.1

    9.81 10

    p

    2

    35.3672 0.553029

    9.81 10

    p

    2 24814.17

    kgfp

    m

    1 2

    2 2 1 1 2 1 3.294m

    Q A v A v v vs

    0 1H H 2 2

    0 0 1 1

    0 12 2

    v p v p

    y yg g 2 2

    1

    3

    0 0 3.39430.5 0

    2 2 9.81 9.81 10

    p

    g

    1

    330.5 0.58711

    9.81 10

    p

    31 30.5 0.58711 9.81 10p

    1 293445.4509p Pa

    1 4 2

    1293445.4509

    9.81 10

    kgfp

    cm

    1 22.99

    kgfp

    cm

    1 2TH H H 2 2

    1 1 2 21 2

    2 2T

    v p v py H y

    g g

    2 2

    2 2 1 12 1

    2 2T

    v p v pH y y

    g g

    2 2

    1 1 2 2

    1 22 2T

    v p v pH y y

    g g

    1 2T

    p pH

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    2424

    3

    293445.4509 47227.007

    9.81 10T

    H

    25.1328T

    H m

    T T TP Q H

    3 3Q A v 23

    34

    Q v

    20.159.15

    4Q

    3

    0.16169m

    Qs

    30.7 9.81 10 0.16169 25.13TP 27902.47

    TP W

    1 735 1 1.014cv W HP CV 27902.47

    37.96735

    T TP W P cv

    5. Calcular a potncia terica da bomba, nosistema mostrado na figura abaixo, sabendo-se que as

    presses relativas nos pontos 1, 2 e 3 sorespectivamente: -2.290 kgf/m; 15.000 kgf/m e 11.220kgf/m.

    Resp.: PtB = 7,9 cv

    Soluo:2 2 1 1 3 3

    Q A v A v A v 22 2

    31 21 2 3

    4 4 4v v v

    2 2

    12 1 2 1 2 12 2

    2

    3004

    150

    v v v v v v

    2 21

    3 1 3 1 3 12 2

    3

    30018.367

    70v v v v v v

    2 3H H 22

    3 32 22 3

    2 2

    v pv py y

    g g

    2 2

    1 1

    3 3

    4 18.36715000 9.81 11220 9.81

    2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10

    v v

    2 2

    1 10.81549 15 17.194 11.22v v 2 2

    1 115 11.22 17.194 0.81549v v 2

    1 1

    3.7816.37853 3.78

    16.37853v v

    1 0.4804m

    vs

    2 1 2 24 4 0.4804 1.9216

    mv v v v

    s

    3 1 318.367 18.367 0.4804v v v

    3 8.8235m

    vs

    1 2BH H H 2 2

    2 2 1 12 1

    2 2B

    v p v pH y y

    g g

    2 2

    2 1 2 1

    2B

    v v p pH

    g

    2 23

    15000 2290 9.811.9216 0.481675

    2 9.81 9.81 10B

    H

    0.17637 17.29B

    H

    17.46637BH m

    B BP Q H

    2

    11

    4B B

    P v H

    23 0.39.81 10 0.4804 17.46637

    4B

    P

    5818.446BP W

    11735

    W cv

    5818.446

    735BP cv

    7.91B

    P cv

    6. Calcular a vazo de gua no sistema abaixo,sabendo-se que a potncia terica da bomba de 11,8 cve a tubulao tem dimetro constante.

    Resp.: Q = 0,203 m3/s

    Soluo:1 735cv W

    11.8 735BP W

    8673BP W

    B BP Q H 1 2BH H H

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    2525

    2 2

    1 1 2 21 2

    2 2B

    v p v py H y

    g g

    2 2

    2 12 1

    2 2B

    p pv vH y y

    g g

    2 12 1B

    p pH y y

    4

    3

    1.035 2.1 9.81 1015

    9.81 10B

    H

    4.35B

    H m

    B BP Q H

    B

    B

    PQ

    H

    3

    8673

    9.81 10 4.35Q 3

    0.203m

    Qs

    7. Calcular a potncia terica da turbina, nosistema abaixo, sabendo-se que a gua sai na atmosferano final do tubo de dimetro 75 mm.

    Resp.: PrT = 13.7 cv

    Soluo:2

    4Q A v v

    2 3

    0.075 9 0.039764

    mQ Qs

    0 3TH H H 2 2

    0 0 3 30 3

    2 2T

    v p v py H y

    g g

    2 20 0 9 030 0

    2 2 9.81T

    Hg

    30 4.128 25.872T T

    H H m

    T TP Q H

    39.81 10 0.03976 25.872TP

    10091.088T

    P W

    11

    735W cv

    10091.088

    735TP cv

    13.729TP cv 8. No sistema abaixo, a velocidade no ponto C

    igual a 3.66 m/s, onde a gua sai na atmosfera. Apresso relativa no ponto A igual a 0.35 kgf/cm2.A perda de carga entre os pontos A e C igual a h= 3.05m. A potncia real da bomba igual a 20 cv, comrendimento de 70%. At que altura H , a bomba

    poder elevar gua, sabendo-se que o sistema temdimetro constante e igual a 150 mm?

    Resp.: H = 7,8 m

    Soluo:e

    BB

    B

    Q HP

    eB B

    B

    PH

    Q

    C CQ A v

    2

    4C

    CQ v

    20.153.66

    4Q

    3

    0.064677m

    Qs

    3

    20 735 0.7

    9.81 10 0.064677BH

    16.2179

    BH m

    ACA B C p

    H H H H

    22

    2 2 ACC CA A

    A B C p

    v pv py H y H

    g g

    2 24

    3

    0.35 9.81 10 00 16.2179 1.8 3.05

    2 9.81 10 2

    A Av v Hg g

    3.5 16.2179 1.8 3.05H

    12.7179 4.85 12.7179 4.85H H 7.8679H m

    9. Determinar a potncia real da bomba (B =80%) e as presses relativas nos pontos 1 e 2 , nosistema abaixo, sabendo-se que: a vazo de gua de 40L/s, a perda de carga entre os pontos A e 1 3 vezes a

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    2626

    carga cintica do ponto 1 e a perda de carga entre ospontos 2 e B 20 vezes a carga cintica do ponto 2.

    Resp.: PrB = 66 cv p1 = 0,496 kgf/cm2 p2 = 10,408

    kgf/cm2

    Soluo:e

    BombaB

    B

    Q HP

    ,1 13

    AP cH E

    ,1

    2

    132A

    P

    vH

    g

    2, 220

    BP cH E

    2,

    2

    2202B

    P

    vH

    g

    3

    1 1 2 2 40 0.04L m

    Q A v A vs s

    2 2 22 2 2

    2 2

    0.04 0.16 0.160.1

    4

    v v v

    2 5.0929m

    vs

    1 1 12 2 2

    1 1

    0.04 0.16 0.16

    0.15

    4

    v v v

    1 2.2635m

    vs

    ,11 AA pH H H

    2 2 2

    1 1 11 3

    2 2 2

    A AA

    v p v p vy y

    g g g

    2 2

    1

    3

    0 0 2.2635 2.26350 6 3

    2 2 10 2

    p

    g g g g

    1

    30 0.261133 6 0.7833994

    9.81 10

    p

    31 4.9554675 9.81 10p

    1 48613,1369p Pa

    1 4 2

    148613,1369

    9.81 10

    kgfp

    cm

    1 20.495546

    kgfp

    cm

    2,2 BB pH H H

    2 2 2

    2 2 22 20

    2 2 2

    B BB

    v p v p vy y

    g g g

    2 2 2

    25.0929 0 0 5.09296 73 202 2 2

    p

    g g g

    2

    31.289033 6 73 26.43999

    9.81 10

    p

    3

    2 98.15095 9.81 10p

    2 962860.89p Pa

    2 4 2

    1962860.89

    9.81 10

    kgfp

    cm

    2 29.815 kgfp cm

    1 2BombaH H H

    2 2

    1 1 2 21 2

    2 2Bomba

    v p v py H y

    g g

    2 2

    3 3

    2.2635 48613,1369 5.0929 962860.896 6

    2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10Bomba

    H

    0.261133 4.955467 1.289 98.150957BombaH

    5.2165 99.43Bomba

    H

    94.2135Bomba

    H m

    e

    BombaB

    B

    Q HP

    39.81 10 0.04 94.2135

    0.8eBP

    46211.72eB

    P W 45896.28

    735eBP cv

    63eB

    P cv

    10. Supondo que no sistema do exerccio n 9,os dois reservatrios estejam fechados (pA e pB 0) esabendo-se que as presses relativas nos pontos 1e 2 so respectivamente 0,2 kgf/cm2 e 9,5 kgf/cm2 .Calcular as presses nos pontos A e B e potncia

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    2727

    real da bomba (B = 80%), para essa nova situao.Obs.: utilizar as mesmas perdas de carga do exerccio n9.Resp.: PrB = 63 cv pA = - 0,296 kgf/cm2 pB = - 0,912kgf/cm2

    11. leo de viscosidade dinmica = 0,01kgf.s/m e peso especfico = 850 kgf/m , escoa emregime permanente e com vazo Q = 50,0 L/s, atravsde 3.000,0 m de comprimento de tubo de Ferro Fundido(FF), com dimetro = 300,0 mm. Pede-se calcular a

    perda de carga distribuda atravs da frmula Universalde perda de carga.

    Resp.: hd 8,9 m

    R X Lh

    A

    X: Permetro.L: comprimento

    R: Tenso de atrito em kgf/cm2.

    Soluo:R X L

    hA

    R dvR

    dv dy

    dy

    vR

    y

    QQ A v v

    A

    Q A QR R

    y A y

    X Lh R

    A

    Q X Lh

    A y A

    2Q X Lh y

    A

    22

    4

    Q X Lh y

    2 4

    16 Q X Lh y

    3

    2 4

    16 0.01 50 10 3000

    850 0.3

    h y

    X

    0.35

    h ym

    X

    2

    2f

    L vh f

    g

    Experincia de Nikuradse:

    ,Rf f N

    K

    2 2

    4

    4

    Q Q

    Q A v v v

    3

    2

    4 50 100.7074

    0.3

    mv v

    s

    Nmero de Reynolds:

    R

    vN

    gg

    R

    vN

    g

    850 0.7074 0.3

    9.81 0.01RN

    1838.8RN

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    2828

    Ferro Fundido:K= 3.75.10-4m

    4

    0.3800

    3.75 10K K

    A funofdeve ser calculada no ponto:

    1838.8, 1158.3R

    f f NK

    0.0195f2

    2f

    L vh f

    g

    2

    3000 0.70740.0195

    0.3 2 9.81fh

    4.97fh m Ou

    ComoNRe

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    2929

    gg

    g

    R R

    v vN N

    gg

    6

    1.7356 0.383845.4

    6.21 10R RN N

    A funofdeve ser calculada no ponto:

    83845.4, 6521.7Rf f NK

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:

    0.019f 2

    2f

    L vh f

    g

    2

    3200 1.73560.019

    0.3 2 9.81f

    h

    29.47f

    h m

    14. Um leo combustvel 10C ( = 861.0kgf/m , = 5.16x10-6 m/s) escoando em regime

    permanente com vazo Q = 0,2 m/s, bombeado para o

    tanque "C", como mostra a figura abaixo, atravs deuma tubulao de ao rebitado nova, com dimetroconstante = 400,0 mm e comprimento de recalqueL =2.000,0 m. O reservatrio em "C" est em contato com a

    presso atmosfrica. Sabe-se que a presso relativa doponto "A" igual a 0,14 kgf/cm. Pede-se calcular apotncia real da bomba, para rendimento de 80%.

    Resp.: PtB 282,0 cv

    R

    Soluo:3

    0.2m

    Qs

    2

    0.21.5915

    0.4

    4

    mQ A v v v

    s

    Ao: L = 3200m

    R = 4.6.10

    -5

    m

    5

    0.48695.6

    4.6 10K K

    Nmero de Reynolds:

    R

    vN

    5

    6

    1.5915 0.41.2337 10

    5.16 10R RN N

    A funofdeve ser calculada no ponto:

    51.2337 10 , 8695.6R

    f f NK

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.03f

    2

    2f

    L vh f

    g

    2

    2000 1.59150.03

    0.4 2 9.81f

    h

    19.36fh m

    A Bomba f RH H h H 2 2

    2 2A A R R

    A Bomba f R

    v p v py H h y

    g g

    21.5915 13734 0 0

    100 19.36 1802 9.81 861 9.81 2

    BombaHg

    0.12909 1.626 100 199.36BombaH

    199.36 101.755Bomba

    H

    97.605BombaH m

    e

    BombaB

    B

    Q HP

    861 9.81 0.2 97.605

    0.8eBP

    206102.962eB

    P W 206102.962

    735eBP cv

    280.4eBP cv 15. No sistema mostrado na figura abaixo, a

    vazo de gua 20C em regime permanente Q = 22.1L/s. No trecho 0-1 o comprimento 60.0 m e o dimetro 200.0 mm. No trecho 2-3 o comprimento 260.0 m e odimetro 150.0 mm. A tubulao em toda sua extenso de ferro fundido nova. Pede-se calcular: a) as pressesrelativas nos pontos 1 e 2; b) a potncia real da bomba

    para rendimento de 60%.Obs.: -Utilizar a frmula Universal da perda de carga e omtodo do comprimento equivalente.-No desenho:a, b = curva 90 R/D = 1 1/2; c, d = cotovelo 90 RMResp.: a) p1 1.760,0 kgf/m ; p2 1,652 kgf/cm;

    b) PrB 7,26 cv

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    3030 Soluo:3

    322.1 22.1 10L m

    Q Qs s

    1 1 1 12 2

    01

    0.02210.703

    0.2

    44

    Q mQ A v v v

    s

    2

    260.7 10

    H O

    m

    s

    (viscosidade cinemtica da gua)

    Perda de carga no trecho 0-1:Ferro fundido:L01 = 60m

    R = 2.59.10-4m

    01

    4

    0.2772

    2.59 10K K

    Nmero de Reynolds no trecho 01:

    1

    1 01

    R

    vN

    1 1

    5

    6

    0.703 0.22 10

    0.7 10R RN N

    A funofdeve ser calculada no ponto:

    1

    5 012 10 , 772Rf f NK

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.021f

    01

    2

    01 1

    01

    2f

    L vh f

    g

    01

    260 0.703

    0.0210.2 2 9.81

    fh

    010.1586fh m

    As perdas de carga singulares ocorrem quandoh perturbaes bruscas (vlvulas, cotovelos, etc.) noescoamento do fluido e so calculadas por expressesque envolvem anlise dimensional, dadas por:

    2

    2s s

    vh K

    g

    2 20.7030.9 0.02267

    2 2 9.81aa b s a

    vh h K h m

    g

    2 20.703

    0.2 0.0050372 2 9.81R

    R s R

    vh K h m

    g

    010 1a b R pH h h h h H

    01

    2 2

    0 0 1 1

    0 12 2

    a b R f

    v p v p

    y h h h h yg g 2 2

    10 0 0.7032 0.02267 0.02267 0.005037 0.1586 02 2 9.81

    p

    g

    12 0.208977 0.02518p

    1 1.7658p

    3

    1 21.7658 1.7658 9.81 10

    Np

    m

    1 21765.8

    kgfp

    m

    Singularidade Esquema Ks

    Alargamento 1

    2

    1A

    A

    Caso limite1

    Estreitamento1

    2

    A

    A

    Caso Limite 0.5

    Cotovelo a 90 0.9

    Vlvula de

    gaveta

    0.2 Totalmente

    aberta

    Vlvula tipo

    globo

    10 Totalmente

    aberta

    Vlvula de

    reteno0.5

    23

    4

    0.15579.15

    2.59 10K K

    Clculo da velocidade no trecho 2-3:

    2 2 2 22 2

    23

    0.02211.2506

    0.1544

    Q mQ A v v v

    s

    Nmero de Reynolds no trecho 23:

    2

    2 23R

    vN

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    3131

    2 2

    5

    6

    1.2506 0.152.6798 10

    0.7 10R R

    N N

    A funofdeve ser calculada no ponto:

    1

    5 232.67 10 , 579.15R

    f f NK

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.0225f

    23

    2

    23 2

    23 2f

    L vh f

    g

    01

    2260 1.2506

    0.02250.15 2 9.81

    fh

    013.108fh m

    232 3f vr vga c d

    H h h h h h H

    2 21.25060.9 0.07174

    2 2 9.81dc d s c

    vh h K h m

    g

    2 2

    1.25060.5 0.03985

    2 2 9.81vrvr s vr

    vh K h m

    g

    2 2

    1.250610 0.797

    2 2 9.81vgvg s vg

    vh K h m

    g

    23

    22

    3 32 2

    2 32 2

    f vr vga c d

    v pv py h h h h h y

    g g

    2 2

    21.2506 0 0

    0 3.108 0.03985 0.797 0.07174 0.07174 122 9.81 2

    p

    g

    20.07971 16.08833p

    2 16.00862p

    3

    2 216.00862 16.00862 9.81 10

    Np

    m

    3

    2 4 2

    116.00862 16.00862 9.81 10

    9.81 10

    kgfp

    cm

    2 21.600862

    kgfp

    cm

    1 2BombaH H H 2 2

    1 1 2 2

    1 22 2

    Bomba

    v p v py H y

    g g

    2 2

    3 3

    0.703 18839.16 1.2506 157044.560 0

    2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10Bomba

    H

    0.02518 1.9204 0.0797 16.0086Bomba

    H

    16.0883 1.94588Bomba

    H

    14.14272Bomba

    H m

    eBomba

    B

    B

    Q HP

    3 39.81 10 22.1 10 14.14272

    0.6eBP

    5110.259eB

    P W 5110.259

    735eBP cv

    6.95eB

    P cv

    16. No sistema mostrado abaixo, a tubulao de ao galvanizado nova com dimetro de 75,0 mm emtoda sua extenso de 280,0 m. A tubulao descarregagua 20C, na atmosfera. O regime de escoamento

    permanente com vazo Q = 6,5 L/s. Pede-se determinara altura H, utilizando a frmula Universal da perda decarga e a expresso para calcular as perdas de cargalocalizadas.Obs.: -No desenho: a = curva 90; b, c = curva 45

    Resp.:H 11,93 mpatm

    0

    a

    H

    b

    Qc

    Soluo:0 f L RH h h H

    0 g Gf a b c v v RH h h h h h h H

    336.5 6.5 10

    L mQ Q

    s s

    2 2

    0.00651.4713

    0.075

    4 4

    Q mQ A v v v

    s

    2

    261 10

    H O

    m

    s

    (viscosidade cinemtica da gua) Perda de carga no trechoL = 280m:

    Ao galvanizado novo.Rugosidade =K= 1.5.10-4 a 2.0.10-4m

    4

    0.075500

    1.5 10K K

    Nmero de Reynolds no trecho L :

    R

    vN

    1

    5

    6

    1.4713 0.0751.103 10

    1 10R RN N

    1

    51.1 10 , 500Rf f N

    K

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.025f

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    3232

    2

    2f

    L vh f

    g

    2

    280 1.47130.025

    0.075 2 9.81f

    h

    10.297fh m Perdas de carga localizadas:

    Local DenominaoKs 2

    2s s

    vh K

    g

    (m)

    a Curva 90 0.4 0.044b Curva 45 0.2 0.022c Curva 45 0.2 0.022

    Vlvula de retenotipo leve

    2.5 0.022

    Vlvula globoaberta

    10 1.1033

    2 21.4713

    0.4 0.0441332 2 9.81a a a a

    v

    h K h h mg 2 21.4713

    0.2 0.0222 2 9.81

    b c b b a

    vh h K h h m

    g

    2 2

    1.47130.2 0.022

    2 2 9.81g g g gv v v v

    vh K h h m

    g

    2 2

    1.471310 1.1033

    2 2 9.81g G G gv v v v

    vh K h h m

    g

    0 g Gf a b c v v RH h h h h h h H

    0 10.297 0.044 3 0.022 1.1033 0H

    0 11.51H m

    17. No sistema mostrado na figura abaixo, avazo de gua 20C em regime permanente Q = 3.6L/s. No trecho 0-1 o dimetro 50.0 mm. No trecho 2-3o dimetro 63.0 mm. A tubulao em toda suaextenso de ao galvanizado nova. Pede-se calcular: a)as presses relativas nos pontos 1 e 2; b) a potnciaterica da bomba.Obs.: Utilizar a frmula de Fair-Whipple-Hsiao da

    perda de carga para calcular as perdas de cargalocalizadas.

    No desenho: a, b = cotovelo 90Resp.: a)p1 2.060,0 kgf/m ;p2 3,047 kgf/cm; b)

    PtB 1,36 cv

    3 patm

    6.0 m

    b

    patm 26.5 m 28.0 m0

    3.0m a

    B1 2

    5.0 m 8.0 m

    Soluo:Para tubos de ao galvanizado, conduzindo

    gua fria:

    1.88

    4.880.002021

    QJ

    2

    2

    n

    L i

    i

    vh K

    g

    Trecho 01:L01 = 5m; 01 = 0.05m3

    33.6 3.6 10L m

    Q Qs s

    3

    01 012 2

    01

    3.6 101.833

    0.050

    44

    Q mQ A v v v

    s

    1.88

    31.88

    4.88 4.88

    01

    3.6 100.002021 0.002021 0.1149

    0.05

    QJ J J

    01 1 01 015 0.1149 0.5745h L J h h m

    0 1 01 gv eb

    H H h h h

    2 21.8330.2 0.0342

    2 2 9.81g g gv s v v

    vh K h h m

    g

    2 21.833

    1 0.17132 2 9.81g g

    eb eb v v

    vh K h h m

    g

    2

    1 10 1 01

    2 gv

    p vH z h h

    g

    2

    1

    3

    1.8333 0 0.5745 0.0342 0.1713

    9.81 10 2 9.81

    p

    1

    32.048

    9.81 10

    p

    3

    1 22.2200 9.81 10

    Np

    m

    1 22048.0

    kgfp

    m

    1 2B

    H H H Trecho 2-3:

    Comprimento:L23 = 8+26.5+6 = 40.5 m

    333.6 3.6 10

    L mQ Q

    s s

    3

    23 232 2

    23

    3.6 101.155

    0.063

    44

    Q mQ A v v v

    s

    1.88

    31.88

    4.88 4.88

    01

    3.6 100.002021 0.002021 0.0372

    0.063

    QJ J J

    23 23 23 2340.5 0.0372 1.5069h L J h h m

    Perdas de carga localizadas:

    2 21.1550.9 0.0612

    2 2 9.81b a a a a

    vh h K h h m

    g

    2 21.155

    2.5 0.172 2 9.81r r rv v b v

    v

    h K h h mg 2 21.155

    10 0.67992 2 9.81g G G g

    v v v v

    vh K h h m

    g

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    3333

    Local DenominaoKs 2

    2s s

    vh K

    g

    (m)

    a Cotovelo 90 0.9 0.0612b Cotovelo 90 0.9 0.0612

    Vlvula gavetaaberta

    0.2 0.022

    Vlvula globoaberta 10 1.1033

    Vlvula dereteno

    2.5 0.17

    2 23 3r ga b v vH h h h h h H

    2

    2 22 23 3

    2 r ga b v v

    v py h h h h h H

    g

    2

    21.155 0 1.5069 0.0612 0.0612 0.17 0.6799 282 9.81

    p

    20.06799 30.4792p

    322

    30.4792 0.06799 30.41121 9.81 10p

    p

    322

    30.4792 0.06799 30.41121 9.81 10p

    p

    5

    2 22.9833 10

    Np

    m

    5

    2 4 2

    12.9833 10

    9.81 10

    kgfp

    cm

    2 23.041

    kgfp

    cm

    1 2BH H H

    2 2

    1 1 2 21 2

    2 2B

    v p v py H y

    g g

    2 2

    2 1 2 1

    2B

    v v p pH

    g

    2 2 5 4

    3

    1.155 1.833 2.9833 10 2.17782 10

    2 9.81 9.81 10B

    H

    0.103255 28.19BH

    28.0876BH m

    B BombaP Q H

    3 39.81 10 3.6 10 28.0867BP

    991.9BP W 991.9

    735eBP cv

    1.3495eB

    P cv

    18. No sistema abaixo, as presses relativasnos pontos 1 e 2 so respectivamente: -0,5 kgf/cm e10.500,0 kgf/m. A potncia terica da bomba 5,0 cv ea tubulao de ferro fundido. No trecho 0-1 o dimetro 200,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams C =120. No trecho 2-3 o comprimento 180,0 m, odimetro 200,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams

    C = 100. No trecho 3-4 o comprimento 100,0 m, odimetro 150,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams C = 90. Utilizando a frmula de Hazen-Williams da

    perda de carga e o mtodo do comprimento equivalente,pede-se determinar:

    (a) a presso relativa no ponto 3;

    (b) a vazo de gua, para escoamentopermanente;(c) a cota do ponto 4;(d) o comprimento da tubulao no trecho 0-1.

    Obs.: -No desenho: a = cotovelo 90 RL; b = curva 45Resp.: (a) p3 = 0.903 kgf/cm ; (b) Q = 24.0 L/s ;

    (c)z4 = 810.33 m ; (d)L0-1 = 194.5 mpatm

    4?

    ab 804.0 m

    800.0m Bp

    atm1 2 3

    0

    Soluo:(a)

    2 23 3r gv vH h h h H

    (b)

    1 2BH H H

    2 2

    1 1 2 2

    1 22 2Bv p v p

    y H yg g Como os dimetros das sees 1 e 2 so iguais:v1 = v2. Tambmy1 =y2. Assim:

    2 1B

    p pH

    2 1B

    p pH

    4

    1 1 12 4 2 2

    9.810.5 0.5 0.5 9.81 10

    10

    kgf N N p p p

    cm m m

    1 2 22 2 20.5 10500 10500 9.81

    kgf kgf N p p p

    cm m m

    43

    10500 9.81 0.5 9.81 10

    9.81 10B

    H

    15.5B

    H m 5 5 735 3675

    B B BP cv P P W

    B BP Q H

    3

    3675

    9.81 10 15.5

    B

    B

    PQ Q

    H

    3

    0.024168

    m

    Q s

    24.16L

    Qs

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    34/41

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    3434

    2

    11 1 1 1 2

    1

    4

    4

    QQ A v Q v v

    1 1 2 32

    4 0.0241680.76929

    0.2

    mv v v v

    s

    Perdas localizadas no trajeto de 2-3:2 2

    0.7692910 0.302

    2 2 9.81g G gv v v

    vh K h m

    g

    2 20.76929

    2.5 0.07542 2 9.81r r r r

    v v v v

    vh K h h m

    g

    2 2

    0.769290.2 0.006

    2 2 9.81r r r r v v v v

    vh K h h m

    g

    Local DenominaoKs 2

    2s s

    vh K

    g

    (m)

    Vlvula globoaberta

    10 0.302

    Vlvula dereteno

    2.5 0.0754

    Vlvula gavetaaberta

    0.2 0.006

    Frmula de Hazen-Williams1.852 1.852 4.8710.643J Q C

    Trecho 0-1: 01 0.2m 01 120C 1.852 1.852 4.87

    01 01 0110.643J Q C

    1.852 1.852 4.8701

    10.643 0.024168 120 0.2J

    010.003856J

    01 01 01h J L Trecho 2-3: 23 0.2m 23 100C

    1.852 1.852 4.87

    23 23 2310.643J Q C

    1.852 1.852 4.87

    2310.643 0.024168 100 0.2J

    230.005405J

    23 23 23h J L

    23 0.005405 180h 23

    0.9729h m

    2 23 3r gv vH h h h H

    22

    3 32 22 23 3

    2 2r gv v

    v pv pz h h h z

    g g

    Como v2 = v3 ez2 = z3:

    3223 r gv v

    pph h h

    2

    3

    3

    3 3

    10500

    0.9729 0.0754 0.30210 10

    kgf

    m

    kgf

    m

    p

    3333

    10.5 1.3503 9.1497 1010

    pp

    3 29149.7

    kgfp

    m

    3 29149.7

    kgfp

    m

    3 20.91497kgf

    p cm

    Trecho 3-4: 34 0.15m 34 90C 1.852 1.852 4.87

    34 34 3410.643J Q C

    1.852 1.852 4.87

    34 10.643 0.024168 90 0.15J

    340.00656J

    34 34 34h J L 34

    0.00656 100h 34

    0.656h m Comprimentos equivalentes:Dispositivo Nome LeqComprimento

    equivalente (m)

    (=0.2m)

    Vlvulagaveta aberta 1.4

    (=0.2m)

    Vlvula globo(aberta) 67

    (=0.2m)

    Vlvula dereteno tipo

    leve16

    a

    (=0.2m)

    Cotovelo 90RL

    4.3

    b

    (=0.15m)

    Curva 45 1.1

    2 2

    3 3 4 43 34 4

    2 2b

    v p v pz h h z

    g g

    2 2

    43

    3

    9149.70.9729 0 0

    804 0.656 1.12 9.81 2

    10

    kgf

    m zkgf g

    m

    40.04824 9.1497 804 1.756 z 4 814.44z m

    0 01 01 1ga vH h L h h H 2 2

    0 0 1 10 01 01 1

    2 2ga v

    v p v pz h L h h z

    g g

    4

    2 2

    01 013

    3

    0.5 100 0 0.769

    800 0.003856 4.3 1.4 8042 2 9.81

    10

    kgf

    mL Lkgfg

    m

    2

    01

    0.769800 1.003856 5.7 5 804

    2 9.81L

    01?L

    Tubulao de Ferro fundido:Rugosidade: 2.5.10-4mTrecho 0-1 e 1-2:

    4

    0.2800

    2.5 10K K

    Nmero de Reynolds:

  • 7/28/2019 Mecanica Dos Fluidos - Cap4

    35/41

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    3535

    R

    vN

    1

    8

    6

    1317.69 0.22.635 10

    1 10R RN N

    1

    82.6 10 , 800R

    f f NK

    Pelo diagrama de Moody-Rouse:f

    eq

    KL

    f

    19. No sistema abaixo a vazo de gua 20C,em regime permanente Q = 11,9 L/s. Sabe-se que a

    presso relativa no ponto 2 p2 = 2,3 kgf/cm. Notrecho 0-1 o dimetro 150,0 mm e o comprimento 182,0 m. No trecho 2-3 o dimetro 100,0 mm.

    Utilizando a frmula Universal da perda de carga e omtodo do comprimento equivalente, pede-se: a) apresso relativa no ponto 1; b) o comprimento do trecho2-3; c) a potncia real da bomba para rendimento de58%.Obs.: -No desenho: a, b = cotovelo 90 RLResp.: a) p1/ = 3,0 mcH2O; b) L2-3 = 117,3 m; c) PrB

    5,5 cv

    Soluo:

    20. Para o sistema abaixo, a potncia real dabomba (rendimento de 90%) 72 cv. A perda de cargalocalizada devida vlvula de reteno na tubulao C-D igual a 0,127m. O fluido gua 20C e as pressesrelativas nos pontos "A" e "D" so respectivamente: -0,2 kgf/cm e 0,3 kgf/cm. Pede-se: a) a vazo dosistema; b) as presses relativas nos pontos B e C; c) ocomprimento da tubulao A-B.Obs.: -Considerar no trecho A-B: rugosidade: e =0,005m ; dimetro igual a 400mm -Considerar no trechoC-D: comprimento: L = 1200m; dimetro igual a350mm; rugosidade: e = 0,0003m-Utilizar a frmula Universal da perda de carga e o

    mtodo do comprimento equivalente.No considerar as perdas de carga devidas

    entrada normal e sada da canalizao,respectivamente nos reservatrios A e D -No desenho: a= curva 45

    Resp.: a) Q = 96,0 L/s; b) pB = 3.490,0 kgf/m , pC =5,412 kgf/cm; c) LA-B = 500,5 m

    Soluo:

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    Apndice

    Turbinas Hidrulicas - TiposBasicamente existem dois tipos de turbinas

    hidrulicas: as de ao e as de reao. No primeiro caso,

    de ao, a energia hidrulica disponvel transformadaem energia cintica para, depois de incidir nas ps dorotor, transformar-se em mecnica: tudo isto ocorre a

    presso atmosfrica Na turbina de reao, o rotor completamente submergido na gua, com o escoamentoda gua ocorre uma diminuio de presso e develocidade entre a entrada e a sada do rotor.

    Tradicionalmente o uso de turbinas hidrulicas tem-se concentrado no tipo Pelton, com um ou mais jatos, nocaso das mquinas de ao; na Francis, Hlice e Kaplan,no caso do tipo de reao. A escolha do tipo adequado

    baseia-se nas condies de vazo, queda lquida, naaltitude do local, na conformao da rotao da turbina

    com a do gerador e na altura de suco, no caso demquinas de reao.Conhecidos a altura (H) e a vazo (O) disponveis

    no local, levando-se em conta: a rotao (n) imposta emvalores discretos em funo do nmero de pares de

    plos (z), do gerador eltrico, e altura de suco,(hs), nocaso da turbina hidrulica ser de reao, determina-seuma rotao especfica nq = 3 n Q05 / H~175 , quedefinir o tipo de rotor da turbina hidrulica, adequadoao aproveitamento em questo.

    Definido o tipo de mquina, a preocupao passa sero tipo de carga a ser atendida. Deve-se procurar adequara curva de carga com a de comportamento da turbina.

    No caso de grandes variaes na carga, divide-se ainstalao em duas ou mais mquinas, de maneira queatravs de manobras, a instalao atender a demandasempre com as mquinas trabalhando a cargasadequadas. Neste caso, faz-se necessrio a mudana dotipo do rotor, j que a rotao especfica mudou, devidoa diviso da vazo.

    Em grandes centrais hidroeltricas as turbinassomente sero construdas aps a definio de todos os

    parmetros topogrficas, hidrolgicos e operacionais.Com isto, existe uma perfeita caracterizao da rotaoespecfica. Neste caso feito um projeto exclusivo paraas condies impostas. A preocu