Mecanica Dos Fluidos - Cap6

FCTM – Capítulo 6 – Bombas, Turbinas e Perda de carga – Exemplos resolvidos - Exercícios de Revisão Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br

1

Equação da Energia e presença de uma

máquina: 2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vp g h p g h

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p vh h

g g

2 2

1 1 2 21 1 2 2

2 2

p v p vH h h H

g g

Se colocarmos uma máquina entre os pontos

(1) e (2), escreveremos a relação como:

1 2MH H H

Se 2 1 0MH H H Motor;

Se 2 1 0MH H H Turbina.

Vazões:

Definimos como:

Vazão em Peso:

esog

PQ

t

Vazão em Massa:

m

mQ

t

Vazão em Volume:

VQ

t

Potência de uma máquina A potência de uma máquina é definida

como:

mt

EP

t

m m esot

eso

E E PP

t P t

m

eso

EH

P

Como: eso

t

PP H

t

t

m gP H

t

t

V gP H

t

VQ

t

g

tP H Q

Rendimento de uma máquina:

O Rendimento de uma máquina é definido

quanto a sua natureza.

Se a máquina for um motor:

BB

eixoB

P

P

B BeixoB eixoB

B B

P Q HP P

Se a máquina for uma turbina:

TT

fT

P

P

T T fT T T TP P P Q H

Equação da continuidade:

1 2 1 1 2 2m m V V

1 1 1 2 2 2v A v A

Para fluidos incompressíveis:

1 1 2 2v A v A {2}

Equação de Bernoulli: 2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vp gy p gy

{3}

1 2H H

2 2

1 1 2 21 2

2 2

v p v pz z

g g

Substituindo {2} em {3}, a velocidade é dada

por:

2

2

2q

H O

pv c

Com:

2 4

1 1

2 2 4 4

1 2 1 2

q

A dc

A A d d

A vazão será:

1 1 2 2Q A v A v

Equação da energia para fluido real

Nesse item será retirada a hipótese de fluido

ideal; logo, serão considerados os atritos internos no

escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de

regime permanente, fluido incompressível,

propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor

induzidas. Esta última significa que não existe uma

troca de calor provocada propositalmente; no entanto,

ao se considerar os atritos no escoamento do fluido,

deve-se imaginar que haverá uma perda de calor do

fluido para o ambiente causada pêlos próprios atritos.

Como será visto a seguir, a construção da equação da

energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente,

dessa perda de calor.

Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o

fluido fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8).


2

Se, no entanto, houver atritos no transporte do

fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação

da energia, de forma que H1 > H2.

Querendo restabelecer a igualdade, será

necessário somar no segundo membro a energia dissi-

pada no transporte.

121 2 pH H H

12pH : energia perdida entre (l) e (2) por

unidade de peso do fluido.

Como 12 1 2pH H H e como H1 E H2 são

chamados cargas totais, 12pH é denominado 'perda de

carga'. Se for considerada também a presença de uma

máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:

121 2M pH H H H

12

2 2

1 1 2 21 2

2 2M p

v p v pz H z H

g g

Da Equação deve-se notar que, no escoamento de

um fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a

energia é sempre decrescente no sentido do escoamento,

isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de

jusante, desde que não haja máquina entre as duas. A potência dissipada pêlos atritos é facilmente

calculável raciocinando da mesma maneira que para o

cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou

perdida por atrito poderá ser calculada por:

12diss pN QH

Exemplos:

1. Um tubo admite água ( = 1000 kg/m3)

num reservatório cuja vazão é de 20 L/s. No mesmo

reservatório é trazido óleo ( = 800 kg/m3) por outro

tubo com vazão de 10L/s. A mistura homogênea

formada é descarregada por um tubo cuja seção tem

uma área de 30 cm2. Determinar a massa específica

da mistura no tubo de descarga e a velocidade da

mesma.

33

1 20 20 10 mLs s

Q ;

33

2 10 10 10 mLs s

Q

mQ Q 33

1 2 3 3 20 10 30 30 10 mLs s

Q Q Q Q

1 2 3 1 2 3m m m a o mQ Q Q Q Q Q

31000 0,02 800 0,01 0,03 933,33kg

m m m

3933,33kg

m m

3

4

30 1010

30 10

m mm m m m s

QQ Av v v

A

10 mm s

v

2. No tubo da figura, transporta-se ar. Na área

da maior seção do tubo a área vale 25 cm2, a densidade

1,2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menor

seção a área vale 5 cm2, a densidade 0,8 kg/m

3.

Determine na menor seção a velocidade e as vazões

em massa, volume e em peso.

v

(1) (2)

1 2

1 1 11 1 1 2 2 2 2

2 2

m m

AvQ Q Av A v v

A

2 2

1,2 25 1075

0,8 5ms

v v

34

2 2 2 2 25 10 75 0.0375 ms

Q A v Q Q

2 2 2 2 20.8 0.0375 0.03kg

m m m sQ Q Q Q

2 2 2 29.81 0.03 0.29 Ng m g g s

Q gQ Q Q


da menor seção do tubo o diâmetro vale d1 = 0,5 cm, e

a densidade 1=1,4 kg/m3 e a velocidade v1=15 m/s; no

ponto de maior seção o diâmetro vale d2 = 2,5 cm, a

densidade 2=0,8 kg/m3. Determine na maior seção a

velocidade e as vazões em massa, volume e em peso.

4. A figura mostra um tubo de escoamento de

água: (a = 103kg/m

3)

(a) Qual a velocidade no ponto 1, sabendo

que a velocidade em 2 é 2,5 m/s, se o diâmetro maior é

5 pol, o e o menor é 1 cm ?

(b) Encontre as vazões em massa e em peso.



1,2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menor

seção a área vale 10 cm2, a densidade 0,8 kg/m

3.

Determine na menor seção a velocidade e as vazões


v

(1) (2)


3

1 2

1 1 11 1 1 2 2 2 2

2 2

m m

AvQ Q Av A v v

A

2 2

1,2 50 1075

0,8 10ms

v v

34

2 2 2 2 250 10 75 0.375 ms

Q A v Q Q

2 2 2 2 20.8 0.375 0.3kg

m m m sQ Q Q Q

2 2 2 29.81 0.3 2.9 Ng m g g s

Q gQ Q Q

6. Uma torneira enche um tanque, cuja

capacidade é 6000L, em 1h e 40 min. Determinar a

vazão em volume, em massa e em peso em unidade

do SI se:

a densidade da água é H2O = 1000kg/m3 e

g = 10 m/s2.

7. O ar escoa num tubo convergente. A área

maior do tubo é 20 cm2 e a menor é 10 cm

2. A

densidade do ar na seção (1) é 1.2 kg/m3 e na seção

(2) é 0.9 kg/m3. Sendo a velocidade na seção (1) 10

m/s, determinar as vazões em massa, volume, em

peso e a velocidade média na seção (2).

(1) (2)

8. Água é descarregada em um tanque cúbico de

5 m de aresta por um tubo de 5 cm de ciâmetro. A

vazão no tubo é 10L/s. Determinar a velocidade de

descida da superfície livre da água do tanque, e,

supondo desprezível a variação da vazão, determinar

quanto tempo o nível da água levará para descer 20

cm.

9. Os reservatórios da figura são cúbicos. São

enchidos pelos tubos, respectivamente, em 100s e

500s. Determinar a velocidade da água na seção (A),

sabendo que o diâmetro do tubo nessa seção é 1 m.

(2) (1) 5 m

10 m

Equação da energia para fluido real

Nesse item será retirada a hipótese de fluido

ideal; logo, serão considerados os atritos internos no

escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de

regime permanente, fluido incompressível,

propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor

induzidas. Esta última significa que não existe uma

troca de calor provocada propositalmente; no entanto,

ao se considerar os atritos no escoamento do fluido,

deve-se imaginar que haverá uma perda de calor do

fluido para o ambiente causada pêlos próprios atritos.

Como será visto a seguir, a construção da equação da

energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente,

dessa perda de calor.

Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o

fluido fosse perfeito. H1 = H2 .

Se, no entanto, houver atritos no transporte do

fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação

da energia, de forma que H1 > H2.

Querendo restabelecer a igualdade, será

necessário somar no segundo membro a energia dissi-

pada no transporte.

121 2 pH H H

12pH : energia perdida entre (l) e (2) por

unidade de peso do fluido.

Como 12 1 2pH H H e como H1 E H2 são

chamados cargas totais, 12pH é denominado 'perda

de carga'.

Se for considerada também a presença de uma

máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:

121 2M pH H H H

12

2 2

1 1 2 21 2

2 2M p

v p v pz H z H

g g


4

Da Equação deve-se notar que, no escoamento

de um fluido real entre duas seções onde não existe

máquina, a energia é sempre decrescente no sentido

do escoamento, isto é, a carga total a montante é

sempre maior que a de jusante, desde que não haja

máquina entre as duas.

A potência dissipada pêlos atritos é facilmente

calculável raciocinando da mesma maneira que para

o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada

ou perdida por atrito poderá ser calculada por:

12diss pN Q H

Equação de Bernoulli: 2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vp gh p gh

2 2

1 1 2 21 2 1 2

2 2

p v p vh h H H

g g

h

h2 (2)

H2( p2, 2v

,h2)

M

H1( p1, 1v

,h1)

h1 (1)

121 2M pH H H H

Exemplos Resolvidos:

l. Na instalação da figura, verificar se a máquina é

uma bomba ou uma turbina e determinar a sua potência,

sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a

pressão indicada por um manômetro instalado na seção

(2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos

tubos é l0 cm2 e a perda de carga entre as seções (l) e (4)

é 2 m.

Não é dado o sentido do escoamento,

2

4 310H O N m ; g = 10 m/s2.

Solução

Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o

nível do reservatório inferior sem incluir a parte interna

do tubo, já que nesta não se conhece a pressão.

Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido

das cargas decrescentes, num trecho onde não existe

máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as

cargas nas seções (l) e (2).


5

2

1 11 1 0 0 24 24

2

v pH z m

g

2

2 22 2

2

v pH z

g

3

2 4

10 1010

10 10

Qv m s

A

2

2 22 2

2

v pH z

g

2 6

2 4

10 0,16 104 25

2 10 10H m

Como H2> H1, conclui-se que o escoamento

terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma,

sendo a máquina, portanto, uma bomba.

Aplicando-se a equação da energia entre as

seções (4) e (1), que compreendem a bomba.

Lembrar que a equação deve ser escrita

no sentido do escoamento.

144 1B pH H H H

2

4 44 4

2

v pH z

g

1 24H m

4 0H 14

2pH

141 4 24 0 2 26B pH H H H

4 310 10 10 263470 3,47

0,75B

Bot

B

QHP W kW

2. No escoamento lamelar de um fluido em

condutos circulares, o diagrama de velocidades é

representado pela equação:

2

max 1r

v r vR

onde vmax é a velocidade no eixo do conduto, R

é o raio do conduto e r é um raio genérico para o qual

a velocidade v é genérica. Sendo vm a velocidade

média:

0

12

R

mv v r dA dA r drA

A figura mostra a variação de v(r) com r.

(a) Encontre a velocidade média:

A

A

v r dA

vdA

(b) Mostre que:

max

1

2

mv

v

3. No escoamento turbulento de um fluido em

condutos circulares, o diagrama de velocidades é dado

pela equação:

1 7

max 1r

v r vR

Mostre que:

max

49

60

mv

v

4. Na instalação da figura, a máquina é uma

bomba e o fluido é água. A bomba tem uma potência de

5 kW e seu rendimento é 80 %. A água é descarregada à

atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja

área de seção é 10 cm2 Determinar a perda de carga do

fluido entre (1) e (1) e a potência dissipada ao longo da

tubulação. Dados: H2O=104N/m

3; g = 10m/s

2.

(1)

5m

(2)

B

Solução:

121 2B pH H H H

2

1 11 1 10 0 5 5

2

v pH z H m

g

2 2

2 22 2

50 0

2 2 10

v pH z

g

2 1.25H m

BB

B

Q HP

B B B BB B

P PH Q v A H

Q v A

3

4 4

0.8 5 10

10 5 10 10BH

80BH m

121 2B pH H H H

12 1 2p BH H H H

125 1.25 80pH

1283.75pH m

1,2diss pP Q H


6

410 5 10 83.75dissP

4190dissP W

4.19dissP kW

5. A equação de Bernoulli, quando há uma

máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento

do fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da

forma, considerando que há uma perda de carga Hp12

(Energia perdida por unidade de peso) de 3m :

h

h2 (2)

H2( p2, 2v

,h2)

M

H1( p1, 1v

,h1)

h1 (1)

121 2M pH H H H

Se HM > 0 Bomba

otP

BotP

Potência da Bomba e rendimento:

B

otot B B

ot

PP QH

P

Se HM < 0 turbina

otP

TotP

Potência da Turbina e rendimento:

Tot

ot B T

ot

PP QH

P

Considere que não há perda de carga (Hp12=0)

na figura abaixo:

(1) (2)

24 m

5 m

Considere o reservatório grande fornecendo

água para o tanque a 10L/s. Verifique se a máquina

instalada é bomba ou turbina e determine sua potência,

se o seu rendimento é de 75%. Supor fluido ideal.

Dados: Atubos = 10 cm2; g = 10m/s

2; a=10

4N/m

3.

6. Na instalação da figura, verificar se a máquina

é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua

potência, sabendo que seu rendimento é 70%. Sabe-se

que a pressão indicada por um manômetro instalado na

seção (2) é 0,17 MPa, a vazão é l2 L/s, a área da seção

dos tubos é l0 cm2 e a perda de carga entre as seções (l)

e (4) é 2 m.

Não é dado o sentido do escoamento:

2

4 310H O N m ; g = 10 m/s2.

Solução: 2

1 11 1 0 0 24 24

2

v pH z m

g

3

2 4

12 1012

10 10

Qv m s

A

2

2 22 2

2

v pH z

g

2 6

2 4

12 0,17 104 27.2

2 10 10H m

Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá o

sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a

máquina, portanto, uma bomba.

Aplicando-se a equação da energia entre as seções

(4) e (1), que compreendem a bomba.

Lembrar que a equação deve ser escrita

no sentido do escoamento.

144 1B pH H H H

2

4 44 4

2

v pH z

g

M


7

1 24H m

4 0H 14

2pH

141 4 24 0 2 26B pH H H H

4 310 12 10 264457.14 4.457

0,70B

Bot

B

QHP W kW

7. Os reservatórios da figura são cúbicos. São

enchidos pelos tubos respectivamente, em 100s e

500s. Determinar a velocidade da água na seção (A),

sabendo que o diâmetro do conduto nessa seção é

1m.

(A)

DA = 1 m

5m

(1)

10m

(2)

Solução: 3 3

1 2

1 2

5 10

100 500

V VQ Q

t t

3

3.25 ms

Q

2 2

4 4 3.254.14

1ms

Qv

D

8. O filtro de admissão de combustível de

certa máquina é formado por um elemento poroso

com forma de tronco de cone. O combustível líquido

penetra no filtro com uma vazão de 10 L/s. A

distribuição de velocidades na face superior é linear

com vmax = 0.3 m/s. Qual é a vazão de combustível

que será filtrada pela parede porosa?

Exercícios de Revisão para a prova P2

1. A água escoa em um tubo cuja seção reta

possui área variável e em todos os pontos a água enche

completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta possui

área igual a 0,07m2 e o módulo da velocidade do fluido é

igual a 3,50 m/s.

(a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos

para os quais a seção reta possui área igual a

(i) 0,105m2?

(ii) 0,047m2?

(b) Calcule o volume de água descarregada pela

extremidade aberta do tubo em 1 hora.

2. Em um certo ponto de um tubo horizontal,

(medidor de Venturi indicado na figura) a velocidade na

seção maior vale v1 = 1.5 m/s. Se os diâmetros do tubo

nesses pontos forem de d1 = 1.5 in e d2 = 1 cm,

respectivamente, calcular: (1 in = 2.54 cm).

(a) A velocidade no ponto (2) (v2).

(b) A diferença de pressão entre os dois pontos

e a altura h da coluna de água indicada.

(c) As vazões em massa (Qm) e em peso (Qg).


8

3. Um pequeno orifício circular com raio

igual a 6,00 mm é cortado na superfície lateral de um

grande tanque de água, a profundidade de 25m

abaixo da superfície livre da água. O topo do tanque

está aberto para a atmosfera. Ache:

(a) a velocidade de efluxo;

(b) o volume de água descarregada por

unidade de tempo. Se h = 12.5m e H = 25m, encontre

R. DADOS: 2

3

310H O

m kg

V m

4. A água é descarregada de um tubo

cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm3/s. Em

um ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a pressão

absoluta é igual a 51.60 10 Pa . Qual é o raio do tubo

em uma constrição onde a pressão se reduz para 51.20 10 Pa ?

5. A equação de Bernoulli, quando há uma

máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento

do fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da

forma:

Dado: Equação de Bernoulli: 2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vp g h p g h

2 2

1 1 2 21 2 1 2

2 2

p v p vh h H H

g g

1 2MH H H

Se HM > 0 Bomba

otP

Potência da Bomba e rendimento:

Tot

ot B B

ot

PP Q H

P

Se HM < 0 turbina

Potência da Turbina e rendimento:

Tot

ot T T

ot

PP Q H

P

Considere o reservatório grande fornecendo

água para o tanque a 25 L/s. Verifique se a máquina

instalada é bomba ou turbina e determine sua potência,

se o seu rendimento é de 80%. Supor fluido ideal.

Dados: Atubos = 11 cm2;

g = 10m/s2; a=10

4N/m

3.

6. Qual deve ser a velocidade de uma esfera de

alumínio com raio igual a 1.50 mm se deslocando em

óleo de rícino a 20°C para que a força de arraste devido

à viscosidade seja igual a um terço do peso da esfera?

DADOS:

3 3

20.8 8.010g kg

o cm m

3 3

32.7 2.710g kg

a cm m

9.86 o Po

7. As linhas de corrente horizontais em torno

das pequenas asas de um avião são tais que a velocidade

sobre a superfície superior é igual a 72,0 m/s e sobre a

superfície inferior é igual a 65,0 m/s. Se o avião possui

massa igual a 1340 kg e a área da asa é igual a 16.2 m2,

qual é a força resultante vertical (incluindo o efeito da

gravidade) sobre o avião? A densidade do até 1.20

kg/m3.

8. A figura mostra uma caixa dágua onde há um

furo a uma profundidade h.

Considere um grande reservatório e a gravidade

g. Qual o valor da velocidade do jato de água?

9.


9

DADOS:

332

3101m

kg

cm

g

OH 3

313,6.10kg

Hg m

29,81 m

sg

hgp oHg

10. No tubo da figura, transporta-se ar. Na

área da menor seção do tubo o diâmetro vale d1 = 2,5

cm, e a densidade 1 = 1,4 kg/m3 e a velocidade igual

a v1 = 10 m/s; no ponto de maior seção o diâmetro

vale d2 = 0,5cm, a densidade 2 = 0.75 kg/m3.

Determine na maior seção a velocidade e as vazões


11. A figura mostra um tubo de escoamento

de água:

(a) Qual a velocidade no ponto 1, sabendo

que a velocidade em 2 é 2.25 m/s, se o diâmetro

maior é 5 pol, o e o menor é 1 cm.

(b) Encontre as vazões em massa e em peso.

12. Qual a diferença de pressão em um

manômetro diferencial de coluna de mercúrio

instalado numa tubulação cujo diâmetro maior é 5

polegadas e o menor 2 polegadas, sabendo que a

velocidade na garganta (2) vale 10,5 m/s?



1.2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menor

seção a área vale 15 cm2, a densidade 0.8 kg/m

3.

Determine na menor seção a velocidade e as vazões em

massa, volume e em peso.

v

(1) (2)

14. A velocidade em um tubo cilíndrico é dada por:

2 2( )4

Pv r R r

L

ou

2

2( ) 1m

rv r v

R

A figura mostra sua variação com r.

Qual a relação entre a velocidade média:

A

A

v r dA

vdA

e a velocidade em r = R/2 ?

Mecanica Dos Fluidos - Cap6

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