Mecânica dos Sólidos - Apontamentos FEUP - Pedro Ponces Camanho

7/22/2019 Mecânica dos Sólidos - Apontamentos FEUP - Pedro Ponces Camanho

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E

Pedro M. Ponces R. de Castro Camanho

1Pedro Ponces Camanho

Gabinete: L405

E mail:[email protected]



E




E

:

• Introdu o.

• Apresenta o e objectivos da Unidade Curricular.

• M todo de avalia o e bibiografia recomendada.

• Pro rama da Unidade Curricular.


Aula #1



E

D :

• Prof. Pedro Ponces Camanho.

• Prof. L cia Dinis.

• Prof. Ant nio Torres Marques.

• Prof. Francisco Pires.


• Prof. Carlos Reis Gomes.

Aula #1

:

• Ter a Feira, 11:00 12:00

• Sexta Feira, 11:00 12:00



E

:

• Compreens o dos conceitos fundamentais da Mec nica dos S lidos.

• Saber aplicar a Mec nica dos S lidos no estudo das pe as lineares sujeitas asolicita es simples de trac o/compress o, tor o, flex o e suas combina es.

Escolaridade: 4 horas semanais46 horas de aulas.

111 .

5Pedro Ponces Camanho Aula #1

,5 horas para os exames.

• 3⁰ ano: Mec nica das Estruturas I e II.

• 4⁰ ano: rg os de M quinas; Vibra es e Ru do; Inicia o ao Projecto.

• 5⁰ ano: todas as unidades curriculares da op o de Projecto e Constru o Mec nica.



E

• Tese de Mestrado Daimler Benz AG.




E




E

Fabrication,Load

Detail of lug area

ε11Load

12

0 °


14 shell layers

γ 12

Load

Load

TensionCompression

LoadLoadFailure mode: cleavage



E

:

1. An lise das tens es aulas 2 5.

2. An lise das deforma es aulas 6 8.

3. Rela es tens o deforma o aula 9.

4. Crit rios de ced ncia aula 10.


5. Resolu o de exerc cios/d vidas aula 11.

6. Diagramas de esfor os aula 12.

7. Tor o de pe as lineares aulas 13 15.

8. Tens es de flex o em vigas aulas 16 19.

9. Deflex o de vigas isost ticas aula 20.

10. Resolu o de exerc cios/d vidas aulas 21 22.Aula #1



E

A :avalia o distribu da sem exame final. 50% do primeiro teste + 50% dosegundo teste. Em cada teste h uma nota m nima de 7 valores. No exame de recurso os alunospoder o repetir o primeiro teste ou o segundo (a nota a atribuir ser a melhor em cada dessasprovas) ou ent o realizar uma prova final com toda a mat ria. A nota m xima de 20 valores seratribu da apenas com realiza o de uma prova oral. N o permitida a consulta de qualquertexto de apoio UC durante o exame ser o distribu dos formul rios.

B

• J.F. Silva Gomes, Mec nica dos S lidos e Resist ncia dos Materiais, Ed. INEGI, Porto, 2004.


• S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York, 1970.

• J.P. Den Hartog, Advanced Strength of Materials, McGraw Hill, New York, 1952.

• C.M. Branco, Mec nica dos Materiais, Funda o Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1985.

• V. F odosiev, Resist ncia dos Materiais, Lopes da Silva Ed., Porto, 1977.

• C. Massonet, Resistance des Materiaux, Dunod, Paris, 1968.

Aula #1



E




E

E




E




E

:

• Introdu o an lise das tens es.

• Componentes Cartesianas da tens o.• Tens o para uma orienta o arbitr ria.

• Resolu o dos roblemas 1.2.1 1.2.2 1.2.3 e 1.2.5.


Aula #2



E

A

• S lidos homog neos, isotr picos e el sticos.• An lise macro mec nica (material homogenizado).• Comportamento linear el stico.

For as de superf cie: 1 ... n.For as de volume: gravidade, electromagn ticas, in rcia.


Tens o resultante no ponto Passociada ao plano de cortedefinido por :

Tens o m dia em∆A:



E

A

Fun o do ponto P e da orienta o danormal .

Tens o normal.


Tens o tangencial ou de corte.

nPT nPT −−= ,,



E

A


Matriz das tens es em P:

P



E

A

Face z Face z

Face y Face y

P

z z

σ zz

σxx σyyτyx

τxz

τxy

τyz

τzxτzy


• Sentido da normal: do interior para o exterior do elemento.• Faces positivas e faces negativas: sentido da respectiva normal.

• Tens o normal: (+) no sentido da normal trac o; ( ) no sentido oposto normal compress o.• Tens es de corte τ ij: i direc o da normal que define o plano no qual a tens o actua; j direc o da tens o de corte. A tens o de corte positiva se o seu sentido coincide como sentido positivo do eixo coordenado em quest o.

Face x Face x

x x

y y



E

A

• Unidades: F/L2; N/m2 (Pa).

• O estado de tens o de um corpo representado por um campo tensorial [ ].),,( z y xσ

Exemplo: campo de tens es na fuselagem de um helic ptero:




E

A

• Em cada ponto P, a intensidade e a direc o do vector tens o resultante dependem daorienta o do plano de corte.

• poss vel mostrar que, a partir das nove componentes da tens o, se pode determinar ovector tens o resultante nesse mesmo ponto para qualquer plano perpendicular ao versorde cossenos directores {l,m,n}T.




E

A

1 =−−−

Considere se o tetraedro elementar PABC, em equil brio sob a ac o das for as devolume correspondentes sua massa e das for as de tens o que actuam em cada umadas respectivas faces.

xT C

zEqua o de equil brio segundo :

For a por unidade de volume{ }T nmln ,,=r


3 xo zxo yxo xxo xo

P

=

z

y

T T T

r

P

A

B

xy

Volume

0

0

0

=−−−

=−−−

=−−−

zzo yzo xzo zo

zyo yyo xyo yo

zxo yxo xxo xo

n Am Al AT A

n Am Al AT A

n Am Al AT A

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ Fazendo h→0:

Equa o de equil brio segundo :

Equa o de equil brio segundo :

rea da face ABC



E

A

zz yz xz z

zy yy xy y

zx yx xx x

nmlT

nmlT

nmlT

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

++=

++=

++=

Equa o de Cauchy:


{ } [ ]{ } ===

n

m

T

T nT

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx

z

y

x

σ τ τ τ σ τ τ τ σ

σ

Augustin Louis Cauchy (1789 1857)



E

A

P

{ }T nmln ,,=r =

z

y

x

T

T

T

T r

σσσσσσσσ

ττττττττ

znT

r

⋅=σ z y x nT mT lT ++=σ

nlmnlmnml xz yz xy zz yy xx τ τ τ σ σ σ σ 222222 +++++=

{ } [ ]{ }nT σ =∧

222 τ σ +=T

Componentes σ e τ :


Ao

{ }T cccc nmln ,,=r

x

y

Orienta o da tens o de corte:=+

=+

=+

zc

yc

xc

T nn

T mm

T ll

τ σ τ σ τ σ

−=

−=

−=

τ σ τ

σ τ

σ

nT n

mT m

lT l

zc

yc

xc

τ σ +=T



E

A

1.2.1 Num determinado ponto P de um corpo material, a tens o resultante para um plano decorte perpendicular ao eixo dos = {1,0,0}T. Determine as componentes Cartesianas σ zz ,τ

zx e τ

zy.

1.2.2 Para o caso considerado no problema anterior, determine a componente normal (σ ) e acomponente de corte ( τ) da tens o no ponto mesmo ponto P e para o plano de corte indicado.


1.2.3 No ponto P≡

(1, 1, 1) de um corpo material, para um plano de corte (α) definido pelaequa o x+y z 1=0, a tens o resultante correspondente = {3,2,−1}T. Determine, no ponto Pe para o plano de corte considerado, as componentes normal e tangencial da tens o.



E

A

1.2.5 O estado de tens o num ponto de um corpo material definido pelas seguintescomponentes Cartesianas:


a) Determine a componente normal e a componente de corte do vector tens o resultantepara um plano cuja normal est inclinada de α = 68 e β= 35 em rela o aos eixos x e y,respectivamente.

b) Determine os cossenos directores da tens o de corte no plano considerado.



E


E



E

:

• Equa es de equil brio.

• Lei de transforma o das tens es.

• Tens es principais.

• Resolu es dos roblemas 1.2.7 1.2.8 e 1.2.9 al neas a e b .


Aula #3

E



E

A

O estado de tens o tem de ser compat vel com as condi es gerais de equil brio (est tico oudin mico) do corpo em quest o.

Varia o da tens o ao longo do corpo

dx

P

x dx xx xx ∂

∂+ σ

σ xxσ


Equil brio segundo a direc o 0 x

0=+−∂

∂++−

∂

∂++−

∂

∂+ dxdydzF dxdydz

zdxdzdy

ydydzdx

x x zx zx

zx yx yx

yx xx xx

xx τ τ

τ τ τ

τ σ σ

σ

E



E

A

0

0

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

y zy yy xy

x zx yx xx

F z y x

F z y xτ σ τ

τ τ σ

Equa es de equil brio est tico. T m de sersatisfeitas para todos os estados de tens oadmiss veis.

Aplicando as equa es de equil brio segundo as direc es 0 y e 0 z:


0=+∂

+∂

+∂ z

zz yz xz F z y x

No caso din mico:

[ ]dt vd

F ρ σ =+div

[ ] ⇔=+ 0div F σ 0=+⋅∇ F σ 0=+∂

∂⇔

i j

ij F x

σ

E



E

A

Equil brio de momentos segundo 0 y:


022222222 =∂

∂−−∂

∂+−∂

∂−+∂

∂+

dxdzdy

dx x

dxdzdy

dx x

dzdydx

dz z

dzdydx

dz z

xz xz xz xz zx zx zx zx

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ xz zx τ τ =

zy yz

yx xy

τ τ

τ τ =

=

Procedendo de forma id ntica para 0 x e 0 z: A matriz de tens es sim trica e tem6 componentes independentes:

[ ]=

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx


σ

E



E

A

Para quaisquer dois elementos de superf cie que se considerem num mesmo ponto, aprojec o da tens o em um deles sobre a normal ao outro igual projec o da tens oneste sobre a normal ao primeiro:

nnPT nnPT ⋅=⋅ ',',rr


E



E

A

{ }T x x x nmli ''' ,,' = Cossenos directores de x em (x,y,z)

{ }T y y y nml j ''' ,,' = Cossenos directores de y em (x,y,z)

{ }T z z z nmlk ''' ,,' = Cossenos directores de z em (x,y,z)

35

Aula #3

Matriz de transforma o de (x,y,z) em (x ,y ,z ):

{ }T x x x nmli ''' ,,' =

Pedro Ponces Camanho

E



E

( ) '.','' iiPT x x

rrr

=σ

A

k n jmili x x x

rrrr

'''' ++=

'ir


[ ]{ }( )( ) k nml

jnml

inmliiPT

zz x yx x xz x

zy x yy x xy x

zx x yx x xx x

r

r

rrr

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ σ

'''

'''

''''',

++

+++

+++==

zx x x yz x x xy x x zz x yy x xx x x x lnnmmlnml τ τ τ σ σ σ σ ''''''2

'2

'2''' 222 +++++=

E



E

A

( )( )

( )( )( ) '.',

'.','.',

'.',

'.',

''

''

''

''

''

ik PT

k jPT jiPT

k k PT

j jPT

x z

z y

y x

z z

y y

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

=

=

=

=

=

τ

τ τ

σ

σ

'ir


E



A

T

[ ] [ ][ ][ ]T ll σ σ ='


[ ] z z z

y y y

x x x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

z z z

y y y

x x x

z z y z x z

z y y y x y

z x y x x x

nmlnml

nmlnml==

'''

'''

'''

'''

'''

'''

''''''

''''''

''''''

..'σ τ τ τ σ τ

σ τ τ τ σ τ σ

E



A

Fun es escalares das componentes Cartesianas da tens o que s o independentes dosistema de eixos coordenados considerado.

''''''1 z z y y x x zz yy xx I σ σ σ σ σ σ ++=++=

2222 zx yz xy xx zz zz yy yy xx I τ τ τ σ σ σ σ σ σ =−−−++=

1 invariante:

2 invariante:


2

''

2

''

2

'''''''''''''' x z z y y x x x z z z z y y y y x x τ τ σ σ σ σ σ σ −−−++

''''''2

''''2

''''2

''''''''''

2223

2

2

z y z x y x y x z z z x y y z y x x z z y y x x

yz xz xy xy zz xz yy yz xx zz yy xx I

τ τ τ τ σ τ σ τ σ σ σ σ

τ τ τ τ σ τ σ τ σ σ σ σ

+−−−=

=+−−−=

Qualquer fun o que inclua qualquer um dos invariantes das tens es tamb m invariante.Por exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) 22

1222222 626 I I zx yz xy xx zz zz yy yy xx

−=+++−+−+− τ τ τ σ σ σ σ σ σ

3 invariante:

E



A

Condi o de tens o principal:

nT r

r

σ =


{ } [ ]{ }nT σ =Aplicando a equa o de Cauchy,

E



A

Este um sistema de tr s equa es lineares e homog neas nas


, , .

que o sistema admita solu o para al m do vector nulo, odeterminante deve ser nulo, isto :

E



A

Desenvolvendo o determinante:


Trata se de uma equa o do terceiro grau em σ, cujas ra zes σ1, σ2 e σ3 s o as tr s tens esprincipais no ponto considerado. Por conven o: σ 1 > σ 2 > σ 3.

Substituindo cada uma dessas tens es principais nas equa es (slide #38) e resolvendo osistema em rela o a (l,m,n) obt m se os vectores que definem as direc es principaiscorrespondentes 1, 2, 3 respectivamente.

E



A

Directamente da lei de reciprocidade das tens es resulta que:


Relativamente ao triedro principal ( 1, 2, 3) pode escrever se para a tens o resultante paraum plano de corte definido pela sua normal ={l,m,n}T:

{ } [ ]{ } ===

n

m

l

T

T

T

nT

3

2

1

3

2

1

00

00

00

σ σ

σ σ

=

=

=

33

22

11

σ σ

σ

nT

mT

lT

E



A

As componentes da tens o normal e de corte s o dadas por:

⇒⋅== nT rr

σ σ

⇒−= 222 σ τ T


E



A

Lei da transforma o das tens es (relativa ao triedro principal):


Invariantes das tens es:

E



A

1.2.7 Num determinado referencial global Oxyz, as componentes cartesianas da tens o numponto P s o as seguintes:


,

eixos x , y , z s o definidas pelos seguintes ngulos:

E



A

1.2.8 O estado de tens o num ponto P definido pelas seguintes componentes Cartesianas:


, , .

b) Determine as tens es principais no ponto considerado, bem como as respectivas direc es.

E



A

1.2.9 O campo das tens es num corpo de material el stico definido, na aus ncia de for as devolume, pelas seguintes componentes cartesianas em cada ponto:


a) Determine a, b, c de modo que o campo das tens es acima definido seja compat vel comas equa es da teoria da elasticidade;

b) Determine as tens es principais no origem das coordenadas, bem como as respectivasdirec es.

E




E



:

• Valores m ximos e m nimos das tens es normais e de corte.

• Tens es octa dricas.

• Estado plano de tens o.

• Resolu o das al neas c e d do roblema 1.2.9.


Aula #4

E



A tens o normal para um plano de corte qualquer, definido por ={l,m,n}T, em que l, m e n s oos cossenos directores de relativamente ao triedro principal, calculada como:

232221),,( nmlnml σ σ σ σ ++=

O problema em an lise corresponde determina o dos valores estacion rios da fun oσ ,considerando que:


01:),,( 222 =−++= nmlnmlg

M todo dos multiplicadores de Lagrange:

( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =∧∇=∇ nmlgnmlgnml λ σ

E



Da equa o anterior resulta:( )( )( )

=−++

=−

=−

=−

01

0

0

0

2223

2

1

nml

n

m

l

λ σ λ σ λ σ


Solu es admiss veis do sistema de equa es:

Tens o normal m xima.

Tens o normal m nima.

E



A tens o de corte para um plano de corte qualquer, definido por ={l,m,n}T, em que l, m e n s oos cossenos directores de relativamente ao triedro principal, calculada como:

( )( )23

22

21

223

222

221

2

223

222

221

22

,,σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ τ nmlnml

nmlnml++−++==−++=


O problema em an lise corresponde determina o dos valores estacion rios da fun o ,considerando que:

01:),,( 222 =−++= nmlnmlg

M todo dos multiplicadores de Lagrange:

( ) ( ) ( ) 0,,,,,,2 =∧∇=∇ nmlgnmlgnml λ τ

τ

E



Da equa o anterior resulta:( )( )( )

=−++

=−−

=−−

=−−

01

02

02

02

2223

23

222

12

1

nml

n

m

l

λ σσ σ λ σσ σ λ σσ σ



M nimo de 2τ

M nimo de2

τ M nimo de 2τ

E





=0

( )232

22

122

322

222

122 σ σ σ σ σ σ τ nmlnml ++−++=

Substituindo em:

Resulta:

Valor estacion rioda tens o de corte:

E



l m n σσσσ ττττ

0 0 + 1 σσσσ 3 0

0 + 1 0 σσσσ 2 0Mínimos

de ττττ

+ 1 0 0σσσσ 1

0

02

1± 2

1± ( )2

32 σ σ +

( )2

32 σ σ −

1± 01± ( )31 σ σ +

( )31 σ σ −

Máximos


2

2

2

2

21±

21± 0 ( )

221 σ σ + ( )

221 σ σ −

Dado que σ1 > σ2 > σ3 o valor m ximo deτ para:

E



θ τ θ σ σ σ σ

σ 22cos22'' xy

yy xx yy xx x x sen+

−+

+=

P

x

z

y

x ’

y ’

z ’


( ) ( )

( )θ τ θ

σ σ τ


σ

2cos22

22cos22

''

''

xy yy xx

y x

xy

yy xx yy xx

y y

sen

sen

+−

−=

−

−

−

+

=

As tens es de corte ser o nulas quando for satisfeita a seguinte equa o : ( ) yy xx

xy

tg σ σ θ −=

2

2

Dado que ( )π θ θ += 22 tgtg existem duas direc es mutuamente perpendiculares

0= xyτ para as quais

E



00 '''' =∂

∂∧=

∂

∂

== p p

y y x x

θ θ θ θ θ σ

θ σ

Logo, as duas direc es definidas por correspondem s componentes normais m xima em nima no plano 0xy:

pθ


22

2

22

1

22

22

xy

yy xx yy xx'

xy yy xx yy xx'

τ

σ σ σ σ

σ

τ σ σ σ σ

σ

+

−−

+=

+

−+

+=

Tens es principais secund rias no plano 0xy.

E



Estado de tens o isotr pico ou estado de tens o hidrost tico:

[ ] { } [ ]{ } { } { }nn p pn pm

pl

nT p

p

p∀=∴−=

−

−

−

==

−

−

−

= 0;

0000

00

τ σ σ


Para um estado de tens o arbitr rio: [ ]=

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx


σ

Tens o m dia ou tens o hidrost tica:

[ ] ( ) ( ) 1321 3

1

3

1

3

1tr

3

1 I zz yy xxm

=++=++== σ σ σ σ σ σ σ σ

E



Tens es de desvio:

A matriz das tens es pode ser escrita como:

σ σ σ +=


−

−

−

m zz zy zx

yzm yy yx

xz xym xx

σ σ τ τ τ σ σ τ τ τ σ σ

[ ]−

−

−

+==

m zz zy zx

yzm yy yx

xz xym xx

m

m

m

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

σ σ τ τ τ σ σ τ τ τ σ σ

σ σ

σ


σ 00

00

00

m

m

m

σ σ

σ

00

00

00

sta o e tens o rost t co. sta o e tens o e esv o.

(varia o de volumesem distor o)

[ ] 0tr'1 == d I σ

(Distor o semvaria o de volume)

E



Uma face octa drica caracterizada por um versor que tem o mesmo ngulo relativamentea cada um dos eixos pricipais de tens o.

σ 3

σ 2

( )nmln ,,=rz 1

8 planos octa dricos:


P

x 1

1y 1

1222 =++ nml

3

1;

3

1;

3

1 ±=±=±= nml

Cossenos directores de relativamente ao sistema de eixos principal de tens o:

E



Tens o normal nos planos octa dricos

Tens o de corte nos planos octa dricos (tens o de corte octa drica)


(slide #41)

E

E



E

• For as de volume e for as de superf cie, todas paralelas ao plano Oxy.• As nicas componentes Cartesianas da tens o que s o eventualmente n o nulas s o σ xx,σyy, τxy , isto , σzz = τxz = τyz =0.

Exemplo: placa solicitada por for as no pr prio plano:


Neste caso:

E

E



E

Em qualquer ponto, a direc o coordenada Oz uma direc o principal de tens o, qualcorresponde sempre uma tens o principal nula.

Qualquer plano de corte perpendicular ao plano da placa fica identificado pelo ngulo θque a respectiva normal faz com a direc o do eixo Ox


E

E



A tens o de corte τ anula se para um ngulo θp tal que:

Atendendo a que tg(2θ p)= tg(2θp+π), existem duas direc es mutuamente perpendicularesque satisfazem a condi o anterior. Essas s o as duas direc es principais de tens o no plano(x,y), as quais correspondem s tens es principais σ1 e σ2 no ponto considerado.

Substituindo o valor do ngulo θp para a componente normal σ, obt m se:


E

A



1.2.9 O campo das tens es num corpo de material el stico definido, na aus ncia de for as devolume, pelas seguintes componentes cartesianas em cada ponto:


c) Nesse mesmo ponto (origem das coordenadas), determine o valor da tens o de cortem xima, e o plano e a direc o segundo os quais actua.

d) Identifique os planos octa dricos na origem e calcule as respectivas tens es octa dricas(normal e de corte).

E




E



:• Constru o de Mohr.

• Equa es de equil brio em coordenadas cilindricas.

• Problema 1.2.10


E

C



( )32

22

122

322

222

122

32

22

12

σ σ σ σ σ σ τ

σ σ σ σ

nmlnml

nml

++−++=

++=

σ1222 =++ nml

222 1 nlm −−= 32

22

12 σ σ σ σ nml ++= ( ) 221

22 σ σ σ σ

−

−−−= l

n


23

( )( )2

321312

222

32

22

−

+−−=+

+

− σ σ σ σ σ σ τ

σ σ σ l

( )( )2

321312

2

2

−

+−− σ σ σ σ σ σ l

Equa o de uma circunfer ncia

Centro,2

32 σ σ +Raio,

E

C




1. Marcar sobre o eixo das abcissas os pontos P 1, P2 e P3, de tal modo que:

2. Tomando os segmentos P 1P2, P2P3 e P3P1 como di metros, desenhar os tr s c rculos deMohr com centros nos pontos m dios C3, C2 e C1, respectivamente.

3. Pelos pontos P1, P2 e P3 tra ar as rectas P1T1, P2T2 e P3T3, respectivamente, perpendicularesao eixo das abcissas.

E

C




3. Marcar o ngulo α=arcos(l) a partir da vertical P1T1 e desenhar a recta P 1Q 3Q 2, queintersecta os c rculos de Mohr (2) e (3) nos pontos Q 2 e Q 3.

4. Com centro no ponto C1, desenhar o arco de circunfer ncia Q 2QQ 3 , com raio C1Q 2.

5. A partir da vertical P3T3, marcar o ngulo γ=arcos(n) e desenhar a recta P3S1S2 queintersecta os c rculos de Mohr (1) e (2) nos pontos S1 e S2, respectivamente.

6. Com centro no ponto C3, desenhar o arco de circunfer ncia S1QS2 , com um raio igual a C3S1.

E

C




7. A intersec o dos dois arcos de circunfer ncia define o ponto Q representativo da tens opara o plano considerado.

As coordenadas do ponto Q no plano (σ,τ) s o tais que a abcissa igual componente normalda tens o e a ordenada igual componente tangencial, para o plano de corte definido por

l=cos(α) , m=cos( ) , n=cos(γ):

E

C



Estados de tens o poss veis

231 σ σ τ

−=

máx

ττττττττmáxmáx

ττττττττmáxmáx (no plano Oxy)(no plano Oxy)

21 σ σ ≠Neste caso: 03 =σ e


σσσσσσσσ

ττττττττ

σxx

σyy

σ 1σ2

ττττττττmáxmáx (no plano Oxy)(no plano Oxy)

ττττττττmáxmáx 11

22

33

E

C



σ σ

θ τ θ σ σ σ σ σ 22cos22''

xx yy

xy yy xx yy xx

x x sen

−=

+−

++

=

σ σ


σ 22cos22''

yy xx

xy yy xx yy xx

x x sen

−−

+−

=+

−

ou:


2'' xy y x2'' xy y x

Quadrando e somando as duas express es anteriores obt m se, ap s simplifica o:

2

2

2''

2

'' 22 xy yy xx

y x yy xx

x x τ σ σ τ σ σ σ +

−=+

+−

E

C



Equivalente equa o de uma circunfer ncia no plano (σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ) , isto ;

( ) 22''

2'' ba y x x x

=+− τ σ

20 yy xxC a

σ σ +== Absissa do centro


2

2

2 xy yy xx Rb τ σ σ +

−== Raio da circunfer ncia

E

C




20 yy xx

C aσ σ +

==

2

2

2 xy yy xx Rb τ

σ σ +

−==

E

C



A tens o normal σ e a tens o de corte τ para um plano obl quo qualquer definido pelo nguloθ, relativamente direc o principal 1 s o dadas pelas express es seguintes:


Estas duas componentes podem ser

interpretadas como sendo as coordenadasdo ponto D sobre o c rculo de Mohrdesenhado num diagrama (σ,τ), conformeilustrado na figura.

O centro do c rculo de Mohr o ponto Csobre o eixo das abcissas, dist ncia(σ1+σ2)/2 da origem do diagrama, sendo orespectivo raio igual semi diferen a dastens es principais, isto , igual a (σ1 σ2)/2.

E

C




As tens es normais positivas indicam trac o e as tens es de corte s o consideradaspositivas quando definem um bin rio que tende a fazer rodar o elemento sobre queactuam no sentido do movimento dos ponteiros do rel gio. o caso das tens es decorte que actuam nas faces bc e ad do elemento abcd representado na figura.

E

C




medida que o ngulo θ varia desde o valor θ=0 at θ =π/2 o ponto D desloca se de P1para P2, de tal forma que a parte superior do c rculo de Mohr representa as tens espara todos os valores de θ compreendidos entre aqueles dois limites. A metade inferiordo c rculo de Mohr representa as tens es para valores do ngulo θ compreendidosentre θ = π /2 e θ =0.

Prolongando o raio CD at ao ponto D , isto , se se considerar o ngulo π +2θ em vezde 2θ, obt m se as tens es que actuam no plano BC perpendicular a AB. Isso mostraque as tens es de corte em dois planos mutuamente perpendiculares s onum ricamente iguais.

E

C




A constru o representada na figura pode tamb m ser utilizada para determinar as

direc es principais de tens o no ponto considerado, a partir das tens es σ xx, σyy eτxy. Com efeito, se forem conhecidas as componentes da tens o relativamente aosistema de eixos Oxy, ficam perfeitamente identificados os pontos D e D , quedefinem um di metro do c rculo de Mohr.

Tra ando depois a respectiva circunfer ncia com centro no ponto C, obt m se ospontos P1 e P2 sobre o eixo das abcissas, cujas dist ncias origem definem asamplitudes das duas tens es principais. O ngulo 2θ, que define a orienta o doseixos principais de tens o, dado pela inclina o do di metro DD em rela o aoeixo das abcissas.

E

C




E

C



Trac o uniaxial

[ ] =000 xxσ σ σ

τ

Py σxx


[ ] =0

0

yx

xy

τ τ

σ

Corte puro

x

σ

τ

P

x

y τxy

τyx

E

C



Estado hidrost tico (isotr pico) de tens o

τ


[ ] −

−

= σ σ

σ 0

0 σ

P

x

y

σ

σ

σ

E

E



Coordenadas cil ndricas r,θ e z


E

E



Coordenadas cil ndricas r,θ e zEm cada ponto P considera se o triedro ( ) zr uuu

rrr

,, θ

r ur

θur

zur

z

P

z

0


As componentes da tens o s o:

z z zr rzr r zzrr , , , , , θθθθθθ τ=ττ=ττ=τσσσ

rθ

x y

E

E



zr r rr τ τ σ θ


=

zz zrz

zr

σ τ τ

σ σ

θ

θ θθ θ

E

E




0

( ) dzrd dzd dr r dr r rr

rr rr θ σ θ

σ σ −+

∂

∂+

Eliminando os termos com termos infinit simais superiores a 3 ordem obt m se

rr σ Contribui o de

dzd rdr r r

rr rr θ σ σ

∂

∂+

E

E




0

θθ σ Contribui o de

θ σ θ

θ θ

σ σ θθ θθ

θθ rdrdzd r

d drdzsend

−≈

∂

∂+−

22

E

E




0

θ τ r Contribui o de

dzrdrd r

d drdzd r r θ

θ τ θ

θ θ

τ θ θ

∂

∂≈

∂

∂ 1

2cos

E

E




0

zr τ Contribui o de

( ) θ τ

θ τ

drdzd z

r dr rd dz z

zr zr

∂

∂≈

∂

∂

Contribui o das for as por unidade de volume:

θ rdrdzd F r

E

E



01 =+

−+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂r

rr zr r rr F r zr r

θθ θ σ σ τ θ

τ σ

01

021

=++∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zrz zz zrz

r zr

F r zr r

F r zr r

τ σ θ

τ τ

τ τ

θ

σ τ

θ

θ θ θ θθ θ :


z z zr rzr r jiij ji θ θ θ θ τ τ τ τ ===∀= ;;,

Da lei de reciprocidade das tens es:

E

E

No caso de existir simetria axial relativamente ao eixo 0z n o haver varia o do estado



No caso de existir simetria axial relativamente ao eixo 0z, n o haver varia o do estadode tens o com a coordenada θ. Neste caso, as equa es de equl brio s o dadas por:

0

τ∂

=+σ−σ+∂τ∂+

∂σ∂

θ

θθ

z

r rr rzrr F

r zr


0=+τ+∂σ∂+

∂τ∂

∂

zrz zzrz F r zr

z

E

1 2 10 O campo das tens es num corpo s lido el stico homog neo e isotr pico definido



1.2.10 O campo das tens es num corpo s lido el stico, homog neo e isotr pico definidopelas seguintes componentes:

As restantes componentes do campo das tens es s o nulas.

a) Mostre que tal campo de tens es est necessariamente associado a um campo de for as


.

b) Determine as tens es principais nos pontos e, e as respectivas direc es.

c) Desenhe os c rculos de Mohr correspondentes ao estado de tens o no ponto.

d) volta do ponto B, desenhe um paralelep pedo elementar de faces paralelas aos planosCartesianos e, sobre cada uma dessas faces, represente as tens es correspondentes.

E




E

:



• An lise das deforma es.

• Deslocamento e deforma o linear.

• Distor o ou deforma o de corte.

• Com onentes Cartesianas da deforma o.


• Deforma o segundo direc es arbitr rias.

• Leis de transforma o das deforma es.

• Problemas 2.2.1 e 2.2.2.

Aula #6

E

E

.



Oy

z

V’

V

P

P’( )

( )wvuuPP

z y xOP

z y xOP

,,'

',',''

),,(

==

=

=

r

z zw y yv x xu −=−=−= ';';'x


Vector deslocamento de um ponto:

Campo de Deslocamentos:

Assume se que as fun es (u, v, w) t m valores muito pequenos, que variam de uma formacont nua com as coordenadas x, y, z e que as suas derivadas s o tamb m quantidades muitopequenas.

E

E

.



Forma deformadaForma n o deformada



E

E

.




ur

0ur


0' uur r r rrrrr −=−=∆

Em nota o indicial:

E

E

.



Gradiente do campo de deslocamentos


∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

=

02

1

2

1

2

10

2

12

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1

,

y

w

z

v

x

w

z

u yw

zv

xv

yu

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w yw

zv

yv

yu

xv

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

u ji

Matriz das deforma es Matriz das rota es

[ ]ε [ ][ ]ur

∇ = +

E

E

.



Tensor das deforma es: Tensor das rota es:

( )i j jiij uu ,,2

1 +=ε ijij jiu ε +=,


Deforma o Rota o de corpo r gido

jij jijii dxdxuu ε ++=

E

E



• Unidades: adimensional.

• O estado de deforma o de um corpo representado por um campo tensorial [ ].),,( z y xε

Exemplo campo de deforma es num estabilizador vertical de um avi o:


ε11Load

E

E



Oy

z

PP’

V’Q’V

Q '''; dsQPdsPQ ==


Deforma o linear m dia ou extens o m dia do segmento PQ:

Deforma o linear, ou extens o, em P segundo a direc o PQ definida por ={l,m, n}T:

No casos particulares das direc es coordenadas, t m se as tr s componentes cartesianaslineares da deforma o em P:

E

E

A deforma o de corte ou distor o de um elemento rectangular ABCD traduz o



A deforma o de corte ou distor o de um elemento rectangular ABCD traduz oescorregamento relativo de planos paralelos uns sobre os outros:

y


Na situa o em quest o, em que as duas direc es s o paralelas a x e y, tem se:x

E

E

yz



yz


xNo caso dum elemento tridimensional, a deforma o de corte ou deforma o angular traduzida por tr s componentes, correspondentes s distor es dos tr s diedrosconcorrentes no v rtice A. Obt m se assim as tr s deforma es de corte no pontoconsiderado:

E

E



AB B A xx

−= ''

ε

Extens o segundo 0 x:


( ) ( )[ ] ( ) ( )222

2,,,,''

∂

∂+−∂

∂++=

∂

∂+−++= dx x

v y xudx x

u y xudxdx x

v y xu ydx xudx B A

( ) dx xu

y xu∂

∂+= ,

E

E




dx xu

dx xv

xu

xu

B A

∂

∂+≈

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+= 121''

22

xu

dx

dxdx xu

AB AB B A

xx ∂

∂=

−

∂

∂+

=−

=1

''ε

E

E



β α γ += xy

Distor o no plano x y:


xv

dx xu

dx

dx x

v

∂

∂≈

∂

∂+∂

∂

=≈ α α tan yu

dy yv

dy

dy yu

∂

∂≈

∂

∂+

∂

∂

=≈ β β tan xv

yu

xy ∂

∂+∂

∂=γ

E

E

Considerando as tr s direc es cartesianas Oxyz, obt m se as seis componentes da



y , pdeforma o no ponto considerado (tr s componentes lineares e tr s componentes decorte):


Deforma es de corte de engenharia ( )

E

E

∂=

∂=

∂= wvu

zzyyxx ,, εεε



Deforma es de corte tensoriais ou componentes Cartesianas da matriz de deforma es:

( )

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂∂∂+=

zu

xw

yw

zv

xv

yu

z y xuu

zx yz xy

zz yy xx

i j jiij

2

1,

2

1,

2

1

,,

2

1,,

ε ε ε

ε ε ε ε


E

E



Considere se um segmento PQ, segundo umadirec o arbitr ria ={l,m, n}T.

Tomando os comprimentos do segmento PQ,antes e depois da deforma o, pode escrever se:


com:

( )

( )( ) z y xw z z

z y xv y y

z y xu x x

,,'

,,'

,,'

+=

+=

+=

E

E

Desprezando termos de 2 ordem nas derivadas dos deslocamentos resulta:



Da defini o de deforma o linear:


Desprezando os termos de 2 ordem em ε resulta:

( ) [ ]{ }( ) { }nnnP ⋅=⇔ ε ε r

,

E

E



Considerem se agora dois segmentos de comprimentos

infinitesimais, PQ 1 e PQ 2, segundo duas direc esortogonais entre si 1 e 2. As componentes Cartesianasdaqueles dois segmentos, ap s a deforma o, podem


E

E



O ngulo θ pode calcular se recorrendo seguinte

{ }

{ }T

T

dzdydxQP

dzdydxQP

'2

'2

'2

'2

'1

'1

'1

'1

,,'

,,'

=

=


equa o:

( ) ( ) 'cos11'cos'''' 2211'2

'1

'2

'1 θ ε ε θ ++==⋅ dsdsQPQPQPQP

( )( )2121

'2

'1

11'''cos

ε ε θ

++⋅=

dsdsQPQP

E

E



Desprezando os termos de segunda ordem nasderivadas dos deslocamentos, de acordo com aaproxima o linear das deforma es infinitesimais,obt m se:


Considerando: 2,1'

2

'

2

sin'cos nnγ θ π

θ π

θ =−≈

−=

E

E

Em conclus o, pode se dizer que estado de deforma o num ponto fica completamente



definido em termos das componentes cartesianas da deforma o, na medida em que, umavez conhecidas essas componentes, poss vel calcular as extens es lineares e as distor espara quaisquer outras direc es:


E

E

Considere se a seguinte matriz de transforma odo sistema de eixos 0xyz no distema de eixos 0x y z :



As componentes cartesianas da deforma o referidas ao sistema de eixos 0x y z , podemser calculadas em fun o do estado de deforma o no sistema 0xyz, recorrendo s leisde transforma o das deforma es, que decorrem directamente das express esanteriormente:

do sistema de eixos 0xyz no distema de eixos 0x y z :


[ ] [ ][ ][ ]T ll ε ε ='ou:

E

E

Comparando estas equa es com as equa es hom logas referentes s leis de transforma odas tens es, verifica se que existe uma semelhan a not vel entre os dois tipos de equa es.



, q p q

Com efeito, se se definir uma correspond ncia do tipo:


As equa es de transforma o em ambos os casos s o id nticas duas a duas. E este tipo

de semelhan a importante, na medida em que da decorre imediatamente que algunsdos resultados que foram obtidos anteriormente para as tens es podem ser agoratransportados directamente para a an lise das deforma es. o caso, por exemplo, dasdeforma es principais e das direc es principais de deforma o

E

2.2.1 O campo dos deslocamentos num meio material definido pelas seguintes componentes:



a) Determine o campo das deforma es que lhe est associado.


b) Determine a deforma o linear ε, no ponto P de coordenadas (0, 1, 1), segundo a direc oigualmente inclinada relativamente aos tr s eixos coordenados, isto :

E

2.2.2 Transforme as componentes cartesianas de deforma o relativamente a um sistemade eixos global O :



para um sistema de eixos cartesianos particular Ox y z , cuja orienta o em rela o ao sistema


global definida pelos seguintes ngulos:

E




E

:

• Deforma es principais.



• Invariantes das deforma es.

•Deforma es principais secund rias.

• Deforma o m dia e deforma o desvio.


• Deforma es sobre um plano.• Valores m ximos da deforma o de corte

• Deforma es octa dricas.

• Problema 2.2.5.

Aula #7

E

D

Em cada ponto existem pelo menos tr s direc es mutuamente ortogonais definidas pelosversores ( 1, 2, 3), para as quais s o nulas as deforma es de corte, sendo estacion rios(m ximos ou m nimos) os valores das respectivas deforma es lineares. Essas direc es s o as



direc es principais de deforma o, definidas por um sistema de tr s equa es do tipo:


Onde as deforma es principais ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 s o as ra zes da equa o caracter stica do terceirograu:

E

D

Relativamente ao triedro ortonormal das tr s direc es principais de deforma o ( 1, 2, 3)as equa es que exprimem a extens o linear segundo uma direc o arbitr ria ={l,m,n}T e adeforma o de corte segundo duas direc es ortogonais ={l,m,n}T e ={l’,m’,n’}T s o



g g , , , ,dadas pelas seguintes express es:

=0 =0 =0


=0 =0 =0

E

Invocando a analogia existente entre o tensor das deforma es e o tensor das tens es,podemos referir a exist ncia dos seguintes tr s invariantes das deforma es:



O primeiro invariante , 1, tamb m chamado Invariante Principal ou Invariante Linear, tem


O volume do paralelip pedo, antes e depois da deforma o, dado pelas seguintes express es:

E

A varia o de volume por unidade de volume (coeficientede deforma o volum trica) dado pela seguinte



express o:

ou se a des rezando uantidades infinitamente e uenas de


ordens superiores primeira:

E

D

A no o de deforma o principal secund ria num plano define se de forma id ntica ao quefoi feito para as tens es. Considerando uma rota o θ do triedro Oxyz em torno do eixo doszz, obt m se as seguintes equa es de transforma o para as deforma es:




A deforma o de corte γx y anula se para um ngulo θp dado por:

As solu es desta equa o definem duas direc es mutuamente perpendiculares, que s oas direc es principais secund rias de deforma o, 1 e 2 no plano xy. As deforma esprincipais secund rias v m ent o:

Valores m ximo (ε1 ) e m nimo(ε2’) dasextens es no plano xy.

E

D

Define se deforma o m dia num dado ponto como a quantidade ε , calculada atrav s da

rela o:



As deforma es desvio, , s o dadas por:


Qualquer que seja o estado de deforma o num ponto material P pode sempre escrever se:

E

D

Onde [ε ] representa um estado de deforma o isotr pico com deforma o ε m e distors onula e [ ] a matriz das deforma es de desvio ou matriz das distor es representando



nula, e [ε d ] a matriz das deforma es de desvio, ou matriz das distor es, representandoum estado de distor o pura, sem varia o de volume ( 1=0).

D


Deforma o ou extens o linear sobre um planoπ a deforma o linear επ segundo a direc oda respectiva normal ={l,m,n}T, isto :

E

D

Considere se agora uma direc o qualquer'={l',m',n }T sobre o plano π. Define se

deforma o angular, deforma o de corte



ou distor o sobre o plano π segundo adirec o deforma o angular γπ ' entre anormal e a direc o , isto :


A deforma o γπ' traduz o escorregamento relativo dos planos paralelos a π, uns sobre osoutros, segundo a direc o :

E

D



Para uma segunda direc o "= {l",m",n }Ttamb m sobre o plano π e perpendicular a :


O escorregamento relativo e" de π' sobre π, na direc o " :

O escorregamento relativo total ( ) entre os dois planos π e π ' dado por:

A este valor corresponde a deforma o de corte ou distor o resultante γ π sobre o plano π

dada por:

Esta deforma o de corte respons vel pela transforma o do rect ngulo ABCD noparalelogramo A B C D .

E

D

Combinando as express es anteriores:




Substituindo as express es para e e atendendo s condi es de ortogonalidadeentre as direc es , ' e " , obt m se a seguinte express o final para a deforma o decorte ou distor o resultante sobre o plano π:

{ } [ ]{ }n D ε =⇔

E

D



A direc o segundo a qual actua a deforma o de corte γπ, isto , a direc o segundo a qual


,por express es semelhantes s das tens es:

E

Os resultados que foram encontrados para as tens es, relativamente aos valores m ximos em nimos de τ, podem agora ser generalizados para as deforma es, tendo em conta acorrespond ncia atr s referida entre as tens es e as deforma es:




E

D

Sobre os planos octa dricos a deforma o linear

octa drica :



A deforma o de corte sobre cada um dos planos

octa dricos a chamada deforma o de corte oudistor o octa drica, sendo dada pela express oseguinte:


ou, em termos das componentes cartesianas da deforma o relativamente aum sistema de eixos arbitr rio Oxyz:

( ) ( ) ( )2312

322

213

2ε ε ε ε ε ε γ −+−+−=

oct

E

2.2.5 O estado de deforma o num ponto P dum corpo material definido pelas seguintescomponentes cartesianas




a e erm ne as e orma es pr nc pa s e as respec vas rec es pr nc pa s no pon oconsiderado.

b) Determine as componentes normal e de corte da deforma o sobre um plano π cujanormal est igualmente inclinada sobre os tr s eixos coordenados.

c) Identifique os planos octa dricos no ponto considerado e, sobre eles, determine as

respectivas deforma es normal e de corte.

E




E

:

• Equa es de compatibilidade.

E d l d d f



• Estado plano de deforma o.

• C rculo de Mohr para o estado plano de deforma o.


• An lise de rosetas.

• Rela o entre o campo de deslocamentos e o campo de deforma es emcoordenadas cil ndricas.

• Problema 2.2.8.

Aula #8

E

E

A partir do campo dos deslocamentos (x,y,z), sempre poss vel obter o campo dasdeforma es que lhe est associado, de uma forma un voca, por deriva o directa dasrespectivas componentes:




E

E Defina se arbitr riamente seis fun es uniformes e cont nuas εxx, εyy, εzz, γxy, γyz e γxz dasvari veis x, y, z. Se se considerar agora o corpo material dividido em elementos e se foremsuprimidas as conex es internas que os unem uns aos outros, possivel fazer corresponder

quele sistema arbitr rio de seis fun es uma deforma o efectiva de qualquer um doselementos de volume considerados. No entanto, o mais prov vel que essas deforma es n o



sejam mutuamente compat veis, de tal modo que as superf cies exteriores de elementos

cont guos deformados se n o adaptem umas s outras, para reconstituir, sem vazios nemsobreposi es, o todo cont nuo que o corpo deformado.


(Sadd, Elasticity, Elsevier, 2009)

E

E

As seis componentes da deforma o n o podem ser fixadas arbitrariamente, devendosatisfazer determinadas condi es que garantam a exist ncia das tr s fun escont nuas u(x,y,z), v(x,y,z) e w(x,y,z), capazes de definirem uma deforma o coerentede todo o corpo. Essas condi es s o traduzidas por seis equa es, denominadasEqua es de Compatibilidade das deforma es



Equa es de Compatibilidade das deforma es.

xvu

xy ∂

∂+

∂

∂=γ Derivando em ordem a x e a y obt m se: vu xy ∂

+∂

=∂

2

3

2

32γ


∴∂

∂=∂

∂= ; y

v xu

yy xx ε ε y xv

x y xu

y yy

xx∂∂

∂=∂

∂

∂∂

∂=∂

∂2

3

2

2

2

3

2

2

;ε ε

2

2

2

22

x y y x yy xx xy

∂∂+

∂∂=

∂∂∂ ε ε γ

Substituindo:

Equa o de compatibilidade das deforma es.

E

E




Estas equa es t m de ser satisfeitas para qualquer campo de deforma es admiss vel.

E

E

O estado plano de deforma o corresponde a uma situa o em que n o h escorregamento oucorte entre planos perpendiculares a uma dada direc o. o caso, por exemplo, de um corpocil ndrico de grande espessura, solicitado por for as que actuam perpendicularmente ao eixo edistribuidas uniformemente ao longo de toda a espessura.



Tomando o eixo dos zz orientado segundo essa direc oparticular, o estado plano de deforma o ser , portanto,caracterizado por serem nulas as componentes ε zz, γyz e γxz,


[ ]=

000

02

1

02

1

yy xy

xy xx

ε γ

γ ε

ε

s o :

E

E

Num estado plano de deforma o, a extens o linear ε segundo uma direc o paralela aoplano Oxy e inclinada de um ngulo θ relativamente ao eixo dos xx,

={cosθ , senθ ,0}T, dada por:



A deforma o de corte, sobre o plano perpendicular a essa direc o, dada por:


A deforma o de corte anula se para um ngulo θp, definido pela equa o:

Existem duas direc es mutuamenteperpendiculares que satisfazem esta condi o.S o as direc es principais de deforma o 1 e

2, as quais correspondem s extens esprincipais ε1 e ε2, dadas pelas express es:

E

C

Existe uma constru o de Mohr para as deforma es (επ, γ π), em tudo semelhante constru o hom loga para as tens es, com a nica diferen a de que as tens es normais (σ )s o substitu das por (επ) e as tens es de corte ( τ) por metade das deforma es de corte(γ π/2):




E

C




Quando a deforma o angular γ positiva, (γxy > 0), o ponto D representativo da direc o Ox marcado a uma dist ncia γxy para baixo do eixo horizontal, e o ponto D representativo da

direc o Oy , a uma dist ncia γxy para cima; e vice versa, quando a deforma o angular γxy

negativa. A conven o para o sinal da deforma o de corte coincide com a que foiadoptada na constru o do c rculo de Mohr para as tens es.

E

A

Experimentalmente, mais f cil medir directamente as extens es lineares do que asdistor es. Por isso, frequente p r se o problema de determinar as extens es principaisnum ponto, a partir da medi o das extens es lineares ε a, εb, εc, segundo tr s direc esdistintas sobre o plano de deforma o.




Suponha se que aquelas tr s direc es fazem ngulosθa, θb e θc , respectivamente, com adirec o do eixo dos xx. Pode escrever se:

E

A

Corresponde situa o em que as tr s direc es est o espa adas de 45˚. Nas aplica espr ticas esta situa o materializado atrav s das rosetas rectangulares de tr sextens metros, que t m um aspecto conforme representado nas seguintes figuras.



Y


45º45º X

E

A




E

A

Corresponde situa o em que as tr s direc es est o espa adas de 120˚. Nas aplica espr ticas esta situa o materializado atrav s das rosetas rectangulares de tr sextens metros, que t m um aspecto conforme representado na seguinte figura.




E

A




E

C


Em cada ponto P considera se o triedro ( ) zr uuu rrr

,, θ

θur

zur

P

z



r ur

z

P

0


θx y

+−

+

=−=

w

vu

vu

w

v

u

u

u

u

z

r

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ cossin

sincos

100

0cossin

0sincos

E

C


θ θ sincos

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

r z

zv

r y

yv

r x

xv

r z

zu

r y

yu

r x

xu

r u r

=0 =0




θ θ γ θ ε θ ε

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

cossinsincos

cossinsincos

sinsincoscossincos

22

22

xy yy xx

r

xv

yu

yv

xu

y x y xr

++=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

= ∂

+∂

+ ∂

+∂

=∂

E

C

Por outro lado:

[ ] [ ][ ] [ ] θ θ γ θ ε θ ε ε ε ε θ cossinsincos 2200 xy yy xxrr

T xyx zr T T ++=∴=

Resultando:u∂



r

u r

rr ∂=ε


Para as restantes extens es e distor es:

E

2.2.8 Num ponto P da superf cie livre dum corpo material, mediram se as deforma eslineares segundo tr s direc es a, b, c espa adas de 45˚:

) D i d f i i i id d i i



a) Determine as deforma es principais no ponto considerado e as respectivas orienta es.

b) Determine o valor da deforma o de corte m xima e a orienta o do plano segundo o qual


e a se processa.

c) Resolva as al neas anteriores recorrendo exclusivamente constru o dos c rculos de Mohr.

E




E

:

• Rela es tens o deforma o.

• Energia el stica de deforma o.



• Formula o geral de problemas de elasticidade.


• Princ pio de Saint Venant.

• Problemas 3.2.1, 3.2.3 e 3.2.4.

Aula #9

E

.

Quando sobre um corpo el stico s o aplicadas for as de intensidades gradualmentecrescentes, verifica se experimentalmente que, at se atingir um determinado valor limite, ocorpo comporta se como perfeitamente el stico, na medida em que recuperar totalmenteas deforma es produzidas, re assumindo a forma e dimens es originais:




Configura o (III) = Configura o (I)

E

.

A primeira formula o de uma liga o entre a deforma o e as for as aplicadas ao corpo foiproposta por Robert Hooke, estabelecendo uma rela o de proporcionalidade directa entreaquelas duas grandezas para uma barra linear trac o:




Robert Hooke (1635 1703)

σ = F / A a tens o, E a constante de proporcionalidade e ε adeforma o longitudinal da barra

E

Uma generaliza o natural da lei de Hooke, consiste em considerar que, em todos ospontos, cada uma das seis componentes da tens o se pode exprimir como uma combina olinear das seis componentes da deforma o, e inversamente. a chamada lei de Hookegeneralizada:




E

Inversamente:




Em qualquer das formas que se represente a lei de Hooke generalizada, est oenvolvidos 36 par metros el sticos.

E

Considere se, num ponto P dum corpo el stico isotr pico, as equa es da lei de Hookegeneralizada referidas ao triedro das direc es principais em P, { 1, 2, 3}T:




A condi o de isotropia implica que o efeito de uma deforma o ε1 sobre a tens o σ1 deve ser o

mesmo que o efeito de ε 2 sobre σ2 e o efeito de ε 3 sobre σ3. Isto quer dizer que E11= E22= E33. Domesmo modo, pela condi o de isotropia, os efeitos das deforma es ε2 e ε3 sobre a tens o σ1devem ser iguais. Portanto, E12= E13. Pela mesma raz o, dever ser E21= E23 e E31= E32. Al mdisso, os efeitos de ε 2 e ε3 sobre σ1 devem ser iguais aos efeitos de ε 1 e ε3 sobre σ2 e de ε 1 e ε2sobre σ3. Ent o, dever ser:

E

Resulta ent o:




Par metros de Lam

E

Relativamente a um sistema de eixos Cartesiano arbitr rio 0xyz:

23

22

21 nml xx σ σ σ σ ++=




''' 321 nnmmll xy σ σ σ τ ++=

E

Inversamente:




E

Considere se o caso bi dimensional de corte puro representado na Figura. A rela o entre atens o de corte τ e a correspondente deforma o de corte γ , por defini o, o m dulo deelasticidade ao corte, ou m dulo de rigidez do material, habitualmente representado pelaletra mai scula G:



Por outro lado, o estado de corte pura representado nafi ura caracterizado elas se uintes com onentes:


τ τ τ == yx xy

Aplicando a Lei de Hooke:

Donde, μ = G, isto , o par metro de Lam μ numericamente igual ao m dulo de rigidezG do material.

E

Outra constante el stica frequentemente utilizada nas aplica es em engenharia o chamadom dulo de Bulk, ou m dulo de compressibilidade, K, que se define pela rela o entre apress o p e o coeficiente de dilata o volum trica θ, num estado de tens o hidrost tico:




pelos seguintes componentes:

Substituindo nas tr s primeiras equa es da lei de Hooke e adicionando membro a membro:

E

No ensaio de trac o convencional, habitualmente utilizado para adetermina o das propriedades mec nicas dos materiais, submetese uma barra do material a estudar ac o de duas for as iguais eopostas, aplicadas segundo o eixo do provete.




Sim on Dinis Poisson (1781 1840)

Thomas Young (1773 1829) O M dulo de Young (E) e o Coeficiente de Poisson (ν) s o duasconstantes el sticas do material, definidas por:

onde ε l e ε t s o as extens es lineares nas direc es longitudinal

e transversal, respectivamente.

E

Tomando o eixo dos xx segundo a direc o axial da pe a, os estados de tens o e de deforma ocorrespondentes situa o representada na figura s o:




Por outro lado, decorre directamente da lei de Hooke:

M dulo de

YoungCoeficiente dePoisson

E

O M dulo de Young e o Coeficiente de Poisson s o as constantes el sticas maisfrequentemente utilizadas. Em termos destas duas costantes, as equa es da Lei deHooke para um material isotr pico escrevem se:




E

Inversamente:




E




E

E

Quando um corpo el stico se deforma sob a ac o de for as externas, estas realizam trabalho

que fica armazenado no interior do corpo sob a forma de energia el stica de deforma o, quepoder ser totalmente recuperada quando removidas as for as que provocam a deforma o.




E

E

Densidade de energia el stica:

Quando actuam as tr s tens es normais:




Densidade de energia el stica:

Quando actuam as tr s tens es de corte:

E

E

Caso geral:

Aplicando a lei de Hooke:

( ) yz yz xz xz xy xy zz zz yy yy xx xxU γ τ γ τ γ τ ε σ ε σ ε σ +++++=2

10





Em termos das deforma es:

E

E

Energia el stica total:

Qualquer estado de tens o pode decompor se num estado de tens o hidrost tico e numestado de tens o de desvio ou distorsional (sem varia o de volume):




As duas componentes da energia de deforma o U0V e U0D s o dadas por:

E

Fun es a definir (15):

Campo de tens es (seis componentes)Campo de deforma es (seis componentes)Campo de deslocamentos (seis componentes)

Equa es de liga o (15)



Equa es de liga o (15)


deforma o e de deslocamentos:

ou

E

Seis equa es resultantes da lei de Hooke:




Tr s equa es de equil brio:

E

Se o sistema de for as que actua sobre uma pequena rea da superf cie dum corpo el sticofor substitu do por um outro sistema de for as estaticamente equivalente actuando sobre amesma rea da superf cie do corpo, essa redistribui o da carga poder produzir altera essubstanciais das tens es e deforma es na vizinhan a imediata da zona de aplica o dacarga, mas as tens es e as deforma es permanecer o essencialmente inalteradas nasregi es do corpo mais afastadas, a partir de uma dist ncia consider vel em rela o sdimens es da rea de carregamento



dimens es da rea de carregamento.


Adh mar Barr de Saint Venant (1797 1886)

E

3.2.1 O estado de deforma o num ponto P de um corpo material em a o (λ=120GPa,

μ=80GPa) dado pelas seguintes componentes cartesianas:



Determine o correspondente estado de tens o no ponto P.


3.2.3 Determine a varia o de volume de um cubo de a o (λ=120GPa , μ=80GPa) de 1metro de lado, quando mergulhado no fundo do oceano, a 10.000 metros deprofundidade.

E

3.2.4 Uma placa em a o (E=210GPa, ν=0,3), de dimens es 200mmx200mmx10mm est sujeita

a um estado bi axial de tens o uniforme, conforme ilustrado na figura.




a) Utilizando as equa es relativas ao estado plano de tens o, determine a tens o de cortem xima e a direc o segundo a qual actua.

b) Determine o alongamento que sofre a diagonal AC.

E




E

:

• Crit rios de rotura: Rankine e Mohr Coulomb.

• Crit rios de ced ncia pl stica: Tresca e Von Mises.

• Problemas 3.2.9 e 3.2.17.



. . . . .


E

C

Materialfr gil

Materiald ctil




A quest o que se coloca consiste em determinar as condi es que levam rotura de ummaterial fr gil e ao in cio de plastifica o de um material d ctil para um estado multiaxial detens o e de deforma o.

ent o necess rio definir uma fun o escalar do tensor das tens es (ou das deforma es)

que delimita o regime el stico do comportamento mec nico dos materiais:[ ]( ) 0≤Θ σ

E

C

( )

rot σ σ ≤max




Considerando um estadoplano de tens o:

As condi es de rotura de um material fr gil s o determinadas pela presen a de defeitos,

o que resulta num pronunciado efeito de escala: verifica se que volumes superioresresultam em tens es de rotura inferiores. Desta forma, os crit rios de rotura de materiaisfr geis s o frequentemente utilizados em combina o com an lises n o determin sticas.

E

C

O crit rio de Mohr Coulomb utilizado para prever a rotura de materiais fr geis e adeforma o pl stica de materiais com tens es de ced ncia pl stica diferentes em trac oe compress o.

Considera se que a rotura ocorre



quando um estado de tens o


representado por um c rculo de Mohrtangente recta de rotura de Mohr. Deuma forma equivalente, a rotura ocorrequando a tens o de corte e a tens onormal que actuam num planosatisfazem a seguinte condi o:

φ σ τ tan−= c : coes o; φ : ngulo de fric o interna.

E

C

( ) ( ) φ φ σ σ σ σ cos2sin3131 c=++−

O crit rio de Mohr Coulomb pode ser escrito em termos das tens es principais daseguinte forma:

A coes o, , e o ngulo de fric o interna, φ , podem ser calculados a partir de dois c rculos



de Mohr, um correspondente a um estado de trac o uniaxial e outro a um estado de


compress o uniaxial.

E

C

( ) ced ced τ σ σ τ τ =−⇒= 31max 2

1

O crit rio de Tresca assume que a deforma o pl stica ocorre quando a tens o de cortem xima atinge um valor limite:

Considerando um ensaio de trac o uniaxial:




ced ced ced τ σ τ σ τ =⇒==2

1

2

11max

Desta forma, o crit rio de Tresca pode ser definido como:

ced σ σ σ =−31

De notar que o crit rio de Tresca um caso particular docrit rio de Mohr Coulomb, dado que os dois crit rioscoincidem quando φ =0.

E

O crit rio de Von Mises assume que a deforma o pl stica ocorre quando a tens o decorte octa drica atinge um valor limite. Este crit rio pode ser traduzido, de uma formatotalmente equivalente, na considera o que a deforma o pl stica ocorre quando osegundo invariante das tens es de desvio atinge um valor limite.

( ) ( ) ( ) max223

231

221

1octoct τ σ σ σ σ σ σ τ =−+−+−=

C



( ) ( ) ( )2331213 oct oct


Considerando um ensaio de trac o uniaxial:

( ) max1

21 3

2322

31 oct ced oct τ σ σ σ τ ====

Donde:

( ) ( ) ( ) ced σ σ σ σ σ σ σ =−+−+− 223

231

221

21

E

3.2.9 Uma placa rectangular em a o, (E=200 GPa, ν=0.3), com as dimens es de 2m x 1m eespessura de 10 mm, est solicitada ao longo das faces de menor dimens o por duasdistribui es lineares de press o, iguais e opostas, conforme ilustrado na figura:




a) Demonstre que tal campo de tens es s compat vel se for nulo o campo das for as devolume.b) Desenhe um elemento de volume no centro da placa, com os lados inclinados a 45˚ emrela o aos eixo coordenados e, sobre eles, represente as correspondentes tens es normaise de corte.c) Determine a distribui o dos deslocamentos ao longo do lado AB, (recta de equa o y = 0).d) Calcule a energia el stica de deforma o acumulado na placa.

E

3.2.17 Num determinado componente mec nico, o estado de tens o mais desfavor vel ocorre

num ponto da superf cie livre da pe a, e corresponde situa o representada na figura. Omaterial utilizado o a o, com uma tens o limite de ced ncia σced=250MPa.




Determine o coeficiente de seguran a relativamente plastifica o do material, utilizando:

a) O crit rio de Tresca.b) O crit rio de Von Mises.c) Considerando que o componente fabricado num material fr gil com uma tens o de rotura

trac o de 100MPa e uma tens o de rotura compress o de 300MPa, verifique se h roturado material aplicando o crit rio de Mohr Coulomb.

E




E

:

• Diagramas de esfor os.

• Resolu o de exerc cios.




E

D

Antes de se proceder ao tra ado do diagrama de esfor os necess rio calcular as reac esnos apoios utlizando as equa es de equil brio est tico:




Considere se a viga simplesmente apoiada representada na figura seguinte:

E

D

Os diagramas de esfor os s o simplesmente representa es gr ficas das for as e momentosque t m de estar aplicados numa sec o de uma viga de forma a equilibrar as for as emomentos exteriores:




E

D

Conven o de esfor os positivos:




Diagrama de esfor os transversos =VV=

Diagrama de momentos flectores =MMF=

E

D

Cargas distribu das

( ) ( ) xF xq ∆= lim




( ) 00

=++−=Σ ∫ L B A y R Rdx xqF

( ) 00

=+−=Σ ∫ L

B A L R xdx xq M

E

D

Utilizando a resultante da carga distribu da, :

0=++−=Σ B A y R R RF

0=+−=Σ L R x R M B A




Comparando com as equa es anteriores:( ) ( )

( )∫∫∫ == L

L L

dx xq

xdx xq

R

xdx xq x

0

00

Donde se conclui que a for a resultante de uma carga distribu da igual rea do

respectivo diagrama de carga e que a for a resultante de uma carga distribu da passa pelocentro de gravidade do diagrama de carga.

E

D

Considerando um elemento de viga:




( )

=+−

∂

∂++

∂

∂+=Σ

=−+∂

∂+=Σ

022

0

dxV M

dxdx

xV

V dx x

M M M

V dx xqdx xV

V F

O

y

Desprezando termos infinit simaisde segunda ordem:

( )

( )−=

−=

xV dx

dM

xqdx

dV

E

D

Exemplo:

( ) ( ) 1C Wx xV W xqdxdV +=⇒=−=

2

C C x

W xC Wx xV dM +−−=⇒−−=−=




Condi es fronteira:

2dx

=

−=⇒

=⇒=

=⇒=

020

00

2

1

C

WLC

M L x

M x

E

D

Resulta ent o:

( ) −=2 L xW xV

Diagrama de esfor os transversos =VV=




( ) ( ) x LWx

x M −=2

Diagrama de momentos flectores =MMF=

E

Represente os diagramas de esfor os transversos e de momentos flectores para as vigas

seguintes

( 6.2.2)




( 6.2.4)

E

( 5.2.6)




http://www.nexote.net/nexote/ShearandMoment/

Constru o interactiva de diagramas de esfor os:

E




E

:

• Introdu o tor o de pe as lineares.

• Veio cil ndrico de sec o circular.

• Veio circular oco. . . , . . . .




,

Aula #12

E

Absor o ou transmiss o de esfor os de tor o:

• Veios ou rvores de transmiss o• Barras de tor o; molas; estruturas tubulares (ve culos de transporte e aeronaves).

Sec es rectas do cilindro permanecem circulares e planas, ap s adeforma o, rodando em torno do respectivo centro.

U i l t d b t




Um raio qualquer tra ado sobre uma sec o recta permanecerectil neo durante a deforma o do veio.

O ngulo entre dois quaisquer raios no plano duma sec o rectapermanece constante durante a deforma o do veio.

Portanto, e em consequ ncia das condi es da simetria geom trica e

da solicita o, cada sec o recta do veio roda em torno do respectivocentro como um disco absolutamente r gido. O ngulo de rota o θ proporcional dist ncia z.

E

ngulo de rota o por unidade de comprimento

As condi es anteriores implicam que as componenteslongitudinais e radiais do campo de deslocamentos sejamnulas:

0==

r z uu

Para valores muito pequenos do ngulo de




Para valores muito pequenos do ngulo derota o, o deslocamento segundo θ dado por:

zr u θ θ =

O campo de deslocamentos ent o:

{ } { }T zr u 0,,0 θ =

E

O campo de deforma es obtido por deriva o do campo de deslocamentos em coordenadascil ndricas (ver aula #18):




O nico termo n o nulo das equa es anteriores :

θ θ r z =

E


( )r zθ τ

re a o en re o momen o orsor ap ca o ao ve o a s r u o e ens es e cor e numa




sec o obtida a partir de uma equa o de equil brio:

t

R

zt A z M dr rd r M dAr =⇒= ∫∫∫ θ τ τ θ

π

θ 0

2

0

Resulta ent o: Z At I GdAr G M θ θ == ∫ 2

Momento polar de in rcia da sec o recta do veio.

2

4

0

22

0

Rrdrd r I

R

Z

π θ

π == ∫∫

E

Das equa es anteriores resulta:

A tens o de corte m xima ocorre na periferia do veio, para r = R:

Rigidez torsional do veio:

M dulo de tor o:




M dulo de tor o:

Rotura d ctil Rotura fr gil

E

Os argumentos e os resultados que foram obtidos para o veio maci o mant m se v lidos, comexcep o da express o para o momento de in rcia polar da sec o, Iz, que neste caso toma a

seguinte forma:

2

1

R R

m =

No caso particular dum tubo de parede fina, de espessura :




: raio m dio da sec o.

Resulta ent o:

, com:

E

4.2.1 Um veio em liga de alum nio (G=27GPa) est encastrado nas extremidades A e C emduas paredes fixas, sendo solicitada por um momento M

t=20kNm, aplicado numa sec o

interm dia B, conforme indicado na figura.




Calcule o di metro que o veio dever ter, sabendo que a tens o de corte m ximaadmiss vel para o material τadm=60 MPa e que o ngulo de tor o por unidade de

comprimento n o deve exceder 1⁰/m.

E

4.2.2 Um motor desenvolve uma pot ncia de 200 kW s 250 rpm sobre a sec o A de um veiode sec o circular, conforme ilustrado na figura. As rodas dentadas em B e C absorvem 90 kWe 110 kW, respectivamente. Calcule o di metro que o veio dever ter, supondo que a tens oadmiss vel do material ao corte de 50MPa e que o ngulo de tor o entre o motor e a rodadentada C est limitado a um valor de 1.5⁰. Considere que o m dulo de rigidez do material doveio G=80GPa.




E

4.2.3 Um veio de sec o circular composta constru do a partir de uma barra de a o(G=80 GPa) com 75 mm de di metro, revestida por um tubo de lat o (G=40GPa)perfeitamente acoplado.

a) Determine o di metro exterior do tubo, de tal modo que, quando for aplicado ummomento torsor ao veio composto, esse momento seja igualmente repartido pelos dois

materiais.ara um momen o orsor ap ca o e m, ca cu e a ens o e cor e m x ma em ca a

um dos materiais e o ngulo de tor o do veio num comprimento de 4 metros




um dos materiais e o ngulo de tor o do veio num comprimento de 4 metros.

c) Para o valor do momento torsor considerado em b), calcule a energia el stica dedeforma o por metro de comprimento do veio.

E




E

:

• Tor o de veios prism ticos de sec o arbitr ria.

• Teoria de Saint Venant.

• Aplica o a veios de sec o el ptica.

. . .




E

Na aus ncia de simetria circular, deixa de ser v lida a condi o de que as sec es rectas semant m planas havendo, neste caso, um deslocamento axial dos pontos de cada sec o.




Hip teses de Saint Venant:

E




;sin

cos=

P z

a

a

GP α α ( )

( )( )( )

( )

−+

−+

=−=∴+

+

=

y xw

aa

aa

GPGPu

z

a

a

GP

P ,

sinsin

coscos

sin

cos*

*

* α φ α α φ α

φ α φ α

r

E

( ) ( )φ α φ φ cossinsincoscoscoscos aaaau −−=−+=

Quando :0→φ θ φ αφ yz yau −=−=−≈ sin

( )φ α φ α sinsincoscossin aav −+=

θ α xav ==≈ cos




( )( )

−

=

y xw

zx

zy

z y xu

,

,, θ θ

r

O campo de deslocamentos ent o dado por:

E

Das rela es entre o campo de deforma es e o campo de deslocamentos resulta:





E

Aplicando as equa es de equil brio na aus ncia de for as de volume e for as de in rcia:




E

Aplicando as equa es de compatibilidade:




E

Calculando as derivadas parciais, resulta:




Aplicando a lei de Hooke( uma fun o cont nua)

E

O problema da tor o fica ent o reduzido resolu o dum sistema de duas equa es dederivadas parciais nas fun es e :

Equa o de equil brio.

qua o e compa a e.




Condi o fronteria:

{ } [ ]{ } { }0== nT σ em C ⇒ em C

E

Definindo a seguinte fun o de tens o de Saint Venant , fun o cont nua, de tal formaque as componentes Cartesianas do tensor das tens es s o dados por:




Verifica se que a equa o de equil brio automaticamente satisfeita. Substituindo as tens es

anteriores na equa o de compatibilidade resulta:

A condi o fronteira vem: em C

Equa es quegovernam o

problema detor o

E

Tendo em conta que e que :

em C

contorno da sec o recta do veio. Por outro lado, uma vez que no c lculo das tens es detor o apenas interv m as derivadas da fun o Φ o valor constante dessa fun o na




tor o apenas interv m as derivadas da fun o Φ , o valor constante dessa fun o naperiferia do veio pode ser tomado igual a zero. Donde a condi o fronteira em termos de Φ :

em C

E

O momento torsor calculado a partir de uma equa o de equil brio:

dydx y xdM xz yzt τ τ −=

( ) ( ) ( ) ∫∫∫ ∫ Φ+Φ∂

∂+Φ

∂

∂−=

∂

Φ∂+

∂

Φ∂−=−=

xz yzt dxdydydx yy

xx

dydxy

yx

xdydx y x M 2τ τ




∫∫∫ ∫ ∂∂ ∂∂ A A A A y x y x

∫ ∫Φ+Φ−Φ−=C A

t dxdydx ydy x M 2)(

Aplicando o Teorema de Green :

∫Φ= A

t dxdy y x M ),(2em C:Dado que

+=

∂

∂−∂

∂∫∫ ∫ R C

QdyPdxdxdy yP

xQ

E

O problema resume se ent o defini o de uma fun o de tens oΦ (x,y) de tal forma queΦ (x,y)=0 em C e que satisfa a a equa o de compatibilidade. Nestas condi es as tens es e omomento torsor s o dados por:




∫Φ= A

t dxdy y x M ),(2

E

A

Considere se uma sec o el ptica com os semi eixosmaior e menor iguais a e , respectivamente. Ocontorno el ptico da sec o definido pela seguinteequa o:

Qua quer un o de tens o do tipo , on e m uma constante

satisfaz a condi o fronteira em C.




Substituindo na equa o de compatibilidade,

E

A

A fun o de tens o ent o:

Momento torsor:

∫Φ=t dxdy y x M ),(2

Tens es:




E

4.2.6 A solu o do problema relativo tor o dum veio de sec o triangular equil tera (verfigura) pode obter se a partir da seguinte fun o de tens o de Saint Venant:

a) Determine a constante K, em termos de G e θ, e mostre que o momento torsor dado pela




) , , q pexpress o:

b) Calcule o campo de tens es na sec o do veio.

c) Calcule o ngulo de tor o por unidade de comprimento.

E




E

:

• Analogia de membrana teoria de Prandtl.

• Aplica o a veios de sec o circular.

• Aplica o a veios de sec o rectangular fina.

.

• Problemas 4.2.9, 4.2.11 e 4.2.12




,

Aula #14

E

A .

Considere se uma membrana el stica fina, sem peso, plana e inicialmente sujeita a uma trac o

uniforme, , no plano (x,y). Fixando a membrana ao longo dum contorno (C),aplique se uma press o, p, tamb m uniforme, na direc o perpendicular superf cie damembrana. Esta deforma se, assumindo a forma duma superf cie curva, que pode ser descritapor uma fun o apropriada, z=f(x,y).




E

A .

Equa o de equil brio segundo 0 z:




E

A .

Equa o de equil brio da membrana: Fun o de tens o de Saint Venant:




E

A .

022 =

−−

dr dz

rT r p π π

Equa o de equil brio da membrana:

⇒

Aplicando a analogia de membrana:




E

A .

Integrando a equa o anterior:

A constante de integra o calculada considerando quea coordenada z nula ao longo da periferia damembrana (r=R), resultando:





E

A . Equa o de equil brio da membrana:

Integrando a equa o anterior:




Resulta ent o:

E

A . Aplicando a analogia de membrana:

xG )2( θ τ −=

t Gt

G θ θ τ =

−−=

2)2(

max




E

A .

A tens o de corte inversamenteproporcional espessura local da parede.

h

Equa o de equil brio da membrana:

=⇒=C C

pt

ps n





Para uma espessuraconstante:

p ca do a a a og a de e b a a:

(L: per metro)

E

A .

Equa o de equil brio da c lula (i):




E

4.2.9 Pretende se construir um elemento tubular de sec o rectangular (200x100mm 2) ema o (G=80GPa), para transmitir um momento torsor Mt=20kNxm.




Determine a espessura t que dever ter o tubo, para que a tens o de corte n o ultrapasse ovalor admiss vel de τadm=50Mpa e a rota o do veio seja inferior a 1⁰ por metro.

E

4.2.11 Um veio de sec o rectangular composta constru do a partir de uma barra de a o(Ga=80GPa) com as dimens es 100mmx20mm de lado, revestida por um tubo de lat o

(Gl=40GPa), de sec o rectangular com uma espessura de parede de 5mm. A montagem feita de tal modo a permitir um eventual deslizamento axial entre os dois elementos.

a) Adoptando a aproxima o mais simples fazer os c lculos sobre a linha de contornoexterior do tubo de lat o, em vez da linha m dia, calcule o valor m ximo do momento

torsor que pode ser transmitido pelo veio. Considere (τ adm)a o=50MPa e (τadm)lat o=20MPa.

b) Para o valor do momento calculado na al nea a), determine o ngulo de tor o por metrode comprimento.




c) Reconsidere agora as duas al neas anteriores, fazendo os c lculos sobre a linha m dia dasec o do tubo de lat o.

E

4.2.12 Considere um veio prism tico de sec o tubular multicelular, conforme indicadana figura. O m dulo de rigidez do material G=80GPa e a tens o admiss vel τadm=50MPa.




Determine o momento torsor m ximo que o veio capaz de transmitir e o respectivo ngulode tor o por metro de comprimento.

E




E

:

• Flex o de vigas. Introdu o. Tipos de solicita o de uma viga.

• Flex o pura de uma viga. Hip tese de Bernoulli.

• Problemas 5.2.1, 5.2.3 e 5.2.4.




E

. .

Os eixos 0y e 0z s o eixos principais de in rcia da sec o.

Solicita o nica de momento flector constante. Entre as duas sec es A e B o esfor otransverso nulo. O momento flector constante e igual a Fa.




Adopta se a conven o de que o momento flector positivosempre que provoca na viga uma concavidade voltada para cima.

Sendo constante o valor do momento de flex o, a deforma o amesma em qualquer sec o. Entre as sec es A e B, o eixo da vigatoma a forma de um arco de circunfer ncia, com centro num pontoO do plano de solicita o.

E

As fibras longitudinais, inicialmente rectil neas, acompanham a curvatura do eixo, assumindoa forma de arcos de circunfer ncia paralelos entre si.




a forma de arcos de circunfer ncia paralelos entre si.

O momento flector tem resultante nula, pelo que as fibras n o podem ficar todas trac o outodas compress o superf cie neutra da viga e eixo neutro (n n) da sec o recta.

O eixo neutro divide a sec o em duas partes: uma em tra o (σ > 0) e outra em compress o(σ < 0). Sobre o eixo neutro a tens o normal nula (σ = 0).

E

A superf cie (s s) de uma sec o recta qualquer transforma se, ap s a deforma o, nas

superf cies (s ) e (s ) de cada uma das partes (E) e (D), respectivamente. Porque os dois tro os ,sim tricas relativamente ao plano de corte (s s). E porque devem tamb m ser sobrepon veis,as sec es rectas t m de se manter planas. Por raz es de simetria, esses planos devem passartodos pelo centro de curvatura do eixo da viga deformada.




B

Durante o processo de deforma o, as sec es rectas da viga permanecem planas eperpendiculares s fibras deformadas. Cada sec o recta roda relativamente s sec es

vizinhas, em torno do eixo neutro (n n), de tal modo que o seu plano passa pelo centro decurvatura O do eixo da viga.

E

( )

θ

abcd −




ab xx =ε

( )θ y Rcd −=

θ Rab = R

y

R

y R xx

−=−−

= 1ε R y

E E xx xx −== ε σ

E

( )

θ

Defini o da posi o do eixo neutro:




∫∑ ∫ =⇒=⇒= A A xx x ydA

R E

dAF 000 σ

Momento est tico da sec oResulta ent o que o eixo neutro passa pelo centro de gravidade da sec o recta da viga.

E

( )

θ




∫∫ −==∴= A A xx z xx z dA y

R E ydydz M dydzydM 2σ σ

Momento de in rcia da sec o, Iz

Z xx I

My−=σ

E

( )

θ




∫∫ === A A xx y yzdA

R E zdydz M 0σ

Produto de in rcia da sec o, Pyz

Resulta ent o que os eixos e devem ser eixos principais centrais de in rcia da sec o.

E

5.2.1 Considere uma viga em a o (E=200 GPa, υ=0,3) de sec o circular (di metro d),conforme representado na figura, sujeita a um esfor o de flex o pura no tro o central DE.

Tomando a = 350 mm, l = 1500 mm, d =250 mm e P =12 ton, determine:




a) O valor m ximo da tens o de flex o na viga.b) A deflex o do eixo da viga na sec o m dia C.

E

5.2.3 Pretende se dimensionar uma viga de ferro fundido, para trabalhar flex o, com umasec o em T, conforme ilustrado na seguinte figura.

Admitindo que, para o material em causa, a tens o admiss vel trac o (σ t=30MPa) metade da tens o admiss vel

compress o (σ c=60MPa), determine:

a) A espessura t da alma da viga, por forma a que sejam.

b) O momento flector correspondente .




E

5.2.4 Considere a viga de sec o uniforme representada na figura e carregada da formaindicada. Identifique as sec es cr ticas em termos das tens es de corte, associadas aoesfor o transverso, e das tens es de flex o.




E




E

:

• Vigas compostas de dois ou mais materiais diferentes.

• Flex o desviada.

• Problemas 5.2.5 e 5.2.6.




E

Considere se uma viga composta por dois

materiais (1) e (2), com m dulos de Young E1 e E2.Para um plano de solicita o vertical, a posi o doeixo neutro, n n , obt m se a partir da condi o:




E

Definindo d12 como sendo a dist ncia verticalentre G

1 e G

2:

Resulta:




Considerando agora a condi o de equil brio entre o momento flector aplicado, M, e astens es, σ, obt m se:

E

Por outro lado:

e

Resulta ent o:

I I




I1 I2

E

I E I E R 2211

+=

Resultando:

onde y a dist ncia ao eixo neutro da viga composta, definido pelas cotas e 1 e e2 calculadasacima.

As express es anteriores para a posi o do eixo neutro e para o c lculo das tens es podem




As express es anteriores para a posi o do eixo neutro e para o c lculo das tens es podemser generalizadas a uma viga composta de n materiais diferentes, assumindo as formasseguintes:

E

Quando o plano de solicita o s s cont m o eixo da viga, masn o inclui nenhum dos eixos principais de in rcia da sec o

recta, diz se que estamos em presen a duma flex o desviada.Nestas circunst ncias, decomp e se a solicita o segundo osdois eixos principais centrais de in rcia:

α sin M M y =cos M M z =

p can o o pr nc p o a so repos o e es or os:




A posi o do eixo neutro, n n, obt m se a partir da condi o σ = 0, isto :

E

As tens es m ximas de flex o ocorrem nos pontos A e B, que s oos pontos mais afastados do eixo neutro n n.

Os ngulos de flex o entre duas sec es afastadas dumcomprimento , provocadas pelos momentos M z e My s o φy eφz , dados respectivamente por:




onde R o raio de curvatura da fibra neutra da viga em flex o desviada.

E

5.2.5 Uma viga em madeira (Em=10GPa), de sec o rectangular com largura 120mm e altura180mm, refor ada por uma barra de a o (Ea=200GPa) de sec o tamb m rectangular de30mm de largura e 15mm de espessura. Determine os valores das tens es m ximas em cadaum dos elementos, quando ao conjunto aplicado um momento flector M = 8kNm.




E

5.2.6 Pretende se construir uma viga de sec o rectangular (2axa), conforme indicado nafigura, em a o (E=200GPa, υ=0,3). A viga est apoiada e solicitada conforme o esquematamb m indicado na figura. Considere o valor de 140MPa para a tens o de flex o admiss veldo material .

a) Determine as reac es nos apoios.b) D i di d fl d f




) pb) Determine os diagramas dos momentos flectores e dos esfor os transversos.c) Determine o valor m nimo da dimens o a da sec o recta da viga, de tal modo que a tens ode flex o n o ultrapasse o valor limite de 140 MPa.d) Supondo agora que o plano de carga inclinado segundo a direc o da diagonal assinaladaa tracejado na figura, determine a posi o do eixo neutro da sec o e o valor m ximo datens o de flex o.

E




E

:

• Flex o combinada com esfor o normal.

• Flex o combinada com tor o.

• Problemas 5.2.7 e 5.2.8




E

Aplicando o princ pio da sobreposi o de esfor os poss vel calcular a tens o normal paraum ponto material definido pelas coordenadas (x,y) como:




A a rea da sec o recta da viga e a for a axial exc ntrica (excentricidades e ).



E

O eixo neutro tem a direc o do momento flector resultante (M f ) e os pontos cr ticos s o He K, onde a tens o de flex o atinge os valores m ximos trac o e compress o:




Do ponto de vista da tor o, a tens o m xima tamb m ocorre periferia (r=R), pelo que nospontos H e K h a combina o de tens es m ximas de fex o e de tor o, conforme oesquema da figura anterior.

E

Aplicando a constru o do c rculo de Mohr situa o em cada um daqueles pontos

cr ticos, obt m se, em ambos os casos:




E

No caso duma sec o rectangular, os pontos cr ticos flex o s o ospontos C, mais afastados relativamente ao eixo neutro n n.

No que diz respeito tor o, os pontos cr ticos da mesma sec o s oos pontos A, sendo nulas as tens es de corte em C.

H ainda a considerar os pontos B da sec o recta, onde existemsimultaneamente tens es de flex o (σ) e tens es de corte (τ).

Nos pontos A tem se:




E

Nos pontos B:

hb M x

B 2 β τ =

Nos pontos C:

26bh M z

B −=σ

0=C τ

22

66

bhhb z y

C −=σ




ent o necess rio determinar em qual dos pontos A, B ou C ocorre a combina o detens es mais desfavor vel, segundo um crit rio de resist ncia apropriado.

E

5.2.7 Considere uma coluna de sec o em T, constru da a partir de chapa de a o deespessura de 50mm (E=200GPa, υ=0,3), conforme representado na figura. A coluna estencastrada na base inferior, sendo carregada na outra extremidade por uma for a de 10tonaplicada em A, conforme tamb m indicado na figura. Determine a tens o normal m xima.




E

5.2.8 Considere uma viga de sec o rectangular (500x100mm2), sujeita a uma solicita ocombinada de flex o na vertical e de tor o ao longo do eixo da viga, como representado nafigura.

Determine a tens o de corte m xima (τ ) numa sec o gen rica (C) da viga e o ponto onde




Determine a tens o de corte m xima (τmax) numa sec o gen rica (C) da viga e o ponto ondeocorre.

E




E

:

• Flex o combinada com esfor o de corte.

• Esfor o rasante.

• Viga de sec o recta rectangular.

• Vi a de sec o recta circular.

• Viga de sec o tubular aberta. Perfis em U e em I.

• Centro de tor o.E i 5 2 9 5 2 12




• Exerc cios 5.2.9 e 5.2.12.

Aula #18

E

No caso duma viga sujeita flex o pura, o esfor o de corte nulo. No caso geral tal n oacontece, designadamente quando o momento de flex o varia ao longo do eixo da viga,havendo uma sobreposi o de efeitos de flex o e efeitos de corte.

Admitindo a hip tese de Bernoulli que, neste caso uma aproxima o, as tens esnormais associadas ao momento flector continuam a ser calculadas pela express o:

Z

z xx

I

y M −=σ E

Para obter a distribui o das tens es de cortesobre a sec o recta, considere se o equil briodos momentos num elemento de viga decomprimento dx:




comprimento dx:

A varia o do momento flector ao longo do eixo da viga implica necess riamente a exist ncia deesfor o de corte.

E

E

Imagine se agora o elemento dividido em duas partes (1) e (2), por um plano Σ paralelo superf cie neutra, dist ncia y do eixo neutro n n

Representando isoladamente a parte (1), esta fica em equil brio sob a ac o das for as queactuam nas duas faces verticais S e S e na face inferior Σ.

Na sec o S, a for a normal N correspondente tens o de flex o σ dada por:




dA y I

M dA N

A Z

A xx ∫∫ −==11

σ

E

E

Na sec o S , a for a normal N correspondente tens o de flex o σ+dσ dada por:

( ) dA y I

dM M dAd dN N

A Z

A xx xx ∫∫ +

−=+=+11

σ σ

Na superf cie Σ h a considerar as tens es τyx (=τyx), designadas por tens es rasantes.




p yx ( yx) g pAdmitindo que estas se distribuem uniformemente ao longo da espessura b da viga,resulta:

bdxV yxτ =

E

E

Aplicando a equa o de equil brio de for as segundo 0 x:

011

=−−+

∫∫ bdxdA y

I

M dA y

I

dM M yx A

Z A

Z

τ

Esfor o transverso

Momento est tico darea A1 relativamente ao

eixo neutro da sec o




( ) ( )

( )

( )

( ) yb I

yVS

yb I

yS

dx

dM y

b I

dA y

dx

dM

Z Z

yx

Z

A yx

=−=⇒−= ∫

τ τ 1 F rmula deJouravski

E

E

Define se o esfor o rasante , que corresponde a uma for a por unidade de comprimento, apartir da seguinte equa o:

Dividindo longitudinalmente a viga em duas partes, estas tenderiam a deformar se de acordocom o esquema, produzindo um deslizamento relativo entre ambas as partes. Para anularesse deslizamento relativo, h que aplicar as for as tangenciais indicadas, as quais traduzema tens o ou esfor o rasante.




E

E

No caso duma sec o arbitr ria, sim trica relativamente ao eixo 0 y,a tens o de corte τ num ponto A qualquer sobre a horizontal C C ,

em geral, obl qua relativamente ao eixo de simetria yy. Acomponente vertical τ xy dada por:

m n o que a ens o τ no pon o es am m r g apara o ponto B, definido a partir das tangentes em C, acomponente τ xz dada por:




A tens o de corte m xima ocorre nos pontos C da periferia:

E

( ) ( )( ) yb I yVS y

z yx

=τ

Para uma sec o rectan ular momento est tico S num lano dist ncia do eixo neutro :

Resulta ent o:




A tens o de corte m xima ocorre ao n vel do eixo neutro e 50% superior quela que seria

obtida dividindo o esfor o transverso (V) pela rea da sec o transversal da viga, isto , sefosse admitida uma reparti o uniforme das tens es de corte ao longo da sec o.

E

Para uma sec o circular de raio R, a aplica o da f rmula de Jouravski num plano dist nciay do eixo neutro conduz a:

Da figura anterior resulta:




E

Considerando que:

e

A tens o tangencial resultante τ nos pontos A do contorno :




A tens o de corte m xima ocorre tamb m ao n vel do eixo neutro e 33% superior quelaque seria obtida dividindo o esfor o transverso (V) pela rea da sec o transversal da viga,isto , se fosse admitida uma reparti o uniforme das tens es de corte ao longo da sec o.

E

A f rmula de Jouravski pode tamb m seraplicada a vigas de sec o tubular aberta,como o caso dos perfis laminados utilizadosem constru o mec nica e constru o civil:

com:

Admitindo que as tens es τ que est o associadas ao esfor o rasante na sec o BBB Bse distribuem uniformemente atrav s da espessura :

Em virtude do princ pio da reciprocidade das tens es tangenciais




Em virtude do princ pio da reciprocidade das tens es tangenciais,pode dizer se que as tens es rasantes que actuam na face BBB B s oacompanhadas de tens es de corte iguais, τ, que actuam no planoda sec o recta, segundo a direc o da tangente linha m dia daparede.

E

Nas abas superior e inferior, as tens es de corte s ohorizontais (τxz), dadas pela f rmula de Jouravski. Assim,no ponto gen rico B da aba superior, dist ncia dobordo livre A, tem se:

e

Na aba inferior a distribui o das tens es τxz an loga, havendo apenas uma invers o dosentido.

No ponto gen rico C da alma, dist ncia y do eixo neutro, tem se:




E

A tens o m xima na aba ocorre ao n vel do eixo neutro (y=0):

A for a resultante (horizontal) em cada uma das abas :

Z Z aI Vbeh

I Vh

28

2

max +=τ

A for a resultante (vertical) na alma :




E

A solu o para o perfil em I obt m se directamente do

caso anterior, considerando o perfil I composto atrav sda jun o de dois perfis U.

A tens o m xima ocorre na aba, ao n vel do eixo neutro

(y=0) podendo ser calculada atrav s da express o:




E

C

Quando a solicita o de flex o acompanhada dumesfor o de corte, a posi o do plano de solicita o n o indiferente, uma vez que o seu deslocamento faz variar a

dist ncia das for as exteriores ao eixo da viga,introduzindo deste modo um determinado momentotorsor.

Se a sec o recta da viga sim trica relativamente a um

dos eixos principais centrais de in rcia, e se o plano deso icita o cont m esse eixo a , por raz es de simetria,cada sec o roda em torno do eixo neutro, perpendicularaquele eixo de simetria, e a viga deforma se sem tor o.

J no caso em que o eixo principal central de in rcia ssn o eixo de simetria (b), verifica se um fen menosecund rio de tor o da pe a. Este fen meno pode ser




p pclaramente posto em evid ncia atrav s duma an lisemais aprofundada do comportamento flex o duma vigade sec o em U.

E

C Considere se uma viga de sec o em U solicitada em flex o comesfor o transverso. As resultantes das tens es de corte nas abas ena alma s o, respectivamente, F, F e V, em que a for as que

actuam nas abas formam um bin rio de tors o cujo momento dado por:

O sistema constituido pelas tr s for as F, F e V equivalente resultante

vertical V, deslocada para a esquerda de uma dist ncia d, de tal modoque:

e

A intercep o da linha de ac o dessa for a resultante V com o eixo neutro define o ponto Oque o centro de corte ou centro de tor o da sec o.

S l d li i l d i d




Sempre que o plano de solicita o n o passa pelo centro de tor o, s tens es associadas aoesfor o de corte, haver que sobrepor as tens es de tor o produzidas por um momento

torsor igual ao produto do esfor o transverso pela dist ncia do plano de solicita o ao centrode tor o.

E

C




E

5.2.9 Duas t buas de madeira est o ligadas por pregos, formando uma viga de sec o em T,conforme ilustrado na figura. A viga est encastrada numa das extremidades, apresentandoum comprimento em consola , com uma for a vertical de 3kN aplicada na extremidade livre.

Desprezando o peso pr prio da viga, calcule:

a) O valor m ximo do comprimento em consola ( ), para uma tens o admiss vel flex ode σ adm=10MPa.

,de corte de F c=600N.




E

5.2.12 Considere uma viga de sec o em forma de U, com uma espessura uniforme de 4mm,e com as dimens es globais indicadas na figura a seguir.

Determine:

a) A posi o do centro de corte da sec o.

b) A distribui o das tens es de corte provocadas por um esfor o transverso vertical de15kN aplicado no centro de corte




15kN aplicado no centro de corte.

c) A tens o de corte m xima provocada por um esfor o transverso vertical de 15kNaplicado no centr ide da sec o.

E




E

:

• Deforma o devida flex o.

• M todo da integra o da el stica.

• M todo da viga conjugada.

• Exerc cios 6.2.1 e 6.2.4.




E

Chama se linha el stica deformada do eixo da viga, definida por uma equa o do tipo y = f(x).

D .

No caso da flex o plana, a rela o entre a curvatura 1/ , o momento flector , o m dulo de

Rota o

Deslocamento vertical




p , , ,Young do material e o momento de in rcia da sec o recta em rela o ao eixo neutro dada pela equa o seguinte:

E

Por outro lado, recorrendo s equa es da geometria anal tica, a curvatura dada por:

2

32

2

2

1

1

+

=

dxdy

dx yd

R

D .

Considerando pequenas rota es:

Equa o da el stica




A equa o da el stica corresponde a uma equa o diferencial de segunda ordem que

permite obter a deforma o da viga a partir do diagrama de esfor os ( ) e das condi esfronteira do problema.

E

D .

dxdM

V −=

Como foi demonstrado na aula #11:

dxdV q −=

2

2

dx

M d q =

Associada a uma viga real, considere se agora uma

viga fict cia (viga conjugada) com o mesmo

comprimento e carregada com uma distribui o decargas semelhante dos momentos flectores sobre aviga real:




E

O momento flector sobre a viga conjugada podeobter se por integra o da seguinte equa o:

Recordando aequa o dael stica:

Viga conjugada.

Viga real.

Donde se pode concluir que:• A flecha de uma sec o arbitr ria da viga real igual ao momento flector para a

Por outrolado:

C C V

dx−=

θ =

dx

dy

Viga conjugada.

Viga real.




A flecha de uma sec o arbitr ria da viga real igual ao momento flector para amesma sec o da viga conjugada.

• A a rota o θ= / de uma sec o arbitr ria da viga real igual ao esfor o cortante para a mesma sec o da viga conjugada.

E

A correspond ncia entre as constantes de integra o da equa o da el stica e da equa oequivalente dos momentos da viga conjugada consegue se impondo as seguintes condi esnos apoios (e sec es interm dias) da viga conjugada:

• Se no ponto considerado a flecha da viga real nula, ent o o momento flector da vigaconjugada deve ser nulo.

• Se o ngulo de rota o θ da viga real nulo, ent o o esfor o transverso da viga conjugada.

• Se ≠0 e θ≠0 na viga real, ent o tamb m ≠0 e ≠0 na viga conjugada.




E




E

=




E

Resumo do m todo:

1. Representar o diagrama de momentos flectores da viga real.

2. Considerar o eixo das abcissas do diagrama de momentos como o eixo da viga conjugada eo diagrama de momentos ( )/ como o diagrama da carga conjugada .

3. Representar os apoios da viga conjugada utilizando a tabela anterior.

4. Calcular as reac es na viga conjugada .

5. Representar os diagramas de esfor os da viga conjugada, ( ) e ( ).

6. A flecha e a rota o θ para uma sec o qualquer da viga real s o dados por:

C M y =




C V −=θ

E

6.2.1 Considere uma viga ( , ) de comprimento , encastrada numa extremidade e sujeita auma carga vertical P na extremidade livre, conforme ilustrado na figura ao lado. Calcule aflecha δ B e a rota o θB na extremidade livre da viga:

a) Usando o m todo de integra o da el stica.

b) Usando o m todo da viga conjugada.




E

6.2.4 . Considere uma viga ( , ) com 7,5m de comprimento, simplesmente apoiada em doispontos e solicitada da forma indicada na figura a seguir:

a) Calcule as reac es nos apoios.

b) Determine os diagramas dos momentos flectores e dos esfor os transversos ao longo doeixo da viga.

c) Determine, usando o m todo de integra o da el stica, os valores da flecha nad d d




extremidade A e da rota o no apoio D.

E




E

4.2.13 Considere uma pe a tubular de parede fina e espessura uniforme ( ), com uma sec oconforme est ilustrado na figura, constru da em chapa de a o (G=80GPa). Tomando comoirrelevante as diferen as entre as reas dos contornos interiores e exteriores de cada c lula:

a) Deduza as express es para as tens es de corte em cada um dos elementos da sec o, emfun o do momento torsor aplicado e da espessura da chapa.

b) Calcule o valor m nimo que a espessura da chapa deve ter, para que a pe a possatransmitir um momento torsor M t=40 KNm, considerando τadm=50MPa.




c) Para a situa o considerada na al nea b), calcule o ngulo de tor o por metro decomprimento.

E

6.2.6 Pretende se construir uma viga de sec o em U, conforme representado na figura, coma altura igual largura, a partir de chapa de a o ( =200 GPa, ν =0.3), e espessura uniforme de40mm. A viga est apoiada e solicitada de acordo com o esquema representado na figura.

Considere o valor de 200MPa para a tens o de flex o admiss vel do material. Determine:

a) A dimens o m nima a da sec o.b) O centro de tor o da sec o.c) O esfor o rasante m ximo que ocorre entre cada um dos elementos horizontais e oelemento vertical da sec o.




d) A flecha nas extremidade A e D, e as rota es nos apoios B e C.

E




E

5.2.11 Considere uma viga de sec o em , com as dimens es e carregamento indicados nafigura.

a) Determine a posi o do centro de tor o da sec o.

b) Identifique as posi es onde ocorrem as tens es m ximas (normal e de corte) ecalcule os respectivos valores num ricos.




p

E




E

3.2.12 Considere um corpo em a o (E=200GPa, ν=0.3) sujeito a campo plano de tens esdefinido pelas seguintes componentes (em MPa):

a) Calcule as tens es principais na origem das coordenadas e as respectivas direc es.

b) Calcule a varia o de volume duma esfera com 1m de raio centrada na origem das

coordenadas .




E

4.2.10 Pretende se transmitir um momento torsor M t=40kNm atrav s duma barra tubular ema o ( =80GPa), de comprimento =2m, constitu da por dois tubos de sec es quadradasconc ntricas de lados iguais a 200mm e 100mm, respectivamente, ambos em chapa de igualespessura ( ) e ligados nos topos, conforme indicado na figura. A liga o na extremidade Bdeve ser tal que permita uma eventual diferen a entre os deslocamentos axiais dos doiselementos.

a) Determine a espessura ( ) da chapa, de modo que em nenhum dos elementos sejaultrapassada a tens o admiss vel do material τadm=50MPa.

b) Para o valor da espessura da chapa calculado na al nea anterior, determine o ngulo detor o entre as duas sec es extremas do tubo.




tor o entre as duas sec es extremas do tubo.

c) Reconsidere a al nea a), supondo agora que o elemento interior em a o maci o.

Mecânica dos Sólidos - Apontamentos FEUP - Pedro Ponces Camanho

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