Mecânica Dos Sólidos Deformáveis - Marco Lúcio Bittencourt e Wallace Gusmão Ferreira
Transcript of Mecânica Dos Sólidos Deformáveis - Marco Lúcio Bittencourt e Wallace Gusmão Ferreira
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Meca^nica dos Solidos Deformaveis
Prof. Dr. Marco Lucio Bittencourt Eng. Wallace Gusm~ao Ferreira
1 de Junho de 2001
-
Conteudo
1 Solidos 3
1.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Denic~ao da Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Movimento de Corpo Rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Lei de Hooke Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Formulac~ao Empregando Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.3 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9.4 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9.5 Movimentos de Corpo Rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9.6 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9.7 Aplicac~ao do PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Casos Particulares 35
2.1 Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Flex~ao Pura em Vigas Prismaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
-
2.3.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Estado Plano de Tens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Estado Plano de Deformac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Soluc~ao Aproximada 46
3.1 Forma Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Forma Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Aproximac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Aplicac~oes 53
4.1 Metodos Analticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 Equac~oes de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.2 Barra - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.4 Viga - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Metodos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 Estudo de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Bibliograa 72
2
-
Captulo 1
Solidos
1.1 Introduc~ao
O proposito deste texto e a apresentac~ao de uma metodologia para o tratamento e analise
de tens~oes e deformac~oes em corpos solidos. Inicialmente sera descrita a cinematica do problema,
pemitindo estabelecer o conceito geral de deformac~ao. Atraves do conceito de Trabalho Interno e da
aplicac~ao do Princ
ipio dos Trabalhos Virtuais ser~ao deduzidas as equac~oes diferenciais para o equil
ibrio
tridimensional, apos a introduc~ao do conceito de tens~ao. Finalmente ser~ao deduzidas as equac~oes de
Navier, atraves das aplicac~ao do modelo consitutivo (relac~oes entre tens~ao e deformac~oes em func~ao do
tipo de material), nesse caso a lei de Hooke, para materiais elasticos, homoge^neos e isotropicos. A m
de permitir uma notac~ao mais compacta e generalizada para a formulac~ao dos modelos, as equac~oes
ser~ao reescritas utilizando o conceito matematico de tensores, seguindo-se os mesmos passos descritos
anteriormente.
Com o intuito de exemplicar e aplicar os resultados obtidos com a formulac~ao geral para a
analise de tens~oes e deformac~oes em solidos tridimensionais, ser~ao formulados os modelos unidimen-
sionais de problemas de barra, viga , torc~ao e estados planos (tens~ao e deformac~ao), deduzidos do
modelo mais geral, levando-se em conta as hipoteses cinematicas simplicadoras para cada caso.
A formulac~ao apresentada sera baseada na meca^nica dos meios cont
inuos que e o ramo da
meca^nica que trata do estudo de tens~oes em solidos, l
iquidos e gases, bem como a deformac~ao e o
uxo desses materiais. O termo cont
inuo aqui utilizado signica que s~ao desconsiderados os efeitos
decorrentes da estrutura molecular da materia, imaginando-a como sendo isenta de vazios e descon-
tinuidades. Do ponto de vista matematico isso implica em dizer que as func~oes empregadas na mod-
elagem devem ser suaves e possuir derivadas cont
inuas em todo o dom
inio analizado.
O conceito de contnuo permite o uso de artifcios matematicos do calculo diferencial, possibil-
itando o estudo de distribuic~oes complexas e n~ao uniformes de tens~ao e deformac~ao dos corpos e, ao
mesmo tempo, denir modelos fsicos considerados aceitaveis na descric~ao do comportamento materia
como um todo. Esta metodologia permite que ramos da meca^nica como elasticidade, plasticidade e
meca^nica dos fuidos establecam previs~oes quantitativas bastante razoaveis para uma larga faixa de
problemas de analise de tens~oes, deformac~oes e uxo material no campo da engenharia.
Considerando-se que atualmente o uso de ferramentas computacionais e uma realidade cada vez
mais presente no cotidiano da engenharia, para a soluc~ao de problemas envolvendo grande complexi-
dade, como a soluc~ao anal
itica de equac~oes diferenciais, sera apresentada uma proposta de aproximac~ao
da soluc~ao das equac~oes de equil
ibrio, permitindo o uso de ferramentas numericas, como o ja consagra-
do Metodo dos Elementos Finitos (MEF), entre outros. De forma simplicada, o metodo utilizado
consiste em, partindo-se da forma forte das equac~oes diferenciais, atraves da integrac~ao por partes
deve-se obter uma forma fraca para o modelo, ou seja, a reduc~ao da ordem de diferenciabilidade das
func~oes incognitas, permitindo a obtenc~ao de uma solucao aproximada, atraves de modelos discretos,
3
-
mais faceis de serem implementados computacionalmente. Ao nal ser~ao demonstrados alguns exem-
plos de aplicac~ao das soluc~oes, de forma anal
itica, utilizando o equacionamento desenvolvido e de
forma numerica, utilizando o programa de elementos nitos ANSYS.
1.2 Denic~ao da Cinematica
Considere um corpo tridimensional B e um sistema de refere^ncia cartesiano ilustrados na Figura
1.1. Seja P
1
um ponto qualquer do corpo B com coordenadas (x; y; z) segundo o sistema de refere^ncia
adotado, denotando-se P
1
(x; y; z). Sendo fe
x
; e
y
; e
z
g uma base ortonormal do sistema de refere^ncia,
o vetor posic~ao r
P
1
do ponto P
1
e denido como
r
P
1
= xe
x
+ ye
y
+ ze
z
.
Suponha agora que o corpo B sofra um deslocamento. Neste caso, o ponto P
1
assume a posic~ao nal
P
0
1
(x
0
; y
0
; z
0
) e o respectivo vetor posic~ao e dado por
r
P
0
1
= x
0
e
x
+ y
0
e
y
+ z
0
e
z
.
Figura 1.1: Cinematica de um Corpo Solido
Dene-se o vetor deslocamento u do ponto P
1
como a diferenca entre as suas posic~oes nal
(x
0
; y
0
; z
0
) e inicial (x; y; z), ou seja,
u = r
P
0
1
r
P
1
= (x
0
x)e
x
+ (y
0
y)e
y
+ (z
0
z)e
z
. (1.1)
Observa-se que u = (x
0
x), v = (y
0
y) e w = (z
0
z) s~ao, respectivamente, as componentes do
vetor deslocamento u nas direc~oes x, y e z. Logo, a express~ao anterior pode ser reescrita como
u = ue
x
+ ve
y
+ we
z
, (1.2)
ou em forma matricial,
u =
8
>
:
u
v
w
9
>
=
>
;
. (1.3)
Devido a hipotese de meio contnuo, o corpo B possui innitos pontos. Cada um destes pontos
apresenta um vetor deslocamento u quando o corpo se desloca. Logo, a cinematica de um corpo
solido e descrita por innitos vetores deslocamentos do tipo (1.3). Estes innitos vetores denem um
campo vetorial de deslocamento u(x; y; z). Assim, ao se substituir as coordenadas (x; y; z) de um
ponto arbitrario P
1
, u(x; y; z) fornece o respectivo vetor de deslocamentos u do ponto de acordo com
4
-
(1.3). Assim, a cinematica de um corpo solido e dada pelo campo vetorial de deslocamentos
u(x; y; z)= u(x; y; z)e
x
+ v(x; y; z)e
y
+ w(x; y; z)e
z
=
8
>
:
u(x; y; z)
v(x; y; z)
w(x; y; z)
9
>
=
>
;
. (1.4)
1.3 Deformac~ao
Deseja-se agora caracterizar a variac~ao de dista^ncia entre dois pontos arbitrarios do corpo solido
antes e depois da ac~ao de deslocamento. Isto permitira denir o que se entende por deformac~ao do
corpo solido. Considere os pontos arbitrarios P
1
(x; y; z) e P
2
(x +x; y + y; z +z) ilustrados na
Figura 1.2 e seus respectivos vetores posic~ao
r
P
1
= xe
x
+ ye
y
+ ze
z
e (1.5)
r
P
2
= (x+x)e
x
+ (y +y)e
y
+ (z +z)e
z
. (1.6)
De acordo com a Figura 1.2, a dista^ncia d entre os pontos P
1
e P
2
e dada pela diferenca entre
o seus vetores posic~ao, ou seja,
d = r
P
2
r
P
1
= xe
x
+ye
y
+ze
z
.
Apos a ac~ao de deslocamento do corpo de acordo com a cinematica (1.4), os pontos P
1
e P
2
assumem,
respectivamente, as posic~oes nais P
0
1
(x
0
; y
0
; z
0
) e P
0
2
(x
0
+ x
0
; y
0
+ y
0
; z
0
+ z
0
) com os seguintes
vetores posic~ao
r
P
0
1
= x
0
e
x
+ y
0
e
y
+ z
0
e
z
e (1.7)
r
P
0
2
= (x
0
+x
0
)e
x
+ (y
0
+y
0
)e
y
+ (z
0
+z
0
)e
z
. (1.8)
Portanto, a dista^ncia d
0
entre os pontos P
1
e P
2
apos o deslocamento do corpo e dada por
d
0
= r
P
0
2
r
P
0
1
= x
0
e
x
+y
0
e
y
+z
0
e
z
.
Figura 1.2: Deformac~ao de um Corpo Solido
A partir da Figura 1.2 e adotando procedimento analogo ao utilizado na obtenc~ao da equac~ao
(1.4), tem-se que os vetores deslocamento dos pontos P
1
e P
2
entre as congurac~oes inicial e nal s~ao
dados, respectivamente, por
u(x) = r
P
0
1
r
P
1
= u(x)e
x
+ v(x)e
y
+ w(x)e
z
,
u(x
0
) = r
P
0
2
r
P
2
= u(x
0
)e
x
+ v(x
0
)e
y
+ w(x
0
)e
z
,
sendo x = (x; y; z) e x
0
= (x+ d) = (x+x; y +y; z +z).
5
-
A partir destas express~oes, pode-se escrever os vetores posic~ao dos pontos P
0
1
e P
0
2
em func~ao de
seus vetores deslocamento, ou seja,
r
P
0
1
= r
P
1
+ u(x) = [x+ u(x)] e
x
+ [y + v(x)] e
y
+ [z + w(x)] e
z
,
r
P
0
2
= r
P
2
+ u(x
0
) =
x+x+ u(x
0
)
e
x
+
y +y + v(x
0
)
e
y
+
z +z + w(x
0
)
e
z
.
Portanto, expressa-se d
0
como
d
0
= r
P
0
2
r
P
0
1
= (x+u)e
x
+ (y +v)e
y
+ (z +w)e
z
, (1.9)
sendo a diferenca dos deslocamentos entre os pontos P
1
e P
2
nas direc~oes x, y e z dados por
u = u(x
0
) u(x) = u(x+x; y +y; z +z) u(x; y; z),
v = v(x
0
) v(x) = v(x+x; y +y; z +z) v(x; y; z),
w = w(x
0
) w(x) = w(x+x; y +y; z +z) w(x; y; z).
Finalmente, a variac~ao de dista^ncia d e dada por
d = d
0
d =ue
x
+ve
y
+we
z
: (1.10)
Considere-se agora os elementos tridimensionais ilustrados na Figura 1.3 cujas diagonais s~ao
dadas, respectivamente, por d e d
0
. O elemento n~ao-deformado e um cubo de dimens~oes x, y e
z e suas arestas s~ao linhas retas formando a^ngulos retos entre si. Apos o deslocamento, este cubo
se deforma para uma nova congurac~ao entre os pontos P
0
1
e P
0
2
com dimens~oes x
0
, y
0
e z. As
arestas se alongam e os a^ngulos entre as arestas deixam de ser retos apresentando distorc~oes. Deseja-se
caracterizar estes alongamentos e distorc~oes denindo a deformac~ao em cada ponto do corpo solido.
Para facilitar a apresentac~ao, consideram-se os planos xy, xz e yz individualmente.
(a) Forma Inicial (b) Forma Deformado
Figura 1.3: Elementos Diferenciais
As Figuras 1.4a e 1.4b ilustram as projec~oes dos elementos n~ao-deformado e deformado no plano
xy com os respectivos deslocamentos u e v dos pontos P
1
e P
2
e as distorc~oes
1
e
2
. Analisa-se
inicialmente apenas o caso em que ocorre somente alongamentos do elemento nas direc~oes x e y, con-
forme ilustrado na Figura 1.4a. O alongamento na direc~ao x sera dado pela variac~ao de comprimento
x
0
x dividido pelo comprimento inicial x, ou seja,
x
0
x
x
.
Por sua vez, a partir da Figura 1.4a, tem-se que x
0
= x+u. Logo,
x
0
x
x
=
x+ux
x
=
u
x
. (1.11)
Fazendo x pequeno, tem-se que o ponto P
1
se aproxima de P
2
e dene-se a deformac~ao especca
longitudinal do ponto P
1
na direc~ao x como o limite para x tendendo a zero, ou seja,
"
xx
(x; y; z) = lim
x!0
u
x
= lim
x!0
u(x+x; y +y; z +z) u(x; y; z)
x
. (1.12)
6
-
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 1.4: Deformac~oes do elemento diferencial
O limite anterior e a propria denic~ao de derivada parcial pois o deslocamento u depende das coorde-
nadas (x; y; z) de cada ponto. Portanto,
"
xx
(x; y; z) =
@u(x; y; z)
@x
. (1.13)
Este mesmo procedimento pode ser repetido para se obter a deformac~ao especca longitudinal
de P
1
na direc~ao y, ou seja,
"
yy
(x; y; z) = lim
y!0
v
x
= lim
y!0
v(x+x; y +y; z +z) v(x; y; z)
y
. (1.14)
Portanto,
"
yy
(x; y; z) =
@v(x; y; z)
@y
. (1.15)
De maneira analoga, conforme a Figura 1.4c, analisando somente a direc~ao para a y onde ocorre
7
-
apenas uma distorc~ao
1
, a seguinte relac~ao trigonometrica e valida
tan
1
=
v
x
. (1.16)
Tomando-se x pequeno, tem-se que a tangente de
1
e aproximadamente igual a
1
, ou seja, tan
1
1
. Logo, a seguinte relac~ao e valida
1
= lim
x!0
v
x
= lim
x!0
v(x+x; y +y; z +z) v(x; y; z)
x
=
@v(x; y; z)
@x
. (1.17)
Considerando agora apenas uma distorc~ao
2
, conforme Figura 1.4d, nesse caso,
tan
2
=
u
y
.
Tomando-se agora y pequeno, tem-se que tan
2
2
e portanto
2
= lim
y!0
u
y
= lim
y!0
u(x+x; y +y; z +z) u(x; y; z)
y
=
@u(x; y; z)
@y
. (1.18)
A distorc~ao total no plano xy, denotada como
xy
(x; y; z), e dada pela soma de
1
e
2
, ou seja,
xy
(x; y; z) =
1
+
2
=
@v(x; y; z)
@x
+
@u(x; y; z)
@y
. (1.19)
Analogamente para o plano xz, Figura 1.4e, com os respectivos deslocamentos u e w dos pontos
P
1
e P
2
e as distorc~oes
3
e
4
, efetua-se o mesmo procedimento anterior, determinando-se a deformac~ao
espec
ica longitudinal do ponto P
1
na direc~ao z como
"
zz
(x; y; z) =
@w(x; y; z)
@z
(1.20)
e a distorc~ao
xz
(x; y; z) no plano xz
xz
(x; y; z) =
3
+
4
=
@u(x; y; z)
@z
+
@w(x; y; z)
@x
. (1.21)
Finalmente, tomando-se o plano yz,Figura 1.4f, tem-se a distorc~ao
yz
(x; y; z) dada por
yz
(x; y; z) =
5
+
6
=
@v(x; y; z)
@z
+
@w(x; y; z)
@y
: (1.22)
As componentes de deformac~ao anteriores podem se reorganizadas numa forma matricial da
seguinte maneira
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
"
xx
(x; y; z)
"
yy
(x; y; z)
"
zz
(x; y; z)
xy
(x; y; z)
xz
(x; y; z)
yz
(x; y; z)
9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
;
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
@
@x
0 0
0
@
@y
0
0 0
@
@z
@
@y
@
@x
0
@
@z
0
@
@x
0
@
@z
@
@y
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
8
>
:
u(x; y; z)
v(x; y; z)
w(x; y; z)
9
>
=
>
;
, (1.23)
ou ainda
f"g = [L]fug,
sendo [L] um operador diferencial.
Assim, tem-se que o estado de deformac~ao em cada ponto de um corpo solido e caracterizado
por 6 componentes de deformac~ao. Observa-se que as componentes de deformac~ao especcas "
xx
,
"
yy
e "
zz
s~ao quantidades adimensionais, as quais estabelecem uma relac~ao de variac~ao especca das
componentes de deslocamento ao longo de uma determinada direc~ao. Por sua vez, as distorc~oes
xy
,
xz
e
yz
representam deformac~oes angulares e s~ao dadas em radianos.
Finalmente, deve-se ressaltar que a deduc~ao anterior, assim como a Meca^nica do Contnuo, esta
8
-
totalmente baseada na ideia de diferencial. A partir da Figura 1.2, comparou-se a cinematica relativa
de dois pontos arbitrarios P
1
e P
2
do corpo solido. A dista^ncia d entre estes pontos pode ser feita t~ao
pequena quanto se queira, de tal forma que pode-se falar do estado de deformac~ao em P
1
.
1.4 Movimento de Corpo Rgido
Se as normas dos vetores d e d
0
ilustrados na Figura 1.2s~ao iguais ent~ao o corpo solido sofreu um
deslocamento r
igido. Dene-se corpo r
igido como aquele em que a dista^ncia entre dois pontos quaisquer
permanece constante para qualquer ac~ao de movimento. Isto implica que todas as componentes de
deformac~ao em cada ponto do corpo s~ao nulas, ou seja,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
"
xx
(x; y; z) =
@u(x; y; z)
@x
= 0
"
yy
(x; y; z) =
@v(x; y; z)
@y
= 0
"
zz
(x; y; z) =
@w(x; y; z)
@z
= 0
xy
(x; y; z) =
@v(x; y; z)
@x
+
@u(x; y; z)
@y
= 0
xz
(x; y; z) =
@u(x; y; z)
@z
+
@w(x; y; z)
@x
= 0
yz
(x; y; z) =
@v(x; y; z)
@z
+
@w(x; y; z)
@y
= 0
. (1.24)
Se a cinematica u(x; y; z) = fu(x; y; z) v(x; y; z) w(x; y; z)g
T
e tal que as componentes de
deslocamento u; v e w s~ao constantes para todos os pontos de B, ent~ao tem-se apenas uma translac~ao
rgida. Nesse caso, as condic~oes anteriores s~ao satisfeitas.
Se agora o corpo apresenta rotac~oes
x
,
y
e
z
constantes em torno dos eixos x, y e z respecti-
vamente, o vetor deslocamento e dado por
u(x; y; z) = r = det
2
6
4
e
x
e
y
e
z
x y z
x
y
z
3
7
5
= (y
z
z
y
)e
x
+(z
x
x
z
)e
y
+(x
y
y
x
)e
z
,(1.25)
sendo (
y
z
z
y) = u, (
z
x
x
z) = v e (
x
y
y
z) = w. Novamente, o deslocamento anterior
implica que as componentes de deformac~ao sejam nulas.
Dessa forma, um deslocamento rgido geral e dado pela soma de uma translac~ao e uma rotac~ao
rgida da seguinte forma
u(x; y; z) = u
0
+ r =
8
>
:
u
0
v
0
w
0
9
>
=
>
;
+
8
>
:
(y
z
z
y
)
(z
x
x
z
)
(x
y
y
x
)
9
>
=
>
;
; (1.26)
sendo u
0
, v
0
, w
0
,
x
,
y
e
z
constantes para todos os pontos do corpo B:
1.5 Trabalho Interno
No caso de corpos deformaveis, emprega-se o conceito de trabalho interno para se determinar os
esforcos internos associados as deformac~oes decorrentes das ac~oes cinematicas impostas ao corpo. O
trabalho interno associa as deformac~oes um conjunto de esforcos internos compat
iveis com as proprias
componentes de deformac~ao e com a cinematica do problema.
Assim, associado as componentes de deformac~ao normal "
xx
, "
yy
e "
zz
em cada ponto do corpo,
tem-se as respectivas tens~oes normais
xx
,
yy
e
zz
. Da mesma maneira, associadas as distorc~oes
xy
,
xz
e
yz
, tem-se as respectivas componentes de tens~ao cisalhante
xy
,
xz
e
yz
. O trabalho interno
9
-
para um elemento diferencial de volume dV do corpo solido e dado por
dT
i
= [
xx
"
xx
+
yy
"
yy
+
zz
"
zz
+
xy
xy
+
xz
xz
+
yz
yz
] .
O sinal e introduzido apenas por convenie^ncia quando da aplicac~ao do Princpio dos Trabalhos
Virtuais.
O trabalho interno total e obtido atraves da soma do trabalho de cada elemento diferencial, ou
seja, atraves da integral de volume
T
i
=
Z
V
"
xx
(x; y; z)"
xx
(x; y; z) +
yy
(x; y; z)"
yy
(x; y; z) +
zz
(x; y; z)"
zz
(x; y; z)
+
xy
(x; y; z)
xy
(x; y; z) +
xz
(x; y; z)
xz
(x; y; z) +
yz
(x; y; z)
yz
(x; y; z)
#
dV .(1.27)
Fazendo uma analise dimensional do primeiro termo no integrando da express~ao anterior, sabe-se
que a unidade resultante deve ser igual a trabalho interno, ou seja,
[
xx
(x; y; z)"
xx
(x; y; z)dV ] =
N
m
2
m
m
[m
3
] = [Nm] . (1.28)
Logo, associada a deformac~ao "
xx
(x; y; z), que e um numero adimensional por denic~ao, deve existir
uma func~ao contnua
xx
(x; y; z); representando os esforcos internos normais na direc~ao x, com di-
mens~ao
N
m
2
. Assim, ao se realizar a integrac~ao no volume do corpo V , expresso em [m
3
], obte^m-se
unidades de trabalho ou energia [Nm]. A func~ao
xx
(x; y; z) e denominada componente de tens~ao
normal na direc~ao x.
Substituindo as componentes de deformac~ao na express~ao do trabalho, tem-se que
T
i
=
Z
V
2
6
6
6
6
6
6
4
xx
(x; y; z)
@u(x; y; z)
@x
+
yy
(x; y; z)
@v(x; y; z)
@y
+
zz
(x; y; z)
@w(x; y; z)
@z
+
xy
(x; y; z)
@v(x; y; z)
@x
+
@u(x; y; z)
@y
+
xz
(x; y; z)
@u(x; y; z)
@z
+
@w(x; y; z)
@x
+
yz
(x; y; z)
@v(x; y; z)
@z
+
@w(x; y; z)
@y
3
7
7
7
7
7
7
5
dV (1.29)
As tens~oes normais representadas por
xx
,
yy
e
zz
na equac~ao (??) s~ao responsaveis pelo
alongamento do corpo nas direc~oes x, y e z respectivamente. Por sua vez, as tens~oes de cisalhamento
xy
,
xz
e
yz
s~ao responsaveis pelas distorc~oes nos planos xy, xz e yz respectivamente.
Em geral, deseja-se obter uma express~ao em termos das componentes do deslocamento do corpo
e n~ao de suas derivadas, como aparecem na equac~ao (??) para o trabalho interno. Considerando
que as componentes de tens~ao e de deslocamento presentes na equac~ao (??) s~ao contnuas em todo
o domnio do corpo, pode-se realizar o procedimento de integrac~ao por partes de forma a reduzir a
sua ordem de diferenciac~ao nas componentes de deslocamento. De uma forma geral, a integrac~ao por
partes para func~oes contnuas quaisquer f e g dependentes de x, y e z e denida como
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
Z
V
f(x; y; z)
@g(x; y; z)
@x
dV =
Z
V
@f(x; y; z)
@x
g(x; y; z)dV +
Z
S
f(x; y; z)g(x; y; z)n
x
dS
Z
V
f(x; y; z)
@g(x; y; z)
@y
dV =
Z
V
@f(x; y; z)
@y
g(x; y; z)dV +
Z
S
f(x; y; z)g(x; y; z)n
y
dS
Z
V
f(x; y; z)
@g(x; y; z)
@z
dV =
Z
V
@f(x; y; z)
@z
g(x; y; z)dV +
Z
S
f(x; y; z)g(x; y; z)n
z
dS
,(1.30)
sendo f(x; y; z) e g(x; y; z) func~oes escalares e contnuas no domnio V e n
x
, n
y
e n
z
s~ao as componentes
do vetor n =n
x
e
x
+ n
y
e
y
+ n
z
e
z
normal a superfcie S (contorno de V ), ver Figura 1.5.
Aplicando esse conceito para cada integral de volume na express~ao do trabalho interno (??),
10
-
Figura 1.5: Integrac~ao por partes tridimensional
tem-se que
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
Z
V
xx
@u
@x
dV =
Z
V
@
xx
@x
udV
Z
S
xx
un
x
dS
Z
V
yy
@v
@y
dV =
Z
V
@
yy
@y
vdV
Z
S
yy
vn
y
dS
Z
V
zz
@w
@z
dV =
Z
V
@
zz
@w
wdV
Z
S
zz
wn
z
dS
Z
V
xy
(
@u
@y
+
@v
@x
)dV =
Z
V
@
xy
@y
udV
Z
S
xy
un
y
dS +
Z
V
@
xy
@x
vdV
Z
S
xy
vn
x
dS
Z
V
xz
(
@u
@z
+
@w
@x
)dV =
Z
V
@
xy
@z
udV
Z
S
xz
un
z
dS +
Z
V
@
xz
@x
wdV
Z
S
xz
wn
x
dS
Z
V
yz
(
@v
@z
+
@w
@y
)dV =
Z
V
@
yz
@z
vdV
Z
S
yz
vn
z
dS +
Z
V
@
yz
@y
wdV
Z
S
yz
wn
y
dS
.(1.31)
Substituindo as express~oes anteriores na equac~ao (??) e reagrupando os termos, obtem-se
T
i
= T
V
i
+ T
S
i
, (1.32)
sendo
T
V
i
=
Z
V
@
xx
@x
+
@
xy
@y
+
@
xz
@z
u+
@
xy
@x
+
@
yy
@y
+
@
yz
@z
v (1.33)
+
@
xz
@x
+
@
yz
@y
+
@
zz
@w
w
dV (1.34)
e
T
S
i
=
Z
S
[(
xx
n
x
+
xy
n
y
+
xz
n
z
)u+ (
xy
n
x
+
yy
n
y
+
yz
n
z
) v (1.35)
+ (
xz
n
x
+
yz
n
y
+
zz
n
z
)w] dS. (1.36)
Fazendo uma analise dimensional dos integrandos das express~oes de T
V
i
e T
S
i
, observa-se que
@
xx
@x
=
N
m
2
1
m
=
N
m
3
, (1.37)
[
xx
n
x
] =
N
m
2
: (1.38)
Logo, o termo
@
xx
@x
representa uma densidade de forca interna por unidade de volume do solido,
conhecida tambem como forca interna de corpo. Ja o termo [
xx
n
x
] representa a carga interna dis-
tribuda na superfcie do solido, tambem conhecida como forca interna de superfcie. Assim, T
V
i
e T
S
i
representam o trabalho interno, respectivamente, das forcas internas de volume e superfcie do corpo.
11
-
1.6 Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Os objetivos do PTV s~ao estabelecer os esforcos externos compatveis com os esforcos internos
e determinar uma express~ao local para o equilbrio entre estes esforcos. Este princpio estabelece que,
se o corpo esta em equilbrio, os trabalhos externo e interno s~ao os mesmos para qualquer ac~ao virtual
de movimento
u^(x; y; z) =
8
>
:
u^(x; y; z)
v^(x; y; z)
w^(x; y; z)
9
>
=
>
;
, (1.39)
aplicada sobre o corpo, a partir de sua congurac~ao deformada. O termo ac~ao virtual signica que o
princpio e valido para toda e qualquer ac~ao hipotetica de movimento, pequena ou grande, desde que
compatvel com a cinematica do problema.
Para avaliar intuitivamente o peso de um corpo qualquer a partir de sua congurac~ao de
equilbrio, imp~oe-se uma ac~ao de movimento u^(x; y; z) para retirar o corpo do seu estado de equilbrio.
Dessa forma, pelo PTV pode-se concluir que, o trabalho das forcas externas necessario para fazer com
que o corpo abandone sua congurac~ao de equilbrio e igual a energia potencial gravitacional (trabalho
das forcas internas, nesse caso o peso) armazenada no corpo na nova congurac~ao de equilbrio. De
maneira simplicada, ergue-se o corpo ate uma altura generica h, realizando um trabalho externo
T
e
. Aplicando o PTV e possvel concluir que T
e
= Ph, sendo P o peso do corpo em quest~ao.
E
importante salientar que, o peso P do corpo e sempre possvel de ser determinado, independentemente
do valor de numerico de h, por isso que a ac~ao de movimento u^(x; y; z); que levou o corpo da sua
congurac~ao original de equilbrio ate a altura h e denida como virtual.
Dene-se o PTV como
T
e
+ T
i
= 0, (1.40)
sendo T
e
e T
i
os trabalhos das forcas externas e internas agindo sobre o corpo. Substituindo o resultado
da equac~ao (??) em (1.40), obtem-se
T
e
= T
i
= T
V
i
T
S
i
. (1.41)
Para que ocorra equilbrio, e preciso que haja em contrapartida aos esforcos internos, esforcos
externos de volume e superfcie, de tal forma que,
T
V
e
+ T
S
e
= T
V
i
T
S
i
, (1.42)
sendo T
V
e
e T
S
e
, respectivamente, o trabalho externo das forcas de corpo e de superfcie necessarios
para garantir o equilbrio.
Denindo b(x; y; z) como sendo a densidade das forcas externas por unidade de volume e t(x; y; z)
como a forca externa distribuda na superfcie do solido, tem-se
T
e
= T
V
e
+ T
S
e
(1.43)
=
Z
V
b
T
(x; y; z)u^(x; y; z)dV +
Z
S
t
T
(x; y; z)u^(x; y; z)dS (1.44)
=
Z
V
(b
x
u^+ b
y
v^ + b
z
w^)dV +
Z
S
(t
x
u^+ t
y
v^ + t
z
w^)dS. (1.45)
Para que haja equilbrio entre os trabalhos dos esforcos externos e internos e preciso que para
qualquer ac~ao virtual u^(x; y; z)
T
V
e
= T
V
i
, (1.46)
T
S
e
= T
S
i
. (1.47)
12
-
Substituindo as express~oes dos trabalhos das forcas de volume e superf
icie da equac~ao (1.45) em
(1.46) e (1.47) e agrupando os termos das integrais de volume e de superf
icie tem-se que
Z
V
@
xx
@x
+
@
xy
@y
+
@
xz
@z
+ b
x
u^+
@
xy
@x
+
@
yy
@y
+
@
yz
@z
+ b
y
v^
+
@
xz
@x
+
@
yz
@y
+
@
zz
@w
+ b
z
w^
dV = 0
(1.48)
e
Z
S
[(
xx
n
x
+
xy
n
y
+
xz
n
z
t
x
) u^+ (
xy
n
x
+
yy
n
y
+
yz
n
z
t
y
) v^
+(
xz
n
x
+
yz
n
y
+
zz
n
z
t
z
) w^] dS = 0
(1.49)
Como u^(x; y; z) = fu^(x; y; z) v^(x; y; z) w^(x; y; z)g
T
e uma ac~ao de deslocamento virtual arbi-
traria compatvel com a cinematica do problema, pode-se concluir que as equac~oes (??) e (1.49) ser~ao
satisfeitas somente quando as equac~oes diferenciais
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@
xx
@x
+
@
xy
@y
+
@
xz
@z
+ b
x
= 0
@
xy
@x
+
@
yy
@y
+
@
yz
@z
+ b
y
= 0
@
xz
@x
+
@
yz
@y
+
@
zz
@w
+ b
z
= 0
(1.50)
e as condic~oes de contorno
8
>
:
xx
n
x
+
xy
n
y
+
xz
n
z
t
x
= 0
xy
n
x
+
yy
n
y
+
yz
n
z
t
y
= 0
xz
n
x
+
yz
n
y
+
zz
n
z
t
z
= 0
, (1.51)
forem satisfeitas simultaneamente. O conjunto de equac~oes em (1.50) dene o sistema de equac~oes
diferenciais de equilbrio entre as forcas de volume externas e internas valido em todo o domnio do
corpo solido. O conjundo de equac~oes em (1.51) dene as condic~oes de contorno na superfcie do
solido.
Os sistemas de equac~oes em (1.50) e (1.51) denem o Problema de Valor de Contorno (PVC) para
o equlbrio de solidos em tre^s dimens~oes. Nenhuma hipotese simplicadora foi introduzida, alem da
continuidade das ac~oes cinematicamente possveis e de pequenas deformac~oes. Assim, esta formulac~ao
e valida para qualquer meio contnuo independentemente do tipo de material com o qual o meio e
formado.
1.7 Lei de Hooke Generalizada
Ate o momento, foram estabelecidos os conceitos de deformac~ao e tens~ao aplicaveis a qualquer
material em equilbrio que satisfaca as hipoteses de meio contnuo. Agora ser~ao denidas equac~oes,
caracterizando o comportamento de um determinado tipo de material e suas respostas dado um car-
regamento aplicado. Tais equac~oes s~ao denominadas equac~oes constitutivas, pois descrevem o com-
portamento do material em decorre^ncia de sua constituic~ao interna. As equac~oes constitutivas corre-
spondem a formulac~ao matematica do modelo de comportamento de um material idealizado, visando
aproximar as observac~oes experimentais do comportamento do material em uma determinada faixa de
aplicac~ao.
Nesse contexto, dene-se o solido elastico, linear, homoge^neo e isotropico, que obedece o modelo
constitutivo conhecido como Lei de Hooke. Por elastico deve-se entender que o material retorna a sua
forma inicial, ou seja, n~ao existem deformac~oes permanentes apos cessar o carregamento. Linear
signica que a relac~ao entre as tens~oes e deformac~oes e uma func~ao linear. Assim, um aumento no
valor das tens~oes provoca um aumento proporcional no valor das deformac~oes. Homoge^neo indica
que o as propriedades do material s~ao iguais para todos os pontos do corpo. Isotropico signica que
13
-
as propriedades meca^nicas medidas ao longo de uma direc~ao s~ao iguais quando medidas em todas as
outras direc~oes. Um exemplo de materiais que obedecem esta lei para uma faixa denida como faixa
elastica, s~ao os materiais metalicos (aco, alumnio, cobre, etc.) a temperatura ambiente.
Observa-se, atraves de experimentos que, quando esses materiais s~ao solicitados uniaxialmente,
ou seja, tens~oes normais em uma unica direc~ao, existe uma faixa onde a relac~ao tens~ao versus defor-
mac~ao apresenta um comportamento linear elastico denido como
xx
= E"
xx
) "
xx
=
xx
E
, (1.52)
sendo E denido como Modulo de Elasticidade Longitudinal ou Modulo de Young, representando o
comportamento elastico do material, quando submetido a um carregamento uniaxial.
Percebe-se tambem que tais materiais s~ao isotropicos, na maioria dos casos, apresentando o
mesmo comportamento em todas as direc~oes. Logo,
yy
= E"
yy
) "
yy
=
yy
E
, (1.53)
zz
= E"
zz
) "
zz
=
zz
E
. (1.54)
No caso de um carregamento unixial, observam-se deformac~oes nas direc~oes perpendiculares ao
carregamento. Considerando um alongamento "
xx
do corpo na direc~ao x, vericam-se encurtamentos
do corpo nas direc~oes perpendiculares (neste caso y e z), os quais s~ao proporcionais ao alongamento
na direc~ao x. Por exemplo, para o caso de uma barra tracionada na direc~ao longitudinal, ocorre uma
reduc~ao do dia^metro. O inverso ocorre no caso de compress~ao. Assim, no caso de um carregamento
na direc~ao x, tem-se que
"
yy
= "
zz
= v"
xx
) "
yy
= "
zz
=
v
E
xx
. (1.55)
Analogamente para as outras direc~oes, considerando a isotropia do material
"
xx
= "
zz
= v"
yy
) "
xx
= "
zz
=
v
E
yy
, (1.56)
"
xx
= "
yy
= v"
zz
) "
xx
= "
yy
=
v
E
zz
. (1.57)
A propriedade v e denominada Coeciente de Poisson. Um valor tpico para o aco e v = 0; 33. O
sinal de nas equac~oes (1.55) (1.56) e (1.57) e empregado apenas para representar o feno^meno fsico
observado.
Para carregamentos triaxiais (tens~oe normais nas direc~oes x, y e z; simultaneamente) observa-se
que existe uma sobreposic~ao dos efeitos dos carregamentos em cada direc~ao. Portanto, superpondo os
efeitos vem que
"
xx
=
xx
E
v
E
yy
v
E
zz
=
1
E
[
xx
v(
yy
+
zz
)], (1.58)
"
yy
=
yy
E
v
E
xx
v
E
zz
=
1
E
[
yy
v(
xx
+
zz
)], (1.59)
"
zz
=
zz
E
v
E
yy
v
E
xx
=
1
E
[
zz
v(
yy
+
xx
)]. (1.60)
Considerando agora o caso de cisalhamento puro do material, verica-se que
xy
= G
xy
=
E
2(1 + v)
xy
)
xy
=
2(1 + v)
E
xy
, (1.61)
xz
= G
xz
=
E
2(1 + v)
xz
)
xz
=
2(1 + v)
E
xz
, (1.62)
yz
= G
yz
=
E
2(1 + v)
yz
)
yz
=
2(1 + v)
E
yz
. (1.63)
O termo G e denominado Modulo de Elasticidade Transversal. A Figura 1.1 iustra os tipos de car-
regamentos atuante em um corpo solido.
14
-
(a) (b)
(c) (d)
(e)
Figura 1.6: Carregmentos atuando sobre um corpo tridimensional
Deve-se observar, atraves das equac~oes (1.61) (1.62) e (1.63), que os efeitos do cisalhamento em
um determinado plano n~ao provocam distorc~oes nos outros planos. Desta forma,
xy
;
xz
e
yz
s~ao
independentes (desacoplados).
Pode-se escrever as relac~oes anteriores na forma matricial
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
"
xx
"
yy
"
zz
xy
xz
yz
9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
;
=
1
E
2
6
6
6
6
6
6
6
4
1 v v 0 0 0
v 1 v 0 0 0
v v 1 0 0 0
0 0 0 2(1 + v) 0 0
0 0 0 0 2(1 + v) 0
0 0 0 0 0 2(1 + v)
3
7
7
7
7
7
7
7
5
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
xx
yy
zz
xy
xz
yz
9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
;
; (1.64)
ou seja,
f"g = [C]fg:
A matriz [C] pode ser invertida, permitindo expressar as componentes de tens~ao em func~ao das
15
-
componentes de deformac~ao
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
xx
yy
zz
xy
xz
yz
9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
;
=
E
(1+v)(12v)
2
6
6
6
6
6
6
6
4
1 v v v 0 0 0
v 1 v v 0 0 0
v v 1 v 0 0 0
0 0 0
12v
2
0 0
0 0 0 0
12v
2
0
0 0 0 0 0
12v
2
3
7
7
7
7
7
7
7
5
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
"
xx
"
yy
"
zz
xy
xz
yz
9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
;
, (1.65)
ou em forma compacta
fg = [D]f"g.
Expandindo a express~ao para
xx
, tem-se que
xx
=
E
(1 + v)(1 2v)
"
xx
+
Ev
(1 + v)(1 2v)
("
yy
+ "
zz
). (1.66)
Somando e subtraindo o termo
Ev
(1 + v)(1 2v)
"
xx
do lado direito da equac~ao (??) e rearranjando,
obtem-se
xx
=
E
(1 + v)
"
xx
+
Ev
(1 + v)(1 2v)
("
xx
+ "
yy
+ "
zz
) = 2"
xx
+ e, (1.67)
sendo e os coecientes de Lame dados por
=
E
2(1 + v)
, (1.68)
=
Ev
(1 + v)(1 2v)
. (1.69)
O termo e representa a dilatac~ao do corpo, ou seja,
e = "
xx
+ "
yy
+ "
zz
:
Efetuando o mesmo procedimento para as demais componentes de tens~ao normal, tem-se ao nal
as express~oes da Lei de Hooke generalizada para um material elastico, linear, homoge^neo e isotropico
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
xx
= 2"
xx
+ e
yy
= 2"
zz
+ e
zz
= 2"
zz
+ e
xy
=
xy
xz
=
xz
yz
=
yz
. (1.70)
1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva
As express~oes anteriores fornecem para um solido elastico, linear, homoge^neo e isotropico as
componentes de tens~ao em cada ponto do corpo em func~ao das respectivas componentes de deformac~ao.
Substituindo estas relac~oes nas equac~oes de equil
ibrio (1.50) obte^m-se as condic~oes de equil
ibrio em
termos das componentes de deslocamento.
Para a primeira equac~ao de (1.50) vem que
@
@x
(2"
xx
+ e) +
@
@y
(
xy
) +
@
@z
(
xz
) + b
x
= 0
@e
@x
+ 2
@"
xx
@x
+
@
@y
(
@u
@y
+
@v
@x
) +
@
@z
(
@u
@z
+
@w
@x
) + b
x
= 0. (1.71)
Observa-se que
@
@y
(
@u
@y
+
@v
@x
) =
@
2
u
@y
2
+
@
@x
(
@v
@y
) =
@
2
u
@y
2
+
@"
yy
@x
, (1.72)
16
-
@@z
(
@u
@z
+
@w
@x
) =
@
2
u
@z
2
+
@
@x
(
@w
@z
) =
@
2
u
@y
2
+
@"
zz
@x
. (1.73)
Substituindo estas relac~oes em (1.71), tem-se que
@e
@x
+ 2
@"
xx
@x
+
@
@y
(
@
2
u
@y
2
+
@"
yy
@x
) +
@
@z
(
@
2
u
@y
2
+
@"
zz
@x
) + b
x
= 0. (1.74)
Lembrando-se que e = "
xx
+ "
yy
+ "
zz
e
@"
xx
@x
=
@
2
u
@x
2
e reagrupando os termos
(+ )
@e
@x
+ (
@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
+
@
2
@z
2
)u+ b
x
= 0. (1.75)
Efetuando o mesmo procedimento para as duas outras equac~oes em (1.50), obte^m-se ao nal as
Equac~oes de Navier em termos das componentes de deslocamento e da dilatac~ao e, ou seja,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
(+ )
@e
@x
+ (
@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
+
@
2
@z
2
)u+ b
x
= 0
(+ )
@e
@y
+ (
@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
+
@
2
@z
2
)v + b
y
= 0
(+ )
@e
@z
+ (
@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
+
@
2
@z
2
)w + b
z
= 0
. (1.76)
Observa-se que enquanto as equac~oes de equilbrio (1.50) s~ao validas para qualquer meio contnuo
tridimensional em pequenas deformac~oes, as equac~oes de Navier fornecem o equilbrio em termos de
deslocamentos apenas para um material que obedece a lei de Hooke.
E importante salientar que a soluc~ao analtica do sistema de equac~oes em (1.76) pode ser obtida
apenas em alguns casos muito particulares. No caso de n~ao existir uma soluc~ao fechada para um dado
problema, aplicam-se tecnicas de soluc~ao numerica como o Metodo dos Elementos Finitos (MEF).
1.9 Formulac~ao Empregando Tensores
A formulac~ao empregada ate agora utilizou numeros escalares e vetores como entes matematicos
basicos. Um outro conceito matematico de grande importa^ncia no estudo de problemas de Meca^nica
e o tensor. O seu uso permite apresentar de forma compacta e elegante a formulac~ao de varios
problemas. Uma outra vantagem e que as equac~oes expressas na forma tensorial s~ao independentes do
sistema de coordenadas empregado. Assim, e poss
ivel concentrar-se apenas nos conceitos envolvidos
nas equac~oes sem se preocupar com detalhes desnecessarios sob o ponto de vista da apresentac~ao de
uma formulac~ao. Estes detalhes ser~ao importantes apenas quando se adota um sistema de coordenadas
espec
ico para o estudo de um problema.
Na verdade, o conceito de tensor representa uma generalizac~ao.de escalares e vetores, pois estes
podem ser denidos, respectivamente, como tensores de ordens zero e um. Os tensores de segunda
ordem s~ao usados extensivamente em Meca^nica, podendo-se citar os tensores de deformac~ao, de tens~ao
e de inercia. Por sua vez, tensores de quarta ordem s~ao empregados para a representac~ao de equac~oes
constitutivas de materiais.
A seguir, formula-se o problema de corpos solidos introduzindo o conceito de tensor. Para tanto
ser~ao seguidos os mesmos passos utilizados anteriormente. Antes disso porem, torna-se importante
apresentar uma denic~ao para um corpo.
1.9.1 Corpo
O espaco geometrico em considerac~ao no estudo da Meca^nica do Cont
inuo e o espaco euclidiano
tridimensional E . Os elementos de E s~ao denominados pontos.
Todo corpo tem como caracterstica fsica principal o fato de ocupar regi~oes do espaco euclidiano
17
-
tridimensional. Assim, um corpo qualquer pode ocupar diferentes regi~oes em tempos distintos. Embora
nenhuma destas regi~oes possa ser associada ao corpo, torna-se conveniente selecionar uma delas,
denominada congurac~ao de refere^ncia B, identicando pontos do corpo com as suas posic~oes em B.
Desta maneira, um corpo B passa a ser uma regi~ao regular de E , sendo os pontos de B denominados
pontos materiais. Qualquer subregi~ao regular limitada de B e chamada parte, a qual e indicada por P.
Os contornos do corpo B e da parte P s~ao indicados, respectivamente, por @B e @P. Estes conceitos
est~ao ilustrados na Figura 1.7.
Como um corpo pode ocupar diferentes regi~oes ao longo de um movimento, torna-se necessario
a introduc~ao de um para^metro t 2 [t
0
; t
f
], designando uma certa congurac~ao B
t
do corpo. Observa-se
que em varios problemas t n~ao representa necessariamente o tempo.
Figura 1.7: Denic~ao de Corpo
1.9.2 Vetores
Intuitivamente, observa-se que a soma de dois pontos n~ao possui nenhum signicado. Entretanto,
a diferenca entre dois pontos x e y e denida como sendo um vetor, ou seja,
v = y x x;y 2 E : (1.77)
Pode-se ent~ao colocar a seguinte importante observac~ao. Um vetor e denido formalmente como
a diferenca de pontos de E . Apenas quando se adota um sistema de coordenadas, pode-se falar das
componentes de um vetor, assim como da sua direc~ao e sentido.
O conjunto de vetores obtidos pela diferenca de pontos de E forma na verdade um espaco de
vetores ou espaco vetorial V. Observa-se ainda que a soma entre um ponto x e um vetor v dene um
novo ponto y, isto e,
y = x+ v x 2 E ; v 2 V . (1.78)
Um sistema de coordendas consiste de uma base ortonormal fe
1
; e
2
; e
3
g e um ponto arbitrario
o de E denominado origem. A partir da, as coordenadas de qualquer ponto x passam a ser dadas
pelo vetor posic~ao r = x o em relac~ao a origem o. Estes conceitos est~ao ilustrados na Figura 1.8
A seguir apresenta-se a formulac~ao de solido introduzindo o conceito de tensor. Apesar de uma
das vantagens de se empregar tensores e obter express~oes gerais para qualquer sistema de coordenadas,
utilizam-se a seguir coordenadas cartesianas (x; y; z) para manter compatibilidade com a notac~ao
empregada na primeira parte deste captulo.
18
-
(a) (b)
Figura 1.8: Denic~ao de Vetores e Sistemas de Refere^ncia
1.9.3 Cinematica
Como visto na Sec~ao 1.2, a cinematica de um corpo solido e descrita por um campo vetorial u,
o qual para cada ponto do corpo, com coordenadas (x; y; z), fornece as componentes de deslocamento
u, v e w nas direc~oes e
x
, e
y
e e
z
, respectivamente. Logo, a cinematica de um solido tridimensional em
termos de deslocamento pode ser denotada como
u(x; y; z) =
8
>
:
u(x; y; z)
v(x; y; z)
w(x; y; z)
9
>
=
>
;
. (1.79)
1.9.4 Deformac~ao
Seja f(x) uma func~ao da variavel x: Assim, para cada valor de x, f(x) fornece um numero real
ou escalar. Por exemplo, f(x) pode representar o deslocamento axial num problema de barra, ou
ainda o deslocamento transversal num problema de ex~ao de vigas. Pode-se expandir a func~ao f na
vizinhanca de x utilizando a serie de Taylor, ou seja,
f(y) = f(x) +
df(x)
dx
d+
1
2
d
2
f(x)
dx
2
d
2
+ : : :+
1
n!
d
(n)
f(x)
dx
(n)
d
n
+
1
(n+ 1)!
d
n+1
(1.80)
= f(x) +
df(x)
dx
d+O(d
2
), (1.81)
sendo d = (y x) e O(d
2
) um termo de ordem d
2
: Isso signica que quando y se aproxima de x, ou
seja, d = (y x) vai para zero, d
2
tende a zero mais rapidamente. Logo,
lim
y!x
d
2
y x
= lim
y!x
(y x)
2
y x
= lim
y!x
(y x) = 0. (1.82)
Suponha agora que f e uma func~ao que fornece valores escalares, mas depende das variaveis
x; y e z. Pode-se dizer que f depende do vetor posic~ao x = (x; y; z) de um ponto do corpo solido,
denotando-se como f = f(x; y; z) = f(x). Utilizando-se a serie de Taylor, pode-se expandir f em
torno de x da seguinte maneira
f(y) = f(x) +rf
T
(x)d+O(kdk
2
), (1.83)
sendo d =(y x) o vetor diferenca entre as posic~oes y = (x
0
; y
0
; z
0
) e x =(x; y; z). A norma euclidiana
de d e indicada por kdk e kdk
2
= (x
0
x)
2
+ (y
0
y)
2
+ (z
0
z)
2
. Assim, O(kdk
2
) e um termo de
ordem kdk
2
.
19
-
Como f e agora uma func~ao de 3 variavies, a primeira derivada
df
dx
em (1.81) e substituda pelo
vetor gradiente de f , ou seja
frf(x)g =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@f(x)
@x
@f(x)
@y
@f(x)
@z
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
. (1.84)
Por sua vez, o termo O(kdk
2
) signica que o mesmo vai para zero mais rapidamente do que a
norma kdk quando y tende a x; isto e,
lim
y!x
kdk
2
ky xk
= lim
y!x
ky xk
2
ky xk
= lim
y!x
ky xk = 0. (1.85)
Seja f agora uma func~ao vetorial dependente das variaveis x; y e z, ou seja, f = f(x; y; z) = f(x):
Desta maneira, f tem componentes nas direc~oes x, y e z: Logo
ff(x)g =
8
>
:
f
x
(x)
f
y
(x)
f
z
(x)
9
>
=
>
;
. (1.86)
Expandindo f em torno do ponto x, tem-se que
f(y) = f(x) +rf(x)d+O(kdk
2
). (1.87)
Nesse caso, o gradiente de f(x) e dado por
rf(x) =
@f(x)
@x
@f(x)
@y
@f(x)
@z
. (1.88)
Por sua vez como f e uma func~ao vetorial, cada um dos compnentes do lado direito da equac~ao
(??) e um vetor analogo ao da equac~ao (1.84). Expandindo cada um dos componentes vem que
[rf(x)] =
2
6
6
6
6
6
6
4
@f
x
(x)
@x
@f
x
(x)
@y
@f
x
(x)
@z
@f
y
(x)
@x
@f
y
(x)
@y
@f
y
(x)
@z
@f
z
(x)
@x
@f
z
(x)
@y
@f
z
(x)
@z
3
7
7
7
7
7
7
5
, (1.89)
Assim, o gradiente de uma func~ao vetorial f dependente do vetor posic~ao x = (x; y; z) e uma matriz de
ordem 3. Na verdade a equac~ao (1.89) e a representac~ao matricial do tensor rf(x) segundo o sistema
cartesiano. Observe que ao se multiplicar a representac~ao matricial do tensor rf dada em (1.89) por
um vetor v com componentes cartesianas (v
x
; v
y
; v
z
), tem-se como resultado um outro vetor, ou seja,
2
6
6
6
6
6
6
4
@f
x
@x
@f
x
@y
@f
x
@z
@f
y
@x
@f
y
@y
@f
y
@z
@f
z
@x
@f
z
@y
@f
z
@z
3
7
7
7
7
7
7
5
8
>
:
v
x
v
y
v
z
9
>
=
>
;
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@f
x
@x
v
x
+
@f
x
@y
v
y
+
@f
x
@z
v
z
@f
y
@x
v
x
+
@f
y
@y
v
y
+
@f
y
@z
v
z
@f
z
@x
v
x
+
@f
z
@y
v
y
+
@f
z
@z
v
z
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
.
Torna-se importante aqui estabelecer o conceito de tensor. De forma analoga ao caso de vetores,
tem-se uma denic~ao formal do conceito de tensor. Apenas quando se utiliza um sistema de coorde-
nadas, pode-se falar das componentes de um tensor. Assim, formalmente, dene-se um tensor T como
uma transformac~ao linear do espaco vetorial V em V denotando-se como
Tu = v. (1.90)
Isto implica que ao se aplicar o tensor T num vetor qualquer u, tem-se como resultado o vetor v.
Como a tranformac~ao e linear, as seguintes propriedades s~ao validas
T(u+ v) = Tu+Tv, (1.91)
20
-
T(u) = (Tu), (1.92)
sendo um numero escalar.
As equac~oes (1.90) e (1.92) denem um tensor. Utilizando um sistema de coordenadas com uma
base fe
1
; e
2
; e
3
g, denem-se as componentes de T como
T
ij
= e
i
Te
j
.
Desta maneira, em termos de componentes as equac~oes (1.90) e (1.92) s~ao dadas, respectiva-
mente, por
2
6
4
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
3
7
5
8
>
:
u
1
u
2
u
3
9
>
=
>
;
=
8
>
:
v
1
v
2
v
3
9
>
=
>
;
,
2
6
4
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
3
7
5
0
B
@
8
>
:
u
1
u
2
u
3
9
>
=
>
;
+
8
>
:
v
1
v
2
v
3
9
>
=
>
;
1
C
A
=
2
6
4
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
3
7
5
8
>
:
v
1
v
2
v
3
9
>
=
>
;
+
2
6
4
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
3
7
5
8
>
:
u
1
u
2
u
3
9
>
=
>
;
,
2
6
4
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
3
7
5
0
B
@
8
>
:
u
1
u
2
u
3
9
>
=
>
;
1
C
A
=
0
B
@
2
6
4
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
3
7
5
8
>
:
u
1
u
2
u
3
9
>
=
>
;
1
C
A
.
A cinematica de um corpo solido tambem e descrita por uma func~ao vetorial u dependente do
vetor posic~ao x = (x; y; z) como indicado em (1.79). Expandindo u(x) na vizinhanca de x de forma
analoga a equac~ao (1.87) vem que
u(y) = u(x) +ru(x)d+O(kdk
2
), (1.93)
sendo ru(x) o gradiente do campo de deslocamentos calculado em x , cuja representac~ao no sistema
cartesiano e dada por
[ru(x)] =
2
6
6
6
6
6
6
4
@u(x)
@x
@u(x)
@y
@u(x)
@z
@v(x)
@x
@v(x)
@y
@v(x)
@z
@w(x)
@x
@w(x)
@y
@w(x)
@z
3
7
7
7
7
7
7
5
. (1.94)
Como d = y x; tem-se que y = x+ d. Logo, a express~ao (1.93) pode ser reescrita como
u(x+ d) = u(x) +ru(x)d+O(kdk
2
). (1.95)
Observe que o tensor gradiente do campo de deformac~ao pode ser escrito como
ru(x) =
1
2
ru(x) +
1
2
ru(x)
=
1
2
ru(x) +
1
2
ru
T
(x) +
1
2
ru(x)
1
2
ru
T
(x) (1.96)
=
1
2
[ru(x) +ru
T
(x)] +
1
2
[ru(x)ru
T
(x)]. (1.97)
21
-
Neste caso, ru
T
(x) e o tensor transposto de ru(x). Para se obter a representac~ao matricial de
ru
T
(x) no sistema cartesiano, basta trocar as linhas pelas colunas em (1.94), ou seja,
[ru
T
(x)] =
2
6
6
6
6
6
6
4
@u(x)
@x
@v(x)
@x
@w(x)
@x
@u(x)
@y
@v(x)
@y
@w(x)
@y
@u(x)
@z
@v(x)
@z
@w(x)
@z
3
7
7
7
7
7
7
5
. (1.98)
Denem-se os tensores de deformac~ao E e rotac~ao innitesimais, respectivamente, como
E(x) =
1
2
[ru(x) +ru
T
(x)], (1.99)
(x) =
1
2
[ru(x)ru
T
(x)]. (1.100)
A representac~ao matricial do tensor de pequenas deformac~oes E no sistema cartesiano e obtida
substituindo (1.94) e (1.98) em (1.99). Efetuando as operac~oes indicadas vem que
[E(x)] =
2
6
6
6
6
6
6
4
@u(x)
@x
1
2
@v(x)
@x
+
@u(x)
@y
1
2
@w(x)
@x
+
@u(x)
@z
1
2
@u(x)
@y
+
@v(x)
@x
@v(x)
@y
1
2
@w(x)
@y
+
@v(x)
@z
1
2
@u(x)
@z
+
@w(x)
@x
1
2
@v(x)
@z
+
@w(x)
@y
@w(x)
@x
3
7
7
7
7
7
7
5
. (1.101)
Observa-se que as componentes cartesianas de E(x) apresentam uma relac~ao direta com as
componentes de deformac~ao deduzidas anteriormente na Sec~ao ??. Logo, pode-se reescrever (1.101)
como
[E(x)] =
2
6
4
"
xx
(x)
1
2
xy
(x)
1
2
xz
(x)
1
2
xy
(x) "
yy
(x)
1
2
yz
(x)
1
2
xz
(x)
1
2
yz
(x) "
zz
(x)
3
7
5
. (1.102)
E comum escrever o tensor de deformac~ao innitesimal da seguinte maneira
[E(x)] =
2
6
4
"
xx
(x)
xy
(x)
xz
(x)
yx
(x) "
yy
(x)
yz
(x)
zx
(x)
zy
(x) "
zz
(x)
3
7
5
. (1.103)
As componentes da diagonal principal "
xx
(x); "
yy
(x) e "
zz
(x) representam as deformac~oes especcas
nas direc~oes x; y e z calculadas no ponto x. As componentes fora da diagonal principal s~ao as compo-
nentes de deformac~ao cisalhante ou distorc~ao. O tensor E e simetrico pois
xy
(x) =
yx
(x),
xz
(x) =
zx
(x),
yz
(x) =
zy
(x) . (1.104)
Em geral, a simetria de um tensor T e denida como
T = T
T
. (1.105)
Em termos de componentes, isto implica que
T
12
= T
21
, T
13
= T
31
, T
23
= T
32
, (1.106)
ou de forma geral
T
ij
= T
ji
, i; j = 1; 2; 3 . (1.107)
Lembre-se que a primeira letra em
xy
indica o plano x, enquanto o subscrito y indica a direc~ao
da deformac~ao. Analogamente, para
xz
e
yz
(veja Figura 1.4). Observe que as distorc~oes totais
xy
,
xz
e
yz
nos planos xy, xz e yz dadas em (1.23) s~ao duas vezes as respectivas distorc~oes
xy
,
xz
e
yz
, ou seja,
xy
(x) =2
xy
(x),
xz
(x) =2
xz
(x),
yz
(x) =2
yz
(x) . (1.108)
22
-
Analogamente, obtem-se as componentes do tensor de rotac~ao innitesimal (x) substituindo
(1.94) e (1.98) em (1.100). Logo
[(x)] =
2
6
6
6
6
6
6
4
0
1
2
@u(x)
@y
@v(x)
@x
1
2
@u(x)
@z
@w(x)
@x
1
2
@u(x)
@y
@v(x)
@x
0
1
2
@v(x)
@z
@w(x)
@y
1
2
@u(x)
@z
@w(x)
@x
1
2
@v(x)
@z
@w(x)
@y
0
3
7
7
7
7
7
7
5
. (1.109)
Pode-se escrever o tensor (x) da seguinte maneira
[(x)] =
8
>
:
0
z
(x)
y
(x)
z
(x) 0
x
(x)
y
(x)
x
(x) 0
9
>
=
>
;
, (1.110)
pois
x
(x);
y
(x) e
z
(x) indicam as rotac~oes innitesimais de cada ponto x em torno dos eixos
cartesianos x; y e z respectivamente.
Para vericar que isto e verdadeiro, considere o elemento diferencial de um meio solido sofrendo
uma distorc~ao
1
no plano xy, conforme mostrado na Figura 1.9a. Observe que a diagonal do elemento
apresenta uma rotac~ao
1
em torno do eixo z no sentido anti-horario. Dos a^ngulos indicados na Figura
1.9a, as seguintes relac~oes s~ao validas
2 = 2+
1
) = a+
1
2
1
, (1.111)
+
1
= a+
1
. (1.112)
Substituindo () (1.112) vem que
a+
1
2
1
+
1
= a+
1
)
1
=
1
2
1
. (1.113)
Considerando agora que o elemento sofra uma distorc~ao
2
, mostrada na Figura 1.9b, tem-se
que a diagonal do elemento apresenta uma rotac~ao
2
em torno de z no sentido horario e, portanto,
de valor negativo. Da Figura 1.9b
2 = 2+
2
) = a+
1
2
2
, (1.114)
2
= a+
2
, (1.115)
e substituindo (1.114) em (1.115)
2
=
1
2
2
. (1.116)
Para o caso geral, onde o elemento sofre uma distorc~ao total
1
+
2
(ver Figura 1.9c), a diagonal
apresenta uma rotac~ao rgida local
z
(x) dada por
z
(x) =
1
+
2
. (1.117)
Substituindo (1.113) e (1.116) em (??) e lembrando que
2
=
@v
@x
e
2
=
@u
@y
vem que
z
(x) =
1
2
@v(x)
@x
@u(x)
@y
. (1.118)
Analogamente, para os demais planos (ver Figuras 1.9d e 1.9e), tem-se que
x
(x) =
1
2
@v(x)
@z
@w(x)
@y
, (1.119)
y
(x) =
1
2
@u(x)
@z
@w(x)
@x
. (1.120)
23
-
(a) (b)
(c) (d)
(e)
Figura 1.9: Rotac~oes de Corpo Rgido
Observe ainda de (1.110) que o tensor (x) e anti-simetrico. De forma geral, um tensor T e
anti-simetrico se
T = T
T
. (1.121)
Em termos de componentes, isto implica que
T
12
= T
21
, T
13
= T
31
, T
23
= T
32
, (1.122)
T
11
= T
22
= T
33
= 0, (1.123)
ou de forma geral, para i; j = 1; 2; 3
T
ij
= T
ji
, i 6= j ; (1.124)
T
ij
= 0 i = j . (1.125)
Substituindo (1.99) e (1.100) em (1.97) tem-se que
ru(x) = E(x) +(x), (1.126)
24
-
ou seja, o tensor gradiente de deslocamento e dado pela soma de um tensor simetrico E(x) e um tensor
anti-simetrico (x): Esta decomposic~ao e valida para qualquer tensor A. Logo,
A = A
S
+A
A
, (1.127)
sendo as partes simetrica A
S
e anti-simetrica A
A
de A dadas, respectivamente, por
A
S
=
1
2
(A+A
T
), (1.128)
A
A
=
1
2
(AA
T
). (1.129)
Diz-se assim que E e representam, respectivamente, as partes simetrica e anti-simetrica do
gradiente de u, denotando-as da seguinte forma
E(x) = r
S
u(x), (1.130)
(x) = r
A
u(x). (1.131)
Substituindo agora (1.126) em (1.95) vem que
u(x+ d) = u(x) +E(x)d+(x)d+O(kdk
2
). (1.132)
Esta relac~ao e bastante importante, pois mostra que o campo de deslocamnentos de um meio
contnuo tridimensional contem uma parcela relativa a deformac~ao innitesimal, dada pelo tensor E,
e outra compreendendo uma rotac~ao inntesimal, dada pelo tensor . Logo, apenas as componentes
de deformac~ao em E n~ao s~ao sucientes para levar um corpo da sua congurac~ao original ate a sua
congurac~ao deformada. Uma rotac~ao rgida innitesimal ocorre na vizinhanca de cada ponto do
corpo.
Para ilustrar este fato considere a viga em balanco tratada como um corpo, conforme ilustrado
na Figura 1.10a. Suponha que a viga seja constru
ida de chapas unidas atraves de pinos. A Figura
1.10b ilustra a geometria deformada da viga conforme esperado. Removendo os pinos da parte
superior e etindo cada chapa separadamente, observa-se que, se a rotac~ao r
igida n~ao estiver presente,
a geometria deformada obtida n~ao e correta (ver Figura 1.10c), a menos que exista uma rotac~ao r
igida
dos pontos. Logo, este exemplo simples mostra que a parcela da rotac~ao innitesimal (1.132) esta
sempre presente quando um corpo sofre uma deformac~ao.
(a) (b) (c)
Figura 1.10: Interpretac~ao da rotac~ao rgida de uma viga.
Considerando agora que os pontos y = x+ d e x, ilustrados na Figura 1.11, estejam bem
proximos, tem-se que a norma do vetor d e bem pequena. Assim, na equac~ao (1.132), despreza-
se o termo O(kdk
2
) e obtem-se a seguinte express~ao para o campo de deslocamentos innitesimal na
vizinhanca de y = x+ d
u(x+ d) = u(x) +E(x)d+(x)d, (1.133)
ou ainda,
u(x+ d) = u(x) +ru(x)d. (1.134)
25
-
Pode-se utilizar a espress~ao anterior para mostrar que as componentes do tensor E est~ao real-
mente relacionadas ao caso de pequenas deformac~oes. Rescreve-se (1.134) como
u(x+ d) u(x) = ru(x)d. (1.135)
A partir da Figura 1.11, observa-se que
d
0
= d+ u(x+ d) u(x).
Substituindo (1.134) na express~ao anterior vem que
d
0
= d+ru(x)d =[I+ru(x)]d, (1.136)
sendo I o tensor identidade cuja representac~ao matricial e dada por
I =
2
6
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
7
5
. (1.137)
Denominando agora
F(x) = I+ru(x), (1.138)
como o tensor gradiente de deformac~ao, tem-se que (1.136) assume a seguinte forma
d
0
= F(x)d. (1.139)
Figura 1.11: Deformac~ao de um Corpo Solido
A equac~ao (1.139) permite determinar a dsista^ncia d
0
entre P
0
1
e P
0
2
apos a deformac~ao, atraves
do tensor F e da dista^ncia inicial d. Para se obter a deformac~ao do ponto P
1
, basta tomar a diferenca
entre os comprimentos dos vetores d
0
e d. Lembre-se que o comprimento kvk
2
de um vetor qualqer v
e obtido pelo produto escalar com ele mesmo, ou seja, kvk
2
= v v. Logo usando (1.139)
d = d
0
d
0
d d = F(x)d F(x)d d d. (1.140)
Dado um tensorA, tem-se que o transpostoA
T
deA e o unico tensor com a seguinte propriedade
u Av = A
T
u v, (1.141)
para quaisquer vetores u e v.
Com base nesse conceito, a express~ao (1.140)
d = F
T
(x)F(x)d d d d
= [F
T
(x)F(x) I]d d. (1.142)
Denominando
E
(x) =
1
2
[F
T
(x)F(x) I], (1.143)
26
-
como o tensor de deformc~ao de Cauchy-Green, a equac~ao (1.142) pode ser reescrita como
d =2E
(x)d d. (1.144)
Substituindo (1.138) em (1.143), vem que
E
(x) =
1
2
f[I+ru(x)]
T
[I+ru(x)] Ig. (1.145)
Dados dois tensores A e B; tem-se que
(A+B)
T
= A
T
+B
T
. (1.146)
Como I
T
= I, portanto
E
(x) =
1
2
f[I+ru
T
(x)][I+ru(x)] Ig
=
1
2
[I+ru(x)+ru
T
(x)+ru
T
(x)ru(x) I]
=
1
2
[ru(x)+ru
T
(x)] +
1
2
ru
T
(x)ru(x)
= E(x) +
1
2
ru
T
(x)ru(x). (1.147)
Com base na equac~ao (1.147), pode-se observar que o tensor de Cauchy-Green fornece uma
medida de deformac~ao geral, aplicavel tanto para pequenas quanto para grandes deformac~oes. No
entanto, para pequenas deformac~oes as normas de u e ru s~ao pequenas, ou seja, kuk < " e kruk < ";
com " da ordem de 10
4
por exemplo. Neste caso, o termo n~ao-linear
1
2
ru
T
(x)ru(x) torna-se
desprez
ivel e o tensor E
se reduz ao proprio tensor de deformac~ao innitesimal E.
1.9.5 Movimentos de Corpo Rgido
Como se sabe, um corpo tridimensional tem 6 movimentos r
igidos, correspondentes as 3 translac~oes
nas direc~oes x; y e z e 3 rotacoes em torno dos eixos x; y e z;conforme Figura 1.12. Deseja-se vericar
como as ac~oes r
igidas podem ser representadas utilizando os conceitos apresentados na sec~ao anterior.
Figura 1.12: Movimentos de Corpo Rgido
Uma deformac~ao e homge^nea se o gradiente do campo de deslocamento ru e constante para
todos os pontos x do corpo, indicando-se ru = ru
0
. Nesse caso, a express~ao (1.95) simplica-se para
u(x+ d) = u(x)+ru
0
d. (1.148)
Observa-se que o termo O(kdk
2
) e nulo pois sendo ru
0
constante, os demais termos da serie de Taylor
s~ao automaticamente iguais a zero.
27
-
Como exemplo de deformac~ao homoge^nea, tem-se uma translac~ao a partir de uma posic~ao.
Como todos os pontos do corpo sofrem um mesmo deslocamento,ver Figura 1.11, logo
u(x+ d) = u(x). (1.149)
Substituindo esta relac~ao em (1.148), tem-se que
ru
0
d = 0, (1.150)
Como d e a dista^ncia entre dois pontos arbitrarios do corpo, ent~ao a express~ao anterior e nula se
ru
0
= 0: (1.151)
Dessa forma, como o gradiente do campo de deslocamentos e nulo, tem-se que o campo de
deslocamentos u
0
para uma translac~ao e constante para todos os pontos do corpo, ou seja,
u(x) = u(x+ d) = u
0
=
8
>
:
u
0
v
0
w
0
9
>
=
>
;
, (1.152)
sendo u
0
; v
0
e w
0
as componentes de translac~ao nas direc~oes x; y e z: Como u
0
; v
0
e w
0
s~ao constantes,
as respectivas componentes do tensor de deformac~ao E s~ao nulas, o que caracteriza um movimento de
corpo rgido.
Considere agora uma rotac~ao r
igida do corpo em torno do ponto P
1
. Alem disso, suponha que
o sistema de refere^ncia cartesiano esteja centrado em P
1
, conforme ilustrado na Figura 1.13. Nesse
caso, o deslocamento u(x) do ponto P
1
na equac~ao (1.148) e nulo. Logo,
u(x+ d) = (ru)d. (1.153)
Figura 1.13: Rotac~ao Rgida Local
Como o movimento e rgido, a parte simetrica de ru, ou seja, o tensor de deformac~ao innites-
imal E e nulo. Portanto,
u(x+ d) = d. (1.154)
Associado a todo tensor anti-simetrico , existe um vetor axial !, tal que
v = ! v, (1.155)
para todo vetor v = fv
1
v
2
v
3
g
T
: Nesse caso, as componentes do vetor !; s~ao
x
;
y
e
z
; ou seja,
as rotac~oes rgidas em torno dos eixos x, y e z: Para vericar isto, basta expandir os dois lados, isto e,
v =
2
6
4
0
z
y
z
0
x
y
x
0
3
7
5
8
>
:
v
1
v
2
v
3
9
>
=
>
;
=
8
>
:
v
3
y
v
2
z
v
1
z
v
3
x
v
2
x
v
1
y
9
>
=
>
;
, (1.156)
28
-
! v =
2
6
4
e
x
e
y
e
z
!
1
!
2
!
3
v
1
v
2
v
3
3
7
5
8
>
:
v
1
v
2
v
3
9
>
=
>
;
=
8
>
:
v
3
!
2
v
2
!
3
v
1
!
3
v
3
!
1
v
2
!
1
v
1
!
2
9
>
=
>
;
. (1.157)
Portanto,
8
>
:
!
1
=
x
!
2
=
y
!
3
=
z
. (1.158)
Com base nesses resultados, pode-se escrever
u(x+ d) = ! d. (1.159)
Logo, um movimento geral de corpo rgido sera dado pela superposic~ao dos movimentos de translac~ao
e rotac~ao, expressos por (1.152) e (1.159). Assim uma ac~ao rgida geral pode ser escrita como
u(x) = u
0
+ ! d, (1.160)
como obtido anteriormente na Sec~ao 1.4.
1.9.6 Trabalho Interno
No caso geral de pequenas deformac~oes num solido, o estado de deformac~ao em cada ponto e
dado pelas 9 componentes indicadas em (1.103). Associadas as deformac~oes normais "
xx
(x), "
yy
(x) e
"
zz
(x), tem-se as respectivas componentes de tenss~ao normal
xx
(x),
yy
(x) e
zz
(x) representando,
respectivamente, o estado das forcas internas no ponto x nas direc~oes x; y e z. Da mesma maneira,