Mecânica dos Sólidos

José Mauro Marquez, PhD

MECÂNICA DOS SÓLIDOS

• Também conhecida como Resistência dos Materiais, a Mecânica dos Sólidos estuda o comportamento de corpos submetidos a Esforços Mecânicos.

• Entre as principais teorias, envolvem-se a da Elasticidade, Plasticidade e Estabilidade.

• A mecânica dos sólidos é fundamental no desenvolvimento de estruturas e elementos de máquinas, tais como, engrenagens, árvores (eixos), mancais, etc...

MECÂNICA DOS SÓLIDOS

• Permite estudar as variações de tensões e deformações ao longo do sólido (ou peça), esseciais ao dimensionamento do mesmo.

• Para corpos de geometria e carregamento (forças externas) complexos, bem como aqueles constituidos de materiais não-isotrópicos.

MECÂNICA DOS SÓLIDOS

• Materiais isotrópicos

– Um material é isotrópico se suas propriedades mecânicas e térmicas são as mesmas em todas direções. Os materiais isotrópicos podem ter estruturas microscópicas homogêneas ou não homogêneas. Por exemplo, o aço demonstra comportamento isotrópico, apesar de sua estrutura microscópica ser não homogênea.

MECÂNICA DOS SÓLIDOS

• Materiais ortotrópicos

–Um material é ortotrópico se suas propriedades térmicas são únicas e independentes nas três direções mutuamente perpendiculares. Exemplos de materiais ortotrópicos são a madeira, vários cristais e metais laminados

MECÂNICA DOS SÓLIDOS

• Por exemplo, as propriedades mecânicas da madeira em um determinado ponto são descritas nas direções longitudinal, radial e tangencial. O eixo longitudinal (1) é paralelo à direção da fibra (grã); o eixo radial (2) é normal aos anéis de crescimento e o eixo tangencial (3) é tangente aos anéis de crescimento.

Queda da Tacoma Narrow Bridge

Deformação

• Deformação de um corpo sólido acontece quando este corpo está submetido à esforços ao longo de sua área ou volume.

• Denomina-se esses esforços como “Tensão Normal” quando em qualquer ponto de sua seção transversal é obtida pela resultante F dividida pela área da seção transversal.

Deformação

• Tensão Normal

σ = 𝐹

𝐴 onde:

σ = Tensão normal (Pa) F = Força normal ou axial (N) A = Área do Corpo (m2)

• Caso o corpo esteja comprimido, a tensão normal

se dá no sentido contrário => σ = - 𝐹

𝐴

Deformação • Exemplos de uma peça tracionada e comprimida:

Figura 1 Figura 2

Deformação

• Conceito de deformação (ε)

– Tomando-se o corpo da Figura 1, observa-se que neste deverá haver uma deformação linear (ε ) no sentido de F:

F F

L

ΔL

ε = ΔL L

Deformação

• Diagrama de Tensão-Deformação

O

Deformação – Ensaio Aço SAE 1045

Deformação

• A reta OA, representa a resistência do material; • A partir do ponto A, o material entra em

deformação permanente; • A partir de A’, a deformação aumenta sem que

haja um aumento significativo da Tensão; • A Tensão obtida no ponto B é a maior atingida no

ensaio. • A Tensão no ponto C corresponde à ruptura do

material. No ponto C também ocorre a maior deformação.

Deformação • Lei de Hooke

– Em 1660, o inglês Robert Hooke observou que sempre havia proporcionalidade entre a força aplicada à um sólido e a deformação elástica produzida.

θ

σ = ε . E

E = OA tag θ = σε

O “E” também é conhecido como Módulo de Young

Deformação

• Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou

alongamento, constatando que:

• Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento

inicial da peça, maior o alongamento, e que, quanto maior a

área da secção transversal e a rigidez do material, medido

através do seu módulo de elasticidade, menor o

alongamento, resultando daí a equação:

Lei de Hooke

Deformação

Lei de Hooke

Como podemos escrever a Lei de Hooke:

Onde:

- alongamento da peça [m]

- tensão normal [Pa]

r - carga normal aplicada [N]

A - área da secção transversal [m2 ]

E - módulo de elasticidade do material [P]

l - comprimento inicial da peça [m]

Deformação Lei de Hooke É importante observar que a carga se distribui por toda

área da secção transversal da peça.

Deformação Lei de Hooke

• lf: comprimento final da peça [m]

• L:comprimento inicial da peça [m]

• Δl: alongamento [m]

Deformação

A Lei de Hooke, portanto, em

toda a sua amplitude, abrange a

deformação longitudinal ou

superficial (ε) e a deformação

transversal (εt).

Deformação

DEFORMAÇÃO SUPERFICIAL (ε) Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de

comprimento (u.c) de uma peça submetida à ação de carga

axial. Sendo definida através das relações:

Deformação

DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt )

Determina-se através do produto entre a

deformação unitária (ε) e o Coeficiente de

Poisson (ν)

Deformação

DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt ) Onde:

• εt : deformação transversal (adimensional)

• σ: tensão normal atuante (Pa)

• E: módulo de elasticidade do material (Pa)

• ε: deformação longitudinal (adimensional)

• ν : coeficiente de Poisson (adimensional)

• Δl: alongamento (m)

• I: comprimento inicial (m)

Deformação

• Coeficiente de Poisson

– O coeficiente de Poisson mede a deformação transversal, em relação à direção longitudinal de aplicação da carga, de um material homogêneo e isotrópico.

ν = - ε𝑥

ε𝑧

= - ε𝑦

ε𝑧

ν = Coeficiente de Poisson ε𝑥

= Deformação na direção x (transveral) ε𝑦 = Deformação na direção y (transveral) ε𝑧 = Deformação na direção z (logitudinal)

Deformação

• No caso mais geral da Lei de Hooke, considera-se a deformação logitudinal ou superficial e transversal, onde:

ε = 𝜎

𝐸 => εt =-ν ε = -

ν σ𝐸

ε𝑥 = 1

𝐸[σx -ν (σy+ σz)]

ε𝑦 = 1

𝐸[σy -ν (σz+ σx)]

ε𝑧 = 1

𝐸[σz -ν (σx+ σy)]

Deformação

• A deformação volumétrica é dada pela relação entre o módulo de Young (E), o módulo volumétrico (K) e o coeficiente de Poisson (ν ).

E = 3K (1-2ν)

Onde K = -V ∂σ∂𝑉

K = Módulo volumétrico (Pa) V = Volume (m3) σ = Tensão (Pa) ∂σ∂𝑉

= Derivada parcial da tensão em relação ao volume.

• EXEMPLO

Deformação

A barra circular representada na figura é de aço, possui d=20 mm e

comprimento l =0,8m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial

de 7,2 kN. Pede-se determinar para a barra:

a) Tensão normal atuante (σ)

b) O alongamento (Δl)

c) A deformação longitudinal(ε)

d) A deformação transversal (εt)

Deformação SOLUÇÃO

A barra circular representada na figura é de aço, possui d=20 mm e comprimento

l =0,8m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN. Pede-se

determinar para a barra:

a) Tensão normal atuante (σ)

Deformação

b) O alongamento (Δl)

Deformação

c) A deformação longitudinal ou superficial (ε)

d) A deformação transversal (εt)

Deformação