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MecânicaeOndas

Ondasestacionáriasemcordasvibrantes ObjectivoEstudodasondasestacionáriasemcordasvibrantes.Estudodavariaçãodafrequênciaderessonânciadaondacomatensãoeocomprimentodacorda.Determinaçãodavelocidadedepropagaçãodaonda.Excitaçãodeharmónicas.

1. IntroduçãoteóricaParaproduzirmosumaondamecânicaprecisamosdeuma fontedeperturbaçãodummeiomaterial.Umaondamecânicaconsisteassimnotransportedeenergiadeumpontopara outro do meio material, sem que haja transporte de matéria. O transporte deenergiaérealizadopelainteracçãodaspartículasdomeiocomassuasvizinhas.Neste trabalhovamosestudarondasestacionárias,unidimensionais,quesepropagamnumacordaelástica,esticadaefixanassuasextremidades.A função matemática que descreve a oscilação duma corda elástica, uniforme, dedensidadelinear𝜌esubmetidaaumatensão𝑇# ,édaforma𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(/0

1𝑥 − /0

3𝑡) =𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔𝑡)(1)

𝑥e𝑡sãoasvariáveisassociadasàposiçãoeaotempo,respectivamente,Téoperíodo,𝜆ocomprimentodeonda(c.d.o),𝑘 = 2𝜋

𝜆: éonúmerodeondae𝜔 = 2𝜋𝑇: éafrequência

angular.Estaondapropaga-secomvelocidade

v = 13= <

== >3?

@(2)

Se uma onda harmónica for introduzida numa corda cujas extremidades distam de𝐿,ficará confinadaapropagar-senuma região limitadado espaço.Ao chegar aumadasextremidadesaondaéreflectidaeinterferecomaporçãodaondaqueviajaparaaquelaextremidade.Dasobreposiçãodestasduasondasquesepropagamnamesmadirecção,masemsentidosopostos,surgeemgeralumpadrãoirregular,variávelnoespaçoenotempo.Contudo,seacordavibrarcomumafrequênciaadequada,épossívelobterumaonda estacionária, i.e., uma onda em que cada um dos pontos da corda tem umaamplitudeconstante.Consideremosumaondaharmónica,quesepropaganumacorda,paraadireita,comavelocidadev.Descritapelaequação𝑦B(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔𝑡)(3)

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Consideremosagoraumaoutraondaharmónica, idêntica,quesepropaganacordaemsentidocontrário,descritapor𝑦/(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)(4)Aondaresultanteserá,peloprincípiodasobreposição,asomadaquelasduasondas,i.e.,𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦B(𝑥, 𝑡) + 𝑦/(𝑥, 𝑡)(5)ouseja𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 sin(𝑘𝑥)cos(𝜔𝑡)(6)A onda descrita pela equação (6) designa-se por onda estacionária e tem duascaracterísticasinteressantes:1. Cada posição𝑥F da corda oscila verticalmente, ao longo do tempo, de formasinusoidal,deacordocomaequação𝑦(𝑥F, 𝑡) = 2𝐴 sin(𝑘𝑥F)cos(𝜔𝑡)(7)2. Num determinado instante de tempo,𝑡F,capturado, por exemplo, através de umafotografia instantânea da corda, esta apresenta a forma espacial de uma sinusoidedescritapor

𝑦(𝑥, 𝑡F) = 2𝐴 cos(𝜔𝑡F) sin(𝑘𝑥)(8)Setirarmosfotografiassucessivasdasoscilaçõesdacordaeassobrepusermos,obtemosumafiguracomoaspectosemelhanteaorepresentadonafigura1.

Fig.1Representaçãoesquemáticadeumdosmodosdevibraçãodeumacordacomasextremidades fixas. No momento inicial a corda tem o comprimento dado peloafastamentoentreasduasextremidadesdesuporte.A equação (6)mostra que nasposições𝑥Gonde se verifica a relação𝑘𝑥G = 𝜋𝑛, (𝑛 =

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0, 1, 2, 3, . . . ),asamplitudesdeoscilaçãosãonulas,i.e.,ospontos𝑥G =1/𝑛sãoosnodos

dacorda.Seadistânciaentreosdoisextremos(fixos)dacorda for𝐿,entãoosc.d.o.’s𝜆G,correspondentesaondasestacionárias,devemverificaracondição𝜆G =

/MG(9)

Esta equação mostra que existem𝑛(= 1, 2, 3, … )modos de vibração estacionária dacorda compatíveis com a distância𝐿,entre os pontos de fixação das extremidades dacorda.Apartirdasequações(2)e(9)obtemosasfrequênciasdeoscilação𝑓G =

<P/0= 𝑛 Q

/M(10)

ouainda

𝑓G =R/M >

3?@= 𝑛𝑓B(11)

Verifica-se assim que, dependendo da tensão𝑇# aplicada à corda, da sua densidadelinear𝜌, e do seu comprimento em repouso,𝐿, poderão ser observados modos devibraçãodeacordocomaexpressão(11)paravalores𝑛 = 1, 2, 3, 4…Estesmodosdevibração podem ser excitados externamente e correspondem a situações em que aamplitudedeoscilaçãoémáxima.As frequênciasque lhescorrespondemdesignam-seporfrequênciasderessonância.Omododefrequênciamaisbaixo(n=1)designa-sepormodo fundamental de ressonância. Os outrosmodos de vibração sãomúltiplos de𝑓Bedesignam-seporharmónicasdeordemn.Paracadac.d.o. 𝜆G,ospontos𝑥T cujaamplitudedeoscilaçãoémáxima,designadosporanti-nodos,estãosituadosameiocaminhoentredoisnodosconsecutivosouseja𝑥T = (2𝑙 + 1)

1PV(𝑙 = 0, 1, … . , 𝑛 − 1).(12)

Istomostra que a harmónica de ordem𝑛terá𝑛anti-nodos e(𝑛 + 1) nodos. Na Fig. 1mostra-seumaondaestacionáriadec.d.o.𝜆 = 𝐿.2.Trabalhoexperimental

Amontagemautilizarneste trabalho, ilustradanaFig.2,permiteajustara tensãoeotipode excitação aque se sujeitamas cordasmetálicas, semelhantes àsutilizadas emguitarras.As cordas sãomontadasnum banco onde a tensão é controlada atravésdocorrectoposicionamentodeumamassanumadasextremidadesdacorda.NaFig.2podever-seumamassasuspensanocantoinferiordireito.Acordapodesersubmetidaaváriostiposdeforçaexcitadora,quepodeserumaforçamecânica aplicada directamente na corda ou ainda uma força magnética, aplicadaatravésdeumdispositivode excitaçãodesignadoporDRIVER.A vibraçãoda corda é

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detectada com um sensormagnético, designado porDETECTOR, constituído por umapequena bobine posicionada noutro ponto do banco damontagem. Como a corda seencontrafixanasduasextremidades,podemosobservarondasestacionáriasparacertasfrequênciasde excitaçãodamesma.Estasondaspermanecemenquantodurara forçaexcitadora.

Fig.2Fotodamontagemdotrabalhodacordavibrante

Fig.3Esquemadamontagemdesuporteeexcitaçãodacordavibrante2.1Materialparaotrabalhoexperimental:

1.Basede fixação, incluindoumaescalagraduadaeumaparelhode força,constituídoporumbraçoeumparafusodeajustedatensãonacorda.2.Doissuportesdefixação3.Cordadeguitarracomdensidadelinearnominalρ=1,84g/m.4.Duasbobinas:-“DRIVER” (dispositivodeexcitação),quepermite induziroscilaçõesna corda e excitar os seus modos de vibração;- “DETECTOR” (sensor), que permitedetectaraamplitudedosmodosdevibração.5.Massadevalor𝑚 = 1𝑘𝑔.6.Geradordesinais.

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7.Osciloscópio.2.2 Montagemexperimental

1) Acordadeveserinstaladasobreabasedaexperiência,ficandopresanumdoslados ao cilindro cuja posição é controlada pelo parafuso de ajuste (ladoesquerdodabase,nafig.4)edooutroladoaobraçoondesesuspendeamassa.

2) A corda fica apoiada em dois suportes colocados sobre a escala graduada dabase, osquaisdevemdistar,𝐿 = 60𝑐𝑚,(suporteda esquerdanaposição𝑥 =10𝑐𝑚;suportedadireitanaposição𝑥 = 70𝑐𝑚;verfig.4).

3) A massa𝑚deve ser colocada numa das posições𝑝 = 1, 2, 3, 4, 5do braço dabase(Fig.4),consoanteatensão𝑇# = 𝑚𝑔𝑝,(𝑔 = 9,8𝑚𝑠a/)aquesepretendesujeitaracorda(Fig.5).

4) O sinal do geradorde sinaisdeve alimentar o “DRIVER” e ser introduzido nocanal1doosciloscópio(Fig.4).Osinaldo“DETECTOR”deveserintroduzidonocanal2doosciloscópio.

Fig.4Esquemadamontagemexperimental,incluindoligaçõeseléctricas

Fig.5Aparelhodeforçaparaajustedatensãodacorda.Atensãoaplicadaàcorda𝑇# =𝑚𝑔𝑝,éfunçãodaposição,𝑝,damassa

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2.1 Determinação da frequência do modo fundamental e da velocidade depropagaçãoemfunçãodatensãoaplicadaàcordaParamedirafrequênciadomodofundamentalderessonânciadacorda,emfunçãodatensãoaplicada𝑇# ,eparaumcomprimento𝐿 = 60𝑐𝑚,procedadoseguintemodo:1) Suspenda a massa na posição𝑝 = 5, correspondente à maior tensão aplicada àcorda.Ajusteoparafusodeformaqueobraçodabaseondesuspendeuamassaestejanahorizontal.2) Coloque as 2 bobinas sobre o suporte. Posicione o “DRIVER” a5𝑐𝑚de um dossuporteseo“DETECTOR”nopontomédiodacordaentreosapoios.3)Ligueogeradordesinaiseoosciloscópio.Seleccioneogeradordesinaisparaondassinusoidais com uma frequência próxima da que seria esperada teoricamente paraaquela tensão aplicada (consultar coluna 3 do Quadro 1). Ajuste a escala doosciloscópioentre0,1–0,5𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜nocanal1eentre10– 50𝑚𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜nocanal2.ColoqueoosciloscópioemmodoX-Y.

Fig.6Imagensdogeradoredoosciloscópioutilizadosnotrabalho.OsciloscópiomostraumafiguradeLissajous,obtidaemmodoX-Yquandoossinaiseléctricosdoscanais1e2têmamesmafrequência.4) Coloque a corda em vibração dedilhando-a suavemente no pontomédio, junto aodetector. Ajuste lentamente a frequênciado gerador, aumentando-a ou diminuindo-a,atéobservarumafigurasemelhanteaumaelipsenoosciloscópio(Fig.6).Confirmequeparafrequênciasmenoresqueessanãoencontraoutrasituaçãosemelhante.5)ColoqueoosciloscópioemmodoTEMPOeconfirmeoaumentodaamplitudedosinaldo“DETECTOR”(canal2),correspondenteàsituaçãoderessonância,i.e,determinequalafrequênciaquemaximizaaamplitudedeoscilaçãodacorda.6)Registeasfrequênciasmedidasnogeradornacoluna5doQuadro1.7) Repita o procedimento 4) - 6) para as outras posições𝑝 = 4, 3, 2, 1da massa, nobraçodabase.8) Use o computador que está junto damontagem para gerar, numa folha Excel, umgráficodafunção𝑓B(𝑇#)comoconjuntodepontosexperimentais.Ajusteumafunçãodotipo“power”(potência)aessespontosexperimentais,eutilizeosparâmetrosdeajuste

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paraestimaradensidadelineardacorda.2.2DeterminaçãodafrequênciadevibraçãodomodofundamentalderessonânciaemfunçãodocomprimentodacordaPretende medir-se a frequência do modo fundamental de ressonância da corda, emfunçãodatensãoaplicadamínima(𝑇# = 𝑚𝑔;massanaposição1),paracincovaloresdocomprimento𝐿dacorda.1) Suspenda a massa na posição𝑝 = 1, correspondente à menor tensão aplicada àcorda.Ajusteoparafusodeformaqueobraçodabaseondesuspendeuamassaestejanahorizontal.2)Mova5𝑐𝑚osuportedefixaçãodadireita,queseencontrajuntodobraçodabase,daposição𝑥 = 70𝑐𝑚paraaposição𝑥 = 65𝑐𝑚.3)Reposicioneas2bobinassobreosuporte.Mantenhao“DRIVER”a5cmdeumdossuportesecoloqueo“DETECTOR”nopontomédiodacordaentreosapoios.4)Sigaoprocedimentodescritonospontos4)-5)daparte2.1dotrabalho.5) Repita asmedições paradiferentesposições do suporte da direita (movendo-o de5𝑐𝑚em5𝑐𝑚,atéàposição𝑥 = 50𝑐𝑚)edo“DETECTOR”(semprecolocadonopontomédiodacordaentreosapoios).Registeasfrequênciasobtidasnacoluna4doQuadro2.6) Use o computador que está junto damontagem para gerar, numa folha Excel, umgráficoda função𝑓B(𝐿),comoconjuntodepontosexperimentaiseajusteuma funçãodo tipo “power” (potência) a esses pontos experimentais, e utilize os parâmetros deajusteparaestimaradensidadelineardacorda.2.3Determinaçãodasfrequênciasdevibraçãodemodossuperiores(harmónicas)Pretende-semedir as frequênciasdosmodos superiores (harmónicas)de vibraçãodacorda, com tensão aplicada mínima ( 𝑇# = 𝑚𝑔 ; massa na posição 1) para umcomprimento𝐿 = 60𝑐𝑚.1)Calculeasfrequênciasda2ª,3ªe4ªharmónicasanotandooseuvalornacoluna1doQuadro3.Calculeosc.d.o.’scorrespondenteseanote-osnacoluna2domesmoQuadro.2)Coloqueosuportedefixaçãodadireitanaposição𝑥 = 70𝑐𝑚.3) Coloque o “DRIVER” numa posição correspondente a (10+ 𝜆//4 )(cm) e o“DETECTOR”numaposiçãocorrespondentea(10 + 𝐿 − 1j

V)(𝑐𝑚).

4) Esboce a forma de onda correspondente à oscilação da corda entre os pontos deapoio,nestecaso.5)Repita ospontosanteriores,movendoo “DRIVER”para𝜆G/4e o “DETECTOR”para

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(10 + 𝐿 − 𝜆G/4)(cm) e reajustando a frequência do gerador, de forma a excitar edetectar as harmónicas de ordem 3 e 4 de vibração da corda. Para cada harmónicaesboceaformadeondacorrespondenteàoscilaçãodacordaentreospontosdeapoio.