Mecânica Fundamental. Conceitos Fundamentais espaço. tempo. sistema de coordenadas. x, y, z. r,...
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Mecânica Fundamental
Conceitos Fundamentais
• espaço.• tempo.
sistema de coordenadas.x, y, z.r, , .
z
x
y
r
Partícula ou ponto de massa
• tem massa mas não extensão espacial.
Grandezas Físicas e Unidades
A unidade padrão de comprimento é o metro.m
A unidade padrão de massa é o quilograma.kg
A unidade padrão de tempo é o segundo.s
quilograma.
1.000.00segundo.
Grandezas Escalares e Vetoriais
•Escalar.(densidade, volume e temperatura.)
•Vetores.(deslocamento espacial)
Vetores
Se A é o deslocamentode P1(x1, y1, z1)
entãoAx = x2 - x1Ay = y2 - y1Az = z2 - z2
a P2(x2, y2, z2)
Definições Formais e Regras
[Ax, Ay, Az] = [Bx, By, Bz]
Ax = Bx Ay = By Az = Bz
Adição
= [soma 1º, soma 2º, soma 3º]
Multiplicação por um Escalar
Subtração de Vetores
O Vetor Nulo
A Lei Comutativa da Adição
Exemplo:
A Lei Associativa
= [Ax + (Bx + Cx), Ay + (By + Cy), Az + (Bz + Cz)]
= [(Ax + Bx) + Cx, (Ay + By) + Cy, (Az + Bz) + Cz ]
A Lei Distributiva
= c[Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz]
= [c(Ax + Bx), c(Ay + By), c(Az + Bz)]
= [cAx + cBx, cAy + cBy, cAz + cBz]
Módulo de um Vetor
Vetores Unitários
= [Ax, Ay, Az]
= [Ax, 0, 0] + [0, Ay, 0] + [0, 0, Az]
= Ax [1, 0, 0] + Ay [0, 1, 0] + Az [0, 0, 1]
Significado Geométrico das Operações Vetoriais
Igualdade de Vetores
A = BABBy
Ay
Ax
Bx
y
xO
A
B
Ay
Ax
By
Bx
C
A
B
C = A+B = B+A
x
y
O
O negativo de um vetor.
A-A
A
A
A
3A
O Produto Escalar
Assim:
= Ax(Bx + Cx) + Ay(By + Cy) + Az (Bz + Cz)
= AxBx + AyBy + AzBz + AxCx + AyCy + AzCz
Definição alternativa do produto escalar.
Exemplos do Produto Escalar
F
S
Módulo:
Ortonormalidade de uma base:
Trabalho:
Lei dos Cossenos
O Produto Vetorial
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
i j
Ax Ay
Bx By
Pode-se mostrar que:
Pode-se mostrar que:
i
j k
i j k
1 0 0
0 1 0
Interpretação Geométrica do Produto Vetorial
Ortogonalidade do produto vetorial
= AxCx + AyCy + AzCz
= Ax (AyBz - AzBy) + Ay (AzBx - AxBz) + Az (AxBy - AyBx)= AxAyBz - AzBy Ax + AyAzBx - AxBz Ay + AzAxBy - AyBx Az
= 0
= (2)(1) + (1)(−1) + (−1)(2)= 2 − 1 − 2= −1
(2) (1) (−1)
(1) (−1) (2)
Ângulo entre A e B
Torque ou Momento da Força
rF
P
O
Cossenos diretores
Ex: seja n unitario de A
Ex: encontrar o unitário perpendicular aos vetores
Produtos Triplos
Comutando duas linhas
Prove que:
Aula 2
Derivada de vetores
Integral de vetores
Transformações de sistemas de coordenadas
Velocidade relativa
Aceleração normal e tangencial
SS’
x
y
z
x’
y’
z’
45º
45º
Derivada de um Vetor
Vetor Posição de uma Partícula
O x
y
z
ix
jy
kz
r
O Vetor Velocidade
r
r+r
r
v
OP
P’
P’’
P’’’
P (4)
P(5)
Vetor Aceleração
Exemplo:
Exemplo:
Integração Vetorial
Exemplo:
v2v1
Velocidade Relativa
r2r1
r12
v12
O
y
x
v0
O
v0
P
P
s
s
r
ϕ
C
vrel
vrel
vrel
vrel
v0v0
v0
v0
v0
vrelvrel
vrel
vrel
v0v0
v0
v0
v0
v
v = 2 v0
v
v =0
v
y
x
C
P
v0
vrelvrel v
v0
b
O
y
x
C P
v0
vrelv
v0
t=0
O
Derivadas de Produtos de Vetores
+_
+
+
Componentes Normal e Tangencial da Aceleração
CS
n
n’
P’
P
’
Esta apresentação foi desenvolvida pelo
Prof. Gustavo de Almeida Magalhães Sáfar
e corrigida, conferida e ampliada pelo
Prof. João Francisco C. Santos Jr.
no Departamento de Física do Instituto de Ciências Exatas
da Universidade Federal de Minas Gerais.