Mecânica Quântica

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Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ 1º período letivo, 2014

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Mecânica Quântica. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ. Carlos Eduardo Aguiar. 1º período letivo, 2014. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica. Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade - PowerPoint PPT Presentation

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Mecânica Quântica

Carlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ

1º período letivo, 2014

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Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade

• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

Carlos Eduardo
- Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria.- Como veremos é possível minimizar a carga matemática, reduzindo-a a vetores e um pouco de números complexos, concentrando a atenção nos aspectos conceituais desde o início.- Abordagem de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é essencial.Dificuldades não se esgotam na lista apresentada: interpretações da MQ, análise funcional, ...
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.

• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.

• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.

• G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000.

• M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.

• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.• E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization

understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002.

• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.

• R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.

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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.

• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.

• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007.

• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.

• C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008.

• L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009.

• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.

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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics

Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching

methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic

categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 020113, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012.

• O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013.

• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.

• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.

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Leituras recomendadas

• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.• T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003.• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP,

2006.• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002.  • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-

Wesley, 2012.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.

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Simulações

• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/

• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm

• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html

• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html

• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html

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Internet

• Quantum Physics (IoP)http://quantumphysics.iop.org/

• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter

• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall

• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall

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Sumário

1. Fenômenos quânticos2. Princípios da mecânica quântica3. Sistemas quânticos simples: aplicações4. Realismo, contextualidade e não-localidade5. Partículas idênticas6. Operadores, autovalores e autovetores7. Simetrias8. Posição e momentum9. Partícula em uma dimensão

não estão nestas notas

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Charles Addams, New Yorker, 1940

Fenômenos Quânticos

Carlos
Charles Addams foi o autor da Família Addams.
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Um experimento com a luz

feixe luminoso pouco intenso

semiespelho (50-50%)

espelho

espelho

detetores de luz D1

D2

Carlos Eduardo
Os dois espelhos são desnecessários. Estão aí por causa da próxima montagem, o interferômetro.
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Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.

D1

D2

D1

D2

ou

50% 50%probabilidade

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Se a luz fosse uma onda

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.

D1

D2

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Se a luz é composta por partículas

... ou D1 dispara, ou D2 dispara.

ou

D1

D2

D1

D2

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Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.

caminho 2

caminho 1

D2

D1

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O experimento de Grangier, Roger & Aspect

• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.

• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.

ν1

ν2

átomo de cálcio τ = 4,7 ns

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O experimento de Grangier, Roger & Aspect

w = 9 ns

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

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Resultado do experimento de Grangier et al.

Carlos Eduardo
Px = Nx/N1, x=c,r,t alfa = Pc / (Pr*Pt)Se não há correlação entre os disparos dos detetores, Pc = Pr*Pc e alfa = 1Ver a ótima discussão em Greenstein e Zajonc, cap.2.
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Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)

Carlos Eduardo
No livro de Bacciagaluppi e Valentini, Quantum Mechanics in the Crossroads, há uma descrição da discussão sobre o trabalho de Schroedinger no Congresso de Solvay em 1927, ao final da palestra de de Broglie.
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Outro experimento com a luz

interferômetro de Mach-Zehnder

D2

D1

segundosemiespelho

feixe luminoso“fóton a fóton”

Carlos Eduardo
Não é mais possível determinar o caminho do fóton.
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Preliminares: um feixe bloqueado

1

2

50%

25%

25%

Carlos Eduardo
Os detetores nunca disparam em coincidência.
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O outro feixe bloqueado

1

2

50%

25%

25%

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Resultado fácil de entender com partículas

= caminho do fóton

1

2

50%

25%

25%

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De volta ao interferômetro

D1

D2

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Resultado do experimento:

0%

100%D1

D2

Carlos Eduardo
É sempre possível balancear o inteferômetro para que isso ocorra. O caso geral será tratado mais à frente.Enfatizar o 0% -- a abertura de um novo caminho diminui o número de partículas em D2.
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Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos

caminho 1 caminho 2

1

25%

25%2

25%

25%

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

Carlos Eduardo
O primeiro experimento "mostrou" que 50% dos fótons seguem o caminho 1 e 50% o caminho2.
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)2(D

)1(DD nnn

PPP

probabilidade dodetetor Dn disparar apenas o caminho

1 aberto

apenas o caminho 2 aberto

Proposição:*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência:

* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

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Teste da Proposição

Experimentalmente:

)2(D

)1(DD nnn

PPP

%100P1D

%25P )1(D1

%25P )2(D1

%25P )1(D2

%0P2D

%25P )2(D2

a proposição é falsa!

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Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”

é falsa.

“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

Carlos Eduardo
… a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics.
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Por onde vai o fóton?

1 e 2

ou 1 ou 2

nem 1 nem 2

1 2

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Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.

• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.

Carlos Eduardo
Passa pelas 2 fendas:- Bohm: a função de onda faz isso.- Everett: uma fenda em cada universo?
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Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.

Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics

(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)

Carlos Eduardo
Ver a ótima discussão em:C. N. Villars, Observables, states and measurements in quantum physics, Eur. J. Phys. 5 (1984) 177A citação de Heisenberg é- W. Heisenberg (1927), The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.62
Carlos Eduardo
Experimentos de escolha retardada e o apagador quântico mostram que esse é uma opção melhor que a dos "2 caminhos".Momento certo para discutir esses experimentos.
Carlos Eduardo
Pelo menos para Bohr e Heisenberg.
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Fácil de entender num modelo ondulatório

D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

Carlos Eduardo
A onda segue os dois caminhos.
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Comprimentos variáveis

L1

L2

PD2

PD1

L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro

Carlos Eduardo
É possível alternar interferência construtiva e destrutiva no mesmo detetor, mudando o comprimento dos braços do interferômetro.De maneira mais geral, pode-se mudar o caminho ótico.
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Resultado experimental:

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.

• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.

L1 – L2

0

1PD1

L1 – L2

1

0

PD2

(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD

(2))

Carlos Eduardo
As probabilidades dependem apenas de L1-L2, não de L1+L2.Mais evidência de que o fóton não segue ou por 1 ou por 2.
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

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O experimento de Grangier, Roger & Aspect

L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)

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Interferência de nêutrons

interferômetro de nêutrons

S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

Carlos Eduardo
Como o nêutron que segue o caminho II sabe a densidade do gás no caminho I ?
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Interferência de átomos

interferômetro de átomos

A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)

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Interferência de elétrons

A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

Carlos
The number of electron accumulated on the screen. (a) 8 electrons; (b) 270 electrons; (c) 2000 electrons; (d) 160,000. The total exponsure time from the beginning to the stage (d) is 20 min.
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E se os caminhos forem distinguíveis?

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

diferença de “caminhos” (ajustável)

interferênciadesaparece !

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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 43

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

E se os caminhos forem distinguíveis?

N Massa

• Massa = 0• caminho

identificado• não há padrão de

interferência

• Massa ∞• caminho não

identificado• padrão de

interferência

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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 44

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho

interferência

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Quando há interferência?

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência(“1 e 2”)

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

não há interferência

Carlos Eduardo
Algo pode acontecer de 2 maneiras e o experimento não permite determinar qual delas ocorreu.Segundo Heisenberg e Bohr, nesse caso não faz sentido se dizer que uma delas ocorreu.O que interfere? Veremos ao discutir amplitudes de probabilidade.
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Princípios da Mecânica Quântica

Carlos Eduardo
A mecânica quântica não é estranha e pouco intuitiva por opção de seus criadores.A natureza é que estranha e pouco intuitiva, como mostraram os experimentos anteriores.Um dos princípios da MQ é que estados como o do gato vivo e morto não são possíveis.
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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 47

Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição

• A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza

• Colapso do vetor de estado

• Evolução unitária

• Sistemas de N estados

• Sistemas compostos. Emaranhamento

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Vetores de Estado e o

Princípio da Superposição

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Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1

Carlos Eduardo
O sistema mais simples possível, sem ser trivial.Vários prêmios Nobel dados ao estudo de sistemas desse tipo.Informação sobre o estado ocupa 1 bit.
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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 50

Sistemas de dois estados

cara coroa

fóton refletido

fóton transmitido

Carlos Eduardo
Clássico (moeda): ou 1 ou 2Quântico (fóton): pode ser 1 e 2
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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 51

Sistemas de dois estados

A = ? a2a1

2

1

aa

Agrandeza física observável:

a2a1

a2a1medidor de “A”

ou

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Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”

Aa1 a2

sistema temA = a1

sistema temA = a2

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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 53

Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões

1a

2a

sistema temA = a2

sistema tem A = a1

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A notação de Dirac

vetor ↔

identificação

21 aa

direitaesquerda

10

exemplos:

Carlos Eduardo
O colchete |> tem papel semelhante à seta na notação vetorial usual.Dirac chamou esses vetores de ket.Existem também os vetores bra.
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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 55

O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

1a

2a

Aa1 a2

O que muda é o seguinte:

?

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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 56

O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema.

2211 acac

1a

2a

Carlos Eduardo
Qualquer vetor do plano varrido por |a1> e |a2> representa um estado físico do sistema.Estado físico quer dizer um estado que pode ser preparado por um dado aparato experimental.O vetor de estado representa toda a informação que é possível ter sobre o sistema.
Page 56: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 57

Significado de |ñ

• A = a1 e A = a2 ?• esquerda e direita?• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?1a

2a

Page 57: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 58

O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a1ñ e |a2ñ formam uma “base” do espaço de estados.

1a

2a

Carlos Eduardo
Definir base do espaço de estados.Mencionar que o espaço de estados é um espaço de Hilbert.
Page 58: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 59

Princípio da Superposição: formulação geral

Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do

sistema.

Page 59: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 60

Uma complicação

• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:

1a

2a

c2

c1

Page 60: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 61

Outras complicações

• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?

1a

2a

?

Page 61: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 62

Produto escalar

O produto escalar |ñ dos vetores |ñ e |ñ é um número complexo com as seguintes propriedades:

1. |ñ = |1ñ + |2ñ |ñ = |1ñ + |2ñ

2. |ñ = c |ñ |ñ = c |ñ

3. |ñ = |ñ* (* indica o conjugado complexo)

4. |ñ 0 (note que (3) implica em |ñ real)

5. |ñ = 0 |ñ = 0 (“0” é o vetor nulo)

Page 62: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 63

Produto escalar

Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como

1. | 1+2ñ = |1ñ + |2ñ

2. | c ñ = c |ñ

Page 63: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 64

Produto escalar

• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.

• Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:

c |ñ = c* |ñ

Page 64: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 65

Ortogonalidade

Os vetores |ñ e |ñ são ortogonais se seu produto escalar é zero:

0

Page 65: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 66

Norma

A norma |||| do vetor |ñ é definida por

• |||| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ñ

• |ñ = c |ñ |||| = |c| ||||• |||| = 0 |ñ = 0• outra notação: || |ñ || ||||

Page 66: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 67

O produto escalar em termos das componentes

2211

2211

adad

acac

121*2212

*1222

*2111

*1 aacdaacdaacdaacd

• Usando as propriedades (1), (2) e (3):

• Como |a1ñ e |a2ñ são ortogonais, a1|a2ñ = a2|a1ñ = 0 e portanto

222*2111

*1 aacdaacd

• Como |a1ñ e |a2ñ têm comprimento unitário, a1|a1ñ = a2|a2ñ = 1, temos finalmente que:

2*21

*1 cdcd

Carlos Eduardo
Definir "base ortonormal" do espaço de estados.
Page 67: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 68

As componentes em termos do produto escalar

2211 acac

2121111 aacaaca

• Usando as propriedades (1) e (2) temos

• Como a1|a1ñ = 1 e a1|a2ñ = 0,

11 ac• Da mesma forma,

22 ac

2,1n,ac nn • Ou seja:

Page 68: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 69

A norma em termos das componentes

2*21

*1 cdcd

22

212

*21

*1 cccccc

22

21 cc

Page 69: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 70

A Regra de Born

Page 70: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 71

A Regra de Born

2211 acac

1a

2a

c2

c1

A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é

22

21

2n

ncc

c)a(P

(n = 1, 2)

Page 71: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 72

A Regra de Born

2211 acac

|ñ a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

22

21

21

1cc

c)a(P

22

21

22

2cc

c)a(P

Carlos Eduardo
Apesar de sabermos tudo que é posssível saber sobre o estado do sistema (o vetor de estado psi), é impossível prever o resultado da medida de A.Podemos prever apenas a probabilidade de um dado valor de A ser encontrado.
Page 72: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 73

A regra de Born

2

2n

n

a)a(P

Como

e

a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:

nn ac

22

21 cc

Page 73: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 74

Probabilidade total

Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.

1cc

ccc

c)a(P)a(P 2

22

1

22

22

21

21

21

A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)

Page 74: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 75

Normalização do vetor de estado

2211 acac 2211 acac

|ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

)a(Pcc

ccc

c)a(P n2

22

1

2n

22

21

2n

n

Page 75: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 76

Normalização do vetor de estado

Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado

físico.

Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1

1cc,acac 22

212211 ou seja,

1aa 21 Note que |a1ñ e |a2ñ já estão normalizados:

Page 76: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 77

2nn c)a(P

Vetores normalizados: a Regra de Born

2211 acac

a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

211 c)a(P

222 c)a(P

(normalizado)

Page 77: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 78

Vetores normalizados: a Regra de Born

Em termos do produto escalar, se |ñ está normalizado a probabilidade é dada por:

2nn a)a(P

Page 78: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 79

Amplitude de probabilidade

cn = an|ñ amplitude de probabilidade

probabilidade = |amplitude de probabilidade|2

nn x)x(função de onda:

2nn )x()x(P

Page 79: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 80

Amplitude de probabilidade

De forma mais geral:

• |ñ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |ñ, para um sistema no estado |ñ

• P( ) = ||ñ|2 = probabilidade de uma medida resultar em |ñ, para um sistema no estado |ñ

• P( ) = P( ) embora |ñ |ñ (|ñ = |ñ*)

Page 80: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 81

Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A(N )

a2a1

a2a1

a2a1

N1 a1

N2 a2

podemos prevera frequência dos

resultados:

211

1 c)a(PNN

222

2 c)a(PNN

2211 acac

Carlos Eduardo
É impossível prever o resultado da próxima medida. Apenas a frequência com que certo resultado aparece em um número grande de medidas pode ser prevista.
Page 81: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 82

Valor médio dos resultados

valor médio de A:

NaNaNA 2211

a2a1

a2a1

a2a1

2211 acac

22

212

1 acacA

Page 82: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 83

Incerteza

2211 acac

possível prever o resultado(probabilidade = 100%):

valor de A “bem definido”

1a

2a

c2

c1

c1, c2 0

impossível prever o resultado de uma medida

0c,1ca 211 ouSe

1c,0ca 212

Page 83: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 84

Incerteza

2211 acac

A = incerteza de A no estado |ñ

2222 AAAA)A(

1aou

2aA = 0

Carlos Eduardo
Desvio padrão das medidas.
Carlos Eduardo
Demonstração:Delta_A = |c1| |c2| |a1-a2|
Page 84: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 85

Complementaridade e o

Princípio da Incerteza

Page 85: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 86

Complementaridade

a2a1

B

A

b2b1

1a

2a

2b

1b

duas grandezasfísicas: A e B

Page 86: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 87

Grandezas compatíveis e incompatíveis

1a

2a

1b

2b

2b

1b

2a

1a

A e B compatíveis

A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

Carlos Eduardo
Estados degenerados complicam essa caracterização de (in)compatibilidade.
Page 87: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 88

O Princípio da Incerteza

2b

1b

2a

1a

A e B incertos ( A 0, B 0)

A bem definido, B incerto( A = 0, B 0)

B bem definido, A incerto( B = 0, A 0)

Page 88: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 89

O Princípio da Incerteza

2b

1b

2a

1a

A e B incompatíveis nenhum estado |ñ com A = 0 e B = 0

Page 89: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 90

Exemplo: posição e momentum

Xx1 x2

duas posições: |x1ñ, |x2ñ (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p1ñ, |p2ñ (“repouso”, “movimento”)

2p 1p2x

1x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Carlos Eduardo
X e P são complementares.Demonstração: P é o gerador das translações em X.Uma extensão dessa definição de complementaridade: a dualidade onda-partícula. É impossível realizar um experimento onde aspectos ondulatórios e corpusculares são ambos observados.
Page 90: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 91

Resumo da “cinemática” quântica

estado físico vetor no espaço de estados

grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no

espaço de estados

Page 91: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 92

Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1

ou A = a2

grandezas físicasincompatíveis

(complementares)

diferentes sistemas de eixos no espaço

de estados

2a

1a

projeção do vetor de estado no eixo |anñ

probabilidade damedida resultar

em A = an

Page 92: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 93

• “Colapso” durante uma medida• Evolução unitária (equação de

Schroedinger)

Como o vetor de estado muda com o tempo?

Page 93: Mecânica  Quântica

Colapso do Vetor de Estado

Page 94: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 95

Colapso do vetor de estado

a2a1

a2a1 2a

antes damedida

depois damedida

Page 95: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 96

Colapso do vetor de estado

1a

2a

resultadoA = a2

resultadoA = a1

medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |anñ

Carlos Eduardo
Postulado
Page 96: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 97

Colapso do vetor de estado

• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an ñ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.

• |ñ |anñ: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais

fóton após a primeira medida.– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm

resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.

Carlos Eduardo
Sobre o colapso, ver:-- Peres, sec. 2-2 e cap. 12-- Muynck, sec. 1.6-- Ballentine, sec. 9.3-- Nielsen e Chuang, secs. 2.2.4 e 2.2.5 (POVM)Sobre o ensino do colapso:M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009
Page 97: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 98

Medidas simultâneas de duas grandezas

a2a1

b2b1

(A, B)

( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0)

Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |ñ com A = 0 e B = 0.

É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

Carlos Eduardo
Ver D. Gillespie, A Quantum Mechanics Primer, p.62 (The compatibility theorem) para uma definição operacional de compatibilidade (ou melhor, de mensurabilidade simultânea).É claro que é sempre possível medir A e B simultaneamente, mas a medida não será reprodutível, ou não será exata. Detectores com resolução finita podem realizar medidas simultâneas de grandezas incompatíveis.Dualidade onda-partícula: experimentos incompatíveis.
Page 98: Mecânica  Quântica

Evolução Unitária

Page 99: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 100

A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:|(0)ñ |(t)ñ

• Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante).

Page 100: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 101

A (solução da) equação de Schroedinger

2E

1E

Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2

2211 EcEc)0t(

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21

Page 101: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 102

• ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas:

• A evolução |(0)ñ |(t)ñ ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).

/tEinn

nec)t(c

A (solução da) equação de Schroedinger

Carlos Eduardo
Primeira aparição da constante de Planck.Dinâmica: tempo, energia (grandezas dimensionais)[h] = Joule x segundoA constante de Planck separa sistemas quânticos de clássicos.
Page 102: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 103

Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade:

)t()0(

)t()0(

bb

aa

)0()0()0( ba

)t()t()t( ba

t = 0 t 0

Page 103: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 104

Demonstração da linearidade

2211b

2211a

EdEd)0(

EcEc)0(

222111

ba

E)dc(E)dc(

)0()0()0(

)t()t(

EecEecEecEec

Ee)dc(Ee)dc()t(

ba

2/tEi

21/tEi

12/tEi

21/tEi

1

2/tEi

221/tEi

11

2121

21

Page 104: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 105

Propriedades da equação de Schroedinger

• Conservação da norma do vetor de estado:

)0()t( )t(

)0(

• Conservação da ortogonalidade entre vetores:

tamanho não muda

)0(

)t(

)0()t(

dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares

Page 105: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 106

Conservação do produto escalar

2/tEi

21/tEi

1

2/tEi

21/tEi

1

EedEed)t(

EecEec)t(21

21

2*21

*1

/tEi2

/tEi*2

/tEi1

/tEi*1

cdcd

)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211

)0()0()t()t(

conservação da norma:

conservação da ortogonalidade:

)0()t(

0)t()t(0)0()0(

Page 106: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 107

• Determinismo• Continuidade• Linearidade• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade

Propriedades da equação de Schroedinger

“evolução unitária”

Carlos Eduardo
Implementada matemáticamente por matrizes unitárias.
Page 107: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 108

Estados estacionários

• |(0)ñ e |(t)ñ representam o mesmo estado físico.

• Estados de energia bem definida são “estacionários”.

nE)0( n/tEi Ee)t( n

mesma “direção” que |Enñ

• Estado de energia bem definida En:

Page 108: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 109

Conservação da energia

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21

2n

2/tEinn cec)t,E(P n

)0()t(EE

)0t,E(P)t,E(P nn

22

212

12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE

Carlos Eduardo
Pergunta: se a energia não for bem definida, que significado tem a conservação da energia?
Page 109: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 110

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida

• Colapso do vetor de estado:– descontínuo– probabilístico– ocorre durante a medida

Carlos Eduardo
Eq. de Schroedinger: só vale quando não se está olhando.Reversível X irreversível.A medida não revela o estado anterior a ela, mas o estado posterior. Não aprendemos sobre o passado, mas sobre o futuro.
Page 110: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 111

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?• Equação de Schroedinger:

– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.

– A = a1 e A = a2

• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2

Carlos Eduardo
Aparelhos de medida não têm superposições quânticas.
Page 111: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 112

O “problema da medida”Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2a1 a2a1 a2a1

Descrição quântica do aparelho de medida:

| ñ| ñ | ñ

22 aa

11 aa 22112211 acacacac

equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !

aparelho de medida:

Carlos Eduardo
Se o aparato é um bom aparelho de medida, o lado esquerdo deve ocorrer.Se ele é regido pela eq. de Schroedinger, o lado direito também ocorre.
Carlos Eduardo
O ponteiro nunca é encontrado nessas superposições.Sistema "clássico".
Page 112: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 113

O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em

duas direções ao mesmo tempo.– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos?

Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.

Page 113: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 114

Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,

não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em

uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement

Page 114: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 115

Física quântica x física clássica

físicaquântica

físicaclássica

…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

Page 115: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 116

Sistemas de N Estados

Você está emtodo lugar

Carlos Eduardo
Onipresença quântica
Page 116: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 117

Sistemas de 3 estados

2a

1a

3a

a3a1a2

332211 acacac

Três valores possíveis para a grandeza A:

3,2,1,||)( 2 ncaP nn

Page 117: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 118

Sistemas de N estados

2a

1a

3aNa...

(impossível desenharN eixos perpendiculares)

N valores possíveis para a grandeza A:

aNa1a2 ...

N

1nnn ac

N,2,1n,|c|)a(P 2nn

Page 118: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 119

Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

1n

nn ac

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

a)a(cda

a

a

2|)a(c|da)a,a(P

2|)a(c|)a(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

Carlos Eduardo
A convergência das somas e integrais passa a ser um ponto a ser considerado.
Page 119: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 120

Exemplo: a = x = posição de uma partícula

Sistemas de infinitos estados

x)x(dx

2

1

x

x

221 |)x(|dx)x,x(P

2|)x(|)x(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

função de onda: (x)

Page 120: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 121

Sistemas de infinitos estados

• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

a)a(cdaacn

nn

Exemplo: a = E = energia de uma partícula

E)E(cdEEcn

nn

Carlos Eduardo
Estados ligados e estados de espalhamento.
Page 121: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 122

Produto escalar

NN

1nnn

1nnn ab,ac

1n

nn1n

nn ab,ac

N

1nnn c*b

1n

nn c*b

x)x(dx,x)x(dx

)x()x(*dx

carlos
<x|x'> = delta(x-x')
Page 122: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 123

Produto escalar

E)E(bdEEb

E)E(cdEEc

nnn

nnn

)E(c)E(*bdEc*bn

nn

Page 123: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 124

Sistemas Compostos

Carlos Eduardo
Figura: John Richardson, Physics World, 1998Referências:J. Preskill, “Lecture Notes: Quantum Information and Computation - Chapter 4.” 2001.
Page 124: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 125

Sistemas compostos

|anñI

sistema I

|bsñII

sistema II

s

IIssIIb

nInnI

a

Page 125: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 126

Sistemas compostos

s,n

sns,n b,ac

subsistema I

|an, bs ñ

subsistema II

sistema composto

Page 126: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 127

Produto tensorial

IIsInIIsInsn babab,a

A notação do produto tensorial torna evidentes algumas propriedades que os estados do sistema composto devem ter.

Carlos Eduardo
Ver:-- LeBellac. sec. 6.1-- Schumacher e Westmoreland, sec. 6.1
Page 127: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 128

Produto tensorial

Por exemplo:

s

IIssIIb

n

InnIa• sistema I no estado

• sistema II no estado

sistema composto no estado

s,nsnsn

s,nIIsInsn

sIIss

nInnIII

b,a

ba

ba,

Page 128: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 129

Produto tensorial

IIsIIInIsnsn ba,b,a

Note que

ou, de maneira geral,

IIIIII

sss

nnnsn

s,nsn **)(*)(,,

)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn

Uma consequência disso é

Carlos Eduardo
Não há correlações estatísticas entre as medidas nos dois sub-sistemas.
Page 129: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 130

Estados separáveis

• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):

III sistema I no estado |ñ, sistema II no estado |ñ

s,n

snsn b,a

s,n

sns,n b,acEstado geral do sistema composto:

sns,nc

Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc

Page 130: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 131

Estados emaranhados

2211 b,a2

1b,a2

1

0e2

112212211

Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.

Exemplo: o estado

não é separável, do contrário deveríamos ter

o que é impossível. A primeira equação diz que todos os ’s e ’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.

Carlos Eduardo
Condição necessária e suficiente para o estado (2x2) ser fatorizável: c11 c22 = c12 c21 Ver-- Schumacher e Westmoreland, p. 120-- LeBellac. p. 161
Page 131: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 132

Estados emaranhados

212121 x,x)x,x(dxdx

)x()x()x,x( 2121

Outro exemplo: a função de onda de duas partículas

O estado |ñ é separável se

pois nesse caso

IIIII222I111 x)x(dxx)x(dx

Se o estado |ñ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121

Page 132: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 133

Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,

• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)

Carlos Eduardo
Carlos Eduardo25/10/2013O artigo de Schroedinger pode ser encontrado no livro de Wheeler e Zurek.
Page 133: Mecânica  Quântica

134

Aplicações a sistemas simples

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

Instituto de Física Quântica

Vocêestá

aqui e aqui

Carlos Eduardo
Aplicações a sistemas de 2 estados.
Page 134: Mecânica  Quântica

135

Informação quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

Carlos Eduardo
Aplicação à segurança contra incêndios.
Page 135: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 136

Aplicações a sistemas simples

• Interferômetro de Mach-Zehnder• Medida sem interação• O problema de Deutsch• Molécula de H2

+

• Benzeno, amônia• Polarização do fóton• Oscilação de neutrinos• Spin ½• Informação quântica

ainda não estãonestas notas

Carlos Eduardo
Aplicações a sistemas de 2 estados.
Page 136: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 137

Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade• Defasagem

Page 137: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 138

O interferômetro de Mach-Zehnder

0%

100%D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

“ondas”

Carlos Eduardo
Impossível de entender com partículas.
Page 138: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 139

O interferômetro de Mach-Zehnder

D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”

1

2

50%

25%

25%

Carlos Eduardo
Os detetores nunca disparam em coincidência.Impossível de entender com ondas.
Page 139: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 140

Descrição quântica do interferômetro

1

2

(caminho 1)

(caminho 2)

Page 140: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 141

Espaço de estados

2c1c 21

222

211

cPcP

probabilidades:

2

1

Page 141: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 142

Semiespelho

22

112

11

22

112

12

1 1

2

1

2

2

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2

evoluçãounitária

Carlos Eduardo
Eq. de Schroedinger = evolução unitária."Semiespelho de Hadamard":U = matriz de Hadamard = HEvolução "temporal" (t=0 ->1):U(t) = [raiz(1-f^2) I - i f H] exp(i pi/2 g)f(0), g(0) = 0f(1), g(1) = 1
Page 142: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 143

Semiespelho

22

112

1

22

112

1

2

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

ortogonalidade

Page 143: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 144

Interferômetro

D1

D2

1

2

1

Carlos Eduardo
Apenas D1 registra luz.
Page 144: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 145

Interferômetro

Primeiro semiespelho: 22

112

11

Estado inicial: 1

Page 145: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 146

InterferômetroSegundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

2

211

21

212

211

21

212

211

21

1221

211

21

21

interferência destrutiva

interferência construtiva

P1 = 100%P2 = 0%

Carlos Eduardo
Duas maneiras de chegar nos estados 1 e 2.
Page 146: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 147

O que interfere?

221

211

21

21

(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)

1

1

1

2

1 1

22

soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

Carlos Eduardo
interferência na função de onda
Page 147: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 148

Caminho bloqueado

1

2

D2

D1

Page 148: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 149

Caminho bloqueado

Primeiro semiespelho: 22

112

11

Estado inicial: 1

Bloqueio: 2

112

122

112

1

fóton bloqueado

Page 149: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 150

Caminho bloqueado

Segundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

212

211

21

21

211

21

2

12211

21 P1 = 25%

P2 = 25%P = 50%

Page 150: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 151

Por que não há interferência?

(1-1-1) (1-1-2)

não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência

1

1

1

2

12211

21

(1-2-)

1 1

2

1

2

Carlos Eduardo
comportamento corpuscular = trajetórias únicas
Page 151: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 152

Caminhos alternativos distinguíveis

D1

D2

mola

Page 152: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 153

Caminhos alternativos distinguíveis

Primeiro semiespelho: M22

1R12

1R1

Estado inicial: R1

• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento

M2,M1,R2,R1

Carlos Eduardo
Estado emaranhado
Page 153: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 154

Caminhos alternativos distinguíveis

Segundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

M2

21M1

21

21R2

21R1

21

21M2

21R1

21

M221R2

21M1

21R1

21

P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%

P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%

soma de probabilidades,não de amplitudes

Carlos Eduardo
Estado emaranhado.O emaranhamento eliminou a interferência.
Page 154: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 155

Apagando a informação sobre o caminho

D1 100%

D2 0%

mola

Page 155: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 156

Apagando a informação sobre o caminho

Segundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

M2

21R1

21

21M2

21R1

21

21M2

21R1

21

R1

a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

Carlos Eduardo
O que destrói a coerência não é a "perturbação incontrolável" da medida, mas a informação adquirida.
Page 156: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 157

Defasagem

L1 – L2 (λ/50)

As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos.

distânciapercorrida

densidade do material atravessado

Page 157: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 158

Defasagem

características do caminho percorrido “fase”

1

1e 1i1

2

2e 2i2

Carlos Eduardo
fase = n k Ln = índice de refração == 1 + 2pi/k^2 * f(0) * densidade de partículasEm baixas energias: f(0) = -a + i k a^2a = scattering length
Page 158: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 159

Defasagem

D1

D2

1

2

Page 159: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 160

Defasagem

Primeiro semiespelho: 22

112

11

Estado inicial: 1

Defasadores:

2e2

11e2

122

112

121 ii

Page 160: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 161

Defasagem

Segundo semiespelho:

ou seja,

22

112

12

e22

112

12

e22

e12

e 2121 iiii

22

ee12

ee22

e12

e 212121 iiiiii

Page 161: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 162

Defasagem

2c1c 21 • Após o segundo semiespelho:

2eec

21 ii

1

2

eec21 ii

2

• Probabilidades:

212

11 cos121cP )cos(1

21cP 21

222

1 – 2

0

1P1

1 – 2

1

0

P2

Page 162: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 163

Defasagem

L1 – L2 (λ/50)

nnn LkL2

após uma distância “extra” x: nen xki

Carlos Eduardo
Definindo o momentum como o gerador das translações exp(iPx/hcortado), temos a relação de de Brogliep = hcortado x k = h/lambda
Page 163: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 164

Medida sem interação

Page 164: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 165

O palito de fósforo quântico

fóton

fóton

• fósforo “bom”

• fósforo “ruim”

Page 165: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 166

O palito de fósforo quântico

palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

Page 166: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 167

Teste clássico

palito ruim

palito bomqueimado

Page 167: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 168

Teste quântico

D1

D2

Page 168: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 169

Palito ruim

D1 100%

D2 0%

transparente

palito ruim D2 nunca dispara

Page 169: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 170

Palito bom

D2 25%

D1 25%50%

palito bom D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto

Carlos Eduardo
Mesmo caso do caminho obstruído.
Page 170: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 171

Teste quântico

• D2 fósforo bom intacto

• D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende fósforo bom queimado

Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

Carlos Eduardo
f = x+x^2+x^3+...= x/(1-x)x = 1/4 -> f = 1/3
Page 171: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 172

O problema de Deutsch

Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?

1ª lado 2ª lado

moeda honesta

1ª lado 2ª lado

moeda viciada

Page 172: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 173

O problema de Deutsch

Resposta “clássica”: olhando os dois lados

1ª lado 2ª lado

4 possibilidades

honesta

viciada

Page 173: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 174

O problema de Deutsch

Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton?

Aparentemente, não!

Page 174: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 175

Vendo os dois lados da moeda com um único fóton

2

1

cara: = 0 coroa: =

D1

D2

2

1

Page 175: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 176

Vendo os dois lados da moeda com um único fóton

cara: = 0 coroa: = D1

D2

2

11

2

Page 176: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 177

Vendo os dois lados da moeda com um único fóton

D1

D2

2

11

2

moeda honesta:1 2

1 2

fóton em D2

moeda viciada:1 2

1 2 0

fóton em D1

212

11 cos121cP

)cos(121cP 21

222

Page 177: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 178

O início da computação quântica

• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).

• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).

• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).

x = 0 x = 1f1 0 0

f2 1 1

f3 0 1

f4 1 0

f constante

f “balanceada”

}1,0{}1,0{:f

É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?

Page 178: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 181

Realismo, Contextualidade e Localidade

“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”

Carlos Eduardo
Apud Gottfried & Yan, p. 539Cidadão: físico realistaCachorro: interpretação de Copenhagen
Page 179: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 182

Variáveis ocultas

)(A

variável “oculta” quedetermina o valor de A

Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?

grandeza medidano experimento

Page 180: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 183

Experimentos com um sistema composto

I II

AI = 1 AII = 1

BII = 1BI = 1

incompatíveis

compatíveis

Page 181: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 184

Quatro experimentos com um sistema composto

Quatro experimentos possíveis:

1) Medida de AI e AII

AI = +1 e AII = +1 encontrado algumas vezes

2) Medida de AI e BII

AI = +1 e BII = +1 nunca encontrado

3) Medida de BI e AII

BI = +1 e AII = +1 nunca encontrado

4) Medida de BI e BII

BI = -1 e BII = -1 nunca encontrado

Page 182: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 185

Quatro experimentos com um sistema composto

A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)

1) P(AI, AII) (em %)

grau de emaranhamento

2) P(AI, BII) = 03) P(BI, AII) = 04) P(BI, BII) = 0

Page 183: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 186

Experimentos com um sistema composto

AI = +1 AII = +1

BI = -1 BII = -1

sempre

Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:

!!

Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!

Page 184: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 187

Estados de Hardy

IIIIIIIII B,BB,BB,B31

estado emaranhado

P(BI, BII) = 0 experimento 4

L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

Carlos Eduardo
O estado acima está na primeira refererência, num exemplo envolvendo 2 interferêmetros de MZ.No segundo artigo Hardy mostrou que é possível obter esses resultados com "qualquer estado emaranhado exceto, curiosamente, os estados com emaranhamento máximo".
Carlos Eduardo
Estados de Hardy: não tão emaranhados quanto os estados de Bell.
Page 185: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 188

Estados de Hardy

AA2

1B

AA2

1B BB

A

A

Experimentos 1, 2 e 3:

Page 186: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 189

Estados de Hardy

IIIIIIIII B,AB,AB,A26

1

IIIIIIIII A,BA,BA,B26

1

IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A121

Experimentos 1, 2 e 3:

3)

2)

1)

Page 187: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 190

Contextualidade

)C,(A 21

o que está sendo medido em 2 (A2 ou B2)

)C,(B 21

a2a1

b2b1

(A, B)

Page 188: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 191

Contextualidade

)C,(A III

o que está sendo

medido em II (AII ou BII)

)C,(A III

o que está sendo medido em I (AI ou BI)

)C,(B III

)C,(B III

Page 189: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 192

Não-localidade

I II

AI AII

BIIBI

Page 190: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 193

O teorema de Bell

Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica

é necessariamente não-local.

Page 191: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 204

Pauli

• The first question is . . . why not the p's as well as the q's can be prescribed with arbitrary precision . . . One can look at the world with the p-eye and one can look at it with the q-eye but when one would like to open both eyes, then one gets dizzy.

W. Pauli, letter to W. Heisenberg, 19 October 1926, p. 340(ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p. 304)

Page 192: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 219

Page 193: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 220

Page 194: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 221

Page 195: Mecânica  Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 222