Mecnica Quntica

Amecnica quntica a teoria fsica que obtm sucesso no estudo dos sistemas fsicos cujas dimenses so prximasou abaixo da escala atmica, tais comomolculas, tomos, eltrons, prtons e de outras partculas subatmicas, muitoembora tambm possa descrever fenmenos macroscpicos em diversos casos.A Mecnica Quntica um ramo fundamental da fsica com vasta aplicao. A teoria quntica fornece descriesprecisas para muitos fenmenos previamente inexplicados tais como a radiao de corpo negro e as rbitas estveisdo eltron. Apesar de na maioria dos casos a Mecnica Quntica ser relevante para descrever sistemas microscpicos,os seus efeitos especcos no so somente perceptveis em tal escala.Por exemplo, a explicao de fenmenos macroscpicos como a super uidez e a supercondutividade s possvelse considerarmos que o comportamento microscpico da matria quntico. A quantidade caracterstica da teoria,que determina quando ela necessria para a descrio de um fenmeno, a chamada constante de Planck, que temdimenso de momento angular ou, equivalentemente, de ao.A mecnica quntica recebe esse nome por prever um fenmeno bastante conhecido dos fsicos: a quantizao. Nocaso dos estados ligados (por exemplo, um eltron orbitando em torno de um ncleo positivo) a Mecnica Qunticaprev que a energia (do eltron) deve ser quantizada. Este fenmeno completamente alheio ao que prev a teoriaclssica.

1 Um panoramaA palavra quntica (do Latim, quantum) quer dizer quantidade. Na mecnica quntica, esta palavra refere-se auma unidade discreta que a teoria quntica atribui a certas quantidades fsicas, como a energia de um eltron contidonum tomo em repouso. A descoberta de que as ondas eletromagnticas podem ser explicadas como uma emissode pacotes de energia (chamados quanta) conduziu ao ramo da cincia que lida com sistemas moleculares, atmicose subatmicos. Este ramo da cincia atualmente conhecido como mecnica quntica.A mecnica quntica a base terica e experimental de vrios campos da Fsica e da Qumica, incluindo a fsicada matria condensada, fsica do estado slido, fsica atmica, fsica molecular, qumica computacional, qumicaquntica, fsica de partculas, e fsica nuclear. Os alicerces da mecnica quntica foram estabelecidos durante aprimeira metade do sculo XX por Albert Einstein, Werner Heisenberg, Max Planck, Louis de Broglie, Niels Bohr,Erwin Schrdinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Richard Feynman e outros. Algunsaspectos fundamentais da contribuio desses autores ainda so alvo de investigao.Normalmente necessrio utilizar a mecnica quntica para compreender o comportamento de sistemas em escalaatmica ou molecular. Por exemplo, se a mecnica clssica governasse o funcionamento de um tomo, o modeloplanetrio do tomo proposto pela primeira vez por Rutherford seria ummodelo completamente instvel. Segundoa teoria eletromagntica clssica, toda a carga eltrica acelerada emite radiao. Por outro lado, o processo de emissode radiao consome a energia da partcula. Dessa forma, o eltron, enquanto caminha na sua rbita, perderia energiacontinuamente at colapsar contra o ncleo positivo!

2 O conceito de estado na mecnica qunticaEm fsica, chama-se sistema um fragmento concreto da realidade que foi separado para estudo. Dependendo docaso, a palavra sistema refere-se a um eltron ou um prton, um pequeno tomo de hidrognio ou um grande tomode urnio, uma molcula isolada ou um conjunto de molculas interagentes formando um slido ou um vapor. Emtodos os casos, sistema um fragmento da realidade concreta para o qual deseja-se chamar ateno.Dependendo da partcula pode-se inverter polarizaes subsequentes de aspecto neutro.

1

2 3 FORMULAO MATEMTICA

A especicao de um sistema fsico no determina unicamente os valores que experimentos fornecem para as suaspropriedades (ou as probabilidades de se medirem tais valores, em se tratando de teorias probabilsticas). Alm disso,os sistemas fsicos no so estticos, eles evoluem com o tempo, de modo que o mesmo sistema, preparado da mesmaforma, pode dar origem a resultados experimentais diferentes dependendo do tempo em que se realiza a medida (oua histogramas diferentes, no caso de teorias probabilsticas). Essa ideia conduz a outro conceito-chave: o conceito deestado. Um estado uma quantidade matemtica (que varia de acordo com a teoria) que determina completamenteos valores das propriedades fsicas do sistema associadas a ele num dado instante de tempo (ou as probabilidades decada um de seus valores possveis serem medidos, quando se trata de uma teoria probabilstica). Em outras palavras,todas as informaes possveis de se conhecer em um dado sistema constituem seu estadoCada sistema ocupa um estado num instante no tempo e as leis da fsica devem ser capazes de descrever como umdado sistema parte de um estado e chega a outro. Em outras palavras, as leis da fsica devem dizer como o sistemaevolui (de estado em estado).Muitas variveis que cam bem determinadas na mecnica clssica so substitudas por distribuies de probabilida-des na mecnica quntica, que uma teoria intrinsecamente probabilstica (isto , dispe-se apenas de probabilidadesno por uma simplicao ou ignorncia, mas porque isso tudo que a teoria capaz de fornecer).

2.1 A representao do estadoNo formalismo da mecnica quntica, o estado de um sistema num dado instante de tempo pode ser representado deduas formas principais:

1. O estado representado por uma funo complexa das posies ou dos momenta de cada partcula que compeo sistema. Essa representao chamada funo de onda.

2. Tambm possvel representar o estado por um vetor num espao vetorial complexo.[1] Esta representaodo estado quntico chamada vetor de estado. Devido notao introduzida por Paul Dirac, tais vetores sousualmente chamados kets (sing.: ket).

Em suma, tanto as funes de onda quanto os vetores de estado (ou kets) representam os estados de um dadosistema fsico de forma completa e equivalente e as leis da mecnica quntica descrevem como vetores de estado efunes de onda evoluem no tempo.Estes objetos matemticos abstratos (kets e funes de onda) permitem o clculo da probabilidade de se obter re-sultados especcos em um experimento concreto. Por exemplo, o formalismo da mecnica quntica permite que secalcule a probabilidade de encontrar um eltron em uma regio particular em torno do ncleo.Para compreender seriamente o clculo das probabilidades a partir da informao representada nos vetores de estadoe funes de onda preciso dominar alguns fundamentos de lgebra linear.

3 Formulao matemtica

Ver artigo principal: Formulao matemtica da mecnica quntica

Muitos fenmenos qunticos difceis de se imaginar concretamente podem ser compreendidos com um pouco deabstrao matemtica. H trs conceitos fundamentais da matemtica - mais especicamente da lgebra linear - queso empregados constantemente pela mecnica quntica. So estes: (1) o conceito de operador; (2) de autovetor; e(3) de autovalor.

3.1 Vetores e espaos vetoriais

Ver artigo principal: Espao vetorial

Na lgebra linear, um espao vetorial (ou o espao linear) uma coleo dos objetos abstratos (chamados vetores)que possuem algumas propriedades que no sero completamente detalhadas aqui.

3.2 Os operadores na mecnica quntica 3

Por agora, importa saber que tais objetos (vetores) podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por umnmero escalar. O resultado dessas operaes sempre um vetor pertencente ao mesmo espao. Os espaos vetoriaisso os objetos bsicos do estudo na lgebra linear, e tm vrias aplicaes na matemtica, na cincia, e na engenharia.O espao vetorial mais simples e familiar o espao Euclidiano bidimensional. Os vetores neste espao so paresordenados e so representados gracamente como setas dotadas de mdulo, direo e sentido. No caso do espaoeuclidiano bidimensional, a soma de dois vetores quaisquer pode ser realizada utilizando a regra do paralelogramo.Todos os vetores tambm podem ser multiplicados por um escalar - que no espao Euclidiano sempre um nmeroreal. Esta multiplicao por escalar poder alterar o mdulo do vetor e seu sentido, mas preservar sua direo. Ocomportamento de vetores geomtricos sob estas operaes fornece um bommodelo intuitivo para o comportamentodos vetores em espaos mais abstratos, que no precisam de ter a mesma interpretao geomtrica. Como exemplo, possvel citar o espao de Hilbert (onde habitam os vetores da mecnica quntica). Sendo ele tambm um espaovetorial, certo que possui propriedades anlogas quelas do espao Euclidiano.

3.2 Os operadores na mecnica quntica

Ver artigo principal: Transformao linear

Um operador um ente matemtico que estabelece uma relao funcional entre dois espaos vetoriais. A relaofuncional que um operador estabelece pode ser chamada transformao linear. Os detalhes mais formais no seroapontados aqui. Interessa, por enquanto, desenvolver uma ideia mais intuitiva do que so esses operadores.Por exemplo, considere o Espao Euclidiano. Para cada vetor nesse espao possvel executar uma rotao (de umcerto ngulo) e encontrar outro vetor no mesmo espao. Como essa rotao uma relao funcional entre os vetoresde um espao, podemos denir um operador que realize essa transformao. Assim, dois exemplos bastante concretosde operadores so os de rotao e translao.Do ponto de vista terico, a semente da ruptura entre as fsica quntica e clssica est no emprego dos operadores. Namecnica clssica, usual descrever o movimento de uma partcula com uma funo escalar do tempo. Por exemplo,imagine que vemos um vaso de or caindo de uma janela. Em cada instante de tempo podemos calcular a que alturase encontra o vaso. Em outras palavras, descrevemos a grandeza posio com um nmero (escalar) que varia emfuno do tempo.Uma caracterstica distintiva na mecnica quntica o uso de operadores para representar grandezas fsicas. Ouseja, no so somente as rotaes e translaes que podem ser representadas por operadores. Na mecnica qunticagrandezas como posio, momento linear, momento angular e energia tambm so representados por operadores.At este ponto j possvel perceber que a mecnica quntica descreve a natureza de forma bastante abstrata. Emsuma, os estados que um sistema fsico pode ocupar so representados por vetores de estado (kets) ou funes de onda(que tambm so vetores, s que no espao das funes). As grandezas fsicas no so representadas diretamente porescalares (como 10 m, por exemplo), mas por operadores.Para compreender como essa forma abstrata de representar a natureza fornece informaes sobre experimentos reais preciso discutir um ltimo tpico da lgebra linear: o problema de autovalor e autovetor.

3.3 O problema de autovalor e autovetor

O problema de autovalor e autovetor um problema matemtico abstrato sem o qual no possvel compreenderseriamente o signicado da mecnica quntica.Em primeiro lugar, considere o operador de uma transformao linear arbitrria que relacione vetores de um espaoE com vetores do mesmo espao E. Neste caso, escreve-se [eq.01]:

A^ : E 7! E

Observe que qualquer matriz quadrada satisfaz a condio imposta acima desde que os vetores no espao E possamser representados como matrizes-coluna e que a atuao de sobre os vetores de E ocorra conforme o produto dematrizes a seguir:

4 3 FORMULAO MATEMTICA

26664a11 a12 a1ma21 a22 a2m... ... . . . ...

am1 am2 amm

37775 26664b1b2...bm

37775 =26664c1c2...cm

37775Como foi dito, a equao acima ilustra muito bem a atuao de um operador do tipo denido em [eq.01]. Porm, possvel representar a mesma ideia de forma mais compacta e geral sem fazer referncia representao matricialdos operadores lineares [eq.02]:

A^ ~b = ~cPara cada operador existe um conjunto f~1; ~2; : : : ; ~ng tal que cada vetor do conjunto satisfaz [eq.03]:

A^ ~i = i ~ii 2 Ci = 1; 2; 3; : : : ; n

Aequao acima chamada equao de autovalor e autovetor. Os vetores do conjunto f~1; ~2; : : : ; ~ng so chamadosautovetores. Os escalares do conjunto f1; 2; : : : ; ng so chamados autovalores. O conjunto dos autovalores itambm chamado espectro do operador .Para cada autovalor corresponde um autovetor e o nmero de pares autovalor-autovetor igual dimenso do espaoE onde o operador est denido. Em geral, o espectro de um operador qualquer no contnuo, mas discreto.Encontrar os autovetores e autovalores para um dado operador o chamado problema de autovalor e autovetor.De antemo o problema de autovalor e autovetor possui duas caractersticas:(1) ~i = ~0 satisfaz o problema para qualquer operador . Por isso, o vetor nulo ~0 no considerado uma resposta doproblema.(2) Se ~i satisfaz a equao de autovalor e autovetor, ento seu mltiplo c ~i tambm uma resposta ao problemapara qualquer c 2 C:Enm, a soluo geral do problema de autovalor e autovetor bastante simples. A saber:

A^ ~ = ~) A^ ~ = ^ ~) fA^ ^g ~ = ~0Onde:

^ =

26664 0 00 0... ... . . . ...0 0

37775Como ~i = ~0 no pode ser considerado uma soluo do problema, necessrio que:

detfA^ ^g = 0A equao acima um polinmio de grau n. Portanto, para qualquer operador A^ : E 7! E h n quantidades escalaresi 2 C distintas ou no tais que a equao de autovetor e autovalor satisfeita.Os autovetores correspondentes aos autovalores f1; 2; : : : ; ng de um operador podem ser obtidos facilmentesubstituindo os autovalores um a um na [eq.03].

3.4 O signicado fsico dos operadores, seus autovetores e autovalores 5

3.4 O signicado fsico dos operadores, seus autovetores e autovalores

Para compreender o signicado fsico de toda essa representao matemtica abstrata, considere o exemplo do ope-rador de Spin na direo z: S^z:Na mecnica quntica, cada partcula tem associada a si uma quantidade sem anlogo clssico chamada spin oumomento angular intrnseco. O spin de uma partcula representado como um vetor com projees nos eixos x, y ez. A cada projeo do vetor spin : ~S corresponde um operador:~S = (S^x; S^y; S^z)

O operador S^z geralmente representado da seguinte forma:

S^z = ~/2 1 00 1

possvel resolver o problema de autovetor e autovalor para o operador S^z: Nesse caso obtm-se:det

S^z ^

= 0

ou seja

det

~/2 0

0 ~/2

=~2

~2 + = 0Portanto, os autovalores so ~2 e ~2 :

4 Aspectos histricos

Ver artigo principal: Histria da mecnica quntica

A histria da mecnica quntica comeou essencialmente em 1838 com a descoberta dos raios catdicos porMichael Faraday, a enunciao em 1859 do problema da radiao de corpo negro por Gustavo Kirchho, a sugesto1877 por Ludwig Boltzmann que os estados de energia de um sistema fsico poderiam ser discretos, e a hiptese porPlanck em 1900 de que toda a energia irradiada e absorvida na forma de elementos discretos chamados quanta.Segundo Planck, cada um desses quanta tem energia proporcional frequncia da radiao eletromagntica emitidaou absorvida.E = h = ~!

Planck insistiu que este foi apenas um aspecto dos processos de absoro e emisso de radiao e no tinha nada a vercom a realidade fsica da radiao em si.[2] No entanto, naquele tempo isso parecia no explicar o efeito fotoeltrico(1839), ou seja, que a luz brilhante em certos materiais pode ejetar eltrons do material. Em 1905, baseando seu tra-balho na hiptese quntica de Planck, Albert Einstein postulou que a prpria luz formada por quanta individuais.[3]

Em meados da dcada de 1920, a evoluo da mecnica quntica rapidamente fez com que ela se tornasse a for-mulao padro para a fsica atmica. No vero de 1925, Bohr e Heisenberg publicaram resultados que fechavama "Antiga teoria quntica". Quanta de luz vieram a ser chamados ftons (1926). Da simples postulao de Einsteinnasceu uma enxurrada de debates, teorias e testes e, ento, todo o campo da fsica quntica, levando sua maioraceitao na quinta Conferncia de Solvay em 1927.

5 Princpios Primeiro princpio: Princpio da superposio

Na mecnica quntica, o estado de um sistema fsico denido pelo conjunto de todas as informaes que podemser extradas desse sistema ao se efetuar alguma medida.Na mecnica quntica, todos os estados so representados por vetores em um espao vetorial complexo: o Espaode Hilbert H. Assim, cada vetor no espao H representa um estado que poderia ser ocupado pelo sistema. Portanto,dados dois estados quaisquer, a soma algbrica (superposio) deles tambm um estado.

6 6 CONCLUSES

Como a norma dos vetores de estado no possui signicado fsico, todos os vetores de estado so preferencialmentenormalizados. Na notao de Dirac, os vetores de estado so chamados Kets e so representados como aparece aseguir:

j iUsualmente, na matemtica, so chamados funcionais todas as funes lineares que associam vetores de um espaovetorial qualquer a um escalar. sabido que os funcionais dos vetores de um espao tambm formam um espao,que chamado espao dual. Na notao de Dirac, os funcionais - elementos do Espao Dual - so chamados Brase so representados como aparece a seguir:

h j

Segundo princpio: Medida de grandezas fsicas

a) Para toda grandeza fsica A associado um operador linear auto-adjunto pertencente aA: o observvel (autovalor do operador) representando a grandeza A.b) Seja j (t)i o estado no qual o sistema se encontra no momento onde efetuamos a medidade A. Qualquer que seja j (t)i; os nicos resultados possveis so os autovalores de a doobservvel .c) Sendo A^ o projetor sobre o subespao associado ao valor prprio a; a probablidade deencontrar o valor a em uma medida de A :

P(a) = k k2 onde j i = A^d) Imediatamente aps uma medida de A, que resultou no valor a; o novo estado j 0i dosistema j 0i = j i/k k2

Terceiro princpio: Evoluo do sistema

Seja j (t)i o estado de um sistema ao instante t. Se o sistema no submetido a nenhuma observao, sua evoluo,ao longo do tempo, regida pela equao de Schrdinger:

i~d

dtj (t)i = H^j (t)i

onde H^ o hamiltoniano do sistema.

6 ConclusesAs concluses mais importantes so:

Em estados ligados, como o eltron girando ao redor do ncleo de um tomo, a energia no se troca de modocontnuo, mas sim de modo discreto (descontnuo), em transies cujas energias podem ou no ser iguais umass outras. A ideia de que estados ligados tm nveis de energias discretas devida a Max Planck.

O fato de ser impossvel atribuir aomesmo tempo uma posio e ummomento exatas a uma partcula, renunciando-se assim ao conceito de trajetria, vital emMecnica Clssica. Em vez de trajetria, o movimento de partculasem Mecnica Quntica descrito por meio de uma funo de onda, que uma funo da posio da partculae do tempo. A funo de onda interpretada por Max Born como uma medida da probabilidade de se en-contrar a partcula em determinada posio e em determinado tempo. Esta interpretao a mais aceita pelosfsicos hoje, no conjunto de atribuies da Mecnica Quntica regulamentados pela Escola de Copenhagen.Para descrever a dinmica de um sistema quntico deve-se, portanto, achar sua funo de onda, e para esteefeito usam-se as equaes de movimento, propostas por Werner Heisenberg e Erwin Schrdinger indepen-dentemente.

7Apesar de ter sua estrutura formal basicamente pronta desde a dcada de 1930, a interpretao daMecnica Qunticafoi objeto de estudos por vrias dcadas. O principal o problema da medio em Mecnica Quntica e sua relaocom a no-localidade e causalidade. J em 1935, Einstein, Podolski e Rosen publicaram seu Gedankenexperiment,mostrando uma aparente contradio entre localidade e o processo deMedida emMecnica Quntica. Nos anos 60 J.S. Bell publicou uma srie de relaes que seriam respeitadas caso a localidade ou pelo menos como a entendemosclassicamente ainda persistisse em sistemas qunticos. Tais condies so chamadas desigualdades de Bell e foramtestadas experimentalmente por Alain Aspect, P. Grangier, Jean Dalibard em favor da Mecnica Quntica. Comoseria de se esperar, tal interpretao ainda causa desconforto entre vrios fsicos, mas a grande parte da comunidadeaceita que estados correlacionados podem violar causalidade desta forma.Tal reviso radical do nosso conceito de realidade foi fundamentada em explicaes tericas brilhantes para resultadosexperimentais que no podiam ser descritos pela teoria clssica, e que incluem:

Espectro de Radiao do Corpo negro, resolvido por Max Planck com a proposio da quantizao da energia. Explicao do experimento da dupla fenda, no qual elctrons produzem um padro de interferncia condizentecom o comportamento ondular.

Explicao por Albert Einstein do efeito fotoeltrico descoberto por Heinrich Hertz, onde prope que a luztambm se propaga em quanta (pacotes de energia denida), os chamados ftons.

O Efeito Compton, no qual se prope que os ftons podem se comportar como partculas, quando sua energiafor grande o bastante.

A questo do calor especco de slidos sob baixas temperaturas, cuja discrepncia foi explicada pelas teoriasde Einstein e de Debye, baseadas na equipartio de energia segundo a interpretao quantizada de Planck.

A absoro ressonante e discreta de energia por gases, provada no experimento de Franck-Hertz quando sub-metidos a certos valores de diferena de potencial eltrico.

A explicao da estabilidade atmica e da natureza discreta das raias espectrais, graas ao modelo do tomode Bohr, que postulava a quantizao dos nveis de energia do tomo.

O desenvolvimento formal da teoria foi obra de esforos conjuntos de muitos fsicos e matemticos da poca comoErwin Schrdinger, Werner Heisenberg, Einstein, P.A.M. Dirac, Niels Bohr e John von Neumann, entre outros (deuma longa lista).

7 FormalismosMais tarde, foi introduzido o formalismo hamiltoniano, baseado matematicamente no uso do lagrangiano, mas cujaelaborao matemtica muitas vezes mais fcil.

8 Referncias[1] Greiner, Walter; Mller, Berndt (1994), Quantum Mechanics Symmetries, Second Edition, cap. 2,, Springer-Verlag, p. 52,

ISBN 3-540-58080-8, http://books.google.com/books?id=gCfvWx6vuzUC&pg=PA52

[2] T.S. Kuhn, Black-body theory and the quantum discontinuity 1894-1912, Clarendon Press, Oxford, 1978.

[3] A. Einstein, ber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreenden heuristischen Gesichtspunkt (Um ponto devista heurstico a respeito da produo e transformao da luz), Annalen der Physik 17 (1905) 132-148 (reimpresso emThe collected papers of Albert Einstein, John Stachel, editor, Princeton University Press, 1989, Vol. 2, pp. 149-166, emalemo; ver tambm Einsteins early work on the quantum hypothesis, ibid. pp. 134-148).

9 Bibliograa Mehra, J.; Rechenberg, H.. The historical development of quantum theory (em ingls). [S.l.]: Springer-Verlag,1982.

8 10 VER TAMBM

Kuhn, T.S.. Black-body theory and the quantum discontinuity 1894-1912 (em ingls). Oxford: ClarendonPress, 1978. Nota: O Princpio da Incerteza de Heisenberg parte central dessa teoria e da nasceu a famosaequao de densidade de probalidade de Schrdinger.

Sakurai, Jun John. Advanced Quantum Mechanics--Another Issue (em ingls). [S.l.]: Addison-Wesley Pu-blishing Company, 1967.

Sakurai, Jun John. Modern Quantum Mechanics (em ingls). [S.l.]: Pearson, 2013. ISBN 9781292024103 Sakurai, Jun Jon. Mecnica Quntica Moderna. Porto Alegre: Bookman, 2013. 548 p. ISBN 9788565837095Pgina visitada em 14 de dezembro de 2015.

10 Ver tambm Introduo mecnica quntica Teoria quntica de campos Vcuo quntico Efeito tnel Interpretaes da mecnica quntica Computador quntico Academia Internacional de Cincias Moleculares Qunticas

911 Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagem11.1 Texto

Mecnica quntica Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica?oldid=44204254 Contribuidores: Joao-Miranda, Jorge~ptwiki, Cdang, Scott MacLean, Mschlindwein, Marcelo Reis, E2m, Angeloleithold, E2mb0t, LeonardoRob0t, Lusitana,Usien~ptwiki, NTBot, RobotQuistnix, Leslie, Jcmo, Ciro~ptwiki, Leandromartinez, CSTAR, OS2Warp, Tiogalinha, Adailton, Nmsal-gueiro, ivot~ptwiki, Alessandro70, YurikBot, Gandhiano, Fernando S. Aldado, Bons, FlaBot, Fabiolucas, EDULAU, Lus FelipeBraga, MalafayaBot, Gabrielt4e, MetalFenix~ptwiki, Blacks, Dbolgheroni, Jo Lorib, He7d3r, Reynaldo, FSogumo, Thijs!bot, Rei-bot,Beca~ptwiki, Escarbot, JAnDbot, Paulolima2711, Kleiner, Bisbis, Andrelz, Baro de Itarar, Py4nf, Rjclaudio, Bot-Schafter, Andre01e2,EuTuga, Paraoale, TXiKiBoT, SieBot, Synthebot, Teles, Vini 175, Davialexsandro, AlleborgoBot, Cursocf, Avancorafael, Kaktus Kid,Leonardomio, Ribeiro Alvo, Arthemius x, Heiligenfeld, Munashii, Xzcaioxz, Acto~ptwiki, Georgez, Ruy Pugliesi, Freedom~ptwiki,BodhisattvaBot, SilvonenBot, Pietro Roveri, !Silent, Vitor Mazuco, Numbo3-bot, Luckas-bot, LinkFA-Bot, Nallimbot, Leosls, Vanthorn,Salebot, Wikihelper~ptwiki, Lauro Chieza de Carvalho, Xqbot, Gean, Almabot, Olcyr, Faustino.F, OnlyJonny, TobeBot, Braswiki,Stegop, Marcos Elias de Oliveira Jnior, KamikazeBot, HVL, Ripchip Bot, Alberto Fabiano, Aleph Bot, EmausBot, ZroBot, rico,Savh, Braswiki, ChuispastonBot, Stuckkey, WikitanvirBot, CocuBot, MerlIwBot, Antero de Quintal, Ariel C.M.K., JLFSJUNIOR, Lo-amy, V 1500, Zoldyick, Matheus Faria, Dexbot, Mirelli Navarra, Thepalerider2012, Prima.philosophia, nni, Legobot, Ixocactus, Vic-tor20052014, Nakinn, O revolucionrio aliado, Murdocbsb, Professor.RAF, SouoDT e Annimo: 156

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Um panorama O conceito de estado na mecnica quntica A representao do estado

Formulao matemtica Vetores e espaos vetoriais Os operadores na mecnica quntica O problema de autovalor e autovetor O significado fsico dos operadores, seus autovetores e autovalores

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