MECANICARELATIVISTA

LAGRANGIANOS Y HAMILTONIANOS

Una de las formas mas potentes de describir un sistema fısicoes mediante el formalismo lagrangiano. Las configuracionesdel sistema se describen mediante coordenadas generalizadasqα (t). La dinamica del sistema esta encriptada en elLagrangiano L. Con el Lagrangiano se construye la accion

S =

∫ tB

tAdt L [qα, qα, t ] (1)

La trayectoria que sigue el sistema para pasar de unaconfiguracion qαA en el instante tA a la configuracion qαB en elinstante tB es la que minimiza la accion, de donde lasecuaciones de Lagrange

dpαdt

=∂L∂qα

(2)

dondepα =

∂L∂qα

(3)

es el impulso conjugado a la variable qα.

Por ejemplo, para la partıcula libre las qα son las componentesdel vector posicion x, las qα son las componentes de lavelocidad v, el Lagrangiano es

L =12

mv2 (4)

por lo tanto el impulso es

p = mv (5)

y las ecuaciones de Lagrange se convierten en las de Newton

p = 0 (6)

En el formalismo Hamiltoniano, los pα son consideradosvariables independientes. Se define el Hamiltoniano

H = pαqα − L (7)

La accion

S =

∫ tB

tAdt {pαqα − H} (8)

se minimiza respecto a variaciones independientes de lascoordenadas e impulsos, de donde resultan las ecuaciones deHamilton

dqα

dt=

∂H∂pα

dpαdt

= − ∂H∂qα

(9)

Para la partıcula libre H = p2/2m.

LA PARTICULA CARGADALa manera mas simple de introducir el acoplamiento al campoelectromagnetico es mediante el acoplamiento mınimo.Adoptando el gauge axial ϕ = 0, definimos el Hamiltoniano

H =1

2m

(p− e

cA)2

(10)

Entonces

x i =1m

(pi − e

cAi)

pi =e

mc

(pj − e

cAj)

Aj,i =ec

v jAj,i (11)

Notese que p 6= mv.

De la primera ecuacion de Hamilton encontramos

x i =1m

(dpi

dt− e

cdAi

dt

)(12)

Para dpi/dt tenemos la segunda ecuacion, y para dAi/dtusamos la derivada convectiva

dAi

dt=∂Ai

∂t+ v jAi

,j (13)

Entoncesmxi = −

ec∂Ai

∂t+

ec

v j (Aj,i − Ai,j)

(14)

pero en el gauge axial

−1c∂Ai

∂t= Ei

v j (Aj,i − Ai,j)

= v jεijkBk = (v× B)i (15)

de donde reconocemos que (14) representa la fuerza deLorentz.

LA PARTICULA LIBRE RELATIVISTAEn el caso de la partıcula libre relativista, la accion es

S = −mc∫ B

Acdτ (16)

donde τ es el tiempo propio

c2dτ2 = c2dt2 − dx · dx (17)

Para tener algo que variar, introducimos un parametro arbitrarioσ y escribimos

S = −mc∫ B

Adσ

√−ηµν

dxµ

dσdxν

dσ(18)

Los momentos conjugados a las coordenadas son

pµ = mcηµν

dxν

dσ√−ηρλ dxρ

dσdxλ

dσ

(19)

y obedecenpµpµ = −m2c2 (20)

El parametro σ es arbitrario; si elegimos como parametro eltiempo coordenado t , entonces

p0 =mc√1− v2

c2

, p =mv√1− v2

c2

(21)

Si en cambio elegimos como parametro el tiempo propio τ ,vemos que

pµ = mc uµ (22)

Las ecuaciones de Lagrange son

ddσ

pµ = mcd

dσuµ = 0 (23)

En el lımite no relativista p se convierte en el momentoordinario y

cp0 = mc2 +12

mv2 + . . . (24)

se puede identificar con la energıa.

Para acoplar la partıcula a un campo electromagneticonecesitamos el Hamiltoniano, pero, si

L = −mc

√−ηµν

dxµ

dσdxν

dσ(25)

entoncesH = pµ

dxµ

dσ− L = 0 (26)

El tema es que las componentes del impulso no sonindependientes, ya que deben satisfacer el vınculo (20). Paraasegurar que el vınculo sea respetado, introducimos unmultiplicador de Lagrange en la accion

S =

∫ B

Adσ

{pµ

dxµ

dσ− N

2

[p2 + m2c2

]}(27)

Entonces las ecuaciones de Hamilton

dxµ

dσ= Npµ

dpµ

dσ= 0

p2 = −m2c2 (28)

La teorıa es invariante frente a la eleccion del parametro σ: sicambiamos σ por σ′, entonces

dxµ

dσ′=

dσdσ′

dxµ

dσ=

dσdσ′

Npµ = N ′pµ

dpµdσ′

= 0 (29)

Por lo tanto, elegir un parametro es equivalente a fijar ungauge. En particular, si σ = τ , entonces N = 1/m.

LA PARTICULA CARGADAAhora podemos aplicar la prescripcion de acoplamientomınimo a la partıcula relativista. Introduciendo el tetrapotencialAµ = (ϕ,A), el Hamiltoniano es

H =1

2m

[(p − e

cA)2

+ m2c2]

(30)

Las ecuaciones de Hamilton

uµ =1

mc

(pµ − e

cAµ)

dpµdτ

=e

mc

(pν − e

cAν)

Aν,µ = euνAν,µ (31)

Usando quedAµ

dτ= cuνAµ,ν (32)

encontramosduµdτ

=e

mcuν [Aν,µ − Aµ,ν ] (33)

donde

x0 = ct

dτ =1c

ds =

√1− v2

c2 dt

uν =dxνds

=1√

1− v2

c2

(−1,

vc

)(34)

En particular, si µ = 1,2,3

ddt

mvi√1− v2

c2

= e{

A0,i −1c

Ai,t +v j

c[Aj,i − Ai,j

]}(35)

como A0 = −ϕ, reconocemos la fuerza de Lorentz. Si µ = 0

ddt

mc2√1− v2

c2

= −ev j [Aj,0 − A0,j]= eE · v (36)

es la ecuacion de la conservacion de la energıa de la partıcula.

FORMULACION COVARIANTELa ecuacion (33) se puede poner de manera explıcitamentecovariante

dpµdτ

= eFµνuν (37)

donde Fµν es el tensor antisimetrico

Fµν = Aν,µ − Aµ,ν (38)

En terminos de los campos tridimensionales

Fµν =

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 Bz −ByEy −Bz 0 BxEz By −Bx 0

(39)

TRANSFORMACION DE LOS CAMPOSEl caracter tensorial de Fµν determina la ley de transformacionde los campos

F ′µ′ν′(x ′)=

∂xµ

∂x ′µ′∂xν

∂x ′ν′Fµν (x) (40)

Para un cambio del referencial S al referencial S′ moviendosecon velocidad V en la direccion x , con a,b = y , z

F ′00 = F ′ii = 0F ′ab = Fab

F ′a0 = −F ′0a = γ

[Fa0 +

Vc

Fax

]F ′xa = −F ′a0 = γ

[Fxa +

Vc

F0a

]F ′0x = −F ′x0 =

[∂x0

∂x ′0∂x1

∂x ′1− ∂x1

∂x ′0∂x0

∂x ′1

]F0x = F0x (41)

En terminos de los campos, vemos que Ex y Bx soninvariantes, mientras que

E ′y = γ

[Ey −

Vc

Bz

], E ′z = γ

[Ez +

Vc

By

]B′z = γ

[Bz −

Vc

Ey

], B′y = γ

[By +

Vc

Ez

](42)

o

E′⊥ = γ

[E⊥ +

1c

V× B⊥

]B′⊥ = γ

[B⊥ −

1c

V× E⊥

](43)

que cuando γ → 1 reproducen la ley de transformacion norelativista de la clase 12.

INVARIANTESComo la contraccion de un ındice covariante y otrocontravariante da como resultado un escalar, es claro queFµνFµν y εµνρσFµνFρσ son invariantes. εµνρσ es el sımbolocompletamente antisimetrico con ε0123 = 1.En terminos de los campos

FµνFµν = 2[−E2 + B2

]εµνρσFµνFρσ = −4 E · B (44)

Si FµνFµν < (>)0, E (B) no puede anularse en ningunreferencial. Si E y B son perpendiculares en algun referencial,entonces son perpendiculares en todos los referenciales.Observese que

εµνρσFµνFρσ = 2∂

∂xµ[εµνρσAνFρσ] (45)

ECUACIONES DE MAXWELL EN VACIOSe ve por reemplazo directo que las ecuaciones de Maxwellhomogeneas

∇ · B = 0, ∇× E +1c∂B∂t

= 0 (46)

se pueden escribir en forma explıcitamente covariante como

εµνρσFνρ,σ = 0 (47)

Mientras que las inhomogeneas

∇ · E = 4πρ, ∇× B− 1c∂E∂t

=4πc

j (48)

se escriben comoFµν

,ν =4πc

jµ (49)

donde jµ = (cρ, j) es el tetravector densidad de corriente.

CAMPOS DE UNA CARGA EN MOVIMIENTOConsideremos una carga e moviendose con velocidad v en ladireccion x . En el referencial en reposo de la carga tenemosA′µ = (ϕ′,0), con ϕ′ = e/r . Tambien tenemos B′ = 0,E = ex/r3. Por lo tanto F ′0i = −F ′i0 = E i ; todos los otroselementos de F ′µν son cero.

Para encontrar los potenciales y los campos en el referencialen reposo, es suficiente identificar un vector y un tensorantisimetrico que adoptan la forma requerida en el referencialen reposo. En este, la tetravelocidad u′µ = (1,0), por lo tantoct ′ = −u′µx ′µ. Se deduce que el vector espacial

xµT = xµ + uµuνxν (50)

en el referencial en reposo se convierte en x ′µ = (0,x). Lospotenciales y campos que estamos buscando son

Aµ =euµ[

ηρσxρT xσT]1/2

Fµν =e [uµxν − uνxµ][ηρσxρT xσT

]3/2 (51)

Observamos que

ηρσxρT xσT = x2 + (ux)2 = x2 − c2t2 +

(ct − 1

c v · x)2

1− v2

c2

(52)

A0 = ϕ =eγ[

ηρσxρT xσT]1/2

Ai =eγ

c[ηρσxρT xσT

]1/2 v i

F 0i = E i =eγ[

ηρσxρT xσT]3/2

[x i − v i t

]F ij = εijkBk =

eγ

c[ηρσxρT xσT

]3/2

[v ix j − v jx i

](53)

Ahora supongamos que la partıcula estaba en reposo parat ≤ 0 y se acelera instantaneamente para alcanzar la velocidadv para t ≥ 0. Un observador a distancia r del origen ve a lapartıcula en reposo si ct ≤ r , y ve a la partıcula en movimientosi ct ≥ r .

Para este observador

A = Av θ (ct − r) (54)

donde Av es el potencial de una carga con velocidad v. Enconsecuencia

B = Bv θ (ct − r)− x× Av δ (ct − r) (55)

El primer termino corresponde al campo cercano y decae como1/r2. El segundo termino es el campo de radiacion y decaecomo 1/r , por lo cual alcanza distancias mucho mayores que elcampo cercano.Se ve por inspeccion que el campo de radiacion es unasuperposicion de ondas planas propagandose radialmente ypor lo tanto transporta energıa y cantidad de movimiento.

CAMPOS EN MEDIOS EN MOVIMIENTO1

Vamos a deducir las relaciones constitutivas adecuadas a unmedio homogeneo moviendose rıgidamente con velocidad V.Las ecuaciones de Maxwell inhomogeneas tienen la forma

∇ · D =4πc

(cρ) , ∇× H− 1c∂D∂t

=4πc

j (56)

Estas ecuaciones se pueden escribir conjuntamente como

Gµν,ν =

4πc

jµ (57)

donde

Gµν =

0 Dx Dy Dz−Dx 0 Hz −Hy−Dy −Hz 0 Hx−Dz Hy −Hx 0

(58)

1W. Pauli, Theory of Relativity (Pergamon Press, Londres (1958))

Como sabemos que jµ = (cρ, j) es un tetravector, se deduceque Gµν es un tensor, y por lo tanto, si S′ es el referencial en elque el medio esta en reposo

E|| = E ′||, B|| = B′||, D|| = D′||, H|| = H ′||

E′⊥ = γ

[E⊥ +

1c

V× B⊥

], B′⊥ = γ

[B⊥ −

1c

V× E⊥

]D′⊥ = γ

[D⊥ +

1c

V× H⊥

], H′⊥ = γ

[H⊥ −

1c

V× D⊥

](59)

Al escribir las ecuaciones de Maxwell en el medio enmovimiento, es conveniente reemplazar las derivadas parcialesrespecto al tiempo por derivadas convectivas

∂ui

∂t=

dui

dt− V jui,j

=dui

dt− ∂

∂x j

[V jui − ujVi

]− V iuj

,j (60)

o directamente

∂u∂t

=dudt

+∇× (V× u)− V∇ · u (61)

Entonces la Ley de Faraday se vuelve

∇× E∗ +1c

dBdt

= 0

E∗ = E +1c

V× B (62)

que por supuesto es la fuerza por unidad de carga sobre unapartıcula en reposo en el medio, y la Ley de Ampere-Maxwell

∇× H∗ − 1c

dDdt

=4πc

[j− Vρ]

H∗ = H− 1c

V× D (63)

La ley de transformacion de los campos

E∗|| = E∗′||, B|| = B′||, D|| = D′||, H∗|| = H∗′||

E∗′⊥ = γE∗⊥, B′⊥ = γ

[B⊥ −

1c

V× E⊥

]D′⊥ = γ

[D⊥ +

1c

V× H⊥

], H∗′⊥ = γH∗⊥ (64)

Si en el sistema en reposo valen las relaciones constitutivasusuales D′ = εE∗′, B′ = µH∗′, entonces(

1− v2

c2

)D = ε

[E∗ − v

c2 (v · E∗)]− v

c× H∗(

1− v2

c2

)B = µ

[H∗ − v

c2 (v · H∗)]+

vc× E∗ (65)

Las condiciones de contorno en la interfase entre dos mediosque se mueven con la misma velocidad (o si uno de ellos es elvacıo) se obtienen transformando al sistema en reposo, dondelas componentes tangenciales de E∗ y H∗, y las normales de Dy B, son continuas.

Si la velocidad es tangente a la interfase, entonces estascondiciones de contorno son independientes de la velocidaddel medio.2

2J. van Bladel, Relativity and Engineering (Springer, Berlın (1984))

La clase que viene empezamos a estudiar problemas queinvolucran radiacion de ondas electromagneticas.