(rL*7iza l

MECAI{ISMOSDe la Cátedra de F.lementos.de Máquinas de la Facultad de Ingeniería de la

Universidad Nacional de Lomas de Zamora ?

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Gabriel María DassoIng. Electromecánico, or. Mecánica

Universidad de Buenos Aires

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...-.-Dasso, Gabriel MaríaMecanismos - lu ed. - Lomas de zamora: universidad Nacionalde T 6¡n¿r de Zamora. Facultad de Ingenier ia,2005.1f8 p. ; 30x21 cm.

ISBN 987-94s5-so-9

1. Ingeniería. I. TítuloCDD 620

ISBN 987-9455-50-9Hecho el depósito que prevee la Ley 11.723Impreso en Buenos Aires - Argentina

Ninguna parte de esta publicación, puede ser reproducida, aln:::.:-::: : ::.::s:ritida de ma-nera alguna ni por ningún medio, ya sea eléctrico, quírnico. r---::-,_ _, ,-:i-.ü. de grabación ocle fotocopia, sin permiso previo del editor.

)I

AGRADECIMIENTOS

Deseo agradecer al Ing. Ricardo Amé, de la Universidad Nacional de Lomas de Zamo-ra, quien me sugirió e impulsó la idea de escribir este libro.

También quiero agradecer Ing. Omar Mayer, de la Universidad de Buenos Aires, quientomó a su cargo la pesada tarea de realizar la primera revisión del original, señalando nume-rosos errores de todo tipo.

También agradecezco muy especialmente al Ing. Osvaldo Penisi, de la Universidad Na-cional de San )uan, quien realizó la lectura de todo el texto y realízó muy útiles señalamientosconcepfuales y formales en diversos temas, que contribuyeron a mejorar la exposición de

rnuchos de ellos.

También formulo mi agradecimiento a los Ing. Germán Keil y |orge Chiementon de lat-niversidad Nacional del Comahue por la lectura de los originales y al alumno Guillermo\fuiños por la realización de parte de los dibujos.

PROLOGO

-i area Mecanismos comprende una diversidad de temas, variable según el enfoque de

*--.'r'rSoS autores que han escrito acerca de esta materia. Al escribir este libro, he tenido

- -i'nta mi experiencia docente en el área y los comentarios de los alumnos y colegas,

:,,:ando la mayror claridad en la exposición y en la continuidad de los razonamientos,

.:>sirndo en algunos casos ser repetitivo. Asimismo, puse especial cuidado en usar las

- :,-,r¡ne s básicas de la mecánica toda vez que ello fue pertinente al tema a tratar, ya que éste

.. -.¡rlocimiento que permanece en ei tiempo.

Fn 1o que hace al desarrollo de los temas, he preferido seguir el enfoque'tlásico'l co-

: -.,;ldo por la generación de los mecanismos, definición de sus componentes, para luego

. --: con 1os temas del análisis cinemático. Respecto del estudio del movimiento relativo, he

-,. r.-.itcnso uso del análisis vectorial como potente herramienta conceptual, que permite' , :.rder este tema con absoluta generalidad, evitando dar farragosas demostraciones de

- ' : .-ue fácil y sencillamente se pueden abordar con esta herramienta. He puesto énfasis

. ,- :rDrensión del hecho cinemático, de ahí el arnplio uso de los diagramas vectoriales' , >:-ución de los problemas planteados. Quedará para la práctica, en la Universidad o

-:,r-rr,r profesional, el uso de ios recursos computacionales para arribar a las soluciones

: . -,::.

-iigue iuego el tratamiento de los aspectos dinámicos que surgen al considerar el agre-

- :3 rrasa a los mecanismos: sistemas dinamicamente equivalentes, centro de percusión. .,:..risis dinámico de mecanismos. En alguna medida he pretendido mostrar los distintos

:¡s utilizables para arribar a un resultado, por esto en el análisis rlinámico presento. -:-r el enfoque matricial en tanto que al final del capítulo 8 presento el balanceamiento

:-..:anismo articulado como modo de utilizar la ecuación delazo cerrado y la notación:..'':. Continua luego el trabajo con el estudio del problema del balanceamiento de ro-, -.' ¿e motores alternativos y ei de las vibraciones laterales y torsionales, temas de mucha

. ::.lcia en la práctica profesional. Finalmente termina con el estudio de los volantes de

:. mi expectativa que este libro sea de ayrda tanto a los alumnos que se introducen en

i -r.: como a los docentes de esta área de nuestra profesión. Asimismo, agradeceré y ten-. ::enta los comentarios, sugerencias y señalamiento de errores que 1os lectores tengan

-- j.errrre llegar. A este fin, mi correoE es: gabriel.dasso@gmail.com

Ing. Gabriel María Dasso

Buenos Aires, septiembre de 20A5

MECANISMOS

INDTCE

a \PITULO I - Introducción y conceptos iniciales 11

inálisis - Síntesis - Definiciones ----------- - 12

-::plas cinemáticas. Clasifrcación de Reuleaux 13

l:denas cinemáticas: su generación -------- 17

.:ados de libertad, criterio de Grubler 18

S:ntesis numérica 20

--iPITULO 2 - Análisis cinemático i ------------::emática del sólido rígido. Teoremas de Euler y Chasles. Invariantes. Eje central-----,"i,.r'imiento Plano. Centros Instantáneos de rotación (CIR). Teorema de Kennedy------l.:erminacion de CIR - Ejemplos

-:.:smisión por medio de ruedas dentadas---,.::ala mecanlca

:=:ra de Grashoff::!: -r:ies de mecaniSmOS

- -".'.-:ncia cinemática de

' ;.1-- LO 5 - Análisis dinámico I-------------- : :-:s planos dinamicamente equivalentes-------

: - .: - j¿ percusión-",i i-s linámico--

- - r de D'Alembert. Inercia-----

27

27

32

35

39

42

- :-?ITULO 3 - Análisis cinemático Ii---------- 47: : -.;iones del movimiento relativo. Magnitudes relativas y de arrastre---- 47-.*.-:sls de un mecanismo articulado de cuatro barras------ 51

'- -=--sls de una rueda de automóvil- 53.-- -''sis de un rodamiento 54-,:-.--srs de un mecanismo abierto I ------------ 56-- -.-,sls de un mecanismo con ranura 58- :-.-- s:s de un mecanismo abierto ii ------------ 59-, -.-,s:s de una leva de disco ------- 62

;-:ULO 4 - Análisis cinemático III- 65

65"68-

75

76

77

79

BO

80

."--,O 6 -Análisis Dinámico II------------ 85

: : ¡:ahco-numérico. Análisis de un mecanismo articulado de cuatro barras------- 86

: . ::"nco-numérico. Análisis de un mecanismo biela manivela----------- 89

: .:.:litico. Enfoque matricial. Análisis de un mecanismo articulado de cuatro91

MECANISMOS

CAPITULO 7 - Balanceamiento del movimiento rotativoIntroducciónDesbalanceo estáticoDesbalanceo dinámicoMétodo de los dos planosMáquinas de balancearCalidad del equilibrado. Medida del desbalanceoBalanceamiento de un articulado de cuatro barras

CAPITULO B - Balanceamiento del movimientoBalanceamiento del mecanismo de biela manivelaBalanceamiento de motores policilíndricos-Estudio del motor de cuatro cilindrosEstudio del motor de seis cilindrosEstudio del motor de ocho cilindrosEstudio del motor de tres cilindros_Estudios complementarios del mecanismo de biela manivela

CAPITULO 9 - Vibraciones en árboles y ejesVibraciones lateralesArbol con una sola masaArbol con varias masas. Fórmula de Rayleigh-RitzVibraciones torsionales. Arbol con una masa_______

Vibraciones torsionales. Arbol con dos masas______

Origen de los momentos excitatrices

CAPITULO 10 - Volantes de inerciaDiagramas de Trabajo. Determinación de laTabla de valores del Grado de irregularidadEjemplo de cálculoMotor alternativo. Coeficiente de fluctuación

APENDICESDerivada de un vector referido a un sistema giratorio___

alternativo

97

97

98

100

r04105

108

r12

rt7Lt7120

t22124t25126

727

131

131

132

13s

t40r42143

t45146148

148150

lnercla

Doble producto vectorial153

155

156Notación empleada en los cálculos vectoriales.

BIBLiOGRAFÍA

\---

Elt

MECANISMOS

CAPITULO IINTRODUCCION AL ESTUDIO DE LOS MECANISMOS

I ,1 INTRODUCCION

-\lovimiento. Si tuviésemos que sintetizar en una palabra el objeto de estudio de las

- --.ts que siguen, sería justamente esta: movimiento'

\os proponemos estudiar la descripción y la transformación mecánica del mismo.

I a descripción del movimiento es una rama de la física, llamada qingloalrca, en tanto

: .-.. iransformación mecánica del mismo se realiza en la práctica pol medio de mecanis-

). --.ensamos que éstos están materializados por diversos elementos vinculados entre

-- r¡ c1e ellos con su correspondiente masa y con movimientos relativos entre sí, nos

: - re nta que surgirán efecios dinámicos, d.erivados de las aceleraciones que el movi-

: . producirá.

. ], DEFINICIOI.{ES

.itmoS definiciones de distintos autores acerca de lo que eS un mecanismo, como una

:e introducirnos en el tema:

1.2.1 "Un mecanismo es un dispositivo mecánico que tiene el propósito de transferir el

:nor.inrient o ylo fuerza de una fuente a una salidal' (Erdman-Sandor, Ref' a)

1.2.2 "\Jn mecanismo es un dispositivo que transforma el movimiento según un es-

.-ue ma deseado y comunmente desarrolla fuerzas de muy baja intensidad y transmite

:.-,ca potencial' Mas adelante, el mismo autor agrega: "l]na útil y práctica definición de

--.r r-necanismo es que se trata de un sistema de elementos dispuestos para transmitir

.r.rrvimiento de un modo predeterminadoi (Norton, Ref' 3)'

1,2.3 "Esqueleto geométrico-cinemático de una máquinal (Nieto, Ref.6)

1.1.4 "Combinación de cuerpos rígidos o resistentes formados y conectados de tal ma-

,rr.rá u¡oS con otros que definen un movimiento relativo determinado entre sí. (Mabie

-r Ccvirk, Ref. 1)

-'.=suita útil establecer ahora la diferer-rcia entre un mecanismo y ulla máquina: mientras

- -.,Irero el objetivo es la transformación del movimiento, en la segunda habrá además

, . significativas y transmisión de potencia apreciable" (Ref' 3)'

- ,:ri-los en Hartenberg & Denavit (Ref. 2): "LIn mecanismo es un dispositivo para trans-

--.1 rrovimiento en otro. Si el dispositivo también transmite fuerzas substanciales, es

--:inil, 1o que significa que todasias máquinas son mecanismos en su espíritu' Si las

.: :rsocián con la .orr,r.rriór-, de energía'.. (por ejernplo transmitiéndola a) un árbol de

.o11 este agregado puede llamarse un motor"'

. tt,.rs que hay un elemeirto cotnún a estas definiciones, cual es la idea de movimien-

. ,, ,..,-,-,,r, el objetivo de un mecanistno es la transformación del rnovimiento' ¿Cón]cr

- l. -i.tnte la combinaciór-r de cuerpos rígidos, etc', como lo dice la definición cllai::': ),.ltros en esta inst¿rnci¿r que se debe con-rpletar el concepto ya que 1¡. ': '-

Itr

MECA¡JISMOS

::I:I;:?'[[::'o* estar formados por cuerpos flexibles (resortes), u,irígidos (cabres o

si al concepto de mecanismo, en cua,to a transformador del movimiento,le agregamosla posibilidad de transmisión de fuerzas o pares, pasamos ar concepto de máquina. podemospensar en una caja reductora, en donde lalrurrsformu.il, a.t movimiento cánsiste en cam-

h:',ffi1Hi:t;;ilf;tl'u"ll""trada a una vetocidad menor ",, "r¿. ,urida, ar tiempo

Si a la máquina le agregamos la posibilidad de cambiar una forma de energía por otra,pasamos al concepto de motór' Por ejemplo podemos p..rru, en un motor de explosión, consus pistones' bielas' etc', ylos intercambio, átr. h ;;.rgr" química (y posterior producciónde calor) y energía mecánica (traducida en un pu, ,orr3r'de salida " ,* .i.lra velocidad).En todo el conjunto hay un intercambio .rr".g*i.";;;;; también hay una transformaciónde movimiento que lo ptsibilitu r.r, "rt.

.uro á. alternativo a circular), que la lleva a cabo elmecanismo base' es decir, el "esqueleto geométrico-cinemático" de la definición tercera.

Finalmente' podemos agregar que mientras un mecanismo en er paper no es mas queunas líneas con algunos puntos de cánexión, su materialización se concreta mediante ele-mentos de máquina, ya que éstos, bajo ra forma a. ffi"t.s, bieras, palancas, pus.d*.r,etc'' son los que corporizan al mecanismo. Es en el moáento del diseño de estos elementos

ffi::Ul:L'"::T;:::, ,"t.' .o,,o ai.n.r,rio,u*i.rio, rariga a" *ut..iur.r, resistencia y

I.3 ANALISIS _ SINTESIS CINEMATICA

veamos el diagrama (Fig' 1'1) que sigue, en donde hemos simbolizado dentro del rec-:Í:fJiii:T[fü;oj,lu si.*ái, n.r. !l ,., -..u,,i,mo. Las nechas represenran ra en-

------)entrada

ANALISIS CINEMATICO

MECANISMO CONOCIDO

SINTESIS CINEMATICA

MECANISMO ?---------->

salida ?---------)

entrada -------)salida

Fig. 1.1Fis. 1-2

si consideramos conocido el mecanismo, el problema a resolver será encontrar la re-lación entre la entrada v la sarida, o, io qrr. es casi ro mismo pero que como pranteo es ermas frecuente' dada una entrada conocida (por ejempro u, ,,o"imiento rotatorio continuo[:J"'ü:ffi: :1.]:,?,'¿:TnTi::r

movimiento á. ,,ridu producido Esre abordaje es er que

si en cambio' conocemos la saiida, bajo la forma de una trar-ectoria deseada, o de una

@

MECANiSMOS

.,:nción que se desea obtener o algún estado cinemático determinado, y la necesidad es ahora

::terminar cual mecanismo nos la permitirá obtener, estamos ante un caso de "§i:tg§i§-eine-

:: .rtica ' (Fis. I .2).\o

Hay dos grandes campos dentro de la síntesis cinemática: la de "IipQ" o "9§.tluctulal" y

-" 'numéricai La primera se refiere a encontrar el mecanismo que lleve a cabo la transforma-

:-,.n deseada del movimiento. Es esta una cuestión importante, ya que en general hay diversos

:-:canismos que llevan a cabo la misma transformación. Pensemos que necesitamos produ-

:.: un movimiento rectilíneo: ¿qué tipo de mecanismo usaremos? Podremos disponer de un

:.=.,a-manivela, de un mecanismo de levas, de un cilindro hidráulico, de un tornillo-tuerca,

-= r.rn engranaje-cremallera. Quizás nos baste una aproximación al movimiento rectilíneo,

:::enible con mecanismos de seis barras (el concepto de barra lo tratamos mas adelante).

;Y si necesitamos un movimiento rotatorio alternativo? Podríamos usar una combina-

:- : de biela-manivela con cremallera y engranaje, o una cadena cinemática de engranajes

, :- alguno de ellos deslizante para producir la inversión, o un articulado de cuatro barras

..:: articulado se estudia mas adelante). También podemos elegir producir la inversión sin

,..:anismo, como ser invirtiendo la polaridad de un motor eléctrico adecuado.

Todos los casos citados corresponden a mecanismos en uso y la determinación de cual

: :.-r Dár? una aplicación en particular, depende de factores de diseño tales como la velo-

- :.: de la aplicación, las fuerzas a transmitir, la precisión y exactitud de la trayectoria o

- . ',',::iento deseado, el espacio disponible y muchos otros. Como puede verse, estos factores

:- :-:isideración exceden al temario propio del área "mecanismos" y deben ser evaluados

. , =- :ngeniero a cargo del diseño, dentro de las consideraciones generales que tengan que

: r - : el mismo. Bien puede ocurrir que luego de ponderar las circunstancias indicadas sea

- : :: )::io cambiar el mecanismo inicialmente elegido por otro. Por razones como esta es que

: -,-: cu€ 1a tarea del diseño es iterativa.

:: cuanto al segundo campo de la síntesis, la "numéricd', representa un campo mas

.."'-::t \-se llega a ésta cuando la de "tipo" ya ha sido resuelta. En esta síntesis la tarea a

-: -tt --:r tiene que ver con la determinación de los tamaños de las barras, la elección de la

-. -: de las cuplas (el concepto de cuplas se trata en el parágrafo siguiente) y también la

. - : j: de barras necesarias. En este libro trataremos la síntesis numérica mas adelante, en

. --.-:ro capítulo

{ P{RES O CUPLAS CINEMATICAS

*. :lasificación de los mecanismos ha sido una tarea que no ha demostrado mayor

: . - :¡r 1a amplia variedad de los mismos y por la posibilidad de producir similares

:-.:,iones con disposiciones completamente distintas, como hemos visto en el pa-

.:-:¿rior y volveremos a ver mas adelante. Por esto, se prefiere en general describir

- :--:ción, creada a fines del S XIX por el investigador alemán Reuleaux, que se limita-::: -:s distintas formas en que dos barras o elementos de un mecanismo se pueden

: : \1.

,.:icación se refiere a los parcS-o cuplas cinemáticas, es decir al par de barras

Itr

MECANISMOS _{

que concurren en el espacio y se vinculan, admitiendo un movimiento determinado entre sí.La cantidad de coordenadas iu" ,r"."ril-os para estabrecer ra posición de una de ras barrasffiff:;3;1il:::I]fflü:I"s srados de iibertad (, ,", áderante, .,

"i-p*ag raro 1 6,

La figura 1.3 nos muestra el esquema de los distintos tipos.

]n r,t

':*l r ,r,Lll

lLitl

+1-,

t

rotoide prismática

deslizante

Fig. 1.3

En la cupla 1' llamada cupla rotqide, sólo está permitido el movimiento de giro entreambos elementos del par' su ,átizaci¿n en Ia pra.tiiu ., variada, como ejemplo podemoscitar a los cojinetes lisás o bujes ., g.rr.rul. uay rr, ,oro g*ao de ribertad (f=l).En la cupla 2' llamada prismática, sglo está permitido el movimiento lineal entre las

irTffiii?mo ocurre entre el embolo y el cilindro er, .rn moto. de explosión. para este caso

En la cupla 3' helicoidal' har-un mor-imiento de avance y otro de giro, pero al estar am-bas superficies del par vinculaaui po. *. helicoide, ambos movimientos están relacionadospor: avance = paso x giro , por lo que ei Ei3.:, ¡e libertal es -f= 1

Si quisiéramos ser más sintéticos, podn,a;: -,s .;,--: ¡--e -: cupla rotoide es un caso límite dela helicoidal, en la que er paso es ..ro yiá prirrrr..-.. J-_ ._-1I,... .:: ei cue er paso es infinito.

La cupla 4 es la deslizante, que permite dos i¡¿c: sun elemento puede girar respecto aei ot.o, o;"r;;.'pendientes uno del otro, es áecir f=2.

:l]l.

:llfll

--: -::¿:. i i J !e pOdemOS Vef que. --!- l. r-.- - -.-_-_-..-=r.:ü Ilneal, ambos inde_

ltüI

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::l"f.:.tl E

J\{F,CANISMOS

La cupla 5 se 1lama cupla plana. En ella verrros que un cuerpo o elemento del par se

--eve siempre apoyads sobre un plano. Podemos razonar consideraudo que un cuerpo en el

-'.rcio tiene seis grados de libertad y que al prescribir que se manterrga sietnple paralelo a un,,,ro le estamos restando tres de ellos. Otra forina de pensarlo es consideral que un punto en

. :L¿:.no tiene dos grados de libertad y que para posicionar uu cuerpo en él adernás debemos

::.sar la rotación. Por lo anterior resulta que en esta cupla hay tres grados de libertad, es

' /= l-

Las cuplas anteriores están só1o definidas para el movimiento plano.

:rnalmente, tenernos Ia cupla esférica o rótula (cupla 6), en la que ambos elernentos del

: -t c?sQUetes esféricos, que permiten que el movimiento relativo de un elemento respec-

. ,. -rrro esté compuesto por las tres rotaciones posibles, por lo luef=3

. r..r.moS ahora otra forma de pensar a la cupla prismática (Fig. 1.a). Imaginemos una

, ..--.:-ól'i entre una barra, por ejemplola a y la siguiente, barra b, mediante una cupla ro-

: --:ondrenos que la barra h en su extremo inferior, está fija a tierra también mediante

. - -' .,.. rotoide (punto Ob). El extremo derecho de la barra a describirá entonces una tra-

-,. - 'rva, corrro indica la trayectoria punteada. Si ahora incrementamos la longitud de

. .' r-íncuio en Ob'), dicha trayectoria tendrá menos curvatura (por ejemplo la línea

:-t r.1 límite, para una iongitud de b infinita, será recta. Este tipo de trayectoria es Ia. :.; prrfisatnente la cupla prismática.

Fig.1.4

-,:tivo en esta cuplas definidas por Reuleaux de la fonna que vimos, es que el

-: anlbos elementos del par se produce mediante superficies que acuerdan. A-.. denominó "cup.las inferiores" y todas las demás que pueda haber y que no

..: elquno de los tipos antes descriptos, las llamó "sug¡lptcs':JI

: :rrplo de estas últimas, pensemos en el contacto entre las bolas o rodillos de

', las pistas, que se produce en un punto o una línea, respectivamente, o una

- ':...r-intento. Son casos en que el contacto no es mediante una superficie, sino

. ---tto o ul1a línea. Otro tanto en el contacto entre un disco de leva y el seguidor

_ , 5).E,n la misma figura hay otros ejemplos, tanto de cuplas inferiores corllo

- -. donde vemos un piñón y cremallera (contacto lineal), el sacacorchos y e1

. --:,ida1es, rotoides y superiores).

IT

MECANISMOS

-l

Fig. 1.5

Hay casos en que podemos pasar de una vinculación entre pares superiores a inferio-res. Presentamos en la Fig. 1.6 un ejemplo tomado de Hartenberg & Denavit (Ref. 2), en

donde vemos al elemento a delpar, dentrb del cual el elemento b puede girar o trasladarse,

en forma independiente, es decir f=2, siendo el contacto entre ambos elementos una línea.

Si reemplazamos ahora el elemento b por un dado c que ajuste dentro de a tendremos la

posibitidad de un deslizamiento, pero ffnfuh no el giro. Agreguemos ahora el elemento d,vinculado al c por una cupla rotoide y tenemos que el movimiento relativo de d respecto de a

es de rotación y deslizamiento, al igual que en la cupla original, pero ahora son todas cuplas

inferiores. Observemos que ha sido necesario agregar una barra adicional.

MECANISMOS

I.5 CADENAS CINEMATICAS Y MECANISMOS.

Con los elementos vistos hasta ahora, ya podemos pensar como ir vinculando distintas

:::ras o elementos entre sí para formar una cadena cinemática. En lo que sigue, salvo que

, - :iga lo contrario, estaremos tratando con cadenas cinemáticas planas y cerradas. Al decir

- ...r, nos referimos que sus movimientos posibles (y las fuerzas que se le apliquen) se de-

,.::o11an en un plano. Estas cadenas son las más sencillas y comunes y cuando es necesario

:::sar en el espacio, es común que se vinculen dos cadenas planas, ubicadas en planos pa--.-=-os, para formar un conjunto con aptitud tridimensional. Las cadenas espaciales propia-

--::-:e dichas no son tratadas en este libro.

!n 1o que hace al concepto de cadena cerrada, se,refiere al hecho que la última barra

: - -,--rculada con la primera, situación que en maquiná@,es la mds común.

- omo ejemplo de cadenas abiertas, podemos pensar en el brazo de un robot industrial:- -¿:ala de una excavadora.

!: la Fig. 1.7a vemos como vamos agregando barras a, b y c, vinculándolas entre sí

* : --:ri8 cuplas rotoides y prismáticas, hasta que la barra d, en Ia Fig. 1.7b, cierra la cadena

-, " :-: '-arl a conla a.

Fig. 1.7 a Fig.1.7.b

" :- :uando aparecen los mecanismos I m-álicay,aun-a.---:. :: e!qla:+g-o,f,-4l?g_o:,pasamos del concepto de cadgna cillemática al demecanismo.- ::"::a que inmoviliramñ;, es decir que Ia fijamos al sistema de referencia que conside-

" : , : :'¡, la llamamos bastidor. Habitualmente denominaremos a las distintas barras con

: - * :: - s r- al bastidor con el número 1. Veamos que considerar al bastidor como una barra' :, i-r¡ convencional, que tiene que ver con la conveniencia de referir los movimientos

" ,. , ,:::s barras del mecanismo a ella. Así, será para nosotros en el caso de un motor de

r " -" - : -rtor, el block del motor el bastidor, no obstante que el automotor en su conjunto se

* .',--endo.

- .::::imos a la manivela como una barra que puede realízar un-ge_vgllgción completa

;,r: :::: l-inculada al bastídor mediante una cupla rotoide,¿fialanca oscilanté á la barra

- -:: "- bastidor tambíén mediante una cupla rotoide y que su movimiento'es rotativo*- ! .',"- . i lamaremos biela o acoPladora a Ia barra que no tiene ningún punto fijo.

E

MECANISMOS

I.6 GRADOS DE LIBERTAD _ CRITERIO DE GRÜBIER

Si, como hemos visto, dentro del concepto de mecanismo está la idea de movimiento ysu transformación, es importante que podamos discernir cuales son las condiciones a reunirpara que sea posible dicho movimiento.

Consideraremos a alguna barra en particular como la entrada del mecanismo, en tantoque al movimiento de otra barra en particular Io consideraremos la salida. Si dada una va-riación en la posición de la barra de entrada, la posición de la barra de salida queda determi-nada, diremos que el mecanismo tiene un grado de libertad. Si en cambio, para un cambioen la posición de la barra de entrada, necesitamos definir algún otro parámetro (o posición,ángulo, etc.) para poder determinar la posición de la barra de salida, estaremos ante un me-canismo de dos grados de libertad. Llamaremos con la letra'f'a los grados de libertad delmecanismo.

Observemos que si vinculamos a una barra con otra mediante una cupla, que generica-mente llamaremos "f ", er1 esta vinculación la barra habrá perdido algún grado de libertad, de

los tres grados que iendría de poder moverse en el plano iin restricciones.

Para o§ig[!vg, consideremos en la Fig. 1.8 a Ia barra a, en tanto que la b se vincula conella mediante una cupla rotoide. Cualquiera sean los grados de libertad que pudiera tener labarra a,labarua b habrá perdido dos grados de libertad, en virtud de su vinculación. Dichoen otras palabras, si suponemos que conocemos la posición (o el movimiento de labarra a),

al vincular la barra b alabarra a, resultará que con sólo una coordenada adicional que ten-gamos de la barra b, quedará fijada su posición. Pensemos ahora que tenemos un mecanismode n barras, de forma tal que el total de los grados de libertad del conjunto de las n barrasserá 3(n-1), teniendo en cuenta que hay una fija. Las j vinculaciones entre las barras entre sí

generarán una disminución en los grados de libertad igual a 2.j ,por lo que resulta:

Fig. 1.8

f= 3(n-1)- 2j

De haber vinculaciones j' entre las barras, que solo restringieran un grado de libertad(ver parágrafo 1.3), la fórmula quedará entonces,

\IE,CANiSMOS

f=j(n-1)-2j-j' tll

- ¡ta ecuación simboliza el iiarnado "criterio de Grübler'l Apliquémoslo a las cadenas de

-.9, donde vemos que el de dos barras tiene un grado de libertad negativo, congruente

:echo que se trata de un hiperestático. EI de tres barras es deftO, congruente con 1o

r -mos del triángulo, forma básica de los reticulados e indeformable. Estas dos cadenas,

-- :,,.ier desarrollar movirniento, r1o son mecanismos y se las llama estructuras. El meca-

, ,:rticulado de cuatro barras, tiene un grado de libertad, es decirf l. Los mecanismos

::':do de libertad, se los suele llarnar de rnovimiento obligado y a veces desmodrónicos.

,,,:r.rs al de cinco barras, vemos que resultaf2.

n:2, i:Zrf: -l n:3, j:3, f:0

n:4, j:4rf:l n:5, j:5, f:2

Fig.1.9

:,rsairros en el mecanismo de levas planas, si bien solo tenemos tres barras (leva,

--:stidor), al tener una cupla que solo restringe un grado de libertad (1o que hemos-. es la vinculación entre la leva y el seguidor), la ecuación de Grübler nos daf=1., lel seguidor a rodillo (Fig. 1.10 a), n=4 y j=4, actuando como cupla rotoide el

, :ir-icto entre la leva y el rodillo, lo que significa asumir un movimiento de roda-

- r'hrs barras.

,, ... ,s r.rotar una particularidad (Ing. Biscardi, Ref. S): el hecho que la ecuación de

_ : : ¡plicabie cuando todas las cupias son prismáticas, cotno es el caso de la Fig.

.: r. ,S inaginar un movimiento horizontal hacia la derecha de la barra 2, que I1e-

, -r l despiazarse hacia la derecha y arriba (suponiendo la I fija). Vemos así, qu.'

rr solo tres barras, har.movilidad. Pero si cualquiera de las cuplas prisnl.i::.:s,

--',,r una rotoide, el ntecanismo se bloquea.

Iq

MECANISMOS

-{

Fig. l.l0

Veamos que para que un mecanismo sea de movimiento obliga do (f=1) y según el cri-terio visto, como (n - 1) está multiplicado por 3 y j por 2,la única posibilidad de obtener elresultado deseado es que n sea par. De esta forma, el producto 3.(n-1) será impar y como 2.j

b)

siempre será par, tendremos : impar - par = 1

1=.r.7 SINTESIS NUMERICA

b(n4) -2^L ' L:).

I rnp-r-. pac.

n d¿-b.é:v-P§a-

Nos planteamos ahora una pregunta: ¿cómo tener mecanismos de mas de cuatro ba-rras, pero de movimiento obligado?, o aún en forma mas amplia, ¿cómo podemos relacionarcantidad y tipo de barras, con grados de libertad? Hemos visto que el de cinco barras nosdaba dos grados de libertad, pero si hacemos este mecanismo ( Fig 1.11) de cinco barras, esevidente que no tiene moülidad. ¿Cómo se aplicaría el criterio de Grübler en este caso?

r:Sr¡d f{

oz@

2

Fig.l.ll

I,lECANISMOS

Consideraremos en Io que sigue que todas las vinculaciones entre barras son combi-

. :'ies de cuplas rotoides y prismáticas, es decir del tipo j. Debemos ahora hacer una dis-

- r entre barras binarias (B), ternarias (D, cuaternarias (C), pentarias (P), según tengan

: -,:ción con dos, tres, cuatro o cinco barras, respectivamente' (Ver Fig. 1.12)

Tipos de barras

Fi1.1.12

:r-¿remos con cada letra (8, T, etc.) al total de eslabones de cada clase u orden. Por 1o

:al de eslabones del mecanismo será:

n=B+T+C+P t2)

: -rntos de conexión que una barra tiene para vincularse con otra es igual a dos para

: : B, tres para una del tipo T y así para las demás barras'

:'i I de las cuplas que se pueden desarrollar será:

¡= (2 B+3 T+4 C+5 P) / 2

-:-:os en cuenta que al conectarse dos barras, dos puntos de conexión conforman

.- r,i eso el denominador de la fórmula anterior. Además, dado que la cantidad de

-:: i:r un número entero,las barras con puntos de conexión impar (barras del tipo

.- -ls deben dar un número par.

,:r:erminar las combinaciones posibles de barras de distinto tipo en relación a

:::tad, por lo que volvemos a [1]: f= i(n-1)- 2j

c

o

o

o

o

§ .. ,='O

EI

MECANISMOS

y trasponiendo y reemplazando:

3 n - 3 -f= z B + 3 T + 4 c + 5 P = ( 2 B + 2 T + 2 c + 2 p) + (0 + T + 2 c + j p)

Vemos que el primer paréntesis es igual a 2.n,por lo que

n-j-f=T+2C+3F t3l

Para nuestro análisis, trabajaremos con esta ecuación y con la del total de barras:

n= B+T+C+p lz1

Vemos que para n = 2 y f= 1 elprimer miembro da negativo,lo que está indicando laimposibilidad de un mecanismo así.

Si z = 3, podemos poner;f= 0, lo que nos lleva a que T = 0 (ypor supuesto las barrasde orden superior), es decir que la cadena será un triángulo sin movilidad, solo compuestopor barras binarias.

Para el armado de mecanismos, tengamos en cuenta que son válidos los casos en quetodas las barras tienen movimientos relativos entre sí, es decir que no hay subcadenas queconformen una parte rígida, sin movimiento, como sería el caso de la Fig. 1.13. En ésta ve-mos que la subcadena formada por las barras b, , y f forman un triángulo, por lo tanto sinmovimiento relativo posible.

n=6, j:5, f:l

Fig.l.13

Para n = 4 Y f:1, como el primer miembro da cero, significa nuevamente que T = 0.. Esto quiere decir que todas las barras serán binarias, habiendo ahora movilidad.

.ñNl! irñl

f

.Eil

:::=:;r

l::i?.

b

a::::i1

d

\{ECANiSMOS

Introducimos ahora una notación muy práctica y que utilizaremos en las próximas,-.). que consiste en no dibujar la barra bastidor, señalando la vincuiación a esa barra con

. ¡1e círculo. Observernos que, colno ya hemos dicho antes, las barras ternarias están

. --:'e de a pares.

Srqamoselanálisisparaloscasosquer¡asinteresanenlapráctica,esdecir/= 1,yra--.--r¡Sgue pasaparan=6.Recordemos qvendebeserpa¡segúnvimosantes,porloque," nlecanismo de cinco barras de movimiento obligado. Puede haber un mecanismo de

--arras, pero será de dos grados de libertad V= Z).

I e i3 ] , resulta para el caso de n=6

6-j-f=2=T+2C+3P

;:-Ios que P necesariamente debe ser cero, por 1o que las posibilidades que nos quedan

= - r- C: l. No se puede armar un mecanismo de seis barras todas binarias conf/.

-.---rs casos, recordemos que debemos tener en cuenta al2)para completar el total de

:

. . - s indica el autor ]usto Nieto (Ref. 6) una regla adicional para el armado de mecanis-

: --- C.e filoStración, y que dice que "el máximo orden posible de una barra (para que haya

.:::io) es igual a n/2".

,:: e1 caso en estudio, resulta que no podemos tener una barra de orden superlor a

que la posibilidad C = I queda descartada. Las figuras 1.14 y 1.15 muestran dos

: :-,--)rn1as de vinculación de barras, para el caso n=6. La primera presenta dos formas

-,-:-sn-ro de Stephensonyla segunda otras dos delmecanismo deWatt. Vemos que el

.r-:'.anismo torna distintas formas, según se haga bastidor una u otra barra. Esto se

- .;:-ro inversiones y será tratado en otro capítulo. Igualmente, el lector deberá dete-

.:s figuras e identificar en cada caso quales barras son binarias y cuales ternarias.

Fig.1.14

@

MECANISMOS

-{

Fig. 1.15

Analizando el caso de n= 8, tenemos:

8-3-1=4=T+2C+3P

Una soluciónposible es T= 2 y C= I lo quenosllevaa B = S.Otra solución es T= 4

y B = 4 yla tercera posible es C = 2, T = 0 y B = 6.Enla Fig. 1.16 vemos los dos primeros

casos.

T:4 ,barras3 .4r7 y IB:4, barras 21 5 ,6 y I

T:2rbarras4y1B:5, barras 2r3r5r7 y 8C:1, barra 6

Fig.1.16

I'IECANISIIIOS

iesumiendo, Ias condiciones a cumplir por los r-necanismos de movimiento obligado, son:

. Se debe cumplir la ecuación de Grübler

. ¡r debe ser par, para el caso en que todas las cuplas sean del tipo j

. La cantidad mínima de barras debe ser cuatro

. Las barras binarias deben ser al menos cuatro

. El mayor orden posible de una barua es n/2

En la tabla que sigue, resumimos los casos vistos.

Por último, analicemos la figura l.I7a, en donde vemos al mecanismo de Ia figura 1.15

, .. izquierda, dibujado de otra forma. En la figura t.l7b, hemos transformado la barra 4- ::ntaria y las barras 3 y 5 en ternarias, vinculando éstas a la barra 4 mediante las diadas' .:ias 7-By 9-10. De esta forma, hemos generado un mecanismo de 10 barras, con 3 barras-.::ias (1, 3 y 5), una pentaria y 6 binarias.

Fig.1.17aFig.1.17b

n BINARIAS B TERNARIAS T CUATERNARIA C

4 4 0 0

6 4 2 0

8 5 2 I

B 4 4 0

8 6 0 2

w

-.t -\IECANISMOs

CAPITULO IIANALISIS CINEMATICO I

. ]\TRODUCCIO}{

-u¿utdo tratamos los conceptos iniciales de lo que es un mecanismo, relnarcamos que

, ,:r.ial 1a idea de movirniento. Por lo tanto, el análisis del mismo es un punto fundamen-

,:-rr1l por la cual nos ocuparemos de este asunto en éste y los dos capítulos que siguen.

.-.rmo punto de partida y en un sentido amplio, tendremos un mecanismo dado y las

--.:radas (o el movimiento) de una barra que supondremos variable (o rnovimiento) de

--.r. siendo la tarea genérica del análisis cinen-rático poder determinar toda la configura-

-..i rrecanismo para cada coordenada de entrada. Yend.o un poco más al detalle, dado-.'irniento determinado de Ia barra de entrada, nos interesará estar en condiciones de

-.. :eterminar la posición, trayectoria, velocidad y aceleración de cualquier punto del

. -->1110.

lebemos, entonces, desarrollar los métodos que nos permitan cumplir estos objetivos'

,.- iibro nos limitaremos a Ia determinación de velocidades y aceleraciones, en tanto'. :ste capítulo veremos dos elementos de análisis: el primero se refiere a la descripción-.'rmiento de un sólido rígido y el segundo a la determinación de los centros instan-

, :c rotación. El tercer punto, ventaja mecánica, brinda una importante herramienta

- -:prrs¡dsr el efecto multiplicador del par que en algunas ocasiones producen ciertos

. '-sr110s.

I

. i-I\EMATICA DEL SOLIDO RIGIDO

l: todos los tipos de cuerpos que podemos imaginar (gaseosos, líquidos, flexibles),

, -, rígido es uno de los mas comunes dentro de Ia mecánica. Sabemos que el cuerpo' : I Lura iclealización, ya que todo cuerpo sometido a fuerzas sufrirá alguna defbrma-

. I obstante, si ésta es pequeña en relación a las dirnensioues de aquél, se lo puede

-::ar rígido. Precisando algo mas el término "pequeño': si la variación d.' dimerlsiorles

.- el mecanismo está operando provoca cambios en la posición del cerltro de rnasas o

'-.¡rrento de inercia que no afectan a los cálculos dinárnicos, poderllos de.ir que esas

- les de tamaño son efectivamente "pequeñas'l También poderros decir 1o nrismo si

..--:iones dimensionales producen cambios en los cálcuIos cie 1a i t-..;i.i¡o r- aceleración

: : -.,bles. Hay otras iimitaciones en las variaciones dimettsit¡tl,'.,.s : -,.' ile nell que ver con

- ,:talidad de ia máquina: las deformaciones (flechas' i- . . -'-r'i,:.-s. ro deben superar

:orupatibles con las condiciones de engrane de 1¡. :'--:-:-.,: :,,--:Lrrten o con 1os án-

: -lesalineaciónpermitidosdelosrodamrelltos.: -:.,,- '---, r'relllplos.Poresto,enla

..".rría de los casos la suposición de rígido resi-

.,:a).

:ros ahora un tópico importante relatl'.'

ríqido, según el enunciado de1 teore::-,,

:':o rígido col-i uit punto fijo es ult¿t I'Lli,'--

, - .r'. -- --.or1eu-)os describir el movimiento

-. -,--:i: "el desplazamiento ,r-,á, g.r"r.rul

.. ,.,:'ededor de un eje que pasa por diciro

g

F

MECANISMOS

-{punto". (Ref.[8])

Si pensamos en la rotación como un vector, cuya dirección sea perpendicular al planoen que se produce y el sentido el dado por un tornillo derecho, podemos plantear la ecuaciónque sigue:

Ll=La

donde ii es el vector posición de un punto genérico i respecto del punto O de giro inmó-vil, A0 es la rotación y del producto vectorial entre ambos vectores resulta el desplazamiento47, del punto i. (Fig. 2.1)

Fig.2,1

Si dividimos la ecuación anterior por Ar y pasamos al límite, obtenemos la conocidaecuación, en este caso para el movimiento en el espacio:

i' = Clxl

En esta ecuación 7. es la velocidad lineal del punto i y O la velocidad angular del sólidoen estudio.

Del teorema se deduce que si un cuerpo tiene un'funtofijo, tendrá un eje de giro. lugargeométrico de todos los puntos sin movimiento. Se podrá tomar cualquiera de ellos comoorigen de coordenadas para aplicar la ecuación anterior.

Resulta inmediato hacerse la siguiente pregunta:¿qué ocurre si nuestro sólido en estu-dio no tiene ningún punto fijo? Para resoh,er esto, podemos hacer el siguiente razonamien-to: pensemos en una posición inicial y una posición final, luego de un intervalo Ar. Luegoadoptemos un punto cualquiera de este sólido yllamésmole "centro de reducciffi'(punto O).Ahora traslademos el sólido, en un movimiento en que todos los puntos del mismo tienentrayectoria paralelas e iguales, de forma tal que el punto O del sólido asi trasladado coincidacon Ia posición final. (Fig. 2.2). Apliquemos ahora el razonamiento de Euler, llevando a co-

I

§-

\\.r \\\\IIIIIIItII

i'eje de

@

ai:o'' -la

].IECANISMOS

- . :ldos los puntos del cuerpo con sus posiciones finales. De esta forma podemos decir, :rcr-imiento mas general de un sólido en el espacio es el de una rotación mas una tras-

: ste es el enunciado del teorema de Chasles.

TraslaciónA"

O', B', A', C': Posiciónluego de la traslación

O', B", A', C": Posición fi-nalFig.2.2

-. erpresión vectorial de la velocidad de un punto genérico I será:

i,:io+{2xV, t1]

- :de vo es la velocidad lineal del punto O.

.lre pasa si cambio el centro de reducción, usando O'en vezde O?.La respuesta la, - -r;ri1os mediante un razonamiento similar al usado en estática para averiguar el efecto

- : : t .:zo.t una fuerza paralelamente a sí misma. Para esto, apliquemos en O' un sistema

: -:-sistente en dos rotaciones,O y-O , ambas de módulo igual a la velocidad de ro-- - :iqinal. (Fig 2.3). Veamos ahora el efecto que producen las rotaciones O(aplicada en

- Iiaplicada en O') respecto de un punto I genérico. Llamemos 7 ala coordenada de

: *nto respecto del punto O ,7', a Ia coordenada del mismo respecto de O' Y7"t ala' - . ..:da de O' respecto de O.

t¡-li '-l

w,

F'5>< (5---) :( á <b)^t5 >(z-)

ii=io'+§)x\'

La velocidad del centro de reducción O', aplicando

MECANISMOS

-{La velocidad del plnto i debida al mencionado par de rotaciones será:

<jL.* - - l_ -A-) ,. r-J ,-:/

i,o* = flxl. +(-f))x(V,-7o)=9xVot:cte y' con Vi=1-fdn.Lt- r¡,d rg_

Vemos que el resultado es una traslación, ya que la expresión de la velocidad hallada esindependiente del punto i (Ia coordenada 7, ha desaparecido). Esto nos indica que para unnuevo centro de reducción,la descripción del movimiento será función de la misma rotación0, a la que llamaremos el invariante vectorial del movimiento.

Por lo tanto la expresión de la velocidad nos queda: At

\YH*

nA-{f,tor-4-r?n'aba6ñr

la ecuación [1] a este punto, será:

Veamos ahora el valor de la proyección de la velocidad del centro de reducción en ladirección del vector rotación:4. -f). , donde con f» indicamos el versor (vector de módulounitario e igual dirección y sentido) de Ia rotación. Para otro centro de reducción, esta pro-yección valdrá:

vo..Oo-(vo + {Lxro).{2":v,o.Qo ya que (Oxlr.).Ó":0\

Observamos que da el mismo resultado para cualquier centro de reducción que adop-temos,lo que nos lleva a definir a esta proyección como el invariante escalar (IE).

Siguiendo el citado libro de Hertig (Ref. 8), busquemos ahora el lugar geométrico deun punto que tomado como centro de reducción, nos de una traslació{r-pafaleta ala totacióny llamemos E a dicho punto. (Fig.2.a)

io.=Ío*{lx4ol

tov <_:<a".

«)\Y<^O d.) F6-Z>:¿

6.<§" ¿ crút'd 'l ir*c a@^ (-¿2r;'z€ \iñ

¡\l-.-€L& Ó< t,o\ ,A d.r.c ( r. -

ir- [ocrGá, d- \

e)

V;

I:CANISMOS

., .,'elocidad del punto E , escribiendo la expresión antes desarrollada, será:

iu:io+{lxru

I-,itipliquemos ahora ambos miembros vectorialmente por la rotación:

i u x t) = io x Q+ (O xry) x f) =0

.' : ser 4 paralelo a O, según hipótesis.

- :'-.arrollemos ahora el doble producto vectorial (ver apéndice) y asumamos, además,' .:.or t es perpendicular a la rotación.

Q r iu¡ x O :1ei .Q) iu-(O ¡, )

:: ttplazandO:

:(D2 ir , ya que :0 (OIrr)

-(¿ xO)ioxe)+a'vu--O 4=-;¡

- , ::cir que hemos obtenido la coordena da T, de un punto que cumple la condición

: ---:.r: una velocidad del centro de reducción paralela al vector rotación. Cualquier otro

: *: esté sobre la recta que define a este vector, que reiteramos resulta paralela a la rota-

. ¡eñnirá otro centro de reducción con la misma velocidad del punto E. Para ver esto,

--,:ros un punto E'sobre dicha recta y determinemos su velocidad, tomando ahora

-: r-iro de reducción al punto E:

Y E,= iE

: Ju€ €l producto O xTu, es nulo por ser ambos vectores paralelos.

.. :ecta que sostiene aTr. se llama eje central del movimiento y es el lugar geométrico

-.rtos que, tomados como centros de reducción, dan lugar a una traslación paralela a

:'t.

- . puntos del eje central son los de velocidad rnínima del cuerpo, en tanto que al mo-- ¡u descripto se lo llama helicoidal tangente , \¡a que tiene de la hélice la traslación

-, -. ia. rotación. E,sto se produce instante a instante, por 1o que en un movimiento cual-

.- .'ie central irá teniendo distintas posiciones respecto dei cuerpo.

---,nsideramos ias distintas posiciones del eje central respecto del espacio fijo, tendre-

s'.1perficie reglada fija, en tanto que las distinta posiciones sobre el cuerpo nos darán

.:iLcie reglada móvil. El movirniento del cuerpo podrá obtenerse entonces cotno 1¿l

..- :on resbalamiento entre laq dos superficies. El resbalamiento ocurrirá precisanle n-

...rstencia de la velocidadi i; .

Q.iuf¿

iu+Qx Vr.:

E

+r

MECANISMOS

-{2.3 MOVIMIENTO PLANO - CENTROS INSTANTANEOS DEROTACTON (CrR)

El concepto de CIR es aplicable sólo al movimiento plano. ¿Cómo definimos cuandoun movimiento es tal? De acuerdo a lo visto en el parágrafo anterior, podemos decir que estetipo de movimiento ocurre cuando la velocidad del centro de reducción resulta perpendi-cular a la rotación. Si recordamos la definición del invariante escalar (IE), resulta que ésteserá nulo. Por lo tanto, cualquier otro centro de reducción que consideremos, nos dará unavelocidad también perpendicular a la rotación. E!¡qqy_r_ryientq de cualquier punto del cuerporesgltará contenido en un plano perpendicular al vector rotación.

También habiamos definido el eje central, que para el caso del movimiento plano resul-tará en puntos sin movimiento. De esta forma se resuelve la contradicción entre la perpendi-cularidad que estamos planteando para este movimiento y la condición de eje central.

Lo anterior nos lleva atazonarque en el movimiento plano habrá siempre un punto sinmovimiento, que resulta latraza del eje central sobre el plano que estamos considerando. Enotras palabras, siempre podremos encontrar un punto alrededor del cual el cuerpo gira.

En lo que hemos estado razonando, en el parágrafo anterior y en éste, hemos supuestoun cuerPo en movimiento y un sistema de referencia, al que podemos llamar fijo. Los movi-mientos referidos a este sistema se los suele llamar movimientos absolutos. Recordemos quehabíamos llamado a la barra que consideramos fija "bastidor".

Nada obsta, sin embargo, a que ubiquemos una terna de referencia en una barra cual-quiera del mecanismo y que los movimientos de las demás los determinemos en relación a

rqdte,mg-s-ry95rl el movimiento rel*tyg"{g¡3gg una de las deml.sba¡11sa ura lñiación alrededor dá il?i re6ienciá. tGlüñi"l"ú d.t.r"úiñtq,puntolasí determináilG lo llamamos'ten-tió-iiiStantáneo de rotación" (CIR), respecto del ñovimiento de ambas barras entre sí. Erllafigura 2.5, dadas las barras a y b, el punto P representa el CIR ab, del movimiento relativo dela barra-a- respecto de la b. Surge que la velocidad del punto P respecto de una tercer barra(por ejemplo la barra c), pensado como perteneciente a la barrahr(la notación es VPa-c) y lavelocidad de P pensado como perteneciente a la otra barra (VPb-c) y respecto también de labarra c, son iguales.

M

a

a

a

E-

@Fig.2.5

v_--)t--4ádágV

::CANISMOS

,..,:oducimos ahora otro concepto: puntos coincidentes, que se refiere a puntos per-

:.-i3S á distintas barras, pero que en el instante considerado coinciden en el espacio.

: ,-.)1o, en el punto de contacto de una rueda sobre la superficie (Fig. 2.6), podemos

- --: dos puntos: el perteneciente a Ia rueda y el perteneciente a la superficie, ambos--.stos o coincidentes, para el instante en estudio.

Fig.2.6 Fig.2.7

::r base a lo anterior, podemos dar estas definiciones de lo que es un CIR:. ?untos coincidentes de dos cuerpos con igual velocidad lineal respecto de un tercero.

. Puntos coincidentes de dos cuerpos sin velocidad relativa entre si.

. indica un punto alrededot del cual el otro cuerpo rota, en el movimiento relativo.

-,-olviendo a la rueda, decíamos que el punto P es el CIR del movimiento relativo rue-

-::rficie, tal como si allí hubiera (en ese instante) una cupla rotoide. De esta forma, el

- ::ra de velocidades de los puntos de la rueda que están sobre el diámetro d será el indi-- ::: la Fig.2.7, siempre para rodadura sin resbalamiento.

-:ero: ¿qué pasa si hay resbalamiento? A título de ejemplo pensemos en los dos casos'::oS que se pueden dar en un automóvil: el primero cuando al arrancar se queda pa-

, - :f, en su sitio, sin avanzar. En este caso el CIR rueda-superficie será el centro OR . El

- - :o caso se da cuando el automóvil está con velocidad y bloquea las ruedas al frenar,- :¡ el CIR en este caso en el impropio y definido por la dirección de la perpendicular

- -r a las superficies en contacto, ya que la cupla cinemática rueda-superficie se ha trans--- .lo en una prismática. Recordemos lo visto en el parágrafo 1.3 y Fig. 1.4, como una- . de interpretar esta cupla.

?ara un mecanisrno dado, ¿cuántos CIR habra? Si tenemos un mecanismo formadobarras, podremos formar la siguiente matriz que nos dará todas las combinaciones

¿S:

11 12 .. ln

21 22 .. 2n

nZ .. nnn7

E

[1{;: ''t

MECANISMOS

-{Los pares de la diagonal principal no representan un CIR y los restantes están duplica-

dos, por lo que Ia cantidad de CIR está dada por:

cantidad de CIR=r?

Supongamos ahora tener tres barras con movimiento entre sí, los que nos lleva a quehabra tres CIR mutuos: ab, bc y ca. ¿Qué posiciones relativas tendrán entre sí? La respueitaestá dada por el teorema de Kennedy. Veamos la Fig 2.8, enla que hemos ubicado aI CIR abinicialmente en la posición P. Haciendo esto, vemos que VPac* VPbc. Este resultado es con-tradictorio con el hecho de que P es el CIR ab, por lo que deberemos cambiar su ubicación alpunto P' (Fig. 2.9), donde allí se podrá verificar la igualdad

vPr"

li

IitIi

ii

il

cb

Fig.2.8

Luego, el citado teorema dice:

'tn el movimiento relativo de tres barras entre

f/

Fig.2.9

- la --;?r L- (_ )

sí, sus CIR mutuos están alineadosl'

4\

Irt:

i

t),, _.1-)/Fz

--t iát''1 i

1.!tr;)

plica-

a queuesta

tR ab

con-ón al

{\TSMOS

: ETER.\{INACION DE LOS CIR DE UN MECANISMO ARTICULADO DE CUA-

: \RRAS

:::roS ahora como determinamos los CIR en la práctica y la utilidad del teorema

:- -, Fig. 2.10 tenemos un mecanismo formado por un articulado de cuatro barras.

:::::-ros todos los CIR posibles, subrayando los que son de obtención inmediata por la

' .:-,'ación de las cuplas que vinculan a las distintas barras entre sí.

12 13 14

23 2434

. :: curaremos determinar CIR desconocidos aplicando el teorema visto, para 1o cual':r,.j::ros dos grupos de tres barras que daran lugar a la generación de tres CIR cada uno,

:-ales deberemos conocer dos. Así, tendremos dos líneas cuya intersección nos dará":,: CIR buscado.

.,:aelClR13,losdosgruposposibles son134(quedalugaralosClR 1j,14y3a)yel. :.-; da lugar a los CIR 13, 12y 23).Vemos que en el primer gr'upo hav dos CIR conoci-

='. i.1) y que en el segundo también (12y 23) que al unirlos nos permite determinar el

' )e ia misma forma determinamos el CIR 24.

: ::e úitimo nos permite determinar de forma directa la r-elocidad angular delabarra 4,

-..-lo la de la barra 2. Si pensamos al punto P (coincidente con eI CIR 24) como perte-

: - .: f, lá barra 2, su velocidad absoluta (es decir, respecto del bastidor), será:

VPr= a,. P'O

E

F

MECANISMOS

-{Vemos en el diagrama con líneas inclinadas la velocidad de los distintos puntos de

esta barra.

La velocidad del punto P pensado como perteneciente a la barra 4 será:

vPo= to'' P-o'

Dado que P es el CIR 2L,lavelocidad de este punto pensado como perteneciente a cual-quiera de ambas barras y respecto de una tercer barra (en este caso el bastidoi) es la misma.

Por lo anterior e igualando las dos ecuaciones anteriores, podemos escribir:

@o= @2.P-O/P-O4_

En el diagrama con líneas verticales, que se superpone parcialmente al anterior diagra-ma, están las velocidades de puntos de la barra 4.

2.3.2 DETERMINACION DE LOS CIR DE I]N MECANISMO BIELA MAMVELA

Veamos ahora la determin-acion de los CIR de un mecanismo de biela-manivela,Fig.2.11

Este mecanismo esta formado por la barra 2, que gira los 360o alrededor de su centrofijo 02, la cual se vincula a la barra 3 por medio de una cupla rotoide. La barra 2 se llamamanivela, en tanto que la 3 es la biela. Esta última se üncula por medio de otra cupla rotoi-de con la barra 4y ésta con el bastidor por medio de una cupla prismática. El extremo de lamanivela, punto A, se lo llama "botón de la manivela" y en la representación gráfr,ca de este

mecanismo se suele indicar la trayectoria del mismo, que es la circunferencia de centro 02que vemos en la figura.

Lb

F19.2.11

-- i-

- , : \iS-\1OS

:. :::",2 de todos los CiR y los conocidos son iguales a los del caso anterior, por 1o que-.';rón sigue los mismos pasos. Tengamos en cuenta que la ctpla 14 es prismática,

. -. CIR correspondiente está en el impropio, es decir en el infinito.

. - ianto, unir el CIR .12 con el 14 se realiza trazando por 12la recta paralela a la:.:pendicular al movimiento que la cupla 14 permite.

;ue hace a la velocidad de la barra 4, podemos razonaÍ que por ser el punto P el. ..-ia:

VPr=VPr=<ttr.P-O,

:TER\{INACION DE LOS CIR DE I-IN MECANISMO DE LEVAS

- -" hgura 2.12 vemos otro ejemplo, en este caso un mecanismo de levas con seguidor.n e1 que el punto P, contacto entre el rodillo del seguidor y leva, es el CIR 23,ya

.-...mos rodadura sin resbalamiento. El punto O, es el CIR 34, y el CIR 14 está en elE1 punto C representa aI CIR 31y elD al CIR 24. Yemos que la velocidad lineal del

: = 1a podemos determinar inmediatamente, considerando al punto D, según sigue:

{tI

14o

Fig.2.12

Yoz=@z.OrD=voo

- hora tratemos de determinar la velocidad angular del rodillo del seguidor 3. Con e1

.'ercitarnos en el manejo cinemático, tomemos como referencia a la barra 4 y conside -

-,ue el CIR 32 (punto P) pensado como perteneciente a la barra 3 o a la barra l. ti¿:e

3

@

MECANISMOS

-{la misma velocidad lineal respecto de otra barra, en este caso la 4.

Despejando:

v pz-4=@2-4 .DP =v rr-o=@3-4 -O3P

DPcrJ. , =(D"r-q -,. orP

Tengamos en cuenta que las velocidades angulares relativas a la barra 4, que está ani-

madadeunmovimientodetraslación,soniguaIeS@alasvelocidadesangularesabsolutas.

En realidad, resulta mas sencillo hacer la anterior determinación tomando como refe-

rencia a Ia barra I, es decir el bastidor. Tengamos en cuenta que en estos casos, el segundo

subíndice, que indica cual es la barra de referencia, se omite.

lpz:oz.OrP =vrr=$3.CP

Despejando:

0¡ =02'

fo, ,..rr";u nza detriángulos, surge que la velocidad angular, determinada por cual-

quiera de ambas formas, es la misma.

Para el caso que supusiéramos un resbalamiento en el movimiento relativo del rodillo

del seguidor respecto de la leva, sabemos que el CIR va a estar en la normal común a las

superficies en contacto, por 1o que el punto D queda invariable. En este caso, el mecanismo

tiene dos grados de libertad, siendo el giro indeterminado del rodillo del seguidor el grado

adicional.

orPCP

E

lfli-

. R-{\S}IISIÓN EI{TRE RUEDAS DENTADAS (EI\TGRAI{AIES)

- : r: iluY interesante se da en la transmisión del movimiento entre ruedas que están' -- ' ias que supondremos primeramente lisas, produciéndose la transmisión por" - : - 13) donde en el punto P encontramos el CIR 23. La relación de transmisión," : -- . cociente entre la velocidad de salida (rueda conducida) sobre la de entrada" .:*,:ora) será:

Fig.2.13

1 - :-:or esta relación debe ir con su signo, negativo en este caso por ser vectores rota-- , " ::.:idos opuestos y aquí omitido.

¡::lamos la velocidad de P vista desde una rueda o desde la otra, tendremos:

¡=92=o'Paz OrP

-: :'rqamos ahora que queremos eliminar el uso de la fricción y reempl azarlopor unr -:-rficies en contacto, a las que les damos una forma arbitraria y frji cad,a una a las- " -r. Sabemos que el CIR 23 tendráque estar siempre sobre la recta'formada por los

- - : O.Y Orrespectivamente), si queremos que haya movimiento, de acuerdo a lo vis-I : - r€Írá de Kennedy. Imaginemos ahora una construcción como la de la figura 2.t4" -: in diente de la rueda 2 contacta al correspondiente diente de la rueda 3. Lá normal- :'- será la perpendicular común a los dientes en el punto de contacto (punto p), ge-: '- CIR 23yla relación de transmisión estará dada por el cociente yuilrto. Luego- ; ::ción esta normal estará en "n "' y el cIR 23 en una posición distinta. por lo tanto,- '- ie transmisión "l" será distinta instante a instante, haciéndola totalmente inhábil-,.,.:ritir potencia a velocidades medias y menos aún a altas.

ú).J _;

-L(D2

J[-

LLLJ' ] ,,.

Uz

E

MECANISMOS

-l

Rp,Rp,

Rp, Rb,

Fi1.2.14

Por lo anterior, vemos que para que la relación de transmisión sea constante durante

todo el contacto entre las superficies, se debe verificar que la normal común a ellas debe pa-

sar por un punto fijo respecto de la línea de centros. Este enunciado se conoce generalmente

como el "Teorema fundamental del engrane" y la condición indicada se cumple para deter-

minados pares de superficies conjugadas, siendo las mas comunmente usadas en la técnica

las formadas por evolventes de círculo.

Imaginemos ahora un par de circunferencias no en contacto y de centros 02 y 03, que

llamaremos circunferencias base (Fig. 2.15), que se encuentran unidas por un hilo inexten-

sible sobre el cual determinamos un punto trazador, en el que podemos pensar que coloca-

mos un lápiz. Colocamos ahora una superficie 53 unida a la circunferencia 3 (Fig' 2.L5 b) y

hacemos rotar a la rueda 2, lo que producirá el giro de la 3, observando que queda dibujada

sobre la superficie 3 la curva e3 indicada. Ahora r-olvemos las ruedas a la posición inicial

y colocamás la superficie 52 unida a la circunferencia 2, girando nuevamentelarueda2yobteniendo sobre 52la curva e2 (fi,g.2.15 c). Indicamos en ambas curvas con una flecha la

dirección en que las mismas se van generando. Si recortamos ambas curvas obtenidas obten-

dliamos lo indicado en la fig. 2.15 d, en donde apreciamos que el punto A de contacto entre

EI

aI

i

1y--

]":ECANISMOS

::rvas se va desplazando sobre el hilo en tanto que la normal común a ambas curvas

; .l mismo hilo) se mantiene fija. Las curvas e2y e3 son "evolventes de circunferen-r -:,,-a que se define como la obtenida por un punto trazador de una recta que rueda sin

.: sobre una circunferencia.

Fig.2.15

E

MECANISMOS

-{Podemos deducir que si recortamos un par de discos con las curvas indicadas y los

ponemos en contacto, haciendo que el disco 3 mueva al 2, nos encontraremos que el movi-miento tendrá las características deseadas, es decir constancia de la relación de transmisiónen virtud que el contacto se hace con una normal común que se mantiene fija, permitiendoun CIR 23 también fijo.

En la Fig. 2.15 dvemos los elementos antes descriptos, donde hemos agregado las cir-cunferencias primitivas que pasan por el CIR 23. Podemos pensar que estas circunferencias

son ruedas que se contactan y transmiten por fricción, sobre las cuales agregamos dientes

cuyos flancos tienen la forma de evolvente. El ángulo o se llama ángulo de presión y es cons-

tante para conjuntos de ruedas normalizadas, es decir con posibilidad de engrane entre sí. Si

se aumenta la distancia entre centros, la relación de transmisión no varía, ya que depende de

los diámetros de las circunferencias base y el ángulo de presión aumentará. Esto puede de-

ducirse de la observación de las figuras anteriores. Las circunferencias primitivas, que deben

pasar por el CIR 23, aumentarán sus diámetros proporcionalmente.

2.4 VENTAJA MECÁNrCA

Hemos visto que el objetivo de un mecanismo es transmitir y transformar el movi-miento, pero no debemos perder de vista el hecho de que formará el "esqueleto geométricocinemático" de una máquina y ésta ha de transmitir fuerzas o pares. Esto significa que de-

beremos poder determinar la relación entre la fiierza (o el momento) aplicada a la barra (o

cupla rotoide) de entrada ylafuerza (o el momento) que obtendremos en la barra de salida.

A esta relación, que en las líneas que siguen le daremos una formulación mas precisa, se la

denomina ventaja mecánica (VM).

Pensemos en un caso sencillo, por ejemplo la transmisión entre dos ruedas por fric-ción (Fig. 2.16), en la que la rueda I es motora y será la barra de entrada. Podemos plantearel valor de los momentos:

FrzFig.2.16

tu,ry

w

M-= M "= Frr.R, M, = M, = Frr.R,

; \- iosmo\-i-úsióniendo

s cir-nciasentes

:ons-

si, Si

le de

: de-:ben

]\'1-

icode-t(oda.:la

],lECANISMOS

:.l.emos que las fuerzas recíprocas serán iguales y de signos contrarios, por lo que po-..:abiecer esta relación entre momentos, radios de las ruedas y velocidades angulares

- :: en cuenta que la velocidad tangencial en el contacto es igual para ambas ruedas):

M" _ R, =9r_=i

M" R2 (De

- :--niremos entonces a la ventaja mecánica, VM, como al cociente entre el par de sali-

-= ;:rtrada, resultando recíproco de la relación de transmisión:

vM =M' -^" =!' =!M" (os Rr i:: .:" obtener la relación entre pares, podríamos también razonar que, suPoniendo las

,-.- , :::las, la potencia de entrada y de salida son iguales:

^'-Vr'@"=Mr'@,1\ - l

:le nos lleva nuevamente a la ecuación anterior. Observemos que todo reductor es

uulu,, rr: :.:or de las cuplas o pares.

r -. :- caso de las ruedas la relación de transmisión es constante, pero en los articulados

., no será así, por lo que consecuentemente también variará la ventaja mecánica.

,,,,, r,,, I i§Z^{ DE FUERZA

:;:tlos ahora este ejemplo, tomado de Erdman-Sandor (Ref. a), que corresponde a la

rlllrll"*"' :-r. ::ia de mano de la figura 2.lT, cuyafunción es retener lapieza fl ejerciendo una fuerzarD" : ,: r:azos de la pinza. Es necesario que identifiquemos la cadena cinemática: pensemos a

,ir ii.'*. - :randíbula inferior de la pinza) como bastidor, la barra 2 es una acopladora, la barra

'r ; :-.--:f,da ylabarra 4 es la salida. Lapiezaa sujetarestá entrelasbarras I y4.

, t'rl, . "-":- ' ,, ZEI

7:,t:'

Fig.2.17

MECANISMOS

-lPodemos plantear ahora una de las ecuaciones vistas

corresponde ahora al subíndice 3 yla salida al4). Además,mentos se toman respecto del bastidor:

Mr.@, = Mqsq / Mz: F".d" ,

Si determinamos la velocidad del CIR 34, tenemos:

(tener en cuenta que la entradahay que considerar que los mo-

Mo: F".d"

oor.l3 -34 =@4.14-34 ... ,, _ 14-34(r!4 13 -34

Luego, nos queda:

VM =4=-d"

_4_E

M o,//d"

M7/d"

t4-34t3*34

Vemos que si desplazamos la barra 3 en el sentido de ir cerrando la pinza, se irá incli-nando la barra 2, de forma tal que el CIR 13 se acercará al CIR i4, conlo que el denominadorde la ecuación anterior tenderá a cero y la ventaja mecánica a infinito

Observemos que el punto de anclaje de la barra 2, 02, es ajustable con el tornillo T. El

objeto es poder regularlo adecuadamente en relación a la dimensión de la pieza a retener,

de forma tal de conseguir una fuerza de apriete máxima, que se dará cuando se produzca la

alineación de la barra 2 conla3.

Si continuamos el movimiento de apriete, se produce el'truce" de la barra 3 respecto

de la 2 (alineación de los CIR 12, 23 y 3L) y et blg+cq (a veces llamado agarrotamiento) del

mecanismo, circunstancia en este caso deseable, porque produce la inmovilización del con-junto, sin necesidad de seguir haciendo fuerzacon la mano. Se provee de una barra adicional(no mostrada en el dibujo) para el desbloqueo del mecanismo.

@

-{J

ilíH I:C-{NISMOS

I]LTBRANTADOR DE MINERATES

-- - eiemplo lo tenemos en el mecanismo usado para la molienda de minerales (Fig.

:- ;- que el accionamiento esta dado por las barras 5 y 6, que comandan las barras 2 y.:.=:do en definitiva el movimiento de la barra 4, que es una de las mandíbulas de la

" .:endo la otra el mismo bastidor. En este mecanismo, estamos transformando unr : -r-r circular continuo (barra 5) en uno alternativo (barra 4). Entre las dos mandíbu-.,'":do el mineral M a triturar.

15 1226 s6

Fig.2.l8

r : . hgura vemos los distintos CIR y las rectas que los determinan. Nos interesa en

,, ::terminar la relación entre el momento de entrada, producido en la barra 5 y el de,rn, ,,,,,,,, - :::spondiente a la barra 4, por lo que el CIR que interesa será el 45.

. , .-uerdo a Io ya visto, podemos igualar la potencia a la entrada y a la salida:

Mr.@r=M+.ac:' Yo =at+ c Ms cD4

; : ,,:ra parte, si pensamos en la velocidad del punto P (CIR a5):

u, =o,r.O¡ :oJ*W .'. ^t :%+ + cD4 OrP

llu .,,u

Iu

rcli-Ldor

.El1er.

¡tra

fc!J -l,rcll

u-

ratr

25 14 15 4525 24 25 45

14 t2 2434 32 24

la relación de momentos entre la salida y la entrada, será:

VM=

,::-.-emos que si se produjera la alineación de las barras 2y 3, se produciría el blo-:-:-:tancia no deseada en este caso. También se ve que al producirse la alineacron

M. OPMs- oÍ

E

l"t¡ :

MECANISMOS

de las barras 5 y 6,la distancia O5P queda nula, lo que lleva la ventaja mecánica a infinito,al menos teoricamente. En estos casos, la elasticidad entre los elementos y los juegos inevi-tables, hacen que estas condiciones límites no se produzcan,pero sí nos alertan de la posibi-lidad de Ia existencias de esfuerzos muy grandes, que pueden llevar a la rotura de alguna (ovarias) piezas. Por esta razón, estos tipos de máquinas llevan fusibles mecánicos, consistenteen que alguna pieza estará diseñada para romperse en una zona determinada, de fácil accesoy reparación.

L.-

@

nhniti; iner'-.

nosib:-l-ina :

i,<ten:¿

aaces

, S \IOS

CAPITUTO IIIANALISIS CII{EMATICO II

: ¡iODUCCIO},I

'- -" ':ecuente, en el estudio de los mecanismos, que se presenten barras con un:. características conocidas con respecto a otra barra, al tiempo que esta última

: --'--3\'e con respecto al bastidor. Esto lleva a la necesidad de poder obtener velo--::-::aciones respecto del sistema fijo o bastidor (que llamaremos absolutas) en

- : --::nitudes conocidas obtenidas con respecto al sistema móvil (que llamaremos: - - :ste capítulo estudiaremos el conjunto de ecuaciones que nos permitirán resol--. :,, r-arios ejemplos de aplicación.

. {CIOI{ES DEt MOVIMIENTO RELATIVO

:- > en este parágrafo como vincular velocidades y aceleraciones entre distintosI -'- -]l€Csrlismo. Tengamos en cuenta que las distintas barras tendrán diversas vin-

:'-:re sí, por lo que los casos que pueden presentarse también serán de diverso- -:::mos este tema de una forma puramente conceptual, que abarca todos los casos: ::.:rollando luego casos concretos de aplicación.

" .--:o la línea de razonamiento de Biscardi (Ref. 5) y de Housner & Hudson (Ref.--j:ros tener un sistema de coordenadas xyz "fijo" y un sistema de coordenadas.::-a móvil) con movimiento respecto del primero, como se ve en la Fig. 3.1. El ca-". r" es mas bien convencional, al igual que cuando hablamos de la baira bastidor,:rros visto al final del parágrafo 1.4.

Fig.3.1

, ..rarcrrros con la letra R-, a la coordenada vectorial de genérica de un punto I cual_: =--to del sistema fijo y con 7 ala coordenada del mismo punto ..rp..to del siste-:-¿ndo Ro. la coordenada del centro del sistema rnóvil reipecto aei n;o. Como ya

- --:'. es común llamar a los valores refendos al sistema fijo(posición, velocidady-, :orrro absolutos y a los referidos a1 sistema rnóvil como relativos.

:i

,]

rtll

@

MECANISMOS

La suma de vectores nos dice:

n,:no+1

Obtendremos ahora la expresión de la velocidad:

dR, dRo' di,l'. =-=-+- -DefO'dtdtdt

+§lxr¡

Donde debemos recordar la expresión de la derivada absoluta, es decir con respecto

al sistema fijo, de un vrector referido a una terna que gira con velocidad angular o, como es

el caso del vector poíición del punto i respecto de la terna móvil Z . Recomendamos ver el

punto en el apéndice.

Efectuando reemplazos:

*dlxr¡

El primer término es la velocidad absoluta de un punto (el origen de coordenadas de la

terna móvil) que está referido a la terna fija, el segundo es la velocidad relativa del punto i yel tercero representa la velocidad del mismo, como si estuviera fijo a la terna móvil y debido

a la rotación de ésta.

La suma del primero mas el tercero nos da la llamada velocidad de arrastre. Esta ve-

locidad la podemos imaginar como Ia velocidad que tendría el punto i si estuviera fijo con

respecto al sistema móvil. En las ecuaciones se identifican los términos de arrastre al hacer la

coordenada i constante.

Es decir:

Vanastre = Yo' * dl X r¡ y Yrelativa luego, u, =i,, +i,

Derivemos ahora para obtener la aceleración:

di, ai, . aqaxi¡ . di,*'- dt - dt dt dt

Tengamos en cuenta que la rotación Ó está referida a la terna frja, al igual que 1)o. , en

tanto que u,lo está respecto de la móvil. Efectuemos ahora los reemplazos:

di,Ai=-=Ao

dt

di, l¿i,_ -l_at -l dt

=l*l

+da *7,*tt*di' .lltl +ctxi,dt dt ldrl,

E

-

\,{ECANISMOS

-:niendo en cuenta que: * {l x7, reemplazamos nuevamente

londe usamos la notación habitual de Mecánica indicando la derivada temporal conLir" : -::o sobre el símbolo.

i/

--rhora agrupamos términos:

ai=ao' +O x r¡l-{lx@xr, ho,*Z.elxv,

ai = ao'+ Q x rr +Ox(O xri)+ d¡ * ac

Donde á" =2.§2*v. es Ia aceleración de Coriolis, término nuevo y que representa las

: I -=:rcias recíprocas entre si de las velocidades de arrastre y la relativa.

- os tres primeros términos representan Ia aceleración de arrastre. Como dijimos antes,

; - -:rlponentes de arrastre se identifican suponiendo que 7. es constante, dado que en tal-. ,. :odos los demás componentes se anulan.

Siguiendo a Hertig (Ref. 8) podemos dar Ia siguiente explicación intuitiva del porqué

" : .: rceleración de Coriolis (a veces llamada complementaria). Observemos la Fig. 3.2, enla-: ::nemos un móvil, montado sobre una plataforma giratoria con velocidad o . Este móvil: .:lln& velocidad u. respecto de la plataforma, yen el intervalo que analizamos, pasa de

" : -.ición I a la 2, respecto de la plataforma. Esto quiere decir que la velocidad de arrastre- ":-:ontal en el dibujo), en virtud de la influencia del movimiento relativo, tuvo una varia-

- :gual a:

Avo =6¡ Ar , donde Lr *v, .Lt

por 1o tanto, ha habido una aceleración igual a:

dv, la¡,|dt l¿,1,

-_\* §Lxr¡ l+ a, + §2 xv,,)

á, =án+ ó x ;, *o.(l4tUa,

AvJ =(J).v..Lt

@

MECANISMOS

Fig. 3.2

Además, pensemos que la velocidad relativa, por influencia del movimiento de arrastre(el giro de la plataforma), ha girado su posición un ángulo c , de forma tal que hay una va-riación en la misma:

Avr=vr..C[ , donde Cf -fO.A/

esto significa que hay una aceleración adicional, de valor:

La suma de ambas, que son iguales, da por resultado la aceleración de Coriolis.

Como los casos que trataremos son los de movimiento plano, tengamos en cuenta laregla que sigue para los productos vectoriales, concordante con el uso de una terna directa:

al multiplicar el vector O por otro vector, el resultado es otro vector girado 90. respectodel segundo y en el sentido de o . I-,o mismo es aplicable cuando se trata de la aceleraciónangular.

Cuando afrontemos una tarea de análisis cinemático, resultará muy conveniente seguirlos siguientes pasos:

1. Identificar fehacientemente las distintas barras, las cuplas que las vinculan y los mo-vimientos relativos entre sí. Si es posible, cambiar los pares superiores en inferiores.2. Determinar a cual barra Ia consideraremos como el sistema de referencia móvil3. Determinar el origen de coordenadas del sistema móvil (O')4. Siempre, tendremos delante estas ecuaciones:

LvI =(D.Y-Lt

ET

::..\NISMOS

Yi =vo' +O x ri+y,

Ai=Aoai=ao'*{l x rx r¡*Qx(§lxrr) +ar+ac l2l

. : sen'emos que las referencias al sistema fijo han desaparecido, siendo esto una de la

" , :¿1 análisis vectorial, que como ya se ha dicho, produce resultados con independen-: : -:ieñt& de coordenadas que usemos.

: .:lálisis de velocidades nos permitirá determinar las velocidades angulares de las dis-::::as. Recordemos que esta velocidad es el invariante vectorial del movimiento. Del

' , :: aceleraciones obtendremos las aceleraciones angulares de todas las barras.

: IIE]'IPLOS DE ANALISIS CINEMATICO

t1l

ril')t

liL

lu r ,i,

ill ,,

-:-icaremos ahora las ecuaciones vistas en algunos casos planos, representativos deilr, - i:i€Dte cualquier otro caso que se pudiera dar.

-1.-i.1 Comencemos con el mecanismo articulado de cuatro barras (Fig. 3.3 a) y supon-I r: : : ;ue el movimiento de entrada conocido es el de la barra 2, con crr2 constante.

; rtsC

Fig.3.3b I

Oas-) 'r(C¿ xio)

e), x(§)o xVc)

Q, x(C), xBC

QrxBC

Fig. 3.3c

-{pliquemos las ecuaciones vistas a la barra 2, que está animada de un movimiento uni--"--. Esta barra gira alrededor de un centro fijo (O'= O2), por lo que no hay movimientosi.-'.-os, y tampoco habrá entonces aceleración de Coriolis.

Yn *{1, x BC

E

r'

F

Por lo tanto, la velocidad y la aceleración de cualquier punto i de esta barra estarándados por:

donde el resultado son la conocidas ecuaciones del movimiento circular uniforme. Es-tos resultados surgen de eliminar de las ecuaciones ttl y IZ] todos los términos que se anu-lan.

Particularmente, para el punto B, tendremos:

vs =d¿rxra i an={2rx(d2rxra)

donde ru es el vector de origen O, y punta en B.

El punto cuyo estado cinemático queremos conocer es ahora C (i=C).La barra sosténdel sistema móvil será la 3 y el origen o'=8. Las ecuaciones quedarán:

t3l

ac =ás+G , AC+arxq}rxÑ¡ t4)

Observemos que los términos que corresponden al movimiento relativo se anulan, porser la barra 3 rígida y el sostén de las coordenadas móviles.

Si ahora determinamos la velocidad y aceleración del mismo punto C, pero pensadocomo perteneciente a la barra 4, tendremos las siguientes ecuaciones:

vc =§2oxrc

ac:dox¡tloxir)*áo *i,

En esta ecuaciones hemos denominado con i al r-ector posición del punto C tomandocomo origen al punto On .Laecuación [3] nos lleva al diagrama vectorial de la figura 3.3 b, enel cual llamamos Ov a un punto cualquiera del plano, el que será polo de r-elociáades, puntode origen de los vectores velocidad de las barras con un punto hio. Comenzamos por trazarel vector que representa a la velocidad conocida {u. Como no cono.emos a L,-.:, solo podemostrazar la recta sostén del producto or, B-, que de acuerdo a i¿ reg-a rrsta será perpendicularal segmento BC. Para cerrar esta ecuación vectorial, debemos usa¡ la ecuación [5], que nosdice que 7.9s perpendicular al vector r. . Con el triángulo va dibuiacio. rnediremos el seg-mento a, x AC en la escala correspondiente, que nos permite ieterrnlnar a r - según sigue:

le., xEel^'= BC

@

vi =§.rx.,ri i a,=dzxltlrxi,)

vc =vB +d2, x BC

tsl

t6l

-\

t- MECANISMOS

y procediendo de la misma forma obtendremos r.,l4.

Para la determinación de las aceleraciones, empezamos llamando a un punto cualquie-ra del plano Oo , que será el polo de aceleraciones (Fig. 3.3 c). De la ecuación [a] conocemosel primer y tercer témino y del segundo conocemos la dirección (perpendicular al segmentoBC). Cerraremos graficamente la ecuación (no conocemos la aceleración angular de la barra3 ni la de la barra 4),trazando el polígono de vectores correspondiente a la ecuación [6].

De la lectura de los vectores,¡n la escala que corresponda, surgiran los valores de lasaceleraciones angulares de las barras 3 y 4. Enefecto:

l:l

lA, xv,luo=Qo G, =Ó,

l__1 _-tlQ" xBCl_l'l

l

BC

Hemos denominado cln y cr, a las aceleraciones angulares de las barras 4 y 3, respecti-vamente, de acuerdo a la nomenclatura de usb común en el análisis cinemático plano e indi-camos en el gráfico los sentidos correspondientes.

3.3.2 Desarrollemos ahora la determinación de las velocidades y las aceleraciones de larueda de un automóvil, que se desplaza a la velocidadi^ y con acelera ción a,(Fig. 3.a a).

Fig.3.4 a

Fig.3.4 bVB

PL}iTO P

=yrc

i

l

d^ r@^ xO¿)

ñ^ r@* .W)

PUNTOA

Fig.3.4 c

ap

Fig.3.4d

E

1"": -

Tomaremos como terna móvil una solidaria a la rueda. es de;i: c:¿ C, = --rL . Comen-zaremos con el análisis de la velocidad del punto P, o sea i =

p. leis¿::,:> ::- --*.::l que lavelocidad del centro de la rueda es la velocidad de1 auto; i-_ _ r,

La ecuación de la velocidad será:

vp= vo*{lxO, P -;

Como por la condición de rodadura pura, \¡r= 0, ¡esuita cu¿ ia i-elo;ic¿i anquiar de larueda será:

coo =#

. El sentido de la rotación, horario, surge por obsen'ación directa, o por el análisis de laecuación vectorial de la velocidad [7].

Ahora podemos pasar al análisis de las velocidades de los puntos A y B, donde la ecua-ción sigue siendo la l7l, con los subindices y direcciones y sentidos que correspondan, segúnse ve en la figura 3.4 b.

Se puede apreciar que la velocidad de cada punto puede cacularse como si la rueda es-tuviese girando alrededor de P, dado que este es el CiR entre la misma y el pavimento.

Analicemos ahora la aceleración del punto A (Fig. 3.4 c), cuya ecuación es:

/_ -\

a A = aoR+ O^ x (O1 rO^,a )+ A* x O^ A

Para los demás puntos, será la misma ecuación con los subíndices que correspondan.En el gráfico (Fig. 3.4 d) vemos que para el punto fl la aceleración del automóvil se cancelacon el término Ó^ x O^f , es decir que la aceleración de este punto es puramente centrípeta eindependiente de la del móvil.

En lo que hace al valor de la aceleración angular, tengamos en cuenta que dada la rela-ción entre la velocidad angular y la lineal de la rueda, la aceleración resultará:

d-o^ =3 con o,R módulo de la aceleración angular y RR el radio de la rueda."RR

Hay que tener en cuenta que en el punto P, CIR del mor.imiento relativo entre la rueday el pavimento (punto coincidente de ambas barras), Ias velocrdades de ambas barras soniguales (nulas en este caso). En cambio, si har. aceleraciones distintas.

3.3.3 Veamos ahora un rodamiento a rodillos de1 .1ue \-emos un cuarto del mismo enla figura 3.5 a, con un solo rodillo. En el caso en estudio ia prsta interior está fija y la exteriorgira. Nos proponemos determinar la velocidad y la aceleracion anqular del centro del cuerporodante o rodillo Or,ya que este valor será el de la "jaula" que contiene a todos los cuerpos

@

MECANISMOS

rodantes. También interesa determinar la velocidad angular y la aceleración de sus puntoscaracterísticos. Supondremos que co2 es constante.

Z¡o,¡VOa ,//

do%-a,-lr¡

Fig. 3.5 b

Fig. 3.5 c

Fig. 3.5 a

Los datos numéricos son:

D= 120 mm d= 15 mm , o) ,or=20 7/seg

En el primer paso, determinaremos la velocidad del punto B, conocida, y que por lacondición de rodadura del rodillo respecto de la pista, es común a ambos.

rn= @ ,oa.D/2 = 20 . 120 / (2 . 1000)= 1.2 m/seg

Consideraremos al sistema móvil montado sobre el rodillo y con origen en el punto Ar,es decir el punto A pensado como perteneciente al rodillo . La razón de esta forma de proce-der, es que así conocemos la velocidad del origen de las coordenadas móviles.

La ecuación de la velocidad, para este caso, será:

ir=in,+§),xAB

La velocidad Vo vale cero (hemos suprimido el subíndice que identificaría a que barranos estamos refiriendo por brevedad, ya que por haber condiciones de rodadura pura ambasbarras en contacto -bastidor y rodamiento- tienen la misma velocidad), por 1o que podemosescribir, pasando a módulos, como sigue:

@,= rB/ d = 1.2 m/seg/O.?15 m = 80 liseg

Ahora, que ya conocemos la velocidad angular de1 rodillo, podemos determinar la ve-Iocidad del centro del mismo.

/

l,*§,,[n)

Vo, =lA, + Q, x AO,

E

rfl

h

I

lI

MECANISMOS

-{Pasando a los módulos:

a

Estamos en condiciones de pasar a un sistema móvil, montado sobre el rod.illo comohasta ahora, pero con centro en el centro del mismo, es decir O'= Or. La aceleración d.e estepunto, animado de movimiento circular uniforme será:

2V Or.ao,=T:a

2

ao,= (0.6m/seg)r/(0.12 m-0.015 m)/2= 6.g6 m/seg!

Para el punto A, la ecuación de la aceleración será: *

in =áo,+Q, x@, .Ol)El módulo del segundo término de la ecuación anterior es:"-

,: .ol = @0 1/seg)2 . 0.01s m/2 = 48 m/seg!

Luego y siempre en módulos, AAr= 4g - 6.86 = 41.14 m/seg!

Para las direcciones y sentidos referirse ar gráfico (Fig. 3.5 b).

Tengamos en cuenta que esta aceleración no es la misma que la del mismo punto, peropensado como perteneciente a la pista interior, cuyo valor es obviamente nulo.

Para el punto B, la ecuación será:

ár,=á*+O, @,.o,u)

Y en valores: 6.96 + 4g = 54.g6 m/seg! (Fig. 3.5 c)

Insistiendo con el concepto, el valor anterior será distinto al del punto coincidente per-teneciente a la pista, cuyo valor, será:

,Daap=@io¿.7

aro = (20 l/segf . 0.12 m/ 2 = 24 m/segÍ

3'3'4 Sigamos ahora con otro ejemplo (Fig. 3.6 a), analizando un mecanismo del tipo'hbierto'] es decir, que la última barra no se conecta con la primera. No obstante esta dife-rencia con lo que hemos estudiado hasta ahora,la metodología es exactamente la misma quehemos estado utilizando.

E

t- MECANISMOS

La barra 2 gíra alrdededor del centro frjo Or, en tanto que en el otro extremo tiene

rnontada Ia barra 3, que gira respecto a la 2 alrededor del centro móvil Or.

I ¡ \ur,

Bü^{lrxr n

e2" xr ,t

Fig. 3.6 c

Fig. 3.6 a Fig' 3'6 b

La barra 2 girad@2= 50 Useg, tiene una longitud 12= 1.0 m yla barra 3 gira a orr= 100

liseg (relativa a la barra 2), rr=9.3 ¡1.

Usaremos un sistema móvil fijo a la barra 2, con origen en algún punto de velocidad

conocida, es decir que podemos hacer coincidir O' con O , o con Or. Haremo s O'= O s.

La ecuación de la velocidad es:

i,=iot+ir+{2rxr,

donde i será A o B, según corresponda,

la velocidad del origen será; Voi = @ r. lr= 50 1/se8 . 1.0 m = 50 m/seg

la velocidad relativa valdrá: Vr = 100 l/seg.0.i m = 30.0 m/seg

el término @ z. ri valdrá : 50 l/seg . 0.3 m = 15.0 m/seg

Con los valores anteriores, y teniendo en cuenta las direcciones correspondientes, po-

demos construir los diagramas vectoriales de la figura 3.6 b.

La ecuación de la aceleración es:

á,=á", +§trxl1r.,-,f, +orxi, +á, +á,

Los módulos de cada término son:

aoi = , r' . lr= 5d . 1.0 = 2500 m/se{

,r' . ,r= 502 . 0.3 = 750 m/seg!

Oz

I

/

g

MECANISMOS

dr. lr= 0 (no hay aceleración angular)

or= rr' .rs= 1002 .0.3 = 3000 m/segj

ar= 2 . @r. vr= 2 . 50 . 30 = j000 m/seg!

Para el punto A, los vectores son colineales, siendo entonces la suma de 9250 m/seg2 .

Para el punto B remitirse a los diagramas vectoriales (Fig.3.6 c).

3.3.5 Veamos ahora otro caso en la fig. 3.7.Labarra2gira con velocidad angular cons-tante ¡ mediante el dado 4, transmite el movimiento a la barra 3. La ranura de esta barra,dentro de la cual corre el mencionado dado o barra 4, es circular.

Será nuestro propósito determinar la velocidad y aceleración angular de la barra 3.

!

lcm = 0,2 nr./s

Fig.3.7 b

Fig.3.7 a

Fig.3.7c

Las diversas medidas del mecanismo y demás datos son:

lr=OrA=8\mm , OrOr:160mm , &=AO=60mm , OO,,=9\mmOrA=ll8mm , o2 = l0 rad /seg (sent.horario)

IAo,Fig. 3.7 d

L-..

E

MECANISMOS

Tomaremos como terna móvil o sistema de arrastre a la barra 3 y origen de este siste-rr-ra al punto Or. El objetivo será determlnar la velocidad y aceleración del punto A, pensadocomo perteneciente a la barra 3, y asi poder determinar la velocidad y aceleración angular de

esta barra.La ecuación de velocidades resulta:

irr=lor+QrxOrA*iur-,con vAz:80.10-3 m.l|rad I seg - O.8m I seg(sent.horario)

Para la construcción del gráfico vectorial de velocidades, hay que tener en cuenta que las

','elocidades Vory Vo, son respectivamente perpendiculares a las direcciones A-Ory A-Or, en

:ento que el movimiento relativo se produce según la dirección posible de acuerdo a la vincu-ración mecánica entre el dado 4 y la barra 3, es decir la normal a A-O. (Fig. 3.7 b)

De la lectura del gráfico surgen estos valores:

vn = 0.46m I seg :. @, = ? =Y!+*'g =3.89rad I seg (sent.horario)" O.A 118.10-'m

Para una mejor comprensión del porque del sentido horario de esta velocidad angular,

;on.u.iene ver en la figura 3.7 c el equivalente cinemático del mecanismo en estudio.

La ecuación de la aceleración es:

q,"

Los valores conocidos son:

aAz = @;.AOr= 102.80.10-3 =8.0m I seg dirección A ) O,

@:qA= 3.892.118.10-3 = 1.79m/ segz dirección A-+ O,

a"=2§lrxi.sz-t.'. a,=2.3.89 .L.0=7-78mlseg' dirección O -+ A

Respecto de la aceleracíón relativa, ésta tendrá dos componentes, una normal (que será

conocida) y otra tangencial, de la que sólo sabemos su dirección.

aL-,=u1:' =9:!:{ =t6'67 mtseg'dirección A-+o'3 - R3 6o.lo-3 m

Con estos elementos, mas las dos direcciones conocidas, la ya comentada aceleraciónrelativa y la aceleración tangencial del punto A, (perpendicular a AO,) podemos construir el

diagrama de vectores (Fig.3.7 d), del cual obtenemos el valor de la aceleración tangencial delpunto A-, , que nos permitirá obtener la aceleración angular de la barra 3, según sigue:

:doz* §), x §). xOrA

T4,,$'r:2=" AO.

^ t 2trt.t cm.zm/ seg t cm

118.10-3lz=194.01 rad I segz (dir.antihorario)

3.3.6 Vemos en este ejemplo otro mecanismo abierto (Fig. 3.8 a). La barra 2 gira con

velocidad angular_variable. Montada sobre la rnisma, rueda sin resbalar la rueda 3, a la ve'

/

g

MECANISMOS

-{locidad trl. indicada, relativa a la barra 2. En la misma figura encontramos los diagramas develocidades y aceleraciones.

Nos proponemos determinar las velocidades y aceleraciones absolutas de los punto s B, Cy D.

l:20 OzAAD D

C¡ rf AO

§)zAABlcm:10 m/seg V¡.

QzAAC Q¡AAC

Fig.3.8 b

QáAAB

Fig. 3.8 a

C¿r^C)¿^AB

á"o*ro

lcm:S0Om/seg?

QzAQzAAD

Los datos son:

@z:lÜ|rad I seg(antihor.) dz=l000rad /segz (hor.) , 9 =45" , OA=1.0m

o3-z = 100 rad I seg (antihor.) rz = 0.3 m

Tomaremos como sistema de arrastre o terna móvil a la barr¿ 2, con O'=A

Determinaremos ahora la velocidad y aceleración del origen de coordenadas del siste-ma móvil:

0¡¿-z

,."""e

@

MECANISMOS

vt =@z.OA=50. 1.0=50m1 seg dirección LOAoI = a3 .oA=502. 1.0 =250 0 m / seg2 A _+ oaI = ar..OA=1000. 1.0=1000 ml segz LOA

Pasemos ahora a la determinación de las velocidades:

Punto B

i, =i.t+QrxÁE *ir_, , @z . AB=50. 0.3 =15 mlsegvB_z = @3. BA = 100 . 0.3 =30 m I seg

Punto C

ic =in+§lrxZE *i"-r. , @2 .AC=50 . 03.J, =21.20 m/segvc_z=@3. CA= 100 . 0.3. Ji=42.43 m/seg

Punto D

ic =i,s+erxÁD *ir_, , @z .AD=50. 0.6 =30 mlsegrD_z=@3. DA=100. 0.6=60 mlseg

Los diagramas vectoriales los vemos en la figura 3.g b.

Para las aceleraciones determinamos las siguientes ecuaciones:

Punto Bd, = d n * dr_, + §lrxQ, xZE + e, *ÁE + o"o^

oJ:.AB = 502.0.3 =750 ml seg B -s A

o"2.AB d000.0.3 =300mlseg, LBA

droo =2d»2xr)B_2 acon =2.50.30 =3000m / segz B -+ A

Punto C

d, =dntd"_r+GrQ xÁe +ArxAe * a"o*

0r:.AC =50, .03.Ji =1061 mlseg C _+ A

az.AC =1000.0.3. Ji =424m/segz LCA

dcon = 2{2, xv"_, acoR = 2.50.42.42 = 4243 m I seg2 C _+ A

I

EI

Tu

IMECANISIIOS

Punto D

do = dn *dr-, * {2, x §2., x AD -l §1, x AD + aro^

al.,,l.o:502.0.6 = 1500 ml seg D -+ A

ar.AB =1000.0.6 =600mlseg' IDA

dcoo =2§1, xio*, acoR =2.50.60 : 6000m I seg2 D --> A

En la figura 3.8 c vemos los correspondientes diagramas vectoriales.

3.1.2 Pnlas siguientes líneas efectuaremos el análisis cinemático de un leva de disco (Fig.

3.9 a), utilizando las ecuaciones del movimiento relativo resueltas por el método gráfico.

Este trabajo se presenta al sólo efecto de facilitar la comprensión y el uso de dicha me-

todología y ecuaciones y la individualización de los diversos términos de la ecuación general

en un movimiento que se realiza sobre la superficie de una barra con curvatura variable. Este

ejercicio será de utilidad para un lector famlliarizado con este mecanismo ya que damos porconocida la nomenclatura habitual y funcionamiento general del mismo.

Pafa mininlizar los errores de dibujo,las diversas trayectorias se obtuvieron calculandoel ángulo de preslón mediante ufl programa de computación. De esta forma se ubicó conprecisión las direcciones normal y tangencial al perfil, necesarias para la determinación delmovintiento relativo. También se usó el programa para conocer el radio de la leva en el puntode contacto (valor indicado como -R), dato necesario para Ia determinación de la aceleraciónrelativa.

La leva es de cuatro segmentos: ascenso, estacionario superior, descenso y estacionarioinferior. El movimiento es cicloidal.

Li:s demás datos son:

o, = 15oo , tr = 4oo , o¿ = 150" , e2 --20"h (carrera del seguidor) = 40mm , (r) = ljjrad I seg Rt =30 mm

Los valores obtenidos por el programa, para las tres posiciones a estudiar, son:

0o=2'/"-+s=1.0 ffiffi, v=0.88mlseg , a:33l.8mlsegz , j=3.75.lOamlseg3

ángulo de presión = 15.6" R=350mm

0o =45"-+,!= 6.0 mm, v=2.0 ml seg, a=348.7 ml seg2, j =-2.72 .lOaml seg3

ángulo de presión =29.)." R=83.0mm

0o:75o-+s=20.0mm , v=3.06mlseg , a:0mlseg?ángulo de presión:3I.4" R= 46.1 mm

rl

,ll-üü/$t/,t

/i

@

,r=-8.8.I\amlseg3

MECANISMOS

1cm

perfil primitivo

29.1"

Fig.3.9 a

1cm: lmls

Fig.3.9 b

A(e¿, Ao-re) lcm: 100m/s2

-NZ*-t

Fig. 3.9c

Para la generación de las ecuaciones consideraremos como sistema de arrastre a la ba-rra2 (el disco de la leva) y origen del sistema móvil el punto O, (sin movimiento).

Las ecuaciones son:

i ¿o = lor+ OzA *iro-..

d.tq = aor+§2rxQrxOrÁ +A. * OrÁ *duo-r.*dro^

Oz

@

MECANISMOS

-{El valor de O¡a. será igual al radio base mas el desplazamiento para esa posición.

En la figura que acompaña este trabajo vemos ,.ir.t,o el ejercicio propuesto para unángulo de posición de 45", para el cual el ángulo de presión resulta 29.L".

Podemos calcular:

OzA= Rt*s =30 +6=36.00 mm

@2.O2A=lOO'od .0.036m= 3.60 m I segseg

De la construcción gráfi,ca (Fig. 3.9 b) resultan las siguientes relaciones:

vro = tg29.l . arOrA = 2:00 m I seg

%9:i=4'!2mtseg2va4_z = _@29.1

Para las aceleraciones, podemos determinar los siguientes valores:

a{-, =? = #= 204.5 m I seg2 dir. normal a la tangente

dc =2 . (D .Y,Eq-z =2 .100 . 4.12=824 m I segz dir. normal a la tangente

lo, ,o, xorZl= @: .o2A= 360 m I seg2 dir. coincidente con el eje del seguidor

Los dos primeros vectores son de la misma dirección y sentidos contrarios. Una vezdibujados (Fig. 3.9 c), por Ia punta del último se traza una dirección paralela a la tangente ydonde corta a la dirección del movimiento del seguidor, nos dará el diagrama vectorial com-pleto, en donde podremos leer el valor de la aceleración buscada.

Dejamos al lector la verificación de los valores para los otros dos ángulos indicados(27" y 75").

\

)

@

MECANISMOS

cAPITUtg wANALISIS clNEMartco ltt

I ; I\TRO»UCCIÓN.

\ eremos en este capítulo diversos temas que, adicion-almente a los vistos en los capítu-

. , ,::teriores, nos permiiirán ampliar nuestra iapacidad de análisis de mecanismos'

4,] TEOREMA DE GRASHOFF

Un mecanismo muy común, por la diversidad de prestaciones que provee y 1o eco-

:-:,mico de su fabricación, es el articulado de cuatro barras' vinculadas entre sí por cuplas

: -:oides.

Interesa en algunos casos la posibitidad de accionar una de sus barras mediante un

::- f,tor aplicado en una cupla rotoide qr'le Se encuentre fija, es decir perteneciente al bastidor'

---:a cupla de estas características, es decir, que una de lasbarras que concurren a ella pueda

:-:ar los 360" respecto de la otra, se ia llama cupla de revolución

Nos preguntamos: ¿que condiciones deben cumplir las longitudes de las barras del cua-

::ilátero "iti.oludo

para que se cumpla esta condición?

sea entonces una cadena cinemática articulada de barras a, b, c y d (Fig' 4'1)' en el que

: -:onemos que b > a. supongamos además que b gira alrededor de a (podemos pensar en la

::::a a como bastidor).

I- D) +-Í) < ta

I --1 <?. ¿]-..J

a

Fig.4. I

--.";ordemos un teorema de geometría elemental, que nos dice que en todo triángulo la

*,r :- ;.os lados es mayor qo. .l-t.r."ro y la diferencia de dos lados menor que el tercero'

--:-,quemos esta propiedad ahora al triángulo que forman las barras c y d con ia diago-

: ":: Las dos posicio.r., .r, que la condició"n a cumplir es mas exigente' es decir cuando

..":¡nai es máxima (valdrá a+b) (Fig. 4.2) y.ou.r^do es mínima (Fig' a'3) (valdrá b-a)'

\"-

E

MECANISMOS

a

Fig4.2 P ob --< c-+d

Podemos pensar que hacemos a la barra*a/bastidor y rotamos la barra b.

La primera nos lleva a:

a+b<c+d [1]

y la segunda:

b-a>lc-dl

donde para sacar las barras de valor absoluto deberemos tener en cuenta los dos casosposibles:

c>d b-a>c-d t2ld>c b-a>d-c t3l

Ordenemos ahora las ecuaciones

(-b+.+d>ai)b-c+d>a\u*.-d>a

tll[2)

t3l

Supongamos ahora que el lado c sea el máximo (por 1o que c>d) y hacemos It] + [Z]

@

2d>2a

MECANISMOS

esto nos lleva a determinar que a resulta ser el lalo mínimo, toda vez que es menor a b

ísuposicióninicial),menorac(porqueestamossuponiendoacmáximo)ymenoradporloque estamos viendo.

Ordenando Ia[2), nos queda:

b+d>a+c t4l

suponemos ahora que el lado máximo sea d, y hacemos [1] + [3]' llegamos a:

2c>2a

donde vemos que nuevamente resulta ser a el lado mínimo. Ordenemos ahora a [3]:

b+c>a+d t5l

Si ponemos en palabras los resultados de las ecuaciones [a] y [5], resulta:

"para que en un cuadrilátero articulado haya una cupla de revolución completa, la

s:::na de ta longitud de la barra menor y de la mayor debe ser igual o menor que la suma de

--:s longitudes de las otras dos barras".

podemos hacer la demostración suponiendo ahora el giro de la barra d alrededor de

.¡ a, lo que nos llevaría ahora a demostrar que la otra cupla que tiene Ia barra a es también

:e revolución completa. Como corolario del teorema, podremos decir que tendremos dos

--:r,las de revolución completa, en correspondencia con la barra menor. A estos articulados

s¿ nes suele llamar tipo A y tipo B a los otros.

Analizaremos ahora un par de casos particulares de este teorema.

Supongamos que dos lados adyacentes sean iguales, a = b. Si suponemos c > d la [2]

::os da: d >. y si suponemos d > c, la [3] nos da: c > d. La contradicción de estas condiciones

se salva ,rporri.rrdo que c = d. Es decir, que Ia figura será un romboide' Habrá tres cuplas de

:evolución completa, que serán las ad, ab y cb. (ver Fig' 4'4)

Lo anterior no quiere decir que no se pueda construir un articulado de cuatro barras,

r: el que haya dos burias adyacentei iguales y que las otras dos no 1o sean, sólo que no tendrá

;.rplas de revolución completa.

El otro caso particuiar 1o tenemos cuando dos lados opuestos son iguaies , z = C.Si con-

,:"leramos la [1], nos da d > b y la [3] b > d. Esta condición contradictoria se salva haciendo

: = b, lo que nos lleva a que la figrrru que cumple con esta condición será el paralelogramo,'en

;- que se verificará que las cuatá articulaciones serán de revolución completa. (Ver frg' a'5)

3Z

I

MECANISMOS

Fig.4.4 Fig.4.5

Queremos aclarar que no hay nada malo ni fuera de lugar en un articulado que nocumpla con este teorema, es decir que sea tipo B. Lo único es que no será apto para que laentrada sea a través de un movimiento de rotación continua, por ejemplo un motor, pero hayinfinidad de mecanismos de este tipo que son clase B.

4.2 INVERSIONES DE MECANISMOS

Hemos visto que pasamos del concepto de cadena cinemática al de mecanismos cuan-do a una barra determinada (el bastidor) la inmovilizamos. Bien podemos pensar ante unmecanismo determinado, en liberar esa barra e inmovilizar otra. A esta operación se la llamainversión. Tengamos en cuenta que los movimientos relativos entre barras y las cuplas de re-volución completa que pudiera habe¡ siguen siendo siempre los mismos al realizai cr:alquierinversión.

Pensemos ahora en el articulado de cuatro barras de la Fig. 4.6, enel que supondremosque la barra a es la menor y que es del tipo A, es decir que las cuplas ab y ad son de revolucióncompleta.

Con la barra a bloqueada (Fig. 4.6 a),vemos que las barras b y d pueden girar 360o, porlo que si pensamos en que la entrada está dada por la posibilidad de aplicar una rotación a lacupla ab y la salida por la rotación obtenida en la cupla ad, latransformación será de rotacióncontinua a rotación continua. No debemos suponer que si la velocidad angular de la barra bes constante, la de la barra c lo será, ya que en general habrá aceleraciones angulares en estabarra. Este mecanismo se lo llama de doble manivela y palanca. Las rnanivelas son las barrasb y d, en tanto que la barra c se la llama palanca o biela acopladora. Esta es una barra flotante,es decir que no tiene ningún punto fijo.

iI,i

t??#l¡

r@

MECANISMOS

Fig.4.6 b

2

Fig.4.6 c

La primera inversión posible la obtenemos al bloquear la barra b, liberando a la a (Fig.

1.6 b). Eimecanismo se llama de manivela (la barra a) y palanca oscilante (la barra c)' La

barra d es ahora Ia barra de acoplamiento (resulta flotante). Podemos pensar que damos una

entrada de movimiento en la cupla ab y Ia salida la obtenemos en la cupla cb. La transforma-

ción es ahora de giratorio continuo en alternativo, es decir bien distinto de la que teníamos

antes. Ejemplo dJ este caso Io tenemos en el accionamiento de los limpiaparabrisas de los

autos.

La siguiente inversión es simétrica de la anterior y se produce cuando bloqueamos la

barra d.

Finalmente, la tercera se da cuando bloqueamos la barra c (Fig. 4.6 c), en cuyo caso

:enemos que las cuplas rotoides de revolución completa son flotantes, lo que imposibilita en

,a práctica el accionamiento. Se 1o llama de doble palanca oscilante.

Apliquemos ahora el concepto de inversiones al biela manivela, cuya configuración

;aracterística la vemos en la Fig. 4.7 a, enla que la barra 2 es la manivela, Ia barra 3 es la barra

e;opladora o biela flotante y la barra 4 es el émbolo. En la terminología habitual al tratar mo-

:ores de combustión interna, la barra 2 es el cigüeñal y la barra 4 es el mencionado émbolo o

:istón. El bastidor es la barra que sustenta a la manivela y que conforma también al cilindro,

ror dentro del cual se desliza elémbolo 4.

Fig.4.7 a Fig.4.7 b

Liberemos la barra 1, a la que le damos una rorma particular para poder darnos cuenta

mejor de su relación con las barras vecinas r-bloqueemos la 3 ( Fig. 4.7 b).

a

Fig.4.6 a

)

@

MECANISMOS

Ahora, manteniendo el movimiento relativo entre la barra I yla 4, háremos a la 1 ém-bolo, obteniendo el mecanismo de la Fig. a.7 c. El mecanismo obtenido puede servir comouna bomba hidráulica, ya que el giro alternativo del cilindro (barra 4) posibilita una distribu-ción a través de lumbreras practicadas en el mismo, que se enfrentan en tiempos convenien-tes del ciclo con orificios practicado en el bastidor y que comunican con las líneas de baja yde alta presión, precisamente por causa de dicho movimiento alternativo.

,,@ 4

/ ffi.urFig.4.7 c

Otro uso (Fig. a.7 d) 1o tenemos en la suspensión tipo Mc Pherson, ampliamente usadaen el tren delantero de los automóviles. El punto A es el anclaje de la barra al bastidor del auto,el B se puede observarlo al levantar el capot motor y tiene además un rodamiento de empuje(crapodina), ya que además de permitir el movimiento correspondiente a su característicade cupla rotoide, debe permitir el movimiento correspondiente a la dirección. Por la mismarazón, en el punto D hay una rótula. También hay un resorte (no dibujado). El conjunto Ces el amortiguador, es decir que la cupla prismática se aprovecha para curnplir esta función.Como el mecanismo analizado es plano y por lo tanto sin posibilídad de resistir esfuerzosen el sentido perpendicular al plano en que se desarrolla, los automóviles tienen una barraadicional, que parte del punto D hacia delante o hacia atrás.

La siguiente inversión la tenemos en Ia bomba de agua de mano, según vemos en la Fig.4.8 a, muy común en zonas rurales. Vemos que en realidad se ha suprimido una barra, 1o queen este caso no bloquea el mecanismo, dado que la elasticidad de la larga varilla que confor-ma la barra 1, absorbe el desplazamiento necesario del punto A. Támbién hay que hacer notarque hay alguna variación en las dimensiones relativas de las barras.

La última inversión posible, la tenemos cuando hacemos bastidor la barra 2 (Fig. 4.8 b).En este caso el cilindro resulta giratorio, usándose este mecanismo en los antiguos motoresrotativos de aviación tipo Gnome. Una variante de esta inversión, alterando las dimensionesrelativas de 1as barras, es el mecanismo de retorno rápido de Withworth. ;

Fis.4.7 d

w/

\]"

t_ MECANTSMOS

Fig. 4.8 b

Fig.4.8 a

{.3 EQUIVALENCIA CINEMATICA DE MECANISMOS

Cuando vimos la clasificación de Realeaux de los pares o cuplas cinemáticas, vimos un

.'=nplo en el que un par superior podía ser transformado en inferior, con el agregado de una

:::ra. Hay otros casos, en los que un mecanismo se nos presenta de una manera, pero desde

=- :unto de vista cinemático es igual a otro, que en una primera mirada nos puede parecer

: : ::lmente distinto. Veamos algunos ejemplos.

En la Fig. 4.9 a vemos una forma de obtener un movimiento lineal a partir de un cir-

- ".: continuo, mediante una leva muy sencilla, ya que consiste en un disco circular 2, cuyo

-:--::o de giro es excéntrico respecto del centro del círculo. Imaginamos para este caso un

:.-::dor de punta, que constituye la barra 3.

,

l

I

'l

E

MECANISMOS

En la Fig.4.9 b vemos al mismo mecanismo, sólo que hemos dibujado en Ia excéntricaun segmento que resulta de unir al centro 02 de giro con el centro geométrico del disco Od(segmento R) y otro uniendo Od con el punto de contacto entre el disco y el palpador (seg-

mento L). Si se dibuja al lado de esta figura un biela-manivela (B-M), se vera que cinematica-mente estamos ante el mismo mecanismo. Recordemos que en el B-M,hay cuatro barras y el

que estamos estudiando tiene tres. ¿Porque? ¡¡f i*"fJ,;: X:t;:it "iir1'-,1 '' , -

¿Podríamos pensar en un B- M con la biela acopladora de longitud infinita? Veamos el

mecanismo de la Fig. 4.10, en el que la barra 2, animada de un giro continuo, acopla con el

dado 3, el cual se desliza por la ranura que tiene practicada la barra 4, imprimiéndole a ésta

un movimiento de traslación. Si suponemos que la ranura de 4 es circular, de radio L, pode-

mos trazar el radio correspondiente. Una vez mas, si dibujamos debajo de esta figura un B-M,nos daremos cuenta que cinematicamente son iguales.

Fig.4.l0

Veamos ahora en la Fig.4.11 el mecanismo llamado )ugo escocés, similar al anterior,ipero con la diferencia que la ranura de la barra 3 es recta. Si pensamos que este radio equiva-lía a Ia biela acopladora del biela manivela, ahora tenemos un mecanismo que se mueve comoun B-M con la biela de longitud infinita.

ruFig.4.11

t- MECANISMOS

Pensemos ahora en un mecanismo de levas de disco, con el seguidor de una forma

cualquiera y el disco también (Fig. a.12). En el contacto, cada curva tendrá un determinado

radio de curvatura, representado en la figura por los segmentos PA y PB, para el seguido§ la

leva respectivamente, por 1o que podemos imaginar que podemos reemplazar el mecanismo

de levas por el articulado de cuatro barras que se indica. Sin embargo, hay un detalle a tener

.., .o.rrá y es que los radios que conforman la barra 3 del articulado, van variando según

los distinto, porrto, del par leva-seguidor van entrando en contacto, por lo que el articulado

equivalente va siendo distinto instante a instante. Esta es la razón de la gran versatilidad de

este mecanismo para generar todo tipo de movimiento.

Lca(é Ó'\-..r;i'

Fis.4.12

Ll r<zr's

?

)

ri,UL_\t"

\

\) t'-- / -\

2) tl'/. -tI ¡ 1l

-W;\,.-_-,-\

- i -lii***\

t\.

,es- L= r-,:\',/ \ \.'\c.\

-c,\>'

l:'---l

E

--)

if,

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IilI'

MECANISMOS

CAPITULO VDINAMICA DE LOS MECANISMOS

5.I INTRODUCCION

Hasta ahora nos hemos ocupado de 1o que genericamente se puede llamar la "geome-

tría del movimientol es decir la cinemática. Las consideraciones en el diseño según las cua-

les nos ocupamos solamente de longitudes y tiempo, representan una gran simplificación,

liberándonos de tratar con muchos otros factores y así nos permitió focalizarnos en aquello

que constituía el principal problema a tratar en los capítulos anteriores: determinar las ca-

racterísticas de dicho movimiento. No obstante, debemos ampliar el horizonte de problemas,

incluyendo ahora los efectos del movimiento, particularmente las aceleraciones, en mecanis-

mos con masa.

Se observa en el diseño de la maquinaria moderna una tendencia a elevar continua-

mente las velocidades de operación, como una forma de conseguir menores tamaños. Esto

eleva los esfuerzos de origen dinámico, por lo que en muchos casos es insoslayable determi-

nar correctamente dichas fuerzas.

En forma general, podemos decir que hay cuatro grandes grupos de problemas que

surgen en el estudio de Ia dinámica de los mecanismos:

. Análisis de fuerzas de origen dinámico

. Análisis del problema del balanceamiento

. Análisis de las vibraciones mecánicas

. Análisis de los efectos transitorios

En lo que sigué en este capítulo, nos ocuparemos del primero de los citados arriba. Por

1o tanto, pondremos nuestra atención en ver las cosas que pasan cuando al "esqueleto geomé-

trrco-cinemático de una máquina" le agregamos la masa.

Nos podemos preguntar, antes de comenza¡ ¿cómo sabemos que masa van a tener las

iistintas barras del mecanismo? Puede ser que estemos verificando algo existente, por lo que

-as masas en cuestión serán datos. Si en cambio estamos en el proceso de diseño - si estamos

<n esta fase del mismo nos encontramos bastante al principio de todo - no tenemos nada de

---, que necesitamos. No obstante, como suele suceder en ingeniería (y en otras actividades

::mbién) lo que no se conoce se lo supone. Esto significa que con algún criterio, le daremos

. las distintas barras dimensiones básicas y formas adecuadas (al menos en esta instancia),

- tteniendo las masas de las distintas barras y,su distrrbución, para poder estimar el momento

-: rnercia. b

El diseño es siempre un proceso iterativo, en el cual \'amos avanzando estimando aque-

,s variables que no conocemos y que necesitamos para poder seguir con el proceso, hasta

: --minar con un resultado. Obtenido esto, confrontaremos éste con las variables supuestas

:::ante el diseño y de haber diferencias significativas (1o que es 1o mas habitual), volvemos a1

: -:lto inicial, solo que esta vez las estimaciones serán mucho mas acertadas.

I

I

I

I

i.

MECANIISMOS

En conclusión, ahora'tonocemos" las masas,la ubicación del centro de masas (CM) yel momento de inercia (I).

Como etapa previa al análisis dinámico de los mecanismos, vamos a desarrollar los dossiguientes temas.

5.2 SISTEMAS DINAMICAMENTE EQUIVALENTES

Supongamos tener una barra de un mecanismo, de la que conocemos los parámetrosque la definen en un sentido dinámico: la masa m, la ubicación del CM y el momento de iner-cia i. Supongamos además que el cuerpo es un continuo. Nos preguntamos ahora ¿podemosreducir este continuo a alguna cantidad de n masas discretas? Esta claro que este nuevo cuer-po debe comportarse, desde el punto de vista dinámico, de la misma forma que el original,loque podremos obtener conservando:

1) la masa total2) la ubicación del CM3) el momento de inercia

Las preguntas entonces son: ¿cuántas masas, donde estarán y el valor de cada una? Elresultado obtenido será la barra dinamicamente equivalente, y si reemplazamos a las distintasbarras del mecanismo por las equivalentes, tendremos un sistema dinamicamente equivalente.

Si empezamos suponiendo que reemplazamos el continuo por una única masa m, ubi-cada en el CM, habremos cumplido las dos primeras condiciones, pero esta claro que la ter-cera no, dado que un punto no tiene inercia rotacional. Seguimos entonces con dos masas,ubicadas de forma tal que la línea que las une pase por el CM, según vemos en la Fig. 5.1.

í--N = ¿l [i,.¿ = ;

t-i'' - i'-I'

r :1,

Fig.5.1

ii

Vearnos las ecuaciones que cumplimentan las tres condiciones:

T

@

m=ml +m2 m'1, = mr.l, l2l , mrJr2+mrJl:¡ t3l

'1iI

I

l- MECANTSMOS

Combinando las dos primeras, o tomando momentos estáticos,llegamos a:

l.*r=*'í , ffiz=*.+ e1

Vemos que con las ecuaciones obtenidas podríamos elegir libremente las distancias l, y1,, pero al no haber aplicado todavía la condición del momento de inercia, el sistema obtenido

será pseudo equivalente.

Apliquemos ahora la[2'], en la [3],

*.?.,r**l$:r Yl*A,+\)=1 ,.ml,t,:! t4l

Vemos que tenemos la posibilidad de elegir una distancia y según esta última ecuación

determinar la otra, yendo luego a las ecuaciones [2'] para calcular las masas.

5.3 CENTRO DE PERCUSION

Supongamos una barra con un centro fijo de rotación, tal como lo indicamos en la Fig.

5.2.La distancia del punto fijo O al centro de masas (CM) la llamamos r-. Consideremos a R

como Ia resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y det8rminamos el punto

P, intersección de la recta de acción de esta fierza con la línea que une a O con el CM. Indi-camos con d a la distancia entre este punto P y el centro de masas.

b,i

Fig.S.2

Sabemos que la aceleración resultará de la ecuación de Newton R=rfi.a,

y además M = L ct, con cr aceleración angular.

e=d.cosF .YAdemás será M: R. e, ar= a. cos p

a

rMECANISMOS

-{Ahora escribamos: I . cx, = R. . yreemplacemos:

I. a. cos 9lrr= m. a. d. cos B yoperando l / m: d.rg

Vemos que la distancia d depende solo de la características dinámicas del cuerpo y node las fuerzas aplicadas. Al punto ubicado en esta posición lo llamaremos Centro de Percu-

sión (CP)

¿Qué pasa si aplicamos una fuerza exterior que no pasa por el punto CP? En tal caso

desarrollará una reacción de vínculo tal, que sumada alafuerzadetermina una resultante que

sí pasa por el CP. Si en cambio, aplicamos una fuerza que pasa por el CB no se generará la re-

acción de vínculo. Resulta claro entonces que si tengo que golpear un objeto, por ejemplo con

un martillo, el punto de impacto de éste deberá ser el CP respecto del punto que representaen este caso el centro de giro O, dado por el punto en que la mano toma al cabo. Otro tantocon la raqueta, en el que la zona de impacto de la pelota es el CP respecto de la zona en que

tomamos a aquella (Fig. 5.3).

Fig.5.3

Veamos que la ecuación que determina el CP es similar a la que vimos en el parágrafoanterior, para cumplir con la condición del momento de inercia. Es decir, que el CP junto conel centro de giro O, representan dos puntos en los que podemos suponer aplicadas las dos

masas que corresponden a un sistema dinamicamente equivalente. Si vemos, entonces, que el

punto de impacto es dorrde esta concentrada toda la masa (notar que el otro punto es O, que

esta fijo), nos explicamos porque no habrá reaccion de r-inculo. Ambos puntos, O y CP, son

intercambiables, es decir que podemos pensar que 1a barra qira alrededor de1 CP, siendo el

nuevo centro de percusión ahora el punto O.

Añadimos que 1o que decimos respecto que no habra reacciones de r-ínculo se refiere a

Ia componente perpendicular a la línea O-CP, dado que la componente en dicha línea si será

soportada por el vínculo, además de no contribuir al mor-imiento.

w

CP

MECANISMOS

5.4 ANALISIS DINAMICO

Cuando estudiamos dinámica en los cursos iniciales, es común que se nos plantee el¡roblema de dado una fuerza, o conjunto de ellas, aplicadas a un cuerpo, determinar losefectos que se producen. La ecuación básica que rige este fenómeno, será la ecuación de\errlon:

R:m.ide 1a cual en este planteo conocemos la frterza y debemos determinar la aceleración.

En mecanismos, el análisis dinámico empieza a partir de un mecanismo ya diseñado y,

.omo dijimos antes, de alguna estimación acerca de las masas intervinientes. También habrá:niormación de la geometría de las barras, es decir de su forma, por lo que podremos estimar^os momentos de inercia. La velocidad de operación será un dato ya conocido, por lo tanto:ambién será ya conocida toda la cinemática del mecanismo en estudio y en consecuencialas aceleraciones de los distintos puntos característicos del mismo, particularmente la de los.entros de masas de las distintas barras. También conoceremos sus vínculos con el bastidor.

Nuestro problema será entonces averiguar cuales son las fuerzas capaces de sostener¿se estado de movimiento. Volviendo a la ecuación de Newton, podemos decir que conoce-:ros el segundo miembro e intentamos determinar el primero.

Genericamente, podemos plantear este diagrama de bioques (Fig. 5. 4), en el que conFn (fuerza motriz) representamos a la acción externa sobre el mecanismo, proveniente, por:iemplo, de un motor de accionamiento. Con Q indicamos la acción útil del mecanismosobre el exterior, por ejemplo la fuerza que ejerce una herramienta sobre Ia pieza que se está:i-raquinando. Finalmente, habrá un rozamiento, indicado por Roz. Este esquema, en el quelr-r apar€c€fl todavía los efectos dinámicos,lo podemos llamar esquema estático.

-) F.o, -¿Rozll>@:l)@:5@Fa\ FN

Fig 5.4 Fig 5.5 Fig 5.6

Pero en realidad, habrá movimiento y por lo tanto aceleraciones. Por esto, al esquema.:ierior le debemos agregar las fuerzas acelerantes Fc, que son las que sostienen el estado de:tovimiento del cuerpo, en el instante considerado, por io que ei esquema queda como indica: Fro \ \'- - -ó' "'"'

Ya podemos ir pensando que una parte de 1a luerza ruotriz 1a tendremos que'gastar" en: -.stener el movimiento, quedando el remanente i'ara 1a acción útil Q y para el rozamiento.

Respecto de esta última fierza, diremos qui en los mecanismos los movimientos re--:tir-os entre las distintas barras se producen interponiendo elementos que disminuyen la-:rcción (cojinetes lisos, rodamientos, bujes autolubricados, placas de teflón, etc.) que dismi-

@

fMECANISMOS

nuyen el rozamiento al punto que lo podemos suponer despreciable. Si este no fuera el caso,nos encontraríamos con que hay que suponer un coeficiente de fricción y en base a éste y alas cargas normales entre las superficies en contacto (que todavíu rro .o.ro.emos), determinarel valor de la fuerza de roce. Lo que deberemos hacer será resolver el estudio del mecanismocomo si no hubiera fricción, determinar las fuerzas normales, introducir ahcra las fuerzas derozamiento como cargas externas y realizar el estudio nuevamente, es decir iterar. El procesopuede simplificarse en algunos casos, ya que al poder relacionar la fuerza normal con la defricción a través del coeficiente, podremos en un solo paso determinar estos valores.

El análisis dinámico de los mecanismos debe producir dos resultados: el primero nosserá de utilidad para el dimensionamiento de las distintas barras. El segundo, nos permitirásaber en que medida la fuerza externa aplicada al mecanismo (Fm) se traduce en una fuerzaútil a los fines del mismo (Q), siendo la diferencia (en términos conceptuales) lo que quedapara mantener el estado de movimiento del mecanismo, instante a instante. También puededecirse que este análisis nos permitirá determinar la potencia del motor de accionamientopara operar el mecanismo en las condiciones especificadas de movimiento y fuerzas externasaplicadas a é1. t.-

[-,r-,+i- { }-_-

s.spRINCIproDED'ALEMBERT O -'-; ''

tC -{ i ü'' -,-, ]!J

Partamos de la ecuación de Newton e=*.",en donde .on F r.pr.sentamos a todas lasfuerzas exteriores (activas y reactivas) que actúan sobre el cuerpo. Está claro que estamosestudiando un caso de no equilibrio, en el sentido estático, toda vez que hay aceleraciones.Escribamos ahora:

P-m.a=O

La ecuación anterior es similar a Ia que se usa de partida para edificar toda la Estática,con el agregado de un término: - m.a. Llamémoslo iuerza ficticia de inercia. F-. Recalcamos laidea de ficticia, todavez que es un término que se agrega para rgualar a cero una ecuación.

C-on el concepto anterio¡ y llamando R a la resistencia que se opone a la fuerza útil(Q : - R), el diagrama de bloques queda según la Fie. _;.6.es decir:

=U

Lo anterior lo podemos interpretar como que e1 sistema estará en equilibrio bajoacción de las fuerzas externas motrices, las reacciones r- las fuerzas de inercia.

s.6 EIEMPLOS

Como forma de comprender algo mejor eI concepto de esta fierza ficticia de inercia,veamos la siguiente situación (Fig. 5.7).

i?,

tItI

II

,ll

t*I

il

Ia

F.,,+R+F

I

EN

l- MECANISMOS

F ig. 5.7

Considerémonos como un pasajero sentado, con su cinturón de seguridad aplicado y el

automóvil frenando. Por Ia vinculación de nuestro cuerpo al automóvil, debemos proporcio-

narnos la misma aceleración (negativa) que el móvil. Lafierzanecesaria (Fa) será producida

por el cinturón, siendo ésta la fuerza exterior de la ecuación de Newton'

¿y la sensación de irnos hacia delante, que fuerza es? La respuesta es: ninguna. No es

una fuerza, es la sensación que produce la inercia, que por su naturaleza Se opone al cambio

de movimiento.Ahora bien, supongamos que queremos estudiar los anclajes del arnés de seguridad al

r-ehículo, por lo qrreiub.e*os que tenemos que generarlafuetza Fa, ypor reacción, habrá

una fuerza -Fa aplicada por el arnés a los anclajes.

El estudio se simplifica, desde el punto de vista operativo, introduciendo la fuerza ficti-

cia de inercia, igual y de sentido contrario a la acelerante: Fi = - Fa. Si consideramos también

e1 peso W ylas reacciones en los anclajes del cinturón y soportes del asiento-(llamémoslas

Rij podemás plantear: W + Fi + Ri = 0, siendo este sistema de fuerzas el aplicado al conjunto

.siento - arnés, en equilibrio en el sentido estático.

Operativamente, todo lo anterior significa que frente a un sistema en movimiento, .o.r- |

.i,leramos las fuerzas exteriores, ugr.gu*o, las ficticias de inercia y tratamos el caso como J

,: ir¡era estático, en lo que hace al análisis de tensiones, determinación de diagramas de mo- ¡::entos, determinación de reacciones de vínculo, etc. Es una herramíenta sumamente útil

f

¿¡1 el análisis, porque nos permite aplicar a sistemas no estáticos todos los razonamientos y j::letodos ya vistos en esta rama de la mecánica' J

Veamos ahora otro ejemplo, en la Fig. 5.8. Se trata de una cremallera que en su extremo

-:l!rior tiene una matrizq.r. áu forma a una pieza por deformación plástica. La cremallera

. s:á accionada por un engranaje. Para el estado en esrudio las velocidades y aceleraciones son

-., indicadas, además también se conoce la fuerza necesaria para deformarlapieza que se

.stá conformando (frr).

La masa de la cremallera (barra 2) es de 15 Kg r- el momento de inercia del engranaje

::rra 3) es de 1 Kg. m2 . Los subíndices de las luerzas o cuplas indican, el primero el origen

. iarra que la proí,r.. y el segundo la barra sobre la que actúa. Es decir, que f, representa la

E

\-MECANISMOS

-{fuerza que el engranaje efectúa sobre la cremallera. El subíndice i indica lafuerza (o cupla)frcticia de inercia.

Cr¡<-.-C---i------*

t '

ffi<)Y jt¿tof,

\A-- 1 -ef

2

@l:ii.fÍá

lu:,,,

f

,:u,*

t1fi,

Fig.5.8

Procederemos a aislar la barra 2 para evidenciar todas las fuerzas que actúan sobreella. Supondremos que las fuerzas son colineales, dado que aunque no lo son, el momentooriginado será tomado por las reacciones del bastidor, perpendiculares al movimiento y sininfluencia en este estudio.

La ecuación de equilibrio será:

f or+ f,r- fiz=0

donde los'términos conocidos sonr f,, = 6 *.15 Kg:g0 U .l y f oz = i00 Nt.seg-

Luego, resultará: fzz :390 N sentido {

Conocemos ahora la faerza que la barra 3 (el engranaje) debe hacer sobre la barra 2por lo que el próximo paso será determinar la cupla de accionamiento, que como sabemos

deberá suplir lo necesario para producir u f., más lo necesario para la inercia de la barra 3.

@

l_ MECANISMOS

Haremos un planteo similar al anterior, aislando a esta barra y considerando que sobre ella

actúan la cupla motora, la cupla de inercia y el momento producido por la acción de la barra

2 sobre la 3.

Planteando entonces el equilibrio de cuplas, en forma análoga al equilibrio de fuerzas e

introduciendo la cuola ficticia de inercia C. = I.a:

-C, tC,rt frr.Rr:0 con C,r=lKg.m? .2471 segz =24Nm

fR..o.d.-os que la aceleración angular vale: *, -- ? =9: !t--'r' =24--1--\\-

uc la aceleracrulr a¡li '¿(3 0'25m -'' '"r' )

/Reemplazando valores nos queda: Cu =121.5 Nm sent.horario

E

MECANISMOS

CAPITUTO VTANATISIS DINAMICO II

6.1 INTRODUCCION

En el capítulo anterior hemos vistos sistemas sencillos, que nos permitieron visualizarla metodología a aplicar para resolver los casos en forma similar al planteo estático, introdu-ciendo las fuerzas ficticias de inercia (principio de D'Alembert). En esteveremos mecanis-inos de varias barras vinculadas entre sí, en los que aparecerán diversas incógnitas simulta-neamente, debiendo desarrollar el método que nos permita resolver estos problemas. En todolo que sigue nos referiremos a los casos planos.

Sabemos que el objeto del análisis dinámico es determinar cual es el momento nece-

sario a aplicar en el accionamiento o barra de entrada para obtener (sostener) el estado de

rnovimiento que pretendemos y también saber cuales serán los esfuerzos que se produciránen las distintas barras del mecanismo.

Las ecuaciones de la dinámica nos dicen que la sumatoria de las frterzas aplicadas a unñrerpo producirá una aceleración del centro de masa (CM) y una aceleración angular, según

-¡s ecuaciones que siguen:

ZF" =ffidc , lC" =J.u

donde F'representa todas las fuerzas exteriores (obviamente, se incluyen los vínculos),:: es Ia masa de la barra considerada, aG la aceleración del CM, C" las cuplas exteriores con-s:d.eradas respecto del CM, / es el momento polar de inercia respecto del CM y ala acelera-:-.-rn angular. Conforme lo visto en el capítulo anterior, denominamos:

fierzaficticia de inercia F¡ = -m.ac

cupla ficticia de inercia C, : -J.a

Efectuando,reemplazos :

>F" +F,:g , I C" +C =O t1l

Tengamos en cuenta que Ia ecuación de las fuerzas, al considerar las proyecciones sobre¿::bos ejes, resulta en dos ecuaciones algebraicas, en tanto que la de las cuplas nos dará una*;uación más.

Por otro lado, según leemos en la Ref. 4,las ecuaciones que se pueden plantear para resol- )

'--er un mecanismo compuesto por varias barras son todas algebraicas y lineales en las fuerzas de | ;

::ercia, Io que significa que se puede aplicar el principio de superposición, es decir que podre- [ :

:ros considerar el efecto dinámico de cada barra por iepurudo, pura lrego sumar los'efectos. II

II]

E

MECANISMOS

{

6.2 METODOTOGIA A APLICAR - RESOTUCION GRAFICO NUMERICA

Efectuaremos el diagrama de cuerpo libre para cada barra, explicitando las fuerzas ex-teriores que actúan sobre ella. Estas fuerzas serán generalmente producidas por la acción delas otras barras que se conectan con la que estamos estudiando, á tambié, po.la realizaciónde alguna acción sobre el medio. A las anteriores deberemos agregar las fuerzas y cuplas deinercia y finalmente resolver las incógnitas utiiizando las ecuaciones [1].

Veamos en la Fig. 6.1a el esquema de un mecanismo articulado del cual, como ya he-mos efectuado el análisis cinemático correspondiente, conoceremos las aceleraciones de to-dos los centros de masa y las aceleraciones angulares de todas las barras. Veamos el esquemade cuerpo libre de la barra a (Fig. 6.1b), en donde Frn nos indica la fuerzaque la barra 3 ejercesobre la 4, F rla acción del bastidor sobre la mismal affa y F nla frJerzade inercia. podemosplantear la siguiente ecuación:

4o+F,o+40 =0 tzl

que no podemos resolver todavía porque desconocemos dos de sus términos, Frny Frn.

,,NY-7r*Fig.6.ld

@

I- MECANISMOS

Planteamos ahora unacomponente de Frn normal a

que sigue:

%F¿

Fig.6.1e

ecuación de momentos respecto del punto On, considerando la

la barra 4, que llamamos F'rny que obtendremos de Ia ecuación

F;4.8O4 - Fi4.d'-Ci¿ = 0 t3l

Pasemos a estudiar la barra 3, cuyo esquema de cuerpo libre lo vemos en la figura 6.1c.

La ecuación de las fuerzas es:

F*+Fo -0 Í41

de la cual desconocemos a las fuerzas Fn rFrr.

La ecuación de momentos respecto del punto A, considerando a Ia componente normala la línea AB de lafi¡erza{r, que llamamos F"..n será:

F,r.d + F-|3.BA' - C¡z :0 t5l

de donde podremos obtener la compon ente F"..n.Si recordamos que F- = -F¡, ,Po-d.remos utilizar las componentes halladas para obtener F, {fiS. 6-1d), trazando por los ex-

tremos de las fuerzas Flo y F-\nlíneas perpendiculares a ellas, cuya intersección nos dará Ia

faerzabuscada. Ahora estamos en condiciones de resolver las ecuaciones [2] y [4], 1o que nos

permite hallar las fuerzas 4u ! Fr, , respectivamente- En la 6gura inücamos los polígonos

con el número de ecuación correspondiente.

Para la barra 2 (Fig. 6.le) escribimos:

* Fzt

4, * F,,

de donde podremos obtener el valor de

+ F,,

Fu

-0 t6l

en forma directa.

E

MECANISMOS

-{Resta ahora determinar el valor de la cupia de accionamiento (C,r), es decir la cupla que

aplicada en la barra de entrada (la2 ennuestio caso) es capaz de producir el estado de mo-

vimiento que estamoS analizando. Para esto escribiremos la ecuación de momentos respecto

del punto Or, para labarta2:

Frr.d" + Fiz.do' - C,, - C,

Despejando:

Ct'' = F"'d" + Fiz'd'' - C''

Si además deseamos producir una cupla de salida, deberemos adicionar una cupla ac-

tuante sobre Ia barra 2. La determinación dá esta cupla surgirá de un cálculo puramente está-

tico. Veamos la f,gura 6.2, endonde hemos representado 1os ejes de las barras y consideramos

aplicada una cupla externa C,n sobre la barra 4' Esta cupla es la opuesta a la cupla de salida

que el mecanismo proveerá (C,= - Crn)-

Fig. 6.2

El equilibrio de cuplas, tomando momentos resPecto

cular la fuirra F.r, crtya dirección será la del eje de la barra

D -crot34- 7

a

dei punto 04 nos Permitirá cal-

3, según la ecuación que sigue:

@

t- MECANISMOS

Considerando ahora la barra 3, vemos qrre Fzt * Fo, - 0 "'

Fr, = 4o ".,

decir que

por tratarse de un análisis estático,las barras actúan transmitiendo las fuerzas que reciben.

Considerando ahora a la barra 2 y planteando un equilibrio de momentos respecto del

punto 02 , podemos determinar el valor de la cupla de accionamiento:

I ^(a - ' r+.,\s

Con este valor podemos calcular el motor de accionamiento del mecanismo.

l: |'\ r" *6.3 APLICACIÓN A UN BIELA MANIVELA

Veamos la Fig. 6.3, en donde vemos al mecanismo cuyas dimensiones y datos son:

Ctz:F¡2. d'

o<¡ I¡

MECANISMOS

I =20Omm ,ln=50mm ,lu=l50mm, Mr,r-:0'4Kg ' ffi4:O'LKg ' J3=0'003ry*'

§r,rro* =76mm, p =30 bar .'. P=3.10'#+.10-6m2 =13'609'4N

R=50mm , ángulo deposición:45o , n=3000 rpm

El análisis cinemático da estos resultados:

aq=-3509.66mlsegz , at=18298.2 llsegz , aG3=4324.2mlsegz @216'3"

Del esquema obtenemot' , ._. .:r97 mm y d"r_n=36mmu ¡t+-,1

La ecuación de equilibrio para la barra 4 es :

fro+ fot.f,o=0 t1l

De estas fuerzas podemos decir que conocemos a la de inerciaf'ry que \u frrserá de

dirección perpendicular a la del movimiento. Respecto d" f ,rnada sabemos' Por lo que no

podemos cerrar el polígono de fuerzas. Podemos iesolver .tié ¿t dos formas: una es aplicar

el principio de superpo-sición, suponiendo que la barra 3 no tiene masa' con 1o que ahora la

faerua f ,nseráde dirección de la biela y en una etapa posterior hacer los cálculos suponiendo

ahora biela con masa y barra 4 sin masa. La otra forma es tomando momentos respecto del

punto A (notar qr. ,o, conocidos los sentidos de las fuerzas y momentos' por 1o que los signos

resultan de Ia observación del gráfico), pudiendo así realizar todo el cálculo en un solo paso:

fro.d ¡v--e Í f,r'd or-n - C¡t = 0

Además:

f,o=_ffio.ao_0.2Kg.3509.66m/seg,=70].9jNc,, =-J,.ü, -0.00i Kgm' .18298.2 I / seg' --54.89Nm sent. horario

f,, : -ffi,'ao' : 0'4 Kg'4324'2 m / seg' -- 1729'7 N

Luego:

{ -c,z- f,r.dct-,, -54'89 -1729'7 0'036

= 47.46NJ t4 - d ¡'o-n 0'197

El signo negativo nos indica que el sentido de la fuerza es contrario al indicado'

Con ese valor obtenido reemplazamos en [1] v obtenemot f-.. ¿.t diagrama vectorial'

que nos da 703 N.

E

T

fr

}IECANISMOS

Fara la barra 3 podemos escribir:

-fr, * io * io, = 0 pudiendo obtener del diagrama vectorial fzt = 2340 N

-{hora podemos razonar que la inercia del sistema, vista desde la cupla rotoide 12, es

:,:,-:¡ desde la manivela, es una cupla Ct igual a:

C, = fr.d r3z-c =2340 N 0.017 = 40 Nm sent-horario

Esta cupla es el efecto de la inercia de todo el sistema sobre la manivela, que en este caso

i,e ¡pone al movimiento.

La expresión de la cupla estática para este mecanismo (ver capítulo 8 al final):

Crsr:T.R=J ^ .,"n1o+ B)'R =566N sent' antihorariocos B

Por lo tanto, la cupla disponible será la diferencia entre ambos valores: 526 Nm

6.{ METODO ANALITICO

Veamos como resolver el planteo que hacíamos en el parágrafo 6.2 en forma analítica.

!::a esto, debemos poder formalizar, es decir escribir en forma de ecuación los diversos con-

::::os allí mostrados, particularmente el equilibrio de la barra aislada, lo que nos lleva a desa-

-:-Lar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y de momentos. Nos referiremos a la Fig. 6.4 .

II

$

trI

MECANISMOS

-l

Asegurémonos previamente que dispondremos d'e las ecuaciones necesarias para las

incógnitas que surjan, según sigue'

Porlabarra2,yproyectandoenlosejes,tendremosaiassiguientesfuerzascomocógnitas:

F"* F"'F"* F"'

Además, existe ia cupla crr, qr. supondremos es el accionamiento del mecanismo y

desconocida. Esta es la cupla necesaria fl* t"ut"er el movimiento debido a la inercia ex-

clusivamente. Además, podemos p.rru, que actúa-una cupla adicional c'" qo" producirá

una cupla de salida.r-lu burru a. Á ta ,o*u d.las dos primeras la podemos llamar cupla de

entrada c, y ula última cupla de ,"riau cr. s.gún este ,Iti.r,o razonamiento' puedo cambiar

el planteo y pensar que aplicamos una cupla áe entrada conocida y nuestro objetivo es en-

contrar la de salida.

Es importante que tengamos en claro la distinción que acabamos de hacer: si queremos

averiguar cuanta.rrpü rr.."iit"*or.pli.u, para solamente.mover el mecanismo' tendremos

u C,, .o-o incógnita y ninguna cupla a. 'ufiau'

Si en cambio' suponemos qrre aplicamos una

cupla conocida .rr 1" átruáu (por e¡emplo f or medio de u¡t motor)' este valor será conocido'

Por otro lado, habrá una cupla de salida uho'u desconocida' Este último planteo' que corres-

pondeaunenfoquedeverificación'seráelqueaplicaremosenloquesigue'

Podremos plantear para esta barra dos ecuaciones de equilibrio (una proyección por

eje) para las fuerzas mas una de momentos' en tanto hay cuatro incógnitas'

Para la barra 3, las incógnitas son: Fo'v Fo'r

Naturalmente, para el equilibrio de esta barra habrá que considerar además las fuerzas

F,,-/ Frry,peroéstas no son incógnitas nuevas' ya que recordemos que d --Fit Tenemos

;;l:;tíiJ;*.u do, ecuaciones de proyección y una de momentos'

Para la barra 4, las incógnitas son: F'o* F'o' C'o

También para esta barra tenemos dos ecuaciones de proyección y y'u de momen-

tos. Obsérvese que hemos escrito C:;;; indicar 'a

cuplá qt" tl ba.stidor le aplica a la

barra 4, que es la barra en estudio y'q,,t es igual y contraria u la tupla de salida del me-

canismo: Cs = -Ct+

¿

MECANISMOS

Recordemos que habrá en cada barra actuando una fuerza y una cupla ficticia de iner-

cia, cuyos valores serán conocidos. Como resumen de los elementos que aparecen en este

planteo, veamos la siguiente tabla:

Barra Incógnitas Conocidas o repetidas Ecuaciones

2 F,,, F,,, F,,., F,,, c E Fi2x FizY aJ

3 For* Fo* F,,, F,,, F,,, F,,, C,, J

4 4o* Fro, Ct Fro* Fro, F,o* Fro, C,o J

Totales 9 9

Ahora escribimos las ecuaciones para labarua2.

F,** Frr, * F,r* =0F,r, * Frr, * F,r, :0

Los momentos lo serán respecto del centro de masas, debiéndose tener en cuenta los

signos para las cuplas suponiendo que las fuerzas son positivas y observando el sentido de

:iro correspondiente viendo la figura.

C,r+Cr+rorsen\r4rr-rorcos1rFrrr-(rr-ror)senlrFrr*+(rr-rrr)cos0r,{r" =0

Observemos que a medida que el mecanismo gira yvarían los ángulos, los signos de los

::.omentos varían consecuentemente de acuerdo a los signos de las funciones seno y coseno.

Je esta forma, las expresiones desarrolladas son válidas para todas las posiciones del meca-

rsmo y aptas para ser utilizadas en un entorno de programación.

Para la barra 3:

Frr** Frr* * F,r, =0Frrr l For, * F,r, :0C,r+rorsenlrFrr,-ro, cos0r.Frr, -(rr-ror)senlrFor* *(rr-ro.)cos0r,For, = 0

Para Ia barra 4:

Frr* * F,o, * F,.* :0Frr, * F,o, * F,o, :0C,o - (ro - roo)senl oFro* * (ro - roo) cos0"F*, -+ CÁ + r.o senl o Frr, - roo cos9 oFro, = 0

Vamos a volver a escribir las ecuaciones anteriores, dejando a la izquierda los elemen-

: - s conocidos, ordenando y aplicando lo que diiimos antes: F,, =- F¡i

E

MECANISMOS

F,r, =-F,r** Frr*

F,r, =-Frrr* Fr*C,, + C , - -tG2 senT , Frr* t (ro, cosO, ) Frr, - (r, - ror) senl , Frr* +

+ (rz - ror)cos9, Fr*

F,r, =-Frrr* Fro*

F,r, =-Frrr* Fro,

C¡t = -fcz sen\, Frr, *ro, COSOrF, ,, - (r, - ror)sen\ rFro* t (r, 7 ror)Cosor4o,

F,o, =-Frrr- F,r*

F,o, =-Fror- F,r,C,o = (r+ - roo)sen! oFro, - (r+ - r.o)cose4,Ei4r - rou sen! o Fro, * rG4 cos9 4Er4y

Las ecuaciones de arriba conforman un sistema lineal que podemos escribir en forma

matricial simbólica:lr,l= t¿lt+l

en donde h] ., el vector de cargas (conocidas), donde están las fuerzas y cuplas de

inercia y la cupla de entrada. vale hacer notar que al mecanismo también se le puede aplicar

una carga externa en alguna de las barras y .ár..rpondientemente habría que incluirla en

este vector, modificando el sistema d"..ouáo.r.r. Ad.*ár, [l,]., U mafiizcuadrada que re-

presenta al mecanismo, sus ángulos y geometría y finalmerr,. [F'"] representa al vector de las

incógnitas, en este caso las fo.irus y iu .,rplu que el bastidor aplica al mecanismo' Esta última

es la opuesta a la cuPla de salida.

siguiendo con esta representación, la solución buscada se obtendrá multiplicando am-

bos miembros Por lamattiz inversa:

[¿f'[r,]= [¿I' [¿][+]

[r]-'[z]= r

lr*l=[¿I'[r,] '

verse la matrizy los vectores completos, donde hemos

Dado que:

resultará en definitiva:

En la página que sigue Puede

hecho la siguiente sustitución:

Rz=fz-tcz , Rl=tz-lG3 ' Ro=ro-roo

Para el caso en que los centros de masa no estén sobre el eje de las barras, se requiere

alguna modificación en las ecuaciones. Esto puede verse en la Ref'3.

La posibilidad de obtener facilmente el resultado de las cuplas necesarias para diversos

ángulos de posición del mecanismo hace particularmente útil este método Para determinar el

g

l- MECANISMOS

volante necesario, ya que se puede obtener el diagrama de trabajo necesario Para el cálculo.

sssssss§T

x\\\\t\|-*r'i rf ,{ ,i ,f ,f ,ftf ri

osssssssT §\

'vÉ

oo§ssssss'i§ \

.v

I

§d9§SSS §ST §

\)r§§TYde=

sss s UTs §

Taidd

s\ §sT §ssso|\ü

ddXFs 9Ts Bsssñrho<' rutl\

@-qs-i 8s§§§§s

§.(5

§@

N

)s;ssssssrñrvNI

I

,. -d )< x \ x É

,f r+ *^ ,o= r<= § &= r\= u-U

E

t_ MECANISMOS

CAPITULO VIIBALANCEAMIENTO DEt MOVIMTENTO ROTATIVO

7.I INTRODUCCION

Hemos visto en los anteriores capítulos como el movimiento origina aceleraciones, que

al actuar sobre las masas que corporizan al mecanismo, producen fuerzas de origen dinámi-co. Estas fuerzas producirán acciones sobre el bastidor y siendo dichas fuerzas de naturalezavariable en el tiempo, también lo serán las acciones.

Los efectos del desequilibrio los podemos resumir según sigue:

. Cargas variables en los cojinetes de apoyo, con presiones elevadas que dificultan al

adecuada lubricación, acelerando el desgaste y generando eventuales roturas.. Fuertes acciones sobre el bastidor, que inducen sobre el mismo vibraciones y trepida-ciones, pudiendo conducir a movimientos del bastidor y roturas de anclajes.. Incremento de los riesgos de rotura por fatiga, cuya peligrosidad se incrementa porla elevada velocidad.. Pérdida de precisión en el trabajo de la maquinaria por las trepidaciones, especial-mente en las máquinas herramienta y en las de medición.. Falta de confort de los usuarios y malas condiciones de trabajo para los operarios.. Ruidos molestos para los operarios y vecindad en general.. Errores en el proceso mismo que se está llevando a cabo (caso de las máquinas herra-mienta).

En el movimiento rotativo puro, del tipo que se encuentra en los rotores de motores:-:ctricos, turbinas, ventiladores, máquinas herramienta, etc., el desbalanceo puede tener::rEen en errores de fabricación o desalineamientos. Leemos en Ercoli & La Malfa (Ref. 12)

::¿ el desbalanceo de partes móviles es la causa mas común del incremento de las vibracio-::-s en las máquinas y estructuras de soporte.

En líneas generales, diremos que el conocimiento del balanceamiento o equilibrado-:: :eáquinas y mecanismos nos permite determinar que acciones tomar para aminorar los: =:tos de las fuerzas de inercia sqbre el bastidor. En este capítulo, trataremos el tema referidoi -: s rotores giratorios y al articulado de cuatro barras.

\¡eremos primeramente el tema desde un punto de r-ista físico, en el sentido de avanzar.,:,::¿ la comprensión del fenómeno mediante el estudio de las ecuaciones que lo explican yi' .--ciones de balanceamiento, al menos teóricas que surgen de aquí. Quedan para el final¡:r :apítulo las cuestiones que tienen que ver con las especificaciones del desbalanceo y algu-r.i :rscripción de la operación de las máquinas de balancear.

E

MECANISMOS

.,/

7.2 DESBALANCEO ESTATICO

consideraremos el giro de cuerpos rígidos, que llamaremos rotores' airededor de un úni-

co eje de giro q,r. .rO np"respecto ¿e tu te."nu fi;a y tos efectos dinámicos que pueden ocurrir'

Analicemos primero lo que ocurre cuando el centro de masas G no coincide con el

eje de giro, tomando como sisiema de referencia una terna fija' El centro de masa tendrá

coordenadas xG e yG respecto del .j. d.;i;;, tit"a" r la distancia a dicho eje' Hagamos el

correspondiente análisis iinemático. La nótación es trl Para 1a velocidad angular y y para la

aceleración angular. En la Fig. 7.1 se muestra un rotor' con el eje z coincidente con el de giro'

La telna inSicada es directa'dc r. s\

Fig.7.1

Las coordenadas del centro de masas G son:

xc= rcos 0 ;Yc=rsen 0 ; zo= cte

siendo 0 elángulo de posición instantáneo'

Derivando, Ia velocidad y aceleración resultan:

lG*=-ú)-f.Seng v@'=0¡'cos0

á"*= - rY sen0 - r co'' cos0 = -YYc- @'xo

u"r= rYcos0-rco2 'sen0= Yro- o'Yo

dO daconro-- dt Y Y= dt

será conveniente verificar la comprensión del significado de estas ecuaciones con la

aplicación de las fórmulas del movimiento circular no ururorrne'

ti

kE

t- MECANISMOS

De acuerdo a lo que hemos visto antes, considerando las fuerzas ficticias de inercia

como cargas externas, podemos plantear estas ecuaciones:

¡t n..¿'§$ 6. J r-otü/'M ( y y"* ,' x")+R* * \* =0

M (- y xo + co2 yo )+ R^r+ \, =0

Observemos que todas estas fuerzas giran, por lo que constituyen verdaderas fuerzas

excitatrices de oscilaciones forzadas en la estructura de sustentación del rotor.

El equilibrio del rotor se obtendrá, u,ln p".u la velocidad angular o constante, solo

cuando xc e yc sean nulos, es decir cuando el centro de masa G este sobre el eje de giro.

Vemos que si dejamos eje del rotor con posibilidad de girar en apoyos de poco roza

miento, el punto G buscará su posición de equilibrio, por 1o que el rotor gftaú hasta que la

vertical que pasa por G corte al eje de giro. Es decir, que un ensayo estático es suficientepara

mostrarnos que hay un desequilibrio. Por esta razón, a este tipo de desequilibrio (no coinci-

dencia de G con el eje de giro) se lo llama

Supongamos ahora un rotor (ver Fig. 7.2) enlaque su dimensión en el eje z sea pequeña

respecto de las otras dos, es decir un rotor plano, (por ejemplo una hélice o un volante). Para

objetivar el razonamiento, supongamos que en este rotor, hay tres masas discretas, tal como

se indica en la figura. Cada una de ellas origina una faerzaficticia de inercia (habitualmente

llamada centrífuga). Podemos suponer el valor de cada una como el producto de la masa por

la distancia al centro, obviando a la rotació "(;A) por ser un factor común. Nuestro ob;eiivo

es eliminar el efecto que estas fuerZas producen, por lo que podemos escribi¡:

l*r.r, + mr.7, + mr.7, + mn.7n=01

\ (-N = <t= , C.,, cQ

\/

LN2 r

F'g,72

Obtendremos así el producto *n'¡nde forma tal qúe fijada una distancia convenienter.o, podremos determinar la cantidad de masa necesaria para equilibrar el rotor, siendo su

ubicación la que resulta indicada por el vector r< (fig.l.Z).

,¡;ti -)d 3t\

C\C O

CIf',tc)'{Fl

fD() E

lI

\

\MECANISMOS

-l'

n wf,ita 4iL"rvl

Fig' 7'3

A diferencia de 1o que veremos en el siguiente parágrafo'para el rotor plano la coinci-

dencia del centro de masa G con el centro de giro' asegura su balanceo'

7.3 DESBATANCEO DINAMICO

.Analicemos lo que ocurre ahora con un rotor no plano' es decir con un cuerpo que gira

y que tiene volumen.

Sabemos que

formu-lación:

la segunda ecuación universal de la dinámica, no§ conduce a la siguiente

)á

\I

,/--

"dz-Yr=idonde tr" es

"l momento angular (momento de la cantidad de movimiento y a veces

llamado también momento cin¿ticl) yú ' "'1a suma de todos los momentos exteriores apli-

cados al cuerpo (rotorJ "n

estuüo. Ambos momentos son con respecto de un punto P'

A su vez' el momento angular vale:

r@

'jII

]- MECANISMOS

Así, el momento angular podrá tener variación por dos causas, una por variación de

la velocidad angular del rotor, que será una variación respecto del sistema relativo. J.4§I{gcausa será debido a que al estar referido el momento angular a una terna giratoria, si éste no

coincide co-ñ e§E-de giio, ra una varlaclon

De esta forma,la ecuación se escribe:

[1] r

vrldonde, de acuerdo a lo visto, el término I ¿'l, rro, indica la derivada relativa del momento

angular con respecto a la terna que está girando. El segundo término, Q, x L, representa la

variación del momento angular por el hecho de ser un vector que está girando-

Debemos ahora desarrollar estas expresiones.

Paral,podemos escribir: ,

, =lÜl +ct*r1 ld/|.\

Éoa .\o 5<- T, r-,\r-l (*C^i)

q_5 sgk kr^^.,.

recordemos que la rotación del rotor se produce en el eje ?, ,por lo que o solo tiene compb-

nentes en ese eje. La matrizindicada ",

.l a"rrro, de inercia 14. SuU.rrros que los momentos de

inercia responden a las siguientes expresiones:

I o=- lll*, a*"Y' y así para los demás ejes.

V* Iry

i:lr* I)ry

f^ rry

,-:ll[|'+r')d^ , ,*=-filyxdm ,yv

Se verifica además: I, = I ¡i

Luego, nos queda:

l¡=.rl,=l:;:l

El término l*1; ",'rr*u'

:[i!t#

E

ya que la única variación Posiblela velocidad angular y además,

MECANISMOS

-lrespecto del sistema giratorio es Ia debida a la variación de

)l-(D- ¡

matricial, finalmente la expresión It] queda:

'i Cc-t-5*# , e§ O

li i klCIrz=l o o cDl:r-.r';-rn

lr-., Io., I*-*l

ndo con Ia notaciónContinua

ll¡

Ii

{

t\/

\#\:1llll+l ,\- @ 0§6 ;> <¡,"-5 m,¿"'

¿eue significado tienen los momentos que surgen? Las condiciones físicas del proble-

-u "r?,.rdiJson que hayun:otor, con weiezfijo ylo hacemos girar, sin que Ie apliquemos

i-ar,rn mnrnenfn e¿jcioneñ&"}td salvo el momento motor Mz. Las ecuaciones que esta-

mos viendo nos *o.1*ffi-up"r.cerán momentos (Mx y My) cuyo origen, a.falta de otras

acciones exteriores, serán evidentemente las reacciones de los vínculos' Es decir, aparecerán

reacciories en los apoyos A y B tales que generarán los momentos indic¿dos' Estas fuerzas se-

rán giratorias, siendo por lá tanto fuerzas excitatrices de oscilaciones forzadas. (ver Fig' 7'4)

Ftg,7.1

vemos que para que no apafe7Íjrnmomentoq los momentos de inercia centrífugos de-

ben anularse. Esta.orrái.ió., es valida aun pañr el caso de aceleración angular nula (y = g)'

La razÓnpor la que aparecen estos momentos eS que estamos 'bbligando' al rotor a

girar según un eje no piincipal de inercia es decir un eje tal que da por resultado un vector

iro*".rio angular ,ro ut--i*.áo con el eje de giro. Si pusiéramos a gitar un rotor que estuviera

totalmente libre,lo haría alrededor de un ejáprincipal' /

Esto nos lleva a que tenemos que d.istinguir entre el eje de giro del rotor (el eje "mecá-

nico,, del mismo), dadá por la recta (,r. .rrr" Iás centros de los cojinetes que lo sustentan y el

eje principal de inercia. La tarea del equilibrado será, pues, llevar el segundo a coincidir con

el primero.

@

MECANISMOS

La condición de equilibrio buscada, se logrará anulando los momentos centrífugos in-¿icados, es decir que el eie de rotación z deberá ser eje principal de inercia. Observemos que,contrariamente a lo que ocurría con el desequilibrio estático, el dinámico se produce aún;uando el centro de masa coincide con el eje de giro y su efecto es producir una cupla. La de-nominación de dinámico se debe a que sóIo se manifiesta cuando hay una rotación, es decir,¡ue no hay ningún ensayo estático que lo pueda detectar.

En el rotor de la figura 7.5, que lo podemos suponer simétrico e isótropo, se han adi-cionado dos masas, ml y m2, que producen las fuerzas de inercia (centrífugas) indicadas,sin que el centro de masas G se haya desplazado. Claramente se ve que hay un desequilibriodinámico que producirá una cupla. Indicamos en la figura el eje de giro z, que sería el eje

rrincipal de inercia si no existieran las masas mI y m2. También indicamos el eje principal,Je inercia, desplazado por el agregado de estas masas, que lo podemos imaginar como que es

la recta sostén del vector momento angular.

,\

l

trJFig.7.5

Leemos en la Ref. [13] que cuando se dan al-gunos de los casos que siguen, los ejes principalesde inercia (o al menos uno de ellos); surgen segúnsigue:

. Todo plano de simetría de un cuerpo es

perpendicular a un eje principal. Todo eje de simetría de un cuerpo es eje

principal y el plano perpendicular a este eje es unplano principal.

A modo de ejemplo, analicemos el caso que\-emos en la figura 7.6, en la que vemos un par demasas, contenidas ambas en el plano xz.

Fig.7.6

IE

r).ll----:.--j----. i *

[&\ _ t,)' "* -f- i.-<-

Hemos visto que M* = - Irr.a' Y My= I*r'"

lrr= O(la coordenada "y" de las masas es nula) )C'L:\t:U

i-.LI

!-) {

I*,=_mJ.\Z* (tengamos en cuenta que cada masa tiene una coordenada positiva y

otranegativa) aFñ (->z í¡ -'

M = m rl2 az=(co2r) .m.21 donde (o2r)'m representalafiietzadeinercia

(centrífilga) y 2.1elbíazo de Ia cupla'

M es el momento generado por las fuerzas exteriores (reacciones de vínculo) necesa-

rias parJmantener el árbál girando como se pretende'

si consideramos a las fuerzas ficticias de inercia (centrífugas) como fuerzas externas'

según el principio de D'Alembert, vemos que para equilibrarlas Son necesarias las reacciones

de vínculo R, y Rr.

- EI momento obtenid,o es positivo porque si colocamos un tornillo que gire en el sen-

tido del momento de las ,.u..ion., de víncolo, avanzatía hacia el lado positivo del eje y'

Recordemos que las ecuaciones "os ¿an fos momentos necesariOS BaIa gge §e-p-ro-duzca el

movimiento indiead.o, i

L

7.4 METODO DE tOS DOS PLANOS

Pensemos que vamos a balancear un rotor, que por razones de simplicidad 1o supone-

mos compuesto por tres masas discretas solamente' Es obvio que si disponemos de masas

equilibrantes en posiciones a 180' de las masas indicadas (ver Fig' 7'7) obtendriamos el equi-

librado buscado. Pero nos estamos proponiendo conseguir este resultado aplicando masas

equilibrantes en solo dos Planos'

^ para este razonamiento, consideremos ahora dos planos de equilibrado,,cuyas trazas en

el plano del dibujo son a y b. DescomPongamos c-ada masa en dos masas' aplicadas en estos

planos. En el dibujo se ináican las distancius de cudu masa a cada plano, siendo "1"la distancia

entre los planos. Las dos circunferencias que se indican' muestran la proyección del rotor en

cada piano, abatida en el plano del dibujo v la ubicación de las masas'

Lasecuacionesquesiguenmuestranelprocedimientonaralamasam,.5[tr#-f:mla+mfi=mt ;

,r., - n r.lJn'

l.^, ¡

fE, r 1-

t.,mn = mt.l ;

Llggo Lt¡lr.-*..,acada gga de estas masas en su resPectivo plano y aplicamos-el pro-

cedimiento 'isto para los casos planos, ro l,a ñó§ Ileva á ,feterminaf eI valor del producto de

la masa por la distancia equilibrante, para cada plano' '

Etr

\

I

1)

{,I:1

,.

l,

Ii

rt:tIt

L,

[r

0rr a: N\ .,-13)_

{\qb 'I

]

i

t- MECANISMOS

i,6Ll ,=,LlFtA ii; - h"f

:-

alTlla -----'-"'r-q

\:¿ /mz"\-=y'

msai" -4{ I mr^i,-\ /

lTlla Ir \t/lTleqa [eqa

Vemos que si supusiéramos actuante en cada masa a lafuerzaficticia de inercia (centrí-

fuga), de valor *r.r'. r, , los productos m .r obtenidos antes, son iguales a los que resultarían

de reaLizar una déscomposición de una fuerza en dos direcciones paralelas (suponiendo a u.r

unitaria), considerando además que los valores de r. se mantienen.

El razonamiento visto lo podemos generalizar para el caso de un cuerpo continuo, por

lo que nos queda demostrado que basta con ubicar contrapesos adecuados en dos planos,

para equilibrar totalmente un rotor. Estos planos de equilibrado, que teoricamente pueden

ser cualesquiera e incluso ubicados ambos a un mismo lado de un apoyo, en la práctica es-

tarán en lugares indicados por el fabricante, en los que se pueden agregar los contrapesos

debidos. En algunos casos, especialmente en maquinaria pequeña (taladradoras manuales r'

similares), no hay lugar para los contrapesos, por lo que se opta por sacar material, en el radio

opuesto al que se debería agrega\ lo que dinamicamente produce el mismo efecto.

Observemos que si un rotor está equilibrado estaticamente (centro de rnas's :.'¡i::;i-dente con el eje de giro), el único efecto del desequilibrio dinámico será la produ:::::: l: una

cupla ficticia de inercia, como se vio en el ejemplo de Ia frgura7.4.

Agreguemos finalmente que el procedimiento indicado es válido:::¿:--:::=s;¡n la

suficiente rigidez como para soportar los esfuerzos internos produciCos : -: -. -._:::rstanciade tener desequilibrios y masas equilibrantes en planos distintos. l--r c_-: , :-;-:--: estuerzos

de flexión sobre el árbol portante del conjunto.

7.s MAQUINAS DE EQUILIBRAR O BAL-{\CL{R

Al comienzo del capítulo definimos eI

obtenerlo, según podemos leer en la Ref.'9-

1. Colocando (o quitando) m:..mática con movimiento (es ¿::-:

:.,.:--::r,:.-:1-. -.:I:1.1S ahOfa laS fOfmaS de

- - :: :. r:. -..t. elemento de la cadena cine-

IIE

rl

iilll

MECANISMOS

acción de la inercia producida por este miembro sea nula.

2. Mejorando la distribución de las masas de los miembros en movimiento, propen-diendo a obtener un menor efecto de la inercia, o a la compensación de este efecto entrediversos miembros.

3. Colocación de miembros adicionales al mecanismo, cuyas fuerzas de inercia com-pensen a las generadas por el mecanismo, como se verá al tratar el balanceamiento delbiela-manivela.

Vemos que el equilibrado, por lo menos en el sentido de aminorar los efectos de la iner-cia, puede ser encarado desde la etapa del diseño, en 1o que hace a la forma de las distintaspiezas o miembros. También es posible ver de reducir las aceleraciones (actuando sobre el

diseño de la cadena cinemática), al menos en los elementos mas pesados.

Igualmente desde el diseño, podemos seleccionar materiales de menor densidad (mas

livianos), o materiales mas resistentes, siempre con el fin de disminuir las masas en movi-miento.

Si pensamos ahora en rotores giratorios, con simetría geométrica respecto del eje de

giro, nos podemos preguntar:¿porqué hay desbalanceo?. Si Ia construcción es prolija y losmecanizados son exactos, el eje de giro será principal de inercia y el centro de masas estarásobre é1, de forma tal que no debería haber desequilibrio. Pero podemos hacer un balanceentre costos de fabricación sumamente exactos y Ia posibilídad de mecanizar en forma notan precisa y efectuar un proceso de balanceo como último término de la fabricación delrotor.

Hay otros casos, como ocurre con el cableado (bobinado) de los rotores de los motoreseléctricos, en el que e1 proceso hace que sea imposible en la práctica obtener una distribuciónuniforme del material.

Para el desequilibrio ,iel ri:o estático (rotores planos, por ejemplo hélices de aviones,volantes), podemos pensar en una maqulna estática o por gravedad, que mide el apartamien-to del centro de masas respecto de un punto de suspensión. Es un bastidor donde en Ia partesuperior va el rotor a equilibrar, con u:ra escala calibrada que indica Ia posición y el monto deldesequilibrio. La forma que tiene el t,astidor es para que el conjunto tenga un centro de ma-sas por debajo del punto de suspension. S¿ indrca en la figura el centro de masa G, apartadodel centro de giro. Puede haber además .cirirapesos que se deslizan para equilibrar el rotor.(Ver Fig. 7.8) Este es un método poco preciso, solamente aplicable cuando no hay necesidadde gran calidad de equilibrado. Para partes cor, ,r,is comprorniso, se deberá hacer un ensayo

dinámico, haciendo girar el rotor a Ia velocidad de operación para que la inercia ponga de

manifiesto el desequilibrio.

t\Etr

t- MECANISMOS

PARTEAEQU¡LIBRAR

-___-.llla§

BAS-rIDoR,

Fig.7.8

Las máquinas de equilibrado para rotores largos trabajan en dos planos de equilibrado,

existiendo una cuna o soporte sobre el que se coloca el rotor a equilibrar, según el esquema de

la Fig. 7 -9. Los apoyos A y B son móüles, de forma tal de poder ubicarlos en lugares coinci-

dentes con los planos de equilibrado. Cada apoyo además, se puede bloquear o liberar, de for-

ma de obtener un sistema con un grado de libertad, caraclerizado por una constante elástica

k y un amortiguamiento üscoso c. En los puntos A y B se instalan transductores adecuados,

aptos para medir desplazamientos, velocidades o aceleraciones.

Ftgt 7.9

En las máquinas antiguas sc hecie tm'car¡erao o ensayo, en el que se llevaba el rotor

a una velocidad de giro mayor qge h ffi¡l de resonancia del sistema, con un apoyo blo-

:§*"lJl:l'"".,lo;;x1l-i:Iffi ffi lffixr;::::'.:T;i"'Ti"",l:ff J::ril:iipesadd' se puede ubicar angularmente on Ia a¡rda de una luz estroboscópica que se encien-

á. ", determinada fase del movimiento y a partir de una referencia sobre el rotor. El monto

de la masa a colocar, se podrá tomar directamente de la lectura de la amplitud, medida en

E

MECANISMOS

.,.t,l,l

'ttl

i

una escala adecuada. Luego se repite el procedimiento invirtiendo los apoyos bloqueado y

liberado. El ensayo se repiie hasta que eláesequilibrio obtenido sea aceptable' Este método es

aplicable a rotores p.qo.Ro, en loi que la amplitud del movimiento, aun para la resonancia'

es controlable.

Modernamente se utilizan, especialmente para producciones seriadas' las maquinas..de punto nodal". Se puede encontrar mayor información, tanto teórica como práctica, acerca

de este tema en las Ref. [q] y It2].

7.6 CALIDAD DEL EQUILIBRADO. ESPECIFICACIÓN DEL

DESBALANCEO

Sabemos que la perfección o exactitud total en cualquier procedimiento no es alcanza-

ble, por 1o que de alg.rna manera tenemos que indicar cuanto de desequilibrio estamos dis-

puestos a aceptar. Esio es válido tanto en Iu .tupu de diseño, como una especificación -L d'

fabricación, como en la determinación de un ensayo de recepción (como parte de una especi-

ficación de la compra, por ejemplo). Como en cualquier otra faceta del diseño de ingeniería'

se deberá siempre ponderar las ventajas de acotar finamente una variable (bajo desequilibrio)

frente al costo de obtención de la misma.

Por 1o anterior, la pregunta que nos estamos haciendo ahora es: ¿cuánto debo equili-

brar? para cuya respuesta e-s obvio que debemos poder medir y especificar el desbalanceo

admis:rble. La medición se llevará a cabo con las máquinas de equilibrar y la especificación es

1o que veremos en las líneas que siguen.

Leemos en perez - Gonzalez (Ref. 9) que para un rotor equilibrado "in situ" el nivel

de aceptación del equilibrado viene dado por el nivel de aceptación de la vibración que éste

causa sobre los cojinetes en que se apoya (en general, en el nivel de vibración sobre el basti-

dor, para una máquina cualquiera). Esias vibraciones vienen limitadas generalmente por los

fabricantes y usuarios de las máquinas. Veremos en las próximas líneas algunos param-e¡tr:s

para cuantiácar este fenómeno. / '\" ^i'

Introduzcamos ahora el concepto de cantidad de desbalanceo, !lue, siguiendo a Ercoli

y La Malfa (Ref. 12), podemos razonar suponiendo un disco homogeneo, que gira alrede-

dor de su centro geométrico y al que aEresarnos una masa m a una distancia r (Fig' 7 '10 a)'

cantidades que mediremos en gramos rI mil,.rnetros, respectivamente. El producto de ambos,

que será una cantidad vectorial por serlo F. Lo l]amaremos desbalanceo. Ahora u.?ry,lgrrru manera referir este valor a la masa \f del rotor. \'a que evidentemente no es lÓ mlsmo

tener un desbalance o de 20 g.mm en un rotor oe 1 Ke de masa que en otro de 20 t'

Para razonar esto, supongamos que al rotor t-¡::sinal (sin la masa m), le cambiamos de

posición el eje de giro, dánáol.-rna exáentricidad e :.. - l0 b) de manera tal que las fuerzas

áe inercia (centrífugas) producidas en ambos casos sean :i:ales.

i¡IIE

iI¡l

MECANISMOS

Fig.7.10

ma' r=M (»2 emr€: _ lmmlM

Naturalmente que no hay agregado de una masa desequilibrante, pero sí hay un apar-

tamiento del centro de masas G respecto del centro de giro, por los motivos expuestos en el

parágrafo 7.5,y que equivale al agregado delamasam.

En el concepto anterior no figura la velocidad angular c0, aunque nos damos cuenta

que no será lo mismo 20 g.mm en un rotor de un motor eléctrico industrial que gira a 1440

rpm que en una unidad de un turbocompresor que puede girar a 40.000 rpm o aún mas.

La experiencia indica (Ref. 12) que el desbalanceo permisible en términos de la excen-

tricidad§es inversamente proporcional a la velocidad angular. Esto significa que el producto

de la excentricidad por la velocidad angular debe mantenerse constante para obtener rotores

semejantes mecanicamente, desde el punto de vista del desequilibrio.

En símbolos: e.ú) =cte Ímmlseg)

Hay además normativa acerca,4: este tema, siguiendo nosotros en este trabajo la de la

A§ociación de Ingenieros Alemanes('VDl, según se expone en la Ref. [9]

Vemos la tabla que sigue (Fig. 7.11):

E

MECANISMOS

-{

mm/seg

45

INADMISIBLE

INADMISIBLE

INADMISIBLE

EXCESIVO

EXCESIVO

EXCESIVO ACEPTABLE

ACEPTABLE

ACEPTABLE

BUENOBUENOBUENO

grupo k

¡

!!

l

grupo m grupo g

28

18

11.2

7.1

4.5

2.8

1.8

1.12

0.71

0.45

0.28

0.18

Fi1.7.11

Los valores indicados en ordenadas, cuya unidad es mm/seg, representa el límite admi-

sible del producto de la excentricidad por la velocidad angular.

Hay otra modalidad de especificación, también de la sociedad vDI, deiár+ollado para

rotores ,igldor. En la tabla qo. ,igo., de la que mostramos una parte, se recomiendan calida-

des de eqirilib.ado que deteiminan un grado de calidad en la fabricación'

J

ETI

MECANISMOS

Veamos un ejemplo: supongamos un rotor de calidad G16 a 950 rpm (100 rad/seg),para el que aceptaremos como calidad admisible de equiiibrado el r.aior de 160. Este númeronos dice que para un rotor de 1 Kg de masa, es aceptable un desbalanceo equivalente a unamasa agregada de 160 g colocada a un milímetro del centro de giro. Pero la realidad física es

que tenemos un rotor de un Kg cuyo centro de masas G dista una distancia e del centro de

giro. Si igualamos, como ya hemos visto antes,lafuerza centrífuga producida por la masadesequilibrante agregada con la misma fuerza producida por la masa del rotor (un Kg) dis-tante e mm del centro de giro, tenemos:

u:160glmm

= 160 pm1000 g

I 6o g. I mm.a2 = t xr I ?o-!

s .e( mm ).a2lKgPor esto, surge que los valores indicados, representan e1 r'alor de la excentricidad (apar-

tamiento del centro de masas respecto del ete de giro medido en micrómetros, para un rotorde un Kg de masa. \--_

Finalmente, la columna extrema de la derecha. :e:iesenta el producto del desequili-brio admisible (medido por la excentricidad en mm ;:: la velocidad angular y resulta unavelocidad expresada en mm/seg. Como se ve, este ::.l::r::¡ compendia todos los valores que

están a la izquierda.

Para el caso de rotores a equilibrar en dos

Ia deberá dividir entre ambos.

Grupo Descripción delgrupo

Desequilibrio máximo admisible, en g.mm, por Kg de masa

del rotot para las rpm máximas en servicio indicadas.

n (rpm) 300 950 3000 9500 30000 mm/seg

G40 Ruedas de auto-móvil,llantas de

ferrocarril, ejes

cardán, ...

t250

ioo

400

iuo

125

;ó

40

;;G16 Máquinas de

a-gricultura, ele-

mentos unitariosde accionamien-to de motores de

automóvil,...

500

2"OO

160

63

50

io

16

á,

t6

a.'s

G6.3 tambores centrífu-gos, ventila-dores,volantes, bombascentrífugas,...

200

80

6.3

25

ZO

;

6.3

z'.s

2

0.8

6.3

2.5

G2.s rotores de turbi-nas de gas, ac-cionamientos de

máquinas herra-mientas,...

25

10

8

,it

2.5

;

0.8

0.315

2.5

1.0

iada una tolerancia determinad¿

MECANISMOS

-l7.7 B,ALANCEAMIENTO DE LIN ARTICULADO DE CUATRO BARRAS

Hemos visto los métodos de equilibrar masas animadas con movimiento rotatorio y

las sometidas a movimiento alternativo. Veremos ahora un caso *ls, cuul es el de masas con

un movimiento distinto a los antes nombrados, que se presenta en la barra acopladora del

articulado de cuatro barras. Esta barra, tendrá un movimiento complejo, en el que distintos

puntos describirán distintas curvas.

Para discernir como balancear este mecanismo, vamos a desarrollar las ecuaciones que

nos permitan determinar la ubicación del centro de masa (CM) del conjunto de las tres ba-

rras en movimiento. Para esto, veamos la figura 7.12, enla que hemos denominado con la le-

tra L al vector que representa cada barra, con R a la ubicación de cada CM respecto del origen

de coordenadas y con B a la ubicación del CM de cada barra tomando como origen al punto

origen de cada barra. Usaremos la expresión A.e'o =l.coso +A.i.sena, que nos permitirá

trabajar algebraicamente con vectores, en forma mas cómoda que con la descomposición

canónica.

Por definición de centro de masa. sabemos que:

Tr,.R/- : l

m.R =lm,'8,í

t1l R- l2l, endonde

\\

l

7n:lm, l3li,'n7

Consideremos ahora la ecuación de "l¿zo cerrado'] propia de las cadenas cinemáticas

cerradas que estamos estudiando:

L'*Lt =Lt+L' f gb)

\L

EA

l- MECANISMOS

Reemplazando con la notación compleja y despejando el términ o eigt,

Los vectores de cada coordenada G. del centro de masa de cada barra serán:

io, l,.u''' + lo.e'so - lr."'"l3

R, : E, :6r."i(o'++'¡ - bz."ioz "i§z

R, : 1, * E, - lr."'" + br.e'o' .e'§'

R, =1, ""' + b, "'r'Q'

"''' * l''

"''o - l' "'")l3

R, : L, * E, - l,-"''' + br.e'on .e'Ó'

s2 ) <-- é.* b4141

t5l

donde para la barra 3 hemos efectuado el reemplazo dado por [a]

Ahora vamos a reemplazar en [1] agrupando los valores variables ei02 y ei04:

(m.R -(*,u,"*' + m,l,- *,?"'r' ,,)"*' .(?rrm,eú' + m,b,r'r')r*' *

+mrb, "4'

ll "fr'

+ mo l, efr' 16lt"J

Para obtener un equilibrado (al menos en este caso obtener constancia de la ubicación

del CM del conjunto), debemos anular los paréntesis, ya que ellos están afectados por térmi-nos variables con el tiempo. Ordenaremos además de forma tal de despejar los términos que

afectan a la barra 2 y ala 4.

m,l,-eh :*{u,?r" -,=) F]

mo.bo.e'+o : -t\.br!t* F] \"=*t li-

L-r

Igualaremos las partes reales (que asimilarerrroc al eje x) y las imaginarias ({ue asimi-

laremos al eje y). Tengamos en cuenta que en este conterto el eje "x" es el eje de la barra que

corresponda, y el eje"y" es el perpendicular" en el sentido antihorario. Es decir, son coorde-

nadas móviles. (Fig. 7.13).

E

MECANISMOS

-{

Fig.7.l3

@,.b,\ = *,(u, ?..o,0,

- r,

)

@rbr), = *r.br.?.sen§,

@^.b*\ = -*,0,.?.cosg,

@ o b o), - -^, or.'t.s eng,

Las ecuaciones anteriores nos dicen que ubicando el centro de masa de labatra 2 y

la 4 de forma tal que * *-fu hs mismas,la posición del centro de masa del conjunto se

¡reoT? ¿o<- constante en el tiempo

Veamos el siguiente er€ildo( Fig. 7.14), en el quelosdtu6de las barras son:

"§;-.-:jÉ:i .*.-:sr...-

'hL'

l_ MECANISMOS

lr= 940 mm

x=587mmg Yr= 328 mm

lz= 200 mm l¡=860 mm la= 700 mm

mz= 1.0 Kg m.= 4.0 Kg 9f 54.37" mr= 3.0 Kg

Aplicando las ecuaciones vistas, obtenemos los siguientes resultados:

bz*= -400.7 mm brr= 557.9 mm b¿*= -466.6 mm b¿y=- 651.0 mm

Las coordenadas del centro de masas del articulado completo son:

Estas coordenadas se mantendrán constantes para cualquier confrguración del articu-lado. Por ejemplo, suponiendo que la articulación 12 sea de revolución completa, para todaposición de la manivela2 elCM del articulado mantendrá la posición indicada.

La constancia de la posición del CM nos indica que la fuerza resultante producida porel movimiento será nula, pero no es así con el momento. Es decir que habrá una cupla produ-

cida por fuerzas iguales y opuestas actuantes en cada uno de los centros Ory O n

Lo anterior es en alguna medida análogo a 1o visto en balanceamiento de rotores rígi-dos para el caso de desbalanceo dinámico puro (caso en el que el CM coincide con el eje de

giro pero éste no es principal de inercia), que da origen a una cupla de inercia.

Un caso especial se produce cuando el ángulo 0, es nulo, es decir que el Cm de la barra3 está sobre el eje.

Las ecuaciones vistas ahora nos quedan de Ia siguiente forma:

@r-br\=^,r(T)

(*r¡r\- -t\bt.

Recordemos que las componentes de dirección }" mlen cero.

!"l3

(

E

MECANISMOS

Si ahora suponemos que aplicamos a la barra 3 el concepto de sistema dinamicamenteequivalente (en rigor, pseudo equivalente), tendremos para la masa en A (Fig. 7.15):

Fig.7.l5

ffi,c..lz:*r.l*1,l3

Esta masa de movimiento giratorio puro, será equilibrada con una masa (m2) colocada

en posición diametralmente opuesta, a Ia distancia br.

Es decir que:t" -b"*n:*'-i

Para la masa en B,Ia masa equivalente será:

m--b-*r-i:Esta masa se equilibra con:

nlr.t,=fft^

Las ecuaciones obtenidas son iguales (salvo los signos) a las obtenidas por el método

general visto.

Nota biblio gráfrca: lo antes expuesto ha sido tomado dei [bro "Diseño de Maquinaria"de Robert Norton Mc Graw Hilled.1995, y está basado en el trabajo de Berkof y Lowen, allícitado y reproducido.

TIE

h.n

l_ MECANISMOS

CAPITULO VIIIBALANCEAMIENTO DEt MOVIMIENTO ALTERNATIVO

8.1 INTRODUCCION

Hemos visto al principio del capítulo anterior como se generaban los distintos tipos de

desequilibrios en el movimiento rotativo alrededor de un eje y las ecuaciones de la dinámica

que explicaban el fenómeno, para luego estudiar la posibilidad de balancearlo con el agregado

de masas convenientemente dispuestas. Siguiendo la misma línea conceptual, estudiaremos

en detalle como se generan las fuerzas dinámicas en el mecanismo biela-manivela para luego

analizar como balancearlas. Hemos tomado este mecanismo como ejemplo del movimientoalternativo por su amplia difusión.

8.2 BALANCEAMIENTO DEt BIELA-MANIVELA

Vamos a plantearnos las fuerzas dinámicas que se originan en este mecanismo y laposibilidad de equilibrarlas. Hemos visto ya que las fuerzas dinámicas, por su propia índole,

originan reacciones variables en los apoyos, cuyo efecto es producir vibraciones y [repidacio-nes en la instalación.

Veamos en la figura 8.1 a este mecanismo, en el que representamos las tres masas ac-

tuantes y sus ubicaciones. Observemos que, de acuerdo a lo visto en sistemas planos dinámi-camente equivalentes, la masa de la biela (barra 3) la podemos imaginar desdoblada en dos

masas aplicadas en los puntos A y C, según sigue:

Además, podemos equilibrar a las rirasas anmaias de rotación para (mry mro) con la

masa m^-. De esta forma, ahora el mecanismo €S cr'rr-,,r se muestra en la figura 8.2.eq F*a a

f^6- ) , 'R f-¡i- - -3-- 1

,d""

IIE

MECANISMOS

-{

Respecto de las masas animadas de movimiento alternativo o recíproco, las podemos

agrupar €1 ffiott, es decir:ffiott = m3"+ m4l2l

Si consideramos que la masa m"neqtlllbra de forma total a las rotativas, resulta en de-

finitiva que, desde el punto de vista déi desequilibrio el mecanismo es equivalente a uno con

solamente la tnasa m o,, .

Sabemos (ver nota al final) que la aceleración de la barra 4 vale:

a= -R a2(cos a+ )' cos 2 a)

donde el signo negativo indica sentido de derecha a izquierda (para ángulos del primer

cuadrante),lo que genera una fuerza ficticia de inercia:

f ¡¿= ffiot .R t'f (cos o* l cos 2 a) [3]'

con componente en el eje x solamente. Observemos que hay dos términos, uno de pul-

sación o y otro de pulsación doble 2.a.¿Cómo podríamos equilibrarlas?

Poáemos p"rrr"r en agregar una masa m' (Fig.8.3) que produciría una comPonente en

x según sigue:

Fig.6.3

Eg

MECANISMOS

Fx'.= -m'. R. @2 cos o(

con lo que eligiendo adecuadamente a m'podríamos equilibrar el primer término de

[3], pero agregando un desequilibrio al eje y, ya que aparecería una fuerza

FY' = -m" R' to2 sen a '

Desde el punto de vista de la percepción de las vibraciones, el efecto qo. -"{r. hu..notar son las amplitudes máximas de las fuerzas desequilibrantes, por esto el hecho de poder

disminuir la amplitud de la que actúa en el eje x, aún a expensas de agregar otra de dirección

7, resulta en un cambio favorable. Por esto, lo habitual es agregar una masa m' qrue equivalga

a213 dela masa alternativa, siendo esta masa adicional ala m^- antes mencionada. Observe-

mos además, que sigue sin equilibrars elafuerzade inercia d.'?.".o.rr.ia doble.

Ahora, ¿podríamos pensar en anular a la masa malt ? Para esto haremos un típico

razonamiento ingenieril, dado que si nos quedamos solamente con los conceptos físicos en

abstracto, no es dable plantearse lo anterior. Siguiendo la Ref. Ii4] veamos la ecuación [2],la que igualaremos a cero, lo que nos lleva a que m3c deba ser negativa. Esto significa que la

longitud l, debe ser de sentido contrario al considerado, quedando en definitiva:

ffi3r= ffi3. 1o/ l = mn

y operando nos queda:

*r.lo =*r.1,

donde Ia ya la consideramos en su nueva posición, desapareciendo el signo negativo.

Esta ecuación, para la disposición de las masas mostrada en la figura 8.4, corresponde

a un caso en el que el centro de masa (CM) del conjunto (barra 3 + barra 4) está justamente

en elpunto A, con el CM de la biela en D. Es decir, que efectivamente se produce una anu-

lación física de las masas alternativas, ya que el CM resultante esta animado de movimiento

rotativo exclusivamente. En la realidad esto es difícil de llevar a cabo, porque significaría que

la biela tiene que desarrollarse en un sector en el que podría interferir con el movimiento de

ia manivela o con otras partes del conjunto.

il

llI

ffifi*,1

Fig.8.4

EU

Volvemos entonces a la pregunta inicial: ¿cómo equilibramos el mecanismo? Podemos

pensar en masas rotantes que genelen exactamente fuerzas iguales y de sentido contrario a

iu, qr. genera el mecanismo. Para esto, debemos incorporar dos pares de ruedas, cada par

.rg*rrÁdo entre sí, de forma tal que giren en sentidos contrarios y con masas excéntricas'

d.iorm" tal que las componentes verticales d.e las fuerzas ficticias de inercia (céntrífugas) se

anulen,ylashorizontaleiequilibrenaf,.fJnpardeberágiraravelocidadolyelotroa2a,vemos esta disposición en la figura 8.5, p-ára un par de ruedas destinadas a equlibrar lafircrza

primaria.. De esta forma equilibrare*oi u los dos términos que compo nen alaf n' Esta solu-

iió., ,. ve aplicada en motocicletas con motores monocilíndricos y también en policilíndri-

cos, como veremos en el caso del motor de cuatro cilindros en línea.

MECANISMOS

-{

ttI

s.3EQUILIBRADODEMOToRESPoLICILINDRICoS

Los motores de combustión interna del tipo usado en transporte terrestre, ya sea cargas

o personas, aSí como en ferrocarriles y también en la propulsión marina, son en su inmensa

mayoría compuestos por mecanismos del tipo biela manivela (BM), agrupados en motores

policilíndri.o, d" determinadas disposiciones. Interesa por 1o tanto, el estudio de su des-

equilibrio, habida cuenta que las frreiras de inercia, variables por su origen' son productoras

de vibraciones que afectan al confort, a la seguridad o a la integridad de la misma máquina'

originando ruidos y trepidaciones.

Hemos visto en el parágrafo anre:ior el desequilibrio inherente a este mecanismo y que

para equilibrarlo era .r.i.rurio el agreraio de ot:os mecanismos auxiliares. Veremos ahora

áe q,.re forma la agrupación de varios B\Í -::--:i< .r este ttnómqno-

Volvemos a escribir la ecuación de la .;¿,eración de ia barra 4 del mecanismo:

a=-(»2.,R (cos« - i''' cos 2g)

Supondremos, para introducirnos en eli t¿:11'1. cue trataremos con motores en línea' es

decir una sucesión de mecanismos BM, en los c;¡ ,os ejes según ios cuales se desplazan las

barras -l de cada uno, están todos sobre el misrnc :-:no' Usaremos genericamente la palabra

"cilindro" en e1 sentido que habitualmente se le 'l¿ en motores, como cada uno de los con-

juntos BM que .or',for*a al motor. Al cilindro de un eltremo lo llamaremos número l' 2 a\

\-

TEI

1- MECANISMOS

siguiente y así. A1árbol que contiene a las manivelas se lo llama cigüeñal.

Las sucesivas manivelas de cada cilindro, están desfasadas un determinado ángulo unas

de otras. Naturalmente que estos ángulos de desfasaje son constantes, por lo que tomaremos

como referencia para los ángulos, a la manivela del cilindro 1 y los de las otras manivelas nos

serán conocidos.

Vemos en la figura 8.6 a un esquema de un cigüeñal de un motor de tres cilindros, y

en la 8.6 b lo vemos desde un extremo, indicándo como se miden los ángulos. Asimismo en

esta vista se representa al cilindro 1, su biela y el pistón o émbolo, que es el elemento en que

se materialíza labarra 4.

w/,1,

a3Fig.8.6 a

Para la manivela l, el ángulo de posición será:

Fig.8.6 b

nulo.

0¡ =cr *Ó' (1)

siendo o el ángulo de la maniveia del cilindro 1. Recordemos que a =1r¡.t y que Q, es

Lafr¡erza de inercia para cada cilindro será:

F¡=tn.oJ2.R(coscr, +7'.cos3a,) (2)

donde con mllamamos a todas las masas animadas de movimiento alternativo, que se-

:¿n iquales para todos los cilindros, al igual que R. Para el caso de un motor, serán las masss

Jel plstón, perno, aros, etc. más la porción de masa de labiela que suponemos que se::i*.1-e

.42

-

TE

)

MECANISMOS

junto con la barra 4. Antes hemos llamado a esta masa como matt.

Debemos desarrollar la ecuación (2) para cada cilindro, reemplazando el ángulo ai que

corresponda por el que resulte según (1). Por tratarse de fuerzas coplanares, la suma de las

mismas será directamente algebraica.

ZF, = ru.az .R) [.ot(o +0, )+ ]..cos 2(cr +Q, )] (3)

Observamos que hay fuerzas de pulsación simple y otras de pulsación doble, ambas

dependiendo del tiempo. Llamaremos a las primeras "primarias" y a las segundas "secun-

darias", tratando por separado a cada una. También aplicaremos la identidad trigonométricacorrespondiente al coseno de una suma, por lo que obtenemos:

L.

rhih

hIrr*ril

t

rLr, = *.r'.a-lcoso»cosQ, -sen*f rrr0,.] @)

Zc, = *.r'-R.lcoscr)a,.cosQ, -sen o\o,-r"r',) (6)

I c, = m.a2 .R.?u.["o, zo§ a,.cos?g, - sen2u\o,.r"r14,) (7)

Como nos hemos planteado como objetivo el estudio de las fuerzas de inercia, debere-

mos analizar el valor de las sumatorias, para las distintas configuraciones de motores. Tenga-

mos en cuenta que sólo podremos decir que una determinada fuerza o cupla es nula cuandocada una de las sumatorias de su ecuación correspondiente 1o sea, obteniendo de esta formala nulidad en todo instante (es decir para cualquier valor del ángulo a).

S.3.1 MOTOR DE CUATRO CILINDROS.

Desarrollaremos las sumatorias que hemos risto arriba para este caso, en el que los

ángulos son rFie. 8.7):

r_lY r, = r.r,l'.n.l.lcos2u)cos 2Q, - sen2u\sen?4, )

(s)

Hemos puesto fuera de la sumatoria a cos q y a sen a, dado que son valores constantes,

para cada instante. / .. \l ¡;, ¡ , r, 1t{.' af "'- .

r-"--l

Para obtener la posición de la resultante deberemos analizar el valor de la cupla, tantopara la fuerzas primarias y las secundarias. Tomaremos como referencia al cilindro 1, siendo

a, elbrazo de palanca de Ia fuerza de inercia del cilindro 2,las del 3 ary así.

i

I

lL

@

0, =Q, = 180o , 0o =0r = 0"

t- MECANISMOS

)cosQ, =1-1-1+1=0 , \senO¡ =0+0+0+0=0¡i

de donde surge que las fuerzas primarias son nulas'

)cos2Q, =1+l+1 *l=4, \s"n20, =0+0+0+0=0ii

de donde surge que habrá fuerzas secundarias.

,22,< a§>.83t,14,

sñr4

Fig 8.7

Para los momentos:

! a,.cos$¡ = 0. 1 - a,.l- 2.a,'l+ 3'a,'l = 0j

\a,.senQ, = 0.0- a,-0-2'a,'0*3'4,'0 = 0i

de donde surge que no hay cupla primaria.

) a,.cos 20¡ = 0.1 + a,.1+ 2-a,'1 + 3'a,'L = 6'a¡

i

\a,.sen?$¡ = 0.0 + a,.0 + 2.a,.0* 3.a,'0 = 0i

l

lr

lr

MECANISMOS

-lde donde surge que hay una cupla secundaria'

Ubiquemos ahora en el espacio a Ia fuerza Secundaria, calculando su brazo a.'

m.R.A2 .?',.. cos ?n ..6.a,=1.5.a¡dr=

m.R.a2 .)'..4. cos 2c[

Vemos que la fuerzasecundaria actúa en todo momento en la mitad de la longitud del

cigüeñal, ya que a.no depende del tiempo'

Finalmente ,la fuerzade inercia vale:

S = I4 = m.Rrto2 -L..4.cos?ni

En Ia figura se ha indicado el gráfico de variación de dicha fuetza respecto del ángulo

de posición de la manivela 1.

Dada la característica de las fuerzas secundarias de variar con velocidad doble a la de

giro del cigüeñal, no resulta posible equilibrarla * nilguna masa asociada a éste' Por esto'

se ha desarrollado el equilibiador Lanchester, q/e consiste en un par de ruedas engranadas

entre sí, que giran en sentidos opuestos y con sendas masas excéntricas, aptas para equilibrar

en conjunto a la fuerzasecundária S. Las componentes horizontales se anulan entre sí y la

suma áe hs verticales genera el equilibrio buscado'

8.3.2 MOTOR DE 6 CILINDROS

En la frgura g.g vemos la distribución de las manivelas para este motor. Los ángulos

son:

0r =So = 0" , 0z =Qs 0¡ =Qo =t20"

@

F¡g 8.8

t- MECANISMOS

i

1

l

Las sumatorias correspondientes son las que siguen:

)cosQ, = I -0.5 -0.5 -0.5 -0.5+1 = 0i

\senQ,=o-f* +.+-€+o=oi2222

)cos2Q, = 1- 0.5 -0.5 -0.5-0.5+l = 0i

\sen2§,= o*f -+ -++f + o = oi2222

f a,.cos0, = 0.1- a.0.5+2-a-0.5-3.a-0.5-4.a.0.5+5.4.0.5 = 0i

\ a,s en§, = 0., - + .a + § .z.a * f .r, - f .o.r* 0.5.4 = 0i

! a,' cos 2$, = I'0 - 0'5' a - 0'5'2'a - 0'5'3 "a - 0'5'4'a+ 1'5'a = 0i

\a,.sen?$,=o.o*& '-f .r,'-f .r.r*f .o'+0-5.4 = 0ip

Vemos que no hay resultantes, ni de las fuerzas ni de las cuplas, primarias o secundarias,

por 1o que este motor no requiere de masas ni dipositivos adicionales para estar balanceado.

8.3.3 MOTOR DE 8 CILINDROS EN LINEA

La distribución de las manivelas la vemos en la figura 8.9.

27Fig 8.9

Áa)t _\\,\irl

- --tI

\E

para considerar como juegan las fuerzas de inercia en este caso, no será necesario de-

sarrollar las sumatorias, ya qrr. !od.*os ver que las manivelas de los cilindros intermedios

3,4,5y 6 tienen la distriüuci¿., d. un motor de cuatro cilindros como el explicado antes, en

tanto las manivelas de los cilindros de los extremos 1,2,7 y 8 tienen Ia distribución de otro

motor de cuatro cilindros, desfasadas 90'respecto del anterior.

Sabemos que esta distribución origina fuerzas secundarias, aplicadas en eI punto me-

dio de la longitud del cigüeñat. Si llamamos entonces a Ia fuerza originada por las manivelas

intermedias (3, 4, 5 y 6) S-, y a 1a originada por las restantes S,' nos queda:

MECANISMOS

-l

=m.R.az.L..4.cos?s",

=m.R.az.lt.4.cosb,.

Por ser a".=cle+ 90o, resultará cos2a-- cos2cl" por 1o quélas fuerzas se cancelarán

dado que ambas actúan en la misma recta'

S.3.4 MOTOR DE TRES CILINDROS

La distribución de las manivelas es la que ya vemos en la figura 8.10.

2Fig 8.10

Qr =0' , lz=240' , Qr =120'

I*tS, =l-0.5-0.5 =0i

\sen§,=o-**f =o

)cos20, =1-05-O5=0

s,

s"

\senZ§, =0+i

J?_2

JT2

@

=O

t- MECANISMOS1

l

)a,.cosQ, = 0. 1 - a.0.5 + 2.a.0.5 = -1.5 ai

\a,.senQ,= o.o-+ .a+f .z.a=+.,i222

) 4,. cos 4¡ = 1.0 - 0.5.a - 0.5.2.a = -1.5 ai

\a,.senq¡ =o.o + f ., - {.r., = -{ oi222

En función de estos resultados, vemos que habrá cuplas primarias y secundarias, cuyos

valores son:.1. _ _ .. .,6 -l

c p = m.R.o)'[(- t.s a)cosor r - ;, sen@ t

)

t-

c, = m.R.o)'^ La

I.5 a)cos 2ro, . + o r"nz*,f

La cupla primaria podrá ser equilibrada con masas colocadas en ambos extremos delcigüeñal y desfasadas 180o, en tanto que la secundaría exigiría otra solución.

NOTAS

1.- Deducción de las ecuaciones de velocidad y aceleración de la barra 4 del mecanismode biela manivela. (Fig. 8.11)

lilr

,]

Fig.8.l1

La coordenada x de la barra 4la podemos escribir como:

x=R.cosc +Z.cos p

IE

l-sen2$

MECANISMOS

-l

Eliminaremos ahora el ángulo F , d" forma de poner la coordenada x solo en función

del ángulo de posición o Comenzaremos por reemplazar el cos B por el sen B y luego éste,

aplicando el teorema del seno, por el sen ü .

cosB-LR

-=+

' senu, sen$cosp-

Ahora introduciremos el término que sigue:

L.7"0 .r"noo ,donde4

De esta forma, nos queda:

"RlL- -L

,rr'*\F}J2

G¿l- '=R("o'c' .*,-Lr '"n'o)

x= R.cosg+2.

-\ 2

SCb **.¿-'¡.

2 s ^ (*r) c,-r f+\

Esta claro que el término que hemos agregado, con el

fecto y simplificar la raíz cuadrada, introduce un error'

,=-, n[ sena+Lr.r*^)

a=-(t'..R (coso +l -cos2cr)

Volviendo al error que s€ produce al introduci¡ un término para obtener el cuadrado

perfecto, vemos que tiene^a h rJl"Aóo iJ y aI lr:¡r':o-como factores. El valor de l, es general-

mente entre 0.25 y 0.30 , por lo que der:rdo a le cuarta potencia es muy pequeño, y respecto

del senaa, también será ieque¡o en h medida que el seno lo sea. De la fórmula de Ia ace-

lgración, vemos que esta es máxima para c{, por lo que en realidad el valor máximo de la

aceleración será el correcto.

2.- Como complemento al estuüo del B-I{, desarrollaremos la obtención de las fuerzas

actuantes en condiciones estáticas.

En la f,g. 8.12 vemos a las fuerzas que actuan en un B--lv[, donde Pes la fierza de los

gases que ,.to"., sobre el émbolo, que se descompone en S y D' es decir:

fin de generar un cuadrado Per-

_ _\ s ^ a*8.,fr)4o, obtendrernos las ecuaciones de la velocidad y la aceleración:

JL[¿

.r**\

S+D=P

t- MECANISMOS

Fig.8.12

Luego resultan:

D=Ptgl , P=,ScosB "

yla fuerza normal a la manivela será:

T: S sen(u+ p¡ =P--991F-\ I / sen(a+p)

Si trasladamos la faerza S a O, , se generará un par de valor igual a TR, y la fuerza S

ahora se descompondrá en:

§= P+ D'

por lo que resultará D = - D'

Si deseamos conocer el efecto de un B-M sobre el exterior, es decir sobre su *ontu;.,(podemos pensar que se trata de un motor), tenemos lafieruaP, que actúa sobre elémbolo,pero también la igual y opuesta sobre la culata o tapa de cilindros (-P). La fuerza P se trans-forma en la fuerza S que actúa según el eje de la biela, generando además la fuerza D. Esta

fuerza S la trasladamos como ya hemos visto, produciendose un par motor ( I R), y las fuer-zas D 'y P, ahora actuando en O,. Esta fuerza P no produce efecto sobre el bastidor, ya que

se anulará con -P, en tanto que el par de fuerzas D y D 'producirán un par de módulo D.x,que será igual al de valor IR y de sentido contrario. EI par de reacción D.x es el que deberá

absorber el montaje.

tg

--IMECANISMOS

CAPITULO IxVETOCIDAD CRITICA

9.I INTRODUCCION

Como veremos en las líneas que siguen, cuando se da un movimiento de rotación a unárbol o eje que lleva asociadas (vinculadas) a él una o más masas, hay determinadas velocida-des de rotación que magnifican de forma considerable ciertos efectos dinámicos. Leemos enla Ref. [15] la siguiente definición: "un eje de transmisión (o árbol) es un elemento cilíndricode sección circular, que puede estar fijo o girando, sobre el que se montan engranajes, poleas,volantes, ruedas de cadena, manivelas o acoplamientos, así como otros elementos mecánicosde transmisión de fircrza o potencia'l En el lenguaje técnico, cuando el esfuerzo predominan-te es la torsión nos referimos a un árbol, en tanto que un eje soporta mayormente flexión.

Debemos estar en condiciones de predecir cuales serán esas velocidades (que llamare-mos velocidades críticas), de que factores dependen y que elementos tenemos desde el diseñopara controlarlas.

Se distinguen esencialmente dos tipos de fenómenos, el que corresponde a las vibra-ciones laterales y el de las vibraciones torsionales, cuyos estudios básicos desarrollamos acontinuación.

9.2 VIBRACIONES LATERALES EN ARBOTES Y EJES.

Consideremos un árbol, con una o varias masas que giran con é1, que representamoscon su centro de masas apartado del eje geométrico de giro y supongámoslo, por un instante,sin movimiento (Fig. 9.1a). Si le damos un desplazamiento hacia la derecha y lo liberamos,habremos iniciado un movimiento vibratorio libre, dado que tenemos todos los elementos

Para que así sea: hay un sistema elástico (el árbol) y masas asociadas (Fig.9.1 b). En la mismafigura podemos ver el modelo mecánico típico de las vibraciones libres sin amortlguamiento:el sistema masa - resorte. Recordemos que la pulsación natural de éste valeJK/m

c)

si ahora ponemos a girar el conjunto, esas masas desplazadas del eje de rotación sufri-

rán una aceleración, lo qu-e indica que surgirá la correspondiente fierza' Si proyectáramos

d.icha fierza,que es giratoria, .., ,.t plano, nos daría por resultado que su módulo varía en

forma armónica. Podemos considerar a la misma como el equivalente de la aplicada en el

resorte Fr- , Qü€ en el estudio de las vibraciones Se conoce como fuerzaperturbadora o exci-

tariz. Enlo que sigue, buscaremos conectar ambas circunstancias.

9.2.T ARBOL CON UNA SOLA MASA

Analicemos primeramente el modelo mecánico mas sencillo, que es cuando en elárbol

en estudio hay una sola masa que gira con é1, siendo r¡ la velocidad de rotación'

La figura 9.2a muestra un rotor consistente en una masa m, solidaria a un árbol que

está sustentado por dos cojinetes. Consideraremos en lo que sigue que la masa del árbol es

despreciable frente a la de la masa zn. Supondremos además que hay una excentricidad e del

centro de masas G respecto del eje de roiación del árbol. Debido a esta excentricidad' se ori-

gina una aceleración )= fu»'ze. i.ro puru que esta aceleración exista, debe existir Ia corres-

[ondiente fierza,en este taso provista por la deflexión 7 del árbol (Fig' 9'2b)'

Siguiendo a Mabie & ocvirk (Ref. i), apliquemos ahora la ecuación de Newton, lo que

nos da:

F =m.a :.\k.y-m(y+e).az ill\..

r I l.t'

MECANISMOS

lm

r,1,let-

a)

t--

c)

L- -=t

@

Fig. 9.2

t- MECANISMOS

Podríamos razonaÍ de otra forma, pensando en el principio de D'Alembert y por lotanto introduciendo lafuerza ficticia de inercia, en este caso llamada ientrífuga. Esta fuerza"externa" se equilibra con la otra fuerza exterior, que es la restitutiva eIástica áe valor - k y ,donde el signo menos indica que la fuerzaes de sentido contrario a la deflexión.

),F' = 0 F,+Fr*,*o=O m@2 (y+e)-k y=e

Desde un punto de vista experimental, se observa que a medida que el árbol aumentasu velocidad, la trayectoria de la masa m dejade ser circular para ir tomando la forma de unaelipse, (Fig.9.2c) cuyo eje menor se va reduciendo progresivamente al tiempo que el mayorse incrementa. De esta forma, a una determinada velocidad ,la faerza centrifuga producidavaría su valor en concordancia con la frecuencia natural del sistema árbol+maia, lo que enmecánica se conoce como un sistema vibratorio en resonancia, circunstancia análoga a laque ocurre en el sistema masa - resorte cuando la pulsación de la fuerza F,= es igual a la delsistema. ' r

Respecto de nuestro modelo, con su excentricidad e tan notoria, digamos que ésta sepresentará siempre en cualquier sistema real, aún cuando su fabricación haya sido muy cui-dadosa. Sabemos que el balanceamiento del conjunto siempre admite algún desequiíibrio.También puede haber desalineamientos entre los cojinetes, que producirá el mismo efectodinámico. Además, durante el servicio se producirá desgaste deqparejo (desgaste por fatigaen los dientes de los engranajes, o pueden saltar pequeRos trozos en los extremos de los ála-bes de una turbina, etc.)

Operando en la ecuación [1] nos queda:

,=*--(UD'

Cugndo la velocidad de giro coincide con la pulsación natural del sistema elástico for-mado pdr el árbol con la masa, teoricamente la deflexion es infinita. A esta velocidad la lla-mamos velocidad crítica. El fenómeno se 1o conoce como vibraciones laterales.

Surge entonces que cuando la velocidad del árbol sea igual a "l% el denominadortenderá a cero y la deflexión a infinito. Fisicamente, ocurrirá que Ia dén."io" se hará intole-rablemente grande. Si observáramos la proyección de la masa m sobre un plano fijo, observa-ríamos un movimiento del tipo armónico. La velocidad en la que este fenómeno ocurre se laIlama velocidad critica (coc). Es decir:

^"= rTo,

Hacemos notar que en el estudio de las vibraciones iaterales no interesa el análisis mi-nucloso de cómo se mueven las masas asociadas al árboi {en este caso es una sola), sino laposi5ilidad de predecir en un caso dado cual será la velocidad crítica, para prevenir que en e1

diseño en e1 que estemos trabajando resulte que la r-elocidad de operación sea igual o ".,,-.-ma a Ia critica.

IE

MECANISMOS

-lOperando nuevamente y con Ia definición de velocidad crítica ya üsta, resulta:

Esta ecuación la podemos graficar según la Fig. 9.3.

u/u"

Teniendo en cuenta que o, (rad /seg)-2n nkpm)

resultará: n"=*P-/

60

Si pensamos además que It¡ - m.g y llamando 6est al cociente I4l/k (6est es la de-

flexión producida por la acción del peso It¡ de la masa m), resulta: ,,

6.. $ll , i,!i

rf.i-{sta-) Í2} :, Y. n ,n.= - z* ¿, r< -\: J

Volviendo a la figura anterior, observamos que la rama derecha tiene orru urírrio't #" "rizontal, en y/e = -I. Esto se corresponde. con ¡rna deformada del árbol según la figura 9.4.

Es decir que la defprmada y la excentricidad original tienen sentidos contrarios. En el límite(para n ) oo), la masa m estará sobre el eje de rotación. Vemos en la figura 9.3 que para n me-

nor a0.707 o mayor que 1..414 veces la velocidad critica, la deflexión de la masa m es menor

que una vez o dos veces, respectivamente, la excentricidad e.

'[rl

0

-t

-2

-3

yle

I

1 414

0. 07 I ¿ ¿E

¿

IFig 9.3

t- MECANISMOS

tada

Sabemos que la deformación eny con cargapuntual en el centro,

¿' I

+ q- Lr't^-' - ¡<--1 -- O

, L\ = -e *r?*-<^roíu. - É- I,

r\/ t *L* a¿+ \

,,é^,F t*t

5-

Iel

EFig.9.4

é*'*-

-4¿-,

./tl.>

g

o-L - *1*^

-7tp.Lar t V

;-:-.**r-. \'

4i^- u-" i

¿a-,->\cxJt f+) 1 (!---

una viga de sección uniforme, isostaticamente susten-puede calcularse como:

*>

J

6or =w.l3

48.8.J

por lo que efectuando los reemplazos, nos queda:

60 trA8EJ,r" = ,n.i= ,.p

Presentamos la anterior ecuación para mostrar que para variar la velocidad crítica,podemos trabajar sobre el diámetro del eje, para variar el momento de inercia I o sobre ladistancia erl?re apoyos l, de ser esto posible y tambien sobre la masa m , por ejemplo eligiendootro materíhl. También la forma de vinculación al bastidor tiene influencia.

Para el caso er que la masa del árbol no fuera despreciable y que su sección sea unifor-me, puede agregarse a la masa m el5A% de la del ¿i¡bol.

En lo que respecta a cuan cerca de la relocidad crítica se puede operar, la práctica co-mún es estar separado de ella,ln m_as o en menos, por lo menoq qg_2-Qgl_o*

9.2.2 AR.BOL CON VARIAS MASAS - ECUACION DE RAYT,FIGH-RITZ

Se pueden concebir muchas configuraciones de árboles con masas asociadas a é1, es de-cir que giran conjuntamente. Es conveniente pensar para lo que sigue que estiremos tratandoya sea con árboles con masas asociadas (como ya dijimos poleas, engranajes, etc.) a él o conrotores, con una masa distribuida. En la figura 9.5a esquematizamos un árbol con tres masas,que podrían ser una polea de mando y dos cngranajes, por ejemplo. Además, podríamosPensar que el árbol puede ser escalonado, es decir tener secciones de diámetro variables- El

1lL,l

rlIi1ii1iti¡.,:

ll

IE

MECANISMOS

comportamiento será en general como el ya visto de una sola masa, al menos cualitativamen-

te. Nuestro interés será determinar la frecuencia natural de vibración para evitar, como ya

explicamos, la coincidencia entre esta velocidad y la velocidad de operación. En la realidad,

los rotores pueden tener varias velocidades críticas y gráficos como el de la figura 9.3 pueden

mostrar varios picos de infinita amplitud (al menos teórica) generados por inevitables des-

viaciones de los centros de masa de las diversas masas que giran con el árbol o que conforman

el rotor.

JF, ..L ,,

Fig.9.5

Si bien será difícil determinar la magnitud de las desviaciones o amplitudes del movi-

miento, reiteramos que 1o que interesa es conocer ú). . Las velocidades críticas podrán enton-

ces determinarse mediante el conocimiento de las frecuencias naturales de vibración.

Para un caso como el de la figura g.5a,lafrecuencia natural de vibracion (r). puede de-

terminprse por el modo de vibración en condiciones de no rotación, suponiendo que al árbol

se lo cláflecta y luego se lo libera para permitirle vibrar libremente sin amortiguación.

Veremos el método energético de Rayleigh-Ritz. Supondremos un sistema conserva-

tivo, en el que la suma de la energía potencial más la cinética es constante. Además, al igual

que en eI siitema masa - resorte, cuando una es máxima la otra es nula, por lo que los valores

máximos de ambas son iguales.

Cuando todas las masas se han desplazaio su r-alor máximo Y. , el valor de la energía

e1ástica (potencial) almacenada es iguai a "-e:

:g. 9.5b):

§ :',-

b)F¡

ü

inicial (cor::.;.dada, por 1o tai::

::cesaria para llevar la masa ¡rz

. -" rosición de máxima deflexión

s ::"'bajos realizados por las fuerzas

desde la posicióny la energía está

F para producir

t-\IE

t_ MECANISMOS

tal desplazamiento. Recordemos que las fuerzas F comienzan a actuar valiendo cero, hastaalcanzar su valor máximo con variación lineal con la deformación, por eso el denominadorde la fórmula.

Cuando las masas pasan por la posición inicial de reposo, la energía cinética es máxi-ma, es decir así será la velocidad. Dado que hemos planteado un movimiento armónico, de

pulsación ot igual a la velocidad que estamos tratando de determinar (c0.), resultará que la

velocidad lineal máxima de las masas será {D, .Y, yla energía cinética total será:

\m,a!.r,' tzi

Igualamos ahora ambas ecuaciones, pero tengamos en cuenta que no conocemos ni las

fuerzas ni los desplazamientos:

Sin embargo, podemos aplicar fuerzas iguales al peso W, en cada masa y obtener los i

desplazamientos 6-. Por consideraciones aceÍca de la elasticidad del sistema, planteamos que i

la relación entre ambos valores y los obtenidos dinamicamente (Fi e Y, ) es la misma. Ensímbolos nos queda:

= cte

Podemos ahora reemplazar Fi: W. cte , Yi: 6..cte

Igualando y operando nos queda:

Esta es una fórmula sumamente útil para la determinación de la frecuencia natural de

oscilación de un rotor. En la misma. 6 ir.Cica el Cesplazamiento d,e la m cuando a ésta se leaplica una fuerza igual a su peso.

No debe confundir el hecho que hn::e -¡ eravedad g en Ia ecuación, toda vez que

la hemos usado para la eliminación de las ¡:¿:¡"s r- d.esplazamientos F,e Y,, por fuerzasproporcionales a las masas, por ejemplo el pes:,. ?e:odebe quedar en claro que este es unfenómeno dinámico, que se produciría exactamÉ:.:. j. 1a misma forma si el conjunto en es-

tudio estuviera en el espacio. Analogamente, si su: -:.mos que hay una fuerza de direcciónconstante en alguna o todas las masas (el mismo E;:tr o el tiro de las correas sobre la polea,

por eiemplo), esto no producirá ningún efecto sob:¿ 1: -¡elocidad crítica, que tendrá el mismovalor como si dichas fuerzas constantes no eristier¡:r.

Se puede incluir la masa del árbol dividiendo éste en sectores que se tratan cada :i:¡

ZF,y, =\mp!.Y,2ii

F, _Y,Wi 6,I

2w,6,,3 =*fwrt

i

fg

MECANISMOS

-{como masas adicionales.

En contra de esta expresión se puede argumentar que las deflexiones estáticas no son

proporcionales a las dinámicas, como se ha supuesto. Sin embargo, la aproximáción de la

fórmula es del orden de uno a dos por ciento superior a la verdadera frecuencia natural. Par-

te de esta diferencia puede ser causada por efectos giroscópicos y algunos otros efectos no

considerados.

En las consideraciones anteriores hemos supuesto que la única deformación del con-

junto es la debida al árbol, pero tengamos en cuenta que también los cojinetes, portacojine-

ies y todo el conjunto de soporte se deforma, valores que hay que tomar en consideración'

Para apreciar mejor como influyen estas circunstancias, veamos la ecuación [2], en la que si

aumentamos el valor del 5,r, la velocidad crítica baiará. En la figura 9.6 hemos agregado el

símbolo del resorte junto .ór, ro constante k' paraindicar esta elasticidad y la deflexión adi-

cional que produce.

Fig,9.6

\Siguündo el trabajo de Elliot Research (Ref. 11), se indica que, a falta de estudios mas

profundos, se tome como p¡4se¡ velocidad crítica la calculada teoricamente multiplicada

po. .l factor 0.95, para velocidades inferiores a las 6.000 rpm. Hemos mencionado a la primer

velocidad, indicando con esto que hay otras velocidades críticas. En efecto, analogamente a

lo que ocurre en cuerdas vibrantes, hay una frecuencia fundamental (para nosotros la primer

velácidad critica) y luego existen las siguientes armónicas, múltiplos de la primera' Cuando

un conjunto trabaja poi d.bu;o de la primera velocidad crítica, se dice que es rígido. Cuando

1a sr1p.ru, se lo llama flexible. Lo habitual es que se trabaje por debajo de la primer velocidad,

o ..ir. la primera y la segunda, considerandose inadecuado diseñar para una operación por

en;i¡-i: de la segunda velocidad.

i -"-:or recomendado para tener en cuenta las elasticidades adrcionales ya comenta-

das, er i-- :-*. :ace a la segunda velocidad crítica, es de 0.80'

Un arc .- - : -- : :res rnasas, como el ilustrado, tendrá tres moi¡: r.'slbles de vibrar, como

se indica en i: t--::, ! -. La primer frecuencia (dada por la ILrrl-iuia obtenida) será para el

TE

lTlr

b)

posición del eje geométrico inicial del árbol

t:--

!- MECANISMOS

modo de deformación visto al principio y las otras dos frecuencias, una doble y la otra triplede la primera, se corresponden con las deformaciones dibujadas a y b, respectivamente.

Fig.9.7 b)

Como hemos dicho, en la práctica industrial, es muy común que haya árboles o rotorescuya velocidad de operación sea superior a Ia primer crítica. La pregunta es: ¿cómo se transitapor la zona de la velocidad crítica? Tengamos en cuenta que en la condición de resonancia,con cada media vuelta del árbol, la combinación del movimiento oscilatorio del mismo juntocon la rotación, ambos con la misma pulsación, dan por resultado el agregado de energía alsistema. Esta energía la podríamos visualizar como el trabajo de las fuerzas F. ya vistas. Peroesta energía es finita, es decir en cada ciclo se agregará una determinada cantidad,lo que im-plica que el aumento de la deflexión será gradual, con cada l.uelta, aunque sin duda rápido.Esto puede verse en la figura 9.8

Fig.9.8

\¡olviendo a la pregunta inicial del párrafo anterior, la posibilidad de pasar por la zonacrítica está en hacerlo con rapidez, de forma de no dar lugar a la acumulación de energía en elsistema, r'por lo tanto limitando las deflexiones. Esto significa que rara el arranque se deberátener un momento acelerante suficientemente enérgico como para transitarlazonapeligrosarapidamente. Para Ia detención de la máquina, si hay mucha inercia en el sistema y el mo-mento resistente es muy bajo, habrá que incrementar éste mediante un freno para tal efecto.

T@

MECANISMOS

Finalmente, no queremos dejar el tema sin agregar un concepto importante. En oca-sión de hacer los ensayos de recepción de una maquina, es importante efectuar la verifica-ción de la velocidad crítica, es decir determinar experimentalmente ésta para verificar que se

encuentra suficientemente alejada de Ia velocidad de operación. Esto se realiza haciendo unbarrido de velocidades, empezando por una inferior a la de operación y terminando en unasuperior, buscando en este barrido encontrar una crítica.

Sin embargo, surge una dificultad, ya que si el sistema esta muybien equilibrado,la ex-centricidad e será muy pequeña y la energía aportada también lo será, pudiendo ser absorbi-da por las amortiguaciones naturales que el sistema tenga (no consideradas en este estudio).En estas condiciones, puede que durante el ensayo se pase por la velocidad crítica y esto no se

note, por lo dicho recién. En estos casos, hay que agregar una masa desequilibrante adecuada,

cuyo efecto será incrementar la excentricidad e y agregar energía al sistema, en la zona críti-ca, haciendo notoria la velocidad buscada.

9.3 VIBRACIONES TORSIONALES

El objeto en estudio es ahora las vibraciones por torsión, ya que este estado también es

susceptible de producirlas debido a que se dan las condiciones para ello: hay un sistema elás-

tico (el árbol) y hay una masa que se mueve rotativamente con él (el disco en nuestro sencillomodelo). Podrá existir un momento variable de torsión (que operará como momento excita-tríz) y el objetivo será, al igual que en las vibraciones laterales, prevenir que alguna frecuenciade este momento coincida o se aproxime a la frecuencia natural de oscilación por torsión,dado que si esto ocurre se producirán ángulos de torsión y tensiones inaceptables.

En las líneas que siguen, primero veremos como determinar la frecuencia natural devibración y luego algunas ideas acerca de cuales son las causas por la que puede aparecer unmomento excitatriz.

9.3.T ARBOL CON UNA MASA

Veamosql modelo mecánico que encontramos en la Fig.9.9 en el que tenemos un discode momento de inercia /, vinculado a un árbol de momento polar de inercia /, radio R y delongitud l. El plano del disco es perpendicular alárbol.

Fig.9.9

[\

EU

l- MECANISMOS

Para determinar la frecuencia natural, imaginemos que le damos al disco una rotacióne y que luego lo liberamos. La ecuación que podemos plantear es, utilizando la segundaecuación universal, que nos dice que ia variación del momento angular es igual al momentode las fuerzas exteriores (el momento torsor en este caso):

L=M, conL=J+!M,=-ko, luego ¡(=-4e' dt' ' dt' '

donde el signo negativo del momento surge por ser contrario a la rotación impuesta.Tengamos en cuenta que la ecuación que define a la constante elástica a la torsión k, es:

Ordenando la ecuación:

resultado que se corresponde con el movimiento armónico ya estudiado, de pulsación

Debemos ahora averiguar como determinar el valor del coeficiente kt. Para esto con-sideraremos la torsión aplicada a una pieza circular, en la que y es el ángulo de distorsión, Ges el módulo de elasticidad transversal, 0 es el ángulo de giro entre dos secciones (o entre lasección en estudio y el empotramiento) y r es la tensión tangencial. (Fig. 9.10)

Fig. 9.1 0

Por otra parte: y .l = 0 . R por lo que efectuando ios reemplazos, resulta:

M- G,JI _ t- _

e - tt¡--

Volviendo ahora a la ecuación diferencial, sabemos que su solución, para condiciones::iciales de t=0, 0 = 0 oyvelocidad inicial nula, será d = I o . cos pt

La pulsación valdrá:

M, = -k,0

t t9* k,o =odt'

.k.p"=j

P'= G.I/I.1,

llE

r

MECANISMOS

-{9.3.2 ARBOL CON DOS MASAS

:IAnalicemos ahora el caso, mas común,

ld2 , como se indica en el esquema de la Fig.inercia ] constante.

de tener dos masas o discos, de inercias ldl y9.11, montados sobre un árbol de momento de

J¿r

Fig.9.l1

Para razonar acerca de cómo se moverán, supongamos que le damos a uno de los discosuna rotación, al tiempo que al otro lo mantenemos fijo. Estamos de esta forma configurandoun instante inicial con velocidades angulares nulas y por lo tanto con momento cinético oangular nulo. Ahora liberamos el sistema, por lo que no habiendo ningún momento exterior,el momento cinético total tendrá que ser nulo en todo momento. Esto nos lleva a concluirque los discos girarán en sentidos contrarios y que cuando uno se detenga, el otro lo harátambién. Es'decir, que la pulsación del movimiento será igual en ambos. Se deduce que habráuna sección que no puede sufrir rotación alguna, que la llamamos nodo (ubicado a distan-cias /l y 12 de los discos) y que se comporta como si fuera un empotramiento, al efecto de ladeterminación de las características del movimiento.

Luego,Bodemos escribir :

' f = G.l/l, .lr,= G.l/lr.lo,

y sabiendo qüe:

podremos obtener la ubicación del noio r-la pulsación del sistema.

Como ejemplo de este caso de dos discos, podemos pensar en el movimiento de la líneade eje de un barco, donde un disco será el r-olante del motor y el otro la hélice propulsora.

1 i _I It-

' i _t

IL '-:*

@

q

t- MECANISMOS

9.3.3 ORIGEN DE LOS MOMENTOS EXCITATRICESfl

Como hemos visto hasta ahora, sé debe evitar Ia coincidencia entre un régimen de

operación y una frecuencia natural del sistema, condición que venimos llamando resonancia.

Mientras en las vibraciones laterales la fuente de excitación estaba dada por la excentricidadde las masas rotantes y el giro del árbol, en las torsionales el momento torsor variable (la

fuente de excitación) puede originarse por:

r en el eje de manivelas (cigüeñal) de un motor de combustión por las ciclos sucesivos

de encendido en los diversos cilindros. en un mando en el que haya un par de engranajes, por errores en el tallado de los

mismos, que origine una diferencia entre sucesivos pasos entre dientes.. en un árbol que comande a una leva de múltiples lóbulos, o a varias en línea sobre el

mismo (caso del árbol de levas de los motores de combustión interna).r en una máquina hidráulica, o en una hélice, por algún fenómeno como la cavitacióno en el caso del ejemplo de la Fig. 9.12.

Fig.9.12

De acuerrlo a algunos de los ejemplos indicados, se debe tener en cuenta que la fre-cuencia del mon-rento ercitatriz no está ligado exclusivamente a la velocidad angular del eje

sino que mas bien har-ui:a c:el:a ;¿n:1¿¿C ie :ertu:traciones por cada revolución del árbol,siendo la frecuencia excitatriz ia ¿ei ¿:: : - : : : .- :rlimero de perturbaciones por cada vuelta.

En Ia figura9.l2 se muestra un árbo1 cor¿:;:o: -L que mueve un disco o rotor B conpaletas C. Existe otro rotor conducido E con paletas D. iabiendo algún fluido que posibilitela transmisión, ya que mecanicamente no están vinculaCos. Los arboles de entrada y salidaestán soportados por los correspondientes rodamientos. Cada \¡ez que una paleta conductoraC pasa delante de una conducida D, habrá una r-ariacion en ei tgrque transmitido. De esta

forma, la frecuencia de estas variaciones será igual al prciucto de la velocidad angular relati-va entre A y E y la cantidad de paletas que se enfrentan e¡: cada vuelta. En símbolos, llamandon (rpm) a la velocidad angular relativa y N la cantidad de paletas de B (que suponemos en

este ejemplo igual a la de E), la frecuencia f enlrl:z de 1a perturbación torsional será: f : n .

N/60

t@

MECANISMOS

-lCuando es inevitable o imprevisible la posibilidad de una condición de resonancia, se

debe recurrir a la introducción de amortiguamiento en el sistema. En la figura 9.i3 esque-matizamos un dispositivo de este tipo, en el que vemos que la pieza Agira solidariamente conel árbol cuyas vibraciones torsionales queremos amortigua¡ dentro de la cual hay practicadauna oquedad de forma toroidal y dentro de ella hay un anillo B formado por un material pe-sado, del tipo de una goma emplomada. El hueco entre ambos esta relleno de un líquido de

alta viscosidad, generalmente una silicona. Esta vinculación viscosa entre el árbol y el anillo,provee el amortiguamiento necesario. Es común encontrar este dispositivo en uno de los ex-

tremos del cigüeñal de los motores de automóvil, dado que éstos por su condición de serviciodeben operar en una gama de velocidades muy amplia, pudiendo en alguna de ellas estar en

una frecuencia crítica.

Fig. 9.13

\MECANISMOS

CAPITULO XVOLANTES DE INERCIA

'dé*'_

IO.1 INTRODUCCION

Hay circunstancias particulares, por ejemplo cuando se produce el arranque de una

máquina o cuando Ia carga aplicada a la misma varía, en la que la velocidad angular de la

misma va variando, desde el instante inicial hasta que llega al estado de régimen. A este tipo

de estado se 1o llama transitorio y se caracteriza porque, ciclo a ciclo, la velocidad (y otros

parámetros) van variando. Cuando Ia máquina o instalación llega al estado de régimen, en el

que lo que ocurre en un ciclo se repite en el siguiente,lo llamamos estado estacionario. En 1o

que sigue veremos que, aún para un estado estacionario, pueden producirse variaciones de la

velocidad dentro del mismo ciclo.

Pensemos en el caso de la figura 10.1, en donde llevamos en ordenadas el par necesario

para el accionamiento de un determinado proceso (100 Nm). En abcisas representamos el

ángulo de giro, y vemos que el proceso se cumple en un cuarto de r,rrelta, siendo el resto del

ciclo, hasta cumplimentar el giro completo, en vacio, es decir sin absorción de par. Se nos

pide que determinemos la potencia del motor de accionamiento, para una frecuencia de 600

rpm. Podemos razonar que necesitamos que el motor tenga un Par de 100 Nm, para vencer la

resistencia máxima que se le presenta,lo que nos lleva a que la potencia necesaria será:

N : M,.a =tooNm.

Fig.10.1

2.x.600rpnt= 6280W

Para establecer una comparación, veamos cual es la potencia media necesaria, que sur

ge de considerar el par medio.

60

=======-=-=========:-:=:==============

==-======:==-======:a= == = ====---:== ======== ==.-===== -= =======-== ===-:===== ====-

==Z==Z==2.==:=::=:====>:=-=::=:===================:==:-_=:=:

M

a

MECANISMOS

N = M ,.a = 25Nm.2n '699rpm :É7ow60

Vemos que la diferencia es grande y que será conveniente arbitrar un medio para redu-

cir el primer valor. Para esto deberemos pensar en la inercia.

I0.2.- DIAGRAMAS DE TRABAJO - DETERMINACION DE LA INERCIA

En la práctica, los momentos variables pueden deberse tanto al motor como a la má-

quina conducida o a las características del proceso. Del lado del motor, los motores de com-

bustión interna (ciclo Otto o Diesel), entregan un par esencialmente variable, donde cuanto

mayor es el número de cilindros menor será esta variación. Del lado de la máquina conduci-

da, los balancines, punzonadoras y cizallas son típicas máquinas que muestran una parte del

ciclo con un gran momento resistente, mientras que en el resto del ciclo, en el que el portahe-

rramienta vuelve a su posición, la resistencia que ofrecen es muy baja. También un comPresor

a émbolo, ofrece una resistencia variable.

Consideremos Ia figura 10.2, en donde se aprecian dos curvas, la del momento resisten-

te (Mr) y la del momentá motor (Mm), ambos variables, para poner el caso m/s general. A

estos gráficos se los suele llamar "diagramas de trab#l Vemos que en el tramo que va desde

el punlo A al B, por superar el par motor al resistente, el conjunto motor y máquina conduci-

da se acelera, en tanto que en el tramo que va del punto B al C ocurre 1o contrario. Por esto,

en los puntos B y D tendremos la máxima velocidad del conjunto, en tanto que en los A y C,

la mínima.

M Mm

i rrl tt,o -,"'

"'\;' ll) \

A,

e

t

Fig. 102

Si suponemos que el estado del conjunto se: e s -"¡:onario, es decir que 1o que ocurre en

un cicio se repite en los siguientes, debemos conciu:i !:= -¿s áreas (1) y (2) deben ser iguales.

Estas áreas representan energía, la primera un ercesL- := -' :ror-ista por el motor sobre la ab-

sorbida por la máquina conducida y la segunda el exce'c :. ,: e'¡sort'ida sobre la motora. De

no ser iguales. habría una variación ciclo a ciclo de la r-e^c::¿.: i¿- :¡niunto hasta alcanzar

el régimen estac;onario. Podemos preguntarnos entoncÉs: ,¿¡:¿¿ residen estos excesos (o

defectos) de enersra?. La respuesta esta dada por la inercia. \-a liue es ia energía cinética de las

@

masas intervinientes la que posibilita esta acumulación de energía en una parte del ciclo y lacesión de la misma en la otra parte.

El fenómeno, pues, se verifica ciclo a ciclo y consiste en energía que se transfiere delmotor a las masas intervinientes, en la fase que va de A hasta n ¿el ciclo, y de éstas a la má-quina conducida (o al proceso que se está llevando a cabo), en la fase qr. ru de B hasta C,cuando el par del motor es inferior al requerido por el proceso.

Caractericemos un po.o rnu', a lo que hemos llamado "masas intervinientes": serántodas aquellas animadas del movimiento de rotación del conjunto (y podríamos generalizara las que tienen cualquier movimiento) y estarán representadar po, io, momentos de inerciadel motor, de los árboles y ruedas dentadas del reductor, los diversos acoplamientos y de otraspartes del conjunto. Toda esta inercia rotacional guarda una relación con los cambios de ve-locidad'de la instalación dentro del ciclo y con lai áreas (t) y (z).Nos propondremos, en lossiguientes párrafos, determinar como vincular estas magnitudes. para esá, veamos algunasdefiniciones:

t- MECANISMOS

l:.:- :=:::egularidad: 6 - o* -O-io

@^"d

R.especto dea-"a, no es totalmente correcta su definición, ya que paraIu:ra el medio habría que suponer una variación lineal de la veiociáad en elpara los resultados que pretendemos alcan zar es suficiente la definición dada.

que este valortiempo, pero

Respecto del valor 6, sobre el que volveremos ml adelante, podemos decir que un va-

1or de 2 se da para el caso de o-in = 0 y 6 = 1se da p"ru'* 3 . Estos valores son muyaltos y puramenfB teóricos, ya que en la prácti.u ..rrltu 6 un valor muy inferior a la unidad.

Ahora vamos a vincular la variación de energía A.E', obtenida de los gráficos, con la va-riación de energía cinética' Sabemos que en un sistema en rotación puru,iu energía cinéticaesta dada por:

1

E=lJr@'

donde /. es el momento polar de ine¡cia del conjunto animado de la velocidad angularro. Por lo tanto, la variación de enegía cinética AE será:

Multiplicamos y dividimos por @^dy aplicamos las definiciones vistas:

rc = )t,(ri* - ri-) : ) r,(, -,- r-,).(r-* - r,,)

.tAEJ o = ---=-' @1.16

LE: Jra)"o8

MECANISMOS

Si consideramos que la velocidad media de la instalación es un valor conocido, que el

grado de irregularidad es un valor adoptado y que conocemos de alguna forma las curvas del

momento motor y del momento resistente, por lo que conocemos el valor de L,E, resultará

que sabremos que momento de inercia estaremos necesitando para que la instalación en es-

tudio tenga variaciones de Ia velocidad dentro de los valores previstos.

El valor del momento de inercia polar será el de toda la instalación, pero para los fines

de nuestro estudio supondremos que toda esta inercia está concentrada en un solo compo-

nente, llamado volante de inercia, y supondremos que el resto del conjunto no tiene inercia.

En las instalaciones con fuerte variación del par resistente, los volantes de inercia son consi-

derables y efectivamente reunen casi toda la inercia dei conjunto.

Respecto del grado de irregularidad 6, vemos que cuanto menor sea el valor que adop-

tamos para este coeficiente, mayor resultará el momento de inercia del volante. También que

un menor coeficiente, significa mayor regularidad en la marcha, así es que la adopción de

un valor determinado deberá ponderar estos factores. Hay instalaciones, como las cizallas,

estampas, etc., que aceptan valores altos, en tanto que instalaciones del tipo de generacÚn de

energía para alumbrado (grupos electrógenos), requieren valores bajos, por el parpadeo que

se produciría en las luminarias. De adoptarse valores altos del coeficiente, deberá verificarse

si el accionamiento (especialmente de tratarse de un motor eléctrico) soporta esta situación.

Como una guía, veamos los valores de 6 habituales en la tabla que sigue.

6 Maquinaria conducida

0.10 - 0.20 Estampadoras, trituradoras, martillos

0.05 - 0.10 Punzonadoras

0.03 - 0.0r Bombas

0.02 - 0.0_; \laquinaria textil, máquinas herramienta

ri.ot; - o.cr:. \Iolinos de harina

0.010 - 0.CrlL I-Iilanderas

0.02 - 0.010 \laquinaria eléctrica

1/300 C:¡n regularidad, usinas eléctricas

10.3 EJEMPLO DE CALCL-LO

\reamos ahora un ejemplo de calcul¡. i:- -: :rqura 10.3 hay una instalación, compuesta

de un motor que gira a l44O rpm, un reduc:¡,: c-*. :educe la velocidad a 600 rpm y la máqui-

na que otrece la resistencia. El gráfico de r-ari:;-:: Je 1os momentos es el de la figura 10.1,

donde venlos que el par resistente es de 100 \n:. ¿:: :anto que supondremos que el acciona-

miento es con un motor de par constante de 25 \::1.

t_ MECANISMOS

MOTOR REDUCTOR MAQUINACONDUCIDA

Fi9.10.3

Calculemos primero el A,E, que será:

A,E:75Nm.n l2:1L7.75 J

o, lo que es lo mismo:

LE = 25Nm.3n I 2=ll7 .7 5 J

Supondremos un coeficiente de irregularidad igual a 0.01 y estudiaremos dos lugarespara colocar el volante: en la etapa veloz (posición B) y en la etapa lenta (posición A).

f_r P6oo -tt7.75J

=2.99 Kg.*'(az.t)'t/segz o.ot

lr'! J Puootr7.7sJ

=0.52 Kg.*'(tso.tz)'u segz o.or

Si suponemos Para ambos casos un radio de giro de 0.25 m (recordemos que la defini-ción de radio de giro es: i: = J m):

ffiaoo =2.99 I 0.252 =47.84Kg, m.";,1= 0.52 0.252 =9.44Kg

Vemos que la diferencia en la masa obtenida es real-rr,ente importante, lo que justificala tendencia actual de colocar los volantes de inercia en las er¿pas de alta velocidad. i{uy qo.tener en cuenta que esto significa, por otro lado, que habra que considerar en el dimensio-namiento de los distintos elementos (por ejemplo las ruedas nlentadas del reductor de velo-cidad), que al colocar el volante en la posición B el reductor tendrá que soportar momentosmayores que si se lo colocara en A. Támbién los efectos dinámicos de una detención súbitaserán bien distintos.

BA

t@

MECANISMOS

-{10.4 ACCIONAMIENTO POR I.IN MOTOR ATTERNATIVO

Cuando el motor es alternativo, la determinación del diagrama de trabajo, por el lado

del motor, exigiría conocer el diagrama de presiones dentro del cilindro. Se simplifica esta ta-

rea asumiendo que los diagramas son parecidos para todos los motores, porque en definitivatampoco importa la forma de la curva de par dentro del ciclo, importando solo la cantidad

de cilindros y la distribución de las manivelas.

Se define, pues, el llamado "coeficiente de fluc en función de la potencia del

motor, según sigue:

f =* ... ^E

= f .lrfl"' lr)i" r L^

El valor ¿" [r]3'es la energía aportada por el motor en cada vuelta y vale:

frf:," ={.oon

donde N es la potencia en Watts, n las rpm y el valor de T resultará entonces en |oules.Este valor será directamente el AE, suponiendo que la carga sea constante. De no ser así, ha-

brá que estudiar su variación e incrementar consecuentemente el valor de AE.

La siguiente tabla da los valores de este coeficiente.

Tipo de motorCoeficiente

Cuatro tiempos Dos tiempos

Urlcilindro 2.40 1.00

Dos cilindros con manivelas a 180" 1.00 0.80

Tres cilindros con manivelas a L20" 0.70 0.t7

Cuatro cilindros con manivelas a 180" 0.20 0.09

Seis cilindros con manivelas a 120" 0.0s

Ocho cilindros con manivelas a 90" 0.06

10.s EJEMPLO DE CALCULO - MOTOR ALTERI{ATIVO

Determinar el volante necesario para un alternador para üuminación de 5 KW de po-

tencia ac;ionado por un motor monocilíndrico de cuatro tiern;.'rs. a 3000 rpm. Por razones

de espacro. el diámetro del volante no deberá superar a los 30u n::::.

De Ia r¿51¿s obtenemos el coeficiente f=2.40 y adopta::.--s .rr grado de irregularidad

igual a 0.002 laita reeularidad).

TE

h.

t- MECANISMOS

Obtenemos la variación de la energía cinética, debida en este caso totalmente al motor.

^E=f .frf:," ,

.'. LE =100 2.4=240J

@."d =2n nl60=314.16 rad I seg

Con los resultados anteriores, calculamos el momento de inercia necesario:

Jp: 240 Kg m' lseg'=1.21 Kg.*'

Y4l62llsegz 0.002

Si suponemos, en una primera aproximación, que toda la masa estará concentrada a la

distancia indicada en el enunciado, tendremos para la masa del volante:

V7Z" =Ln

.60= 5ooow .60s"g =loo

/3000rpm min ciclo

*-r-2!{g.mz =r3.44Kg0.30'

E

t- MECANISMOS

APENDICE 1:

DERIVADA DE UN VECTOR REFERIDO A UNA TERNA GIRATORIA.

Supongamos tener un vector posición r (Fig. Ai) que está referido a una terna girato-ria, como indicamos en la figura, de forma tal que entre la posición en el instante t y el t+Atla variación es AF

Fig. A I

ITengamos en cuenta que, aunque no indicada, siempre consideramos que hay una ter-

na fija, respecto de la cual en definitiva nos interesa obtener el movimiento y en este caso, laderivada temporal de 7 (aveces llamada derivada temporal absoluta)

Podemos ver de la figura que:

Lr =r.seny.o.a¡ * = a.seny

teniendo en cuenta que:

^ co.Ar

siendo el ángulo y el formado entre la rotación co r- el r-ector F.

i(t+at)

IE

rIMECANISMOS

-{Luego, recordando la definición de producto vectorial y pasando al límite, resulta:

L=a*¡dt

Pero aun debemos tener en cuenta que la anterior expresión es válida para darnos lavariación de 7 debido a que está referido a una terna no galileana (giratoria), pero que además

puede tener una variación con respecto a la terna móvil, no contemplada hasta aquí. Esta

variación, la representamos como drla).

Finalmente, nos queda como expresión de la derivada para este caso, la expresión

que sigue:

+{2xF t1l

Es importante que tengamos en cuenta que esta expresión es válida para cualquier vec-

tor referido a una terna giratoria.

Por esto, podemos generalizar y aplicar la expresión a cualquier vector V referido a una

terna giratoria:

4=41 +§¿xvdt dt ),

Notemos que para el caso que el vector sea el vector posición de un punto (7), la exPre-

sión vista nos da en el primer término la velocidad relativa y en el segundo la velocidad de

arrastre (para el caso en que el origen de la coordenada móvil este fijo).

d7 d71I

d, -A ),

/1_

¡E

7-

MECANISMOS

APENDICE 2:DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

Se presenta a menudo el llamado doble producto vectorial, según sigue:

Áx(E xe)

Para determinar la expresión a la que este producto se puede reducir y siguiendo a Her-

S iRef. 8), elijamos un sistema coordenado, que sin limitar la generalidad de lo que yamos

obtener, nos permita escribir:

Luego resultará:

=arbrcri -a*brcri tsl

B =b,, [1] , el vector B coincide con el eje x

e =r,í +cri l2l , elvector C está en el plano ry

7 = o,l + a, j + o,É [3] , el vector A tiene dirección cualquiera

Ii.!::ros ahora el producto que está dentro del paréntesis:

lr j kl

E *e =lb, o ol=b,"rÉ 14)

ttl', c, I

Por [1] tenemos: I : Lb,

Dela 12) y reemplazando por el resultado anterior, queda:

=c-"rEc, "rb,

Sustituimos ahora en [5] los versores por lo obtenido arriba:

Á x (E xe) : arb,", ! - o,b,r, | * a,b,c,bx c)'

A x@ xC¡ = (arcr+a,c,)E -a^b,e

l-li i kI

A x(B xC) =la, a, a jl0 0 b,c,

', C c-:l--- " t

C, C,

"rB, rb,

IE

MECANISMOS

-{Si recordamos ahora la expresión cartesiana del producto escalar de dos vectores y la

expresión de los vectores que dimos al principio, resultará:

Á x (E xe) = |Á.e ¡.8 - tÁ.D.e

Igualmente podemos comprobar esta expresión escribiendo los tres vectores en su for-

ma mas general y haciendo las operaciones indicadas.

Notación empleada en los cálculos vectoriales.

Para la indicación de un vector hemos empleado las letras mayúsculas, ya sea con la

raya en la parte superior (Á) o en negrita (A) . Para indicar su módulo solamente la letra, es

decir el módulo de A será A .

En cuanto al producto vectorial, hemos usado indistintamente el símbolo "1"

El producto escalar está indicado con un punto.

O/\

TE

t- MECANISMOS

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