Mecânica Quântica III - FIS-103, Aula...

Mecânica Quântica III - FIS-103, Aula 1

PROF. ROLDÃO DA ROCHA

1UFABC

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC

I http : //professor.ufabc.edu.br/ ∼ roldao.rocha

I Ementa:

I Interação da radiação com a matéria.I Espalhamento elástico.I Quantização do campo eletromagnético.I Absorção e emissão estimuladas. Emissão espontânea. Regras de

seleção.I Introdução à segunda quantização.I Simetrias e leis de conservação.I Introdução à equação de Dirac, soluções, simetrias e espinores.

I Ementa:

I Bibliografia:

I C. Cohen-Tannoudji, B. Diu e F. Laloë, Quantum Mechanics (Wiley, 1977)I A. F. R. de Toledo Piza, Mecânica Quântica (EDUSP, 2003).I E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons Inc, 1998).I J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1967).I J. D. Bjorken e S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (McGraw-Hill,

1964).I W. Greiner e D. a. Bromley, Relativistic Quantum Mechanics. Wave

Equations (Springer, 2000).

I Bibliografia:

I Avaliação:

I Somatória das listas: 20% (a última lista terá peso 2).I Seminário: 20%.I Prova 1: 25%.

Ementa da prova 1: (21/Out/2020) Espalhamento quântico elástico, até aaula prévia à prova, incluindo primeira aproximação de Born,espalhamento de Yukawa e potencial de Coulomb.

I Prova 2: 35%.Ementa da prova 2 (04/Dez/2020): simetrias e leis de conservação eequação de Dirac (e espinores).

I Avaliação:

Conceito DescriçãoA Aproveitamento de 85.1% ou mais.B Aproveitamento de 70.1 a 85%.C Aproveitamento de 51 a 70%.F Reprovado. de 0 a 50.9%

Teoria do espalhamento

I Quase tudo em física atômica, nuclear e partículas elementares advêm deexperimentos com espalhamento.

I A descoberta do núcleo atômico, por Rutherford; descoberta de outraspartículas subatômicas (quarks, por exemplo).

I Feixe localizado de partículas (A), com momentum k definido, é espalhado porum alvo localizado (B).

I Resultado da colisão: espalhamento

A + B →

A + B elásticoA + B∗ inelásticoA + B + C inelásticoC absorção

I Processos elásticos: energia e número de partículas se conserva.

A + B →

Seção de choque diferencial

I Fenômenos de espalhamento clássico e quântico: caracterizados pela seçãode choque de espalhamento.

I Experimento de colisão: detector mede #partículasunidade de tempo = NdΩ, espalhadas em

um elemento de ângulo sólido dΩ na direção (θ, φ).I NdΩ ∝ fluxo incidente de partículasI jI = # partículas/unidade de tempo que atravessa uma área unitária normal à

direção da incidência.

I Colisões: caracterizadas pela

seção de choque diferencial ≡# de partículas espalhadas na direção (θ, φ)unidade de tempo.unidade de ângulo sólido

fluxo incidente.

I dσdΩ

I Seção de choque total:

∫dσdΩ

∫ 2π

0dφ∫ π

0dθ sin θ

dσdΩ

fluxo incidente.

I dσdΩ

∫dσdΩ

∫ 2π

0dφ∫ π

0dθ sin θ

dσdΩ

fluxo incidente.

I dσdΩ

∫dσdΩ

∫ 2π

0dφ∫ π

0dθ sin θ

dσdΩ

Mecânica clássica

I Potencial central, V (r), ângulo de espalhamento é determinado pelo parâmetrode impacto = b(θ).

I # partículas espalhadas entre θ e θ + dθ = # partículas incidentes entre b eb + db.

I Portanto, para o fluxo incidente jI , o # partículas espalhadas no ângulo sólidodΩ = 2π sin θdθ por unidade de tempo é

NdΩ =

dΩ=sin θdθdφ︷︸︸︷2π sin θdθ N =

área da coroa circular︷︸︸︷2πb db jI ⇒

dσ(θ)

dΩ≡

sin θ

∣∣∣∣∣ dbdθ

∣∣∣∣∣

Mecânica clássica

NdΩ =

dσ(θ)

dΩ≡

sin θ

∣∣∣∣∣

Mecânica clássica

NdΩ =

dσ(θ)

dΩ≡

sin θ

∣∣∣∣∣

Mecânica clássica

NdΩ =

dσ(θ)

dΩ≡

sin θ

∣∣∣∣∣

Espalhamento elástico por uma esfera impenetrável

I Calcular o parâmetro de impacto b(θ).I

b(θ) = R sinα = R sin

(π − θ

(−θ

)+ sin

(−θ

]= R cos

I ⇒∣∣∣ db

∣∣∣ = R2 sin

I Se b > R, @ espalhamento.

(π − θ

(−θ

)+ sin

(−θ

]= R cos

I ⇒∣∣∣ db

∣∣∣ = R2 sin

(π − θ

(−θ

)+ sin

(−θ

]= R cos

I ⇒∣∣∣ db

∣∣∣ = R2 sin

(π − θ

(−θ

)+ sin

(−θ

]= R cos

I ⇒∣∣∣ db

∣∣∣ = R2 sin

Espalhamento elástico por uma esfera impenetrável (rígida)

I Como dσ(θ)dΩ

= bsin θ

∣∣∣ dbdθ

∣∣∣, então

I dσ(θ)dΩ

= bsin θ

R2 sin

2 sin θ2 cos θ

R2 sin

4 cos θ2

I Como b(θ) = R cos(θ2

), então

dσ(θ)

bR4 cos θ2

=R cos

4 cos θ2=

I Seção de choque total: σ =∫ dσ

dΩdΩ = R2

∫dΩ = R2

4 4π = πR2.

I Como dσ(θ)dΩ

= bsin θ

∣∣∣ dbdθ

∣∣∣, então

I dσ(θ)dΩ

= bsin θ

R2 sin

2 sin θ2 cos θ

R2 sin

4 cos θ2

), então

dσ(θ)

bR4 cos θ2

=R cos

4 cos θ2=

dΩdΩ = R2

∫dΩ = R2

4 4π = πR2.

I Como dσ(θ)dΩ

= bsin θ

∣∣∣ dbdθ

∣∣∣, então

I dσ(θ)dΩ

= bsin θ

R2 sin

2 sin θ2 cos θ

R2 sin

4 cos θ2

), então

dσ(θ)

bR4 cos θ2

=R cos

4 cos θ2=

dΩdΩ = R2

∫dΩ = R2

4 4π = πR2.

I Como dσ(θ)dΩ

= bsin θ

∣∣∣ dbdθ

∣∣∣, então

I dσ(θ)dΩ

= bsin θ

R2 sin

2 sin θ2 cos θ

R2 sin

4 cos θ2

), então

dσ(θ)

bR4 cos θ2

=R cos

4 cos θ2=

dΩdΩ = R2

∫dΩ = R2

4 4π = πR2.

dΩdΩ = πR2.

I Mecânica clássica: a partícula é efetivamente espalhada por um disco, de áreaπR2.

dΩdΩ = πR2.

I Mecânica clássica: a partícula é efetivamente espalhada por um disco, de áreaπR2.

Espalhamento quântico

I Seja a função de onda Ψ(r, t) = e−iωt u(r) estacionária.

I Energia E = p2

2m = ~2k2

2m , onde k é o vetor de onda.

I Potencial reduzido: U(r) = 2m~2 V (r).

I Equação de Schrödinger:[∇2 + k2 − U(r)

]u(r) = 0.

I Energia E = p2

2m = ~2k2

]u(r) = 0.

I Energia E = p2

2m = ~2k2

]u(r) = 0.

I Energia E = p2

2m = ~2k2

]u(r) = 0.

ui (r) = função de onda do feixe incidente

uf (r) = função de onda do feixe espalhado.

I No espalhamento quântico, focamos nos fenômenos com r → ±∞: a colisãoem si, requer TQC. limr→∞ u(r) = ui (r) + uf (r).

I ui (r) = exp(ik · r) = eikz é uma onda plana.

I uf (r) = f (k , θ, φ) eikr

), α > 1

I f (k , θ, φ) ≡ amplitude de espalhamento.

), α > 1

Lembrete: mecânica de fluidos

I Superfície S:I Fluido com densidade ρ, massa m, velocidade v.I Fluxo de v através de S = vazão/área:

j ≡ ρv é o vetor fluxo de massa.

I Unidades:

[j] = [ρv] =massavolume

comprimentotempo

=massa

área.tempo

I ⇒ dmdt = ∆ massa

∆ tempo através de S =∫∫

S j · n dS.

⇒ddt

massa m︷︸︸︷∫∫∫Vρ dV =

∫∫∫V

∫∫S=∂V

j · n dS

Gauss=

∫∫∫V∇ · j dV .

I Unidades:

comprimentotempo

=massa

área.tempo

S j · n dS.

⇒ddt

∫∫∫V

∫∫S=∂V

j · n dS

Gauss=

∫∫∫V∇ · j dV .

I Unidades:

comprimentotempo

=massa

área.tempo

S j · n dS.

⇒ddt

∫∫∫V

∫∫S=∂V

j · n dS

Gauss=

∫∫∫V∇ · j dV .

I Unidades:

comprimentotempo

=massa

área.tempo

S j · n dS.

⇒ddt

∫∫∫V

∫∫S=∂V

j · n dS

Gauss=

∫∫∫V∇ · j dV .

I Unidades:

comprimentotempo

=massa

área.tempo

S j · n dS.

⇒ddt

∫∫∫V

∫∫S=∂V

j · n dS

Gauss=

∫∫∫V∇ · j dV .

I Unidades:

comprimentotempo

=massa

área.tempo

S j · n dS.

⇒ddt

∫∫∫V

∫∫S=∂V

j · n dS

Gauss=

∫∫∫V∇ · j dV .

I Superfície S: Como dmdt < 0 se o fluido escoa para fora

de S (que tem normal para fora), entãoI ∫∫∫

dρdt−∇ · j

)dV = 0

⇒dρdt

+∇ · j = 0. ⇔dρdt

+∇ · (ρv) = 0.

I Fluido incompressível: densidade constante⇒ dρdt = 0.

I ∇ · j = 0 e, como j = ρv, temos que

I ∇ · v = 0.I ∴ (motivação) quando um campo vetorial F satisfaz ∇ · F = 0, o campo F é dito

ser incompressível.I Todo campo rotacional é incompressível, pois ∇ · (∇× F) = 0, para qualquer

campo vetorial F ∈ C2.

dρdt−∇ · j

)dV = 0

⇒dρdt

+∇ · j = 0. ⇔dρdt

+∇ · (ρv) = 0.

dρdt−∇ · j

)dV = 0

⇒dρdt

+∇ · j = 0. ⇔dρdt

+∇ · (ρv) = 0.

dρdt−∇ · j

)dV = 0

⇒dρdt

+∇ · j = 0. ⇔dρdt

+∇ · (ρv) = 0.

dρdt−∇ · j

)dV = 0

⇒dρdt

+∇ · j = 0. ⇔dρdt

+∇ · (ρv) = 0.

dρdt−∇ · j

)dV = 0

⇒dρdt

+∇ · j = 0. ⇔dρdt

+∇ · (ρv) = 0.

dρdt−∇ · j

)dV = 0

⇒dρdt

+∇ · j = 0. ⇔dρdt

+∇ · (ρv) = 0.

Como obter f (k , θ, φ)?

I Equação da continuidade ∂ρ(r)∂t +∇ · j(r) = 0, onde j(r) é a densidade de

corrente.I e = carga do elétron.I |ψ|2 = densidade de probabilidade.I ρe = e|ψ|2 = densidade de carga.

I Denotaremos ∂f∂t = f , para qualquer quantidade f :

∂|ψ|2

∂t=∂(ψ∗ψ)

∂t= ψ∗ψ + ψ∗ψ (1)

I H = Hamiltoniano; Equação de Schrödinger:Hψ = Eψ = i~ψ ⇒ (Hψ)∗ = ψ∗H∗ = Eψ∗ = −i~ψ∗.

I Eq. (1):

∂|ψ|2

1−i~

(ψ∗H∗)ψ +1i~ψ∗(Hψ) (2)

∂|ψ|2

∂t=∂(ψ∗ψ)

∂t= ψ∗ψ + ψ∗ψ (1)

I Eq. (1):

∂|ψ|2

1−i~

(ψ∗H∗)ψ +1i~ψ∗(Hψ) (2)

∂|ψ|2

∂t=∂(ψ∗ψ)

∂t= ψ∗ψ + ψ∗ψ (1)

I Eq. (1):

∂|ψ|2

1−i~

(ψ∗H∗)ψ +1i~ψ∗(Hψ) (2)

∂|ψ|2

∂t=∂(ψ∗ψ)

∂t= ψ∗ψ + ψ∗ψ (1)

I Eq. (1):

∂|ψ|2

1−i~

(ψ∗H∗)ψ +1i~ψ∗(Hψ) (2)

∂|ψ|2

∂t=∂(ψ∗ψ)

∂t= ψ∗ψ + ψ∗ψ (1)

I Eq. (1):

∂|ψ|2

1−i~

(ψ∗H∗)ψ +1i~ψ∗(Hψ) (2)

∂|ψ|2

∂t=∂(ψ∗ψ)

∂t= ψ∗ψ + ψ∗ψ (1)

I Eq. (1):

∂|ψ|2

1−i~

(ψ∗H∗)ψ +1i~ψ∗(Hψ) (2)

∂|ψ|2

∂t=∂(ψ∗ψ)

∂t= ψ∗ψ + ψ∗ψ (1)

I Eq. (1):

∂|ψ|2

1−i~

(ψ∗H∗)ψ +1i~ψ∗(Hψ) (2)

Espalhamento quântico: como obter f (k , θ, φ)?

I H = Hamiltoniano de um elétron, carga e, massa m:

2m+ eφ(r, t) + U(r) 7→

+ eφ(r, t) + U(r) (3)

(Derivada covariante: Dµ = ∂µ − i ec Aµ, pµ 7→ i∂µ).

I Seja ~π = p− ec A (momentum).

I Equação da continuidade: termo ∂ρ(r)∂t

∂ρ(r)

∂t= e

∂|ψ|2

= e1−i~

2m+ eφ+ U

]∗︸︷︷︸

ψ∗H∗

ψ + e1i~ψ∗

2m+ eφ+ U

]︸︷︷︸

2m+ eφ(r, t) + U(r) 7→

+ eφ(r, t) + U(r) (3)

∂ρ(r)

∂t= e

∂|ψ|2

= e1−i~

2m+ eφ+ U

]∗︸︷︷︸

ψ∗H∗

ψ + e1i~ψ∗

2m+ eφ+ U

]︸︷︷︸

2m+ eφ(r, t) + U(r) 7→

+ eφ(r, t) + U(r) (3)

∂ρ(r)

∂t= e

∂|ψ|2

= e1−i~

2m+ eφ+ U

]∗︸︷︷︸

ψ∗H∗

ψ + e1i~ψ∗

2m+ eφ+ U

]︸︷︷︸

I Como φ∗ = φ e A∗ = A, então

∂ρ(r)

[ψ∗(~π2ψ)− (~π2ψ)∗ψ

I Agora ~π = p− ec A = −i~∇− e

c A = −i~(∇− i~α), onde ~α ≡ e~c A.

⇒∂ρ(r)

(−i~)2

[ψ∗[(∇− i~α)2ψ

]−[ψ∗(∇+ iα)2∗

∂ρ(r)

[ψ∗(~π2ψ)− (~π2ψ)∗ψ

c A = −i~(∇− i~α), onde ~α ≡ e~c A.

⇒∂ρ(r)

(−i~)2

[ψ∗[(∇− i~α)2ψ

]−[ψ∗(∇+ iα)2∗

∂ρ(r)

[ψ∗(~π2ψ)− (~π2ψ)∗ψ

c A = −i~(∇− i~α), onde ~α ≡ e~c A.

⇒∂ρ(r)

(−i~)2

[ψ∗[(∇− i~α)2ψ

]−[ψ∗(∇+ iα)2∗

Espalhamento quânticoPROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC

=[ψ∗[(∇− i~α)2ψ

]−[(∇+ iα)∗2ψ∗

= ψ∗ [(∇− i~α) · (∇− i~α)ψ]− ψ∗[(∇+ iα) · (∇+ iα)]∗]ψ

=ψ∗[(∇2 − i~α · ∇ − i∇ · ~α− |~α|2)ψ

]−[ψ∗(∇2 + i~α · ∇+ i∇ · ~α− |~α|2)∗

=[ψ∗(∇2ψ)− (∇2ψ)∗ψ

⇒∂ρ(r)

(−i~)2

[ψ∗[(∇− i~α)2ψ

]−[(∇+ iα)2ψ∗

(−i~)2

[ψ∗(∇2ψ)− (∇2ψ)∗ψ

]= ∇ ·

[ie~2m

[ψ∗(∇ψ)− (∇ψ∗)ψ]

]︸︷︷︸

−j(r)

I lembrando que dados campos escalares f , g, a propriedade∇ · (f∇g) = (∇f ) · (∇g) + f∇2g é facilmente demonstrada.

⇒∂ρ(r)

(−i~)2

[ψ∗[(∇− i~α)2ψ

]−[(∇+ iα)2ψ∗

(−i~)2

[ψ∗(∇2ψ)− (∇2ψ)∗ψ

]= ∇ ·

[ie~2m

[ψ∗(∇ψ)− (∇ψ∗)ψ]

]︸︷︷︸

−j(r)

I lembrando que dados campos escalares f , g, a propriedade∇ · (f∇g) = (∇f ) · (∇g) + f∇2g é facilmente demonstrada.

Densidade de corrente

I j(r) =[−ie~2m [ψ∗(∇ψ)− (∇ψ∗)ψ]

m <(ψ∗∇ψ).

I limr→∞ ψ(r) = ψi (r) + ψf (r).I ψi (r) = exp(ik · r) = eikz

I Potenciais centrais: ψf (r) = f (k , θ) eikr

j(r) =~em<(ψ∗∇ψ)

=~em<[

eikz + f (k , θ)eikr

]∗∇[

Lista 0 =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

). (6)

j(r) =~em<(ψ∗∇ψ)

=~em<[

]∗∇[

Lista 0 =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

). (6)

j(r) =~em<(ψ∗∇ψ)

=~em<[

]∗∇[

Lista 0 =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

). (6)

j(r) =~em<(ψ∗∇ψ)

=~em<[

]∗∇[

Lista 0 =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

). (6)

I Como

j(r) =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

r2, (7)

então o fluxo incidente jI , o # partículas espalhadas no ângulo sólido dΩ porunidade de tempo é

NdΩ = j(r) · r dA =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

I dσ = NdΩjI

, onde jI = ~km .

I ⇒ dσ =∣∣f (k , θ)

∣∣2dΩ⇒ Seção de choque diferencial = dσdΩ

=∣∣f (k , θ)

∣∣2.

I Como

j(r) =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

r2, (7)

∣∣f (k , θ)∣∣2

I dσ = NdΩjI

, onde jI = ~km .

I ⇒ dσ =∣∣f (k , θ)

=∣∣f (k , θ)

∣∣2.

I Como

j(r) =~km

∣∣f (k , θ)∣∣2

r2, (7)

∣∣f (k , θ)∣∣2

I dσ = NdΩjI

, onde jI = ~km .

I ⇒ dσ =∣∣f (k , θ)

=∣∣f (k , θ)

∣∣2.

⇒ Seção de choque diferencial =dσdΩ

=∣∣f (k , θ)

∣∣2 .

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